8/14/2019 A Banker Reads a Book
1/35
F i n a n c i a l I n t e r p r e t a t i o n s
o f P r o b a b i l i s t i c C o n c e p t s
o r :
A B a n k e r R e a d s a B o o k
P r e s e n t a t i o n f o r M i d w e s t P r o b a b i l i t y C o n f e r e n c e
P e t e r C a r r
M o r g a n S t a n l e y
1 5 8 5 B r o a d w a y , 1 6 t h o o r
N e w Y o r k , N Y 1 0 0 3 6
2 1 2 7 6 1 - 7 3 4 0
c a r r p @ m s . c o m
I n i t i a l v e r s i o n : O c t o b e r 2 1 , 1 9 9 8
F i l e r e f e r e n c e : n p r o b . t e x
8/14/2019 A Banker Reads a Book
2/35
C o n t e n t s
I I n t r o d u c t i o n 2
I I E x p e c t e d V a l u e a n d N o A r b i t r a g e V a l u e 5
I I I I t ^ o ' s L e m m a a n d I n t e g r a t i o n b y P a r t s v s . G a i n s P r o c e s s 1 3
I V M a r t i n g a l e P r o b l e m a n d E q u i v a l e n t M a r t i n g a l e M e a s u r e 1 7
V G i r s a n o v ' s T h e o r e m a n d Q u a n t o i n g 2 5
1
8/14/2019 A Banker Reads a Book
3/35
P a r t I
I n t r o d u c t i o n
2
8/14/2019 A Banker Reads a Book
4/35
A D o u b l e P l a y : A c c o u n t i n g t o P r o b a b i l i t y t o F i n a n c e
I n L u c a P a c c i o l o ' s m a s t e r w o r k S u m m a d e a r i t h m e t i c , g e o m e t r i a e t p r o -
p o r t i o n a l i t a p u b l i s h e d i n 1 4 9 4 , t h e m o n k p o s e d t h e f o l l o w i n g p r o b l e m o f
t h e p o i n t s " :
A a n d B a r e p l a y i n g a f a i r g a m e o f b a l l a . T h e y a g r e e t o c o n t i n u e
u n t i l o n e h a s w o n s i x r o u n d s . T h e g a m e a c t u a l l y s t o p s w h e n A h a s
w o n v e a n d B t h r e e . H o w s h o u l d t h e s t a k e s b e d i v i d e d ?
I n 1 6 5 4 , t h e i n v e t e r a t e g a m b l e r C h e v a l i e r d e M e r e b r o u g h t t h e p r o b l e m o f
t h e p o i n t s t o t h e a t t e n t i o n o f P a s c a l , w h o i n i t i a t e d a c o r r e s p o n d e n c e w i t h
F e r m a t . P a s c a l s o l v e d t h i s p r o b l e m w i t h t h e a i d o f h i s f a m o u s t r i a n g l e ,
p u t t i n g p r o b a b i l i t y t h e o r y o n a t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n f o r t h e r s t t i m e .
I n 1 9 9 4 , d u r i n g t h e h e y d a y o f t h e d e r i v a t i v e s d e b a c l e , t h e c o v e r s t o r y o f
T i m e m a g a z i n e r e a d :
T h i s f a n t a s t i c s y s t e m o f s i d e b e t s i s n o t b a s e d o n o l d - f a s h i o n e d h u -
m a n h u n c h e s b u t o n c a l c u l a t i o n s d e s i g n e d a n d m o n i t o r e d b y c o m -
p u t e r w i z a r d s u s i n g a b s t r u s e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a s d e v e l o p e d
b y s o - c a l l e d q u a n t s , s h o r t f o r q u a n t i t a t i v e a n a l y s t s .
3
8/14/2019 A Banker Reads a Book
5/35
A B a n k e r R e a d s a B o o k
A l l o f t h e p r o b a b i l i s t i c c o n c e p t s c o m e f r o m
C o n t i n u o u s M a r t i n g a l e s a n d B r o w n i a n M o t i o n , S e c o n d E d i t i o n , b y D a n i e l
R e v u z a n d M a r c Y o r , S p r i n g e r V e r l a g 1 9 9 4 .
I w i l l r e f e r t o t h i s t e x t a s R Y .
T w o g o o d s o u r c e s f o r n a n c i a l c o n c e p t s a r e :
1 . I n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , b y S t a n l e y P l i s k a , B l a c k w e l l P u
l i s h e r s , 1 9 9 7
2 . D y n a m i c A s s e t P r i c i n g T h e o r y , S e c o n d E d i t i o n , b y D a r r e l l D u e , P r i n c
t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 6 .
