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1/21
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1. O brao AB gira com uma velocidade angular de 20 rpm no sentidoanti-horrio. Sabendo que a roda exterior C permanece estacionria,determine (a) a velocidade angular da roda B, (b) a velocidade dodente da roda, localizado no ponto D.
(a)
/
0 120 0
0 0 120
0 0
B A B A AB AB AB
AB
v v v w r w
w
= + = = =
r r r r r
/ / B I B I B I r IBv v v v w r = + = = r r r r r r
0 0 50
120 0 0
0 0
AB
r
w
w
=
( )
0
120 50 48rpm 0 /
248
60
AB r r r w w w w rad s
= = =
r
(b)
( )/
00 0 251.3
2120 20 0 50 251.3 /
602 0 0
048 60
D B D B B r BDv v v v w r mm s
= + = + = + =
r r r r r r
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2. Sabendo que a manivela AB tem uma velocidade angularconstante de 160 rpm no sentido anti-horrio, determine a velocidadeangular da biela BD e a velocidade do cursor D quando 60 = .
/
0
0
0 30 cos 30 sin
0 30 sin 30 cos
0 0
D
D
B A B A AB
v
v
v v v r
=
= + = = =
r
&r
r r r r& &
&
/
30 sin 0 100 cos
0 30 cos 0 100 sin
0 0 0
D
D B D B
v
v v v
w
= + = +
&
r r r &
30 sin 100 sin
0 30 cos 100 cos
0 0
Dv w
w
= +
&
&
30 cos
100 cos
30 cos30 sin 100 sin 30 sin 30 cos
100 cosD
w
v tg
=
= = +
&
&& & &
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Para 60 = :
19.9 =
30 160 2 cos 602.67 /60 100 cos19.9
160 2 160 230 sin 60 30 cos 60 19.9 344.3 /
60 60D
w rad s
v tg mm s
= =
= =
3. No trem planetrio mostrado, os raios das rodas dentadas A, B, Ce D de 30 mm, e o raio do planeta exterior E de 90 mm. Sabendoque este tem uma velocidade angular de 120 rpm no sentido horrio
e que o planeta interior tem uma velocidade angular de 150 rpm nosentido horrio, determine (a) a velocidade angular de cada rodadentada, (b) a velocidade angular do porta-satlites.
(a)
23
0 0 60
0 3 0
2 0 0
60
E
I
E
wr
v r
w
= =
r
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2
0 0 60
0 0
2 0 0
60
I
T
I
wr
v r
w
= =
r
I T r TI v v w r = + r r r r
2 23
0 060 60
0 0 0 2
0 0 0
E I
r
w wr r
r
w
= +
2 23
260 60
0 0 0
0 0 0
E I
r
w wr r
r w
= +
32( / )
60 2
I Er
w ww rad s
=
3( )2
I Er
w ww rpm
=
Para 120Ew rpm= e 150Iw rpm= temos:
( )
0
105 0
105
r rw rpm w rpm
= =
r
(b)
B p ABv w r= r r r
B I r IBv v w r = + r r r r
0 0 2
0 2 0
0 0
p
B p A B
p
r w
v w r r
w
= = =
r r r
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5/21
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3223
0 0 60 260
0 0 0
0 3 0 02
60 2
I EE
B I r IB
I E
w wwrr
v v w r r
w w
+ = + = + =
r r r r
Igualando obtemos:
32
2 60 2
0 0
0 0
I E
p
w wr
r w
+
=
( )32
/60 4
I Ep
w ww rad s
+ =
Para 120Ew rpm= e 150Iw rpm= temos:
( )
0150 3 120
127.5 04
127.5
p pw rpm rpm w rpm
+
= = =
r
4. A barra dobrada EBD roda velocidade constante 1 8 /w rad s= . Sabendo que o
cursor A se desloca para cima ao longo da barra com uma velocidade relativa constante
300 /u mm s= e que 60 = , determine (a) a velocidade de A, (b) a acelerao de A.
