CCCIIINNNEEEMMMÁÁÁTTTIIICCCAAA DDDEEELLL SSSÓÓÓLLLIIIDDDOOO RRRÍÍÍGGGIIIDDDOOO
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Índice.
1. Introducción............................................................................................................................................4
2. Conceptos básicos. ..................................................................................................................................5 2.1..Características del movimiento del sólido rígido. .............................................................................5 2.2..Movimiento de traslación..................................................................................................................8 2.3..Movimiento de rotación respecto de un eje fijo. .............................................................................10
2.3.1. Movimiento helicoidal. ...........................................................................................................14 2.4..Desplazamientos absolutos y relativos. ...........................................................................................16
3. Análisis de velocidades. ........................................................................................................................17 3.1..Composición de movimientos simultáneos. ....................................................................................17 3.2..Composición de traslaciones simultaneas .......................................................................................18 3.3..Composición de rotaciones simultáneas..........................................................................................19
3.3.1. Análisis de giros en la composición de rotaciones..................................................................19 3.3.1.1. Rotación de un vector........................................................................................................19 3.3.1.2. Composición de rotaciones en un plano............................................................................21 3.3.1.3. Composición de rotaciones respecto de ejes arbitrarios. ...................................................22 3.3.1.4. Composición de rotaciones infinitesimales respecto de ejes arbitrarios............................24
3.3.2. Reducción de rotaciones a un punto. ......................................................................................25 3.3.3. Campo de velocidades. ...........................................................................................................29
3.3.3.1. Composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes. ......................................36 3.3.3.2. Composición de movimientos de rotación de ejes paralelos. ............................................37 3.3.3.3. Composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios. ........................................37 3.3.3.4. Par de rotaciones. ..............................................................................................................38 3.3.3.5. Composición de translaciones y rotaciones.......................................................................39 3.3.3.6. Axoides. Representación de Poncelet. ..............................................................................39
4. Aceleraciones.........................................................................................................................................42 4.1..Introducción. ...................................................................................................................................42 4.2..Composición de traslaciones simultáneas. ......................................................................................42 4.3..Composición de rotaciones simultáneas..........................................................................................43 4.4..Movimiento relativo. .......................................................................................................................49
4.4.1. Descomposición del movimiento en relativo más arrastre......................................................49 4.4.2. Movimiento relativo a partir de un punto de reducción. .........................................................67
5. Ángulos de Euler...................................................................................................................................87 5.1..Características cinemáticas en base fija. .........................................................................................90 5.2..Características cinemáticas en base con movimiento de precesión.................................................94 5.3..Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación ...............................99 5.4..Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia..103
ANEXO 1. Bibliografía ........................................................................................................................ 110 ANEXO 2. Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles. ........... 111
Revisión: septiembre 2012
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Mirada previa
En este tema se va a realizar un análisis del movimiento general de un sólido rígido.
El estudio comienza con la definición cinemática de sólido rígido, una introducción y clasificación de los movimientos, su comportamiento cinemático cuando está sometido a un movimiento de traslación, y a una rotación respecto de un eje fijo, determinándose en ambos casos su velocidad y aceleración instantánea para cualquier punto. Se analiza también el caso de movimiento rototraslatorio (helicoidal).
Posteriormente se determinan las velocidades de los puntos del sólido sometido a una composición de movimientos simultáneos tanto de traslación como de rotación respecto de ejes móviles. Se comprueba que la composición de rotaciones en un plano e infinitesimales espaciales son conmutativas (no influidas por el orden en el que se realizan), mientras que la composición de rotaciones finitas en el espacio no lo es. Finalmente se reduce el estudio de velocidades debidas a la composición de rotaciones a un punto y se analiza el campo de velocidades y el eje instantáneo de rotación, aplicando estos conceptos a una serie de casos específicos y realizando una aproximación a la representación de axoides.
A continuación se analizan las aceleraciones de los puntos de un sólido rígido. La aceleración lineal de un punto de un sólido se obtiene mediante distintos métodos: a partir de la obtención de la aceleración angular total, de la descomposición del movimiento en relativo más arrastre y de la descomposición de movimientos a partir de un punto de reducción.
Se termina el análisis con el estudio de las características cinemáticas angulares utilizando los ángulos de Euler, desarrollando su aplicación a bases animadas con distintos movimientos.
Preguntas de inspección
1. ¿A qué es igual una composición de traslaciones de un sólido rígido? 2. ¿A qué es igual una composición de rotaciones de un sólido rígido? 3. ¿Qué es un punto de reducción cinemática? 4. ¿Cual es la máxima reducción cinemática del movimiento de un sólido rígido? 5. ¿Qué es un eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento? 6. ¿Se pueden sumar los ángulos de una composición de rotaciones? 7. ¿Se pueden sumar las velocidades angulares de una composición de rotaciones? 8. ¿Cómo se determina la variación de un vector unitario? 9. ¿Qué es un axoide? 10. ¿Cuántos axoides tiene un sólido? 11. ¿Qué características cinemáticas tiene una base con movimiento de precesión y nutación?
1. Introducción.
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1. Introducción.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Determinar los pasos y la estructura seguida en el estudio. Indicar el objetivo a alcanzar en cada uno de los pasos.
La cinemática del sólido rígido es la parte de la mecánica que analiza el movimiento de un sólido mediante este modelo de estudio. Este modelo trasciende del simple análisis de velocidades y aceleraciones de un punto aislado, ya que en este caso el punto forma parte de un sistema que cumple con una serie de propiedades, como son que la distancia a otro punto del mismo sólido permanezca constate o que exista un punto, denominado centro de masa, en el que se puede caracterizar de forma sencilla el comportamiento cinemático y dinámico de todo el sólido.
El análisis cinemático que se va a realizar comienza con casos simples, como un movimiento de traslación o un movimiento de rotación con eje fijo. Al mismo tiempo, inicialmente se van a separar los estudios de velocidades y aceleraciones. Se analizarán también los conceptos de características cinemáticas absolutas y relativas. En el estudio de velocidades se va a utilizar la composición de movimientos simultáneos, sin indicar el orden con el que se realizan, ya que para la obtención de la velocidad absoluta no tiene importancia. En este análisis las traslaciones y rotaciones se tratarán de forma separada, lo que permitirá llegar hasta los conceptos de centro de reducción, campo de velocidades, composición de traslaciones, composición de rotaciones, y el eje instantáneo de rotación.
En el estudio de aceleraciones comienza con la determinación de la aceleración angular total instantánea a partir de la derivada de la velocidad angular respecto del tiempo, aunque también se utilizará la descomposición de movimientos, conceptos en los que sí es importante su orden de secuenciación. Las nociones anteriores de descomposición de movimientos se aplicarán también para la determinación de velocidades, bien de forma directa o a partir de un punto de reducción.
El estudio de cinemática de sólido rígido termina con los ángulos de Euler, que permiten definir las características cinemáticas angulares de posición, velocidad y aceleración para una composición secuencial de movimientos. El análisis se va a realizar en distintas bases afectadas con características cinemáticas diferenciadas.
3 Conceptos básicos.
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2. Conceptos básicos.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Definir la condición cinemática de rigidez de sólido rígido. Clasificar los tipos de movimientos simples de un sólido rígido. Analizar el movimiento de traslación. Analizar el movimiento de rotación. Analizar el movimiento rototraslatorio. Analizar los desplazamientos absolutos y relativos.
2.1. Características del movimiento del sólido rígido.
Se denomina sistema de puntos a un conjunto de partículas que pueden cambiar de posición, estando ligadas por algún tipo de relación.
definición de sólido rígido
Se dice de un sistema de puntos que pertenecen a un sólido rígido cuando tomados dos de ellos de forma arbitraria (por ejemplo A, B, Figura 2.1) su distancia no varía con el tiempo, aunque puedan cambiar de posición en el transcurso del mismo.
cteABciatandis =−=
x
y
z
Fig. 2.1 – Sólido rígido definido mediante tres puntos.
condición de rigidez La condición de rigidez de un sólido se expresa de forma vectorial indicando que la distancia entre dos puntos (A, B), o lo que es equivalente, que el valor obtenido de su producto escalar al cuadrado (correspondiente al cuadrado del módulo) es constante.
( ) cteAB =− ⇒ ( ) ( ) cteABAB =−⋅− ⇒ ( ) cteABAB 22 =−=−
Esta condición también se puede formular mediante los vectores de posición ( BA r,rrr
) que sitúan estos dos puntos respecto de un origen (O)
( ) cterr 2AB =−rr
expresión que corresponde al producto escalar de este vector por si mismo
( ) ( ) ( ) cterrrrrr ABAB2
AB =−⋅−=−rrrrrr
2.1 Características del movimiento del sólido rígido.
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grados de libertad de un sólido rígido libre en
el espacio tridimensional
Se definen como número de grados de libertad el número mínimo de parámetros independientes necesarios para definir la posición de un sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número mínimo de ecuaciones necesarias para describir el movimiento.
La posición de un sólido rígido queda determinada por la de tres de sus puntos (A, B y C, Fig. 2.1) no colineales, ya que cualquier otro punto (D) del sólido está definido con la condición de que las distancias a los tres primeros sean constantes, y por lo tanto forme un tetraedro invariable (ABCD, Fig. 2.1).
La posición de cada uno de los tres puntos seleccionados (A, B y C) en el espacio tridimensional necesita tres coordenadas, lo que hace un total de nueve parámetros. Esto podría hacer pensar que son necesarios nueve parámetros para definir la posición de un sólido rígido, sin embargo los tres puntos están relacionados entre sí por la condición de rigidez del sólido, por lo que se pueden plantear las relaciones
( ) ( ) ( ) cterrcterrcterr 2AC
2CB
2BA =−=−=−
rrrrrr
de modo que el número de parámetros necesarios para especificar la posición de un sólido rígido en el dominio tridimensional son seis (9 coordenadas menos 3 relaciones), lo que indica que posee seis grados de libertad. Desde el punto de vista cinemático estos grados de libertad se asocian a tres parámetros de posición (normalmente correspondientes a las coordenadas de uno de los puntos) y tres de orientación (normalmente tres ángulos), lo que da lugar a tres traslaciones (asociadas a las direcciones de los ejes del sistema de referencia) y tres rotaciones.
Concepto clave Un sólido rígido libre posee seis grados de libertad en el espacio tridimensional.
condición cinemática de rigidez de sólido rígido
Para determinar el criterio cinemático de rigidez de sólido rígido es necesario derivar respecto del tiempo la condición de rigidez determinada a partir de dos de sus puntos (A, B), con lo que se obtiene,
( ) ( ) ( ) cterrrrrr 2ABABAB =−=−⋅−rrrrrr
⇒ ( ) 0dtrd
dtrdrr2 AB
AB =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅−
rrrr
⇒ ( ) ( )dtrdrr
dtrdrr A
ABB
AB
rrr
rrr
⋅−=⋅−
Si a ambos lados de la igualdad se divide por el módulo de la distancia entre los puntos ( AB rrrr
− ), dicha igualdad no varía
dtrd
rrrr
dtrd
rrrr A
AB
ABB
AB
ABr
rr
rrr
rr
rr
⋅−−
=⋅−−
a partir de la determinación del vector unitario ( er
) del segmento B-A y la velocidad del punto ( vr
) como variación del vector de posición respecto del tiempo se tiene
( )AB
AB
rrrr
ABABe rr
rrr
−−
=−−
= AA
BB v
dtrd,v
dtrd r
rr
r
==
por lo que al sustituir estas relaciones en la expresión anterior
ctevveve
vdtrd,v
dtrd
rrrre
dtrd
rrrr
dtrd
rrrr
eAB
AA
BB
AB
AB
A
AB
ABB
AB
AB
==⋅=⋅⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
==
−
−=
⋅−
−=⋅
−
−
rrrrr
rr
rr
rr
rrr
r
rr
rrr
rr
rr
2.1 Características del movimiento del sólido rígido.
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como los puntos que se han considerado en el sólido (A, B) son arbitrarios, se llega a la conclusión de que el producto escalar de la velocidad de dos de sus puntos ( BA v,v
rr) por el unitario de la recta que los contiene
( er
), correspondiente a su proyección, es constante, siendo ésta la condición cinemática de sólido rígido (Fig. 2.2).
En el caso en que las proyecciones de la velocidad de dos puntos sobre su recta soporte no fueran iguales, estos puntos se estarían acercando o alejando entre sí, por lo que no pueden pertenecer al mismo sólido.
Concepto clave La proyección de la velocidad de dos puntos ( BA v,v
rr) sobre la recta que los contiene es
constante si estos forman parte del mismo sólido rígido.
Esta condición se cumple para cualquier otro punto (C) de la recta que pertenezca al sólido (Figura 2.2)
er
Fig. 2.2 – Condición cinemática de sólido rígido.
Ejemplo 2.1: Las posiciones de dos puntos (A, B) vienen definidas por {1, 6, 4} y {9, 3, 2} en metros, y sus velocidades en componentes vectoriales asociadas a una base cartesiana son {3, 2, 5} y {4, 8, 6} en m/s, respectivamente. Determinar si ambos puntos pertenecen al mismo sólido rígido.
Si los dos puntos pertenecen el mismo sólido tienen que cumplir con la condición cinemática correspondiente, por lo que
BA veverrrr
⋅=⋅
en la que
( ) ( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−+−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=23
8
771
238
23
8
461
239
461
239
rrrre
222AB
AB rr
rrr
por lo que
( )77810624
771
523
23
8
771ve A =−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=⋅
rr ( )
774122432
771
684
23
8
771ve B
−=−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=⋅
rr
Como BA veverrrr
⋅≠⋅ , los puntos A y B no pertenecen al mismo sólido rígido.
2.2 Movimiento de traslación.
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2.2. Movimiento de traslación.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Definir el movimiento de traslación. Determinar la velocidad y aceleración de un movimiento de traslación. Clasificar los movimientos de traslación en función de su trayectoria.
definición Para realizar el análisis se considera un segmento del sólido definido mediante dos puntos arbitrarios (A,
B, Figura 2.3). El movimiento del sólido es de traslación si transcurrido un intervalo de tiempo el segmento no cambia de dirección, aunque cambie de posición (A1B1, A2B2,…).
Arr
Δ
Brr
Δ
cr
Fig. 2.3 – Movimiento de traslación.
Esta característica se expresa vectorialmente indicando que la orientación del segmento (definido por la posición de los puntos Ai, Bi en el instante i) mantiene una dirección y magnitud constante ( c
r) durante el
movimiento del sólido. De forma vectorial se indica mediante
crrii AB
rrr=−
características El movimiento de traslación tiene las siguientes características:
1. Si B,A y 11 B,A son las posiciones de dos puntos arbitrarios en dos instantes (t y t1), siendo el instante t1 obtenido a partir de t1=t+Δt, de acuerdo con la definición de traslación se tiene que
ABAB rrrr11
rrrr−=−
Manipulando la expresión para poner los vectores de posición de cada punto a un lado de la igualdad
BAtBtABAtAAAA
tBBBBAABB ssesesrr
esrrr
esrrrrrrr
1
1
11ΔΔΔΔΔΔ
ΔΔ
ΔΔ=⇒=⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
=−=⇒−=−
rrrrrrrr
rrrrrrrr
Luego los puntos A y B del sólido sometido a un movimiento de traslación recorren arcos iguales (Δs) en el mismo tiempo (Δt) sobre la misma dirección (definida mediante el unitario tangente a la trayectoria te
r). Como que los puntos A y B son arbitrarios, la deducción es válida para todos los
puntos del sólido.
Concepto clave Todos los puntos de un sólido rígido con movimiento de traslación recorren trayectorias iguales en el mismo tiempo.
2.2 Movimiento de traslación.
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2. Partiendo de la igualdad de trayectorias de dos puntos de un sólido rígido con movimiento de traslación ( BA rr
rrΔΔ = ), determinando su velocidad instantánea ( BA v,v
rr) a partir de la variación de
sus trayectorias ( rr
Δ ) respecto de un intervalo de tiempo (Δt), y llevándolo al límite cuando Δt tiende a cero, se obtienen
tBABAB
0tA
0tBA evvv
dtrd
dtrd
trlim
trlimrr
rrrrrrr
rr==⇒=⇒=⇒=
→→ ΔΔ
ΔΔ
ΔΔΔΔ
Luego los puntos A y B de un sólido sometido a un movimiento de traslación tienen la misma velocidad instantánea ( BA v,v
rr). Como los puntos A y B son arbitrarios, la deducción es válida para
todos los puntos del sólido, por lo que el vector velocidad ( vr
) de un punto de un sólido rígido sometido a movimiento de traslación es un vector libre (es el mismo para todos los puntos del sólido).
Concepto clave Todos los puntos de un sólido rígido con movimiento de traslación tienen la misma velocidad.
clasificación de movimientos de
traslación
Si el vector velocidad es constante respecto del tiempo ( ctev =r
) el movimiento del sólido es de traslación con trayectoria rectilínea, pero si solo es constante en módulo ( ctev = ), el movimiento tiene trayectoria curvilínea. En el caso en que la trayectoria corresponda a una curva conocida, se hablará de movimiento de traslación con la denominación de la curva (por ejemplo, traslación circular Figura 2.4 c).
a) b) c)
Fig. 2.4 – Tipos de traslaciones. a) Rectilínea, b) curvilínea, c) circular.
3. Derivando la expresión de la velocidad nuevamente respecto del tiempo resulta,
caadtvd
dtvd
dtrd
dtrd
vvdtrdv
dtrdv
BABA
2B
2
2A
2
BA
BB
AA
rrrrrrr
rr
rr
rr
==⇒=⇒=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
Luego dos puntos (A y B) de un sólido sometido a un movimiento de traslación tienen aceleraciones instantáneas ( BA a,a
rr) iguales. Como los puntos A y B son arbitrarios, la deducción es válida para
todos los puntos del sólido, luego la aceleración instantánea de un sólido rígido es un vector libre.
2.3 Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.
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2.3. Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Definir el movimiento de rotación. Determinar la velocidad angular y lineal de un sólido con movimiento de rotación. Determinar la aceleración angular y lineal de un punto de un sólido con movimiento de rotación. Definir el movimiento helicoidal. Determinar la velocidad y aceleración lineal de un punto de un sólido con movimiento helicoidal.
definiciones Un sólido tridimensional tiene movimiento de rotación instantánea si dos puntos (A, B) animados por este movimiento tienen velocidad nula. Como consecuencia, también tendrán velocidad nula todos los puntos situados sobre la recta que los contiene. A esta recta se la denomina eje instantáneo de rotación y se definirá mediante su unitario e
r (Figura 2.5).
trayectoria El eje instantáneo de rotación ( er
) puede atravesar el sólido o ser exterior al mismo. En el primer caso los puntos del sólido que están sobre el eje ( e
r) tienen velocidad lineal nula, mientras que los demás puntos
adquieren movimientos circulares con trayectorias situadas sobre planos perpendiculares al eje. En el caso en que el eje de rotación ( e
r) sea exterior al sólido, todos sus puntos tienen trayectorias circulares
alrededor de dicho eje.
θ+Δθ
M1
M2
No N1 N2
θ+Δθ
θ
Ο
Fig. 2.5 – Movimiento de rotación.
La posición de un sólido rígido animado por un movimiento de rotación respecto de un eje ( er ) conocido
queda establecida por la de un punto del sólido que no pertenezca al eje (punto M, Fig. 2.5).
Concepto clave Para determinar la posición de un sólido rígido con movimiento de rotación respecto de un eje fijo ( e
r), es suficiente conocer el eje de rotación (A, B) y un punto (M) del sólido.
parámetro de estudio Para determinar dicha posición se toma un plano fijo de referencia en el instante inicial (to) que contenga
al eje de rotación (tal como el AMOB, Fig. 2.5). Transcurrido un tiempo (t1) la posición del punto del sólido (M1) queda definida mediante el ángulo (θ) que el plano que contiene al eje de rotación ( e
r) y a la posición
2.3 Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.
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del punto en ese instante (AM1B) forman respecto del plano fijo de referencia (AMOB).
Si se tienen dos puntos (M, N) de un sólido rígido sometido a un movimiento de rotación respecto de un eje fijo ( er ) situados a distintas distancias (R, R’) respecto de él, definido un plano fijo de referencia (AMOB) en el
instante inicial (to) y transcurrido un tiempo (Δt), cada punto se encontrará una posición distinta (M1 y N1) y se habrán desplazado sobre su trayectoria mediante arcos de circunferencia distintos (ΔsM, ΔsN), sin embargo, habrán girado el mismo ángulo (θ).
Esto indica que en intervalos de tiempo iguales (Δt) aunque cada punto del sólido realice un desplazamiento distinto sobre su trayectoria ( NM ss ΔΔ ≠ ), todos describen ángulos iguales (Δθ) por lo que se va a utilizar este parámetro para caracterizar la rotación.
Concepto clave El movimiento de rotación de un sólido respecto de un eje fijo ( er
) se caracteriza por el ángulo girado (θ).
velocidad angular La velocidad ( Mv
r) de un punto genérico (M) del sólido tiene la dirección de la tangente a la trayectoria
( ter
) y viene definido por el producto del módulo de la velocidad lineal por el unitario asociado a la dirección tangente
tMM evvrr
=
donde el módulo de la velocidad del punto ( Mv ) se determina en función del arco de trayectoria ( MsΔ ) recorrido por el punto, mediante
dtds
tslimv MM
0tM ==
→ ΔΔ
Δ
como el arco infinitesimal ( Mds ) se puede poner en función de la distancia del punto de estudio respecto del eje de giro (RM), que permanece constante, y del ángulo (dθ), denominando ω la velocidad angular del sólido (derivada del ángulo respecto del tiempo), el módulo de la velocidad del punto M se expresa mediante
( )ωθθ
θω
θ MMM
MMM
MM
RdtdR
dtRdv
dtddRdsdt
dsv
===⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
La introducción del concepto de velocidad angular (ω) es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación de un sólido respecto de un eje fijo ( e
r), ya que en
cada instante todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad angular (ω) mientras que a cada punto (M) le corresponde una velocidad lineal ( Mv ) distinta, dependiendo de su distancia (RM) al eje de rotación ( er
). La velocidad angular (ω) se mide en radianes por segundo (rad/s).
Se define como vector velocidad angular (ωr
) aquel que tiene la dirección del eje de rotación ( er
) y cuyo módulo (ω) es el anteriormente indicado
edtde
rrr θωω ==
velocidad lineal Denominando ter
y ner
a los unitarios tangente y normal a la trayectoria del punto de estudio (M) respectivamente (Figura 2.6), y conocido el punto O del eje de rotación, la velocidad de este punto M
2.3 Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.
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( Mvr
) se puede expresar
( ) ( ) ( )OMMOeeReeRv
e
eee
Rvevv
nMnMMnt
MM
tMM
−×=×−=×=×=⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=
×=
==
ωωωω
ωω
ω rrrrrrr
rr
rrr
rr
M
R
Mvr
ner
ter
Fig. 2.6 – Velocidad de rotación.
de modo que la velocidad lineal ( Mvr
) de un punto genérico (M) del sólido rígido en rotación respecto de un eje fijo ( e
r) es igual al producto vectorial del vector velocidad angular (ω
r) por el vector (M-O). Así pues,
conocido el vector velocidad angular (ωr
) queda determinada la distribución de velocidades lineales en todos los puntos del sólido rígido en rotación. En la expresión
( )OMvM −×= ωrr
el punto O pertenece a la intersección del eje de rotación con el plano de la trayectoria del punto, pero esta expresión puede ponerse en función de cualquier punto (E) del eje de rotación del sólido (Fig. 2.5) sin más que desarrollar
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )EMOEEMOEEMOMv0
M −×=−×+−×=−+−×=−×==
ωωωωωr48476rrrrr
r
en la que ωr
y ( )OE − son vectores paralelos por lo que su producto vectorial es nulo.
Concepto clave La velocidad de un punto de un sólido rígido con movimiento de rotación respecto de un eje fijo se obtiene a partir de la expresión ( )EMvM −×= ω
rr, siendo el punto E uno arbitrario
del eje de rotación.
aceleración lineal La aceleración lineal de un puno M ( Ma
r) se obtiene derivando la velocidad ( Mv
r) respecto del tiempo.
Utilizando la propiedad asociativa de la derivación se tiene
( )( ) ( )EM
dtdEM
dtda
EMvdtvda
M
M
MM −×+−×=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−×=
=ωω
ω
rr
r
rr
rr
en la que desarrollando y teniendo en cuenta que el punto E es cualquiera del eje fijo de rotación ( er
) y que αr
es la aceleración angular del sólido, se tiene
2.3 Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.
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( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )[ ]EMEMa
0EEvdtdE
EMvdt
dMdtdE
dtdMEM
dtddtd
EMdtdEM
dtda
M
E
M
M
−××+−×=⇒
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
=−×==
−×==
−=−
=
−×+−×=
ωωα
ω
ω
αω
ωω
rrrr
rrr
rr
rr
rr
r
sumandos que corresponden a las componentes tangencial ( tMar
) y normal ( nMar
) de la aceleración del punto de estudio (M), respectivamente.
( ) ( )[ ] nM
tM
normalnaceleració
gencialtannaceleració
M aaEMEMarr
44 344 21rr
43421rr
+=−××+−×= ωωα
Ejemplo 2.2: Si un sólido está sometido a un movimiento de rotación cuya velocidad angular constante es 25 rad/s respecto de un eje de vector asociado {4, 0, 3} que pasa por el punto E de componentes {2, 6, 4} (m), determinar la velocidad y aceleración de un punto A del sólido de coordenadas {3, 2, 5} (m).
La velocidad viene dada por la expresión ( )EAvA −×= ωrr
en la que el vector velocidad angular tiene la dirección de unitario
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=304
51
34
304
e22
r
por lo que vale
( )s/rad15020
304
5125e
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==
rrωω
y el vector ( )EA − es
( ) ( )m14
1
462
523
EA⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
luego la velocidad del punto A es
( ) ( )s/m805
60
14115020kji
EAvA⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
y la aceleración del punto A, como no tiene aceleración angular, es
( ) ( )[ ] ( )2
0A s/m
100250075
8056015020kji
EAEAa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−=−××+−×=
=
rrr
rr
43421
rrωωα
2.3.1 Movimiento helicoidal.
- 14/116 -
2.3.1. Movimiento helicoidal.
Si se considera un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo ( er ) con una cierta velocidad angular (ω
r)
y al mismo tiempo se traslada en la dirección de dicho eje con una velocidad lineal ( Evr
), las trayectorias de sus puntos (excepto las del eje de giro) describen hélices cilíndricas. A este movimiento se le denomina helicoidal o rototraslatorio.
movimiento helicoidal uniforme
Si la velocidad angular (ω) con la que gira el sólido y la velocidad de traslación ( Evr
) en la dirección del eje de giro ( e
r) son constantes, la distancia entre dos puntos de la hélice cilíndrica tras una revolución,
denominada paso (h), también lo es, por lo que el movimiento es helicoidal uniforme. El ángulo de la hélice ( iα , Fig. 2.7) depende de la distancia ( MR ) del punto de estudio (M) respecto del eje de giro ( e
r) y
del paso (h).
