국민대학교 기계•자동차 공학부 1
Numerical Intergration§1. Newton-Cotes Integration 1) Trapezoidal Rule 2) Simpson’s Rule 3) Unequal segments 4) Open Integration formula§2. Integration of Equations 1) Romberg integration 2) Gauss Quadrature
Numerical differentiation§1. High- Accuracy Differentiation formulas§2. Ridchardson Extrapolation§3. Unequally Spaced Data
Numerical Differentiation and Integration
국민대학교 기계•자동차 공학부 2
§1. Newton-Cotes Integration
b
a
b
an dxxfdxxfI )()(
nn
nn
n
xaxa
aaxf
1
1
10)(
b
a
b
adxxfdxxfI )()( 1
국민대학교 기계•자동차 공학부 3
세 개의 직선 선분 아래의 면적에 대한 적분의 근사값
폐구간 적분 공식 개구간 적분 공식
국민대학교 기계•자동차 공학부 4
1) Trapezoidal Rule
b
a
b
adxxfdxxfI )()( 1
)()()(
)()(1 axab
afbfafxf
2
)()()(
bfafabI
3))((''12
1abfEt 사다리꼴 적분 공식의 그래프적인 표현
# 사다리꼴 적분공식
국민대학교 기계•자동차 공학부 5
1) Trapezoidal Rule
xn
xn
x
x
x
xdxxfdxxfdxxfI
1
2
1
1
0)()()(
2
)()(
2
)()(
2
)()( 12110 nn xfxfh
xfxfh
xfxfhI
# 합성 사다리꼴 적분 공식
1
1
0 )()(2)(2
n
i
ni xfxfxfh
I
n
xfxfxfabI
n
i
ni
2
)()(2)()(
1
1
0
''12
)(2
3
fn
abEa
국민대학교 기계•자동차 공학부 6
2) Simpson’s Rule# Simpson 1/3 공식
b
a
b
adxxfdxxfI )()( 2
dxxfxxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxI
x
x
2
02
1202
101
2101
200
2010
21)(
))((
))(()(
))((
))(()(
))((
))((
6
)()(4)()(
210 xfxfxfabI
)(90
1 )4(5 fhEt )(2880
)( )4(5
fab
Et
)]()(4)([3
210 xfxfxfh
I
국민대학교 기계•자동차 공학부 7
2) Simpson’s Rule# 합성 Simpson 1/3 공식
xn
xn
x
x
x
xdxxfdxxfdxxfI
1
4
2
2
0)()()(
n
xfxfxfxf
abI
n
i
n
n
j
ji
3
)()(2)(4)(
)(
1
5,3,1
2
6,4,2
0
)4(4
5
180
)(f
n
abEa
6
)()(4)(2
6
)()(4)(2
6
)()(4)(2
12
432210
nnn xfxfxfh
xfxfxfh
xfxfxfhI
국민대학교 기계•자동차 공학부 8
2) Simpson’s Rule# Simpson 3/8 공식
b
a
b
adxxfdxxfI )()( 3
)(3)(3)(3)(8
33210 xfxfxfxf
hI
8
)()(3)(3)()(
3210 xfxfxfxfabI
)(6480
)( )4(5
fab
Et
국민대학교 기계•자동차 공학부 9
§2. Integration of Equations1) Romberg integration
합성 사다리꼴 적분 공식과 Simpson 공식들은 높은 효율성과 작은 오차를 필요로 하는 문제에 대해서는 부적합 .
Romberg 적분법은 이러한 결함을 제거시키기 위해서 설계된 기법 중 하나이다 .
국민대학교 기계•자동차 공학부 10
1) Romberg integration# Richardson 보외법
; 보다 정확한 근사값을 구하는 3 차로 계산하기위해 두개의 적분 추정값을
사용한다 .