(a)
' / ' A A A A
v v v= +r r r
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Ou aplicando a relao fundamental:
'
1 / ' 1
A
A OA A A OA
v
v w r v w r u= + = +r
r r r r r r r
123
( ) ( )
/ ' 1
300 cos 60 8 60 sin 60 300 cos60 8 60 sin 60
300 sin 60 0 60 1 cos 60 300 sin 60 0 60 1 cos 60
0 0 0 0 0 0
A A OA
A
v w r
OB
v
+
= + = +
r r r
r
1442443 14444244443
( )
( )
300 cos60 150
300 sin 60 259.8 /
480 1 cos 60 240
Av mm s
= =
r
(b)
. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ) ( ) ( )2. 1 18 8 60 sin 60 8 0 0
0 0 60 1 cos 60 0 0 1920 /
0 0 0 0 240 0
transp BAa w w r mm s
= = = =
r r r r
( )2 2
2
.
sin 60 1299300cos 60 750 /
600 0
rel
ua mm s
R
= = =
rr
( )2. 18 300 cos 60 0
2 2 0 300 sin 60 0 /
0 0 4156.9
cora w u mm s
= = =
r r r
( )21299 0 0 1299
750 1920 0 1170 /
0 0 4156.9 4156.9
Aa mm s
= + + =
r
5. Uma barra CD com 160 mm est ligada ao brao ABC por intermdio de uma
articulao em C. Na posio mostrada, a barra CD roda velocidade angular constante
23 /dw rad s
dt= = em torno de um eixo que passa por C e paralelo ao eixo X.
Simultaneamente o conjunto roda em torno de Y velocidade angular constante
14 /w rad s= . Sabendo que 30 = , determine a velocidade e a acelerao do ponto D.
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(a)
..
2 1
transprel
D CD BD
vvv w r w r
= + rr
r r r r r
1424314243
( )
0 0
160 sin 30 80
160 cos30 138.6
CDr mm
= =
r
( )
0 0 0
0 80 80
80 138.6 58.6
BD BC CDr r r mm
= + = + =
r r r
( )
3 0 0 0 0 234.4 234.4
0 80 4 80 415.8 0 415.8 /
0 138.6 0 58.6 240 0 240
Dv mm s
= + = + =
r
(b)
. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ) ( )2. 1 10 0 0 0 234.4 0
4 4 80 4 0 0 /
0 0 58.6 0 0 937.6
transp BDa w w r mm s
= = = =
r r r r
( ) ( )2. 2 23 3 0 3 0 0
0 0 80 0 415.8 720 /
0 0 138.6 0 240 1247.4
rel CDa w w r mm s
= = = =
r r r r
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( ).
2
. 1 2
0 0 1920
2 2 4 415.8 0 /
0 240 0rel
cor CD
v
a w w r mm s
= = =
r
r r r r
14243
( )20 0 1920 1920
720 0 0 720 /
1247.4 937.6 0 2185
Aa mm s
= + + =
r
6. O cilindro mostrado gira a uma velocidade angular constante 2 8 /w rad s= em
relao barra CD, que por sua vez roda com velocidade angular constante
16 /w rad s= em torno do eixo X. Para a posio mostrada, determine a velocidade e a
acelerao do ponto A na aresta do cilindro.
(a)
..
2 1
transprel
A CA DA
vv
v w r w r = + rr
r r r r r
12314243
( )
120
0
0
CAr mm
=
r
( )
120
180
0
DAr mm
=
r
( )
0 120 6 120 0 0 0
8 0 0 180 0 0 0 /
0 0 0 0 960 1080 120
Av mm s
= + = + =
r
(b)
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. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ) ( )2
. 1 1
6 6 120 6 0 0
0 0 180 0 0 6480 /0 0 0 0 1080 0
transp DAa w w r mm s
= = = =
r r r r
( ) ( )2. 2 20 0 120 0 0 7680
8 8 0 8 0 0 /
0 0 0 0 960 0
rel CAa w w r mm s
= = = =
r r r r
( ).
