3+Fundamentos+de+Conceptos+Espaciales

© Worboys and Duckham (2004)

GIS: A Computing Perspective, Second Edition, CRC Press

Traducido y Ajustado por Diego F. Pajarito Grajales

Chapter 3

Fundamentos de

Conceptos Espaciales

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales

© Worboys and Duckham (2004) GIS: A Computing Perspective, Second Edition, CRC Press


Gatrell (1991): Una relación definida en

un conjunto de objetos

Freksa, 1991 Citado por Nunes (1991):

Contenedor o marco en donde las cosas

existe

Espacio Geográfico: Espacio referido a

escalas geográficas. La vista atómica es una

colección de objetos (entidades) Geográficos

referenciadas a una parte de la tierra dentro de

un proceso geográfico

Espacio

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Geometría: Provee una representación

formal de las propiedades abstractas y

estructuras dentro de un espacio.

Invariance: grupo de transformaciones

del espacio en el que las siguientes

condiciones se mantienen.

Distancias, translaciones y rotaciones

Ángulos y Paralelismo translaciones y

rotaciones, Escalado.

Geometría y Constancia

3.1

Espacio Euclidiano




Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Espacio Euclidiano

Espacio Euclidiano: Modelo del espacio

definido por coordenadas que permite la

medición de distancias y errores entre puntos

de acuerdo a unas fórmulas definidas.

Transforma las propiedades espaciales en tuplas de

propiedades de los números reales

El marco de coordenadas consiste en un punto fijo

distinguido (origen) y un par de lineas ortogonales

(ejes) que se intersecan en el origen

Objetos puntuales

Objetos lineales

Objetos Poligonales

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Escalar: Suma, resta y

multiplicación, por ejemplo, (x1, y1) − (x2, y2) =

(x1 − x2, y1 − y2)

Norma:

Distancia: ja bj = jja-bjjÁngulo entre vectores:

Un punto en el plano cartesiano R2 está asociado con un

par único de números reales a = (x,y) que representan

distancias medidas desde cada uno de los ejes X y Y. En

algunos casos es conveniente unirlo a un vector

Puntos

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Líneas

La línea incidente con a y b está definida como el conjunto de datos {a + (1 − )b | 2 R}

El segmento de línea entre a y b está definida como el conjunto de datos {a + (1 − )b | 2 [0, 1]}

La línea media radiante desde b que pasa por a está definida como el conjunto de datos {a + (1 − )b | ¸ 0}

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Objetos Poligonales

Una polilínea en R2 es un conjunto finito de líneas (llamadas

arcos) en donde cada extremo de la línea es compartida por

exactamente dos arcos, excepto dos puntos que son llamados

los extremos de la polilínea.

Si ningún arco se interseca en ningún punto excepto con sus

puntos finales, entonces la polilínea es simple.

Una polilínea es cerrada si no tiene puntos extremos.

Un polígono (simple) en R2 es el área encerrada por una

polilínea cerrada simple. Esta polilínea forma el límite del

polígono. Cada punto final de un arco de la polilínea es llamada

un vértice del polígono.

Un polígono convexo tiene cada punto intervisible.

Un polígono de estrella o semiconvexo tiene al menos un punto

que es intervisible.

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Objetos Poligonales

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Objetos Poligonales

Cadena monótona: es aquella en la que puede

existir una línea en el espacio euclidiano en

donde la proyección de todos los vértices

preservan el mismo orden de los puntos de la

cadena.

Polígono monótono: si el límite puede ser

dividido en dos polilíneas, en las donde cada

una de las cadenas formadas es una cadena

monótona.

Triangulación: particionamiento del polígono

en triángulos que se intersecan solo en sus

límites mutuos.

