P a g e | 1

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

จตรสกล (Magic Square) หมายถง ตารางทมจานวนชองในแนวตงและจานวนชองในแนวนอนเทากน ภายในแตละชองของตารางจะมตวเลขจานวนเตมหนงจานวนทไมซากบตวเลขในชองอนๆ โดยตวเลขจากทกชองจะเปนจานวนนบทเรยงกน และผลบวกของตวเลขทงหมดในแตละแนวนอนเทากน และเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวตง และยงเทากบผลบวกของตวเลขจากทกชองในแตละแนวทแยงมมดวย เชน

8 1 6

3 5 7

4 9 2

จะเหนวา ผลบวกตามแนวนอนเปน 8 + 1 + 6 = 15 , 3 + 5 + 7 = 15 , 4 + 9 + 2 = 15 ผลบวกตามแนวตงเปน 8 + 3 + 4 = 15 , 1 + 5 + 9 = 15 , 6 + 7 + 2 = 15 และผลบวกตามแนวทแยงเปน 8 + 5 + 2 = 15 , 4 + 5 + 6 = 15 ทกตวตางเทากบ 15 ทงหมด จตรสกลทมแนวนอน n แนว และแนวตง n แนว จะเรยกวา จตรสกลแบบ nxn เชน รปขางบนนเปนจตรสกลแบบ 3x3 เปนตน

ประวตอนยาวนานของจตรสกล เรองราวของจตรสกลนนมมาอยางยาวนานแลว โดยปรากฏเปนครงแรกในตาราทางคณตศาสตรของจน (ในชวงประมาณ 1,100 ป กอนครสตกาล) ทชอวา อจง แปลวา หนงสอเรองการจดเรยงลาดบ ซงมแผนภาพตวเลขทเรยกวา หลอซ (luoshu) ดงภาพดานลาง โดยความหมายกคอ จตรสกลแบบ 3x3 นนเอง

จตรสกล

P a g e | 2

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

และมตานานเลาประกอบวา เมอประมาณ 2,200 ปกอนครสตกาล ขณะทจกรพรรดหย มหาราชแหงราชวงศสาง กาลงเสดจลงเรอทรมฝงแมนาฮวงโห ทรงทอดพระเนตรเหนเตาทมาจากสวรรค โดยบนกระดองเตามรอยสลกขดขดเปนรปหลอซ ตอมาความสนใจเรองนแพรไปสญปน อนเดย และตะวนออกกลาง โดยมกจะเชอมโยงเรองนกบสงลลบ ในประเทศอนเดยใตซากปรกหกพงของเมองโบราณทชอ ขะชรโห (Khajuraho) มศลาจารกเปนจตรสกลแบบ 4x4 ทสรางขนในสมยราชวงศจนเดลละ (Chandel dynasty) คอชวง พ.ศ.1413 - 1743 ตอมาไดมการขดพบแผนเหลกทจารกเปนภาษาอาหรบในเมอง ซอานในประเทศจน ซงมอายราวศตวรรษท 13 (พ.ศ.1744 - 1843) ดงภาพขางลาง(ซาย) ซงมความหมายเหมอนตารางขวา

ใน พ.ศ.1818 หยาง ฮย สามารถสรางจตรสกลตงแตแบบ 3x3 จนถงแบบ 10x10 นกเขยนในยคอาณาจกรไบแซนไทนคนหนงชอ มานเอล มอสโชพอลอส (Manuel Moschopoulos) ไดชอวาเปนผแนะนาใหชาวยโรปรจกจตรสกล (ราวครสตศตวรรษท 15) ชวงนนมการเชอมโยงจตรสกลเขากบการเลนแร แปรธาตและโหราศาสตร มการสลกจตรสกลไวบนจานททาดวยโลหะเงนเพอเปนเครองรางปองกน โรคระบาด ราวศตวรรษท 17 (พ.ศ.2144 - 2243) ในประเทศฝรงเศสไดมการศกษาทฤษฎทางคณตศาสตรทจะสรางจตรสกลกนอยางจรงจง นกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ ฟรองนเกลอ เดอ แบสซ (Frenicle de Bessy) ไดพบจตรสกลแบบ 4x4 ทงหมด 880 แบบ ใน พ.ศ.2229 ชาวโปแลนดชอ อดามส โกชานสก (Adamas Kochansky) สรางจตรสกลแบบสามมตไดเปนคนแรก ทานเชอไหมวา ราชทตฝรงเศสคนหนงท

