Cinematic A

CCCIIINNNEEEMMMÁÁÁTTTIIICCCAAA DDDEEELLL SSSÓÓÓLLLIIIDDDOOO RRRÍÍÍGGGIIIDDDOOO

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Índice.

1. Introducción............................................................................................................................................4

2. Conceptos básicos. ..................................................................................................................................5 2.1..Características del movimiento del sólido rígido. .............................................................................5 2.2..Movimiento de traslación..................................................................................................................8 2.3..Movimiento de rotación respecto de un eje fijo. .............................................................................10

2.3.1. Movimiento helicoidal. ...........................................................................................................14 2.4..Desplazamientos absolutos y relativos. ...........................................................................................16

3. Análisis de velocidades. ........................................................................................................................17 3.1..Composición de movimientos simultáneos. ....................................................................................17 3.2..Composición de traslaciones simultaneas .......................................................................................18 3.3..Composición de rotaciones simultáneas..........................................................................................19

3.3.1. Análisis de giros en la composición de rotaciones..................................................................19 3.3.1.1. Rotación de un vector........................................................................................................19 3.3.1.2. Composición de rotaciones en un plano............................................................................21 3.3.1.3. Composición de rotaciones respecto de ejes arbitrarios. ...................................................22 3.3.1.4. Composición de rotaciones infinitesimales respecto de ejes arbitrarios............................24

3.3.2. Reducción de rotaciones a un punto. ......................................................................................25 3.3.3. Campo de velocidades. ...........................................................................................................29

3.3.3.1. Composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes. ......................................36 3.3.3.2. Composición de movimientos de rotación de ejes paralelos. ............................................37 3.3.3.3. Composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios. ........................................37 3.3.3.4. Par de rotaciones. ..............................................................................................................38 3.3.3.5. Composición de translaciones y rotaciones.......................................................................39 3.3.3.6. Axoides. Representación de Poncelet. ..............................................................................39

4. Aceleraciones.........................................................................................................................................42 4.1..Introducción. ...................................................................................................................................42 4.2..Composición de traslaciones simultáneas. ......................................................................................42 4.3..Composición de rotaciones simultáneas..........................................................................................43 4.4..Movimiento relativo. .......................................................................................................................49

4.4.1. Descomposición del movimiento en relativo más arrastre......................................................49 4.4.2. Movimiento relativo a partir de un punto de reducción. .........................................................67

5. Ángulos de Euler...................................................................................................................................87 5.1..Características cinemáticas en base fija. .........................................................................................90 5.2..Características cinemáticas en base con movimiento de precesión.................................................94 5.3..Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación ...............................99 5.4..Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia..103

ANEXO 1. Bibliografía ........................................................................................................................ 110 ANEXO 2. Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles. ........... 111

Revisión: septiembre 2012

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Mirada previa

En este tema se va a realizar un análisis del movimiento general de un sólido rígido.

El estudio comienza con la definición cinemática de sólido rígido, una introducción y clasificación de los movimientos, su comportamiento cinemático cuando está sometido a un movimiento de traslación, y a una rotación respecto de un eje fijo, determinándose en ambos casos su velocidad y aceleración instantánea para cualquier punto. Se analiza también el caso de movimiento rototraslatorio (helicoidal).

Posteriormente se determinan las velocidades de los puntos del sólido sometido a una composición de movimientos simultáneos tanto de traslación como de rotación respecto de ejes móviles. Se comprueba que la composición de rotaciones en un plano e infinitesimales espaciales son conmutativas (no influidas por el orden en el que se realizan), mientras que la composición de rotaciones finitas en el espacio no lo es. Finalmente se reduce el estudio de velocidades debidas a la composición de rotaciones a un punto y se analiza el campo de velocidades y el eje instantáneo de rotación, aplicando estos conceptos a una serie de casos específicos y realizando una aproximación a la representación de axoides.

A continuación se analizan las aceleraciones de los puntos de un sólido rígido. La aceleración lineal de un punto de un sólido se obtiene mediante distintos métodos: a partir de la obtención de la aceleración angular total, de la descomposición del movimiento en relativo más arrastre y de la descomposición de movimientos a partir de un punto de reducción.

Se termina el análisis con el estudio de las características cinemáticas angulares utilizando los ángulos de Euler, desarrollando su aplicación a bases animadas con distintos movimientos.

Preguntas de inspección

1. ¿A qué es igual una composición de traslaciones de un sólido rígido? 2. ¿A qué es igual una composición de rotaciones de un sólido rígido? 3. ¿Qué es un punto de reducción cinemática? 4. ¿Cual es la máxima reducción cinemática del movimiento de un sólido rígido? 5. ¿Qué es un eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento? 6. ¿Se pueden sumar los ángulos de una composición de rotaciones? 7. ¿Se pueden sumar las velocidades angulares de una composición de rotaciones? 8. ¿Cómo se determina la variación de un vector unitario? 9. ¿Qué es un axoide? 10. ¿Cuántos axoides tiene un sólido? 11. ¿Qué características cinemáticas tiene una base con movimiento de precesión y nutación?

1. Introducción.

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1. Introducción.

Capacidades a desarrollar en el aprendizaje

Determinar los pasos y la estructura seguida en el estudio. Indicar el objetivo a alcanzar en cada uno de los pasos.

La cinemática del sólido rígido es la parte de la mecánica que analiza el movimiento de un sólido mediante este modelo de estudio. Este modelo trasciende del simple análisis de velocidades y aceleraciones de un punto aislado, ya que en este caso el punto forma parte de un sistema que cumple con una serie de propiedades, como son que la distancia a otro punto del mismo sólido permanezca constate o que exista un punto, denominado centro de masa, en el que se puede caracterizar de forma sencilla el comportamiento cinemático y dinámico de todo el sólido.

El análisis cinemático que se va a realizar comienza con casos simples, como un movimiento de traslación o un movimiento de rotación con eje fijo. Al mismo tiempo, inicialmente se van a separar los estudios de velocidades y aceleraciones. Se analizarán también los conceptos de características cinemáticas absolutas y relativas. En el estudio de velocidades se va a utilizar la composición de movimientos simultáneos, sin indicar el orden con el que se realizan, ya que para la obtención de la velocidad absoluta no tiene importancia. En este análisis las traslaciones y rotaciones se tratarán de forma separada, lo que permitirá llegar hasta los conceptos de centro de reducción, campo de velocidades, composición de traslaciones, composición de rotaciones, y el eje instantáneo de rotación.

En el estudio de aceleraciones comienza con la determinación de la aceleración angular total instantánea a partir de la derivada de la velocidad angular respecto del tiempo, aunque también se utilizará la descomposición de movimientos, conceptos en los que sí es importante su orden de secuenciación. Las nociones anteriores de descomposición de movimientos se aplicarán también para la determinación de velocidades, bien de forma directa o a partir de un punto de reducción.

El estudio de cinemática de sólido rígido termina con los ángulos de Euler, que permiten definir las características cinemáticas angulares de posición, velocidad y aceleración para una composición secuencial de movimientos. El análisis se va a realizar en distintas bases afectadas con características cinemáticas diferenciadas.

3 Conceptos básicos.

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2. Conceptos básicos.


Definir la condición cinemática de rigidez de sólido rígido. Clasificar los tipos de movimientos simples de un sólido rígido. Analizar el movimiento de traslación. Analizar el movimiento de rotación. Analizar el movimiento rototraslatorio. Analizar los desplazamientos absolutos y relativos.

2.1. Características del movimiento del sólido rígido.

Se denomina sistema de puntos a un conjunto de partículas que pueden cambiar de posición, estando ligadas por algún tipo de relación.

definición de sólido rígido

Se dice de un sistema de puntos que pertenecen a un sólido rígido cuando tomados dos de ellos de forma arbitraria (por ejemplo A, B, Figura 2.1) su distancia no varía con el tiempo, aunque puedan cambiar de posición en el transcurso del mismo.

cteABciatandis =−=

x

y

z

Fig. 2.1 – Sólido rígido definido mediante tres puntos.

condición de rigidez La condición de rigidez de un sólido se expresa de forma vectorial indicando que la distancia entre dos puntos (A, B), o lo que es equivalente, que el valor obtenido de su producto escalar al cuadrado (correspondiente al cuadrado del módulo) es constante.

( ) cteAB =− ⇒ ( ) ( ) cteABAB =−⋅− ⇒ ( ) cteABAB 22 =−=−

Esta condición también se puede formular mediante los vectores de posición ( BA r,rrr

) que sitúan estos dos puntos respecto de un origen (O)

( ) cterr 2AB =−rr

expresión que corresponde al producto escalar de este vector por si mismo

( ) ( ) ( ) cterrrrrr ABAB2

AB =−⋅−=−rrrrrr

2.1 Características del movimiento del sólido rígido.

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grados de libertad de un sólido rígido libre en

el espacio tridimensional

Se definen como número de grados de libertad el número mínimo de parámetros independientes necesarios para definir la posición de un sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número mínimo de ecuaciones necesarias para describir el movimiento.

La posición de un sólido rígido queda determinada por la de tres de sus puntos (A, B y C, Fig. 2.1) no colineales, ya que cualquier otro punto (D) del sólido está definido con la condición de que las distancias a los tres primeros sean constantes, y por lo tanto forme un tetraedro invariable (ABCD, Fig. 2.1).

La posición de cada uno de los tres puntos seleccionados (A, B y C) en el espacio tridimensional necesita tres coordenadas, lo que hace un total de nueve parámetros. Esto podría hacer pensar que son necesarios nueve parámetros para definir la posición de un sólido rígido, sin embargo los tres puntos están relacionados entre sí por la condición de rigidez del sólido, por lo que se pueden plantear las relaciones

( ) ( ) ( ) cterrcterrcterr 2AC

2CB

2BA =−=−=−

rrrrrr

de modo que el número de parámetros necesarios para especificar la posición de un sólido rígido en el dominio tridimensional son seis (9 coordenadas menos 3 relaciones), lo que indica que posee seis grados de libertad. Desde el punto de vista cinemático estos grados de libertad se asocian a tres parámetros de posición (normalmente correspondientes a las coordenadas de uno de los puntos) y tres de orientación (normalmente tres ángulos), lo que da lugar a tres traslaciones (asociadas a las direcciones de los ejes del sistema de referencia) y tres rotaciones.

Concepto clave Un sólido rígido libre posee seis grados de libertad en el espacio tridimensional.

condición cinemática de rigidez de sólido rígido

Para determinar el criterio cinemático de rigidez de sólido rígido es necesario derivar respecto del tiempo la condición de rigidez determinada a partir de dos de sus puntos (A, B), con lo que se obtiene,

( ) ( ) ( ) cterrrrrr 2ABABAB =−=−⋅−rrrrrr

⇒ ( ) 0dtrd

dtrdrr2 AB

AB =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

rrrr

⇒ ( ) ( )dtrdrr

dtrdrr A

ABB

AB

rrr

rrr

⋅−=⋅−

Si a ambos lados de la igualdad se divide por el módulo de la distancia entre los puntos ( AB rrrr

− ), dicha igualdad no varía

dtrd

rrrr

dtrd

rrrr A

AB

ABB

AB

ABr

rr

rrr

rr

rr

⋅−−

=⋅−−

a partir de la determinación del vector unitario ( er

) del segmento B-A y la velocidad del punto ( vr

) como variación del vector de posición respecto del tiempo se tiene

( )AB

AB

rrrr

ABABe rr

rrr

−−

=−−

= AA

BB v

dtrd,v

dtrd r

rr

r

==

por lo que al sustituir estas relaciones en la expresión anterior

ctevveve

vdtrd,v

dtrd

rrrre

dtrd

rrrr

dtrd

rrrr

eAB

AA

BB

AB

AB

A

AB

ABB

AB

AB

==⋅=⋅⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

==

−

−=

⋅−

−=⋅

−

−

rrrrr

rr

rr

rr

rrr

r

rr

rrr

rr

rr

2.1 Características del movimiento del sólido rígido.

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como los puntos que se han considerado en el sólido (A, B) son arbitrarios, se llega a la conclusión de que el producto escalar de la velocidad de dos de sus puntos ( BA v,v

rr) por el unitario de la recta que los contiene

( er

), correspondiente a su proyección, es constante, siendo ésta la condición cinemática de sólido rígido (Fig. 2.2).

En el caso en que las proyecciones de la velocidad de dos puntos sobre su recta soporte no fueran iguales, estos puntos se estarían acercando o alejando entre sí, por lo que no pueden pertenecer al mismo sólido.

Concepto clave La proyección de la velocidad de dos puntos ( BA v,v

rr) sobre la recta que los contiene es

constante si estos forman parte del mismo sólido rígido.

Esta condición se cumple para cualquier otro punto (C) de la recta que pertenezca al sólido (Figura 2.2)

er

Fig. 2.2 – Condición cinemática de sólido rígido.

Ejemplo 2.1: Las posiciones de dos puntos (A, B) vienen definidas por {1, 6, 4} y {9, 3, 2} en metros, y sus velocidades en componentes vectoriales asociadas a una base cartesiana son {3, 2, 5} y {4, 8, 6} en m/s, respectivamente. Determinar si ambos puntos pertenecen al mismo sólido rígido.

Si los dos puntos pertenecen el mismo sólido tienen que cumplir con la condición cinemática correspondiente, por lo que

BA veverrrr

⋅=⋅

en la que

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−+−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=23

8

771

238

23

8

461

239

461

239

rrrre

222AB

AB rr

rrr

por lo que

( )77810624

771

523

23

8

771ve A =−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=⋅

rr ( )

774122432

771

684

23

8

771ve B

−=−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=⋅

rr

Como BA veverrrr

⋅≠⋅ , los puntos A y B no pertenecen al mismo sólido rígido.

2.2 Movimiento de traslación.

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2.2. Movimiento de traslación.


Definir el movimiento de traslación. Determinar la velocidad y aceleración de un movimiento de traslación. Clasificar los movimientos de traslación en función de su trayectoria.

definición Para realizar el análisis se considera un segmento del sólido definido mediante dos puntos arbitrarios (A,

B, Figura 2.3). El movimiento del sólido es de traslación si transcurrido un intervalo de tiempo el segmento no cambia de dirección, aunque cambie de posición (A1B1, A2B2,…).

Arr

Δ

Brr

Δ

cr

Fig. 2.3 – Movimiento de traslación.

Esta característica se expresa vectorialmente indicando que la orientación del segmento (definido por la posición de los puntos Ai, Bi en el instante i) mantiene una dirección y magnitud constante ( c

r) durante el

movimiento del sólido. De forma vectorial se indica mediante

crrii AB

rrr=−

características El movimiento de traslación tiene las siguientes características:

1. Si B,A y 11 B,A son las posiciones de dos puntos arbitrarios en dos instantes (t y t1), siendo el instante t1 obtenido a partir de t1=t+Δt, de acuerdo con la definición de traslación se tiene que

ABAB rrrr11

rrrr−=−

Manipulando la expresión para poner los vectores de posición de cada punto a un lado de la igualdad

BAtBtABAtAAAA

tBBBBAABB ssesesrr

esrrr

esrrrrrrr

1

1

11ΔΔΔΔΔΔ

ΔΔ

ΔΔ=⇒=⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

=−=⇒−=−

rrrrrrrr

rrrrrrrr

Luego los puntos A y B del sólido sometido a un movimiento de traslación recorren arcos iguales (Δs) en el mismo tiempo (Δt) sobre la misma dirección (definida mediante el unitario tangente a la trayectoria te

r). Como que los puntos A y B son arbitrarios, la deducción es válida para todos los

puntos del sólido.

Concepto clave Todos los puntos de un sólido rígido con movimiento de traslación recorren trayectorias iguales en el mismo tiempo.

2.2 Movimiento de traslación.

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2. Partiendo de la igualdad de trayectorias de dos puntos de un sólido rígido con movimiento de traslación ( BA rr

rrΔΔ = ), determinando su velocidad instantánea ( BA v,v

rr) a partir de la variación de

sus trayectorias ( rr

Δ ) respecto de un intervalo de tiempo (Δt), y llevándolo al límite cuando Δt tiende a cero, se obtienen

tBABAB

0tA

0tBA evvv

dtrd

dtrd

trlim

trlimrr

rrrrrrr

rr==⇒=⇒=⇒=

→→ ΔΔ

ΔΔ

ΔΔΔΔ

Luego los puntos A y B de un sólido sometido a un movimiento de traslación tienen la misma velocidad instantánea ( BA v,v

rr). Como los puntos A y B son arbitrarios, la deducción es válida para

todos los puntos del sólido, por lo que el vector velocidad ( vr

) de un punto de un sólido rígido sometido a movimiento de traslación es un vector libre (es el mismo para todos los puntos del sólido).

Concepto clave Todos los puntos de un sólido rígido con movimiento de traslación tienen la misma velocidad.

clasificación de movimientos de

traslación

Si el vector velocidad es constante respecto del tiempo ( ctev =r

) el movimiento del sólido es de traslación con trayectoria rectilínea, pero si solo es constante en módulo ( ctev = ), el movimiento tiene trayectoria curvilínea. En el caso en que la trayectoria corresponda a una curva conocida, se hablará de movimiento de traslación con la denominación de la curva (por ejemplo, traslación circular Figura 2.4 c).

a) b) c)

Fig. 2.4 – Tipos de traslaciones. a) Rectilínea, b) curvilínea, c) circular.

3. Derivando la expresión de la velocidad nuevamente respecto del tiempo resulta,

caadtvd

dtvd

dtrd

dtrd

vvdtrdv

dtrdv

BABA

2B

2

2A

2

BA

BB

AA

rrrrrrr

rr

rr

rr

==⇒=⇒=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

Luego dos puntos (A y B) de un sólido sometido a un movimiento de traslación tienen aceleraciones instantáneas ( BA a,a

rr) iguales. Como los puntos A y B son arbitrarios, la deducción es válida para

todos los puntos del sólido, luego la aceleración instantánea de un sólido rígido es un vector libre.

2.3 Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.

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2.3. Movimiento de rotación respecto de un eje fijo.


Definir el movimiento de rotación. Determinar la velocidad angular y lineal de un sólido con movimiento de rotación. Determinar la aceleración angular y lineal de un punto de un sólido con movimiento de rotación. Definir el movimiento helicoidal. Determinar la velocidad y aceleración lineal de un punto de un sólido con movimiento helicoidal.

definiciones Un sólido tridimensional tiene movimiento de rotación instantánea si dos puntos (A, B) animados por este movimiento tienen velocidad nula. Como consecuencia, también tendrán velocidad nula todos los puntos situados sobre la recta que los contiene. A esta recta se la denomina eje instantáneo de rotación y se definirá mediante su unitario e

r (Figura 2.5).

trayectoria El eje instantáneo de rotación ( er

) puede atravesar el sólido o ser exterior al mismo. En el primer caso los puntos del sólido que están sobre el eje ( e

r) tienen velocidad lineal nula, mientras que los demás puntos

adquieren movimientos circulares con trayectorias situadas sobre planos perpendiculares al eje. En el caso en que el eje de rotación ( e

r) sea exterior al sólido, todos sus puntos tienen trayectorias circulares

alrededor de dicho eje.

θ+Δθ

M1

M2

No N1 N2

θ+Δθ

θ

Ο

Fig. 2.5 – Movimiento de rotación.

La posición de un sólido rígido animado por un movimiento de rotación respecto de un eje ( er ) conocido

queda establecida por la de un punto del sólido que no pertenezca al eje (punto M, Fig. 2.5).

Concepto clave Para determinar la posición de un sólido rígido con movimiento de rotación respecto de un eje fijo ( e

r), es suficiente conocer el eje de rotación (A, B) y un punto (M) del sólido.

parámetro de estudio Para determinar dicha posición se toma un plano fijo de referencia en el instante inicial (to) que contenga

al eje de rotación (tal como el AMOB, Fig. 2.5). Transcurrido un tiempo (t1) la posición del punto del sólido (M1) queda definida mediante el ángulo (θ) que el plano que contiene al eje de rotación ( e

r) y a la posición


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del punto en ese instante (AM1B) forman respecto del plano fijo de referencia (AMOB).

Si se tienen dos puntos (M, N) de un sólido rígido sometido a un movimiento de rotación respecto de un eje fijo ( er ) situados a distintas distancias (R, R’) respecto de él, definido un plano fijo de referencia (AMOB) en el

instante inicial (to) y transcurrido un tiempo (Δt), cada punto se encontrará una posición distinta (M1 y N1) y se habrán desplazado sobre su trayectoria mediante arcos de circunferencia distintos (ΔsM, ΔsN), sin embargo, habrán girado el mismo ángulo (θ).

Esto indica que en intervalos de tiempo iguales (Δt) aunque cada punto del sólido realice un desplazamiento distinto sobre su trayectoria ( NM ss ΔΔ ≠ ), todos describen ángulos iguales (Δθ) por lo que se va a utilizar este parámetro para caracterizar la rotación.

Concepto clave El movimiento de rotación de un sólido respecto de un eje fijo ( er

) se caracteriza por el ángulo girado (θ).

velocidad angular La velocidad ( Mv

r) de un punto genérico (M) del sólido tiene la dirección de la tangente a la trayectoria

( ter

) y viene definido por el producto del módulo de la velocidad lineal por el unitario asociado a la dirección tangente

tMM evvrr

=

donde el módulo de la velocidad del punto ( Mv ) se determina en función del arco de trayectoria ( MsΔ ) recorrido por el punto, mediante

dtds

tslimv MM

0tM ==

→ ΔΔ

Δ

como el arco infinitesimal ( Mds ) se puede poner en función de la distancia del punto de estudio respecto del eje de giro (RM), que permanece constante, y del ángulo (dθ), denominando ω la velocidad angular del sólido (derivada del ángulo respecto del tiempo), el módulo de la velocidad del punto M se expresa mediante

( )ωθθ

θω

θ MMM

MMM

MM

RdtdR

dtRdv

dtddRdsdt

dsv

===⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

=

La introducción del concepto de velocidad angular (ω) es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación de un sólido respecto de un eje fijo ( e

r), ya que en

cada instante todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad angular (ω) mientras que a cada punto (M) le corresponde una velocidad lineal ( Mv ) distinta, dependiendo de su distancia (RM) al eje de rotación ( er

). La velocidad angular (ω) se mide en radianes por segundo (rad/s).

Se define como vector velocidad angular (ωr

) aquel que tiene la dirección del eje de rotación ( er

) y cuyo módulo (ω) es el anteriormente indicado

edtde

rrr θωω ==

velocidad lineal Denominando ter

y ner

a los unitarios tangente y normal a la trayectoria del punto de estudio (M) respectivamente (Figura 2.6), y conocido el punto O del eje de rotación, la velocidad de este punto M


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( Mvr

) se puede expresar

( ) ( ) ( )OMMOeeReeRv

e

eee

Rvevv

nMnMMnt

MM

tMM

−×=×−=×=×=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

×=

==

ωωωω

ωω

ω rrrrrrr

rr

rrr

rr

M

R

Mvr

ner

ter

Fig. 2.6 – Velocidad de rotación.

de modo que la velocidad lineal ( Mvr

) de un punto genérico (M) del sólido rígido en rotación respecto de un eje fijo ( e

r) es igual al producto vectorial del vector velocidad angular (ω

r) por el vector (M-O). Así pues,

conocido el vector velocidad angular (ωr

) queda determinada la distribución de velocidades lineales en todos los puntos del sólido rígido en rotación. En la expresión

( )OMvM −×= ωrr

el punto O pertenece a la intersección del eje de rotación con el plano de la trayectoria del punto, pero esta expresión puede ponerse en función de cualquier punto (E) del eje de rotación del sólido (Fig. 2.5) sin más que desarrollar

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )EMOEEMOEEMOMv0

M −×=−×+−×=−+−×=−×==

ωωωωωr48476rrrrr

r

en la que ωr

y ( )OE − son vectores paralelos por lo que su producto vectorial es nulo.

Concepto clave La velocidad de un punto de un sólido rígido con movimiento de rotación respecto de un eje fijo se obtiene a partir de la expresión ( )EMvM −×= ω

rr, siendo el punto E uno arbitrario

del eje de rotación.

aceleración lineal La aceleración lineal de un puno M ( Ma

r) se obtiene derivando la velocidad ( Mv

r) respecto del tiempo.

Utilizando la propiedad asociativa de la derivación se tiene

( )( ) ( )EM

dtdEM

dtda

EMvdtvda

M

M

MM −×+−×=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−×=

=ωω

ω

rr

r

rr

rr

en la que desarrollando y teniendo en cuenta que el punto E es cualquiera del eje fijo de rotación ( er

) y que αr

es la aceleración angular del sólido, se tiene


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( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )[ ]EMEMa

0EEvdtdE

EMvdt

dMdtdE

dtdMEM

dtddtd

EMdtdEM

dtda

M

E

M

M

−××+−×=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−×==

−×==

−=−

=

−×+−×=

ωωα

ω

ω

αω

ωω

rrrr

rrr

rr

rr

rr

r

sumandos que corresponden a las componentes tangencial ( tMar

) y normal ( nMar

) de la aceleración del punto de estudio (M), respectivamente.

( ) ( )[ ] nM

tM

normalnaceleració

gencialtannaceleració

M aaEMEMarr

44 344 21rr

43421rr

+=−××+−×= ωωα

Ejemplo 2.2: Si un sólido está sometido a un movimiento de rotación cuya velocidad angular constante es 25 rad/s respecto de un eje de vector asociado {4, 0, 3} que pasa por el punto E de componentes {2, 6, 4} (m), determinar la velocidad y aceleración de un punto A del sólido de coordenadas {3, 2, 5} (m).

La velocidad viene dada por la expresión ( )EAvA −×= ωrr

en la que el vector velocidad angular tiene la dirección de unitario

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=304

51

34

304

e22

r

por lo que vale

( )s/rad15020

304

5125e

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

rrωω

y el vector ( )EA − es

( ) ( )m14

1

462

523

EA⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

luego la velocidad del punto A es

( ) ( )s/m805

60

14115020kji

EAvA⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω

y la aceleración del punto A, como no tiene aceleración angular, es

( ) ( )[ ] ( )2

0A s/m

100250075

8056015020kji

EAEAa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=−××+−×=

=

rrr

rr

43421

rrωωα

2.3.1 Movimiento helicoidal.

- 14/116 -

2.3.1. Movimiento helicoidal.

Si se considera un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo ( er ) con una cierta velocidad angular (ω

r)

y al mismo tiempo se traslada en la dirección de dicho eje con una velocidad lineal ( Evr

), las trayectorias de sus puntos (excepto las del eje de giro) describen hélices cilíndricas. A este movimiento se le denomina helicoidal o rototraslatorio.

movimiento helicoidal uniforme

Si la velocidad angular (ω) con la que gira el sólido y la velocidad de traslación ( Evr

) en la dirección del eje de giro ( e

r) son constantes, la distancia entre dos puntos de la hélice cilíndrica tras una revolución,

denominada paso (h), también lo es, por lo que el movimiento es helicoidal uniforme. El ángulo de la hélice ( iα , Fig. 2.7) depende de la distancia ( MR ) del punto de estudio (M) respecto del eje de giro ( e

r) y

del paso (h).

