z Arce No Pineda

5/28/2018 z Arce No Pineda

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UNIVERSIDAD VERACRUZANA

FACULTAD DE INGENIERIACAMPUS COATZACOALCOS

MODELADO DE SISTEMAS LINEALES UTILIZANDOMATLAB

MONOGRAFA

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA

AUTOR:ULISES EDUARDO ZARCEO PINEDA

ASESOR:M.C. ALFREDO GONZALES FUENTEVILLA

Coatzacoalcos, Ver. 2010


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MODELADO DE SISTEMAS

LINEALES UTILIZANDO

MATLAB


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INTRODUCCION

Las ecuaciones diferenciales, han sido y siguen siendo, la base para muchas

aplicaciones, como por ejemplo: el movimiento de un objeto, es decir su posicin,

velocidad y aceleracin, modelar la rapidez con la que se enfra un objeto, para

ayudar a entender porque falla un sistema fsico y para muchos ejemplos fsicos

mas, pues como siempre, las matemticas serian ms o menos por as decirlo, el

idioma de la naturaleza, debido a que si queremos poder predecir o describir un

evento ser necesario utilizar modelos con ecuaciones.

El poder representar fenmenos fsicos por medio de ecuaciones ha sido de

mucha utilidad, pero ah no se detiene el asunto, si no que sigue ms lejos hastapoder llegar a controlar el fenmeno y las variables que implican.

La representacin de los sistemas fsicos por medio de ecuaciones se llama

modelado de sistemaspero en ocasiones resulta complicado ver o manejar las

partes del procesos que se lleva, o bien resolver la ecuacin ya es un problema y

se recurre a la resolucin por medio de la Transformada de Laplace, en la cual

se llega a una Funcin de Transferenciaque es la comparacin de la salida con

respecto a la entrada, esto ltimo ser de gran utilidad para el uso de los

Diagramas de Bloque, que en si es la representacin en partes de una planta, en

la cual es ms fcil su anlisis, lo que se busca en este trabajo es la descripcin

de procesos o sistemas por medio del modelado con ecuaciones diferenciales,

transformada de Laplace y con la ayuda de un potente software computacional

llamado Matlabversin 2009.

Se ver cuatro tipos de sistemas, los cuales son los sistemas mecnicos,

elctricos, trmicos, fluidos, los cuales se describen por medio de ecuaciones

diferenciales, estos modelos los pueden encontrar en libros de fsica, solo que con

formulas algebraicas.


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El software ocupado en este trabajo es Matlab, debido a que es como un tipo de

calculadora muy bien equipada, adems de que posee integrado a la vez varias

aplicacin propias como son Guide y Simulink. Este ltimo se ocupara para

representar sistemas lineales como funcin de transferencia. El punto ms

importante de la aplicacin de Matlab, es que el estudiante y el ingeniero solo

deben dedicarse al anlisis nada mas, resolver un sistema de ecuaciones de 6x6 u

otro por as decirlo o una grafica, que encontrar las races de una ecuacin y

aspectos as, esta tarea se la dejamos al software, pues el resolverlo a la antigua,

requiere de tiempo y se est propenso a cometer errores. Ciertamente el

estudiante e ingeniero debe saber que hace el programa, es decir, los

conocimientos necesarios para poder trabajar con este. Matlab adems posee

extensas libreras, libreras y paquetes llamados toolboxes, entre ellosencontramos a Mupad, que es parte de matlab dedicado al clculo simblico,

tiene una interfaz amigable. En estas libreras viene gran variedad de ejemplos

que conforme van saliendo nuevas versiones. Este trabajo es un manual de teora

y ejercicios aplicando este software para la materia Control Clsico que se imparte

en la Universidad Veracruzana. En estas fechas, el manejo de un software para

anlisis se hace indispensable da con da. Como se haba mencionado este es un

material de apoyo para el estudiante de la Universidad Veracruzana para que suformacin sea ms completa.


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AGRADECIMIENTOS

A DIOS

Te agradezco Dios por permitirme haber concluido este trabajo, por estar da con da a

mi lado, ya que nosotros los seres humanos hacemos lo posible y tu lo imposible, ya que

el ser humano sin la ayuda de Dios..esnada.

A MIS PADRES

A mi madre Julia Pineda Saldaa por su tremendo esfuerzo que hizo y hace da con da

con mucha paciencia y amor, por haberme inculcado los principios a los cuales obedezco.

A mi padre Oscar Armando Zarceo por impresionante visin y consejos, simples

consejos que son de vital importancia para mi vida, te agradezco por esas palabras tan

simples y tan llenas de contenido.

A MIS HERMANOS

A mi hermano Hermes Michael, Yazmin Urania, Brisa Guadalupe y Luis Angel por

haberme brindado el cario, paciencia y compaa de todos estos aos, porque son parte

de mi, por los buenos momentos que hacen soportable los sufrimientos que un vive.

A MIS COMPAEROS Y AMIGOS

Les doy las gracias a mis amigos por haberme hecho reir, aunque casi yo no hablaba, a

los compaeros que hacen pasar buenos momentos inolvidables.

A TODOS MIS MAESTROS DE LA UNIVERSIDAD VERACRUZANA

Por simple hecho de ir a clases, pues aunque la mayora de los alumnos no tienen

intensiones de aprender, y solo unos cuantos llegan a entender, creo que aunque solo poruno, quiera aprender, vale la pena ir a ensear..gracias.


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A MI ASESOR

M.C. Alfredo Gonzales Fuentevilla por la oportunidad de haberme dado este tema de

monografa, que es tan interesante e importante, y por gran su paciencia.


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INDICE:

ANTECEDENTES------------------------------------------------------------------------------------9

PROBLEMTICA-----------------------------------------------------------------------------------11

OBJETIVOS------------------------------------------------------------------------------------------12GENERALES-------------------------------------------------------------------------------12

ESPECIFICOS------------------------------------------------------------------------------12

JUSTIFICACION------------------------------------------------------------------------------------13

HIPOTESIS-------------------------------------------------------------------------------------------14

METODOLOGIA------------------------------------------------------------------------------------15

IMPACTO AMBIENTAL--------------------------------------------------------------------------16

SOBRE EL SOFTWARE MATLAB 2009----------------------------------------------------17

SOBRE COREL DRAW X4----------------------------------------------------------------------19

CAPITULO 1.- SISTEMAS LINEALES-------------------------------------------------------20

1.1 Introduccin.---------------------------------------------------------------------------------21

1.2Definicin.------------------------------------------------------------------------------------22

1.3Sistemas mecnicos----------------------------------------------------------------------24

1.3.1 Movimiento libre no amortiguado-----------------------------------------------24

1.3.2Movimiento libre amortiguado---------------------------------------------------27

1.3.3Movimiento forzado con amortiguamiento-----------------------------------30

1.3.4 Estado estable y transitorio-----------------------------------------------------32

1.3.5 Resonancia pura-------------------------------------------------------------------33

1.4Sistema elctricos-------------------------------------------------------------------------35

1.5Sistemas trmicos-------------------------------------------------------------------------37

1.6 Sistema fludicos--------------------------------------------------------------------------42

CAPITULO 2.- MODELOS MATEMATICOS------------------------------------------------51

2.1 Introduccin--------------------------------------------------------------------------------52

2.2 Ecuaciones diferenciales---------------------------------------------------------------55

2.3 Transformada de Laplace y Antitransformada de Laplace--------------------57

2.4 Algebra de bloks--------------------------------------------------------------------------58


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2.5 Funcin de transferencia---------------------------------------------------------------67

2.6 Transformada Z.---------------------------------------------------------------------------69

2.7 Sistemas en lazo abierto y sistemas en lazo cerrado---------------------------70

CAPITULO 3.- ESTABILIDAD DE SISTEMAS--------------------------------------------74

3.1 Introduccin.-------------------------------------------------------------------------------75

3.2 Criterio de estabilidad de Routh------------------------------------------------------78

3.3 Lugar geomtrico de las races.------------------------------------------------------80

3.4 Respuesta en la frecuencia------------------------------------------------------------83

3.4.1 Seales de prueba tpicas--------------------------------------------------84

3.5 Controladores------------------------------------------------------------------------------86

3.5.1 Introduccin.--------------------------------------------------------------------863.5.2 Clasificacin de los controladores industriales.-----------------------87

CAPITULO 4. -MANUAL DE PRCTICAS--------------------------------------------------91

4.1 Aplicacin de la Transformada de Laplace---------------------------------------92

4.2 Resolviendo Ecuaciones Diferenciales en Matlab-----------------------------100

4.3 Desarrollo de fracciones parciales en Matlab-----------------------------------105

4.4 Transformada Inversa de Laplace-------------------------------------------------1104.5 Sistema Masa-Resorte----------------------------------------------------------------113

4.6 Reduccin de Diagramas de bloques---------------------------------------------125

4.7Anlisis de la Respuesta--------------------------------------------------------------129

4.8 Criterio de estabilidad de Routh-----------------------------------------------------136

4.9 Lugar geomtrico de las races.-----------------------------------------------------138

4.10 Diagrama de Bode--------------------------------------------------------------------140

4.11 Diagrama de Nyquits.----------------------------------------------------------------144

4.12 Sistema Masa-Resorte en Simulink----------------------------------------------147

4.13 Sistema Elctrico en Simulink.-----------------------------------------------------157

4.14Sistema Fludico en Simulink.------------------------------------------------------161

4.15 Ecuacin diferencial en simulink.-------------------------------------------------166

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES-----------------------------------------176


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BIBLIOGRAFIA------------------------------------------------------------------------------178

APENDICE Y ANEXO----------------------------------------------------------------------179

1. Fracciones parciales----------------------------------------------------------179

2. Uso bsico de Matlab---------------------------------------------------------180

RESEA AUTOBIOGRAFICA-----------------------------------------------------------182


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ANTECEDENTES

Desde mi punto de vista, la filosofa del ser humano, cuando le interesa un

proceso o un evento es buscar como se provoca, que variables influyen en el

proceso, como se controla (activar o desactivar), se opera tambin pensando

encuentra que lo provoca y encontraras como detenerlo , algo comn por

ejemplo: una reaccin de oxidacin o corrosin en metales, respondiendo a las

preguntas anteriores seria:

Como se provoca o que lo causa: El contacto de metales de mayor y menos

potencial electrodo, no necesariamente es el contacto de dos metales, pero la

causa es la transferencia de electrones, si, movimiento de electrones, por lo tanto

hay corriente elctrica en CD, pero en valores muy pequeos, pero eso causa la

oxidacin de los metales.

