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Universit´ e Catholique de Louvain MECA1855 - Thermodynamique et Energetique Professeur : Miltiadis Papalexandris. Relations fondamentales Les variables d’´ etat d’un syst` eme sont les variables significatives du syst` eme, ind´ ependantes entre elles et mesurables. Selon la th´ eorie cin´ etique des gaz, pour un gaz simple, on a besoin de deux variables d’´ etat. C’est-` a-dire que l’´ etat d’un gaz simple est d´ etermin´ e par deux variables ind´ ependantes : p-v, p-T, ... Une ´ equation entre une troisi` eme variable, qui peut jouer le rˆole de variable d’´ etat, et les deux variables d’´ etat s’app` ele ´ equation d’´ etat. Cette ´ equation peut avoir la forme, par exemple, f (p, v, T ) = 0. Elle implique que : i) une variable d’´ etat peut s’exprimer en fonction des deux autres variables d’´ etat, ii) la diff´ erentielle totale de cette variable d’´ etat peut s’exprimer en fonction des diff´ erentielles totales des deux autres variables d’´ etat : f (p, v, T )=0 ⇒ dp = ∂p ∂T v dT + ∂p ∂v T dv (1) L’´ equation de Gibbs : T dS = dU + p dV (2) nous permet d’´ ecrire la diff´ erentielle totale d’entropie en fonction des diff´ erentielles totales des variables d’´ etat, ce qui veut dire que l’entropie est aussi une variable d’´ etat. D’ailleurs l’´ equation de Gibbs implique que : 1 T = ∂S ∂U V , p T = ∂S ∂V U Maintenant nous allons d´ eriver la relation (1.19) des notes. La diff´ erentielle d’´ energie interne est donn´ ee par : dU = ∂U ∂T V dT + ∂U ∂V T dV (3) La combinaison de (2) et (3) donne : 1
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Universite Catholique de Louvain
MECA1855 - Thermodynamique et Energetique
Professeur : Miltiadis Papalexandris.
Relations fondamentales
Les variables d’etat d’un systeme sont les variables significatives du systeme, independantes
entre elles et mesurables.
Selon la theorie cinetique des gaz, pour un gaz simple, on a besoin de deux variables d’etat.
C’est-a-dire que l’etat d’un gaz simple est determine par deux variables independantes : p-v,
p-T, ...
Une equation entre une troisieme variable, qui peut jouer le role de variable d’etat, et les deux
variables d’etat s’appele equation d’etat. Cette equation peut avoir la forme, par exemple,
f(p, v, T ) = 0. Elle implique que : i) une variable d’etat peut s’exprimer en fonction des deux
autres variables d’etat, ii) la differentielle totale de cette variable d’etat peut s’exprimer en
fonction des differentielles totales des deux autres variables d’etat :
f(p, v, T ) = 0 ⇒ dp =
(∂p
∂T
)v
dT +
(∂p
∂v
)T
dv (1)
L’equation de Gibbs :
T dS = dU + p dV (2)
nous permet d’ecrire la differentielle totale d’entropie en fonction des differentielles totales
des variables d’etat, ce qui veut dire que l’entropie est aussi une variable d’etat. D’ailleurs
l’equation de Gibbs implique que :
1
T=
(∂S
∂U
)V
,p
T=
(∂S
∂V
)U
Maintenant nous allons deriver la relation (1.19) des notes. La differentielle d’energie interne
est donnee par :
dU =
(∂U
∂T
)V
dT +
(∂U
∂V
)T
dV (3)
La combinaison de (2) et (3) donne :
1
T dS =
(∂U
∂T
)V
dT +
[(∂U
∂V
)T
+ p
]dV (4)
D’ailleurs, on a :
T dS = dH − V dp ⇒ T dS =
(∂H
∂T
)p
dT +
[(∂H
∂p
)T
− V]dp (5)
La derniere relation implique que pour un processus isobare (p constante), on a :
(T dS)p =
(∂H
∂T
)p
dT = Cp dT (6)
D’ailleurs, la relation (4) implique que :
T dS =
(∂U
∂T
)v
dT +
[(∂U
∂V
)T
+ p
]×
[(∂V
∂T
)p
dT +
(∂V
∂p
)T
dp
](7)
⇒ T dS =
[(∂U
∂T
)v
+
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂T
)p
]dT +
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂p
)T
dp (8)
Alors que, pour un processus isobare, la derniere relation donne :
(T dS)p =
[(∂U
∂T
)v
+
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂T
)p
]dT (9)
⇒ (T dS)p =
[Cv +
[(∂U
∂V
)T
+ p
](∂V
∂T
)p
]dT . (10)
La combinaison des equations (6) et (10) resulte en :
(∂U
∂V
)T
+ p = (Cp − Cv)
(∂V
∂T
)−1
p
⇒(∂U
∂V
)T
+ p = (Cp − Cv)1
ν a≡ lT (11)
L’introduction de la relation (11) dans (4) resulte en :
T dS = Cv dT + lT dV (12)
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