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INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo de investigación pretende realizar el análisis cuantitativo
de los datos que se obtienen experimentalmente en el laboratorio con la
finalidad de conocer el estudio experimental de los fenómenos naturales que
nos permitan realizar la medición de una cantidad física, para ello debemos de
representar los diagramas en hojas milimétricas, logarítmicas y
semilogaritmicas !ara analizar los datos experimentados es recomendable
seleccionar adecuadamente las técnicas estadísticas que les permitan obtener la máxima información relevante a partir de los datos de las investigaciones
"abe resaltar que los datos experimentales deberían ser los más precisos
posible caso contrario se vería afectado por un margen de error en los
cálculos
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OBJETIVOS:
• "onocer y aplicar los distintos tipos estadísticos, análisis de varianza
para probar inferencias y tomar decisiones sobre datos experimentales• #esarrollar los métodos gráficos para determinar la relación matemática
entre dos cantidades que se han medido en un experimento• $prender a manejar el uso correcto del papel gráfico
MARCO TEORICO
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%nos de los objetivos en el análisis de resultados es el llegar a establecer una
relación cuantitativa entre dos o más variables mediante esta relación poder
efectuar predicciones !or lo general la relación consiste en una ecuación que
expresa como la variable dependiente &cuyo valor se desea predecir' esafectada por una o más variables independientesEn esta unidad se ilustra la forma de establecer la posible relación de una
variable dependiente con otra variable considerada independiente El primer
paso a disponer con otra variable considerada independiente (i se simbolizan
por ) e * las variables independientes y dependiente respectivamente y sus
valores particulares por )+, *+, )2, *, etc, en una tabla se dispondrían así-
x x+ x x. …… …… xn
y y+ y y. …… …… yn
El siguiente paso es representar los puntos &) +, *+ ', &), *' , &)n, *n' en
un sistema de coordenadas rectangulares El sistema de puntos resultantes se
llama diagrama de dispersión"on el diagrama de dispersión es posible representar una curva que se
aproxime a los datos, es decir, que siga la tendencia de los mismos /al curva
se llama curva de aproximación!or ejemplo, en &a' se ve que los datos experimentales se aproximan bien a
una línea recta y se dice que entre las variables existe una relación lineal En
&b', existe una relación no lineal
0as curvas mostradas en la figura se denominan curvas de aproximación y
describen la tendencia de los puntos en el diagrama de dispersión El problema
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general de hallar la ecuación de la curva de aproximación que se ajuste mejor
al conjunto de datos con los que se obtuvo el diagrama de dispersión se
denomina determinación dela "%12$ #E$3%(/E%na curva de aproximación como la de la figura &a' sugiere una ecuación lineal4
&ecuación de la recta' Y = a + bX 4 mientras que la de la curva en la figura&b'
sugiere una ecuación cuadrática ¶bólica' de la forma Y = a + bX + cX 2 .0a dispersión de los puntos se debe a los errores que afectan en el proceso de
medición tanto a la variable dependiente como a la independiente En
ocasiones puede despreciarse el error en la variable independiente al
compararse con el error &o variación aleatoria' de la variable dependiente Esto
dependerá de la situación particular de las causas de error sobre cada variable
al realizar el experimento
ANÁLISIS DE REGRESIÓN%no de los propósitos principales de la curva de ajuste es estimar una de las
variables a partir de la otra El proceso de estimación se conoce como
regresión (i * se va a estimar a partir de ) por medio de alguna ecuación la
llamamos ecuación de regresión de * sobre ) y a la curva correspondiente
curva de regresión de * sobre )Existen varios métodos para determinar la ecuación de regresión El 5método
de mínimos cuadrados6, que se describe más adelante, se considera el mejor4
