VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que:...

36
Revista Internacional de Métodos Numéricos para CAlculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 5, 1, 3-38( 1989) TRATAMIENTO DE ELEMENTOS RECTOS Y CURVOS DE SECCYON VARIABLE POR METODOS MATRICIALES G. BRAVO Y A. MARTIN E.S.I.I. de Sevilla, Avda. Reina Mercedes s/n. 4101.2 Sevilla, España. RESUMEN En este trabajo se presenta la foriiiulacióii necesaria para el trataiiiieiito de eleiiieiitos de directriz recta o circunfereiicial coi1 características geoiiiétricas e iirerciales variables según la directriz, así coiiio de las cargas equivalentes, dentro del áiiibito del Análisis Matricial de Estructuras. SUMMARY Iii tliis work, tlie iiecessary foriiiulatioii to aiialyse space fraiiieworks with straiglit or circular curved iiieiiibers of variable cross section is presented. Equivalent coiicentrated forces are also deteriiiiiied. Matrix iiietliods liave beeii used. INTRODUCCION El diseño de estructuras es una de las ramas fundamentales de la ingeniería. Entre los tipos estructurales que esta rama estudia, uno de los más importantes es, sin duda, el constituido por las estructuras de barras. El análisis de estas estructuras es bien conocido, ya que las ideas en que se basamenta se establecieron a finales del siglo XIX. La aparición de los ordenadores potenció el desarrollo de los llamados métodos matriciales de análi~is',~. Estos métodos adaptan las ideas clásicas al funcionamiento del ordenador, y por esta razón su uso está tan difundido en nuestros días. Entre las estructuras de barras, las más utilizadas en edificación son las estructuras porticadas planas, compuestas por barras rectas, prismáticas jr de sección constante. Sin embargo, en las construcciones industriales, es muy frecuente encontrar estructuras con características que se apartan de las anteriormente indicadas. Entre éstas características, las más importantes son: Recibido: Agosto 1987 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSI\; 0213-131 5 3

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Rev

ista

In

tern

acio

nal

de

Mét

odos

Nu

mér

icos

par

a C

Alc

ulo

y D

iseñ

o en

In

gen

ierí

a. V

ol.

5, 1

, 3-3

8( 1989)

TR

AT

AM

IEN

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a fo

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ióii

nec

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ara

el t

rata

iiii

eiit

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ele

iiiei

itos

de d

irec

triz

rec

ta o

cir

cunf

erei

icia

l co

i1 c

arac

terí

stic

as g

eoii

iétr

icas

e i

irer

cial

es v

aria

bles

seg

ún

la d

irec

triz

, as

í co

iiio

de l

as c

arga

s eq

uiva

lent

es, d

entr

o de

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iibi

to d

el A

nális

is M

atri

cial

de

Est

ruct

uras

.

SU

MM

AR

Y

Iii

tlii

s w

ork,

tli

e iie

cess

ary

fori

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ii t

o ai

ialy

se s

pace

fra

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wor

ks w

ith

stra

igli

t or

ci

rcul

ar c

urve

d ii

ieii

iber

s of

var

iabl

e cr

oss

sect

ion

is p

rese

nted

. E

quiv

alen

t co

iice

ntra

ted

forc

es

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also

det

erii

iiii

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Mat

rix

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tlio

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ed.

INT

RO

DU

CC

ION

El

dis

eño

de

estr

uct

ura

s es

un

a d

e la

s ra

mas

fu

nd

amen

tale

s d

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ing

enie

ría.

En

tre

los

tip

os

estr

uct

ura

les

qu

e es

ta r

am

a e

stu

dia

, un

o d

e lo

s m

ás

imp

ort

ante

s es

, si

n d

ud

a,

el c

on

stit

uid

o p

or

las

estr

uct

ura

s d

e b

arra

s.

El

anál

isis

d

e es

tas

estr

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ura

s es

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ien

co

no

cid

o,

ya

qu

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s id

eas

en

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e se

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asam

enta

se

esta

ble

cier

on

a f

inal

es d

el s

iglo

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. L

a ap

aric

ión

de

los

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enad

ore

s p

ote

nci

ó e

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roll

o d

e lo

s ll

amad

os

mét

od

os

mat

rici

ales

de

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áli

~is

',~

. Est

os

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od

os

ad

ap

tan

las

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clás

icas

al

fun

cio

nam

ien

to

del

ord

enad

or,

y p

or

esta

raz

ón

su

uso

est

á ta

n d

ifu

nd

ido

en

nu

estr

os

día

s.

En

tre

las

estr

uct

ura

s d

e b

arra

s, l

as m

ás

uti

liza

das

en

edi

fica

ción

so

n l

as e

stru

ctu

ras

po

rtic

adas

pla

nas

, co

mp

ues

tas

po

r b

arra

s re

ctas

, p

rism

átic

as j

r d

e se

cció

n co

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ante

. S

in e

mb

arg

o, e

n l

as c

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stru

ccio

nes

in

du

stri

ales

, es

mu

y f

recu

ente

en

con

trar

est

ruct

ura

s co

n ca

ract

erís

tica

s q

ue

se

apar

tan

d

e la

s an

teri

orm

ente

in

dic

adas

. E

ntr

e és

tas

cara

cter

ísti

cas,

las

s im

po

rtan

tes

son

:

Rec

ibid

o: A

gost

o 1

98

7

OU

niv

ersi

tat

Pol

itec

nic

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Cat

alu

nya

(E

spañ

a)

ISSI

\; 02

13-1

31 5

3

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4 G. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

-

La

espa

cial

idad

de

las

mis

mas

, d

eter

min

ada

po

r la

fo

rma

geom

étri

ca y

las

acci

ones

ac

tuan

tes.

-

-

Apa

rici

ón d

e el

emen

tos

curv

os.

Arc

os c

ircu

lare

s, p

arab

ólic

os,

etc.

Q

- E

lem

ento

s de

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ción

var

iabl

e,

con

los

que

se p

rete

nd

e bu

scar

u

na

adec

uaci

ón

resi

sten

te y

en

defi

niti

va u

n d

iseñ

o ó

pti

mo

. C

Par

a an

aliz

ar l

as e

stru

ctu

ras

de b

arra

s se

uti

liza

n p

rog

ram

as d

e o

rden

ado

r qu

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ple

men

tan

, fu

nd

amen

talm

ente

, de

entr

e lo

s m

éto

do

s m

atri

cial

es,

el m

éto

do

dir

ecto

de

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rigi

dez.

Los

paq

uet

es e

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dar

par

a es

te c

omet

ido

está

n c

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bido

s, g

ener

alm

ente

, p

ara

las

estr

uct

ura

s us

uale

s en

edi

fica

ción

, m

od

elad

as m

edia

nte

pór

tico

s or

togo

nale

s p

lan

os.

C

uan

do

el

pro

ble

ma

es

más

co

mpl

ejo,

es

prec

iso

acud

ir

a p

rog

ram

as

de

elem

ento

s fi

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os3

, en

los

que

las

estr

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ura

s de

bar

ras

son

un

cas

o p

arti

cula

r.

No

rmal

men

te, l

os e

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ento

s cu

rvos

en

un

a es

tru

ctu

ra s

e su

stit

uy

en p

or u

na

seri

e de

el

emen

tos

rect

os.

Las

des

ven

taja

s de

est

e ca

mbi

o so

n el

gra

n i

ncr

emen

to e

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mer

o

de g

rad

os

de l

iber

tad

de

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stru

ctu

ra y

la

apro

xim

ació

n qu

e tr

ae c

onsi

go e

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aná

lisi

s.

La

pri

mer

a de

est

as d

esv

enta

jas

acar

rea

un

in

crem

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en

el t

iem

po

de

ejec

ució

n, q

ue

com

o se

sab

e no

es

line

al s

ino

cuád

rati

co.

Ad

emás

, y

est

o e

s m

ás i

mp

ort

ante

hoy

en

C,ía

que

el

tiem

po

de

C.P

.U.,

se

incr

emen

ta l

a in

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ació

n qu

e h

ay q

ue s

um

inis

trar

al

ord

enad

or

y el

tie

mp

o q

ue h

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edic

ar a

pre

par

arla

. P

or

otr

a p

arte

, p

od

ría

hab

er

pro

ble

mas

con

la

cap

acid

ad d

e m

emo

ria

lim

itad

a de

los

ord

enad

ore

s, a

un

qu

e és

to s

e pu

ede

deci

r qu

e no

co

nst

itu

ye

ya u

n i

ncon

veni

ente

. E

n s

egun

do l

ug

ar,

la p

érd

ida

de e

xac

titu

d q

ue s

upon

e tr

atar

las

est

ruct

ura

s co

n el

emen

tos

curv

os y

/o c

on s

ecci

ón v

aria

ble

med

ian

te s

u fr

acci

onam

ient

o en

ele

men

tos

rect

os

de

secc

ión

con

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obli

ga a

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liza

r, e

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guno

s ca

sos,

var

ios

anál

isis

co

n d

isti

nta

s di

scre

tiza

cion

es a

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bje

to d

e ac

ota

r el

err

or c

omet

ido.