Que variables influyen: El potencial electrodo, el ambiente, etc.

Como se controla: Bueno, si se puede controlar, pero no detener, se puede

aprovechar a nuestro favor, las pilas son un ejemplo. Se controla aislando lo masque se pueda el material con pintura, recubrimiento u otro medio, pero no por

mucho tiempo durara esta proteccin, por eso los programas de mantenimiento a

estructuras y puentes que lleven partes metlicas.

La solucin sera entonces, controlar la transferencia de electrones, es decir,

reducirla por medio de un recubrimiento o bien aprovechando el potencial

electrodo, es decir el uso de nodos de proteccin, que en s, este se oxidara y

proteger a la pieza u objeto de inters.

Lo anterior ha sido posible gracias a la evolucin de la forma de resolver

problemas. De la observacin constante de los fenmenos y procesos, la medicin

de los procesos, debe recordarse que para poder medir, hay que comparar. Las


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tcnicas de observar, medir, describir han sido resultado del inters de un

proceso o fenmeno.

Hasta bien entrado el siglo XX las nicas herramientas analticas que posea el

especialista en control eran la utilizacin de ecuaciones diferenciales ordinarias

junto con criterios algebraicos para determinar la posicin de las races de la

ecuacin caracterstica asociada. Aplicando el criterio de Routh y Hurwitz el

ingeniero determinaba la estabilidad o no de los sistemas, pero para esto se deba

obtener el modelo matemtico operando mediante ecuaciones diferenciales. Esto

supona un arduo trabajo. Adems hay que destacar que el criterio de Routh y

Hurwitz no ofrece informacin de cmo mejorar la estabilidad del sistema.

Desde el punto de vista terico, la Ingeniera de Control se empieza a consolidar

cuando se produce el traslado y aplicacin de los conocimientos adquiridos en los

problemas de amplificacin de seales a los problemas de control industrial.

Estos estudios desembocan en la llamada Teora Clsica de Control, en la cual se

utilizaban como herramientas matemticas los mtodos de Transformacin de

Laplace y Fourier y la descripcin externa de los sistemas.


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PROBLEMTICA

La teora de control es fundamental para el estudiante de ingeniera en nivel

avanzado, pues las leyes de control rigen muchos procesos y saber cmo

funciona es necesario para poder estudiarlo. Ahora el anlisis de esta materia

resulta necesario la utilizacin de un software de computadora, es casi

indispensable manejar por lo menos uno de ellos, por suerte tenemos a Matlab, un

potente software de calculo que facilita en gran medida el aprendizaje, la

interaccin del ser humano con la computadora se hace ms frecuente da con

da.

Por lo tanto, tenemos la siguiente problemtica.

Es posible llegar a aprender la materia control clsico en menos tiempo, ya que

es una materia extensa, es decir agilizar el aprendizaje del estudiante en la

visualizacin de los conceptos necesarios para esta asignatura?


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OBJETIVOSOBJETIVO GENERAL

Ayudar al estudiante de la carrera ingeniera mecnica elctrica en el

aprendizaje de la materia control clsico por medio de la interaccin

con Matlab, debido a que el estudiante solo se debe dedicar al anlisis

y a la interpretacin de datos.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Describir la teora bsica de ecuaciones diferenciales necesaria para

el estudio de control.

Describir la teora de los sistemas lineales.

Describir cuatro sistemas lineales para el anlisis con Matlab.

Describir el uso y tener una gua de los comandos necesarios para el

uso de Matlab en control clsico.

Describir los mtodos de anlisis y teora de sistemas de control

como son los polos y ceros, anlisis de la respuesta

Elaboracin de 15 ejercicios para el estudiante con la utilizacin de

Matlab, los ltimos 4 utiliza la interfaz de la aplicacin de Simulink.

Revisin del trabajo de experiencia recepcional.

Presentacin del examen profesional.


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JUSTIFICACION

La utilizacin de software para el anlisis de sistemas como Matlab, permite ver

mediante sus graficas la estabilidad del sistema. Ms que todo siempre nos ha

interesado cmo se comporta un sistema cuando se disea, ya sea mecnico,

elctrico, trmico o fluido. Nos hacemos preguntas como: funcionara?, no se

romper?, si funciona, cunto tiempo soportara las condiciones?. Por esa razn

las graficas que comnmente se hacen, se dan contra el tiempo, es decir, la

variable se mide a travs del tiempo; aunque claro, se pueden hacer mediciones

respecto a otras variables, pero la comn, y siempre importantes, sern las que se

grafiquen en funcin de tiempo.

En este trabajo se expone parte del contenido de la materia control clsico, pues

fue necesario, pero principalmente se presenta la utilizacin de Matlab para el

anlisis de los sistemas, ciertamente hay mucho material sobre este tema, pero la

idea es presentar de la forma ms fcil posible este anlisis de sistemas por medio

de este software, el tener una gua de estudio de este tipo es de mucha ayuda, a

que no tener nada, o estudiarlo por cuenta propia, pues se invierte tiempo, tiempo

que a veces no hay. Se hace nfasis en que el estudiante solo se dedique alanlisis.


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HIPOTESIS

El uso de Matlab obviamente no se limita solamente a control, si no a circuitos,

electrnica, y otros temas ms. Este trabajo es un material de apoyo para la

materia control clsico, pero se aclara que se hace nfasis en los sistemaslineales y continuos en el tiempo, ms adelante se describir el termino de la

linealidad de los sistemas. Las nuevas generaciones de estudiantes

increblemente estn ms familiarizadas con la tecnologa, as que quedarnos

atrs y no actualizarnos no conviene, jvenes de preparatoria y secundaria ya

manejan a la perfeccin la paquetera bsica de la computadora, y la gran mayora

de nosotros apenas y nos enteramos de que era Matlab. As de esta manera los

estudiantes de las generaciones que vienen tendrn este trabajo para su estudio.


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METODOLOGIA

Si buscamos esta definicin de metodologa nos dice que es:

Estudio de mtodos, aplicacin coherente de un mtodo. Lo cual nos lleva a

concluir que es un conjunto de operaciones ordenadas para lograr un objetivo oresultado.

Estableciendo los criterios en los que se basa este trabajo son:

Descripcin de los temas.

Analogas de los s istem as, por medio de explicaciones sencillas.

Anlisis del problema y formulacin de la ecuacin diferencial.

Hallar la solucin del sistema.

Graficar la ecuacin que describe al sistema.

Describir como se utiliza Matlab para las aplicaciones que corresponda.

Utilizacin de Simulink.

Cuando no entendemos algn tema como por ejemplo, la corriente elctrica de

una serie de cables, ya sean en paralelo o en serie, a veces la descripcin de la

corriente elctrica se explica ms fcilmente por medio de analogas como la

corriente de agua en tuberas.


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IMPACTO AMBIENTAL

No aplica el impacto ambiental, pues solo es la realizacin de un manual de

prcticas para la materia control clsico, adems de la utilizacin del software

Matlab y por lo tanto no se generan daos al medio ambiente.


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SOBRE MATLAB 2009

Matlab es al mismo tiempo un entorno y un lenguaje de programacin. Uno de sus

puntos fuertes es el hecho de que el lenguaje de matlab permite construir nuestras

propias herramientas reusables. Podemos fcilmente crear nuestras propiasfunciones y programas especiales (conocidos como archivos M) en cdigo

matlab. Los podemos agrupar en Toolbox: coleccin especializada de archivos M

para trabajar en clase particulares de problemas.

La forma ms fcil de visualizar Matlab es pensar en el cmo en una calculadora

totalmente equipada, aunque, en realidad, ofrece muchas caractersticas y es

mucho ms verstil que cualquier calculadora. Matlab es una herramienta para

hacer clculos matemticos. Es una plataforma de desarrollo de aplicaciones,donde conjuntos de herramientas inteligentes para la resolucin de problemas en

reas de aplicacin especfica, a menudo llamadas toolboxes, se pueden

desarrollar con relativa facilidad

Otra definicin para saber ms es que es un paquete de software orientado hacia

el clculo numrico cientfico e ingenieril. Integra clculo numrico, computacin

de matrices y grficos en un entorno de trabajo cmodo para el usuario. Su

nombre significa Laboratorio de Matrices. Posteriormente se han aadido libreras,

denominadas toolboxes, especializadas en diferentes areas cientficas, de entre

ellas podemos destacar:


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Simulink Toolbox

Control System Toolbox

System Identification Toolbox

Robust Control Toolbox

Signal Processing Toolbox

Filter Desing Toolbox

Symbolic Math Toolbox

Por su particular inters para nuestra rea de conocimiento. La ltima lista

Symbolic Math Toolbox, est basada en el programa de clculo simblico Maple y

utiliza una sintaxis diferente.

