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UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERIACAMPUS COATZACOALCOS
MODELADO DE SISTEMAS LINEALES UTILIZANDOMATLAB
MONOGRAFA
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA
AUTOR:ULISES EDUARDO ZARCEO PINEDA
ASESOR:M.C. ALFREDO GONZALES FUENTEVILLA
Coatzacoalcos, Ver. 2010
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MODELADO DE SISTEMAS
LINEALES UTILIZANDO
MATLAB
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INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales, han sido y siguen siendo, la base para muchas
aplicaciones, como por ejemplo: el movimiento de un objeto, es decir su posicin,
velocidad y aceleracin, modelar la rapidez con la que se enfra un objeto, para
ayudar a entender porque falla un sistema fsico y para muchos ejemplos fsicos
mas, pues como siempre, las matemticas serian ms o menos por as decirlo, el
idioma de la naturaleza, debido a que si queremos poder predecir o describir un
evento ser necesario utilizar modelos con ecuaciones.
El poder representar fenmenos fsicos por medio de ecuaciones ha sido de
mucha utilidad, pero ah no se detiene el asunto, si no que sigue ms lejos hastapoder llegar a controlar el fenmeno y las variables que implican.
La representacin de los sistemas fsicos por medio de ecuaciones se llama
modelado de sistemaspero en ocasiones resulta complicado ver o manejar las
partes del procesos que se lleva, o bien resolver la ecuacin ya es un problema y
se recurre a la resolucin por medio de la Transformada de Laplace, en la cual
se llega a una Funcin de Transferenciaque es la comparacin de la salida con
respecto a la entrada, esto ltimo ser de gran utilidad para el uso de los
Diagramas de Bloque, que en si es la representacin en partes de una planta, en
la cual es ms fcil su anlisis, lo que se busca en este trabajo es la descripcin
de procesos o sistemas por medio del modelado con ecuaciones diferenciales,
transformada de Laplace y con la ayuda de un potente software computacional
llamado Matlabversin 2009.
Se ver cuatro tipos de sistemas, los cuales son los sistemas mecnicos,
elctricos, trmicos, fluidos, los cuales se describen por medio de ecuaciones
diferenciales, estos modelos los pueden encontrar en libros de fsica, solo que con
formulas algebraicas.
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El software ocupado en este trabajo es Matlab, debido a que es como un tipo de
calculadora muy bien equipada, adems de que posee integrado a la vez varias
aplicacin propias como son Guide y Simulink. Este ltimo se ocupara para
representar sistemas lineales como funcin de transferencia. El punto ms
importante de la aplicacin de Matlab, es que el estudiante y el ingeniero solo
deben dedicarse al anlisis nada mas, resolver un sistema de ecuaciones de 6x6 u
otro por as decirlo o una grafica, que encontrar las races de una ecuacin y
aspectos as, esta tarea se la dejamos al software, pues el resolverlo a la antigua,
requiere de tiempo y se est propenso a cometer errores. Ciertamente el
estudiante e ingeniero debe saber que hace el programa, es decir, los
conocimientos necesarios para poder trabajar con este. Matlab adems posee
extensas libreras, libreras y paquetes llamados toolboxes, entre ellosencontramos a Mupad, que es parte de matlab dedicado al clculo simblico,
tiene una interfaz amigable. En estas libreras viene gran variedad de ejemplos
que conforme van saliendo nuevas versiones. Este trabajo es un manual de teora
y ejercicios aplicando este software para la materia Control Clsico que se imparte
en la Universidad Veracruzana. En estas fechas, el manejo de un software para
anlisis se hace indispensable da con da. Como se haba mencionado este es un
material de apoyo para el estudiante de la Universidad Veracruzana para que suformacin sea ms completa.
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AGRADECIMIENTOS
A DIOS
Te agradezco Dios por permitirme haber concluido este trabajo, por estar da con da a
mi lado, ya que nosotros los seres humanos hacemos lo posible y tu lo imposible, ya que
el ser humano sin la ayuda de Dios..esnada.
A MIS PADRES
A mi madre Julia Pineda Saldaa por su tremendo esfuerzo que hizo y hace da con da
con mucha paciencia y amor, por haberme inculcado los principios a los cuales obedezco.
A mi padre Oscar Armando Zarceo por impresionante visin y consejos, simples
consejos que son de vital importancia para mi vida, te agradezco por esas palabras tan
simples y tan llenas de contenido.
A MIS HERMANOS
A mi hermano Hermes Michael, Yazmin Urania, Brisa Guadalupe y Luis Angel por
haberme brindado el cario, paciencia y compaa de todos estos aos, porque son parte
de mi, por los buenos momentos que hacen soportable los sufrimientos que un vive.
A MIS COMPAEROS Y AMIGOS
Les doy las gracias a mis amigos por haberme hecho reir, aunque casi yo no hablaba, a
los compaeros que hacen pasar buenos momentos inolvidables.
A TODOS MIS MAESTROS DE LA UNIVERSIDAD VERACRUZANA
Por simple hecho de ir a clases, pues aunque la mayora de los alumnos no tienen
intensiones de aprender, y solo unos cuantos llegan a entender, creo que aunque solo poruno, quiera aprender, vale la pena ir a ensear..gracias.
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A MI ASESOR
M.C. Alfredo Gonzales Fuentevilla por la oportunidad de haberme dado este tema de
monografa, que es tan interesante e importante, y por gran su paciencia.
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INDICE:
ANTECEDENTES------------------------------------------------------------------------------------9
PROBLEMTICA-----------------------------------------------------------------------------------11
OBJETIVOS------------------------------------------------------------------------------------------12GENERALES-------------------------------------------------------------------------------12
ESPECIFICOS------------------------------------------------------------------------------12
JUSTIFICACION------------------------------------------------------------------------------------13
HIPOTESIS-------------------------------------------------------------------------------------------14
METODOLOGIA------------------------------------------------------------------------------------15
IMPACTO AMBIENTAL--------------------------------------------------------------------------16
SOBRE EL SOFTWARE MATLAB 2009----------------------------------------------------17
SOBRE COREL DRAW X4----------------------------------------------------------------------19
CAPITULO 1.- SISTEMAS LINEALES-------------------------------------------------------20
1.1 Introduccin.---------------------------------------------------------------------------------21
1.2Definicin.------------------------------------------------------------------------------------22
1.3Sistemas mecnicos----------------------------------------------------------------------24
1.3.1 Movimiento libre no amortiguado-----------------------------------------------24
1.3.2Movimiento libre amortiguado---------------------------------------------------27
1.3.3Movimiento forzado con amortiguamiento-----------------------------------30
1.3.4 Estado estable y transitorio-----------------------------------------------------32
1.3.5 Resonancia pura-------------------------------------------------------------------33
1.4Sistema elctricos-------------------------------------------------------------------------35
1.5Sistemas trmicos-------------------------------------------------------------------------37
1.6 Sistema fludicos--------------------------------------------------------------------------42
CAPITULO 2.- MODELOS MATEMATICOS------------------------------------------------51
2.1 Introduccin--------------------------------------------------------------------------------52
2.2 Ecuaciones diferenciales---------------------------------------------------------------55
2.3 Transformada de Laplace y Antitransformada de Laplace--------------------57
2.4 Algebra de bloks--------------------------------------------------------------------------58
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2.5 Funcin de transferencia---------------------------------------------------------------67
2.6 Transformada Z.---------------------------------------------------------------------------69
2.7 Sistemas en lazo abierto y sistemas en lazo cerrado---------------------------70
CAPITULO 3.- ESTABILIDAD DE SISTEMAS--------------------------------------------74
3.1 Introduccin.-------------------------------------------------------------------------------75
3.2 Criterio de estabilidad de Routh------------------------------------------------------78
3.3 Lugar geomtrico de las races.------------------------------------------------------80
3.4 Respuesta en la frecuencia------------------------------------------------------------83
3.4.1 Seales de prueba tpicas--------------------------------------------------84
3.5 Controladores------------------------------------------------------------------------------86
3.5.1 Introduccin.--------------------------------------------------------------------863.5.2 Clasificacin de los controladores industriales.-----------------------87
CAPITULO 4. -MANUAL DE PRCTICAS--------------------------------------------------91
4.1 Aplicacin de la Transformada de Laplace---------------------------------------92
4.2 Resolviendo Ecuaciones Diferenciales en Matlab-----------------------------100
4.3 Desarrollo de fracciones parciales en Matlab-----------------------------------105
4.4 Transformada Inversa de Laplace-------------------------------------------------1104.5 Sistema Masa-Resorte----------------------------------------------------------------113
4.6 Reduccin de Diagramas de bloques---------------------------------------------125
4.7Anlisis de la Respuesta--------------------------------------------------------------129
4.8 Criterio de estabilidad de Routh-----------------------------------------------------136
4.9 Lugar geomtrico de las races.-----------------------------------------------------138
4.10 Diagrama de Bode--------------------------------------------------------------------140
4.11 Diagrama de Nyquits.----------------------------------------------------------------144
4.12 Sistema Masa-Resorte en Simulink----------------------------------------------147
4.13 Sistema Elctrico en Simulink.-----------------------------------------------------157
4.14Sistema Fludico en Simulink.------------------------------------------------------161
4.15 Ecuacin diferencial en simulink.-------------------------------------------------166
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES-----------------------------------------176
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BIBLIOGRAFIA------------------------------------------------------------------------------178
APENDICE Y ANEXO----------------------------------------------------------------------179
1. Fracciones parciales----------------------------------------------------------179
2. Uso bsico de Matlab---------------------------------------------------------180
RESEA AUTOBIOGRAFICA-----------------------------------------------------------182
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ANTECEDENTES
Desde mi punto de vista, la filosofa del ser humano, cuando le interesa un
proceso o un evento es buscar como se provoca, que variables influyen en el
proceso, como se controla (activar o desactivar), se opera tambin pensando
encuentra que lo provoca y encontraras como detenerlo , algo comn por
ejemplo: una reaccin de oxidacin o corrosin en metales, respondiendo a las
preguntas anteriores seria:
Como se provoca o que lo causa: El contacto de metales de mayor y menos
potencial electrodo, no necesariamente es el contacto de dos metales, pero la
causa es la transferencia de electrones, si, movimiento de electrones, por lo tanto
hay corriente elctrica en CD, pero en valores muy pequeos, pero eso causa la
oxidacin de los metales.
