Aceleração de Coriolis

5/6/2018 Acelera o de Coriolis - slidepdf.com

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ACELERAÇÃO DE CORIOLIS

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'vx2aXXT

!



Introdução

� A Aceleração de Coriolis é inercial esurge apenas em referenciais quegiram em torno de outro referencial

inercial

� Recebe esse nome em homenagem

ao engenheiro e matemáticofrancês Gaspard-Gustave de Coriolis(1792-1843)

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� Influencia as massas de ar,desvia a trajetória deprojéteis de longo alcance eprovoca mudanças no planode oscilação de um pêndulo(pêndulo de Foucault)

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Introdução



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Demonstração

O referencial OXYZ é fixoe o referencial OXYZ

gira com velocidadeangular constante



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Demonstração

O vetor posição de uma partícula em relação ao referencial OXYZ vale:

k z jyixr T

Eq 1

A velocidade da partícula em relação a O vale:

k dt

dz j

dt

dyi

dt

dx

dt

r dv

TT

Eq 2



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Demonstração

O vetor posição da partícula em relação ao referencial OXYZ vale:

k'z' j'y'i'x'r T

Eq 3

A velocidade da partícula em relação a O vale:

k 'dt

dz' j'

dt

dy'i'

dt

dx'

t

r 'v !

x

x!

TT

Eq 4

Atenção!!!A notação não está sendo utilizada como derivadaparcial e sim para ressaltar que a derivada foi tomada emrelação ao referencial girante.

tx

x



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Demonstração

Derivando novamente a Eq 3, agora em relção ao referencial OXYZ:

dt

dk'z'

dt

dj'y'

dt

di'x'k'

dt

dz' j'

dt

dy'i'

dt

dx'

dt

r d

T

Eq 5

Observe que os três primeiros termos corresponde a e lembre-se deque:

Eq 6

'vT

k 'xdt

dk ' j'x

dt

dj'i'x

dt

di' TTT!!!



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Demonstração

Eq 7

Eq 8

Portanto os três últimos termos da Eq 5 se tornam:

di' dj' dk'x ' y' z' x '. x i' y'. x j' z'. x k' x r

dt dt dt

r r r r r

Substituindo as Eq 4 e Eq 7 na Eq 5, vem:

r x'vvXTXX

!

Ou seja, a velocidade da partícula em relação a O é igual a velocidadedela em relação a O somada a velocidade de um ponto que tem amesma posição da partícula e gira com O.



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Demonstração

Eq 9

Eq 10

Derivando a Eq 8 em relação ao tempo e em relação ao referencial OXYZ:

Podemos obter derivando a Eq 4 em relação ao referencial OXYZ:

dt

r dx

dt

dv'

dt

vda

XT

XT

!!

dt

dv'

dt

dk '

dt

dz'

dt

d j'

dt

dy'

dt

di'

dt

dx'k '

dt

z'd j'

dt

y'di'

dt

x'd

dt

'vd

2

2

2

2

2

2

��

T



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Demonstração

Eq 11

Observe que os três primeiros termos corresponde a acelerção dapartícula em relação a OXYZ, pois derivando a Eq 4 em relação a essereferencial, temos:

k'dt

z'd j'dt

y'di'dt

x'd

t

'v' 2

2

2

2

2

2

x

xT

Xa

Por um processo análogo ao utilizado na Eq 7 podemos mostrar que ostrês últimos termos da Eq 10 se tornam:

'vxdt

dk '

dt

dz'

dt

dj'

dt

dy'

dt

di'

dt

dx' XX!�� Eq 12



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Demonstração

Eq 13

Substituindo as Eq 11 e Eq 12 na Eq 10, obtemos:

Para obtermos utilizamos a Eq 8:

Eq 14

'vx'adt

'vd XTTT

!

dt

r dx

XT

r xx'vxr x'vxTTXTTXT

!



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Demonstração

Eq 15

Substituindo as Eq 13 e Eq 14 na Eq 9, obtemos:

'vx.2r xx'XTTTTT

! aa

Ou seja, a aceleração da partícula em relação ao refrencial OXYZ é igual aaceleração dela em relação a OXYZ somada com a aceleração de umponto P que tem mesma posição da partícula e gira com OXYZ esomada com a aceleração de Coriolis.