por fundamentarse en el tratamiento estadístico de los datos experimentales "omo se mencionó anteriormente, los errores afectan tanto a la variable
independiente como a la variable dependiente, sin embargo en muy diversos
casos la variable independiente puede considerarse sin error &o de error
despreciable' y considerar que la dispersión es debido 7nicamente a los
errores en la variable dependiente En este caso se considera que para unvalor puntual de ) &sin error' el valor experimental de * se aparta del valor que
predice la curva de regresión
Caso partic!ar"s #" a$%!isis:Existen muchas transformaciones físicas en las que la variación de una
magnitud en un intervalo de tiempo dado es proporcional a la cantidad de dicha
magnitud al principio del intervalo $ continuación se citan varios ejemplos%na propiedad de las células vivas es que pueden reproducirse y así aumentar
en n7mero con el tiempo El n7mero de células nuevas producidas en un
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intervalo dado de tiempo depende del n7mero de células presentes al principio
de dicho intervalo En otras palabras, el n7mero de células nuevas producidas
en un intervalo determinado de tiempo es proporcional al n7mero presente(i la diferencia de temperatura #t entre un objeto y su medio ambiente no es
demasiado grande, la rapidez de enfriamiento o de calentamiento es
aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y
su medio ambienteEn la desintegración radiactiva el cambio #8 en el n7mero de átomos padres
es, para cada intervalo de tiempo #t, proporcional al n7mero de átomos padres
presentes al comienzo del intervaloEn los tres ejemplos anteriores, al aplicar cálculo integral, se llega a una
expresión del tipo * 9 a b
)
, que es una relación exponencial ya que x estácomo exponente de una base b. * podría representar el n7mero de bacterias
8, la diferencia de temperatura #t entre un objeto y su medio ambiente o el
n7mero de átomos padre 8 0a variable x representa al tiempo
Ejemplo de aplicación-
) +: +;: .+: ?:* : >=: @:: ?;: ?>:
1epresentación de los datos en un diagrama
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R"&!as para &ra'icar:
0os ejes deben llevar claramente las magnitudes que en ellos se
representan y las unidades correspondientes Elegir las unidades en los ejes coordenados de modo que permitan leer
e interpretar con facilidad Es conveniente en general, que el origen aparezca en el gráfico 8o
obstante, las escalaspueden reemplazarse cuando los datos
experimentales están en un intervalo que así lo requiere #ebe usarse el eje de la abscisa para la variable independiente &aquella
que es controlada por el experimentador' y el eje de la ordenada para la
variable dependiente!or ejemplo, si medimos la longitud de una barra
metálica al variar la temperatura, se busca a la función l 9 f&/', entonces
es conveniente usar el eje x para / y el eje y para l
0os valores experimentales no deben ser graficados como un punto sinoque hay que representar 5el error con el cual se obtuvo dicho valor6
!ara ello se usan cruces,cuadrados, circulos, rectangulos, etc,
centrados en el valor 0a recta o curva que representa la función que siguen los puntos, debe
tratarse de modo que sea lo más representativo posible del
fenómenorados, círculos, rectángulos, etc, centrados en el valor
R"pr"s"$tacio$ #" !as &ra'icas "$ "! A$a!isis #" Datos:
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$l realizar una gráfica con estos valores se obtiene una curva que
frecuentemente, se pueda representar por medio de la función potencial-y 9 A xn , donde A es una constante a determinar y la potencia 5n6 siempre toma
valores enteros 0os diferentes tipos de curvas que puede representar en las
siguientes graficas
y = kx n ; n = 1
En esta figura n es igual a +, por lo que y 9 Ax, entonces se tiene la ecuación
de una recta que pasa por el origen, en este caso el análisis se reduce a
determinar el valor de A una forma sencilla de obtener el valor de A
directamente del grafico es calcular la pendiente con los puntos conocidos
Esto es-
k = yi+1− yi xi+1− xi
En la siguiente figura la potencia puede tomar distintos valores n 9 ,.,
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&
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y = kx n ; n>1
