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05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

05/07/2017 19:22 ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

Capítulo IV

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Modelos de Distribuições

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

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Introdução

Distribuições teóricas discretas

Distribuições teóricas contínuas

IV – Modelos de Distribuições


Introdução




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4.1 Introdução

Existem variáveis aleatórias que têm uma função de

distribuição pertencente a uma classe de distribuições

teóricas.

As distribuições teóricas, como o próprio nome indica,

foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades

conhecidas; portanto, podem servir como modelo em

determinadas situações em que a distribuição esteja

identificada, poupando tempo na análise do problema

estudado.


4.1 Introdução

As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são:

• Caso discreto - Distribuição binomial

- Distribuição hipergeométrica

- Distribuição de Poisson

• Caso contínuo - Distribuição uniforme

- Distribuição exponencial

- Distribuição normal

- Distribuição qui-quadrado

- Distribuição t de Student

- Distribuição F

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Introdução





4.2 Distribuições Teóricas Discretas

Prova de Bernoulli

• A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de

base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial,

distribuição binomial negativa e distribuição geométrica).

• Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas

dois acontecimentos em que estamos interessados: o

acontecimento A que será designado por sucesso e o

acontecimento contrário, , que será designado por falha. O

sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com

probabilidade q = 1− p .

A

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Prova de Bernoulli

• O espaço de resultados está assim particionado em

dois acontecimentos em que: }A,A{S

p1q)A(PfalhaA

p)A(PsucessoA

• A uma experiência aleatória com estas características

dá-se o nome de prova de Bernoulli.



Prova de Bernoulli

• Principais características:

pq)p1(ppp

pp1q0)x(fx

)X(E)x(E:Variância

pp1q0)x(fx:Média

2

1

0

2222

i

2

i

222

i

2

1

0

ii

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Prova de Bernoulli

• Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o

processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas

seguintes condições:

1. Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis,

designados como “sucesso” e “falha”.

2. A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por

p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se

por q = 1− p.

3. As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos

numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s)

provas(s) subsequente(s).



Distribuição binomial

• Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos

experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou

falha.

• Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses:

- H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;

- H2. cada prova admite apenas dois resultados – sucesso ou

falha;

- H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 – p = q.

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• Considerando-se uma sucessão de n provas de Bernoulli, a

variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos

nessas n provas de Bernoulli tem distribuição binomial.

• A variável aleatória X, que é igual ao número de provas que

resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com

parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}.

• A função de probabilidade de X é

n...,,2,1,0x,qpx

n)x(f

xnx




• É assim chamada (binomial), pois variando X (número de vezes

do sucesso) obtemos os termos correspondentes do

desenvolvimento do binômio (q + p)n. Com efeito,

n0

01n0n

n22n1nnn

pq!0!n

!n...

pq)!1n(!1

!npq

)!0n(!0

!n

p...pq!2

)1n(npnqq)pq(

• Generalizando, tem-se: xnxxxn

qpx

npq

)!xn(!x

!n)x(f

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• Principais características:

- De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n

variáveis do tipo “Bernoulli”, daí

npqn)X(Var:Variância

npn)X(E:Média

2




• Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter

uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam

independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre

a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2

contenham a molécula rara.

- Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula

rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a

variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim,

284,0)9,0()1,0(2

18)2X(Pqp

x

n)x(f

162xnx

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• Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4

amostras contenham a molécula rara.

- Neste caso, a probabilidade requerida é

098,0

)168,0284,0300,0150,0(1

)9,0()1,0(x

181

)9,0()1,0(x

18)4X(P

3

0x

x18x

18

4x

x18x




• Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de

amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6.

- Neste caso, a probabilidade requerida é

265,0

005,0022,0070,0168,0

)9,0()1,0(x

18)6X3(P

6

3x

x18x

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Distribuição hipergeométrica

• Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M

destes elementos têm uma certa característica em que estamos

interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm

essa característica.

• Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos

(retirar de forma aleatória e sem reposição – probabilidade do

sucesso não constante) consideremos X a variável aleatória que

representa o número de elementos que são retirados e que têm a

característica em que estamos interessados.

• A variável aleatória definida nas condições anteriores tem

distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n.




• A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada

por:

M,nmin...,,)MN(n,0máxxcom

n

N

xn

MN

x

M

)n,M,N,x(b)xX(P

• Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição

hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então:

1N

nN

N

MN

N

Mn)X(Var

N

Mn)X(E

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• Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A

foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como

vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a

probabilidade de todos serem perfeitos.

- Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade

requerida, portanto, será:

35,0

10...21

991...9991000

10...21

891...8999001

10

1000

010

1001000

0

100

)0X(P



Distribuição de Poisson

• A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês

Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações

práticas cujos alguns exemplos são os seguintes:

- Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo

de uma hora.

- Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume de um

certo líquido.

- Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio

produzido por uma máquina têxtil.

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• Todos os exemplos apresentados têm uma

característica comum: a variável aleatória em estudo

representa o número de ocorrências de um certo

evento ao longo de um intervalo (tempo,

comprimento, área ou volume).

• Os valores que a variável aleatória pode assumir são

valores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... .




• Outras características que identicam uma distribuição de Poisson

são:

- O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são

variáveis independentes.

- A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar

é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a

probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não

da posição em que se situa nesse intervalo.

- As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e

nunca em grupos.

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• Para encontrar a expressão que dá a probabilidade de x sucessos

num intervalo t, algumas hipóteses precisam ser admitidas:

H1. P(X = 1, ∆t) = λ ∆t (ou seja, a probabilidade de um sucesso

num intervalo ∆t é proporcional à amplitude do intervalo).

H2. P(X > 1, ∆t) = 0.

H3. P (X – 0, ∆t) = 1 – λ

H4. As ocorrências de sucessos em intervalos são independentes.

• Tem-se que ∆t = t/n, logo P(X = 1, ∆t) = λt/n.




• Para encontrar a expressão que dá P(X,t), ou seja, a probabilidade

de X sucessos no intervalo t, pode-se calcular o limite de uma

distribuição binomial com parâmetros n e t/n. Assim:

tx

xnx

x

e!x

)t()t,x(P

n

t1

n

t

x

nlim)t,x(P

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• Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ >

0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no

intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ,

sendo a função de distribuição de X dada por

...,2,1,0x,e!x

)t()x(f

tx

• Características:

t)X(Var:Variância

t)X(E:Média




• Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores

de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de

10 por hora.

a) Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora?

b) Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30

minutos?

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• Exemplo:

0076,0e!3

)10(e

!3

)110()3X(Pe

!x

)t()x(f

10t)x(E

103

1103

tx

b) Seja X a representação do número de mensagens em 30

minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e

a) Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora.

Então E(X) = 10 mensagens e

1462,0e!6

)5(e

!6

)5,010()6X(Pe

!x

)t()x(f

56

5,0106

tx


Introdução




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4.3 Distribuições Teóricas Contínuas

Distribuição uniforme

• A distribuição uniforme é a mais simples distribuição contínua;

entretanto, é uma das mais importantes e utilizadas dentro da

teoria de probabilidade.

• Tem uma importante característica a qual a probabilidade de

acontecer um fenômeno de mesmo comprimento é a mesma.

• Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores

podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado)

[a,b]. Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a

mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição

uniforme.




• Diz-se que a variável aleatória contínua X tem

distribuição uniforme no intervalo [a,b] se a sua

função de densidade de probabilidade for dada por:

xdevaloresoutrospara0

bxaab

1

)x(f

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bx1

bxaab

ax

ax0

)x(F

• Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que

satisfazem a condição −∞ < a < b < +∞.

• Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por:

• Características: Se a variável aleatória X tem distribuição

uniforme no intervalo [a,b] então:

12

)ab()X(Var,

2

ba)X(E

2




7x0para,7

1

07

1

ab

1)x(f


1142,07

8,0

7

xdx

7

1)8,0x0(P)a(

8,0

0

8,0

0

• Exemplo: A ocorrência de panes em qualquer ponto de uma rede

telefônica de 7 km foi modelada por uma distribuição uniforme no

intervalo [0,7] . Qual é a probabilidade de que uma pane venha a

ocorrer nos primeiros 800 metros? E qual a probabilidade de que

ocorra nos 3 km centrais da rede?

4285,07

25

7

xdx

7

1)5x2(P)b(

5

2

5

2

b

a

dx)x(f)bxa(P

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2x0para,5,002

1

ab

1)x(f

• Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta

(0,2). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5?


Então:

5,1

1

b

a

25,0dx5,0)5,1x1(P

dx)x(f)bxa(P

- Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,2).