Que variables influyen: El potencial electrodo, el ambiente, etc.
Como se controla: Bueno, si se puede controlar, pero no detener, se puede
aprovechar a nuestro favor, las pilas son un ejemplo. Se controla aislando lo masque se pueda el material con pintura, recubrimiento u otro medio, pero no por
mucho tiempo durara esta proteccin, por eso los programas de mantenimiento a
estructuras y puentes que lleven partes metlicas.
La solucin sera entonces, controlar la transferencia de electrones, es decir,
reducirla por medio de un recubrimiento o bien aprovechando el potencial
electrodo, es decir el uso de nodos de proteccin, que en s, este se oxidara y
proteger a la pieza u objeto de inters.
Lo anterior ha sido posible gracias a la evolucin de la forma de resolver
problemas. De la observacin constante de los fenmenos y procesos, la medicin
de los procesos, debe recordarse que para poder medir, hay que comparar. Las
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tcnicas de observar, medir, describir han sido resultado del inters de un
proceso o fenmeno.
Hasta bien entrado el siglo XX las nicas herramientas analticas que posea el
especialista en control eran la utilizacin de ecuaciones diferenciales ordinarias
junto con criterios algebraicos para determinar la posicin de las races de la
ecuacin caracterstica asociada. Aplicando el criterio de Routh y Hurwitz el
ingeniero determinaba la estabilidad o no de los sistemas, pero para esto se deba
obtener el modelo matemtico operando mediante ecuaciones diferenciales. Esto
supona un arduo trabajo. Adems hay que destacar que el criterio de Routh y
Hurwitz no ofrece informacin de cmo mejorar la estabilidad del sistema.
Desde el punto de vista terico, la Ingeniera de Control se empieza a consolidar
cuando se produce el traslado y aplicacin de los conocimientos adquiridos en los
problemas de amplificacin de seales a los problemas de control industrial.
Estos estudios desembocan en la llamada Teora Clsica de Control, en la cual se
utilizaban como herramientas matemticas los mtodos de Transformacin de
Laplace y Fourier y la descripcin externa de los sistemas.
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PROBLEMTICA
La teora de control es fundamental para el estudiante de ingeniera en nivel
avanzado, pues las leyes de control rigen muchos procesos y saber cmo
funciona es necesario para poder estudiarlo. Ahora el anlisis de esta materia
resulta necesario la utilizacin de un software de computadora, es casi
indispensable manejar por lo menos uno de ellos, por suerte tenemos a Matlab, un
potente software de calculo que facilita en gran medida el aprendizaje, la
interaccin del ser humano con la computadora se hace ms frecuente da con
da.
Por lo tanto, tenemos la siguiente problemtica.
Es posible llegar a aprender la materia control clsico en menos tiempo, ya que
es una materia extensa, es decir agilizar el aprendizaje del estudiante en la
visualizacin de los conceptos necesarios para esta asignatura?
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OBJETIVOSOBJETIVO GENERAL
Ayudar al estudiante de la carrera ingeniera mecnica elctrica en el
aprendizaje de la materia control clsico por medio de la interaccin
con Matlab, debido a que el estudiante solo se debe dedicar al anlisis
y a la interpretacin de datos.
OBJETIVOS ESPECFICOS
Describir la teora bsica de ecuaciones diferenciales necesaria para
el estudio de control.
Describir la teora de los sistemas lineales.
Describir cuatro sistemas lineales para el anlisis con Matlab.
Describir el uso y tener una gua de los comandos necesarios para el
uso de Matlab en control clsico.
Describir los mtodos de anlisis y teora de sistemas de control
como son los polos y ceros, anlisis de la respuesta
Elaboracin de 15 ejercicios para el estudiante con la utilizacin de
Matlab, los ltimos 4 utiliza la interfaz de la aplicacin de Simulink.
Revisin del trabajo de experiencia recepcional.
Presentacin del examen profesional.
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JUSTIFICACION
La utilizacin de software para el anlisis de sistemas como Matlab, permite ver
mediante sus graficas la estabilidad del sistema. Ms que todo siempre nos ha
interesado cmo se comporta un sistema cuando se disea, ya sea mecnico,
elctrico, trmico o fluido. Nos hacemos preguntas como: funcionara?, no se
romper?, si funciona, cunto tiempo soportara las condiciones?. Por esa razn
las graficas que comnmente se hacen, se dan contra el tiempo, es decir, la
variable se mide a travs del tiempo; aunque claro, se pueden hacer mediciones
respecto a otras variables, pero la comn, y siempre importantes, sern las que se
grafiquen en funcin de tiempo.
En este trabajo se expone parte del contenido de la materia control clsico, pues
fue necesario, pero principalmente se presenta la utilizacin de Matlab para el
anlisis de los sistemas, ciertamente hay mucho material sobre este tema, pero la
idea es presentar de la forma ms fcil posible este anlisis de sistemas por medio
de este software, el tener una gua de estudio de este tipo es de mucha ayuda, a
que no tener nada, o estudiarlo por cuenta propia, pues se invierte tiempo, tiempo
que a veces no hay. Se hace nfasis en que el estudiante solo se dedique alanlisis.
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HIPOTESIS
El uso de Matlab obviamente no se limita solamente a control, si no a circuitos,
electrnica, y otros temas ms. Este trabajo es un material de apoyo para la
materia control clsico, pero se aclara que se hace nfasis en los sistemaslineales y continuos en el tiempo, ms adelante se describir el termino de la
linealidad de los sistemas. Las nuevas generaciones de estudiantes
increblemente estn ms familiarizadas con la tecnologa, as que quedarnos
atrs y no actualizarnos no conviene, jvenes de preparatoria y secundaria ya
manejan a la perfeccin la paquetera bsica de la computadora, y la gran mayora
de nosotros apenas y nos enteramos de que era Matlab. As de esta manera los
estudiantes de las generaciones que vienen tendrn este trabajo para su estudio.
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METODOLOGIA
Si buscamos esta definicin de metodologa nos dice que es:
Estudio de mtodos, aplicacin coherente de un mtodo. Lo cual nos lleva a
concluir que es un conjunto de operaciones ordenadas para lograr un objetivo oresultado.
Estableciendo los criterios en los que se basa este trabajo son:
Descripcin de los temas.
Analogas de los s istem as, por medio de explicaciones sencillas.
Anlisis del problema y formulacin de la ecuacin diferencial.
Hallar la solucin del sistema.
Graficar la ecuacin que describe al sistema.
Describir como se utiliza Matlab para las aplicaciones que corresponda.
Utilizacin de Simulink.
Cuando no entendemos algn tema como por ejemplo, la corriente elctrica de
una serie de cables, ya sean en paralelo o en serie, a veces la descripcin de la
corriente elctrica se explica ms fcilmente por medio de analogas como la
corriente de agua en tuberas.
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IMPACTO AMBIENTAL
No aplica el impacto ambiental, pues solo es la realizacin de un manual de
prcticas para la materia control clsico, adems de la utilizacin del software
Matlab y por lo tanto no se generan daos al medio ambiente.
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SOBRE MATLAB 2009
Matlab es al mismo tiempo un entorno y un lenguaje de programacin. Uno de sus
puntos fuertes es el hecho de que el lenguaje de matlab permite construir nuestras
propias herramientas reusables. Podemos fcilmente crear nuestras propiasfunciones y programas especiales (conocidos como archivos M) en cdigo
matlab. Los podemos agrupar en Toolbox: coleccin especializada de archivos M
para trabajar en clase particulares de problemas.
La forma ms fcil de visualizar Matlab es pensar en el cmo en una calculadora
totalmente equipada, aunque, en realidad, ofrece muchas caractersticas y es
mucho ms verstil que cualquier calculadora. Matlab es una herramienta para
hacer clculos matemticos. Es una plataforma de desarrollo de aplicaciones,donde conjuntos de herramientas inteligentes para la resolucin de problemas en
reas de aplicacin especfica, a menudo llamadas toolboxes, se pueden
desarrollar con relativa facilidad
Otra definicin para saber ms es que es un paquete de software orientado hacia
el clculo numrico cientfico e ingenieril. Integra clculo numrico, computacin
de matrices y grficos en un entorno de trabajo cmodo para el usuario. Su
nombre significa Laboratorio de Matrices. Posteriormente se han aadido libreras,
denominadas toolboxes, especializadas en diferentes areas cientficas, de entre
ellas podemos destacar:
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Simulink Toolbox
Control System Toolbox
System Identification Toolbox
Robust Control Toolbox
Signal Processing Toolbox
Filter Desing Toolbox
Symbolic Math Toolbox
Por su particular inters para nuestra rea de conocimiento. La ltima lista
Symbolic Math Toolbox, est basada en el programa de clculo simblico Maple y
utiliza una sintaxis diferente.