Concepto clave El paso (h) es la distancia entre dos puntos sobre la misma trayectoria, cuando uno de ellos realiza una revolución sobre una hélice cilíndrica.

Fig. 2.7 – Movimiento de rotación.

paso El paso (h) del movimiento helicoidal uniforme se puede obtener a partir del tiempo que tarde en realizar una revolución (T) y de la velocidad de el movimiento en la dirección del eje (vE) mediante la expresión

ωπ

ωππω

2vTvh2T

T2

TvhThv

EE

EE==⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⇒=

=⇒=

movimiento helicoidal instantáneo

Un movimiento helicoidal instantáneo es cuando en cada instante pueden variar tanto la dirección del eje de giro ( e

r) como la magnitud de la velocidad angular (ω ). Su importancia radica en que el movimiento

de cualquier sólido rígido es un movimiento helicoidal instantáneo respecto del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD), concepto que se definirá posteriormente. Este movimiento se puede descomponer en una rotación respecto de este eje ( e

r) con la velocidad angular total del sólido (ω ), y una

traslación con velocidad de mínimo deslizamiento ( Evr

) en la dirección del eje.

Como se verá más adelante, la velocidad y aceleración instantáneas de un punto cualquiera del sólido (M) vienen dadas por las expresiones

( )EMvv EM −×+= ωrrr

( ) ( )[ ]EMEMaa EM −××+−×+= ωωαrrrrr

2.3.1 Movimiento helicoidal.

- 15/116 -

Ejemplo 2.3: Si en el problema anterior (2.2) el sólido además de rotar respecto del eje se desplaza sobre su dirección con una velocidad y aceleración lineal de 10 m/s y 200 m/s2 respectivamente, determinar la velocidad y aceleración del punto A.

En este caso la velocidad viene dada por la expresión

( )EAvv EA −×+= ωrrr

Como el unitario asociado al eje de rotación es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

304

51e

r

la velocidad del punto E es

( )s/m608

304

5110evv EE

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

rr

y la velocidad del punto A queda

( ) ( )s/m745

68

805

60

608

EAvv EA⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−×+= ω

rrr

La aceleración del punto E es

( )2EE s/m

1200

160

304

51200eaa

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

rr

y la aceleración del punto A queda

( ) ( )[ ] ( )2EA s/m

20250085

1002500

75

1200

160EAEAaa

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−××+−×+= ωωα

rrrrr

2.4 Desplazamientos absolutos y relativos.

- 16/116 -

2.4. Desplazamientos absolutos y relativos.

Aunque el desplazamiento relativo de una partícula entre la posición inicial y final (M, P) no depende de la trayectoria seguida sino de dichas posiciones, es importante conocer el movimiento absoluto.

x’

y’

x’

y’

x

y

Sistema fijo

Sistema móvil

Sistema móvil

Posición 1

Posición 2

Sólido

M, P

PM

fijo/Mrr

fijo/Prr

Observador móvil

Observador fijo

O’

O’

P/Mmóvil/M rrrr

=

Fig. 2.8 – Movimiento relativo.

desplazamiento relativo especto de otra

partícula inicialmente coincidente

Para ello se considera un mecanismo (Fig. 2.8) que consiste en un sólido con dos partículas inicialmente coincidentes (M y P) en un sistema de referencia móvil x’y’ solidario al sólido (posición 1). La partícula P permanece fija al sólido mientras que la partícula M puede moverse por la ranura. Cuando el sistema pasa de la posición 1 a la 2 la partícula M desliza por la ranura hasta su posición 2

Con este planteamiento el punto P no se mueve respecto del sistema móvil cuando pasa de la posición 1 a la 2, sin embargo si se mueve respecto del sistema fijo (x, y). El desplazamiento del punto M cuando el sistema se mueve de la posición 1 a la 2 es fijo/Mr

r, mientras que respecto del sistema móvil el

desplazamiento es móvil/Mrr

.

Los desplazamientos de las partículas M y P respecto del sistema fijo ( fijo/Mrr

, fijo/Prr

) se denominan totales o absolutos, y serían los que se observarían desde un sistema de referencia fijo, mientras que el desplazamiento de la partícula M respecto del sistema móvil ( móvil/Mr

r) se denomina relativo o aparente, y

sería el que vería un observador solidario al sistema móvil.

Concepto clave El desplazamiento absoluto se define respecto de un sistema de referencia fijo mientras que el relativo lo es respecto de un sistema de referencia móvil.

La relación entre los desplazamientos anteriores es

móvil/Mfijo/Pfijo/M rrrrrr

+=

Como el observador solidario al marco móvil no ve ningún movimiento del punto P, ya que también está fijo al sólido, el desplazamiento relativo al sistema de referencia móvil también es el desplazamiento respecto del punto (P) fijo al sistema móvil, luego P/Mmóvil/M rr

rr= . Cuando los vectores se referencian a

sistemas de referencia fijos no se suele indicar, por lo que la expresión anterior pasa a ser

P/MPM rrrrrr

+=

regla algebraica El orden de los subíndices obedece una regla algebraica, de forma que si se consideran los subíndices como fracciones, el subíndice del lado izquierdo es el producto de los subíndices del lado derecho

( ) ( ) ( )P/MPM ⋅=

3. Análisis de velocidades.

- 17/116 -

3. Análisis de velocidades.


Definir el principio de composición de movimientos. Analizar la composición de traslaciones. Analizar la conmutatividad de la adicción de giros. Analizar la composición de rotaciones con ejes concurrentes, paralelos, coplanarios y par de rotaciones. Analizar la composición de traslaciones y rotaciones. Definir los axoides. Representación de Poncelet.

3.1. Composición de movimientos simultáneos.


Determinar la velocidad en el caso de movimientos simultáneos (de traslación, rotación o composición de ambos).

principio de descomposición del

movimiento

El principio de composición de movimientos establece que si un punto de un sólido rígido (M) está animado de varios movimientos simultáneos (1, 2, …, Fig. 3.1) que originan distintos desplazamientos infinitesimales ( ,...rd,rd M2M1

rr ), el desplazamiento infinitesimal total ( Mrdr ) de ese punto es la suma

vectorial de los desplazamientos infinitesimales de cada uno de los movimientos componentes ( iMrdr

)

∑=

=++=n

1iiMM2M1M rdrdrdrdr

Krrr

M3rdr

M2rdrM1rd

r M

Mrdr

Fig. 3.1 – Composición de movimientos.

velocidades Poniendo el desplazamiento infinitesimal ( iMrdr

) de cada uno de los movimientos simultáneos de traslación del punto M en función de la velocidad correspondiente ( iMv

r) y del diferencial de tiempo (dt)

(que es el mismo para todos los movimientos) se tiene

( ) ( ) dtvdtvrddtvrd

rdrd n

1iiM

n

1iiMM

iMiM

n

1iiMM ∑∑

∑==

= ==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= rrr

rr

rr

El desplazamiento infinitesimal total ( Mrdr

) del punto de estudio (M) también se puede poner en función de la velocidad total de traslación ( Mv

r) del punto

dtvrd MMrr

=

de lo que se deduce la relación entre la velocidad total ( Mvr

) y la de los movimientos simultáneos ( iMvr

), de forma que cumple el principio de composición de movimientos

3.1 Composición de movimientos simultáneos.

- 18/116 -

( ) ( ) ( )∑∑∑

=== =⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= n

1iiMM

n

1iiMM

MM

n

1iiMM vvdtvdtv

dtvrd

dtvrd rrrr

rr

rr

Concepto clave Si un punto (M) de un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos, la velocidad total resultante ( Mv

r) es la suma vectorial de las velocidades correspondientes a

cada uno de los movimientos ( iMvr

) considerados de forma individual.

En el estudio de velocidades el orden en los que estos movimientos se producen es indiferente. Como veremos posteriormente esta característica no se puede generalizar ni al análisis de posiciones angulares ni al de aceleraciones.

3.2. Composición de traslaciones simultaneas


Determinar la velocidad total a partir de la composición de movimientos simultáneos de traslación.

Si un punto (M) de un sólido rígido está sometido a una composición de traslaciones simultáneas, el movimiento resultante es una traslación.

velocidad de una composición de

traslaciones

Según el principio de composición de movimientos, el desplazamiento infinitesimal ( Mrdr

) del punto M es la suma vectorial de las desplazamientos infinitesimales ( iMrd

r) de cada uno de los movimientos (i) de las

traslación simultánea

∑=

=++=n

1iiMM2M1M rdrdrdrdr

Krrr

poniendo los desplazamientos infinitesimales ( iMrdr

) de cada uno de los movimientos de traslación simultánea en función de la velocidad correspondiente ( iMvd

r) y del diferencial de tiempo (dt), que es el

mismo para todos los movimientos, se tiene

( ) ( ) dtvdtvrddtvrd

rdrd n

1iiM

n

1iiMM

iMiM

n

1iiMM ∑∑

∑==

= ==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= rrr

rr

rr

Como el desplazamiento infinitesimal total del punto de estudio ( Mrdr

) también se puede poner en función de la velocidad total ( Mv

r, dtvrd MM

rr= ), se deduce la relación entre esta velocidad total ( Mv

r) y la de los

movimientos simultáneos ( iMvr

), de forma que cumple el principio de composición de movimientos.

( ) ( ) ( )∑∑∑

=== =⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= n

1iiMM

n

1iiMM

MM

n

1iiMM vvdtvdtv

dtvrd

dtvrd rrrr

rr

rr

Como cada una de las velocidades de traslación instantáneas ( iMvr

) es la misma para todos los puntos del sólido, la velocidad de traslación total ( Mv

r) también lo es, por lo que no es necesario especificar a que

punto se refiere

3.2 Composición de traslaciones simultaneas

- 19/116 -

vvMrr

=

Concepto clave La velocidad ( v

r) total de traslación, correspondiente a una composición de movimientos de

traslación instantánea de velocidades ( ivr

) es la misma para todos los puntos del sólido.

Ejemplo 3.1: Un sólido rígido está sometido a tres traslaciones cuyas velocidades vienen dadas por =1vr

{3, 5, 8}, =2v

r{1, 9, -2} y =3v

r{4, -2, 2}, en (m/s). Determinar la velocidad total del sólido.

La velocidad del sólido rígido se obtiene mediante la suma vectorial

( )s/m8

128

22

4

291

853

vv3

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=

rr

3.3. Composición de rotaciones simultáneas.


Determinar cuando una composición de rotaciones puede ser considerada de forma vectorial. Determinar la velocidad por composición de rotaciones. Determinar la velocidad por reducción a un punto. Determinar la máxima reducción. Analizar los casos de composición de rotaciones de ejes concurrentes, paralelos y coplanarios. Analizar el caso de par de rotaciones. Determinar los axoides.

Se va a realizar el análisis cinemático de un sólido rígido cuando está sometido a una composición de rotaciones simultáneas.

3.3.1. Análisis de giros en la composición de rotaciones.

Antes de hacer el estudio, se determina la naturaleza de los giros, ya que estos no pueden ser considerados de forma general como vectores al no cumplir la propiedad conmutativa, aunque como se verá, en algunos casos concretos si la cumplen.

3.3.1.1. Rotación de un vector.

Si se considera un vector ar

y se le hace rotar respecto de un eje (por simplificar, se va a considerar en este caso el eje z del sistema de referencia) un cierto ángulo θ, el vector obtenido es el 'a

r (Fig. 3.2).

3.3.1 Análisis de giros en la composición de rotaciones.

- 20/116 -

y

x

z

ar

O θ

'ar

y

x

z=z1

ar

O θ

x1

y1

θ

Fig. 3.2 – a) Rotación de un vector b) cambio de base.

componentes de un vector girado

Para determinar las componentes vectoriales del vector girado ( 'ar

) se considera la matriz de giro ( [ ]θG ), cuyos términos se obtienen a partir de la transpuesta de la matriz de cambio de base ( [ ]θA ), utilizada para

la transformación de componentes de una base ( k,j,irrr

), asociada al sistema de referencia (Oxyz) en la que

el eje z se ha tomado coincidente con el de giro, a otra base ( 111 k,j,irrr

), asociada al sistema de referencia (Ox1y1z1) y solidaria al vector 'a

r en su movimiento.

En el caso de cambio de base se considera que es el sistema de referencia el que varía de posición ( 111 z,y,xz,y,x → ) mientras que el vector ( a

r) permanece fijo (Fig. 3.2 b). En el caso de rotación de un

vector éste varía de posición ( 'aarr

→ ) mientras el sistema de referencia ( z,y,x ) permanece fijo (Fig. 3.2 a). En este último caso las coordenadas del vector girado 'a

r están definidas respecto del sistema de

referencia Oxyz ( xyz'ar

).

La matriz de cambio de base ( [ ]θA ) y la matriz de giro ( [ ]θG ) se relacionan mediante la expresión

[ ] [ ]θθ GA t =

Los términos de la matriz de cambio de base ( [ ]θA ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la base

de llegada ( 111 k,j,irrr

) en función de la de salida ( k,j,irrr

)

[ ]

[ ]111

A

A

zyOxOxyzt⎯⎯ ⎯←

⎯⎯ →⎯

θ

θ

que en este caso son

kk

jcosisenj

jsenicosi

1

1

1

rr

rrr

rrr

=

+−=

+=

θθ

θθ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A θθθθ

θ

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −==

1000cossen0sencos

AG t θθθθ

θθ

luego las nuevas coordenadas del vector 'ar

se obtienen mediante la expresión

{ } [ ]{ }xyzxyz aG'a θ=

en la que desarrollando queda

xyzz

y

x

xyzz

y

x

aaa

1000cossen0sencos

'a'a'a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧θθθθ


- 21/116 -

3.3.1.2. Composición de rotaciones en un plano.

Se va a probar que la composición de rotaciones en un plano es conmutativa, y por lo tanto el orden de aplicación es indiferente. Esto permite en este caso considerar los giros como magnitudes vectoriales.

rotaciones consecutivas planas

Si se producen dos rotaciones consecutivas respecto al mismo eje (por ejemplo, respecto al eje z) el movimiento obtenido es plano (en el plano xy). En la primera rotación se va a realizar un giro de ángulo θz1 mientras que en la segunda el giro es de ángulo θz2. Para simplificar, el vector al que se le aplica el movimiento será paralelo al eje y (Fig. 3.3).

y

x

z

ar

O θz1

1ar

2ar

θz2

Fig. 3.3 – Composición de rotaciones 2z1z ,θθ en el plano.

El proceso para cada uno de los giros utiliza las matrices de rotación

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cossen0sencos

G 1z1z

1z1z

1zθθθθ

θ [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cossen0sencos

G 2z2z

2z2z

2zθθθθ

θ

por lo que el vector obtenido al final de la primera rotación de ángulo θz1 es

xyz

1zy

1zy

y1z1z

1z1z

0cosasena

0a0

1000cossen0sencos

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧θθ

θθθθ

mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θz2 es

xyz

2z1zy2z1zy

2z1zy2z1zy

1zy

1zy

2z2z

2z2z

0coscosasensenasencosacossena

0cosasena

1000cossen0sencos

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧θθθθθθθθ

θθ

θθθθ

Si ahora se producen las mismas rotaciones, pero en este caso la primera con un ángulo θz2 y la segunda con un ángulo θz1 (Fig. 3.4), el vector obtenido al final de la primera rotación sería

x

z

ar

O θz2

1ar

2ar

θz1

y

Fig. 3.4 – Composición de rotaciones 1z2z ,θθ en el plano.


- 22/116 -

xyz

2zy

2zy

y2z2z

2z2z

0cosasena

0a0

1000cossen0sencos

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧θθ

θθθθ

mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θz1 sería

xyz

1z2zy1z2zy

1z2zy1z2zy

2zy

2zy

1z1z

1z1z

0coscosasensenasencosacossena

0cosasena

1000cossen0sencos

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧θθθθθθθθ

θθ

θθθθ

Se comprueba que los vectores obtenidos son iguales al tener las mismas componentes en la misma base, lo que indica que el orden de aplicación es indiferente (se cumple la propiedad conmutativa) y que los giros planos pueden ser considerados de forma vectorial.

Concepto clave La composición de rotaciones en un plano es conmutativa.

3.3.1.3. Composición de rotaciones respecto de ejes arbitrarios.

Se va a probar ahora que la composición de rotaciones respecto de ejes arbitrarios no es conmutativa, y por lo tanto el orden de aplicación es importante, de manera que dichas magnitudes no pueden considerarse en este caso de forma vectorial.

rotaciones consecutivas sobre ejes arbitrarios

Si se producen dos rotaciones consecutivas respecto de ejes arbitrarios (por ejemplo, respecto a los ejes z y x) el movimiento obtenido no es plano. Nuevamente, para simplificar se va a rotar un vector paralelo al eje de las y. La primera rotación realiza un giro con respecto del eje z un ángulo θz, y la segunda respecto del eje x con un ángulo θx (Fig. 3.5, en la que los ángulos se han tomado de 90º para clarificar los resultados)

x

z

ar

O

θz 21 aarr

=

θx

y

Fig. 3.5 – Composición de rotaciones θz, θx en ejes arbitrarios.

El proceso utiliza las matrices de rotación

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cossen0sencos

A zz

zz

zθθθθ

θ [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

xx

xx

cossen0sencos0

001A

x

θθθθθ

por lo que el vector obtenido al final de la primera rotación de ángulo θz será


- 23/116 -

xyz

zy

zy

yzz

zz

0cosasena

0a0

1000cossen0sencos

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧θθ

θθθθ

mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θx será

xyzzxy

zxy

zy

zy

zy

xx

xx

cossenacoscosa

sena

0cosasena

cossen0sencos0

001

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθθ

θθθ

θθθθ

Si ahora se producen las mismas rotaciones consecutivas, pero en este caso la primera con respecto al eje x un ángulo θx y la segunda respecto al eje z con un ángulo θz (Fig. 3.6) el vector obtenido al final de la primera rotación sería

xyzxy

xyy

xx

xx

senacosa0

0a0

cossen0sencos0

001

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθ

θθθθ

x

z

arO

θz

21 aarr

= θx

y

Fig. 3.6 – Composición de rotaciones θx, θz en ejes arbitrarios.

mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo θz será

xyzxy

zxy

zxy

xy

xyzz

zz

senacoscosasencosa

senacosa0

1000cossen0sencos

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθθθ

θθθθ

θθ

Se comprueba que los vectores obtenidos no son iguales, lo que indica que el orden de aplicación es importante (no se cumple la propiedad conmutativa) y que los giros sobre ejes arbitrarios no pueden ser considerados de forma vectorial.

Concepto clave La composición de rotaciones sobre ejes arbitrarios no es conmutativa.


- 24/116 -

3.3.1.4. Composición de rotaciones infinitesimales respecto de ejes arbitrarios.

Por último, se va a probar que la composición de rotaciones infinitesimales respecto de ejes arbitrarios, a diferencia de lo que ocurría en el caso anterior, es conmutativa, de manera que los giros se pueden considerar en este caso magnitudes vectoriales.

rotaciones infinitesimales

consecutivas sobre ejes arbitrarios

Si se producen dos rotaciones consecutivas infinitesimales respecto de ejes arbitrarios (por ejemplo los ejes z y x) el movimiento obtenido no es plano. La primera rotación va a realizar un giro infinitesimal con respecto del eje z un ángulo dθz, y la segunda respecto del eje x con un ángulo dθx (Fig. 3.6)

x=x2

z=z1

ar

O dθz

1ar

dθx

2ar

Fig. 3.6 – Composición de rotaciones infinitesimales en ejes arbitrarios.

A partir de la aproximación infinitesimal se tiene

1dcos ≈θ θθ ddsen ≈

y las matrices de rotación son

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

10001d0d1

1000dcosdsen0dsendcos

A z

z

zz

zz

d zθ

θθθθθ

θ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1d0d10001

dcosdsen0dsendcos0

001A

x

x

xx

xxd x

θθ

θθθθθ

por lo que el vector obtenido al final de la primera rotación de ángulo dθz será

xyz

y

zy

yz

z

0a

da

0a0

10001d0d1

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ θθ

θ

mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo dθx será

xyzxy

y

zy

y

zy

x

x

daa

da

0a

da

1d0d10001

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ

θθ

θθ


- 25/116 -

Si ahora se producen las mismas rotaciones, pero en este caso la primera con respecto al eje x un ángulo dθx y la segunda respecto al eje z con un ángulo dθz, el vector obtenido al final de la primera rotación sería

xyzxy

yy

x

x

daa0

0a0

1d0d10001

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθθ

mientras que el vector obtenido al final de la segunda rotación de ángulo dθz será

xyzxy

y

zy

xy

yz

z

daa

da

daa0

10001d0d1

zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ

θ

θθ

θ

Se comprueba que los vectores obtenidos son iguales, lo que indica que el orden de aplicación es indiferente (se cumple la propiedad conmutativa) y que los giros infinitesimales sobre ejes arbitrarios pueden ser considerados de forma vectorial.

Concepto clave La composición de rotaciones infinitesimales sobre ejes arbitrarios es conmutativa.

3.3.2. Reducción de rotaciones a un punto.

En este análisis no se va a considerar la posición del sólido, por lo que el hecho de que los movimientos angulares puedan o no tratarse de forma vectorial es indiferente. Al mismo tiempo, como en el estudio no se incluye de forma explícita ninguna derivación, el orden en el que se aplica las rotaciones es irrelevante para la obtención de la velocidad total.

El movimiento se define mediante el giro de un sólido respecto de un eje 1er

con una velocidad 1ωr

en la dirección de dicho eje; al mismo tiempo el sólido y el eje 1e

r giran solidariamente (sin movimiento relativo

entre sí) respecto de un eje 2er

con una velocidad 2ωr

; al mismo tiempo el sólido y los ejes 1er

y 2er

giran solidariamente respecto de un eje 3e

r con una velocidad 3ω

r. Esta composición de rotaciones se puede

repetir hasta llegar al último eje de giro ( ner

), de forma que el sólido y los ejes 1er

, 2er

, … , 1ne −r

giran solidariamente respecto de dicho eje ne

r, con una velocidad nω

r (Figura 3.7).

Fig. 3.7 – Composición de rotaciones.

3.3.2 Reducción de rotaciones a un punto.

- 26/116 -

velocidad por composición de

rotaciones

Según el principio de composición de movimientos simultáneos, los desplazamientos infinitesimales de un punto M, originados por cada uno de los movimientos de rotación simultánea ( iMrd

r), se pueden

sumar vectorialmente para obtener el desplazamiento infinitesimal total ( Mrdr

), y la velocidad lineal de rotación total ( Mv

r) es suma de las velocidades lineales de rotación instantáneas.

( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑∑

===== =⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=== n

1iiMM

n

1iiMM

MM

n

1iiM

n

1iiM

n

1iiMM vvdtvdtv

dtvrd

dtvdtvrdrd rrrr

rr

rrrr

Cada una de las velocidades lineales de rotación del punto M ( iMvr

) debida a la rotación instantánea i se puede expresar a partir del producto vectorial de la velocidad angular del giro ( iω

r) por el vector de

posición relativa del punto de estudio (M) respecto de un punto (Ei) perteneciente al eje instantáneo de rotación ( ie

r) correspondiente, luego

( ) ( ) ( )iiiM22M211M1 EMvEMvEMv −×=−×=−×= ωωωrr

Krrrr

Por ello la velocidad total ( Mvr

), suma de las velocidades de cada una de las rotaciones instantáneas ( iMvr

), es

( )( )[ ]∑

∑=

= −×=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−×=

= n

1iiiM

iiiM

n

1iiMM EMvEMv

vvω

ω

rr

rr

rr

Concepto clave La velocidad de un punto (M) de un sólido rígido sometido a una composición de i rotaciones se puede expresar mediante la suma de las velocidades de rotación simultáneas del punto (

iMvr

), correspondientes a cada rotación ( ( )ii EM −×ωr

).

Ejemplo 3.2: Un sólido rígido está sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de unos ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e

r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e

r{0, 0, 1} respectivamente. Determinar la

velocidad del punto M del sólido de coordenadas M = {3, 2, 7}.

Utilizando el principio de rotaciones simultáneas

( )[ ]∑=

−×=n

1iiiM EMv ω

rr

y sabiendo que las velocidades angulares son concurrentes en el origen del sistema de referencia por lo que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

000

Ei

de forma que

( )[ ] ( )s/m10350

723005kji

EMv 11M1⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×=

rrr

rrω


- 27/116 -

( )[ ] ( )s/m240

56

723080kji

EMv 22M2⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==−×=

rrr

rrω

( )[ ] ( )s/m064

723200kji

EMv 33M3⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×=

rrr

rrω

luego la velocidad total del punto M del sólido es

( )[ ] ( )s/m1429

52

064

240

56

10350

EMvn

1iiiM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−×= ∑

=ωrr

velocidad por

reducción a un punto La expresión de la velocidad por composición de rotaciones varía cuando en el estudio se desea obtener la velocidad de un punto (M) a partir en otro punto del sólido rígido (O’) denominado centro de reducción (Fig. 3.7) de forma que

( )[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]{ }∑∑

== −+−×=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−+−=−

−×= n

1iiiM

ii

n

1iiiM E'O'OMv

E'O'OMEM

EMvω

ω rrrr

desarrollando a partir de la propiedad asociativa de la suma se tiene

( )[ ] ( )[ ]∑∑==

−×+−×=n

1iii

n

1iiM E'O'OMv ωω

rrr

En el primer sumando aparece el vector de posición relativa del punto M respecto del O’ ( )'OM − . Como ambos puntos pertenecen al mismo sólido rígido dicho vector es constante y puede salir del sumatorio, siendo el sumatorio de velocidades angulares la velocidad angular total del sólido. El segundo término corresponde a la definición de velocidad del punto O’ ( 'Ov

r ) por composición de rotaciones, luego

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] [ ] ( )

[ ]

( )[ ]

( )'OMvv

vE'O

'OM'OM

E'O'OMv

'OM

'O

n

1iii

n

1ii

n

1ii

n

1ii

n

1iii

n

1iiM

−×+=⇒

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=−×

=

−×=−×

−×+−×=

∑

∑

∑∑

∑∑

=

=

==

==

ω

ω

ωω

ωω

ωω

rrr

rr

rr

rr

rrr

Concepto clave

La velocidad de un punto (M) de un sólido rígido ( Mvr ) sometido a una composición de

rotaciones simultáneas utilizando un centro de reducción (O’) se puede expresar a partir de la velocidad de ese punto ( 'Ov

r ) más la velocidad debida a la rotación del punto de estudio (M) respecto del centro de reducción (O’), considerando como velocidad angular total (ω

r)

la suma de las velocidades angulares instantáneas de las rotaciones simultáneas ( iωr

).


