Languages
Pages
Legal
Rev
ista
In
tern
acio
nal
de
Mét
odos
Nu
mér
icos
par
a C
Alc
ulo
y D
iseñ
o en
In
gen
ierí
a. V
ol.
5, 1
, 3-3
8( 1989)
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S
Y C
UR
VO
S D
E S
EC
CY
ON
VA
RIA
BL
E
PO
R M
ET
OD
OS
MA
TR
ICIA
LE
S
G.
BR
AV
O
Y A
. M
AR
TIN
E.S
.I.I
. de
Sev
illa
, A
vda.
Rei
na M
erce
des s/n.
4101
.2 S
evil
la,
Esp
aña.
RE
SU
ME
N
En
este
tra
baj
o s
e pr
esen
ta l
a fo
riii
ulac
ióii
nec
esar
ia p
ara
el t
rata
iiii
eiit
o de
ele
iiiei
itos
de d
irec
triz
rec
ta o
cir
cunf
erei
icia
l co
i1 c
arac
terí
stic
as g
eoii
iétr
icas
e i
irer
cial
es v
aria
bles
seg
ún
la d
irec
triz
, as
í co
iiio
de l
as c
arga
s eq
uiva
lent
es, d
entr
o de
l ái
iibi
to d
el A
nális
is M
atri
cial
de
Est
ruct
uras
.
SU
MM
AR
Y
Iii
tlii
s w
ork,
tli
e iie
cess
ary
fori
iiul
atio
ii t
o ai
ialy
se s
pace
fra
iiie
wor
ks w
ith
stra
igli
t or
ci
rcul
ar c
urve
d ii
ieii
iber
s of
var
iabl
e cr
oss
sect
ion
is p
rese
nted
. E
quiv
alen
t co
iice
ntra
ted
forc
es
are
also
det
erii
iiii
ed.
Mat
rix
iiie
tlio
ds li
ave
beei
i us
ed.
INT
RO
DU
CC
ION
El
dis
eño
de
estr
uct
ura
s es
un
a d
e la
s ra
mas
fu
nd
amen
tale
s d
e la
ing
enie
ría.
En
tre
los
tip
os
estr
uct
ura
les
qu
e es
ta r
am
a e
stu
dia
, un
o d
e lo
s m
ás
imp
ort
ante
s es
, si
n d
ud
a,
el c
on
stit
uid
o p
or
las
estr
uct
ura
s d
e b
arra
s.
El
anál
isis
d
e es
tas
estr
uct
ura
s es
b
ien
co
no
cid
o,
ya
qu
e la
s id
eas
en
qu
e se
b
asam
enta
se
esta
ble
cier
on
a f
inal
es d
el s
iglo
XIX
. L
a ap
aric
ión
de
los
ord
enad
ore
s p
ote
nci
ó e
l d
esar
roll
o d
e lo
s ll
amad
os
mét
od
os
mat
rici
ales
de
an
áli
~is
',~
. Est
os
mét
od
os
ad
ap
tan
las
id
eas
clás
icas
al
fun
cio
nam
ien
to
del
ord
enad
or,
y p
or
esta
raz
ón
su
uso
est
á ta
n d
ifu
nd
ido
en
nu
estr
os
día
s.
En
tre
las
estr
uct
ura
s d
e b
arra
s, l
as m
ás
uti
liza
das
en
edi
fica
ción
so
n l
as e
stru
ctu
ras
po
rtic
adas
pla
nas
, co
mp
ues
tas
po
r b
arra
s re
ctas
, p
rism
átic
as j
r d
e se
cció
n co
nst
ante
. S
in e
mb
arg
o, e
n l
as c
on
stru
ccio
nes
in
du
stri
ales
, es
mu
y f
recu
ente
en
con
trar
est
ruct
ura
s co
n ca
ract
erís
tica
s q
ue
se
apar
tan
d
e la
s an
teri
orm
ente
in
dic
adas
. E
ntr
e és
tas
cara
cter
ísti
cas,
las
má
s im
po
rtan
tes
son
:
Rec
ibid
o: A
gost
o 1
98
7
OU
niv
ersi
tat
Pol
itec
nic
a de
Cat
alu
nya
(E
spañ
a)
ISSI
\; 02
13-1
31 5
3
4 G. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
-
La
espa
cial
idad
de
las
mis
mas
, d
eter
min
ada
po
r la
fo
rma
geom
étri
ca y
las
acci
ones
ac
tuan
tes.
-
-
Apa
rici
ón d
e el
emen
tos
curv
os.
Arc
os c
ircu
lare
s, p
arab
ólic
os,
etc.
Q
- E
lem
ento
s de
sec
ción
var
iabl
e,
con
los
que
se p
rete
nd
e bu
scar
u
na
adec
uaci
ón
resi
sten
te y
en
defi
niti
va u
n d
iseñ
o ó
pti
mo
. C
Par
a an
aliz
ar l
as e
stru
ctu
ras
de b
arra
s se
uti
liza
n p
rog
ram
as d
e o
rden
ado
r qu
e im
ple
men
tan
, fu
nd
amen
talm
ente
, de
entr
e lo
s m
éto
do
s m
atri
cial
es,
el m
éto
do
dir
ecto
de
la
rigi
dez.
Los
paq
uet
es e
stan
dar
par
a es
te c
omet
ido
está
n c
once
bido
s, g
ener
alm
ente
, p
ara
las
estr
uct
ura
s us
uale
s en
edi
fica
ción
, m
od
elad
as m
edia
nte
pór
tico
s or
togo
nale
s p
lan
os.
C
uan
do
el
pro
ble
ma
es
más
co
mpl
ejo,
es
prec
iso
acud
ir
a p
rog
ram
as
de
elem
ento
s fi
nit
os3
, en
los
que
las
estr
uct
ura
s de
bar
ras
son
un
cas
o p
arti
cula
r.
No
rmal
men
te, l
os e
lem
ento
s cu
rvos
en
un
a es
tru
ctu
ra s
e su
stit
uy
en p
or u
na
seri
e de
el
emen
tos
rect
os.
Las
des
ven
taja
s de
est
e ca
mbi
o so
n el
gra
n i
ncr
emen
to e
n el
nú
mer
o
de g
rad
os
de l
iber
tad
de
la e
stru
ctu
ra y
la
apro
xim
ació
n qu
e tr
ae c
onsi
go e
n el
aná
lisi
s.
La
pri
mer
a de
est
as d
esv
enta
jas
acar
rea
un
in
crem
ento
en
el t
iem
po
de
ejec
ució
n, q
ue
com
o se
sab
e no
es
line
al s
ino
cuád
rati
co.
Ad
emás
, y
est
o e
s m
ás i
mp
ort
ante
hoy
en
C,ía
que
el
tiem
po
de
C.P
.U.,
se
incr
emen
ta l
a in
form
ació
n qu
e h
ay q
ue s
um
inis
trar
al
ord
enad
or
y el
tie
mp
o q
ue h
ay q
ue d
edic
ar a
pre
par
arla
. P
or
otr
a p
arte
, p
od
ría
hab
er
pro
ble
mas
con
la
cap
acid
ad d
e m
emo
ria
lim
itad
a de
los
ord
enad
ore
s, a
un
qu
e és
to s
e pu
ede
deci
r qu
e no
co
nst
itu
ye
ya u
n i
ncon
veni
ente
. E
n s
egun
do l
ug
ar,
la p
érd
ida
de e
xac
titu
d q
ue s
upon
e tr
atar
las
est
ruct
ura
s co
n el
emen
tos
curv
os y
/o c
on s
ecci
ón v
aria
ble
med
ian
te s
u fr
acci
onam
ient
o en
ele
men
tos
rect
os
de
secc
ión
con
stan
te,
obli
ga a
rea
liza
r, e
n al
guno
s ca
sos,
var
ios
anál
isis
co
n d
isti
nta
s di
scre
tiza
cion
es a
l o
bje
to d
e ac
ota
r el
err
or c
omet
ido.
T
enie
ndo
en
cuen
ta
las
cons
ider
acio
nes
ante
rio
res,
re
sult
a de
g
ran
in
teré
s d
esar
roll
ar a
plic
acio
nes
info
rmát
icas
que
per
mit
an e
l an
ális
is d
e es
tru
ctu
ras
form
adas
p
or
bar
ras
con
cara
cter
ísti
cas
espe
cial
esL
7, c
omo
las
que
se
pre
sen
tan
en
la
s co
nstr
ucci
ones
in
du
stri
ales
. L
a g
ama
de e
lem
ento
s di
fere
ntes
que
se
pued
en p
rese
nta
r en
las
est
ruct
ura
s qu
e no
s o
cup
an e
s am
plí
sim
a. E
n e
ste
trab
ajo
se
han
con
side
rado
dos
tip
os.