Matlab ha evolucionado y crecido con las aportaciones de muchos usuarios. En
entornos universitarios se ha convertido, junto con Mathematica y Maple, en una
herramienta instructora bsica para cursos de matemticas aplicadas as como
para cursos avanzados en otras reas. En entornos industriales se utiliza para
investigar y resolver problemas prcticos y clculos de ingeniera. Son
aplicaciones tpicas el clculo numrico, la realizacin de algoritmos, la resolucin
de problemas con formulacin matricial, la estadstica, la optimizacin, etc. Es de
destacar la aplicacin en el estudio, simulacin y diseo de los sistemas dinmicosy de control.
Se pondrn varias lneas de cdigo en matlab para poder graficar algunas
funciones que son necesarias para poder entenderlas mejor.
Este software es el que se utilizara ms de aqu en adelante
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SOBRE COREL DRAW X4
Corel Draw X4 es una herramienta de grficos que adems de disear paginas,
permite editar fotografas.
CorelDRAW es un programa avanzado de edicin grfica con funciones bsicasde composicin de pgina, utilizado en el mbito de las artes grficas. Es parte del
paquete de software Corel Graphics Suite y es desarrollado por Corel Corporation.
CorelDRAW sirve para editar grficos basados en vectores. Este tipo de grficos,
a diferencia de los grficos en forma de pxeles, utiliza lneas o curvas para
plasmar las figuras grficas que representan. De esta forma, por ejemplo, la figura
de un cuadrado puede ser representada por cuatro lneas y no por una sucesin
de pxeles en un arreglo de dimensin esttica. Como ejemplo, pueden ser
dibujados utilizando herramientas vectoriales una invitacin, logotipos,
ilustraciones, folletos, calendarios, tarjetas, afiches, volantes, letreros, etc. Y nos
sirven para ser representados paisajes, fotografas, cuadros, retratos, etc.
Las ventajas de las imgenes vectoriales son que stas ocupan muy poca
memoria y se pueden someter a grandes transformaciones sin que ello afecte en
lo absoluto su calidad.
Este programa se utilizo porque las imgenes que se requeran nos e encontraban
en internet, por lo tanto hubo la necesidad de hacerlas, las imgenes que tiene
este trabajo tienen muy buena resolucin y son relativamente fciles de hacer,
ademas de que le dan un buen aspecto al trabajo, por esta razn se menciona su
aplicacin y el modo en que sirvi a la realizacin de la monografa.
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CAPITULO 1SISTEMAS LINEALES
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1.1 INTRODUCCION
A mi punto de vista todo tiende a la automatizacin y control del entorno con el
objetivo de volver nuestro trabajo ms cmodo en todos los procesos sin
excederse de lo necesario, desde el primer momento en donde el ser humano
intenta dominar su entorno y los fenmenos naturales para hacer su vida ms fcil
surge de inmediato la idea de controlar, ciertamente se quisiera mantener todo o
la mayora a su disposicin y control, pero no es posible, debido a que en primer
lugar, no es posible predecir todo debido a la complejidad que puede llevar, sin
embargo cuando no se extiende mucho el tema y solo se dedica a controlar solo
una pequea parte de todo proceso, es posible predecir su comportamiento yllegar a dominarlo.
En la industria se requiere de control de procesos, pero para poder comprenderlos
es necesario del estudio de tal proceso, buscar algn tipo de ecuacin que lo
describa como en fsica, se topara uno que puede llegarse a sistemas de
ecuaciones lineales algebraicas, sistemas que lleven funciones que contengan
trminos trigonomtricos, exponenciales, logartmicos, o bien sistemas de
ecuaciones diferenciales, dependiendo si las funciones son continuas o no en el
tiempo, si estn en el dominio del tiempo o de algn otro tipo de variables en la
cual puedan ser descritos adecuadamente, si son cantidades escalares o
vectoriales, si son en tiempo continuo o en tiempo discreto, etc.
En el librocontrol automtico de procesos me llam la atencin una parte que
dice: Los autores estn convencidos de que, para controlar un proceso, el
ingeniero debe entenderlo primero.
Aparte de lo anterior mencionado, en los procesos es posible describirlo por medio
de las ecuaciones diferenciales, sin embargo, en ocasiones se hace difcil,
describirlos por medio de estas ecuaciones, y ms la manera en que se resuelven,
as que se utiliza la Transformada de Laplacecon la cual se llega a una forma
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llamada funcin de transferencia, esta ultima compara la salida con la entrada,
con la cual es posible describir un proceso.
Se hablara del modelado de sistemas, que no es ms que la interpretacin de
sistemas ya sean dinmicoso estticospor medio de ecuaciones diferenciales.
1.2 DEFINICION
Un sistema lineal es aquel que puede describirse por medio de una ecuacin
diferencial lineal del orden n, pero siempre y cuando sea lineal.
Tambin se entiende por sistemas lineales como aquellos que pueden ser
descritos por medio de ecuaciones lineales algebraicas y que cumpliendo la
condicin de que el numero de ecuaciones debe ser igual al nmero de incgnitas,
ser posible resolverlo, pero en cambio, las ecuaciones diferenciales tiene que
ser identificadas con claridad, es decir, si son lineales, de que orden son, numero
de incgnitas, si son parciales o no, todo ello para aplicar el mtodo de resolucin
correcto a la ecuacin.
En este trabajo consideraremos los sistemas lineales desde el punto de vista de
las ecuaciones diferenciales.
Al examinar las ecuaciones diferenciales se contina con la bsqueda de las
soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Las ecuaciones
diferenciales lineales son una familia en particular amigable de ecuaciones
diferenciales en el sentido de que, dada una ecuacin lineal ya sea de primer
orden o de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que se pueda
encontrar algn tipo de solucin de la ecuacin que se pueda considerar.
La forma general de una ecuacin diferencial lineal de n-simo orden se da en la
forma:
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Es una ecuacin lineal en la variable dependiente y.
Si x y y denotan variables independientes y dependientes, respectivamente,
entonces las caractersticas de una ecuacin lineal son como sigue: yy todas sus
derivadas son de primer grado, y los coeficientes son constantes o dependen de x
pero no de y.
Un sistema dinmico, es un sistema que cambia o evoluciona con el paso
del tiempo t.
En la imagen tenemos un auto de carreras que se mueve con una velocidad va
una distancia dx, en un intervalo de tiempo dt, puede observarse como una
ecuacin, sencilla de fsica elemental, puede convertirse en una ecuacin
diferencial, que puede volverse algo complicado por a si decirlo, pero eso depende
claro del nivel de formulacin de la ecuacin, de ah el nivel de resolucin de la
ecuacin diferencial.
Como se haba dicho, es un sistema que vara con respecto a alguna variable,
esto nos lleva a pensar en varios conceptos como: Posicin, velocidad,
aceleracin, esto en el movimiento rectilneo. Tenemos tambin sistemas fluidos,
sistemas trmicos y sistemas elctricos que se mencionaran ms adelante, todos
los anteriores que varan con respecto a alguna variable, de la cual dependen que
por lo comn es el tiempo.
En trminos ms precisos, un sistema dinmico consiste en un conjunto de
variables dependientes del tiempo u otras variables, llamadas variables de
estado, junto con una regla que permite determinar el estado del sistema (este
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podra ser un estado pasado, presente o futuro) en trminos de un estado
prescrito en algn tiempo t0. Los sistemas dinmicosse clasifican como sistemas
discretos o continuos en relacin con el tiempo.
1.3 SISTEMAS MECANICOS
Para empezar hablar, sobre este tema, se entiende por sistema mecnico como
aquel que contiene piezas metlicas o no metlicas y que este se rige total o
parcialmente por las leyes de mecnica fsica.
Porque se mencionan los sistemas mecnicos y elctricos, es decir, porque existeuna relacin muy interesante entre un circuito elctrico en serie y un sistema
mecnico con amortiguadores y resortes, resulta que ambos sistemas son
posibles describirlos por una misma ecuacin diferencial lineal.
Una sola ecuacin diferencial puede servir como modelopara diversos sistemas
fsicos, la descripcin matemtica de un sistema masa resorte es idntico por
ejemplo al de un circuito en serie.
Consideremos los siguientes casos, el antes mencionado es el primero de 3
casos. Para empezar se analizara un sistema mecnico llamado en fsica
SISTEMA MASA-RESORTE.
1.3.1 MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
Tambin llamado en fsica Movimiento Armnico Simple (MAS)
Para este tipo de movimiento tenemos las siguientes ecuaciones; las dos primeras
que surgen de la segn ley de newton y las dems son desarrollo de las primeras:
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Donde
Esta es la ecuacin de movimiento armnico simple o movimiento libre no
amortiguado, y la solucin general es la siguiente
Las siguientes lneas, son lneas de cdigo en matlab, son para graficar la
ecuacin descrita anteriormente
t=[0:0.001:10];
w=2;
x=sin(w*t) + cos(w*t);
plot(t,x,'+')
grid
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La grafica es para una magnitud de y un intervalo de tiempo desde 0, hasta
10
El periodo del movimiento es:
Donde f es la frecuencia circular del sistemao frecuencia natural del sistema.