)()( hEhII )()()()( 2211 hEhIhEhI
2
2
2
1
2
1
)(
)(
h
h
hE
hE
2
2
121 )()(
h
hhEhE
)()()()( 22
2
2
121 hEhIh
hhEhI
)()( 22 hEhII
221
212
)/(1
)()()(
hh
hIhIhE
''12
2 fhab
E
국민대학교 기계•자동차 공학부 11
)(3
1)(
3
412 hIhII
)(15
1)(
15
1612 hIhII
)(63
1)(
63
6412 hIhII
)()(1)/(
1)( 12
221
2 hIhIhh
hII
# Richardson 보외법
: 구간이 1/2 로 줄어든 경우
: 구간이 1/4 로 줄어든 경우
: 구간이 1/8 로 줄어든 경우
국민대학교 기계•자동차 공학부 12
1) Romberg integration# Romberg integration 알고리즘
14
41
1,1,11
,
k
kjkjk
kjII
I
I11 I12 I13 I14
I21 I22 I23
I31 I32
I41
1/3
4/3 16/15
1/15 1/63
64/63
%100,1
1,1,1
k
kka
I
II
국민대학교 기계•자동차 공학부 13
2) Gauss Quadrature
2
)()()(
bfafabI
(a) 와 같은 사다리꼴 적분공식은 양 끝점을 지나야 되기 때문에 큰 오차를 생성해 낸다 .
반면에 (b) 에서 처럼 고정된 기준점에 제약을 제외 시킨다면 곡선상에 있는 어떤 두 점을 연결하는 직선 아래의 면적을 자유롭게 계산 할 수 있게 된다 . Gauss구적법은 이러한 전략을 구현하는 기법중의 하나이다 .
국민대학교 기계•자동차 공학부 14
# Method of undetermined coefficients
2) Gauss Quadrature
)()( 10 bfcafcI
2/)(
2/)(10 1
ab
abdxcc
2/)(
2/)(1022
ab
abxdx
abc
abc
국민대학교 기계•자동차 공학부 15
# Method of undetermined coefficients
210
abcc
)(2
)(2
bfab
afab
I
abcc 10
022
10
ab
cab
c
2) Gauss Quadrature
국민대학교 기계•자동차 공학부 16
# 두점 Gauss-Legendre Formulas
2) Gauss Quadrature
)()( 1100 xfcxfcI
21)()(1
11100 dxxfcxfc
3/2)()(1
1
21100 dxxxfcxfc
0)()(1
11100 xdxxfcxfc
0)()(1
1
31100 dxxxfcxfc
국민대학교 기계•자동차 공학부 17
# 두 점 Gauss-Legendre Formulas
110 cc
...577350629.03
10
x
...577350629.03
11 x
)3
1()
3
1( ffI
2) Gauss Quadrature
국민대학교 기계•자동차 공학부 18
Numerical differentiation
§1. High Accuracy Differentiation Formulas
2
12
)('')(')()( h
xfhxfxfxf
iiii
)(2
)('')()()(' 21
hOhxf
h
xfxfxf
iiii
)()()(
)('1
hOh
xfxfxf
iii
)()(2)(
)(''2
12hO
h
xfxfxf
iii
국민대학교 기계•자동차 공학부 19
§1. High Accuracy Differentiation Formulas
)(2
)()(2)()()()(' 2
2
121hOh
h
xfxfxf
h
xfxfxf
iiiiii
)(2
)(3)(4)()(' 212
hOh
xfxfxfxf
iiii
h
xfxfxf
iii
)()()('
1
h
xfxfxfxf
iiii
2
)()(4)()('
12
전진차분에 의한 1 차 도함수 : 오차
)(hO
)( 2hO
국민대학교 기계•자동차 공학부 20
§1. High Accuracy Differentiation Formulas
후진차분에 의한 1 차 도함수 : 오차
h
xfxfxf
iii
)()()('
1
h
xfxfxfxf
iiii
2
)()(4)(3)('
21
)(hO
)( 2hO
중앙차분에 의한 1 차 도함수 : 오차
h
xfxfxf
iii
2
)()()('
11
h
xfxfxfxfxf
iiiii
12
)()(8)(8)()('
2112
)( 2hO
)( 4hO
국민대학교 기계•자동차 공학부 21
§2. Ridchardson Extrapolation
두 가지 도함수 추정법을 사용해서 보다 정확한 근사값을 구하는 방법 .
)]()([1)/(
1)( 12
221
2 hIhIhh
hII
)(3
1)(
3
412 hhII
)(3
1)(
3
412 hDhDD
국민대학교 기계•자동차 공학부 22
§3. Unequally Spaced Data
))((
2)()('
111
11
iiii
iii
xxxx
xxxxfxf
))((
2)(
11
11
iiii
iii
xxxx
xxxxf
))((
2)(
111
11
iiii
iii
xxxx
xxxxf
각각 인접한 불균등한 간격을 갖는 세게의 점들에서 2 차 Lagrange 보간다항식에 적합시키면 :