Concepto clave El paso (h) es la distancia entre dos puntos sobre la misma trayectoria, cuando uno de ellos realiza una revolución sobre una hélice cilíndrica.
Fig. 2.7 – Movimiento de rotación.
paso El paso (h) del movimiento helicoidal uniforme se puede obtener a partir del tiempo que tarde en realizar una revolución (T) y de la velocidad de el movimiento en la dirección del eje (vE) mediante la expresión
ωπ
ωππω
2vTvh2T
T2
TvhThv
EE
EE==⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=⇒=
=⇒=
movimiento helicoidal instantáneo
Un movimiento helicoidal instantáneo es cuando en cada instante pueden variar tanto la dirección del eje de giro ( e
r) como la magnitud de la velocidad angular (ω ). Su importancia radica en que el movimiento
de cualquier sólido rígido es un movimiento helicoidal instantáneo respecto del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), concepto que se definirá posteriormente. Este movimiento se puede descomponer en una rotación respecto de este eje ( e
r) con la velocidad angular total del sólido (ω ), y una
traslación con velocidad de mínimo deslizamiento ( Evr
) en la dirección del eje.
Como se verá más adelante, la velocidad y aceleración instantáneas de un punto cualquiera del sólido (M) vienen dadas por las expresiones
( )EMvv EM −×+= ωrrr
( ) ( )[ ]EMEMaa EM −××+−×+= ωωαrrrrr
2.3.1 Movimiento helicoidal.
- 15/116 -
Ejemplo 2.3: Si en el problema anterior (2.2) el sólido además de rotar respecto del eje se desplaza sobre su dirección con una velocidad y aceleración lineal de 10 m/s y 200 m/s2 respectivamente, determinar la velocidad y aceleración del punto A.
En este caso la velocidad viene dada por la expresión
( )EAvv EA −×+= ωrrr
Como el unitario asociado al eje de rotación es
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
304
51e
r
la velocidad del punto E es
( )s/m608
304
5110evv EE
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==
rr
y la velocidad del punto A queda
( ) ( )s/m745
68
805
60
608
EAvv EA⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−×+= ω
rrr
La aceleración del punto E es
( )2EE s/m
1200
160
304
51200eaa
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==
rr
y la aceleración del punto A queda
( ) ( )[ ] ( )2EA s/m
20250085
1002500
75
1200
160EAEAaa
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−××+−×+= ωωα
rrrrr
2.4 Desplazamientos absolutos y relativos.
- 16/116 -
2.4. Desplazamientos absolutos y relativos.
Aunque el desplazamiento relativo de una partícula entre la posición inicial y final (M, P) no depende de la trayectoria seguida sino de dichas posiciones, es importante conocer el movimiento absoluto.
x’
y’
x’
y’
x
y
Sistema fijo
Sistema móvil
Sistema móvil
Posición 1
Posición 2
Sólido
M, P
PM
fijo/Mrr
fijo/Prr
Observador móvil
Observador fijo
O’
O’
P/Mmóvil/M rrrr
=
Fig. 2.8 – Movimiento relativo.
desplazamiento relativo especto de otra
partícula inicialmente coincidente
Para ello se considera un mecanismo (Fig. 2.8) que consiste en un sólido con dos partículas inicialmente coincidentes (M y P) en un sistema de referencia móvil x’y’ solidario al sólido (posición 1). La partícula P permanece fija al sólido mientras que la partícula M puede moverse por la ranura. Cuando el sistema pasa de la posición 1 a la 2 la partícula M desliza por la ranura hasta su posición 2
Con este planteamiento el punto P no se mueve respecto del sistema móvil cuando pasa de la posición 1 a la 2, sin embargo si se mueve respecto del sistema fijo (x, y). El desplazamiento del punto M cuando el sistema se mueve de la posición 1 a la 2 es fijo/Mr
r, mientras que respecto del sistema móvil el
desplazamiento es móvil/Mrr
.
Los desplazamientos de las partículas M y P respecto del sistema fijo ( fijo/Mrr
, fijo/Prr
) se denominan totales o absolutos, y serían los que se observarían desde un sistema de referencia fijo, mientras que el desplazamiento de la partícula M respecto del sistema móvil ( móvil/Mr
r) se denomina relativo o aparente, y
sería el que vería un observador solidario al sistema móvil.
Concepto clave El desplazamiento absoluto se define respecto de un sistema de referencia fijo mientras que el relativo lo es respecto de un sistema de referencia móvil.
La relación entre los desplazamientos anteriores es
móvil/Mfijo/Pfijo/M rrrrrr
+=
Como el observador solidario al marco móvil no ve ningún movimiento del punto P, ya que también está fijo al sólido, el desplazamiento relativo al sistema de referencia móvil también es el desplazamiento respecto del punto (P) fijo al sistema móvil, luego P/Mmóvil/M rr
rr= . Cuando los vectores se referencian a
sistemas de referencia fijos no se suele indicar, por lo que la expresión anterior pasa a ser
P/MPM rrrrrr
+=
regla algebraica El orden de los subíndices obedece una regla algebraica, de forma que si se consideran los subíndices como fracciones, el subíndice del lado izquierdo es el producto de los subíndices del lado derecho
( ) ( ) ( )P/MPM ⋅=
3. Análisis de velocidades.
- 17/116 -
3. Análisis de velocidades.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Definir el principio de composición de movimientos. Analizar la composición de traslaciones. Analizar la conmutatividad de la adicción de giros. Analizar la composición de rotaciones con ejes concurrentes, paralelos, coplanarios y par de rotaciones. Analizar la composición de traslaciones y rotaciones. Definir los axoides. Representación de Poncelet.
3.1. Composición de movimientos simultáneos.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Determinar la velocidad en el caso de movimientos simultáneos (de traslación, rotación o composición de ambos).
principio de descomposición del
movimiento
El principio de composición de movimientos establece que si un punto de un sólido rígido (M) está animado de varios movimientos simultáneos (1, 2, …, Fig. 3.1) que originan distintos desplazamientos infinitesimales ( ,...rd,rd M2M1
rr ), el desplazamiento infinitesimal total ( Mrdr ) de ese punto es la suma
vectorial de los desplazamientos infinitesimales de cada uno de los movimientos componentes ( iMrdr
)
∑=
=++=n
1iiMM2M1M rdrdrdrdr
Krrr
M3rdr
M2rdrM1rd
r M
Mrdr
Fig. 3.1 – Composición de movimientos.
velocidades Poniendo el desplazamiento infinitesimal ( iMrdr
) de cada uno de los movimientos simultáneos de traslación del punto M en función de la velocidad correspondiente ( iMv
r) y del diferencial de tiempo (dt)
(que es el mismo para todos los movimientos) se tiene
( ) ( ) dtvdtvrddtvrd
rdrd n
1iiM
n
1iiMM
iMiM
n
1iiMM ∑∑
∑==
= ==⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
= rrr
rr
rr
El desplazamiento infinitesimal total ( Mrdr
) del punto de estudio (M) también se puede poner en función de la velocidad total de traslación ( Mv
r) del punto
dtvrd MMrr
=
de lo que se deduce la relación entre la velocidad total ( Mvr
) y la de los movimientos simultáneos ( iMvr
), de forma que cumple el principio de composición de movimientos
3.1 Composición de movimientos simultáneos.
- 18/116 -
( ) ( ) ( )∑∑∑
=== =⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
= n
1iiMM
n
1iiMM
MM
n
1iiMM vvdtvdtv
dtvrd
dtvrd rrrr
rr
rr
Concepto clave Si un punto (M) de un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos, la velocidad total resultante ( Mv
r) es la suma vectorial de las velocidades correspondientes a
cada uno de los movimientos ( iMvr
) considerados de forma individual.
En el estudio de velocidades el orden en los que estos movimientos se producen es indiferente. Como veremos posteriormente esta característica no se puede generalizar ni al análisis de posiciones angulares ni al de aceleraciones.
3.2. Composición de traslaciones simultaneas
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Determinar la velocidad total a partir de la composición de movimientos simultáneos de traslación.
Si un punto (M) de un sólido rígido está sometido a una composición de traslaciones simultáneas, el movimiento resultante es una traslación.
velocidad de una composición de
traslaciones
Según el principio de composición de movimientos, el desplazamiento infinitesimal ( Mrdr
) del punto M es la suma vectorial de las desplazamientos infinitesimales ( iMrd
r) de cada uno de los movimientos (i) de las
traslación simultánea
∑=
=++=n
1iiMM2M1M rdrdrdrdr
Krrr
poniendo los desplazamientos infinitesimales ( iMrdr
) de cada uno de los movimientos de traslación simultánea en función de la velocidad correspondiente ( iMvd
r) y del diferencial de tiempo (dt), que es el
mismo para todos los movimientos, se tiene
( ) ( ) dtvdtvrddtvrd
rdrd n
1iiM
n
1iiMM
iMiM
n
1iiMM ∑∑
∑==
= ==⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
= rrr
rr
rr
Como el desplazamiento infinitesimal total del punto de estudio ( Mrdr
) también se puede poner en función de la velocidad total ( Mv
r, dtvrd MM
rr= ), se deduce la relación entre esta velocidad total ( Mv
r) y la de los
movimientos simultáneos ( iMvr
), de forma que cumple el principio de composición de movimientos.
( ) ( ) ( )∑∑∑
=== =⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
= n
1iiMM
n
1iiMM
MM
n
1iiMM vvdtvdtv
dtvrd
dtvrd rrrr
rr
rr
Como cada una de las velocidades de traslación instantáneas ( iMvr
) es la misma para todos los puntos del sólido, la velocidad de traslación total ( Mv
r) también lo es, por lo que no es necesario especificar a que
punto se refiere
3.2 Composición de traslaciones simultaneas
- 19/116 -
vvMrr
=
Concepto clave La velocidad ( v
r) total de traslación, correspondiente a una composición de movimientos de
traslación instantánea de velocidades ( ivr
) es la misma para todos los puntos del sólido.
Ejemplo 3.1: Un sólido rígido está sometido a tres traslaciones cuyas velocidades vienen dadas por =1vr
{3, 5, 8}, =2v
r{1, 9, -2} y =3v
r{4, -2, 2}, en (m/s). Determinar la velocidad total del sólido.
La velocidad del sólido rígido se obtiene mediante la suma vectorial
( )s/m8
128
22
4
291
853
vv3
1ii
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ∑
=
rr
3.3. Composición de rotaciones simultáneas.
Capacidades a desarrollar en el aprendizaje
Determinar cuando una composición de rotaciones puede ser considerada de forma vectorial. Determinar la velocidad por composición de rotaciones. Determinar la velocidad por reducción a un punto. Determinar la máxima reducción. Analizar los casos de composición de rotaciones de ejes concurrentes, paralelos y coplanarios. Analizar el caso de par de rotaciones. Determinar los axoides.
Se va a realizar el análisis cinemático de un sólido rígido cuando está sometido a una composición de rotaciones simultáneas.
3.3.1. Análisis de giros en la composición de rotaciones.
Antes de hacer el estudio, se determina la naturaleza de los giros, ya que estos no pueden ser considerados de forma general como vectores al no cumplir la propiedad conmutativa, aunque como se verá, en algunos casos concretos si la cumplen.
3.3.1.1. Rotación de un vector.
Si se considera un vector ar
y se le hace rotar respecto de un eje (por simplificar, se va a considerar en este caso el eje z del sistema de referencia) un cierto ángulo θ, el vector obtenido es el 'a
r (Fig. 3.2).
3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.
- 20/116 -
y
x
z
ar
O θ
'ar
y
x
z=z1
ar
O θ
x1
y1
θ
Fig. 3.2 – a) Rotación de un vector b) cambio de base.
componentes de un vector girado
Para determinar las componentes vectoriales del vector girado ( 'ar
) se considera la matriz de giro ( [ ]θG ), cuyos términos se obtienen a partir de la transpuesta de la matriz de cambio de base ( [ ]θA ), utilizada para
la transformación de componentes de una base ( k,j,irrr
), asociada al sistema de referencia (Oxyz) en la que
el eje z se ha tomado coincidente con el de giro, a otra base ( 111 k,j,irrr
), asociada al sistema de referencia (Ox1y1z1) y solidaria al vector 'a
r en su movimiento.
En el caso de cambio de base se considera que es el sistema de referencia el que varía de posición ( 111 z,y,xz,y,x → ) mientras que el vector ( a
r) permanece fijo (Fig. 3.2 b). En el caso de rotación de un
vector éste varía de posición ( 'aarr
→ ) mientras el sistema de referencia ( z,y,x ) permanece fijo (Fig. 3.2 a). En este último caso las coordenadas del vector girado 'a
r están definidas respecto del sistema de
referencia Oxyz ( xyz'ar
).
La matriz de cambio de base ( [ ]θA ) y la matriz de giro ( [ ]θG ) se relacionan mediante la expresión
[ ] [ ]θθ GA t =
Los términos de la matriz de cambio de base ( [ ]θA ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la base
de llegada ( 111 k,j,irrr
) en función de la de salida ( k,j,irrr
)
[ ]
[ ]111
A
A
zyOxOxyzt⎯⎯ ⎯←
⎯⎯ →⎯
θ
θ
que en este caso son
kk
jcosisenj
jsenicosi
1
1
1
rr
rrr
rrr
=
+−=
+=
θθ
θθ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A θθθθ
θ
[ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −==
1000cossen0sencos
AG t θθθθ
θθ
luego las nuevas coordenadas del vector 'ar
se obtienen mediante la expresión
{ } [ ]{ }xyzxyz aG'a θ=
en la que desarrollando queda
xyzz
y
x
xyzz
y
x
aaa
1000cossen0sencos
'a'a'a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θθθθ
3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.
- 21/116 -
3.3.1.2. Composición de rotaciones en un plano.
Se va a probar que la composición de rotaciones en un plano es conmutativa, y por lo tanto el orden de aplicación es indiferente. Esto permite en este caso considerar los giros como magnitudes vectoriales.
rotaciones consecutivas planas
Si se producen dos rotaciones consecutivas respecto al mismo eje (por ejemplo, respecto al eje z) el movimiento obtenido es plano (en el plano xy). En la primera rotación se va a realizar un giro de ángulo θz1 mientras que en la segunda el giro es de ángulo θz2. Para simplificar, el vector al que se le aplica el movimiento será paralelo al eje y (Fig. 3.3).
y
x
z
ar
O θz1
1ar
2ar
θz2
Fig. 3.3 – Composición de rotaciones 2z1z ,θθ en el plano.
El proceso para cada uno de los giros utiliza las matrices de rotación
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cossen0sencos
G 1z1z
1z1z
1zθθθθ
θ [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cossen0sencos
G 2z2z
2z2z
2zθθθθ
θ
por lo que el vector obtenido al final de la primera rotación de ángulo θz1 es
xyz
1zy
1zy
y1z1z
1z1z
0cosasena
0a0
1000cossen0sencos
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θθ
θθθθ
mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θz2 es
xyz
2z1zy2z1zy
2z1zy2z1zy
1zy
1zy
2z2z
2z2z
0coscosasensenasencosacossena
0cosasena
1000cossen0sencos
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θθθθθθθθ
θθ
θθθθ
Si ahora se producen las mismas rotaciones, pero en este caso la primera con un ángulo θz2 y la segunda con un ángulo θz1 (Fig. 3.4), el vector obtenido al final de la primera rotación sería
x
z
ar
O θz2
1ar
2ar
θz1
y
Fig. 3.4 – Composición de rotaciones 1z2z ,θθ en el plano.
3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.
- 22/116 -
xyz
2zy
2zy
y2z2z
2z2z
0cosasena
0a0
1000cossen0sencos
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θθ
θθθθ
mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θz1 sería
xyz
1z2zy1z2zy
1z2zy1z2zy
2zy
2zy
1z1z
1z1z
0coscosasensenasencosacossena
0cosasena
1000cossen0sencos
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θθθθθθθθ
θθ
θθθθ
Se comprueba que los vectores obtenidos son iguales al tener las mismas componentes en la misma base, lo que indica que el orden de aplicación es indiferente (se cumple la propiedad conmutativa) y que los giros planos pueden ser considerados de forma vectorial.
Concepto clave La composición de rotaciones en un plano es conmutativa.
3.3.1.3. Composición de rotaciones respecto de ejes arbitrarios.
Se va a probar ahora que la composición de rotaciones respecto de ejes arbitrarios no es conmutativa, y por lo tanto el orden de aplicación es importante, de manera que dichas magnitudes no pueden considerarse en este caso de forma vectorial.
rotaciones consecutivas sobre ejes arbitrarios
Si se producen dos rotaciones consecutivas respecto de ejes arbitrarios (por ejemplo, respecto a los ejes z y x) el movimiento obtenido no es plano. Nuevamente, para simplificar se va a rotar un vector paralelo al eje de las y. La primera rotación realiza un giro con respecto del eje z un ángulo θz, y la segunda respecto del eje x con un ángulo θx (Fig. 3.5, en la que los ángulos se han tomado de 90º para clarificar los resultados)
x
z
ar
O
θz 21 aarr
=
θx
y
Fig. 3.5 – Composición de rotaciones θz, θx en ejes arbitrarios.
El proceso utiliza las matrices de rotación
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cossen0sencos
A zz
zz
zθθθθ
θ [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
xx
xx
cossen0sencos0
001A
x
θθθθθ
por lo que el vector obtenido al final de la primera rotación de ángulo θz será
3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.
- 23/116 -
xyz
zy
zy
yzz
zz
0cosasena
0a0
1000cossen0sencos
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧θθ
θθθθ
mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θx será
xyzzxy
zxy
zy
zy
zy
xx
xx
cossenacoscosa
sena
0cosasena
cossen0sencos0
001
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθθθ
θθθ
θθθθ
Si ahora se producen las mismas rotaciones consecutivas, pero en este caso la primera con respecto al eje x un ángulo θx y la segunda respecto al eje z con un ángulo θz (Fig. 3.6) el vector obtenido al final de la primera rotación sería
xyzxy
xyy
xx
xx
senacosa0
0a0
cossen0sencos0
001
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθ
θθθθ
x
z
arO
θz
21 aarr
= θx
y
Fig. 3.6 – Composición de rotaciones θx, θz en ejes arbitrarios.
mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θz será
xyzxy
zxy
zxy
xy
xyzz
zz
senacoscosasencosa
senacosa0
1000cossen0sencos
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθθθθ
θθθθ
θθ
Se comprueba que los vectores obtenidos no son iguales, lo que indica que el orden de aplicación es importante (no se cumple la propiedad conmutativa) y que los giros sobre ejes arbitrarios no pueden ser considerados de forma vectorial.
Concepto clave La composición de rotaciones sobre ejes arbitrarios no es conmutativa.
3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.
- 24/116 -
3.3.1.4. Composición de rotaciones infinitesimales respecto de ejes arbitrarios.
Por último, se va a probar que la composición de rotaciones infinitesimales respecto de ejes arbitrarios, a diferencia de lo que ocurría en el caso anterior, es conmutativa, de manera que los giros se pueden considerar en este caso magnitudes vectoriales.
rotaciones infinitesimales
consecutivas sobre ejes arbitrarios
Si se producen dos rotaciones consecutivas infinitesimales respecto de ejes arbitrarios (por ejemplo los ejes z y x) el movimiento obtenido no es plano. La primera rotación va a realizar un giro infinitesimal con respecto del eje z un ángulo dθz, y la segunda respecto del eje x con un ángulo dθx (Fig. 3.6)
x=x2
z=z1
ar
O dθz
1ar
dθx
2ar
Fig. 3.6 – Composición de rotaciones infinitesimales en ejes arbitrarios.
A partir de la aproximación infinitesimal se tiene
1dcos ≈θ θθ ddsen ≈
y las matrices de rotación son
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
10001d0d1
1000dcosdsen0dsendcos
A z
z
zz
zz
d zθ
θθθθθ
θ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−≈
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1d0d10001
dcosdsen0dsendcos0
001A
x
x
xx
xxd x
θθ
θθθθθ
por lo que el vector obtenido al final de la primera rotación de ángulo dθz será
xyz
y
zy
yz
z
0a
da
0a0
10001d0d1
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ θθ
θ
mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo dθx será
xyzxy
y
zy
y
zy
x
x
daa
da
0a
da
1d0d10001
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θ
θθ
θθ
3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.
- 25/116 -
Si ahora se producen las mismas rotaciones, pero en este caso la primera con respecto al eje x un ángulo dθx y la segunda respecto al eje z con un ángulo dθz, el vector obtenido al final de la primera rotación sería
xyzxy
yy
x
x
daa0
0a0
1d0d10001
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθθ
mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo dθz será
xyzxy
y
zy
xy
yz
z
daa
da
daa0
10001d0d1
zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θ
θ
θθ
θ
Se comprueba que los vectores obtenidos son iguales, lo que indica que el orden de aplicación es indiferente (se cumple la propiedad conmutativa) y que los giros infinitesimales sobre ejes arbitrarios pueden ser considerados de forma vectorial.
Concepto clave La composición de rotaciones infinitesimales sobre ejes arbitrarios es conmutativa.
3.3.2. Reducción de rotaciones a un punto.
En este análisis no se va a considerar la posición del sólido, por lo que el hecho de que los movimientos angulares puedan o no tratarse de forma vectorial es indiferente. Al mismo tiempo, como en el estudio no se incluye de forma explícita ninguna derivación, el orden en el que se aplica las rotaciones es irrelevante para la obtención de la velocidad total.
El movimiento se define mediante el giro de un sólido respecto de un eje 1er
con una velocidad 1ωr
en la dirección de dicho eje; al mismo tiempo el sólido y el eje 1e
r giran solidariamente (sin movimiento relativo
entre sí) respecto de un eje 2er
con una velocidad 2ωr
; al mismo tiempo el sólido y los ejes 1er
y 2er
giran solidariamente respecto de un eje 3e
r con una velocidad 3ω
r. Esta composición de rotaciones se puede
repetir hasta llegar al último eje de giro ( ner
), de forma que el sólido y los ejes 1er
, 2er
, … , 1ne −r
giran solidariamente respecto de dicho eje ne
r, con una velocidad nω
r (Figura 3.7).
Fig. 3.7 – Composición de rotaciones.
3.3.2 Reducción de rotaciones a un punto.
- 26/116 -
velocidad por composición de
rotaciones
Según el principio de composición de movimientos simultáneos, los desplazamientos infinitesimales de un punto M, originados por cada uno de los movimientos de rotación simultánea ( iMrd
r), se pueden
sumar vectorialmente para obtener el desplazamiento infinitesimal total ( Mrdr
), y la velocidad lineal de rotación total ( Mv
r) es suma de las velocidades lineales de rotación instantáneas.
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∑
===== =⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=== n
1iiMM
n
1iiMM
MM
n
1iiM
n
1iiM
n
1iiMM vvdtvdtv
dtvrd
dtvdtvrdrd rrrr
rr
rrrr
Cada una de las velocidades lineales de rotación del punto M ( iMvr
) debida a la rotación instantánea i se puede expresar a partir del producto vectorial de la velocidad angular del giro ( iω
r) por el vector de
posición relativa del punto de estudio (M) respecto de un punto (Ei) perteneciente al eje instantáneo de rotación ( ie
r) correspondiente, luego
( ) ( ) ( )iiiM22M211M1 EMvEMvEMv −×=−×=−×= ωωωrr
Krrrr
Por ello la velocidad total ( Mvr
), suma de las velocidades de cada una de las rotaciones instantáneas ( iMvr
), es
( )( )[ ]∑
∑=
= −×=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
−×=
= n
1iiiM
iiiM
n
1iiMM EMvEMv
vvω
ω
rr
rr
rr
Concepto clave La velocidad de un punto (M) de un sólido rígido sometido a una composición de i rotaciones se puede expresar mediante la suma de las velocidades de rotación simultáneas del punto (
iMvr
), correspondientes a cada rotación ( ( )ii EM −×ωr
).
Ejemplo 3.2: Un sólido rígido está sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de unos ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e
r{1, 0, 0}, =2e
r{0, 1, 0} y =3e
r{0, 0, 1} respectivamente. Determinar la
velocidad del punto M del sólido de coordenadas M = {3, 2, 7}.
Utilizando el principio de rotaciones simultáneas
( )[ ]∑=
−×=n
1iiiM EMv ω
rr
y sabiendo que las velocidades angulares son concurrentes en el origen del sistema de referencia por lo que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
000
Ei
de forma que
( )[ ] ( )s/m10350
723005kji
EMv 11M1⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×=
rrr
rrω
3.3.2 Reducción de rotaciones a un punto.
- 27/116 -
( )[ ] ( )s/m240
56
723080kji
EMv 22M2⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==−×=
rrr
rrω
( )[ ] ( )s/m064
723200kji
EMv 33M3⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×=
rrr
rrω
luego la velocidad total del punto M del sólido es
( )[ ] ( )s/m1429
52
064
240
56
10350
EMvn
1iiiM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−×= ∑
=ωrr
velocidad por
reducción a un punto La expresión de la velocidad por composición de rotaciones varía cuando en el estudio se desea obtener la velocidad de un punto (M) a partir en otro punto del sólido rígido (O’) denominado centro de reducción (Fig. 3.7) de forma que
( )[ ]( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]{ }∑∑
== −+−×=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
−+−=−
−×= n
1iiiM
ii
n
1iiiM E'O'OMv
E'O'OMEM
EMvω
ω rrrr
desarrollando a partir de la propiedad asociativa de la suma se tiene
( )[ ] ( )[ ]∑∑==
−×+−×=n
1iii
n
1iiM E'O'OMv ωω
rrr
En el primer sumando aparece el vector de posición relativa del punto M respecto del O’ ( )'OM − . Como ambos puntos pertenecen al mismo sólido rígido dicho vector es constante y puede salir del sumatorio, siendo el sumatorio de velocidades angulares la velocidad angular total del sólido. El segundo término corresponde a la definición de velocidad del punto O’ ( 'Ov
r ) por composición de rotaciones, luego
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] [ ] ( )
[ ]
( )[ ]
( )'OMvv
vE'O
'OM'OM
E'O'OMv
'OM
'O
n
1iii
n
1ii
n
1ii
n
1ii
n
1iii
n
1iiM
−×+=⇒
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
=−×
=
−×=−×
−×+−×=
∑
∑
∑∑
∑∑
=
=
==
==
ω
ω
ωω
ωω
ωω
rrr
rr
rr
rr
rrr
Concepto clave
La velocidad de un punto (M) de un sólido rígido ( Mvr ) sometido a una composición de
rotaciones simultáneas utilizando un centro de reducción (O’) se puede expresar a partir de la velocidad de ese punto ( 'Ov
r ) más la velocidad debida a la rotación del punto de estudio (M) respecto del centro de reducción (O’), considerando como velocidad angular total (ω
r)
la suma de las velocidades angulares instantáneas de las rotaciones simultáneas ( iωr
).