Forma alternativa de x(t)
Cuando c10, y c20, la amplitud real de A de las vibraciones no es evidente de
la ecuacin:
Una forma ms simple de la ecuacin anterior es:
Donde:
A = Amplitud real
= Angulo de fse
En el modelo para el resorte cada vez ms viejo, la constante del resorte k se
reemplaza por la funcin decreciente:
, , ,
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Entonces nos queda la ecuacin diferencial de la siguiente manera:
Ahora cuando un sistema masa-resorte se somete a un ambiente en el cual la
temperatura disminuye con rapidez, podra tener sentido reemplazar la constante
k con:
,
El modelo resultante:
Es una forma de la ecuacin diferencial de Airy.
1.3.2 MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
En el sistema 1 (MAS) se supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre
la masa en movimiento. A menos que la masa est suspendida en un vacio
perfecto, habr por lo menos una fuerza de resistencia debido al medio
circundante. La ecuacin de movimiento libre amortiguado:
Donde es la constante de amortiguamiento y el signo negativo es una
consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento acta en la direccin
opuesta al movimiento. Al dividir la ecuacin anterior entre la masa:
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O bien:
Donde:
Donde se usa por conveniencia algebraica. En la ecuacin auxiliar es:
Las races de la ecuacin son:
, y
Se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de
, puesto que la solucin contiene el factor de amortiguamiento , ,los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando aumenta el
tiempo t.
1.- . En esta situacin el sistema esta sobreamortiguado, la solucin
es:
2.- .Este sistema esta crticamente amortiguado, la solucin es:
Siendo y constantes.
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3.- , En este caso el sistema esta subamortiguado, las races m1 y
m2son complejas y son:
As la solucin de la ecuacin diferencial es:
En los tres casos anteriores mencionados, el trmino hace que las
amplitudes de la vibracin tiendan a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
A continuacin se grafican en matlab las siguientes soluciones de los casos antes
mencionados:
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1.3.3 MOVIMIENTO FORZADO CONAMORTIGUAMIENTO
Ahora se toma en consideracin una fuerza externa f(t)que acta sobre la masa
vibrante en un resorte.
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Por ejemplo, f(t), podra representar una fuerza motriz que causa un movimiento
vertical oscilatorio del soporte del resorte. La inclusin de f(t)en la formulacin de
la 2 Ley de Newton da la ecuacin diferencial de movimiento forzado:
Al dividir esta ecuacin entre la masa se obtiene.
Donde F(t)=f(t)/m. Debe mencionarse que tipo de
entrada tiene este sistema, es decir, la fuerza f(t),
puede ser constante, creciente u oscilante con el
tiempo, la salida depender en mayor medida de la
entrada aplicada, pero tambin queda determinada
la salida por la forma del sistema.
Esta ltima ecuacin es de un sistema de segundo orden que tiene
amortiguamiento, resorte y una masa.
Este tipo de ecuacin tambin aplica para un sistema sometido a torsin.Supngase una masa cilndrica perfecta suspendida y adherida horizontalmente a
una pared, como se muestra en la figura:
La ecuacin que describe al sistema es:
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Siendo el momento de inercia, c el coeficiente de amortiguamiento, k, la
constante del resorte, es el desplazamiento angular, y T el par de torsin
aplicado.
1.3.4 ESTADO ESTABLE Y ESTADOTRANSITORIO
Hay ecuaciones diferenciales como por ejemplo, el problema con valor inicial (PVI)
siguiente:
Sujeta a:
, Donde x1es constante, y la solucin est dada por:
El trmino es llamado trmino transitorio, por el factor , yaque en una grafica tendera a cero, mientras que el trmino , es llamado
trmino en estado estable, o solucin estable, debido a que en una grafica,
oscilara cuando
Por tanto es necesario observar el efecto de las condiciones inciales en un
sistema masa-resorte impulsado por F, es transitorio.
En la ED (Ecuacin Diferencial) de movimiento forzado con amortiguamiento,
cuando se ejerce una fuerza peridica sin fuerza de amortiguamiento, no hay
trmino transitorio en la solucin del problema. Tambin se ve que una fuerza
peridica con frecuencia cercana o igual que las frecuencias de las vibraciones
libres amortiguadas causa un problema grave en un sistema mecnico oscilatorio
llamadoresonancia.
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1.3.5 RESONANCIA PURA.
Considerando un sistema masa resorte, por ejemplo el sistema forzado no
amortiguado, cuya ecuacin diferencial es la siguiente:
Sujeta a las condiciones inciales siguientes:
, ,
Donde Foes una constante y , La solucin complementaria es:
La solucin particular es:
La solucin general es la suma de la solucin particular y la solucin
complementaria:
Aplicando condiciones inciales se tiene que:
Donde
La ecuacin anterior no se define para . El valor limite cuando se
obtiene al aplicar la regla de L Hopital. Este proceso limitante es anlogo a
sintonizar la frecuencia de la fuerza impulsora con la frecuencia de las
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vibraciones libres . Lo que pasara despus es que en un espacio de
tiempo se deban de incrementar en forma sustancial las amplitudes de vibracin.
En el caso de que , la solucin del sistema es:
Cuando , los desplazamiento se vuelven ms largos, el fenmeno anterior
se conoce como resonancia pura, como se muestra en la imagen producida en el
software matlab.
Si en realidad una ecuacin como la anterior describiera los desplazamientos de
un sistema resorte-masa, el sistema necesariamente fallara. Las oscilaciones
grandes de la masa forzaran en algn momento el resorte, ms all de su lmite
elstico. Aunque es verdad que la resonancia no puede ocurrir cuando se toma en
consideracin una pequea cantidad de amortiguamiento, las amplitudes de
vibracin grandes igualmente destructivas pueden ocurrir (aunque limitadas
cuando ).
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1.4 SISTEMAS ELECTRICOS.
Circuito LRCen serie. Como se ha mencionado antes, varios sistemas diferentes
se describen por medio de un tipo de ecuacin diferencial de segundo orden
similar a la ecuacin diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento.
Considere el circuito serie que se muestra en la figura, el cual tiene un inductor, un
resistor y un capacitor, la corriente en un circuito despus de que se cierra un
conmutador se denota mediante:i(t).
Si i(t) denota la corriente en el circuito elctrico en serie LRC mostrado en la
figura,
Entonces las cadas de voltaje en el inductor, capacitor, y resistor se calculan
como se ve en la figura.
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Mediante la segunda Ley de Kirchhoff, la suma de estos voltajes es igual al
voltaje E(t)aplicado al circuito; es decir.
Obsrvese, que la ecuacin esta en forma de q(t),y no con i(t), aunque tambin
se puede dejar en funcin de i(t)y quedara como sigue:
Donde E(t)es el voltaje aplicado al circuito serie.
Solo que es una ecuacin diferencial de primer orden, y no de segundo orden
como la ecuacin en funcin de q(t). Pero al derivarla una vez ms se convierte en
una ecuacin de segundo orden y resolver por medio de los mtodos estndar
encontrando la solucin particular o complementaria y quedara como sigue:
Pero en fin, volvamos con la ecuacin
Como podr observarse, la nomenclatura usada en el anlisis de circuitos es
similar a la que emplea para describir sistemas resorte-masa.
Si E(t)=0, se dice que las vibraciones elctricas del circuito estn libres. Debido a
que la ecuacin auxiliar para la ecuacin anterior es:
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Habr tres formatos de solucin con R 0, dependiendo del valor del
discriminante:
Se dice que el circuito es:
Sobreamortiguado si R2- 4*L/C >0
Crticamente amortiguado si R2- 4*L/C =0
Subamortiguado si R2- 4*L/C
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Tm, es la temperatura del medio circundante.
dT/dt, es la rapidez a la cual cambia la temperatura del cuerpo.
La formulacin de esta ley es:
Donde kes una constante de proporcionalidad. En cualquier caso, enfriamiento o
calentamiento, si Tmes una constante es razonable que k
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El valor de la resistencia depende del modo en el que se transfiere el calor. En la
conduccin a travs de un slido, para conduccin unidimensional:
Donde A es el rea de la seccin transversal del material a travs del cual se
conduce el calor y L, la longitud del material entre los puntos cuyas temperaturas
son T1 y T2. La conductividad trmica es k. Por lo tanto al comparar las dos
ecuaciones anteriores se obtiene:
Por lo tanto la resistencia trmicaes inversamente proporcional a la conductividad
trmica.
Cuando la transferencia de calor es por conveccin, como se lleva a cabo en
lquidos y gases, entonces:
Donde A es el rea superficial a travs de la cual existe la diferencia de
temperaturas y h el coeficiente de transferencia de calor. De este modo, al
comparar esta ecuacin con la primera ecuacin.
La capacitancia trmicaes una medida del almacenamiento de la energa interna
en un sistema. De este modo, si la razn de flujo de calor en el interior de un
sistema esq1y la razn de flujo de calor que sale es q
2, entonces:
Un incremento en la energa interna significa un incremento en la temperatura. Por
lo tanto:
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Donde mes la masa y c la capacidad calorfica especifica, entonces:
De este modo:
Donde dT/dt es la tasa de cambio en la temperatura. Esta ecuacin se puede
escribir como:
Donde Ces la capacitancia trmica.
No hay un equivalente trmico al inductor elctrico. Los resistores elctricos
disipan energa, transformndola en calor. La resistencia trmica no se puede
describir como un disipador de energa, pero describe la consecuencia de que
haya una diferencia de temperaturas, describiendo solo el flujo de calor.