T h e s e o v e r h e a d s c a n b e d o w n l o a d e d f r o m m y w e b s i t e :
w w w . m a t h . n y u . e d u r e s e a r c h c a r r p p a p e r s
4
8/14/2019 A Banker Reads a Book
6/35
P a r t I I
E x p e c t e d V a l u e a n d N o A r b i t r a g e V a l u e
5
8/14/2019 A Banker Reads a Book
7/35
D e n i t i o n s
R Y d o n ' t d e n e e x p e c t e d v a l u e f o r o b v i o u s r e a s o n s .
F o r t u n a t e l y , n a n c e p e o p l e d e n e e x p e c t e d v a l u e i n t h e s a m e w a y a s p r o b -
a b i l i s t s .
U n f o r t u n a t e l y , t h e w o r d v a l u e " i n e x p e c t e d v a l u e i s i n t e r p r e t e d b y s o m e
p r a c t i t i o n e r s a l i t t l e t o o l i t e r a l l y .
6
8/14/2019 A Banker Reads a Book
8/35
P r a c t i t i o n e r s a n d A c a d e m i c s
P r a c t i t i o n e r s f r e q u e n t l y e x h o r t t h a t t h e v a l u e o f a n a s s e t i s j u s t i t s e x -
p e c t e d d i s c o u n t e d v a l u e " . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s , t h e i n t e r e s t r a t e i s
1 0 p e r y e a r .
E x a m p l e 1 : S t o c k
S
*
1 2
$ 2 2 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 2
= S = $ 1 2 5
E x a m p l e 2 : C a l l S t r u c k a t $ 1 . 1 0
C
*
1 2
$ 1 1 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0
1 2
= C = $ 0 5 0
A c a d e m i c s f r e q u e n t l y r e t o r t t h a t t h e v a l u e o f a n a s s e t i s a c t u a l l y j u s t t h e
e x p e c t e d v a l u e o f t h e r a t i o o f t h e p a y o t o a m o n e y m a r k e t a c c o u n t , w h e r e
e x p e c t a t i o n s a r e c a l c u l a t e d u n d e r a n a p p r o p r i a t e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e
m e a s u r e " .
7
8/14/2019 A Banker Reads a Book
9/35
P r o b a b i l i t i e s f r o m P r i c e s
R i g h t l y o r w r o n g l y , p r a c t i t i o n e r s o b t a i n t h e p r o b a b i l i t i e s n e e d e d f o r v a l u a -
t i o n b y b a c k i n g t h e m o u t o f m a r k e t p r i c e s :
$ 1 . 2 5
*
q
$ 2 2 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 - q
= q = 1 = 2
C
*
1 2
$ 1 1 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0
1 2
= C = $ 0 5 0
A s l o n g a s p r o b a b i l i t i e s a r e i m p l i e d f r o m p r i c e s , p r a c t i t i o n e r s g e t t h e r i g h t
a n s w e r . T h e s e i m p l i e d p r o b a b i l i t i e s a r e r e f e r r e d t o a s r i s k - n e u t r a l " p r o b -
a b i l i t i e s .
8
8/14/2019 A Banker Reads a Book
10/35
T y p e A E r r o r
T y p e A e r r o r A f o r a r b i t r a g e a r i s e s w h e n a c t u a l p r o b a b i l i t i e s p , 1 - p a r e
u s e d i n p l a c e o f r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s q , 1 - q . F o r e x a m p l e :
S = $ 1 . 0 0
*
p = 1 2
$ 2 2 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 - p = 1 2
R i s k a v e r s i o n f e a r c a u s e s t h e s t o c k t o b e p r i c e d b e l o w e x p e c t e d d i s c o u n t e d
v a l u e . S u p p o s e a c a l l s t r u c k a t $ 1 . 1 0 i s v a l u e d a s :
C
*
1 2
$ 1 1 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0
1 2
= C = $ 0 5 0
I f w e m a k e m a r k e t s i n t h e s t o c k f o r $ 1 a n d i n t h e c a l l f o r 5 0 c , t h e n g r e e d
w i l l i n d u c e h e d g e f u n d s t o s e l l 2 c a l l s t o u s a n d b u y a s h a r e f r o m u s :
2 C - S = $ 0
*
p = 1 2
$ 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
, $ 0 5 5
1 - p = 1 2
W e s o l d t h e h e d g e f u n d a f r e e a t - t h e - m o n e y p u t .