- 28/116 -

velocidad por composición de movimientos de

traslación y rotación

Otro punto de vista para el análisis de esta expresión correspondiente a la velocidad de un punto M ( Mvr )

de un sólido rígido sometido a una composición de rotaciones instantáneas, a partir de su reducción a un punto del sólido (O’), se plantea considerando que el movimiento se descompone en dos, uno de traslación con la velocidad del centro de reducción ( 'Ov

r), y el otro de rotación respecto de un eje ( e

r), paralelo a la

dirección del vector resultante de velocidades angulares (ωr

), que pase por O’ (Figura 3.8).

{( )4434421

rrr

'Oderespectogirodevelocidad

'Opuntodelvelocidad

'OM 'OMvv −×+= ω

Fig. 3.8 – Reducción de una composición de rotaciones.

Ejemplo 3.3: Para el mismo sólido rígido del problema anterior (3.2), sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de unos ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e

r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e

r{0, 0,

1} respectivamente. Determinar la velocidad del punto N de coordenadas N = {1, 4, 10}.

Se va a obtener de dos formas distintas. Utilizando el principio de rotaciones simultáneas

( )[ ]∑=

−×=n

1iiiN ENv ω

rr

de forma que

( )[ ] ( )s/m20500

1041005kji

ENv 11N1⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×=

rrr

rrω

( )[ ] ( )s/m8

080

1041080kji

ENv 22N2⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==−×=

rrr

rrω

( )[ ] ( )s/m028

1041200kji

ENv 33N3⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×=

rrr

rrω

luego la velocidad total del punto N del sólido es

( )[ ] ( )s/m1248

72

028

8080

20500

ENvn

1iiiN

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−×= ∑

=ωrr

Otro método es utilizando el punto M del sólido, cuya velocidad es conocida, como punto de reducción

( )MNvv MN −×+= ωrrr

en la que


- 29/116 -

( )s/m1429

52vM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

r

[ ] ( )s/rad285

200

080

005

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

( ) ( )m322

723

1041

MN⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

luego finalmente

( ) ( )s/m1248

72

2619

20

1429

52

322285kji

1429

52MNvv MN

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−×+=

rrr

rrrω

3.3.3. Campo de velocidades.

La expresión que determina la velocidad de un punto (M) de un sólido a partir de un punto O’ como centro de reducción es la base de la definición del campo de velocidades

( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr

al cual están asociados una serie de conceptos como son los invariantes, el eje instantáneo de rotación y la máxima reducción.

primer invariante cinemático

A la velocidad angular total del sólido (ωr

), suma de las velocidades angulares instantáneas ( iωr

)

[ ]∑=

=n

1iiωωrr

se la denomina primer invariante o invariante vectorial del estudio cinemático del sólido rígido.

Concepto clave El primer invariante del estudio cinemático de un sólido rígido indica que en cada instante la velocidad angular total (ω

r) es la misma para todos sus puntos.

segundo invariante cinemático

Cada punto (M) del sólido rígido sometido a una composición de rotaciones tiene distinta velocidad ( Mvr ),

pero en cada instante todas las velocidades de los puntos del sólido tienen la misma proyección en la dirección de la velocidad angular total (ω

r).

Esto se demuestra multiplicando escalarmente por la velocidad angular total (ωr

) a ambos miembros de la expresión


con lo que se tiene

3.3.3 Campo de velocidades.

- 30/116 -

( )'OMvv 'OM −×⋅+⋅=⋅ ωωωωrrrrrr

en el que el último sumando es nulo por ser un producto mixto con dos vectores iguales (ωr

), luego

( )( )

ctevv0'OM

'OMvv'OM

'OM =⋅=⋅⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−×⋅

−×⋅+⋅=⋅ rrrrrr

rrrrrr

ωωωω

ωωωω

cumpliendo los puntos M y O’ únicamente con la condición de pertenecer al sólido. A esta expresión se la denomina segundo invariante o invariante escalar del sistema de vectores deslizantes iω

r.

Concepto clave El segundo invariante indica que, en un instante definido, la proyección de la velocidad de los puntos de un sólido sobre la dirección ( e

r) de la velocidad angular total (ω

r) es

constante.

Ejemplo 3.4: Comprobar el cumplimiento del segundo invariante para los puntos M = {3, 2, 7} N = {1, 4, 10} del sólido del problema anterior (3.3), que está sometido a tres rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 5, ω2 = 8, ω3 = 2 (en rad/s) respecto de los ejes concurrentes en el origen del sistema de referencia cuyos unitarios vienen definidos por =1e

r{1, 0, 0}, =2e

r{0, 1, 0} y =3e

r{0, 0, 1}, respectivamente.

El segundo invariante se comprueba si se cumple

ctevv NM =⋅=⋅rrrr

ωω

en la que ya se tienen los datos siguientes

( )s/m1429

52vM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

r ( )s/m

1248

72vN

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

r ( )s/rad

285

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r

luego

( ) ( ) ( )2M s/m0142298525

1429

52

285

v =−⋅+−⋅+⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅

rrω

( ) ( ) ( )2N s/m0122488725

1248

72

285

v =⋅+−⋅+⋅=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⋅

rrω

luego sí se cumple.

velocidad de mínimo deslizamiento

A partir de la expresión del segundo invariante

ctevv 'OM =⋅=⋅rrrr

ωω

como la velocidad angular total (ωr

) es la misma para todos los puntos del sólido en cada instante y las velocidades de los puntos en general son distintas, un punto genérico M ( Mv ) del sólido rígido tendrá velocidad mínima cuando ésta sea paralela a la velocidad angular total (ω

r), ya que en este caso la

velocidad es debida únicamente al efecto de la traslación y no se ve afectada por la rotación (Fig. 3.9).


- 31/116 -

A esa velocidad se la denomina de mínimo deslizamiento ( mvr

) y es la misma para todos los puntos del sólido. Se obtiene de la proyección de la velocidad de un punto cualquiera del sólido ( Mv

r) sobre la

dirección del unitario de la velocidad angular ( ωer

) en la dirección de dicho unitario.

( ) ωωω

ω ωω

ωωω

eevv'cteevve

'ctevvctevMmMm

mMM rrrrrrr

r

rr

rrr

⋅=⇒=⋅=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

==⋅⇒=⋅

C

vC

x y

z

D

ω

ω

vD

vMM

Fig. 3.9 – Punto C del sólido con velocidad mínima.

eje instantáneo de rotación y mínimo

deslizamiento (EIRMD)

El lugar geométrico de los puntos cuya velocidad es paralela a la velocidad angular total (ωr

) es una recta de la misma dirección que la velocidad angular total del sólido (no se demuestra), denominada eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).

Se puede obtener la posición de un punto perteneciente a este eje premultiplicando vectorialmente por la velocidad angular total (ω

r) a la expresión de la velocidad de un punto de un sólido ( Mv

r ) a partir de tomar otro (O’) como centro de reducción ( 'Ov

r )


Realizando el producto vectorial

( )[ ]'OMvv 'OM −××+×=× ωωωωrrrrrr

en el que desarrollando el doble producto vectorial

( )( ) ( ) ( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

===−×

−−− xyyx

zxxz

yzzy

zyx

zyx

z'OMy'OMx'OM

zyx

rrrrrr

rrr

kji

rrr

kji'OM

ωωωωωω

ωωωωωωω

rrrrrr

r

( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+

+−+

+−+

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−−−−−−−

=−−−

=−××

z2y

2xzyyxx

y2x

2zyxxzz

x2z

2yxzzyy

yyzzyxzxxz

xxyyxzyzzy

zzxxzyxyyx

xyyxzxxzyzzy

zyx

rrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrrrr

kji'OM

ωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωω

rrr

rr

vector al que sumando y restando x2x rω , y

2y rω , z

2z rω a las componentes x, y, z respectivamente, y

reorganizando se tiene


- 32/116 -

( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )'OM'OM

zz

yy

xx

z2z

2y

2xzzzyyxx

y2z

2y

2xyzzyyxx

x2z

2y

2xxzzyyxx

rr

rrrrrr

rrrrrrrrrrrr

'OM

−− ⋅−⋅=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−++

++−++

++−++

=−××

rrrrrr

rrrr

rrrr

rrrr

rr

ωωωω

ωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ωω

luego sustituyendo en la ecuación inicial

( )[ ]( )[ ] ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )'OM'OM'OM'OM'OM

'OM rrvvrr'OM

'OMvv−−

−−

⋅−⋅+×=×⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅−⋅=−××

−××+×=× rrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrr

ωωωωωωωωωωωω

ωωωω

Si en vez de utilizar un punto (O’) como centro de reducción se utiliza un punto específico (C), con la condición de que pertenezca al EIRMD y que la recta (M-C) sea perpendicular al eje (Fig. 3.10), la expresión anterior se transforma en

( )( ) ( ) ( )CMCMCM rrvv −− ⋅−⋅+×=×rrrrrrrrrr

ωωωωωω

EIRMD

C

vC

x y

z

O’

ω

ω

vO’

M

Fig. 3.10 – Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.

Al ser el vector de posición ( )CMr

−

r perpendicular a la velocidad angular total (ωr

), el producto escalar

( ) ωrr

⋅−CM

r es nulo.

Al mismo tiempo, al pertenecer el punto C al EIRMD, su velocidad ( Cvr ), si es distinta de cero, ha de ser

paralela a la velocidad angular total (ωr

), luego el producto vectorial Cvrr

×ω es nulo, por lo que la expresión anterior queda reducida a

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )CM2

CMM

CC

CMCM

CMCMCM

rrv

0vv

0rr

rrvv

−−−−

−−

−=⋅−=×⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=×⇒

=⋅⇒⊥

⋅−⋅+×=×rrrrrr

rrrrr

rrrr

rrrrrrrrrr

ωωωω

ωω

ωω

ωωωωωω

expresión a partir de la cual se puede obtener la posición relativa de un punto (C) del EIRMD

( ) ( ) 2M

MC2M

CM

vr

vr

ω

ω

ω

ωrr

rrr

r ×=⇒

×−=

−−

y la ecuación del eje instantáneo de rotación del sistema de vectores deslizantes iωr


- 33/116 -

0v2

Mrr

rr

=+×

ωλω

ω

obtenida respecto de un punto M arbitrario del sólido.

comparativa del estudio estático/cinemático

Los estudios de velocidades por composición de rotaciones y de fuerzas aplicadas a un sólido rígido son semejantes, por lo que se van a presentar de forma tabulada las equivalencias entre las formulaciones de ambos campos vectoriales.

Denominación Estudio estático de sólido rígido Denominación Estudio cinemático de sólido rígido

Resultante de fuerzas

[ ]∑=

=n

1iiFRrr

Velocidad angular total

[ ]∑=

=n

1iiωωrr

Unitario asociado a la resultante de

fuerzas RReR

rr

= Unitario asociado

a la velocidad angular ω

ωω

rr

=e

Momento respecto de un punto

( )[ ]∑=

×−=n

1iiiM FMEMrr

Velocidad por

composición de rotaciones

( )[ ]∑=

−×=n

1iiiM EMv ω

rr

Momento con centro de

reducción ( ) RM'OMM 'OM

rrr×−+=

Velocidad con centro de reducción


Momento mínimo RM eMm

rr⋅=

Velocidad de mínimo

deslizamiento ωevv Mmrr

⋅=

Vector momento mínimo

( ) RRM eeMmrrrr

⋅= Vector velocidad

de mínimo deslizamiento

( ) ωω eevv Mmrrrr

⋅=

Punto (C) del eje central 2

M

RMRMCrr

×=− Punto (C) del

EIRMD 2MvMC

ωω

rr×

=−

Eje central γβα coszz

cosyy

cosxx CCC −

=−

=− EIRMD γβα cos

zzcos

yycos

xx CCC −=

−=

−

Cosenos directores de la resultante R

RcosRR

cosRRcos zyx === γβα

Cosenos directores de la

velocidad angular

ωωγ

ωω

βωωα zyx coscoscos ===

máxima reducción

cinemática Según lo visto, el movimiento general de un sólido rígido se puede descomponer en un movimiento instantáneo de traslación en la dirección del eje instantáneo se rotación ( ωe

r) con velocidad de mínimo

deslizamiento ( mvr

), proyección de la velocidad de un punto cualquiera del sólido (M) respecto del eje de rotación ( ωe

r), y un movimiento instantáneo de rotación respecto de él con velocidad angular total (ω

r ) (Figura 3.11).

A la reducción al eje central del movimiento de un sólido por composición de rotaciones se la denomina máxima reducción. Esta reducción solo puede aplicarse al estudio de velocidades, no siendo válida en el caso de las aceleraciones.

Concepto clave

El EIRMD es la recta, lugar geométrico de los puntos respecto de los cuales la velocidad de deslizamiento es mínima ( mv

r) con dirección paralela a la velocidad angular total (ω

r ). El análisis cinemático reducido a un punto de este eje se denomina máxima reducción del movimiento.


- 34/116 -

Por ello, cuando el segundo invariante escalar del sistema de rotaciones ( ctevM =⋅rr

ω ) se pone en función

de la velocidad de mínimo deslizamiento y es distinto de cero ( 0vm ≠⋅rr

ω ), la velocidad ( Mvr ) de cualquier

punto (M) de un sólido se puede determinar a partir de la composición de un movimiento de traslación con velocidad de mínimo deslizamiento ( mv

r ) y otro de rotación respecto de un punto (C) del EIRMD, utilizando la expresión

( )CMvv mM −×+= ωrrr

lo que se denomina teorema de Chasles.

M

mvr

ωr

Mvr

C

mvr

EIRMD

Fig. 3.11 – Máxima reducción de una composición de rotaciones.

Ejemplo 3.5: Determinar la máxima reducción de velocidades de un sólido que está sometido a dos rotaciones simultáneas cuyas velocidades angulares son ω1 = 3, ω2 = 5 (en rad/s) la primera respecto de un eje que pasa por el origen del sistema de referencia E1={0, 0, 0} con vector asociado =1e

r{1, 0, 0}, y la segunda respecto de

un eje que pasa por el punto E2={0, 1, 0} en metros, con vector asociado =2ur

{3, 0, 4}.

Para determinar la máxima reducción se necesita la resultante de velocidades angulares (ωr

) junto con la velocidad de mínimo deslizamiento ( mv

r) actuando en un punto del EIRMD.

Los unitarios de cada uno de los vectores asociados son

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

001

e1r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

403

51e2

r

La resultante de velocidades angulares la obtenemos de la expresión

[ ] ( )s/rad406

403

55

001

3n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

y su unitario es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==203

131

132

406

eωω

ω

rr

Para determinar la velocidad de deslizamiento ( mvr

) se necesita la velocidad de un punto del sólido rígido ( Ovr

), por ello se calcula la velocidad del origen del sistema de referencia (se toma ese punto porque es el de cálculo más sencillo). En el caso de que el origen el sistema de referencia no perteneciera al sólido (cuyo contorno en este caso no ha sido definido) no habría ningún problema en considerar que sí pertenece y calcular su velocidad con esa condición. El hecho de que un punto pertenezca cinemáticamente a un sólido significa que está animado


- 35/116 -

con las características cinemáticas de dicho sólido.

Según esto, la velocidad del origen del sistema de referencia considerado como perteneciente cinemáticamente al sólido es

( )[ ] ( )s/m3

04

304

000

010403kji

000003kji

EOvn

1iiiO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−+=−×= ∑

=

rrrrrr

rrω

luego la velocidad de mínimo deslizamiento se obtiene de

( ) ( )s/m120

18

131

203

136

203

131

203

131

304

eevv Om⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⋅= ωω

rrrr

y un punto del EIRMD

( )m0

170

261

0340

521

52

304406kji

vOC 2O

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−=

×=−

rrr

rr

ωω

Luego la máxima reducción es la resultante de velocidades angulares junto con la velocidad de mínimo deslizamiento actuando en un punto del EIRMD

( )s/rad406

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r ( )s/m

120

18

131vm

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )m

0170

261OC

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

Como comprobación se determina la velocidad del punto O reduciendo el sistema al punto C del EIRMD

( )

( )s/m3

04

39052

131

51034

131

12018

131

1020

68

261

120

18

131

0170406kji

261

12018

131COvv mO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−×+=

rrr

rrrω

que coincide con el obtenido anteriormente

análisis para el caso de segundo invariante

nulo

Cuando el segundo invariante es nulo

0vm =⋅rr

ω

se pueden presentar los siguientes casos:

1. Que tanto ωr

como mvr

sean nulos. Esto indica que en ese instante el cuerpo no tiene movimiento.

2. Que 0=ωr

y 0vm

rr≠ . Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad de mínimo

deslizamiento, por lo que el movimiento corresponde a una traslación.


- 36/116 -

3. Que 0≠ωr

y 0vm

rr= . En este caso el sistema de rotaciones es de ejes concurrentes, coplanarios o

paralelos. El movimiento es una rotación pura alrededor del EIRMD que pasa por el punto de concurrencia (propio en ejes concurrentes en un punto, o impropio en ejes paralelos). En los demás puntos del sólido, fuera del EIRMD, existe velocidad que será perpendicular a la resultante de velocidades angulares (ω

r).

El caso en que el producto escalar de la velocidad angular por la de mínimo deslizamiento sea nulo ( 0vm =⋅

rrω ) siendo ambos vectores distintos de cero ( 0≠ω

r y 0vm

rr≠ ) por ser ambos vectores

perpendiculares entre sí ( mvrr

⊥ω ) no tiene sentido por la definición de velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr

).

Concepto clave Para el análisis de velocidades instantáneas, la composición de movimientos de rotación de un sólido rígido puede reducirse a la superposición de un movimiento de traslación en la dirección del EIRMD y otro de rotación respecto de dicho eje.

Se analizan a continuación los casos de composición de rotaciones de ejes concurrentes, coplanarios y paralelos.

3.3.3.1. Composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes.

Se considera un sólido rígido animado de una composición de rotaciones simultáneas ( iωr ) cuyos ejes se

cortan en un punto O’. Si se toma éste como centro de reducción, su velocidad ( 'Ovr

) es nula ya que pertenece a todos los ejes de rotación ( 'OEi = ), y por lo tanto la velocidad de mínimo deslizamiento ( mv

r)

también es nula. Lo anteriormente indicado aparece reflejado en la tabla siguiente:

Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con movimientos de rotación de ejes concurrentes

Velocidad angular total [ ]∑=

=n

1iiωωrr

Velocidad por composición de rotaciones ( )[ ] ( )[ ] 0'O'OE'Ov

n

1ii

n

1iii'O

rrrr=−×=−×= ∑∑

==ωω

O’ punto de concurrencia Velocidad de mínimo deslizamiento ( ) 0eevv 'Om

rrrrr=⋅= ωω

Punto del EIRMD 'O

La elección del punto de concurrencia (O’) para reducir el movimiento de la composición de rotaciones facilita el proceso. La utilización de cualquier otro punto de reducción llevaría a las mismas conclusiones, pero de una forma no tan simple.

Por lo tanto, la máxima reducción de velocidades de una composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes corresponde a un movimiento de rotación respecto de un eje instantáneo ( ωe

r) paralelo al

vector velocidad angular total (ωr

) y que pasa por el punto de concurrencia (O’), sin velocidad de deslizamiento.

Concepto clave Una composición de movimientos de rotación de ejes concurrentes corresponde a una rotación respecto de un eje ( ωe

r), paralelo al vector velocidad angular total (ω

r) y que pasa

por el punto de concurrencia.


- 37/116 -

3.3.3.2. Composición de movimientos de rotación de ejes paralelos.

Se considera un sólido rígido animado por un conjunto de rotaciones simultáneas ( iωr ) cuyos ejes son

paralelos a una dirección ( er

). Si se toma como centro de reducción un punto arbitrario (M) su velocidad ( Mvr

) no tiene por qué ser nula, pero sí perpendicular a la dirección de las velocidades angulares ( er

) debido al producto vectorial

( )[ ]( ) ( )[ ] evEMev

ee

e

EMv

M

n

1iiiMii

n

1iiiM

rrrr

rr

rr

rr

⊥⇒−×=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

=

−×=

∑

∑

=

=

ωωω

ω

ω

y por lo tanto la velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr

), asociada al producto escalar de la velocidad de un punto arbitrario ( Mv

r) por el unitario ( e

r) asociado a la dirección de las velocidades angulares, es nula.

Lo anteriormente indicado aparece reflejado en la tabla siguiente:

Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con movimientos de rotación de ejes paralelos

Velocidad angular total [ ] [ ] [ ]een

1ii

n

1ii

n

1ii

rrrr∑∑∑===

=== ωωωω

Velocidad por composición de rotaciones ( )[ ] eEMvn

1iiiM

rrr⊥−×= ∑

=ω

Velocidad de mínimo deslizamiento ( ) 0eevv Mm

rrrrr=⋅= ωω

Punto del EIRMD 2MvMC

ωω

rr×

=−

Luego la máxima reducción de la composición de velocidades de movimientos de rotación de ejes paralelos a una dirección ( e

r) corresponde a una rotación respecto de un eje paralelo al anterior que pasa por un

punto del EIRMD (C) que habrá que determinar, y cuya velocidad de deslizamiento es nula.

Concepto clave Una composición de movimientos de rotación de ejes paralelos a una dirección ( e

r)

corresponde a una rotación respecto de dicho eje ( er

) que pasa por un punto del EIRMD (C) y cuya velocidad de deslizamiento es nula.

3.3.3.3. Composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios.

Se considera un sólido rígido animado por un conjunto de rotaciones simultáneas ( iωr ) cuyos ejes se

encuentran situados en un mismo plano (π). Si se toma un punto del sólido (M) perteneciente al plano ( π∈M ), por las propiedades del producto vectorial su velocidad ( Mv

r) es perpendicular al plano (π) que

contiene a las velocidades angulares ( iωr ) y a su resultante (ω

r )

( )[ ] πω ⊥−×= ∑=

n

1iiiM EMv

rr


- 38/116 -

por lo tanto, la velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr

) asociada al producto escalar de la velocidad de un punto arbitrario ( Mv

r) por el unitario ( e

r) de la dirección de la resultante de la velocidad angular (ω

r ) es nulo. Lo anteriormente indicado aparece reflejado en la tabla siguiente:

Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con movimientos de rotación de ejes coplanarios

Velocidad angular total [ ] [ ]∑∑==

==n

1i ii

n

1i ierrr

ωωω π∈e,eirr

Velocidad por composición de rotaciones ( )[ ] πω ⊥−×= ∑=

n

1iiiM EMv

rr


rrrrr=⋅= ωω

Punto del EIRMD 2MvMC

ωω

rr×

=−

Luego la máxima reducción de velocidades de la composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios en los puntos del plano corresponde a una rotación respecto de un eje instantáneo de rotación que pasa por un punto (C) que habrá que determinar, y cuya velocidad de deslizamiento es nula.

Concepto clave Una composición de movimientos de rotación de ejes coplanarios que se encuentran en un plano (π) corresponde a una rotación respecto de un eje ( e

r) que pasa por un punto (C) que

habrá que determinar, y cuya velocidad de deslizamiento es nula para puntos del plano.

3.3.3.4. Par de rotaciones.

Se considera ahora el caso de un sólido rígido animado de un par rotaciones simultáneas ( ωωrr

−, ) del mismo módulo (ω ) y dirección ( e

r) y de sentidos contrarios (Fig. 3.14).

Fig. 3.14 – Par de rotaciones.

Si se toma como centro de reducción un punto arbitrario del sólido rígido (M), su velocidad ( Mvr

) por superposición de movimientos simultáneos, viene dada por

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )122121

n

1iiiM EEEMEMEMEMEMv −×=−−−×=−×−+−×=−×= ∑

=ωωωωωrrrrrr

expresión que indica que la velocidad del punto (M) es independiente de su posición, luego todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad, condición que aparece únicamente en los movimientos de traslación, luego un par de rotaciones genera un movimiento de traslación (Fig. 3.15).


- 39/116 -

Fig. 3.15 – Traslación por par de rotaciones.

Concepto clave Un par de rotaciones genera un movimiento de traslación.

La máxima reducción del par de rotaciones aparece reflejada en la tabla siguiente:

Denominación Estudio cinemático de sólido rígido con un par de rotaciones

Velocidad angular total [ ] ( ) 021

n

1ii

rrrrr=−+== ∑

=ωωωω

Velocidad por composición de rotaciones ( ) eEEev12M

rrr⊥−×= ω


rrrrr=⋅= ωω

Punto del EIRMD No tiene ya que es una traslación

que corresponde a un movimiento de velocidad angular total (ωr ) nula (y por lo tanto con EIRMD

inexistente), y con velocidad de mínimo deslizamiento ( mvr

) también nula, en el que la velocidad ( Mvr

) no depende del punto (M) en estudio.

Es de destacar que cuanto más alejados estén entre sí los ejes del par de rotaciones, mayores serán los radios de curvatura de las trayectorias de los puntos del sólido, de forma que una traslación de trayectoria rectilínea correspondería a un par de rotaciones cuyos ejes se encuentran a una distancia infinita.

Concepto clave Cualquier traslación se puede hacer equivalente a un par de rotaciones. En el caso de traslaciones de trayectoria rectilínea los ejes de rotación se encuentran a una distancia infinita.

3.3.3.5. Composición de translaciones y rotaciones.

análisis cinemático de sólido rígido con

composición de rotaciones

Si se supone ahora un sólido rígido sometido a T traslaciones y R rotaciones, de acuerdo con lo indicado anteriormente cada traslación (T) se puede sustituir por un par de rotaciones, por lo que el movimiento del sólido estará constituido por 2T+R rotaciones simultáneas. A partir de esta deducción, el análisis cinemático del sólido rígido se puede generalizar considerando únicamente composición de rotaciones.

