UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA INDUSTRIAL
“ESTIMACIÓN DE SERIES CON MEMORIA LARGA: ESTUDIO
VIA SIMULACIÓN DE MONTECARLO Y APLICACIÓN A SERIES FINANCIERAS”
TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER EN ECONOMIA
APLICADA
GONZALO DANIEL VALDÉS GONZÁLEZ
PROFESOR GUIA: VIVIANA FERNANDEZ MATURANA
MIEMBROS DE LA COMISION:
MATTIA MAKOVEC ANDREA REPETTO LISBOA
MARCO MORALES SEPÚLVEDA
SANTIAGO DE CHILE 2009
3
Agradecimientos
En primer lugar quisiera agradecer en gran manera a Dios, por su ayuda y porque siempre he podido estar a su lado, sintiendo su amor particularmente en los momentos más difíciles de la vida.
Agradezco a mi profesora guía Viviana Fernández y a la comisión de esta tesis por sus valiosos comentarios y la ayuda prestada desinteresadamente para mejorar este trabajo.
Agradezco a mi amada esposa por su incondicionalidad y ayuda idónea sin la cual nuestros proyectos no serían posibles. A mi hermosa hija por ser mi inspiración, por sus ojitos que llenan mi vida de felicidad. A ustedes dos, por ser la razón de seguir adelante.
Agradezco a mis padres, mis modelos de vida y a quienes les debo todo. A mis hermanos, mis grandes amigos.
Agradezco a Patricio Meller por quien siento un profundo respeto y admiración, por la formación y las oportunidades brindadas.
4
Índice de contenidos
1 g Resumen 9
2g Introduccióng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 02.1 Series de Tiempo con Memoria Larga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
3g Descripción Teórica de los Estimadoresg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 93.1 Estimador de Whittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 93.2 Método de Geweke y Porter-Hudak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 13.3 Método de Rango Escalado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 23.4 Método de Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
4 Estudio simulado y empírico de los diferentes estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 64.1 Simulación del comportamiento de diferentes estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 64.2 Simulación Empírica de los Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
5 Simulación de Montecarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 75.1 Método de Whittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 75.2 Método de GPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 95.3 Método de R/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 25.4 Método de Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 45.5 Tabla resumen de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 75.6 Conclusiones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
6 Conclusiones y trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 07 Bibliografía Consultada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2ANEXO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4ANEXO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
5
Índice de figuras
Figura 1: ACF de los retornos absolutos diarios absolutos de la serie S&P500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5Figura 2: ACF teórico de un proceso fraccionalmente integrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8Figura 3: Estabilidad del Estimador Whittle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7Figura 4: Estabilidad del estimado GPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7Figura 5: Estabilidad del estimador R/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8Figura 6: Estabilidad del estimador Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9Figura 7: ACF para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0Figura 8: Estimador GPH para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI utilizando una
ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1Figura 9: Estimador R/S para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI utilizando una ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2Figura 10: Estimador Wavelet para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI utilizando una ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3Figura 11: Estimador Whittle para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI utilizando una ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3Figura 12: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4Figura 13: ACF para los retornos absolutos de la serie NICKEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5Figura 14: Estimador GPH para los retornos absolutos de la serie NICKEL utilizando una
ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5Figura 15: Estimador R/S para los retornos absolutos de la serie NICKEL utilizando una ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7Figura 16: Estimador Wavelet para los retornos absolutos de la serie NICKEL utilizando una ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7Figura 17: Estimador Whittle para los retornos absolutos de la serie NICKEL utilizando una ventana móvil de 500 datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8Figura 18: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie NICKEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
6
Figura 19: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie ALCOAINC . . . . . . . . . . . . . 4 1Figura 20: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie AMEXOIL . . . . . . . . . . . . . . . 4 2Figura 21: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie BARRICK . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2Figura 22: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie CHEVRON . . . . . . . . . . . . . . 4 3Figura 23: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie COPPER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3Figura 24: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie GOLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4Figura 25: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie NEWMONT . . . . . . . . . . . . . 4 4Figura 26: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXGYS . . . . . . . . . . . . . . . 4 4Figura 27: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie SWENERGY . . . . . . . . . . . 4 5Figura 28: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie USENERGY . . . . . . . . . . . . 4 5Figura 29: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de Whittle para d=0.05 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7Figura 30: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de Whittle para d=0.35 considerando N=500 y N=10000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8Figura 31: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de Whittle para d=0.45
considerando N=500 y N=10000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8Figura 32: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de GPH para d=0.05 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0Figura 33: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de GPH para d=0.35 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0Figura 34: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de GPH para d=0.45 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1Figura 35: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de R/S para d=0.05
considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2Figura 36: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de R/S para d=0.35 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3Figura 37: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de R/S para d=0.45 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3Figura 38: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de Wavelet para d=0.05 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
7
Figura 39: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de Wavelet para d=0.35 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5Figura 40: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de Wavelet para d=0.45 considerando N=500 y N=10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6Figura 41: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie ALCOAINC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5Figura 42: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie CHEVRON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6Figura 43: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie NEWMONT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7Figura 44: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8Figura 45: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie AMEXOIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9Figura 46: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie COPPER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0Figura 47: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie NICKEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1Figura 48: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie SWENERGY . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2Figura 49: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie BARRICK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3Figura 50: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie GOLD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4Figura 51: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXGYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5Figura 52: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie USENERGY . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
8
Índices de tablas
Tabla 1: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y diferente número de repeticiones ......................................................................................... 49
Tabla 2: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y diferente número de repeticiones ......................................................................................... 51
Tabla 3: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y diferente número de repeticiones ......................................................................................... 53
Tabla 4: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y diferente número de repeticiones ......................................................................................... 56
Tabla 5: Descripción de las series utilizadas........................................................................ 64
9
RESUMEN DE LA TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGISTER EN ECONOMIA APLICADA POR: GONZALO DANIEL VALDÉS GONZÁLEZ FECHA: 26 DE AGOSTO 2009 PROFESOR GUIA: VIVIANA FERNÁNDEZ.
“ESTIMACIÓN DE SERIES CON MEMORIA LARGA: ESTUDIO VIA SIMULACIÓN DE MONTECARLO Y APLICACIÓN A SERIES FINANCIERAS”
La literatura muestra, en términos generales, que diferentes series temporales macroeconómicas
y financieras, tales como las tasas de interés real y nominal, el tipo de cambio nominal y
medidas alternativas de volatilidad, presentan persistencia, memoria larga o diferenciación
fraccional. Esto es, un shock inesperado tiene un efecto persistente y duradero sobre la serie
temporal en cuestión.
La detección de memoria larga es de especial relevancia para el área de finanzas. En particular,
la cuantificación de la volatilidad de una cartera de activos es crucial para la administración de
riesgo. Por ejemplo, una cuantificación errónea de la volatilidad podría conducir a la toma
excesiva de riesgo al subestimar el valor en riesgo (VaR) de una cartera.
En la literatura existente, se puede encontrar diversos estudios empíricos que analizan la
existencia de memoria larga en series de retornos y de volatilidad. Muchos de ellos no se
detienen a discutir las propiedades estadísticas del estimador de memoria larga utilizado. Este
estudio, en contraste, ha considerado cuatro estimadores: Re-scaled range (R/S), Whittle,
Geweke & Porter-Hudak (GPH) y Wavelets. Se implementaron estos estimadores para doce
series de retornos absolutos, recurriendo para ello al uso de ventanas móviles o rolling. Los
resultados obtenidos arrojan diferencias numéricas significativas para el parámetro de
diferenciación fraccional.
En una etapa posterior, se utiliza simulación de Monte Carlo para estudiar las propiedades en
muestras pequeñas y asintóticas de los estimadores bajo análisis. Los resultados obtenidos
permiten concluir que los estimadores de Whittle y Wavelets presentan un desempeño
indistinguible asintóticamente, el cual es muy superior al de los estimadores restantes.
Palabras Clave: Series temporales, Memoria larga, Estimador R/S, GPH, Whittle Clasificación JEL: C13, C22, C63
1 0
1 Introducción
La literatura muestra, en términos generales, que diferentes series macroeconómicas y
financieras, tales como las tasas de interés real y nominal, el tipo de cambio y medidas
de volatilidad, etc., presentan persistencia o memoria larga. Esto es, un shock inesperado
tiene un efecto persistente y duradero sobre la serie temporal en cuestión.