Bar
ras
pri
smát
icas
de
di
rect
riz
rect
a y
secc
ión
vari
able
y
bar
ras
de
dire
ctri
z ci
rcun
fere
ncia
1 y
sec
ción
v
aria
ble
. L
os e
lem
ento
s cu
rvos
que
apa
rece
n en
las
est
ruct
ura
s in
du
stri
ales
no
siem
pre
tien
en r
adio
de
curv
atu
ra c
on
stan
te,
pero
ést
e va
ría
con
suav
idad
en
la m
ayor
par
te
de l
os c
asos
. E
sto
po
sib
ilit
a u
na
bu
ena
apro
xim
ació
n de
los
mis
mos
med
ian
te t
ram
os
circ
ular
es.
Par
a ca
da
un
o d
e es
tos
tip
os
de b
arra
se
desa
rrol
la l
a co
rres
pond
ient
e m
atri
z de
t
rigi
dez
y se
det
alla
la
tran
sfo
rmac
ión
de
coo
rden
adas
, co
nsid
eran
do s
iem
pre
que
se
trat
a de
ele
men
tos
espa
cial
es.
Tam
bié
n s
e h
an
cons
ider
ado
los
tipo
s de
ac
cion
es m
ás f
recu
ente
s qu
e pu
eden
en
con
trar
se a
ctu
and
o s
obre
los
ele
men
tos.
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OIS
5
EL
EM
EN
TO
S D
E D
IRE
CT
RIZ
RE
CT
A Y
S
EC
CIO
N C
ON
ST
AN
TE
O V
AR
IAB
EE
Los
ele
men
tos
cons
ider
ados
ser
án p
ieza
s p
rism
átic
as, c
uya
sec,
ció:
n tra
nsv
ersa
l pue
de
vari
ar c
on l
a co
ord
enad
a so
bre
la d
irec
triz
.
Sis
tem
a d
e e
jes
loca
les.
C
rite
rio
s y
Sig
no
s.
En
la
Fig
ura
1 s
e re
pre
sen
ta l
a di
recc
ión
y se
ntid
o de
l si
stem
a de
eje
s pr
opio
del
el
emen
to.
2 AY
8
AY
1~5.11
Fig
ura
1.
Los
eje
s de
est
e si
stem
a cu
mpl
en l
as s
igui
ente
s es
peci
fica
cian
es:
EJE
OX
: C
oinc
ide
con
la d
irec
triz
del
ele
men
to.
Sen
tido
pos
itiv
o el
que
ap
un
ta d
el
nu
do
ori
gen
al e
xtr
emo
. E
JE O
Y:
El
ob
ten
ido
al
gira
r 90
' en
sen
tido
an
tih
ora
rio
al
eje
OX
, cu
and
o s
e ve
al
elem
ento
de
mo
do
que
el
nu
do
ori
gen
qu
eda
a la
izqu
ierd
a de
l ob
serv
ador
. E
JE 0
2:
Per
pend
icul
ar
a lo
s an
teri
ores
y f
orm
and
o u
n t
ried
ro a
der
echa
s co
n lo
s m
ism
os.
Ma
triz
de
Rig
idez
del
ele
men
to.
Est
a m
atri
z re
laci
ona
los
mov
imie
ntos
de
los
nudo
s ex
trem
os
de u
na
bar
ra c
on l
as
fuer
zas
apli
cada
s a
los
mis
mos
en
la f
orm
a:
En
la
que:
S es
el
vect
or d
e m
ovim
ient
os y
se
expr
esa
po
r:
l? es
el
vect
or d
e fu
erza
s o
esfu
erzo
s de
fini
do p
or
la e
xpre
sión
,:
6 G
. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
El
subí
ndic
e nu
mér
ico
hace
ref
eren
cia
al g
rad
o d
e li
ber
tad
al
que
corr
espo
nde
el
rnov
irni
ento
o a
cció
n co
nsid
erad
a, v
éase
Fig
ura
1. L
os s
ubín
dice
s i,
j se
ref
iere
n al
nud
o or
igen
y e
xtr
emo
res
pect
ivam
ente
. L
a d
eter
min
ació
n d
e lo
s co
efic
ient
es d
e ri
gide
z qu
e co
nst
itu
yen
la
mat
riz,
se
real
iza
usa
nd
o l
a de
fini
ción
de
los
mis
mos
. U
n el
emen
to d
e la
mat
riz
de r
igid
ez K
ij re
pre
sen
ta l
a fu
erza
que
apa
rece
en
la c
oord
enad
a i-
ésim
a, cu
ando
se
com
unic
a u
n m
ovim
ient
o u
nid
ad
en l
a co
ord
enad
a j-
ésim
a m
ante
nie
nd
o a
cer
o to
dos
los
dem
ás.
Se v
an a
con
side
rar,
po
r ta
nto
, lo
s es
tad
os
defi
nido
s po
r u
n m
ovim
ient
o u
nid
ad s
egún
los
dis
tin
tos
grad
os
de l
iber
tad
y,
par
a ca
da
uno
de e
llos
, se
cal
cula
n la
s fu
erza
s qu
e d
eter
min
an d
icho
s es
tad
os.
E
n e
l cá
lcul
o de
los
coe
fici
ente
s de
rig
idez
, se
hac
e us
o de
l te
ore
ma
de l
os t
rab
ajo
s v
irtu
ales
con
las
con
side
raci
ones
sig
uien
tes:
1)
El
eje
OY
loc
al d
e co
orde
nada
s es
de
sim
etrí
a de
la
secc
ión.
Po
r ta
nto
OY
y O
Z
son
prin
cipa
les
de i
nerc
ia.
2j
Sie
mpr
e se
ha
desp
reci
ado
la d
efor
mac
ión
debi
da a
l co
rtan
te.
Con
vien
e en
est
e p
un
to,
ante
s de
pre
sen
tar
las
expr
esio
nes,
rea
liza
r la
s si
guie
ntes
co
nven
cion
es d
e n
ota
ció
n:
L es
la
lon
git
ud
del
ele
men
to.
kg(x)
es l
a le
y de
var
iaci
ón d
e al
gu
na
de l
as c
arac
terí
stic
as g
eom
étri
cas
de l
a se
cció
n,
área
o m
om
ento
de
iner
cia
de l
a m
ism
a, c
on l
a c
oo
rden
ada
sobr
e la
dir
ectr
iz.
Se
defi
ne e
nton
ces:
Y e
n ge
nera
l:
Mov
imie
nto
un
idad
seg
ún
el
grad
o d
e li
ber
tad
1 y
nu
los
los
dem
ás.
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OlS
7
Mov
iim
ien
to u
nid
ad s
egú
n e
l gr
ado
de
lib
erta
d 2
.
Mov
imie
nto
un
idad
seg
ún
el
grad
o d
e li
ber
tad
3.
Gir
o u
nid
ad s
egú
n e
l gr
ado
de
lib
erta
d 4
.
/i
dond
e J e
s el
mo
men
to d
e ri
gide
z a
tors
ión
Gir
o u
nid
ad s
egú
n e
l gr
ado
de
lib
erta
d 5
.
Gir
o u
nid
ad s
egú
n e
l gr
ado
de
lib
erta
d 6
.
8 G
. BR
AV
O Y
A.
MA
RT
IN
Gir
o u
nid
ad s
egú
n e
l gr
ado
de
lib
erta
d 11.
Gir
o u
nid
ad s
egú
n e
l gr
ado
de
lib
erta
d 1
2.
Res
tan
tes
esta
dos
de
mov
imie
nto
un
idad
.
Los
es
tad
os
corr
espo
ndie
ntes
a u
n m
ovim
ient
o u
nid
ad
segú
n lo
s gr
ados
de
lib
erta
d 7
, 8,
9 y
10
, no
in
tro
du
cen
en
real
idad
nue
vos
coef
icie
ntes
, pu
es l
as f
uerz
as
nece
sari
as p
ara
prod
ucir
los
son
las
calc
ulad
as p
ara
los
esta
do
s de
ap
arta
do
s an
teri
ore
s,
cam
bia
das
de
sign
o.
De
este
mo
do
, la
mat
riz
de r
igid
ez e
n co
orde
nada
s lo
cale
s de
un
ele
men
to d
e di
rect
riz
rect
a es
la
que
apar
ece
en l
a F
igu
ra 2
.
K11
O
O O
O O
-Kli
O
O o
O o
K22
O
O 0
K26
0
-K22
0
O O
K2,1
2
K33
O K
35
O O
0 -K
33
0 K
3,1
i O
K44
O
O O
O O
-K4
4
O o
K55
O
0 0
-K35
0 K
5,i
i 0
K66
0 -K
26
0 o
o K
6,1
2
K11
O
o o
O o
K22
o o
0 -K
2,1
2
K33
0 -K
3,1
1
O S
IM
K44
O
O K
11,l
l O
l K
12,1
2
Fig
ura
2.
Ma
triz
de
tra
nsf
orm
aci
ón
de
coo
rden
ad
as.
