Post on 19-Feb-2022
Bulletin of the JSME
Transactions of the JSME (in Japanese)日本機械学会論文集
[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484] © 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers
Vol.84, No.858, 2018
Abstract In this paper, we present a simultaneous optimization method of shape and topology for designing a light-weight plate and
shell structure. The free-form optimization method for shells and SIMP method are respectively employed for shape and
topology optimization, and combined effectively. Shape and fictitious homogenized-density variations are used as the design
variables, and simultaneously determined in one iteration of the convergence process. With this method, the optimal topology
is determined in the variable design surface optimized by shape optimization. Compliance is used as the objective functional,
and minimized under the volume constraint. The optimal design problem is formulated as a distributed-parameter
optimization problem, and the sensitivity functions with respect to shape and density variations are theoretically derived. Both
the optimal shape and density variations are determined by the H1 gradient method, where the sensitivity functions are applied
as the Robin condition to the design surface. With the proposed method, the optimal lighter and stiffer shell structure with
smooth surface can be obtained without any design parameterization and numerical instabilities such as checkerboard and
zigzag-shape problems.
Keywords : Shape optimization, Topology optimization, Shell, Free-form, SIMP method, H1 gradient method
1. 緒 言
曲率ゼロの平板や曲率を有するシェル構造は自動車や航空機等,軽量化が特に重要な設計要件となる工業製品
の基本構造部材やパネル部材として幅広く利用されている.軽量性に加え,プレスや折り曲げ加工により任意の
形状に成形できることも大きな特徴であり,その組合せによって薄板構造体が形成される.薄板に起因して強度
や剛性,振動,座屈等の問題を生じ易いため,補強リブの配置や補強板の付加,全体形状の適切化や局所なビー
ド加工が施され,曲げ剛性等の断面特性の向上が図られる.例えば,高橋は成形性を考慮した複数の周期的なビ
ードパターンを準備し,計算と実験により力学的性能の違いを示している(髙橋, 2011).設計に必要な補強,補
剛の具体的な寸法や形状,位置を決定するため,構造最適化手法やその応用に関する研究も数多く行われている.
寸法最適化を用いた薄板の先駆的な研究例として,Cheng らは剛性最大化を目的に板厚分布を設計変数として求
め(Cheng and Olhoff, 1982),山崎らはリブの位相決定を目的に,予め連続的に配置したリブの高さと板厚の決
軽量板・シェル構造の創成を目的とする H1勾配法に基づく 形状・トポロジー同時最適化手法
中山 展空*1,下田 昌利*2
Simultaneous shape and topology optimization method based on the H1 gradient method for creating light weight plate and shell structures
Hirotaka NAKAYAMA*1 and Masatoshi SHIMODA*2 *1 Graduate School of Engineering, Toyota Technological Institute
2-12-1 Hisakata, Tempaku-ku, Nagoya, Aichi 468-8511, Japan *2 Department of Advanced Science and Technology, Toyota Technological Institute
2-12-1 Hisakata, Tempaku-ku, Nagoya, Aichi 468-8511, Japan
Received: 30 October 2017; Revised: 19 December 2017; Accepted: 11 January 2018
No.17-00484 [DOI:10.1299/transjsme.17-00484], J-STAGE Advance Publication date : 24 January, 2018 *1 学生員,豊田工業大学大学院工学研究科(〒468-8511 愛知県名古屋市天白区久方 2-12-1) *2 正員,豊田工業大学 E-mail of corresponding author: shimoda@toyota-ti.ac.jp
1
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
定を行っている(山崎,小林,1988).板やシェル構造の形状最適化に関して,Ramm ら(Ramm et al., 1993)や
Rao ら(Rao and Hinton, 1994)はパラメトリック手法に基づく萌芽的な研究を行っている.著者らもリブやビー
ド設計を含むシェルの形状設計に焦点をあて,面内変動(下田,2011)や面外変動(下田,2013)に対するノン
パラメトリック形状最適化手法を提示している (Liu and Shimoda, 2015).トポロジー最適化に関して,Suzuki ら
は薄板やシェル構造の補強板の配置問題に均質化法と最適性規準法に基づく手法を他へ先立って提示している
(Suzuki and Kikuchi, 1991).また,Park ら(Park and Youn, 2008)や堀尾ら(堀尾他,2014)はレベルセット法
に基づく手法を薄板構造の剛性最大化に対して適用し,得られた形状や力学特性についての考察を行っている.
Wang らは SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)法に基づくトポロジー最適化手法を利用して振動-騒
音問題におけるリブ配置を求めている(Wang et al., 2017).
三つに分類される最適化手法のうち,孔の生成を許容し,荷重伝達経路を大きく変えられるトポロジー最適化
は軽量化や剛性の向上への効果が最も大きいとされる.しかし,これは一般的な 2 次元や 3 次元連続体に対して
であり,板やシェル構造への適用の場合,効果的な荷重伝達経路の決定や無駄な領域の除去には効果を発揮する
が,面積の投入に対する剛性向上の効果は小さい.これは設計領域が板・シェル面内に固定されるため,すなわ
ち荷重伝達経路の変更が面内に制限されるため,曲げ剛性が増加しないことによる.設計領域に対して材料使用
量を体積制約として与える必要があるため,手法の性格上,初期と比較すると剛性は低くなる.これに対し,形
状最適化で薄板を面外方向に変動させた場合,曲げ剛性及び構造全体の剛性を劇的に向上させることができる.
下田は分布系の形状最適化問題の解法を示し,剛性の向上効果を示し,無駄のない効率的な荷重伝達構造が得ら
れることを確認している(下田, 2013).比較的単純な形状や応力状態の場合,形状最適化によって理想的な無駄
のない均一応力状態が実現されるが,複雑な閉断面や開断面の構造体への適用の場合,曲げ荷重に対して中立面
が形成され,形状最適化のみでは荷重分担しない無駄な低応力領域が残存する.寸法最適化を板厚分布の決定に
適用した場合も感度に応じて曲げ剛性を増加させられるが,形状最適化に比較して効果は非常に小さく,薄板金
属材料への適用は必ずしも現実的ではない.
構造最適化手法の研究の進展に伴い,トポロジー最適化と形状最適化の特長を補完し合い,シェル構造の剛性
向上と軽量化を両立する形状とトポロジーの同時最適化の研究も行われてきている.Mauteらはトポロジー最適
化を行った後に面内形状最適化を行うプロセスを複数繰り返す手法とその効果を先行して示しており(Maute and
Ramm, 1997),Schwarzらが提案したものもトポロジー最適化を行った後,得られた設計を初期構造として面内
形状最適化を行うものである(Schwarz et al., 2001).これらの方法はトポロジー最適化によって生成される境界
上の応力特異点を形状最適化によって修正しながら最終形状を求めており,面内形状最適化とトポロジー最適化
を組み合わせた2段階(もしくはアダプティブ)最適化手法といえる.前述のように,板・シェル構造では曲率(す
なわち面外変動)の最適化を行うと,格段に剛性が向上する.トポロジー最適化を先に実施すると,準備した適
切とはいえないある設計領域(曲面形状)に対して,トポロジーを求め,それが形状最適化の初期形状となるた
め,得られる最終形状の力学特性は限定的となる.一方,AnsolaらはB-splineを用いた面外形状最適化とレイヤー
型マイクロストラクチャを用いた均質化法に基づくトポロジー最適化を交互に行う手法を提案している(Ansola
et al., 2002a, 2002b). HassaniらはNURBS(Non-Uniform Rationak B-Spline)を用いた面外形状最適化とSIMP法に
基づくトポロジー最適化を同時に行う手法を提案しており,その中で形状とトポロジーの交互最適化と同時最適
化手法を比較している(Hassani et al., 2013).形状とトポロジー最適化の組合せに関する研究は本研究で扱う板・
シェル構造以外にも,トラス構造(Xia et al., 2013),(田川,大崎,1999),(坂本他,2011)や2次元弾性体
(Ghabraie et al., 2010),(井原他,1996),(Luo et al., 2008),ソリッド構造(Christiansen et al., 2015)に関し
ても多くの報告が行われている.こうした研究ではトポロジー最適化にはノンパラメトリック手法を用い,形状
最適化手法には井原らを除いて,パラメトリック手法が用いられている.そのため,得られる形状のパラメータ
依存性は避けられず,得られる構造特性も限定的となる.