2
. 1 2
6 0 0
2 2 0 0 11520 /
0 960 0rel
cor CA
v
a w w r mm s
= = =
r
r r r r
14243
( )26480 7680 0 7680
0 0 11520 5040 /
0 0 0 0
Aa mm s
= + + =
r
7. A placa vertical mostrada est soldada ao brao EFG, e o conjunto roda com
velocidade angular constante1
1,6 /w rad s= em torno do eixo Y. Ao mesmo tempo,
uma corrente desloca-se ao longo do permetro da placa com uma velocidade constante
45 /u mm s= . Para a posio mostrada, determine a acelerao do elo da corrente
situado (a) no ponto C, (b) no ponto D.
(a)
. . .C rel transp cor a a a a= + +r r r r
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( ) ( )2. 1 10 0 50 0 0 128
1.6 1.6 90 1.6 0 0 /
0 0 0 0 80 0
transp FC a w w r mm s
= = = =
r r r r
( )2 2
2
.
0 045
1 67.5 /30
0 0
rel
ua mm s
R
= = =
rr
( )2. 10 0 144
2 2 1.6 0 0 /
0 45 0
cora w u mm s
= = =
r r r
( )2128 0 144 16
0 67.5 0 67.5 /
0 0 0 0
Ca mm s
= + + =
r
(b)
. . . D rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ) ( )2. 1 10 0 50 0 48 128
1.6 1.6 0 1.6 0 0 /
0 0 30 0 80 76.8
transp FDa w w r mm s
= = = =
r r r r
( )2.0
0 /
0
rela mm s
=
r
( )2
. 1
0 0 0
2 2 1.6 45 0 /0 0 0
cora w u mm s
= = =
r r r
( )2128
0 /
76.8
Da mm s
=
r
8. Na posio mostrada, a barra delgada desloca-se para o exterior do tubo BC com
velocidade constante 30 /u mm s= . Ao mesmo tempo o tubo BC gira a uma velocidade
angular constante 2 1,5 /w rad s= em relao ao brao CD. Sabendo que o conjunto
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roda em torno do eixo X a uma velocidade angular constante1
1,2 /w rad s= , determine
a velocidade e a acelerao da extremidade A da barra.
(a)
..
2 1
transprel
A CA DA
vv
v w r u w r = + + rr
r r r r r r
12314243
( )
0 60 30 1.2 60 0 30 0 30
0 0 0 0 0 90 0 108 18 /
1.5 0 0 0 90 0 0 0 0
Av mm s
= + + = + + =
r
(b)
. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ) ( )2. 1 11.2 1.2 60 1.2 0 0
0 0 0 0 108 0 /
0 0 90 0 0 129.6
transp DC a w w r mm s
= = = =
r r r r
( )
( )
. 2 2 2
2
2
0 0 60 0 30 0 0 0 135
0 0 0 2 0 0 0 90 90 90 /
1.5 1.5 0 1.5 0 1.5 0 0 0
rel CAa w w r w u
mm s
= + =
= + = + =
r r r r r r
( ).
