P a g e | 1
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
จตรสกล (Magic Square) หมายถง ตารางทมจานวนชองในแนวตงและจานวนชองในแนวนอนเทากน ภายในแตละชองของตารางจะมตวเลขจานวนเตมหนงจานวนทไมซากบตวเลขในชองอนๆ โดยตวเลขจากทกชองจะเปนจานวนนบทเรยงกน และผลบวกของตวเลขทงหมดในแตละแนวนอนเทากน และเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวตง และยงเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวทแยงมมดวย เชน
8 1 6
3 5 7
4 9 2
จะเหนวา ผลบวกตามแนวนอนเปน 8 + 1 + 6 = 15 , 3 + 5 + 7 = 15 , 4 + 9 + 2 = 15 ผลบวกตามแนวตงเปน 8 + 3 + 4 = 15 , 1 + 5 + 9 = 15 , 6 + 7 + 2 = 15 และผลบวกตามแนวทแยงเปน 8 + 5 + 2 = 15 , 4 + 5 + 6 = 15 ทกตวตางเทากบ 15 ทงหมด จตรสกลทมแนวนอน n แนว และแนวตง n แนว จะเรยกวา จตรสกลแบบ nxn เชน รปขางบนนเปนจตรสกลแบบ 3x3 เปนตน
ประวตอนยาวนานของจตรสกล เรองราวของจตรสกลนนมมาอยางยาวนานแลว โดยปรากฏเปนครงแรกในตาราทางคณตศาสตรของจน (ในชวงประมาณ 1,100 ป กอนครสตกาล) ทชอวา อจง แปลวา หนงสอเรองการจดเรยงลาดบ ซงมแผนภาพตวเลขทเรยกวา หลอซ (luoshu) ดงภาพดานลาง โดยความหมายกคอ จตรสกลแบบ 3x3 นนเอง
จตรสกล
P a g e | 2
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
และมตานานเลาประกอบวา เมอประมาณ 2,200 ปกอนครสตกาล ขณะทจกรพรรดหย มหาราชแหงราชวงศสาง กาลงเสดจลงเรอทรมฝงแมนาฮวงโห ทรงทอดพระเนตรเหนเตาทมาจากสวรรค โดยบนกระดองเตามรอยสลกขดขดเปนรปหลอซ ตอมาความสนใจเรองนแพรไปสญปน อนเดย และตะวนออกกลาง โดยมกจะเชอมโยงเรองนกบสงลลบ ในประเทศอนเดยใตซากปรกหกพงของเมองโบราณทชอ ขะชรโห (Khajuraho) มศลาจารกเปนจตรสกลแบบ 4x4 ทสรางขนในสมยราชวงศจนเดลละ (Chandel dynasty) คอชวง พ.ศ.1413 - 1743 ตอมาไดมการขดพบแผนเหลกทจารกเปนภาษาอาหรบในเมอง ซอานในประเทศจน ซงมอายราวศตวรรษท 13 (พ.ศ.1744 - 1843) ดงภาพขางลาง(ซาย) ซงมความหมายเหมอนตารางขวา
ใน พ.ศ.1818 หยาง ฮย สามารถสรางจตรสกลตงแตแบบ 3x3 จนถงแบบ 10x10 นกเขยนในยคอาณาจกรไบแซนไทนคนหนงชอ มานเอล มอสโชพอลอส (Manuel Moschopoulos) ไดชอวาเปนผแนะนาใหชาวยโรปรจกจตรสกล (ราวครสตศตวรรษท 15) ชวงนนมการเชอมโยงจตรสกลเขากบการเลนแร แปรธาตและโหราศาสตร มการสลกจตรสกลไวบนจานททาดวยโลหะเงนเพอเปนเครองรางปองกน โรคระบาด ราวศตวรรษท 17 (พ.ศ.2144 - 2243) ในประเทศฝรงเศสไดมการศกษาทฤษฎทางคณตศาสตรทจะสรางจตรสกลกนอยางจรงจง นกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ ฟรองนเกลอ เดอ แบสซ (Frenicle de Bessy) ไดพบจตรสกลแบบ 4x4 ทงหมด 880 แบบ ใน พ.ศ.2229 ชาวโปแลนดชอ อดามส โกชานสก (Adamas Kochansky) สรางจตรสกลแบบสามมตไดเปนคนแรก ทานเชอไหมวา ราชทตฝรงเศสคนหนงท
P a g e | 3
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