そこで,本研究ではシェル構造体の軽量化と剛性向上の両立を狙い,軽量化のためのトポロジー最適化と高剛
性化のための形状最適化を組み合わせたパラメータ依存性の問題のない新たな形状・トポロジー同時最適化手法
の提案を目的とする.形状最適化手法にはノンパラメトリック形状最適化手法であるシェル用H1勾配法を用い,
トポロジー最適化手法にはSIMP法を利用する.両者を密度変動と形状変動を設計変数とする拡張設計空間の中で,
分布系のノンパラメトリック最適化問題として統一的に定式化し,得られた感度関数を用い,形状最適化に加え,
2
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
トポロジー最
な体積制約条
解法として提
示され,2次
最適化では最
度変動場を擬
滑らかさ(正
最適化にける
ー最適化の設
ポロジー最適
構造体の軽量
続く章にお
最適化問題の
る.5 章では
段階最適化手
を総括する.
図 1 に示
( / 2, / 2)t t-
Fig.1 Coord
mid-ar
shown
{ (xW=
S A
簡単のため
膜力と曲げ力
同様に扱うこ
3u に分けられ
回転角を表す
の添え字は
1( ,u x xa
最適化にもH1
条件下のコン
提案され(畔
次元連続体へ適
最適形状変動
擬似熱伝導解
正則性)を保
るチェッカー
設計領域を適
適化手法と考
量化と高剛性
おいて,第 2
の定式化を行
は構築した最適
手法との比較
示すような線
) により,ま
dinate systems a
rea of the shell a
n in the right.
1 2 3, , )x x x Î
( , )2 2
t t .
め,シェル構造
力の連成項は
ことができる
れ, 0 0{uu
すものとする
1,2 をとるも
2 3 0, ) (x x u xa=
1勾配法を適用
ンプライアンス
畔上,1994),シ
適用されてい
動場を擬似シェ
解析によって得
保持しながら,
ーボード,グレ
適正化(本研究
考えることもで
性化の両立が達
章ではシェル
行い,感度関数
適化システム
較,及び本手法
線形弾性シェル
た,シェル端
and DOF of she
and its boundar
31 2| ( , )x x AÎ
造体を微小平
は考慮しないこ
る.図 1(右)のよ
0 1,2} , ,w
ると,次式のよ
のとする.
1 2 3, ) (x x x aq-
用して統一的
ス最小化問題
シェル構造へ
る(Azegami et
ェル弾性解析
得られる温度
数値不安定
レースケール
究では高剛性
できる.本手
達成される.
ル構造の支配
数の導出を行
ムを複数の設計
法とスムージ
2. シェル
ル構造体を考
端面 S は A の境
ell with an initia
ry and thicknes
23, (A xÌ Î
平面の集合から
こととする.
ように局所座
1,2{ } はそ
ように表され
1 2( , )x x ,
に解探索を行
を用いる.H
へ拡張された
t al., 2011).本
によって得ら
場として求め
性,すなわち
問題が同時に
化)し,その
法により,複
方程式につい
う.4 章では
計問題に適用
ングを行わな
ル構造体の支
考える.シェ
境界 A によ
al bounded dom
ss, respectively.
( , ) }2 2
t tA- =
らなると仮定
これにより曲
座標系で表した
それぞれ局所
る.なお,添
行うことを特徴
H1勾配法は連続
(下田,2013)
本同時最適化
られる変位場
める.これに
ち形状最適化に
に解決される.
の中でトポロジ
複雑なシェル構
いて言及し,第
H1勾配法と開
し,手法の有
ない直接法との
支配方程式
ル構造体にお
り次式のよう
main . The no
Local coordina
( , )2 2
t tA´ - ,
し,板曲げ理論
曲率のない平板
た変位 { iuu
所座標系におけ
添字表記法と
徴とする.最
続体の分布系
).トポロジ
手法における
として求め,
より,設計変
における波打
.本手法は形
ジーを求める
構造体や閉断
第 3 章では形
開発したシス
有効性を確認す
の比較も行う
おける領域
に定義される
otations ,A A a
ates and DOF o
論として Min
板やシェルを
1,2,3}i は,面内
ける板中心面
して総和規約
最適化問題とし
系の形状最適化
ジー最適化問題
るH1勾配法にお
トポロジー最
変数(形状と密
打ち形状問題と
形状最適化によ
るため,領域変
断面や開断面か
形状とトポロジ
ステムの流れに
する.そこで
.最後の 6 章
は中央面 A
る.
and t in the left
of infinitesimal
ndlin-Reissner
を含んだ複雑な
内変位 1{ }α αu
面の面内変位,
約を使用し,ギ
しては基本的
化問題の数値
題への応用も
おいて,形状
最適化では密
密度分布)の
とトポロジー
よりトポロジ
変動を伴うト
からなる薄板
ジーに関する
について述べ
は本手法と 2
章にて本研究
A と板厚領域
t are the
flat surface are
(1)
(2)
理論を用い,
な薄板構造も
,2 と面外変位
面外変位と
ギリシャ文字
(3)
的
値
状
密
の
ー
ジ
板
べ
2
究
域
e
位
字
3
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
3 1 2 3 1 2( , , ) ( , )u x x x w x x= . (4)
シェル構造の 0( , , )w Uu に関する平衡方程式(弱形式)は式 (6) のように表される.
なお,内力に関する仮想仕事を表す双一次形式 ( , )a と外力に関する仮想仕事を表す一次形式 ( )l はそれぞれ次の
ように表される.
0 0 0 , 3 , 0 , 3 , , ,
, , 0 , 0 ,
(( , , ), ( , , )) { ( )( ) ( )( )}
+ + ) ,( { }
S
B M S
A
a w w C u x u x C w w d
c c kc dA
u u (6)
0 0 0 3 0( , , ) ( ) ( ) ( )A A A
l w f u m qw dA t b u b w dA N u ds M Qw ds
u . (7)
ここで, , , , f m q b はそれぞれ領域 A の部分領域に単位面積あたりの面内荷重,面外モーメント,面外荷重,
中央面 A における物体力を表し, , , N M Q はそれぞれ境界領域に単位面積あたりの面内力,曲げモーメント,
せん断力を表す. , SC C はそれぞれ平面応力に関する弾性マトリックス,せん断力に関する弾性マトリックス
を表し, , ,B M Sc c c はそれぞれ板厚に関する積分後の曲げ,膜力,せん断に関する弾性マトリックスを表し,
定数 k はせん断補正係数を表す( 5 / 6k = を仮定).また,式 (7) 中の曲率 とせん断ひずみ はそれぞれ次
のように表される.