T

enie

ndo

en

cuen

ta

las

cons

ider

acio

nes

ante

rio

res,

re

sult

a de

g

ran

in

teré

s d

esar

roll

ar a

plic

acio

nes

info

rmát

icas

que

per

mit

an e

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ális

is d

e es

tru

ctu

ras

form

adas

p

or

bar

ras

con

cara

cter

ísti

cas

espe

cial

esL

7, c

omo

las

que

se

pre

sen

tan

en

la

s co

nstr

ucci

ones

in

du

stri

ales

. L

a g

ama

de e

lem

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s di

fere

ntes

que

se

pued

en p

rese

nta

r en

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ruct

ura

s qu

e no

s o

cup

an e

s am

plí

sim

a. E

n e

ste

trab

ajo

se

han

con

side

rado

dos

tip

os.

Bar

ras

pri

smát

icas

de

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rect

riz

rect

a y

secc

ión

vari

able

y

bar

ras

de

dire

ctri

z ci

rcun

fere

ncia

1 y

sec

ción

v

aria

ble

. L

os e

lem

ento

s cu

rvos

que

apa

rece

n en

las

est

ruct

ura

s in

du

stri

ales

no

siem

pre

tien

en r

adio

de

curv

atu

ra c

on

stan

te,

pero

ést

e va

ría

con

suav

idad

en

la m

ayor

par

te

de l

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asos

. E

sto

po

sib

ilit

a u

na

bu

ena

apro

xim

ació

n de

los

mis

mos

med

ian

te t

ram

os

circ

ular

es.

Par

a ca

da

un

o d

e es

tos

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os

de b

arra

se

desa

rrol

la l

a co

rres

pond

ient

e m

atri

z de

t

rigi

dez

y se

det

alla

la

tran

sfo

rmac

ión

de

coo

rden

adas

, co

nsid

eran

do s

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pre

que

se

trat

a de

ele

men

tos

espa

cial

es.

Tam

bié

n s

e h

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cons

ider

ado

los

tipo

s de

ac

cion

es m

ás f

recu

ente

s qu

e pu

eden

en

con

trar

se a

ctu

and

o s

obre

los

ele

men

tos.

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TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OIS

5

EL

EM

EN

TO

S D

E D

IRE

CT

RIZ

RE

CT

A Y

S

EC

CIO

N C

ON

ST

AN

TE

O V

AR

IAB

EE

Los

ele

men

tos

cons

ider

ados

ser

án p

ieza

s p

rism

átic

as, c

uya

sec,

ció:

n tra

nsv

ersa

l pue

de

vari

ar c

on l

a co

ord

enad

a so

bre

la d

irec

triz

.

Sis

tem

a d

e e

jes

loca

les.

C

rite

rio

s y

Sig

no

s.

En

la

Fig

ura

1 s

e re

pre

sen

ta l

a di

recc

ión

y se

ntid

o de

l si

stem

a de

eje

s pr

opio

del

el

emen

to.

2 AY

8

AY

1~5.11

Fig

ura

1.

Los

eje

s de

est

e si

stem

a cu

mpl

en l

as s

igui

ente

s es

peci

fica

cian

es:

EJE

OX

: C

oinc

ide

con

la d

irec

triz

del

ele

men

to.

Sen

tido

pos

itiv

o el

que

ap

un

ta d

el

nu

do

ori

gen

al e

xtr

emo

. E

JE O

Y:

El

ob

ten

ido

al

gira

r 90

' en

sen

tido

an

tih

ora

rio

al

eje

OX

, cu

and

o s

e ve

al

elem

ento

de

mo

do

que

el

nu

do

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gen

qu

eda

a la

izqu

ierd

a de

l ob

serv

ador

. E

JE 0

2:

Per

pend

icul

ar

a lo

s an

teri

ores

y f

orm

and

o u

n t

ried

ro a

der

echa

s co

n lo

s m

ism

os.

Ma

triz

de

Rig

idez

del

ele

men

to.

Est

a m

atri

z re

laci

ona

los

mov

imie

ntos

de

los

nudo

s ex

trem

os

de u

na

bar

ra c

on l

as

fuer

zas

apli

cada

s a

los

mis

mos

en

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orm

a:

En

la

que:

S es

el

vect

or d

e m

ovim

ient

os y

se

expr

esa

po

r:

l? es

el

vect

or d

e fu

erza

s o

esfu

erzo

s de

fini

do p

or

la e

xpre

sión

,:

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6 G

. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

El

subí

ndic

e nu

mér

ico

hace

ref

eren

cia

al g

rad

o d

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ber

tad

al

que

corr

espo

nde

el

rnov

irni

ento

o a

cció

n co

nsid

erad

a, v

éase

Fig

ura

1. L

os s

ubín

dice

s i,

j se

ref

iere

n al

nud

o or

igen

y e

xtr

emo

res

pect

ivam

ente

. L

a d

eter

min

ació

n d

e lo

s co

efic

ient

es d

e ri

gide

z qu

e co

nst

itu

yen

la

mat

riz,

se

real

iza

usa

nd

o l

a de

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ción

de

los

mis

mos

. U

n el

emen

to d

e la

mat

riz

de r

igid

ez K

ij re

pre

sen

ta l

a fu

erza

que

apa

rece

en

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oord

enad

a i-

ésim

a, cu

ando

se

com

unic

a u

n m

ovim

ient

o u

nid

ad

en l

a co

ord

enad

a j-

ésim

a m

ante

nie

nd

o a

cer

o to

dos

los

dem

ás.

Se v

an a

con

side

rar,

po

r ta

nto

, lo

s es

tad

os

defi

nido

s po

r u

n m

ovim

ient

o u

nid

ad s

egún

los

dis

tin

tos

grad

os

de l

iber

tad

y,

par

a ca

da

uno

de e

llos

, se

cal

cula

n la

s fu

erza

s qu

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eter

min

an d

icho

s es

tad

os.

E

n e

l cá

lcul

o de

los

coe

fici

ente

s de

rig

idez

, se

hac

e us

o de

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ore

ma

de l

os t

rab

ajo

s v

irtu

ales

con

las

con

side

raci

ones

sig

uien

tes:

1)

El

eje

OY

loc

al d

e co

orde

nada

s es

de

sim

etrí

a de

la

secc

ión.

Po

r ta

nto

OY

y O

Z

son

prin

cipa

les

de i

nerc

ia.

2j

Sie

mpr

e se

ha

desp

reci

ado

la d

efor

mac

ión

debi

da a

l co

rtan

te.

Con

vien

e en

est

e p

un

to,

ante

s de

pre

sen

tar

las

expr

esio

nes,

rea

liza

r la

s si

guie

ntes

co

nven

cion

es d

e n

ota

ció

n:

L es

la

lon

git

ud

del

ele

men

to.

kg(x)

es l

a le

y de

var

iaci

ón d

e al

gu

na

de l

as c

arac

terí

stic

as g

eom

étri

cas

de l

a se

cció

n,

área

o m

om

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de

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cia

de l

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ism

a, c

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oo

rden

ada

sobr

e la

dir

ectr

iz.

Se

defi

ne e

nton

ces:

Y e

n ge

nera

l:

Mov

imie

nto

un

idad

seg

ún

el

grad

o d

e li

ber

tad

1 y

nu

los

los

dem

ás.

Page 5: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OlS

7

Mov

iim

ien

to u

nid

ad s

egú

n e

l gr

ado

de

lib

erta

d 2

.

Mov

imie

nto

un

idad

seg

ún

el

grad

o d

e li

ber

tad

3.

Gir

o u

nid

ad s

egú

n e

l gr

ado

de

lib

erta

d 4

.

/i

dond

e J e

s el

mo

men

to d

e ri

gide

z a

tors

ión

Gir

o u

nid

ad s

egú

n e

l gr

ado

de

lib

erta

d 5

.

Gir

o u

nid

ad s

egú

n e

l gr

ado

de

lib

erta

d 6

.

