1
Control II
Sistema retroalimentado
Especificaciones del diseño:
- Estabilidad
- Precisión en estado estable
- Características de la respuesta (Cmax, Ts, Tr,…)
- Robustez
Configuraciones más comunes:
1.- Compensación en serie 2.-Compensación mediante retroalimentación
3.-Compensación en serie-retroalimentación
4.-Retroalimentación de estado
Controladores más comunes: - Proporcional (P)
- Proporcional-derivativo (PD)
- Proporcional-integral (PI)
- PID
- Retroalimentación de estado
- Linealización por retroalimentación
(Feedback linearization)
- Control robusto
- Control adaptativo
- Lógica difusa
- Combinaciones…
Material de clase:
http://www.robotica-up.org/
Education → Control Engineering II
Entrada controlador H(s)
Error Salida
medición
comparación (sensor) (deseado vs real)
2
Implementación física de un controlador
X(n) D/A X(s)
Y(n) A/D Y(s)
Yd= // comando del usuario
Y= // lo que viene del sensor
E=Yd-Y;
C= //código del controlador
X=E*C;
out(X) // X a puerto de salida
3
Performance of Second-Order Systems Fig.1. Transient response due to damping ξ
Fig.2. Step response of a control system
Rise time: The time it takes to rise from
10% to 90% of the magnitude of the step
response
n
rTω
ξ 6.016.2 +=
Peak response: Magnitude of the overshoot
21/
max 1ξξπ −−
+= eC
Peak time: Time required to reach the
maximum overshoot
21 ξω
π
−=
n
pT
Settling time: The time required to settle or
to reach steady-state.
n
sTξω
τ4
4 ==
Input Steady-state error
Step (A/s) *1 p
ssk
Ae
+= with: )(lim 0
* sGk sp →=
Ramp (A/s2) *
v
ssk
Ae = with: )(lim 0
* ssGk sv →=
Parabolic (2A/s3) *
a
ssk
Ae = with: )(lim 2
0
* sGsk sa →=
4
Summary of characteristics of P, I, and D controllers
(1) A proportional control (Kp) will have the effect of reducing the rise time and will reduce, but never eliminate, the
steady-state error. (2) A derivative control (Kd) will have the effect of increasing the stability of the system, reducing the
overshoot, and improving the transient response. (3) An integral control (Ki) will have the effect of eliminating the steady-
state error, but it may make the transient response worse.
CL RESPONSE RISE TIME OVERSHOOT SETTLING TIME S-S ERROR
Kp Decrease Increase Small Change Decrease
Ki Decrease Increase Increase Eliminate
Kd Small Change Decrease Decrease Small Change
ITAE Performance Index
The Integral of Time Absolute Error (ITAE) Criterion
The Optimum Coefficients of G(s) based on the ITAE Criterion for a Step Input
� � ��
��� 1.4��� � ��
�
�� 1.75���
�� 2.15��
�� � ��
� � 2.1���
� 3.4��
���� 2.7��
� � ��
��� 2.8���
� 5��
��� 5.5��
��� 3.4��
� � ��
�
��� 3.25���
�� 6.6��
�� � 8.6��
�� 7.45��
��� 3.95��
�� � ��
�
5
Método de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID
Método 1: Curva de reacción
Controlador kp kI kd
P �
�
- -
PI 0.9
�
�
0.3
�
-
PID 1.2
�
�
0.5
�
0.5�
Método 2: Oscilaciones
Controlador kp kI kd
P 0.5�� - -
PI 0.45�� 1.2�� -
PID 0.6�� 2
��
��
8
6
Root Locus - Introduction
7
Rules for Sketching the Root Locus
1.-Number of branches: The number of branches of the root locus equals the number of open-loop
poles.
2.- Real-axis segments: On the real axis, for K>0, the root locus exists to the left of an odd number
of real-axis, finite open-loop poles and/or finite open-loop zeros starting from the most far element
located to the right.
3.- Start and ending points: The root locus begins at the poles of G(s)H(s) and ends at the zeros of
G(s)H(s) or at the infinite when no zeros exist.
4.- Symmetry: If complex poles do exist in conjugate pairs, the root locus is symmetrical about the
real axis.