Ahora se considera un termmetro a una temperatura T que se sumerge en un
lquido que esta a una temperatura TL. Si la resistencia trmica al flujo de calor del
lquido al termmetro es R, entonces se tiene:
Donde qes la razn de flujo de calor neta
del lquido al termmetro.
La capacitancia trmica C del termmetro
est dada por la ecuacin:
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Puesto que solo hay flujo de calor del liquido al termmetro, entonces q1 = q y
q2=0. De esta manera
Al sustituir el valor de qde esta ltima ecuacin en la primera ecuacin tenemos:
Al reordenar esta ecuacin se obtiene:
Esta ecuacin describe como variara la temperatura Tindicada por el termmetro
cuando este se sumerge en un lquido caliente. La analoga elctrica de este
sistema trmico es el circuito que muestra en la figura, un circuito resistor-
capacitor en serie. Cerrar el interruptor equivale a la accin de sumergir el
termmetro en el lquido, solo entonces la corriente y el calor empiezan a fluir. Elcambio en la temperatura del termmetro desde su valor inicial equivale al cambio
en la diferencia de potencial a travs del capacitor.
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1.6 SISTEMAS FLUIDOS
DRENADO DE UN DEPSITO.
En hidrodinmica, la ley de Torricelli establece que la velocidad vdel flujo de
salida de agua por un agujero terminado en punta en el fondo de un depsito lleno
hasta una profundidad h es la misma que adquirira un cuerpo (en este caso la
cada de agua) al caer libremente desde una altura h, es decir:
Donde, g es la aceleracin de la gravedad, esta ltima expresin proviene de
igualar la energa cintica con la energa potencial mghy de ah despejar v.
Se hace la suposicin que el agua contenida en un depsito se deja salir por un
orificio bajo la influencia de la gravedad. Se deseara determinar la profundidad h
del agua restante en el depsito en el instante t. Considere el depsito de la figura.
Si el rea del orificio es Ah(en pies2) y la velocidad del agua que sale del depsito
por segundo es:
(En pies3/s).
As si V(t) denota el volumen de agua en el
depsito en el instante t, entonces:
Donde el signo menos indica que Vdisminuye. Se ignora la posibilidad de friccin
en el orificio que podra causar una reduccin en flujo. Ahora si en el depsito es
tal que el volumen de agua dentro de el en el instante tse puede describir como:
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Donde Aw (en pies2) es el rea constante del rea superior del recipiente,
entonces:
Al sustituir esta expresin que contiene el signo negativo de Ah se obtiene la
ecuacin diferencial deseada para la altura del agua en el instante t:
Esta ecuacin se deduce de la Ecuacin de Bernoullique se ve en mecnica de
fluidos, la ecuacin estar en trminos de presiones, tambin puede darse entrminos de altura.
En la cual se van eliminado los trminos constantes.
En sistemas de flujo de fluidos existen tres bloques funcionales, los cuales se
puede considerar el equivalente de la resistencia, la inductancia y la capacitancia.
Para estos sistemas la entrada, el equivalente de la corriente elctrica, es la razn
de flujo volumtrico q, y la salida, el equivalente de la diferencia de potencial
elctrico, es la diferencia de presiones,(P1-P2).
Los sistemas fludicos se pueden considerar en dos categoras: los hidrulicos y
los neumticos. Los hidrulicosson aquellos en los que el fluido es un lquido que
se considera incompresible, y los neumticosson los que su fluido es un gas que
puede ser compresible y presenta cambios de densidad.
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La resistencia hidrulicaes la resistencia a fluir que se presenta como resultado
de un flujo de lquido a travs de vlvulas o cambios de dimetro de las tuberas.
La relacin entre la razn de flujo volumtrico q del lquido a travs de un
elemento resistivo y la resultante diferencia de presiones es:
Donde R es una constante llamada resistencia hidrulica. A mayor resistencia
hidrulica, mayor es la diferencia de presiones para dar una razn de flujo.
La Capacitancia Hidrulica es el trmino que se emplea para describir el
almacenamiento de energa con el lquido, donde esta se almacena en forma de
energa potencial. La altura del lquido en un contenedor, que se denomina cargade presin, es una forma de dicho almacenamiento.
Para esta capacitancia. La tasa de cambio, el volumen V en el contenedor, es
decir dV/dt, es igual a la diferencia entre la razn de flujo q 1a la que el fluido entra
en el contenedor y la razn de flujo q2a la que el fluido deja el contenedor.
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Pero V=Ah, donde Aes el rea de la seccin transversal del contenedor y h la
altura del fluido en el. Por lo tanto:
Pero la diferencia de presiones entre la entrada y la salida es p, donde
Donde es la densidad del lquido y ges la aceleracin de la gravedad. As,
Si se considera que el lquido es incompresible, es decir, su densidad no cambia
con la presin. La capacitancia hidrulica Cse define como:
De este modo
Al integrar esta ecuacin se obtiene:
La inertancia (inercia) hidrulica es el equivalente a la inductancia en sistemas
elctricos o a un resorte en un sistema mecnico. Para acelerar un fluido y as
incrementar su velocidad se requiere una fuerza. Considere un bloque de lquido
de masa m, la fuerza neta que acta sobre el lquido es:
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Donde es la diferencia de presiones y A es el rea de la seccin
transversal. La fuerza neta propicia que la masa se acelere con una aceleracin
a, y as.
Pero aes la tasa de cambio de la velocidad dv/dt, por lo tanto
Pero la masa del liquido considerado tiene un volumen AL, donde Les la longitud
del bloque de liquido o la distancia entre los puntos en el liquido donde se miden
las presionesp1yp
2. Si el liquido tiene una densidad , entonces
m=AL, y as:
Donde la inertancia hidrulica Ise define como:
Con los sistemas neumticoslos tres bloques funcionales son, al igual que en los
sistemas hidrulicos, resistencia, capacitancia e inertancia. Sin embargo, los
gases difieren de los lquidos en que los primeros son compresibles, es decir, un
cambio en la presin causa un cambio en el volumen y, por lo tanto, en la
densidad.
La resistencia neumticaRse define en trminos de la razn de flujo msico yla diferencia de presiones como:
La capacitancia neumticaCse debe a la compresibilidad del gas, de esta manera
muy parecida a la compresin de un resorte al almacenar energa. Si hay una
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razn de flujo msico que entra al contenedor de volumen Vy la razn de flujo
msico que sale de este, entonces la razn a la cual est cambiando la masa
en el contenedor es:
Si el gas en el contenedor tiene una densidad , entonces la tasa de cambio de la
masa en el contenedor es:
Pero tanto como Vpueden variar con el tiempo. Por lo tanto
Puesto que (dV/dt) = (dV/dp)(dp/dt) y para un gas idealpV=mRT,en consecuencia
p = (m/V)RT = RT y asi d/dt = (1/RT)(d/dt), entonces
Donde Res la constante de los gases y T,es la temperatura en la escala Kelvin.De este modo:
La capacitancia neumtica por el cambio en el volumen del contenedor C1 se
define como:
Y la capacitancia neumtica debida a la compresibilidad del gas C2 se define
como:
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Por lo tanto
Al despejar la diferencia de presiones:
La inertancia (inercia) neumtica se debe a la cada de presin necesaria para
acelerar un bloque de gas. De acuerdo con la segunda ley de Newton
Puesto que la fuerza es provista por la diferencia de presiones , entonces
siA es el rea de la seccin transversal del bloque de gas que se acelera:
Pero m, la masa del gas que se acelera, es , donde es la densidad del gas y
Lla longitud del bloque de gas que se acelera. Pero la razn de flujo volumtrico
q = Av,donde ves la velocidad. De este modo:
Y as
Pero y, de este modo:
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Siendo la inertancia neumtica
Tanto para sistemas hidrulicos como para neumticos la diferencia de presioneses anloga a la diferencia de potencial en sistemas elctricos. Las inertancias y
capacitancias hidrulicas son elementos que almacenan energa y la resistencia
tanto hidrulica como neumtica son disipadores de energa.
El sistema de la figura es un sistema hidrulico. Dicho sistema se puede
considerar como un capacitor, el lquido en el contenedor, como un resistor, la
vlvula. La inertancia se puede despreciar puesto que las tasas de cambio de flujoson muy lentas.
Para la capacitancia se tiene:
La razn de flujo q2a la cual el lquido sale del contenedor es igual a la razn de
flujo que sale a travs de la vlvula. De este modo para el resistor:
La presin de debe a la altura del lquido en el contenedor. As, al sustituir q 2en la
primera ecuacin se obtiene
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Puesto que , donde es la densidad del liquido y g es la gravedad,
entonces:
Y debido a queC = A/pg, entonces
Esta ecuacin describe como la altura del lquido en el contenedor depende de la
tasa de entrada del lquido en el contenedor.
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CAPITULO 2.
MODELOS MATEMATICOS
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2.1 INTRODUCCION
La regla o modelo matemtico, en un sistema dinmico de tiempo continuo es
una ecuacin diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. El estado deun sistema en un tiempo t es el valor de las variables de estado en ese
momento; el estado especificado del sistema en un tiempo t0 es simplemente las
condiciones inciales que acompaan al modelo matemtico. La solucin del
problema de valores inciales se denomina respuesta del sistema, como en los
libros de circuitos elctricos, es comn encontrar la frase encuentre la respuesta
del sistema.