A função densidade de probabilidade de X é dada por:


Distribuição Exponencial


• A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de

Poisson.

• Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma

distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre duas

ocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeira

ocorrência segue uma distribuição exponencial.

• A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos

consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial.

• A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na

descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de

falhas exponencial).

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0xparaeλ)x(fxλ

• Sua função densidade de probabilidadea é dada por


onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0.

• Características:

2

1)X(Var:Variância

1)X(E:Média



• O gráfico de f(x) é dado por:

• Função distribuição cumulativa:

0 x

f(x)

λ


0xpara,e1dxeλ)x(F

0xpara,0)x(F

xλ

x

0

xλ

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• Conhecida a função distribuição cumulativa de x, pode-se

facilmente determinar

00 xx

00 ee11)x(F1)xX(P

0 x

f(x)

λ

e-λxo

xo




• Exemplo: Os defeitos de um tecido seguem a

distribuição de Poisson com média de um defeito a

cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o

intervalo entre dois defeitos consecutivos seja:


a) No mínimo de 1000 m;

b) Entre 800 e 1000 m. Calcule a média e a variância.

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• Exemplo:


- Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt,

então:

%32,5ou0532,0ee

)1000x(P)800x(P)1000x800(P)b

%1,8ou081,0ee)1000x(P)a

m/defeito400

1

m1

defeito400/1

m400

defeito1t)x(E

400

1000

400

800

400

1000

x



• Exemplo:


2

22m000.160

4001

11)X(Var:Variância

m4004001

11)X(E:Média

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Distribuição Normal

• É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada

em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento

teórico da estatística.

• A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem

processos físicos ou características humanas seguem uma

distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não

seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta.

Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel

crucial na inferência estatística.

• É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou

Laplace-Gauss




xpara,eπ2σ

1)x(f

2

2

σ2

)μx(

• Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição

normal se


2)X(Vare)X(E

onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição.

• Se a variável aleatória X tem distribuição normal então:

• A notação N(μ,σ2) é frequentemente usada para denotar uma

distribuição normal, com média μ e variância σ2.

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• Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se

apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois

problemas:

- A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é

necessário o desenvolvimento da função em série;

- A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste,

pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um

grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se

as várias combinações de μ e σ2.



• Esses problemas podem ser contornados por meio de uma

mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal

padronizada ou reduzida.

• Distribuição normal padrão:

i

i

XZ

em que X é uma variável normal de média μ e variância σ2.

- Seja Z uma variável aleatória tal que:


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1)X(Var1

)X(Var1X

Var)Z(Var

01

)(E)X(E1

)X(E1X

E)Z(E

2

2

22

• Distribuição normal padrão:

- Logo, a função densidade de probabilidade será:

- A média e a variância de Z serão:

z,e2

1)z( 2

z2


- Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem

ser facilmente calculadas e tabeladas.



• Propriedades da distribuição normal


1. f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em

relação a z = 0.

μ 0

f(x)

φ(z)

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2. f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo

para z = 0.

φ(z) 0,39





3. f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞, o mesmo acontecendo

com φ(z) quando z tende para ± ∞; isto é, x ou z são assíntotas de

f(x) ou φ(z).

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4. f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ

e μ – σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas

abscissas valem +1 e –1.

μ+σ μ-σ 0 1 -1





5. Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem

ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ].

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6. Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o

mesmo valor médio (μ1 = μ2), mas diferentes desvios padrões (σ1

< σ2). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que

têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes.

(a) (b) 1

2





6. Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são

sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória

normal,

9975,0)3X3(P

9545,0)2X2(P

6827,0)X(P

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- Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma

distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ

é frequentemente referida como a largura de uma distribuição

normal.

- A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área

sob a função densidade de probabilidade normal de – ∞ < x < ∞

é igual a 1.



• Uso da tabela de distribuição normal padrão


- Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas

(probabilidades) sob a curva normal padrão.

- Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - ∞

até o valor de z considerado, ou seja, P(Z ≤ z).

zo

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- O uso da tabela para encontrar, por exemplo, P(Z ≤ 1,53) é

ilustrado na figura abaixo:

1,53

P(Z ≤ 1,53) = Φ (1,53)

= área sombreada

z 0.00 0,01 0,02 0,03 . . . 0,09

0 0,500000 0,503989 0,507978 0,511967 . . . 0,535856

0,1 0,539828 0,503795 0,547758 0,551717 . . . 0,575345

.