5.- Behavior at infinity: The root locus approaches straight lines as asymptotes as the root locus
approaches to infinity. Further, the equation of the asymptotes is given by the real-axis intercept
σa and angle θa as follows:
zerosfinitepolesfinite
zerosfinitepolesfinitea
_#_#
__
−
−=
∑∑σ
zerosfinitepolesfinite
ka
_#_#
)12(
−
+=
πθ
where k=0, ±1, ±2, ±3,… and the angle is given in radians with respect to the positive extension of
the real axis. K yields a multiplicity of lines that account for the many branches of a root locus that
approach infinity.
8
1.- Para cada uno de los LGR que se muestran a continuación, indique si es correcto o no.
2.-Dibuje el LGR para cada una de las siguientes gráficas.
3.-Dibuje el LGR para:
(a) 258
)6)(2()(
2++
++=
ss
ssKsG
(b) 1
)4()(
2
2
+
+=
s
sKsG
(c) 2
2 )1()(
s
sKsG
+=
(d) )4()1(
)(3
++=
ss
KsG
9
Lenguaje de Máquinas con Redes de Petri
Historia
Carl Adam Petri, matemático alemán, definió en
“Kommunication mit Automaten” (1962) una herramienta
matemática general que permite describir las relaciones
existentes entre eventos y condiciones para modelar o
representar el comportamiento dinámico de Sistemas de
Eventos Discretos (SED) de cualquier naturaleza.
Nociones básicas
Las Redes de Petri (RdP) tienen solo 2 elementos
principales:
Plazas (P): representadas con círculos
Transiciones (T): representadas con líneas
P y T están unidas por arcos que indican el flujo del
diagrama. P y T son finitos y no nulos.
Las RdP se definen entonces como una grafica bipartita,
hay una alternancia entre arcos y transiciones a lo largo de
la red.
RdP NUNCA
���� SIEMPRE
Marcaje
El numero de marcas contenidas en una plaza Pi se denota
por M(Pi) o mi . El marcaje total de la red, M, es el vector de
marcajes, o M=(m1 , m2 , m3 , …. , mn).
M(t) define el estado de la red en cierto instante t.
Validación de una transición
La validación de T define la evolución de la red. Para
validar una T se requiere que todas y cada una de las plazas
P previas a T contengan al menos una marca. Como
consecuencia todas y cada una de las plazas P posteriores
reciben una marca.
2 casos especiales:
(a) Transición fuente: siempre
se valida
(b) Transición pozo/destino:
solo consume marcas
RdP Autónoma: Cuando las condiciones de validación no
dependen de eventos externos sino que se dan de manera
independiente o autónoma.
RdP no Autónoma: Cuando las condiciones de validación
dependen de eventos externos, por ejemplo el tiempo.
Gráfica de estados: Una RdP es una gráfica de estados ssi
toda transición tiene exactamente una plaza de entrada y
una de salida
Gráfica de eventos: Ssi toda plaza tiene exactamente una
transición de entrada y otra de salida.
Conflicto: Un conflicto corresponde a la existencia de una
plaza que tiene al menos 2 transiciones de salida.
RdP ordinaria: Si el peso de todos los arcos es 1.
RdP generalizada: Si el peso de al menos uno de los arcos
es diferente a 1.
Propiedades de las RdP
RdP delimitada: Una Plaza Pi esta delimitada para un
marcaje inicial M0 si existe un numero entero k que para
todo marcaje accesible a partir de M0 el numero de marcas
en Pi sea inferior o igual a k. En otras palabras P esta
delimitada si el numero de marcas en ella es siempre finito
o no hay acumulación significante de ellas.
RdP viva: Cuando, sea cual sea la evolución de la red,
siempre exista la posibilidad de validar al menos una
transición.
Bloqueo: Cuando no existe la posibilidad de validar una
transición.
a) RdP Cuasi-viviente: Cuando no todas las transiciones
de la red se han bloqueado pero si funcionaron alguna
vez. b) RdP muerta: Cuando la red permanece en un
estado estancado y ya no evoluciona.