La detección y cuantificación de la memoria larga es de particular relevancia para la
administración de riesgo de un portafolio para distintos horizontes de inversión
(Fernández y Lucey, 2007). Por ejemplo, la medida de volatilidad utilizada en la
cuantificación de riesgo, según Value at Risk (VaR), es crucial porque una
cuantificación errónea de ésta podría conducir a decisiones sub óptimas, tales como la
toma excesiva de riesgo.
Por otro lado, dentro de la literatura de pronósticos de retornos de mercado de largo
plazo, la precisión del estimador de memoria larga es nuevamente fundamental. Ello,
porque, incluso realizando predicciones fuera de muestra, nada asegura que los retornos
del mercado sean estacionarios. Conocer la historia del proceso, en torno al
comportamiento de la memoria de dicho proceso, y entender cuál es el estimador que
mejor se ajusta a la serie permitiría hacer más fidedigno el análisis fuera de muestra.
En general, los modelos tradicionales autorregresivos con media móvil (ARMA) no
capturan el alto grado de persistencia de una serie de tiempo financiera. Ello, porque
poseen memoria corta, en el sentido de que su función de autocorrelación decae
exponencialmente, y los modelos no estacionarios poseen propiedades estadísticas no
deseadas en el estudio económico. Concretamente, la propiedad de memoria larga se
refiere a la existencia de una dependencia no despreciable entre observaciones distantes
de una serie de tiempo. Estos procesos pueden ser expresados en el dominio del tiempo
y en el de la frecuencia. En el dominio del tiempo, estas series están caracterizadas por
un decaimiento hiperbólico de la función de autocorrelación. En efecto, este decaimiento
es tan lento que la autocorrelación no es aditiva (Zivot y Wang, 2005). Hay evidencia
1 1
que sustenta que los procesos con memoria larga proveen una buena descripción de las
series financieras que presentan alta persistencia (Zivot y Wang, op cit.).
A partir del trabajo realizado por Hurst (1951), se ha estudiado el fenómeno de memoria
larga en diferentes campos, tales como finanzas (Fernández y Lucey 2007, McCarthy et
al, 2003), meteorología (Hussain y Elbergalí, 1999) y el tráfico de internet (Karagiannis
et al, 2004). Otra aplicación reciente es la de Barkoulas, Baum y Travlos (2000), quienes
realizan un estudio sobre la existencia de memoria larga en el mercado de valores de
Grecia, utilizando un método de regresión espectral. Este estudio encuentra una positiva
y robusta evidencia de existencia de persistencia en el largo plazo. Comparan también el
desempeño realizado por este tipo de regresión versus una regresión lineal obteniendo
mejores resultado para horizontes lejanos con el método espectral.
Por otra parte, Henry (2002) estudia los retornos en distintos mercados (9 países),
basado en la evidencia empírica que sugiere que los retornos del mercado de largo plazo
podrían ser pronosticados. Encuentra evidencia de memoria larga para los mercados en
Alemania, Japón, Corea del Sur y Taiwán. Connor y Rossiter (2005) analizan el
mercado de los commodities, sugiriendo que los agentes poseen diferentes horizontes de
tiempo en sus negociaciones e intercambios. Los autores señalan que la dinámica del
mercado de los commodities siempre ha estado influenciada por la interacción de
agentes con diferentes horizontes de tiempo de operación, quienes reaccionan a la
llegada de nueva información heterogéneamente. Además, Connor y Rossiter motivan su
estudio agregando que la industria de los fondos mutuos está siendo más activa en el
mercado de los commodities, lo cual lleva a un creciente interés herramientas que
puedan rastrear el precio de tales activos.
Wang, Van Gelder y Chen (2006) realizan una simulación de Montecarlo para observar
la precisión de tres estimadores de series con memoria larga, los cuales son R/S y GPH
(observados con más detalle en secciones posteriores de este trabajo) y un tercer método
basado en máxima verosimilitud. La idea es precisar los desempeños de estos
estimadores para utilizarlos en la estimación de procesos de flujos de agua diario.
1 2
Fernández y Lucey (2007) analizan las implicancias para el manejo del portafolio de
heterocedasticidad y cambios en la volatilidad, basados en una muestra diaria de datos
de Dow Jones, bonos y precios futuros de commodities en el periodo 1992-2005. Este
trabajo utiliza wavelets para el cálculo del riesgo, considerando los diferentes horizontes
de tiempo de los agentes. A través de datos artificiales generados por una estimación
semi-paramétrica de la función de distribución de retornos, encuentran que desatender
los efectos GARCH y los cambios de volatilidad llevan a una sobreestimación del riesgo
financiero para diferentes horizontes de tiempo.
Existen diferentes métodos para la detección de existencia de memoria larga y para la
estimación del parámetro de diferenciación fraccional d. Entre estas técnicas están las
gráficas, tal como el método R/S propuesto por Hurst (1951) y luego refinado por Lo
(1991), el cual consiste en el cálculo del rango de las sumas parciales de las desviaciones
de la serie respecto a su media, normalizado por la desviación estándar. En general, este
método es adecuado para testear heurísticamente la presencia de memoria larga en los
datos o es útil como una primera estimación de d; pero, por lo general, carece de
precisión.
Otros métodos son los paramétricos, tal como el de Whittle (Beran, 1994), que se basa
en la estimación por máxima verosimilitud de un proceso integrado fraccionalmente en
el dominio de la frecuencia. El problema de este método es que requiere información del
proceso subyacente, el cual es usualmente desconocido. Otros métodos de estimación
son los semi paramétricos, tal como el de GPH (Geweke y Porter-Hudak, 1983), que está
basado en la representación del proceso fraccionalmente integrado y en la formulación
de la densidad espectral del proceso fraccionalmente integrado, en función de la
frecuencia de Fourier. A través de un periodograma estimado, la estimación por
mínimos cuadrados de d está asintóticamente distribuida en forma normal. GPH ha sido
extensamente utilizado en las series económicas, a pesar de que este estimador también
tiene inconvenientes. GHP es sesgado porque supone, a priori, la forma de la densidad
espectral y porque el periodograma tiende a infinito cuando la frecuencia tiende a cero.
Otro método de gran importancia en la literatura es la transformada de wavelet estudiada
en Fernández y Lucey (2007), Fernández (2006), Connor y Rossiter (2005), McCarthy et
1 3
al (2003) y Norsworthy et al (2000). En particular, la transformada discreta de wavelet
(DWT) es una versión finita de la transformada continua de wavelet (CWT). La DWT
permite hacer un análisis de multi-resolución de una serie de tiempo finita (Percival y
Walden, 2000), la cual se puede descomponer en un conjunto de componentes
ortogonales que reflejan la contribución de diferentes escalas de tiempo. Es decir, una
serie de tiempo se puede pasar al dominio de la frecuencia, considerando diferentes
frecuencias (bajo hipótesis), y ver la contribución de éstas en la serie original volviendo
al dominio del tiempo. Por ejemplo, en Connor y Rossiter (2005), se analiza la
heterogeneidad de los traders en términos de sus distintos horizontes de tiempo
(frecuencias) y la contribución de estas frecuencias en el mercado financiero. Fernández
y Lucey (2007) analiza el precio de commodities en presencia de horizontes de inversión
heterogéneos y quiebres estructurales.
La DWT ha sido refinada en el trabajo de Percival y Walden (2000). No obstante, esta
metodología también es una aproximación que nació como un refinamiento a la
transformada de Fourier, cuando las series son no estacionarias y, por lo tanto, es
necesario estudiar su precisión.
Este trabajo validará la precisión de los diferentes estimadores del parámetro de
diferenciación fraccional propuestos en la literatura. En este sentido, se utilizará la
simulación de Montecarlo que es una herramienta comúnmente empleada para estos
propósitos (Dittmann, 1998).