Para el caso de una roca que se lanza desde el techo de un edificio, la respuestadel sistema, la solucin de la ecuacin diferencial es:
Sujeta al estado inicial s(0)=s0, s(0)=v0, es la funcin:
En el intervalo 0
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Existen tres mtodos de bsqueda de las soluciones de una ecuacin diferencial,
el mtodo analtico, el cualitativo y el numrico.
Modelos matemticos.Por lo comn es deseable describir el comportamiento de
algn sistema o fenmeno de la vida real, ya sea fsico, sociolgico o inclusoeconmico en trminos matemticos. La descripcin matemtica de un sistema o
un fenmeno se llama modelo matemtico y se construye con ciertos objetivos en
mente.
La construccin de un modelo matemtico de un sistema comienza con:
Identificacin de las variables a las que se atribuye el cambio del sistema.
Al principio se podra elegir no incorporar todas estas variables en el
modelo. En este paso se est especificando el nivel de resolucin del
modelo.
A continuacin.
Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hiptesis acerca del
sistema que se est intentando describir. Estas suposiciones tambin
incluirn algunas leyes empricas que podran ser aplicables al sistema.
Para algunos propsitos podra ser perfectamente vlido conformarse con
modelos de baja resolucin. Por ejemplo, en los cursos bsicos de fsica algunas
veces se ignora la fuerza retardadora de la friccin del aire al modelar el
movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie terrestre, pero si se trata
de un cientfico cuyo trabajo es predecir con precisin la trayectoria de vuelo de un
proyectil de largo alcance, se tiene que tomar en cuenta la resistencia del aire y
otros factores como la curvatura de la tierra.
Las suposiciones que se hicieron con respecto a un sistema con frecuencia tienen
que ver con una rapidez de cambio de una o ms variables, la representacin
matemtica de todas estas suposiciones podra ser una o ms ecuaciones con
derivadas. En otras palabras, el modelo matemtico puede ser una ecuacin
diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.
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Una vez que se formula un modelo matemtico que es una ecuacin diferencial o
un sistema de ecuaciones diferenciales, se est ante el nada insignificante
problema de tratar de encontrar la solucin . Si no se puede resolver, entonces
se considerara que el modelo es razonable si su solucin es consistente con datos
experimentales o hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Sin
embargo, si las predicciones que genera la solucin son malas, se incrementa el
nivel de resolucin del modelo, se hacen otras suposiciones acerca de los
mecanismos para cambio en el sistema. Entonces se repiten los pasos del
proceso de modelado, como se muestra en el siguiente diagrama:
Por su puesto, al incrementar la resolucin, se agrega complejidad al modelo
matemtico y se incrementa la probabilidad de que no se obtenga una solucin
explicita.
En un modelo matemtico de un sistema fsico suele intervenir la variable tiempo t.
Entonces una solucin del modelo da el estado del s istema; en otras palabras,
los valores de la variable dependiente (o variables) para valores apropiados de t
describen el sistema en el pasado, presente y futuro.
Una sola ecuacin diferencial puede servir como un modelo matemtico para
muchos fenmenos distintos.
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2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES
Bueno, como se habr notado antes, los sistemas que se mencionaron se
describieron por medio de ecuaciones diferenciales, que es la forma correcta de
describir sistemas dinmicos, ejemplo de ello: sistema mecnico, elctrico, trmico
y fluido.
Si regresramos a cursos de fsica, encontraremos muchas leyes y principios
fsicos, los cuales en la mayora de los casos se utilizan ecuaciones algebraicas.
Se encuentran temas clasificados de la siguiente manera:
MECANICA
TERMODINAMICA, ONDAS MECANICAS Y SONIDO.
ELECTRICIDAD, MAGNETISMO Y OPTICA
En los cuales es posible, para hacerlas ms precisas (las ecuaciones algebraicas),
se ocupan ecuaciones diferenciales, es decir, en los cuales se ocupan las
condiciones inciales (PVI), en fin, lo que se busca es resolver un sistema que
como se menciono anteriormente que cambie con el tiempo o con respecto a
alguna otra variable, de modo que la solucin nos pueda decir acerca delcomportamiento del sistema en tiempo futuro.
Las ED, pueden ser de primer orden, segundo orden, tercer orden hasta n-esimo
orden, el cual se identifica por la derivada de mayor orden que exista en la
ecuacin. Las ED pueden ser con derivadas parciales o derivadas comunes de
una sola variable.
Si vemos temas de dinmica de movimiento en el libro Mecnica Vectorial para
Ingenieros vemos que el movimiento de partculas puede ser descrito por medio
de ecuaciones algebraicas como:
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La cual nos indica que el movimiento de la partcula al principio su posicin ser
cero y despus positiva, pero conforme avanza el tiempo nos dice que tendera
hacia el eje negativo, o bien ira en direccin contraria a la inicial.
Por lo tanto, la velocidad de la partcula se define como:
Y si respectivamente tenemos que su aceleracin ser la derivada de la velocidad,
esta es:
Si se deriva una vez mas la ecuacin anterior, tenemos la tercera derivada de la
posicin con respecto al tiempo, situacin que no tendra sentido fsicamente,
adems de no ser necesaria.
Si ahora hacemos una ecuacin cualquiera como:
Tenemos una ecuacin diferencial, esta simplemente derivamos y sumamos la
ecuacin:
Que esta ultima viene siendo la solucin del sistema. Como podr observarse,
tiene trminos crecientes con el tiempo, fsicamente esto significara inestabilidad,
mas sin embargo quiere decir que la posicin de la partcula ir aumentando
conforme avanza el tiempo t.
Hay varios libros de ecuaciones diferenciales, entre ellos el tomado como base
para la elaboracin de este trabajo: Ecuaciones Diferenciales con Problemas
de Valores en la Frontera, en los cuales se describe que son, y para qu sirven
tambin.
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Lo que se busca en estos libros, es tanto las aplicaciones, como tambin los
mtodos de resolucin de los distintos tipos de ecuaciones que aparecen en la
vida real. Pero en este trabajo se mencionara un tema que es muy til en la
resolucin de ecuaciones diferenciales, y esta es la Transformada de Laplace,
que en el siguiente captulo se hablara de este tema.
2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE YANTITRANSFORMADA DE LAPLACE
En el clculo elemental se aprendi que la diferenciacin e integracin son
transformadas; esto significa, en trminos aproximados, que estas operaciones
transforman una funcin en otra. Por ejemplo, la funcin f(x) = x2 se transforma a
su vez en una funcin lineal y una familia de funciones polinomiales cubicas
mediante las operaciones de diferenciacin e integracin:
Se define la transformada de Laplace como sigue:
Transformada de Laplace
Sea una funcin f definida para . Entonces se dice que la integral
Es la transformada de Laplace de f, siempre y cuando converja la integral.
Cuando la integral converge. El resultado es una funcin de s.
Nuevamente volvemos al clculo elemental, en donde encontramos la regla
general de derivacin que es como sigue:
Que es una formula en la que podemos deducir (con las consideraciones
adecuadas) todas las formulas de derivacin que aparecen en los libros de
clculo, etc.
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Resulta aqu en este tema lo mismo, la frmula de la Transformada de Laplace es
como una formula elemental por medio de la cual se pueden deducir (como se
menciono anteriormente tomando las consideraciones adecuadas), las formulas
de Transformada de Laplace que aparecen en las portadas de los libros de
ecuaciones diferenciales.
Al igual que en libros de clculo en los cuales se basan de las dos grandes
operaciones de diferenciacin e integracin, la Transformada de Laplace tiene a
su vez su operacin inversa o Antitransformada de Laplace. Ya existen formulas
para calcular esta operacin.
Lo que seguira es obtener una funcin llamada Funcin de Transferencia, la
cual ser de gran utilidad para los siguientes temas y las practicas.
2.4 ALGEBRA DE BLOKS
Bueno, los bloks y los diagramas de bloks, son esquemas que son utilizados para
la descripcin de procesos facilitan la visualizacin de estos y el anlisis de
sistemas, como los procesos dinmicos, son los que se manejaran en este
manual, cada bloks es una Funcin de Transferencia, que en si representa un
proceso.
Es decir, la comparacin de la seal de entrada con respecto a la salida.
La siguiente imagen muestra las reglas del algebra de blocks. Prcticamente las
funciones ms elementales, pero ms concurridas son las de realimentacin,
multiplicacin en la trayectoria directa y sumas en serie y en paralelo.
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Se muestra un ejemplo de proceso de un tanque de presin, y su respectivo
diagrama de bloques, lo que se quiere aqu es controlar la presin del tanque, esa
es la salida del sistema y no el flujo de aire que sale, se tiene que si la presin no
es adecuada, hay un dispositivo que detecta la cada de presin, manda una
seal, hay otro dispositivo que es un convertidor analgico/digital que tiene su
propio block o representacin y manda una seal al computador.
Este ltimo es que toma la decisin de que hacer, la forma para tomar la decisin
es comparando la presin actual, con una presin estndar o definida para el
tanque, dependiendo del resultado de la comparacin, mandara una seal al
convertidor digital/analgico, despus la seal debe pasar por otro dispositivo para
despus llegar al actuador que regula el flujo de gas.
Se puede modelar sistemas de lazo abierto y sistemas de lazo cerrado, como porejemplo:
La aceleracin de un carro, en la cual se busca obtener la velocidad de
acuerdo al lugar en que se encuentre, pero el sistema llega a ser de lazo
cerrado, debido a que una persona tiene que actuar como regulador de la
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velocidad, o bien como computador, pero en fin se obtiene lo que se quiere,
regular la velocidad.