Si s
e co
noce
n lo
s co
seno
s di
rect
ores
de
cad
a u
no
de
los
ejes
loc
ales
res
pec
to
de l
os e
jes
glob
ales
(F
igu
ra 3
), l
a ex
pres
ión
mat
rici
al q
ue t
ran
sfo
rma
un
vect
or d
e co
orde
nada
s lo
cale
s a
glob
ales
ser
á:
. .
Fig
ura
3.
Sie
nd
oix
, y, z
)el
sist
ema
de e
jes
loca
les,
y L
ij e
s el
cos
elno
del
án
gu
lo a
; qu
e fo
rma
el e
je l
oca
l j
(al
x co
rres
pond
e el
1, e
tc.)
. Si
de
sign
amos
a
la
mat
riz
de
la
últ
ima
expr
esió
n p
or
L,
la
mat
riz
de
tran
sfo
rmac
ión
co
mp
leta
, te
nien
do e
n cu
enta
to
do
s lo
s g
rad
os
de l
iber
tad
del
ele
men
to
será
:
Par
a d
eter
min
ar l
a po
sici
ón e
xac
ta d
e u
na
bar
ra r
espe
cto
a u
n s
iste
ma
gene
ral
de c
oord
enad
as {
X, Y
, Z},
se
tien
en l
os á
ngul
os q
ue f
orm
an lo
s ~
jes
loca
les
de l
a b
arra
co
n lo
s ej
es g
loba
les.
L
a de
fini
ción
de
lo
s nu
dos
que
cone
cta
un
el
emen
to,
a tr
avés
de
su
s co
ord
enad
as,
pro
po
rcio
na
los
cose
nos
dire
ctor
es d
el e
je q
ue c
oinc
ide
con
la d
irec
triz
de
l el
emen
to,
per
o e
s ne
cesa
ria
un
a in
form
ació
n ad
icio
nal
par
a de
fini
r p
erfe
ctam
ente
el
tri
edro
loc
al.
Se
elig
e co
n es
te f
in e
l án
gulo
P, q
ue d
eter
min
a la
ro
taci
ón
de
los
ejes
loc
ales
alr
eded
or d
el e
je d
irec
triz
, de
sde
la p
osic
ión
de l
os m
ism
os e
n qu
e el
eje
y
estu
vies
e co
nten
ido
en e
l pl
ano
xZ
.
1 0
G. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
Al
eje
fict
icio
, de
sde
cuya
pos
ició
n se
mid
e P,
se l
e d
eno
min
a y'
, y
cum
ple
la
cond
ició
n de
ten
er u
na
proy
ecci
ón p
osit
iva
sobr
e el
eje
2 g
loba
l.
Se
tom
a co
mo
sent
ido
posi
tivo
par
a es
te á
ng
ulo
, el
ho
rari
o c
uan
do
se
mir
a de
sde
el e
xtr
emo
i de
l el
emen
to h
acia
el j.
X F
igur
a 4.
Hay
un
a in
det
erm
inac
ión
en
esta
def
inic
ión
que
corr
espo
nde
al c
aso
de u
na
bar
ra p
aral
ela
al e
je Z
glo
bal
de c
oord
enad
as.
Par
a sa
lvar
ést
a, s
e de
fini
rá e
ste
caso
med
ian
te e
l án
gulo
med
ido
desd
e la
di
recc
ión
neg
ativ
a de
l ej
e Y
, cu
ando
el
sent
ido
del
eje
x lo
cal
coin
cide
con
el
posi
tivo
cl
el Z
glo
bal.
Cu
and
o e
stá
diri
gido
seg
ún -
2,
se m
edir
á de
sde
la d
irec
ción
pos
itiv
a de
l ej
e Y
. E
stas
dos
sit
uaci
ones
se
han
rep
rese
nta
do
en
las
Fig
ura
s 5
y 6
resp
ecti
vam
ente
.
Fig
ura
5.
Fig
ura
6.
La
expr
esió
n de
lo
s co
seno
s di
rect
ores
de
lo
s ej
es
loca
les
en
func
ión
de
la,s
coo
rden
adas
de
los
nud
os
extr
emos
del
ele
men
to y
de
l án
gulo
P s
e p
rese
nta
a
cont
inua
ción
. Si
se
defi
ne:
DX
=
X
j -
X;
DX
Y =
J
DX
~ + D
Y2
los
elem
ento
s de
la
mat
riz
L,
Lij
, ser
án:
DY
D
Z
DX
L
12 =
- se
np
-
-- -
L
DX
Y co
sp
DX
Y
DX
D
Z
DY
L2
2 =
--
sen
p - - - co
sp
DX
Y
L
DX
Y
DX
Y
L32
= -
L
cosp
DY
D
Z
DX
L
13 =
- C
OS
~ +
.- -
L
DX
Y se
np
D
XY
D
X
DZ
D
Y
L23
-- D
XY
cosp
+ - -
L
DX
Y se
np
DX
Y
L33
= --
L
sen
p
En
el c
aso
de b
arra
par
alel
a a
02
, las
exp
resi
ones
son
:
L13
= C
OS
~ ;
L23
=
SIG
sen
p
; L3
3 =
0
dond
e
DZ
SI
G =
-
l DZ
l
Mat
riz
de
rigi
dez
ele
men
tal
en c
oord
ena.
das
glo
bal
es.
La
obte
nció
n de
est
a m
atri
z se
red
uce
al d
oble
pro
du
cto
nna
tric
ial:
12
G.
BR
AV
O Y
A. M
AR
TIN
EL
EM
EN
TO
S D
E D
IRE
CT
RIZ
CIR
CU
NF
ER
EN
CIA
L Y
SE
CC
ION
TR
AN
SV
ER
SA
L C
ON
ST
AN
TE
0 V
AR
IAB
LE
El
sist
ema
de e
jes
del
elem
ento
es
el r
epre
sent
ado
en l
a F
igur
a 7.
Fig
ura
7.
En
real
idad
se
trat
a de
dos
sis
tem
as d
e ej
es, u
no e
n ca
da e
xtre
mo
del e
lem
ento
.C
ada
uno
de e
stos
sis
tem
as c
umpl
e la
s si
guie
ntes
esp
ecif
icac
ione
s:
-E
l ej
e o
y t
iene
la
dire
cciO
n de
la
tang
ente
a l
a di
rect
riz,
y s
u se
ntid
o po
siti
voes
el
que
apun
ta d
esde
el
extr
emo
i ha
cia
el j
del
ele
men
to.
-E
l ej
e oz t
iene
la
dire
cciO
n ra
dial
, y s
u se
ntid
o po
siti
vo e
s el
que
va
diri
gido
desd
e el
cen
tro
de c
urva
tura
de
la d
irec
triz
hac
ia e
l ex
trem
o co
rres
pond
ient
ede
l ele
men
to.
-E
l ej
e o
x t
iene
la
dire
cciO
n de
la
bino
rmal
y s
e to
ma
con
sent
ido
posi
tivo
el
que
dete
rmin
a co
mo
trie
dro
a de
rech
as a
l si
stem
a.
En l
a F
igura
tam
bie
n s
e han
rep
rese
nta
do l
as d
irec
ciones
y s
enti
dos
de
los
dist
into
s gr
ados
de
libe
rtad
.E
l Ang
ulo
0, an
gulo
aba
rcad
o po
r el
arc
o, y
el
radi
o R
, son
dos
par
amet
ros
que
se v
an a
uti
liza
r am
plia
men
te e
n lo
s si
guie
ntes
apa
rtad
os.
Matr
iz e
lem
enta
l d
e ri
gid
ez e
xp
resa
da e
n e
l si
stem
a d
e ej
es d
el e
lem
ento
.
Intr
odu
ccio
n.
Se
dete
rmin
an a
con
tinu
aciO
n lo
s co
efic
ient
es q
ue c
ompo
nen
la m
atri
z de
rig
idez
de
un
ele
men
to d
e d
irec
triz
cir
cun
fere
nci
al y
sec
ciO
n c
on
stan
te o
var
iab
le. E
n e
sta
det
erm
inac
iOn
se
hac
e u
se d
el t
eore
ma
de
los
trab
ajos
vir
tual
es c
on l
as s
iguie
nte
sco
nsid
erac
ione
s:
1)
El
eje
oz
loca
l de
coo
rden
adas
es
de s
imet
ría
de l
a se
ccib
n. P
or
tan
to o
z y
ot
son
pri
ncip
ales
de
iner
cia.
2)
Los
el
emen
tos
que
se
cons
ider
an
tien
en
un
ra
dio
de
cu
rvat
ura
g
ran
de
com
par
ado
con
las
dim
ensi
ones
de
la s
ecci
ón t
rans
vers
al! d
e lo
s m
ism
os.
3)
Sie
mpr
e se
ha
desp
reci
ado
la d
efor
mac
ión
debi
da a
l co
rtan
te.
En
cam
bio,
se
ha
cons
ider
ado
la d
efor
mac
ión
debi
da a
,l ax
il.