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Polígonos

monotone polyline

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Transformaciones (en el espacio euclidiano)

Las transformaciones preservan propiedades particulares de los objetos contenidos

Transformación euclidiana

Transformaciones de similaridad

Transformaciones Afines

Transformaciones de proyección

Transformaciones topológicas

Algunas fórmulas

Translación: con constantes reales a y b

• (x,y) ! (x+a,y+b)

Rotación: con un ángulo cerca del origen

• (x,y) ! (x cos - y sin, x sin + y cos)

Reflexión: en una línea que pasa por el origen con un ángulo de respecto del eje x

• (x,y)! (x cos2 + y sin2, x sin2 - y cos2)




3.2

Conjuntos basados en

geometría del espacio

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Conjuntos

El modelo basado en conjuntos involucra:

Los objetos a ser modelados son llamados elementos

o miembros.

La colección de elementos es llamado conjunto.

La relación entre los elementos y los conjuntos a los

que pertenecen es denominada membrecía.

• Escribimos s 2 S para indicar que un elemento s es un

miembro del conjunto S

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Conjuntos

Un gran número de herramientas de

modelamiento son construidas:

Igualdad

Subconjunto: S 2 T

Conjunto potencia: un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto, P(S)

Conjunto Vacío; ;Cardinalidad: el número de miembros en un conjunto #S

Intersección: S Å T

Unión: S [ T

Diferencia: S\T

Complemento: elementos que no están en un conjunto, S’

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales


Conjuntos Particulares

Nombre Símbolo Descripción

Booleanos B Conjunto de dos valores de

verdadero/falso, 1/0, ó on/off

Enteros Z Números positivos y negativos

incluido el cero

Reales R Medida en la recta numérica

Plano Real R2 Parejas Ordenadas de reales

Intervalo

Cerrado

[a,b] Todos los reales entre a y b ( incluido

a y b)

Intervalo

Abierto

]a,b[ Todos los reales entre a y b (excluido

a y b)

Intervalo Semiabierto

[a,b[ Todos los reales entre a y b

(incluyendo a y excluyendo b)

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Relaciones

Producto: retorna el conjunto de parejas ordenadas donde el primer elemento es un miembro del primer conjunto y el

segundo elemento es un miembro del segundo conjunto.

Binaria: un subconjunto del producto de dos conjuntos, en donde las parejas ordenadas muestran la relación entre los miembros del primer conjunto con los miembros del segundo

conjunto.

Reflexivas: Donde cada elememnto de un conjunto está relacionado con el mismo

Simétricas: si x esta relacionado con y entonces y está relacionado con x

Transitivas: si x esta relacionado con y y y esta relacionado con z entonces x esta relacionado con z

Equivalentes: una relación binaria que es reflexiva, simétrica y transitiva

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Funciones

Función: un tipo de relación que tiene la

propiedad de que cada miembro del primer

conjunto se relaciona exactamente con un

miembro del segundo conjunto

f: S ! T

Espacio Euclidiano

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del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Convexidad

Un conjunto es convexo si cada punto es

visible desde cualquier otro punto del conjunto

Sea S un conjunto de puntos en el espacio

euclidiano

Visible:

El punto x enS es visible desde el punto y en S si:

• x=y o,

• Es posible dibujar un segmento de línea recta entre x y y

que esté compuesto solo de puntos de S

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Convexidad

Punto de observación:

El punto x en S es un punto de observación en S si

cada punto en S es visible desde x

Semi-convexo:

El conjunto S es semi-convexo (forma de estrella si S

es una región poligonal) si hay algún punto de

observación para S

Convexo:

El conjunto S es convexo si cada punto de S es un

punto de observación para S

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Convexidad

Visibilidad entre puntos x, y, y

z




3.3

Topología del espacio

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales


Topología

Topología: “estudio de la forma”; trata de las propiedades

que no varían bajo transformaciones topológicas

Intuitivamente, las transformaciones topológicas son

tranformaciones de la hoja Flexible “De Goma”

Topológica Un punto es el fín de una línea

El punto esta en el límite de un área

El punto esta dentro/fuera del área

Un arco es simple

Un área es cerrada/abierta/simple

Un área esta conectada

No topológica Distancia entre puntos

Corrimiento entre dos puntos

Longitud de un arco

Perímetro de un área

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Topología de conjuntos de puntos

Una forma de definir un espacio topológico es

con la idea de vecindario

Sea S un conjunto de puntos. Un espacio

topológico es una colección de subconjuntos

de S, llamados vecindarios, esto satisface las

dos siguientes condiciones:

T1 cada punto en S está en algún vecindario.

