TYPE OF EQUATION PROBLEM
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Problema 36. Si {F n } ≥0 es la sucesi´ on de Fibonacci, pruebe que 4(2F 2 n+1 − F 2n ) 2 + F 2n (F 2 n + 4F 2 n+1 − 2F 2n ) + 6 F n F n+1 (4F 2 n+1 − F 2n ) es un entero que es suma de dos cuadrados. Soluci ´ on. La expresi´ on dentro del radical es (4F 2 n+1 − 2F 2n )[(4F 2 n+1 − 2F 2n ) + F 2n ] + F 2n F 2 n + 6F n F n+1 (4F 2 n+1 − F 2n ), ´o equivalentemente, (4F 2 n+1 − F 2n )[(4F 2 n+1 − 2F 2n ) + 6 F n F n+1 ] + F 2n F 2 n . Ahora bien, de la identidad F 2n = 2F n F n+1 − F 2 n se tiene que la expresi´ on dentro de los corche tes en la l´ ınea anter ior es 4 F 2 n+1 + 2F n F n+1 + 2F 2 n y de aqu´ ı que tod o ese rengl´ on se pueda reescribir como (4F 2 n+1 − F 2n )(4F 2 n+1 + 2 F n F n+1 + 2 F 2 n ) + F 2n F 2 n . Esto ´ ultimo es equivalente a (4F 2 n+1 − 2F n F n+1 + F 2 n )(4F 2 n+1 + 2 F n F n+1 + 2 F 2 n ) + F 2n F n 2 y por tanto a (4F 2 n+1 + F 2 n ) 2 − 4F 2 n F 2 n+1 + F 2 n (4F 2 n+1 − 2F n F n+1 + F 2 n ) + F 2n F 2 n = (4F 2 n+1 + F 2 n ) 2 tal como deseabamos establecer. Jos´ e He rn´ andez Stgo, Oaxaca, M´ exic o. 1
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Problema 36. Si {Fn}0 es la sucesion de Fibonacci, pruebe que4(2F 2n+1 F2n)2 + F2n(F 2n + 4F 2n+1 2F2n) + 6FnFn+1(4F 2n+1 F2n)
es un entero que es suma de dos cuadrados.
Solucion. La expresion dentro del radical es
(4F 2n+1 2F2n)[(4F 2n+1 2F2n) + F2n] + F2nF 2n + 6FnFn+1(4F 2n+1 F2n),
o equivalentemente,
(4F 2n+1 F2n)[(4F 2n+1 2F2n) + 6FnFn+1] + F2nF 2n .
Ahora bien, de la identidad F2n = 2FnFn+1 F 2n se tiene que la expresiondentro de los corchetes en la lnea anterior es 4F 2n+1 + 2FnFn+1 + 2F
2n y de
aqu que todo ese renglon se pueda reescribir como
(4F 2n+1 F2n)(4F 2n+1 + 2FnFn+1 + 2F 2n) + F2nF 2n .
Esto ultimo es equivalente a
(4F 2n+1 2FnFn+1 + F 2n)(4F 2n+1 + 2FnFn+1 + 2F 2n) + F2nFn2
y por tanto a
(4F 2n+1 + F2n)
2 4F 2nF 2n+1 + F 2n(4F 2n+1 2FnFn+1 + F 2n) + F2nF 2n= (4F 2n+1 + F
2n)
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tal como deseabamos establecer.
Jose Hernandez Stgo,Oaxaca,Mexico.
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