y = kx
n
; n ≤ -1 En este caso la potencia puede tomar distintos valores negativos n 9 C+, C, C.,
B, el análisis también consiste en determinar el valor de A y el valor de n en
estos dos casos, para determinar el valor de n y de A resulta conveniente usar
el papel logarítmico En este tipo de papel la gráfica se transforma en una recta
de ecuaciones u = nt +b, cuya pendiente n es el valor de la potencia que
estamos buscando y b está relacionado con la constante A !ara determinar n
se usa la siguiente ecuación-
n=log yi+1−logyilogxi+1−logxi
%na vez determinado el valor de n, se puede hallar el valor de A directamente
del papel logarítmico, bastara con prolongar la recta & que contiene a todos los
puntos' con una regla hasta que intercepte la línea vrtical que pasa por el punto
+ del eje horizontal %na vez hecho esto hay que leer el valor que le
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corresponde en el eje vertical a este punto de intercepción y que cumpla la
siguiente ecuación-
b = logk → k = 10 b
MATERIALES
• 1egla metálica de +m
• "alculadora científica
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• < hojas de papel milimetrado
• hojas de papel logarítmica
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• +hoja de papel semilogaritmico
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(ROCEDIMIENTO
En la tabla 8D +, muestra el n7mero de pulsaciones &8!' en función del trabajo
&t' para el ritmo de un apersona en reposo
+ "on los daros de la tabla 8D+ realizamos un gráfico en papelmilimetrado, con 8! en el eje *, y el tiempo en el eje )
2. (i la ecuación de la gráfica obtenida es de la forma y = ax + b,
determinamos el valor y la unidad de las constantes a y b usando la
ecuación &+' y la intersección con el eje vertical3. 0uego anotamos la ecuación y los valores de a y b e la hoja de papel
milimetrado
Ta)!a N*+
/&s' +: : .: : @: ?:
8! + < .>
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0&cm' :> ; +> +;
En la siguiente tabla 8D. trabajamos la gráfica de 0ongitud 2s /iempo
obteniendo una gráfica ascendente
+ con los datos de la tabla 8D. realizamos la gráfica con el tiempo en el
eje ), la longitud en el eje * 1ealizamos con los datos obtenidos y nos resultó una gráfica
logarítmicaTa)a! N*,
/ + < = +@ > .@ > :.. :+? ::= ::@
h&m' + . > +: +> : >
CUESTIONARIO:
(REGUNTA N*+
"on los datos de la tabla 8+ y la fórmula de las ecuación &+' se tiene larecta- 8!9$tF, determine el valor y sus unidades de las constantes $ y F
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/$F0$ 8+-
/&s' +: : .: : @: ?:8! + < .>
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#e donde- F 9 yC$t
¿B1=86−1,2¿ ?:' 9
B2=72−1,1 (60)=6
B3=¿ @+ C +,.&>:' 9 C<
B4=48−1,3 ( 40 )=−4
B5=35−1,1 (30)=2
B6=24−1,4 (20 )=−4
F9 @C' x9 log1=0 y9 log0,5=−0,301
&,' x9 log2=0,301 y= log2=0,301
&.,' x9 log3=0,477 y=log 4,5=0,653
&
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$hora procedemos a realizar una tabla con los valores que hemos
obtenido
)&s' : :,.:+ :,
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m1=0,30103−(−0,30103)
0,30103−0 =2
m2
=0,65321−0,30103
0,47712−0,30103=2
m3=0,90309−0,653210,60206−0,47712
=2
m4=1,09691−0,903090,69897−0,60206
=2
m5=1,25527−1,096910,77815−0,69897
=2
m6=1,38917−1,255270,8451−0,77815
=2
m=m1+m2+m3+m4+m5+m6
6
m=2
Kallamos la constante 5b6
y=mx+b
b= y−mx
b1=−0,30103−(2 ) 0=−0.30103
b2=0,30103−(2 ) 0,30103=−0.30103
b3=0,65321−(2)0,47712=−0.30103
b4=0,90309−(2)0,60206=−0.30103
b5=1,09691−(2)0,69897=−0.30103
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&
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b6=1,25527−(2)0,77815=−0.30103
b7=1,38917−(2)0,8451=−0.30103
b=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7
7
b=−0.30103
PRE$UNTA N;
C*n el +al*r de ,-/ 0 la ecuacin 2.a3 4alle el +al*r dela c*n5tante 6. 7Cu8l e5 la unidad de 69
:;LUCI
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C*m=are l*5 re5ultad*5 *-tenid*5 en el =r*cedimient* n° 4 del =a5* >? c*n l*5 *-tenid*5 en la =regunta !.@alle
la di5cre=ancia =*rcentual.
:;LUCI +: +> : >
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( # 1( 1# ( # !((
(.1
(.
(.!
(."
(.#
(.$(.%
(.&
(.'