10
1.- Indicar si las estructuras siguientes son RdP. Para las que lo son indicar:
a) Las transiciones que son validadas
b) El marcaje después de validación
2.- Para cada una de las RdP siguientes indicar si: a) están delimitadas, b) vivas y c) si presentan bloqueo.
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Parte diseño – RdP
1.- Modelar con RdP el siguiente proceso automotriz:
** Considere un stock de piezas de capacidad infinita entre c/proceso y un solo robot soldador.
2.- Una línea de producción consta de 2 maquinas
M1 y M2. Las máquinas pueden descomponerse
mientras están trabajando una pieza. Existe un solo
reparador para ambas máquinas. Modele este
sistema con RdP.
3.- Cuando una máquina en producción termina una
pieza la deposita en un stock, cuya capacidad
máxima es de 3 piezas. Una 2° máquina consume
las piezas del stock. Modele este sistema con RdP.
4.- Cuatro personas P1�P4 están sentadas
alrededor de una mesa y disponen de 4 cucharas
c1�c4 dispuestas entre ellas. Una persona puede
tener esencialmente 2 estados: o habla o come. Para
comer necesita las 2 cucharas que están a su lado.
En el estado inicial todas las personas están
hablando y las cucharas están sobre la mesa.
a) Describir con una RdP el protocolo siguiente: una
vez que una persona decide comer, toma la cuchara
a su derecha, luego la de su izquierda y empieza a
comer. Cuando termina, regresa la cuchara de la
derecha, luego la de la izquierda y vuelve a la
platica.
b) ¿Existe algún bloqueo en esta red?
5.- Considere 2 bolas de billar A y B que se
desplazan sobre una misma línea paralela a las
bandas. Cada bola puede tener 3 estados: se mueve
a la derecha, a la izquierda o no se mueve. Modele
con RdP el comportamiento de las bolas sabiendo
que:
a) una bola que pega en la banda rebota en sentido
contrario
b) si las 2 bolas en movimiento chocan, cada una
rebota en sentido inverso
c) si una bola esta detenida y la otra le pega, la 1° se
mueve y la 2° se detiene
6.- Dos calculadoras utilizan una memoria común.
Suponiendo que cada calculadora puede tener 3
estados: no necesita la memoria, la pide pero aun no
la utiliza y la utiliza, modelar este funcionamiento
con RdP.
7.- Suponiendo que 4 tareas por ejecutar se
comparten una misma unidad central, la cual ejecuta
solo una parte de la tarea-1, otra de la 2, luego otra
de la 3 y finalmente otra de la 4 y así sucesivamente
hasta que las completa. Modelar con RdP este
comportamiento.
8.- En la playa, una persona que encuentra una
cabina libre, entra y se desviste. Pide enseguida una
canasta para su ropa, la cual llena para liberar la
cabina. Después de nadar, la persona vuelve a entrar
a la cabina con su canasta, la vacía y la entrega.
Enseguida se viste y libera la cabina. Si hay 3
cabinas y 5 canastas, modele el sistema con RdP.
¿Existe algún bloqueo en esta red?
9.- Se dispone de 2 tanques de almacenamiento: R1
cuya capacidad es de 7 lts y R2 de 5 lts.
Inicialmente ambos tanques están vacíos. Los
tanques se pueden llenar con agua proveniente de
una fuente externa de capacidad infinita o vaciar a
otro recipiente exterior de capacidad infinita. El
líquido puede también transferirse de un tanque al
otro hasta que el 1° se llene o el último se vacíe. Se
busca encontrar la secuencia de operaciones a
efectuar de tal forma a encontrar exactamente 4 lts
en R1. El volumen restante en R2 no importa.
10.- Modele con RdP el funcionamiento de 4
semáforos de 3 luces en un crucero vial. Recuerde
que los semáforos no pueden estar en verde al
mismo tiempo a menos que el sentido que
coordinan sea opuesto.