2
. 1 2
1.2 30 0
2 2 0 90 0 /
0 0 216rel
cor CA
v
a w w r u mm s
= + = =
r
r r r r r
14243
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( )20 135 0 135
0 90 0 90 /
129.6 0 216 86.4
Aa mm s
= + + =
r
Pelo mtodo da rotao em torno de um ponto fixo temos:
1. acelerao angular pela relao fundamental:
{ {( )21 2 2/ 1 2
0 0
1.2 0 0
0 0 1.8 /
0 1.5 0
Rw w w w w w rad s
= =
= = + = + = =
r r r r r r r& & & &
( ) 2 A DA DAa w w r r w u= + + rr r r r r r r
( )21.2 1.2 60 0 60 1.2 30
0 0 0 1.8 0 2 0 0 /
1.5 1.5 90 0 90 1.5 0
Aa mm s
= + +
r
( )21.2 0 162 1.2 30
0 18 0 2 0 0 /
1.5 0 108 1.5 0
Aa mm s
= + +
r
( )227 162 0 135
0 0 90 90 /
21.6 108 0 86.4
Aa mm s
= + + =
r
9. No sistema de engrenagens da figura, a engrenagem B fixa e a engrenagem A gira
em torno da recta N-N com velocidade angularA
w . A engrenagem C acoplada, por
meio de uma junta universal em O, ao pedestal preso engrenagem B. Para
30 /A
w rad s= , 30 = , 45 = e 52,5 = , determine (a) a acelerao angular, (b) a
acelerao do ponto P da engrenagem C.
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(a)
A OP OP w r w r = r r r r
Onde wr
a velocidade angular total da roda C. Repare-se que o vector wr
tem a
direco da recta Q-O.
0 sin sin sin
cos cos cos
0 0 0 0
A
d w d
w d w d
=
( )
0 0
0 0
sin sin cos cos sinA
w d w d
= +
( ) ( )sin sin 45
30 21.96 /sin sin 75
Aw w rad s
= = = +
Podemos ento escrever a velocidade total da roda C, como sendo o resultado da adio
de uma velocidade angular de transporte.trw
r, que tem a direco do eixo Y, com a
velocidade angular relativa Cwr
, que tem a direco da recta D-O.
.tr Cw w w= +r r r
( )( ) .
sin sin 0
cos cos
0 0 0
C
C tr
w w
w w w
+
= + +
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( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin 45 sin 30
30 11.07 /sin sin sin 75 sin 97.5
C Aw w rad s
= = =
+ +
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ).
sin sin sin 45 sin 127.530 17.57 /
sin sin sin 75 sin 97.5tr Aw w rad s
+ + = = =
+ +
sin 10.98
cos 19.02 /
0 0
w
w w rad s
= =
r
( )( )
sin 10.97
cos 1.44 /
0 0
C
C C
w
w w rad s
+
= + =
r
.
0
17.57 /
0
trw rad s
=
r
A acelerao angular a derivada em ordem ao tempo da velocidade angular total da
roda:
{ { ( )2
. / .
0 0
0
0 /
192.7
tr C C R tr C w w w w w w rad s
= =
= = + = + =
r r r r r r r& & & &
(b)
Pelo mtodo da rotao em torno de um ponto fixo temos:
( ) P OP OP a w w r r = + rr r r r r
10.98 10.98 sin 45 0 sin 4519.02 19.02 cos 45 0 cos 45
0 0 0 192.7 0
P
d da d d
= +
r
2
10.98 0 136.26 539.5
19.02 0 136.26 96.5 /
0 21.2 0 0
P
d d
a d d mm s
d
= + =
r
Pelo mtodo dos referenciais rotativos temos:
. . . P rel transp cor a a a a= + +r r r r
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( ) ( )2. . .0 0 sin 45 218,9
17,57 17,57 cos 45 0 /
0 0 0 0
transp tr tr OP
d d
a w w r d m s
= = =
r r r r
( ) ( )2.10,97 10,97 sin 45 12,64
1, 44 1, 44 cos 45 96, 4 /
0 0 0 0
rel C C OP
d d
a w w r d d m s
= = =
r r r r
( ) ( )2. .0 0 309
2 2 17,57 0 0 /
0 8,78 0
cor tr C OP
d
a w w r m s
d
= = =
r r r r
( )2540,5
96,4 /
0
P
d
a d m s
=
r
10. Um misturador um carrossel constitudo por trs braos principais que giram com
velocidade angular constante1 1
w = & e trs conjuntos de quatro braos secundrios, que
giram com velocidade angular constante2 2
w = & , em torno de um eixo O, situado na
extremidade de cada brao principal. Observe que 1 e 2 tm sentidos opostos.Deduza a frmula da velocidade e da acelerao do passageiro em A, como uma funo
de1 2, , , ,w w r a b .