Las
ley
es d
e va
riac
ión
de l
as c
arac
terí
stic
as g
eom
étri
cas
de l
a se
cció
n pu
eden
ex
pres
arse
in
dis
tin
tam
ente
en
func
ión
de l
a co
ord
enad
a S, l
on
git
ud
med
ida
sobr
e la
di
rect
riz
desd
e el
nud
o i,
o d
el á
ngul
o a, am
bos
rep
rese
nta
do
s en
la
Fig
ura
8.
Fig
ura
8.
Det
erm
inac
ión
de
la M
atri
z d
e ri
gid
ez.
En
el
ca
so
de
elem
ento
s cu
rvos
re
sult
a m
uy
co
nven
ient
e u
tili
zar
un
p
roce
dim
ien
to i
nd
irec
to p
ara
el c
álcu
lo d
e lo
s co
efic
ient
es d
e ri
gide
z K
ij.
Est
e pr
oced
imie
nto
es e
l si
guie
nte:
a)
Se
ob
tien
e la
mat
riz
de f
lexi
bili
dad
del
elem
ento
[f]
;.
Los
co
efic
ient
es d
e fl
exib
ilid
ad,
que
con
stit
uy
en l
a m
atri
z, s
e de
riva
n de
la
defi
nici
ón d
e lo
s m
ism
os.
El
coef
icie
nte
fkm
es
el m
ovir
ni,e
nto
segú
n el
gra
do
de
lib
erta
d k
-ési
mo
que
apar
ece
al a
plic
ar u
na
carg
a u
nid
ad s
egún
m, m
ante
nie
nd
o
emp
otr
ado
el
extr
emo
j d
el e
lem
ento
. L
a ex
pres
ión
gene
ral
de e
stos
coe
fici
ente
s, a
pli
can
do
el
P.T
.V.,
resu
lta:
En
don
de l
a in
tegr
ació
n es
tá e
xte
nd
ida
a la
lo
ng
itu
d S
del
ele
men
to.
Los
es
fuer
zos
subi
ndic
ados
con
k y
m s
on, r
esp
ecti
vam
ente
, los
que
apa
rece
n en
un
14
G. B
RA
VO
Y A
. MA
RT
IN
esta
do e
n el
que
se
apli
ca u
na f
uerz
a un
idad
seg
ún e
l gr
ado
de l
iber
tad
k y
m.
Est
a m
atri
z sa
tisf
ace
la r
elac
ión:
que
prem
ulti
plic
ando
por
[f]
f l r
esul
ta:
b)
La
rela
ción
de
equi
libr
io e
stát
ico,
ent
re l
as f
uerz
as a
plic
adas
a l
os e
xtre
mos
i
y j
del
elem
ento
, pue
de e
xpre
sars
e m
atri
cial
men
te c
omo
sigu
e:
Pj
=
[S] P;
en d
onde
[S
] es
la m
atri
z de
equ
ilib
rio
del
elem
ento
.
c)
Fin
alm
ente
, la
mat
riz
de r
igid
ez d
el e
lem
ento
, en
fun
ción
de
las
ante
rior
es,
resu
lta:
Par
a un
ele
men
to d
e di
rect
riz
circ
unfe
renc
ia1
la m
atri
z de
equ
ilib
rio
está
tico
es
:
Y l
a m
atri
z de
fle
xibi
lida
d [f]; pu
ede
expr
esar
se f
orm
alm
ente
por
:
Si s
e co
nvie
ne e
n ll
amar
:
e (1
- c
osa
)2
e (c
osa
- 1
1) co
sa
=
Ja Ig
g(a
) d
a
; =
/o
Igg
(a)
da
e (1
- c
osa
) se
na
=Ja
Igg
(a)
da
e co
sa - 1
d
a
da
e se
na
dond
e Ig
g(a
) rep
rese
nta
un
a le
y de
mor
nent
o de
ine
rcia
o d
e ár
ea a
lo
larg
o d
el
elem
ento
. Se
tie
ne,
par
a lo
s co
efic
ient
es d
e fl
exib
ilid
ad:
Apl
ican
do e
l m
éto
do
an
teri
orm
ente
des
crit
o se
lle
ga a
que
la
mat
riz
de r
igid
ez
resp
onde
a l
a ex
pres
ión
form
al:
l. 6
G. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
K11
0
0 0
K51
K
61.
-K11
0 0
O K
ii,l
K
12,1
K22
K
32
K42
O
0 0
K82
K92
K10,2
O
0 K
33
K43
O O
O K
83
K93
K10,3
O
0 K
44
0 0
O K
84
K94
K1
0,4
O
0 K
55
K65
-K51
O O
O K
11,5
K
12,5
K66
-K
61
O O
O K
11,6
K
12,6
K11
O O
O -K
11,1
-K
12,1
K88
K89
K8,1
0
O 0
K99
K9,1
0
O 0
SIM
K
io,i
o
O O
Kii
,ii
Kii
,iz
K12,1
2
Figu
ra 9
.
en l
a qu
e lo
s co
efic
ient
es d
e ri
gide
z, e
xpre
sado
s en
fun
ción
de
los
de f
lexi
bili
dad
y de
la
s do
s ca
ntid
ades
:
W =
[
(fllf5
5 -
f21
) (fllf6
6 -
f61) -
(fllf6
5 -
f51
f61
)2]
fll
[(f2
2f3
3 -
(f2
2f4
4 - f
42
) -
(f2
2f4
3 -
f32
f42
)2]
U
=
f22
son:
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
17
(f3
2f4
2 -
f22
f43
) K
43
=
U K
g3
=
-K3
2 s
eno -
K33
cos
e
Kg4
=
-K
42
sen
o -
K43
cose
K44
=
(
f22
f33
-
f&)
U
K55
=
(
fi
lf
~~
-
f&)
W
K65
=
(
f51
f61
-
fll f
65
)
W
KG
G
=
(f
ll
f5
5 -
fz
l)
W
K10
,4
=
K42
R (
1 -
COSO
) +
K43
R s
enO
-
K4
4
K11
,5
=
K51
R (
1 -
COSO
) -
K5
5 CO
SO +
K6Y
senO
K~
I,
~
=
K61
R (
1 -
COSO
) -
K65
COS
O +
KG
6 sen
o
K1
2,~
=
-K61
R
sen
o -
KG
5 sen
o -
K66
COS
O
Kg2
=
-K
22 s
eno - K
32 CO
SO
K10
,2
=
R (
1 -
COSO
) K
22
+ R
K32
seno
- .u
42
K10
,3
=
R (
1 -
COSO
) K
32 +
R K
33 s
eno - .
K4,
KI
I,~
=
R (
1 -
cose
) K
11 -
Ksl
cos
e +
KG
1 sen
o
18
G
BR
AV
O Y
A.
MA
RT
IN
P C 1
Kll
,ll
=
R (
1 -
COSO
) K
ll,l
-
K11
,5 CO
SO +
K1l
,G se
no
K11
,12 =
-R
K1l
,l s
eno -
K11
,5 s
eno - K
11,6
COSO
K12
,12 =
-R
K12
,1 se
no -
K12
,5 se
no -
K1
2$
COSO
Tra
nsf
orm
ació
n d
e c
oo
rden
adas
.
La
tran
sfor
mac
ión
orto
gona
l de
lo
s ej
es (x
, y,z
) de
l el
emen
to,
con
una
orie
ntac
ión
cual
quie
ra,
a lo
s ej
es g
loba
les,
pue
de l
leva
rse
a ca
bo m
edia
nte
las
tres
tr
ansf
orm
acio
nes
suce
siva
s qu
e se
des
crib
en a
con
tinu
ació
n.
Pri
me
r p
aso
: L
os e
jes
del
elem
ento
{x,
y, z
) se
gir
an,
alre
dedo
r de
la
líne
a re
cta
que
cone
cta
los
nudo
s ex
trem
os i
y j
, u
n á
ngul
o P.
Est
e gi
ro h
ace
que
el a
rco
pase
a
esta
r co
nten
ido
en u
n pl
ano
vert
ical
. E
l nu
evo
sist
ema
de e
jes,
obt
enid
o de
spué
s de
la
rota
ción
, se
va
a de
sign
ar p
or {
xo, y
o, z
o).
El
eje
xo
es p
aral
elo
al p
lano
XY
y l
os e
jes
y, y
zo
está
n, n
atur
alm
ente
, co
nten
idos
en
el p
lano
ver
tica
l de
l ar
co.
Est
a tr
ansf
orm
ació
n se
ha
repr
esen
tado
en
la F
igur
a 10
.
'\ z
.
.
>
Y
Fig
ura
10.
La
ecua
ción
de
esta
rot
ació
n pu
ede
expr
esar
se:
Pz
yz
=
[t
ll P
xo
yo
zo
en l
a qu
e:
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
19
Seg
un
do
pas
o:
El
nuev
o si
stem
a de
eje
s (x,, y,, z,)
tien
e su
eje
y,
coin
cide
nte
con
la l
ínea
rec
ta e
ntr
e i
y j,
eje
x,
ho
rizo
nta
l co
inci
dent
e co
n xo y
eje
z,
per
pen
dic
ula
r a
amb
os.