3.3.2 Reducción de rotaciones a un punto.
- 28/116 -
velocidad por composición de movimientos de
traslación y rotación
Otro punto de vista para el análisis de esta expresión correspondiente a la velocidad de un punto M ( Mvr )
de un sólido rígido sometido a una composición de rotaciones instantáneas, a partir de su reducción a un punto del sólido (O’), se plantea considerando que el movimiento se descompone en dos, uno de traslación con la velocidad del centro de reducción ( 'Ov
r), y el otro de rotación respecto de un eje ( e
r), paralelo a la
dirección del vector resultante de velocidades angulares (ωr
), que pase por O’ (Figura 3.8).
{( )4434421
rrr
'Oderespectogirodevelocidad
'Opuntodelvelocidad
'OM 'OMvv −×+= ω
Fig. 3.8 – Reducción de una composición de rotaciones.
Ejemplo 3.3: Para el mismo sólido rígido del problema anterior (3.2), sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de unos ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e
r{1, 0, 0}, =2e
r{0, 1, 0} y =3e
r{0, 0,
1} respectivamente. Determinar la velocidad del punto N de coordenadas N = {1, 4, 10}.
Se va a obtener de dos formas distintas. Utilizando el principio de rotaciones simultáneas
( )[ ]∑=
−×=n
1iiiN ENv ω
rr
de forma que
( )[ ] ( )s/m20500
1041005kji
ENv 11N1⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×=
rrr
rrω
( )[ ] ( )s/m8
080
1041080kji
ENv 22N2⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==−×=
rrr
rrω
( )[ ] ( )s/m028
1041200kji
ENv 33N3⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×=
rrr
rrω
luego la velocidad total del punto N del sólido es
( )[ ] ( )s/m1248
72
028
8080
20500
ENvn
1iiiN
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−×= ∑
=ωrr
Otro método es utilizando el punto M del sólido, cuya velocidad es conocida, como punto de reducción
( )MNvv MN −×+= ωrrr
en la que
3.3.2 Reducción de rotaciones a un punto.
- 29/116 -
( )s/m1429
52vM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
r
[ ] ( )s/rad285
200
080
005
n
1ii
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ∑
=ωωrr
( ) ( )m322
723
1041
MN⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
luego finalmente
( ) ( )s/m1248
72
2619
20
1429
52
322285kji
1429
52MNvv MN
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−×+=
rrr
rrrω
3.3.3. Campo de velocidades.
La expresión que determina la velocidad de un punto (M) de un sólido a partir de un punto O’ como centro de reducción es la base de la definición del campo de velocidades
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr
al cual están asociados una serie de conceptos como son los invariantes, el eje instantáneo de rotación y la máxima reducción.
primer invariante cinemático
A la velocidad angular total del sólido (ωr
), suma de las velocidades angulares instantáneas ( iωr
)
[ ]∑=
=n
1iiωωrr
se la denomina primer invariante o invariante vectorial del estudio cinemático del sólido rígido.
Concepto clave El primer invariante del estudio cinemático de un sólido rígido indica que en cada instante la velocidad angular total (ω
r) es la misma para todos sus puntos.
segundo invariante cinemático
Cada punto (M) del sólido rígido sometido a una composición de rotaciones tiene distinta velocidad ( Mvr ),
pero en cada instante todas las velocidades de los puntos del sólido tienen la misma proyección en la dirección de la velocidad angular total (ω
r).
Esto se demuestra multiplicando escalarmente por la velocidad angular total (ωr
) a ambos miembros de la expresión
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr
con lo que se tiene
3.3.3 Campo de velocidades.
- 30/116 -
( )'OMvv 'OM −×⋅+⋅=⋅ ωωωωrrrrrr
en el que el último sumando es nulo por ser un producto mixto con dos vectores iguales (ωr
), luego
( )( )
ctevv0'OM
'OMvv'OM
'OM =⋅=⋅⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=−×⋅
−×⋅+⋅=⋅ rrrrrr
rrrrrr
ωωωω
ωωωω
cumpliendo los puntos M y O’ únicamente con la condición de pertenecer al sólido. A esta expresión se la denomina segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantes iω
r.
Concepto clave El segundo invariante indica que, en un instante definido, la proyección de la velocidad de los puntos de un sólido sobre la dirección ( e
r) de la velocidad angular total (ω
r) es
constante.
Ejemplo 3.4: Comprobar el cumplimiento del segundo invariante para los puntos M = {3, 2, 7} N = {1, 4, 10} del sólido del problema anterior (3.3), que está sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de los ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e
r{1, 0, 0}, =2e
r{0, 1, 0} y =3e
r{0, 0, 1}, respectivamente.
El segundo invariante se comprueba si se cumple
ctevv NM =⋅=⋅rrrr
ωω
en la que ya se tienen los datos siguientes
( )s/m1429
52vM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
r ( )s/m
1248
72vN
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
r ( )s/rad
285
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r
luego
( ) ( ) ( )2M s/m0142298525
1429
52
285
v =−⋅+−⋅+⋅=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⋅
rrω
( ) ( ) ( )2N s/m0122488725
1248
72
285
v =⋅+−⋅+⋅=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⋅
rrω
luego sí se cumple.
velocidad de mínimo deslizamiento
A partir de la expresión del segundo invariante
ctevv 'OM =⋅=⋅rrrr
ωω
como la velocidad angular total (ωr
) es la misma para todos los puntos del sólido en cada instante y las velocidades de los puntos en general son distintas, un punto genérico M ( Mv ) del sólido rígido tendrá velocidad mínima cuando ésta sea paralela a la velocidad angular total (ω
r), ya que en este caso la
velocidad es debida únicamente al efecto de la traslación y no se ve afectada por la rotación (Fig. 3.9).
3.3.3 Campo de velocidades.
- 31/116 -
A esa velocidad se la denomina de mínimo deslizamiento ( mvr
) y es la misma para todos los puntos del sólido. Se obtiene de la proyección de la velocidad de un punto cualquiera del sólido ( Mv
r) sobre la
dirección del unitario de la velocidad angular ( ωer
) en la dirección de dicho unitario.
( ) ωωω
ω ωω
ωωω
eevv'cteevve
'ctevvctevMmMm
mMM rrrrrrr
r
rr
rrr
⋅=⇒=⋅=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
==⋅⇒=⋅
C
vC
x y
z
D
ω
ω
vD
vMM
Fig. 3.9 – Punto C del sólido con velocidad mínima.
eje instantáneo de rotación y mínimo
deslizamiento (EIRMD)
El lugar geométrico de los puntos cuya velocidad es paralela a la velocidad angular total (ωr
) es una recta de la misma dirección que la velocidad angular total del sólido (no se demuestra), denominada eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).
Se puede obtener la posición de un punto perteneciente a este eje premultiplicando vectorialmente por la velocidad angular total (ω
r) a la expresión de la velocidad de un punto de un sólido ( Mv
r ) a partir de tomar otro (O’) como centro de reducción ( 'Ov
r )
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr
Realizando el producto vectorial
( )[ ]'OMvv 'OM −××+×=× ωωωωrrrrrr
en el que desarrollando el doble producto vectorial
( )( ) ( ) ( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
===−×
−−− xyyx
zxxz
yzzy
zyx
zyx
z'OMy'OMx'OM
zyx
rrrrrr
rrr
kji
rrr
kji'OM
ωωωωωω
ωωωωωωω
rrrrrr
r
( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪
⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−+
+−+
+−+
=
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−−−−−−−
=−−−
=−××
z2y
2xzyyxx
y2x
2zyxxzz
x2z
2yxzzyy
yyzzyxzxxz
xxyyxzyzzy
zzxxzyxyyx
xyyxzxxzyzzy
zyx
rrrrrrrrr
rrrrrrrrrrrr
rrrrrr
kji'OM
ωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωω
rrr
rr
vector al que sumando y restando x2x rω , y
2y rω , z
2z rω a las componentes x, y, z respectivamente, y
reorganizando se tiene
3.3.3 Campo de velocidades.
- 32/116 -
( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )'OM'OM
zz
yy
xx
z2z
2y
2xzzzyyxx
y2z
2y
2xyzzyyxx
x2z
2y
2xxzzyyxx
rr
rrrrrr
rrrrrrrrrrrr
'OM
−− ⋅−⋅=
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++−++
++−++
++−++
=−××
rrrrrr
rrrr
rrrr
rrrr
rr
ωωωω
ωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωω
luego sustituyendo en la ecuación inicial
( )[ ]( )[ ] ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )'OM'OM'OM'OM'OM
'OM rrvvrr'OM
'OMvv−−
−−
⋅−⋅+×=×⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅−⋅=−××
−××+×=× rrrrrrrrrrrrrrrrrr
rrrrrr
ωωωωωωωωωωωω
ωωωω
Si en vez de utilizar un punto (O’) como centro de reducción se utiliza un punto específico (C), con la condición de que pertenezca al EIRMD y que la recta (M-C) sea perpendicular al eje (Fig. 3.10), la expresión anterior se transforma en
( )( ) ( ) ( )CMCMCM rrvv −− ⋅−⋅+×=×rrrrrrrrrr
ωωωωωω
EIRMD
C
vC
x y
z
O’
ω
ω
vO’
M
Fig. 3.10 – Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
Al ser el vector de posición ( )CMr
−
r perpendicular a la velocidad angular total (ωr
), el producto escalar
( ) ωrr
⋅−CM
r es nulo.
Al mismo tiempo, al pertenecer el punto C al EIRMD, su velocidad ( Cvr ), si es distinta de cero, ha de ser
paralela a la velocidad angular total (ωr
), luego el producto vectorial Cvrr
×ω es nulo, por lo que la expresión anterior queda reducida a
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )CM2
CMM
CC
CMCM
CMCMCM
rrv
0vv
0rr
rrvv
−−−−
−−
−=⋅−=×⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×⇒
=⋅⇒⊥
⋅−⋅+×=×rrrrrr
rrrrr
rrrr
rrrrrrrrrr
ωωωω
ωω
ωω
ωωωωωω
expresión a partir de la cual se puede obtener la posición relativa de un punto (C) del EIRMD
( ) ( ) 2M
MC2M
CM
vr
vr
ω
ω
ω
ωrr
rrr
r ×=⇒
×−=
−−
y la ecuación del eje instantáneo de rotación del sistema de vectores deslizantes iωr
3.3.3 Campo de velocidades.
- 33/116 -
0v2
Mrr
rr
=+×
ωλω
ω
obtenida respecto de un punto M arbitrario del sólido.
comparativa del estudio estático/cinemático
Los estudios de velocidades por composición de rotaciones y de fuerzas aplicadas a un sólido rígido son semejantes, por lo que se van a presentar de forma tabulada las equivalencias entre las formulaciones de ambos campos vectoriales.
Denominación Estudio estático de sólido rígido Denominación Estudio cinemático de sólido rígido
Resultante de fuerzas
[ ]∑=
=n
1iiFRrr
Velocidad angular total
[ ]∑=
=n
1iiωωrr
Unitario asociado a la resultante de
fuerzas RReR
rr
= Unitario asociado
a la velocidad angular ω
ωω
rr
=e
Momento respecto de un punto
( )[ ]∑=
×−=n
1iiiM FMEMrr
Velocidad por
composición de rotaciones
( )[ ]∑=
−×=n
1iiiM EMv ω
rr
Momento con centro de
reducción ( ) RM'OMM 'OM
rrr×−+=
Velocidad con centro de reducción
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr
Momento mínimo RM eMm
rr⋅=
Velocidad de mínimo
deslizamiento ωevv Mmrr
⋅=
Vector momento mínimo
( ) RRM eeMmrrrr
⋅= Vector velocidad
de mínimo deslizamiento
( ) ωω eevv Mmrrrr
⋅=
Punto (C) del eje central 2
M
RMRMCrr
×=− Punto (C) del
EIRMD 2MvMC
ωω
rr×
=−
Eje central γβα coszz
cosyy
cosxx CCC −
=−
=− EIRMD γβα cos
zzcos
yycos
xx CCC −=
−=
−
Cosenos directores de la resultante R
RcosRR
cosRRcos zyx === γβα
Cosenos directores de la
velocidad angular
ωωγ
ωω
βωωα zyx coscoscos ===
máxima reducción
cinemática Según lo visto, el movimiento general de un sólido rígido se puede descomponer en un movimiento instantáneo de traslación en la dirección del eje instantáneo se rotación ( ωe
r) con velocidad de mínimo
deslizamiento ( mvr
), proyección de la velocidad de un punto cualquiera del sólido (M) respecto del eje de rotación ( ωe
r), y un movimiento instantáneo de rotación respecto de él con velocidad angular total (ω
r ) (Figura 3.11).
A la reducción al eje central del movimiento de un sólido por composición de rotaciones se la denomina máxima reducción. Esta reducción solo puede aplicarse al estudio de velocidades, no siendo válida en el caso de las aceleraciones.
Concepto clave
El EIRMD es la recta, lugar geométrico de los puntos respecto de los cuales la velocidad de deslizamiento es mínima ( mv
r) con dirección paralela a la velocidad angular total (ω
r ). El análisis cinemático reducido a un punto de este eje se denomina máxima reducción del movimiento.
3.3.3 Campo de velocidades.
- 34/116 -
Por ello, cuando el segundo invariante escalar del sistema de rotaciones ( ctevM =⋅rr
ω ) se pone en función
de la velocidad de mínimo deslizamiento y es distinto de cero ( 0vm ≠⋅rr
ω ), la velocidad ( Mvr ) de cualquier
punto (M) de un sólido se puede determinar a partir de la composición de un movimiento de traslación con velocidad de mínimo deslizamiento ( mv
r ) y otro de rotación respecto de un punto (C) del EIRMD, utilizando la expresión
( )CMvv mM −×+= ωrrr
lo que se denomina teorema de Chasles.
M
mvr
ωr
Mvr
C
mvr
EIRMD
Fig. 3.11 – Máxima reducción de una composición de rotaciones.
Ejemplo 3.5: Determinar la máxima reducción de velocidades de un sólido que está sometido a dos rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 3, ω2 = 5 (en rad/s) la primera respecto de un eje que pasa por el origen del sistema de referencia E1={0, 0, 0} con vector asociado =1e
r{1, 0, 0}, y la segunda respecto de
un eje que pasa por el punto E2={0, 1, 0} en metros, con vector asociado =2ur
{3, 0, 4}.
Para determinar la máxima reducción se necesita la resultante de velocidades angulares (ωr
) junto con la velocidad de mínimo deslizamiento ( mv
r) actuando en un punto del EIRMD.
Los unitarios de cada uno de los vectores asociados son
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
001
e1r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
403
51e2
r
La resultante de velocidades angulares la obtenemos de la expresión
[ ] ( )s/rad406
403
55
001
3n
1ii
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ∑
=ωωrr
y su unitario es
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==203
131
132
406
eωω
ω
rr
Para determinar la velocidad de deslizamiento ( mvr
) se necesita la velocidad de un punto del sólido rígido ( Ovr
), por ello se calcula la velocidad del origen del sistema de referencia (se toma ese punto porque es el de cálculo más sencillo). En el caso de que el origen el sistema de referencia no perteneciera al sólido (cuyo contorno en este caso no ha sido definido) no habría ningún problema en considerar que sí pertenece y calcular su velocidad con esa condición. El hecho de que un punto pertenezca cinemáticamente a un sólido significa que está animado
3.3.3 Campo de velocidades.
- 35/116 -
con las características cinemáticas de dicho sólido.
Según esto, la velocidad del origen del sistema de referencia considerado como perteneciente cinemáticamente al sólido es
( )[ ] ( )s/m3
04
304
000
010403kji
000003kji
EOvn
1iiiO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−+=−×= ∑
=
rrrrrr
rrω
luego la velocidad de mínimo deslizamiento se obtiene de
( ) ( )s/m120
18
131
203
136
203
131
203
131
304
eevv Om⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=⋅= ωω
rrrr
y un punto del EIRMD
( )m0
170
261
0340
521
52
304406kji
vOC 2O
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−=
×=−
rrr
rr
ωω
Luego la máxima reducción es la resultante de velocidades angulares junto con la velocidad de mínimo deslizamiento actuando en un punto del EIRMD
( )s/rad406
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r ( )s/m
120
18
131vm
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )m
0170
261OC
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
Como comprobación se determina la velocidad del punto O reduciendo el sistema al punto C del EIRMD
( )
( )s/m3
04
39052
131
51034
131
12018
131
1020
68
261
120
18
131
0170406kji
261
12018
131COvv mO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−×+=
rrr
rrrω
que coincide con el obtenido anteriormente
análisis para el caso de segundo invariante
nulo
Cuando el segundo invariante es nulo
0vm =⋅rr
ω
se pueden presentar los siguientes casos:
1. Que tanto ωr
como mvr
sean nulos. Esto indica que en ese instante el cuerpo no tiene movimiento.
2. Que 0=ωr
y 0vm
rr≠ . Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad de mínimo
deslizamiento, por lo que el movimiento corresponde a una traslación.
3.3.3 Campo de velocidades.
- 36/116 -
3. Que 0≠ωr
y 0vm
rr= . En este caso el sistema de rotaciones es de ejes concurrentes, coplanarios o
paralelos. El movimiento es una rotación pura alrededor del EIRMD que pasa por el punto de concurrencia (propio en ejes concurrentes en un punto, o impropio en ejes paralelos). En los demás puntos del sólido, fuera del EIRMD, existe velocidad que será perpendicular a la resultante de velocidades angulares (ω
r).
El caso en que el producto escalar de la velocidad angular por la de mínimo deslizamiento sea nulo ( 0vm =⋅
rrω ) siendo ambos vectores distintos de cero ( 0≠ω
r y 0vm
rr≠ ) por ser ambos vectores
perpendiculares entre sí ( mvrr
⊥ω ) no tiene sentido por la definición de velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr
).
Concepto clave Para el análisis de velocidades instantáneas, la composición de movimientos de rotación de un sólido rígido puede reducirse a la superposición de un movimiento de traslación en la dirección del EIRMD y otro de rotación respecto de dicho eje.
Se analizan a continuación los casos de composición de rotaciones de ejes concurrentes, coplanarios y paralelos.
3.3.3.1. Composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes.
Se considera un sólido rígido animado de una composición de rotaciones simultáneas ( iωr ) cuyos ejes se
cortan en un punto O’. Si se toma éste como centro de reducción, su velocidad ( 'Ovr
) es nula ya que pertenece a todos los ejes de rotación ( 'OEi = ), y por lo tanto la velocidad de mínimo deslizamiento ( mv
r)
también es nula. Lo anteriormente indicado aparece reflejado en la tabla siguiente:
Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con movimientos de rotación de ejes concurrentes
Velocidad angular total [ ]∑=
=n
1iiωωrr
Velocidad por composición de rotaciones ( )[ ] ( )[ ] 0'O'OE'Ov
n
1ii
n
1iii'O
rrrr=−×=−×= ∑∑
==ωω
O’ punto de concurrencia Velocidad de mínimo deslizamiento ( ) 0eevv 'Om
rrrrr=⋅= ωω
Punto del EIRMD 'O
La elección del punto de concurrencia (O’) para reducir el movimiento de la composición de rotaciones facilita el proceso. La utilización de cualquier otro punto de reducción llevaría a las mismas conclusiones, pero de una forma no tan simple.
Por lo tanto, la máxima reducción de velocidades de una composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes corresponde a un movimiento de rotación respecto de un eje instantáneo ( ωe
r) paralelo al
vector velocidad angular total (ωr
) y que pasa por el punto de concurrencia (O’), sin velocidad de deslizamiento.
Concepto clave Una composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes corresponde a una rotación respecto de un eje ( ωe
r), paralelo al vector velocidad angular total (ω
r) y que pasa
por el punto de concurrencia.
3.3.3 Campo de velocidades.
- 37/116 -
3.3.3.2. Composición de movimientos de rotación de ejes paralelos.
Se considera un sólido rígido animado por un conjunto de rotaciones simultáneas ( iωr ) cuyos ejes son
paralelos a una dirección ( er
). Si se toma como centro de reducción un punto arbitrario (M) su velocidad ( Mvr
) no tiene por qué ser nula, pero sí perpendicular a la dirección de las velocidades angulares ( er
) debido al producto vectorial
( )[ ]( ) ( )[ ] evEMev
ee
e
EMv
M
n
1iiiMii
n
1iiiM
rrrr
rr
rr
rr
⊥⇒−×=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
=
−×=
∑
∑
=
=
ωωω
ω
ω
y por lo tanto la velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr
), asociada al producto escalar de la velocidad de un punto arbitrario ( Mv
r) por el unitario ( e
r) asociado a la dirección de las velocidades angulares, es nula.
Lo anteriormente indicado aparece reflejado en la tabla siguiente:
Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con movimientos de rotación de ejes paralelos
Velocidad angular total [ ] [ ] [ ]een
1ii
n
1ii
n
1ii
rrrr∑∑∑===
=== ωωωω
Velocidad por composición de rotaciones ( )[ ] eEMvn
1iiiM
rrr⊥−×= ∑
=ω
Velocidad de mínimo deslizamiento ( ) 0eevv Mm
rrrrr=⋅= ωω
Punto del EIRMD 2MvMC
ωω
rr×
=−
Luego la máxima reducción de la composición de velocidades de movimientos de rotación de ejes paralelos a una dirección ( e
r) corresponde a una rotación respecto de un eje paralelo al anterior que pasa por un
punto del EIRMD (C) que habrá que determinar, y cuya velocidad de deslizamiento es nula.
Concepto clave Una composición de movimientos de rotación de ejes paralelos a una dirección ( e
r)
corresponde a una rotación respecto de dicho eje ( er
) que pasa por un punto del EIRMD (C) y cuya velocidad de deslizamiento es nula.
3.3.3.3. Composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios.
Se considera un sólido rígido animado por un conjunto de rotaciones simultáneas ( iωr ) cuyos ejes se
encuentran situados en un mismo plano (π). Si se toma un punto del sólido (M) perteneciente al plano ( π∈M ), por las propiedades del producto vectorial su velocidad ( Mv
r) es perpendicular al plano (π) que
contiene a las velocidades angulares ( iωr ) y a su resultante (ω
r )
( )[ ] πω ⊥−×= ∑=
n
1iiiM EMv
rr
3.3.3 Campo de velocidades.
- 38/116 -
por lo tanto, la velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr
) asociada al producto escalar de la velocidad de un punto arbitrario ( Mv
r) por el unitario ( e
r) de la dirección de la resultante de la velocidad angular (ω
r ) es nulo. Lo anteriormente indicado aparece reflejado en la tabla siguiente:
Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con movimientos de rotación de ejes coplanarios
Velocidad angular total [ ] [ ]∑∑==
==n
1i ii
n
1i ierrr
ωωω π∈e,eirr
Velocidad por composición de rotaciones ( )[ ] πω ⊥−×= ∑=
n
1iiiM EMv
rr
Velocidad de mínimo deslizamiento ( ) 0eevv Mm
rrrrr=⋅= ωω
Punto del EIRMD 2MvMC
ωω
rr×
=−
Luego la máxima reducción de velocidades de la composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios en los puntos del plano corresponde a una rotación respecto de un eje instantáneo de rotación que pasa por un punto (C) que habrá que determinar, y cuya velocidad de deslizamiento es nula.
Concepto clave Una composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios que se encuentran en un plano (π) corresponde a una rotación respecto de un eje ( e
r) que pasa por un punto (C) que
habrá que determinar, y cuya velocidad de deslizamiento es nula para puntos del plano.
3.3.3.4. Par de rotaciones.
Se considera ahora el caso de un sólido rígido animado de un par rotaciones simultáneas ( ωωrr
−, ) del mismo módulo (ω ) y dirección ( e
r) y de sentidos contrarios (Fig. 3.14).
Fig. 3.14 – Par de rotaciones.
Si se toma como centro de reducción un punto arbitrario del sólido rígido (M), su velocidad ( Mvr
) por superposición de movimientos simultáneos, viene dada por
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )122121
n
1iiiM EEEMEMEMEMEMv −×=−−−×=−×−+−×=−×= ∑
=ωωωωωrrrrrr
expresión que indica que la velocidad del punto (M) es independiente de su posición, luego todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad, condición que aparece únicamente en los movimientos de traslación, luego un par de rotaciones genera un movimiento de traslación (Fig. 3.15).
3.3.3 Campo de velocidades.
- 39/116 -
Fig. 3.15 – Traslación por par de rotaciones.
Concepto clave Un par de rotaciones genera un movimiento de traslación.
La máxima reducción del par de rotaciones aparece reflejada en la tabla siguiente:
Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con un par de rotaciones
Velocidad angular total [ ] ( ) 021
n
1ii
rrrrr=−+== ∑
=ωωωω
Velocidad por composición de rotaciones ( ) eEEev12M
rrr⊥−×= ω
Velocidad de mínimo deslizamiento ( ) 0eevv Mm
rrrrr=⋅= ωω
Punto del EIRMD No tiene ya que es una traslación
que corresponde a un movimiento de velocidad angular total (ωr ) nula (y por lo tanto con EIRMD
inexistente), y con velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr
) también nula, en el que la velocidad ( Mvr
) no depende del punto (M) en estudio.
Es de destacar que cuanto más alejados estén entre sí los ejes del par de rotaciones, mayores serán los radios de curvatura de las trayectorias de los puntos del sólido, de forma que una traslación de trayectoria rectilínea correspondería a un par de rotaciones cuyos ejes se encuentran a una distancia infinita.
Concepto clave Cualquier traslación se puede hacer equivalente a un par de rotaciones. En el caso de traslaciones de trayectoria rectilínea los ejes de rotación se encuentran a una distancia infinita.
3.3.3.5. Composición de translaciones y rotaciones.
análisis cinemático de sólido rígido con
composición de rotaciones
Si se supone ahora un sólido rígido sometido a T traslaciones y R rotaciones, de acuerdo con lo indicado anteriormente cada traslación (T) se puede sustituir por un par de rotaciones, por lo que el movimiento del sólido estará constituido por 2T+R rotaciones simultáneas. A partir de esta deducción, el análisis cinemático del sólido rígido se puede generalizar considerando únicamente composición de rotaciones.
3.3.3.6. Axoides. Representación de Poncelet.
El estudio realizado del comportamiento del sólido rígido es instantáneo, de forma que en cada instante se pueden determinar un punto (C) del EIRMD y su dirección ( ωe
r) mediante las expresiones
3.3.3 Campo de velocidades.
- 40/116 -
2MvMC
ωω
rr×
=− ωω
ω
rr
=e
cuyos valores dependen de la velocidad angular del sólido (ωr
) y de la velocidad lineal de un punto del sólido ( Mv
r) en el instante de estudio, ambas magnitudes variables con el tiempo.
