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© Worboys and Duckham (2004)
GIS: A Computing Perspective, Second Edition, CRC Press
Traducido y Ajustado por Diego F. Pajarito Grajales
Chapter 3
Fundamentos de
Conceptos Espaciales
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Gatrell (1991): Una relación definida en
un conjunto de objetos
Freksa, 1991 Citado por Nunes (1991):
Contenedor o marco en donde las cosas
existe
Espacio Geográfico: Espacio referido a
escalas geográficas. La vista atómica es una
colección de objetos (entidades) Geográficos
referenciadas a una parte de la tierra dentro de
un proceso geográfico
Espacio
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Geometría: Provee una representación
formal de las propiedades abstractas y
estructuras dentro de un espacio.
Invariance: grupo de transformaciones
del espacio en el que las siguientes
condiciones se mantienen.
Distancias, translaciones y rotaciones
Ángulos y Paralelismo translaciones y
rotaciones, Escalado.
Geometría y Constancia
3.1
Espacio Euclidiano
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Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Espacio Euclidiano
Espacio Euclidiano: Modelo del espacio
definido por coordenadas que permite la
medición de distancias y errores entre puntos
de acuerdo a unas fórmulas definidas.
Transforma las propiedades espaciales en tuplas de
propiedades de los números reales
El marco de coordenadas consiste en un punto fijo
distinguido (origen) y un par de lineas ortogonales
(ejes) que se intersecan en el origen
Objetos puntuales
Objetos lineales
Objetos Poligonales
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Escalar: Suma, resta y
multiplicación, por ejemplo, (x1, y1) − (x2, y2) =
(x1 − x2, y1 − y2)
Norma:
Distancia: ja bj = jja-bjjÁngulo entre vectores:
Un punto en el plano cartesiano R2 está asociado con un
par único de números reales a = (x,y) que representan
distancias medidas desde cada uno de los ejes X y Y. En
algunos casos es conveniente unirlo a un vector
Puntos
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Líneas
La línea incidente con a y b está definida como el conjunto de datos {a + (1 − )b | 2 R}
El segmento de línea entre a y b está definida como el conjunto de datos {a + (1 − )b | 2 [0, 1]}
La línea media radiante desde b que pasa por a está definida como el conjunto de datos {a + (1 − )b | ¸ 0}
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Objetos Poligonales
Una polilínea en R2 es un conjunto finito de líneas (llamadas
arcos) en donde cada extremo de la línea es compartida por
exactamente dos arcos, excepto dos puntos que son llamados
los extremos de la polilínea.
Si ningún arco se interseca en ningún punto excepto con sus
puntos finales, entonces la polilínea es simple.
Una polilínea es cerrada si no tiene puntos extremos.
Un polígono (simple) en R2 es el área encerrada por una
polilínea cerrada simple. Esta polilínea forma el límite del
polígono. Cada punto final de un arco de la polilínea es llamada
un vértice del polígono.
Un polígono convexo tiene cada punto intervisible.
Un polígono de estrella o semiconvexo tiene al menos un punto
que es intervisible.
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Objetos Poligonales
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Objetos Poligonales
Cadena monótona: es aquella en la que puede
existir una línea en el espacio euclidiano en
donde la proyección de todos los vértices
preservan el mismo orden de los puntos de la
cadena.
Polígono monótono: si el límite puede ser
dividido en dos polilíneas, en las donde cada
una de las cadenas formadas es una cadena
monótona.
Triangulación: particionamiento del polígono
en triángulos que se intersecan solo en sus
límites mutuos.