Est
o p
uede
con
segu
irse
gir
and
o e
l an
teri
or
sist
ema xo, y
o, zo
al
rede
dor
de xo
un
áng
ulo
812
has
ta q
ue e
l ej
e yo
co
inci
da c
on l
a lí
nea
com
enta
da.
L
a ec
uaci
ón d
e tr
ansf
orm
ació
n s
erá:
[t],
=
dond
e
cosp
e
-se@
s
en
~
-sen
p
CO
S~
e
sen
p s
en;
(1 -
2se
n2
f se
n2
$)
-$ (
1 - c
osp
) se
no
e 1
sen
o c
osz
- 5
(1 -
cosp
) se
no
(1 -
2cos
Z f
sen2
$)
Terc
er
pas
o:
Los
ej
es
auxi
liar
es {x,, y,,z,)
son
tran
sfo
rmad
os
a ej
es
glob
ales
{X
, Y, 2). E
sta
tran
sfo
rmac
ión
pue
de e
xpre
sars
e:
en l
a qu
e 1,
, m
, y
n,
son
los
cose
nos
dire
ctor
es d
e la
líne
a qu
e u
ne
i co
n j.
Ex
pre
sad
as
en f
unci
ón d
e la
s co
orde
nada
s de
los
nud
os i
y 3
que
con
ecta
el
elem
ento
son
:
adem
ás, E
n d
efin
itiv
a, l
a tr
ansf
orm
ació
n d
e lo
s ej
es g
loba
les
{X, Y
, Z}
a lo
s lo
cale
s {x
, y, z)
pued
e ex
pres
arse
en
un
a so
la e
cuac
ión
com
o si
gue:
G. B
RA
VO
Y A
. MA
RT
IN
do
nd
e
Si
desi
gnam
os a
los
ele
men
tos
que
con
stit
uy
en l
a m
atri
z de
tra
nsf
orm
ació
n e
n el
ex
trem
o i p
or
Sus
val
ores
son
:
tll
=
Q 'Yn'
sen
p
- c
osp
+ -
Q e
e n
e ta
l =
- se
n-
sen
p +
2, (c
os- - 2
sen
- co
sp)
Q 2
2
Q
2
1, e
8 ny
e t3
1 =
- C
OS
- se
nP -
2, (s
en-
+ - c
os-
cosp
) Q
2
2Q
2
t12
=
1, -- c
osp
+ -
Q se
np
Q
1, 9
0 n,
0 t2
2 =
-- s
en-
sen
p + m, (
cos-
- - s
en-
cosp
) Q
2
2Q
2
1, e
e n~
e t3
2 =
-- co
s-
sen
p - m, (
sen
- + - c
os-
cosp
) Q
2
2Q
2
e e
tI3
= -
Q
sen
p
; t2
3 =
ny C
OS
- +
Q
sen-
co
sp
2 2
e
e t3
3 =
Q
CO
S-
COSO
- ny s
en-
2
2
La
mat
riz
de t
ran
sfo
rmac
ión
par
a el
ex
trem
o j
del
ele
men
to,
[tIj
, res
pond
e a
e e
las
expr
esio
nes
ante
rior
es s
in m
ás q
ue s
ust
itu
ir 5
por
-5
. E
n c
ada
extr
emo
de
un
ar
co
de
estr
uct
ura
es
paci
al h
ay
tres
fue
rzas
y
3 m
om
ento
s, p
or l
o ta
nto
la
mat
riz
de t
ran
sfo
rmac
ión
co
mp
leta
ser
á:
dond
e
[t]
i o
. . .
. . .
. o
i [t
]
[TI;
=
[t];
i
o . .
. .
. . .
o i
[t];
[TIj
=
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OSl
2 1
Hay
un
cas
o es
peci
al e
n el
cam
bio
de c
oord
enad
as q
ue s
e es
tudi
a ap
arte
. E
l ca
so e
n qu
e el
vec
tor
que
une
los
punt
os e
xtre
mos
de
la d
irec
triz
del
arc
o, i
y j
, se
a pa
rale
lo a
l ej
e gl
obal
OZ
.
a)
Si e
l el
emen
to e
s as
cend
ente
, Z
j >
Z;,
se d
eh
e e
l án
gulo
P c
omo
en l
a F
igur
a 11
Fig
ura
11.
Y p
ara
la m
atri
z [t
]; se t
iene
en
este
cal
so:
cosp
se
np
O e
e [t
]; =
senp
sen
z -s
er12
co
sp
co
s~
e
e e
senp
cos
z -c
os 2
cos
p -s
en
~
b)
Si e
s de
scen
dent
e el
ele
men
to,
Zj <
Z;,
se d
efin
e el
áng
ulo
,8 c
omo
se m
uest
ra
en l
a F
igur
a 12
. /y
X ;
:i
11
;
0:
I,
:
; 1'
I I
j ':,
.. 1
\'\ , '
'2
Fig
ura
12.
"2 2
G. B
RA
VO
Y A
. MA
RT
IN
En
est
e ca
so s
e ti
ene
par
a la
mat
riz
[t];
:
cosp
-s
enp
O e
[t];
=
senp
sen
t se
nt
cosp
-c
osz
e e
senp
co
st
coss
cos
p se
nz
Par
a la
mat
riz
[tIj
, en
am
bos
caso
s, b
asta
sus
titu
ir 8
12 p
or
-812
en
las
ex
pres
ione
s an
teri
ores
de
[t];
.
Mat
riz
de
rigi
dez
ele
men
tal
en c
oord
enad
as g
lob
ales
.
Una
vez
obt
enid
as l
a m
atri
z de
rig
idez
en
loca
les
y la
de
tran
sfor
mac
ión,
se
calc
ula
med
iant
e la
exp
resi
ón:
AC
CIO
NE
S C
ON
CE
NT
RA
DA
S E
N
EL
EM
EN
TO
S D
E D
IRE
CT
RIZ
RE
CT
A
En
est
e ap
arta
do s
e pr
esen
tan
las
expr
esio
nes
de l
as f
uerz
as d
e em
potr
amie
nto
p'er
fect
o qu
e ap
arec
en c
uand
o se
som
ete
un e
lem
ento
a u
na a
cció
n co
ncen
trad
a, f
uerz
a o
mom
ento
. Se
con
side
ran
elem
ento
s de
dir
ectr
iz r
ecta
y s
ecci
ón c
onst
ante
o v
aria
ble.
D
e nu
evo
se
hace
us
o de
l te
orem
a de
lo
s tr
abaj
os
virt
uale
s co
n la
s co
nsid
erac
ione
s ya
com
enta
das
ante
rior
men
te.
Fig
ura
13.
En
las
exp
resi
ones
que
def
inen
est
as f
uerz
as,
los
sím
bolo
s Ia
Lo,
IaL
1,
IaL
2
e Ia
Gi,
, resp
onde
n a
las
sigu
ient
es d
efin
icio
nes:
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
dx
IaL0
(1gg
) =
1 a
479(
x>
x-
a
IaLl
(Igg
> =
1
- da:
a Ig
g(x>
x
(x - a
) dx
x Ia
L~iw
(Igg
) = 1 - dx
a
I&>
Sie
ndo
a la
dis
tanc
ia d
esde
el
nudo
ori
gen,
nud
o i,
has
ta e
l pu
nto
dond
e se
ap
lica
la
acci
ón.
Tab
la 1
.
24
G. B
RA
VO
Y A
. MA
RT
IN
DIS
TR
IBU
CIO
NE
S U
NIF
OR
ME
S D
E C
AR
GA
EN
EL
EM
EN
TO
S D
E D
IRE
CT
RIZ
Se
pres
enta
n ah
ora
las
expr
esio
nes
de l
as f
uerz
as d
e em
potr
amie
nto
perf
ecto
orig
inad
as p
or l
as d
istr
ibuc
ione
s un
ifor
mes
de
carg
a m
as f
recu
ente
s.
V,
C/§
MiZ
ZZ
=Z
2=
22
4 V
M;
Ni
VV
VV
VV
TVl
Mj
C Mi
Fig
ura
14.
/ 1 (A
)—P
tro
G/4
/ 3(/
z) -
--T
AY
T2(
rz)}
vi
2N
i =
p 1
0(A
)=
10(.1
,)I2V
4— i1
(1..)
2
P — I
licr
zw
iz)
— 1
2(1z
)21
9Nj
= —
pL —
Ni
Mi
=w
z) .
1 2(I
z)—
I1(
rz)2
Vj =
pL
— v
i ;
Mi
= lli •
L —
Mi
—1'
2
/ I 11( J
)f {
1- 0(4
)/3(
4)
- /1
(4)1
-2(4
)12
v =
Mi =
-m
Io(
J)
'I0
(10
12
(10
— '1
(4)2
--1-f. {
—I i
(101
3(1
0 +
12
(102
}M
i2
Ma =
_m
i —
mL
=.r o
voi 2
vo—
IA
102
L2a
=_ V
i •
L --
Mi
V
pL —
1/2
;
Mi
=P
-2-
Tab
la I
I.