Por ello el EIRMD cambiará constantemente de posición tanto respecto a un sistema de referencia de ejes fijos (OXYZ), como respecto a un sistema ligado al sólido rígido y que, por lo tanto, se mueve solidariamente con él (OX1Y1Z1). El EIRMD solo quedará indefinido en el caso en que el movimiento del sólido sea una traslación pura, como se vio en el análisis del par de rotaciones.
axoide fijo El EIRMD de un sólido rígido (denominado er
en el instante mostrado en la figura 3.16) modifica su posición respecto de un sistema de referencia fijo (OXYZ), generando una superficie reglada (correspondiente a los ejes ie
r en la figura 3.16) que recibe el nombre de axoide fijo.
axoide móvil Por otra parte, este mismo EIRMD en su movimiento relativo respecto de un sistema de referencia móvil, ligado al sólido (OX1Y1Z1), genera una superficie reglada ( i'e
r en la figura 3.16) que recibe el nombre de axoide móvil.
A partir de lo anterior, el movimiento del sólido rígido queda definido como la rodadura del axoide móvil (superficie formada por los ejes i'e
r ) respecto del axoide fijo (superficie formada por los ejes ier ) que se
produce en cada instante sobre la arista ( er
) de contacto entre ambos axoides, y coincide con el EIRMD. El movimiento entre los axoides viene definido por una rotación, con velocidad angular la del sólido (ω
r) y
una traslación en la dirección del eje de rotación, con la velocidad de mínimo deslizamiento del sólido ( mvr
).
Se comprende por tanto que, en cada instante, ambos axoides tienen contacto sobre el EIRMD, cuya posición va variando con el tiempo, de modo que son tangentes respecto de él.
Fig. 3.16 – Axoides.
movimiento general de un sólido rígido
En definitiva, el movimiento de un sólido rígido se puede representar suponiendo que dicho sólido está ligado a una superficie móvil (axoide móvil) que rueda respecto de una superficie fija (axoide fijo), al mismo tiempo que experimenta un desplazamiento a lo largo de la generatriz común de ambos axoides en cada instante. Tal representación del movimiento del sólido se debe al matemático francés Jean Poncelet.
sólido rígido con un punto fijo
En el caso de que el sólido rígido esté vinculado mediante una articulación en un punto, de forma que éste permanezca fijo durante el movimiento, ambos axoides degeneran en superficies cónicas tangentes entre sí a lo largo de una generatriz, y el movimiento descrito mediante la representación de Poncelet se reduce a una rodadura del axoide correspondiente al cono móvil sobre el axoide correspondiente al cono fijo, no existiendo deslizamiento entre los axoides por ser nula la velocidad del punto de articulación del sólido (Fig. 3.17).
3.3.3 Campo de velocidades.
- 41/116 -
2ωr
1ωr
ωr
Fig. 3.17 – Axoides.
En la figura 3.17 el sólido rígido que no aparece dibujado (aunque sí lo está el cono móvil al cual es solidario) gira con velocidad angular 1ω
r alrededor de su eje, al mismo tiempo que dicho eje gira con
velocidad angular 2ωr
alrededor de un eje fijo. El resultado de esta combinación de movimientos es una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, siendo el EIRMD la generatriz común a ambos conos que contiene a la velocidad angular total (ω
r). La dirección del EIRMD es la dirección de la resultante que
viene dada por
21 ωωωrrr
+=
Esta representación del movimiento del sólido rígido se utilizará posteriormente en su estudio dinámico.
4. Aceleraciones.
- 42/116 -
4. Aceleraciones.
4.1. Introducción.
Como ya se indicó anteriormente el análisis realizado para las velocidades no es válido para el caso de las aceleraciones, ya que cuando aparecen rotaciones simultáneas la aceleración se ve influenciada por el orden de las rotaciones.
El estudio comienza nuevamente para la composición de traslaciones y rotaciones por separado.
4.2. Composición de traslaciones simultáneas.
aceleración Nuevamente, según el principio de composición de movimientos, la velocidad infinitesimal total ( Mvdr
) del punto M es la suma vectorial de las velocidades infinitesimales de cada uno de los movimientos componentes ( iMvd
r)
∑=
=++=n
1iiMM2M1M vdvdvdvdr
Krrr
poniendo las velocidades infinitesimales de cada uno de los movimientos de traslación simultánea ( iMvdr
) en función de la aceleración correspondiente ( iMa
r) y del diferencial de tiempo (dt), que es el mismo para
todos los movimientos, se tiene
( ) ( ) dtadtavddtavd
vdvd n
1iiM
n
1iiMM
iMiM
n
1iiMM ∑∑
∑==
= ==⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
= rrr
rr
rr
La velocidad infinitesimal total del punto de estudio ( Mvdr
) también se puede poner en función de la aceleración total ( Ma
r, dtavd MM
rr= ), de donde se deduce la relación entre esta aceleración total ( Ma
r) y la
de los movimientos simultáneos ( iMar
), de forma que cumple el principio de composición de movimientos.
( ) ( ) ( )∑∑∑
=== =⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
= n
1iiMM
n
1iiMM
MM
n
1iiMM aadtadta
dtavd
dtavd rrrr
rr
rr
Como cada una de las aceleraciones de traslación instantáneas ( iMar
) es la misma para todos los puntos del sólido, la aceleración de traslación total ( Ma
r) también la misma, por lo que no es necesario especificar a
que punto se refiere
aaMrr
=
Concepto clave La velocidad ( v
r) y aceleración ( a
r) totales de traslación, correspondientes a una
composición de velocidades ( ivr
) y aceleraciones ( iar
) de traslación, respectivamente, son las mismas para todos los puntos del sólido.
4.3 Composición de rotaciones simultáneas.
- 43/116 -
4.3. Composición de rotaciones simultáneas.
aceleración lineal La aceleración ( Mar
) de un punto (M) de un sólido rígido sometido a una composición de rotaciones se obtiene al derivar la expresión de la velocidad ( Mv
r) respecto del tiempo. Si se considera la velocidad total
de un punto (M) de un sólido a partir de un centro de reducción (O’) se tiene
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr con ∑
==
n
1iiωωrr
por lo que para obtener la aceleración se deriva respecto del tiempo
( )[ ] ( ) ( )'OMdtd'OM
dtda'OMv
dtd
dtvda 'O'O
MM −×+−×+=−×+== ωωω
rr
rrrr
r
en la que
( ) 'OM vvdt
'dOdt
dM'OMdtd
dtd rrrr
−=−=−= αω
Si los puntos M y O’ pertenecen al mismo sólido rígido, reduciendo la velocidad de M al punto O’
( )
( )( ) ( ) ( )'OMv'OMv'OM
dtd
'OMvv
vv'OMdtd
'O'O
'OM
'OM −×=−−×+=−⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
−×+=
−=−ωω
ω
rrrr
rrr
rr
luego
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]'OM'OMaa
'OM'OMdtd
dtd
'OMdtd'OM
dtdaa
'OM
'OM
−××+−×+=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
−×=−
=
−×+−×+=
ωωα
ω
αω
ωω
rrrrr
r
rr
rr
rr
en la que los dos últimos sumandos corresponden a las componentes tangencial ( tMar
) y normal ( nMar
) de la aceleración del punto M, respectivamente
( ) ( )[ ] nM
tM'O
normalnaceleració
gencialtannaceleració
'OM aaa'OM'OMaarrr
444 3444 21rr
4434421rrr
++=−××+−×+= ωωα
aceleración angular Como la velocidad angular total (ωr
) es suma de los vectores velocidades angulares de cada una de las rotaciones instantáneas ( iω
r) cuyos ejes son arrastrados por posteriores rotaciones, para la obtención de la
aceleración angular total (αr
) a partir de su derivación es conveniente descomponer las velocidades angulares de cada uno de los movimientos en sus componentes y direcciones en las bases móviles (
iei ωωr
), ya que ambos pueden variar respecto del tiempo
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==⇒== ∑∑∑∑
====
n
1ii
in
1ii
n
1ii
n
1ii dt
ede
dtde
dtd
dtde i
iii
ωωωω ωωωωαωωω
rrr
rrrrr
Utilizando la notación del punto encima de la variable derivada respecto del tiempo, se tiene
4.3 Composición de rotaciones simultáneas.
- 44/116 -
ωω&=
dtd
i
i edted
ωω &rr
=
y la aceleración angular (αr
) se puede expresar
( ) ∑∑∑===
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
n
1iii
n
1ii
n
1ii iii
eeedtd
dtd
ωωω ωωωωα&rr
&rrr
o bien, considerando el vector velocidad angular total (ωr
) sobre la dirección del EIRMD ( ωer
)
( ) ωωωω ωωωωαωω eeedtde
&rr&
r&rrrr+===⇒=
por lo que, debido a la variación de posición del EIRMD ( ωe&r
) el vector aceleración angular (αr
) no tiene por qué estar localizado sobre dicho eje (Fig. 4.1). Esta es la causa de que el modelo del EIRMD no sea válido para el estudio de aceleraciones. Las unidades de la aceleración angular son 2s/rad .
Concepto clave En general el vector aceleración angular (αr
) no está localizada sobre el EIRMD ( ωer
).
dirección de la variación del unitario
de la velocidad angular
Como la variación del unitario asociado a una velocidad angular ( ωedr
) respecto del tiempo modifica su dirección ( ωω ede
rr+ ) pero no su módulo (mantiene su condición de unitario) dicha variación tiene que ser
perpendicular a la dirección del vector ( ωer
)
ωω eedrr
⊥
1ωr
2ωr 11 dωω
rr+
ωr
ωωrr
d+
ωer
ωω ederr
+ωedr
1ωr
1dωr
Fig. 4.1 – Variación del unitario asociado a una composición de rotaciones.
aceleración angular con eje de rotación con
orientación fija
En el caso particular de que el EIRMD ( ωer
) mantenga su dirección fija en el tiempo (lo que ocurre en movimientos planos), la aceleración angular (α
r) viene definida únicamente por la variación del módulo
ω
ωω
ωωωα
ωωαe
0ectee
ee r&
r
r&rr
&rr&
r
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⇒=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
por lo que el vector aceleración angular (αr
) estará localizado sobre el eje de la velocidad angular ωer
, de modo que el módulo de la aceleración angular (α ) es la derivada del módulo de la velocidad angular con
4.3 Composición de rotaciones simultáneas.
- 45/116 -
respecto al tiempo (ω& ), su dirección es la del EIRMD ( ωer
) y su sentido el de la velocidad angular (ωr
) cuando aumenta con el tiempo, y opuesto si disminuye.
aceleración angular con eje de rotación con
orientación variable
Sin embargo, en el caso más general en el que el EIRMD ( ωer
) no mantenga su orientación fija, la aceleración angular (α
r) se obtiene de la expresión inicialmente indicada
( ) ωωω ωωωωα eeedtd &rr
&r&rr
+===
variación de un vector unitario Para determinar la variación de un vector unitario respecto del tiempo ( e
&r) se considera un sistema de
referencia móvil ( 1111 ZYXO ) de unitarios 111 k,j,irrr
que se traslada con una velocidad 1Ov
r y gira con
velocidad angular ωr
respecto de un sistema de referencia fijo ( OXYZ ) de unitarios k,j,irrr
(Fig. 4.2).
Mx1
My1
Mz1
Fig. 4.2 – Variación de los unitarios asociados a una base giratoria respecto de una base fija.
En la obtención de la variación de los unitarios de la base giratoria ( 111 k,j,irrr
) respecto del tiempo se puede considerar que el sistema de referencia giratorio ( 1111 ZYXO ) es solidario a un sólido rígido (Fig. 4.2), y que los vectores unitarios son vectores de posición asociados a las componentes de un punto genérico (Mx1, My1, Mz1) respecto del origen del sistema de referencia ( 1O ).
Según esto, utilizando la reducción de la velocidad de cada punto de estudio (Mx1, My1, Mz1) al origen del sistema de referencia giratorio (O1) a partir de la expresión general se tiene
( )11xOM OMvv11x
−×+= ωrrr
( )11yOM OMvv11y
−×+= ωrrr
( )11zOM OMvv11z
−×+= ωrrr
siendo
111z111y111x kOMjOMiOMrrr
=−=−=−
derivando estas expresiones respecto del tiempo
dtkd
dtdO
dtdM
dtjd
dtdO
dtdM
dtid
dtdO
dtdM 111z111y111x
rrr
=−=−=−
cambiando la notación
1OM1OM1OM kvvjvvivv11z11y11x
&rrr&rrr&rrr=−=−=−
y poniendo la velocidad de cada punto utilizando la reducción al punto O1 se tiene
( ) ( ) ( )11z'OM11yOM11xOM OMvvOMvvOMvv1z11y11x
−×=−−×=−−×=− ωωωrrrrrrrrr
4.3 Composición de rotaciones simultáneas.
- 46/116 -
o bien
111111 kkjjiirr&rrr&rrr&r ×=×=×= ωωω
fórmulas denominadas de Poisson que expresan las variaciones de los unitarios ( 111 k,j,irrr
) de un sistema de referencia giratorio ( 1111 ZYXO ) que varía de posición con velocidad ω
r respecto del tiempo. Luego en
general, la variación de un unitario ( er
) se obtiene mediante
eerr&r ×= ω
Para una justificación más estricta utilizando matrices antisimétricas ver Anexo 1.
Concepto clave La fórmula de Poisson permite determinar la variación de un unitario ( er
) de una base giratoria respecto del tiempo.
Aplicando esta expresión al caso sencillo de una velocidad angular ( 1ωr
) que varía de posición debido al efecto de otra velocidad angular ( 2ω
r) (Fig. 4.1), considerando que existen aceleraciones angulares
( 21 ,αα ) y que el eje 2
eωr
es fijo, el planteamiento a realizar para obtener la aceleración angular (αr
) a partir de la superposición de movimientos es
2211iieeeeee 2211
2
1iii ωωωωωω ωωωωωωα
&rr&&rr
&&rr&
r+++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ∑
=
en el que
0e
ee
2
11
22
211r&r&
rr&r&
==
×==
ω
ωω
αω
ωαω
por lo que la aceleración angular queda
( )21211
ee0eee 21212211 ωωωωω ωωωωωωωωαr
&rrr
&rr
&rr
&r
+×+=++×+=
expresión que, generalizada para una sucesión de ejes de rotación simultáneos, ordenados de forma secuencial con el criterio de “ser arrastrado por” desde el sólido de velocidad 1ω
r hasta el eje fijo de
velocidad nωr
, es
( )iii
ii
eee
ee
n
1ijji
n
1iii
ωωω
ωω
ωΩ
ωωα
rrrr&r
&rr&
r
×=×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∑
∑
+=
=
en la que iΩr
es la velocidad angular con la que varía el unitario en estudio (i
eωr
), suma de las velocidades angulares que le arrastran
( )∑+=
=n
1ijji ωΩ
rr
4.3 Composición de rotaciones simultáneas.
- 47/116 -
Esta expresión está fuertemente influenciada por el orden debido al arrastre en las rotaciones, característica que no aparecía en el estudio cinemático de velocidades. Con este procedimiento la influencia de las rotaciones solo aparece en la determinación de la aceleración angular absoluta.
Luego finalmente
( ) ( )[ ]'OM'OMaa 'OM −××+−×+= ωωαrrrrr
con
( ) ( )∑∑∑+=+==
=×=×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
n
1ijji
n
1ijji
n
1iii iiiii
eeeee ωΩωΩωωα ωωωωωrrrrrr&r&rr
&r
Ejemplo 4.1: Para un sólido rígido, sometido a tres rotaciones simultáneas concurrentes en el origen del sistema de referencia, la primera con velocidad angular ω1 = 5 (rad/s), una aceleración angular α1 = -1 (rad/s2) y unitario
=1er
{1, 0, 0}, cuyo eje gira a su vez con una segunda velocidad ω2 = 8 (rad/s), una aceleración angular α2 = 3 (rad/s2) y unitario =2e
r{0, 1, 0}, y a su vez los ejes anteriores giran con una tercera velocidad ω3 = 2 (rad/s), una
aceleración angular α3 = -4 (rad/s2) y unitario =3er
{0, 0, 1}. Determinar la aceleración angular del sólido y la aceleración lineal del punto N de coordenadas N = {1, 4, 10}.
La aceleración del punto N es
( ) ( )[ ]ONONaa ON −××+−×+= ωωαrrrrr
Para calcular la aceleración angular se van a utilizar las expresiones
( ) ( )∑∑∑+=+==
=×=×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
n
1ijji
n
1ijji
n
1iii iiiii
eeeee ωΩωΩωωα ωωωωωrrrrrr&r&rr
&r
que desarrollando para este caso
332211eeeeee 332211 ωωωωωω ωωωωωωα&rr
&&rr&&rr
&r
+++++=
En la que identificando cada uno de los términos
i iω& ieωr
iω iΩr
i
eω&r
1 -1 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
001
5 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∑
= 280
200
080
3
2jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==×
820
001280kji
e11
rrr
rr
ωΩ
2 3 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
010
8 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∑
= 200
3
3jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==×
002
010200kji
e22
rrr
rr
ωΩ
3 -4 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
100
2 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∑
= 000
3
4jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=×
000
e33 ωΩ
rr
Con los valores anteriores se puede determinar la aceleración angular
4.3 Composición de rotaciones simultáneas.
- 48/116 -
( ) ( )2
332211
s/rad44
1317
000
2100
4002
8010
38
20
5001
1
eeeeee332211
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
=+++++= ωωωωωω ωωωωωωα&rr
&&rr&&rr
&r
Para la determinación de la aceleración del punto N
( ) ( )[ ]ONONaa ON −××+−×+= ωωαrrrrr
se toma O como origen del sistema de referencia, cuya aceleraciones es nula 0aO
rr= , por ser punto de
concurrencia de los ejes de rotación, luego
( ) ( )2s/m81
126306
1041441317kji
ON⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−×
rrr
rα [ ] ( )s/rad
285
200
080
005
n
1ii
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ∑
=ωωrr
( ) ( )s/m1248
72
1041285kji
ON⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×
rrr
rω ( )[ ] ( )2s/m
81684
192
124872285kji
ON⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=−××
rrr
rrωω
luego finalmente
( ) ( )[ ] ( )2ON s/m
897210498
81684
192`
81126306
000
ONONaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−××+−×+= ωωα
rrrrr
0
Movimiento relativo
- 49/116 -
4.4. Movimiento relativo.
Otro planteamiento alternativo de la cinemática del sólido rígido es el que realiza el estudio del movimiento mediante su descomposición en movimientos agrupados de dos en dos, comenzando desde el primero que afecta al sólido, denominado movimiento relativo, y el siguiente que lo “arrastra”. Este análisis se ha de realizar de forma ordenada para cada par de movimientos hasta llegar a la referencia fija.
Se van a proponer dos procedimientos. El primero basado en la descomposición del movimiento del sólido en relativo más arrastre, y el segundo basado en la misma descomposición pero utilizando un centro de reducción.
4.4.1. Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
movimiento relativo El análisis parte de considerar un sólido rígido (Fig. 4.3) que tiene movimientos rototraslatorios (de traslación y rotación sobre la misma recta) respecto de un eje solidario a un sistema de referencia móvil (O’X’Y’Z’). Las características cinemáticas del sólido rígido respecto de este eje cuando se considera el sistema de referencia móvil como si fuera fijo (o como observador solidario a la base móvil) se denominan relativas, por lo que un punto arbitrario del sólido (M) adquiere velocidad y aceleración relativas ( r
Mvr
y rMar
) respecto del sistema de referencia móvil.
movimiento de arrastre A su vez, sólido, eje de rotación relativa y sistema de referencia móvil (O’X’Y’Z’) se mueven solidariamente con movimiento rototraslatorio respecto de un eje asociado a un sistema de referencia fijo (OXYZ). Las características cinemáticas del sólido rígido, eje de rotación relativa y sistema de referencia móvil (O’X’Y’Z’) respecto del sistema de referencia fijo (OXYZ) se denominan de arrastre, por lo que el mismo punto arbitrario del sólido (M) adquiere velocidad y aceleración de arrastre ( a
Mvr
y aMar
) respecto del sistema fijo.
er
x’
y’
z’
ωr
ω a
M
x y
z
O
Mrr
Er
Ea
α a
v at a at
αr vrt
art ea
Movimiento relativo
Movimiento de arrastre
Fig. 4.3 – Descomposición del movimiento en relativo y arrastre.
velocidad A partir de esta composición de movimientos, la velocidad absoluta ( Mvr
) de un punto (M) de un sólido se
puede descomponer en suma vectorial de la velocidad relativa ( rMvr
), asociada al movimiento relativo del sólido respecto del sistema móvil cuando se considera como si fuera fijo, más la velocidad de arrastre ( a
Mvr
) que sólido y sistema móvil tienen en su movimiento solidario respecto del sistema fijo, con las
0
Movimiento relativo
- 50/116 -
características cinemáticas del arrastre,
aM
rMM vvv
rrr+=
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 51/116 -
Como cada uno de los movimientos (relativo y arrastre) puede ser rototraslatorio, se puede descomponer en traslación (indicado por el segundo superíndice t) y rotación (indicado por el segundo superíndice r), y su expresión viene dada por
( )( )aaat
MarM
atM
aM
rrrtM
rrM
rtM
rM
EMvvvv
EMvvvv
−×+=+=
−×+=+=
ω
ωrrrrr
rrrrr
en la que cada uno de los términos representa lo siguiente
rtMvr
- Velocidad lineal relativa de traslación rωr
- Velocidad angular relativa rE - Punto del eje instantáneo de rotación relativa
atMvr
- Velocidad lineal de arrastre de traslación aωr
- Velocidad angular de arrastre aE - Punto del eje instantáneo de rotación de arrastre
luego finalmente la velocidad total de un punto M de un sólido rígido sometido a la descomposición del movimiento en relativo más arrastre viene definido por
( )( )
( )[ ] ( )[ ]aaatM
rrrtMM
aaatM
aM
rrrtM
rM
aM
rMM
EMvEMvv
EMvv
EMvv
vvv
−×++−×+=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
−×+=
−×+=
+=
ωω
ω
ωrrrrr
rrr
rrr
rrr
expresión equivalente a la utilizada para la composición de rotaciones simultáneas
( )[ ]∑=
−×=n
1iiiM EMv ω
rr
En esta última expresión, las posibles traslaciones existentes se consideran transformadas en pares de rotación.
aceleración Para la determinación de la aceleración de un punto M del sólido rígido, se parte de derivar la expresión de la velocidad a partir de la descomposición de los movimientos rototraslatorios relativos y de arrastre
( ) ( )aaatM
rrrtMM EMvEMvv −×++−×+= ωω
rrrrr
respecto del tiempo, con lo que se obtiene
( ) ( ) ( ) ( )aaaaatM
rrrrrtMM EM
dtdEMvEM
dtdEMvv −×+−×++−×+−×+= ωωωω
r&r&rr&r&r&r
Como las velocidades relativas lineal de traslación ( rtMvr
) y angular de rotación ( rωr
) están dadas respecto
de la base móvil, pueden variar tanto en módulo ( rrtM ,v ω ) como en dirección ( re
r), y las expresiones de
sus derivadas, tal como se indicó anteriormente, son
( ) ( ) rtM
rrtM
rrtM
rrtM
rrtM
rrtM
rrtM
rtM vevevevevevev
dtdv
rrr&
rrr&&rr
&r&r
×+=×+=+== ΩΩ
( ) rrrrrrrrrrrr eeeee ωΩωΩωωωωωrrr
&rrr
&&rr&&r
×+=×+=+=
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 52/116 -
expresiones en las que la velocidad angular con la que varían los unitarios asociados a la base móvil ( Ωr
) corresponde a la velocidad de arrastre ( aω
r), por lo que quedan
rtM
artM
rtM vvv
rr&r&r×+= ω rarrr e ωωωω
rrr&&r
×+=
mientras que las velocidades de arrastre lineal de traslación ( atMvr
) y angular de rotación ( aωr
) están
definidas respecto de la base fija, por lo que cambian de módulo ( aatM ,v ω ) pero no de dirección ( ctee a =
r),
luego las expresiones de sus derivadas son
( )}
aatM
0
aatM
aatM
aatM
atM evevevev
dtdv
r&&rr
&r&r
r
=+==
=
}
aaaa
0
aaaaaa eeeer
&r
&&rr&
r&r
r
ωωωωαω ==+==
=
La derivada del vector de posición relativa ( )rEM − respecto del tiempo en la base relativa se obtiene teniendo en cuenta que el punto M del sólido se traslada y gira respecto del eje de movimiento relativo
( ) ( ) ( ) ( )rrrrrrtM
rrrtM
r EMEEvEMvEMdtd
−×=−×−−−×+=− ωωωrrrrr
mientras que para obtener la derivada del vector de posición de arrastre ( )aEM − respecto de la base fija se derivan por separado componentes y unitario
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )aarrrt
M
aaaatM
aaatM
rrrtM
a
EMEMv
EEvEMvEMvEMdtd
−×+−×+=
=−×−−−×++−×+=−
ωω
ωωωrrr
rrrrrr
Concepto clave La derivada se realiza respecto de la base en la que está definido el vector.
Teniendo en cuenta todo lo anterior
{ { ( ) ( )( )
{ { ( ) ( )( ) ( )
43421
r&r&r
43421
r&r&r&r
rrrr
&r&rr
rrr&rrr
&aarrrt
M
aaaatMrrrt
M
rarrrtM
arrtM
EMEMv
aaa
e
a
ev
atM
EMv
rrr
e
r
vev
rtMM EM
dtdEMvEM
dtdEMvv
−×+−×+−×+×+×+
−×+−×++−×+−×+=
ωωω
ωωωωω
ωωωω
la expresión de la aceleración queda
( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ]aarrrt
Ma
aaaaatM
rrrtM
r
rrarrrtM
arrtMM
EMEMv
EMeevEMv
EMevevv
−×+−×+×+
+−×++−×+×+
+−××++×+=
ωωω
ωωω
ωωωω
rrrr
r&
r&
rrr
rrr&
rrr&&r
o bien, desarrollando
( ) ( )[ ]( )[ ] ( )
( )[ ] ( )[ ]aaarrartM
a
aaaaatM
rrrtM
r
rrarrrrtM
arrtMM
EMEMv
EMeevEMv
EMEMevevv
−××+−××+×+
+−×++−×+×+
−××+−×+×+=
ωωωωω
ωωω
ωωωω
rrrrrr
r&
r&
rrr
rrr&
rrr&&r
Los términos subrayados se pueden agrupar, con lo que se tiene
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 53/116 -
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
( )( )rrrtM
a
aaatM
aaaaatM
rrrtM
rrrrrtMM
EMv2
EMvEMev
EMvEMevv
−×+×+
+−×+×+−×++
+−×+×+−×+=
ωω
ωωα
ωωα
rrr
rrrrr&
rrrrr&&r
identificación en la que identificando términos
MM avr&r = - Aceleración absoluta del punto M.
( ) ( )[ ]rrrtM
rrrrtM
rM EMvEMaa −×+×+−×+= ωωα
rrrrrr - Aceleración relativa del punto M respecto de
la base móvil, con sus componentes de traslación rtMar
, de rotación componente
normal ( )[ ]rrrtM
rrrnM EMva −×+×= ωω
rrrr y de rotación componente tangencial
( )rrrrtM EMa −×= α
rr.