Page 6: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

8 G

. BR

AV

O Y

A.

MA

RT

IN

Gir

o u

nid

ad s

egú

n e

l gr

ado

de

lib

erta

d 11.

Gir

o u

nid

ad s

egú

n e

l gr

ado

de

lib

erta

d 1

2.

Res

tan

tes

esta

dos

de

mov

imie

nto

un

idad

.

Los

es

tad

os

corr

espo

ndie

ntes

a u

n m

ovim

ient

o u

nid

ad

segú

n lo

s gr

ados

de

lib

erta

d 7

, 8,

9 y

10

, no

in

tro

du

cen

en

real

idad

nue

vos

coef

icie

ntes

, pu

es l

as f

uerz

as

nece

sari

as p

ara

prod

ucir

los

son

las

calc

ulad

as p

ara

los

esta

do

s de

ap

arta

do

s an

teri

ore

s,

cam

bia

das

de

sign

o.

De

este

mo

do

, la

mat

riz

de r

igid

ez e

n co

orde

nada

s lo

cale

s de

un

ele

men

to d

e di

rect

riz

rect

a es

la

que

apar

ece

en l

a F

igu

ra 2

.

K11

O

O O

O O

-Kli

O

O o

O o

K22

O

O 0

K26

0

-K22

0

O O

K2,1

2

K33

O K

35

O O

0 -K

33

0 K

3,1

i O

K44

O

O O

O O

-K4

4

O o

K55

O

0 0

-K35

0 K

5,i

i 0

K66

0 -K

26

0 o

o K

6,1

2

K11

O

o o

O o

K22

o o

0 -K

2,1

2

K33

0 -K

3,1

1

O S

IM

K44

O

O K

11,l

l O

l K

12,1

2

Fig

ura

2.

Page 7: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

Ma

triz

de

tra

nsf

orm

aci

ón

de

coo

rden

ad

as.

Si s

e co

noce

n lo

s co

seno

s di

rect

ores

de

cad

a u

no

de

los

ejes

loc

ales

res

pec

to

de l

os e

jes

glob

ales

(F

igu

ra 3

), l

a ex

pres

ión

mat

rici

al q

ue t

ran

sfo

rma

un

vect

or d

e co

orde

nada

s lo

cale

s a

glob

ales

ser

á:

. .

Fig

ura

3.

Sie

nd

oix

, y, z

)el

sist

ema

de e

jes

loca

les,

y L

ij e

s el

cos

elno

del

án

gu

lo a

; qu

e fo

rma

el e

je l

oca

l j

(al

x co

rres

pond

e el

1, e

tc.)

. Si

de

sign

amos

a

la

mat

riz

de

la

últ

ima

expr

esió

n p

or

L,

la

mat

riz

de

tran

sfo

rmac

ión

co

mp

leta

, te

nien

do e

n cu

enta

to

do

s lo

s g

rad

os

de l

iber

tad

del

ele

men

to

será

:

Par

a d

eter

min

ar l

a po

sici

ón e

xac

ta d

e u

na

bar

ra r

espe

cto

a u

n s

iste

ma

gene

ral

de c

oord

enad

as {

X, Y

, Z},

se

tien

en l

os á

ngul

os q

ue f

orm

an lo

s ~

jes

loca

les

de l

a b

arra

co

n lo

s ej

es g

loba

les.

L

a de

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ción

de

lo

s nu

dos

que

cone

cta

un

el

emen

to,

a tr

avés

de

su

s co

ord

enad

as,

pro

po

rcio

na

los

cose

nos

dire

ctor

es d

el e

je q

ue c

oinc

ide

con

la d

irec

triz

de

l el

emen

to,

per

o e

s ne

cesa

ria

un

a in

form

ació

n ad

icio

nal

par

a de

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r p

erfe

ctam

ente

el

tri

edro

loc

al.

Se

elig

e co

n es

te f

in e

l án

gulo

P, q

ue d

eter

min

a la

ro

taci

ón

de

los

ejes

loc

ales

alr

eded

or d

el e

je d

irec

triz

, de

sde

la p

osic

ión

de l

os m

ism

os e

n qu

e el

eje

y

estu

vies

e co

nten

ido

en e

l pl

ano

xZ

.

Page 8: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

1 0

G. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

Al

eje

fict

icio

, de

sde

cuya

pos

ició

n se

mid

e P,

se l

e d

eno

min

a y'

, y

cum

ple

la

cond

ició

n de

ten

er u

na

proy

ecci

ón p

osit

iva

sobr

e el

eje

2 g

loba

l.

Se

tom

a co

mo

sent

ido

posi

tivo

par

a es

te á

ng

ulo

, el

ho

rari

o c

uan

do

se

mir

a de

sde

el e

xtr

emo

i de

l el

emen

to h

acia

el j.

X F

igur

a 4.

Hay

un

a in

det

erm

inac

ión

en

esta

def

inic

ión

que

corr

espo

nde

al c

aso

de u

na

bar

ra p

aral

ela

al e

je Z

glo

bal

de c

oord

enad

as.

Par

a sa

lvar

ést

a, s

e de

fini

rá e

ste

caso

med

ian

te e

l án

gulo

med

ido

desd

e la

di

recc

ión

neg

ativ

a de

l ej

e Y

, cu

ando

el

sent

ido

del

eje

x lo

cal

coin

cide

con

el

posi

tivo

cl

el Z

glo

bal.

Cu

and

o e

stá

diri

gido

seg

ún -

2,

se m

edir

á de

sde

la d

irec

ción

pos

itiv

a de

l ej

e Y

. E

stas

dos

sit

uaci

ones

se

han

rep

rese

nta

do

en

las

Fig

ura

s 5

y 6

resp

ecti

vam

ente

.

Fig

ura

5.

Fig

ura

6.

La

expr

esió

n de

lo

s co

seno

s di

rect

ores

de

lo

s ej

es

loca

les

en

func

ión

de

la,s

coo

rden

adas

de

los

nud

os

extr

emos

del

ele

men

to y

de

l án

gulo

P s

e p

rese

nta

a

cont

inua

ción

. Si

se

defi

ne:

Page 9: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

DX

=

X

j -

X;

DX

Y =

J

DX

~ + D

Y2

los

elem

ento

s de

la

mat

riz

L,

Lij

, ser

án:

DY

D

Z

DX

L

12 =

- se

np

-

-- -

L

DX

Y co

sp

DX

Y

DX

D

Z

DY

L2

2 =

--

sen

p - - - co

sp

DX

Y

L

DX

Y

DX

Y

L32

= -

L

cosp

DY

D

Z

DX

L

13 =

- C

OS

~ +

.- -

L

DX

Y se

np

D

XY

D

X

DZ

D

Y

L23

-- D

XY

cosp

+ - -

L

DX

Y se

np

DX

Y

L33

= --

L

sen

p

En

el c

aso

de b

arra

par

alel

a a

02

, las

exp

resi

ones

son

:

L13

= C

OS

~ ;

L23

=

SIG

sen

p

; L3

3 =

0

dond

e

DZ

SI

G =

-

l DZ

l

Mat

riz

de

rigi

dez

ele

men

tal

en c

oord

ena.

das

glo

bal

es.

La

obte

nció

n de

est

a m

atri

z se

red

uce

al d

oble

pro

du

cto

nna

tric

ial:

Page 10: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

12

G.

BR

AV

O Y

A. M

AR

TIN

EL

EM

EN

TO

S D

E D

IRE

CT

RIZ

CIR

CU

NF

ER

EN

CIA

L Y

SE

CC

ION

TR

AN

SV

ER

SA

L C

ON

ST

AN

TE

0 V

AR

IAB

LE

El

sist

ema

de e

jes

del

elem

ento

es

el r

epre

sent

ado

en l

a F

igur

a 7.

Fig

ura

7.

En

real

idad

se

trat

a de

dos

sis

tem

as d

e ej

es, u

no e

n ca

da e

xtre

mo

del e

lem

ento

.C

ada

uno

de e

stos

sis

tem

as c

umpl

e la

s si

guie

ntes

esp

ecif

icac

ione

s:

-E

l ej

e o

y t

iene

la

dire

cciO

n de

la

tang

ente

a l

a di

rect

riz,

y s

u se

ntid

o po

siti

voes

el

que

apun

ta d

esde

el

extr

emo

i ha

cia

el j

del

ele

men

to.

-E

l ej

e oz t

iene

la

dire

cciO

n ra

dial

, y s

u se

ntid

o po

siti

vo e

s el

que

va

diri

gido

desd

e el

cen

tro

de c

urva

tura

de

la d

irec

triz

hac

ia e

l ex

trem

o co

rres

pond

ient

ede

l ele

men

to.