T2 la intersección de cualquier dos vecindarios de un

punto x en S contiene un vecindario de x

Los puntos en el plano cartesiano son discos

abiertos (círculos que rodean el punto) que

forman una topología

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

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Métricos

Geometría

de Fractales



Topología de conjuntos de puntos

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Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Topología Común

Topología Común: naturalmente viene a la

mente con el plano euclidiano y corresponde a

la topología de la hoja flexible de “Goma”

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

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Métricos

Geometría

de Fractales



Topología de tiempos de viaje

Sea S un conjunto de puntos de una región en

el plano

Suponga:

La región contiene una red de transporte y

Conocemos el tiempo promedio de viaje entre dos

puntos cualquiera en la región usando la red,

siguiendo la ruta óptima

Asumiendo que el relación del tiempo de viaje es

simétrica

Para cada tiempo t mayor a cero, se define una t-zona al

rededor de un unto x que es el conjunto de puntos

alcanzables desde x en t

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

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Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Topología de tiempos de viaje

Sean los vecindarios

las t-zonas al rededor

de un punto

T1 y T2 son satisfechas

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Cercanía

Sea S un espacio topológico

Entonces S tiene un conjunto de vecinos asociados con el. sea

C un subconjunto de puntos en S y c un punto individual en S

Se define a c como vecino de C si cada vecino de c contiene

algún punto de C

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Geometría del

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Métricos

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Conjuntos abiertos y cerrados

Sea S un espacio topológico y X un subconjunto de puntos de S.

X es abierto si cada punto de X puede ser rodeado por un vecino que está completamente contenido por X

• El conjunto no contiene su límite

X es cerrado si este contiene todos sus puntos cercanos

• El conjuinto contiene su límite

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Basados en

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espacio

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Métricos

Geometría

de Fractales



Cierre, Límite, interior

Sea S un espacio topológico y X un subconjunto de puntos de S

El límite de X son todos los puntos que están cerca de X y

X0. el límite del conjunto X se denota X

El cierre de X es la unión

de X con el conjunto de

sus puntos cercanos

denotado X−

El interior de X son todos

los puntos que pertenecen

a X y no son vecinos de X0

denotado X°

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del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Topología y espacio contenido

2-space 1-space

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Constantes topológicas

Las propiedades que se

preservan luego de

transformaciones

topológicas son

llamadas

Constantes

Topológicas

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Conectividad

Sea S un espacio topológico y X un

subconjunto de puntos de S

X esta conectado si este ha sido partido en

dos subconjuntos disyuntos no vacios, A y B,

Ya sea que A contenga un punto cercano a B, o B

contenga un punto cercano a A, o ambos

Un conjunto en el espacio topológico es

conectado por rutas si cualquier dos puntos

en el conjunto pueden ser unidos por una ruta

que esté contenida en el conjunto

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Topología

del Espacio

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Conectividad

Un conjunto X en el plano euclidiano con la

topología común es débilmente conectado si

es posible transformar X en un conjunto

desconectado removiendo un número finito de

puntos

Un conjunto X en el espacio euclidiano con la

topología común fuertemente conectado si no

es débilmente conectado

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Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Conectividad

disconnected

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Geometría del

espacio

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Métricos

Geometría

de Fractales



Simpleza y complejidad

0-simple: es un conjunto que consiste en un

simple punto en el plano euclidiano

1-simple: es un segmento de línea recto y finito

2-simplex: es un conjunto de los puntos en el

límite e interior de un triangulo en el que sus

vértices no son colineales

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espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Complejo simple: estructura de red triangular

simple simple en el plano euclidiano (dos

dimensiones)

Una cara de un simple S es un simple donde

los vértices conforman un subconjunto de

vértices de S

Un complejo simple C es un conjunto finito de

simples que satisfacen las propiedades:

11 Una cara del simple en C está tambien en C

22 La intersección de dos simples en C es o vacía o

está en C

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espacio

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Métricos

Geometría

de Fractales




Espacio Euclidiano

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del Espacio

Redes

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Problem with combinatorial topology

La conectividad detallada del objeto no es explicita. Ya

que no hay representación explícita de conectividad debil,

fuerte o simple.