1.1 Series de Tiempo con Memoria Larga
Para ilustrar la idea de una serie con memoria larga consideremos la representación de
una serie financiera de retornos diarios S&P500 que abarca el periodo comprendido
entre el 4 enero de 1928 y el 30 de agosto de 1991. Los retornos diarios usualmente
tienen media muy cercana a cero, por lo tanto, los retornos absolutos pueden ser
utilizados como una medida de volatilidad. Graficando los retornos diarios absolutos se
tiene la figura 1.
1 4
La autocorrelación de los retornos absolutos es altamente persistente y es significativa
incluso hasta el rezago 200 como se muestra en la figura 1. Utilizando AIC obtenemos
que el proceso autoregresivo que mejor se ajusta a la función de autocorrelación simple
es un AR(37). Al respecto es pertinente realizar los siguientes comentarios:
• Los procesos estacionarios ARMA tienen memoria corta en el sentido que su
función de autocorrelación simple decae exponencialmente. En el ejemplo
anterior, la autocorrelación teórica se ajusta adecuadamente a la
auntocorrelación simple en los primeros rezagos. Sin embargo, para grandes
rezagos la autocorrelación simple decae mucho más lentamente que la
autocorrelación teórica.
• Cuando la autocorrelación simple decae muy lentamente, tradicionalmente los
procesos estacionarios ARMA terminan con un número excesivo de parámetros.
En el ejemplo anterior fueron necesarios 37 coeficientes autoregresivos para
capturar la dependencia en los datos.
1 5
Figura 1: ACF de los retornos absolutos diarios absolutos de la serie S&P500
Considerando las observaciones anteriores, un proceso estacionario tiene memoria
larga, o un amplio rango de dependencia, si su función de autocorrelación se comporta
como:
(1.1)
Donde es una constante positiva y es un número real entre 0 y 1. De esta forma, la
función de autocorrelación de un proceso con memoria larga tiene una tasa de
decaimiento hiperbólica. De hecho, este decaimiento es tan lento que las
autocorrelaciones no son aditivas:
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1 6
∞ ∞ (1.2)
Para un proceso estacionario, la función de autocorrelación contiene la misma
información que su densidad espectral. En particular, la función de densidad espectral es
definida como:
∞∞ (1.3)
Donde w es la frecuencia de Fourier (Hamilton, 1994). De la ecuación (1.1), se puede
mostrar que:
(1.4)
Donde es una constante positiva. Así, para un proceso con memoria larga, la densidad
espectral tiende a infinito cuando la frecuencia tiende a cero. En la práctica no se utiliza
el coeficiente sino que se utiliza H o también llamado el coeficiente de Hurst (Hurst,
1951) para la medición de la memoria larga en .
Mientras mayor es la magnitud de H, mayor es la magnitud de la memoria que el
proceso estacionario tiene. Basado en la propiedad de escalamiento mostrada en la
ecuación (1) y la propiedad de dominio en la frecuencia de la ecuación (4), Granger y
Joyeux (1980) y Hosking (1981) independientemente mostraron que un proceso con
memoria larga puede también ser modelado peramétricamente extendiendo un proceso
integrado a un proceso fraccionalmente integrado. Lo anterior se modela de la siguiente
manera:
Donde L denota el operador de rezago, d el parámetro de diferenciación fraccional, es
el valor esperado de y es una perturbación estacionaria con media cero.
En la práctica, cuando una serie de tiempo es altamente persistente o parece ser no
estacionaria, por ejemplo d=1,se puede tomar la diferencia de la serie de tiempo una vez
y obtener estacionariedad. Sin embargo, para algunas series de tiempo económicas o
1 7
financieras altamente persistentes, esta solución, de diferenciar enteramente la serie
resulta ser demasiado. Lo anterior se verifica debido al hecho que la densidad espectral
se desvanece a frecuencia cero para la serie de tiempo diferenciada.
Para rescatar el hecho de que la serie posee memoria larga y evitar tomar una diferencia
entera de , se define entonces un d fraccional. El filtro de diferenciación fraccional es
definido como se muestra a continuación, para cualquier real .
Con coeficientes binomiales:
Notar que el filtro de diferenciación fraccional, puede ser tratado equivalentemente
como un filtro autoregresivo de orden infinito. Se puede mostrar que cuando
, no es estacionaria; cuando , es estacionaria y posee memoria
larga; cuando , es estacionaria y posee memoria corta.
1 8
Figura 2: ACF teórico de un proceso fraccionalmente integrado
Lo anterior puede observarse en la figura 2, donde se presentan los ACF teóricos de un
proceso fraccionalmente integrado.
Cuando una serie fraccionalmente integrada, tiene memoria larga, se puede demostrar
que:
De esta manera se pueden utilizar d y H indistintamente como una medida de la memoria
de una serie. Hosking (1981) mostró que la propiedad de escalamiento y la propiedad de
dominio en la frecuencia son satisfechas cuando .
d = 0.3
lags
ACF
0 20 40 60 80 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
d = -0.3
lags
ACF
0 20 40 60 80 100
-0.2
0.2
0.6
1.0
1 9
2 Descripción Teórica de los Estimadores1
2.1 Estimador de Whittle
Una metodología para obtener aproximaciones de las estimaciones por máxima
verosimilitud es basada en el cálculo del periodograma por medio de la trasformada
rápida de Fourier (FFT) y el uso de las aproximaciones de Whittle de la función
gausiana de log-verosimilitud. El cálculo de FFT tiene una complejidad numérica de
, estas aproximaciones producen algoritmos rápidos para el cómputo de la
estimación de parámetros.
Se supone el vector normalmente distribuido con media cero y
varianza . Luego la función log-verosimilitud dividida por el tamaño de la muestra
esta dada por:
(2.1)
La matriz de varianza covarianza puede ser expresada en términos de la densidad
espectral del proceso , de la siguiente manera:
Donde
Para obtener el método de Whittle, dos aproximaciones son realizadas:
Cuando , el primer término de la ecuación (2.1) se aproxima por:
1 Esta sección está basada principalmente en el trabajo realizado por Wilfredo Palma (2007).
2 0
Por otro lado el segundo término de la ecuación (2.1) es aproximado por:
Donde,
Es el periodograma de la serie . De esta forma la función log-verosimilitud es
aproximadamente:
(2.2)
La evaluación de la ecuación (2.2) requiere el cálculo de las integrales. Para simplificar
el cálculo, las integrales pueden ser substituidas por las sumas de Riemann:
y,
2 1
Donde, son las frecuencias de Fourier. Así, una versión discreta de la
función log-verosimilitud (2.2) es:
2.2 Método de Geweke y Porter-Hudak
Considerando el supuesto que la densidad espectral de un proceso estacionario puede ser
escrita como:
(2.3)
Se puede considerar el siguiente método de regresión para la estimación de los
parámetros propuesta por Geweke y Porter-Hudak en 1983.
Tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación 2.3 y evaluando la densidad
espectral en las frecuencias de Fourier , entonces se tiene que:
(2.4)
Por otro lado el logaritmo del periodograma puede ser escrito como:
(2.5)
Combinando las ecuaciones 2.4 y 2.5, se obtiene:
2 2
Y definiendo , , , y
Obteniéndose la siguiente ecuación de regresión:
En teoría se puede esperar que para frecuencias cercanas a cero (esto es para j=1,..m,
m<<n):
Entonces,
Es interesante notar que el tratamiento del error de este estimador, al provenir de una
derivación de ingeniería, pudiera no satisfacer los requerimientos estadísticos deseables.
Sin embargo, tal método debe cumplir con los supuestos estándares requeridos por la
literatura teórica econométrica. Este trabajo utiliza este método como comparación sin la
intensión de alterar la estructura del mismo.
El estimador de mínimos cuadrados del parámetro de memoria larga d es dado por:
2.3 Método de Rango Escalado
Considerando la muestra de un proceso estacionario de memoria larga y
sea la suma parcial de , esto es para t=1,…,n y sea
la varianza de la muestra donde .
2 3
El estadístico de rango escalado (R/S) introducido por Hurst en 1951 es definido de la
siguiente forma:
Este estadístico satisface las siguientes propiedades asintóticas como lo mostró
Mandelbrot (1975, 1976).
Teorema 2.1
Sea un proceso estacionario con media cero tal que es ergódico y:
La convergencia es en distribución cuando , donde es un movimiento
browniano fraccional. Se define , luego:
Convergiendo en distribución cuando , donde
Notar que de de donde se puede
obtener un estimador del parámetro de memoria larga d por medio de mínimos
cuadrados, de la misma forma que en el caso del estimador GPH visto en la sección
anterior.
