exercicios_-_cinematica_do_solido

8/3/2019 exercicios_-_cinematica_do_solido

1/21

DEM Mecnica Aplicada UA

Rui Cardoso 2006/2007

1. O brao AB gira com uma velocidade angular de 20 rpm no sentidoanti-horrio. Sabendo que a roda exterior C permanece estacionria,determine (a) a velocidade angular da roda B, (b) a velocidade dodente da roda, localizado no ponto D.

(a)

/

0 120 0

0 0 120

0 0

B A B A AB AB AB

AB

v v v w r w

w

= + = = =

r r r r r

/ / B I B I B I r IBv v v v w r = + = = r r r r r r

0 0 50

120 0 0

0 0

AB

r

w

w

=

( )

0

120 50 48rpm 0 /

248

60

AB r r r w w w w rad s

= = =

r

(b)

( )/

00 0 251.3

2120 20 0 50 251.3 /

602 0 0

048 60

D B D B B r BDv v v v w r mm s

= + = + = + =

r r r r r r


2/21



2. Sabendo que a manivela AB tem uma velocidade angularconstante de 160 rpm no sentido anti-horrio, determine a velocidadeangular da biela BD e a velocidade do cursor D quando 60 = .

/

0

0

0 30 cos 30 sin

0 30 sin 30 cos

0 0

D

D

B A B A AB

v

v

v v v r

=

= + = = =

r

&r

r r r r& &

&

/

30 sin 0 100 cos

0 30 cos 0 100 sin

0 0 0

D

D B D B

v

v v v

w

= + = +

&

r r r &

30 sin 100 sin

0 30 cos 100 cos

0 0

Dv w

w

= +

&

&

30 cos

100 cos

30 cos30 sin 100 sin 30 sin 30 cos

100 cosD

w

v tg

=

= = +

&

&& & &


3/21



Para 60 = :

19.9 =

30 160 2 cos 602.67 /60 100 cos19.9

160 2 160 230 sin 60 30 cos 60 19.9 344.3 /

60 60D

w rad s

v tg mm s

= =

= =

3. No trem planetrio mostrado, os raios das rodas dentadas A, B, Ce D de 30 mm, e o raio do planeta exterior E de 90 mm. Sabendoque este tem uma velocidade angular de 120 rpm no sentido horrio

e que o planeta interior tem uma velocidade angular de 150 rpm nosentido horrio, determine (a) a velocidade angular de cada rodadentada, (b) a velocidade angular do porta-satlites.

(a)

23

0 0 60

0 3 0

2 0 0

60

E

I

E

wr

v r

w

= =

r


4/21



2

0 0 60

0 0

2 0 0

60

I

T

I

wr

v r

w

= =

r

I T r TI v v w r = + r r r r

2 23

0 060 60

0 0 0 2

0 0 0

E I

r

w wr r

r

w

= +

2 23

260 60

0 0 0

0 0 0

E I

r

w wr r

r w

= +

32( / )

60 2

I Er

w ww rad s

=

3( )2

I Er

w ww rpm

=

Para 120Ew rpm= e 150Iw rpm= temos:

( )

0

105 0

105

r rw rpm w rpm

= =

r

(b)

B p ABv w r= r r r

B I r IBv v w r = + r r r r

0 0 2

0 2 0

0 0

p

B p A B

p

r w

v w r r

w

= = =

r r r


5/21



3223

0 0 60 260

0 0 0

0 3 0 02

60 2

I EE

B I r IB

I E

w wwrr

v v w r r

w w

+ = + = + =

r r r r

Igualando obtemos:

32

2 60 2

0 0

0 0

I E

p

w wr

r w

+

=

( )32

/60 4

I Ep

w ww rad s

+ =

Para 120Ew rpm= e 150Iw rpm= temos:

( )

0150 3 120

127.5 04

127.5

p pw rpm rpm w rpm

+

= = =

r

4. A barra dobrada EBD roda velocidade constante 1 8 /w rad s= . Sabendo que o

cursor A se desloca para cima ao longo da barra com uma velocidade relativa constante

300 /u mm s= e que 60 = , determine (a) a velocidade de A, (b) a acelerao de A.

