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ACELERAÇÃO DE CORIOLIS
ricardosoncim@yahoo.com.br
'vx2aXXT
!
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Introdução
� A Aceleração de Coriolis é inercial esurge apenas em referenciais quegiram em torno de outro referencial
inercial
� Recebe esse nome em homenagem
ao engenheiro e matemáticofrancês Gaspard-Gustave de Coriolis(1792-1843)
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� Influencia as massas de ar,desvia a trajetória deprojéteis de longo alcance eprovoca mudanças no planode oscilação de um pêndulo(pêndulo de Foucault)
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Introdução
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Demonstração
O referencial OXYZ é fixoe o referencial OXYZ
gira com velocidadeangular constante
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Demonstração
O vetor posição de uma partícula em relação ao referencial OXYZ vale:
k z jyixr T
Eq 1
A velocidade da partícula em relação a O vale:
k dt
dz j
dt
dyi
dt
dx
dt
r dv
TT
Eq 2
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Demonstração
O vetor posição da partícula em relação ao referencial OXYZ vale:
k'z' j'y'i'x'r T
Eq 3
A velocidade da partícula em relação a O vale:
k 'dt
dz' j'
dt
dy'i'
dt
dx'
t
r 'v !
x
x!
TT
Eq 4
Atenção!!!A notação não está sendo utilizada como derivadaparcial e sim para ressaltar que a derivada foi tomada emrelação ao referencial girante.
tx
x
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Demonstração
Derivando novamente a Eq 3, agora em relção ao referencial OXYZ:
dt
dk'z'
dt
dj'y'
dt
di'x'k'
dt
dz' j'
dt
dy'i'
dt
dx'
dt
r d
T
Eq 5
Observe que os três primeiros termos corresponde a e lembre-se deque:
Eq 6
'vT
k 'xdt
dk ' j'x
dt
dj'i'x
dt
di' TTT!!!
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Demonstração
Eq 7
Eq 8
Portanto os três últimos termos da Eq 5 se tornam:
di' dj' dk'x ' y' z' x '. x i' y'. x j' z'. x k' x r
dt dt dt
r r r r r
Substituindo as Eq 4 e Eq 7 na Eq 5, vem:
r x'vvXTXX
!
Ou seja, a velocidade da partícula em relação a O é igual a velocidadedela em relação a O somada a velocidade de um ponto que tem amesma posição da partícula e gira com O.
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Demonstração
Eq 9
Eq 10
Derivando a Eq 8 em relação ao tempo e em relação ao referencial OXYZ:
Podemos obter derivando a Eq 4 em relação ao referencial OXYZ:
dt
r dx
dt
dv'
dt
vda
XT
XT
!!
dt
dv'
dt
dk '
dt
dz'
dt
d j'
dt
dy'
dt
di'
dt
dx'k '
dt
z'd j'
dt
y'di'
dt
x'd
dt
'vd
2
2
2
2
2
2
���
T
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Demonstração
Eq 11
Observe que os três primeiros termos corresponde a acelerção dapartícula em relação a OXYZ, pois derivando a Eq 4 em relação a essereferencial, temos:
k'dt
z'd j'dt
y'di'dt
x'd
t
'v' 2
2
2
2
2
2
x
xT
Xa
Por um processo análogo ao utilizado na Eq 7 podemos mostrar que ostrês últimos termos da Eq 10 se tornam:
'vxdt
dk '
dt
dz'
dt
dj'
dt
dy'
dt
di'
dt
dx' XX!��� Eq 12
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Demonstração
Eq 13
Substituindo as Eq 11 e Eq 12 na Eq 10, obtemos:
Para obtermos utilizamos a Eq 8:
Eq 14
'vx'adt
'vd XTTT
!
dt
r dx
XT
r xx'vxr x'vxTTXTTXT
!
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Demonstração
Eq 15
Substituindo as Eq 13 e Eq 14 na Eq 9, obtemos:
'vx.2r xx'XTTTTT
! aa
Ou seja, a aceleração da partícula em relação ao refrencial OXYZ é igual aaceleração dela em relação a OXYZ somada com a aceleração de umponto P que tem mesma posição da partícula e gira com OXYZ esomada com a aceleração de Coriolis.