P a g e | 3

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

พระเจาหลยสท 14 สงมาเจรญสมพนธไมตรในประเทศไทยชอวา องตวน เดอ ลา ลแบร (Antoine de La Loubere) เปนคนแรกทสามารถวางหลกเกณฑการสรางจตจสกลแบบคxค และทสาคญกคอ เขาไดความคดในการสรางมาจากคนไทยนเอง (เขามาอยเมองไทยในป พ.ศ.2230) ฝรงเขยนไวเชนนจรงๆ โดยเขยนไวในตาราประวตคณตศาสตรทมชอวา “...de La Loubere described a simple method of construction learnt from the people of Siam…” การขบคดเกยวกบจตรสกลนนจะทาใหผคดเกดความคดรเรมสรางสรรค ความคดวางแผนหรอการคดไกล ตวอยางของเรองนคอ เบนจามน แฟรงคลน อดตประธานาธบดของอเมรกา กลาวไวในหนงสออตชวประวตของทานวาตอนททานยงเดก ทานใชเวลายามวางกบจตรสกลขนาด 8x8 ซงเปนเรองทสนกมาก นอกจากนแนวคดจตรสกลยงสามารถเอาไปประยกตใชในวชาความนาจะเปนและคณตศาสตรแขนง Analysis ไดอก ยกตวอยางเชน การจดคนเขารบงาน การวเคราะหทางสถตเกยวกบเสนทางของยา ซงนนเปนเรองของการประยกตใชทางคณตศาสตรชนสง แตสาหรบคนสวนใหญแลวเพยงแคไดฝกสมองลองเลนกบจตรสกล กอาจจะเปนการเพลดเพลนและเราอาจจะเปนผคนพบประโยชนใหมๆ จากจตรสกลดวยตนเองกเปนได…

จตรสกล (Magic Square) อนดบ n คอ การเรยงจานวน ซงมจานวน 2n จานวน ลงในรปสเหลยมจตรส ซงผลบวกของจานวนในแตละแถว หลก และแนวทแยงจะเทากบคาคงตวคาหนง

ผลบวกทเปนคาคงตวในทกๆแถว หลก และแนวทแยงนน เรยกวา คาคงตวกล (magic constant)

คาคงตวกลของจตรสกล จะขนอยกบ n และมคาเทากบ

สาหรบจตรสกลทมอนดบ n = 3 , 4 , 5 , … จะมคาคงตวกลเทากบ 15 , 34 , 65 , 111 , 175 , 260 , …

…แลวจตรสกลมประโยชนอยางไรบางครบ…

P a g e | 4

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

15

15

ใชจตรสขนาดใดๆ และ (เรมตนจากมมซาย) ใสเลขเรยงตามลาดบกนไปตามแตละแถว แลวผลบวกแนวทแยงใดๆ จะเปนคาคงตวกล

เลขสองจานวนใดๆ ในแถว หลก หรอแนวทแยงซงหางเทากนจากกงกลาง คอ จานวนเตมเตม โดยจานวนของจตรสกลเปนจานวนเตมเตมถาผลบวกของมนเทากบผลบวกของจานวนนอยสดกบจานวนมากสดของจตรสกลนน

จานวนใดๆ อาจบวกหรอคณกบเลขทกจานวนของจตรสกลได และยงคงเปนจตรสกล ถา 2 แถวหรอ 2 หลกในจตรสกลหางเทากนจากจดศนยกลาง สบเปลยนกน กยงคงเปน

จตรสกล เชน

ถาสบเปลยนเสยวในจตรสกลอนดบค แลวผลลพธกยงคงเปนจตรสกล

1 2 3

4 5 6

7 8 9

8 1 6

3 5 7

4 9 2

8 1 6

3 5 7

4 9 2

4 9 2

3 5 7

8 1 6

6 1 8

7 5 3

2 9 4

จานวนเตมเตมของจตรสกลน คอ 8 และ 2 , 6 และ 4 , 3 และ 7 , 1 และ 9

= =

1 เสยวจาก 4 เสยว ของจตรสกล

P a g e | 5

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

สาหรบจตรสกลอนดบคมหลายวธทสามารถใชไดกบจตรสกลอนดบคขนาดใดๆ วธหนง คอ วธขนบนได ซงคดโดย La Loubere เปนวธทรจกกนด ในทนจะแสดงวธการทาจตรสกลขนาด 33× ดงน