Montaje
ruedas
Montaje
eje
Ensamblado chasis
con soldadura
Montaje y
soldadura:
eje + chasis
Ensamblado
carrocería
12
Práctica No. 1 – Diseño y Desempeño de Controladores
Control P
1.- Verifique la respuesta a un escalón unitario de 2010
1)(
2 ++=
sssH en:
a) Lazo abierto
b) Lazo cerrado simple
c) Lazo cerrado con un controlador P donde 380=Pk produce un %5=
sse
2.- Verifique la respuesta a un escalón unitario de 485
1)(
2 ++=
sssH en:
a) Lazo abierto
b) Lazo cerrado simple
c) Lazo cerrado con un controlador P donde 3.129=Pk produce un %3=
sse
Control PD
3.- Compare la respuesta a una rampa de )2.361(
815265)(
+=
sssH usando:
a) Un control P donde 0232.1=Pk produce un 000433.0=
sse
b) Un control PD donde 0018.0=Dk proporciona un amortiguamiento de 1=ζ
4.- Compare la respuesta a un escalón unitario de )10)(1(
2000)(
++=
sssH usando:
a) Un control P donde 095.0=Pk produce un %5=
sse
b) Un control PD donde 0033.0=Dk proporciona un amortiguamiento de 6.0=ζ
c) Un control PD donde 0055.0=Dk proporciona un amortiguamiento de 8.0=ζ
Control PI
5.- Compare la respuesta a una rampa de 10010
100)(
2 ++=
sssH usando:
a) Un control P donde 10=Pk produce un %10=
sse
b) Un control PI donde 51.0=Pk produce un %10=
sse y 10=
Ik proporciona un
amortiguamiento de 7.0=ζ
6.- Compare la respuesta a una parábola de )2.361(
815265)(
+=
sssH :
a) En lazo abierto
b) Con un control PI donde 082.0=Pk produce un 2.0=
sse y 00221.0=
Ik proporciona un
amortiguamiento de 7.0=ζ
Control PID
7.- Observe la respuesta a un escalón unitario de 12
1)(
2 ++=
sssH :
a) Con un control PID donde 214=Pk , 5.15=
Dk y 1000=
Ik sin filtro F(s)
b) Con un filtro 51.648.13
51.64)(
2 ++=
sssF
13
8.- Considere un motor de DC.
a) Demuestre que su función de transferencia velocidad/voltaje esta dada por:
2))(()(
)(
kRLsDJs
k
sV
s
+++=
ω
Con los valores:
J=0.01 , D=0.1 , k=0.01 , R=1 , L=0.5
b) Obtenga la respuesta del sistema en lazo abierto
c) Obtenga la respuesta del sistema en lazo cerrado
d) Obtenga la respuesta con un controlador P considerando un %1=sse
e) Obtenga la respuesta con un controlador PD con cero sobrepaso ( 7.0=ζ )
f) Obtenga la respuesta con un control PID sin filtro para Ts=0.2 seg
g) Obtenga la respuesta PID después de filtrado
Respuestas
(1) (2)
Observe: - La aceleración en la respuesta del sistema y la falta total de amortiguamiento.
(3) (4)
Observe – Precisión y aceleración del control P + mejora del amortiguamiento del control D. Note la sensibilidad del
parámetro kD en (4).
14
(5) (6)
Observe – Precisión del PI ess≈0.
(7)
(8)
15
Práctica No. 2 – Sintonización por el método de Ziegler-Nichols
1.- Para las siguientes funciones de transferencia diseñe por los métodos de Ziegler-Nichols:
a) Un controlador P
b) Un controlador PI
c) Un controlador PID
d) Un controlador PID depurado
���� =100
�� + 10� + 100
���� =1
��� + 1��� + 2�
���� =1
�� + 10� + 20 ���� =
1325
��� + 1.71��� + 100�
16
Práctica No. 3 – Diseño y Desempeño de Controladores de Estado
1.- Verifique que la respuesta a un escalón unitario de: 24269
24)(
23 +++=
ssssH sea la misma:
a) En dominio s
b) En el espacio de estados
c) En el espacio de estados utilizando la función de estado de Simulink.
2.- Verifique que la respuesta a un escalón unitario de: 24269
27)(
23
2
+++
++=
sss
sssH sea la misma:
a) En dominio s
b) En el espacio de estados
c) En el espacio de estados utilizando la función de estado de Simulink.