1
#7+8
P7at+8
(REGUNTA N*3
(uponiendo que la ecuación matemática para la gráfica del problema ; es de la
forma ! 9 P0.10−bh
Kalle la forma de calcular el valor de P0 y de b
usando los datos de la tabla &NN'
(e tiene- ! 9 P0.10−bh
&se le multiplica por logaritmo a todo'
0og ! 9 log P0 log 10−bh
0og ! 9 log P0 J bh
0og
P0
9 log ! bh
#onde la ecuación de la recta es- y 9 ax b
"omparando las ecuaciones tenemos-
0og P0 9 log ! bh ↔ y 9 ax b
#ónde- b 9 constante
!or lo tanto tenemos para hallar P0 -
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0og P0 9 log! bh 4 b 9 constante
(REGUNTA N*+0
"onstruya una gráfica de la presión atmosférica P= P(h) en papel
semilogarítmico (i es una recta definir- y=log ( P) y construya una tabla &NNN'
de pares ordenados &t, y'
(G0%"HI8
( # 1( 1# ( # !(
(.(1
(.1
1
#7+8
P7at+8
Kallando
y=log ( P)
y construyendo la tabla &NNN'-
/9!&atm' :,=+ :,?: :,>> :,.. :,+? :,:= :,:@y9log&!' C::=@< C: C+:?@ C++;>
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(REGUNTA N*++
%se los datos de la tabla &NNN' y las ecuaciones &.' y &
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b1=−1.22185−2.228652309 (0,06 )=−1.355569139
b2=−1.04576−2.228652309 (0,09 )=−1.246338708
b3=−0.76955−2.228652309 (0,17 )=−1.148420893
b4=−0.48149−2.228652309 (0,33 )=−1.216945262
b5=−0.25964−2.228652309 (0,55 )=−1.48539877
b6=−0.15490−2.228652309 (0,70 )=−1.714956616
b7=−0.04096−2.228652309 (0,91 )=−2.069033601
b=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7
7
b=−1.462380427
(REGUNTA N*+2%se la ecuación &a' para hallar el valor de ! G OPué unidad tiene la pendienteen la pregunta ++Q
(G0%"HI8
P= P0.10−bt
0og ! 9 log P0 log 10−bt
0og P0 9 log ! mt igualamos u=nt +b
m=n=2.228652309
b=−1.462380427
∴ P= P0.10−1.462380427 t
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(REGUNTA N*+,
OEn qué caso específico debe usarse el papel milimetrado, logarítmico,
semilogaritmicoQ
(A(EL MILIMETRADO- Es el papel impreso con finas líneas entrecruzadas,separadas seg7n una distancia determinada &normalmente + mm en la escalaregular' Estas líneas se usan como guías de dibujo, especialmente paragraficar funciones matemáticas o datos experimentales y diagramas (eemplean en geometría analítica y la enseRanza de matemáticas e ingeniería
El papel milimetrado se encuentra disponible como hoja suelta o en blocAs de
hojas (u uso, como herramienta para elaborar gráficas, ha decaído desde elaparecimiento de programas de hojas de cálculo y de diagramas que losreemplazan, aunque se siguen utilizando como redes de base para larepresentación gráfica de datos
(e puede utilizar que cada división del papel sea +: veces mayor o +: vecesmenor que la anterior, obviamente no sirve para graficar un mapa sino curvasdonde se presenta un gran crecimiento o decrecimiento como graficar elaumento de la población a través de los siglos
(A(EL LOGARITMICO- Es el papel que tiene uno o dos ejes graduados seg7nuna escala logarítmica
El papel logarítmico sirve para gráficas en donde una de las variables creceexponencialmente !or ejemplo para graficar x en el eje horizontal, contra +:elevado a la x !or lo que una de las escalas no es lineal &las separaciones delas divisiones no son iguales'
(A(EL SEMLILOGARITMICO- posee la escala con las marcas adecuadaspara este tipo de representaciones (e emplean logaritmos decimales, de base+:
0os datos que siguen una variación similar a una función exponencial, y9aSebSx,o aquellas serie de datos cuyo rango abarca varios órdenes de magnitud , sonapropiados para una representación semilogarítmica o logarítmica !or ello,este tipo de representación es muy usada en ciencia e ingeniería
"ualquier conjunto de datos que pueda ajustarse a la expresión y=a ebx
podrá representarse en forma de línea recta, log ( y )=b ( x )+log (a )
donde log representa el logaritmo en basee
o natural, ya que ambas
http://es.wikipedia.org/wiki/Papelhttp://es.wikipedia.org/wiki/Papelhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Programa_(computaci%C3%B3n)http://es.wikipedia.org/wiki/Hoja_de_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagramashttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_decimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_magnitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_logar%C3%ADtmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_logar%C3%ADtmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Programa_(computaci%C3%B3n)http://es.wikipedia.org/wiki/Hoja_de_c%C3%A1lculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagramashttp://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_decimalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Orden_de_magnitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Representaci%C3%B3n_logar%C3%ADtmicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Cienciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Papel