Matlab ha evolucionado y crecido con las aportaciones de muchos usuarios. En

entornos universitarios se ha convertido, junto con Mathematica y Maple, en una

herramienta instructora bsica para cursos de matemticas aplicadas as como

para cursos avanzados en otras reas. En entornos industriales se utiliza para

investigar y resolver problemas prcticos y clculos de ingeniera. Son

aplicaciones tpicas el clculo numrico, la realizacin de algoritmos, la resolucin

de problemas con formulacin matricial, la estadstica, la optimizacin, etc. Es de

destacar la aplicacin en el estudio, simulacin y diseo de los sistemas dinmicosy de control.

Se pondrn varias lneas de cdigo en matlab para poder graficar algunas

funciones que son necesarias para poder entenderlas mejor.

Este software es el que se utilizara ms de aqu en adelante


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SOBRE COREL DRAW X4

Corel Draw X4 es una herramienta de grficos que adems de disear paginas,

permite editar fotografas.

CorelDRAW es un programa avanzado de edicin grfica con funciones bsicasde composicin de pgina, utilizado en el mbito de las artes grficas. Es parte del

paquete de software Corel Graphics Suite y es desarrollado por Corel Corporation.

CorelDRAW sirve para editar grficos basados en vectores. Este tipo de grficos,

a diferencia de los grficos en forma de pxeles, utiliza lneas o curvas para

plasmar las figuras grficas que representan. De esta forma, por ejemplo, la figura

de un cuadrado puede ser representada por cuatro lneas y no por una sucesin

de pxeles en un arreglo de dimensin esttica. Como ejemplo, pueden ser

dibujados utilizando herramientas vectoriales una invitacin, logotipos,

ilustraciones, folletos, calendarios, tarjetas, afiches, volantes, letreros, etc. Y nos

sirven para ser representados paisajes, fotografas, cuadros, retratos, etc.

Las ventajas de las imgenes vectoriales son que stas ocupan muy poca

memoria y se pueden someter a grandes transformaciones sin que ello afecte en

lo absoluto su calidad.

Este programa se utilizo porque las imgenes que se requeran nos e encontraban

en internet, por lo tanto hubo la necesidad de hacerlas, las imgenes que tiene

este trabajo tienen muy buena resolucin y son relativamente fciles de hacer,

ademas de que le dan un buen aspecto al trabajo, por esta razn se menciona su

aplicacin y el modo en que sirvi a la realizacin de la monografa.


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CAPITULO 1SISTEMAS LINEALES


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1.1 INTRODUCCION

A mi punto de vista todo tiende a la automatizacin y control del entorno con el

objetivo de volver nuestro trabajo ms cmodo en todos los procesos sin

excederse de lo necesario, desde el primer momento en donde el ser humano

intenta dominar su entorno y los fenmenos naturales para hacer su vida ms fcil

surge de inmediato la idea de controlar, ciertamente se quisiera mantener todo o

la mayora a su disposicin y control, pero no es posible, debido a que en primer

lugar, no es posible predecir todo debido a la complejidad que puede llevar, sin

embargo cuando no se extiende mucho el tema y solo se dedica a controlar solo

una pequea parte de todo proceso, es posible predecir su comportamiento yllegar a dominarlo.

En la industria se requiere de control de procesos, pero para poder comprenderlos

es necesario del estudio de tal proceso, buscar algn tipo de ecuacin que lo

describa como en fsica, se topara uno que puede llegarse a sistemas de

ecuaciones lineales algebraicas, sistemas que lleven funciones que contengan

trminos trigonomtricos, exponenciales, logartmicos, o bien sistemas de

ecuaciones diferenciales, dependiendo si las funciones son continuas o no en el

tiempo, si estn en el dominio del tiempo o de algn otro tipo de variables en la

cual puedan ser descritos adecuadamente, si son cantidades escalares o

vectoriales, si son en tiempo continuo o en tiempo discreto, etc.

En el librocontrol automtico de procesos me llam la atencin una parte que

dice: Los autores estn convencidos de que, para controlar un proceso, el

ingeniero debe entenderlo primero.

Aparte de lo anterior mencionado, en los procesos es posible describirlo por medio

de las ecuaciones diferenciales, sin embargo, en ocasiones se hace difcil,

describirlos por medio de estas ecuaciones, y ms la manera en que se resuelven,

as que se utiliza la Transformada de Laplacecon la cual se llega a una forma


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llamada funcin de transferencia, esta ultima compara la salida con la entrada,

con la cual es posible describir un proceso.

Se hablara del modelado de sistemas, que no es ms que la interpretacin de

sistemas ya sean dinmicoso estticospor medio de ecuaciones diferenciales.

1.2 DEFINICION

Un sistema lineal es aquel que puede describirse por medio de una ecuacin

diferencial lineal del orden n, pero siempre y cuando sea lineal.

Tambin se entiende por sistemas lineales como aquellos que pueden ser

descritos por medio de ecuaciones lineales algebraicas y que cumpliendo la

condicin de que el numero de ecuaciones debe ser igual al nmero de incgnitas,

ser posible resolverlo, pero en cambio, las ecuaciones diferenciales tiene que

ser identificadas con claridad, es decir, si son lineales, de que orden son, numero

de incgnitas, si son parciales o no, todo ello para aplicar el mtodo de resolucin

correcto a la ecuacin.

En este trabajo consideraremos los sistemas lineales desde el punto de vista de

las ecuaciones diferenciales.

Al examinar las ecuaciones diferenciales se contina con la bsqueda de las

soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Las ecuaciones

diferenciales lineales son una familia en particular amigable de ecuaciones

diferenciales en el sentido de que, dada una ecuacin lineal ya sea de primer

orden o de orden superior, siempre hay una buena posibilidad de que se pueda

encontrar algn tipo de solucin de la ecuacin que se pueda considerar.

La forma general de una ecuacin diferencial lineal de n-simo orden se da en la

forma:


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Es una ecuacin lineal en la variable dependiente y.

Si x y y denotan variables independientes y dependientes, respectivamente,

entonces las caractersticas de una ecuacin lineal son como sigue: yy todas sus

derivadas son de primer grado, y los coeficientes son constantes o dependen de x

pero no de y.

Un sistema dinmico, es un sistema que cambia o evoluciona con el paso

del tiempo t.

En la imagen tenemos un auto de carreras que se mueve con una velocidad va

una distancia dx, en un intervalo de tiempo dt, puede observarse como una

ecuacin, sencilla de fsica elemental, puede convertirse en una ecuacin

diferencial, que puede volverse algo complicado por a si decirlo, pero eso depende

claro del nivel de formulacin de la ecuacin, de ah el nivel de resolucin de la

ecuacin diferencial.

Como se haba dicho, es un sistema que vara con respecto a alguna variable,

esto nos lleva a pensar en varios conceptos como: Posicin, velocidad,

aceleracin, esto en el movimiento rectilneo. Tenemos tambin sistemas fluidos,

sistemas trmicos y sistemas elctricos que se mencionaran ms adelante, todos

los anteriores que varan con respecto a alguna variable, de la cual dependen que

por lo comn es el tiempo.

En trminos ms precisos, un sistema dinmico consiste en un conjunto de

variables dependientes del tiempo u otras variables, llamadas variables de

estado, junto con una regla que permite determinar el estado del sistema (este


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podra ser un estado pasado, presente o futuro) en trminos de un estado

prescrito en algn tiempo t0. Los sistemas dinmicosse clasifican como sistemas

discretos o continuos en relacin con el tiempo.

1.3 SISTEMAS MECANICOS

Para empezar hablar, sobre este tema, se entiende por sistema mecnico como

aquel que contiene piezas metlicas o no metlicas y que este se rige total o

parcialmente por las leyes de mecnica fsica.

Porque se mencionan los sistemas mecnicos y elctricos, es decir, porque existeuna relacin muy interesante entre un circuito elctrico en serie y un sistema

mecnico con amortiguadores y resortes, resulta que ambos sistemas son

posibles describirlos por una misma ecuacin diferencial lineal.

Una sola ecuacin diferencial puede servir como modelopara diversos sistemas

fsicos, la descripcin matemtica de un sistema masa resorte es idntico por

ejemplo al de un circuito en serie.

Consideremos los siguientes casos, el antes mencionado es el primero de 3

casos. Para empezar se analizara un sistema mecnico llamado en fsica

SISTEMA MASA-RESORTE.

1.3.1 MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO

Tambin llamado en fsica Movimiento Armnico Simple (MAS)

Para este tipo de movimiento tenemos las siguientes ecuaciones; las dos primeras

que surgen de la segn ley de newton y las dems son desarrollo de las primeras:


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Donde

Esta es la ecuacin de movimiento armnico simple o movimiento libre no

amortiguado, y la solucin general es la siguiente

Las siguientes lneas, son lneas de cdigo en matlab, son para graficar la

ecuacin descrita anteriormente

t=[0:0.001:10];

w=2;

x=sin(w*t) + cos(w*t);

plot(t,x,'+')

grid


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La grafica es para una magnitud de y un intervalo de tiempo desde 0, hasta

10

El periodo del movimiento es:

Donde f es la frecuencia circular del sistemao frecuencia natural del sistema.

