Post on 11-Jan-2016
Universite Catholique de Louvain
MECA1855 - Thermodynamique et Energetique
Professeur : Miltiadis Papalexandris.
Relations fondamentales
Les variables d’etat d’un systeme sont les variables significatives du systeme, independantes
entre elles et mesurables.
Selon la theorie cinetique des gaz, pour un gaz simple, on a besoin de deux variables d’etat.
C’est-a-dire que l’etat d’un gaz simple est determine par deux variables independantes : p-v,
p-T, ...
Une equation entre une troisieme variable, qui peut jouer le role de variable d’etat, et les deux
variables d’etat s’appele equation d’etat. Cette equation peut avoir la forme, par exemple,
f(p, v, T ) = 0. Elle implique que : i) une variable d’etat peut s’exprimer en fonction des deux
autres variables d’etat, ii) la differentielle totale de cette variable d’etat peut s’exprimer en
fonction des differentielles totales des deux autres variables d’etat :
f(p, v, T ) = 0 ⇒ dp =
(∂p
∂T
)v
dT +
(∂p
∂v
)T
dv (1)
L’equation de Gibbs :
T dS = dU + p dV (2)
nous permet d’ecrire la differentielle totale d’entropie en fonction des differentielles totales
des variables d’etat, ce qui veut dire que l’entropie est aussi une variable d’etat. D’ailleurs
l’equation de Gibbs implique que :
1
T=
(∂S
∂U
)V
,p
T=
(∂S
∂V
)U
Maintenant nous allons deriver la relation (1.19) des notes. La differentielle d’energie interne
est donnee par :
dU =
(∂U
∂T
)V
dT +
(∂U
∂V
)T
dV (3)
La combinaison de (2) et (3) donne :
1
T dS =
(∂U
∂T
)V
dT +
[(∂U
∂V
)T
+ p
]dV (4)
D’ailleurs, on a :
T dS = dH − V dp ⇒ T dS =
(∂H
∂T
)p
dT +
[(∂H
∂p
)T
− V]dp (5)
La derniere relation implique que pour un processus isobare (p constante), on a :
(T dS)p =
(∂H
∂T
)p
dT = Cp dT (6)
D’ailleurs, la relation (4) implique que :
T dS =
(∂U
∂T
)v
dT +
[(∂U
∂V
)T
+ p
]×
[(∂V
∂T
)p
dT +
(∂V
∂p
)T
dp
](7)
⇒ T dS =
[(∂U
∂T
)v
+
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂T
)p
]dT +
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂p
)T
dp (8)
Alors que, pour un processus isobare, la derniere relation donne :
(T dS)p =
[(∂U
∂T
)v
+
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂T
)p
]dT (9)
⇒ (T dS)p =
[Cv +
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂T
)p
]dT . (10)
La combinaison des equations (6) et (10) resulte en :
(∂U
∂V
)T
+ p = (Cp − Cv)
(∂V
∂T
)−1
p
⇒(∂U
∂V
)T
+ p = (Cp − Cv)1
ν a≡ lT (11)
L’introduction de la relation (11) dans (4) resulte en :
T dS = Cv dT + lT dV (12)
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