. . . . .

.

. . . . .

.

. . . . .

1,5 0,933193 0,934478 0,935744 0,936992 . . . 0,944083

. .

. . . .

. .

.

. .

.

. .

.

. .

.

3,9 0,999952 0,999954 0,999956 0,999958 . . . 0,999967





- Definição: A função Φ(z) = P(Z ≤ z) é usada para denotar uma

probabilidade proveniente da tabela anterior. Ela é chamada de

função distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal

padrão.

- Uma tabela é requerida porque a probabilidade não pode ser

determinada pelos métodos elementares.

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- Outros exemplos:





- Exemplos: Os seguintes cálculos são mostrados de forma

diagramática na figura a seguir.

10364,089616,01)26,1Z(P1)26,1Z(P)1

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31



19490,0)86,0Z(P)2


91465,0)37,1Z(P)37,1Z(P)3






53886,0

10565,064431,0

)25,1Z(P)37,0Z(P)37,0Z25,1(P)4

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0)6,4Z(P

0003,0)6,4Z(P

00003,0)99,3Z(P

)99,3Z(P)6,4Z(P)5





).próximomaisvalor(65,1z)95,0Z(P:tabelaDa

95,0)zZ(P05,0)zZ(P)6

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.58,2zquando,99506,0étabelanavalordessepróxima

maisadeprobabilidA.tabelana995,0deadeprobabilid

aecorrespondzdevalorO.005,02/)99,01(aigualé

ãodistribuiçdaeextremidadcadaemáreaa,simetriaPor

99,0)zZz(P)7



• Cálculo das probabilidades para uma variável aleatória normal padrão arbitrária


- Todas as distribuições normais estão relacionadas algebricamente

e a tabela da distribuição normal padrão pode ser usada para

encontrar as probabilidades associadas com uma variável aleatória

normal arbitrária usando a transformação

i

i

XZ

onde X é a variável aleatória normal de média μ e variância σ2.

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- Exemplo: Suponha que as medidas de corrente em um

pedaço de fio sigam a distribuição normal, com uma

média de 10 miliampères e uma variância de 4

(miliampères)2. Qual a probabilidade de a medida

exceder 13 miliampères?



5,12

1013

2

10XZ



- Seja X a representação da corrente em miliampères. A

probabilidade requerida pode ser representada por P(X > 13).

Usando a transformação de variável tem-se:

06681,093319,01

)5,1Z(P1)5,1Z(P)13X(P

Logo,

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Distribuição qui-quadrado

2

22 S)1n(


tem uma distribuição qui-quadrado, com n-1 graus de liberdade,

abreviada como ou .

• Trata-se de um modelo de distribuição contínua muito importante

para a teoria da inferência estatística.

• Seja X1, X2, ..., Xn, como uma amostra aleatória de uma

distribuição normal, com média µ e variância σ2 desconhecidas. A

grandeza

2

1n2




Entendendo a ideia de graus de liberdade:

• Consideremos um conjunto de dados qualquer. Graus de liberdade

é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar

após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.

• Por exemplo, consideremos que estudantes obtiveram em um teste

média 8,0 . Assim, a soma das 10 notas deve ser 80 (restrição).

• Portanto, neste caso, temos um grau de liberdade 9 (10 – 1 = 9),

pois as nove primeiras notas podem ser escolhidas aleatoriamente,

contudo a 10ª nota deve ser igual a [10 – (soma das 9 primeiras)].

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2)(Var

)(E

222

22


• Em geral, a função densidade de probabilidade de uma

variável qui-quadrado é dada baixo, em que k é o

número de graus de liberdade e Γ(k/2) é a função gama:

• Pode-se demonstrar que a média de uma distribuição

qui-quadrado é igual ao número de graus de liberdade,

e que a variância é igual ao dobro do número de graus

de liberdade:

0

1mx2/1)2/k(

2/kdxxe)m(,e

)2/k(2

1)x(f




• A forma da curva que descreve a função densidade varia conforme

o valor do grau de liberdade (valor do parâmetro φ):

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- A distribuição qui-quadrado está tabelada. A tabela fornece a

abscissa da distribuição para diversas áreas (probabilidades) da

cauda à direita. Assim:

• Uso da tabela de distribuição qui-quadrado




- Exemplo 01: Admita φ = 9 e α = 5%.