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ExemplosUm homem parte do centro e se locomove na direção radial em umcarrossel que gira com velocidade angular constante. O homem possuiaceleração escalar constante A em relação ao carrossel. Determine avelocidade e a aceleração do homem em relação à um referencial fixo naTerra. Sabendo que o raio do carrossel vale R e a massa do homem vale
m, determine a força lateral sofrida pelo homem.
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ExemplosUm bloco B se move ao longo de um sulco existente na plataforma comvelocidade constante v em relação a ela e na direção mostrada na figura.A plataforma gira com velocidade angular constante . Determine avelocidade e a aceleração do bloco no instante mostrado.
Dados:v = 2 m/s = 60O
h = 2 mr = 3 m = 5 rad/sV = (-v wh)i + (whcotg@)ja =(-w²hcotg@ - 2wv)i + (w²h)j
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Para o LarUm homem parte do centro e se locomove na direção radial em umcarrossel que gira que parte do repouso e gira com aceleração angularconstante. O homem possui aceleração escalar constante A em relaçãoao carrossel. Determine a velocidade e a aceleração do homem emrelação à um referencial fixo na Terra em função do tempo.
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Para o LarO guindaste mostrado na figura gira com velocidade angular constante de 0,30 rad/s. Ao mesmo tempo, seu braço está sendo levantado comuma velocidade angular de 0,50 rad/s em relação á cabine. Sabendo-se que o comprimento do braço OP é L = 10 m, determinar a velocidadee a aceleração da extremidade P do braço.
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Movimento Relativo à Terra
a a ' x x r 2. x v '! r r r r r v
Considere um ponto A sobre a superfície da Terra. Considere um referencialOXYZ que gira junto com a Terra. Estamos interessados em determinar a
aceleração da gravidade medida por um observador que gira junto com aTerra sendo que conhecemos a aceleração da gravidade medida por umobservador desprovido de rotação.Ou seja, conhecemos e queremos encontrarPortanto, podemos escrever:
ar
a 'r
0g ' g x x r 2. x v '! r r r r r v
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Movimento Relativo à Terra
Estudaremos, primeiramente, o caso de um corpo em repouso em relação àsuperfície da Terra, portanto o termo de Coriolis desaparece, restandoapenas o termo da aceleração contrífuga.
0g ' g x x r !
r r r r
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Movimento Relativo à Terra
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Movimento Relativo à Terra(ITA 2010) Considere a Terra como uma esfera homogênea de raio R que giracom velocidade angular uniforme em torno do seu próprio eixo Norte-Sul. Nahipótese de ausência de rotação da Terra, sabe-se que a aceleração dagravidade seria dada por g = GM/R2. Como , um corpo em repouso nasuperfície da Terra na realidade fica sujeito forçosamente a um peso
aparente, que pode ser medido, por exemplo, por um dinamômetro, cujadireção pode não passar pelo centro do planeta. Então, o peso aparente deum corpo de massa m em repouso na superfície da Terra a uma latitude édado por:
[ P2mg ± m R cos
[ P2 2
mg ± m R sen
« »[ [ P¬ ¼½
22 2 2mg 1 ± 2 R g R g sen
22 2 2mg 1 2 R g ± R g cos« »
[ [ P¬ ¼½
« »[ [ P¬ ¼½
22 2 2mg 1 ± 2 R g ± R g sena)
b)c)
d)
e)
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Movimento Relativo à TerraA componente da aceleração centrífuga ao longo da direção NS tende, nohemisfério norte, a deslocar levemente os corpos ao longo da direção radialAB para o sul, e para o norte no hemisfério sul.
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Movimento Relativo à TerraVamos considerar o termo de Coriolis para o caso de um corpo que cai comvelocidade .v'
v
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Movimento Relativo à TerraVamos considerar o termo de Coriolis para o caso de um corpo que semovimenta na horizontal com velocidade .v'
v
Obsreve que o desvio provocado pela
aceleração de Coriolis em relação aosentido do deslocamento é paradireita no hemisfério norte e paraesquerda no hemisfério sul
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Movimento Relativo à TerraUma das conseqüências desse efeito é o sentido do rodopio dos furacões
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Movimento Relativo à TerraOutra conseqüência é a mudança do plano de oscilação de um pêndulo(Pêndulo de Foucault)