Forma alternativa de x(t)

Cuando c10, y c20, la amplitud real de A de las vibraciones no es evidente de

la ecuacin:

Una forma ms simple de la ecuacin anterior es:

Donde:

A = Amplitud real

= Angulo de fse

En el modelo para el resorte cada vez ms viejo, la constante del resorte k se

reemplaza por la funcin decreciente:

, , ,


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Entonces nos queda la ecuacin diferencial de la siguiente manera:

Ahora cuando un sistema masa-resorte se somete a un ambiente en el cual la

temperatura disminuye con rapidez, podra tener sentido reemplazar la constante

k con:

,

El modelo resultante:

Es una forma de la ecuacin diferencial de Airy.

1.3.2 MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO

En el sistema 1 (MAS) se supone que no hay fuerzas retardadoras actuando sobre

la masa en movimiento. A menos que la masa est suspendida en un vacio

perfecto, habr por lo menos una fuerza de resistencia debido al medio

circundante. La ecuacin de movimiento libre amortiguado:

Donde es la constante de amortiguamiento y el signo negativo es una

consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamiento acta en la direccin

opuesta al movimiento. Al dividir la ecuacin anterior entre la masa:


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O bien:

Donde:

Donde se usa por conveniencia algebraica. En la ecuacin auxiliar es:

Las races de la ecuacin son:

, y

Se pueden distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de

, puesto que la solucin contiene el factor de amortiguamiento , ,los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando aumenta el

tiempo t.

1.- . En esta situacin el sistema esta sobreamortiguado, la solucin

es:

2.- .Este sistema esta crticamente amortiguado, la solucin es:

Siendo y constantes.


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3.- , En este caso el sistema esta subamortiguado, las races m1 y

m2son complejas y son:

As la solucin de la ecuacin diferencial es:

En los tres casos anteriores mencionados, el trmino hace que las

amplitudes de la vibracin tiendan a cero cuando el tiempo tiende a infinito.

A continuacin se grafican en matlab las siguientes soluciones de los casos antes

mencionados:


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1.3.3 MOVIMIENTO FORZADO CONAMORTIGUAMIENTO

Ahora se toma en consideracin una fuerza externa f(t)que acta sobre la masa

vibrante en un resorte.


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Por ejemplo, f(t), podra representar una fuerza motriz que causa un movimiento

vertical oscilatorio del soporte del resorte. La inclusin de f(t)en la formulacin de

la 2 Ley de Newton da la ecuacin diferencial de movimiento forzado:

Al dividir esta ecuacin entre la masa se obtiene.

Donde F(t)=f(t)/m. Debe mencionarse que tipo de

entrada tiene este sistema, es decir, la fuerza f(t),

puede ser constante, creciente u oscilante con el

tiempo, la salida depender en mayor medida de la

entrada aplicada, pero tambin queda determinada

la salida por la forma del sistema.

Esta ltima ecuacin es de un sistema de segundo orden que tiene

amortiguamiento, resorte y una masa.

Este tipo de ecuacin tambin aplica para un sistema sometido a torsin.Supngase una masa cilndrica perfecta suspendida y adherida horizontalmente a

una pared, como se muestra en la figura:

La ecuacin que describe al sistema es:


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32

Siendo el momento de inercia, c el coeficiente de amortiguamiento, k, la

constante del resorte, es el desplazamiento angular, y T el par de torsin

aplicado.

1.3.4 ESTADO ESTABLE Y ESTADOTRANSITORIO

Hay ecuaciones diferenciales como por ejemplo, el problema con valor inicial (PVI)

siguiente:

Sujeta a:

, Donde x1es constante, y la solucin est dada por:

El trmino es llamado trmino transitorio, por el factor , yaque en una grafica tendera a cero, mientras que el trmino , es llamado

trmino en estado estable, o solucin estable, debido a que en una grafica,

oscilara cuando

Por tanto es necesario observar el efecto de las condiciones inciales en un

sistema masa-resorte impulsado por F, es transitorio.

En la ED (Ecuacin Diferencial) de movimiento forzado con amortiguamiento,

cuando se ejerce una fuerza peridica sin fuerza de amortiguamiento, no hay

trmino transitorio en la solucin del problema. Tambin se ve que una fuerza

peridica con frecuencia cercana o igual que las frecuencias de las vibraciones

libres amortiguadas causa un problema grave en un sistema mecnico oscilatorio

llamadoresonancia.


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33

1.3.5 RESONANCIA PURA.

Considerando un sistema masa resorte, por ejemplo el sistema forzado no

amortiguado, cuya ecuacin diferencial es la siguiente:

Sujeta a las condiciones inciales siguientes:

, ,

Donde Foes una constante y , La solucin complementaria es:

La solucin particular es:

La solucin general es la suma de la solucin particular y la solucin

complementaria:

Aplicando condiciones inciales se tiene que:

Donde

La ecuacin anterior no se define para . El valor limite cuando se

obtiene al aplicar la regla de L Hopital. Este proceso limitante es anlogo a

sintonizar la frecuencia de la fuerza impulsora con la frecuencia de las


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34

vibraciones libres . Lo que pasara despus es que en un espacio de

tiempo se deban de incrementar en forma sustancial las amplitudes de vibracin.

En el caso de que , la solucin del sistema es:

Cuando , los desplazamiento se vuelven ms largos, el fenmeno anterior

se conoce como resonancia pura, como se muestra en la imagen producida en el

software matlab.

Si en realidad una ecuacin como la anterior describiera los desplazamientos de

un sistema resorte-masa, el sistema necesariamente fallara. Las oscilaciones

grandes de la masa forzaran en algn momento el resorte, ms all de su lmite

elstico. Aunque es verdad que la resonancia no puede ocurrir cuando se toma en

consideracin una pequea cantidad de amortiguamiento, las amplitudes de

vibracin grandes igualmente destructivas pueden ocurrir (aunque limitadas

cuando ).


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1.4 SISTEMAS ELECTRICOS.

Circuito LRCen serie. Como se ha mencionado antes, varios sistemas diferentes

se describen por medio de un tipo de ecuacin diferencial de segundo orden

similar a la ecuacin diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento.

Considere el circuito serie que se muestra en la figura, el cual tiene un inductor, un

resistor y un capacitor, la corriente en un circuito despus de que se cierra un

conmutador se denota mediante:i(t).

Si i(t) denota la corriente en el circuito elctrico en serie LRC mostrado en la

figura,

Entonces las cadas de voltaje en el inductor, capacitor, y resistor se calculan

como se ve en la figura.


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36

Mediante la segunda Ley de Kirchhoff, la suma de estos voltajes es igual al

voltaje E(t)aplicado al circuito; es decir.

Obsrvese, que la ecuacin esta en forma de q(t),y no con i(t), aunque tambin

se puede dejar en funcin de i(t)y quedara como sigue:

Donde E(t)es el voltaje aplicado al circuito serie.

Solo que es una ecuacin diferencial de primer orden, y no de segundo orden

como la ecuacin en funcin de q(t). Pero al derivarla una vez ms se convierte en

una ecuacin de segundo orden y resolver por medio de los mtodos estndar

encontrando la solucin particular o complementaria y quedara como sigue:

Pero en fin, volvamos con la ecuacin

Como podr observarse, la nomenclatura usada en el anlisis de circuitos es

similar a la que emplea para describir sistemas resorte-masa.

Si E(t)=0, se dice que las vibraciones elctricas del circuito estn libres. Debido a

que la ecuacin auxiliar para la ecuacin anterior es:


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Habr tres formatos de solucin con R 0, dependiendo del valor del

discriminante:

Se dice que el circuito es:

Sobreamortiguado si R2- 4*L/C >0

Crticamente amortiguado si R2- 4*L/C =0

Subamortiguado si R2- 4*L/C


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Tm, es la temperatura del medio circundante.

dT/dt, es la rapidez a la cual cambia la temperatura del cuerpo.

La formulacin de esta ley es:

Donde kes una constante de proporcionalidad. En cualquier caso, enfriamiento o

calentamiento, si Tmes una constante es razonable que k


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El valor de la resistencia depende del modo en el que se transfiere el calor. En la

conduccin a travs de un slido, para conduccin unidimensional:

Donde A es el rea de la seccin transversal del material a travs del cual se

conduce el calor y L, la longitud del material entre los puntos cuyas temperaturas

son T1 y T2. La conductividad trmica es k. Por lo tanto al comparar las dos

ecuaciones anteriores se obtiene:

Por lo tanto la resistencia trmicaes inversamente proporcional a la conductividad

trmica.

Cuando la transferencia de calor es por conveccin, como se lleva a cabo en

lquidos y gases, entonces:

Donde A es el rea superficial a travs de la cual existe la diferencia de

temperaturas y h el coeficiente de transferencia de calor. De este modo, al

comparar esta ecuacin con la primera ecuacin.

La capacitancia trmicaes una medida del almacenamiento de la energa interna

en un sistema. De este modo, si la razn de flujo de calor en el interior de un

sistema esq1y la razn de flujo de calor que sale es q

2, entonces:

Un incremento en la energa interna significa un incremento en la temperatura. Por

lo tanto:


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Donde mes la masa y c la capacidad calorfica especifica, entonces:

De este modo:

Donde dT/dt es la tasa de cambio en la temperatura. Esta ecuacin se puede

escribir como:

Donde Ces la capacitancia trmica.

No hay un equivalente trmico al inductor elctrico. Los resistores elctricos

disipan energa, transformndola en calor. La resistencia trmica no se puede

describir como un disipador de energa, pero describe la consecuencia de que

haya una diferencia de temperaturas, describiendo solo el flujo de calor.