( ) ( )[ ]aaatM
aaaatM
aM EMvEMaa −×+×+−×+= ωωα
rrrrrr - Aceleración de arrastre del punto M
respecto de la base fija con sus componentes de traslación atMar
, de rotación
componente normal ( )[ ]aaatM
aarnM EMva −×+×= ωω
rrrr y de rotación componente
tangencial ( )aaartM EMa −×= α
rr.
aceleración de Coriolis ( )[ ] rM
arrrtM
aCM v2EMv2a
rrrrrr×=−×+×= ωωω - Aceleración de Coriolis.
De esta forma, la aceleración absoluta del punto M se puede expresar de forma compacta mediante
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Es importante remarcar que este estudio solo es válido si las traslaciones tanto en el movimiento relativo como en el de arrastre se realiza en la dirección de los ejes de rotación correspondientes (movimientos rototraslatorios)
rrtM
rtM
rrtM
rtM eaaevv
rrrr== aat
MatM
aatM
atM eaaevv
rrrr==
En otro caso habrá que realizar una descomposición individual de la traslación y rotación en los movimientos relativo y arrastre.
Ejemplo 4.2: Un sólido rígido está sometido a dos movimientos simultáneos.
El primero con velocidad angular ω1 = 5 (rad/s) sobre un eje de rotación de unitario =1er
{1, 0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .
El segundo es una velocidad de traslación de 3 (m/s) en la dirección del mismo eje.
Comprobar que la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre es la misma, independientemente de cual sea el movimiento considerado como relativo y arrastre.
Se comienza considerando el primer movimiento como relativo y el segundo como arrastre.
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ωω
rr
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 54/116 -
Movimiento de arrastre: ( )s/m003
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
aM
rMM vvv
rrr+=
En la que el movimiento relativo es
( )rrrtM
rrM
rtM
rM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m0v rtM
rr= ( ) ( )m
21
1
221
412
EM r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
5100
211005kji
EMv rrrrM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad relativa es
( )s/m5
100
5100
000
vvv rrM
rtM
rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
La velocidad de arrastre viene dada por
( )aaatM
arM
atM
aM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m003
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )s/m0v ar
M
rr=
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m003
000
003
vvv arM
atM
aM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total es
( )s/m5
103
003
5100
vvv aM
rMM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+=
rrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtM
rrtM
rrnM
rtM
rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )rr EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 55/116 -
( )2rtM s/m0a
rr= ( )[ ] ( )2rrrt
Mrrrn
M s/m50250
5100005kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×+×=
rrr
rrrrωω ( )2rrt
M s/m0arr
=
y finalmente la aceleración relativa es
( )2rrtM
rrnM
rtM
rM s/m
50250
000
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
La aceleración de arrastre viene dada por
( )[ ] ( )aaaaatM
aatM
artM
arnM
atM
aM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )aa EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )2atM s/m0a
rr= ( )2arn
M s/m0arr
=
( )2artM s/m0a
rr=
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )2artM
arnM
atM
aM s/m0aaaa
rrrrr=++=
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rM
aCM s/m
000
5100000kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CM
aM
rMM s/m
50250
000
000
50250
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=++=
rrrr
Se considera ahora el segundo movimiento como relativo y el primero como arrastre.
Movimiento relativo: ( )s/m003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movimiento de arrastre: ( )s/rad005
a1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ωω
rr
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
aM
rMM vvv
rrr+=
En la que el movimiento relativo es
( )rrrtM
rrM
rtM
rM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 56/116 -
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )s/m0EMv rrrr
M
rrr=−×= ω
luego la velocidad relativa es
( )s/m003
000
003
vvv rrM
rtM
rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
la velocidad de arrastre viene dada por
( )aaatM
arM
atM
aM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m0v atM
rr= ( ) ( )m
21
1
221
412
EM a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
5100
211005kji
EMv aaarM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m5
100
5100
000
vvv arM
atM
aM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total es
( )s/m5
103
5100
003
vvv aM
rMM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
Luego la velocidad es la misma independientemente del orden de los movimientos.
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtM
rrtM
rrnM
rtM
rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )2rtM s/m0a
rr= ( )2rrn
M s/m0arr
= ( )2rrtM s/m0a
rr=
y finalmente la aceleración relativa es
( )2rrtM
rrnM
rtM
rM s/m0aaaa
rrrrr=++=
La aceleración de arrastre viene dada por
( )[ ] ( )aaaaatM
aatM
artM
arnM
atM
aM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )aa EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 57/116 -
( )2atM s/m0a
rr= ( )[ ] ( )2raat
Maarn
M s/m50
250
5100005kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−=−×+×=
rrr
rrrrωω ( )2art
M s/m0arr
=
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )2artM
arnM
atM
aM s/m
50250
000
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rM
aCM s/m
000
003005kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CM
aM
rMM s/m
50250
000
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
Luego la aceleración también es la misma independientemente del orden de los movimientos.
El estudio también se puede realizar considerando que el movimiento es rototraslatorio relativo.
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ωω
rr, ( )s/m
003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Para comprobarlo, se hace el análisis cinemático de velocidades.
aM
rMM vvv
rrr+=
En la que el movimiento relativo es
( )rrrtM
rrM
rtM
rM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )s/m
5100
211005kji
EMv rrrrM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad relativa es
( )s/m5
103
5100
003
vvv rrM
rtM
rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y la velocidad de arrastre es nula
( ) 0EMvvvv aaatM
arM
atM
aM
rrrrrr=−×+=+= ω
y finalmente la velocidad total es
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 58/116 -
( )s/m5
103
000
5103
vvv aM
rMM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+=
rrr
Y no varía respecto de las obtenidas anteriormente.
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtM
rrtM
rrnM
rtM
rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )2rtM s/m0a
rr= ( )[ ] ( )2rrrt
Mrrrn
M s/m50
250
5103005kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−=−×+×=
rrr
rrrrωω ( )2rrt
M s/m0arr
=
y finalmente la aceleración relativa es
( )2rrtM
rrnM
rtM
rM s/m
50250
000
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
La aceleración de arrastre es nula
( )[ ] ( ) 0EMEMvaaaaa aaaaatM
aatM
artM
arnM
atM
aM
rrrrrrrrrr=−×+−×+×+=++= αωω
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rM
aCM s/m
000
5103000kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CM
aM
rMM s/m
50250
000
000
50250
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=++=
rrrr
Que como se había indicado coincide con las anteriores.
Ejemplo 4.3: Un sólido rígido está sometido a dos movimientos simultáneos.
El primero con velocidad angular ω1 = 5 (rad/s) sobre un eje de rotación de unitario =1er
{1, 0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .
El segundo es una velocidad de traslación de componentes { } ( )s/m5,2,3vtM = .
Comprobar que la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre depende de cual sea el movimiento considerado como relativo y cual como arrastre.
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 59/116 -
Se comienza considerando el primer movimiento como relativo y el segundo como arrastre.
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ωω
rr
Movimiento de arrastre: ( )s/m523
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento
aM
rMM vvv
rrr+=
En el que el movimiento relativo es
( )rrrtM
rrM
rtM
rM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m0v rtM
rr= ( ) ( )m
21
1
221
412
EM r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
5100
211005kji
EMv rrrrM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad relativa es
( )s/m5
100
5100
000
vvv rrM
rtM
rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
la velocidad de arrastre viene dada por
( )aaatM
arM
atM
aM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m523
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )s/m0v ar
M
rr=
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m523
000
523
vvv arM
atM
aM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total es
( )s/m08
3
523
5100
vvv aM
rMM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+=
rrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtM
rrtM
rrnM
rtM
rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 60/116 -
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )rr EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )2rtM s/m0a
rr= ( )[ ] ( )2rrrt
Mrrrn
M s/m50250
5100005kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×+×=
rrr
rrrrωω ( )2rrt
M s/m0arr
=
y finalmente la aceleración relativa es
( )2rrtM
rrnM
rtM
rM s/m
50250
000
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
La aceleración de arrastre viene dada por
( )[ ] ( )aaaaatM
aatM
artM
arnM
atM
aM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )2atM s/m0a
rr= ( )2arn
M s/m0arr
= ( )2artM s/m0a
rr=
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )2artM
arnM
atM
aM s/m0aaaa
rrrrr=++=
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rM
aCM s/m
000
5100000kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CM
aM
rMM s/m
50250
000
000
50250
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=++=
rrrr
Se considera ahora el segundo movimiento como relativo y el primero como arrastre.
Movimiento relativo: ( )s/m523
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movimiento de arrastre: ( )s/rad005
a1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ωω
rr
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
aM
rMM vvv
rrr+=
En la que el movimiento relativo es
( )rrrtM
rrM
rtM
rM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 61/116 -
( )s/m523
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )s/m0EMv rrrr
M
rrr=−×= ω
luego la velocidad relativa es
( )s/m523
000
523
vvv rrM
rtM
rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
la velocidad de arrastre viene dada por
( )aaatM
arM
atM
aM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m0v atM
rr= ( ) ( )m
21
1
221
412
EM a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
5100
211005kji
EMv aaarM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m5
100
5100
000
vvv arM
atM
aM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total es
( )s/m08
3
5100
523
vvv aM
rMM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
Luego la velocidad es la misma independientemente del orden de los movimientos.
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtM
rrtM
rrnM
rtM
rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )2rtM s/m0a
rr= ( )2rrn
M s/m0arr
= ( )2rrtM s/m0a
rr=
y finalmente la aceleración relativa es
( )2rrtM
rrnM
rtM
rM s/m0aaaa
rrrrr=++=
La aceleración de arrastre viene dada por
( )[ ] ( )aaaaatM
aatM
artM
arnM
atM
aM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )aa EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 62/116 -
( )2atM s/m0a
rr= ( )[ ] ( )2raat
Maarn
M s/m50
250
5100005kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−=−×+×=
rrr
rrrrωω ( )2art
M s/m0arr
=
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )2artM
arnM
atM
aM s/m
50250
000
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rM
aCM s/m
20500
523005kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CM
aM
rMM s/m
30750
20500
50250
000
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
Luego la aceleración no es la misma que la del orden inicial debido al efecto de la aceleración de Coriolis. En el ejemplo anterior esta diferencia no se produjo ya que la velocidad era paralela al eje de rotación (movimiento rototraslatorio), por lo que en general el estudio cinemático de traslaciones y rotaciones no es independiente del orden (arrastre) de los movimientos.
Ejemplo 4.4: Un sólido rígido está sometido a dos movimientos rototraslatorios simultáneos.
El primero con velocidad y aceleración angular ω1 = 5 (rad/s), α1 = 8 (rad/s2) y velocidad y aceleración lineal de traslación de magnitudes v1 =3 (m/s) y a1 = 5 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =1e
r{1,
0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .
Este movimiento es arrastrado por un segundo movimiento con velocidad y aceleración angular ω2 = 4 (rad/s), α2 = -2 (rad/s2) y velocidad y aceleración de traslación de magnitudes v2 = 1 (m/s) y a2 = 4 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =2e
r{0, 1, 0} que pasa por el punto { } ( )m1,4,3OE2 =− .
Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre.
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2r s/rad
008
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r, ( )s/m
003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2rt
M s/m005
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movim. de arrastre: ( )s/rad040
a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2a s/rad
02
0
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=α
r, ( )s/m
010
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2at
M s/m040
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
en el que la velocidad es
aM
rMM vvv
rrr+=
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 63/116 -
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )rrrtM
rrM
rtM
rM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )m
21
1
221
412
EM r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
5100
211005kji
EMv rrrrM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad relativa es
( )s/m5
103
5100
003
vvv rrM
rtM
rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
la velocidad de arrastre viene dada por
( )aaatM
arM
atM
aM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m010
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )m
331
143
412
EM a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
4012
331040kji
EMv aaarM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m41
12
4012
010
vvv arM
atM
aM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total es
( )s/m19
15
41
12
5103
vvv aM
rMM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+=
rrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtM
rrtM
rrnM
rtM
rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )rr EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )2rtM s/m
005
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )[ ] ( )2rrrt
Mrrrn
M s/m50
250
5103005kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−=−×+×=
rrr
rrrrωω
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 64/116 -
( ) ( )2rrrrtM s/m
8160
211008kji
EMa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−×=
rrr
rrα
y finalmente la aceleración relativa es
( )2rrtM
rrnM
rtM
rM s/m
5895
8160
50250
005
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
La aceleración de arrastre viene dada por
( )[ ] ( )aaaaatM
aatM
artM
arnM
atM
aM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )aa EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )2atM s/m
040
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )[ ] ( )2aaat
Maarn
M s/m480
16
4112040kji
EMva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==−×+×=
rrr
rrrrωω
( ) ( )2aaartM s/m
206
331020kji
EMa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
−−−=−×=
rrr
rrα
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )2artM
arnM
atM
aM s/m
504
10
206
480
16
040
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rM
aCM s/m
24040
5103040kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
−−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CM
aM
rMM s/m
1321325
24040
504
10
5895
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++=
rrrr
nuevo arrastre En el caso en que el sistema de referencia OXYZ que se suponía fijo no lo fuera, sino que existe un nuevo movimiento de arrastre (arrastre 2), la velocidad y aceleración que se habían supuesto absolutas en el estudio anterior pasan a ser las componentes relativas de la nueva composición, a la cual hay que añadir el nuevo movimiento de arrastre y la nueva componente de Coriolis para la aceleración (Fig. 4.4).
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 65/116 -
er
x’
y’
z’
ωr
ω a
M
x y
z
O
Mrr
Er
Ea
α a
v at a at
αr vrt
art ea
Movimiento relativo
Movimiento de arrastre
x’’
z’’
ω a2
Ea2
α a2
v at2
a at2
ea2
y’’
Movimiento relativo 2
Movimiento de arrastre 2
Fig. 4.4 – Segundo movimiento de arrastre.
De forma que en este caso la velocidad ( 2Mvr
) del punto (M) vendrá dada por
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−×+=
=+=
2a2a2atM
2aM
M2r
M2aM
2rM
2M
EMvv
vvconvvv
ωrrr
rrrrr
con
( ) ( )aaatM
rrrtM
aM
rMM EMvEMvvvv −×++−×+=+= ωω
rrrrrrr
Mientras que la aceleración ( 2Mar
) es
( ) ( )[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
×=
−×+×+−×+=
=
++=2r
M2a2C
M
2a2a2atM
2a2a2a2atM
2aM
M2r
M2C
M2a
M2r
M2M
v2a
EMvEMaa
aa
conaaaarrr
rrrrrr
rr
rrrr
ω
ωωα
con
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++=
Este proceso de composición de movimientos puede ser repetido, introduciendo todos los movimientos de arrastre posteriores que afecten cinemáticamente al sólido.
Ejemplo 4.5: El sólido rígido del problema anterior (4.4) está sometido a un tercer movimiento que arrastra a los dos anteriores. Este movimiento tiene una velocidad y aceleración angular ω3 = -1 (rad/s), α3 = 6 (rad/s2) sobre un eje de rotación de unitario =3e
r{0, 0, 1} que pasa por el punto { } ( )m3,5,4OE3 =− . Además tiene velocidad y
aceleración de traslación de magnitudes v3 =9 (m/s) y a3 = -4 (m/s2), respectivamente, sobre el mismo eje de rotación.
Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre.
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 66/116 -
El análisis por descomposición en relativo más arrastre de los dos primeros movimientos ya se ha realizado en el problema anterior, por lo que todo lo que se consideraba velocidad y aceleración absolutas en ese problema pasan a ser velocidades y aceleraciones relativas al añadirle el siguiente movimiento de arrastre.
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
Movim. relativo: ( )s/m19
15v 2r
M⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
r, ( )22r
M s/m1321325
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
r
Movim. de arrastre 2: ( )s/rad1
00
2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=ω
r , ( )22a s/rad600
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r , ( )s/m900
v 2atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )22at
M s/m4
00
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
r
y la velocidad es 2a
M2r
M2M vvv
rrr+=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo que es conocido al ser el absoluto del problema anterior
( )s/m19
15vv M
2rM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−==
rr
la velocidad de arrastre viene dada por
( )2a2a2atM
2arM
2atM
2aM EMvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m900
v 2atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )m
142
354
412
EM 2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
( ) ( )s/m024
142100
kjiEMv 2a2a2ar
M⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−−−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m924
024
900
vvv 2arM
2atM
2aM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total es
( )s/m87
11
924
19
15vvv 2a
M2r
M2M
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=+=
rrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
2CM
2aM
2rM
2M aaaa
rrrr++=
Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo, que es conocido al ser el absoluto del problema anterior
4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre
- 67/116 -
( )2M
2rM s/m
1321325
aa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−==
rr
La aceleración de arrastre viene dada por
( )[ ] ( )2a2a2a2a2a2atM
2artM
2arnM
2atM
2aM EMEMaaaaa −×+−××+=++= αωω
rrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )2a2a EM −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )22atM s/m
400
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
r ( )[ ] ( )22a2a2at
M2a2arn
M s/m042
924100
kjiEMva
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=−×+×=
rrr
rrrrωω
( ) ( )22a2a2artM s/m
012
24
142600kji
EMa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−−=−×=
rrr
rrα
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )22artM
2arnM
2atM
2aM s/m
48
26
012
24
042
400
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++=
rrrr
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )22rM
2a2CM s/m
03018
1915100
kji2v2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=−−−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )22CM
2aM
2rM
2M s/m
1362517
03018
48
26
1321325
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=++=
rrrr
4.4.2. Movimiento relativo a partir de un punto de reducción.
En este análisis (Fig. 4.5) se considera el vector de posición ( Mrr
) de un punto (M) del sólido respecto de la
base fija (OXYZ), suma del vector de posición del punto O’ ( 'Orr
) más el vector de posición relativo
( 'O/M'rr
). El punto O’ se considera perteneciente al sólido.
'O/M'OM 'rrrrrr
+=
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 68/116 -
er
ωr M
x y
z
O
Mrr
Er
αr vrt
art O’
'Orr 'O/M'r
rx’
y’
z’
ω a α a
v at a at
ea
Movimiento relativo
Movimiento de arrastre
Fig. 4.5 – Movimiento relativo con centro de reducción en O’.
Para ello se va a considerar cada uno de los vectores de posición a partir de sus componentes
'k'z'j'y'i'x'r
kzjyixr
kzjyixr
'O/M'O/M'O/M'O/M
'O'O'O'O
MMMM
rrrr
rrrr
rrrr
++=
++=
++=
en los que los unitarios ,k,j,irrr
están asociados a la base fija (OXYZ), mientras que los unitarios ,'k,'j,'irrr
lo están a la base móvil (O’X’Y’Z’). Sustituyendo los vectores por sus componentes, se tiene
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix 'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM
rrrrrrrrr+++++=++
velocidad Si las bases son distintas no se pueden sumar las componentes, sin embargo la igualdad vectorial es correcta. Derivando la expresión respecto del tiempo se tiene
'O/M'OM 'rrr&r&r&r
+=
o bien a través de sus componentes
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++++=++ 'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix 'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM
&r&r&rr&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
como los unitarios ,'k,'j,'irrr
están asociados a una base móvil (O’X’Y’Z’), tienen derivada respecto del
tiempo ,'k,'j,'i &r&r&r que se obtiene de las ecuaciones de Poisson
'k'k'j'j'i'i aaarr&rrr&rrr&r ×=×=×= ωωω
sustituyendo estos términos en el segundo sumando
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 69/116 -
( ) ( ) ( )'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'k
'j'j
'i'i
'k'z'j'y'i'x
a'O/M
a'O/M
a'O/M'O/M'O/M'O/M
a
a
a
'O/M'O/M'O/M
rrrrrr&r&r&r
r&r
r&r
r&r
&r&r&r
×+×+×=++⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
×=
×=
×=
++
ωωω
ω
ω
ω
en la que desarrollando se tiene
( ) ( ) ( )( )'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'O/M'O/M'O/Ma
'O/Ma
'O/Ma
'O/Mr
'O/M'O/M'O/Mrrrr
rrrrrr&r&r&r
++×=
=×+×+×=++
ω
ωωω
luego sustituyendo sobre la expresión inicial
( ) ( )( )'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMMrrrr
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
++×+
++++++=++
ω
o bien de forma vectorial
'O/Ma
'O/M'OM 'r'rrrrr&r&r&r
×++= ω
identificación en la que identificando los términos se tiene
MMMMM vkzjyixrrr
&r
&r
&&r=++= - Velocidad absoluta del punto M.
'O'O'O'O'O vkzjyixrrr
&r
&r
&&r =++= - Velocidad absoluta del punto O’ perteneciente al sólido (sólido y referencia con movimiento solidario y características cinemáticas del sólido).
r'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M v'k'z'j'y'i'x'r
rr&
r&
r&&r
=++= - Velocidad relativa del punto M respecto del O’. Se obtiene derivando las componentes, no los unitarios (se considera la base móvil como si fuera fija). Si los puntos M y O’ se consideran pertenecientes al mismo sólido no existe velocidad de traslación relativa entre los puntos, y la expresión es
( )'OMv rr'O/M −×= ω
rr
( ) arM'O/M'O/M'O/M
a'O/M
a v'k'z'j'y'i'x'rrrrrrrr
=++×=× ωω - Velocidad de rotación respecto del eje instantáneo de rotación que pasa por el punto O’, correspondiente a la velocidad de arrastre de rotación.
Luego esta expresión se puede poner de la forma
( )'OMvvv ar'O/M'OM −×++= ω
rrrr
comparación con la expresión de la composición de
movimientos
La diferencia respecto de la expresión utilizando la descomposición en movimiento relativo más arrastre
aM
rMM vvv
rrr+=
es que mientras en ésta el movimiento se descompone en el mismo punto M del sólido, en el caso
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 70/116 -
( )'OMvvv ar'O/M'OM −×++= ω
rrrr
el movimiento del punto M, se reduce a otro punto O’ distinto.
comparación con la expresión de la composición de
rotaciones simultáneas
La expresión
( )'OMvvv ar'O/M'OM −×++= ω
rrrr
es idéntica a la indicada anteriormente por reducción a un punto
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr [ ]∑
==
n
1iiωωrr
obteniéndose el mismo resultado.
notación con puntos coincidentes
Utilizando la notación de movimiento relativo respecto de un sistema giratorio se pueden realizar modificaciones conceptuales de la fórmula (Fig. 4.6)
( ) rP/M
a'OM v'OPvv
rrrr+−×+= ω
en la que: M – Es el punto del que se quiere determinar la velocidad
O’ – Es un punto del sistema móvil.
P – Es el punto del sistema móvil que coincide (inicialmente) con el punto del que se quiere calcular la velocidad.
La diferencia es que en este caso el movimiento relativo del punto M se pone en función de un punto P que en el instante de estudio coincide con el M, pero perteneciendo M al sólido y P al sistema de referencia.
x’
y’
x
y
Sistema fijo
Sistema móvil
Posición 1
PM
Observador fijo
O’
Fig. 4.6 – Movimiento relativo.
Con esta notación se pueden utilizar las siguientes formulaciones equivalentes
( )
'O/M'OM
rP/MPM
rP/M
a'O/P'OM
rP/M
a'OM
vvv
vvv
vvvv
v'OPvv
rrr
44 344 21
rrr
r
44 344 21
rrr
r
4434421
rrr
+=
+=
++=
+−×+= ω
aceleración Para determinar la aceleración del punto M, se parte de la velocidad respecto de este punto en componentes
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 71/116 -
( ) ( )( )'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMMrrrr
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
r&
++×+
++++++=++
ω
derivando respecto del tiempo
( ) ( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++×+
+++×+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
++++++=++
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix
'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M
'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM
&r&r&rr&
r&
r&
r
rrr&r&r&
&r&
&r&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
ω
ω
nuevamente, como los unitarios ,'k,'j,'irrr
están asociados a una base móvil (O’X’Y’Z’), tienen derivada
respecto del tiempo ,'k,'j,'i &r&r&r que se determinan a partir de las ecuaciones de Poisson
'k'k'j'j'i'i aaarr&rrr&rrr&r ×=×=×= ωωω
sustituyendo estos términos en los sumandos
( )'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'k
'j'j
'i'i
'k'z'j'y'i'x
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M
a
a
a
'O/M'O/M'O/M
r&
r&
r&
r&r&
&r&
&r&
r&r
r&r
r&r
&r&
&r&
&r&
++×=++⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
×=
×=
×=
++
ω
ω
ω
ω
( )[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++××=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++×
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
×=
×=
×=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++×
'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'x
'k'k
'j'j
'i'i
'k'z'j'y'i'x
'O/M'O/M'O/Maa
'O/M'O/M'O/Ma
a
a
a
'O/M'O/M'O/Ma
rrrrr
&r&r&rr
r&r
r&r
r&r
&r&r&rr
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
luego sustituyendo sobre la expresión inicial
( ) ( )( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++++×+
+++×+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
++++++=++
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix
'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M
'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM
&r&r&rr&
r&
r&
r
rrr&r&r&
&r&
&r&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
ω
ω
se tiene
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 72/116 -
( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix
'O/M'O/M'O/Maa
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM
rrrrrr&
r&
r&
r
rrr&rr&
r&
r&
r
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
++××+++×+
+++×+++×+
++++++=++
ωωω
ωω
en la que agrupando
( ) ( )( ) ( )[ ]
( )'k'z'j'y'i'x2
'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x
'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/Maa
'O/M'O/M'O/Ma
'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM
r&
r&
r&
r
rrrrrrrr&r
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
r&&
++×+
+++××+++×+
++++++=++
ω
ωωω
o bien de forma vectorial
( ) Ma
Maa
Ma
'O/M'OM 'r2'r'r'rrr&rrrrrr&r&&r&&r&&r
×+××+×++= ωωωω
identificación en la que identificando los términos se tiene
MMMMM akzjyixrrr
&&r
&&r
&&&&r=++= - Aceleración absoluta del punto M.
'O'O'O'O'O akzjyixrrr
&&r
&&r
&&&&r =++= - Aceleración absoluta del punto O’ perteneciente al mismo sólido (sólido y sistema con movimiento solidario y características cinemáticas del sólido).
r'O/M'O/M'O/M'O/MM a'k'z'j'y'i'x'r
rr&&
r&&
r&&&&r
=++= - Aceleración relativa del punto M respecto del punto O’. Se obtiene derivando las componentes pero no los unitarios (se considera la base móvil como si fuera fija). Como los puntos M y O’ pertenecen al mismo sólido, no se considera aceleración de traslación relativa y la expresión es
( )[ ] ( )'OM'OMa rrrr'O/M −×+−××= αωω
rrrr
( )Maa
Ma 'r'r
rrrr&r ××+× ωωω - Aceleraciones de rotación respecto del eje instantáneo de rotación que pasa por el punto O’, correspondientes a la aceleración normal y tangencial de arrastre de rotación.
r'O/M
aM
a v2'r2rr&rr
×=× ωω - Aceleración de Coriolis.