, ,1
( )2 , (8)
,w . (9)
なお,式 (5) 中のU は 1H を変位の拘束条件を満たす 1 階の 5 次元ソボレフ空間として,次式で定義される.
1 501 02 1 2{( , , , , ) ( ( )) satisfying thegiven Direchlet condition}U u u w H A . (10)
3. シェル構造の形状とトポロジーの同時最適化問題
3・1 最適化問題の定式化(コンプライアンス最小化問題)
本節ではシェル構造の形状とトポロジーの同時最適化問題として,剛性設計問題の一つであるコンプライアン
ス最小化問題を取り上げ,分布系の最適化問題として定式化し,形状とトポロジーに関する感度関数(形状勾配
関数と密度勾配関数)の導出を行う.設計変数は図 2 に示すように,形状を表すシェル中立面の形状変動場(設
計速度場 ( )V x )とトポロジーを表す密度変動場 ( ) x とする.ただし, x はシェル中央面 A 内の任意の位置を
示す座標を表す.体積M と密度 ( ) x の上下限値,及び式 (5) の平衡方程式を制約条件とし,コンプライアンス
0( , , )l wu θ を最小化する分布系の最適化問題は次のように表される.
0 0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , ) , ( , , )a w w l w w U w U u u u u u , (5)
Given 0
ˆ ˆ, ( ), ,S TA M M x , (11)
Find ( ), ( ) , A V x x x , (12)
Minimizes 0( , , )l wu , (13)
subject to 0 0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , ) , ( , , )a w w l w w U w U u u u u u , (5)
ˆ ˆ ˆ( ) ,S TA
M t dA M M M x (14)
4
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
ただし, 0及びトポロジ
(a) D
Fig.2 Design
field on
3・2 形状
この問題に対
に対するラグ
( , (L u
簡単のため
ず,シェル表
ランジュ汎関
ように表され
(L l
G
u
,VG n V
,G
ここで,式
率の 2 倍を
関係 ( )V n n
状導関数を表
空間を表す.
ラグランジ
min, はそれ
ジー最適化に
Design velocity
n variable for sh
n mid-area of th
状勾配関数と
対するラグラ
グランジュ乗
0 0, , ), ( ,wu θ u
め,境界に作
表面に作用す
関数 L の領域
れる.
0 , , ) (
, ( )V S
w l
G
u u
n V x
( )
{
VS A
A
G
C
Hf
V x
( )
{ (
T A
A
G
x
(18) 中のnと
を表す.式 (18
( )top t n V n n
表す(Choi an
ジュ汎関数 L
0
ぞれ初期密度
における体積制
y distribution fo
hape (left) and
he shell, norma
と密度勾配関数
ランジュ汎関数
乗数として,次
, ), ) (w l θ u
作用する荷重 N
する荷重 , f m
域変動に対する
0 , , ) (
, ( )T
w a
G
u
x
0 ,
0 0
( )
(
( )
V dA
C u
u u H
n V x
,
( )
(B
dA
c
x
とH はそれぞ
8) の導出にはtop ( btmV n=-
nd Kim, 2005
の 0( , , ) , (wu
min ( ) x
度,密度の下
制約値それぞ
or shape optimi
topology (right
al vectors of top
数の導出
数 L は 0( , ,wu
次のように表
0 0, , ) (w lu θ u
, , N M Q は
, m q ,及び物
る物質導関数
0(( , , ), (
, ( )T
w
C
u u
V x
0 ,, )(2
( )
tu
Hm
, 0
Mcu
ぞれシェル中
はシェル仮想
)m btmn を利用
5).なお,C
0( , , )wu 及び
1.
限値を表し,
ぞれ表す.
zation
t) optimizations
p and bottom, a
)θ を状態方程
表される.
0 0, , ) ((w a u
は物質固定で,
物体力b は領域
数 L は,設計速
0 , , )) ((
, ( )
w a
C
u
x
, )2
) (
tC
Hq w w
, 0 ,
cu k
央面の任意の
板厚上面と下
用している(下
とCはそれ
びに関する
M̂ は全体積
(b) Density
s: The notations
and the density f
程式に対する
0 0, , ), ( ,w wu
それらが作用
域変動に対し
速度場 ( )V x と
0 0( , , ), (
,
w u u
0 ,
0
(2
) (
tu
Hb u
) (Sc
t
の位置 x におけ
下面の外向き単
下田,2013).
れぞれ領域と密
る最適性条件は
積の制約値を,
distribution for
s , ,top btmV n n
field, respective
ラグランジュ
, )) (M
用する部分境
物質固定であ
と密度変動場
, , )) (w M
0 ,,
0 3
)(2
) (
tu
u Hb w
30
b bu
ける外向き単
単位法線ベク
( )は領域変
密度変動の拘
は次のように
ˆ ˆ,S TM M は
r topology optim
and r are the d
ely.
ュ乗数関数,
ˆ )M .
境界は法線方向
あることを仮定
( ) x を用い
ˆ- )M M
, )2
)}
tt
w w d
n V
)} ( ) .w dA x
単位法線ベク
クトル topn とn
変動に対する空
拘束条件を満た
に表される.
は形状最適化,
mization
design velocity
を体積制約
(16)
向には変動せ
定する.ラグ
いて式 (17) の
(17)
,dA
(18)
(19)
トルと平均曲btmn 及びnの
空間固定の形
たす許容関数
(15)
約
せ
グ
の
曲
の
形
数
5
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , )a w w l w w U u u u u , (20)
0 0 0 0(( , , ), ( , , )) ( , , ) , ( , , )a w w l w w U u u u u , (21)
ˆ( ) 0M M , (22)
ˆ( ) 0M M , (23)
0 . (24)
式 (20) は状態変数を決定するための状態方程式であり,式 (21) は随伴変数を決定するための随伴方程式であ
る.これらの方程式は汎用 FEM コードによって解くことができ,両式から 0 0( , , ) ( , , )w wu u の関係が成立す
る.また,式 (22) ~ (24) は体積の不等式制約に対する条件式となっている.これらの最適性条件が成立するこ
とを仮定すると,式 (17) は次式のような形状勾配関数 ( )VG n x と中立面に対する法線方向の設計速度場
( ( ) )nV V x n の一次形式,ならびに,密度変動場 ( )G x と密度変動場 ( ) x の一次形式で表される.
, , ( )V VS T AL G G G G dA n V n V . (25)
これにより,本問題の設計速度場 ( )V x に関する形状勾配関数 ( )VG n x と密度変動場 ( ) x に関する密度勾配関
数 ( )G x は以下のように表される.
0 , , 0 , , 0 , , 0 , ,
0 0 3
[ ( )( ) ( )( )2 2 2 2
2 ( ) ] ,
Vt t t t
G C u u C u u t
H f u m qw b u b w
n
n
(26)
3, , 0 , 0 , 0( ) ( ) .
B M Sc c c b bG u u k t u w
(27)
ただし,式 (28) 中の , ,B M Sc c c はトポロジー最適化において SIMP 法 (Bendsøe and Sigmund, 1999) を利用
するため,それぞれペナルティパラメータ p を用いて下式のように表す.
0BB pc c , (28)
0MM pc c , (29)
0SS pc c . (30)
なお, 0 0 0, ,B M Sc c c はそれぞれ初期状態における材料固有の定数,すなわち板厚に関する積分後の曲げ,膜力,
せん断に関する弾性マトリックスを表す.