3.3.3.6. Axoides. Representación de Poncelet.

El estudio realizado del comportamiento del sólido rígido es instantáneo, de forma que en cada instante se pueden determinar un punto (C) del EIRMD y su dirección ( ωe

r) mediante las expresiones


- 40/116 -

2MvMC

ωω

rr×

=− ωω

ω

rr

=e

cuyos valores dependen de la velocidad angular del sólido (ωr

) y de la velocidad lineal de un punto del sólido ( Mv

r) en el instante de estudio, ambas magnitudes variables con el tiempo.

Por ello el EIRMD cambiará constantemente de posición tanto respecto a un sistema de referencia de ejes fijos (OXYZ), como respecto a un sistema ligado al sólido rígido y que, por lo tanto, se mueve solidariamente con él (OX1Y1Z1). El EIRMD solo quedará indefinido en el caso en que el movimiento del sólido sea una traslación pura, como se vio en el análisis del par de rotaciones.

axoide fijo El EIRMD de un sólido rígido (denominado er

en el instante mostrado en la figura 3.16) modifica su posición respecto de un sistema de referencia fijo (OXYZ), generando una superficie reglada (correspondiente a los ejes ie

r en la figura 3.16) que recibe el nombre de axoide fijo.

axoide móvil Por otra parte, este mismo EIRMD en su movimiento relativo respecto de un sistema de referencia móvil, ligado al sólido (OX1Y1Z1), genera una superficie reglada ( i'e

r en la figura 3.16) que recibe el nombre de axoide móvil.

A partir de lo anterior, el movimiento del sólido rígido queda definido como la rodadura del axoide móvil (superficie formada por los ejes i'e

r ) respecto del axoide fijo (superficie formada por los ejes ier ) que se

produce en cada instante sobre la arista ( er

) de contacto entre ambos axoides, y coincide con el EIRMD. El movimiento entre los axoides viene definido por una rotación, con velocidad angular la del sólido (ω

r) y

una traslación en la dirección del eje de rotación, con la velocidad de mínimo deslizamiento del sólido ( mvr

).

Se comprende por tanto que, en cada instante, ambos axoides tienen contacto sobre el EIRMD, cuya posición va variando con el tiempo, de modo que son tangentes respecto de él.

Fig. 3.16 – Axoides.

movimiento general de un sólido rígido

En definitiva, el movimiento de un sólido rígido se puede representar suponiendo que dicho sólido está ligado a una superficie móvil (axoide móvil) que rueda respecto de una superficie fija (axoide fijo), al mismo tiempo que experimenta un desplazamiento a lo largo de la generatriz común de ambos axoides en cada instante. Tal representación del movimiento del sólido se debe al matemático francés Jean Poncelet.

sólido rígido con un punto fijo

En el caso de que el sólido rígido esté vinculado mediante una articulación en un punto, de forma que éste permanezca fijo durante el movimiento, ambos axoides degeneran en superficies cónicas tangentes entre sí a lo largo de una generatriz, y el movimiento descrito mediante la representación de Poncelet se reduce a una rodadura del axoide correspondiente al cono móvil sobre el axoide correspondiente al cono fijo, no existiendo deslizamiento entre los axoides por ser nula la velocidad del punto de articulación del sólido (Fig. 3.17).


- 41/116 -

2ωr

1ωr

ωr

Fig. 3.17 – Axoides.

En la figura 3.17 el sólido rígido que no aparece dibujado (aunque sí lo está el cono móvil al cual es solidario) gira con velocidad angular 1ω

r alrededor de su eje, al mismo tiempo que dicho eje gira con

velocidad angular 2ωr

alrededor de un eje fijo. El resultado de esta combinación de movimientos es una rodadura del cono móvil sobre el cono fijo, siendo el EIRMD la generatriz común a ambos conos que contiene a la velocidad angular total (ω

r). La dirección del EIRMD es la dirección de la resultante que

viene dada por

21 ωωωrrr

+=

Esta representación del movimiento del sólido rígido se utilizará posteriormente en su estudio dinámico.

4. Aceleraciones.

- 42/116 -

4. Aceleraciones.

4.1. Introducción.

Como ya se indicó anteriormente el análisis realizado para las velocidades no es válido para el caso de las aceleraciones, ya que cuando aparecen rotaciones simultáneas la aceleración se ve influenciada por el orden de las rotaciones.

El estudio comienza nuevamente para la composición de traslaciones y rotaciones por separado.

4.2. Composición de traslaciones simultáneas.

aceleración Nuevamente, según el principio de composición de movimientos, la velocidad infinitesimal total ( Mvdr

) del punto M es la suma vectorial de las velocidades infinitesimales de cada uno de los movimientos componentes ( iMvd

r)

∑=

=++=n

1iiMM2M1M vdvdvdvdr

Krrr

poniendo las velocidades infinitesimales de cada uno de los movimientos de traslación simultánea ( iMvdr

) en función de la aceleración correspondiente ( iMa

r) y del diferencial de tiempo (dt), que es el mismo para

todos los movimientos, se tiene

( ) ( ) dtadtavddtavd

vdvd n

1iiM

n

1iiMM

iMiM

n

1iiMM ∑∑

∑==

= ==⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= rrr

rr

rr

La velocidad infinitesimal total del punto de estudio ( Mvdr

) también se puede poner en función de la aceleración total ( Ma

r, dtavd MM

rr= ), de donde se deduce la relación entre esta aceleración total ( Ma

r) y la

de los movimientos simultáneos ( iMar

), de forma que cumple el principio de composición de movimientos.

( ) ( ) ( )∑∑∑

=== =⇒=⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

= n

1iiMM

n

1iiMM

MM

n

1iiMM aadtadta

dtavd

dtavd rrrr

rr

rr

Como cada una de las aceleraciones de traslación instantáneas ( iMar

) es la misma para todos los puntos del sólido, la aceleración de traslación total ( Ma

r) también la misma, por lo que no es necesario especificar a

que punto se refiere

aaMrr

=

Concepto clave La velocidad ( v

r) y aceleración ( a

r) totales de traslación, correspondientes a una

composición de velocidades ( ivr

) y aceleraciones ( iar

) de traslación, respectivamente, son las mismas para todos los puntos del sólido.

4.3 Composición de rotaciones simultáneas.

- 43/116 -

4.3. Composición de rotaciones simultáneas.

aceleración lineal La aceleración ( Mar

) de un punto (M) de un sólido rígido sometido a una composición de rotaciones se obtiene al derivar la expresión de la velocidad ( Mv

r) respecto del tiempo. Si se considera la velocidad total

de un punto (M) de un sólido a partir de un centro de reducción (O’) se tiene

( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr con ∑

==

n

1iiωωrr

por lo que para obtener la aceleración se deriva respecto del tiempo

( )[ ] ( ) ( )'OMdtd'OM

dtda'OMv

dtd

dtvda 'O'O

MM −×+−×+=−×+== ωωω

rr

rrrr

r

en la que

( ) 'OM vvdt

'dOdt

dM'OMdtd

dtd rrrr

−=−=−= αω

Si los puntos M y O’ pertenecen al mismo sólido rígido, reduciendo la velocidad de M al punto O’

( )

( )( ) ( ) ( )'OMv'OMv'OM

dtd

'OMvv

vv'OMdtd

'O'O

'OM

'OM −×=−−×+=−⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

−×+=

−=−ωω

ω

rrrr

rrr

rr

luego

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ]'OM'OMaa

'OM'OMdtd

dtd

'OMdtd'OM

dtdaa

'OM

'OM

−××+−×+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−×=−

=

−×+−×+=

ωωα

ω

αω

ωω

rrrrr

r

rr

rr

rr

en la que los dos últimos sumandos corresponden a las componentes tangencial ( tMar

) y normal ( nMar

) de la aceleración del punto M, respectivamente

( ) ( )[ ] nM

tM'O

normalnaceleració

gencialtannaceleració

'OM aaa'OM'OMaarrr

444 3444 21rr

4434421rrr

++=−××+−×+= ωωα

aceleración angular Como la velocidad angular total (ωr

) es suma de los vectores velocidades angulares de cada una de las rotaciones instantáneas ( iω

r) cuyos ejes son arrastrados por posteriores rotaciones, para la obtención de la

aceleración angular total (αr

) a partir de su derivación es conveniente descomponer las velocidades angulares de cada uno de los movimientos en sus componentes y direcciones en las bases móviles (

iei ωωr

), ya que ambos pueden variar respecto del tiempo

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⇒== ∑∑∑∑

====

n

1ii

in

1ii

n

1ii

n

1ii dt

ede

dtde

dtd

dtde i

iii

ωωωω ωωωωαωωω

rrr

rrrrr

Utilizando la notación del punto encima de la variable derivada respecto del tiempo, se tiene


- 44/116 -

ωω&=

dtd

i

i edted

ωω &rr

=

y la aceleración angular (αr

) se puede expresar

( ) ∑∑∑===

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

n

1iii

n

1ii

n

1ii iii

eeedtd

dtd

ωωω ωωωωα&rr

&rrr

o bien, considerando el vector velocidad angular total (ωr

) sobre la dirección del EIRMD ( ωer

)

( ) ωωωω ωωωωαωω eeedtde

&rr&

r&rrrr+===⇒=

por lo que, debido a la variación de posición del EIRMD ( ωe&r

) el vector aceleración angular (αr

) no tiene por qué estar localizado sobre dicho eje (Fig. 4.1). Esta es la causa de que el modelo del EIRMD no sea válido para el estudio de aceleraciones. Las unidades de la aceleración angular son 2s/rad .

Concepto clave En general el vector aceleración angular (αr

) no está localizada sobre el EIRMD ( ωer

).

dirección de la variación del unitario

de la velocidad angular

Como la variación del unitario asociado a una velocidad angular ( ωedr

) respecto del tiempo modifica su dirección ( ωω ede

rr+ ) pero no su módulo (mantiene su condición de unitario) dicha variación tiene que ser

perpendicular a la dirección del vector ( ωer

)

ωω eedrr

⊥

1ωr

2ωr 11 dωω

rr+

ωr

ωωrr

d+

ωer

ωω ederr

+ωedr

1ωr

1dωr

Fig. 4.1 – Variación del unitario asociado a una composición de rotaciones.

aceleración angular con eje de rotación con

orientación fija

En el caso particular de que el EIRMD ( ωer

) mantenga su dirección fija en el tiempo (lo que ocurre en movimientos planos), la aceleración angular (α

r) viene definida únicamente por la variación del módulo

ω

ωω

ωωωα

ωωαe

0ectee

ee r&

r

r&rr

&rr&

r

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇒=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

por lo que el vector aceleración angular (αr

) estará localizado sobre el eje de la velocidad angular ωer

, de modo que el módulo de la aceleración angular (α ) es la derivada del módulo de la velocidad angular con


- 45/116 -

respecto al tiempo (ω& ), su dirección es la del EIRMD ( ωer

) y su sentido el de la velocidad angular (ωr

) cuando aumenta con el tiempo, y opuesto si disminuye.

aceleración angular con eje de rotación con

orientación variable

Sin embargo, en el caso más general en el que el EIRMD ( ωer

) no mantenga su orientación fija, la aceleración angular (α

r) se obtiene de la expresión inicialmente indicada

( ) ωωω ωωωωα eeedtd &rr

&r&rr

+===

variación de un vector unitario Para determinar la variación de un vector unitario respecto del tiempo ( e

&r) se considera un sistema de

referencia móvil ( 1111 ZYXO ) de unitarios 111 k,j,irrr

que se traslada con una velocidad 1Ov

r y gira con

velocidad angular ωr

respecto de un sistema de referencia fijo ( OXYZ ) de unitarios k,j,irrr

(Fig. 4.2).

Mx1

My1

Mz1

Fig. 4.2 – Variación de los unitarios asociados a una base giratoria respecto de una base fija.

En la obtención de la variación de los unitarios de la base giratoria ( 111 k,j,irrr

) respecto del tiempo se puede considerar que el sistema de referencia giratorio ( 1111 ZYXO ) es solidario a un sólido rígido (Fig. 4.2), y que los vectores unitarios son vectores de posición asociados a las componentes de un punto genérico (Mx1, My1, Mz1) respecto del origen del sistema de referencia ( 1O ).

Según esto, utilizando la reducción de la velocidad de cada punto de estudio (Mx1, My1, Mz1) al origen del sistema de referencia giratorio (O1) a partir de la expresión general se tiene

( )11xOM OMvv11x

−×+= ωrrr

( )11yOM OMvv11y

−×+= ωrrr

( )11zOM OMvv11z

−×+= ωrrr

siendo

111z111y111x kOMjOMiOMrrr

=−=−=−

derivando estas expresiones respecto del tiempo

dtkd

dtdO

dtdM

dtjd

dtdO

dtdM

dtid

dtdO

dtdM 111z111y111x

rrr

=−=−=−

cambiando la notación

1OM1OM1OM kvvjvvivv11z11y11x

&rrr&rrr&rrr=−=−=−

y poniendo la velocidad de cada punto utilizando la reducción al punto O1 se tiene

( ) ( ) ( )11z'OM11yOM11xOM OMvvOMvvOMvv1z11y11x

−×=−−×=−−×=− ωωωrrrrrrrrr


- 46/116 -

o bien

111111 kkjjiirr&rrr&rrr&r ×=×=×= ωωω

fórmulas denominadas de Poisson que expresan las variaciones de los unitarios ( 111 k,j,irrr

) de un sistema de referencia giratorio ( 1111 ZYXO ) que varía de posición con velocidad ω

r respecto del tiempo. Luego en

general, la variación de un unitario ( er

) se obtiene mediante

eerr&r ×= ω

Para una justificación más estricta utilizando matrices antisimétricas ver Anexo 1.

Concepto clave La fórmula de Poisson permite determinar la variación de un unitario ( er

) de una base giratoria respecto del tiempo.

Aplicando esta expresión al caso sencillo de una velocidad angular ( 1ωr

) que varía de posición debido al efecto de otra velocidad angular ( 2ω

r) (Fig. 4.1), considerando que existen aceleraciones angulares

( 21 ,αα ) y que el eje 2

eωr

es fijo, el planteamiento a realizar para obtener la aceleración angular (αr

) a partir de la superposición de movimientos es

2211iieeeeee 2211

2

1iii ωωωωωω ωωωωωωα

&rr&&rr

&&rr&

r+++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∑

=

en el que

0e

ee

2

11

22

211r&r&

rr&r&

==

×==

ω

ωω

αω

ωαω

por lo que la aceleración angular queda

( )21211

ee0eee 21212211 ωωωωω ωωωωωωωωαr

&rrr

&rr

&rr

&r

+×+=++×+=

expresión que, generalizada para una sucesión de ejes de rotación simultáneos, ordenados de forma secuencial con el criterio de “ser arrastrado por” desde el sólido de velocidad 1ω

r hasta el eje fijo de

velocidad nωr

, es

( )iii

ii

eee

ee

n

1ijji

n

1iii

ωωω

ωω

ωΩ

ωωα

rrrr&r

&rr&

r

×=×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∑

∑

+=

=

en la que iΩr

es la velocidad angular con la que varía el unitario en estudio (i

eωr

), suma de las velocidades angulares que le arrastran

( )∑+=

=n

1ijji ωΩ

rr


- 47/116 -

Esta expresión está fuertemente influenciada por el orden debido al arrastre en las rotaciones, característica que no aparecía en el estudio cinemático de velocidades. Con este procedimiento la influencia de las rotaciones solo aparece en la determinación de la aceleración angular absoluta.

Luego finalmente

( ) ( )[ ]'OM'OMaa 'OM −××+−×+= ωωαrrrrr

con

( ) ( )∑∑∑+=+==

=×=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n

1ijji

n

1ijji

n

1iii iiiii

eeeee ωΩωΩωωα ωωωωωrrrrrr&r&rr

&r

Ejemplo 4.1: Para un sólido rígido, sometido a tres rotaciones simultáneas concurrentes en el origen del sistema de referencia, la primera con velocidad angular ω1 = 5 (rad/s), una aceleración angular α1 = -1 (rad/s2) y unitario

=1er

{1, 0, 0}, cuyo eje gira a su vez con una segunda velocidad ω2 = 8 (rad/s), una aceleración angular α2 = 3 (rad/s2) y unitario =2e

r{0, 1, 0}, y a su vez los ejes anteriores giran con una tercera velocidad ω3 = 2 (rad/s), una

aceleración angular α3 = -4 (rad/s2) y unitario =3er

{0, 0, 1}. Determinar la aceleración angular del sólido y la aceleración lineal del punto N de coordenadas N = {1, 4, 10}.

La aceleración del punto N es

( ) ( )[ ]ONONaa ON −××+−×+= ωωαrrrrr

Para calcular la aceleración angular se van a utilizar las expresiones

( ) ( )∑∑∑+=+==

=×=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n

1ijji

n

1ijji

n

1iii iiiii


&r

que desarrollando para este caso

332211eeeeee 332211 ωωωωωω ωωωωωωα&rr

&&rr&&rr

&r

+++++=

En la que identificando cada uno de los términos

i iω& ieωr

iω iΩr

i

eω&r

1 -1 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

5 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∑

= 280

200

080

3

2jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==×

820

001280kji

e11

rrr

rr

ωΩ

2 3 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

010

8 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∑

= 200

3

3jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==×

002

010200kji

e22

rrr

rr

ωΩ

3 -4 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

2 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∑

= 000

3

4jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=×

000

e33 ωΩ

rr

Con los valores anteriores se puede determinar la aceleración angular


- 48/116 -

( ) ( )2

332211

s/rad44

1317

000

2100

4002

8010

38

20

5001

1

eeeeee332211

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

=+++++= ωωωωωω ωωωωωωα&rr

&&rr&&rr

&r

Para la determinación de la aceleración del punto N

( ) ( )[ ]ONONaa ON −××+−×+= ωωαrrrrr

se toma O como origen del sistema de referencia, cuya aceleraciones es nula 0aO

rr= , por ser punto de

concurrencia de los ejes de rotación, luego

( ) ( )2s/m81

126306

1041441317kji

ON⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−×

rrr

rα [ ] ( )s/rad

285

200

080

005

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

( ) ( )s/m1248

72

1041285kji

ON⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×

rrr

rω ( )[ ] ( )2s/m

81684

192

124872285kji

ON⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−=−××

rrr

rrωω

luego finalmente

( ) ( )[ ] ( )2ON s/m

897210498

81684

192`

81126306

000

ONONaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−××+−×+= ωωα

rrrrr

0

Movimiento relativo

- 49/116 -

4.4. Movimiento relativo.

Otro planteamiento alternativo de la cinemática del sólido rígido es el que realiza el estudio del movimiento mediante su descomposición en movimientos agrupados de dos en dos, comenzando desde el primero que afecta al sólido, denominado movimiento relativo, y el siguiente que lo “arrastra”. Este análisis se ha de realizar de forma ordenada para cada par de movimientos hasta llegar a la referencia fija.

Se van a proponer dos procedimientos. El primero basado en la descomposición del movimiento del sólido en relativo más arrastre, y el segundo basado en la misma descomposición pero utilizando un centro de reducción.

4.4.1. Descomposición del movimiento en relativo más arrastre

movimiento relativo El análisis parte de considerar un sólido rígido (Fig. 4.3) que tiene movimientos rototraslatorios (de traslación y rotación sobre la misma recta) respecto de un eje solidario a un sistema de referencia móvil (O’X’Y’Z’). Las características cinemáticas del sólido rígido respecto de este eje cuando se considera el sistema de referencia móvil como si fuera fijo (o como observador solidario a la base móvil) se denominan relativas, por lo que un punto arbitrario del sólido (M) adquiere velocidad y aceleración relativas ( r

Mvr

y rMar

) respecto del sistema de referencia móvil.

movimiento de arrastre A su vez, sólido, eje de rotación relativa y sistema de referencia móvil (O’X’Y’Z’) se mueven solidariamente con movimiento rototraslatorio respecto de un eje asociado a un sistema de referencia fijo (OXYZ). Las características cinemáticas del sólido rígido, eje de rotación relativa y sistema de referencia móvil (O’X’Y’Z’) respecto del sistema de referencia fijo (OXYZ) se denominan de arrastre, por lo que el mismo punto arbitrario del sólido (M) adquiere velocidad y aceleración de arrastre ( a

Mvr

y aMar

) respecto del sistema fijo.

er

x’

y’

z’

ωr

ω a

M

x y

z

O

Mrr

Er

Ea

α a

v at a at

αr vrt

art ea

Movimiento relativo

Movimiento de arrastre

Fig. 4.3 – Descomposición del movimiento en relativo y arrastre.

velocidad A partir de esta composición de movimientos, la velocidad absoluta ( Mvr

) de un punto (M) de un sólido se

puede descomponer en suma vectorial de la velocidad relativa ( rMvr

), asociada al movimiento relativo del sólido respecto del sistema móvil cuando se considera como si fuera fijo, más la velocidad de arrastre ( a

Mvr

) que sólido y sistema móvil tienen en su movimiento solidario respecto del sistema fijo, con las

0

Movimiento relativo

- 50/116 -

características cinemáticas del arrastre,

aM

rMM vvv

rrr+=

4.4.1 Descomposición del movimiento en relativo más arrastre

- 51/116 -

Como cada uno de los movimientos (relativo y arrastre) puede ser rototraslatorio, se puede descomponer en traslación (indicado por el segundo superíndice t) y rotación (indicado por el segundo superíndice r), y su expresión viene dada por

( )( )aaat

MarM

atM

aM

rrrtM

rrM

rtM

rM

EMvvvv

EMvvvv

−×+=+=

−×+=+=

ω

ωrrrrr

rrrrr

en la que cada uno de los términos representa lo siguiente

rtMvr

- Velocidad lineal relativa de traslación rωr

- Velocidad angular relativa rE - Punto del eje instantáneo de rotación relativa

atMvr

- Velocidad lineal de arrastre de traslación aωr

- Velocidad angular de arrastre aE - Punto del eje instantáneo de rotación de arrastre

luego finalmente la velocidad total de un punto M de un sólido rígido sometido a la descomposición del movimiento en relativo más arrastre viene definido por

( )( )

( )[ ] ( )[ ]aaatM

rrrtMM

aaatM

aM

rrrtM

rM

aM

rMM

EMvEMvv

EMvv

EMvv

vvv

−×++−×+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−×+=

−×+=

+=

ωω

ω

ωrrrrr

rrr

rrr

rrr

expresión equivalente a la utilizada para la composición de rotaciones simultáneas

( )[ ]∑=

−×=n

1iiiM EMv ω

rr

En esta última expresión, las posibles traslaciones existentes se consideran transformadas en pares de rotación.

aceleración Para la determinación de la aceleración de un punto M del sólido rígido, se parte de derivar la expresión de la velocidad a partir de la descomposición de los movimientos rototraslatorios relativos y de arrastre

( ) ( )aaatM

rrrtMM EMvEMvv −×++−×+= ωω

rrrrr

respecto del tiempo, con lo que se obtiene

( ) ( ) ( ) ( )aaaaatM

rrrrrtMM EM

dtdEMvEM

dtdEMvv −×+−×++−×+−×+= ωωωω

r&r&rr&r&r&r

Como las velocidades relativas lineal de traslación ( rtMvr

) y angular de rotación ( rωr

) están dadas respecto

de la base móvil, pueden variar tanto en módulo ( rrtM ,v ω ) como en dirección ( re

r), y las expresiones de

sus derivadas, tal como se indicó anteriormente, son

( ) ( ) rtM

rrtM

rrtM

rrtM

rrtM

rrtM

rrtM

rtM vevevevevevev

dtdv

rrr&

rrr&&rr

&r&r

×+=×+=+== ΩΩ

( ) rrrrrrrrrrrr eeeee ωΩωΩωωωωωrrr

&rrr

&&rr&&r

×+=×+=+=


- 52/116 -

expresiones en las que la velocidad angular con la que varían los unitarios asociados a la base móvil ( Ωr

) corresponde a la velocidad de arrastre ( aω

r), por lo que quedan

rtM

artM

rtM vvv

rr&r&r×+= ω rarrr e ωωωω

rrr&&r

×+=

mientras que las velocidades de arrastre lineal de traslación ( atMvr

) y angular de rotación ( aωr

) están

definidas respecto de la base fija, por lo que cambian de módulo ( aatM ,v ω ) pero no de dirección ( ctee a =

r),

luego las expresiones de sus derivadas son

( )}

aatM

0

aatM

aatM

aatM

atM evevevev

dtdv

r&&rr

&r&r

r

=+==

=

}

aaaa

0

aaaaaa eeeer

&r

&&rr&

r&r

r

ωωωωαω ==+==

=

La derivada del vector de posición relativa ( )rEM − respecto del tiempo en la base relativa se obtiene teniendo en cuenta que el punto M del sólido se traslada y gira respecto del eje de movimiento relativo

( ) ( ) ( ) ( )rrrrrrtM

rrrtM

r EMEEvEMvEMdtd

−×=−×−−−×+=− ωωωrrrrr

mientras que para obtener la derivada del vector de posición de arrastre ( )aEM − respecto de la base fija se derivan por separado componentes y unitario

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )aarrrt

M

aaaatM

aaatM

rrrtM

a

EMEMv

EEvEMvEMvEMdtd

−×+−×+=

=−×−−−×++−×+=−

ωω

ωωωrrr

rrrrrr

Concepto clave La derivada se realiza respecto de la base en la que está definido el vector.