(a)

' / ' A A A A

v v v= +r r r


6/21



Ou aplicando a relao fundamental:

'

1 / ' 1

A

A OA A A OA

v

v w r v w r u= + = +r

r r r r r r r

123

( ) ( )

/ ' 1

300 cos 60 8 60 sin 60 300 cos60 8 60 sin 60

300 sin 60 0 60 1 cos 60 300 sin 60 0 60 1 cos 60

0 0 0 0 0 0

A A OA

A

v w r

OB

v

+

= + = +

r r r

r

1442443 14444244443

( )

( )

300 cos60 150

300 sin 60 259.8 /

480 1 cos 60 240

Av mm s

= =

r

(b)

. . . A rel transp cor a a a a= + +r r r r

( ) ( ) ( )2. 1 18 8 60 sin 60 8 0 0

0 0 60 1 cos 60 0 0 1920 /

0 0 0 0 240 0

transp BAa w w r mm s

= = = =

r r r r

( )2 2

2

.

sin 60 1299300cos 60 750 /

600 0

rel

ua mm s

R

= = =

rr

( )2. 18 300 cos 60 0

2 2 0 300 sin 60 0 /

0 0 4156.9

cora w u mm s

= = =

r r r

( )21299 0 0 1299

750 1920 0 1170 /

0 0 4156.9 4156.9

Aa mm s

= + + =

r

5. Uma barra CD com 160 mm est ligada ao brao ABC por intermdio de uma

articulao em C. Na posio mostrada, a barra CD roda velocidade angular constante

23 /dw rad s

dt= = em torno de um eixo que passa por C e paralelo ao eixo X.

Simultaneamente o conjunto roda em torno de Y velocidade angular constante

14 /w rad s= . Sabendo que 30 = , determine a velocidade e a acelerao do ponto D.


7/21



(a)

..

2 1

transprel

D CD BD

vvv w r w r

= + rr

r r r r r

1424314243

( )

0 0

160 sin 30 80

160 cos30 138.6

CDr mm

= =

r

( )

0 0 0

0 80 80

80 138.6 58.6

BD BC CDr r r mm

= + = + =

r r r

( )

3 0 0 0 0 234.4 234.4

0 80 4 80 415.8 0 415.8 /

0 138.6 0 58.6 240 0 240

Dv mm s

= + = + =

r

(b)


( ) ( )2. 1 10 0 0 0 234.4 0

4 4 80 4 0 0 /

0 0 58.6 0 0 937.6

transp BDa w w r mm s

= = = =

r r r r

( ) ( )2. 2 23 3 0 3 0 0

0 0 80 0 415.8 720 /

0 0 138.6 0 240 1247.4

rel CDa w w r mm s

= = = =

r r r r


8/21



( ).

2

. 1 2

0 0 1920

2 2 4 415.8 0 /

0 240 0rel

cor CD

v

a w w r mm s

= = =

r

r r r r

14243

( )20 0 1920 1920

720 0 0 720 /

1247.4 937.6 0 2185

Aa mm s

= + + =

r

6. O cilindro mostrado gira a uma velocidade angular constante 2 8 /w rad s= em

relao barra CD, que por sua vez roda com velocidade angular constante

16 /w rad s= em torno do eixo X. Para a posio mostrada, determine a velocidade e a

acelerao do ponto A na aresta do cilindro.

(a)

..