4. シェル構造の形状・トポロジー同時最適化用 H1勾配法
形状とトポロジーの分布系同時最適化問題を解くため,関数空間の勾配法である H1勾配法を用いる.同時最適
化手法において,最適形状変動場(設計速度場 ( )V x )の決定にはベクトル変数を扱うシェル H1勾配法を利用し,
最適密度変動場 ( ) x の決定にはスカラー変数を扱うシェルのトポロジー用 H1 勾配法を新たに開発して利用す
る.H1 勾配法は力法とよばれて連続体の形状最適化手法として畔上によって提案され(畔上,1994),設計変数
分布(本研究では設計速度場と密度変動場)の滑らかさの保持と目的汎関数の減少を同時に行える関数空間の勾
配法であること,最適化のための設計変数のパラメータ化を行う必要がなく,全ての節点や要素を大規模設計変
数として直接扱うことが可能なノンパラメトリック手法であることを主な特徴とする.提示する形状・トポロジ
ー同時最適化手法もこの特徴を有している.
6
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
4・1 形状最適化のためのシェル用 H1勾配法
シェル用 H1勾配法(下田,2013)は下田によって示され,滑らかな自由曲面シェル形状を求めることができる
形状最適化手法の1つである.勾配法で必要とされる正定値マトリクスとして対角成分に分布バネ定数 (> 0)Aを含むシェルの剛性マトリクスを利用している.最適設計速度場 ( )V x はこの仮想線形弾性シェル表面に負の形状
勾配関数 ( )VG n x に比例した法線方向荷重を与えることにより,変位場として得られる.これにより設計速度場
の滑らかさを保持しながら目的汎関数を減少させることを可能にしている.この解析は速度場解析とも呼ばれる.
その概念図を図 3 (a) に示す.局所座標系で表した設計速度場 1 2 3i i , ,V V は面内速度場 10 20 ,V V と面外速
度場 3V の組み合わせとして表すことができ,速度場解析の支配方程式は式 (31) ように表され,汎用 FEM コー
ドを利用して容易に解くことができる.設計や製造制約のための形状拘束が必要な場合,剛性マトリクスの正定
値性が保たれる範囲で,汎用 FEM コードの拘束,接触機能や MPC(Multi Point Constraint)機能を利用すること
が可能で,形状変動拘束のみを考慮し,式 (20) (21) の拘束条件とは独立に設定される.
状態方程式及び随伴方程式が成り立つとき,ラグランジュ汎関数 Lの摂動展開は次のように表すことができる.
式 (32) に式 (31) を代入し, Vs が十分小さいとすると,剛性マトリクスの正定値性により次の関係式が得ら
れる.
これは得られた設計速度場 ( )V x を用いて領域を変動させることにより,凸性が保証される問題,区分的凸性の
場合はその範囲において,ラグランジュ汎関数 L は必ず減少することを示している.
4・2 トポロジー最適化のためのシェル用 H1勾配法
H1勾配法は密度のようなスカラー変数の最適化にも利用できることが示されており(Azegami et al., 2011),本
研究ではシェルのトポロジー最適化に応用する.シェルの最適な密度変動場 ( ) x を決定するために,式 (34) の
ポアソン方程式(熱伝導方程式)の弱形式を導入する.最適密度変動場はこの仮想熱伝導シェル表面に負の密度
勾配関数 ( )G x を分布内部発熱として仮想弾性シェルの設計表面に作用させることにより,温度場として得ら
れる.この解析を密度場解析と呼ぶ.その概念図を図 3 (b) に示す.なお,式 (34) の密度場解析は汎用 FEM コ
ードの機能を用いて行える.その拘束条件は設計上のトポロジー拘束のみを考慮し,式 (20) (21) (31) とは独立に
設定される.通常,SIMP 法によるトポロジー最適化には数値不安定性,すなわちグレースケール,チェッカー
ボード,メッシュ依存性の問題が潜在し,その解決のためフィルタリングによる平滑化が不可欠とされる.本手
法は H1 勾配法に基づいているため,密度変動場の滑らかさを保持しながら目的汎関数を減少させることができ
る.
ここで, , はそれぞれ定常熱伝導における熱伝達率と熱伝導マトリクスに相当し,密度変動場と密度の
下限値 min (雰囲気温度に相当)の間には min 0 の関係をもたせる.
前節と同様に,状態方程式及び随伴方程式が成り立つとき,ラグランジュ汎関数 L の摂動展開は次のように表
すことができる.
0 0 0 0 0 Θ 03 3 Θ)( ) ( ( )(( )) ( ) ( ) ( )A VS S,V , G , , ,Va w w w C ,w, C V u , ,θ V n n u , ,θ u , ,θ V u , ,θθ n θ, , (31)
2
, ( , ) ( )V V VSL G s O s n V θ , (32)
, ( ), )), ) (( , ( , ( ( , 0 .) , )VV V A SVSs sL G s a n V θ V V V n n V (33)
min( )T T
a , , G , s , ,C C , (34)
( ) , ,A
a , dA , (35)
2
, ( )T
L G s O s , (36)
7
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
式 (36) に
係が得られる
同様,凸性が
る関係を示し
Fig. 3 Sc
fun
top
hea
4・3 感度
形状とトポ
び変動量係数1 1i e
の場合
全要素密度を
H1勾配法
場V と密度変
関数 VG ,G
用いて正規化
4・4 形状
図 4 に H1
①構造解析
L G
1i x x
1( )i x
( )VG x
( )G x
に式 (34) を代
る.これは決
が保証されて
している.
(a) F
hematic diagra
nction is applie
pology optimiz
at generation to
度関数の正規
ポロジーの同
数 Vs , s を
合, 1 1i eと
を更新する.
において形状
変動場を同
の値をそれぞ
化した.
状・トポロジ
勾配法を利用
(式 (5) ),②
,T
G s
( )i iVsx V x
( )i s x
max
{ ( )V
V̂
max G
x
1
{ ( )max G
x
代入し, s決定された密度
ている問題,区
For shape optim
ams of H1 grad
ed to the shell
ation, where th
o obtain the opt
規化
同時最適化にお
を用いて,それ
とし, 1 0.i e
添字の iは繰
状最適化とトポ
同時に最適化す
ぞれ下式のよ
ジー同時最適化
用した形状と
②形状勾配関
( , )a
i ,
( )i . x
initial
( ))} VG x ,
initial
( )}
G x
が十分小さい
度変動場 ( x
区分的凸性の
mization
dient method f
surface as the
he negative den
timal density di
おいて,形状
れぞれ以下の
01の場合,繰返し回数を表
ポロジー最適
する際,両設
うに VG ,G の
化の流れ
トポロジーの
関数(式 (40)
min ,
,
.
いとき,式 (3
)x を用いて密
場合はその範
for shell. (a) fo
e pseudo force
nsity gradient fu
istribution.
状と密度分布は
ように更新さ1 0.01i e
とし
表す.
適化に関する異
設計変数のスケ
の初期形状で
の同時最適化
)と密度勾配
0 .T
35) の熱伝導マ
密度を変動させ
範囲において,
(b
or shape optim
to obtain the o
unction is appli
は得られた設
される.なお,密
しながら, s
異なる2つの支
ケーリングが
での最大値と設
システムの流
配関数(式 (4
マトリクスの
せることによ
ラグランジ
b) For topology
mization, where
optimal design
ed to the shell
設計速度場 (V x
密度に関して
( )is x によ
支配方程式を
重要となる.