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
25
AC
CIO
NE
S C
0N
CE
NT
RA
DA
.S E
N E
LE
ME
'NT
OS
D
E D
IRE
CT
RIZ
CIR
CU
NF
ER
EN
CIA
X,
Se e
xpon
en a
con
tinu
ació
n la
s ex
pres
ione
s de
las
fue
rzas
de
empo
tram
ient
o pe
rfec
to,
corr
espo
ndie
ntes
a l
os c
asos
de
acci
ón c
once
ntra
da e
n es
te t
ipo
de e
lem
ento
s.
1
La
Fig
ura
15 r
epre
sent
a la
s di
stin
tas
posi
bili
dade
s.
Fig
ura 15.
En
las
ecu
acio
nes
que
apar
ecen
a c
onti
n,ua
ción
s y
c s
on:;
e e
S =
se
n-
c =
to
s-
2'
2
Y l
as l
etra
s m
ayús
cula
s 11, A
, B
, C, D
, E
, F
, G
y 19
corr
espo
nden
a l
as
. de
fini
cion
es i
nteg
rale
s re
aliz
adas
ant
erio
rmen
te.
Fu
erza
en
dir
ecci
ón r
adia
l. 9
Si A
es
la c
anti
dad:
se t
iene
:
G. B
RA
VO
Y A
. MA
RT
IN
PR
2 [
-J~
(DI~
+ GH
) +
J2(B
Il - G
2) - J3
(BH
+ D
G)]
v3
=
A
PR
2 [
J~(A
I, - H
2) - Y
2(D
11 + G
H)
+ J3
(AG
+ D
H)]
v2
=
A
PR
3 [
-J~
(AG
+ H
D)
+ J2
(GD
+ BH
) +
J~
(D
' - A
B)]
M
4 =
A
Don
de t
od
as l
as i
nteg
rale
s de
pend
en d
el m
om
ento
de
iner
cia
Ix(a
).
Los
sím
bolo
s Jl
, J2 y
J3 co
rres
pond
en a
:
e (1
- c
osa
) se
n(a
- 7
) 51
=
/,
da
I
x(
4
e se
na
sen
(a - 7
) J2
=
J,
Ix(a
) d
a
e se
n(a
- 7
)
J3
= /i
Ix(a
) d
a
En
ést
as y
pos
teri
ores
exp
resi
ones
7 e
s el
áng
ulo
de s
itu
ació
n d
e la
car
ga.
P
or
últ
imo
, de
la
s ec
uaci
ones
de
eq
uili
brio
, la
s re
stan
tes
incó
gnit
as
hip
eres
táti
cas
será
n:
v8 =
(s
2 - c
2) v
2 +
2sc
v3 -
P
sen
(0 - y
)
v9 =
(
s~
- c
~)
v3
-
~S
C
v2 +
P C
OS
(~
- T
)
M,,
=
2~
s' V
2 +
2R
sc V
3 -
M4
-
PR
sen
(0 - 7
)
Fu
erza
en
dir
ecci
ón
ta
ng
ente
.
Sie
ndo
aho
ra:
(co
sa - 1
) [1
- c
os(
a - y
)]
JI
= J,
da
Id
a)
e [c
os(
a - y
) - 11
se
na
da
JZ
= /,
IX
b)
e co
s(a - 7
) - 1
J3
= J,
Ix(a
) d
a
zie
ob
tien
en,
par
a la
s in
cógn
itas
V2,
V3
y M
4,
expr
esio
nes
form
alm
ente
igu
ales
a l
as
ob
ten
idas
en
el
caso
an
teri
or.
E
n e
l nu
do e
xtr
emo
:
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
27
Vg
= ((
s - c
2) V
3 -
2sc
V2 -
P s
en(0
- 7
)
Mlo
=
2
~s
' V2 -
M4
+ ~
RS
C
V3 +
PR
[l - c
os(8
- y
)]
Mo
men
to c
on
cen
tra
do
no
rma
l a
l p
lan
o d
el a
rco
.
Las
fue
rzas
de
empo
tram
ient
o en
el
extr
emo
i so
n:
MR
-Z
l(D
Il
+ GH
) +
Zz(
BIi
- G
2) -
Z3
(BH
+ D
G)]
v
3=
-[
A
MR
[z
~(A
I~
- 1
12) -
Zz(
DIl
+ G
H)
+ Z
3(A
G +
DH
)]
v2 =
-
A
M4
= -
MR
2 [
-Z~
(AG
+ HD
) +
Z2
(GD
+ BH
) +
&(n
2 - A
B)]
A
En
las
que
A r
espo
nde
a la
exp
resi
ón p
rese
ntad
a p
ara
el c
aso
de f
uerz
a en
di
recc
ión
radi
al y
par
a Z
l, Z
2 y
Z3
se t
iene
:
(1 - c
osa)
da
e se
na d
a
z2 =
m
-
Y V
8,V
g, y
Mlo
res
ulta
n, u
sand
o la
s ec
uaci
ones
de
equi
libr
io:
Fu
erza
no
rma
l a
l p
lan
o d
el a
rco
.
Sie
ndo
A:
b
A
=
R [
(;E
+ D
I) (
E - E
') (
A +
C')
+
(F
+ A')
(A +
F') (
A +
B')
-
1
1
2
- - (
E - E
')~
(A
+ B
') -
(A+
F')
+ DI) -
(F
+ A
') (A
+ c
')~
] 4
2 8
G. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
Las
fue
rzas
de
emp
otr
amie
nto
en
el
extr
emo
i so
n:
PR
~
1
1
M6
= -
A
[PI [
S (A
+ C')
(E - E
') - (
A +
F') (
iE +
D')]
+
1
+ P2
[(A
+ F')
(A
+ B')
-
(A +
c')
~] +
1
1
+ P3 [(
A + C
') (
SE
+ D')
-
(E - E
') (
A +
B')]
]
PR
~
1
M5
=
-
1
A
[PI [
(SE
+ DI)
S (E
- E
') - (F
+ A')
(A + C
')] +
1
1
+ P
2 [
(A + C
') (;E
+ D
i) -
(A
+ B
') 5
(E
- E
')]
+ 2
+ P3 [(
F + A
L) (
A + B
') -
(SE + DI
) ]]
PR
1
VI
= - [P
I [(F
+ A')
(A +
F')
-
4 (E
- E
')']
+ A
1
1
+ p2
ls
(A +
c') (
E - E
') -
(A +
F') (
SE
+ DI)
] +
11
+
P3 [Z
(SE
+ D')
(E
- E
') -
(A +
C')
(F + A
')]]
En
est
as e
cuac
ione
s lo
s sí
mbo
los
con
pri
ma
se r
efie
ren
a in
tegr
ales
dep
endi
ente
s cl
el m
om
ento
de
iner
cia
J,
mul
tipl
icad
o p
or
G,
mód
ulo
de e
last
icid
ad t
ran
sver
sal;
los
sí
mbo
los
sin
pri
ma
del
mo
men
to I
z m
ult
ipli
cad
o p
or
E, m
ód
ulo
de
You
ng d
el m
ater
ial,
y
los
sím
bolo
s P1
, P2 y
Pg
son:
e se
na
,en(
, - y
) e
(1 - c
osa
) [l - c
os(
a - y
)]
PI =
1
da
+ L
da
Y
G
Jb
)
e co
sa s
en(a
- y
) e
sen
a [l - c
os(
a - y
)]
P2
= J
da
+ L
GJ
(4
d
a
Y
EIz
(a)
e se
na
sen
(a - y
) e
cosa
[l - c
os(
a - y
)]
P3 =
J
da
+ L
da
Y
E
L(&
) G
J(
4
Par
a la
s re
stan
tes
incó
gnit
as h
iper
está
tica
s se
tie
ne:
,
v7 =
P
-
VI
t
M12
=
P
R s
en(6
-y
) -
2scM
5 +
(s2
- c
2) M
6 -
2Rsc
V1
Mll
=
P
R [
cos(
6 - y
) - 11
+ 2s
cM6
+ (s
2 - c
2) M
5 -
2~
s'
~~
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
2 9
Mo
men
to c
on
cen
trad
o e
n d
irec
ción t
ang
enci
al.
Sie
ndo
61, 6
2 y
¿í3 l
as c
anti
dade
s:
e se
na s
en(a
- y
) 0
(1 - c
osa)
cos
(a - y
) 6 1
=
-L
d
a
EIz
(a)
G J(4
e
cosa
sen
(a - y
) e
sena
cos
(a - y
) da
+
/
GJ(
a)
da
EIz
(a)
' Y
e se
na ,
en(,
- y
) e
cosa
,os
(, - y
) 6 3
=
-l
da
-
GJ(
a)
' da
EI
Z (a
)
Las
exp
resi
ones
de
Vi,
Mg,
y M
G so
n:
M
1
Vi
= - 1
61 [
(F + A
') (A
+ F1
) - - (
E - E
')~
] + A
4
1
1
+ 62
[-
(A +
C')
(E - E
')
-- (A
+ F
') (
-E +
D')]
+
2 2
1
1
+ 63
[(?
