Problema 36. Si {Fn}0 es la sucesion de Fibonacci, pruebe que4(2F 2n+1 F2n)2 + F2n(F 2n + 4F 2n+1 2F2n) + 6FnFn+1(4F 2n+1 F2n)

es un entero que es suma de dos cuadrados.

Solucion. La expresion dentro del radical es

(4F 2n+1 2F2n)[(4F 2n+1 2F2n) + F2n] + F2nF 2n + 6FnFn+1(4F 2n+1 F2n),

o equivalentemente,

(4F 2n+1 F2n)[(4F 2n+1 2F2n) + 6FnFn+1] + F2nF 2n .

Ahora bien, de la identidad F2n = 2FnFn+1 F 2n se tiene que la expresiondentro de los corchetes en la lnea anterior es 4F 2n+1 + 2FnFn+1 + 2F

2n y de

aqu que todo ese renglon se pueda reescribir como

(4F 2n+1 F2n)(4F 2n+1 + 2FnFn+1 + 2F 2n) + F2nF 2n .

Esto ultimo es equivalente a

(4F 2n+1 2FnFn+1 + F 2n)(4F 2n+1 + 2FnFn+1 + 2F 2n) + F2nFn2

y por tanto a

(4F 2n+1 + F2n)

2 4F 2nF 2n+1 + F 2n(4F 2n+1 2FnFn+1 + F 2n) + F2nF 2n= (4F 2n+1 + F

2n)

2

tal como deseabamos establecer.

Jose Hernandez Stgo,Oaxaca,Mexico.

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