-E

l ej

e o

x t

iene

la

dire

cciO

n de

la

bino

rmal

y s

e to

ma

con

sent

ido

posi

tivo

el

que

dete

rmin

a co

mo

trie

dro

a de

rech

as a

l si

stem

a.

En l

a F

igura

tam

bie

n s

e han

rep

rese

nta

do l

as d

irec

ciones

y s

enti

dos

de

los

dist

into

s gr

ados

de

libe

rtad

.E

l Ang

ulo

0, an

gulo

aba

rcad

o po

r el

arc

o, y

el

radi

o R

, son

dos

par

amet

ros

que

se v

an a

uti

liza

r am

plia

men

te e

n lo

s si

guie

ntes

apa

rtad

os.

Matr

iz e

lem

enta

l d

e ri

gid

ez e

xp

resa

da e

n e

l si

stem

a d

e ej

es d

el e

lem

ento

.

Intr

odu

ccio

n.

Se

dete

rmin

an a

con

tinu

aciO

n lo

s co

efic

ient

es q

ue c

ompo

nen

la m

atri

z de

rig

idez

de

un

ele

men

to d

e d

irec

triz

cir

cun

fere

nci

al y

sec

ciO

n c

on

stan

te o

var

iab

le. E

n e

sta

det

erm

inac

iOn

se

hac

e u

se d

el t

eore

ma

de

los

trab

ajos

vir

tual

es c

on l

as s

iguie

nte

sco

nsid

erac

ione

s:

Page 11: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

1)

El

eje

oz

loca

l de

coo

rden

adas

es

de s

imet

ría

de l

a se

ccib

n. P

or

tan

to o

z y

ot

son

pri

ncip

ales

de

iner

cia.

2)

Los

el

emen

tos

que

se

cons

ider

an

tien

en

un

ra

dio

de

cu

rvat

ura

g

ran

de

com

par

ado

con

las

dim

ensi

ones

de

la s

ecci

ón t

rans

vers

al! d

e lo

s m

ism

os.

3)

Sie

mpr

e se

ha

desp

reci

ado

la d

efor

mac

ión

debi

da a

l co

rtan

te.

En

cam

bio,

se

ha

cons

ider

ado

la d

efor

mac

ión

debi

da a

,l ax

il.

Las

ley

es d

e va

riac

ión

de l

as c

arac

terí

stic

as g

eom

étri

cas

de l

a se

cció

n pu

eden

ex

pres

arse

in

dis

tin

tam

ente

en

func

ión

de l

a co

ord

enad

a S, l

on

git

ud

med

ida

sobr

e la

di

rect

riz

desd

e el

nud

o i,

o d

el á

ngul

o a, am

bos

rep

rese

nta

do

s en

la

Fig

ura

8.

Fig

ura

8.

Det

erm

inac

ión

de

la M

atri

z d

e ri

gid

ez.

En

el

ca

so

de

elem

ento

s cu

rvos

re

sult

a m

uy

co

nven

ient

e u

tili

zar

un

p

roce

dim

ien

to i

nd

irec

to p

ara

el c

álcu

lo d

e lo

s co

efic

ient

es d

e ri

gide

z K

ij.

Est

e pr

oced

imie

nto

es e

l si

guie

nte:

a)

Se

ob

tien

e la

mat

riz

de f

lexi

bili

dad

del

elem

ento

[f]

;.

Los

co

efic

ient

es d

e fl

exib

ilid

ad,

que

con

stit

uy

en l

a m

atri

z, s

e de

riva

n de

la

defi

nici

ón d

e lo

s m

ism

os.

El

coef

icie

nte

fkm

es

el m

ovir

ni,e

nto

segú

n el

gra

do

de

lib

erta

d k

-ési

mo

que

apar

ece

al a

plic

ar u

na

carg

a u

nid

ad s

egún

m, m

ante

nie

nd

o

emp

otr

ado

el

extr

emo

j d

el e

lem

ento

. L

a ex

pres

ión

gene

ral

de e

stos

coe

fici

ente

s, a

pli

can

do

el

P.T

.V.,

resu

lta:

En

don

de l

a in

tegr

ació

n es

tá e

xte

nd

ida

a la

lo

ng

itu

d S

del

ele

men

to.

Los

es

fuer

zos

subi

ndic

ados

con

k y

m s

on, r

esp

ecti

vam

ente

, los

que

apa

rece

n en

un

Page 12: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

14

G. B

RA

VO

Y A

. MA

RT

IN

esta

do e

n el

que

se

apli

ca u

na f

uerz

a un

idad

seg

ún e

l gr

ado

de l

iber

tad

k y

m.

Est

a m

atri

z sa

tisf

ace

la r

elac

ión:

que

prem

ulti

plic

ando

por

[f]

f l r

esul

ta:

b)

La

rela

ción

de

equi

libr

io e

stát

ico,

ent

re l

as f

uerz

as a

plic

adas

a l

os e

xtre

mos

i

y j

del

elem

ento

, pue

de e

xpre

sars

e m

atri

cial

men

te c

omo

sigu

e:

Pj

=

[S] P;

en d

onde

[S

] es

la m

atri

z de

equ

ilib

rio

del

elem

ento

.

c)

Fin

alm

ente

, la

mat

riz

de r

igid

ez d

el e

lem

ento

, en

fun

ción

de

las

ante

rior

es,

resu

lta:

Par

a un

ele

men

to d

e di

rect

riz

circ

unfe

renc

ia1

la m

atri

z de

equ

ilib

rio

está

tico

es

:

Y l

a m

atri

z de

fle

xibi

lida

d [f]; pu

ede

expr

esar

se f

orm

alm

ente

por

:

Si s

e co

nvie

ne e

n ll

amar

:

Page 13: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

e (1

- c

osa

)2

e (c

osa

- 1

1) co

sa

=

Ja Ig

g(a

) d

a

; =

/o

Igg

(a)

da

e (1

- c

osa

) se

na

=Ja

Igg

(a)

da

e co

sa - 1

d

a

da

e se

na

dond

e Ig

g(a

) rep

rese

nta

un

a le

y de

mor

nent

o de

ine

rcia

o d

e ár

ea a

lo

larg

o d

el

elem

ento

. Se

tie

ne,

par

a lo

s co

efic

ient

es d

e fl

exib

ilid

ad:

Apl

ican

do e

l m

éto

do

an

teri

orm

ente

des

crit

o se

lle

ga a

que

la

mat

riz

de r

igid

ez

resp

onde

a l

a ex

pres

ión

form

al:

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l. 6

G. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

K11

0

0 0

K51

K

61.

-K11

0 0

O K

ii,l

K

12,1

K22

K

32

K42

O

0 0

K82

K92

K10,2

O

0 K

33

K43

O O

O K

83

K93

K10,3

O

0 K

44

0 0

O K

84

K94

K1

0,4

O

0 K

55

K65

-K51

O O

O K

11,5

K

12,5

K66

-K

61

O O

O K

11,6

K

12,6

K11

O O

O -K

11,1

-K

12,1

K88

K89

K8,1

0

O 0

K99

K9,1

0

O 0

SIM

K

io,i

o

O O

Kii

,ii

Kii

,iz

K12,1

2

Figu

ra 9

.

en l

a qu

e lo

s co

efic

ient

es d

e ri

gide

z, e

xpre

sado

s en

fun

ción

de

los

de f

lexi

bili

dad

y de

la

s do

s ca

ntid

ades

:

W =

[

(fllf5

5 -

f21

) (fllf6

6 -

f61) -

(fllf6

5 -

f51

f61

)2]

fll

[(f2

2f3

3 -

(f2

2f4

4 - f

42

) -

(f2

2f4

3 -

f32

f42

)2]

U

=

f22

son:

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TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

17

(f3

2f4

2 -

f22

f43

) K

43

=

U K

g3

=

-K3

2 s

eno -

K33

cos

e

Kg4

=

-K

42

sen

o -

K43

cose

K44

=

(

f22

f33

-

f&)

U

K55

=

(

fi

lf

~~

-

f&)

W

K65

=

(

f51

f61

-

fll f

65

)

W

KG

G

=

(f

ll

f5

5 -

fz

l)

W

K10

,4

=

K42

R (

1 -

COSO

) +

K43

R s

enO

-

K4

4

K11

,5

=

K51

R (

1 -

COSO

) -

K5

5 CO

SO +

K6Y

senO

K~

I,

~

=

K61

R (

1 -

COSO

) -

K65

COS

O +

KG

6 sen

o

K1

2,~

=

-K61

R

sen

o -

KG

5 sen

o -

K66

COS

O

Kg2

=

-K

22 s

eno - K

32 CO

SO

K10

,2

=

R (

1 -

COSO

) K

22

+ R

K32

seno

- .u

42

K10

,3

=

R (

1 -

COSO

) K

32 +

R K

33 s

eno - .