2.4 Método de Wavelet
Wavelet es una función real integrable que satisface:
2 4
Una función wavelet tiene n momentos si:
Para p=0,1,…,n-1.
Considere la siguiente familia de funciones wavelet definida por:
Para . En este contexto, los términos y son usualmente denominados “octava”
y “escalar” respectivamente. Se puede demostrar que:
La transformada discreta de wavelet (DWT) de un proceso es definida de la
forma:
Para .
Siempre que la familia forme una base ortogonal, esto es:
Para todo , excepto para , se obtiene la siguiente representación del
proceso :
Considerando el coeficiente de la transformada discreta de wavelet y definiendo el
estadístico:
2 5
Donde es el número de coeficientes en la octava j (posibles de calcular). Veitch y
Abry (1999) muestran que:
Donde , con y es una variable aleatoria chi-cuadrado con grados
de libertad. Así tomando logaritmos se puede escribir:
Y considerando que el valor esperado y la varianza de una variable aleatoria es
dada por:
Donde es una función psi tal que y es una función
zeta de Riemann.
Definiendo , donde , así se
concluye que se satisface:
Por lo tanto, se puede escribir la siguiente regresión heterocedástica:
2 6
Donde , y . Así una vez estimado se obtiene la
estimación del parámetro de memoria larga d por medio de . Además la estimación
de la varianza de es provista por la estimación de la varianza de donde
.
3 Estudio simulado y empírico de los diferentes estimadores
3.1 Simulación del comportamiento de diferentes estimadores
En esta sección se analiza el comportamiento de los estimadores descritos en la sección
anterior a través del software S-plus. Lo anterior se realiza simulando una serie con
memoria larga ( ) y estimando el parámetro mediante los distintos métodos.
Para estos efectos se realiza un barrido del largo de la serie desde 50 observaciones hasta
20.000, de esta forma se analiza la estabilidad del estimador según el largo de la serie.
Este punto es particularmente útil para la aplicación de los métodos a series financieras y
analizar la estacionariedad de la serie a partir de submuestras. Sin embargo, lo anterior
en estricto rigor es válido sólo para . La idea aquí es contextualizar
intuitivamente los rangos de la simulación de Montecarlo.
3.1.1 Método de Whittle
Al realizar la simulación con el método de Whittle, se aprecia una variabilidad del
estimador para series cortas aunque es una variabilidad menor considerando la escala del
eje, esta variabilidad va disminuyendo y ya en una serie con un largo de 10000
observaciones no se aprecia una mayor diferencia con respecto a una serie de 20000
observaciones.
2 7
Figura 3: Estabilidad del Estimador Whittle
x
dwittle
0 5000 10000 15000 20000 25000
0.30
0.35
0.40
0.45
3.1.2 Método GPH
Al realizar la simulación con el método de GPH, se aprecia una mayor variabilidad del
estimador durante los distintos largos de la serie. La variabilidad del estimador se va
atenuando y ya en una serie con un largo de 10000 observaciones no se aprecia una
mayor diferencia con respecto a una serie de 20000 observaciones al igual que en el caso
del estimador de Whittle.
Figura 4: Estabilidad del estimado GPH
x
dgph
0 5000 10000 15000 20000 25000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
2 8
3.1.3 Estimador R/S
Al realizar la simulación con el método de R/S, se aprecia una variabilidad del estimador
durante las series muy cortas, luego el estimador se vuelve estable, pero oscila alrededor
de un valor distinto de .
Figura 5: Estabilidad del estimador R/S
x
drs
0 5000 10000 15000 20000 25000
0.15
0.20
0.25
0.30
3.1.4 Estimador de Wavelet
Al realizar la simulación con el método de Wavelet, se aprecia una oscilación del
estimador durante las series cortas, luego rápidamente el estimador se vuelve estable,
pero oscila con una amplitud pequeña alrededor del verdadero valor de .
2 9
Figura 6: Estabilidad del estimador Wavelet
El ejercicio realizado en esta sección será de mucha utilidad para definir el límite
superior de la simulación de Montecarlo, la cual se presenta en la sección cuatro de este
trabajo. Observando el desempeño de los estimadores para diferentes largos de series se
puede apreciar que no hay una ganancia marginal importante de considerar series más
allá de las 10000 observaciones para el estudio de las propiedades asintóticas de los
estimadores.
Todos los estimadores con la excepción del estimador R/S (aunque es estable en lo que
se refiere a variabilidad) están centrados en d=0.35, pero hay algunos bastante más
ruidosos que otros, como es el caso del estimador GPH ya que con una serie de largo
25,000 la variabilidad respecto al valor real aún es importante.
3.2 Simulación Empírica de los Estimadores
Para esta simulación empírica se utilizan doce diferentes retornos absolutos de series
financieras las cuales son PHLXGYS, GOLD, NICKEL, COPPER, SWENERGY,
x
dwavelet
0 5000 10000 15000 20000 25000
0.2
0.3
0.4
0.5
3 0
PHLXUTI, AMEXOIL, CHEVRON, USENERGYC, NEWMONT, BARRICK,
ALCOAINC, una explicación de estas series se provee en el Anexo 1.
Los coeficientes ACF de los retornos absolutos para cada serie y las estimaciones del
parámetro de diferenciación fraccional de las distintas series son mostrados. Para las
estimaciones se utiliza una ventana móvil de 500 observaciones.
3.2.1 ACF de retornos absolutos de la serie PHLXUTI
Se puede apreciar la memoria larga de esta serie pues el proceso que mejor se ajusta
requiere 40 coeficientes autorregresivos para capturar la dependencia de los datos.
Figura 7: ACF para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
Utilizando el estimador GPH para los retornos absolutos de la serie estudiada a través de
una ventana móvil de 500 datos se obtiene la Figura 8. Este ejercicio se realiza para
obtener la volatilidad o variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional que
define la estructura de la serie con memoria larga.
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
3 1
Figura 8: Estimador GPH para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
utilizando una ventana móvil de 500 datos
La variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador GPH muestra que en general durante toda la serie el estimador
oscila en el intervalo estacionario pero en varios momentos la serie es no
estacionaria. Además, en algunos instantes el estimador muestra que la serie tendría
memoria corta, por lo cual este estimador arrojaría que la serie presenta momentos de
estacionariedad con memoria corta, otros con memoria larga y otros no estacionarios.
Utilizando el estimador R/S para los retornos absolutos de la serie estudiada a través de
una ventana móvil de 500 datos se obtiene la Figura 9. Con el mismo interés de obtener
la volatilidad o variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional que define la
estructura de la serie con memoria larga.
La variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador R/S muestra que en general durante toda la serie el estimador
oscila en el intervalo estacionario siendo la serie bajo la óptica de este
estimador siempre estacionaria como se aprecia en la Figura 9.
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
3 2
Figura 9: Estimador R/S para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
utilizando una ventana móvil de 500 datos
Ahora, utilizando el estimador de Wavelet (Figura 10) y Whittle (Figura 11) para los
retornos absolutos de la serie estudiada a través de una ventana móvil de 500 datos se
obtiene estas figuras. Con el mismo interés de obtener la volatilidad o variabilidad del
parámetro de diferenciación fraccional que define la estructura de la serie con memoria
larga.
La variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador Wavelet muestra que en general durante toda la serie el
estimador oscila en el intervalo estacionario siendo la serie bajo la óptica de este
estimador estacionaria con memoria larga exceptuando un episodio al comienzo de la
estimación y uno hacia el final de la estimación donde la serie es estacionaria pero con
memoria corta, como se aprecia en la Figura 10.
La variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador Whittle muestra que en general durante toda la serie el
estimador oscila en el intervalo estacionario siendo la serie bajo la óptica de este
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
0.10
0.15
0.20
3 3
estimador estacionaria con memoria larga, exceptuando un episodio al comienzo de la
estimación donde el estimador muestra memoria corta, como se aprecia en la Figura 11.