2 1

transprel

A CA DA

vv

v w r w r = + rr

r r r r r

12314243

( )

120

0

0

CAr mm

=

r

( )

120

180

0

DAr mm

=

r

( )

0 120 6 120 0 0 0

8 0 0 180 0 0 0 /

0 0 0 0 960 1080 120

Av mm s

= + = + =

r

(b)


9/21




( ) ( )2

. 1 1

6 6 120 6 0 0

0 0 180 0 0 6480 /0 0 0 0 1080 0

transp DAa w w r mm s

= = = =

r r r r

( ) ( )2. 2 20 0 120 0 0 7680

8 8 0 8 0 0 /

0 0 0 0 960 0

rel CAa w w r mm s

= = = =

r r r r

( ).

2

. 1 2

6 0 0

2 2 0 0 11520 /

0 960 0rel

cor CA

v

a w w r mm s

= = =

r

r r r r

14243

( )26480 7680 0 7680

0 0 11520 5040 /

0 0 0 0

Aa mm s

= + + =

r

7. A placa vertical mostrada est soldada ao brao EFG, e o conjunto roda com

velocidade angular constante1

1,6 /w rad s= em torno do eixo Y. Ao mesmo tempo,

uma corrente desloca-se ao longo do permetro da placa com uma velocidade constante

45 /u mm s= . Para a posio mostrada, determine a acelerao do elo da corrente

situado (a) no ponto C, (b) no ponto D.

(a)

. . .C rel transp cor a a a a= + +r r r r


10/21



( ) ( )2. 1 10 0 50 0 0 128

1.6 1.6 90 1.6 0 0 /

0 0 0 0 80 0

transp FC a w w r mm s

= = = =

r r r r

( )2 2

2

.

0 045

1 67.5 /30

0 0

rel

ua mm s

R

= = =

rr

( )2. 10 0 144

2 2 1.6 0 0 /

0 45 0

cora w u mm s

= = =

r r r

( )2128 0 144 16

0 67.5 0 67.5 /

0 0 0 0

Ca mm s

= + + =

r

(b)

. . . D rel transp cor a a a a= + +r r r r

( ) ( )2. 1 10 0 50 0 48 128

1.6 1.6 0 1.6 0 0 /

0 0 30 0 80 76.8

transp FDa w w r mm s

= = = =

r r r r

( )2.0

0 /

0

rela mm s

=

r

( )2

. 1

0 0 0

2 2 1.6 45 0 /0 0 0

cora w u mm s

= = =

r r r

( )2128

0 /

76.8

Da mm s

=

r

8. Na posio mostrada, a barra delgada desloca-se para o exterior do tubo BC com

velocidade constante 30 /u mm s= . Ao mesmo tempo o tubo BC gira a uma velocidade

angular constante 2 1,5 /w rad s= em relao ao brao CD. Sabendo que o conjunto


11/21



roda em torno do eixo X a uma velocidade angular constante1

1,2 /w rad s= , determine

a velocidade e a acelerao da extremidade A da barra.

(a)

..

2 1

transprel

A CA DA

vv

v w r u w r = + + rr

r r r r r r

12314243

( )

0 60 30 1.2 60 0 30 0 30

0 0 0 0 0 90 0 108 18 /

1.5 0 0 0 90 0 0 0 0

Av mm s

= + + = + + =

r

(b)


( ) ( )2. 1 11.2 1.2 60 1.2 0 0

0 0 0 0 108 0 /

0 0 90 0 0 129.6

transp DC a w w r mm s

= = = =

r r r r

( )

( )

. 2 2 2

2

2

0 0 60 0 30 0 0 0 135

0 0 0 2 0 0 0 90 90 90 /

1.5 1.5 0 1.5 0 1.5 0 0 0

rel CAa w w r w u

mm s

= + =

= + = + =

r r r r r r

( ).