K4,

KI

I,~

=

R (

1 -

cose

) K

11 -

Ksl

cos

e +

KG

1 sen

o

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18

G

BR

AV

O Y

A.

MA

RT

IN

P C 1

Kll

,ll

=

R (

1 -

COSO

) K

ll,l

-

K11

,5 CO

SO +

K1l

,G se

no

K11

,12 =

-R

K1l

,l s

eno -

K11

,5 s

eno - K

11,6

COSO

K12

,12 =

-R

K12

,1 se

no -

K12

,5 se

no -

K1

2$

COSO

Tra

nsf

orm

ació

n d

e c

oo

rden

adas

.

La

tran

sfor

mac

ión

orto

gona

l de

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s ej

es (x

, y,z

) de

l el

emen

to,

con

una

orie

ntac

ión

cual

quie

ra,

a lo

s ej

es g

loba

les,

pue

de l

leva

rse

a ca

bo m

edia

nte

las

tres

tr

ansf

orm

acio

nes

suce

siva

s qu

e se

des

crib

en a

con

tinu

ació

n.

Pri

me

r p

aso

: L

os e

jes

del

elem

ento

{x,

y, z

) se

gir

an,

alre

dedo

r de

la

líne

a re

cta

que

cone

cta

los

nudo

s ex

trem

os i

y j

, u

n á

ngul

o P.

Est

e gi

ro h

ace

que

el a

rco

pase

a

esta

r co

nten

ido

en u

n pl

ano

vert

ical

. E

l nu

evo

sist

ema

de e

jes,

obt

enid

o de

spué

s de

la

rota

ción

, se

va

a de

sign

ar p

or {

xo, y

o, z

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El

eje

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es p

aral

elo

al p

lano

XY

y l

os e

jes

y, y

zo

está

n, n

atur

alm

ente

, co

nten

idos

en

el p

lano

ver

tica

l de

l ar

co.

Est

a tr

ansf

orm

ació

n se

ha

repr

esen

tado

en

la F

igur

a 10

.

'\ z

.

.

>

Y

Fig

ura

10.

La

ecua

ción

de

esta

rot

ació

n pu

ede

expr

esar

se:

Pz

yz

=

[t

ll P

xo

yo

zo

en l

a qu

e:

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TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

19

Seg

un

do

pas

o:

El

nuev

o si

stem

a de

eje

s (x,, y,, z,)

tien

e su

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y,

coin

cide

nte

con

la l

ínea

rec

ta e

ntr

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y j,

eje

x,

ho

rizo

nta

l co

inci

dent

e co

n xo y

eje

z,

per

pen

dic

ula

r a

amb

os.

Est

o p

uede

con

segu

irse

gir

and

o e

l an

teri

or

sist

ema xo, y

o, zo

al

rede

dor

de xo

un

áng

ulo

812

has

ta q

ue e

l ej

e yo

co

inci

da c

on l

a lí

nea

com

enta

da.

L

a ec

uaci

ón d

e tr

ansf

orm

ació

n s

erá:

[t],

=

dond

e

cosp

e

-se@

s

en

~

-sen

p

CO

S~

e

sen

p s

en;

(1 -

2se

n2

f se

n2

$)

-$ (

1 - c

osp

) se

no

e 1

sen

o c

osz

- 5

(1 -

cosp

) se

no

(1 -

2cos

Z f

sen2

$)

Terc

er

pas

o:

Los

ej

es

auxi

liar

es {x,, y,,z,)

son

tran

sfo

rmad

os

a ej

es

glob

ales

{X

, Y, 2). E

sta

tran

sfo

rmac

ión

pue

de e

xpre

sars

e:

en l

a qu

e 1,

, m

, y

n,

son

los

cose

nos

dire

ctor

es d

e la

líne

a qu

e u

ne

i co

n j.

Ex

pre

sad

as

en f

unci

ón d

e la

s co

orde

nada

s de

los

nud

os i

y 3

que

con

ecta

el

elem

ento

son

:

adem

ás, E

n d

efin

itiv

a, l

a tr

ansf

orm

ació

n d

e lo

s ej

es g

loba

les

{X, Y

, Z}

a lo

s lo

cale

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, y, z)

pued

e ex

pres

arse

en

un

a so

la e

cuac

ión

com

o si

gue:

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G. B

RA

VO

Y A

. MA

RT

IN

do

nd

e

Si

desi

gnam

os a

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ele

men

tos

que

con

stit

uy

en l

a m

atri

z de

tra

nsf

orm

ació

n e

n el

ex

trem

o i p

or

Sus

val

ores

son

:

tll

=

Q 'Yn'

sen

p

- c

osp

+ -

Q e

e n

e ta

l =

- se

n-

sen

p +

2, (c

os- - 2

sen

- co

sp)

Q 2

2

Q

2

1, e

8 ny

e t3

1 =

- C

OS

- se

nP -

2, (s

en-

+ - c

os-

cosp

) Q

2

2Q

2

t12

=

1, -- c

osp

+ -

Q se

np

Q

1, 9

0 n,

0 t2

2 =

-- s

en-

sen

p + m, (

cos-

- - s

en-

cosp

) Q

2

2Q

2

1, e

e n~

e t3

2 =

-- co

s-

sen

p - m, (

sen

- + - c

os-

cosp

) Q

2

2Q

2

e e

tI3

= -

Q

sen

p

; t2

3 =

ny C

OS

- +

Q

sen-

co

sp

2 2

e

e t3

3 =

Q

CO

S-

COSO

- ny s

en-

2

2

La

mat

riz

de t

ran

sfo

rmac

ión

par

a el

ex

trem

o j

del

ele

men

to,

[tIj

, res

pond

e a

e e

las

expr

esio

nes

ante

rior

es s

in m

ás q

ue s

ust

itu

ir 5

por

-5

. E

n c

ada

extr

emo

de

un

ar

co

de

estr

uct

ura

es

paci

al h

ay

tres

fue

rzas

y

3 m

om

ento

s, p

or l

o ta

nto

la

mat

riz

de t

ran

sfo

rmac

ión

co

mp

leta

ser

á:

dond

e

[t]

i o

. . .

. . .

. o

i [t

]

[TI;

=

[t];

i

o . .

. .

. . .

o i

[t];

[TIj

=

Page 19: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OSl

2 1

Hay

un

cas

o es

peci

al e

n el

cam

bio

de c

oord

enad

as q

ue s

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tudi

a ap

arte

. E

l ca

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n qu

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vec

tor

que

une

los

punt

os e

xtre

mos

de

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irec

triz

del

arc

o, i

y j

, se

a pa

rale

lo a

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e gl

obal

OZ

.

a)

Si e

l el

emen

to e

s as

cend

ente

, Z

j >

Z;,

se d

eh

e e

l án

gulo

P c

omo

en l

a F

igur

a 11

Fig

ura

11.

Y p

ara

la m

atri

z [t

]; se t

iene

en

este

cal

so:

cosp

se

np

O e

e [t

]; =

senp

sen

z -s

er12

co

sp

co

s~

e

e e

senp

cos

z -c

os 2

cos

p -s

en

~

b)

Si e

s de

scen

dent

e el

ele

men

to,

Zj <

Z;,

se d

efin

e el

áng

ulo

,8 c

omo

se m

uest

ra

en l

a F

igur

a 12

. /y

X ;

:i

11

;

0:

I,

:

; 1'

I I

j ':,

.. 1

\'\ , '

'2

Fig

ura

12.

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"2 2

G. B

RA

VO

Y A

. MA

RT

IN

En

est

e ca

so s

e ti

ene

par

a la

mat

riz

[t];

:

cosp

-s

enp

O e

[t];

=

senp

sen

t se

nt

cosp

-c

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e e

senp

co

st

coss

cos

p se

nz

Par

a la

mat

riz

[tIj

, en

am

bos

caso

s, b

asta

sus

titu

ir 8

12 p

or

-812

en

las

ex

pres

ione

s an

teri

ores

de

[t];

.

Mat

riz

de

rigi

dez

ele

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tal

en c

oord

enad

as g

lob

ales

.