Ahora se considera un termmetro a una temperatura T que se sumerge en un

lquido que esta a una temperatura TL. Si la resistencia trmica al flujo de calor del

lquido al termmetro es R, entonces se tiene:

Donde qes la razn de flujo de calor neta

del lquido al termmetro.

La capacitancia trmica C del termmetro

est dada por la ecuacin:


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41

Puesto que solo hay flujo de calor del liquido al termmetro, entonces q1 = q y

q2=0. De esta manera

Al sustituir el valor de qde esta ltima ecuacin en la primera ecuacin tenemos:

Al reordenar esta ecuacin se obtiene:

Esta ecuacin describe como variara la temperatura Tindicada por el termmetro

cuando este se sumerge en un lquido caliente. La analoga elctrica de este

sistema trmico es el circuito que muestra en la figura, un circuito resistor-

capacitor en serie. Cerrar el interruptor equivale a la accin de sumergir el

termmetro en el lquido, solo entonces la corriente y el calor empiezan a fluir. Elcambio en la temperatura del termmetro desde su valor inicial equivale al cambio

en la diferencia de potencial a travs del capacitor.


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1.6 SISTEMAS FLUIDOS

DRENADO DE UN DEPSITO.

En hidrodinmica, la ley de Torricelli establece que la velocidad vdel flujo de

salida de agua por un agujero terminado en punta en el fondo de un depsito lleno

hasta una profundidad h es la misma que adquirira un cuerpo (en este caso la

cada de agua) al caer libremente desde una altura h, es decir:

Donde, g es la aceleracin de la gravedad, esta ltima expresin proviene de

igualar la energa cintica con la energa potencial mghy de ah despejar v.

Se hace la suposicin que el agua contenida en un depsito se deja salir por un

orificio bajo la influencia de la gravedad. Se deseara determinar la profundidad h

del agua restante en el depsito en el instante t. Considere el depsito de la figura.

Si el rea del orificio es Ah(en pies2) y la velocidad del agua que sale del depsito

por segundo es:

(En pies3/s).

As si V(t) denota el volumen de agua en el

depsito en el instante t, entonces:

Donde el signo menos indica que Vdisminuye. Se ignora la posibilidad de friccin

en el orificio que podra causar una reduccin en flujo. Ahora si en el depsito es

tal que el volumen de agua dentro de el en el instante tse puede describir como:


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Donde Aw (en pies2) es el rea constante del rea superior del recipiente,

entonces:

Al sustituir esta expresin que contiene el signo negativo de Ah se obtiene la

ecuacin diferencial deseada para la altura del agua en el instante t:

Esta ecuacin se deduce de la Ecuacin de Bernoullique se ve en mecnica de

fluidos, la ecuacin estar en trminos de presiones, tambin puede darse entrminos de altura.

En la cual se van eliminado los trminos constantes.

En sistemas de flujo de fluidos existen tres bloques funcionales, los cuales se

puede considerar el equivalente de la resistencia, la inductancia y la capacitancia.

Para estos sistemas la entrada, el equivalente de la corriente elctrica, es la razn

de flujo volumtrico q, y la salida, el equivalente de la diferencia de potencial

elctrico, es la diferencia de presiones,(P1-P2).

Los sistemas fludicos se pueden considerar en dos categoras: los hidrulicos y

los neumticos. Los hidrulicosson aquellos en los que el fluido es un lquido que

se considera incompresible, y los neumticosson los que su fluido es un gas que

puede ser compresible y presenta cambios de densidad.


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La resistencia hidrulicaes la resistencia a fluir que se presenta como resultado

de un flujo de lquido a travs de vlvulas o cambios de dimetro de las tuberas.

La relacin entre la razn de flujo volumtrico q del lquido a travs de un

elemento resistivo y la resultante diferencia de presiones es:

Donde R es una constante llamada resistencia hidrulica. A mayor resistencia

hidrulica, mayor es la diferencia de presiones para dar una razn de flujo.

La Capacitancia Hidrulica es el trmino que se emplea para describir el

almacenamiento de energa con el lquido, donde esta se almacena en forma de

energa potencial. La altura del lquido en un contenedor, que se denomina cargade presin, es una forma de dicho almacenamiento.

Para esta capacitancia. La tasa de cambio, el volumen V en el contenedor, es

decir dV/dt, es igual a la diferencia entre la razn de flujo q 1a la que el fluido entra

en el contenedor y la razn de flujo q2a la que el fluido deja el contenedor.


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Pero V=Ah, donde Aes el rea de la seccin transversal del contenedor y h la

altura del fluido en el. Por lo tanto:

Pero la diferencia de presiones entre la entrada y la salida es p, donde

Donde es la densidad del lquido y ges la aceleracin de la gravedad. As,

Si se considera que el lquido es incompresible, es decir, su densidad no cambia

con la presin. La capacitancia hidrulica Cse define como:

De este modo

Al integrar esta ecuacin se obtiene:

La inertancia (inercia) hidrulica es el equivalente a la inductancia en sistemas

elctricos o a un resorte en un sistema mecnico. Para acelerar un fluido y as

incrementar su velocidad se requiere una fuerza. Considere un bloque de lquido

de masa m, la fuerza neta que acta sobre el lquido es:


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Donde es la diferencia de presiones y A es el rea de la seccin

transversal. La fuerza neta propicia que la masa se acelere con una aceleracin

a, y as.

Pero aes la tasa de cambio de la velocidad dv/dt, por lo tanto

Pero la masa del liquido considerado tiene un volumen AL, donde Les la longitud

del bloque de liquido o la distancia entre los puntos en el liquido donde se miden

las presionesp1yp

2. Si el liquido tiene una densidad , entonces

m=AL, y as:

Donde la inertancia hidrulica Ise define como:

Con los sistemas neumticoslos tres bloques funcionales son, al igual que en los

sistemas hidrulicos, resistencia, capacitancia e inertancia. Sin embargo, los

gases difieren de los lquidos en que los primeros son compresibles, es decir, un

cambio en la presin causa un cambio en el volumen y, por lo tanto, en la

densidad.

La resistencia neumticaRse define en trminos de la razn de flujo msico yla diferencia de presiones como:

La capacitancia neumticaCse debe a la compresibilidad del gas, de esta manera

muy parecida a la compresin de un resorte al almacenar energa. Si hay una


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razn de flujo msico que entra al contenedor de volumen Vy la razn de flujo

msico que sale de este, entonces la razn a la cual est cambiando la masa

en el contenedor es:

Si el gas en el contenedor tiene una densidad , entonces la tasa de cambio de la

masa en el contenedor es:

Pero tanto como Vpueden variar con el tiempo. Por lo tanto

Puesto que (dV/dt) = (dV/dp)(dp/dt) y para un gas idealpV=mRT,en consecuencia

p = (m/V)RT = RT y asi d/dt = (1/RT)(d/dt), entonces

Donde Res la constante de los gases y T,es la temperatura en la escala Kelvin.De este modo:

La capacitancia neumtica por el cambio en el volumen del contenedor C1 se

define como:

Y la capacitancia neumtica debida a la compresibilidad del gas C2 se define

como:


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Por lo tanto

Al despejar la diferencia de presiones:

La inertancia (inercia) neumtica se debe a la cada de presin necesaria para

acelerar un bloque de gas. De acuerdo con la segunda ley de Newton

Puesto que la fuerza es provista por la diferencia de presiones , entonces

siA es el rea de la seccin transversal del bloque de gas que se acelera:

Pero m, la masa del gas que se acelera, es , donde es la densidad del gas y

Lla longitud del bloque de gas que se acelera. Pero la razn de flujo volumtrico

q = Av,donde ves la velocidad. De este modo:

Y as

Pero y, de este modo:


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Siendo la inertancia neumtica

Tanto para sistemas hidrulicos como para neumticos la diferencia de presioneses anloga a la diferencia de potencial en sistemas elctricos. Las inertancias y

capacitancias hidrulicas son elementos que almacenan energa y la resistencia

tanto hidrulica como neumtica son disipadores de energa.

El sistema de la figura es un sistema hidrulico. Dicho sistema se puede

considerar como un capacitor, el lquido en el contenedor, como un resistor, la

vlvula. La inertancia se puede despreciar puesto que las tasas de cambio de flujoson muy lentas.

Para la capacitancia se tiene:

La razn de flujo q2a la cual el lquido sale del contenedor es igual a la razn de

flujo que sale a travs de la vlvula. De este modo para el resistor:

La presin de debe a la altura del lquido en el contenedor. As, al sustituir q 2en la

primera ecuacin se obtiene


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Puesto que , donde es la densidad del liquido y g es la gravedad,

entonces:

Y debido a queC = A/pg, entonces

Esta ecuacin describe como la altura del lquido en el contenedor depende de la

tasa de entrada del lquido en el contenedor.


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CAPITULO 2.

MODELOS MATEMATICOS


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2.1 INTRODUCCION

La regla o modelo matemtico, en un sistema dinmico de tiempo continuo es

una ecuacin diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. El estado deun sistema en un tiempo t es el valor de las variables de estado en ese

momento; el estado especificado del sistema en un tiempo t0 es simplemente las

condiciones inciales que acompaan al modelo matemtico. La solucin del

problema de valores inciales se denomina respuesta del sistema, como en los

libros de circuitos elctricos, es comn encontrar la frase encuentre la respuesta

del sistema.