2

. 1 2

1.2 30 0

2 2 0 90 0 /

0 0 216rel

cor CA

v

a w w r u mm s

= + = =

r

r r r r r

14243


12/21



( )20 135 0 135

0 90 0 90 /

129.6 0 216 86.4

Aa mm s

= + + =

r

Pelo mtodo da rotao em torno de um ponto fixo temos:

1. acelerao angular pela relao fundamental:

{ {( )21 2 2/ 1 2

0 0

1.2 0 0

0 0 1.8 /

0 1.5 0

Rw w w w w w rad s

= =

= = + = + = =

r r r r r r r& & & &

( ) 2 A DA DAa w w r r w u= + + rr r r r r r r

( )21.2 1.2 60 0 60 1.2 30

0 0 0 1.8 0 2 0 0 /

1.5 1.5 90 0 90 1.5 0

Aa mm s

= + +

r

( )21.2 0 162 1.2 30

0 18 0 2 0 0 /

1.5 0 108 1.5 0

Aa mm s

= + +

r

( )227 162 0 135

0 0 90 90 /

21.6 108 0 86.4

Aa mm s

= + + =

r

9. No sistema de engrenagens da figura, a engrenagem B fixa e a engrenagem A gira

em torno da recta N-N com velocidade angularA

w . A engrenagem C acoplada, por

meio de uma junta universal em O, ao pedestal preso engrenagem B. Para

30 /A

w rad s= , 30 = , 45 = e 52,5 = , determine (a) a acelerao angular, (b) a

acelerao do ponto P da engrenagem C.


13/21



(a)

A OP OP w r w r = r r r r

Onde wr

a velocidade angular total da roda C. Repare-se que o vector wr

tem a

direco da recta Q-O.

0 sin sin sin

cos cos cos

0 0 0 0

A

d w d

w d w d

=

( )

0 0

0 0

sin sin cos cos sinA

w d w d

= +

( ) ( )sin sin 45

30 21.96 /sin sin 75

Aw w rad s

= = = +

Podemos ento escrever a velocidade total da roda C, como sendo o resultado da adio

de uma velocidade angular de transporte.trw

r, que tem a direco do eixo Y, com a

velocidade angular relativa Cwr

, que tem a direco da recta D-O.

.tr Cw w w= +r r r

( )( ) .

sin sin 0

cos cos

0 0 0

C

C tr

w w

w w w

+

= + +


14/21



( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin 45 sin 30

30 11.07 /sin sin sin 75 sin 97.5

C Aw w rad s

= = =

+ +

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ).

sin sin sin 45 sin 127.530 17.57 /

sin sin sin 75 sin 97.5tr Aw w rad s

+ + = = =

+ +

sin 10.98

cos 19.02 /

0 0

w

w w rad s

= =

r

( )( )

sin 10.97

cos 1.44 /

0 0

C

C C

w

w w rad s

+

= + =

r

.

0

17.57 /

0

trw rad s

=

r

A acelerao angular a derivada em ordem ao tempo da velocidade angular total da

roda:

{ { ( )2

. / .

0 0

0

0 /

192.7

tr C C R tr C w w w w w w rad s

= =

= = + = + =

r r r r r r r& & & &

(b)

Pelo mtodo da rotao em torno de um ponto fixo temos:

( ) P OP OP a w w r r = + rr r r r r

10.98 10.98 sin 45 0 sin 4519.02 19.02 cos 45 0 cos 45

0 0 0 192.7 0

P

d da d d

= +

r

2

10.98 0 136.26 539.5

19.02 0 136.26 96.5 /

0 21.2 0 0

P

d d

a d d mm s

d

= + =

r

Pelo mtodo dos referenciais rotativos temos:

. . . P rel transp cor a a a a= + +r r r r


15/21



( ) ( )2. . .0 0 sin 45 218,9

17,57 17,57 cos 45 0 /

0 0 0 0

transp tr tr OP

d d

a w w r d m s

= = =

r r r r

( ) ( )2.10,97 10,97 sin 45 12,64

1, 44 1, 44 cos 45 96, 4 /

0 0 0 0

rel C C OP

d d

a w w r d d m s

= = =

r r r r

( ) ( )2. .0 0 309

2 2 17,57 0 0 /

0 8,78 0

cor tr C OP

d

a w w r m s

d

= = =

r r r r

( )2540,5

96,4 /

0

P

d

a d m s

=

r

10. Um misturador um carrossel constitudo por trs braos principais que giram com

velocidade angular constante1 1

w = & e trs conjuntos de quatro braos secundrios, que

giram com velocidade angular constante2 2

w = & , em torno de um eixo O, situado na

extremidade de cada brao principal. Observe que 1 e 2 tm sentidos opostos.Deduza a frmula da velocidade e da acelerao do passageiro em A, como uma funo

de1 2, , , ,w w r a b .