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Polígonos
monotone polyline
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Transformaciones (en el espacio euclidiano)
Las transformaciones preservan propiedades particulares de los objetos contenidos
Transformación euclidiana
Transformaciones de similaridad
Transformaciones Afines
Transformaciones de proyección
Transformaciones topológicas
Algunas fórmulas
Translación: con constantes reales a y b
• (x,y) ! (x+a,y+b)
Rotación: con un ángulo cerca del origen
• (x,y) ! (x cos - y sin, x sin + y cos)
Reflexión: en una línea que pasa por el origen con un ángulo de respecto del eje x
• (x,y)! (x cos2 + y sin2, x sin2 - y cos2)
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3.2
Conjuntos basados en
geometría del espacio
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conjuntos
El modelo basado en conjuntos involucra:
Los objetos a ser modelados son llamados elementos
o miembros.
La colección de elementos es llamado conjunto.
La relación entre los elementos y los conjuntos a los
que pertenecen es denominada membrecía.
• Escribimos s 2 S para indicar que un elemento s es un
miembro del conjunto S
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conjuntos
Un gran número de herramientas de
modelamiento son construidas:
Igualdad
Subconjunto: S 2 T
Conjunto potencia: un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto, P(S)
Conjunto Vacío; ;Cardinalidad: el número de miembros en un conjunto #S
Intersección: S Å T
Unión: S [ T
Diferencia: S\T
Complemento: elementos que no están en un conjunto, S’
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conjuntos Particulares
Nombre Símbolo Descripción
Booleanos B Conjunto de dos valores de
verdadero/falso, 1/0, ó on/off
Enteros Z Números positivos y negativos
incluido el cero
Reales R Medida en la recta numérica
Plano Real R2 Parejas Ordenadas de reales
Intervalo
Cerrado
[a,b] Todos los reales entre a y b ( incluido
a y b)
Intervalo
Abierto
]a,b[ Todos los reales entre a y b (excluido
a y b)
Intervalo Semiabierto
[a,b[ Todos los reales entre a y b
(incluyendo a y excluyendo b)
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Relaciones
Producto: retorna el conjunto de parejas ordenadas donde el primer elemento es un miembro del primer conjunto y el
segundo elemento es un miembro del segundo conjunto.
Binaria: un subconjunto del producto de dos conjuntos, en donde las parejas ordenadas muestran la relación entre los miembros del primer conjunto con los miembros del segundo
conjunto.
Reflexivas: Donde cada elememnto de un conjunto está relacionado con el mismo
Simétricas: si x esta relacionado con y entonces y está relacionado con x
Transitivas: si x esta relacionado con y y y esta relacionado con z entonces x esta relacionado con z
Equivalentes: una relación binaria que es reflexiva, simétrica y transitiva
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Funciones
Función: un tipo de relación que tiene la
propiedad de que cada miembro del primer
conjunto se relaciona exactamente con un
miembro del segundo conjunto
f: S ! T
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Convexidad
Un conjunto es convexo si cada punto es
visible desde cualquier otro punto del conjunto
Sea S un conjunto de puntos en el espacio
euclidiano
Visible:
El punto x enS es visible desde el punto y en S si:
• x=y o,
• Es posible dibujar un segmento de línea recta entre x y y
que esté compuesto solo de puntos de S
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Convexidad
Punto de observación:
El punto x en S es un punto de observación en S si
cada punto en S es visible desde x
Semi-convexo:
El conjunto S es semi-convexo (forma de estrella si S
es una región poligonal) si hay algún punto de
observación para S
Convexo:
El conjunto S es convexo si cada punto de S es un
punto de observación para S
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Convexidad
Visibilidad entre puntos x, y, y
z
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3.3
Topología del espacio
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología
Topología: “estudio de la forma”; trata de las propiedades
que no varían bajo transformaciones topológicas
Intuitivamente, las transformaciones topológicas son
tranformaciones de la hoja Flexible “De Goma”
Topológica Un punto es el fín de una línea
El punto esta en el límite de un área
El punto esta dentro/fuera del área
Un arco es simple
Un área es cerrada/abierta/simple
Un área esta conectada
No topológica Distancia entre puntos
Corrimiento entre dos puntos
Longitud de un arco
Perímetro de un área
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología de conjuntos de puntos
Una forma de definir un espacio topológico es
con la idea de vecindario
Sea S un conjunto de puntos. Un espacio
topológico es una colección de subconjuntos
de S, llamados vecindarios, esto satisface las
dos siguientes condiciones:
T1 cada punto en S está en algún vecindario.