Para el caso de una roca que se lanza desde el techo de un edificio, la respuestadel sistema, la solucin de la ecuacin diferencial es:

Sujeta al estado inicial s(0)=s0, s(0)=v0, es la funcin:

En el intervalo 0


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Existen tres mtodos de bsqueda de las soluciones de una ecuacin diferencial,

el mtodo analtico, el cualitativo y el numrico.

Modelos matemticos.Por lo comn es deseable describir el comportamiento de

algn sistema o fenmeno de la vida real, ya sea fsico, sociolgico o inclusoeconmico en trminos matemticos. La descripcin matemtica de un sistema o

un fenmeno se llama modelo matemtico y se construye con ciertos objetivos en

mente.

La construccin de un modelo matemtico de un sistema comienza con:

Identificacin de las variables a las que se atribuye el cambio del sistema.

Al principio se podra elegir no incorporar todas estas variables en el

modelo. En este paso se est especificando el nivel de resolucin del

modelo.

A continuacin.

Se elabora un conjunto de suposiciones razonables, o hiptesis acerca del

sistema que se est intentando describir. Estas suposiciones tambin

incluirn algunas leyes empricas que podran ser aplicables al sistema.

Para algunos propsitos podra ser perfectamente vlido conformarse con

modelos de baja resolucin. Por ejemplo, en los cursos bsicos de fsica algunas

veces se ignora la fuerza retardadora de la friccin del aire al modelar el

movimiento de un cuerpo que cae cerca de la superficie terrestre, pero si se trata

de un cientfico cuyo trabajo es predecir con precisin la trayectoria de vuelo de un

proyectil de largo alcance, se tiene que tomar en cuenta la resistencia del aire y

otros factores como la curvatura de la tierra.

Las suposiciones que se hicieron con respecto a un sistema con frecuencia tienen

que ver con una rapidez de cambio de una o ms variables, la representacin

matemtica de todas estas suposiciones podra ser una o ms ecuaciones con

derivadas. En otras palabras, el modelo matemtico puede ser una ecuacin

diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.


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Una vez que se formula un modelo matemtico que es una ecuacin diferencial o

un sistema de ecuaciones diferenciales, se est ante el nada insignificante

problema de tratar de encontrar la solucin . Si no se puede resolver, entonces

se considerara que el modelo es razonable si su solucin es consistente con datos

experimentales o hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Sin

embargo, si las predicciones que genera la solucin son malas, se incrementa el

nivel de resolucin del modelo, se hacen otras suposiciones acerca de los

mecanismos para cambio en el sistema. Entonces se repiten los pasos del

proceso de modelado, como se muestra en el siguiente diagrama:

Por su puesto, al incrementar la resolucin, se agrega complejidad al modelo

matemtico y se incrementa la probabilidad de que no se obtenga una solucin

explicita.

En un modelo matemtico de un sistema fsico suele intervenir la variable tiempo t.

Entonces una solucin del modelo da el estado del s istema; en otras palabras,

los valores de la variable dependiente (o variables) para valores apropiados de t

describen el sistema en el pasado, presente y futuro.

Una sola ecuacin diferencial puede servir como un modelo matemtico para

muchos fenmenos distintos.


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2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES

Bueno, como se habr notado antes, los sistemas que se mencionaron se

describieron por medio de ecuaciones diferenciales, que es la forma correcta de

describir sistemas dinmicos, ejemplo de ello: sistema mecnico, elctrico, trmico

y fluido.

Si regresramos a cursos de fsica, encontraremos muchas leyes y principios

fsicos, los cuales en la mayora de los casos se utilizan ecuaciones algebraicas.

Se encuentran temas clasificados de la siguiente manera:

MECANICA

TERMODINAMICA, ONDAS MECANICAS Y SONIDO.

ELECTRICIDAD, MAGNETISMO Y OPTICA

En los cuales es posible, para hacerlas ms precisas (las ecuaciones algebraicas),

se ocupan ecuaciones diferenciales, es decir, en los cuales se ocupan las

condiciones inciales (PVI), en fin, lo que se busca es resolver un sistema que

como se menciono anteriormente que cambie con el tiempo o con respecto a

alguna otra variable, de modo que la solucin nos pueda decir acerca delcomportamiento del sistema en tiempo futuro.

Las ED, pueden ser de primer orden, segundo orden, tercer orden hasta n-esimo

orden, el cual se identifica por la derivada de mayor orden que exista en la

ecuacin. Las ED pueden ser con derivadas parciales o derivadas comunes de

una sola variable.

Si vemos temas de dinmica de movimiento en el libro Mecnica Vectorial para

Ingenieros vemos que el movimiento de partculas puede ser descrito por medio

de ecuaciones algebraicas como:


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La cual nos indica que el movimiento de la partcula al principio su posicin ser

cero y despus positiva, pero conforme avanza el tiempo nos dice que tendera

hacia el eje negativo, o bien ira en direccin contraria a la inicial.

Por lo tanto, la velocidad de la partcula se define como:

Y si respectivamente tenemos que su aceleracin ser la derivada de la velocidad,

esta es:

Si se deriva una vez mas la ecuacin anterior, tenemos la tercera derivada de la

posicin con respecto al tiempo, situacin que no tendra sentido fsicamente,

adems de no ser necesaria.

Si ahora hacemos una ecuacin cualquiera como:

Tenemos una ecuacin diferencial, esta simplemente derivamos y sumamos la

ecuacin:

Que esta ultima viene siendo la solucin del sistema. Como podr observarse,

tiene trminos crecientes con el tiempo, fsicamente esto significara inestabilidad,

mas sin embargo quiere decir que la posicin de la partcula ir aumentando

conforme avanza el tiempo t.

Hay varios libros de ecuaciones diferenciales, entre ellos el tomado como base

para la elaboracin de este trabajo: Ecuaciones Diferenciales con Problemas

de Valores en la Frontera, en los cuales se describe que son, y para qu sirven

tambin.


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Lo que se busca en estos libros, es tanto las aplicaciones, como tambin los

mtodos de resolucin de los distintos tipos de ecuaciones que aparecen en la

vida real. Pero en este trabajo se mencionara un tema que es muy til en la

resolucin de ecuaciones diferenciales, y esta es la Transformada de Laplace,

que en el siguiente captulo se hablara de este tema.

2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE YANTITRANSFORMADA DE LAPLACE

En el clculo elemental se aprendi que la diferenciacin e integracin son

transformadas; esto significa, en trminos aproximados, que estas operaciones

transforman una funcin en otra. Por ejemplo, la funcin f(x) = x2 se transforma a

su vez en una funcin lineal y una familia de funciones polinomiales cubicas

mediante las operaciones de diferenciacin e integracin:

Se define la transformada de Laplace como sigue:

Transformada de Laplace

Sea una funcin f definida para . Entonces se dice que la integral

Es la transformada de Laplace de f, siempre y cuando converja la integral.

Cuando la integral converge. El resultado es una funcin de s.

Nuevamente volvemos al clculo elemental, en donde encontramos la regla

general de derivacin que es como sigue:

Que es una formula en la que podemos deducir (con las consideraciones

adecuadas) todas las formulas de derivacin que aparecen en los libros de

clculo, etc.


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Resulta aqu en este tema lo mismo, la frmula de la Transformada de Laplace es

como una formula elemental por medio de la cual se pueden deducir (como se

menciono anteriormente tomando las consideraciones adecuadas), las formulas

de Transformada de Laplace que aparecen en las portadas de los libros de

ecuaciones diferenciales.

Al igual que en libros de clculo en los cuales se basan de las dos grandes

operaciones de diferenciacin e integracin, la Transformada de Laplace tiene a

su vez su operacin inversa o Antitransformada de Laplace. Ya existen formulas

para calcular esta operacin.

Lo que seguira es obtener una funcin llamada Funcin de Transferencia, la

cual ser de gran utilidad para los siguientes temas y las practicas.

2.4 ALGEBRA DE BLOKS

Bueno, los bloks y los diagramas de bloks, son esquemas que son utilizados para

la descripcin de procesos facilitan la visualizacin de estos y el anlisis de

sistemas, como los procesos dinmicos, son los que se manejaran en este

manual, cada bloks es una Funcin de Transferencia, que en si representa un

proceso.

Es decir, la comparacin de la seal de entrada con respecto a la salida.

La siguiente imagen muestra las reglas del algebra de blocks. Prcticamente las

funciones ms elementales, pero ms concurridas son las de realimentacin,

multiplicacin en la trayectoria directa y sumas en serie y en paralelo.


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Se muestra un ejemplo de proceso de un tanque de presin, y su respectivo

diagrama de bloques, lo que se quiere aqu es controlar la presin del tanque, esa

es la salida del sistema y no el flujo de aire que sale, se tiene que si la presin no

es adecuada, hay un dispositivo que detecta la cada de presin, manda una

seal, hay otro dispositivo que es un convertidor analgico/digital que tiene su

propio block o representacin y manda una seal al computador.

Este ltimo es que toma la decisin de que hacer, la forma para tomar la decisin

es comparando la presin actual, con una presin estndar o definida para el

tanque, dependiendo del resultado de la comparacin, mandara una seal al

convertidor digital/analgico, despus la seal debe pasar por otro dispositivo para

despus llegar al actuador que regula el flujo de gas.

Se puede modelar sistemas de lazo abierto y sistemas de lazo cerrado, como porejemplo:

La aceleracin de un carro, en la cual se busca obtener la velocidad de

acuerdo al lugar en que se encuentre, pero el sistema llega a ser de lazo

cerrado, debido a que una persona tiene que actuar como regulador de la


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velocidad, o bien como computador, pero en fin se obtiene lo que se quiere,

regular la velocidad.