วธขนบนได 1. เรมตนโดยการวางเลข 1 ทกงกลางของแถวบนสด

2. ใสตวเลขถดไปในแนวทแยงขนบนในจตรสถดไป เวนแตจะมเลขอนอยแลว ถาเลขไปลงอยในจตรสจนตนาการดานนอกของจตรสกล ใหหาตาแหนงของตวเลขนนในจตรสกล โดยเทยบตาแหนงทมนอยในจตรสจนตนาการกบจตรสกล

3. ถาในจตรสกล แนวทแยงขนบนในจตรสถดไปมตวเลขอนแลว ใหใสตวเลขถดไปตอลงมาในจตรสลางจากเลขเดม ดงเชน เลข 4 และเลข 7

P a g e | 6

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

4. ดาเนนตามขอ 1 – 3 เพอใหไดตาแหนงของเลขทเหลอสาหรบจตรสกล

จตรสกล 3 x 3

P a g e | 7

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

สาหรบจตรสกลอนดบค มการคดวธตางๆ สาหรบสรางจตรสกลอนดบคขนาดใดขนาดหนง เปนการเฉพาะ

ตวอยาง เชน วธแนวทแยงสาหรบจตรสกลขนาด 4 x 4 เรมโดยเขยนตวเลขเรยงในแถวตางๆของจตรสกล ถาเลขตวใดตกอยบนเสนทแยงมม ตาแหนงของมนตองสลบทกบจานวนเตมเตมของมน ทงน ในจตรสกลขนาด 4 x 4 ไมวาแถวหรอหลกอาจสบเปลยนกน หรอถาเสยวตางๆสบเปลยนกน ผลลพธทไดกยงคงเปนจตรสกล ตามสมบตของจตรสกลทไดกลาวไปแลว

จตรสกล 4 x 4

P a g e | 8

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

วธพระมด วธพระมดเปนวธหนงสาหรบสรางจตรสกลอนดบค ดงตวอยางดานลางจะแสดงวธการสรางจตรสกลขนาด 5 x 5 1. เขยนเลข 1 ถง 25 ลงในจตรสกลเรยงกนในแนวทแยง ดงรป 2. เลอนจานวนใดๆทอยนอกจตรสกลในจตรสจนตนาการในตาแหนงตามลาดบของมนลงในจตรสกล ( ตวเลขสแดง คอ ตวเลขทถกเลอนมายงตาแหนงใหม ) กจะไดจตรสกลขนาด 5 x 5

จตรสกล 5 x 5

P a g e | 9

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

P a g e | 10

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

P a g e | 11

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

P a g e | 12

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

ความสวยงามของจตรสกลทจะกลาวถงตอไปนนน สวนหนงเกดจาก “เสนกล” ทซอนอยภายในจตรสกล ทงน เมอ พ.ศ. 2443 Claude F.Bragdon คนพบวาจตรสกลสามารถใชเพอทาใหเกดลวดลายศลปะสวยงามไดอยางไร เขาพบวาถาลากเสนตอโยงจานวนในจตรสกลเรยงตามกนไป จะเกดลวดลาย ทนาสนใจซงกลายเปนสงทเรยกวา “เสนกล” นนเอง จรงๆแลวเสนกลไมไดเปนเสน แตเปนลวดลายทเกดขนจากการลากเสน เมอแรเงาสลบกนไปกจะเกดลวดลายเฉพาะและไดรปแบบหนงเดยวเกดขน ดงทสถาปนก Bragdon ใชเสนกลกบลวดลายประดบประดาทางสถาปตยกรรม การออกแบบกราฟก ของหนงสอและสงทอ …

ตวอยางของเสนกลและลวดลายทเกดขนในจตรสกลขนาดตางๆ

P a g e | 13

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

จากสมบตของจตรสกลขอทวา “ถา 2 แถวหรอ 2 หลกในจตรสกลหางเทากนจากจดศนยกลาง สบเปลยนกน กยงคงเปนจตรสกล” ถาเราสบเปลยนแถวหรอหลกของจตรสกลตามสมบตและตอเสนกลพรอมทงสรางลวดลายดงทกลาวมาแลวนน กจะเกดลวดลายใหมขนอกหลายแบบ เชน

P a g e | 14

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

P a g e | 15

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล

ดานลางน คอ ลกบาศกกลขนาด 333 ×× ทสามารถนาจานวนเตมบวก 1 – 27 เตมลงไปเพอใหผลบวกในแตละแถวหรอแตละหลกของเลขสามจานวนมคาเทากบ 42

มาดกนซวา คณจะ เจง! ขนาดไหน

P a g e | 16

ผลงานโดย อ.สนต อทธพลนาวากล