Teniendo en cuenta todo lo anterior

{ { ( ) ( )( )

{ { ( ) ( )( ) ( )

43421

r&r&r

43421

r&r&r&r

rrrr

&r&rr

rrr&rrr

&aarrrt

M

aaaatMrrrt

M

rarrrtM

arrtM

EMEMv

aaa

e

a

ev

atM

EMv

rrr

e

r

vev

rtMM EM

dtdEMvEM

dtdEMvv

−×+−×+−×+×+×+

−×+−×++−×+−×+=

ωωω

ωωωωω

ωωωω

la expresión de la aceleración queda

( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ]aarrrt

Ma

aaaaatM

rrrtM

r

rrarrrtM

arrtMM

EMEMv

EMeevEMv

EMevevv

−×+−×+×+

+−×++−×+×+

+−××++×+=

ωωω

ωωω

ωωωω

rrrr

r&

r&

rrr

rrr&

rrr&&r

o bien, desarrollando

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]aaarrartM

a

aaaaatM

rrrtM

r

rrarrrrtM

arrtMM

EMEMv

EMeevEMv

EMEMevevv

−××+−××+×+

+−×++−×+×+

−××+−×+×+=

ωωωωω

ωωω

ωωωω

rrrrrr

r&

r&

rrr

rrr&

rrr&&r

Los términos subrayados se pueden agrupar, con lo que se tiene


- 53/116 -

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )( )rrrtM

a

aaatM

aaaaatM

rrrtM

rrrrrtMM

EMv2

EMvEMev

EMvEMevv

−×+×+

+−×+×+−×++

+−×+×+−×+=

ωω

ωωα

ωωα

rrr

rrrrr&

rrrrr&&r

identificación en la que identificando términos

MM avr&r = - Aceleración absoluta del punto M.

( ) ( )[ ]rrrtM

rrrrtM

rM EMvEMaa −×+×+−×+= ωωα

rrrrrr - Aceleración relativa del punto M respecto de

la base móvil, con sus componentes de traslación rtMar

, de rotación componente

normal ( )[ ]rrrtM

rrrnM EMva −×+×= ωω

rrrr y de rotación componente tangencial

( )rrrrtM EMa −×= α

rr.

( ) ( )[ ]aaatM

aaaatM

aM EMvEMaa −×+×+−×+= ωωα

rrrrrr - Aceleración de arrastre del punto M

respecto de la base fija con sus componentes de traslación atMar

, de rotación

componente normal ( )[ ]aaatM

aarnM EMva −×+×= ωω

rrrr y de rotación componente

tangencial ( )aaartM EMa −×= α

rr.

aceleración de Coriolis ( )[ ] rM

arrrtM

aCM v2EMv2a

rrrrrr×=−×+×= ωωω - Aceleración de Coriolis.

De esta forma, la aceleración absoluta del punto M se puede expresar de forma compacta mediante

CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=

Es importante remarcar que este estudio solo es válido si las traslaciones tanto en el movimiento relativo como en el de arrastre se realiza en la dirección de los ejes de rotación correspondientes (movimientos rototraslatorios)

rrtM

rtM

rrtM

rtM eaaevv

rrrr== aat

MatM

aatM

atM eaaevv

rrrr==

En otro caso habrá que realizar una descomposición individual de la traslación y rotación en los movimientos relativo y arrastre.

Ejemplo 4.2: Un sólido rígido está sometido a dos movimientos simultáneos.

El primero con velocidad angular ω1 = 5 (rad/s) sobre un eje de rotación de unitario =1er

{1, 0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .

El segundo es una velocidad de traslación de 3 (m/s) en la dirección del mismo eje.

Comprobar que la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre es la misma, independientemente de cual sea el movimiento considerado como relativo y arrastre.

Se comienza considerando el primer movimiento como relativo y el segundo como arrastre.

Movimiento relativo: ( )s/rad005

r1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ωω

rr


- 54/116 -

Movimiento de arrastre: ( )s/m003

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre

aM

rMM vvv

rrr+=

En la que el movimiento relativo es

( )rrrtM

rrM

rtM

rM EMvvvv −×+=+= ω

rrrrr

Desarrollando cada uno de los términos

( )s/m0v rtM

rr= ( ) ( )m

21

1

221

412

EM r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

5100

211005kji

EMv rrrrM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω

luego la velocidad relativa es

( )s/m5

100

5100

000

vvv rrM

rtM

rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

La velocidad de arrastre viene dada por

( )aaatM

arM

atM

aM EMvvvv −×+=+= ω

rrrrr


( )s/m003

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )s/m0v ar

M

rr=

luego la velocidad de arrastre es

( )s/m003

000

003

vvv arM

atM

aM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

y finalmente la velocidad total es

( )s/m5

103

003

5100

vvv aM

rMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=

rrr

Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre

CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=

Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo.

( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtM

rrtM

rrnM

rtM

rM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω

rrrrrrrrr

Desarrollando cada uno de los términos ( ( )rr EM −×ωr

ya ha sido obtenido anteriormente)


- 55/116 -

( )2rtM s/m0a

rr= ( )[ ] ( )2rrrt

Mrrrn

M s/m50250

5100005kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×+×=

rrr

rrrrωω ( )2rrt

M s/m0arr

=

y finalmente la aceleración relativa es

( )2rrtM

rrnM

rtM

rM s/m

50250

000

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

La aceleración de arrastre viene dada por

( )[ ] ( )aaaaatM

aatM

artM

arnM

atM

aM EMEMvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω

rrrrrrrrr

Desarrollando cada uno de los términos ( ( )aa EM −×ωr


( )2atM s/m0a

rr= ( )2arn

M s/m0arr

=

( )2artM s/m0a

rr=

y finalmente la aceleración de arrastre es

( )2artM

arnM

atM

aM s/m0aaaa

rrrrr=++=

y la aceleración de Coriolis viene dada por

( )2rM

aCM s/m

000

5100000kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=×=

rrr

rrrω

y finalmente la aceleración total es

( )2CM

aM

rMM s/m

50250

000

000

50250

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=++=

rrrr

Se considera ahora el segundo movimiento como relativo y el primero como arrastre.

Movimiento relativo: ( )s/m003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Movimiento de arrastre: ( )s/rad005

a1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ωω

rr


aM

rMM vvv

rrr+=


( )rrrtM

rrM

rtM


rrrrr


- 56/116 -


( )s/m003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )s/m0EMv rrrr

M

rrr=−×= ω


( )s/m003

000

003

vvv rrM

rtM

rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

la velocidad de arrastre viene dada por

( )aaatM

arM

atM


rrrrr


( )s/m0v atM

rr= ( ) ( )m

21

1

221

412

EM a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

5100

211005kji

EMv aaarM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω


( )s/m5

100

5100

000

vvv arM

atM

aM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )s/m5

103

5100

003

vvv aM

rMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

Luego la velocidad es la misma independientemente del orden de los movimientos.


CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=


( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtM

rrtM

rrnM

rtM


rrrrrrrrr


( )2rtM s/m0a

rr= ( )2rrn

M s/m0arr

= ( )2rrtM s/m0a

rr=


( )2rrtM

rrnM

rtM

rM s/m0aaaa

rrrrr=++=


( )[ ] ( )aaaaatM

aatM

artM

arnM

atM


rrrrrrrrr




- 57/116 -

( )2atM s/m0a

rr= ( )[ ] ( )2raat

Maarn

M s/m50

250

5100005kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=−×+×=

rrr

rrrrωω ( )2art

M s/m0arr

=


( )2artM

arnM

atM

aM s/m

50250

000

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr


( )2rM

aCM s/m

000

003005kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==×=

rrr

rrrω


( )2CM

aM

rMM s/m

50250

000

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

Luego la aceleración también es la misma independientemente del orden de los movimientos.

El estudio también se puede realizar considerando que el movimiento es rototraslatorio relativo.


r1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ωω

rr, ( )s/m

003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Para comprobarlo, se hace el análisis cinemático de velocidades.

aM

rMM vvv

rrr+=


( )rrrtM

rrM

rtM


rrrrr


( )s/m003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )s/m

5100

211005kji

EMv rrrrM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω


( )s/m5

103

5100

003

vvv rrM

rtM

rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

y la velocidad de arrastre es nula

( ) 0EMvvvv aaatM

arM

atM

aM

rrrrrr=−×+=+= ω



- 58/116 -

( )s/m5

103

000

5103

vvv aM

rMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=

rrr

Y no varía respecto de las obtenidas anteriormente.


CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=


( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtM

rrtM

rrnM

rtM


rrrrrrrrr


( )2rtM s/m0a

rr= ( )[ ] ( )2rrrt

Mrrrn

M s/m50

250

5103005kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=−×+×=

rrr

rrrrωω ( )2rrt

M s/m0arr

=


( )2rrtM

rrnM

rtM

rM s/m

50250

000

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

La aceleración de arrastre es nula

( )[ ] ( ) 0EMEMvaaaaa aaaaatM

aatM

artM

arnM

atM

aM

rrrrrrrrrr=−×+−×+×+=++= αωω


( )2rM

aCM s/m

000

5103000kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=×=

rrr

rrrω


( )2CM

aM

rMM s/m

50250

000

000

50250

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=++=

rrrr

Que como se había indicado coincide con las anteriores.

Ejemplo 4.3: Un sólido rígido está sometido a dos movimientos simultáneos.

El primero con velocidad angular ω1 = 5 (rad/s) sobre un eje de rotación de unitario =1er

{1, 0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .

El segundo es una velocidad de traslación de componentes { } ( )s/m5,2,3vtM = .

Comprobar que la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre depende de cual sea el movimiento considerado como relativo y cual como arrastre.


- 59/116 -

Se comienza considerando el primer movimiento como relativo y el segundo como arrastre.


r1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ωω

rr

Movimiento de arrastre: ( )s/m523

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento

aM

rMM vvv

rrr+=

En el que el movimiento relativo es

( )rrrtM

rrM

rtM


rrrrr


( )s/m0v rtM

rr= ( ) ( )m

21

1

221

412

EM r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

5100

211005kji

EMv rrrrM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω


( )s/m5

100

5100

000

vvv rrM

rtM

rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )aaatM

arM

atM


rrrrr


( )s/m523

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )s/m0v ar

M

rr=


( )s/m523

000

523

vvv arM

atM

aM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )s/m08

3

523

5100

vvv aM

rMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=

rrr


CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=


( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtM

rrtM

rrnM

rtM


rrrrrrrrr


- 60/116 -



( )2rtM s/m0a

rr= ( )[ ] ( )2rrrt

Mrrrn

M s/m50250

5100005kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×+×=

rrr

rrrrωω ( )2rrt

M s/m0arr

=


( )2rrtM

rrnM

rtM

rM s/m

50250

000

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr


( )[ ] ( )aaaaatM

aatM

artM

arnM

atM


rrrrrrrrr


( )2atM s/m0a

rr= ( )2arn

M s/m0arr

= ( )2artM s/m0a

rr=


( )2artM

arnM

atM

aM s/m0aaaa

rrrrr=++=


( )2rM

aCM s/m

000

5100000kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=×=

rrr

rrrω


( )2CM

aM

rMM s/m

50250

000

000

50250

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=++=

rrrr

Se considera ahora el segundo movimiento como relativo y el primero como arrastre.

Movimiento relativo: ( )s/m523

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Movimiento de arrastre: ( )s/rad005

a1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ωω

rr


aM

rMM vvv

rrr+=


( )rrrtM

rrM

rtM


rrrrr



- 61/116 -

( )s/m523

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )s/m0EMv rrrr

M

rrr=−×= ω


( )s/m523

000

523

vvv rrM

rtM

rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )aaatM

arM

atM


rrrrr


( )s/m0v atM

rr= ( ) ( )m

21

1

221

412

EM a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

5100

211005kji

EMv aaarM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω


( )s/m5

100

5100

000

vvv arM

atM

aM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )s/m08

3

5100

523

vvv aM

rMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

Luego la velocidad es la misma independientemente del orden de los movimientos.


CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=


( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtM

rrtM

rrnM

rtM


rrrrrrrrr


( )2rtM s/m0a

rr= ( )2rrn

M s/m0arr

= ( )2rrtM s/m0a

rr=


( )2rrtM

rrnM

rtM

rM s/m0aaaa

rrrrr=++=


( )[ ] ( )aaaaatM

aatM

artM

arnM

atM


rrrrrrrrr




- 62/116 -

( )2atM s/m0a

rr= ( )[ ] ( )2raat

Maarn

M s/m50

250

5100005kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=−×+×=

rrr

rrrrωω ( )2art

M s/m0arr

=


( )2artM

arnM

atM

aM s/m

50250

000

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr


( )2rM

aCM s/m

20500

523005kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==×=

rrr

rrrω


( )2CM

aM

rMM s/m

30750

20500

50250

000

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

Luego la aceleración no es la misma que la del orden inicial debido al efecto de la aceleración de Coriolis. En el ejemplo anterior esta diferencia no se produjo ya que la velocidad era paralela al eje de rotación (movimiento rototraslatorio), por lo que en general el estudio cinemático de traslaciones y rotaciones no es independiente del orden (arrastre) de los movimientos.

Ejemplo 4.4: Un sólido rígido está sometido a dos movimientos rototraslatorios simultáneos.

El primero con velocidad y aceleración angular ω1 = 5 (rad/s), α1 = 8 (rad/s2) y velocidad y aceleración lineal de traslación de magnitudes v1 =3 (m/s) y a1 = 5 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =1e

r{1,

0, 0} que pasa por el punto { } ( )m2,2,1OE1 =− .

Este movimiento es arrastrado por un segundo movimiento con velocidad y aceleración angular ω2 = 4 (rad/s), α2 = -2 (rad/s2) y velocidad y aceleración de traslación de magnitudes v2 = 1 (m/s) y a2 = 4 (m/s2) respectivamente, sobre un eje de rotación de unitario =2e

r{0, 1, 0} que pasa por el punto { } ( )m1,4,3OE2 =− .

Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre.



r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2r s/rad

008

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r, ( )s/m

003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2rt

M s/m005

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Movim. de arrastre: ( )s/rad040

a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2a s/rad

02

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=α

r, ( )s/m

010

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2at

M s/m040

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

en el que la velocidad es

aM

rMM vvv

rrr+=


- 63/116 -


( )rrrtM

rrM

rtM


rrrrr


( )s/m003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )m

21

1

221

412

EM r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

5100

211005kji

EMv rrrrM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrω


( )s/m5

103

5100

003

vvv rrM

rtM

rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )aaatM

arM

atM


rrrrr


( )s/m010

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )m

331

143

412

EM a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

4012

331040kji

EMv aaarM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=−×=

rrr

rrω


( )s/m41

12

4012

010

vvv arM

atM

aM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )s/m19

15

41

12

5103

vvv aM

rMM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=

rrr


CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=


( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtM

rrtM

rrnM

rtM


rrrrrrrrr



( )2rtM s/m

005

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )[ ] ( )2rrrt

Mrrrn

M s/m50

250

5103005kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−=−×+×=

rrr

rrrrωω


- 64/116 -

( ) ( )2rrrrtM s/m

8160

211008kji

EMa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−×=

rrr

rrα


( )2rrtM

rrnM

rtM

rM s/m

5895

8160

50250

005

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr


( )[ ] ( )aaaaatM

aatM

artM

arnM

atM


rrrrrrrrr



( )2atM s/m

040

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )[ ] ( )2aaat

Maarn

M s/m480

16

4112040kji

EMva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==−×+×=

rrr

rrrrωω

( ) ( )2aaartM s/m

206

331020kji

EMa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

−−−=−×=

rrr

rrα


( )2artM

arnM

atM

aM s/m

504

10

206

480

16

040

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr


( )2rM

aCM s/m

24040

5103040kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

−−=×=

rrr

rrrω


( )2CM

aM

rMM s/m

1321325

24040

504

10

5895

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=

rrrr

nuevo arrastre En el caso en que el sistema de referencia OXYZ que se suponía fijo no lo fuera, sino que existe un nuevo movimiento de arrastre (arrastre 2), la velocidad y aceleración que se habían supuesto absolutas en el estudio anterior pasan a ser las componentes relativas de la nueva composición, a la cual hay que añadir el nuevo movimiento de arrastre y la nueva componente de Coriolis para la aceleración (Fig. 4.4).


- 65/116 -

er

x’

y’

z’

ωr

ω a

M

x y

z

O

Mrr

Er

Ea

α a

v at a at

αr vrt

art ea

Movimiento relativo


x’’

z’’

ω a2

Ea2

α a2

v at2

a at2

ea2

y’’

Movimiento relativo 2

Movimiento de arrastre 2

Fig. 4.4 – Segundo movimiento de arrastre.

De forma que en este caso la velocidad ( 2Mvr

) del punto (M) vendrá dada por

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−×+=

=+=

2a2a2atM

2aM

M2r

M2aM

2rM

2M

EMvv

vvconvvv

ωrrr

rrrrr

con

( ) ( )aaatM

rrrtM

aM

rMM EMvEMvvvv −×++−×+=+= ωω

rrrrrrr

Mientras que la aceleración ( 2Mar

) es

( ) ( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=

−×+×+−×+=

=

++=2r

M2a2C

M

2a2a2atM

2a2a2a2atM

2aM

M2r

M2C

M2a

M2r

M2M

v2a

EMvEMaa

aa

conaaaarrr

rrrrrr

rr

rrrr

ω

ωωα

con

CM

aM

rMM aaaa

rrrr++=

Este proceso de composición de movimientos puede ser repetido, introduciendo todos los movimientos de arrastre posteriores que afecten cinemáticamente al sólido.

Ejemplo 4.5: El sólido rígido del problema anterior (4.4) está sometido a un tercer movimiento que arrastra a los dos anteriores. Este movimiento tiene una velocidad y aceleración angular ω3 = -1 (rad/s), α3 = 6 (rad/s2) sobre un eje de rotación de unitario =3e

r{0, 0, 1} que pasa por el punto { } ( )m3,5,4OE3 =− . Además tiene velocidad y

aceleración de traslación de magnitudes v3 =9 (m/s) y a3 = -4 (m/s2), respectivamente, sobre el mismo eje de rotación.

Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) por descomposición en movimiento relativo más arrastre.


- 66/116 -

El análisis por descomposición en relativo más arrastre de los dos primeros movimientos ya se ha realizado en el problema anterior, por lo que todo lo que se consideraba velocidad y aceleración absolutas en ese problema pasan a ser velocidades y aceleraciones relativas al añadirle el siguiente movimiento de arrastre.


Movim. relativo: ( )s/m19

15v 2r

M⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

r, ( )22r

M s/m1321325

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

r

Movim. de arrastre 2: ( )s/rad1

00

2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=ω

r , ( )22a s/rad600

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r , ( )s/m900

v 2atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )22at

M s/m4

00

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

r

y la velocidad es 2a

M2r

M2M vvv

rrr+=

Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo que es conocido al ser el absoluto del problema anterior

( )s/m19

15vv M

2rM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−==

rr


( )2a2a2atM

2arM

2atM

2aM EMvvvv −×+=+= ω

rrrrr


( )s/m900

v 2atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )m

142

354

412

EM 2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−

( ) ( )s/m024

142100

kjiEMv 2a2a2ar

M⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−−−=−×=

rrr

rrω


( )s/m924

024

900

vvv 2arM

2atM

2aM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


( )s/m87

11

924

19

15vvv 2a

M2r

M2M

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=+=

rrr


2CM

2aM

2rM

2M aaaa

rrrr++=

Se comienza considerando únicamente el movimiento relativo, que es conocido al ser el absoluto del problema anterior


- 67/116 -

( )2M

2rM s/m

1321325

aa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−==

rr


( )[ ] ( )2a2a2a2a2a2atM

2artM

2arnM

2atM

2aM EMEMaaaaa −×+−××+=++= αωω

rrrrrrrr

Desarrollando cada uno de los términos ( ( )2a2a EM −×ωr


( )22atM s/m

400

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

r ( )[ ] ( )22a2a2at

M2a2arn

M s/m042

924100

kjiEMva

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=−×+×=

rrr

rrrrωω

( ) ( )22a2a2artM s/m

012

24

142600kji

EMa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−−=−×=

rrr

rrα


( )22artM

2arnM

2atM

2aM s/m

48

26

012

24

042

400

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=

rrrr


( )22rM

2a2CM s/m

03018

1915100

kji2v2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−−−=×=

rrr

rrrω


( )22CM

2aM

2rM

2M s/m

1362517

03018

48

26

1321325

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=++=

rrrr

4.4.2. Movimiento relativo a partir de un punto de reducción.

En este análisis (Fig. 4.5) se considera el vector de posición ( Mrr

) de un punto (M) del sólido respecto de la

base fija (OXYZ), suma del vector de posición del punto O’ ( 'Orr

) más el vector de posición relativo

( 'O/M'rr

). El punto O’ se considera perteneciente al sólido.

'O/M'OM 'rrrrrr

+=

4.4.2 Movimiento relativo a partir de un punto de reducción

- 68/116 -

er

ωr M

x y

z

O

Mrr

Er

αr vrt

art O’

'Orr 'O/M'r

rx’

y’

z’

ω a α a

v at a at

ea

Movimiento relativo


Fig. 4.5 – Movimiento relativo con centro de reducción en O’.

Para ello se va a considerar cada uno de los vectores de posición a partir de sus componentes

'k'z'j'y'i'x'r

kzjyixr

kzjyixr

'O/M'O/M'O/M'O/M

'O'O'O'O

MMMM

rrrr

rrrr

rrrr

++=

++=

++=

en los que los unitarios ,k,j,irrr

están asociados a la base fija (OXYZ), mientras que los unitarios ,'k,'j,'irrr

lo están a la base móvil (O’X’Y’Z’). Sustituyendo los vectores por sus componentes, se tiene

'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix 'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM

rrrrrrrrr+++++=++

velocidad Si las bases son distintas no se pueden sumar las componentes, sin embargo la igualdad vectorial es correcta. Derivando la expresión respecto del tiempo se tiene

'O/M'OM 'rrr&r&r&r

+=

o bien a través de sus componentes

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++=++ 'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix 'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM

&r&r&rr&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

como los unitarios ,'k,'j,'irrr

están asociados a una base móvil (O’X’Y’Z’), tienen derivada respecto del

tiempo ,'k,'j,'i &r&r&r que se obtiene de las ecuaciones de Poisson

'k'k'j'j'i'i aaarr&rrr&rrr&r ×=×=×= ωωω

sustituyendo estos términos en el segundo sumando


- 69/116 -

( ) ( ) ( )'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x

'k'k

'j'j

'i'i

'k'z'j'y'i'x

a'O/M

a'O/M

a'O/M'O/M'O/M'O/M

a

a

a

'O/M'O/M'O/M

rrrrrr&r&r&r

r&r

r&r

r&r

&r&r&r

×+×+×=++⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

×=

×=

×=

++

ωωω

ω

ω

ω

en la que desarrollando se tiene

( ) ( ) ( )( )'k'z'j'y'i'x

'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x

'O/M'O/M'O/Ma

'O/Ma

'O/Ma

'O/Mr

'O/M'O/M'O/Mrrrr

rrrrrr&r&r&r

++×=

=×+×+×=++

ω

ωωω

luego sustituyendo sobre la expresión inicial

( ) ( )( )'k'z'j'y'i'x

'k'z'j'y'i'xkzjyixkzjyix

'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMMrrrr

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

++×+

++++++=++

ω

o bien de forma vectorial

'O/Ma

'O/M'OM 'r'rrrrr&r&r&r

×++= ω

identificación en la que identificando los términos se tiene

MMMMM vkzjyixrrr

&r

&r

&&r=++= - Velocidad absoluta del punto M.

'O'O'O'O'O vkzjyixrrr

&r

&r

&&r =++= - Velocidad absoluta del punto O’ perteneciente al sólido (sólido y referencia con movimiento solidario y características cinemáticas del sólido).

r'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M v'k'z'j'y'i'x'r

rr&

r&

r&&r

=++= - Velocidad relativa del punto M respecto del O’. Se obtiene derivando las componentes, no los unitarios (se considera la base móvil como si fuera fija). Si los puntos M y O’ se consideran pertenecientes al mismo sólido no existe velocidad de traslación relativa entre los puntos, y la expresión es

( )'OMv rr'O/M −×= ω

rr

( ) arM'O/M'O/M'O/M

a'O/M

a v'k'z'j'y'i'x'rrrrrrrr

=++×=× ωω - Velocidad de rotación respecto del eje instantáneo de rotación que pasa por el punto O’, correspondiente a la velocidad de arrastre de rotación.

Luego esta expresión se puede poner de la forma

( )'OMvvv ar'O/M'OM −×++= ω

rrrr

comparación con la expresión de la composición de

movimientos

La diferencia respecto de la expresión utilizando la descomposición en movimiento relativo más arrastre

aM

rMM vvv

rrr+=

es que mientras en ésta el movimiento se descompone en el mismo punto M del sólido, en el caso


- 70/116 -


rrrr

el movimiento del punto M, se reduce a otro punto O’ distinto.

comparación con la expresión de la composición de

rotaciones simultáneas

La expresión


rrrr

es idéntica a la indicada anteriormente por reducción a un punto

( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr [ ]∑

==

n

1iiωωrr

obteniéndose el mismo resultado.

notación con puntos coincidentes

Utilizando la notación de movimiento relativo respecto de un sistema giratorio se pueden realizar modificaciones conceptuales de la fórmula (Fig. 4.6)

( ) rP/M

a'OM v'OPvv

rrrr+−×+= ω

en la que: M – Es el punto del que se quiere determinar la velocidad

O’ – Es un punto del sistema móvil.

P – Es el punto del sistema móvil que coincide (inicialmente) con el punto del que se quiere calcular la velocidad.

La diferencia es que en este caso el movimiento relativo del punto M se pone en función de un punto P que en el instante de estudio coincide con el M, pero perteneciendo M al sólido y P al sistema de referencia.

x’

y’

x

y

Sistema fijo

Sistema móvil

Posición 1

PM

Observador fijo

O’

Fig. 4.6 – Movimiento relativo.