พระเจาหลยสท 14 สงมาเจรญสมพนธไมตรในประเทศไทยชอวา องตวน เดอ ลา ลแบร (Antoine de La Loubere) เปนคนแรกทสามารถวางหลกเกณฑการสรางจตจสกลแบบคxค และทสาคญกคอ เขาไดความคดในการสรางมาจากคนไทยนเอง (เขามาอยเมองไทยในป พ.ศ.2230) ฝรงเขยนไวเชนนจรงๆ โดยเขยนไวในตาราประวตคณตศาสตรทมชอวา “...de La Loubere described a simple method of construction learnt from the people of Siam…” การขบคดเกยวกบจตรสกลนนจะทาใหผคดเกดความคดรเรมสรางสรรค ความคดวางแผนหรอการคดไกล ตวอยางของเรองนคอ เบนจามน แฟรงคลน อดตประธานาธบดของอเมรกา กลาวไวในหนงสออตชวประวตของทานวาตอนททานยงเดก ทานใชเวลายามวางกบจตรสกลขนาด 8x8 ซงเปนเรองทสนกมาก นอกจากนแนวคดจตรสกลยงสามารถเอาไปประยกตใชในวชาความนาจะเปนและคณตศาสตรแขนง Analysis ไดอก ยกตวอยางเชน การจดคนเขารบงาน การวเคราะหทางสถตเกยวกบเสนทางของยา ซงนนเปนเรองของการประยกตใชทางคณตศาสตรชนสง แตสาหรบคนสวนใหญแลวเพยงแคไดฝกสมองลองเลนกบจตรสกล กอาจจะเปนการเพลดเพลนและเราอาจจะเปนผคนพบประโยชนใหมๆ จากจตรสกลดวยตนเองกเปนได…
จตรสกล (Magic Square) อนดบ n คอ การเรยงจานวน ซงมจานวน 2n จานวน ลงในรปสเหลยมจตรส ซงผลบวกของจานวนในแตละแถว หลก และแนวทแยงจะเทากบคาคงตวคาหนง
ผลบวกทเปนคาคงตวในทกๆแถว หลก และแนวทแยงนน เรยกวา คาคงตวกล (magic constant)
คาคงตวกลของจตรสกล จะขนอยกบ n และมคาเทากบ
สาหรบจตรสกลทมอนดบ n = 3 , 4 , 5 , … จะมคาคงตวกลเทากบ 15 , 34 , 65 , 111 , 175 , 260 , …
…แลวจตรสกลมประโยชนอยางไรบางครบ…
P a g e | 4
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
15
15
ใชจตรสขนาดใดๆ และ (เรมตนจากมมซาย) ใสเลขเรยงตามลาดบกนไปตามแตละแถว แลวผลบวกแนวทแยงใดๆ จะเปนคาคงตวกล
เลขสองจานวนใดๆ ในแถว หลก หรอแนวทแยงซงหางเทากนจากกงกลาง คอ จานวนเตมเตม โดยจานวนของจตรสกลเปนจานวนเตมเตมถาผลบวกของมนเทากบผลบวกของจานวนนอยสดกบจานวนมากสดของจตรสกลนน
จานวนใดๆ อาจบวกหรอคณกบเลขทกจานวนของจตรสกลได และยงคงเปนจตรสกล ถา 2 แถวหรอ 2 หลกในจตรสกลหางเทากนจากจดศนยกลาง สบเปลยนกน กยงคงเปน
จตรสกล เชน
ถาสบเปลยนเสยวในจตรสกลอนดบค แลวผลลพธกยงคงเปนจตรสกล
1 2 3
4 5 6
7 8 9
8 1 6
3 5 7
4 9 2
8 1 6
3 5 7
4 9 2
4 9 2
3 5 7
8 1 6
6 1 8
7 5 3
2 9 4
จานวนเตมเตมของจตรสกลน คอ 8 และ 2 , 6 และ 4 , 3 และ 7 , 1 และ 9
= =
1 เสยวจาก 4 เสยว ของจตรสกล
P a g e | 5
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
สาหรบจตรสกลอนดบคมหลายวธทสามารถใชไดกบจตรสกลอนดบคขนาดใดๆ วธหนง คอ วธขนบนได ซงคดโดย La Loubere เปนวธทรจกกนด ในทนจะแสดงวธการทาจตรสกลขนาด 33× ดงน
วธขนบนได 1. เรมตนโดยการวางเลข 1 ทกงกลางของแถวบนสด
2. ใสตวเลขถดไปในแนวทแยงขนบนในจตรสถดไป เวนแตจะมเลขอนอยแลว ถาเลขไปลงอยในจตรสจนตนาการดานนอกของจตรสกล ใหหาตาแหนงของตวเลขนนในจตรสกล โดยเทยบตาแหนงทมนอยในจตรสจนตนาการกบจตรสกล