設計変数の定
流れを示す.構
41) )の数値
の正定値性によ
より,形状最適
ジュ汎関数 L は
optimization
e the negative
n velocity distri
surface as the p
)x と密度変動
ては上下限値が
より体積制約を
を用いて得られ
本研究では形
定義域 maxV̂ と
構築した最適化
値計算,③H1勾
より,次の関
適化の場合と
は必ず減少す
shape gradient
ibution. (b) for
pseudo internal
動場 ( ) x ,及
があるため,
を満たすまで
れる設計速度
形状勾配感度
max ( = 1) を
化システムは
勾配法を利用
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
関
す
t
r
l
及
で
度
度
を
は,
用
8
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
した速度場解
形状と密度場
な形状とトポ
で形状と密度
は汎用 FEM
いている.
本研究で提
な板の捩りと
210E (GPa
とトポロジー
5・1 捩
図 5 (a) で
形状とトポロ
の角点を拘束
進自由度,4
を単純支持
ˆ 1.05SM M
とした.
図 6 (a) に
線部分による
解析(式 (31)
場の同時更新
ポロジーを同
度場を同時に
M コードの MS
Fig. 4
提案する手法
と曲げの例題
a),ポアソン
ー最適化を 2
り荷重を受け
で示される寸
ロジーの同時
束し,残りの
4~6 は x 軸か
持した.体積
0M ,トポロジ
に得られた同
る膜力(軸力
) )による最
新(式 (38) (39
同時に求める.
に更新して1つ
SC NASTRAN
Flowchart of
法の有効性と妥
題,もう 1 つは
比 03. ,密
段階で行う場
ける正方形板問
寸法 200×200,
時最適化解析を
の角点に上向き
から z 軸周りの
制約値は 0M
ジー最適化に対
時最適化結果
力)で抵抗する
最適な設計速度
9) ),により
③のプロセ
つの FEM モ
N を用いた.
f simultaneous o
5.
妥当性を検証
は実際的なリ
密度の下限値を
場合との比較
問題
,板厚 2t (m
を行った.剛
き荷重を与え
の回転自由度
0 を初期形状
対して ˆ 0TM
果を示す.捩
る力学的に理想
度場と密度場解
構成され,こ
スでは速度場
デルに統合す
なお,速度場
optimization m
数値解析結
証するため,3
ンク構造部品
を最小値 min,及び H1勾配
mm)の捩り荷
剛性解析では捩
た.なお,SP
度を表す.速度
状の体積とし
00.5M )とした
り荷重に対し
理想的な滑らか
解析(式 (34
この一連の操作
場解析と密度場
する.なお,構
場解析時の材料
method for shape
結果
つの数値例に
品の設計例題
001. とした
配法を用いな
荷重を受ける正
捩り負荷を与
PC は拘束自由
度場と密度場解
して, ˆ 0.5M
た.SIMP 法に
して X 型ビー
かな自由曲面形
4) )による最
作を収束する
場解析を独立
構造解析,速
料定数は領域
e and topology
に適用した.
とした.いず
.また,板の
ない直接法との
正方形板(総
えるため,図
由度番号を表
解析では,図
0525M (内訳
におけるペナ
ドが対角線上
形状が形成さ
最適密度変動場
るまで繰り返す
立して行い,④
速度場解析と密
域全体に渡って
design.
そのうちの 2
ずれも材料定数
の捩りの例題を
の比較を行っ
要素数は 640
図 5 (a) に示す
表し,1~3 は
図 5 (b) に示す
訳は形状最適
ルティパラメ
上に形成され,
され,不静定構
場の算出,④
すことで最適
④のプロセス
密度場解析に
て一定値を用
2 つは基本的
数はヤング率
を用い,形状
った.
00)について
すように 3 つ
x から z の並
すように周辺
適化に対して
メータは 3p
主として稜
構造のため剛
④
適
ス
に
用
的
率
状
て
つ
並
辺
て
稜
剛
9
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
x
性の高い凸と
赤色が材料領
と体積の収束
材料レイアウ
できる.また
軽量化が共に
Fig. 5 Boun
which
the ve
Fig. 6 Optim
distrib
and v
5・1・1
本研究で提
った.解析条
化を行う手法
に形状最適化
最適化結果と
四隅周辺の盛
段階の形状最
たすために初
図 8 にトポロ
z
y x
Q
と凹の稜線部
領域( 1 ),
束履歴を示す
ウトは,ビー
た,体積制約
に実現されて
ndary conditions
h an upward fo
elocity and den
mization result
bution. Red reg
volume normali
2 段階最適化
提案する同時
条件は同時最
法と,まずト
化後にトポロ
と同様に対角
盛り上り具合
最適化により
初期より 47.5
ロジー最適化
(a) Stiffn
(a) Optim
部分に材料が集
,青色が穴(
す.ここで,繰
ード形状に沿っ
約を満たしなが
ていることがわ
s of square plat
orce is applied
nsity analyses, in
ts of square p
gion indicates t
ized to the initia
化手法の比較
時最適化手法と
最適化と同様と
ポロジー最適
ジー最適化を
角線上に X 型
合とそれに伴う
コンプライア
5%減少し,最
化後に形状最適
fness analysis
mized structure
S
SPC=1
集まり骨組ラ
( 0 01. )を
繰り返し計算
って決定して
がらコンプラ
わかる.
te problem und
at one corner a
n which all edg
plate with the
the solid and blu
al value.
と 2 段階最適
とし,2 段階
適化を行い,
を行った場合
型ビード形状が
う材料分布が
アンスは約 95
終的なコンプ
適化を行った
e
SPC=3
23
イクなトポロ
を表している.
算途中における
おり,形状の
イアンスは安
der torsion. (a)
and the other co
ges are simply
simultaneous
lue region indic
化手法につい
最適化では,
収束後に形状
の最適化結果
が形成された
異なっている
5%減少し,第
プライアンス減
場合の最適化
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
Rat
io
ロジーが得られ
図 6 (b) に初
る結果からわか
の変更に伴い
安定して収束
shows the bou
orners are supp
supported.
optimization m
cates the void. (
いて,得られた
まず形状最適
状最適化を行
果を示す.最適
が,中央部の
ることがわか
第 2 段階のトポ
減少は約 88%
化結果を示す.
0 30
Iteration
れていること
初期値で正規
かるように,
トポロジーが
し(約 94%減
undary conditio
ported. (b) show
method. (a) sh
(b) shows the it
た最適化構造
適化を行い,
う手法の 2 種
適化構造は図
の盛り上りは同
る.図 7 (b) に
ポロジー最適
%の減少に留ま
.最初のトポ
(b) Velocity a
(b) Iteration
0 60No. of iterat
n 30
Iteratio
とがわかる.な
規化したコンプ
トポロジー最
が得られている
減少),構造の
n for the stiffn
ws the boundar
ows the shape
teration history
造及び収束履歴
収束後にトポ
種類について行
図 7(a)に示すよ
同時最適化と
に収束履歴を
適化により体積
まる結果とな
ポロジー最適化
analysis
history
SPC=
0 90
◆Compli
■Volume
tions
on 60
なお,図中の
プライアンス
最適化による
ることが確認
の高剛性化と
ess analysis, in
ry condition for
e and material
y of compliance
歴の比較を行
ポロジー最適
行った.図 7
ように,同時
と比べて低く,
を示すが,第 1
積は制約を満
なった.また,
化では捩り荷
=123
120
iance
e
Iteration 120
の
ス
認
n
r
l
e
行
適
7
時
1
満
荷
0
10
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
重のために外
的には他の計
り,これら 2
Fig. 7 Optim
then
corn
is wo
Fig. 8 Optim
and th
and v
5・1・2
同時最適化
った.直接法
れた密度勾配
た構造は,拘
ーボード問題
を招き,H1勾
外境界に沿う
計算条件と同
2 段階最適化
mization results
n topology opti
ners. (b) shows
orse than that w
mization results
hen shape optim
volumes normal
H1勾配法の
化に用いた両
法では正規化
配関数の値を
拘束点付近で
題が現れてい
勾配法に基づ
(a) Optim
(a) Optim
ような荷重経
同体積条件下で
化手法より同時
s of square plat
mization. (a) s
the iteration hi
with the simulta
s of square plat
mization. (a) sh
lized to the initi
有効性
両 H1勾配法の
化された形状勾
を用いて密度を
で形状の滑らか
いることが確認
づく本手法はそ
mized structure
mized structure
経路が得られ
でコンプライ
時最適化で得
te with the two
shows the shap
stories of comp
aneous optimiza
te with the two
hows the shape
ial value.