El controlar de volumen de una estreo de alto poder, la persona dir en
que volumen quiere escuchar su msica preferida, los limites dependen de
la persona, si le gusta el volumen alto o bajo, si es tolerable o no, hay
persona a las que el ruido alto no les afecta, como en la discotecas.
Estos son sistemas simples, de pocas variables a controlar, hay sistemas en los
cuales hay muchas variables que requieren controlarse.
La palabra sistema implica no solo un componente si no una serie decomponentes que trabajan en conjunto en una forma prescrita para alcanzar una
meta especifica. Esta meta es el control de cierta cantidad fsica. Dicho control se
lleva a cabo de un modo automtico, con frecuencia sin que sea necesaria la
supervisin de un ser humano.
La palabra automatizacin significa produccin automtica del material
procesado.
El producto final de una planta automatizada puede ir muy lejos, el elemento
comn es que el proceso se encuentra bajo control y con frecuencia esto se lleva
a cabo con medios automticos, sin los cuales no sera posible obtener la
exactitud necesaria.
Es necesario distinguir entre un sistema de control en lazo cerrado y uno
sistema en lazo abiertoy las. Lo anterior se logra mediante un ejemplo familiar:
Considrese el control de temperatura de un fluido en un tanque que se llena con
lquidos a diferentes temperaturas. Como un ejemplo cotidiano en algunos
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hogares se podra pensar en una persona que trata de poner el agua de la tina del
bao a la temperatura deseada.
Un mtodo para obtener la temperatura deseada consiste en abrir la llave del agua
caliente hasta un cierto punto y hacer lo mismo con la llave de agua fra. Se deja
que el agua caiga por un periodo determinado o hasta que haya alcanzado un
cierto nivel. Esta es la manera en que una persona tiene prisa llenara su tina de
bao; si la persona a llenado la tina suficiente nmero de veces, sabr cuanto de
de abrir cada una de las llaves para obtener la temperatura deseada. Este es un
ejemplo de un sistema de control en lazo abierto.
Un sistema de control en lazo abierto es aquel en cual ni las variables del sistemani la salida influyen en el control de esta.
La salida es la temperatura del agua en la tina del bao y el control se ejerce al
determinar la posicin de las vlvulas en las tuberas de agua caliente y fra. Si por
alguna razn, el agua de la tina no se encuentra a la temperatura deseada, no se
puede ejercer ningn control para lograr que la temperatura del agua que ya se
encuentra en la tina alcance la temperatura deseada.
En este ejemplo existen una serie de factores que pudieran influir en la
temperatura final del agua. Entre los ms obvios destaca la cantidad de agua
caliente disponible. Supngase que el suministro normal de agua caliente se
redujera debido a que alguien ms acaba de baarse o porque la lavadora
recientemente acabo su ciclo de lavado. En tal caso, es claro que cuando el agua
alcance su nivel estar fra.
Es probable que la persona que no tenga prisa toque el agua de la tina varias
veces, mientras esta se llena. Si el agua no se encontrara a la temperatura
deseada, sera posible adecuarla, al ajustar la llave del agua caliente o la del agua
fra segn se necesite. Este planteamiento conduce al control en lazo cerrado.
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La salida y otras variables del sistema influyen en el control del sistema. En este
tipo de sistema debe de tomar las mediciones y las acciones correctivas de control
que cerrara el lazo intermitentemente.
Ahora considrese brevemente el control automtico de la temperatura del agua
de la tina. En vista de lo dicho, la necesidad de equipo para una operacin de
control de este tipo es clara. En primer lugar, se necesita medir la temperatura del
agua en la tina y, se desea llevar a cabo un buen trabajo de control, sera
apropiado medir la temperatura del agua que cae a la tina y la tasa de cambio de
la temperatura del agua caliente. Para medir estas variables se emplean
sensores. Posteriormente, es necesario un elemento de potencia de algn tipo
para que las vlvulas de control, esto es, las llaves de agua caliente y fra, secoloquen automticamente en la posicin deseada. Supngase que se emplea un
motor elctrico como elemento de potencia. Los ingenieros de control
comnmente se refieren a dicho elemento de energa como un actuador. Ahora
bien, puesto que un motor elctrico es inherentemente un dispositivo de potencia
de alta velocidad y que las vlvulas se mueven a velocidades relativamente bajas,
se necesita de un tren de engranajes para lograr que las velocidades se vuelvan
compatibles. Sera conveniente colocar un agitador en un lado de la tina paraasegurar que el sensor de temperatura en la tina mida la temperatura promedio
del agua. Con el fin de conseguir el control real se deben comparar y combinar la
temperatura medida del agua de la tina y las variables de estado medidas con la
temperatura que se desea alcanzar en la tina. Esto se logra en el controlador y la
seal de control resultante se amplifica a un nivel suficiente que permita accionar a
los actuadores, los cuales, en su momento, colocaran a las llaves de agua en la
posicin deseada.
El sistema de control en lazo abierto y el sistema de control automtico en lazo
cerrado para controlar la temperatura del agua de la tina se muestra en la
siguiente figura.
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Recurdese que para el control en lazo abierto solo es necesario colocar las dos
vlvulas de control en la posicin deseada, es decir las dos llaves del agua. Este
es un ejemplo caracterstico de las situaciones de control en lazo abierto, donde el
xito depende de dos elementos:
La exactitud del modelo del sistema.
La repetitividad de los eventos relacionados durante un largo periodo, lo
que significa la ausencia de perturbaciones externas.
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Cuando se observa la figura anterior resulta sencillo deducir que el sistema de
control en lazo cerrado es considerablemente ms complicado que el sistema en
lazo abierto. El compromiso aqu est entre la complej idad y el desem peo. Esto
se puede ver ms fcilmente si se considera el caso ms sencillo en el que la
salida, la temperatura del agua de la tina, se alimenta al controlador. En este caso
se asume que el controlador es solo un circuito de substraccin, de modo que la
seal de control es proporcional al error entre la temperatura requerida del agua y
la temperatura real de esta. Si la temperatura requerida y la real son iguales, no
hay seal de error que ubique las vlvulas en una nueva apertura.
La caracterstica definitiva entre los sistemas en lazo cerrado y en lazo abierto de
la figura anterior radica en el uso del estado de la salida para influir en la entradaen el caso de control en lazo cerrado. A dicho uso se le denomina
retroal imentacin.
El error final se puede modificar posteriormente si adems de retroalimentar la
salida se retroalimentan otras variables del sistema. Este es frecuentemente el
caso, y la retroalimentacin de las otras variables del sistema adems de la salida
resulta muy til para asegurar que el sistema considerado se controleapropiadamente.
La ltima observacin trae consigo la importante cuestin de estabilidad e
inestabilidad. La nocin deestabilidad significa que el sistema opere dentro de
los lmites de comportamiento considerablemente estrechos. Por su parte la
inestabilidad implica que algunas variables el sistema crecen a valores
inaceptablemente grandes. En el caso de lazo abierto, los ajustes de los
elementos de control son una vez y ah se mantienen, y no se pone en duda si el
sistema es estable o no. En un sistema en lazo cerrado, es necesario que lo
anterior no suceda.
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Con el objeto de ilustrar la ocurrencia de dicha inestabilidad supngase que solo
se controla la llave de agua caliente con la alimentacin de agua fra a un valor
previamente determinado. Adems supngase que la correccin no se lleva a
cabo rpidamente, y cuando se decide hacerlo, esta es muy grande ya sea
cerrando o abriendo por completo la llave. Si al principio el agua de la tina est
ms caliente de lo que se desea, se cierra la llave del agua caliente por completo.
Cuando el agua comienza a enfriarse, debido a la respuesta lenta, es posible que
se enfre demasiado, antes de que se abra la llave del agua caliente de nuevo, y
as sucesivamente, para que exista una fluctuacin entre agua muy fra y agua
muy caliente.
El ejemplo anterior ilustra las dos causas ms comunes de inestabilidad en lossistemas de control automtico: retardo y alta gananc ia. En este caso el retardo
fue el resultado de una respuesta lenta y la alta ganancia fue el resultado de haber
cerrado o abierto la llave por completo.
En la mayora de las aplicaciones de control el hecho de captar la forma en la que
el sistema reacciona ante las entradas da como resultado un complicado modelo
matemtico. Si el modelo no predice adecuadamente, la respuesta del sistema, esmuy probable que el controlador no realice las acciones correctas. Puesto que
ningn sistema se puede modelar perfectamente. Los diseadores deben tener
mucho cuidado de que los controladores, que ellos disean basados en modelos
matemticos, se comporten adecuadamente cuando se aplican en el sistema real.
En muchos casos, el control en lazo abierto ni siquiera se puede considerar. Los
nicos casos en los que se puede aplicar el control en lazo abierto son aquellos
en los que el desempeo deseado se conoce de antemano. Para producir la
respuesta deseada se necesita de un sistema en lazo cerrado.
La parte ms importante y fundamental de cualquier problema de control: La
representacin de una planta a travs de modelos matemticos apropiados. Por
planta se entiende: el equipo fsico relacionado con la cantidad a ser
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controlada. Usualmente la planta se considera inalterable. Antes de que se pueda
iniciar cualquier tipo de anlisis o diseo de ingeniera es necesario abstraer el
objeto fsico en cuestin una descripcin en trminos de formulas matemticas.
Un modelo matemtico nicamente proporciona una aproximacin al
comportamiento de un sistema real y fsico.