Una

vez

obt

enid

as l

a m

atri

z de

rig

idez

en

loca

les

y la

de

tran

sfor

mac

ión,

se

calc

ula

med

iant

e la

exp

resi

ón:

AC

CIO

NE

S C

ON

CE

NT

RA

DA

S E

N

EL

EM

EN

TO

S D

E D

IRE

CT

RIZ

RE

CT

A

En

est

e ap

arta

do s

e pr

esen

tan

las

expr

esio

nes

de l

as f

uerz

as d

e em

potr

amie

nto

p'er

fect

o qu

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arec

en c

uand

o se

som

ete

un e

lem

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a u

na a

cció

n co

ncen

trad

a, f

uerz

a o

mom

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. Se

con

side

ran

elem

ento

s de

dir

ectr

iz r

ecta

y s

ecci

ón c

onst

ante

o v

aria

ble.

D

e nu

evo

se

hace

us

o de

l te

orem

a de

lo

s tr

abaj

os

virt

uale

s co

n la

s co

nsid

erac

ione

s ya

com

enta

das

ante

rior

men

te.

Fig

ura

13.

En

las

exp

resi

ones

que

def

inen

est

as f

uerz

as,

los

sím

bolo

s Ia

Lo,

IaL

1,

IaL

2

e Ia

Gi,

, resp

onde

n a

las

sigu

ient

es d

efin

icio

nes:

Page 21: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

dx

IaL0

(1gg

) =

1 a

479(

x>

x-

a

IaLl

(Igg

> =

1

- da:

a Ig

g(x>

x

(x - a

) dx

x Ia

L~iw

(Igg

) = 1 - dx

a

I&>

Sie

ndo

a la

dis

tanc

ia d

esde

el

nudo

ori

gen,

nud

o i,

has

ta e

l pu

nto

dond

e se

ap

lica

la

acci

ón.

Tab

la 1

.

Page 22: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

24

G. B

RA

VO

Y A

. MA

RT

IN

DIS

TR

IBU

CIO

NE

S U

NIF

OR

ME

S D

E C

AR

GA

EN

EL

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EN

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S D

E D

IRE

CT

RIZ

Se

pres

enta

n ah

ora

las

expr

esio

nes

de l

as f

uerz

as d

e em

potr

amie

nto

perf

ecto

orig

inad

as p

or l

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istr

ibuc

ione

s un

ifor

mes

de

carg

a m

as f

recu

ente

s.

V,

C/§

MiZ

ZZ

=Z

2=

22

4 V

M;

Ni

VV

VV

VV

TVl

Mj

C Mi

Fig

ura

14.

/ 1 (A

)—P

tro

G/4

/ 3(/

z) -

--T

AY

T2(

rz)}

vi

2N

i =

p 1

0(A

)=

10(.1

,)I2V

4— i1

(1..)

2

P — I

licr

zw

iz)

— 1

2(1z

)21

9Nj

= —

pL —

Ni

Mi

=w

z) .

1 2(I

z)—

I1(

rz)2

Vj =

pL

— v

i ;

Mi

= lli •

L —

Mi

—1'

2

/ I 11( J

)f {

1- 0(4

)/3(

4)

- /1

(4)1

-2(4

)12

v =

Mi =

-m

Io(

J)

'I0

(10

12

(10

— '1

(4)2

--1-f. {

—I i

(101

3(1

0 +

12

(102

}M

i2

Ma =

_m

i —

mL

=.r o

voi 2

vo—

IA

102

L2a

=_ V

i •

L --

Mi

V

pL —

1/2

;

Mi

=P

-2-

Tab

la I

I.

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TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

25

AC

CIO

NE

S C

0N

CE

NT

RA

DA

.S E

N E

LE

ME

'NT

OS

D

E D

IRE

CT

RIZ

CIR

CU

NF

ER

EN

CIA

X,

Se e

xpon

en a

con

tinu

ació

n la

s ex

pres

ione

s de

las

fue

rzas

de

empo

tram

ient

o pe

rfec

to,

corr

espo

ndie

ntes

a l

os c

asos

de

acci

ón c

once

ntra

da e

n es

te t

ipo

de e

lem

ento

s.

1

La

Fig

ura

15 r

epre

sent

a la

s di

stin

tas

posi

bili

dade

s.

Fig

ura 15.

En

las

ecu

acio

nes

que

apar

ecen

a c

onti

n,ua

ción

s y

c s

on:;

e e

S =

se

n-

c =

to

s-

2'

2

Y l

as l

etra

s m

ayús

cula

s 11, A

, B

, C, D

, E

, F

, G

y 19

corr

espo

nden

a l

as

. de

fini

cion

es i

nteg

rale

s re

aliz

adas

ant

erio

rmen

te.

Fu

erza

en

dir

ecci

ón r

adia

l. 9

Si A

es

la c

anti

dad:

se t

iene

:

Page 24: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

G. B

RA

VO

Y A

. MA

RT

IN

PR

2 [

-J~

(DI~

+ GH

) +

J2(B

Il - G

2) - J3

(BH

+ D

G)]

v3

=

A

PR

2 [

J~(A

I, - H

2) - Y

2(D

11 + G

H)

+ J3

(AG

+ D

H)]

v2

=

A

PR

3 [

-J~

(AG

+ H

D)

+ J2

(GD

+ BH

) +

J~

(D

' - A

B)]

M

4 =

A

Don

de t

od

as l

as i

nteg

rale

s de

pend

en d

el m

om

ento

de

iner

cia

Ix(a

).

Los

sím

bolo

s Jl

, J2 y

J3 co

rres

pond

en a

:

e (1

- c

osa

) se

n(a

- 7

) 51

=

/,

da

I

x(

4

e se

na

sen

(a - 7

) J2

=

J,

Ix(a

) d

a

e se

n(a

- 7

)

J3

= /i

Ix(a

) d

a

En

ést

as y

pos

teri

ores

exp

resi

ones

7 e

s el

áng

ulo

de s

itu

ació

n d

e la

car

ga.

P

or

últ

imo

, de

la

s ec

uaci

ones

de

eq

uili

brio

, la

s re

stan

tes

incó

gnit

as

hip

eres

táti

cas

será

n:

v8 =

(s

2 - c

2) v

2 +

2sc

v3 -

P

sen

(0 - y

)

v9 =

(

s~

- c

~)

v3

-

~S

C

v2 +

P C

OS

(~

- T

)

M,,

=

2~

s' V

2 +

2R

sc V

3 -

M4

-

PR

sen

(0 - 7

)

Fu

erza

en

dir

ecci

ón

ta

ng

ente

.

Sie

ndo

aho

ra:

(co

sa - 1

) [1

- c

os(

a - y

)]

JI

= J,

da

Id

a)

e [c

os(

a - y

) - 11

se

na

da

JZ

= /,

IX

b)

e co

s(a - 7

) - 1

J3

= J,

Ix(a

) d

a

zie

ob

tien

en,

par

a la

s in

cógn

itas

V2,

V3

y M

4,

expr

esio

nes

form

alm

ente

igu

ales

a l

as

ob

ten

idas

en

el

caso

an

teri

or.

E

n e

l nu

do e

xtr

emo

:

Page 25: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

27

Vg

= ((

s - c

2) V

3 -

2sc

V2 -

P s

en(0

- 7

)

Mlo

=

2

~s

' V2 -

M4

+ ~

RS

C

V3 +

PR

[l - c

os(8

- y

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Mo

men

to c

on

cen

tra

do

no

rma

l a

l p

lan

o d

el a

rco

.

Las

fue

rzas

de

empo

tram

ient

o en

el

extr

emo

i so

n:

MR

-Z

l(D

Il

+ GH

) +

Zz(

BIi

- G

2) -

Z3

(BH

+ D

G)]

v

3=

-[

A

MR

[z

~(A

I~

- 1

12) -

Zz(

DIl

+ G

H)

+ Z

3(A

G +

DH

)]

v2 =

-

A

M4

= -

MR

2 [

-Z~

(AG

+ HD

) +

Z2

(GD

+ BH

) +

&(n

2 - A

B)]

A

En

las

que

A r

espo

nde

a la

exp

resi

ón p

rese

ntad

a p

ara

el c

aso

de f

uerz

a en

di

recc

ión

radi

al y

par

a Z

l, Z

2 y

Z3

se t

iene

:

(1 - c

osa)

da

e se

na d

a

z2 =

m

-

Y V

8,V

g, y

Mlo

res

ulta

n, u

sand

o la

s ec

uaci

ones

de

equi

libr

io:

Fu

erza

no

rma

l a

l p

lan

o d

el a

rco

.