8/3/2019 exercicios_-_cinematica_do_solido
16/21
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1 2
..
A OAOA
vel relativavel transporte
v w r w r = + r r r r r
14243123
( )
( )
( )
( )
1 2 2
1 2 2
1 2
0 sin sin 0 sin
0 cos cos 0 cos0 0
A
r b a b a
v r b a b aw w
+ +
= + + + +
r
( )( )( )( )
( )
( )1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
cos cos cos
sin sin sin
00
A
r b a w w b a
v r b a w w b a
+ + +
= + + +
r
. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r
( )( )
( )1 2
. 1 1 1 2
1 1
0 0 sin sin
0 0 cos cos
0
transp OA
r b a
a w w r r b a
w w
+
= = + +
r r r r
( )( )( )( )
( )( )( )( )
2
1 2 1 1 2 1
2
. 1 2 1 1 2 1
1
cos cos sin sin0
0 sin sin cos cos
0 0
transp
r b a w r b a w
a r b a w r b a w
w
+ + +
= + = + +
r
( )( )
( )( )( )
2
2 2 2
2
. 2 2 2 2 2
2 2
0 0 sin sin
0 0 cos cos
0 0
rel OA
b a w b a
a w w r b a w b a
w w
+ +
= = + = +
r r r r
( )
( )
( )
( )
( )2 2 1 2 2
. 1 2 2 2 1 2 2
1
0 cos 2 sin
2 2 0 sin 2 cos
0 0
cor OA
w b a w w b a
a w w r w b a w w b a
w
+ +
= = + = +
r r r r
11. Considere o problema de rolamento sem escorregamento de um cilindro C em torno
de uma superfcie plana. O eixo OD do cilindro gira em torno de um eixo fixo vertical
OZ com velocidade angular 10 /w rad s= , no sentido anti-horrio. Considere que
2R m= e 0,5r m= . Determine (a) a velocidade do ponto P; (b) a acelerao do ponto
B atravs do mtodo dos referenciais rotativos; (c) a acelerao do ponto P atravs do
mtodo da rotao em torno de um ponto fixo.
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(a)
Clculo da velocidade angular CPwr
:
0 2 0
0 0 20 /
10 0 0
C OCv w r m s
= = =
r r r
O ponto de contacto do cilindro C com a superfcie plana tem (neste instante)
velocidade nula. Ento esse ponto o centro instantneo de rotao (vamos chamar a
esse ponto I) e a velocidade do ponto C pode ser calculada da seguinte forma:
0 0
0 0 0.5 /
0 0.5 0
CP
C CP IC CP
w
v w r w m s
= = =
r r r
Igualando as duas expresses para a velocidade do ponto C obtemos:
4040 / 0 /
0
CP CP w rad s w rad s
= =
r
Considerando o movimento de transporte como sendo o movimento associado a wr
e o
movimento relativo como sendo o movimento associado a CPwr
, podemos ento calcular
a velocidade do ponto P:
. .
0 2 40 0 5
0 0.5 0 0.5 20 /10 0 0 0 20
P OP CP CP
vel transporte vel relativav w r w r m s
= + = + =
r r r r r
123 14243
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(b)
Pelo mtodo dos sistemas rotativos temos componentes da acelerao devido ao
movimento de transporte, movimento relativo e devido acelerao de Coriolis:
. . . P rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ) 2.
0 0 2 0 5 200
0 0 0.5 0 20 50 /
10 10 0 10 0 0
transp OP a w w r m s
= = = =
r r r r
( ) 2.