La representación no es creíble, en el sentido que dos

diferentes configuraciones topológicas pueden tener la

misma representación

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Mapa de combinatorias

Se asume que el límite de un arreglo celular es

descompuesto en simples arcos y nodos de una

red

Dada una dirección para cada arco el paso a lo

largo del objeto limitado por el arco es el

derecho del arco direccionado

Provee una regla para el orden de los

siguientes arcos :

Después de seguir de un arco a un nodo, moviéndose

en sentido anti horario a lo largo del nodo y tomando

del primer arco no visitado encontrado

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del Espacio

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Combinatorial map




3.4

Espacios de Red

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Grafos abstractos

Un grafo G es definido como un conjunto no

vacio y finito de nodos junto con un conjunto de

pares desordenados de notos distintos

(llamados arcos)

Altamente abstracto

Representan la conectividad entre elementos del

espacio

Grafo Dirigido

Grafo Etiquetado

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Grafos abstractos

•Grafo Conectado

•Arcos

•Ruta

•Ciclo

•Nodo

•Grado

•Isomórfico

•Dirigido/ no dirigido

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Geometría del

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Métricos

Geometría

de Fractales



Arbol

•Grafo Conectado

•Acíclico

•No Isomórfico

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Árbol y Raíz

•Raíz

•Decendientes Inmediatos

•Hoja

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Grafos Planos

Grafo plano: un grafo que puede ser contenido

en el plano de forma tal que conserva su

estructura

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del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Grafos Planos

Existen muchos ajustes inequivalentes

topológicamente de un grafo plano en el plano

Formula de Euler: f− e + v =1

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Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales



Grafo Dual G*

Se obtiene de la asociación de un nodo en G*

con cada cara en G

Dos nodos G* están conectados por un arco si y

solo si sus caras correspondientes caras en G

son adyacentes



3.5

Espacios métricos

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Definición

Un conjunto de puntos S es un espacio

métrico si existe una función de distancia d,

que tiene parejas ordenadas (s,t) de elementos

de S y retorna una distancia que satisface las

siguientes condiciones

11 Para cada par s, t en S, d(s,t) >0 si s y t son puntos

distintos y d(s,t) =0 si s y t son idénticos

22 Para cada par s,t en S, la distancia desde s a t es

igual a la distancia desde t a s, d(s,t) = d(t,s)

3 Para cada tripla s,t,u en S, entonces la soma de las

distancias desde s a t y de t a u es siempre al menos

la distancia s de u

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Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Distancias definidas en el globo

Espacio

métrico

Espacio

métrico

Espacio

Métrico

Casimétrico



3.6

Fractal geometry

Espacio Euclidiano

Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Fractal geometry

Scale dependence: appearance and

characteristics of many geographic and natural

phenomena depend on the scale at which they

are observed

Straight lines and smooth curves of Euclidean

geometry are not well suited to modeling self-

similarity and scale dependence

Fractals: self-similar across all scales

Defined recursively, rather than by describing their

shape directly

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Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Koch snowflake

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Topología

del Espacio

Redes

Conjuntos

Basados en

Geometría del

espacio

Espacios

Métricos

Geometría

de Fractales




Fractal dimensions

Self-affine fractals: constructed using affine

transformations within the generator, so

rotations, reflections, and shears can be used in

addition to scaling

Fractal dimension: an indicator of shape

complexity;

Lies somewhere between the Euclidean dimensions of

the shape and its embedding space

A shape with a high fractal dimension is complex

enough to nearly fill its embedding space (space

filling)

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