Con esta notación se pueden utilizar las siguientes formulaciones equivalentes

( )

'O/M'OM

rP/MPM

rP/M

a'O/P'OM

rP/M

a'OM

vvv

vvv

vvvv

v'OPvv

rrr

44 344 21

rrr

r

44 344 21

rrr

r

4434421

rrr

+=

+=

++=

+−×+= ω

aceleración Para determinar la aceleración del punto M, se parte de la velocidad respecto de este punto en componentes


- 71/116 -

( ) ( )( )'k'z'j'y'i'x


'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMMrrrr

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

r&

++×+

++++++=++

ω

derivando respecto del tiempo

( ) ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++×+

+++×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++++++=++




'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/M

'O/M'O/M'O/M'O'O'OMMM

&r&r&rr&

r&

r&

r

rrr&r&r&

&r&

&r&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

ω

ω

nuevamente, como los unitarios ,'k,'j,'irrr

están asociados a una base móvil (O’X’Y’Z’), tienen derivada

respecto del tiempo ,'k,'j,'i &r&r&r que se determinan a partir de las ecuaciones de Poisson

'k'k'j'j'i'i aaarr&rrr&rrr&r ×=×=×= ωωω

sustituyendo estos términos en los sumandos

( )'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x

'k'k

'j'j

'i'i

'k'z'j'y'i'x

'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/M

a

a

a

'O/M'O/M'O/M

r&

r&

r&

r&r&

&r&

&r&

r&r

r&r

r&r

&r&

&r&

&r&

++×=++⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

×=

×=

×=

++

ω

ω

ω

ω

( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++××=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

×=

×=

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×

'k'z'j'y'i'x

'k'z'j'y'i'x

'k'k

'j'j

'i'i

'k'z'j'y'i'x

'O/M'O/M'O/Maa

'O/M'O/M'O/Ma

a

a

a

'O/M'O/M'O/Ma

rrrrr

&r&r&rr

r&r

r&r

r&r

&r&r&rr

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

luego sustituyendo sobre la expresión inicial

( ) ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++×+

+++×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

++++++=++




'O/M'O/M'O/M'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/M


&r&r&rr&

r&

r&

r

rrr&r&r&

&r&

&r&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

ω

ω

se tiene


- 72/116 -

( ) ( )( ) ( )( ) ( )[ ]'k'z'j'y'i'x'k'z'j'y'i'x



'O/M'O/M'O/Maa

'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/Ma


rrrrrr&

r&

r&

r

rrr&rr&

r&

r&

r

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

++××+++×+

+++×+++×+

++++++=++

ωωω

ωω

en la que agrupando

( ) ( )( ) ( )[ ]

( )'k'z'j'y'i'x2



'O/M'O/M'O/Ma

'O/M'O/M'O/Maa

'O/M'O/M'O/Ma


r&

r&

r&

r

rrrrrrrr&r

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

r&&

++×+

+++××+++×+

++++++=++

ω

ωωω

o bien de forma vectorial

( ) Ma

Maa

Ma

'O/M'OM 'r2'r'r'rrr&rrrrrr&r&&r&&r&&r

×+××+×++= ωωωω

identificación en la que identificando los términos se tiene

MMMMM akzjyixrrr

&&r

&&r

&&&&r=++= - Aceleración absoluta del punto M.

'O'O'O'O'O akzjyixrrr

&&r

&&r

&&&&r =++= - Aceleración absoluta del punto O’ perteneciente al mismo sólido (sólido y sistema con movimiento solidario y características cinemáticas del sólido).

r'O/M'O/M'O/M'O/MM a'k'z'j'y'i'x'r

rr&&

r&&

r&&&&r

=++= - Aceleración relativa del punto M respecto del punto O’. Se obtiene derivando las componentes pero no los unitarios (se considera la base móvil como si fuera fija). Como los puntos M y O’ pertenecen al mismo sólido, no se considera aceleración de traslación relativa y la expresión es

( )[ ] ( )'OM'OMa rrrr'O/M −×+−××= αωω

rrrr

( )Maa

Ma 'r'r

rrrr&r ××+× ωωω - Aceleraciones de rotación respecto del eje instantáneo de rotación que pasa por el punto O’, correspondientes a la aceleración normal y tangencial de arrastre de rotación.

r'O/M

aM

a v2'r2rr&rr

×=× ωω - Aceleración de Coriolis.

Luego esta expresión se puede poner de la forma

( ) ( )[ ] r'O/M

aaaar'O/M'OM v2'OM'OMaaa

rrrrrrrr×+−××+−×++= ωωωα

Ejemplo 4.6: El sólido rígido del problema 4.4 está sometido a dos movimientos simultáneos.


r{1,




Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la


- 73/116 -

descomposición en movimiento relativa más arrastre y centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).

Se hace el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen O del sistema de referencia


r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2r s/rad

008

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r, ( )s/m

003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2rt

M s/m005

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r


a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2a s/rad

02

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=α

r, ( )s/m

010

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2at

M s/m040

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r

Centro de reducción: ( )m000

O⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

La velocidad del punto M viene dada por

( )OMvvv arO/MOM −×++= ω

rrrr

Se comienza determinando la velocidad del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre

aO

rOO vvv

rrr+=

Considerando únicamente el movimiento relativo del punto O

( )rrrtO

rrO

rtO

rO EOvvvv −×+=+= ω

rrrrr


( )s/m003

v rtO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )m

221

221

000

EO r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

10100

221005kji

EOv rrrrO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−−=−×=

rrr

rrω

luego la velocidad relativa del punto O es

( )s/m10

103

10100

003

vvv rrO

rtO

rO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

la velocidad de arrastre del punto O viene dada por

( )aaatO

arO

atO

aO EOvvvv −×+=+= ω

rrrrr


( )s/m010

v atO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )m

143

143

000

EO a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

1204

143040kji

EOv aaarO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−−−=−×=

rrr

rrω


( )s/m1214

1204

010

vvv arO

atO

aO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr


- 74/116 -

y finalmente la velocidad total del punto O es

( )s/m211

1

1214

10103

vvv aO

rOO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

rrr

a este término le añadimos la rO/Mv

r

( ) ( )m412

000

412

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( ) ( )s/m

5200

412005kji

OMv rrO/M

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×=

rrr

rrω

y ( )OMa −×ωr

( ) ( )s/m8

016

412040kji

OMa

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==−×

rrr

rω

y finalmente la velocidad total del punto M es

( ) ( )s/m19

15

80

16

5200

211

1OMvvv ar

O/MOM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−×++= ω

rrrr

Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen O del sistema de referencia

( ) ( )[ ] rO/M

aaaarO/MOM v2OMOMaaa


Se comienza determinando la aceleración del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre

CO

aO

rOO aaaa

rrrr++=

Considerando únicamente el movimiento relativo la aceleración del punto O es,

( )[ ] ( )rrrrrtM

rrtO

rrtO

rrnO

rtO

rO EOEOvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω

rrrrrrrrr

Desarrollando cada uno de los términos ( rOvr


( )2rtO s/m

005

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )[ ] ( )2rrrt

Orrrn

O s/m50500

10103005kji

EOva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−=−×+×=

rrr

rrrrωω

( ) ( )2rr s/m16

160

221008kji

EO⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−−=−×

rrr

rα

luego la aceleración relativa del punto O es

( )2rrtO

rrnO

rtO

rO s/m

34665

16160

50500

005

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

La aceleración de arrastre del punto O viene dada por


- 75/116 -

( )[ ] ( )aaaaatM

aatO

artO

arnO

atO

aO EOEOvaaaaa −×+−×+×+=++= αωω

rrrrrrrrr

Desarrollando cada uno de los términos ( aOvr


( )2atO s/m

040

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( )[ ] ( )2aaat

Maarn

O s/m16048

1214040kji

EOva⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−=−×+×=

rrr

rrrrωω

( ) ( )2aaartO s/m

602

143020kji

EOa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

−−−−=−×=

rrr

rrα


( )2artO

arnO

atO

aO s/m

104

50

602

16048

040

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr


( )2rO

aCO s/m

24080

10103040kji

2v2a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

−=×=

rrr

rrrω


( )2CO

aO

rOO s/m

207025

24080

104

50

34665

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

a este vector se le añade la componente relativa, de arrastre y de Coriolis. La componente relativa es

( ) ( )[ ]OMOMa rrrrO/M −××+−×= ωωα

rrrr

( ) ( )2r s/m8320

412008kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×

rrr

rα ( )[ ] ( )2rr s/m

100250

5200005kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−=−××

rrr

rrωω

luego la aceleración relativa rO/Ma

r es

( )2rO/M s/m

92570

100250

8320

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

r

la componente de arrastre es

( ) ( )[ ]OMOM aaa −××+−× ωωαrrr


- 76/116 -

( ) ( )2a s/m408

412020kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−=−×

rrr

rα ( )[ ] ( )2aa s/m

64032

8016040kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

−=−××

rrr

rrωω

luego la componente de arrastre es

( ) ( )[ ] ( )2aaa s/m60040

64032

408

OMOM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−××+−× ωωα

rrr

la aceleración de Coriolis es

( )2rO/M

a s/m0040

5200040kji

2v2⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−=×

rrr

rrω

luego, finalmente, la aceleración Mar

vienen dada por

( ) ( )[ ]

( )2

rO/M

aaaarO/MOM

s/m1321325

0040

60040

92570

207025

v2OMOMaaa

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

=×+−××+−×++=rrrrrrrr

ωωωα

nuevo arrastre Igual que en el caso anterior, si el sistema de referencia OXYZ que se suponía fijo no lo fuera, sino que existe un nuevo movimiento de arrastre (arrastre 2), la velocidad y aceleración que se habían supuesto absolutas en el estudio anterior pasan a ser las componentes relativas de la nueva composición, a la cual hay que añadir el nuevo movimiento de arrastre y de Coriolis de la aceleración (Fig. 4.7).

er

ωr M

x y

z

O

Mrr

Er

αr vrt

art O’

'Orr 'O/M'r

rx’

y’

z’

ω a α a

v at a at

ea

Movimiento relativo


x’’

z’’

ω a2

Ea2

α a2

v at2

a at2

ea2

y’’

Movimiento de arrastre 2

Fig. 4.7 – Segundo movimiento de arrastre con reducción a O’.


- 77/116 -

De forma que en este caso la velocidad ( 2Mvr

) del punto (M) vendrá dada por

( ) M2r

'O/M2a2r

'O/M2'O

2M vvcon'OMvvv

rrrrrr=−×++= ω

Mientras que la aceleración ( 2Mar

) es

( ) ( )[ ] M2r

'O/M2r

'O/M2a2a2a2a2r

'O/M2

'O2M aaconv2'OM'OMaaa

rrrrrrrrrr=×+−××+−×++= ωωωα

Este proceso de composición de movimientos puede ser repetido, introduciendo todos los movimientos de arrastre posteriores que afecten cinemáticamente al sólido.

Ejemplo 4.7: El problema anterior (4.6) está sometido a un tercer movimiento que arrastra a los dos anteriores. Este movimiento tiene una velocidad y aceleración angular ω3 = -1 (rad/s), α3 = 6 (rad/s2) sobre un eje de rotación de unitario =3e

r{0, 0, 1} que pasa por el punto { } ( )m3,5,4OE3 =− . Además tiene velocidad y aceleración de

traslación de magnitudes v3 =9 (m/s) y a3 = -4 (m/s2), respectivamente, sobre el mismo eje de rotación.

Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la descomposición en movimiento relativo más arrastre y centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).

Se vuelve ha hacer el análisis cinemático de velocidades por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen del sistema de referencia

Movim. relativo: ( )s/m211

1v 2r

O⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

r, ( )22r

M s/m207025

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

r


00

2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=ω

r , ( )22a s/rad600

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r , ( )s/m900

v 2atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )22at

M s/m4

00

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

r

La velocidad del punto M es

( )OMvvv 2a2rO/M

2O

2M −×++= ω

rrrr

Se comienza determinando la velocidad del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre. El análisis por descomposición de los dos primeros movimientos ya se ha realizado en el problema anterior, por lo que todo lo que se consideraba velocidad y aceleración absolutas en ese problema pasan a ser velocidades y aceleraciones relativas.

2aO

2rO

2O vvv

rrr+=

Considerando únicamente el movimiento relativo que corresponde al absoluto del problema anterior

( )s/m211

1vv O

2rO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==

rr


( )2a2a2atO

2arO

2atO

2aO EOvvvv −×+=+= ω

rrrrr


( )s/m900

v 2atO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r ( ) ( )m

354

354

000

EO 2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−


- 78/116 -

( ) ( )s/m045

354100

kjiEOv 2a2a2ar

O⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−−−−=−×=

rrr

rrω


( )s/m945

045

900

vvv 2arO

2atO

2aO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+=

rrr

y finalmente la velocidad total del punto O es

( )s/m1115

6

945

211

1vvv 2a

O2r

O2O

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=+=

rrr

a este término le añadimos la 2rO/Mv

r

( ) ( )m412

000

412

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=− ( )s/rad

045

040

005

212r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+= ωωω

rrr

( ) ( )s/m3

2016

412045kji

OMv 2r2rO/M

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−==−×=

rrr

rrω

y

( ) ( )s/m02

1

412100

kjiOM2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−=−×

rrr

rω

y finalmente la velocidad total del punto M es

( ) ( )s/m87

11

02

1

320

16

1115

6OMvvv 2a2r

O/M2O

2M

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−×++= ω

rrrr

Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones del punto M por descomposición del movimiento en relativo más arrastre y reducción al origen O

( ) ( )[ ] 2rO/M

2a2a2a2a2rO/M

2O

2M v2OMOMaaa


Se comienza determinando la aceleración del punto O por descomposición del movimiento en relativo más arrastre

2CO

2aO

2rO

2O aaaa

rrrr++=

Se considera el movimiento relativo, que corresponde al absoluto del problema anterior

( )2O

2rO s/m

207025

aa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==

rr



- 79/116 -

( )[ ] ( )2a2a2a2a2a2atO

2artO

2arnO

2atO

2aO EOEOaaaaa −×+−××+=++= αωω

rrrrrrrr

Desarrollando cada uno de los términos ( ( )2a2a EO −×ωr


( )22atO s/m

400

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

r ( )[ ] ( )22a2a2at

O2a2arn

O s/m054

945100

kjiEOva

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=−×+×=

rrr

rrrrωω

( ) ( )22a2a2artO s/m

024

30

354600kji

EOa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−−−=−×=

rrr

rrα


( )22artO

2arnO

2atO

2aO s/m

419

34

024

30

054

400

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=

rrrr


( )22rO

2a2CO s/m

02

22

2111100

kji2v2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

−−=×=

rrr

rrrω

y finalmente la aceleración total de O es

( )22CO

2aO

2rO

2O s/m

165331

02

22

419

34

207025

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=++=

rrrr

a este vector se le añade la componente relativa, de arrastre y de Coriolis. La componente relativa es

( ) ( )[ ]OMOMa 2r2r2r2rO/M −××+−×= ωωα

rrrr

La aceleración angular 2rαr

se obtiene de derivar la velocidad angular

22112r ee

rrrωωω += 22221111

2r eeee&rr

&&rr&

rωωωωα +++=


i iω& ieωr

iω iΩr

i

eω&r

1 8 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

5 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∑

= 040

2

2jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==×

400

001040kji

e11

rrr

rr

ωΩ

2 -2 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

010

4 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==×

000

010000kji

e22

rrr

rr

ωΩ

la aceleración vale


- 80/116 -

( ) ( )222221111

2r s/rad202

8

000

4010

24

00

5001

8eeee⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+++=

&rr&&rr

&r

ωωωωα

( ) ( )22r s/m1272

12

4122028kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−−=−×

rrr

rα ( )[ ] ( )22r2r s/m

1641512

32016045kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

−−=−××

rrr

rrωω

luego la aceleración relativa 2rO/Ma

r es

( )22rO/M s/m

152570

1641512

1272

12a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

r

la componente de arrastre es

( ) ( )[ ]OMOM 2a2a2a −××+−× ωωαrrr

( ) ( )22a s/m012

6

412600kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−==−×

rrr

rα ( )[ ] ( )2aa s/m

012

021100

kjiOM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−

−=−××

rrr

rrωω

luego la componente de arrastre es

( ) ( )[ ] ( )22a2a2a s/m011

8

012

012

6OMOM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−××+−× ωωα

rrr

la aceleración de Coriolis es

( )22rO/M

2a s/m03240

32016100

kji2v2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−−−=×

rrr

rrω

luego, finalmente, la aceleración 2Mar

vienen dada por

( ) ( )[ ]

( )2

2rO/M

2a2a2a2a2rO/M

2O

2M

s/m1362517

03240

011

8

152570

165331

v2OMOMaaa

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

=×+−××+−×++=rrrrrrrr

ωωωα

comparación La diferencia de las expresiones

CM

aM

rMM aaaa

rrrr++= ( ) ( )[ ] r

'O/Maaaar

'O/M'OM v2'OM'OMaaarrrrrrrr

×+−××+−×++= ωωωα


- 81/116 -

es la misma que en el análisis de velocidades, por lo que mientras en la primera el movimiento se descompone en relativo más arrastre para el mismo punto M del sólido, en el segundo caso se utiliza un centro de reducción O’ distinto.

La diferencia entre las expresiones

( ) ( )[ ] r'O/M

aaaar'O/M'OM v2'OM'OMaaa



es que en la última la aceleración angular total (αr

) se ha obtenido derivando la velocidad angular total

( ) ( ) i

1i

1jjii

n

1iiiii eeeee

rrrr&r&rr

&r

×=×=+= ∑∑−

==ωΩωωα

Con cualquiera de las fórmulas se obtiene siempre el mismo resultado.

notación con puntos coincidentes

Nuevamente utilizando la notación de movimiento relativo respecto de un sistema giratorio se pueden realizar modificaciones conceptuales de la fórmula

( )[ ] ( ) r'O/M

arP/M

aaa'OM v2a'OP'OPaa

rrrrrrrr×++−×+−××+= ωαωω

en la que: M – Es el punto del que se quiere determinar la velocidad

O’ – Es un punto del sistema móvil.

P – Es el punto del sistema móvil que coincide (inicialmente) con el punto del que se quiere calcular la velocidad.

Con esta notación se pueden utilizar las siguientes formulaciones equivalentes

( )[ ] ( )

'O/M'OM

P/MPM

P/Ma

'O/P'OM

r'O/M

arP/M

aaa'OM

aaa

aaa

aaaa

v2a'OP'OPaa

rrr

444444 3444444 21

rrr

r

4444 34444 21

rrr

444 3444 21

rrr

444444 3444444 21

rrrrr

+=

+=

++=

×++−×+−××+= ωαωω

Ejemplo 4.8: El sólido rígido del problema 4.4 está sometido a dos movimientos rototraslatorios simultáneos.


r{1,




Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la velocidad y aceleración angular total y con centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).

Los datos del problema son


- 82/116 -


r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2r s/rad

008

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r, ( )s/m

003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2rt

M s/m005

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r


a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2a s/rad

02

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=α

r, ( )s/m

010

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2at

M s/m040

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r


O⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

La velocidad del punto M viene dada por

( )OMvv OM −×+= ωrrr

con ∑=

=n

1iiωωrr

La velocidad del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre

( )s/m211

1

1214

10103

vvv aO

rOO

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

rrr

la velocidad angular total es

( )s/rad045

040

005

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

y

( ) ( )s/m3

2016

5103045kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−−=−×

rrr

rω

luego la velocidad total del punto M es

( ) ( )s/m19

15

320

16

211

1OMvv OM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−×+= ω

rrr

Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones con reducción al origen O del sistema de referencia

( ) ( )[ ]OMOMaa OM −××+−×+= ωωαrrrrr

La aceleración del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre y Coriolis

( )2CO

aO

rOO s/m

207025

24080

104

50

34665

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=++=

rrrr

a este vector se le añade ( ) ( )[ ]OMOM −××+−× ωωαrrr

.

Para la determinación de la aceleración angular se utilizan las expresiones


- 83/116 -

( ) ( )∑∑∑+=+==

=×=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n

1ijji

n

1ijji

n

1iii iiiii


&r


2211eeee 2211 ωωωω ωωωωα&rr

&&rr&

r+++=


i iω& ieωr

iω iΩr

i

eω&r

1 8 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

5 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∑

= 040

2

2jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==×

400

001040kji

e11

rrr

rr

ωΩ

2 -2 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

010

4 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==×

000

010000kji

e22

rrr

rr

ωΩ


( ) ( )22211 s/rad

202

8

000

4010

24

00

5001

8eeee2211

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+++= ωωωω ωωωωα

&rr&&rr

&r

luego

( ) ( )2s/m1641512

4122028kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−×

rrr

rα

y

( )[ ] ( )2s/m1272

12

32016045kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

−−=−××

rrr

rrωω

luego la aceleración del punto M es

( ) ( )[ ] ( )2OM s/m

1321325

1272

12

1741512

207025

OMOMaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−××+−×+= ωωα

rrrrr

Ejemplo 4.9: El problema anterior (4.8) está sometido a un tercer movimiento que arrastra a los dos anteriores. Este movimiento tiene una velocidad y aceleración angular ω3 = -1 (rad/s), α3 = 6 (rad/s2) sobre un eje de rotación de unitario =3e

r{0, 0, 1} que pasa por el punto { } ( )m3,5,4OE3 =− . Además tiene velocidad y aceleración de

traslación de magnitudes v3 =9 (m/s) y a3 = -4 (m/s2), respectivamente, sobre el mismo eje de rotación.

Determinar la velocidad y aceleración lineal del punto M de coordenadas M = {2, 1, 4} (m) utilizando la descomposición en movimiento relativo más arrastre y centro de reducción el origen del sistema de referencia O = {0, 0, 0} (m).

Se vuelve ha hacer el análisis cinemático de velocidades por obtención de las velocidades y aceleraciones


- 84/116 -

angulares totales y reducción al origen del sistema de referencia. Los datos del problema son:


r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2r s/rad

008

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r, ( )s/m

003

v rtM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2rt

M s/m005

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r


a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r, ( )2a s/rad

02

0

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=α

r, ( )s/m

010

v atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )2at

M s/m040

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r


00

2a

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=ω

r , ( )22a s/rad600

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=α

r , ( )s/m900

v 2atM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

r, ( )22at

M s/m4

00

a⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

r


O⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

( )OMvv OM −×+= ωrrr

con ∑=

=n

1iiωωrr

La velocidad del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre

( )s/m1115

6

945

211

1vvv 2a

O2r

O2O

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=+=

rrr

la velocidad angular total es

( )s/rad1

45

100

040

005

n

1ii

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧== ∑

=ωωrr

y

( ) ( )s/m3

2217

5103145

kjiOM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−−−=−×

rrr

rω

luego la velocidad total del punto M es

( ) ( )s/m87

11

323

17

1115

6OMvv OM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=−×+= ω

rrr

Se hace ahora el análisis cinemático de aceleraciones con reducción al origen O del sistema de referencia

( ) ( )[ ]OMOMaa OM −××+−×+= ωωαrrrrr

La aceleración del punto O ya ha sido calculada anteriormente por descomposición de movimiento relativo más arrastre y Coriolis

( )22CO

2aO

2rO

2O s/m

165331

02

22

419

34

207025

aaaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=++=

rrrr


- 85/116 -

a este vector se le añade ( ) ( )[ ]OMOM −××+−× ωωαrrr

.

Para la determinación de la aceleración angular se utilizan las expresiones

( ) ( )∑∑∑+=+==

=×=×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

n

1ijji

n

1ijji

n

1iii iiiii


&r


332211eeeeee 332211 ωωωωωω ωωωωωωα&rr

&&rr&&rr

&r

+++++=


i iω& ieωr

iω iΩr

i

eω&r

1 8 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

5 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=∑

= 140

100

040

3

2jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=−=×

41

0

001140

kjie

11

rrr

rr

ωΩ

2 -2 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

010

4 ( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=∑

= 100

3

3jjωr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−=×

001

010100

kjie

22

rrr

rr

ωΩ

3 6 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

-1 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==×

000

100000kji

e33

rrr

rr

ωΩ


( ) ( ) ( )2

332211

s/rad147

12

000

1100

6001

4010

241

05

001

8

eeeeee332211

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

=+++++= ωωωωωω ωωωωωωα&rr

&&rr&&rr

&r

luego

( ) ( )2s/m267614

41214712kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

=−−=−×

rrr

rα

y

( )[ ] ( )2s/m178

234

32217145kji

OM⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=−−

=−××

rrr

rrωω

luego la aceleración del punto M es

( ) ( )[ ] ( )2OM s/m

1362517

1782

34

267614

165331

OMOMaa⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−−

+⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−××+−×+= ωωα

rrrrr


- 86/116 -

análisis de velocidad y aceleración

Luego hay tres caminos diferenciados para determinar la velocidad y aceleración de un punto de un sólido, que son

Por reducción a un punto de una composición de rotaciones

( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr [ ]∑

==

n

1iiωωrr


( ) ( ) i

1i

1jjii

n

1iiiii eeeee

rrrr&r&rr

&r

×=×=+= ∑∑−

==ωΩωωα

Por movimiento relativo más arrastre

( )[ ] ( )[ ]444 3444 21

rr444 3444 21

rrr

rr aM

rM v

aaatM

v


( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )( )44444 344444 21

rrr

444444444 3444444444 21rrr

&r

&

444444444 3444444444 21rrr

&r

&r

r

r

r

CM

aM

rM

a

rrrtM

a

a

aaaaaaaatM

a

rrrrrrrrtMM

EMv2

EMEMeev

EMEMeeva

−×+×+

+−××+−×++

+−××+−×+=

ωω

ωωω

ωωω

Por reducción a un punto y composición de movimientos

( )

( )'OMvvv a

'OM

r'O/M'OM

r

−×++=

−×

ωω

r321

rrr

r

ó ( ) rP/M

a'OM v'OPvv

rrrr+−×+= ω

( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )321

rrrrr321

rrr

rrrr'OM

r'O/M

aaaa

'OM'OM

r'O/M'OM

rrrr

v2'OM'OMaaa−×−×+−××

×+−××+−×++=

ωαωω

ωωωα

ó

( )[ ] ( ) r'O/M

arP/M

aaa'OM v2a'OP'OPaa

rrrrrrrr×++−×+−××+= ωαωω

Los tres procedimientos dan lugar a los mismos resultados pero mediante caminos distintos que no deben de ser confundidos para que la resolución sea satisfactoria.

5. Ángulos de Euler

- 87/116 -


Para el estudio cinemático de un sólido o un sistema de referencia con movimiento de rotación existe un conjunto de coordenadas, denominadas de Euler, basadas en tres ángulos que facilitan la determinación de su orientación.

Este estudio permite una gran libertad en la definición de los parámetros de forma que, como se verá más adelante, serán válidos siempre que cumplan unas mínimas condiciones, lo que posibilita un gran número de opciones.

Ante la libertad en la elección de parámetros se pueden utilizar dos estrategias: o bien elegir libremente los parámetros, de forma que cumplan con las condiciones mínimas, o bien mantener siempre los mismos parámetros. El primer caso flexibiliza su adaptación a un problema específico, pero sin que exista una formulación predefinida, por lo que es necesario realizar los desarrollos correspondientes para su obtención. En el segundo caso se fijan los parámetros, cumpliendo con sus condiciones mínimas, lo cual complica su adaptación a un problema específico, para lo que habrá que realizar un proceso de análisis, pero mantiene la notación y la formulación no siendo necesario realizar los desarrollos correspondientes en cada caso. En el análisis se ha optado por la segunda estrategia.