Sie

ndo

A:

b

A

=

R [

(;E

+ D

I) (

E - E

') (

A +

C')

+

(F

+ A')

(A +

F') (

A +

B')

-

1

1

2

- - (

E - E

')~

(A

+ B

') -

(A+

F')

+ DI) -

(F

+ A

') (A

+ c

')~

] 4

Page 26: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

2 8

G. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

Las

fue

rzas

de

emp

otr

amie

nto

en

el

extr

emo

i so

n:

PR

~

1

1

M6

= -

A

[PI [

S (A

+ C')

(E - E

') - (

A +

F') (

iE +

D')]

+

1

+ P2

[(A

+ F')

(A

+ B')

-

(A +

c')

~] +

1

1

+ P3 [(

A + C

') (

SE

+ D')

-

(E - E

') (

A +

B')]

]

PR

~

1

M5

=

-

1

A

[PI [

(SE

+ DI)

S (E

- E

') - (F

+ A')

(A + C

')] +

1

1

+ P

2 [

(A + C

') (;E

+ D

i) -

(A

+ B

') 5

(E

- E

')]

+ 2

+ P3 [(

F + A

L) (

A + B

') -

(SE + DI

) ]]

PR

1

VI

= - [P

I [(F

+ A')

(A +

F')

-

4 (E

- E

')']

+ A

1

1

+ p2

ls

(A +

c') (

E - E

') -

(A +

F') (

SE

+ DI)

] +

11

+

P3 [Z

(SE

+ D')

(E

- E

') -

(A +

C')

(F + A

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En

est

as e

cuac

ione

s lo

s sí

mbo

los

con

pri

ma

se r

efie

ren

a in

tegr

ales

dep

endi

ente

s cl

el m

om

ento

de

iner

cia

J,

mul

tipl

icad

o p

or

G,

mód

ulo

de e

last

icid

ad t

ran

sver

sal;

los

mbo

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sin

pri

ma

del

mo

men

to I

z m

ult

ipli

cad

o p

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E, m

ód

ulo

de

You

ng d

el m

ater

ial,

y

los

sím

bolo

s P1

, P2 y

Pg

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e se

na

,en(

, - y

) e

(1 - c

osa

) [l - c

os(

a - y

)]

PI =

1

da

+ L

da

Y

G

Jb

)

e co

sa s

en(a

- y

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sen

a [l - c

os(

a - y

)]

P2

= J

da

+ L

GJ

(4

d

a

Y

EIz

(a)

e se

na

sen

(a - y

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cosa

[l - c

os(

a - y

)]

P3 =

J

da

+ L

da

Y

E

L(&

) G

J(

4

Par

a la

s re

stan

tes

incó

gnit

as h

iper

está

tica

s se

tie

ne:

,

v7 =

P

-

VI

t

M12

=

P

R s

en(6

-y

) -

2scM

5 +

(s2

- c

2) M

6 -

2Rsc

V1

Mll

=

P

R [

cos(

6 - y

) - 11

+ 2s

cM6

+ (s

2 - c

2) M

5 -

2~

s'

~~

Page 27: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

2 9

Mo

men

to c

on

cen

trad

o e

n d

irec

ción t

ang

enci

al.

Sie

ndo

61, 6

2 y

¿í3 l

as c

anti

dade

s:

e se

na s

en(a

- y

) 0

(1 - c

osa)

cos

(a - y

) 6 1

=

-L

d

a

EIz

(a)

G J(4

e

cosa

sen

(a - y

) e

sena

cos

(a - y

) da

+

/

GJ(

a)

da

EIz

(a)

' Y

e se

na ,

en(,

- y

) e

cosa

,os

(, - y

) 6 3

=

-l

da

-

GJ(

a)

' da

EI

Z (a

)

Las

exp

resi

ones

de

Vi,

Mg,

y M

G so

n:

M

1

Vi

= - 1

61 [

(F + A

') (A

+ F1

) - - (

E - E

')~

] + A

4

1

1

+ 62

[-

(A +

C')

(E - E

')

-- (A

+ F

') (

-E +

D')]

+

2 2

1

1

+ 63

[(?

E + D') 5

(E - E

') - (F

+ A')

(A + c

')]]

1

MR

[si

[(:E

+ D

I) 5 (E

- E

') - (F

t A

l) (

A +

C')I

+

M5

= -

A

2

MR

1

1,

M6

= - [6

1 [-

(E

- E

') (

A +

C')

-

(A +

F')

(-E

+ D

')]

+ A

2

2

+ 62

[(

A + F

') (

A +

B')

-

(A +

c')']

+ 1

1

+ 63

[(A

+ C')

+ D

I) - 5

(E - E

') (

A +

B')

]]

Aqu

í A

es

la c

anti

dad

ante

rior

men

te d

efin

ida.

U

sand

o la

s ec

uaci

ones

de

equi

libr

io:

Page 28: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

3 0

G. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

Mom

ento

con

cen

trad

o ra

dia

l.

Sie

ndo

SI,

62

y S3

las

def

inid

as p

or:

e se

na

cos(

a - y

) (1

- c

osa

) se

n(a

- y

) 6 1

=

-l

d

a

EIz

(a)

GJ

(4

co

sa c

os(

a - y

) e

sen

a ,e

n(, - y

) 6 2

=

-k

da

- L

GJ

(a)

da

E

Iz(a

) e

sen

a co

s(a - y

) e

cosa

se,(

, - y

) 6 3

=

-l

da

'

GJ

(a)

da

E

L(&

)

Sig

uen

sien

do v

álid

as l

as e

xpre

sion

es d

e V

i, M

5 y

M6

que

apar

ecía

n e

n el

ap

arta

do

an

teri

or.

P

ara

las

rest

ante

s fu

erza

s de

em

po

tram

ien

to s

e ti

ene:

v7 =

- V

I

M12

= - M

cos

(8 - 7

) +

(s2

- c

2)

M6 -

2scM

5 -

2Rsc

V1

MI1

=

M

sen

(8 - 7

) +

2scM

6 +

(s2

- c

2) M5 +

2~

s~

V

I

DIS

TR

IBU

CIO

NE

S U

NIF

OR

ME

S D

E C

AR

GA

EN

E

LE

ME

NT

OS

DE

DIR

EC

TR

IZ C

IRC

UN

FE

RE

NC

IAL

Se c

onsi

dera

n lo

s ca

sos

que

se p

rese

nta

n a

con

tinu

ació

n:

X'

Fig

ura 16.

Page 29: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

31

Dis

trib

uci

ón d

e fu

erza

s ta

nge

nci

ales

.

Las

exp

resi

ones

par

a V

2, V

3 y

M4

son

las

que

apar

ecen

par

a el

cas

o de

fue

rza

con

cen

trad

a en

dir

ecci

ón r

adia

l de

l ap

arta

do

an

teri

or,

si

el s

egun

do m

iem

bro

de

cad

a u

na

de a

quel

las

se m

ult

ipli

ca p

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R y

el

valo

r P

de

la c

arg

a co

nce

ntr

ada

se s

ust

itu

ye

po

r p,

val

or d

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car

ga d

istr

ibu

ida.

Los

val

ores

de

Ji, J

z y

J3, e

n es

te c

aso

será

n:

6 (1

- c

osa

) (s

ena - a

)

JI =

J,

da

Id

a>

e se

na

(sen

a - a

)

J2

/o I,

(a)

da

(sen

a - a

) d

a

Par

a la

s in

cóg

nit

as d

el e

xtr

emo

j,

usa

nd

o l

as e

cuac

ione

s de

equ

ilib

rio,

se

tien

e:

Dis

trib

uci

ón u

nif

orm

e d

e fu

erza

s ra

dia

les.

Las

fue

rzas

de

emp

otr

amie

nto

en

el e

xtr

emo

i r

esu

ltan

:

Y u

san

do

las

ecu

acio

nes

de e

quil

ibri

o:

Page 30: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

3 2

G. B

RA

VO

Y A

. MA

RT

IN

Dis

trib

uci

ón

de

fuer

zas

no

rma

les

al

pla

no

del

arc

o.