有効性を検証
勾配関数の値
を更新した.
かさを失い,
認される.こ
その問題を解
e
e
(50%の体積
アンスは初期
られた構造の
o-step optimizat
pe and material
pliances and vo
ation method.
o-step optimiza
and material d
証するために,
値を用いて節点
図 9 に直接法
波打ち問題が
れにより直接
解決する手法で
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
Rai
to
Raito of com
pliance
0
1
2
3
4
5
6
0
積制約で,コン
期形状から約
の方が高剛性で
tion method wh
l distribution, w
olumes normaliz
ation method w
distribution. (b)
,図 5 と同様
点座標を直接法
法により得られ
が生じている
接法は形状の非
であることが
0 50
Iteration 50
50
Iteration
ンプライアン
68%減少する
であることが
hich carried ou
which has com
zed to the initia
which carried ou
shows the itera
様の解析条件下
法線方向に変
れた結果を示
ことがわかる
非平滑性とト
確認された.
(b) Iteration
(b) Iteration
100No. of iter
0
Iteration 100
No. of iter100 1
ComComVoluVolu
50
Iteration 100
スは初期の 2
る結果が得られ
がわかる.
ut shape optimiz
mplicated distrib
al value. The fin
ut topology op
ation histories o
下で,直接法と
変動させ,同時
示す.直接法に
る.密度分布に
トポロジーの数
history
n history
150 20
ComplianComplianVolume(sVolume(t
ations
ations 150 200
mpliance(topologmpliance(shape)me(topology)ume(shape)
Iteration
2.5 倍),最終
れた.以上よ
zation first and
bution near the
nal compliance
ptimization first
of compliances
との比較を行
時に正規化さ
により得られ
にはチェッカ
数値不安定性
00 250
nce(shape)nce(topology)shape)opology)
Iteration 250
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
250
gy))
n 250
Raito of volum
e
終
d
e
e
t
s
行
れ
カ
性
Raito
ofvolume
11
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
Fig. 9 O
s
5・2 曲げ
次に,5・
適化解析を行
けるペナルテ
中央荷重点と
構造は初期形
Fig. 10 Boun
the fo
and d
Fig. 11 Opti
compliance an
iteration 300.
S
z
y x
z
y x
Obtained shape a
shape problems
げ荷重を受け
1 節と同じ正
行った.体積
ティパラメー
と拘束点を直
形状や手法の
ndary condition
force is applied
density analyses
imization resul
nd volume. Th
(a) Stiffn
(a) Optim
SPC=123
and material di
s are occurred.
ける正方形板問
正方形板につい
積制約値は形状
ータは 3p と
直線的に繋ぐ狙
の異なる Ansol
ns of square pl
at the center a
s, in which all e
lts of square pl
he compliance i
fness analysis
mized structure
SP
Q
stribution with
問題
いて,図 10
状最適化では初
した.図 11 (a
狙いとする立
laら(Ansola
ate under bend
and the all corn
edges are simp
late. (a) shows
is converged ar
e
PC=123
the direct meth
で示されるよ
初期形状の 1
a) に示すよう
立体トラスライ
a et al., 2002a)
ding. (a) shows
ners are simply
ply supported.
s the shape and
round iteration
z
Rat
io
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
hod. Numerical
ように曲げ荷重
.05,トポロジ
うに,得られた
イクな妥当な構
)や Hassani
the boundary c
y supported. (b)
d material distr
n 50, and the cl
y
0 50
Iteration 5
instabilities, or
重を与えて形
ジー最適化で
た構造は膜力
構造になって
ら(Hassani e
condition for th
) shows the bo
ribution (b) sh
lear material di
(b) Velocity a
(b) Iteration
100 15
0 Iteration
No. of
r the checkerbo
形状とトポロジ
は 0.5 とし,
力での荷重伝達
ていることが分
et al., 2013)の
he stiffness ana
undary conditi
ows the iterati
istribution is ob
analysis
n history
SPC=
50 200
◆Com
■Vol
n 150
iterations
oard and zigzag
ジーの同時最
SIMP 法にお
達となるよう
分かる.この
の同時最適化
alysis, in which
ion for velocity
ion histories of
btained around
=123
250 300
mpliance
lume
Iteration 300
g
最
お
の
h
y
f
d
12
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
結果と類似し
ンプライアン
ため,50 回
Fig. 12 Bou
mom
and
Fig. 13 Obta
fract
Sz
y x
z
x
しており,こ
ンスは安定し
辺りで収束し
undary conditio
ments are appl
density analyse
ained results of
tion, (b) and (c)
(a) Stiffn
(
(
SPC=123456
y
このことからも
して約 99%減少
しているが,明
ons of link par
lied at the two
es, in which on
f link part mod
) are for 50% a
fness analysis
(a) 70%
(c) 30%
M
z
y
も得られた構
少しているこ
明瞭な材料分
rt model. (a) s
o joints and th
ly joints are cla
del for different
and 30 %, respe
M
y
造の妥当性が
とがわかる.
分布(トポロジ
shows the bou
he rest joint is
amped.
t volume const
ectively. (d) sho
が裏付けられる
コンプライア
ジー)を得る
undary conditio
clamped. (b)
traints TM in top
ows comparison
(d)
る.収束履歴
アンスは形状
ため,300 回
on for the stiff
shows the bou
pology optimiz
n of compliance
(b) Velocity a
(b) 50%
Comparison of
歴を図 11 (b) に
状最適化の効果
回まで計算を継
ness analysis,
undary conditio
zation. (a) is fo
es.
analysis
%
f compliances
SPC=123456
に示すが,コ
果が支配的な
継続した.
in which two
on for velocity
or 70% volume
な
o
y
e
13
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
5・3 リンク構造部品への適用
提案手法を図 12 のようなやや複雑な設計領域を有する3つのジョイント部をもつリンク構造部品モデルに適
用した.図 12 (a) に示すように,剛性解析ではL型の両端部に捩りモーメントを作用させ,残りのジョイント部
を完全固定した.速度場と密度場解析では図 12 (b) のように,3 つのジョイント部を完全固定した.本例題では
体積制約値を変えながら,結果の比較も行った.体積制約は形状最適化では初期形状の 100%に固定し,トポロ
ジー最適化では (a)70%, (b)50%, (c)30%とした.ペナルティパラメータの値は 3p とした.図 13 に得られた結果
を示す.図 13 (a), (b), (c)はそれぞれ制約値 70%, 50%, 30%での最適構造を示す.得られた構造はいずれも捩り荷
重に効率的に抵抗するため,捩りモーメントを受ける両端部周辺は円筒断面になり,曲げ荷重も作用する中央部
付近は角筒に近い断面形状になっている.体積制約値に従って固定支持部付近の膨らみ方が異なっていることも
わかる.体積制約値に応じて異なる材料分布(トポロジー)が得られ,体積制約の小さい図 13(b)や(c)では捩りモ
ーメントを受ける両端部周辺は 45°方向に部材(トポロジー)が形成されており,得られた結果は力学的に妥当
であるといえる.図 13 (d) は初期形状で規準化したコンプライアンスと,単位体積あたりのコンプライアンスの
比較を示す.言及するまでもなく体積制約値が大きい程コンプライアンスは小さく,3 ケースとも初期形状より
高剛性である.コンプライアンスを体積当たりに換算した場合,70%の場合が最も比剛性が高く,50%と 30%は
ほぼ同じ値であることがわかる.