9
8/14/2019 A Banker Reads a Book
11/35
B o n d s a n d S t o c k s a n d C a l l s a n d P u t s
S u p p o s e b o n d s a n d s t o c k s a r e p r i c e d a s :
B = $ 1 . 0 0
:
$ 1 1 0
S = $ 1 . 0 0
*
p = 1 2
$ 2 2 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 - p = 1 2
F a c e d w i t h t h e s e p r i c e s , p r a c t i t i o n e r s a n d a c a d e m i c s a g r e e t h a t t h e r i s k -
n e u t r a l u p p r o b a b i l i t y i s 1 3 s i n c e :
1 = 3 $ 2 + 2 = 3 $ 0 5 = $ 1
T h u s , t h e n o a r b i t r a g e v a l u e o f a n a t - t h e - m o n e y c a l l a n d p u t a r e :
C = $ 0 . 3 3
*
q = 1 3
$ 1 1 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0
1 - q = 2 3
P = $ 0 . 3 3
*
q = 1 3
$ 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 - q = 2 3
1 0
8/14/2019 A Banker Reads a Book
12/35
T i m e a n d S t a t e V a l u e o f M o n e y
T h e w e l l k n o w n p r i n c i p l e c a l l e d T i m e V a l u e o f M o n e y " s a y s t h a t $ 1 p a i d
n o w i s w o r t h m o r e t h a n $ 1 p a i d i n a y e a r b e c a u s e b y d e p o s i t i n g $ 1 i n t h e
b a n k t o d a y , o n e g e t s m o r e t h a n a d o l l a r s a y $ 1 . 1 0 i n a y e a r .
S i m i l a r l y , t h e S t a t e V a l u e o f M o n e y " p r i n c i p l e s a y s a b a d s t a t e d o l l a r i s
w o r t h m o r e t h a n a g o o d s t a t e d o l l a r b e c a u s e b y t r a d i n g t o d a y , o n e g e t s
m o r e t h a n o n e g o o d s t a t e d o l l a r i n a y e a r . R e c a l l t h e a t - t h e - m o n e y c a l l
a n d p u t v a l u e s :
C = $ 0 . 3 3
*
q = 1 3
$ 1 1 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0
1 - q = 2 3
P = $ 0 . 3 3
*
q = 1 3
$ 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 - q = 2 3
T h e o w n e r o f a n a t - t h e - m o n e y p u t g e t s . 5 5 b a d s t a t e d o l l a r s . B y s e l l i n g t h e
p u t a n d b u y i n g t h e c a l l , a t r a d e r c a n i n s t e a d g e t 1 . 1 0 g o o d s t a t e d o l l a r s .
W h e t h e r t h i s i s a g o o d t r a d e o r n o t d e p e n d s o n t h e r i s k a v e r s i o n o f t h e
t r a d e r o r h i s r m .
1 1
8/14/2019 A Banker Reads a Book
13/35
T y p e B E r r o r
T y p e B e r r o r B f o r b a n k r u p t c y a r i s e s w h e n r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s q , 1 -
q a r e u s e d i n p l a c e o f a c t u a l p r o b a b i l i t i e s p , 1 - p . R e c a l l t h e s i n g l e p e r i o d
s t o c k p r i c e p r o c e s s :
S = $ 1 . 0 0
*
p = 1 2
$ 2 2 0
H
H
H
H
H
H
H
Hj
$ 0 5 5
1 - p = 1 2
S u p p o s e t h a t t h i s e v o l u t i o n r e p e a t s i n d e n i t e l y :
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
1
P
P
P
P
P
P
P
Pq
C o n s i d e r b e t t i n g e v e r y t h i n g y o u o w n o n t h e n u m b e r o f u p m o v e s i n o n e
t r i l l i o n t r i a l s . I n p a r t i c u l a r , w o u l d y o u b e t t h a t t h e p r o p o r t i o n o f u p m o v e s
i s c l o s e r t o o n e h a l f o r o n e t h i r d ?
1 2
8/14/2019 A Banker Reads a Book
14/35
P a r t I I I
I t o ' s L e m m a a n d I n t e g r a t i o n b y P a r t s v s .