Concepto clave En el estudio seguido se fija cada parámetro, lo cual complica su adaptación a un problema específico pero mantiene siempre la misma formulación.

Para el análisis se parte de un sistema de referencia fijo de ejes Ozyz y unitarios k,j,i

rrr. Se van a

considerar tres movimientos, asociando a cada uno un ángulo, una base y unos ejes.

movimiento de precesión

El primer movimiento se denomina de precesión y está asociado al ángulo ψ (psi). Este movimiento tiene la condición de aparecer en un plano fijo, que podría ser uno de los que forman el sistema de referencia inicial (Oxyz) u otro cualquiera (libertad de definición del parámetro). En el análisis se considera el movimiento de precesión (ψ ) en el plano xOy, perpendicular al eje fijo z (Fig. 5.1), por lo que la velocidad de precesión (ψ& ) se encuentra sobre dicho eje (parámetro fijado al eje z).

x y

z= z1

x1

y1

ψ

ψ

ψ&

O

Fig. 5.1 – Movimiento de precesión.

De esta forma se podrá definir un sistema de referencia de ejes Ox1y1z1 y unitarios 111 k,j,irrr

que gira respecto del sistema fijo Oxyz con velocidad angular de precesión (ψ& ).

Concepto clave La velocidad de precesión (ψ& ) está asociada a un eje fijo (en el análisis el eje z).

La aparición de este sistema de referencia con movimiento de precesión (Ox1y1z1) permite determinar una matriz de cambio de base ( [ ]A ) para ir de la base fija ( k,j,i

rrr) a la base con movimiento de presesión


- 88/116 -

( 111 k,j,irrr

). Los términos de esta matriz ( [ ]A ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la base de

llegada ( 111 k,j,irrr

) en función de la de salida ( k,j,irrr

)

[ ]

[ ]111

A

A

zyxxyzt⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯

kk

jcosisenj

jsenicosi

1

1

1

rr

rrr

rrr

=

+−=

+=

ψψ

ψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

movimiento de nutación

A continuación se considera un movimiento denominado de nutación, asociado al ángulo θ (theta), que cumple con la condición de que es arrastrado por el de precesión, por lo que el movimiento de nutación aparece en un plano perpendicular a un eje con movimiento de precesión, que podría ser uno de los que forman el sistema de referencia con movimiento de precesión Ox1y1z1 u otro cualquiera (libertad de definición del parámetro). En este análisis se considera el movimiento de nutación (θ ) asociado al plano y1Oz1 perpendicular al eje con movimiento de precesión x1 (Fig. 5.2), por lo que la velocidad de nutación (θ& ) se encuentra sobre dicho eje (parámetro fijado al eje x1).

x y

z= z1

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ&θ

θ

θ&

y’1

z’1

O

Fig. 5.2 – Movimientos de precesión y nutación.

De esta forma se podrá definir un sistema de referencia de ejes Ox’1y’1z’1, y unitarios 111 'k,'j,'irrr

que se mueve respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión (Ox1y1z1) con velocidad de nutación (θ& ), y respecto del sistema de referencia fijo (Oxyz) con las velocidades de precesión y nutación (ψ& ,θ& ).

Concepto clave La velocidad de nutación (θ& ) está asociada a un eje con movimiento de precesión (ψ ) (en el análisis el eje x1).

La aparición de este sistema de referencia (Ox’1y’1z’1) con movimiento de nutación (θ& ) respecto del sistema con movimiento de precesión (Ox1y1z1) permite determinar una matriz de cambio de base ( [ ]B ) para ir de la base con movimiento de precesión ( 111 k,j,i

rrr) a la base con movimiento de presesión y

nutación ( 111 'k,'j,'irrr

). Los términos de esta matriz ( [ ]B ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la

base de llegada ( 111 'k,'j,'irrr

) en función de la de salida ( 111 k,j,irrr

)

[ ]

[ ]111

B

B

111 'z'y'xzyxt⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯


- 89/116 -

111

111

11

kcosjsen'k

ksenjcos'j

i'i

rrr

rrr

rr

θθ

θθ

+−=

+=

=

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B

movimiento de rotación propia

A continuación se considera un movimiento denominado de rotación propia, asociado al ángulo ϕ (phi), que cumple con la condición de que es arrastrado por los movimientos de precesión y nutación, por lo que el movimiento de rotación propia aparece en un plano perpendicular a un eje con movimientos de precesión y nutación, que podría ser uno de los que forman el sistema de referencia Ox’1y’1x’1 u otro cualquiera (libertad de definición del parámetro). En este análisis se considera el movimiento de rotación propia (ϕ ) asociado a un plano x’1Oy’1 perpendicular al eje con movimiento de precesión y nutación z’1 (Fig. 5.3), por lo que la velocidad de rotación propia (ϕ& ) se encuentra sobre dicho eje (parámetro fijado al eje z’1).

x y

z= z1

O

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ&θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ& ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

Fig. 5.3 – Movimientos de precesión, nutación y rotación propia.

De esta forma aparecerá un sistema de referencia de ejes Ox’’1y’’1z’’1, y unitarios 111 ''k,''j,''irrr

que se mueve respecto del sistema de referencia con movimientos de precesión y nutación Ox’1y’1z’1 con velocidad de rotación propia (ϕ& ), respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión

Ox’1y’1z’1 con velocidad de nutación y rotación propia (θ& , ϕ& ), y respecto del sistema de referencia fijo

Oxyz con velocidad de precesión, nutación y rotación propia (ψ& , θ& , ϕ& ).

Concepto clave La velocidad de rotación propia (ϕ& ) está asociada a un eje con movimientos de precesión y nutación (ψ ,θ ) (en el análisis el eje z’1).

La aparición de este sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (x’’1y’’1z’’1) permite determinar una matriz de cambio de base ( [ ]C ) para ir de la base con movimientos de precesión y nutación ( 111 'k,'j,'i

rrr) a la base con movimientos de presesión, nutación y rotación propia

( 111 ''k,''j,''irrr

). Los términos de esta matriz ( [ ]C ) se obtienen poniendo los unitarios asociados a la base de

llegada ( 111 ''k,''j,''irrr

) en función de la de salida ( 111 'k,'j,'irrr

).

[ ]

[ ]111

C

C

111 ''z''y''x'z'y'xt⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯

11

111

111

'k''k

'jcos'isen''j

'jsen'icos''i

rr

rrr

rrr

=

+−=

+=

ϕϕ

ϕϕ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

C ϕϕϕϕ


- 90/116 -

velocidad angular total A partir de las componentes de la velocidad de precesión (ψ& ) actuando sobre la dirección ( kr

), nutación

(θ& ) actuando sobre la dirección ( 1ir

), y rotación propia (ϕ& ) actuando sobre la dirección ( 1'kr

) (Fig. 5.4), la velocidad angular total del sistema (ω

r) se puede expresar mediante la suma vectorial

11 'kikr

&r&

r&

r ϕθψω ++=

x y

z= z1

O

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ&θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ&

ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

ωr

Fig. 5.4 – Velocidad angular total.

Como esta velocidad angular total (ωr

) está expresada utilizando las coordenadas de Euler ( ϕθψ ,, )

respecto de tres bases móviles distintas ( 111 k,j,irrr

- 111 'k,'j,'irrr

- 111 ''k,''j,''irrr

) en cada instante, para su correcta manipulación se debe transformar a alguna de las bases, a través de las matrices de cambio de base indicadas anteriormente.

Se va a analizar por tanto las características cinemáticas del sólido en cada una de las bases anteriormente indicadas.

5.1. Características cinemáticas en base fija.

velocidad angular Si se desea transformar la velocidad angular total (ωr

) a la base fija (de notación xyzωr

, en la base k,j,irrr

),

habrá que transformar los unitarios 11 'kyi,krrr

en los que está definida ωr

a dicha base.

11 'kikr

&r&

r&

r ϕθψω ++=

El unitario kr

ya se encuentra en dicha base, por lo que no es necesario ningún tipo de transformación.

El unitario 1ir

se encuentra en la base 111 k,j,irrr

, luego para transformarlo a la base k,j,irrr

habrá que utilizar el cambio de base

[ ]

[ ]111

A

A


⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cossen0sencos

A t ψψψψ

de forma que

5.1 Características cinemáticas en base fija.

- 91/116 -

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0sencos

001

1000cossen0sencos

zyx

ψψ

ψψψψ

De la misma manera el unitario 1'kr

se encuentra en la base 111 'k,'j,'irrr

, luego para transformarlo a la base

k,j,irrr

habrá que utilizar los cambios de base

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]111

B

B

111A

A

'z'y'xzyxxyztt ⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

1000cossen0sencos

A t ψψψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

θθθθ

cossen0sencos0001

B t

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθ

θθθθ

cossen0

100

cossen0sencos0001

zyx

1

1

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθψ

θψ

θθψψ

ψψ

cossencos

sensen

cossen0

1000cossen0sencos

zyx

Luego el vector velocidad angular en la base fija ( xyzωr

) viene definido por

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒++=

θϕψθψϕψθθψϕψθ

θθψ

θψϕψ

ψθψωϕθψω

cossencossensensencos

cossencos

sensen

0sencos

100

'kik xyz11

&&

&&

&&

&&&rr

&r&

r&

r

aceleración angular La aceleración angular en la base fija ( xyzαr

) se obtiene derivando la velocidad angular ( xyzωr

) respecto del tiempo, luego,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−+−++++−

=θθϕθϕψ

θψθϕθψψϕθψϕψψθψθθψθϕθψψϕθψϕψψθψθ

α

sencoscoscossensensencoscossencossensencossensensencos

xyz&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

Como los unitarios están asociados a una base fija, su variación respecto del tiempo es nula y no influyen en la obtención de la aceleración angular.

Concepto clave En base fija los unitarios no varían con el tiempo.


- 92/116 -

Ejemplo 5.1: Un disco gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y, todos ellos en los sentidos que marca la figura. Determinar la velocidad y aceleración angular absoluta del disco respecto del sistema de referencia fijo Oxyz definido.

α1

α3

B

ω2

3

La resolución del problema se basa en la aplicación de las expresiones obtenidas

eee

eee

zyx

zyx


⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=θϕψ

θψϕψθθψϕψθ

ω

&&

&&

&&r

eee

eee

zyx

zyx


⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−+−++++−

=θθϕθϕψ


α

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

para lo cual es necesario determinar los valores de los parámetros de Euler de posición, velocidad y aceleración que adapten el problema al planteamiento teórico, analizando los movimientos de forma progresiva, tomando como referencia la figura correspondiente al estado final.

Para ello, inicialmente el estudio se realiza sobre un sistema de referencia asociado a los ángulos de Euler en el que el eje ze corresponde a la rotación respecto de un eje fijo, por lo que el sistema de referencia Oxeyeze fijo de Euler considerado es el que aparece en la figura. Los ejes xe e ye podrían haber tomado cualquier otra orientación.

α1

α3

B

ω2

3

xe

ye

ze

xe ye

ze= z1

O

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ& θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ& ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

Sobre este sistema la velocidad y aceleración 3ωr

y 3αr

corresponden a la velocidad y aceleración de precesión ( ψψ &&& , ), ya que están asociados al eje fijo ze.

La velocidad 2ωr

es arrastrada únicamente por el movimiento de precesión, luego corresponde al movimiento de nutación y, siguiendo el planteamiento teórico, ha de estar sobre el eje x1, por lo que el sistema de referencia con movimiento de precesión Ox1y1z1 es el que aparece en la figura


- 93/116 -

α1

α3

B

ω2

3

xe

ye=x1

ze=z1

y1

ψ

xe ye

ze= z1

O

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ& θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ& ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

Sobre este sistema la velocidad 2ωr

corresponde a la velocidad de nutación (θ& ), ya que está asociada al eje con movimiento de presesión x1. La velocidad y aceleración angular 1ω

r y 1α

r son arrastradas por los

movimientos de precesión y nutación, luego corresponden al movimiento de rotación propia y, siguiendo el planteamiento teórico, ha de estar sobre el eje z’1, por lo que el sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Ox’1y’1z’1 es el que aparece en la figura

α1

α3

B

ω2

3

xe=z’1

ye=x1=x’1

ze=z1=y’1

y1

θ

ψ

xe ye

ze= z1

O

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ& θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ& ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

Sobre este sistema se puede definir un sistema de referencia Ox’’1y’’1z’’1 cuyos ejes son arrastrados por los movimientos de precesión, nutación y rotación propia, luego se podría definir un ángulo φ de rotación propia que definiera la posición de este sistema (en este problema no se ha hecho ya que no se necesario para su resolución)

α1

α3

B

ω2

3

xe=z’1=z’’1

ye=x1=x’1

ze=z1=y’1

y1

θ

ψ

x’’1

y’’1

ϕ

xe ye

ze= z1

O

x1 = x’1

y1

ψ

ψ

ψ& θ

θ

θ&

y’1

z’1 = z’’1

ϕ& ϕ

ϕ

y’’1

x’’1

Según todo lo anterior, los parámetros a sustituir en las ecuaciones son los siguientes

( ) ( )( )( ) ( )2

2

s/rad9s/rad15

0s/rad102

s/rad6s/rad82

−==

===

−===

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&

Por lo que sustituyendo en las ecuaciones anteriores


- 94/116 -

( )s/rad8

1015

cos158

sencos15sen10

sensen15cos10


eee

eee

zyx

zyx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=

2

2

2

2

2

2

2

π

πππ

πππ

θϕψθψϕψθθψϕψθ

ω&&

&&

&&r

( )

( )

( ) ( )

( )2

zyx

zyx

s/rad156

12089

2sen1015

2cos96

2cos

2cos1015

2sen

2sen815

2sen

2cos9

2cos810

2sen0

2cos

2sen1015

2sen

2cos815

2sen

2sen9

2sen810

2cos0


eee

eee

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−+−++++−

=

ππ

ππππππππ

ππππππππ

θθϕθϕψθψθϕθψψϕθψϕψψθψθθψθϕθψψϕθψϕψψθψθ

α

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

Como estos vectores están definidos respecto del sistema de referencia Oxeyeze de Euler en vez de en el sistema de referencia inicial del problema (Oxyz) habrá que realizar un cambio de sistema de referencia

α1

α3

B

ω2

3

z=xe

x=ye

y=ze

En este caso es sencillo ya que corresponde a intercambiar las siguientes componentes

yzxyzx eee →→→

luego la velocidad y la aceleración angular en el sistema de referencia del problema son

( )s/rad158

10

eee

eee

zyx

zyx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ω

r ( )2

zyx

zyx s/rad89

156120

eee

eee⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=α

r

5.2. Características cinemáticas en base con movimiento de precesión

velocidad angular Si se desea transformar la velocidad angular (ωr

) a la base con movimiento de precesión (111 zyxω

r en la

base 111 k,j,irrr

), habrá que transformar los unitarios 11 'kyi,krrr

a dicha base

5.2 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión

- 95/116 -

11 'kikr

&r&

r&

r ϕθψω ++=

El unitario kr

se encuentra en la base k,j,irrr

, luego para transformarlo a la base 111 k,j,irrr


[ ]

[ ]111

A

A


⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

100

1000cossen0sencos

zyx

1

1

1

ψψψψ

y como en el planteamiento el unitario kr

y el 1kr

coinciden, no varía.

El unitario 1ir

se encuentra ya en la base 111 k,j,irrr

, por lo que no es necesario ningún tipo de transformación.

El unitario 1'kr


, luego para transformarlo a la base 111 k,j,irrr


[ ]

[ ]111

B

B

111 'z'y'xzyxt⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

θθθθ

cossen0sencos0001

B t

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθ

θθθθ

cossen0

100

cossen0sencos0001

zyx

1

1

1

Luego el vector velocidad angular absoluta definida en la base con movimiento de precesión (111 zyxω

r)

viene definido por

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒++=

θϕψθϕ

θ

θθϕθψωϕθψω

cossen

cossen0

001

100

'kik111 zyx11

&&

&

&

&&&rr

&r&

r&

r

Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.


- 96/116 -

velocidad angular relativa a la base con


El vector velocidad angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión ( 1z1y1x

111

rzyxω

r) se

obtiene anulando la componente de velocidad de precesión (ψ& ) en la velocidad angular anteriormente indicada.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

θϕθϕ

θ

θθϕθω

cossen

cossen0

001

1z1y1x

111

rzyx

&

&

&

&&r

aceleración angular La aceleración angular absoluta (111 zyxα

r) se obtiene derivando la velocidad angular absoluta (

111 zyxωr

)

respecto del tiempo, sin embargo en este caso la base ( 111 k,j,irrr

) no es fija, sino que tiene movimiento de precesión, luego para obtener la derivada absoluta habrá que tener en cuenta la variación de los unitarios utilizando la formulación de Poisson

111111111111111111111111111 zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx eee ωΩωωωαrrr

&&rr&

r×+=+=

expresión en la que la derivada de las componentes de la velocidad angular respecto del tiempo viene dada por,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−−=

θθϕθϕψθθϕθϕ

θω

sencoscossene

111111 zyxzyx&&&&&&

&&&&

&&r

&

Este vector no coincide con la aceleración angular ( xyzαr

) anteriormente determinada en la base fija (OXYZ), ya que se ha calculado respecto de una base móvil considerada como fija por haber derivado las componentes pero no los unitarios.

La velocidad angular del sistema de referencia con movimiento de precesión (111 zyxΩ

r) es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

ψΩ

θϕψθϕ

θω

&

r

&&

&

&r

00

cossen

111111 zyxzyx

obtenida a partir de la expresión de 111 zyxω

r, en la que la única componente de velocidad distinta de cero es

la de precesión (ψ& ) debido a que el sistema de referencia OX1Y1Z1 se mueve solo con movimiento de precesión, luego el desarrollo del segundo sumando de la aceleración angular es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

+−=×

0

sen

cossen00

kji 111

zyxzyx 111111θψ

θϕψ

θϕψθϕθψωΩ &&

&&

&&&&

&

rrr

rr

Concepto clave En base con movimiento de precesión (ψ ) los unitarios varían con el tiempo.

y la aceleración angular absoluta en la base con movimiento de precesión queda


- 97/116 -

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−++−−

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−−=×+=

θθϕθϕψθψθθϕθϕ

θϕψθθψ

θϕψ

θθϕθϕψθθϕθϕ

θωΩωα

sencoscossensen

0

sen

sencoscossene

111111111111111 zyxzyxzyxzyxzyx&&&&&&

&&&&&&

&&&&

&&

&&

&&&&&&

&&&&

&&rrr

&r

Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.

aceleración angular relativa a la base con


El vector aceleración angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión ( 1z1y1x

111

rzyxα

r)

se obtiene derivando respecto del tiempo las componentes de la velocidad angular relativa 1z1y1x

111

rzyxω

r,

anteriormente indicadas

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−==

θθϕθϕθθϕθϕ

θωα

sencoscossene

1111z1y1x

1111z1y1x

111 zyxr

zyxr

zyx&&&&

&&&&

&&r

&r

Ejemplo 5.2: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión.

α1

α3

B

ω2

3

El problema es el mismo que al anterior, por lo que los parámetros ya obtenidos son válidos.

El estudio se va ha hacer sobre el sistema de referencia con movimiento de precesión Ox1y1z1 que aparece en la figura

α1

α3

B

ω2

3

xe

ye=x1

ze=z1

y1

ψ


- 98/116 -

Los parámetros a sustituir en las ecuaciones son los siguientes

( ) ( )( )( ) ( )2

2

s/rad9s/rad15

0s/rad102

s/rad6s/rad82

−==

===

−===

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&

Por lo que sustituyendo en las ecuaciones asociadas a la velocidad y aceleración angular absolutas

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

θϕψθϕ

θω

cossen

111 zyx&&

&

&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−++−−

+=


θϕψθα

sencoscossensen

111 zyx&&&&&&

&&&&&&

&&&&r

se obtienen dichos valores

( )s/rad815

10

2cos158

2sen15

10

cossen

111 zyx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

π

π

θϕψθϕ

θω

&&

&

&r

( ) ( )

( )s/rad15665

120

2sen1015

2cos96

1082

cos10152

sen15

2sen1580

sencoscossensen

111 zyx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−+−

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−++−−

+=

ππ

ππ

π


θϕψθα

&&&&&&

&&&&&&

&&&&r

La velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión se obtienen de las expresiones

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=θϕθϕ

θω

cossen1z1y1x

111

rzyx

&

&

&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=


θα

sencoscossen1z1y1x

111

rzyx

&&&&

&&&&

&&r

sustituyendo valores

( )s/rad015

10

2cos15

2sen15

10

cossen1z1y1x

111

rzyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

π

π

θϕθϕ

θω

&

&

&r

( )

( )s/rad150150

2sen1015

2cos9

2cos1015

2sen15

0

sencoscossen1z1y1x

111

rzyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−−=

ππ

ππ


θα

&&&&

&&&&

&&r

5.3 Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación

- 99/116 -

5.3. Características cinemáticas en base con movimiento de precesión y nutación


) a la base con movimiento de precesión y nutación (de notación

111 'z'y'xωr

en la base 111 'k,'j,'irrr

), habrá que transformar los unitarios 11 'kyi,krrr

a dicha base.

11 'kikr

&r&

r&

r ϕθψω ++=

El unitario kr


, luego para transformarlo a la base 111 'k,'j,'irrr


[ ]

[ ]

[ ]

[ ]111

B

B

111A

A

'z'y'xzyxxyztt ⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

100

1000cossen0sencos

zyx

1

1

1

ψψψψ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθ

θθθθ

cossen

0

100

cossen0sencos0

001

'z'y'x

1

1

1

El unitario 1ir


, luego para transformarlo a la base 111 'k,'j,'irrr


[ ]

[ ]111

B

B

111 'z'y'xzyxt⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

001

cossen0sencos0

001

'z'y'x

1

1

1

θθθθ

como en el planteamiento el unitario 1ir

y el 1'ir

coinciden, no varía.

El unitario 1'kr

se encuentra ya en la base 111 k,j,irrr

, por lo que no es necesario ningún tipo de transformación.


- 100/116 -

Luego el vector velocidad angular total en la base con movimiento de precesión y nutación (111 'z'y'xω

r)

viene definido por

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒++=

θψϕθψ

θϕθ

θθψωϕθψω

cossen

100

001

cossen

0 'kik

111 'z'y'x11

&&

&

&

&&&rr

&r&

r&

r

Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) y en la base con movimiento de precesión (OX1Y1Z1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.


movimiento de precesión y nutación

El vector velocidad angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión y nutación ( 1'z1'y1'x

111

r'z'y'xω

r) se obtiene anulando las componentes de velocidad de precesión y nutación (ψ& , θ& ) en la

velocidad angular anteriormente indicada

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ϕϕω

&

&r

00

100

1'z1'y1'x

111

r'z'y'x

aceleración angular La aceleración angular absoluta (111 'z'y'xα

r) se obtiene derivando la velocidad angular (

111 'z'y'xωr

) respecto

del tiempo, sin embargo en este caso la base 111 'k,'j,'irrr

no es fija, sino que tiene movimiento de precesión y nutación, luego para obtener la derivada absoluta habrá que tener en cuenta la variación de los unitarios,

111111111111111111111111111 'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x eee ωΩωωωαrrr

&&rr&

r×+=+=


⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−++=

θθψθψϕθθψθψ

θω

sencoscossene

111111 'z'y'x'z'y'x&&&&&&

&&&&

&&r

&

Este vector no coincide con la aceleración angular ( xyzαr

) determinada en la base fija (OXYZ), ni con la

obtenida en el desarrollo de 111111 zyxzyx e

r&ω , ya que corresponde a la variación de las componentes respecto

de una base móvil considerada como fija por derivación de las componentes pero no de los unitarios.

La velocidad angular del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación (111 'z'y'xΩ

r) es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

θψθψ

θΩ

θψϕθψ

θω

cossen

cossen

111111 'z'y'x'z'y'x

&

&

&r

&&

&

&r

obtenida a partir de la expresión de 111 'z'y'xω

r, en la que las componentes de precesión (ψ& ) y nutación (θ& )

son distintas de cero, como el sistema de referencia OX’1Y’1Z’1 se mueve con los movimientos de precesión y nutación, luego el desarrollo del segundo sumando de la aceleración angular es


- 101/116 -

( )( )

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−

−+=

+=×

θψθθψθθψϕθθψθ

θψθψθψϕθψ

θψϕθψθθψθψθωΩ

sensencoscos

sencoscossen

cossencossen

'k'j'i 111

'z'y'x'z'y'x 111111

&&&&

&&&&&

&&&&&

&&&&

&&&

rrr

rr

Operando

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=×

0

sen

111111 'z'y'x'z'y'x ϕθθϕψ

ωΩ &&

&&rr

Concepto clave En base con movimiento de precesión y nutación (ψ ,θ ) los unitarios varían con el tiempo.

y la aceleración angular absoluta en la base con movimiento de precesión y nutación queda

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−+

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−++=×+=

θθψθψϕϕθθθψθψ

θϕψθϕθ

θϕψ

θθψθψϕθθψθψ

θωΩωα

sencoscossensen

0

sen

sencoscossene

111111111111111 'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x'z'y'x&&&&&&

&&&&&&

&&&&

&&

&&

&&&&&&

&&&&

&&rrr

&r

Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ) y en la base con movimiento de precesión y nutación (OX1Y1Z1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.


movimiento de precesión y nutación

El vector aceleración angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión y nutación ( 1'z1'y1'x

111

r'z'y'xα

r) se obtiene derivando respecto del tiempo las componentes de la velocidad angular relativa

1'z1'y1'x

111

r'z'y'xω

r, anteriormente indicadas

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

ϕωα

&&

r&

r00

e111

1'z1'y1'x

1111'z1'y1'x

111 'z'y'xr

'z'y'xr

'z'y'x

Ejemplo 5.3: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión y nutación del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación.