Otra situacin evidente en la cual el sistema en lazo abierto no funciona la
constituye un sistema de control de una ametralladora antiarea. En dicho
sistema, se hace que una ametralladora siga un blanco en movimiento (un avin).
Es obvio que no se puede programar por adelantado un sistema de control en lazo
abierto para que siga la trayectoria del avin, el cual constituye el blanco, ya quese le desconoce; incluso, esta puede ser intencionalmente evasiva. Si se empleara
a un operador humano para cerrar el lazo, su respuesta sera mucho ms lenta.
Por lo tanto, pese a la complejidad y los problemas de estabilidad que implica el
uso del control en lazo cerrado, en ocasiones no hay otra opcin.
2.5 FUNCION DE TRANSFERENCIA
Como se mencionaba en el tema anterior, la funcin de transferencia es la
comparacin de la seal de salida con respecto a la seal de entrada, puede
pensarse como la razn de cambio de una variable con respecto a otra, pero con
la diferencia de que esta razn se ocupa la transformada de Laplace, y recuerde
que esta operacin convierte una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica
y las nuevas variables que se manejan son fciles de analizar, por tanto, la funcin
de transferencia est dada por
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A partir del concepto de funcin de transferencia, es posible representar la
dinmica de un sistema de ecuaciones algebraicas en s.
Coment arios acerca de la fun c in de transferencia
La aplicacin del concepto de funcin de transferencia est limitada a los sistemas
descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Sin
embargo el enfoque de la funcin de transferencia se usa extensamente en el
anlisis y diseo de dichos sistemas. A continuacin se presentan algunos
comentarios importantes relacionados con la funcin de transferencia. (Observe
que en la lista, los sistemas a los que hace referencia son aquellos que se
describen por medio de una ecuacin diferencial lineal invariante en el tiempo.
La funcin de transferencia de un sistema es un modelo matemtico porque
es un mtodo operacional para expresar la ecuacin diferencial que
relaciona la variable de salida con la variable de entrada.
La funcin de transferencia es una propiedad de un sistema,
independientemente de la magnitud y naturaleza de la entrada o funcin de
excitacin.
La funcin de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar
la entrada con la salida; sin embargo no proporciona informacin acerca de
la estructura fsica del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos
sistemas fsicamente diferentes pueden ser idnticas.)
Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida
o respuesta para varias formas de entrada, con la intencin de comprender
la naturaleza del sistema.
Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, puede establecerse
experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salidadel sistema. Una vez establecida una funcin de transferencia, proporciona
una descripcin completa de las caractersticas dinmicas del sistema, a
diferencia de su descripcin fsica.
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2.6 TRANSFORMADA Z
Para describir laTrasformada Z, es necesario describir lo que son las seales en
tiempo continuo y en tiempo discreto, ecuaciones en diferencias, serie de Laurent,
series de potencias.
Bueno, para no ir tan lejos, en las funciones de tiempo continuo, son las funciones
comunes es decir cmo se muestra a continuacin.
Lo que quiere decir es que son funciones continuas en el tiempo, a su, vez la
transformada de Laplace es para funciones continuas, lo mismo que la
transformada zpara funciones en tiempo discreto
La transformada de Laplace es:
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2.7 SISTEMAS EN LAZO CERRADO Y LAZOABIERTO
Existen dos formas bsicas de sistemas de control, una es la denominada en lazo
abiertoy la otra en lazo cerrado.Con un sistema en lazo abierto la salida se elige
con base en la experiencia que se tiene con dichos sistemas para producir el valor
de salida requerido. En un sistema de lazo abierto no existe informacin que
alimente de regreso (realimentacin). En un sistema de control en lazo abierto la
salida del sistema no tiene efecto sobre la seal de entrada. Los sistemas en lazo
abierto tienen la ventaja de ser bastantes sencillos y en consecuencia de bajo
costo, y con buena confiabilidad, sin embargo, con frecuencia son inexactos,
porque no hay correccin de errores.
Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una seal de realimentacin
hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de
modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en las
condiciones de operacin. En un sistema de control en lazo cerrado la salida si
tiene efecto sobre la seal de entrada, y la modifica para mantener una seal de
salida en el valor requerido. Los sistemas en lazo cerrado tienen la ventaja de ser
capaces de igualar los valores reales a los requeridos. No obstante si existen
retrasos en el sistema pueden surgir problemas. Dichos retraso propician que la
accin correctiva requerida llegue demasiado tarde, y como consecuencia, se
obtienen oscilaciones en la entrada e inestabilidad. Los sistemas en lazo cerrado
son ms complicados que aquellos que estn en lazo abierto, son ms costosos y
con una gran posibilidad de descompostura debida a la gran cantidad de
componentes.
Sistemas en lazo abierto: Se puede considerar que un sistema en lazo abierto
consiste en algunos subsistemas bsicos arreglados como se muestra en la figura.
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Estos elementos pueden ser distintos, equipos separados, pero todas las
funciones que cumple cada subsistema se deben preservar. La entrada global al
sistema es una seal, que basada en experiencias anteriores, es probable que
conduzca a la salida requerida. Los subsistemas son:
Elemento de control. Este elemento determina que accin se va a tomar
dada una entrada al sistema de control.
Elemento de correccin. Este elemento responde a la entrada que viene delelemento de control e inicia la accin para producir el cambio en la variable
controlada al valor requerido.
Proceso. El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la
variable.
Los primeros dos subsistemas a menudo se unen para formar un elemento
denominado controlador.
Se entiende que el proceso es en lazo abierto aunque tenga que intervenir la parte
humana, se dice que es en lazo cerrado cuando no interviene la parte humana, es
decir, el sistema es automtico.
Sistema en lazo cerrado: Se puede considerar que un sistema en lazo cerrado
consiste en algunos subsistemas bsicos ordenados como se muestra en la figura.
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Estos elementos pueden no ser partes distintas o equipos separados, pero todas
las funciones de los subsistemas estarn presentes. La entrada global al sistema
de control es el valor requerido de la variable, y la salida es el valor real de la
variable.
Elemento de comparacin. Este elemento compara el valor requerido o de
referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se
obtiene a la salida, y produce una seal de error la cual indica la diferencia
del valor obtenido a la salida y el valor requerido.
Elemento de control. Este elemento decide que accin tomar cuando recibe
una seal de error. A menudo se usa el trmino controlador para un
elemento que incorpora el elemento de control y la unidad de correccin.
Elemento de correccin. Este elemento se utiliza para producir un cambio
en el proceso al eliminar el error, y con frecuencia de denomina actuador.
Elemento proceso. El proceso, o planta, es el sistema donde se va a
controlar la variable.
Elemento de medicin. Este elemento produce una seal relacionada con la
condicin de la variable controlada, y proporciona la seal de
realimentacin al elemento de comparacin al elemento de comparacin
para determinar si hay o no error.
Una caracterstica necesaria de un sistema de control en lazo cerrado es el lazo
de realimentacin. Este es el medio a travs del cual una seal relacionada con
la variable real obtenida se realimenta para compararse con la seal de
referencia. Se dice que se tiene realimentacin negativa cuando la seal
realimentada se sustrae del valor de referencia, esto es:
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La realimentacin negativa es necesaria para que logre el control. La
realimentacin positiva se presenta cuando la seal realimentada se adiciona al
valor de referencia, esto es:
La seal de realimentacin se combina con el valor de referencia en el
elemento de comparacin. El elemento de comparacin se indica mediante un
crculo con una cruz, este es el smbolo genrico para indicar un elemento de
suma. Cuando en el elemento de comparacin hay realimentacin negativa, el
valor de referencia se marca se marca como una seal positiva y la seal de
realimentacin como negativa de modo que la salida del elemento de
comparacin es la diferencia entre las seales. Si hubiera realimentacinpositiva en el elemento de suma, entonces ambas seales deben marcarse
como positivas.
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CAPITULO 3
ESTABILIDAD DE SISTEMAS
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3.1 INTRODUCCION
Un requerimiento importante para un sistema de control es que debe ser estable.
Esto significa que si el sistema se aplica una entrada de magnitud finita, entonces
la salida debera tambin ser finita y de ningn modo infinita, es decir
incrementndose dentro de un lmite.
Para sistemas lineales el requerimiento de estabilidad se puede definir en trminos
de los polos de la funcin de transferencia en lazo cerrado. Los polos son las
races del polinomio del denominador de la funcin de transferencia y los ceros
las races del numerador de la funcin de transferencia.
Un sistema se puede definir como establesi toda entrada acotada, es decir, finita,
produce una salida acotada. De esta manera, por ejemplo, para toda entrada
escaln aplicada a un sistema la salida debe ser finita.
De manera alternativa, un sistema se puede definir como estable si al estar a una
entrada impulso la salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Si
al responder a la entrada impulso, la salida del sistema tiende a infinito a medida
que el tiempo tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Sin embargo si la
salida no tiende a cero o no crece a infinito, pero tiende a un valor finito diferente
de cero, se dice que el sistema es crtica omarginalmente estable.
La funcin de transferencia en lazo cerrado G(s) de un sistema, en general se
puede representar mediante.
Y si las races del denominador y del numerador se establecen como
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Donde las races del numerador son z1, z2,,zmy se denominan ceros y las
races del denominador son p1, p2,,pn y se denominan polos, K es una
constante multiplicadora o la ganancia del sistema.
Los ceros son los valores de s para los cuales la funcin de transferencia se
convierte en cero. Los polos son los valores de s para l
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