T2 la intersección de cualquier dos vecindarios de un
punto x en S contiene un vecindario de x
Los puntos en el plano cartesiano son discos
abiertos (círculos que rodean el punto) que
forman una topología
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología de conjuntos de puntos
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología Común
Topología Común: naturalmente viene a la
mente con el plano euclidiano y corresponde a
la topología de la hoja flexible de “Goma”
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología de tiempos de viaje
Sea S un conjunto de puntos de una región en
el plano
Suponga:
La región contiene una red de transporte y
Conocemos el tiempo promedio de viaje entre dos
puntos cualquiera en la región usando la red,
siguiendo la ruta óptima
Asumiendo que el relación del tiempo de viaje es
simétrica
Para cada tiempo t mayor a cero, se define una t-zona al
rededor de un unto x que es el conjunto de puntos
alcanzables desde x en t
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología de tiempos de viaje
Sean los vecindarios
las t-zonas al rededor
de un punto
T1 y T2 son satisfechas
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Cercanía
Sea S un espacio topológico
Entonces S tiene un conjunto de vecinos asociados con el. sea
C un subconjunto de puntos en S y c un punto individual en S
Se define a c como vecino de C si cada vecino de c contiene
algún punto de C
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conjuntos abiertos y cerrados
Sea S un espacio topológico y X un subconjunto de puntos de S.
X es abierto si cada punto de X puede ser rodeado por un vecino que está completamente contenido por X
• El conjunto no contiene su límite
X es cerrado si este contiene todos sus puntos cercanos
• El conjuinto contiene su límite
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Cierre, Límite, interior
Sea S un espacio topológico y X un subconjunto de puntos de S
El límite de X son todos los puntos que están cerca de X y
X0. el límite del conjunto X se denota X
El cierre de X es la unión
de X con el conjunto de
sus puntos cercanos
denotado X−
El interior de X son todos
los puntos que pertenecen
a X y no son vecinos de X0
denotado X°
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Topología y espacio contenido
2-space 1-space
Espacio Euclidiano
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del Espacio
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espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Constantes topológicas
Las propiedades que se
preservan luego de
transformaciones
topológicas son
llamadas
Constantes
Topológicas
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conectividad
Sea S un espacio topológico y X un
subconjunto de puntos de S
X esta conectado si este ha sido partido en
dos subconjuntos disyuntos no vacios, A y B,
Ya sea que A contenga un punto cercano a B, o B
contenga un punto cercano a A, o ambos
Un conjunto en el espacio topológico es
conectado por rutas si cualquier dos puntos
en el conjunto pueden ser unidos por una ruta
que esté contenida en el conjunto
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conectividad
Un conjunto X en el plano euclidiano con la
topología común es débilmente conectado si
es posible transformar X en un conjunto
desconectado removiendo un número finito de
puntos
Un conjunto X en el espacio euclidiano con la
topología común fuertemente conectado si no
es débilmente conectado
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Conectividad
disconnected
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Simpleza y complejidad
0-simple: es un conjunto que consiste en un
simple punto en el plano euclidiano
1-simple: es un segmento de línea recto y finito
2-simplex: es un conjunto de los puntos en el
límite e interior de un triangulo en el que sus
vértices no son colineales
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Simpleza y complejidad
Complejo simple: estructura de red triangular
simple simple en el plano euclidiano (dos
dimensiones)
Una cara de un simple S es un simple donde
los vértices conforman un subconjunto de
vértices de S
Un complejo simple C es un conjunto finito de
simples que satisfacen las propiedades:
11 Una cara del simple en C está tambien en C
22 La intersección de dos simples en C es o vacía o
está en C
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Simpleza y complejidad
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
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Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Problem with combinatorial topology
La conectividad detallada del objeto no es explicita. Ya
que no hay representación explícita de conectividad debil,
fuerte o simple.