Si s

e de

fine

n:

e (1

- c

osa)

(a

- s

ena)

I'

= J,

da

G

J(4

se

na (

a - s

ena)

J' =

/o G

J(a

) d

a

e co

sa (

a - s

ena)

K

' =

1

da

G

J(a

)

Las

exp

resi

ones

obt

enid

as p

ara

Vi,

M5

y M

G en

el

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de

fuer

za c

once

ntra

da

en d

irec

ción

nor

mal

al p

lano

del

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o so

n vá

lida

s ta

mbi

én a

quí,

sie

ndo

ahor

a P1

, P2 y

P3

las

sigu

ient

es:

Pl =

R

(D

+ 1')

02

=

R(J

1-C

)

p3 =

R

(D

- K

')

Med

iant

e la

s ec

uaci

ones

de

equi

libr

io s

e ob

tien

e:

eri

las

que:

Dis

trib

uci

ón

de

mo

men

tos

tors

ore

s.

Sig

uen

sien

do v

álid

as l

as e

xpre

sion

es c

omen

tada

s m

ás a

rrib

a p

ara

VI,

M5

y M

6, s

in m

ás q

ue c

ambi

ar e

l va

lor

de l

a fu

erza

con

cent

rada

P p

or e

l de

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omen

to p

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unid

ad d

e lo

ngit

ud m

. E

n e

ste

caso

, pl,

P2 y

,O3

son:

Page 31: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

EM

EN

TO

S R

EC

TO

S Y

CU

RV

OS

Y l

as i

ncóg

nita

s en

el n

udo

j en

fun

ción

de

las

del

nudo

i, s

erán

:

v, =

-V

I

Mll

=

(s

2 - c

2) M

5 +

2s [

c(M

6 - R

m)

+ R

sVl]

RE

SU

LT

AD

OS

Se p

rese

ntan

a c

onti

nuac

ión

dos

ejem

plos

, que

han

sid

o re

suel

tos

util

izan

do l

a fo

rmul

ació

n ex

pues

ta a

nter

iorm

ente

. A

mbo

s ej

empl

os s

e an

aliz

aron

hac

iend

o us

o de

un

pro

gram

a de

aná

lisi

s7 q

ue

impl

emen

ta e

l 'de

sarr

ollo

teó

rico

.

Eje

mp

lo 1

.

Se t

rata

de

un

a vi

ga r

ecta

en

vola

dizo

d.e

sec

ción

var

iabl

e. E

n l

a F

igur

a 17

se

ha

repr

esen

tado

la

estr

uctu

ra y

se

defi

nen

las

cara

cter

ísti

cas

geom

étri

cas

y re

sist

ente

s.

Fig

ura

17.

S

ecci

ón r

ecta

ng

ula

r d

e an

cho

20c

in

Ley

de

área

:

A =

-2

x +

1000 (

cm2

)

Ley

de

mom

ento

de

iner

cia:

I,

=

-1.6

673

- 3

z3 +

2.5

x2 -

2.08

3 E

5 (

cm2

)

Page 32: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

34

G. B

RA

VO

Y A

. M

AR

TIN

En

est

as e

xpre

sion

es x

es

la c

oord

enad

a so

bre

la d

irec

triz

de

la v

iga,

med

ida

desd

e el

nud

o 1

. M

ater

ial:

Hor

mig

ón

Hac

iend

o us

o de

l pr

ogra

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nali

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edim

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apr

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con

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que

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grá

fica

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igur

a 18

.

Fig

ura

18.

La

Tab

la

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ón

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lo

s re

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apro

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con

1,

2, 4

, 8

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mos

de

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e.

En

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quil

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car

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Tab

la 1

11.

Page 33: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

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IEN

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3 5

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1.

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1 10 K

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.

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ón

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de sect

ion

cons

tant

e

sect

ion

vari

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M. B

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M. a

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.

2-

9.42

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31.

8744

1 E

31.

8744

1 E

3-

--

-

4-

2.46

585.

8747

5 E

3-

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E6

1.03

06

E6

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38.2

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2.82

006.

2276

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3-

2.52

78

E6

1.05

466

E6

27.6

6%12

.5%

24.9

1%28

.45

10-

3.17

526.

6652

1 E

3-

2.95

54

E6

9.57

119

E5

18.5

5%6.

4%12

.22%

16.5

7

20-

3.63

96.

9839

1 E

3-

3.24

48

E6

8.64

086

E5

6.66

%1.

9%3.

62%

5.24

Exa

cto

- 3.

8985

7.12

14

E3

- 3.

3667

E6

8.21

039

E5

--

--

8-

3.66

757.

1431

E3

- 3.

2747

E6

7.02

977

E5

5.9

%0.

3%2.

73%

14.3

7

4-

2.35

437.

0815

1 £3

- 2.

9156

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%0.

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.1

Tabla

V. E

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osfl

echa

Rea

c. H

oriz

.M

omen

to b

ase

Mom

. arr

iba

flec

ha

Err

ores

R. h

or.

rela

tivo

s

M. B

ase

M. a

rrib

.

2-

1.50

064.

5892

5 E

3-

1.32

56 E

61.

8185

5 E

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.5 %

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%12

1.5

%

4-

2.80

035.

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E3

- 2.

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E6

1.49

87

E6

28.1

7%19

.4 %

29

.1 %

82

.5 %

6-

2.96

226.

1954

E3

- 2.

6938

E6

1.25

94

E6

24

%13

%20

%53

.4 %

8-

3.09

656.

4807

£3-

2.89

44 E

61.

1175

8 E

620

.6 %

8.99

%14

.03%

36.1

2%

10-

3.23

496.

6607

E3

- 3.

025

E6

1.03

19

£617

%6.

47%

10.1

5%2

5.7

%

20-

3.65

726.

9837

E3

- 3.

2635

E6

8.83

166

E5

6.19

%1.

93%

3.07

%7.

57%

Exa

cto

- 3.

8985

7.12

14

E3

- 3.

3667

E6

8.21

039

E5

--

--

Tab

la V

I. E

l ar

co a

pro

xim

ado c

on t

ram

os

curv

os

de

s.c.

.

Page 35: VARIABLE RECTOS MATRICIALES SECCYON ELEMENTOS METODOS DE … · 2016-10-19 · la forma: En la que: S es el vector de movimientos y se ... la ley de variación de alguna de las ...

TR

AT

AM

IEN

TO

DE

EL

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TO

S R

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TO

S Y

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OS

3 7

Se

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sen

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las

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l ej

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nir

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n q

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ori

gin

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po

r ú

ltim

o,

en l

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apar

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la a

prox

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ión

con

elem

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s de

dir

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nfer

enci

a1 y

sec

ción

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ante

. S

iem

pre

com

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o c

on l

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ltad

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tos.

TA

BL

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II.

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com

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cunf

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cial

es, i

nclu

yénd

ose

tod

as l

as e

xpre

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ue d

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ser

usa

das

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sim

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o se

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po

rtan

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arga

s ac

tuan

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sobr

e es

tos

elem

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s, t

ema

impr

esci

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le é

ste

si q

uere

mos

que

dic

laos

ele

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tos

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edan

o

per

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ente

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tro

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un

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lisi

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cial

. F

inal

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te,

se

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empl

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ione

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.

AG

RA

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S

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pre

sen

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rab

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fo

rma

par

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e lo

s es

tudi

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eali

zado

s p

ara

la r

eali

zaci

ón

del

Pro

yec

to d

e D

iseñ

o A

sist

ido

po

r co

mp

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do

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Co

mp

uer

tas

Met

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, fin

anci

ado

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un

ta d

e A

nd

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rav

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e S

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FE

RE

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1.

J.S

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rzen

iien

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i,

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ory

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atri

z S

truc

tura

l Ana

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s",

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ili,

(19

68).

2.

F

. P

arís

, "C

álcu

lo M

atri

cial

de

Est

ruct

uras

",

Cát

edra

de

Est

ruct

uras

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S11

de

Mad

rid,

(19

80).

3.

O

.C.

Zie

nkie

wic

z,

"El

Mét

odo

de l

os E

lem

ento

s F

init

os",

R

ever

té,

(198

0).

4.

G.S

. P

isar

enko

, A

.P.

Yak

ovle

v y

V.V

. M

atve

ev,

"Man

ual

de

Res

iste

ncia

de

M

ater

iale

s ", M

ir,

Mos

cú,

(197

9).

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5.

A.F

. M

artí

n y

F.

Del

gado

, "A

.N.P

.I.:

Un

prog

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",

VII

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An.

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6.

M

. P

rat,

"E

tude

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Mét

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del

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nnal

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P,

no.

453,

(19

87).

7.

G

. B

ravo

, "A

náli

sis

por

Com

puta

dor

de e

stru

ctur

as e

spac

iale

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ción

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P.F

.C.

Dep

arta

men

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ES1

1 de

Sev

illa,

(19

87).

3 8

G.

BR

AV

O Y

A.

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i