Figura 10: Estimador Wavelet para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
utilizando una ventana móvil de 500 datos
Figura 11: Estimador Whittle para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
utilizando una ventana móvil de 500 datos
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
0.0
0.1
0.2
0.3
3 4
Figura 12: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
En la Figura 12 se muestran las discrepancias entre los distintos estimadores
acercándose o convergiendo en algunas ocasiones pero en general, se aprecia una
tendencia y un nivel distinto entre los diferentes estimadores, es decir hay cierta
divergencia entre las distintas filosofías de estimación. Para un mismo instante de
estimación un estimador considera que la serie es estacionaria con memoria corta, otro
estimador muestra que la serie es estacionaria con memoria larga y otro estimador
muestra que la serie no es estacionaria.
3.2.2 ACF de retornos absolutos de la serie NICKEL
Se puede apreciar que esta serie no posee memoria larga y este proceso es mostrado
precisamente para hacer el contrapunto de la interpretación de los estimadores acerca del
proceso en cuestión. La idea es ver si lo reflejado en el ejercicio de la sección anterior se
repite nuevamente en esta serie de retornos absolutos que ha sido seleccionada. Lo
interesante de notar a medida que avanza este trabajo, es que las diferencias de
estimación son considerables. Además tal estimación nos puede llevar a error al
3 5
considerar una serie con memoria larga variable o estable como estacionaria o no
estacionaria.
Figura 13: ACF para los retornos absolutos de la serie NICKEL
Utilizando el estimador GPH para los retornos absolutos de la serie estudiada a través de
una ventana móvil de 500 datos se obtiene la Figura 14. Este ejercicio se realiza
nuevamente para obtener la volatilidad o variabilidad del parámetro de diferenciación
fraccional que define la estructura de la serie con memoria larga.
Lo interesante es que durante un poco más de las primeras 500 ventanas de estimación el
estimador GPH considera que la serie es estacionaria con memoria corta. Hacia el final
de este proceso de estimación el estimador muestra que la serie no es estacionaria. En el
resto de las ventanas el estimador GPH indica que la serie es estacionaria y que también
posee memoria larga.
Figura 14: Estimador GPH para los retornos absolutos de la serie NICKEL
utilizando una ventana móvil de 500 datos
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
3 6
Utilizando el estimador R/S para los retornos absolutos de la serie estudiada a través de
una ventana móvil de 500 datos se obtiene la Figura 15. Con el mismo interés de obtener
la volatilidad o variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional que define la
estructura de la serie con memoria larga.
La variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador R/S muestra que en general durante toda la serie el estimador
oscila en el intervalo estacionario siendo la serie bajo la óptica de este
estimador siempre estacionaria como se aprecia en la Figura 15.
Ahora, utilizando el estimador de Wavelet (Figura 16) para los retornos absolutos de la
serie estudiada a través de una ventana móvil de 500 datos se obtiene esta figura. La
variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador Wavelet muestra que en general durante toda la serie el
estimador oscila en el intervalo estacionario siendo la serie bajo la óptica de
este estimador siempre estacionaria exceptuando un episodio al final de la estimación
como se aprecia en la Figura 16, donde si bien la serie es estacionaria tendría memoria
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
3 7
corta. En las últimas 1000 ventanas de estimación en promedio el parámetro de
diferenciación fraccional estaría en cero (para una recta aproximada).
Figura 15: Estimador R/S para los retornos absolutos de la serie NICKEL
utilizando una ventana móvil de 500 datos
Figura 16: Estimador Wavelet para los retornos absolutos de la serie NICKEL
utilizando una ventana móvil de 500 datos
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
0.05
0.10
0.15
0.20
3 8
Figura 17: Estimador Whittle para los retornos absolutos de la serie NICKEL
utilizando una ventana móvil de 500 datos
La variabilidad del parámetro de diferenciación fraccional asociada a la estimación
realizada por el estimador Whittle muestra que durante toda la serie el estimador oscila
en el intervalo estacionario siendo la serie bajo la óptica de este estimador
estacionaria con memoria larga, exceptuando un episodio en la mitad del proceso de
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
-0.1
0.0
0.1
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
-0.05
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
3 9
estimación donde la series es estacionaria con memoria corta, como se aprecia en la
Figura 17. El comportamiento de este estimador es muy similar al de Wavelet
promediando en las últimas 100 ventanas de estimación un valor para el parámetro de
diferenciación fraccional por debajo de 0.05.
Finalmente en la Figura 18, se muestran las diferencias encontradas paras las diferentes
estimaciones del parámetro de diferenciación fraccional. Apreciándose divergencia en
todo momento entre la mayoría de los estimadores aunque algunos como Whittle y
Wavelet al menos siguen tendencias similares.
Figura 18: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie NICKEL
4 0
3.2.3 Análisis empírico de las series financieras escogidas2
En esta sección se procede a agrupar las estimaciones del parámetro de diferenciación
fraccional para cada una de las doce series de retornos absolutos escogidas para tales
efectos. El objetivo es mirar en perspectiva la convergencia o divergencia de entre
distintos estimadores para una misma serie de tiempo.
El código de colores es el siguiente: El estimador de GPH es de color rojo. El estimador
R/S es de color verde. El estimador de Wavelet es de color negro y el estimador de
Whittle es de color amarillo. Existe también un estimador de color azul, el cual es el
estimador Periodograma Estimado, el cual tiene un comportamiento muy similar al
estimador GPH por tal razón fue excluido de los análisis ya que las conclusiones
obtenida para el estimador GPH son válidas también para este estimador.
3.2.3.1 Estimadores para la serie ALCOAINC
Es interesante notar que al realizar las estimaciones a través de las diferentes técnicas
expuestas anteriormente para la serie ALCOAIC, existe una gran diferencia entre los
estimadores. De hecho alrededor de la ventana de estimación 2000, los estimadores
tienden a converger o al menos acercarse. Por otro lado, en la mayor parte de la
estimación, en general los estimadores están entregando valores distintos.
2 El análisis completo en mostrado en el Anexo 2.
4 1
Figura 19: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
ALCOAINC
3.2.3.2 Estimadores para la serie AMEXOIL y BARRICK
Al realizar las estimaciones a través de las técnicas expuestas en este estudio para la
serie AMEXOIL, existe una gran diferencia entre los estimadores. En esta ocasión
alrededor de la ventana 2000 y 3500, los estimadores tienden a converger o al menos
acercarse (Figura 20). Pero en el resto de las ocasiones los estimadores son muy
distintos. Una conclusión similar se obtiene de la serie de retornos absolutos para
BARRICK, como se muestra en la Figura 21.
4 2
Figura 20: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
AMEXOIL
Figura 21: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
BARRICK
4 3
3.2.3.3 Estimadores para las series restantes: CHEVRON, COPPER, GOLD,
NEWMONT, PHLXGYS, SWENERGY y USENERGY
Al realizar las estimaciones para las distintas series, la constante es la existencia de una
gran diferencia entre los estimadores. Esto se aprecia desde la Figura 22 a la Figura 28.
El punto no es menor y es por esto que los gráficos se muestran en el cuerpo de este
trabajo, ya que la diferencia tan importante apreciada entre los estimadores obliga a una
pregunta práctica. Siendo estos estimadores tan populares en la literatura, al utilizarlos
en estas series financieras ¿No será de crucial importancia saber quien posee un mejor
desempeño? Esta es la pregunta que motiva la siguiente sección y es realizar una
simulación de Montecarlo para tales efectos
Figura 22: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
CHEVRON
Figura 23: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie COPPER
4 4
Figura 24: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie GOLD
Figura 25: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie NEWMONT
Figura 26: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
PHLXGYS
4 5
Figura 27: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
SWENERGY
Figura 28: Diferentes estimadores para los retornos absolutos de la serie
USENERGY
3.2.3.4 Conclusiones Parciales
En esta sección se ha deseado plantear la inquietud acerca de los distintos resultados
obtenido a través de métodos de estimación que pertenecen a distintas filosofías de
concebir el problema de estimación del parámetro de diferenciación fraccional en series
de tiempo que pueden poseer memoria larga.
4 6
Los resultados dispares obtenidos en esta sección dan cuenta de la existencia de
estimadores que poseen un mejor desempeño que otros, la pregunta que surge
inmediatamente es ¿Cuál(es) de estos estimadores son más confiables?