3.- Obtenga la función de transferencia a partir de las representaciones de estado siguientes (con la
ayuda de Matlab) y compare la respuesta a un escalón unitario de:
(a) uxx
+
−−−
=
0
0
10
321
100
010.
, [ ]xy 001= H(s)=
(b) uxx
+
−−
−−−
−
−−−
−
=
4
5
6
7
2
13406
04367
82110
12553
24013
.
, [ ]xy 67921 −−= H(s)=
4.- Para )4)(1(
)5(20)(
+++
=sss
ssH :
(a) Construya en Simulink su equivalente en el espacio de estados.
(b) Retroalimente las variables de estado con k1=460.45, k2=124.2, k3=8.5135 y observe la
respuesta del sistema a un escalón unitario.
(c) Después de observar la magnitud de ess , corrija el sistema con ke=35.52 y las nuevas ganancias:
k1=531.875, k2=198.634, k3=11.212
(d) Un recalculo del vector K con Ts =4 s permite obtener una respuesta sin sobrepaso: ke= 0.0416,
k1= 7.0387, k2=2.9388, k3=-2
5.- Para )4)(3)(1(
)20)(2(100)(
+++++
=sss
sssH . Diseñe un controlador de estados de tal forma que el sistema
responda lo más rápido posible con una tolerancia de sobrepaso del 5% a un escalón unitario.
Implemente todos los cálculos matriciales en Matlab.
17
(4)
(5)
18
Práctica 4 – Root Locus Based P-Controller
Case 1 - Antenna Azimuth Position Control System
Schematic:
Block Diagram:
Reduced block diagram:
Find the pre-amplifier gain K required for 25%
overshoot with Kpot=1/π, K1=100, KmKg=0.2083,
a=100, am=1.71.
19
Case 2 – Unmanned Free Swimming Submersible (UFSS) Vehicle
Block Diagram:
a) If K2=0 (no rate feedback), estimate K1 with the system responding in closed
loop to 20% overshoot.
b) Let K2=K1 (add rate feedback), repeat (a).
20
Práctica 5 – Diseño de Controladores con LGR
1.- Para )10)(2)(1(
1)(
+++=
ssssG . Compare las gráficas de respuesta en:
(a) lazo abierto
(b) lazo cerrado
(c) con un control P para que el sistema opere con un amortiguamiento de 0.174.
(d) con un control PI para que el sistema opere con un amortiguamiento de 0.174.
2.- Para )6)(4(
1)(
++=
ssssG . Compare las gráficas de respuesta en:
(a) lazo abierto
(b) lazo cerrado
(c) con un control P para Cmax=16%.
(d) con un control PD para Cmax=16% y su Ts se reduzca a la tercera parte.
3.- Para )10)(6)(3(
8)(
+++
+=
sss
ssG . Compare las gráficas de respuesta en:
(a) lazo abierto
(b) lazo cerrado
(c) con un control P para Cmax=20%.
(d) con un control PD para Cmax=20% y su Ts se reduzca a 2/3 partes.
(e) con un control PID para Cmax=20% y su Ts se reduzca a 2/3 partes.
a
c
b
d
a,b
c d
e
a,b
c
d
21
Práctica 6 - Gráficas de Bode
1.- Para )2)(1(
)3()(
+++
=sss
sksG
a) Compare las gráficas de Bode del comportamiento de G(s) en lazo abierto y lazo
cerrado
b) Compare las gráficas de Bode de G(s) en lazo cerrado para 1≤k≤10
2.- Para )2(
1)(
+=s
sG
a) Obtenga su gráfica de Bode y
b) Verifique en Simulink la amplitud de la señal para 1, 10 y 100 r/s para una señal
cuadrada y senoidal.
3.- Para )15)(5(
)(++
=sss
ksG
a) Compare las gráficas de Bode del comportamiento de G(s) en :
a.1) lazo abierto
a.2) lazo cerrado
a.3) con un control P para que el sistema opere con un sobrepaso máximo del 20%
a.4) con un control PD para Cmax=20% y su Ts se reduzca en 4.
b) ¿Qué control permite operar en una mayor banda de frecuencias? ¿Por qué?
c) ¿Qué amplitud de señal se puede esperar a 100 Hz en cada caso?
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