6. 結 言
本研究ではシェル構造体を対象に,軽量化のためのトポロジー最適化と高剛性化のための形状最適化を組み合
わせた新たな形状とトポロジーの同時最適化手法の開発を,体積制約付きのコンプライアンス最小化問題を用い
て行った.形状最適化にはシェル用H1勾配法を用い,トポロジー最適化にはSIMP法を用い,両者を密度変動と形
状変動を設計変数とする拡張設計空間の中で,分布系の最適化問題として統一的に定式化し,感度関数を導出し
た.これをシェルの形状最適化用のH1勾配法と今回開発したシェルのトポロジー最適化用のH1勾配法に適用し,
解探索も統一的に行うことを特徴とする手法である.H1勾配法において,形状最適化では最適設計速度場を擬似
シェル弾性解析によって得られる変位場として求め,トポロジー最適化では密度変動場を擬似熱伝導解析によっ
て得られる温度場として求めた.形状最適化により設計領域を高剛性化しながら,その中の無駄な領域を取り除
く,もしくは荷重伝達経路を求める領域変動を伴うトポロジー最適化手法ともいえる.設計変数の滑らかさを保
持しながら,数値不安定性,すなわち形状最適化における波打ち問題とトポロジー最適化にけるチェッカーボー
ド,グレースケール問題も同時に解決する特徴も有する.
開発した手法を 3 つの設計例題に適用した結果,狙いとする設計変数の滑らかさと数値安定性を有した形状と
トポロジーの同時最適化(軽量化と高剛性化の両立)が達成され,その有効性が確認された.また,従来用いら
れていた2段階最適化手法との比較や直接法との比較も行い,提示手法の効果を示した.
文 献
Ansola, R., Canales, J., Tarrago, J.A. and Rasmussen, J., An integrated approach for shape and topology optimization of shell
structures, Computers and Structures, Vol. 80 (2002a), pp. 449-458.
Ansola, R., Canales, J., Tarrago, J.A. and Rasmussen, J., On simultaneous shape and material layout optimization of shell
structures, Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 24 (2002b), pp. 175-184.
畔上秀幸, 領域最適化問題の一解法,日本機械学会論文集A編, Vol. 60, No. 574 (1994), pp. 1479-1486.
Azegami, H., Kaizu, S. and Takeuchi, K., Regular solution to topology optimization problems of continua, Japan Society for
Industrial and Applied Mathematics, Vol. 3 (2011), pp. 1-4.
Bendsøe, M. P. and Sigmund, O., Material interpolation schems in topology optimization, Archive of Applied Mechanics, Vol.
69, Issue 9-10 (1999), pp. 635-654.
Chaves, L. P. and Cunha, J., Design of carbon fiber reinforcement of concrete slabs using topology optimization,
14
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
Construction and Building Materials, Vol. 73, Issue 30 (2014), pp. 688-698.
Cheng, G. and Olhoff, N., Regularized formulation for optimal design of axisymmetric plates, International Journal of Solids
and Structures, Vol. 18, Issue 2 (1982), pp. 153–169.
Christiansen, A. N., Bærentzen, J. A., Nobel-Jørgensen, M., Aage, N. and Sigmund, O., Combined shape and topology
optimization of 3D structures, Computers & Graphics, Vol. 46 (2015), pp. 25-35.
Choi, K.K. and Kim, N. H., Structural Sensitivity Analysis and Optimization 1 (2005), Springer.
Ghabraie, K., Xhi, Y. M., Huang, X. and Ren, G., Shape and reinforcement optimization of underground tunnels, Journal of
Computational Science and Technology, Vol. 4, No. 1 (2010), pp.51-63.
Hassani, B., Tavakkoli, M.S. and Ghasemnejad, H., Simultaneous shape and topology optimization of shell structures,
Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 48, Issue 1 (2013), pp. 221-233.
堀尾仁志,小木曽望,乙守正樹,山田崇恭,西脇眞二,面外変形を考慮した薄板構造の剛性最大化を目的とした
レベルセット法に基づくトポロジー最適設計,日本機械学会論文集, Vol. 80, No. 811 (2014), DOI:
10.1299/transjsme.2014dsm0054.
井原久,下田昌利,畔上秀幸,桜井俊明,位相最適化と形状最適化の統合による多目的構造物の形状設計(均質
化法と力法によるアプローチ),日本機械学会論文集A編,Vol. 62, No. 596 (1996), pp. 201-207.
Liu, Y. and Shimoda, M., Non-parametric shape optimization method for natural vibration design of stiffened shells,
Computers and Structures, Vol. 146 (2015), pp. 20-31.
Luo, J., Luo, Z., Chen, L., Tong, L. and Wang, M. Y., A semi-implicit level set method for structural shape and topology
optimization, Journal of Computational Physics, Vol. 227, Issue 11 (2008), pp. 5561-5581.
Maute, K. and Ramm, E., Adaptive topology optimization of shell structures, AIAA Journal, Vol. 35, No. 11 (1997), pp.
1767-1773.
Park, S. K. and Youn, S. K., Topology optimization of shell structures using adaptive inner-front (AIF) level set method.
Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 36, No. 1 (2008), pp. 43-58.
Ramm, E., Bletzinger, K. U. and Reitinger, R., Shape optimization of shell structures, Journal of the International Association
for Shell and Spatial Structures, Vol. 34, No. 2 (1993), pp. 103-121.
Rao, V. and Hinton, E., Analysis and optimization of prismatic plate and shell structures with curved planform – II. shape
optimization, Computers & Structures, Vol. 52, No. 2 (1994), pp. 341-351.
坂本裕一郎,盆子原康博,近藤孝広,SA/GA ハイブリッド最適化手法を用いた2 次元骨組構造物の位相・形状
同時多目的最適化,日本機械学会論文集C 編, Vol. 77, No. 781 (2011), pp. 251-265.
Schwarz, S., Maute, K. and Ramm, E., Topology and shape optimization for elastoplastic structural response, Computer
Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 190, Issue 15-17 (2001), pp. 2135-2155.
Suzuki, K. and Kikuchi, N., Generalized layout optimization of three-dimensional shell structures, Proceedings of the
Conference on Design Theory, Philadelphia, SIAM (1991), pp. 1-28.
下田昌利,板・シェル構造体の自由境界の形状設計のための最適化手法,日本機械学会論文集A編,Vol. 77, No. 782 (2011),
pp. 1571-1582.
下田昌利,シェル構造体のフリーフォルム最適化手法,日本機械学会論文集A編, Vol.79, No.797 (2013), pp.60-73.