En el marco de este estudio, se pretende responder a esta pregunta a través de una
simulación de Montecarlo desarrollada en la siguiente sección.
4 7
4 Simulación de Montecarlo
Se realiza una Simulación de Montecarlo para los diferentes métodos revisados en este
trabajo. La simulación se realiza para diferentes largos de series con memoria larga, esto
es, se consideran largos de series y un número
repeticiones. Para diferentes parámetros de diferenciación fraccional
. Para los efectos de simulación consideraremos puntos extremos y uno
interior según el resultado Hosking (1981) para .
4.1 Método de Whittle
Utilizando el método de Whittle se realiza una simulación de Montecarlo con el software
S-plus, para diferentes largos de la serie, para indicar sus propiedades asintóticas. En el
caso del estimador de Whittle se aprecia en los histogramas de la Figura 29 y en la Tabla
1, para d=0.05 un comportamiento asintóticamente normal con una disminución de
varianza y centrándose en un punto muy cercano al valor real simulado, lo cual muestra
una disminución asintótica del sesgo.
Figura 29: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
Whittle para d=0.05 considerando N=500 y N=10000
-0.05 0.0 0.05 0.10 0.15
010
20
30
dwhit (n=500, d=0.05)
0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
05
10
15
20
25
30
dwhit (n=10000, d=0.05)
4 8
De igual forma al caso anterior, para la simulación de Montecarlo con un valor real
simulado d=0.35 en la Figura 30 se muestra un comportamiento asintóticamente normal
con una disminución de la varianza y del sesgo de estimación centrándose en un valor
próximo al real simulado, como se puede apreciar en la Tabla 1.
Figura 30: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
Whittle para d=0.35 considerando N=500 y N=10000.
Figura 31: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
Whittle para d=0.45 considerando N=500 y N=10000.
0.25 0.30 0.35 0.40 0.45
05
10
15
20
25
30
dwhit (n=500, d=0.35)
0.33 0.34 0.35 0.36 0.37
05
10
15
20
25
30
dwhit (n=10000, d=0.35)
0.35 0.40 0.45 0.50
010
20
30
40
dwhit (n=500, d=0.45)0.42 0.44 0.46 0.48
010
20
30
dwhit (n=10000, d=0.45)
4 9
Finalmente para el cado d=0.45 el comportamiento también es asintóticamente normal
(Figura 31) con una disminución considerable de varianza y sesgo a medida que
aumenta el largo de la serie estimada como se aprecia en la Tabla 1.
Tabla 1: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y
diferente número de repeticiones
Estimador dreal n dwit_est Desv. Est. ECM
dWhittle
0.05
100 -0.0047 0.0952 0.0120
500 0.0357 0.0373 0.0016
3000 0.0470 0.0136 0.0002
10000 0.0492 0.0076 0.0001
0.35
100 0.3024 0.0920 0.0107
500 0.3415 0.0368 0.0014
3000 0.3483 0.0146 0.0002
10000 0.3491 0.0086 0.0001
0.45
100 0.3982 0.0896 0.0107
500 0.4446 0.0361 0.0013
3000 0.4501 0.0151 0.0103
10000 0.4504 0.0080 0.0001
Podemos señalar que el estimador de Whittle posee un comportamiento asintóticamente
Normal e insesgado, pudiendo destacarse la precisión de la estimación y la disminución
del error cuadrático medio.
4.2 Método de GPH
En el caso del estimador de GPH se aprecia en los histogramas de la Figura 32 y en la
Tabla 2, para d=0.05 un comportamiento asintóticamente normal con una disminución
de varianza y centrándose en un punto muy cercano al valor real simulado, lo cual
5 0
muestra una disminución asintótica del sesgo. La varianza en este caso está muy por
encima al caso anterior.
Figura 32: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de GPH
para d=0.05 considerando N=500 y N=10000
Asimismo, para la simulación de Montecarlo con un valor real simulado d=0.35 en la
Figura 33 se muestra un comportamiento asintóticamente normal con una disminución
de la varianza y del sesgo de estimación centrándose en un valor próximo al real
simulado. Se puede apreciar en la Tabla 2 que la varianza también es mayor al caso
anterior con el estimador de GPH, asociada a un mayor error cuadrático medio.
Figura 33: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de GPH
para d=0.35 considerando N=500 y N=10000
-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
05
10
15
20
25
dgph (n=500, d=0.05)
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
010
20
30
dgph (n=10000, d=0.05)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
05
10
15
20
25
30
dgph (n=500, d=0.35)
0.2 0.3 0.4 0.5
05
10
15
20
dgph (n=10000, d=0.35)
5 1
Finalmente para el cado d=0.45 el comportamiento también es asintóticamente normal
(Figura 34) con una disminución considerable de varianza y sesgo a medida que
aumenta el largo de la serie estimada como se aprecia en la Tabla 2.
Figura 34: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de GPH
para d=0.45 considerando N=500 y N=10000
Tabla 2: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y
diferente número de repeticiones
Estimador dreal n dgph_est Desv. Est. ECM
d GPH
0.05
100 0.0604 0.2939 0.0863
500 0.0361 0.1620 0.0264
3000 0.0501 0.0925 0.0085
10000 0.0483 0.0684 0.0047
0.35
100 0.3537 0.2890 0.0833
500 0.3596 0.1666 0.0278
3000 0.3502 0.0962 0.0092
10000 0.3502 0.0672 0.0045
0.45
100 0.4743 0.2881 0.0834
500 0.4728 0.1643 0.0275
3000 0.4618 0.0995 0.0100
10000 0.4587 0.0708 0.0051
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
05
10
15
20
25
30
dgph (n=500, d=0.45)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
010
20
30
dgph (n=10000, d=0.45)
5 2
Podemos concluir que el estimador de GPH posee un comportamiento asintóticamente
Normal e insesgado, pudiendo destacarse la precisión de la estimación y la disminución
del error cuadrático medio. Pero comparado al caso del estimador de Whittle el
estimador GPH posee mayor varianza asociada principalmente a un mayor error
cuadrático medio del último estimador.
4.3 Método de R/S
En el caso del estimador de R/S se aprecia en los histogramas de la Figura 35 y en la
Tabla 3, para d=0.05 un comportamiento asintóticamente normal con una disminución
de varianza pero con un sesgo muy importante (sobre el 100%), lo cual muestra una
persistencia asintótica del sesgo. La varianza en este caso está explicada casi
exclusivamente por el sesgo.
Figura 35: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
R/S para d=0.05 considerando N=500 y N=10000
Como en el caso anterior pero para la simulación de Montecarlo con un valor real
simulado d=0.35 en la Figura 36 se muestra un comportamiento asintóticamente normal
con una disminución de la varianza pero con un sesgo muy importante (sobre el 100%),
0.05 0.10 0.15 0.20
010
20
30
40
drs (n=500, d=0.05)
0.10 0.11 0.12 0.13
010
20
30
40
drs (n=10000, d=0.05)
5 3
lo cual muestra una persistencia asintótica del sesgo. La varianza en este caso está
explicada casi exclusivamente por el sesgo.
Figura 36: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
R/S para d=0.35 considerando N=500 y N=10000
Figura 37: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
R/S para d=0.45 considerando N=500 y N=10000
Finalmente para el cado d=0.45 el comportamiento también es asintóticamente normal
(Figura 37) con una disminución considerable de varianza pero el sesgo es una constante
0.20 0.25 0.30 0.35
010
20
30
40
drs (n=500, d=0.35)
0.26 0.27 0.28 0.29
010
20
30
40
drs (n=10000, d=0.35)
0.25 0.30 0.35 0.40
010
20
30
40
drs (n=500, d=0.45)
0.31 0.32 0.33 0.34
010
20
30
40
drs (n=10000, d=0.45)
5 4
en este estimador (Wang et al, 2006) ya que a medida que aumenta el largo de la serie
estimada como se aprecia en la Tabla 3, el sesgo no desaparece.