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expresiones son equivalentes (i usamos logaritmos en bases c , distintas a
la natural, la relación exponencial linealizada será logc ( y )=bx logc ( e)+log c(a)
RESULTADOS 4 DISCUSIONES
TABLA N*+
/ &s' +: : .: : @: ?:8! + < .> ; +> +;
TABLA N*,
0&cm' :> ; +> +;
x 9 /n + < = +@ > .@
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TABLA N*-
CONCLUSIONES
+ !udimos representar gráficamente en papel milimetrado,semilogarítmico y logarítmico una función a partir de una tabla devalores dada
Hdentificamos el tipo de función y la relación de proporcionalidadexistente entre las variables
. "onstruimos la ecuación de la función graficada relacionando lasvariables
"oncluimos que al realizar esta práctica de laboratorio de física pudimosestudiar el empleo de las gráficas para la obtención de las relacionesfuncionales entre dos magnitudes físicas
@
!&atm' :,=+ :,?: :,>> :,.. :,+? :,:= :,:@K&m' + . > +: +> : >
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RE5ERENCIAS BIBLIOGRA5ICAS
+ 1obert 1esnicA y #avid Kalliday Tísica !arte + y "H$ Editorial
"ontinental, ($ Uéxico #T !rimera edición, cuarta impresión de +=;
UiAe !entz y Uilo (hott Kandling Experimental #ata Gpen %niversity!ress !rimera edición, segunda impresión de +=;=
. #" Faird $n Hntroduction to Ueasument /heory and Experiment#esign !renticeCKall, Hnc 8eV 3ersey !rimera impresión de +=@
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ANE6OS
E! T"or"7a #" Gass8M%r9o
En estadística, el /eorema de XaussCUárAov, formulado por "arl Triedrich
Xauss y $ndréi UárAov, establece que en un modelo lineal general &U0X' en el
que se establezcan los siguientes supuestos-
"orrecta especificación- el U0X ha de ser una combinación lineal de los
parámetros & ' y no necesariamente de las variables- Uuestreo aleatorio simple- la muestra de observaciones del
vector es una muestra aleatoria simple y, por lo
tanto, el vector es independiente del vector
Esperanza condicionada de las perturbaciones nula-
"orrecta identificación- la matriz de regresoras &)' ha de tener rango
completo- rg&)'9LY98
Komocedasticidad- 2ar&%Z)'9(H
El estimador mínimo cuadrático ordinario &U"G' de F es el estimador lineal e
insesgado óptimo &E0HG o F0%E- best linear unbiased estimator', es decir, el
estimador U"G es el estimador eficiente dentro de la clase de estimadores
lineales e insesgados
#icho teorema se basa en +: supuestos, denominados, (upuestos de Xauss
UárAov4 que sirven como hipótesis a la demostración del mismo-
El modelo esta correctamente especificado
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_de_rango_completo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_de_rango_completo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Homocedasticidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estimadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9i_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_linealhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_de_rango_completo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_de_rango_completo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Homocedasticidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Estimador
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#ebe ser lineal en los parámetros
El valor de la media condicional es cero
Kay homocedasticidad
8o existe correlación entre las perturbaciones
0a covarianza entre ui y xi es cero
El n7mero de observaciones es mayor que el de parámetros
Existe variabilidad entre los x
8o hay multicolinealidad perfecta
0as x son no estocásticas, es decir, son fijas en muestras repetidas
Jo;a$$
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Facultad de Ingeniería Química
A$#r=i A$#r=>"ic; M%r9o
$ndréi $ndréyevich UárAov &^_` ^_` k' &+< de
junio de +;>@ C : de julio de +=' fue un matemático ruso conocido por sus
trabajos en la teoría de los n7meros y la teoría de probabilidades
UárAov nació en 1iazán, 1usia $ntes de los +: aRos su padre, un funcionario
estatal, fue trasladado a (an !etersburgo donde $ndréi entró a estudiar en un
instituto de la ciudad #esde el principio mostró cierto talento para las