Entra-se na 1ª coluna com φ = 9, e na 1ª linha com α = 0,05; na

intersecção dessas obtém-se o número 16,9.


16,9

φ = 9

α = 5%

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- Exemplo 02: Considere uma distribuição qui-quadrado com

parâmetro 18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio

padrão; (b) a mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 90º percentil.

a) A média, a variância e o desvio padrão:


636)(

362)(

18)(

22

18

2

18

2

2

18




- Exemplo 02:

b) A mediana


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- Exemplo 02:

c) O 1º quartil





- Exemplo 02:

d) O 90º percentil


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Distribuição t de Student


• Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha

à distribuição normal padrão, N(0,1).

• É utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se

tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos (Fonseca &

Martins, 1996).

• Considere X1, X1, ..., Xn como uma amostra aleatória para uma

distribuição normal com média e variância desconhecidas. A

grandeza,

tem uma distribuição t, com n - 1 graus de liberdade.

n/S

XT




• Como visto, a distribuição t também possui um parâmetro

denominado grau de liberdade (k = φ = n - 1), e é simétrica em

relação à sua média.

• A média dessa distribuição é zero, e sua variância é dada por:

)2(2

)t(tVar2

x]1)k/x[(

1

)2/k(k

2/)1k[()x(f

2/)1k(2

• A função densidade de probabilidade t é dada abaixo, sendo k o

número de graus de liberdade:

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• Gráfico da distribuição t de Student (para φ = 4):

• Observa-se que para valores de φ < 30 a distribuição t apresenta

maior dispersão do que a normal padrão N(0,1), já que o desvio

padrão, nesses casos, é maior do que 1, que é o desvio padrão da

distribuição normal padrão.




03,1235

35)t( 35

02,1260

60)t( 60

41,124

4)t( 4

• Exemplo:

- Para φ = 4 tem-se:



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- Trata-se de uma tabela unicaudal. Assim:

• Uso da tabela de distribuição t de Student

Encontra-se na tabela

1 – α α




- Procedimento de uso da tabela:

• Uso da tabela de distribuição t de Student

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a) A média, a variância e o desvio padrão:

• Exemplo: Considere uma distribuição t com parâmetro igual a

18. Encontre: (a) a média, a variância e o desvio padrão; (b) a

mediana; (c) o 1º quartil e (d) o 95º percentil.

06,113,1)t(:padrãoDesvio

13,1218

18)t(:Variância

0)t(:Média

18

18

2

18




b) A mediana – Md(t18) :

• Exemplo:


c) O 1º quatil – Q1:

d) O 95º percentil – P95:

Md =

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Distribuição F de Snedecor

• Trata-se de um modelo de distribuição contínua também útil para

inferências estatísticas.

• A distribuição F é a razão entre duas variáveis aleatórias

independentes com distribuições qui-quadrado. Assim, uma

distribuição F com υ (pronuncia-se upsilon) graus de liberdade no

numerador e ν (pronuncia-se ni) graus de liberdade no

denominador é expressa por:


2

2

2

2

),(F


• Sejam W e Y variáveis aleatórias independentes qui-quadrado,

com υ e ν graus de liberdade, respectivamente. Então a razão

tem a função densidade de probabilidade

e é dita seguir a distribuição F com υ graus de liberdade no

numerador e ν graus de liberdade no denominador, geralmente

abreviada com Fυ,ν.


/Y

/WF

x0

1x2

x2

)x(f1)(

1)2/(

2/


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• A função F possui dois parâmetros: o grau de liberdade do

numerador e o grau de liberdade do denominador, que são

denominados, comumente, por υ e ν ou φ1 e φ2 .

• A média, a variância e a moda dessa distribuição são dadas por:


2

2:Moda

24

22:Variância

2:Média

2

2

1

1

2

221

21

2

22

2

2



• Formas de gráficos da distribuição F :



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• Uso da tabela de distribuição F

- A tabela fornece as abscissas que deixam α na cauda à direita,

dados os parâmetros φ1 e φ2.




• Uso da tabela de distribuição F

- Para se encontrar o valor da abscissa F1-α(u,v) utiliza-se a

fórmula:

u,v,

v,u,1F

1F

- Exemplo: Admita uma

distribuição F com u = 9,

v = 5 e α = 5, determine as

abscissas.


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FIM