田川浩,大崎純, 一様部材断面積を有する平面トラスのトポロジー・節点位置同時最適化,日本建築学会構造系
論文集,Vol. 64, No. 521 (1999), pp. 73-80.
髙橋昌也,等方的なシェル構造の補剛模様の開発,日本機械学会論文集A 編, Vol.77, No.781(2011), pp. 1410-1416.
15
Wang, J., Chang, S., Liu, G., Liu, L. and Wu, L., Optimal rib layout design for noise reduction based on topology
optimization and acoustic contribution analysis, Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 56, Issue 5 (2017),
pp. 1093-1108.
Xia, Q., Wang, M. Y. and Shi, T., A method for shape and topology optimization of truss-like structure, Structural and
Multidisciplinary Optimization, Vol. 47, Issue 5 (2013), pp. 687-697.
山崎光悦,小林篤司,薄板のスティフナ形態の最大剛性設計法,日本機械学会論文集A編,Vol. 54, No. 501 (1988),
pp. 1165-1171.
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
References
Ansola, R., Canales, J., Tarrago, J.A. and Rasmussen, J., An integrated approach for shape and topology optimization of shell
structures, Computers and Structures, Vol. 80 (2002a), pp. 449-458.
Ansola, R., Canales, J., Tarrago, J.A. and Rasmussen, J., On simultaneous shape and material layout optimization of shell
structures, Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 24 (2002b), pp. 175-184.
Azegami, H., Solution to domain optimization problems, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series
A, Vol. 60, No. 574 (1994), pp. 1479-1486 (in Japanese).
Azegami, H., Kaizu, S. and Takeuchi, K., Regular solution to topology optimization problems of continua, Japan Society for
Industrial and Applied Mathematics, Vol. 3 (2011), pp. 1-4.
Bendsøe, M. P. and Sigmund, O., Material interpolation schems in topology optimization, Archive of Applied Mechanics, Vol.
69, Issue 9-10 (1999), pp. 635-654.
Chaves, L. P. and Cunha, J., Design of carbon fiber reinforcement of concrete slabs using topology optimization,
Construction and Building Materials, Vol. 73, Issue 30 (2014), pp. 688-698.
Cheng, G. and Olhoff, N., Regularized formulation for optimal design of axisymmetric plates, International Journal of Solids
and Structures, Vol. 18, Issue 2 (1982), pp. 153–169.
Christiansen, A. N., Bærentzen, J. A., Nobel-Jørgensen, M., Aage, N. and Sigmund, O., Combined shape and topology
optimization of 3D structures, Computers & Graphics, Vol. 46 (2015), pp. 25-35.
Choi, K.K. and Kim, N. H., Structural Sensitivity Analysis and Optimization 1 (2005), Springer.
Ghabraie, K., Xhi, Y. M., Huang, X. and Ren, G., Shape and reinforcement optimization of underground tunnels, Journal of
Computational Science and Technology, Vol. 4, No. 1 (2010), pp.51-63.
Hassani, B., Tavakkoli, M.S. and Ghasemnejad, H., Simultaneous shape and topology optimization of shell structures,
Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 48, Issue 1 (2013), pp. 221-233.
Horio, H., Kogiso, N., Otomori, M., Yamada, T. and Nishiwaki, S., Level set-based topology optimization of thin plate
structure for maximizing stiffness under out-of-plane deformation, Transactions of the JSME, (in Japanese), Vol. 80, No.
811 (2014), DOI: 10.1299/transjsme.2014dsm0054.
Ihara, H., Shimoda, M., Azegami, H. and Sakurai, T., Shape design by integrating shape optimization with topology
optimization for multiobjective structures (an approach using homogenization method and traction method),
Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Series A, Vol. 62, No. 596 (1996), pp. 201-207.
Liu, Y. and Shimoda, M., Non-parametric shape optimization method for natural vibration design of stiffened shells,
Computers and Structures, Vol. 146 (2015), pp. 20-31.
Luo, J., Luo, Z., Chen, L., Tong, L. and Wang, M. Y., A semi-implicit level set method for structural shape and topology
optimization, Journal of Computational Physics, Vol. 227, Issue 11 (2008), pp. 5561-5581.
Maute, K. and Ramm, E., Adaptive topology optimization of shell structures, AIAA Journal, Vol. 35, No. 11 (1997), pp.
1767-1773.
Park, S. K. and Youn, S. K., Topology optimization of shell structures using adaptive inner-front (AIF) level set method.
Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 36, No. 1 (2008), pp. 43-58.
Ramm, E., Bletzinger, K. U. and Reitinger, R., Shape optimization of shell structures, Journal of the International Association
for Shell and Spatial Structures, Vol. 34, No. 2 (1993), pp. 103-121.
Rao, V. and Hinton, E., Analysis and optimization of prismatic plate and shell structures with curved planform – II. shape
optimization, Computers & Structures, Vol. 52, No. 2 (1994), pp. 341-351.
Sakamoto, Y, Bonkobara, Y. and Kondou, T., Simultaneous optimization of the topology and geometry of a two-dimensional
framed structure using an SA/GA hybrid optimization method, Transactions of the Japan Society of Mechanical
Engineers, Series C, Vol. 77, No. 781 (2011),pp. 251-265 (in Japanese).
Schwarz, S., Maute, K. and Ramm, E., Topology and shape optimization for elastoplastic structural response, Computer
16
Nakayama and Shimoda, Transactions of the JSME (in Japanese), Vol.84, No.858 (2018)
© 2018 The Japan Society of Mechanical Engineers[DOI: 10.1299/transjsme.17-00484]
Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 190, Issue 15-17 (2001), pp. 2135-2155.
Suzuki, K. and Kikuchi, N., Generalized layout optimization of three-dimensional shell structures, Proceedings of the
Conference on Design Theory, Philadelphia, SIAM (1991), pp. 1-28.
Shimoda, M., Numerical optimization method for designing free-boundary shape of plate and shell structures, Transactions of
the Japan Society of Mechanical Engineers, Series A, Vol. 77, No. 782 (2011), pp. 1571-1582 (in Japanese).
Shimoda, M., Free-form optimization method for shell structures, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers,
Series A, Vol. 79, No. 797 (2013), pp. 60-73 (in Japanese).
Tagawa, H. and Ohsaki, M., Simultaneous optimization of topology and geometry of plane trusses with uniform
cross-sectional area, Journal of Structural and Construction Engineering (Transactions of AIJ), Vol. 64, No. 521 (1999),
pp. 73-80 (in Japanese).
Takahashi, M., Development of isotropic patterned shell structures with high stiffness, Transactions of the Japan Society of
Mechanical Engineers, Series A, Vol. 77, No. 781 (2011), pp. 1410-1416 (in Japanese).
17
Wang, J., Chang, S., Liu, G., Liu, L. and Wu, L., Optimal rib layout design for noise reduction based on topology
optimization and acoustic contribution analysis, Structural and Multidisciplinary Optimization, Vol. 56, Issue 5 (2017),
pp. 1093-1108.
Xia, Q., Wang, M. Y. and Shi, T., A method for shape and topology optimization of truss-like structure, Structural and
Multidisciplinary Optimization, Vol. 47, Issue 5 (2013), pp. 687-697.
Yamazaki, K. and Kobayashi, A., Optimum compliance design of stiffner layout of thin plate, Transactions of the Japan
Society of Mechanical Engineers, Series A, Vol. 54, No. 501 (1988), pp. 1165-1171 (in Japanese).