Luego esta expresión se puede poner de la forma
( ) ( )[ ] r'O/M
aaaar'O/M'OM v2'OM'OMaaa
rrrrrrrr×+−××+−×++= ωωωα
Ejemplo 4.6: El sólido rígido del problema 4.4 está sometido a dos movimientos simultáneos.
El primero con velocidad y aceleración angular ω1 = 5 (rad/s), α1 = 8 (rad/s2) y velocidad y aceleración lineal de traslación de magnitudes v1 =3 (m/s) y a1 = 5 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =1e
r{1,
0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .
Este movimiento es arrastrado por un segundo movimiento con velocidad y aceleración angular ω2 = 4 (rad/s), α2 = -2 (rad/s2) y velocidad y aceleración de traslación de magnitudes v2 = 1 (m/s) y a2 = 4 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =2e
r{0, 1, 0} que pasa por el punto { } ( )m1,4,3OE2 =− .
Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 73/116 -
descomposición en movimiento relativa más arrastre y centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).
Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen O del sistema de referencia
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2r s/rad
008
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r, ( )s/m
003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2rt
M s/m005
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movim. de arrastre: ( )s/rad040
a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2a s/rad
02
0
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=α
r, ( )s/m
010
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2at
M s/m040
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Centro de reducción: ( )m000
O⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
La velocidad del punto M viene dada por
( )OMvvv arO/MOM −×++= ω
rrrr
Se comienza determinando la velocidad del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
aO
rOO vvv
rrr+=
Considerando únicamente el movimiento relativo del punto O
( )rrrtO
rrO
rtO
rO EOvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m003
v rtO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )m
221
221
000
EO r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
10100
221005kji
EOv rrrrO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad relativa del punto O es
( )s/m10
103
10100
003
vvv rrO
rtO
rO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
la velocidad de arrastre del punto O viene dada por
( )aaatO
arO
atO
aO EOvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m010
v atO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )m
143
143
000
EO a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
1204
143040kji
EOv aaarO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−−−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m1214
1204
010
vvv arO
atO
aO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 74/116 -
y finalmente la velocidad total del punto O es
( )s/m211
1
1214
10103
vvv aO
rOO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=
rrr
a este término le añadimos la rO/Mv
r
( ) ( )m412
000
412
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( ) ( )s/m
5200
412005kji
OMv rrO/M
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×=
rrr
rrω
y ( )OMa −×ωr
( ) ( )s/m8
016
412040kji
OMa
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==−×
rrr
rω
y finalmente la velocidad total del punto M es
( ) ( )s/m19
15
80
16
5200
211
1OMvvv ar
O/MOM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−×++= ω
rrrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen O del sistema de referencia
( ) ( )[ ] rO/M
aaaarO/MOM v2OMOMaaa
rrrrrrrr×+−××+−×++= ωωωα
Se comienza determinando la aceleración del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
CO
aO
rOO aaaa
rrrr++=
Considerando únicamente el movimiento relativo la aceleración del punto O es,
( )[ ] ( )rrrrrtM
rrtO
rrtO
rrnO
rtO
rO EOEOvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( rOvr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )2rtO s/m
005
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )[ ] ( )2rrrt
Orrrn
O s/m50500
10103005kji
EOva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−=−×+×=
rrr
rrrrωω
( ) ( )2rr s/m16
160
221008kji
EO⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−−=−×
rrr
rα
luego la aceleración relativa del punto O es
( )2rrtO
rrnO
rtO
rO s/m
34665
16160
50500
005
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
La aceleración de arrastre del punto O viene dada por
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 75/116 -
( )[ ] ( )aaaaatM
aatO
artO
arnO
atO
aO EOEOvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω
rrrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( aOvr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )2atO s/m
040
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( )[ ] ( )2aaat
Maarn
O s/m16048
1214040kji
EOva⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−=−×+×=
rrr
rrrrωω
( ) ( )2aaartO s/m
602
143020kji
EOa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−−−−=−×=
rrr
rrα
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )2artO
arnO
atO
aO s/m
104
50
602
16048
040
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )2rO
aCO s/m
24080
10103040kji
2v2a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total es
( )2CO
aO
rOO s/m
207025
24080
104
50
34665
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
a este vector se le añade la componente relativa, de arrastre y de Coriolis. La componente relativa es
( ) ( )[ ]OMOMa rrrrO/M −××+−×= ωωα
rrrr
( ) ( )2r s/m8320
412008kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×
rrr
rα ( )[ ] ( )2rr s/m
100250
5200005kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−=−××
rrr
rrωω
luego la aceleración relativa rO/Ma
r es
( )2rO/M s/m
92570
100250
8320
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
r
la componente de arrastre es
( ) ( )[ ]OMOM aaa −××+−× ωωαrrr
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 76/116 -
( ) ( )2a s/m408
412020kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−=−×
rrr
rα ( )[ ] ( )2aa s/m
64032
8016040kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
−=−××
rrr
rrωω
luego la componente de arrastre es
( ) ( )[ ] ( )2aaa s/m60040
64032
408
OMOM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−××+−× ωωα
rrr
la aceleración de Coriolis es
( )2rO/M
a s/m0040
5200040kji
2v2⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−=×
rrr
rrω
luego, finalmente, la aceleración Mar
vienen dada por
( ) ( )[ ]
( )2
rO/M
aaaarO/MOM
s/m1321325
0040
60040
92570
207025
v2OMOMaaa
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
=×+−××+−×++=rrrrrrrr
ωωωα
nuevo arrastre Igual que en el caso anterior, si el sistema de referencia OXYZ que se suponía fijo no lo fuera, sino que existe un nuevo movimiento de arrastre (arrastre 2), la velocidad y aceleración que se habían supuesto absolutas en el estudio anterior pasan a ser las componentes relativas de la nueva composición, a la cual hay que añadir el nuevo movimiento de arrastre y de Coriolis de la aceleración (Fig. 4.7).
er
ωr M
x y
z
O
Mrr
Er
αr vrt
art O’
'Orr 'O/M'r
rx’
y’
z’
ω a α a
v at a at
ea
Movimiento relativo
Movimiento de arrastre
x’’
z’’
ω a2
Ea2
α a2
v at2
a at2
ea2
y’’
Movimiento de arrastre 2
Fig. 4.7 – Segundo movimiento de arrastre con reducción a O’.
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 77/116 -
De forma que en este caso la velocidad ( 2Mvr
) del punto (M) vendrá dada por
( ) M2r
'O/M2a2r
'O/M2'O
2M vvcon'OMvvv
rrrrrr=−×++= ω
Mientras que la aceleración ( 2Mar
) es
( ) ( )[ ] M2r
'O/M2r
'O/M2a2a2a2a2r
'O/M2
'O2M aaconv2'OM'OMaaa
rrrrrrrrrr=×+−××+−×++= ωωωα
Este proceso de composición de movimientos puede ser repetido, introduciendo todos los movimientos de arrastre posteriores que afecten cinemáticamente al sólido.
Ejemplo 4.7: El problema anterior (4.6) está sometido a un tercer movimiento que arrastra a los dos anteriores. Este movimiento tiene una velocidad y aceleración angular ω3 = -1 (rad/s), α3 = 6 (rad/s2) sobre un eje de rotación de unitario =3e
r{0, 0, 1} que pasa por el punto { } ( )m3,5,4OE3 =− . Además tiene velocidad y aceleración de
traslación de magnitudes v3 =9 (m/s) y a3 = -4 (m/s2), respectivamente, sobre el mismo eje de rotación.
Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la descomposición en movimiento relativo más arrastre y centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).
Se vuelve ha hacer el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen del sistema de referencia
Movim. relativo: ( )s/m211
1v 2r
O⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
r, ( )22r
M s/m207025
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
r
Movim. de arrastre 2: ( )s/rad1
00
2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=ω
r , ( )22a s/rad600
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r , ( )s/m900
v 2atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )22at
M s/m4
00
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
r
La velocidad del punto M es
( )OMvvv 2a2rO/M
2O
2M −×++= ω
rrrr
Se comienza determinando la velocidad del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre. El análisis por descomposición de los dos primeros movimientos ya se ha realizado en el problema anterior, por lo que todo lo que se consideraba velocidad y aceleración absolutas en ese problema pasan a ser velocidades y aceleraciones relativas.
2aO
2rO
2O vvv
rrr+=
Considerando únicamente el movimiento relativo que corresponde al absoluto del problema anterior
( )s/m211
1vv O
2rO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==
rr
la velocidad de arrastre viene dada por
( )2a2a2atO
2arO
2atO
2aO EOvvvv −×+=+= ω
rrrrr
Desarrollando cada uno de los términos
( )s/m900
v 2atO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r ( ) ( )m
354
354
000
EO 2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 78/116 -
( ) ( )s/m045
354100
kjiEOv 2a2a2ar
O⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−−−−=−×=
rrr
rrω
luego la velocidad de arrastre es
( )s/m945
045
900
vvv 2arO
2atO
2aO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=
rrr
y finalmente la velocidad total del punto O es
( )s/m1115
6
945
211
1vvv 2a
O2r
O2O
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=+=
rrr
a este término le añadimos la 2rO/Mv
r
( ) ( )m412
000
412
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=− ( )s/rad
045
040
005
212r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+= ωωω
rrr
( ) ( )s/m3
2016
412045kji
OMv 2r2rO/M
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−==−×=
rrr
rrω
y
( ) ( )s/m02
1
412100
kjiOM2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−=−×
rrr
rω
y finalmente la velocidad total del punto M es
( ) ( )s/m87
11
02
1
320
16
1115
6OMvvv 2a2r
O/M2O
2M
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−×++= ω
rrrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones del punto M por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen O
( ) ( )[ ] 2rO/M
2a2a2a2a2rO/M
2O
2M v2OMOMaaa
rrrrrrrr×+−××+−×++= ωωωα
Se comienza determinando la aceleración del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre
2CO
2aO
2rO
2O aaaa
rrrr++=
Se considera el movimiento relativo, que corresponde al absoluto del problema anterior
( )2O
2rO s/m
207025
aa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==
rr
La aceleración de arrastre viene dada por
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 79/116 -
( )[ ] ( )2a2a2a2a2a2atO
2artO
2arnO
2atO
2aO EOEOaaaaa −×+−××+=++= αωω
rrrrrrrr
Desarrollando cada uno de los términos ( ( )2a2a EO −×ωr
ya ha sido obtenido anteriormente)
( )22atO s/m
400
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
r ( )[ ] ( )22a2a2at
O2a2arn
O s/m054
945100
kjiEOva
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=−×+×=
rrr
rrrrωω
( ) ( )22a2a2artO s/m
024
30
354600kji
EOa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−−−=−×=
rrr
rrα
y finalmente la aceleración de arrastre es
( )22artO
2arnO
2atO
2aO s/m
419
34
024
30
054
400
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++=
rrrr
y la aceleración de Coriolis viene dada por
( )22rO
2a2CO s/m
02
22
2111100
kji2v2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
−−=×=
rrr
rrrω
y finalmente la aceleración total de O es
( )22CO
2aO
2rO
2O s/m
165331
02
22
419
34
207025
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=++=
rrrr
a este vector se le añade la componente relativa, de arrastre y de Coriolis. La componente relativa es
( ) ( )[ ]OMOMa 2r2r2r2rO/M −××+−×= ωωα
rrrr
La aceleración angular 2rαr
se obtiene de derivar la velocidad angular
22112r ee
rrrωωω += 22221111
2r eeee&rr
&&rr&
rωωωωα +++=
En la que identificando cada uno de los términos
i iω& ieωr
iω iΩr
i
eω&r
1 8 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
001
5 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∑
= 040
2
2jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==×
400
001040kji
e11
rrr
rr
ωΩ
2 -2 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
010
4 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==×
000
010000kji
e22
rrr
rr
ωΩ
la aceleración vale
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 80/116 -
( ) ( )222221111
2r s/rad202
8
000
4010
24
00
5001
8eeee⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+++=
&rr&&rr
&r
ωωωωα
( ) ( )22r s/m1272
12
4122028kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−−=−×
rrr
rα ( )[ ] ( )22r2r s/m
1641512
32016045kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
−−=−××
rrr
rrωω
luego la aceleración relativa 2rO/Ma
r es
( )22rO/M s/m
152570
1641512
1272
12a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
r
la componente de arrastre es
( ) ( )[ ]OMOM 2a2a2a −××+−× ωωαrrr
( ) ( )22a s/m012
6
412600kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−==−×
rrr
rα ( )[ ] ( )2aa s/m
012
021100
kjiOM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=−
−=−××
rrr
rrωω
luego la componente de arrastre es
( ) ( )[ ] ( )22a2a2a s/m011
8
012
012
6OMOM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−××+−× ωωα
rrr
la aceleración de Coriolis es
( )22rO/M
2a s/m03240
32016100
kji2v2
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=−−−=×
rrr
rrω
luego, finalmente, la aceleración 2Mar
vienen dada por
( ) ( )[ ]
( )2
2rO/M
2a2a2a2a2rO/M
2O
2M
s/m1362517
03240
011
8
152570
165331
v2OMOMaaa
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
=×+−××+−×++=rrrrrrrr
ωωωα
comparación La diferencia de las expresiones
CM
aM
rMM aaaa
rrrr++= ( ) ( )[ ] r
'O/Maaaar
'O/M'OM v2'OM'OMaaarrrrrrrr
×+−××+−×++= ωωωα
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 81/116 -
es la misma que en el análisis de velocidades, por lo que mientras en la primera el movimiento se descompone en relativo más arrastre para el mismo punto M del sólido, en el segundo caso se utiliza un centro de reducción O’ distinto.
La diferencia entre las expresiones
( ) ( )[ ] r'O/M
aaaar'O/M'OM v2'OM'OMaaa
rrrrrrrr×+−××+−×++= ωωωα
( ) ( )[ ]'OM'OMaa 'OM −××+−×+= ωωαrrrrr
es que en la última la aceleración angular total (αr
) se ha obtenido derivando la velocidad angular total
( ) ( ) i
1i
1jjii
n
1iiiii eeeee
rrrr&r&rr
&r
×=×=+= ∑∑−
==ωΩωωα
Con cualquiera de las fórmulas se obtiene siempre el mismo resultado.
notación con puntos coincidentes
Nuevamente utilizando la notación de movimiento relativo respecto de un sistema giratorio se pueden realizar modificaciones conceptuales de la fórmula
( )[ ] ( ) r'O/M
arP/M
aaa'OM v2a'OP'OPaa
rrrrrrrr×++−×+−××+= ωαωω
en la que: M – Es el punto del que se quiere determinar la velocidad
O’ – Es un punto del sistema móvil.
P – Es el punto del sistema móvil que coincide (inicialmente) con el punto del que se quiere calcular la velocidad.
Con esta notación se pueden utilizar las siguientes formulaciones equivalentes
( )[ ] ( )
'O/M'OM
P/MPM
P/Ma
'O/P'OM
r'O/M
arP/M
aaa'OM
aaa
aaa
aaaa
v2a'OP'OPaa
rrr
444444 3444444 21
rrr
r
4444 34444 21
rrr
444 3444 21
rrr
444444 3444444 21
rrrrr
+=
+=
++=
×++−×+−××+= ωαωω
Ejemplo 4.8: El sólido rígido del problema 4.4 está sometido a dos movimientos rototraslatorios simultáneos.
El primero con velocidad y aceleración angular ω1 = 5 (rad/s), α1 = 8 (rad/s2) y velocidad y aceleración lineal de traslación de magnitudes v1 =3 (m/s) y a1 = 5 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =1e
r{1,
0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .
Este movimiento es arrastrado por un segundo movimiento con velocidad y aceleración angular ω2 = 4 (rad/s), α2 = -2 (rad/s2) y velocidad y aceleración de traslación de magnitudes v2 = 1 (m/s) y a2 = 4 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =2e
r{0, 1, 0} que pasa por el punto { } ( )m1,4,3OE2 =− .
Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la velocidad y aceleración angular total y con centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).
Los datos del problema son
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 82/116 -
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2r s/rad
008
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r, ( )s/m
003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2rt
M s/m005
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movim. de arrastre: ( )s/rad040
a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2a s/rad
02
0
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=α
r, ( )s/m
010
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2at
M s/m040
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Centro de reducción: ( )m000
O⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
La velocidad del punto M viene dada por
( )OMvv OM −×+= ωrrr
con ∑=
=n
1iiωωrr
La velocidad del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre
( )s/m211
1
1214
10103
vvv aO
rOO
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=
rrr
la velocidad angular total es
( )s/rad045
040
005
n
1ii
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ∑
=ωωrr
y
( ) ( )s/m3
2016
5103045kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−−=−×
rrr
rω
luego la velocidad total del punto M es
( ) ( )s/m19
15
320
16
211
1OMvv OM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−×+= ω
rrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones con reducción al origen O del sistema de referencia
( ) ( )[ ]OMOMaa OM −××+−×+= ωωαrrrrr
La aceleración del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre y Coriolis
( )2CO
aO
rOO s/m
207025
24080
104
50
34665
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=++=
rrrr
a este vector se le añade ( ) ( )[ ]OMOM −××+−× ωωαrrr
.
Para la determinación de la aceleración angular se utilizan las expresiones
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 83/116 -
( ) ( )∑∑∑+=+==
=×=×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
n
1ijji
n
1ijji
n
1iii iiiii
eeeee ωΩωΩωωα ωωωωωrrrrrr&r&rr
&r
que desarrollando para este caso
2211eeee 2211 ωωωω ωωωωα&rr
&&rr&
r+++=
En la que identificando cada uno de los términos
i iω& ieωr
iω iΩr
i
eω&r
1 8 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
001
5 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∑
= 040
2
2jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−==×
400
001040kji
e11
rrr
rr
ωΩ
2 -2 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
010
4 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==×
000
010000kji
e22
rrr
rr
ωΩ
Con los valores anteriores se puede determinar la aceleración angular
( ) ( )22211 s/rad
202
8
000
4010
24
00
5001
8eeee2211
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+++= ωωωω ωωωωα
&rr&&rr
&r
luego
( ) ( )2s/m1641512
4122028kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−=−×
rrr
rα
y
( )[ ] ( )2s/m1272
12
32016045kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
−−=−××
rrr
rrωω
luego la aceleración del punto M es
( ) ( )[ ] ( )2OM s/m
1321325
1272
12
1741512
207025
OMOMaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−××+−×+= ωωα
rrrrr
Ejemplo 4.9: El problema anterior (4.8) está sometido a un tercer movimiento que arrastra a los dos anteriores. Este movimiento tiene una velocidad y aceleración angular ω3 = -1 (rad/s), α3 = 6 (rad/s2) sobre un eje de rotación de unitario =3e
r{0, 0, 1} que pasa por el punto { } ( )m3,5,4OE3 =− . Además tiene velocidad y aceleración de
traslación de magnitudes v3 =9 (m/s) y a3 = -4 (m/s2), respectivamente, sobre el mismo eje de rotación.
Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la descomposición en movimiento relativo más arrastre y centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).
Se vuelve ha hacer el análisis cinemático de velocidades por obtención de las velocidades y aceleraciones
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 84/116 -
angulares totales y reducción al origen del sistema de referencia. Los datos del problema son:
Movimiento relativo: ( )s/rad005
r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2r s/rad
008
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r, ( )s/m
003
v rtM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2rt
M s/m005
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movim. de arrastre: ( )s/rad040
a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r, ( )2a s/rad
02
0
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=α
r, ( )s/m
010
v atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )2at
M s/m040
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r
Movim. de arrastre 2: ( )s/rad1
00
2a
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=ω
r , ( )22a s/rad600
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=α
r , ( )s/m900
v 2atM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
r, ( )22at
M s/m4
00
a⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
r
Centro de reducción: ( )m000
O⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
( )OMvv OM −×+= ωrrr
con ∑=
=n
1iiωωrr
La velocidad del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre
( )s/m1115
6
945
211
1vvv 2a
O2r
O2O
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=+=
rrr
la velocidad angular total es
( )s/rad1
45
100
040
005
n
1ii
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧== ∑
=ωωrr
y
( ) ( )s/m3
2217
5103145
kjiOM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
−−−=−×
rrr
rω
luego la velocidad total del punto M es
( ) ( )s/m87
11
323
17
1115
6OMvv OM
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=−×+= ω
rrr
Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones con reducción al origen O del sistema de referencia
( ) ( )[ ]OMOMaa OM −××+−×+= ωωαrrrrr
La aceleración del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre y Coriolis
( )22CO
2aO
2rO
2O s/m
165331
02
22
419
34
207025
aaaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=++=
rrrr
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 85/116 -
a este vector se le añade ( ) ( )[ ]OMOM −××+−× ωωαrrr
.
Para la determinación de la aceleración angular se utilizan las expresiones
( ) ( )∑∑∑+=+==
=×=×=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
n
1ijji
n
1ijji
n
1iii iiiii
eeeee ωΩωΩωωα ωωωωωrrrrrr&r&rr
&r
que desarrollando para este caso
332211eeeeee 332211 ωωωωωω ωωωωωωα&rr
&&rr&&rr
&r
+++++=
En la que identificando cada uno de los términos
i iω& ieωr
iω iΩr
i
eω&r
1 8 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
001
5 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=∑
= 140
100
040
3
2jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=−=×
41
0
001140
kjie
11
rrr
rr
ωΩ
2 -2 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
010
4 ( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=∑
= 100
3
3jjωr
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−=×
001
010100
kjie
22
rrr
rr
ωΩ
3 6 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
100
-1 ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
000
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==×
000
100000kji
e33
rrr
rr
ωΩ
Con los valores anteriores se puede determinar la aceleración angular
( ) ( ) ( )2
332211
s/rad147
12
000
1100
6001
4010
241
05
001
8
eeeeee332211
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
=+++++= ωωωωωω ωωωωωωα&rr
&&rr&&rr
&r
luego
( ) ( )2s/m267614
41214712kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=−−=−×
rrr
rα
y
( )[ ] ( )2s/m178
234
32217145kji
OM⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=−−
=−××
rrr
rrωω
luego la aceleración del punto M es
( ) ( )[ ] ( )2OM s/m
1362517
1782
34
267614
165331
OMOMaa⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−××+−×+= ωωα
rrrrr
4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción
- 86/116 -
análisis de velocidad y aceleración
Luego hay tres caminos diferenciados para determinar la velocidad y aceleración de un punto de un sólido, que son
Por reducción a un punto de una composición de rotaciones
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr [ ]∑
==
n
1iiωωrr
( ) ( )[ ]'OM'OMaa 'OM −××+−×+= ωωαrrrrr
( ) ( ) i
1i
1jjii
n
1iiiii eeeee
rrrr&r&rr
&r
×=×=+= ∑∑−
==ωΩωωα
Por movimiento relativo más arrastre
( )[ ] ( )[ ]444 3444 21
rr444 3444 21
rrr
rr aM
rM v
aaatM
v
rrrtMM EMvEMvv −×++−×+= ωω
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )44444 344444 21
rrr
444444444 3444444444 21rrr
&r
&
444444444 3444444444 21rrr
&r
&r
r
r
r
CM
aM
rM
a
rrrtM
a
a
aaaaaaaatM
a
rrrrrrrrtMM
EMv2
EMEMeev
EMEMeeva
−×+×+
+−××+−×++
+−××+−×+=
ωω
ωωω
ωωω
Por reducción a un punto y composición de movimientos
( )
( )'OMvvv a
'OM
r'O/M'OM
r
−×++=
−×
ωω
r321
rrr
r
ó ( ) rP/M
a'OM v'OPvv
rrrr+−×+= ω
( )[ ] ( )
( ) ( )[ ]( )321
rrrrr321
rrr
rrrr'OM
r'O/M
aaaa
'OM'OM
r'O/M'OM
rrrr
v2'OM'OMaaa−×−×+−××
×+−××+−×++=
ωαωω
ωωωα
ó
( )[ ] ( ) r'O/M
arP/M
aaa'OM v2a'OP'OPaa
rrrrrrrr×++−×+−××+= ωαωω
Los tres procedimientos dan lugar a los mismos resultados pero mediante caminos distintos que no deben de ser confundidos para que la resolución sea satisfactoria.
5. Ángulos de Euler
- 87/116 -
5. Ángulos de Euler
Para el estudio cinemático de un sólido o un sistema de referencia con movimiento de rotación existe un conjunto de coordenadas, denominadas de Euler, basadas en tres ángulos que facilitan la determinación de su orientación.
Este estudio permite una gran libertad en la definición de los parámetros de forma que, como se verá más adelante, serán válidos siempre que cumplan unas mínimas condiciones, lo que posibilita un gran número de opciones.
Ante la libertad en la elección de parámetros se pueden utilizar dos estrategias: o bien elegir libremente los parámetros, de forma que cumplan con las condiciones mínimas, o bien mantener siempre los mismos parámetros. El primer caso flexibiliza su adaptación a un problema específico, pero sin que exista una formulación predefinida, por lo que es necesario realizar los desarrollos correspondientes para su obtención. En el segundo caso se fijan los parámetros, cumpliendo con sus condiciones mínimas, lo cual complica su adaptación a un problema específico, para lo que habrá que realizar un proceso de análisis, pero mantiene la notación y la formulación no siendo necesario realizar los desarrollos correspondientes en cada caso. En el análisis se ha optado por la segunda estrategia.
Concepto clave En el estudio seguido se fija cada parámetro, lo cual complica su adaptación a un problema específico pero mantiene siempre la misma formulación.
Para el análisis se parte de un sistema de referencia fijo de ejes Ozyz y unitarios k,j,i
rrr. Se van a
considerar tres movimientos, asociando a cada uno un ángulo, una base y unos ejes.
movimiento de precesión
El primer movimiento se denomina de precesión y está asociado al ángulo ψ (psi). Este movimiento tiene la condición de aparecer en un plano fijo, que podría ser uno de los que forman el sistema de referencia inicial (Oxyz) u otro cualquiera (libertad de definición del parámetro). En el análisis se considera el movimiento de precesión (ψ ) en el plano xOy, perpendicular al eje fijo z (Fig. 5.1), por lo que la velocidad de precesión (ψ& ) se encuentra sobre dicho eje (parámetro fijado al eje z).
x y
z= z1
x1
y1
ψ
ψ
ψ&
O
Fig. 5.1 – Movimiento de precesión.
De esta forma se podrá definir un sistema de referencia de ejes Ox1y1z1 y unitarios 111 k,j,irrr
que gira respecto del sistema fijo Oxyz con velocidad angular de precesión (ψ& ).
Concepto clave La velocidad de precesión (ψ& ) está asociada a un eje fijo (en el análisis el eje z).