El controlar de volumen de una estreo de alto poder, la persona dir en

que volumen quiere escuchar su msica preferida, los limites dependen de

la persona, si le gusta el volumen alto o bajo, si es tolerable o no, hay

persona a las que el ruido alto no les afecta, como en la discotecas.

Estos son sistemas simples, de pocas variables a controlar, hay sistemas en los

cuales hay muchas variables que requieren controlarse.

La palabra sistema implica no solo un componente si no una serie decomponentes que trabajan en conjunto en una forma prescrita para alcanzar una

meta especifica. Esta meta es el control de cierta cantidad fsica. Dicho control se

lleva a cabo de un modo automtico, con frecuencia sin que sea necesaria la

supervisin de un ser humano.

La palabra automatizacin significa produccin automtica del material

procesado.

El producto final de una planta automatizada puede ir muy lejos, el elemento

comn es que el proceso se encuentra bajo control y con frecuencia esto se lleva

a cabo con medios automticos, sin los cuales no sera posible obtener la

exactitud necesaria.

Es necesario distinguir entre un sistema de control en lazo cerrado y uno

sistema en lazo abiertoy las. Lo anterior se logra mediante un ejemplo familiar:

Considrese el control de temperatura de un fluido en un tanque que se llena con

lquidos a diferentes temperaturas. Como un ejemplo cotidiano en algunos


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hogares se podra pensar en una persona que trata de poner el agua de la tina del

bao a la temperatura deseada.

Un mtodo para obtener la temperatura deseada consiste en abrir la llave del agua

caliente hasta un cierto punto y hacer lo mismo con la llave de agua fra. Se deja

que el agua caiga por un periodo determinado o hasta que haya alcanzado un

cierto nivel. Esta es la manera en que una persona tiene prisa llenara su tina de

bao; si la persona a llenado la tina suficiente nmero de veces, sabr cuanto de

de abrir cada una de las llaves para obtener la temperatura deseada. Este es un

ejemplo de un sistema de control en lazo abierto.

Un sistema de control en lazo abierto es aquel en cual ni las variables del sistemani la salida influyen en el control de esta.

La salida es la temperatura del agua en la tina del bao y el control se ejerce al

determinar la posicin de las vlvulas en las tuberas de agua caliente y fra. Si por

alguna razn, el agua de la tina no se encuentra a la temperatura deseada, no se

puede ejercer ningn control para lograr que la temperatura del agua que ya se

encuentra en la tina alcance la temperatura deseada.

En este ejemplo existen una serie de factores que pudieran influir en la

temperatura final del agua. Entre los ms obvios destaca la cantidad de agua

caliente disponible. Supngase que el suministro normal de agua caliente se

redujera debido a que alguien ms acaba de baarse o porque la lavadora

recientemente acabo su ciclo de lavado. En tal caso, es claro que cuando el agua

alcance su nivel estar fra.

Es probable que la persona que no tenga prisa toque el agua de la tina varias

veces, mientras esta se llena. Si el agua no se encontrara a la temperatura

deseada, sera posible adecuarla, al ajustar la llave del agua caliente o la del agua

fra segn se necesite. Este planteamiento conduce al control en lazo cerrado.


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La salida y otras variables del sistema influyen en el control del sistema. En este

tipo de sistema debe de tomar las mediciones y las acciones correctivas de control

que cerrara el lazo intermitentemente.

Ahora considrese brevemente el control automtico de la temperatura del agua

de la tina. En vista de lo dicho, la necesidad de equipo para una operacin de

control de este tipo es clara. En primer lugar, se necesita medir la temperatura del

agua en la tina y, se desea llevar a cabo un buen trabajo de control, sera

apropiado medir la temperatura del agua que cae a la tina y la tasa de cambio de

la temperatura del agua caliente. Para medir estas variables se emplean

sensores. Posteriormente, es necesario un elemento de potencia de algn tipo

para que las vlvulas de control, esto es, las llaves de agua caliente y fra, secoloquen automticamente en la posicin deseada. Supngase que se emplea un

motor elctrico como elemento de potencia. Los ingenieros de control

comnmente se refieren a dicho elemento de energa como un actuador. Ahora

bien, puesto que un motor elctrico es inherentemente un dispositivo de potencia

de alta velocidad y que las vlvulas se mueven a velocidades relativamente bajas,

se necesita de un tren de engranajes para lograr que las velocidades se vuelvan

compatibles. Sera conveniente colocar un agitador en un lado de la tina paraasegurar que el sensor de temperatura en la tina mida la temperatura promedio

del agua. Con el fin de conseguir el control real se deben comparar y combinar la

temperatura medida del agua de la tina y las variables de estado medidas con la

temperatura que se desea alcanzar en la tina. Esto se logra en el controlador y la

seal de control resultante se amplifica a un nivel suficiente que permita accionar a

los actuadores, los cuales, en su momento, colocaran a las llaves de agua en la

posicin deseada.

El sistema de control en lazo abierto y el sistema de control automtico en lazo

cerrado para controlar la temperatura del agua de la tina se muestra en la

siguiente figura.


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Recurdese que para el control en lazo abierto solo es necesario colocar las dos

vlvulas de control en la posicin deseada, es decir las dos llaves del agua. Este

es un ejemplo caracterstico de las situaciones de control en lazo abierto, donde el

xito depende de dos elementos:

La exactitud del modelo del sistema.

La repetitividad de los eventos relacionados durante un largo periodo, lo

que significa la ausencia de perturbaciones externas.


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Cuando se observa la figura anterior resulta sencillo deducir que el sistema de

control en lazo cerrado es considerablemente ms complicado que el sistema en

lazo abierto. El compromiso aqu est entre la complej idad y el desem peo. Esto

se puede ver ms fcilmente si se considera el caso ms sencillo en el que la

salida, la temperatura del agua de la tina, se alimenta al controlador. En este caso

se asume que el controlador es solo un circuito de substraccin, de modo que la

seal de control es proporcional al error entre la temperatura requerida del agua y

la temperatura real de esta. Si la temperatura requerida y la real son iguales, no

hay seal de error que ubique las vlvulas en una nueva apertura.

La caracterstica definitiva entre los sistemas en lazo cerrado y en lazo abierto de

la figura anterior radica en el uso del estado de la salida para influir en la entradaen el caso de control en lazo cerrado. A dicho uso se le denomina

retroal imentacin.

El error final se puede modificar posteriormente si adems de retroalimentar la

salida se retroalimentan otras variables del sistema. Este es frecuentemente el

caso, y la retroalimentacin de las otras variables del sistema adems de la salida

resulta muy til para asegurar que el sistema considerado se controleapropiadamente.

La ltima observacin trae consigo la importante cuestin de estabilidad e

inestabilidad. La nocin deestabilidad significa que el sistema opere dentro de

los lmites de comportamiento considerablemente estrechos. Por su parte la

inestabilidad implica que algunas variables el sistema crecen a valores

inaceptablemente grandes. En el caso de lazo abierto, los ajustes de los

elementos de control son una vez y ah se mantienen, y no se pone en duda si el

sistema es estable o no. En un sistema en lazo cerrado, es necesario que lo

anterior no suceda.


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Con el objeto de ilustrar la ocurrencia de dicha inestabilidad supngase que solo

se controla la llave de agua caliente con la alimentacin de agua fra a un valor

previamente determinado. Adems supngase que la correccin no se lleva a

cabo rpidamente, y cuando se decide hacerlo, esta es muy grande ya sea

cerrando o abriendo por completo la llave. Si al principio el agua de la tina est

ms caliente de lo que se desea, se cierra la llave del agua caliente por completo.

Cuando el agua comienza a enfriarse, debido a la respuesta lenta, es posible que

se enfre demasiado, antes de que se abra la llave del agua caliente de nuevo, y

as sucesivamente, para que exista una fluctuacin entre agua muy fra y agua

muy caliente.

El ejemplo anterior ilustra las dos causas ms comunes de inestabilidad en lossistemas de control automtico: retardo y alta gananc ia. En este caso el retardo

fue el resultado de una respuesta lenta y la alta ganancia fue el resultado de haber

cerrado o abierto la llave por completo.

En la mayora de las aplicaciones de control el hecho de captar la forma en la que

el sistema reacciona ante las entradas da como resultado un complicado modelo

matemtico. Si el modelo no predice adecuadamente, la respuesta del sistema, esmuy probable que el controlador no realice las acciones correctas. Puesto que

ningn sistema se puede modelar perfectamente. Los diseadores deben tener

mucho cuidado de que los controladores, que ellos disean basados en modelos

matemticos, se comporten adecuadamente cuando se aplican en el sistema real.

En muchos casos, el control en lazo abierto ni siquiera se puede considerar. Los

nicos casos en los que se puede aplicar el control en lazo abierto son aquellos

en los que el desempeo deseado se conoce de antemano. Para producir la

respuesta deseada se necesita de un sistema en lazo cerrado.

La parte ms importante y fundamental de cualquier problema de control: La

representacin de una planta a travs de modelos matemticos apropiados. Por

planta se entiende: el equipo fsico relacionado con la cantidad a ser


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controlada. Usualmente la planta se considera inalterable. Antes de que se pueda

iniciar cualquier tipo de anlisis o diseo de ingeniera es necesario abstraer el

objeto fsico en cuestin una descripcin en trminos de formulas matemticas.