16/21



1 2

..

A OAOA

vel relativavel transporte

v w r w r = + r r r r r

14243123

( )

( )

( )

( )

1 2 2

1 2 2

1 2

0 sin sin 0 sin

0 cos cos 0 cos0 0

A

r b a b a

v r b a b aw w

+ +

= + + + +

r

( )( )( )( )

( )

( )1 2 1 2 2

1 2 1 2 2

cos cos cos

sin sin sin

00

A

r b a w w b a

v r b a w w b a

+ + +

= + + +

r


( )( )

( )1 2

. 1 1 1 2

1 1

0 0 sin sin

0 0 cos cos

0

transp OA

r b a

a w w r r b a

w w

+

= = + +

r r r r

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2

1 2 1 1 2 1

2

. 1 2 1 1 2 1

1

cos cos sin sin0

0 sin sin cos cos

0 0

transp

r b a w r b a w

a r b a w r b a w

w

+ + +

= + = + +

r

( )( )

( )( )( )

2

2 2 2

2

. 2 2 2 2 2

2 2

0 0 sin sin

0 0 cos cos

0 0

rel OA

b a w b a

a w w r b a w b a

w w

+ +

= = + = +

r r r r

( )

( )

( )

( )

( )2 2 1 2 2

. 1 2 2 2 1 2 2

1

0 cos 2 sin

2 2 0 sin 2 cos

0 0

cor OA

w b a w w b a

a w w r w b a w w b a

w

+ +

= = + = +

r r r r

11. Considere o problema de rolamento sem escorregamento de um cilindro C em torno

de uma superfcie plana. O eixo OD do cilindro gira em torno de um eixo fixo vertical

OZ com velocidade angular 10 /w rad s= , no sentido anti-horrio. Considere que

2R m= e 0,5r m= . Determine (a) a velocidade do ponto P; (b) a acelerao do ponto

B atravs do mtodo dos referenciais rotativos; (c) a acelerao do ponto P atravs do

mtodo da rotao em torno de um ponto fixo.


17/21



(a)

Clculo da velocidade angular CPwr

:

0 2 0

0 0 20 /

10 0 0

C OCv w r m s

= = =

r r r

O ponto de contacto do cilindro C com a superfcie plana tem (neste instante)

velocidade nula. Ento esse ponto o centro instantneo de rotao (vamos chamar a

esse ponto I) e a velocidade do ponto C pode ser calculada da seguinte forma:

0 0

0 0 0.5 /

0 0.5 0

CP

C CP IC CP

w

v w r w m s

= = =

r r r

Igualando as duas expresses para a velocidade do ponto C obtemos:

4040 / 0 /

0

CP CP w rad s w rad s

= =

r

Considerando o movimento de transporte como sendo o movimento associado a wr

e o

movimento relativo como sendo o movimento associado a CPwr

, podemos ento calcular

a velocidade do ponto P:

. .

0 2 40 0 5

0 0.5 0 0.5 20 /10 0 0 0 20

P OP CP CP

vel transporte vel relativav w r w r m s

= + = + =

r r r r r

123 14243


18/21



(b)

Pelo mtodo dos sistemas rotativos temos componentes da acelerao devido ao

movimento de transporte, movimento relativo e devido acelerao de Coriolis:

. . . P rel transp cor a a a a= + +r r r r

( ) 2.

0 0 2 0 5 200

0 0 0.5 0 20 50 /

10 10 0 10 0 0

transp OP a w w r m s

= = = =

r r r r

( ) 2.