La aparición de este sistema de referencia con movimiento de precesión (Ox1y1z1) permite determinar una matriz de cambio de base ( [ ]A ) para ir de la base fija ( k,j,i
rrr) a la base con movimiento de presesión
5. Ángulos de Euler
- 88/116 -
( 111 k,j,irrr
). Los términos de esta matriz ( [ ]A ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la base de
llegada ( 111 k,j,irrr
) en función de la de salida ( k,j,irrr
)
[ ]
[ ]111
A
A
zyxxyzt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
kk
jcosisenj
jsenicosi
1
1
1
rr
rrr
rrr
=
+−=
+=
ψψ
ψψ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A ψψψψ
movimiento de nutación
A continuación se considera un movimiento denominado de nutación, asociado al ángulo θ (theta), que cumple con la condición de que es arrastrado por el de precesión, por lo que el movimiento de nutación aparece en un plano perpendicular a un eje con movimiento de precesión, que podría ser uno de los que forman el sistema de referencia con movimiento de precesión Ox1y1z1 u otro cualquiera (libertad de definición del parámetro). En este análisis se considera el movimiento de nutación (θ ) asociado al plano y1Oz1 perpendicular al eje con movimiento de precesión x1 (Fig. 5.2), por lo que la velocidad de nutación (θ& ) se encuentra sobre dicho eje (parámetro fijado al eje x1).
x y
z= z1
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ&θ
θ
θ&
y’1
z’1
O
Fig. 5.2 – Movimientos de precesión y nutación.
De esta forma se podrá definir un sistema de referencia de ejes Ox’1y’1z’1, y unitarios 111 'k,'j,'irrr
que se mueve respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión (Ox1y1z1) con velocidad de nutación (θ& ), y respecto del sistema de referencia fijo (Oxyz) con las velocidades de precesión y nutación (ψ& ,θ& ).
Concepto clave La velocidad de nutación (θ& ) está asociada a un eje con movimiento de precesión (ψ ) (en el análisis el eje x1).
La aparición de este sistema de referencia (Ox’1y’1z’1) con movimiento de nutación (θ& ) respecto del sistema con movimiento de precesión (Ox1y1z1) permite determinar una matriz de cambio de base ( [ ]B ) para ir de la base con movimiento de precesión ( 111 k,j,i
rrr) a la base con movimiento de presesión y
nutación ( 111 'k,'j,'irrr
). Los términos de esta matriz ( [ ]B ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la
base de llegada ( 111 'k,'j,'irrr
) en función de la de salida ( 111 k,j,irrr
)
[ ]
[ ]111
B
B
111 'z'y'xzyxt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
5. Ángulos de Euler
- 89/116 -
111
111
11
kcosjsen'k
ksenjcos'j
i'i
rrr
rrr
rr
θθ
θθ
+−=
+=
=
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B
movimiento de rotación propia
A continuación se considera un movimiento denominado de rotación propia, asociado al ángulo ϕ (phi), que cumple con la condición de que es arrastrado por los movimientos de precesión y nutación, por lo que el movimiento de rotación propia aparece en un plano perpendicular a un eje con movimientos de precesión y nutación, que podría ser uno de los que forman el sistema de referencia Ox’1y’1x’1 u otro cualquiera (libertad de definición del parámetro). En este análisis se considera el movimiento de rotación propia (ϕ ) asociado a un plano x’1Oy’1 perpendicular al eje con movimiento de precesión y nutación z’1 (Fig. 5.3), por lo que la velocidad de rotación propia (ϕ& ) se encuentra sobre dicho eje (parámetro fijado al eje z’1).
x y
z= z1
O
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ&θ
θ
θ&
y’1
z’1 = z’’1
ϕ& ϕ
ϕ
y’’1
x’’1
Fig. 5.3 – Movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
De esta forma aparecerá un sistema de referencia de ejes Ox’’1y’’1z’’1, y unitarios 111 ''k,''j,''irrr
que se mueve respecto del sistema de referencia con movimientos de precesión y nutación Ox’1y’1z’1 con velocidad de rotación propia (ϕ& ), respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión
Ox’1y’1z’1 con velocidad de nutación y rotación propia (θ& , ϕ& ), y respecto del sistema de referencia fijo
Oxyz con velocidad de precesión, nutación y rotación propia (ψ& , θ& , ϕ& ).
Concepto clave La velocidad de rotación propia (ϕ& ) está asociada a un eje con movimientos de precesión y nutación (ψ ,θ ) (en el análisis el eje z’1).
La aparición de este sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (x’’1y’’1z’’1) permite determinar una matriz de cambio de base ( [ ]C ) para ir de la base con movimientos de precesión y nutación ( 111 'k,'j,'i
rrr) a la base con movimientos de presesión, nutación y rotación propia
( 111 ''k,''j,''irrr
). Los términos de esta matriz ( [ ]C ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la base de
llegada ( 111 ''k,''j,''irrr
) en función de la de salida ( 111 'k,'j,'irrr
).
[ ]
[ ]111
C
C
111 ''z''y''x'z'y'xt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
11
111
111
'k''k
'jcos'isen''j
'jsen'icos''i
rr
rrr
rrr
=
+−=
+=
ϕϕ
ϕϕ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
C ϕϕϕϕ
5. Ángulos de Euler
- 90/116 -
velocidad angular total A partir de las componentes de la velocidad de precesión (ψ& ) actuando sobre la dirección ( kr
), nutación
(θ& ) actuando sobre la dirección ( 1ir
), y rotación propia (ϕ& ) actuando sobre la dirección ( 1'kr
) (Fig. 5.4), la velocidad angular total del sistema (ω
r) se puede expresar mediante la suma vectorial
11 'kikr
&r&
r&
r ϕθψω ++=
x y
z= z1
O
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ&θ
θ
θ&
y’1
z’1 = z’’1
ϕ&
ϕ
ϕ
y’’1
x’’1
ωr
Fig. 5.4 – Velocidad angular total.
Como esta velocidad angular total (ωr
) está expresada utilizando las coordenadas de Euler ( ϕθψ ,, )
respecto de tres bases móviles distintas ( 111 k,j,irrr
- 111 'k,'j,'irrr
- 111 ''k,''j,''irrr
) en cada instante, para su correcta manipulación se debe transformar a alguna de las bases, a través de las matrices de cambio de base indicadas anteriormente.
Se va a analizar por tanto las características cinemáticas del sólido en cada una de las bases anteriormente indicadas.
5.1. Características cinemáticas en base fija.
velocidad angular Si se desea transformar la velocidad angular total (ωr
) a la base fija (de notación xyzωr
, en la base k,j,irrr
),
habrá que transformar los unitarios 11 'kyi,krrr
en los que está definida ωr
a dicha base.
11 'kikr
&r&
r&
r ϕθψω ++=
El unitario kr
ya se encuentra en dicha base, por lo que no es necesario ningún tipo de transformación.
El unitario 1ir
se encuentra en la base 111 k,j,irrr
, luego para transformarlo a la base k,j,irrr
habrá que utilizar el cambio de base
[ ]
[ ]111
A
A
zyxxyzt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A ψψψψ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cossen0sencos
A t ψψψψ
de forma que
5.1 Características cinemáticas en base fija.
- 91/116 -
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0sencos
001
1000cossen0sencos
zyx
ψψ
ψψψψ
De la misma manera el unitario 1'kr
se encuentra en la base 111 'k,'j,'irrr
, luego para transformarlo a la base
k,j,irrr
habrá que utilizar los cambios de base
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]111
B
B
111A
A
'z'y'xzyxxyztt ⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A ψψψψ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1000cossen0sencos
A t ψψψψ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B [ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
θθθθ
cossen0sencos0001
B t
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθ
θθθθ
cossen0
100
cossen0sencos0001
zyx
1
1
1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθψ
θψ
θθψψ
ψψ
cossencos
sensen
cossen0
1000cossen0sencos
zyx
Luego el vector velocidad angular en la base fija ( xyzωr
) viene definido por
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒++=
θϕψθψϕψθθψϕψθ
θθψ
θψϕψ
ψθψωϕθψω
cossencossensensencos
cossencos
sensen
0sencos
100
'kik xyz11
&&
&&
&&
&&&rr
&r&
r&
r
aceleración angular La aceleración angular en la base fija ( xyzαr
) se obtiene derivando la velocidad angular ( xyzωr
) respecto del tiempo, luego,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−+−++++−
=θθϕθϕψ
θψθϕθψψϕθψϕψψθψθθψθϕθψψϕθψϕψψθψθ
α
sencoscoscossensensencoscossencossensencossensensencos
xyz&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
Como los unitarios están asociados a una base fija, su variación respecto del tiempo es nula y no influyen en la obtención de la aceleración angular.
Concepto clave En base fija los unitarios no varían con el tiempo.
5.1 Características cinemáticas en base fija.
- 92/116 -
Ejemplo 5.1: Un disco gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y, todos ellos en los sentidos que marca la figura. Determinar la velocidad y aceleración angular absoluta del disco respecto del sistema de referencia fijo Oxyz definido.
α1
α3
B
ω2
3
La resolución del problema se basa en la aplicación de las expresiones obtenidas
eee
eee
zyx
zyx
cossencossensensencos
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+
=θϕψ
θψϕψθθψϕψθ
ω
&&
&&
&&r
eee
eee
zyx
zyx
sencoscoscossensensencoscossencossensencossensensencos
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−+−++++−
=θθϕθϕψ
θψθϕθψψϕθψϕψψθψθθψθϕθψψϕθψϕψψθψθ
α
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
para lo cual es necesario determinar los valores de los parámetros de Euler de posición, velocidad y aceleración que adapten el problema al planteamiento teórico, analizando los movimientos de forma progresiva, tomando como referencia la figura correspondiente al estado final.
Para ello, inicialmente el estudio se realiza sobre un sistema de referencia asociado a los ángulos de Euler en el que el eje ze corresponde a la rotación respecto de un eje fijo, por lo que el sistema de referencia Oxeyeze fijo de Euler considerado es el que aparece en la figura. Los ejes xe e ye podrían haber tomado cualquier otra orientación.
α1
α3
B
ω2
3
xe
ye
ze
xe ye
ze= z1
O
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ& θ
θ
θ&
y’1
z’1 = z’’1
ϕ& ϕ
ϕ
y’’1
x’’1
Sobre este sistema la velocidad y aceleración 3ωr
y 3αr
corresponden a la velocidad y aceleración de precesión ( ψψ &&& , ), ya que están asociados al eje fijo ze.
La velocidad 2ωr
es arrastrada únicamente por el movimiento de precesión, luego corresponde al movimiento de nutación y, siguiendo el planteamiento teórico, ha de estar sobre el eje x1, por lo que el sistema de referencia con movimiento de precesión Ox1y1z1 es el que aparece en la figura
5.1 Características cinemáticas en base fija.
- 93/116 -
α1
α3
B
ω2
3
xe
ye=x1
ze=z1
y1
ψ
xe ye
ze= z1
O
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ& θ
θ
θ&
y’1
z’1 = z’’1
ϕ& ϕ
ϕ
y’’1
x’’1
Sobre este sistema la velocidad 2ωr
corresponde a la velocidad de nutación (θ& ), ya que está asociada al eje con movimiento de presesión x1. La velocidad y aceleración angular 1ω
r y 1α
r son arrastradas por los
movimientos de precesión y nutación, luego corresponden al movimiento de rotación propia y, siguiendo el planteamiento teórico, ha de estar sobre el eje z’1, por lo que el sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Ox’1y’1z’1 es el que aparece en la figura
α1
α3
B
ω2
3
xe=z’1
ye=x1=x’1
ze=z1=y’1
y1
θ
ψ
xe ye
ze= z1
O
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ& θ
θ
θ&
y’1
z’1 = z’’1
ϕ& ϕ
ϕ
y’’1
x’’1
Sobre este sistema se puede definir un sistema de referencia Ox’’1y’’1z’’1 cuyos ejes son arrastrados por los movimientos de precesión, nutación y rotación propia, luego se podría definir un ángulo φ de rotación propia que definiera la posición de este sistema (en este problema no se ha hecho ya que no se necesario para su resolución)
α1
α3
B
ω2
3
xe=z’1=z’’1
ye=x1=x’1
ze=z1=y’1
y1
θ
ψ
x’’1
y’’1
ϕ
xe ye
ze= z1
O
x1 = x’1
y1
ψ
ψ
ψ& θ
θ
θ&
y’1
z’1 = z’’1
ϕ& ϕ
ϕ
y’’1
x’’1
Según todo lo anterior, los parámetros a sustituir en las ecuaciones son los siguientes
( ) ( )( )( ) ( )2
2
s/rad9s/rad15
0s/rad102
s/rad6s/rad82
−==
===
−===
ϕϕϕ
θθπθ
ψψπψ
&&&
&&&
&&&
Por lo que sustituyendo en las ecuaciones anteriores
5.1 Características cinemáticas en base fija.
- 94/116 -
( )s/rad8
1015
cos158
sencos15sen10
sensen15cos10
cossencossensensencos
eee
eee
zyx
zyx⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+
=
2
2
2
2
2
2
2
π
πππ
πππ
θϕψθψϕψθθψϕψθ
ω&&
&&
&&r
( )
( )
( ) ( )
( )2
zyx
zyx
s/rad156
12089
2sen1015
2cos96
2cos
2cos1015
2sen
2sen815
2sen
2cos9
2cos810
2sen0
2cos
2sen1015
2sen
2cos815
2sen
2sen9
2sen810
2cos0
sencoscoscossensensencoscossencossensencossensensencos
eee
eee
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−=
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−+−++++−
=
ππ
ππππππππ
ππππππππ
θθϕθϕψθψθϕθψψϕθψϕψψθψθθψθϕθψψϕθψϕψψθψθ
α
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
Como estos vectores están definidos respecto del sistema de referencia Oxeyeze de Euler en vez de en el sistema de referencia inicial del problema (Oxyz) habrá que realizar un cambio de sistema de referencia
α1
α3
B
ω2
3
z=xe
x=ye
y=ze
En este caso es sencillo ya que corresponde a intercambiar las siguientes componentes
yzxyzx eee →→→
luego la velocidad y la aceleración angular en el sistema de referencia del problema son
( )s/rad158
10
eee
eee
zyx
zyx⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=ω
r ( )2
zyx
zyx s/rad89
156120
eee
eee⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=α
r
5.2. Características cinemáticas en base con movimiento de precesión
velocidad angular Si se desea transformar la velocidad angular (ωr
) a la base con movimiento de precesión (111 zyxω
r en la
base 111 k,j,irrr
), habrá que transformar los unitarios 11 'kyi,krrr
a dicha base
5.2 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión
- 95/116 -
11 'kikr
&r&
r&
r ϕθψω ++=
El unitario kr
se encuentra en la base k,j,irrr
, luego para transformarlo a la base 111 k,j,irrr
habrá que utilizar el cambio de base
[ ]
[ ]111
A
A
zyxxyzt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A ψψψψ
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
100
100
1000cossen0sencos
zyx
1
1
1
ψψψψ
y como en el planteamiento el unitario kr
y el 1kr
coinciden, no varía.
El unitario 1ir
se encuentra ya en la base 111 k,j,irrr
, por lo que no es necesario ningún tipo de transformación.
El unitario 1'kr
se encuentra en la base 111 'k,'j,'irrr
, luego para transformarlo a la base 111 k,j,irrr
habrá que utilizar el cambio de base
[ ]
[ ]111
B
B
111 'z'y'xzyxt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B [ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
θθθθ
cossen0sencos0001
B t
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθ
θθθθ
cossen0
100
cossen0sencos0001
zyx
1
1
1
Luego el vector velocidad angular absoluta definida en la base con movimiento de precesión (111 zyxω
r)
viene definido por
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒++=
θϕψθϕ
θ
θθϕθψωϕθψω
cossen
cossen0
001
100
'kik111 zyx11
&&
&
&
&&&rr
&r&
r&
r
Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.
5.2 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión
- 96/116 -
velocidad angular relativa a la base con
movimiento de precesión
El vector velocidad angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión ( 1z1y1x
111
rzyxω
r) se
obtiene anulando la componente de velocidad de precesión (ψ& ) en la velocidad angular anteriormente indicada.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
θϕθϕ
θ
θθϕθω
cossen
cossen0
001
1z1y1x
111
rzyx
&
&
&
&&r
aceleración angular La aceleración angular absoluta (111 zyxα
r) se obtiene derivando la velocidad angular absoluta (
111 zyxωr
)
respecto del tiempo, sin embargo en este caso la base ( 111 k,j,irrr
) no es fija, sino que tiene movimiento de precesión, luego para obtener la derivada absoluta habrá que tener en cuenta la variación de los unitarios utilizando la formulación de Poisson
111111111111111111111111111 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx eee ωΩωωωαrrr
&&rr&
r×+=+=
expresión en la que la derivada de las componentes de la velocidad angular respecto del tiempo viene dada por,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−−=
θθϕθϕψθθϕθϕ
θω
sencoscossene
111111 zyxzyx&&&&&&
&&&&
&&r
&
Este vector no coincide con la aceleración angular ( xyzαr
) anteriormente determinada en la base fija (OXYZ), ya que se ha calculado respecto de una base móvil considerada como fija por haber derivado las componentes pero no los unitarios.
La velocidad angular del sistema de referencia con movimiento de precesión (111 zyxΩ
r) es
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
ψΩ
θϕψθϕ
θω
&
r
&&
&
&r
00
cossen
111111 zyxzyx
obtenida a partir de la expresión de 111 zyxω
r, en la que la única componente de velocidad distinta de cero es
la de precesión (ψ& ) debido a que el sistema de referencia OX1Y1Z1 se mueve solo con movimiento de precesión, luego el desarrollo del segundo sumando de la aceleración angular es
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
+−=×
0
sen
cossen00
kji 111
zyxzyx 111111θψ
θϕψ
θϕψθϕθψωΩ &&
&&
&&&&
&
rrr
rr
Concepto clave En base con movimiento de precesión (ψ ) los unitarios varían con el tiempo.
y la aceleración angular absoluta en la base con movimiento de precesión queda
5.2 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión
- 97/116 -
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−++−−
+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++−−=×+=
θθϕθϕψθψθθϕθϕ
θϕψθθψ
θϕψ
θθϕθϕψθθϕθϕ
θωΩωα
sencoscossensen
0
sen
sencoscossene
111111111111111 zyxzyxzyxzyxzyx&&&&&&
&&&&&&
&&&&
&&
&&
&&&&&&
&&&&
&&rrr
&r
Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.
aceleración angular relativa a la base con
movimiento de precesión
El vector aceleración angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión ( 1z1y1x
111
rzyxα
r)
se obtiene derivando respecto del tiempo las componentes de la velocidad angular relativa 1z1y1x
111
rzyxω
r,
anteriormente indicadas
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−==
θθϕθϕθθϕθϕ
θωα
sencoscossene
1111z1y1x
1111z1y1x
111 zyxr
zyxr
zyx&&&&
&&&&
&&r
&r
Ejemplo 5.2: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión.
α1
α3
B
ω2
3
El problema es el mismo que al anterior, por lo que los parámetros ya obtenidos son válidos.
El estudio se va ha hacer sobre el sistema de referencia con movimiento de precesión Ox1y1z1 que aparece en la figura
α1
α3
B
ω2
3
xe
ye=x1
ze=z1
y1
ψ
5.2 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión
- 98/116 -
Los parámetros a sustituir en las ecuaciones son los siguientes
( ) ( )( )( ) ( )2
2
s/rad9s/rad15
0s/rad102
s/rad6s/rad82
−==
===
−===
ϕϕϕ
θθπθ
ψψπψ
&&&
&&&
&&&
Por lo que sustituyendo en las ecuaciones asociadas a la velocidad y aceleración angular absolutas
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
θϕψθϕ
θω
cossen
111 zyx&&
&
&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−−
+=
θθϕθϕψθψθθϕθϕ
θϕψθα
sencoscossensen
111 zyx&&&&&&
&&&&&&
&&&&r
se obtienen dichos valores
( )s/rad815
10
2cos158
2sen15
10
cossen
111 zyx⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
π
π
θϕψθϕ
θω
&&
&
&r
( ) ( )
( )s/rad15665
120
2sen1015
2cos96
1082
cos10152
sen15
2sen1580
sencoscossensen
111 zyx⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−+−
⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−−
+=
ππ
ππ
π
θθϕθϕψθψθθϕθϕ
θϕψθα
&&&&&&
&&&&&&
&&&&r
La velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión se obtienen de las expresiones
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=θϕθϕ
θω
cossen1z1y1x
111
rzyx
&
&
&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−=
θθϕθϕθθϕθϕ
θα
sencoscossen1z1y1x
111
rzyx
&&&&
&&&&
&&r
sustituyendo valores
( )s/rad015
10
2cos15
2sen15
10
cossen1z1y1x
111
rzyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
π
π
θϕθϕ
θω
&
&
&r
( )
( )s/rad150150
2sen1015
2cos9
2cos1015
2sen15
0
sencoscossen1z1y1x
111
rzyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−=
ππ
ππ
θθϕθϕθθϕθϕ
θα
&&&&
&&&&
&&r
5.3 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación
- 99/116 -
5.3. Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación
velocidad angular Si se desea transformar la velocidad angular (ωr
) a la base con movimiento de precesión y nutación (de notación
111 'z'y'xωr
en la base 111 'k,'j,'irrr
), habrá que transformar los unitarios 11 'kyi,krrr
a dicha base.
11 'kikr
&r&
r&
r ϕθψω ++=
El unitario kr
se encuentra en la base k,j,irrr
, luego para transformarlo a la base 111 'k,'j,'irrr
habrá que utilizar los cambios de base
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]111
B
B
111A
A
'z'y'xzyxxyztt ⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A ψψψψ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
100
100
1000cossen0sencos
zyx
1
1
1
ψψψψ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθ
θθθθ
cossen
0
100
cossen0sencos0
001
'z'y'x
1
1
1
El unitario 1ir
se encuentra en la base 111 k,j,irrr
, luego para transformarlo a la base 111 'k,'j,'irrr
habrá que utilizar el cambio de base
[ ]
[ ]111
B
B
111 'z'y'xzyxt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
001
001
cossen0sencos0
001
'z'y'x
1
1
1
θθθθ
como en el planteamiento el unitario 1ir
y el 1'ir
coinciden, no varía.
El unitario 1'kr
se encuentra ya en la base 111 k,j,irrr
, por lo que no es necesario ningún tipo de transformación.
5.3 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación
- 100/116 -
Luego el vector velocidad angular total en la base con movimiento de precesión y nutación (111 'z'y'xω
r)
viene definido por
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒++=
θψϕθψ
θϕθ
θθψωϕθψω
cossen
100
001
cossen
0 'kik
111 'z'y'x11
&&
&
&
&&&rr
&r&
r&
r
Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) y en la base con movimiento de precesión (OX1Y1Z1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.
velocidad angular relativa a la base con
movimiento de precesión y nutación
El vector velocidad angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión y nutación ( 1'z1'y1'x
111
r'z'y'xω
r) se obtiene anulando las componentes de velocidad de precesión y nutación (ψ& , θ& ) en la
velocidad angular anteriormente indicada
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
ϕϕω
&
&r
00
100
1'z1'y1'x
111
r'z'y'x
aceleración angular La aceleración angular absoluta (111 'z'y'xα
r) se obtiene derivando la velocidad angular (
111 'z'y'xωr
) respecto
del tiempo, sin embargo en este caso la base 111 'k,'j,'irrr
no es fija, sino que tiene movimiento de precesión y nutación, luego para obtener la derivada absoluta habrá que tener en cuenta la variación de los unitarios,
111111111111111111111111111 'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x eee ωΩωωωαrrr
&&rr&
r×+=+=
expresión en la que la derivada de las componentes de la velocidad angular respecto del tiempo viene dada por,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−++=
θθψθψϕθθψθψ
θω
sencoscossene
111111 'z'y'x'z'y'x&&&&&&
&&&&
&&r
&
Este vector no coincide con la aceleración angular ( xyzαr
) determinada en la base fija (OXYZ), ni con la
obtenida en el desarrollo de 111111 zyxzyx e
r&ω , ya que corresponde a la variación de las componentes respecto
de una base móvil considerada como fija por derivación de las componentes pero no de los unitarios.
La velocidad angular del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación (111 'z'y'xΩ
r) es
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
θψθψ
θΩ
θψϕθψ
θω
cossen
cossen
111111 'z'y'x'z'y'x
&
&
&r
&&
&
&r
obtenida a partir de la expresión de 111 'z'y'xω
r, en la que las componentes de precesión (ψ& ) y nutación (θ& )
son distintas de cero, como el sistema de referencia OX’1Y’1Z’1 se mueve con los movimientos de precesión y nutación, luego el desarrollo del segundo sumando de la aceleración angular es
5.3 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación
- 101/116 -
( )( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−
−+=
+=×
θψθθψθθψϕθθψθ
θψθψθψϕθψ
θψϕθψθθψθψθωΩ
sensencoscos
sencoscossen
cossencossen
'k'j'i 111
'z'y'x'z'y'x 111111
&&&&
&&&&&
&&&&&
&&&&
&&&
rrr
rr
Operando
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=×
0
sen
111111 'z'y'x'z'y'x ϕθθϕψ
ωΩ &&
&&rr
Concepto clave En base con movimiento de precesión y nutación (ψ ,θ ) los unitarios varían con el tiempo.
y la aceleración angular absoluta en la base con movimiento de precesión y nutación queda
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−+
+=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−++=×+=
θθψθψϕϕθθθψθψ
θϕψθϕθ
θϕψ
θθψθψϕθθψθψ
θωΩωα
sencoscossensen
0
sen
sencoscossene
111111111111111 'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x&&&&&&
&&&&&&
&&&&
&&
&&
&&&&&&
&&&&
&&rrr
&r
Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) y en la base con movimiento de precesión y nutación (OX1Y1Z1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.
aceleración angular relativa a la base con
movimiento de precesión y nutación
El vector aceleración angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión y nutación ( 1'z1'y1'x
111
r'z'y'xα
r) se obtiene derivando respecto del tiempo las componentes de la velocidad angular relativa
1'z1'y1'x
111
r'z'y'xω
r, anteriormente indicadas
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧==
ϕωα
&&
r&
r00
e111
1'z1'y1'x
1111'z1'y1'x
111 'z'y'xr
'z'y'xr
'z'y'x
Ejemplo 5.3: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión y nutación del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación.
α1
α3
B
ω2
3
El problema es el mismo que al anterior, por lo que los parámetros ya obtenidos son válidos.