E + D') 5
(E - E
') - (F
+ A')
(A + c
')]]
1
MR
[si
[(:E
+ D
I) 5 (E
- E
') - (F
t A
l) (
A +
C')I
+
M5
= -
A
2
MR
1
1,
M6
= - [6
1 [-
(E
- E
') (
A +
C')
-
(A +
F')
(-E
+ D
')]
+ A
2
2
+ 62
[(
A + F
') (
A +
B')
-
(A +
c')']
+ 1
1
+ 63
[(A
+ C')
+ D
I) - 5
(E - E
') (
A +
B')
]]
Aqu
í A
es
la c
anti
dad
ante
rior
men
te d
efin
ida.
U
sand
o la
s ec
uaci
ones
de
equi
libr
io:
3 0
G. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
Mom
ento
con
cen
trad
o ra
dia
l.
Sie
ndo
SI,
62
y S3
las
def
inid
as p
or:
e se
na
cos(
a - y
) (1
- c
osa
) se
n(a
- y
) 6 1
=
-l
d
a
EIz
(a)
GJ
(4
co
sa c
os(
a - y
) e
sen
a ,e
n(, - y
) 6 2
=
-k
da
- L
GJ
(a)
da
E
Iz(a
) e
sen
a co
s(a - y
) e
cosa
se,(
, - y
) 6 3
=
-l
da
'
GJ
(a)
da
E
L(&
)
Sig
uen
sien
do v
álid
as l
as e
xpre
sion
es d
e V
i, M
5 y
M6
que
apar
ecía
n e
n el
ap
arta
do
an
teri
or.
P
ara
las
rest
ante
s fu
erza
s de
em
po
tram
ien
to s
e ti
ene:
v7 =
- V
I
M12
= - M
cos
(8 - 7
) +
(s2
- c
2)
M6 -
2scM
5 -
2Rsc
V1
MI1
=
M
sen
(8 - 7
) +
2scM
6 +
(s2
- c
2) M5 +
2~
s~
V
I
DIS
TR
IBU
CIO
NE
S U
NIF
OR
ME
S D
E C
AR
GA
EN
E
LE
ME
NT
OS
DE
DIR
EC
TR
IZ C
IRC
UN
FE
RE
NC
IAL
Se c
onsi
dera
n lo
s ca
sos
que
se p
rese
nta
n a
con
tinu
ació
n:
X'
Fig
ura 16.
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
31
Dis
trib
uci
ón d
e fu
erza
s ta
nge
nci
ales
.
Las
exp
resi
ones
par
a V
2, V
3 y
M4
son
las
que
apar
ecen
par
a el
cas
o de
fue
rza
con
cen
trad
a en
dir
ecci
ón r
adia
l de
l ap
arta
do
an
teri
or,
si
el s
egun
do m
iem
bro
de
cad
a u
na
de a
quel
las
se m
ult
ipli
ca p
or
R y
el
valo
r P
de
la c
arg
a co
nce
ntr
ada
se s
ust
itu
ye
po
r p,
val
or d
e la
car
ga d
istr
ibu
ida.
Los
val
ores
de
Ji, J
z y
J3, e
n es
te c
aso
será
n:
6 (1
- c
osa
) (s
ena - a
)
JI =
J,
da
Id
a>
e se
na
(sen
a - a
)
J2
/o I,
(a)
da
(sen
a - a
) d
a
Par
a la
s in
cóg
nit
as d
el e
xtr
emo
j,
usa
nd
o l
as e
cuac
ione
s de
equ
ilib
rio,
se
tien
e:
Dis
trib
uci
ón u
nif
orm
e d
e fu
erza
s ra
dia
les.
Las
fue
rzas
de
emp
otr
amie
nto
en
el e
xtr
emo
i r
esu
ltan
:
Y u
san
do
las
ecu
acio
nes
de e
quil
ibri
o:
3 2
G. B
RA
VO
Y A
. MA
RT
IN
Dis
trib
uci
ón
de
fuer
zas
no
rma
les
al
pla
no
del
arc
o.
Si s
e de
fine
n:
e (1
- c
osa)
(a
- s
ena)
I'
= J,
da
G
J(4
se
na (
a - s
ena)
J' =
/o G
J(a
) d
a
e co
sa (
a - s
ena)
K
' =
1
da
G
J(a
)
Las
exp
resi
ones
obt
enid
as p
ara
Vi,
M5
y M
G en
el
caso
de
fuer
za c
once
ntra
da
en d
irec
ción
nor
mal
al p
lano
del
arc
o so
n vá
lida
s ta
mbi
én a
quí,
sie
ndo
ahor
a P1
, P2 y
P3
las
sigu
ient
es:
Pl =
R
(D
+ 1')
02
=
R(J
1-C
)
p3 =
R
(D
- K
')
Med
iant
e la
s ec
uaci
ones
de
equi
libr
io s
e ob
tien
e:
eri
las
que:
Dis
trib
uci
ón
de
mo
men
tos
tors
ore
s.
Sig
uen
sien
do v
álid
as l
as e
xpre
sion
es c
omen
tada
s m
ás a
rrib
a p
ara
VI,
M5
y M
6, s
in m
ás q
ue c
ambi
ar e
l va
lor
de l
a fu
erza
con
cent
rada
P p
or e
l de
l m
omen
to p
or
unid
ad d
e lo
ngit
ud m
. E
n e
ste
caso
, pl,
P2 y
,O3
son:
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
Y l
as i
ncóg
nita
s en
el n
udo
j en
fun
ción
de
las
del
nudo
i, s
erán
:
v, =
-V
I
Mll
=
(s
2 - c
2) M
5 +
2s [
c(M
6 - R
m)
+ R
sVl]
RE
SU
LT
AD
OS
Se p
rese
ntan
a c
onti
nuac
ión
dos
ejem
plos
, que
han
sid
o re
suel
tos
util
izan
do l
a fo
rmul
ació
n ex
pues
ta a
nter
iorm
ente
. A
mbo
s ej
empl
os s
e an
aliz
aron
hac
iend
o us
o de
un
pro
gram
a de
aná
lisi
s7 q
ue
impl
emen
ta e
l 'de
sarr
ollo
teó
rico
.
Eje
mp
lo 1
.
Se t
rata
de
un
a vi
ga r
ecta
en
vola
dizo
d.e
sec
ción
var
iabl
e. E
n l
a F
igur
a 17
se
ha
repr
esen
tado
la
estr
uctu
ra y
se
defi
nen
las
cara
cter
ísti
cas
geom
étri
cas
y re
sist
ente
s.
Fig
ura
17.
S
ecci
ón r
ecta
ng
ula
r d
e an
cho
20c
in
Ley
de
área
:
A =
-2
x +
1000 (
cm2
)
Ley
de
mom
ento
de
iner
cia:
I,
=
-1.6
673
- 3
z3 +
2.5
x2 -
2.08
3 E
5 (
cm2
)
34
G. B
RA
VO
Y A
. M
AR
TIN
En
est
as e
xpre
sion
es x
es
la c
oord
enad
a so
bre
la d
irec
triz
de
la v
iga,
med
ida
desd
e el
nud
o 1
. M
ater
ial:
Hor
mig
ón
Hac
iend
o us
o de
l pr
ogra
ma
se a
nali
zó e
ste
ejem
plo
por
dos
proc
edim
ient
os:
en
form
a ex
acta
, es
dec
ir,
cons
ider
ando
la
estr
uctu
ra c
omo
form
ada
por
un s
ólo
elem
ento
de
áre
a e
iner
cia
las
ante
rior
men
te e
xpre
sada
s, y
apr
oxim
ándo
la c
on t
ram
os d
e se
cció
n co
nsta
nte.
Est
os t
ram
os s
e el
igen
con
el
crit
erio
que
exp
resa
grá
fica
men
te l
a F
igur
a 18
.
Fig
ura
18.
La
Tab
la
que
apar
ece
a co
ntin
uaci
ón
pres
enta
lo
s re
sult
ados
de
l an
ális
is
apro
xim
ado
con
1,
2, 4
, 8
y 16
tra
mos
de
secc
ión
cons
tant
e.
En
est
e ca
so s
enci
llo
tan
sól
o ap
arec
en l
a fl
echa
y e
l gi
ro e
n el
ext
rem
o, y
a qu
e lo
s es
fuer
zos,
por
tra
tars
e de
ii
na e
stru
ctur
a is
ostá
tica
, son
en
cual
quie
r ca
so l
os q
ue e
quil
ibra
n la
car
ga.