matemáticas y cuando se graduó en +;?, tras >
aRos de actividad académica, UárAov se retiró definitivamente de la
universidad, aunque siguió impartiendo algunos cursos sobre la teoría de la
probabilidad
$parte de su perfil académico, $ndréi UárAov fue un convencido activista
político (e opuso a los privilegios de la nobleza zarista y llegó a rechazar las
condecoraciones del propio zar en protesta por algunas decisiones políticas
relacionadas con la $cademia de "iencias Kasta tal punto llegó su implicación
en la política que llegó a ser conocido con el sobrenombre de el académico
militante
UárAov arrastró durante toda su vida problemas relacionados con una
malformación congénita en la rodilla que le llevaría varias veces al quirófano y
que, con el tiempo, fue la causa de su muerte cuando el : de julio delaRo += una de las muchas operaciones a las que se sometió le produjo una
infección generalizada de la que no pudo recuperarse
$unque UárAov influyó sobre diversos campos de las matemáticas, por ejemplo
en sus trabajos sobre fracciones continuas, la historia le recordará
principalmente por sus resultados relacionados con la teoría de la probabilidad
En +;;? completó la prueba que permitía generalizar el teorema central del
límite y que ya había avanzado "hebyshov !ero su aportación más conocida
es otra- su trabajo teórico en el campo de los procesos en los que están
involucrados componentes aleatorios &procesos estocásticos' darían fruto en
http://es.wikipedia.org/wiki/14_de_juniohttp://es.wikipedia.org/wiki/14_de_juniohttp://es.wikipedia.org/wiki/1856http://es.wikipedia.org/wiki/1856http://es.wikipedia.org/wiki/20_de_juliohttp://es.wikipedia.org/wiki/1922http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Riaz%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rusiahttp://es.wikipedia.org/wiki/San_Petersburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/1874http://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_San_Petersburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Chebyshovhttp://es.wikipedia.org/wiki/1886http://es.wikipedia.org/wiki/San_Petersburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/1880http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/1905http://es.wikipedia.org/wiki/Zarhttp://es.wikipedia.org/wiki/20_de_juliohttp://es.wikipedia.org/wiki/20_de_juliohttp://es.wikipedia.org/wiki/1922http://es.wikipedia.org/wiki/1922http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/1887http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_del_l%C3%ADmitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_del_l%C3%ADmitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1sticohttp://es.wikipedia.org/wiki/14_de_juniohttp://es.wikipedia.org/wiki/14_de_juniohttp://es.wikipedia.org/wiki/1856http://es.wikipedia.org/wiki/20_de_juliohttp://es.wikipedia.org/wiki/1922http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_n%C3%BAmeroshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Riaz%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rusiahttp://es.wikipedia.org/wiki/San_Petersburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/1874http://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_San_Petersburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pafnuti_Chebyshovhttp://es.wikipedia.org/wiki/1886http://es.wikipedia.org/wiki/San_Petersburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/1880http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/1905http://es.wikipedia.org/wiki/Zarhttp://es.wikipedia.org/wiki/20_de_juliohttp://es.wikipedia.org/wiki/1922http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/1887http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_del_l%C3%ADmitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_central_del_l%C3%ADmitehttp://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_estoc%C3%A1stico
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un instrumento matemático que actualmente se conoce como cadena de
UárAov- secuencias de valores de una variable aleatoria en las que el valor de
la variable en el futuro depende del valor de la variable en el presente, pero es
independiente de la historia de dicha variable 0as cadenas de UárAov, hoy día,
se consideran una herramienta esencial en disciplinas como la economía, laingeniería, la investigación de operaciones y muchas otras
http://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkovhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_M%C3%A1rkov