α1

α3

B

ω2

3



- 102/116 -

El estudio se va ha hacer sobre el sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación Ox’1y’1z’1 que aparece en la figura

α1

α3

B

ω2

3

xe=z’1

ye=x1=x’1

ze=z1=y’1

y1

θ

ψ


( ) ( )( )( ) ( )2

2

s/rad9s/rad15

0s/rad102

s/rad6s/rad82

−==

===

−===

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&


⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

θψϕθψ

θω

cossen

111 'z'y'x&&

&

&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−+

+=


θϕψθα

sencoscossensen

111 'z'y'x&&&&&&

&&&&&&

&&&&r


( )s/rad158

10

2cos815

2sen8

10

cossen

111 zyx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

π

π

θψϕθψ

θω

&&

&

&r

( )

( ) ( )

( )s/rad89

156120

2sen108

2cos69

15102

cos1082

sen6

2sen1580

sencoscossensen

111 zyx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−+−

⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−+

+=

ππ

ππ

π


θϕψθα

&&&&&&

&&&&&&

&&&&r

La velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión y nutación se obtienen de las expresiones

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ϕω

&

r00

1'z1'y1'x

111

r'z'y'x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ϕα

&&

r00

1'z1'y1'x

111

r'z'y'x

sustituyendo valores

( )s/rad1500

00

1'z1'y1'x

111

r'z'y'x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ϕω

&

r ( )s/rad

900

00

1'z1'y1'x

111

r'z'y'x

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

ϕα

&&

r

5.4 Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.

- 103/116 -

5.4. Características cinemáticas en base con movimientos de precesión, nutación y rotación propia.


) a la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (de notación

111 ''z''y''xωr

en la base 111 ''k,''j,''irrr

), habrá que transformar los unitarios

11 'kyi,krrr

a dicha base.

11 'kikr

&r&

r&

r ϕθψω ++=

El unitario kr


, luego para transformarlo a la base 111 ''k,''j,''irrr


[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]111

C

C

111B

B

111A

A

''z''y''x'z'y'xzyxxyzttt ⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯

⎯⎯ ⎯←⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

A ψψψψ

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

C ϕϕϕϕ

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

100

1000cossen0sencos

zyx

1

1

1

ψψψψ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θθ

θθθθ

cossen

0

100

cossen0sencos0

001

'z'y'x

1

1

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θϕθϕθ

θθϕϕ

ϕϕ

coscossensensen

cossen

0

1000cossen0sencos

''z''y''x

1

1

1

El unitario 1ir




[ ]

[ ]

[ ]

[ ]111

C

C

111B

B

111 ''z''y''x'z'y'xzyxtt ⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯⎯⎯ ⎯←⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

θθθθ

cossen0sencos0

001B [ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

C ϕϕϕϕ

de forma que


- 104/116 -

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

001

001

cossen0sencos0

001

'z'y'x

1

1

1

θθθθ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0sen

cos

001

1000cossen0sencos

''z''y''x

1

1

1

ϕϕ

ϕϕϕϕ

El unitario 1'kr




[ ]

[ ]111

C

C

111 ''z''y''x'z'y'xt⎯⎯ ⎯←

⎯→⎯

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossen0sencos

C ϕϕϕϕ

de forma que

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

100

100

1000cossen0sencos

''z''y''x

1

1

1

ϕϕϕϕ

Como en el planteamiento el unitario 1'kr

y el 1''kr

coinciden, sus componentes no varían.

Luego el vector velocidad angular en la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (

111 ''z''y''xωr

) viene definido por

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=⇒++=

θψϕϕθϕθψϕθϕθψ

ϕϕϕ

θθ

ϕθϕθ

ψωϕθψω

cos

sencossencossensen

100

0sen

cos

coscossensensen

'kik111 ''z''y''x11

&&

&&

&&

&&&rr

&r&

r&

r

Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ), en la base con movimiento de precesión (OX1Y1Z1) y en la base con movimiento de precesión y nutación (OX’1Y’1Z’1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.


movimiento de precesión, nutación y

rotación propia

El vector velocidad angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propias ( 1''z1''y1''x

111

r''z''y''xω

r) se obtiene anulando las componentes de velocidad de precesión, nutación y

rotación propias (ψ& , θ& , ϕ& ) por lo que es nula (evidente, ya que no existe movimiento de rotación relativo entre el sólido rígido y el sistema de referencia cuando ambos están afectados por los mismos movimientos de precesión, nutación y rotación propia)

01''z1''y1''x

111

r''z''y''x

rr=ω

aceleración angular La aceleración angular absoluta (111 ''z''y''xα

r) se obtiene derivando la velocidad angular (

111 ''z''y''xωr

) respecto del tiempo, sin embargo en este caso la base no es fija sino que tiene movimiento de precesión, nutación y rotación propia, luego para obtener la derivada absoluta habrá que tener en cuenta la variación


- 105/116 -

de los unitarios,

111111111111111111111111111 ''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x eee ωΩωωωαrrr

&&rr&

r×+=+=


⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−−+−+++

=θθψθψϕ

ϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψϕϕθϕθϕθϕψϕθθψϕθψ

ω

sencoscossensensencoscoscossensencoscossensencossensen

e111111 ''z''y''x''z''y''x

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

&

Este vector coincide con la aceleración angular ( xyzαr

) determinada en la base fija (OXYZ) en módulo dirección y sentido, aunque con distintas componentes, ya que, como se verá a continuación, la variación de sus unitarios respecto del tiempo son nulos.

Sin embargo este vector no coincide ni con 111111 zyxzyx e

r&ω , ni con

111111 'z'y'x'z'y'x er

&ω , ya que estos corresponden a la derivada respecto de una base móvil considerada como fija por haber derivado las componentes pero no los unitarios.

La velocidad angular del sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (

111 ''z''y''xΩr

) es

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+

=θψϕ

ϕθϕθψϕθϕθψ

Ωθψϕ


ω

cossencossencossensen


111111 ''z''y''x''z''y''x

&&

&&

&&r

&&

&&

&&r

obtenida a partir de la expresión de 111 ''z''y''xω

r, en la que las componentes de precesión (ψ& ), nutación (θ& )

y rotación propia (ϕ& ) son distintas de cero, como el sistema de referencia OX’’1Y’’1Z’’1 se mueve con los movimientos de precesión, nutación y rotación propia, por lo que coincide con la velocidad angular

111 ''z''y''xωr

, luego el desarrollo del segundo sumando de la aceleración angular es nulo

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

+−++−+=×

000

cossencossencossensencossencossencossensen

kji 111

''z''y''x''z''y''x 111111

θψϕϕθϕθψϕθϕθψθψϕϕθϕθψϕθϕθψωΩ

&&&&&&

&&&&&&

rrr

rr

correspondiente al producto vectorial de dos vectores equipolentes

Concepto clave En base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia (ψ ,θ , ϕ ) los unitarios del vector velocidad angular (

111 ''z''y''xωr

) no varían respecto del tiempo, ya que el vector velocidad angular que se deriva y la velocidad angular de variación de la base coinciden.

por lo que la aceleración angular absoluta en la base con movimiento de precesión y nutación queda

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−−−+−+++

=×+=θθψθψϕ


ωΩωα


e111111111111111 ''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x''z''y''x

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&rrr

&r


- 106/116 -

Este vector coincide con el calculado en la base fija (OXYZ), en la base con movimiento de precesión (OX1Y1Z1) y en la base móvil con movimiento de precesión y nutación (OX’1Y’1Z’1) en módulo, dirección y sentido, pero tiene distintas componentes al estar definido en una base distinta.


movimiento de precesión, nutación y

rotación

El vector aceleración angular del sólido rígido relativo a la base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia ( 1''z1''y1''x

111

r''z''y''xα

r) se obtiene derivando respecto del tiempo las componentes de la velocidad

angular relativa 1''z1''y1''x

111

r''z''y''xω

r, anteriormente indicadas, volviendo a ser nulas

01''z1''y1''x

111

r''z''y''x

rr=α

Como ya se ha indicado, toda la formulación desarrollada solo es válida si se fija cada parámetro a los ejes tal como se ha indicado ( 11 'z,x,z →→→ ϕθψ &&& ). En caso de no ser así, habría que realizar los desarrollos específicos correspondientes.

Ejemplo 5.4: El disco homogéneo del problema 5.1 gira a velocidad angular ω1 = 15 rad/s y aceleración angular α1 = 9 rad/s2 respecto del eje que pasa por A; al mismo tiempo gira con velocidad angular ω2 = 10 rad/s respecto del eje OB, y por último gira con velocidad angular ω3 = 8 rad/s y aceleración angular α3 = 6 rad/s2 respecto del eje y. Determinar la velocidad y aceleración angular absolutas del disco respecto de un sistema de referencia que en el instante de estudio coincide con el que tiene movimiento de precesión, nutación y rotación propia del problema anterior. Determinar la velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia.

α1

α3

B

ω2

3


El estudio se va ha hacer sobre el sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propia Ox’1y’1z’1 que aparece en la figura

α1

α3

B

ω2

3

xe=z’1=z’’1

ye=x1=x’1

ze=z1=y’1

y1

θ

ψ

x’’1

y’’1

ϕ



- 107/116 -

( ) ( )( )( ) ( )2

2

s/rad9s/rad15

0s/rad102

s/rad6s/rad82

−==

===

−===

ϕϕϕ

θθπθ

ψψπψ

&&&

&&&

&&&


⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=θψϕ


ω


111 ''z''y''x&&

&&

&&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−−+−+++

=θθψθψϕ


α


111 ''z''y''x&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r


( )s/rad15108

2πcos815

2πsen10

2πcos

2πsen8

2πcos10

2πsen

2πsen8


111 ''z''y''x⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=θψϕ


ω

&&

&&

&&r

( )

( )

( ) ( )

( )s/rad89

120156

2πsen108

2πcos69

2πcos1510

2πsen0

2πsen

2πsen158

2πcos

2πcos108

2πcos

2πsen6

2πsen1510

2πcos0

2πcos

2πsen158

2πsen

2πcos108

2πsen

2πsen6


111 zyx

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

=

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−−+−+++

=θθψθψϕ


α

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

La velocidad y aceleración relativas respecto del sistema de referencia con movimiento de precesión, nutación y rotación propias son nulas

01''z1''y1''x

111

r''z''y''x

rr=ω 01''z1''y1''x

111

r''z''y''x

rr=α

Conceptos fundamentales

- 108/116 -

Conceptos fundamentales: Condición cinemática de sólido rígido.

cteveve AB =⋅=⋅rrrr

Velocidad y aceleración de un movimiento de traslación.

cteactev ==rr

Velocidad y aceleración de un movimiento de rotación.

( )EMvM −×= ωrr

( ) ( )[ ]EMEMaM −××+−×= ωωαrrrr

Velocidad y aceleración de un movimiento helicoidal.

( )EMvv EM −×+= ωrrr

( ) ( )[ ]EMEMaa EM −××+−×+= ωωαrrrrr

Relación entre desplazamiento absoluto y relativo. Q/PQP rrr

rrr+=

Velocidad de una composición de traslaciones.

( ) ctevvn

1iiMM == ∑

=

rr

Giros como elementos vectoriales La composición de giros en un plano y de giros infinitesimales respecto de ejes arbitrarios son elementos

vectoriales, pero la composición de giros respecto de ejes arbitrarios no. Velocidad de una composición de rotaciones.

( )[ ]∑=

−×=n

1iiiM EMv ω

rr

Velocidad por reducción a un punto.

( )'OMvv 'OM −×+= ωrrr [ ]∑

==

n

1iiωωrr

Campo de velocidades. Primer invariante cinemático.

[ ]∑=

=n

1iiωωrr

Campo de velocidades. Segundo invariante cinemático. ctevM =⋅

rrω

Velocidad de mínimo deslizamiento. ( ) ωω eevv Mm

rrrr⋅=

Punto del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (EIRMD).

2MvMC

ωω

rr×

=−

Velocidad utilizando la máxima reducción. ( )CMvv mM −×+= ω

rrr Representación de de Poncelet de la velocidad de un sólido rígido.

Deslizamiento y rodadura del axoide móvil respecto del EIRMD sobre el axoide fijo. Aceleración de una composición de traslaciones.

( )∑=

=n

1iiMM aarr

Aceleración por composición de rotaciones ( ) ( )[ ]'OM'OMaa 'OM −××+−×+= ωωα

rrrrr

Derivada de un unitario respecto del tiempo. Fórmula de Poisson. eerr&r ×= ω

Aceleración angular.

( )iiiii

eeeeen

1ijji

n

1iii ωωωωω ωΩωωα

rrrr&r&rr&

r×=×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ∑∑

+==

Conceptos fundamentales

- 109/116 -

Velocidad y aceleración de movimiento relativo más arrastre.

( )[ ] ( )[ ]444 3444 21

rr444 3444 21

rrr

rr aM

rM v

aaatM

v


( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )( )44444 344444 21

rrr

444444444 3444444444 21

rrr&

r&

444444444 3444444444 21

rrr&

r&

r

r

rr

CM

aM

rM

a

rrrtM

a

a

aaaaaaaatM

a

rrrrrrrrtMM

EMv2

EMEMeevEMEMeeva

−×+×+

+−××+−×++−××+−×+=

ωω

ωωωωωω

Velocidad y aceleración de movimiento relativo más arrastre. Nuevo arrastre.

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−×+=

=+=

2a2a2atM

2aM

M2r

M2aM

2rM

2M

EMvv

vvconvvv

ωrrr

rrrrr

( ) ( )[ ]⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

×=

−×+×+−×+=

=

++=2r

M2a2C

M

2a2a2atM

2a2a2a2atM

2aM

M2r

M2C

M2a

M2r

M2M

v2a

EMvEMaa

aa

conaaaarrr

rrrrrr

rr

rrrr

ω

ωωα

Velocidad y aceleración de movimiento relativo a partir de un punto de reducción.

( )

( )'OMvvv a

'OM

r'O/M'OM

r

−×++=

−×

ωω

r321

rrr

r

( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]( )321

rrrrr321

rrr

rrrr'OM

r'O/M

aaaa

'OM'OM

r'O/M'OM

rrrr

v2'OM'OMaaa−×−×+−××

×+−××+−×++=

ωαωω

ωωωα

Velocidad y aceleración de movimiento relativo a partir de un punto de reducción. Nuevo arrastre. ( ) M

2r'O/M

2a2r'O/M

2'O

2M vvcon'OMvvv

rrrrrr=−×++= ω

( ) ( )[ ] M2r

'O/M2r

'O/M2a2a2a2a2r

'O/M2

'O2M aaconv2'OM'OMaaa

rrrrrrrrrr=×+−××+−×++= ωωωα

Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base fija.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=θϕψ

θψϕψθθψϕψθ

ω


xyz&&

&&

&&r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+−+−++++−

=θθϕθϕψ


α


xyz&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base con movimiento de precesión.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

θϕψθϕ

θω

cossen

111 zyx&&

&

&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−++−−

+=


θϕψθα

sencoscossensen

111 zyx&&&&&&

&&&&&&

&&&&r

Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base con movimiento de precesión y nutación.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

θψϕθψ

θω

cossen

111 'z'y'x&&

&

&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−+

+=


θϕψθα

sencoscossensen

111 'z'y'x&&&&&&

&&&&&&

&&&&r

Ángulos de Euler. Velocidad y aceleración absolutas en base con movimiento de precesión, nutación y rotación propia.

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

=θψϕ


ω


111 ''z''y''x&&

&&

&&r

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−−−+−+++

=θθψθψϕ


α


111 ''z''y''x&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&r

Anexo I Bibliografía

- 110/116 -

ANEXO 1. Bibliografía

Autor: Beer y Johnston

Título: Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinámica

Edición: 08

Fecha Publ.: 2007

ISBN: 97-010-6102-0

Autor: Meriam y Craige

Título: Dinámica

Edición: 3

Editor: Mc Graw Hill

Fecha Publ.: 2000

ISBN: 84-291-4259-2

Autor: Meriam y Craige

Título: Dinámica

Edición: 3

Editor: Editorial Reverté S.A

Fecha Publ.: 2000

ISBN: 84-291-4259-2

Autor: Riley y Sturges

Título: Ingeniería Mecánica: Dinámica

Edición: 1

Editor: Editorial Reverté S.A.

Fecha Publ.: 2006

ISBN: 978429142556

Anexo 2 Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.

- 111/116 -

ANEXO 2. Derivación de vectores de magnitud constante en sistemas de referencia móviles.

La determinación de la variación de un vector unitario respecto del tiempo ( e&r

) se puede realizar a partir del concepto de matriz antisimétrica.

Definidos dos vectores ( ( ) ( )tv,turr

) de magnitud constante

ctevcteu ==rr

que se mueven solidariamente con un sistema de referencia móvil ( ( ){ }tE ), se desea calcular la variación de su posición relativa en el tiempo. Una aproximación a esta variación se obtiene a partir de la proyección de un vector respecto del otro, mediante su producto escalar

vurr

⋅

y su variación en el tiempo se determina derivando la expresión anterior

( ) 0vuvuvudtd

=⋅+⋅=⋅&rrr&rrr

que es igual a cero ya que, al estar ambos vectores unidos al mismo sistema de referencia móvil, su posición relativa no varía.

El término anterior caracteriza la derivada como una aplicación antisimétrica o hemisimétrica, ya que cumple con la condición

vuvu0vuvu&rrr&r&rrr&r

⋅−=⋅⇒=⋅+⋅

Se verá por tanto la definición de este tipo de operación, algunas características y su aplicación a la variación de vectores constantes asociados a una base móvil respecto del tiempo.

Aplicación antisimétrica.

Se llama aplicación antisimétrica en un espacio vectorial a toda aplicación (L) tal que para una pareja cualquiera de vectores ( v,u

rr), se cumple:

( ) ( )vLuvuLrrrr

⋅−=⋅

Esta aplicación tiene las siguientes propiedades:

1) Para todo vector ur

se cumple que ( ) 0uuL =⋅rr

, ya que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0uLu0uLu20uLuuuLuLuuuL =⋅⇒=⋅⇒=⋅+⋅⇒⋅−=⋅rrrrrrrrrrrr

2) Asociada a toda aplicación antisimétrica (L) existe una matriz ( [ ]Ω )

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

Ω

de forma que si se tiene una base ortonormal (E) de vectores


- 112/116 -

( ){ }( )( )( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=tetete

t

3

2

1

r

r

r

E

los términos de la matriz antisimétrica vienen definidos por

{ } { } ( )⎩⎨⎧

≠=

=⋅=⋅=jisijisi0

eLeLij

jit

ij ΩΩ

rrEE con i, j = 1, 2, 3

El valor de cada uno de los términos ( ijΩ ) de la matriz ( [ ]Ω ) es

kijkij ΩδΩ =

donde ijkδ es la segunda delta de Kronecker, según la cual

⎪⎩

⎪⎨

⎧−+

=valorúnlgarepitesesi0

3,2,1derespectoimparnpermutacióformank,j,isi13,2,1derespectoparnpermutacióformank,j,isi1

ijkδ

Según lo anterior los términos de la matriz ( [ ]Ω ) toman los valores

i=1 i=2 i=3 j=1 011 =Ω 3321312 ΩΩδΩ −== 2231213 ΩΩδΩ == j=2 3312321 ΩΩδΩ == 022 =Ω 1132132 ΩΩδΩ −== j=3 2213213 ΩΩδΩ −== 1123123 ΩΩδΩ == 033 =Ω

Luego la matriz antisimétrica tiene como términos

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00

0

12

13

23

333231

232221

131211

ΩΩΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

Ω

y que cumple con la condición de matriz antisimétrica

[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−⇒=+

000000000

00

0

00

00

12

13

23

12

13

23t

ΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

Se comprueba que en esta matriz ( [ ]Ω ) está definida únicamente mediante tres términos ( 321 ,, ΩΩΩ ) que se corresponden con las componentes de un vector, denominado axial, asociado a la aplicación antisimétrica.

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

3

2

1

ΩΩΩ

Ω

de forma que cada uno de ellos se puede obtener a partir de

( )kjijkjkijki 21 ΩδΩδΩ += con i ≠ j ≠ k

Según lo anterior los términos del vector ( [ ]Ω ) adquieren los valores


- 113/116 -

( )kjijkjkijki 21 ΩδΩδΩ +=

i=1 ( ) ( ) ( )[ ]11322332132231231 21

21

21 ΩΩΩΩΩδΩδΩ −−=−=+=

i=2 ( ) ( ) ( )[ ]22311331231132132 21

21

21 ΩΩΩΩΩδΩδΩ +−−=+−=+=

i=3 ( ) ( ) ( )[ ]33211221321123123 21

21

21 ΩΩΩΩΩδΩδΩ −−=−=+=

3) El operador antisimétrico cumple con la propiedad asociativa

( ) ( )uLauaLrr

=

ya que

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )uaLuaLuaLvuLvavLuauavLuaLvrrrrrrrrrrrr

=⇒⋅=⋅=⋅−=⋅−=⋅

Aplicación antisimétrica en el estudio de derivación de vectores en sistemas móviles.

Como ya se ha indicado, la derivación respecto del tiempo de vectores ( ( ) ( )tv,turr

) de magnitud constante

( ctevcteu ==rr

) ligados a un sistema móvil está asociada al desarrollo de una aplicación antisimétrica

( ) ( )vLuvuLvuvurrrr&rrr&r

⋅−=⋅⇒⋅−=⋅

Para determinar las consecuencias, se va a considerar la derivada como un operador antisimétrico aplicado al vector ( u

r)

332211 eueueuurrrr

++= ( ) ( ) ( ) ( )

( )uLueLueLueLuuL

eueueuu

332211

332211r&r

rrrr

&r&r&r&r

=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

++=

++=

en el que no se consideran las derivadas de las componentes del vector ( ur

) ya que no varían respecto del sistema de referencia.

La derivación de los unitarios ( ie&r

) modifica las componentes ( 321 u,u,u ) del vector tras la derivación, de forma que en la base de estudio

( ) 332211 eueueuuLur

&r

&r

&r&r

++==

Cada componente ( 321 u,u,u &&& ) se obtiene proyectado la aplicación antisimétrica ( ( )uLr

) sobre los vectores unitarios de la base ie

r, luego

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )313212111332211111 eLeueLeueLeueLueLueLueuLeurrrrrrrrrrrr

& ⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅=


& ⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅=


& ⋅+⋅+⋅=++⋅=⋅=

sustituyendo la aplicación antisimétrica por los términos correspondientes de la matriz asociada ( [ ]Ω ) se tiene


- 114/116 -

3333223113

2332222112

1331221111

uuuuuuuuuuuu

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

++=

++=

++=

&

&

&

que en función de las componentes del vector axial son

12213

13312

23321

uuuuuu

uuu

ΩΩΩΩ

ΩΩ

+−=

−=

+−=

&

&

&

cuyo desarrollo coincide con el producto matricial

{ } [ ]{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−+−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−==

1221

1331

2332

3

2

1

12

13

23

uuuuuu

uuu

00

0uu

ΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ&

y con el producto vectorial urr

×Ω ,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−+−

==×=

1221

1331

2332

321

321

321

uuuuuu

uuu

eeeuu

ΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

rrr

rr&r

luego

[ ]{ } uuurr&r

×== ΩΩ

En resumen, la variación respecto del tiempo ( u&r

) de un vector de magnitud constante ( ur

) que se mueve rígidamente unido a una base móvil ( { }E ) es una transformación antisimétrica (L), o lo que es equivalente,

el producto vectorial del vector axial ( Ωr

) asociado a dicha transformación por el vector ( ur

).

Aplicación a la derivación de vectores unitarios de sistemas móviles.

Si se tiene una base ortonormal ( { }E ) de vectores

{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

3

2

1

eee

r

r

r

E

debido a la normalidad de los vectores, se cumple que el producto de esa base por si misma es constante

{ } { } { }⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⋅100010001

eeeeeeeeeeeeeeeeee

eeeeee

332313

322212

312111

321

3

2

1t

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

rrr

r

r

r

EE

o bien de forma reducida

{ } { } [ ]It =⋅ EE


- 115/116 -

y su derivada respecto del tiempo es nula

{ } { }( ) { } { } { } { } { }

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⋅

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⋅

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅+⋅=⋅

000000000

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eee

e

e

e

dtd

332313

322212

312111

332313

322212

312111

321

3

2

1

321

3

2

1ttt

&rr&rr&rr

&rr&rr&rr

&rr&rr&rr

r&rr&rr&r

r&rr&rr&r

r&rr&rr&r

&r&r&r

r

r

r

rrr

&r

&r

&r

&& EEEEEE

en la que las matrices antisimétricas son

{ } { } [ ] { } { } [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

==⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

==⋅

332313

322212

312111t

332313

322212

312111tt

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

&rr&rr&rr

&rr&rr&rr

&rr&rr&rr

&

r&rr&rr&r

r&rr&rr&r

r&rr&rr&r

& ΩΩ EEEE

por lo que la derivada respecto del tiempo se puede expresar de forma más reducida mediante

{ } { }( ) { } { } { } { } [ ] [ ] [ ]0dtd tttt =+=⋅+⋅=⋅ ΩΩEEEEEE &&

con lo que se comprueba que la matriz ( [ ]Ω ) cumple con la condición de antisimétría

[ ] [ ]ΩΩ −=t

Si se tiene en cuenta que en aplicaciones antisimétricas

( )⎩⎨⎧

≠=

=⋅=⋅jisijisi0

eeeLeij

jiji Ω&rrrr

con i, j = 1, 2, 3

que aplicado a este caso

0ee ii =⋅&rr

ijji eeee&rr&rr

⋅−=⋅

la matriz ( [ ]Ω ) tiene de cómo términos

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=0

00

0eeee

ee0ee

eeee0

eeeeee

eeeeee

eeeeee

12

13

23

2313

3212

3121

332313

322212

312111

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

&rr&rr

&rr&rr

&rr&rr

&rr&rr&rr

&rr&rr&rr

&rr&rr&rr

La aplicación de la matriz antisimétrica ( [ ]Ω ) a un vector unitario ( { }e ) determina su variación respecto del tiempo


- 116/116 -

{ } [ ]{ }

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

==

232131

323121

313212

3

2

1

2313

3212

3121

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eee

0eeee

ee0ee

eeee0

ee

&rr&rr

&rr&rr

&rr&rr

&rr&rr

&rr&rr

&rr&rr

& Ω

y coincide con el producto vectorial err

×Ω ,

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−−+−

==×=

1221

1331

2332

321

321

321

eeeeee

eee

eeeee

ΩΩΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

rrr

rr&r

en la que los términos del vector axil ({ }Ω ) son

{ }

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅

⋅

⋅

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

12

31

13

3

2

1

ee

ee

ee

&rr

&rr

&rr

ΩΩΩ

Ω

El vector axial ( Ωr

) caracteriza el movimiento del sistema de referencia móvil ( er

) y se corresponde con el concepto de velocidad angular de rotación de dicho sistema. Como las bases están formadas por vectores cuya magnitud no varía con el tiempo, la expresión para determinar la variación de los vectores de una base móvil es

ii eerr&r

×= Ω

Cinematic A

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