Tab
la 1
11.
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
3 5
LE
CT
UR
A D
AT
OS
C
AL
CU
LO
S
Exa
cto
44
2 2
16 tr
amo
s 31
6 38
2
mej
ora
cons
egui
da
7.18
17
.36
4.28
TA
BL
A I
V.
Tie
iiipo
s de
Com
puta
dor
Eje
mp
lo 1
1.
Se c
onsi
dera
aho
ra e
l ar
co h
iper
está
tico
de
secc
ión
vari
able
que
mu
estr
a la
F
igur
a 19
. Se
tra
ta d
e u
na
estr
uctu
ra s
imét
rica
que
se
ha
supu
esto
for
mad
a po
r do
s el
emen
tos
que
cone
ctan
tre
s nu
dos.
1 10 K
ip
X F
igur
a 19
.
Las
bar
ras
son
de s
ecci
ón r
ecta
ngul
ar d
e an
cho
cons
tant
e de
20
in.
Ley
de
área
:
Ley
de
iner
cia:
En
los
que x
es e
l án
gulo
en
radi
anes
nne
dido
des
de e
l or
igen
de
la b
arra
. M
ater
ial:
Hor
mig
ón
de sect
ion
cons
tant
e
sect
ion
vari
able
N°
tram
osfl
echa
Rea
c. H
oriz
.M
omen
to b
ase
Mom
. en
3fl
echa
Err
ores
It. h
or.
rela
tivo
s
M. B
ase
M. a
rrib
.
2-
9.42
51E
-34.
9968
8 E
31.
8744
1 E
31.
8744
1 E
3-
--
-
4-
2.46
585.
8747
5 E
3-
2.08
03
E6
1.03
06
E6
36.7
5%17
.5%
38.2
%25
.52
6-
2.82
006.
2276
4 E
3-
2.52
78
E6
1.05
466
E6
27.6
6%12
.5%
24.9
1%28
.45
10-
3.17
526.
6652
1 E
3-
2.95
54
E6
9.57
119
E5
18.5
5%6.
4%12
.22%
16.5
7
20-
3.63
96.
9839
1 E
3-
3.24
48
E6
8.64
086
E5
6.66
%1.
9%3.
62%
5.24
Exa
cto
- 3.
8985
7.12
14
E3
- 3.
3667
E6
8.21
039
E5
--
--
8-
3.66
757.
1431
E3
- 3.
2747
E6
7.02
977
E5
5.9
%0.
3%2.
73%
14.3
7
4-
2.35
437.
0815
1 £3
- 2.
9156
£64.
1779
9 E
539.6
%0.
5%13.4
%49
.1
Tabla
V. E
l arc
o a
pro
xim
ado c
on t
ram
os
recto
s.
N°
tram
osfl
echa
Rea
c. H
oriz
.M
omen
to b
ase
Mom
. arr
iba
flec
ha
Err
ores
R. h
or.
rela
tivo
s
M. B
ase
M. a
rrib
.
2-
1.50
064.
5892
5 E
3-
1.32
56 E
61.
8185
5 E
661
.5 %
35.6
%60
%12
1.5
%
4-
2.80
035.
7409
E3
- 2.
3878
E6
1.49
87
E6
28.1
7%19
.4 %
29
.1 %
82
.5 %
6-
2.96
226.
1954
E3
- 2.
6938
E6
1.25
94
E6
24
%13
%20
%53
.4 %
8-
3.09
656.
4807
£3-
2.89
44 E
61.
1175
8 E
620
.6 %
8.99
%14
.03%
36.1
2%
10-
3.23
496.
6607
E3
- 3.
025
E6
1.03
19
£617
%6.
47%
10.1
5%2
5.7
%
20-
3.65
726.
9837
E3
- 3.
2635
E6
8.83
166
E5
6.19
%1.
93%
3.07
%7.
57%
Exa
cto
- 3.
8985
7.12
14
E3
- 3.
3667
E6
8.21
039
E5
--
--
Tab
la V
I. E
l ar
co a
pro
xim
ado c
on t
ram
os
curv
os
de
s.c.
.
TR
AT
AM
IEN
TO
DE
EL
EM
EN
TO
S R
EC
TO
S Y
CU
RV
OS
3 7
Se
pre
sen
tan
las
tab
las
de r
esu
ltad
os
ob
ten
ido
s al
ap
rox
imar
la
estr
uct
ura
con
el
emen
tos
rect
os
de s
ecci
ón c
on
stan
te,
con
el m
ism
o cr
iter
io q
ue e
:n e
l ej
empl
o an
teri
or,
co
n el
emen
tos
rect
os d
e se
cció
n va
riab
le l
inea
l, o
bte
nid
os
al u
nir
con
ari
stas
rec
tas
las
secc
ione
s ex
trem
as d
e ca
da
tram
o e
n q
ue s
e di
vide
el
arco
ori
gin
al;
po
r ú
ltim
o,
en l
a T
abla
VI
apar
ece
la a
prox
imac
ión
con
elem
ento
s de
dir
ectr
iz c
ircu
nfer
enci
a1 y
sec
ción
co
nst
ante
. S
iem
pre
com
par
and
o c
on l
os r
esu
ltad
os
exac
tos.
TA
BL
A V
II.
Tie
nipo
s de
com
puta
dor
CO
NC
LU
SIO
NE
S
En
los
apar
tad
os
ante
rior
es s
e h
a de
scri
to l
a m
ecán
ica
de t
rab
ajo
nec
esar
ia p
ara
inco
rpo
rar
al A
náli
sis
Mat
rici
al d
e E
stru
ctu
ras,
ele
men
tos
de s
ecci
ón v
aria
ble,
rec
tos
o cu
rvos
cir
cunf
eren
cial
es, i
nclu
yénd
ose
tod
as l
as e
xpre
sion
es q
ue d
eben
ser
usa
das
. A
sim
ism
o se
han
tra
tad
o l
os c
asos
más
im
po
rtan
tes
de c
arga
s ac
tuan
tes
sobr
e es
tos
elem
ento
s, t
ema
impr
esci
ndib
le é
ste
si q
uere
mos
que
dic
laos
ele
men
tos
pu
edan
o
per
ar r
ealm
ente
den
tro
de
un
paq
uet
e de
Aná
lisi
s M
atri
cial
. F
inal
men
te,
se
han
p
rese
nta
do
do
s ej
empl
os
num
éric
os
que
vali
dan
las
form
ulac
ione
s d
esar
roll
adas
.
AG
RA
DE
CIM
IEN
TO
S
El
pre
sen
te t
rab
ajo
fo
rma
par
te d
e lo
s es
tudi
os r
eali
zado
s p
ara
la r
eali
zaci
ón
del
Pro
yec
to d
e D
iseñ
o A
sist
ido
po
r co
mp
uta
do
r de
Co
mp
uer
tas
Met
álic
as7
, fin
anci
ado
por
la J
un
ta d
e A
nd
alu
cía,
a t
rav
és d
e S
AD
IEL
S.A
..
RE
FE
RE
NC
IAS
1.
J.S
- P
rzen
iien
ieck
i,
"The
ory
of M
atri
z S
truc
tura
l Ana
lysi
s",
Mc
Gra
w-H
ili,
(19
68).
2.
F
. P
arís
, "C
álcu
lo M
atri
cial
de
Est
ruct
uras
",
Cát
edra
de
Est
ruct
uras
de
la E
S11
de
Mad
rid,
(19
80).
3.
O
.C.
Zie
nkie
wic
z,
"El
Mét
odo
de l
os E
lem
ento
s F
init
os",
R
ever
té,
(198
0).
4.
G.S
. P
isar
enko
, A
.P.
Yak
ovle
v y
V.V
. M
atve
ev,
"Man
ual
de
Res
iste
ncia
de
M
ater
iale
s ", M
ir,
Mos
cú,
(197
9).
5.
A.F
. M
artí
n y
F.
Del
gado
, "A
.N.P
.I.:
Un
prog
ram
a de
Ord
enad
or p
ara
el A
nális
is
de T
uber
ías
en
Cen
tral
es N
ucle
ares
",
VII
Reu
nión
An.
ual
de
la S
ocie
dad
Nuc
lear
E
spañ
ola.
6.
M
. P
rat,
"E
tude
des
pout
res
plan
es C
ourb
es.
Mét
hode
del
dés
plac
eine
nts"
, A
nnal
es
de L
'IT
BT
P,
no.
453,
(19
87).
7.
G
. B
ravo
, "A
náli
sis
por
Com
puta
dor
de e
stru
ctur
as e
spac
iale
s de
bar
ras.
Tra
tam
ient
o es
peci
fico
de b
arra
s cu
rvas
con
sec
ción
var
iabl
e",
P.F
.C.
Dep
arta
men
to d
e In
geni
ería
de
l D
isei
io d
e la
ES1
1 de
Sev
illa,
(19
87).
3 8
G.
BR
AV
O Y
A.
MA
RT
IN
i
Top Related