40 40 0 40 0 0

0 0 0.5 0 0 800 /

0 0 0 0 20 0

rel CP CP CP a w w r m s

= = = =

r r r r

( ) 2.

0 0 0

2 2 0 0 0 /

10 20 0

cor CP CP a w w r m s

= = =

r r r r

2

200 0 200

50 800 850 /

0 0 0

Pa m s

= + =

r

(c)

Pelo mtodo da rotao em torno de um ponto fixo, a acelerao tem apenas a

componente da acelerao normal e a componente da acelerao tangencial:

( ). .acel.tangencialacel.normal

P tot tot OP OP a w w r r = + rr r r r r

1231442443

A velocidade angular a soma de wr

com CPwr

:

.

40

0 /

10

tot CP w w w rad s

= + =

r r r

Clculo da acelerao angularr

:

{{

2

. | .

00

0 40 0

0 0 400 /10 0 0

tot CP CP rot CP w w w w w w rad s=

=

= = + = + = =

r r r r r r r& & & &


19/21



2

40 40 2 0 2 40 5 0 200

0 0 0.5 400 0.5 0 20 0 850 /

10 10 0 0 0 10 20 800 0

Pa m s

= + = + =

r

12. A carcaa do motor e o seu suporte giram em torno do eixo Z com velocidade

angular constante 3 /rad s =& . O eixo do motor e o disco giram com velocidades

angulares 4 /rad s =& e 8 /rad s =& , respectivamente. Para 350l mm= ,1

300l mm= ,

150h mm= , o raio do disco 120r mm= e para o instante de tempo em que 030 = ,

determine (a) a acelerao angular do disco, (b) a acelerao do ponto A.

(a)

A velocidade angular total do disco :

w = + +r r rr & & &

O vector r&

constante em mdulo e na sua direco ao longo do movimento do

conjunto, logo a sua variao ao longo do tempo nula.

O vector r&

varia em direco quando sujeito ao movimento angular imposto por r&

.

Essa variao pode ser obtida da seguinte forma:

| = + &

r r r r&& && & &

A variao de r&

em relao ao sistema rotativo comandado por r&

zero. Assim, a

variao ao longo do tempo da direco do vectorr&

:


20/21



2

0 0

0 0 /

0 0

rad s

= = =

&r r r&& & & & &

&

O vector r& varia em direco quando sujeito ao movimento angular imposto por r& e

tambm quando sujeito ao movimento angular de r&

. A variao r& ao longo do tempo

determinada da seguinte forma:

| = + &

rr r r&&& && &

Repare-se que|

&r&& no zero!

{| |

0

=

= + & &rr r r&&& && &

Assim, a variao total de r& :

2

0 0 0 cos

0 cos 0 cos sin /

0 sin sin cos

rad s

= + = + =

& &&r rr r r& &&& & & && & &

& && & &

A acelerao angular do disco ento:

2

cos

sin /

cos

w rad s

= = + = + + =

&&r r r r rr r r rr && & & & &&& & && & & & &

& &

(b)

Para a resoluo da acelerao do ponto A, vamos considerar o movimento de

transporte associado ao movimento proporcionado por

r&

e os movimentos relativos osassociados aos movimentos

r&e

r& .

Nestas condies, a acelerao do ponto A :


( ).transp OAa r = r rr r& &

( ) ( ) ( ). 2rel BA CA CAa r r r = + + r r rr r rr r r r& & && & &


21/21


Onde C o ponto no centro do disco. Note-se a presena de um termo da acelerao de

Coriolis na acelerao relativa onde esto apenas envolvidos os graus de liberdade r&

e

r& associados ao movimento relativo.

( ). 2cor BA CAa r r = + r r rr r r& & &

Nota:

0

sin

cos

CAr r

r

=

r

1

1

0

cos sin

sin cos

BAr l r

l r

= +

r

1

1

0

cos sin

sin cos

OAr l l r

h l r

= + + +

r

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