Tabla 3: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y
diferente número de repeticiones
Estimador dreal n drs_est Desv. Est. ECM
d R/S
0.05
100 0.1502 0.0826 0.0169
500 0.1351 0.0281 0.0080
3000 0.1246 0.0104 0.0057
10000 0.1195 0.0058 0.0049
0.35
100 0.2455 0.0933 0.0196
500 0.2641 0.0268 0.0081
3000 0.2717 0.0106 0.0062
10000 0.2769 0.0062 0.0054
0.45
100 0.2758 0.0894 0.0383
500 0.3019 0.0269 0.0227
3000 0.3157 0.0104 0.0181
10000 0.3230 0.0058 0.0162
Podemos concluir que el estimador de R/S posee un comportamiento asintóticamente
Normal pero sesgado, con un alto error cuadrático medio.
4.4 Método de Wavelet
En el caso del estimador de Wavelet se aprecia en los histogramas de la Figura 38 y en
la Tabla 4, para d=0.05 un comportamiento asintóticamente normal con una disminución
de varianza y centrándose en un punto muy cercano al valor real simulado, lo cual
muestra una disminución asintótica del sesgo. Con un desempeño del estimador
comparable sólo con el estimados de Whittle.
5 5
Figura 38: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
Wavelet para d=0.05 considerando N=500 y N=10000
De igual forma al caso anterior, para la simulación de Montecarlo con un valor real
simulado d=0.35 en la Figura 39 se muestra un comportamiento asintóticamente normal
con una disminución de la varianza y del sesgo de estimación centrándose en un valor
próximo al real simulado, como se puede apreciar en la Tabla 4.
Figura 39: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
Wavelet para d=0.35 considerando N=500 y N=10000
-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
05
10
15
20
25
30
dwav (n=500, d=0.05)
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
05
10
15
20
25
dwav (n=10000, d=0.05)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
05
10
15
20
25
30
dwav (n=500, d=0.35)
0.30 0.32 0.34 0.36
010
20
30
40
dwav (n=10000, d=0.35)
5 6
Finalmente para el cado d=0.45 el comportamiento también es asintóticamente normal
(Figura 40) con una disminución considerable de varianza y sesgo a medida que
aumenta el largo de la serie estimada como se aprecia en la Tabla 4.
Figura 40: Histogramas para las estimaciones realizadas por el estimador de
Wavelet para d=0.45 considerando N=500 y N=10000
Tabla 4: Resultados de la simulación de Montecarlo para diferentes valores de d y
diferente número de repeticiones
Estimador dreal n dwav_est Desv. Est. ECM
d Wavelet
0.05
100 0.0300 0.3286 0.1081
500 0.0295 0.0802 0.0068
3000 0.0452 0.0221 0.0005
10000 0.0470 0.0107 0.0001
0.35
100 0.3009 0.3396 0.1175
500 0.3181 0.0739 0.0065
3000 0.3368 0.0216 0.0006
10000 0.3393 0.0119 0.0003
0.45
100 0.4004 0.3355 0.1148
500 0.4194 0.0786 0.0071
3000 0.4352 0.0229 0.0007
10000 0.4376 0.0113 0.0003
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
05
10
15
20
25
30
dwav (n=500, d=0.45)
0.40 0.42 0.44 0.460
10
20
30
40
dwav (n=10000, d=0.45)
5 7
Podemos señalar que el estimador de Wavelet posee un comportamiento asintóticamente
Normal e insesgado, pudiendo destacarse la precisión de la estimación y la disminución
del error cuadrático medio.
4.5 Tabla resumen de resultados
Estimador dreal n dwit_est Desv. Est. ECM
dWhittle
0.05
100 -0.0047 0.0952 0.0120
500 0.0357 0.0373 0.0016
3000 0.0470 0.0136 0.0002
10000 0.0492 0.0076 0.0001
0.35
100 0.3024 0.0920 0.0107
500 0.3415 0.0368 0.0014
3000 0.3483 0.0146 0.0002
10000 0.3491 0.0086 0.0001
0.45
100 0.3982 0.0896 0.0107
500 0.4446 0.0361 0.0013
3000 0.4501 0.0151 0.0103
10000 0.4504 0.0080 0.0001
d R/S
0.05
100 0.1502 0.0826 0.0169
500 0.1351 0.0281 0.0080
3000 0.1246 0.0104 0.0057
10000 0.1195 0.0058 0.0049
0.35
100 0.2455 0.0933 0.0196
500 0.2641 0.0268 0.0081
3000 0.2717 0.0106 0.0062
10000 0.2769 0.0062 0.0054
0.45
100 0.2758 0.0894 0.0383
500 0.3019 0.0269 0.0227
3000 0.3157 0.0104 0.0181
10000 0.3230 0.0058 0.0162
d GPH 0.05
100 0.0604 0.2939 0.0863
500 0.0361 0.1620 0.0264
3000 0.0501 0.0925 0.0085
5 8
10000 0.0483 0.0684 0.0047
0.35
100 0.3537 0.2890 0.0833
500 0.3596 0.1666 0.0278
3000 0.3502 0.0962 0.0092
10000 0.3502 0.0672 0.0045
0.45
100 0.4743 0.2881 0.0834
500 0.4728 0.1643 0.0275
3000 0.4618 0.0995 0.0100
10000 0.4587 0.0708 0.0051
d Wavelet
0.05
100 0.0300 0.3286 0.1081
500 0.0295 0.0802 0.0068
3000 0.0452 0.0221 0.0005
10000 0.0470 0.0107 0.0001
0.35
100 0.3009 0.3396 0.1175
500 0.3181 0.0739 0.0065
3000 0.3368 0.0216 0.0006
10000 0.3393 0.0119 0.0003
0.45
100 0.4004 0.3355 0.1148
500 0.4194 0.0786 0.0071
3000 0.4352 0.0229 0.0007
10000 0.4376 0.0113 0.0003
4.6 Conclusiones parciales
En esta sección se pudo apreciar el comportamiento y desempeño de los estimadores
estipulados a estudiar en este trabajo. Considerando diferentes largos de las series a
estimar por los distintos estimadores con el fin de capturar el comportamiento asintótico,
el sesgo asintótico y el error cuadrático medio.
En este contexto se pudo ver que el peor rendimiento asociado a un fuerte sesgo, el cual
es persistente asintóticamente, lo presenta el estimador R/S. Aunque este resultado ya es
conocido en la literatura.
Un rendimiento medio, aún cuando muestra una precisión promedio de estimación, lo
muestra el estimador GPH, ya que posee la mayor varianza de todos los estimadores,
5 9
con lo cual el intervalo de confianza de este estimador, si bien es centrado en el valor
real simulado, es mayor.
Los estimadores más eficientes, producto de este estudio, son los estimadores de Whittle
y Wavelet los cuales muestran las propiedades deseables de un estimador esto es un
comportamiento asintótico insesgado y de varianza mínima.
6 0
5 Conclusiones y trabajos futuros
En el marco de este trabajo, se ha realizado una ilustración teórica y empírica de cuatro
estimadores extensamente utilizados en la literatura de series con memoria larga. Estos
estimadores son Whittle, R/S, GPH y Wavelet.
Se he planteado la inquietud acerca de la relevancia que adquiere un estimador preciso y
las diferencias sustanciales que se producen debido a la heterogeneidad de filosofías de
estimación de cada uno de los estimadores, lo cual es particularmente relevante pues,
mientras un estimador pudiera estar indicando estacionariedad y memoria corta, otro
estimador puede mostrar para la misma estimación estacionariedad y memoria larga,
mientras un tercer estimador muestra no estacionariedad.
La literatura, muestra estudios realizados a diferentes series de retorno y volatilidad, sin
necesariamente cuestionarse (en general) si el estimador utilizado es la mejor alternativa.
Este estudio ha aplicado los estimadores bajo estudio a doce diferentes series de retornos
absolutos con el fin de obtener una visión generalizada, y en este ejercicio la diferencia
obtenida en la estimación del parámetro de diferenciación fraccional es notable.
El paso siguiente conduce naturalmente a la simulación de Montecarlo realizada en la
sección cuatro de este trabajo, cuya dimensión de operación fue validada anteriormente
en la sección tres, lo cual nos permite el estudio de las propiedades asintóticas de los
estimadores. Concluyendo que los estimadores de Whittle y Wavelet son muy parecidos
y presentan un desempeño muy superior a los restantes estimadores.