Un modelo matemtico nicamente proporciona una aproximacin al

comportamiento de un sistema real y fsico.

Otra situacin evidente en la cual el sistema en lazo abierto no funciona la

constituye un sistema de control de una ametralladora antiarea. En dicho

sistema, se hace que una ametralladora siga un blanco en movimiento (un avin).

Es obvio que no se puede programar por adelantado un sistema de control en lazo

abierto para que siga la trayectoria del avin, el cual constituye el blanco, ya quese le desconoce; incluso, esta puede ser intencionalmente evasiva. Si se empleara

a un operador humano para cerrar el lazo, su respuesta sera mucho ms lenta.

Por lo tanto, pese a la complejidad y los problemas de estabilidad que implica el

uso del control en lazo cerrado, en ocasiones no hay otra opcin.

2.5 FUNCION DE TRANSFERENCIA

Como se mencionaba en el tema anterior, la funcin de transferencia es la

comparacin de la seal de salida con respecto a la seal de entrada, puede

pensarse como la razn de cambio de una variable con respecto a otra, pero con

la diferencia de que esta razn se ocupa la transformada de Laplace, y recuerde

que esta operacin convierte una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica

y las nuevas variables que se manejan son fciles de analizar, por tanto, la funcin

de transferencia est dada por


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A partir del concepto de funcin de transferencia, es posible representar la

dinmica de un sistema de ecuaciones algebraicas en s.

Coment arios acerca de la fun c in de transferencia

La aplicacin del concepto de funcin de transferencia est limitada a los sistemas

descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. Sin

embargo el enfoque de la funcin de transferencia se usa extensamente en el

anlisis y diseo de dichos sistemas. A continuacin se presentan algunos

comentarios importantes relacionados con la funcin de transferencia. (Observe

que en la lista, los sistemas a los que hace referencia son aquellos que se

describen por medio de una ecuacin diferencial lineal invariante en el tiempo.

La funcin de transferencia de un sistema es un modelo matemtico porque

es un mtodo operacional para expresar la ecuacin diferencial que

relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

La funcin de transferencia es una propiedad de un sistema,

independientemente de la magnitud y naturaleza de la entrada o funcin de

excitacin.

La funcin de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar

la entrada con la salida; sin embargo no proporciona informacin acerca de

la estructura fsica del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos

sistemas fsicamente diferentes pueden ser idnticas.)

Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, se estudia la salida

o respuesta para varias formas de entrada, con la intencin de comprender

la naturaleza del sistema.

Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, puede establecerse

experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salidadel sistema. Una vez establecida una funcin de transferencia, proporciona

una descripcin completa de las caractersticas dinmicas del sistema, a

diferencia de su descripcin fsica.


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2.6 TRANSFORMADA Z

Para describir laTrasformada Z, es necesario describir lo que son las seales en

tiempo continuo y en tiempo discreto, ecuaciones en diferencias, serie de Laurent,

series de potencias.

Bueno, para no ir tan lejos, en las funciones de tiempo continuo, son las funciones

comunes es decir cmo se muestra a continuacin.

Lo que quiere decir es que son funciones continuas en el tiempo, a su, vez la

transformada de Laplace es para funciones continuas, lo mismo que la

transformada zpara funciones en tiempo discreto

La transformada de Laplace es:


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2.7 SISTEMAS EN LAZO CERRADO Y LAZOABIERTO

Existen dos formas bsicas de sistemas de control, una es la denominada en lazo

abiertoy la otra en lazo cerrado.Con un sistema en lazo abierto la salida se elige

con base en la experiencia que se tiene con dichos sistemas para producir el valor

de salida requerido. En un sistema de lazo abierto no existe informacin que

alimente de regreso (realimentacin). En un sistema de control en lazo abierto la

salida del sistema no tiene efecto sobre la seal de entrada. Los sistemas en lazo

abierto tienen la ventaja de ser bastantes sencillos y en consecuencia de bajo

costo, y con buena confiabilidad, sin embargo, con frecuencia son inexactos,

porque no hay correccin de errores.

Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una seal de realimentacin

hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de

modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en las

condiciones de operacin. En un sistema de control en lazo cerrado la salida si

tiene efecto sobre la seal de entrada, y la modifica para mantener una seal de

salida en el valor requerido. Los sistemas en lazo cerrado tienen la ventaja de ser

capaces de igualar los valores reales a los requeridos. No obstante si existen

retrasos en el sistema pueden surgir problemas. Dichos retraso propician que la

accin correctiva requerida llegue demasiado tarde, y como consecuencia, se

obtienen oscilaciones en la entrada e inestabilidad. Los sistemas en lazo cerrado

son ms complicados que aquellos que estn en lazo abierto, son ms costosos y

con una gran posibilidad de descompostura debida a la gran cantidad de

componentes.

Sistemas en lazo abierto: Se puede considerar que un sistema en lazo abierto

consiste en algunos subsistemas bsicos arreglados como se muestra en la figura.


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Estos elementos pueden ser distintos, equipos separados, pero todas las

funciones que cumple cada subsistema se deben preservar. La entrada global al

sistema es una seal, que basada en experiencias anteriores, es probable que

conduzca a la salida requerida. Los subsistemas son:

Elemento de control. Este elemento determina que accin se va a tomar

dada una entrada al sistema de control.

Elemento de correccin. Este elemento responde a la entrada que viene delelemento de control e inicia la accin para producir el cambio en la variable

controlada al valor requerido.

Proceso. El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la

variable.

Los primeros dos subsistemas a menudo se unen para formar un elemento

denominado controlador.

Se entiende que el proceso es en lazo abierto aunque tenga que intervenir la parte

humana, se dice que es en lazo cerrado cuando no interviene la parte humana, es

decir, el sistema es automtico.

Sistema en lazo cerrado: Se puede considerar que un sistema en lazo cerrado

consiste en algunos subsistemas bsicos ordenados como se muestra en la figura.


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Estos elementos pueden no ser partes distintas o equipos separados, pero todas

las funciones de los subsistemas estarn presentes. La entrada global al sistema

de control es el valor requerido de la variable, y la salida es el valor real de la

variable.

Elemento de comparacin. Este elemento compara el valor requerido o de

referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se

obtiene a la salida, y produce una seal de error la cual indica la diferencia

del valor obtenido a la salida y el valor requerido.

Elemento de control. Este elemento decide que accin tomar cuando recibe

una seal de error. A menudo se usa el trmino controlador para un

elemento que incorpora el elemento de control y la unidad de correccin.

Elemento de correccin. Este elemento se utiliza para producir un cambio

en el proceso al eliminar el error, y con frecuencia de denomina actuador.

Elemento proceso. El proceso, o planta, es el sistema donde se va a

controlar la variable.

Elemento de medicin. Este elemento produce una seal relacionada con la

condicin de la variable controlada, y proporciona la seal de

realimentacin al elemento de comparacin al elemento de comparacin

para determinar si hay o no error.

Una caracterstica necesaria de un sistema de control en lazo cerrado es el lazo

de realimentacin. Este es el medio a travs del cual una seal relacionada con

la variable real obtenida se realimenta para compararse con la seal de

referencia. Se dice que se tiene realimentacin negativa cuando la seal

realimentada se sustrae del valor de referencia, esto es:


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La realimentacin negativa es necesaria para que logre el control. La

realimentacin positiva se presenta cuando la seal realimentada se adiciona al

valor de referencia, esto es:

La seal de realimentacin se combina con el valor de referencia en el

elemento de comparacin. El elemento de comparacin se indica mediante un

crculo con una cruz, este es el smbolo genrico para indicar un elemento de

suma. Cuando en el elemento de comparacin hay realimentacin negativa, el

valor de referencia se marca se marca como una seal positiva y la seal de

realimentacin como negativa de modo que la salida del elemento de

comparacin es la diferencia entre las seales. Si hubiera realimentacinpositiva en el elemento de suma, entonces ambas seales deben marcarse

como positivas.


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CAPITULO 3

ESTABILIDAD DE SISTEMAS


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3.1 INTRODUCCION

Un requerimiento importante para un sistema de control es que debe ser estable.

Esto significa que si el sistema se aplica una entrada de magnitud finita, entonces

la salida debera tambin ser finita y de ningn modo infinita, es decir

incrementndose dentro de un lmite.

Para sistemas lineales el requerimiento de estabilidad se puede definir en trminos

de los polos de la funcin de transferencia en lazo cerrado. Los polos son las

races del polinomio del denominador de la funcin de transferencia y los ceros

las races del numerador de la funcin de transferencia.

Un sistema se puede definir como establesi toda entrada acotada, es decir, finita,

produce una salida acotada. De esta manera, por ejemplo, para toda entrada

escaln aplicada a un sistema la salida debe ser finita.

De manera alternativa, un sistema se puede definir como estable si al estar a una

entrada impulso la salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Si

al responder a la entrada impulso, la salida del sistema tiende a infinito a medida

que el tiempo tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Sin embargo si la

salida no tiende a cero o no crece a infinito, pero tiende a un valor finito diferente

de cero, se dice que el sistema es crtica omarginalmente estable.

La funcin de transferencia en lazo cerrado G(s) de un sistema, en general se

puede representar mediante.

Y si las races del denominador y del numerador se establecen como


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Donde las races del numerador son z1, z2,,zmy se denominan ceros y las

races del denominador son p1, p2,,pn y se denominan polos, K es una

constante multiplicadora o la ganancia del sistema.

Los ceros son los valores de s para los cuales la funcin de transferencia se

convierte en cero. Los polos son los valores de s para l

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