3. ถาในจตรสกล แนวทแยงขนบนในจตรสถดไปมตวเลขอนแลว ใหใสตวเลขถดไปตอลงมาในจตรสลางจากเลขเดม ดงเชน เลข 4 และเลข 7
P a g e | 6
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
4. ดาเนนตามขอ 1 – 3 เพอใหไดตาแหนงของเลขทเหลอสาหรบจตรสกล
จตรสกล 3 x 3
P a g e | 7
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
สาหรบจตรสกลอนดบค มการคดวธตางๆ สาหรบสรางจตรสกลอนดบคขนาดใดขนาดหนง เปนการเฉพาะ
ตวอยาง เชน วธแนวทแยงสาหรบจตรสกลขนาด 4 x 4 เรมโดยเขยนตวเลขเรยงในแถวตางๆของจตรสกล ถาเลขตวใดตกอยบนเสนทแยงมม ตาแหนงของมนตองสลบทกบจานวนเตมเตมของมน ทงน ในจตรสกลขนาด 4 x 4 ไมวาแถวหรอหลกอาจสบเปลยนกน หรอถาเสยวตางๆสบเปลยนกน ผลลพธทไดกยงคงเปนจตรสกล ตามสมบตของจตรสกลทไดกลาวไปแลว
จตรสกล 4 x 4
P a g e | 8
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
วธพระมด วธพระมดเปนวธหนงสาหรบสรางจตรสกลอนดบค ดงตวอยางดานลางจะแสดงวธการสรางจตรสกลขนาด 5 x 5 1. เขยนเลข 1 ถง 25 ลงในจตรสกลเรยงกนในแนวทแยง ดงรป 2. เลอนจานวนใดๆทอยนอกจตรสกลในจตรสจนตนาการในตาแหนงตามลาดบของมนลงในจตรสกล ( ตวเลขสแดง คอ ตวเลขทถกเลอนมายงตาแหนงใหม ) กจะไดจตรสกลขนาด 5 x 5
จตรสกล 5 x 5
P a g e | 9
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
P a g e | 10
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
P a g e | 11
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
P a g e | 12
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
ความสวยงามของจตรสกลทจะกลาวถงตอไปนนน สวนหนงเกดจาก “เสนกล” ทซอนอยภายในจตรสกล ทงน เมอ พ.ศ. 2443 Claude F.Bragdon คนพบวาจตรสกลสามารถใชเพอทาใหเกดลวดลายศลปะสวยงามไดอยางไร เขาพบวาถาลากเสนตอโยงจานวนในจตรสกลเรยงตามกนไป จะเกดลวดลาย ทนาสนใจซงกลายเปนสงทเรยกวา “เสนกล” นนเอง จรงๆแลวเสนกลไมไดเปนเสน แตเปนลวดลายทเกดขนจากการลากเสน เมอแรเงาสลบกนไปกจะเกดลวดลายเฉพาะและไดรปแบบหนงเดยวเกดขน ดงทสถาปนก Bragdon ใชเสนกลกบลวดลายประดบประดาทางสถาปตยกรรม การออกแบบกราฟก ของหนงสอและสงทอ …
ตวอยางของเสนกลและลวดลายทเกดขนในจตรสกลขนาดตางๆ
P a g e | 13
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
จากสมบตของจตรสกลขอทวา “ถา 2 แถวหรอ 2 หลกในจตรสกลหางเทากนจากจดศนยกลาง สบเปลยนกน กยงคงเปนจตรสกล” ถาเราสบเปลยนแถวหรอหลกของจตรสกลตามสมบตและตอเสนกลพรอมทงสรางลวดลายดงทกลาวมาแลวนน กจะเกดลวดลายใหมขนอกหลายแบบ เชน
P a g e | 14
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
P a g e | 15
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
ดานลางน คอ ลกบาศกกลขนาด 333 ×× ทสามารถนาจานวนเตมบวก 1 – 27 เตมลงไปเพอใหผลบวกในแตละแถวหรอแตละหลกของเลขสามจานวนมคาเทากบ 42
มาดกนซวา คณจะ เจง! ขนาดไหน
P a g e | 16
ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล
Top Related