40 40 0 40 0 0
0 0 0.5 0 0 800 /
0 0 0 0 20 0
rel CP CP CP a w w r m s
= = = =
r r r r
( ) 2.
0 0 0
2 2 0 0 0 /
10 20 0
cor CP CP a w w r m s
= = =
r r r r
2
200 0 200
50 800 850 /
0 0 0
Pa m s
= + =
r
(c)
Pelo mtodo da rotao em torno de um ponto fixo, a acelerao tem apenas a
componente da acelerao normal e a componente da acelerao tangencial:
( ). .acel.tangencialacel.normal
P tot tot OP OP a w w r r = + rr r r r r
1231442443
A velocidade angular a soma de wr
com CPwr
:
.
40
0 /
10
tot CP w w w rad s
= + =
r r r
Clculo da acelerao angularr
:
{{
2
. | .
00
0 40 0
0 0 400 /10 0 0
tot CP CP rot CP w w w w w w rad s=
=
= = + = + = =
r r r r r r r& & & &
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2
40 40 2 0 2 40 5 0 200
0 0 0.5 400 0.5 0 20 0 850 /
10 10 0 0 0 10 20 800 0
Pa m s
= + = + =
r
12. A carcaa do motor e o seu suporte giram em torno do eixo Z com velocidade
angular constante 3 /rad s =& . O eixo do motor e o disco giram com velocidades
angulares 4 /rad s =& e 8 /rad s =& , respectivamente. Para 350l mm= ,1
300l mm= ,
150h mm= , o raio do disco 120r mm= e para o instante de tempo em que 030 = ,
determine (a) a acelerao angular do disco, (b) a acelerao do ponto A.
(a)
A velocidade angular total do disco :
w = + +r r rr & & &
O vector r&
constante em mdulo e na sua direco ao longo do movimento do
conjunto, logo a sua variao ao longo do tempo nula.
O vector r&
varia em direco quando sujeito ao movimento angular imposto por r&
.
Essa variao pode ser obtida da seguinte forma:
| = + &
r r r r&& && & &
A variao de r&
em relao ao sistema rotativo comandado por r&
zero. Assim, a
variao ao longo do tempo da direco do vectorr&
:
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2
0 0
0 0 /
0 0
rad s
= = =
&r r r&& & & & &
&
O vector r& varia em direco quando sujeito ao movimento angular imposto por r& e
tambm quando sujeito ao movimento angular de r&
. A variao r& ao longo do tempo
determinada da seguinte forma:
| = + &
rr r r&&& && &
Repare-se que|
&r&& no zero!
{| |
0
=
= + & &rr r r&&& && &
Assim, a variao total de r& :
2
0 0 0 cos
0 cos 0 cos sin /
0 sin sin cos
rad s
= + = + =
& &&r rr r r& &&& & & && & &
& && & &
A acelerao angular do disco ento:
2
cos
sin /
cos
w rad s
= = + = + + =
&&r r r r rr r r rr && & & & &&& & && & & & &
& &
(b)
Para a resoluo da acelerao do ponto A, vamos considerar o movimento de
transporte associado ao movimento proporcionado por
r&
e os movimentos relativos osassociados aos movimentos
r&e
r& .
Nestas condies, a acelerao do ponto A :
. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r
( ).transp OAa r = r rr r& &
( ) ( ) ( ). 2rel BA CA CAa r r r = + + r r rr r rr r r r& & && & &
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Onde C o ponto no centro do disco. Note-se a presena de um termo da acelerao de
Coriolis na acelerao relativa onde esto apenas envolvidos os graus de liberdade r&
e
r& associados ao movimento relativo.
( ). 2cor BA CAa r r = + r r rr r r& & &
Nota:
0
sin
cos
CAr r
r
=
r
1
1
0
cos sin
sin cos
BAr l r
l r
= +
r
1
1
0
cos sin
sin cos
OAr l l r
h l r
= + + +
r