5.3 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación
- 102/116 -
El estudio se va ha hacer sobre el sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Ox’1y’1z’1 que aparece en la figura
α1
α3
B
ω2
3
xe=z’1
ye=x1=x’1
ze=z1=y’1
y1
θ
ψ
Los parámetros a sustituir en las ecuaciones son los siguientes
( ) ( )( )( ) ( )2
2
s/rad9s/rad15
0s/rad102
s/rad6s/rad82
−==
===
−===
ϕϕϕ
θθπθ
ψψπψ
&&&
&&&
&&&
Por lo que sustituyendo en las ecuaciones asociadas a la velocidad y aceleración angular absolutas
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
θψϕθψ
θω
cossen
111 'z'y'x&&
&
&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−+
+=
θθψθψϕϕθθθψθψ
θϕψθα
sencoscossensen
111 'z'y'x&&&&&&
&&&&&&
&&&&r
se obtienen dichos valores
( )s/rad158
10
2cos815
2sen8
10
cossen
111 zyx⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
π
π
θψϕθψ
θω
&&
&
&r
( )
( ) ( )
( )s/rad89
156120
2sen108
2cos69
15102
cos1082
sen6
2sen1580
sencoscossensen
111 zyx⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−+−
⋅−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−+
+=
ππ
ππ
π
θθψθψϕϕθθθψθψ
θϕψθα
&&&&&&
&&&&&&
&&&&r
La velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación se obtienen de las expresiones
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
ϕω
&
r00
1'z1'y1'x
111
r'z'y'x
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
ϕα
&&
r00
1'z1'y1'x
111
r'z'y'x
sustituyendo valores
( )s/rad1500
00
1'z1'y1'x
111
r'z'y'x
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
ϕω
&
r ( )s/rad
900
00
1'z1'y1'x
111
r'z'y'x
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
ϕα
&&
r
5.4 Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
- 103/116 -
5.4. Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
velocidad angular Si se desea transformar la velocidad angular (ωr
) a la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (de notación
111 ''z''y''xωr
en la base 111 ''k,''j,''irrr
), habrá que transformar los unitarios
11 'kyi,krrr
a dicha base.
11 'kikr
&r&
r&
r ϕθψω ++=
El unitario kr
se encuentra en la base k,j,irrr
, luego para transformarlo a la base 111 ''k,''j,''irrr
habrá que utilizar los cambios de base
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]111
C
C
111B
B
111A
A
''z''y''x'z'y'xzyxxyzttt ⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯
⎯⎯ ⎯←⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
A ψψψψ
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B [ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
C ϕϕϕϕ
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
100
100
1000cossen0sencos
zyx
1
1
1
ψψψψ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θθ
θθθθ
cossen
0
100
cossen0sencos0
001
'z'y'x
1
1
1
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
θϕθϕθ
θθϕϕ
ϕϕ
coscossensensen
cossen
0
1000cossen0sencos
''z''y''x
1
1
1
El unitario 1ir
se encuentra en la base 111 k,j,irrr
, luego para transformarlo a la base 111 ''k,''j,''irrr
habrá que utilizar los cambios de base
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]111
C
C
111B
B
111 ''z''y''x'z'y'xzyxtt ⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
θθθθ
cossen0sencos0
001B [ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
C ϕϕϕϕ
de forma que
5.4 Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
- 104/116 -
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
001
001
cossen0sencos0
001
'z'y'x
1
1
1
θθθθ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
0sen
cos
001
1000cossen0sencos
''z''y''x
1
1
1
ϕϕ
ϕϕϕϕ
El unitario 1'kr
se encuentra en la base 111 'k,'j,'irrr
, luego para transformarlo a la base 111 ''k,''j,''irrr
habrá que utilizar el cambio de base
[ ]
[ ]111
C
C
111 ''z''y''x'z'y'xt⎯⎯ ⎯←
⎯→⎯
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000cossen0sencos
C ϕϕϕϕ
de forma que
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
100
100
1000cossen0sencos
''z''y''x
1
1
1
ϕϕϕϕ
Como en el planteamiento el unitario 1'kr
y el 1''kr
coinciden, sus componentes no varían.
Luego el vector velocidad angular en la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (
111 ''z''y''xωr
) viene definido por
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⇒++=
θψϕϕθϕθψϕθϕθψ
ϕϕϕ
θθ
ϕθϕθ
ψωϕθψω
cos
sencossencossensen
100
0sen
cos
coscossensensen
'kik111 ''z''y''x11
&&
&&
&&
&&&rr
&r&
r&
r
Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ), en la base con movimiento de precesión (OX1Y1Z1) y en la base con movimiento de precesión y nutación (OX’1Y’1Z’1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.
velocidad angular relativa a la base con
movimiento de precesión, nutación y
rotación propia
El vector velocidad angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propias ( 1''z1''y1''x
111
r''z''y''xω
r) se obtiene anulando las componentes de velocidad de precesión, nutación y
rotación propias (ψ& , θ& , ϕ& ) por lo que es nula (evidente, ya que no existe movimiento de rotación relativo entre el sólido rígido y el sistema de referencia cuando ambos están afectados por los mismos movimientos de precesión, nutación y rotación propia)
01''z1''y1''x
111
r''z''y''x
rr=ω
aceleración angular La aceleración angular absoluta (111 ''z''y''xα
r) se obtiene derivando la velocidad angular (
111 ''z''y''xωr
) respecto del tiempo, sin embargo en este caso la base no es fija sino que tiene movimiento de precesión, nutación y rotación propia, luego para obtener la derivada absoluta habrá que tener en cuenta la variación
5.4 Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
- 105/116 -
de los unitarios,
111111111111111111111111111 ''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x eee ωΩωωωαrrr
&&rr&
r×+=+=
expresión en la que la derivada de las componentes de la velocidad angular respecto del tiempo viene dada por,
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−−−+−+++
=θθψθψϕ
ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ
ω
sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen
e111111 ''z''y''x''z''y''x
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
&
Este vector coincide con la aceleración angular ( xyzαr
) determinada en la base fija (OXYZ) en módulo dirección y sentido, aunque con distintas componentes, ya que, como se verá a continuación, la variación de sus unitarios respecto del tiempo son nulos.
Sin embargo este vector no coincide ni con 111111 zyxzyx e
r&ω , ni con
111111 'z'y'x'z'y'x er
&ω , ya que estos corresponden a la derivada respecto de una base móvil considerada como fija por haber derivado las componentes pero no los unitarios.
La velocidad angular del sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (
111 ''z''y''xΩr
) es
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−+
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−+
=θψϕ
ϕθϕθψϕθϕθψ
Ωθψϕ
ϕθϕθψϕθϕθψ
ω
cossencossencossensen
cossencossencossensen
111111 ''z''y''x''z''y''x
&&
&&
&&r
&&
&&
&&r
obtenida a partir de la expresión de 111 ''z''y''xω
r, en la que las componentes de precesión (ψ& ), nutación (θ& )
y rotación propia (ϕ& ) son distintas de cero, como el sistema de referencia OX’’1Y’’1Z’’1 se mueve con los movimientos de precesión, nutación y rotación propia, por lo que coincide con la velocidad angular
111 ''z''y''xωr
, luego el desarrollo del segundo sumando de la aceleración angular es nulo
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
+−++−+=×
000
cossencossencossensencossencossencossensen
kji 111
''z''y''x''z''y''x 111111
θψϕϕθϕθψϕθϕθψθψϕϕθϕθψϕθϕθψωΩ
&&&&&&
&&&&&&
rrr
rr
correspondiente al producto vectorial de dos vectores equipolentes
Concepto clave En base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (ψ ,θ , ϕ ) los unitarios del vector velocidad angular (
111 ''z''y''xωr
) no varían respecto del tiempo, ya que el vector velocidad angular que se deriva y la velocidad angular de variación de la base coinciden.
por lo que la aceleración angular absoluta en la base con movimiento de precesión y nutación queda
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−−−+−+++
=×+=θθψθψϕ
ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ
ωΩωα
sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen
e111111111111111 ''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&rrr
&r
5.4 Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
- 106/116 -
Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ), en la base con movimiento de precesión (OX1Y1Z1) y en la base móvil con movimiento de precesión y nutación (OX’1Y’1Z’1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.
aceleración angular relativa a la base con
movimiento de precesión, nutación y
rotación
El vector aceleración angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia ( 1''z1''y1''x
111
r''z''y''xα
r) se obtiene derivando respecto del tiempo las componentes de la velocidad
angular relativa 1''z1''y1''x
111
r''z''y''xω
r, anteriormente indicadas, volviendo a ser nulas
01''z1''y1''x
111
r''z''y''x
rr=α
Como ya se ha indicado, toda la formulación desarrollada solo es válida si se fija cada parámetro a los ejes tal como se ha indicado ( 11 'z,x,z →→→ ϕθψ &&& ). En caso de no ser así, habría que realizar los desarrollos específicos correspondientes.
Ejemplo 5.4: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión, nutación y rotación propia del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia.
α1
α3
B
ω2
3
El problema es el mismo que al anterior, por lo que los parámetros ya obtenidos son válidos.
El estudio se va ha hacer sobre el sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia Ox’1y’1z’1 que aparece en la figura
α1
α3
B
ω2
3
xe=z’1=z’’1
ye=x1=x’1
ze=z1=y’1
y1
θ
ψ
x’’1
y’’1
ϕ
Los parámetros a sustituir en las ecuaciones son los siguientes
5.4 Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.
- 107/116 -
( ) ( )( )( ) ( )2
2
s/rad9s/rad15
0s/rad102
s/rad6s/rad82
−==
===
−===
ϕϕϕ
θθπθ
ψψπψ
&&&
&&&
&&&
Por lo que sustituyendo en las ecuaciones asociadas a la velocidad y aceleración angular absolutas
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+
=θψϕ
ϕθϕθψϕθϕθψ
ω
cossencossencossensen
111 ''z''y''x&&
&&
&&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−−−+−+++
=θθψθψϕ
ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ
α
sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen
111 ''z''y''x&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
se obtienen dichos valores
( )s/rad15108
2πcos815
2πsen10
2πcos
2πsen8
2πcos10
2πsen
2πsen8
cossencossencossensen
111 ''z''y''x⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+
=θψϕ
ϕθϕθψϕθϕθψ
ω
&&
&&
&&r
( )
( )
( ) ( )
( )s/rad89
120156
2πsen108
2πcos69
2πcos1510
2πsen0
2πsen
2πsen158
2πcos
2πcos108
2πcos
2πsen6
2πsen1510
2πcos0
2πcos
2πsen158
2πsen
2πcos108
2πsen
2πsen6
sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen
111 zyx
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−−−+−+++
=θθψθψϕ
ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ
α
&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
La velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propias son nulas
01''z1''y1''x
111
r''z''y''x
rr=ω 01''z1''y1''x
111
r''z''y''x
rr=α
Conceptos fundamentales
- 108/116 -
Conceptos fundamentales: Condición cinemática de sólido rígido.
cteveve AB =⋅=⋅rrrr
Velocidad y aceleración de un movimiento de traslación.
cteactev ==rr
Velocidad y aceleración de un movimiento de rotación.
( )EMvM −×= ωrr
( ) ( )[ ]EMEMaM −××+−×= ωωαrrrr
Velocidad y aceleración de un movimiento helicoidal.
( )EMvv EM −×+= ωrrr
( ) ( )[ ]EMEMaa EM −××+−×+= ωωαrrrrr
Relación entre desplazamiento absoluto y relativo. Q/PQP rrr
rrr+=
Velocidad de una composición de traslaciones.
( ) ctevvn
1iiMM == ∑
=
rr
Giros como elementos vectoriales La composición de giros en un plano y de giros infinitesimales respecto de ejes arbitrarios son elementos
vectoriales, pero la composición de giros respecto de ejes arbitrarios no. Velocidad de una composición de rotaciones.
( )[ ]∑=
−×=n
1iiiM EMv ω
rr
Velocidad por reducción a un punto.
( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr [ ]∑
==
n
1iiωωrr
Campo de velocidades. Primer invariante cinemático.
[ ]∑=
=n
1iiωωrr
Campo de velocidades. Segundo invariante cinemático. ctevM =⋅
rrω
Velocidad de mínimo deslizamiento. ( ) ωω eevv Mm
rrrr⋅=
Punto del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).
2MvMC
ωω
rr×
=−
Velocidad utilizando la máxima reducción. ( )CMvv mM −×+= ω
rrr Representación de de Poncelet de la velocidad de un sólido rígido.
Deslizamiento y rodadura del axoide móvil respecto del EIRMD sobre el axoide fijo. Aceleración de una composición de traslaciones.
( )∑=
=n
1iiMM aarr
Aceleración por composición de rotaciones ( ) ( )[ ]'OM'OMaa 'OM −××+−×+= ωωα
rrrrr
Derivada de un unitario respecto del tiempo. Fórmula de Poisson. eerr&r ×= ω
Aceleración angular.
( )iiiii
eeeeen
1ijji
n
1iii ωωωωω ωΩωωα
rrrr&r&rr&
r×=×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ∑∑
+==
Conceptos fundamentales
- 109/116 -
Velocidad y aceleración de movimiento relativo más arrastre.
( )[ ] ( )[ ]444 3444 21
rr444 3444 21
rrr
rr aM
rM v
aaatM
v
rrrtMM EMvEMvv −×++−×+= ωω
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )( )44444 344444 21
rrr
444444444 3444444444 21
rrr&
r&
444444444 3444444444 21
rrr&
r&
r
r
rr
CM
aM
rM
a
rrrtM
a
a
aaaaaaaatM
a
rrrrrrrrtMM
EMv2
EMEMeevEMEMeeva
−×+×+
+−××+−×++−××+−×+=
ωω
ωωωωωω
Velocidad y aceleración de movimiento relativo más arrastre. Nuevo arrastre.
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
−×+=
=+=
2a2a2atM
2aM
M2r
M2aM
2rM
2M
EMvv
vvconvvv
ωrrr
rrrrr
( ) ( )[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
×=
−×+×+−×+=
=
++=2r
M2a2C
M
2a2a2atM
2a2a2a2atM
2aM
M2r
M2C
M2a
M2r
M2M
v2a
EMvEMaa
aa
conaaaarrr
rrrrrr
rr
rrrr
ω
ωωα
Velocidad y aceleración de movimiento relativo a partir de un punto de reducción.
( )
( )'OMvvv a
'OM
r'O/M'OM
r
−×++=
−×
ωω
r321
rrr
r
( )[ ] ( )
( ) ( )[ ]( )321
rrrrr321
rrr
rrrr'OM
r'O/M
aaaa
'OM'OM
r'O/M'OM
rrrr
v2'OM'OMaaa−×−×+−××
×+−××+−×++=
ωαωω
ωωωα
Velocidad y aceleración de movimiento relativo a partir de un punto de reducción. Nuevo arrastre. ( ) M
2r'O/M
2a2r'O/M
2'O
2M vvcon'OMvvv
rrrrrr=−×++= ω
( ) ( )[ ] M2r
'O/M2r
'O/M2a2a2a2a2r
'O/M2
'O2M aaconv2'OM'OMaaa
rrrrrrrrrr=×+−××+−×++= ωωωα
Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base fija.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+
=θϕψ
θψϕψθθψϕψθ
ω
cossencossensensencos
xyz&&
&&
&&r
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+−+−++++−
=θθϕθϕψ
θψθϕθψψϕθψϕψψθψθθψθϕθψψϕθψϕψψθψθ
α
sencoscoscossensensencoscossencossensencossensensencos
xyz&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base con movimiento de precesión.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
θϕψθϕ
θω
cossen
111 zyx&&
&
&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−++−−
+=
θθϕθϕψθψθθϕθϕ
θϕψθα
sencoscossensen
111 zyx&&&&&&
&&&&&&
&&&&r
Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base con movimiento de precesión y nutación.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
θψϕθψ
θω
cossen
111 'z'y'x&&
&
&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−+
+=
θθψθψϕϕθθθψθψ
θϕψθα
sencoscossensen
111 'z'y'x&&&&&&
&&&&&&
&&&&r
Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia.
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−+
=θψϕ
ϕθϕθψϕθϕθψ
ω
cossencossencossensen
111 ''z''y''x&&
&&
&&r
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−+−−−+−+++
=θθψθψϕ
ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ
α
sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen
111 ''z''y''x&&&&&&
&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&r
Anexo I Bibliografía
- 110/116 -
ANEXO 1. Bibliografía
Autor: Beer y Johnston
Título: Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica
Edición: 08
Fecha Publ.: 2007
ISBN: 97-010-6102-0
Autor: Meriam y Craige
Título: Dinámica
Edición: 3
Editor: Mc Graw Hill
Fecha Publ.: 2000
ISBN: 84-291-4259-2
Autor: Meriam y Craige
Título: Dinámica
Edición: 3
Editor: Editorial Reverté S.A
Fecha Publ.: 2000
ISBN: 84-291-4259-2
Autor: Riley y Sturges
Título: Ingeniería Mecánica: Dinámica
Edición: 1
Editor: Editorial Reverté S.A.
Fecha Publ.: 2006
ISBN: 978429142556
Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
- 111/116 -
ANEXO 2. Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
La determinación de la variación de un vector unitario respecto del tiempo ( e&r
) se puede realizar a partir del concepto de matriz antisimétrica.
Definidos dos vectores ( ( ) ( )tv,turr
) de magnitud constante
ctevcteu ==rr
que se mueven solidariamente con un sistema de referencia móvil ( ( ){ }tE ), se desea calcular la variación de su posición relativa en el tiempo. Una aproximación a esta variación se obtiene a partir de la proyección de un vector respecto del otro, mediante su producto escalar
vurr
⋅
y su variación en el tiempo se determina derivando la expresión anterior
( ) 0vuvuvudtd
=⋅+⋅=⋅&rrr&rrr
que es igual a cero ya que, al estar ambos vectores unidos al mismo sistema de referencia móvil, su posición relativa no varía.
El término anterior caracteriza la derivada como una aplicación antisimétrica o hemisimétrica, ya que cumple con la condición
vuvu0vuvu&rrr&r&rrr&r
⋅−=⋅⇒=⋅+⋅
Se verá por tanto la definición de este tipo de operación, algunas características y su aplicación a la variación de vectores constantes asociados a una base móvil respecto del tiempo.
Aplicación antisimétrica.
Se llama aplicación antisimétrica en un espacio vectorial a toda aplicación (L) tal que para una pareja cualquiera de vectores ( v,u
rr), se cumple:
( ) ( )vLuvuLrrrr
⋅−=⋅
Esta aplicación tiene las siguientes propiedades:
1) Para todo vector ur
se cumple que ( ) 0uuL =⋅rr
, ya que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0uLu0uLu20uLuuuLuLuuuL =⋅⇒=⋅⇒=⋅+⋅⇒⋅−=⋅rrrrrrrrrrrr
2) Asociada a toda aplicación antisimétrica (L) existe una matriz ( [ ]Ω )
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
Ω
de forma que si se tiene una base ortonormal (E) de vectores
Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
- 112/116 -
( ){ }( )( )( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=tetete
t
3
2
1
r
r
r
E
los términos de la matriz antisimétrica vienen definidos por
{ } { } ( )⎩⎨⎧
≠=
=⋅=⋅=jisijisi0
eLeLij
jit
ij ΩΩ
rrEE con i, j = 1, 2, 3
El valor de cada uno de los términos ( ijΩ ) de la matriz ( [ ]Ω ) es
kijkij ΩδΩ =
donde ijkδ es la segunda delta de Kronecker, según la cual
⎪⎩
⎪⎨
⎧−+
=valorúnlgarepitesesi0
3,2,1derespectoimparnpermutacióformank,j,isi13,2,1derespectoparnpermutacióformank,j,isi1
ijkδ
Según lo anterior los términos de la matriz ( [ ]Ω ) toman los valores
i=1 i=2 i=3 j=1 011 =Ω 3321312 ΩΩδΩ −== 2231213 ΩΩδΩ == j=2 3312321 ΩΩδΩ == 022 =Ω 1132132 ΩΩδΩ −== j=3 2213213 ΩΩδΩ −== 1123123 ΩΩδΩ == 033 =Ω
Luego la matriz antisimétrica tiene como términos
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00
0
12
13
23
333231
232221
131211
ΩΩΩΩ
ΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
Ω
y que cumple con la condición de matriz antisimétrica
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−⇒=+
000000000
00
0
00
00
12
13
23
12
13
23t
ΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
Se comprueba que en esta matriz ( [ ]Ω ) está definida únicamente mediante tres términos ( 321 ,, ΩΩΩ ) que se corresponden con las componentes de un vector, denominado axial, asociado a la aplicación antisimétrica.
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
3
2
1
ΩΩΩ
Ω
de forma que cada uno de ellos se puede obtener a partir de
( )kjijkjkijki 21 ΩδΩδΩ += con i ≠ j ≠ k
Según lo anterior los términos del vector ( [ ]Ω ) adquieren los valores
Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
- 113/116 -
( )kjijkjkijki 21 ΩδΩδΩ +=
i=1 ( ) ( ) ( )[ ]11322332132231231 21
21
21 ΩΩΩΩΩδΩδΩ −−=−=+=
i=2 ( ) ( ) ( )[ ]22311331231132132 21
21
21 ΩΩΩΩΩδΩδΩ +−−=+−=+=
i=3 ( ) ( ) ( )[ ]33211221321123123 21
21
21 ΩΩΩΩΩδΩδΩ −−=−=+=
3) El operador antisimétrico cumple con la propiedad asociativa
( ) ( )uLauaLrr
=
ya que
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )uaLuaLuaLvuLvavLuauavLuaLvrrrrrrrrrrrr
=⇒⋅=⋅=⋅−=⋅−=⋅
Aplicación antisimétrica en el estudio de derivación de vectores en sistemas móviles.
Como ya se ha indicado, la derivación respecto del tiempo de vectores ( ( ) ( )tv,turr
) de magnitud constante
( ctevcteu ==rr
) ligados a un sistema móvil está asociada al desarrollo de una aplicación antisimétrica
( ) ( )vLuvuLvuvurrrr&rrr&r
⋅−=⋅⇒⋅−=⋅
Para determinar las consecuencias, se va a considerar la derivada como un operador antisimétrico aplicado al vector ( u
r)
332211 eueueuurrrr
++= ( ) ( ) ( ) ( )
( )uLueLueLueLuuL
eueueuu
332211
332211r&r
rrrr
&r&r&r&r
=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
++=
++=
en el que no se consideran las derivadas de las componentes del vector ( ur
) ya que no varían respecto del sistema de referencia.
La derivación de los unitarios ( ie&r
) modifica las componentes ( 321 u,u,u ) del vector tras la derivación, de forma que en la base de estudio
( ) 332211 eueueuuLur
&r
&r
&r&r
++==
Cada componente ( 321 u,u,u &&& ) se obtiene proyectado la aplicación antisimétrica ( ( )uLr
) sobre los vectores unitarios de la base ie
r, luego
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )313212111332211111 eLeueLeueLeueLueLueLueuLeurrrrrrrrrrrr
& ⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )333222121332211222 eLeueLeueLeueLueLueLueuLeurrrrrrrrrrrr
& ⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )333232131332211333 eLeueLeueLeueLueLueLueuLeurrrrrrrrrrrr
& ⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅=
sustituyendo la aplicación antisimétrica por los términos correspondientes de la matriz asociada ( [ ]Ω ) se tiene
Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
- 114/116 -
3333223113
2332222112
1331221111
uuuuuuuuuuuu
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
++=
++=
++=
&
&
&
que en función de las componentes del vector axial son
12213
13312
23321
uuuuuu
uuu
ΩΩΩΩ
ΩΩ
+−=
−=
+−=
&
&
&
cuyo desarrollo coincide con el producto matricial
{ } [ ]{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−−+−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−==
1221
1331
2332
3
2
1
12
13
23
uuuuuu
uuu
00
0uu
ΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩΩ&
y con el producto vectorial urr
×Ω ,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−−+−
==×=
1221
1331
2332
321
321
321
uuuuuu
uuu
eeeuu
ΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
rrr
rr&r
luego
[ ]{ } uuurr&r
×== ΩΩ
En resumen, la variación respecto del tiempo ( u&r
) de un vector de magnitud constante ( ur
) que se mueve rígidamente unido a una base móvil ( { }E ) es una transformación antisimétrica (L), o lo que es equivalente,
el producto vectorial del vector axial ( Ωr
) asociado a dicha transformación por el vector ( ur
).
Aplicación a la derivación de vectores unitarios de sistemas móviles.
Si se tiene una base ortonormal ( { }E ) de vectores
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
3
2
1
eee
r
r
r
E
debido a la normalidad de los vectores, se cumple que el producto de esa base por si misma es constante
{ } { } { }⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅100010001
eeeeeeeeeeeeeeeeee
eeeeee
332313
322212
312111
321
3
2
1t
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
rrr
r
r
r
EE
o bien de forma reducida
{ } { } [ ]It =⋅ EE
Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
- 115/116 -
y su derivada respecto del tiempo es nula
{ } { }( ) { } { } { } { } { }
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⋅
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⋅+⋅=⋅
000000000
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eee
e
e
e
dtd
332313
322212
312111
332313
322212
312111
321
3
2
1
321
3
2
1ttt
&rr&rr&rr
&rr&rr&rr
&rr&rr&rr
r&rr&rr&r
r&rr&rr&r
r&rr&rr&r
&r&r&r
r
r
r
rrr
&r
&r
&r
&& EEEEEE
en la que las matrices antisimétricas son
{ } { } [ ] { } { } [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
==⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
==⋅
332313
322212
312111t
332313
322212
312111tt
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeee
&rr&rr&rr
&rr&rr&rr
&rr&rr&rr
&
r&rr&rr&r
r&rr&rr&r
r&rr&rr&r
& ΩΩ EEEE
por lo que la derivada respecto del tiempo se puede expresar de forma más reducida mediante
{ } { }( ) { } { } { } { } [ ] [ ] [ ]0dtd tttt =+=⋅+⋅=⋅ ΩΩEEEEEE &&
con lo que se comprueba que la matriz ( [ ]Ω ) cumple con la condición de antisimétría
[ ] [ ]ΩΩ −=t
Si se tiene en cuenta que en aplicaciones antisimétricas
( )⎩⎨⎧
≠=
=⋅=⋅jisijisi0
eeeLeij
jiji Ω&rrrr
con i, j = 1, 2, 3
que aplicado a este caso
0ee ii =⋅&rr
ijji eeee&rr&rr
⋅−=⋅
la matriz ( [ ]Ω ) tiene de cómo términos
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=0
00
0eeee
ee0ee
eeee0
eeeeee
eeeeee
eeeeee
12
13
23
2313
3212
3121
332313
322212
312111
ΩΩΩΩ
ΩΩΩ
&rr&rr
&rr&rr
&rr&rr
&rr&rr&rr
&rr&rr&rr
&rr&rr&rr
La aplicación de la matriz antisimétrica ( [ ]Ω ) a un vector unitario ( { }e ) determina su variación respecto del tiempo
Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.
- 116/116 -
{ } [ ]{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
==
232131
323121
313212
3
2
1
2313
3212
3121
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eee
0eeee
ee0ee
eeee0
ee
&rr&rr
&rr&rr
&rr&rr
&rr&rr
&rr&rr
&rr&rr
& Ω
y coincide con el producto vectorial err
×Ω ,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−−+−
==×=
1221
1331
2332
321
321
321
eeeeee
eee
eeeee
ΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
rrr
rr&r
en la que los términos del vector axil ({ }Ω ) son
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅
⋅
⋅
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
12
31
13
3
2
1
ee
ee
ee
&rr
&rr
&rr
ΩΩΩ
Ω
El vector axial ( Ωr
) caracteriza el movimiento del sistema de referencia móvil ( er
) y se corresponde con el concepto de velocidad angular de rotación de dicho sistema. Como las bases están formadas por vectores cuya magnitud no varía con el tiempo, la expresión para determinar la variación de los vectores de una base móvil es
ii eerr&r
×= Ω