La representación no es creíble, en el sentido que dos
diferentes configuraciones topológicas pueden tener la
misma representación
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Mapa de combinatorias
Se asume que el límite de un arreglo celular es
descompuesto en simples arcos y nodos de una
red
Dada una dirección para cada arco el paso a lo
largo del objeto limitado por el arco es el
derecho del arco direccionado
Provee una regla para el orden de los
siguientes arcos :
Después de seguir de un arco a un nodo, moviéndose
en sentido anti horario a lo largo del nodo y tomando
del primer arco no visitado encontrado
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Combinatorial map
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3.4
Espacios de Red
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Grafos abstractos
Un grafo G es definido como un conjunto no
vacio y finito de nodos junto con un conjunto de
pares desordenados de notos distintos
(llamados arcos)
Altamente abstracto
Representan la conectividad entre elementos del
espacio
Grafo Dirigido
Grafo Etiquetado
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Grafos abstractos
•Grafo Conectado
•Arcos
•Ruta
•Ciclo
•Nodo
•Grado
•Isomórfico
•Dirigido/ no dirigido
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Arbol
•Grafo Conectado
•Acíclico
•No Isomórfico
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Árbol y Raíz
•Raíz
•Decendientes Inmediatos
•Hoja
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Grafos Planos
Grafo plano: un grafo que puede ser contenido
en el plano de forma tal que conserva su
estructura
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Grafos Planos
Existen muchos ajustes inequivalentes
topológicamente de un grafo plano en el plano
Formula de Euler: f− e + v =1
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Traducido y Ajustado por Diego F. Pajarito Grajales
Grafo Dual G*
Se obtiene de la asociación de un nodo en G*
con cada cara en G
Dos nodos G* están conectados por un arco si y
solo si sus caras correspondientes caras en G
son adyacentes
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GIS: A Computing Perspective, Second Edition, CRC Press
3.5
Espacios métricos
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Traducido y Ajustado por Diego F. Pajarito Grajales
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Definición
Un conjunto de puntos S es un espacio
métrico si existe una función de distancia d,
que tiene parejas ordenadas (s,t) de elementos
de S y retorna una distancia que satisface las
siguientes condiciones
11 Para cada par s, t en S, d(s,t) >0 si s y t son puntos
distintos y d(s,t) =0 si s y t son idénticos
22 Para cada par s,t en S, la distancia desde s a t es
igual a la distancia desde t a s, d(s,t) = d(t,s)
3 Para cada tripla s,t,u en S, entonces la soma de las
distancias desde s a t y de t a u es siempre al menos
la distancia s de u
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Distancias definidas en el globo
Espacio
métrico
Espacio
métrico
Espacio
Métrico
Casimétrico
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3.6
Fractal geometry
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Fractal geometry
Scale dependence: appearance and
characteristics of many geographic and natural
phenomena depend on the scale at which they
are observed
Straight lines and smooth curves of Euclidean
geometry are not well suited to modeling self-
similarity and scale dependence
Fractals: self-similar across all scales
Defined recursively, rather than by describing their
shape directly
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Koch snowflake
Espacio Euclidiano
Topología
del Espacio
Redes
Conjuntos
Basados en
Geometría del
espacio
Espacios
Métricos
Geometría
de Fractales
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Fractal dimensions
Self-affine fractals: constructed using affine
transformations within the generator, so
rotations, reflections, and shears can be used in
addition to scaling
Fractal dimension: an indicator of shape
complexity;
Lies somewhere between the Euclidean dimensions of
the shape and its embedding space
A shape with a high fractal dimension is complex
enough to nearly fill its embedding space (space
filling)