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ExemplosUm homem parte do centro e se locomove na direção radial em umcarrossel que gira com velocidade angular constante. O homem possuiaceleração escalar constante A em relação ao carrossel. Determine avelocidade e a aceleração do homem em relação à um referencial fixo naTerra. Sabendo que o raio do carrossel vale R e a massa do homem vale

m, determine a força lateral sofrida pelo homem.



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ExemplosUm bloco B se move ao longo de um sulco existente na plataforma comvelocidade constante v em relação a ela e na direção mostrada na figura.A plataforma gira com velocidade angular constante . Determine avelocidade e a aceleração do bloco no instante mostrado.

Dados:v = 2 m/s = 60O

h = 2 mr = 3 m = 5 rad/sV = (-v wh)i + (whcotg@)ja =(-w²hcotg@ - 2wv)i + (w²h)j



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Para o LarUm homem parte do centro e se locomove na direção radial em umcarrossel que gira que parte do repouso e gira com aceleração angularconstante. O homem possui aceleração escalar constante A em relaçãoao carrossel. Determine a velocidade e a aceleração do homem emrelação à um referencial fixo na Terra em função do tempo.



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Para o LarO guindaste mostrado na figura gira com velocidade angular constante de 0,30 rad/s. Ao mesmo tempo, seu braço está sendo levantado comuma velocidade angular de 0,50 rad/s em relação á cabine. Sabendo-se que o comprimento do braço OP é L = 10 m, determinar a velocidadee a aceleração da extremidade P do braço.



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Movimento Relativo à Terra

a a ' x x r 2. x v '! r r r r r v

Considere um ponto A sobre a superfície da Terra. Considere um referencialOXYZ que gira junto com a Terra. Estamos interessados em determinar a

aceleração da gravidade medida por um observador que gira junto com aTerra sendo que conhecemos a aceleração da gravidade medida por umobservador desprovido de rotação.Ou seja, conhecemos e queremos encontrarPortanto, podemos escrever:

ar

a 'r

0g ' g x x r 2. x v '! r r r r r v



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Estudaremos, primeiramente, o caso de um corpo em repouso em relação àsuperfície da Terra, portanto o termo de Coriolis desaparece, restandoapenas o termo da aceleração contrífuga.

0g ' g x x r !

r r r r



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Movimento Relativo à Terra(ITA 2010) Considere a Terra como uma esfera homogênea de raio R que giracom velocidade angular uniforme em torno do seu próprio eixo Norte-Sul. Nahipótese de ausência de rotação da Terra, sabe-se que a aceleração dagravidade seria dada por g = GM/R2. Como , um corpo em repouso nasuperfície da Terra na realidade fica sujeito forçosamente a um peso

aparente, que pode ser medido, por exemplo, por um dinamômetro, cujadireção pode não passar pelo centro do planeta. Então, o peso aparente deum corpo de massa m em repouso na superfície da Terra a uma latitude édado por:

[ P2mg ± m R cos

[ P2 2

mg ± m R sen

« »[ [ P¬ ¼½

22 2 2mg 1 ± 2 R g R g sen

22 2 2mg 1 2 R g ± R g cos« »

[ [ P¬ ¼½

« »[ [ P¬ ¼½

22 2 2mg 1 ± 2 R g ± R g sena)

b)c)

d)

e)



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Movimento Relativo à TerraA componente da aceleração centrífuga ao longo da direção NS tende, nohemisfério norte, a deslocar levemente os corpos ao longo da direção radialAB para o sul, e para o norte no hemisfério sul.



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Movimento Relativo à TerraVamos considerar o termo de Coriolis para o caso de um corpo que cai comvelocidade .v'

v



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Movimento Relativo à TerraVamos considerar o termo de Coriolis para o caso de um corpo que semovimenta na horizontal com velocidade .v'

v

Obsreve que o desvio provocado pela

aceleração de Coriolis em relação aosentido do deslocamento é paradireita no hemisfério norte e paraesquerda no hemisfério sul



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Movimento Relativo à TerraUma das conseqüências desse efeito é o sentido do rodopio dos furacões



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Movimento Relativo à TerraOutra conseqüência é a mudança do plano de oscilação de um pêndulo(Pêndulo de Foucault)

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