Es debido a la necesidad de precisión del proceso de memoria larga que en casos
probables de extensión de este trabajo como manejo de portafolio, consideración de
memoria larga ya sea por heterogeneidad de los trader en los horizontes de inversión o
por la memoria de la medida de volatilidad o siguiendo la literatura cuyo interés es
pronosticar retornos de largo plazo, entre otros usos, que un análisis de la memoria larga
de un proceso se hace fundamental y de vital importancia para la toma de decisiones. En
este sentido los modelos tradicionales no son efectivos por diversos motivos explicados
a lo largo de este trabajo, por lo cual utilizarlos redunda en un error sistemático.
6 1
Una extensión interesante es el caso del manejo de un portafolio, si por ejemplo la
medida de volatilidad utilizada en el manejo del riesgo en VaR es entendida como un
proceso de memoria larga, la precisión de la modelación del proceso de volatilidad se
torna crucial. Pues un análisis erróneo podría conducir a decisiones sub óptimas de toma
de riesgo ya sea, tomando un excesivo riesgo o el caso contrario sub invirtiendo.
Por otro lado, siguiendo la literatura de pronósticos de retornos de mercado de largo
plazo, nuevamente la precisión del estimador se hace fundamental. Ya que incluso
realizando predicciones fuera de muestra, nada asegura que los retornos del mercado
sigan el mismo proceso a través de periodos de tiempo. En este punto no se está
hablando de quiebres estructurales, sino de fluctuaciones de la memoria del proceso.
Conocer la historia del proceso en torno al comportamiento de la memoria de dicho
proceso y entender cual es el estimador del proceso que mejor se ajusta a la serie
permitiría hacer más fidedigno el análisis fuera de muestra.
6 2
6 Bibliografía Consultada
Barkoulas, J., Baum, C., Travlos, N. (2000)”Long memory in the Greek stock market”.
Applied Financial Economics, v10, pp. 177-184.
Beran, J. (1994). Statistics for Long Memory Processes, Chapman and Hall, New York.
Connor, Jeff, Rossiter, Rosemary (2005): “Wavelet Transforms and Commodity Price”.
Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, Vol. 9, No 1, Art. 6.
Dittmann, Igolf (1998): “Residual-Based Tests For Fractional Cointegration: A Monte
Carlo study”, Journal of Time Series Analysis, Vol. 21, No 6.
Fernandez, V. (2006): “The CAPM and value at risk at different time-scales”, Int. Rev.
Financial Anal. 15 (3) 203–219.
Fernandez, V.,Lucey, B. (2007): “Portfolio management under sudden changes in
volatility and heterogeneous investment horizons”. Physica A 375, 612–624
Geweke, J., and Porter-Hudak, S. (1983). “The Estimation and Application of Long
Memory Time Series Models”, Journal of Time Series Analysis, 4, 221-237.
Henry, O. (2002) “Long memory in stock returns: some international evidence” Applied
Financial Economics, v12, 725-729.
Hosking, J. (1981) “Fractional differencing”. Biometrika, v68, pp. 165-176.
Hurst, H. E. (1951). “Long Term Storage Capacity of Reservoirs”, Transactions of the
American Society of Civil Engineers, 116, 770-799.
Hussain, S. and Elbergali, A. (1999): Fractional order estimation and testing, application
to Swedish temperature data, Environmetrics, 10, 339–349.
Karagiannis, T., Molle, M., and Faloutsos, M. (2004): Long-range dependence: ten years
of internet traffic modeling, IEEE Internet Computing, 8(5), 57–64.
6 3
Lo, A. W. (1991). “Long Term Memory in Stock Market Prices”, Econometrica, 59,
1279-1313.
Mandelbrot, B. (1975) “Limit theorems on the self-normalized range for weakly and
strongly dependent processes”. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete
31,271-285.
Mandelbrot, B. (1976) “Corrigendum: Limit theorems on the self-normalized range for
weakly and strongly dependent processes” [Z. Wahrscheinlichkeitstheorie Verw.
Gebiete 31 (1974/75), 27 1-2851. Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete
33,220.
McCarthy, Joseph, DiSario, Robert, Saraoglu, Hakan, Li, His (2004): “Test of Long-
range Dependence in Interest Rates Using Wavelet”, The Quarter Review of Economics
and Finance 44, 180-189.
Northworthy, John, Li, Ding, Gorener, Rifat (2000): “Wavelet-Based Analysis of Time
Series: An Export From Engineering to Finance”, IEE.
Palma, W. (2007) “Long-Memory Time Series: Theory and Methods”. WILEY-
INTERSCIENCE, Inc., Publication.
Percival, D. Walden, A. (2000) Wavelet Analysis for Time Series Analysis, Cambridge
University Press, Cambridge.
Veitch, D., Abry, P. (1999) “A wavelet-based joint estimator of the parameters of long-
range dependence”. Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on
Information Theory 45,878-897.
Wang, W., Van Gelder J., Chen, X. (2006) “Detecting long-memory:Montecarlo
simulations and application to daily streamflow processes” Journal Hydrology and Earth
System Sciences. Discuss 3, pp. 1603-1627.
Zivot, Eric, Wang, Jiahui (2005) “Modelling Financial Time Series with S-PLUS”,
Second Edition.
ANEXO 1
Tabla 5: Descripción de las series utilizadas
Serie Descripción Tipo de Datos Rango de Datos Página WEB
GOLD Randgold Resources Ltd. (GOLD) Diarios 1986-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=GOLD
PHLXUTI PHLX UTILITY SECTOR INDEX Diarios 1987-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=%5EUTY
PHLXGYS PHLX GOLD AND SILVER SECTOR
IND Diarios 1983-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=%5EXAU
NICKEL ETFS NICKEL ETFS NICKEL
(NICK.L) Diarios 1997-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=NICK.L
COPPER Copper (^YHOh711) Diarios 2001-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=%5EYHOh711
SWENERGY Swift Energy Co. (SFY) Diarios 1991-2006 http://finance.yahoo.com/q?s=SFY
AMEXOIL AMEX OIL INDEX (^XOI) Diarios 1983-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=%5EXOI
CHEVRON Chevron Corp. (CVX) Diarios 1970-2006 http://finance.yahoo.com/q?s=CVX
USENERGY US Energy Corp. (USEG) Diarios 1990-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=USEG
NEWMONT NEWMONT MIN CP (HLDG(NYSE:
NEM) Diarios 1983-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=NEM
BARRICK BARRICK GOLD CP(NYSE: ABX) Diarios 1985-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=ABX
ALCOAINC ALCOA INC(NYSE: AA) Diarios 1962-2007 http://finance.yahoo.com/q?s=AA
6 5
ANEXO 2 ALCOAINC
Figura 41: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie ALCOAINC
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000 10000
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000 10000
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000 10000
-0.05
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
6 6
CHEVRON Figura 42: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie CHEVRON
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 2000 4000 6000 8000
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
6 7
NEWMONT Figura 43: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie NEWMONT
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.4
-0.2
0.0
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
6 8
PHLXUTI Figura 44: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXUTI
AMEXOIL
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000
0.0
0.1
0.2
0.3
6 9
Figura 45: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie AMEXOIL
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
7 0
COPPER Figura 46: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie COPPER
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 200 400 600 800 1000
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 200 400 600 800 1000
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 200 400 600 800 1000
-0.05
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 200 400 600 800 1000
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
7 1
NICKEL Figura 47: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie NICKEL
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
-0.1
0.0
0.1
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 500 1000 1500 2000
-0.05
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
7 2
SWENERGY Figura 48: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie SWENERGY
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
-0.05
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
0.05
0.10
0.15
0.20
7 3
BARRICK Figura 49: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie BARRICK
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.5
0.0
0.5
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.4
-0.2
0.0
0.2
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.0
0.1
0.2
0.3
7 4
GOLD Figura 50: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie GOLD
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
7 5
PHLXGYS Figura 51: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie PHLXGYS
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.05
0.10
0.15
0.20
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0.0
0.1
0.2
0.3
7 6
USENERGY Figura 52: ACF y Estimadores para los retornos absolutos de la serie USENERGY
Lag
ACF
0 50 100 150 200
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador GPH para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador RS para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
0.10
0.15
0.20
0.25
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Wavelet para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Ventanas de aplitud 500 datos diarios
Estimador Whittle para los retornos absolutos
0 1000 2000 3000
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Top Related