G a i n s P r o c e s s
1 3
8/14/2019 A Banker Reads a Book
15/35
P r o b a b i l i s t i c C o n c e p t
R Y p a g e 1 3 9 p r o v e t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f I t ^ o ' s l e m m a :
I f X i s a c o n t i n u o u s s e m i m a r t i n g a l e a n d A i s a c o n t i n u o u s p r o c e s s
o f b o u n d e d v a r i a t i o n a n d i f
@
2
F
@ x
2
a n d
@ F
@ y
e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s ,
t h e n :
F X
t
; A
t
= F X
0
; A
0
+
Z
t
0
@ F
@ x
X
s
; A
s
d X
s
+
Z
t
0
@ F
@ y
X
s
; A
s
d A
s
+
1
2
Z
t
0
@
2
F
@ x
2
X
s
; A
s
d h X ; X i
s
O u r p r i m a r y i n t e r e s t w i l l b e i n t h e s p e c i a l c a s e w h e n A
t
= t . I n d i e r e n t i a l
f o r m , w e h a v e :
d F X
t
; t =
@ F
@ x
X
t
; t d X
t
+
@ F
@ t
X
t
; t d t +
1
2
@
2
F
@ x
2
X
t
; t d h X ; X i
t
R Y p a g e 1 3 8 p r o v e t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f t h e i n t e g r a t i o n b y p a r t s f o r m u l a :
I f X a n d Y a r e t w o c o n t i n u o u s s e m i m a r t i n g a l e s , t h e n :
X
t
Y
t
= X
0
Y
0
+
Z
t
0
X
s
d Y
s
+
Z
t
0
Y
s
d X
s
+ h X ; Y i
t
I n d i e r e n t i a l f o r m , w e h a v e :
d X
t
Y
t
= X
t
d Y
t
+ Y
t
d X
t
+ d h X ; Y i
t
O u r p r i m a r y i n t e r e s t w i l l b e w h e n X i s t h e s t o c k p r i c e a n d Y i s t h e n u m b e r
o f s h a r e s h e l d .
1 4
8/14/2019 A Banker Reads a Book
16/35
T e x t b o o k D e r i v a t i o n o f B l a c k S c h o l e s P D E
A s s u m e f r i c t i o n l e s s m a r k e t s , n o a r b i t r a g e , c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e r , n o d i v -
i d e n d s , a n d t h a t t h e s t o c k p r i c e p r o c e s s f S
t
; t 2 0 ; T g i s a d i u s i o n w i t h
c o n s t a n t v o l a t i l i t y :
d S
t
S
t
=
t
d t + d W
t
; t 2 0 ; T
L e t t i n g f C
t
; t 2 0 ; T g d e n o t e t h e E u r o p e a n c a l l p r i c e p r o c e s s , f u r t h e r
a s s u m e C
t
= C S
t
; t ; t 2 0 ; T f o r s o m e C
2 ; 1
f u n c t i o n C S ; t m a p p i n g
+
0 ; T i n t o
+
. T h e n b y I t ^ o ' s l e m m a :
d C
t
=
2
6
4
@ C
@ t
S
t
; t +
2
S
2
t
2
@
2
C
@ S
2
S
t
; t
3
7
5
d t +
@ C
@ S
S
t
; t d S
t
; t 2 0 ; T
C o n s i d e r a h e d g e p o r t f o l i o c o n s i s t i n g o f l o n g o n e c a l l a n d s h o r t
@ C
@ S
S ; t
s h a r e s :
H
t
C
t
,
@ C
@ S
S
t
; t 2 0 ; T
T h e t e x t b o o k a r g u m e n t i s t h a t :
d H
t
= d C
t
,
@ C
@ S
d S
t
=
2
6
4
@ C
@ t
S
t
; t +
2
S
2
t
2
@
2
C
@ S
2
S
t
; t
3
7
5
d t
= r
2
4
C S
t
; t ,
@ C
@ S
S
t
; t S
t
3
5
d t ;
b y t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e . E q u a t i n g c o e c i e n t s o n d t y i e l d s t h e B l a c k
S c h o l e s P D E :
@ C
@ t
S ; t +
2
S
2
2
@
2
C
@ S
2
S ; t + r
@ C
@ S
S ; t S , r C S
t
; t = 0 ; t 2 0 ; T ; S 0
W h y d o t h e t e x t b o o k s i g n o r e i n t e g r a t i o n b y p a r t s ?
1 5
8/14/2019 A Banker Reads a Book
17/35
G a i n s P r o c e s s
R e c a l l t h e t e x t b o o k a r g u m e n t t h a t i f :
H
t
C
t
,
@ C
@ S
S
t
; t 2 0 ; T
t h e n :
d H
t
= d C
t
,
@ C
@ S
d S
t
; t 2 0 ; T
I n t e g r a t i o n b y p a r t s r e q u i r e s t h a t t h e s e c o n d e q u a t i o n s h o u l d i n s t e a d b e :
d H
t
= d C
t
,
@ C
@ S
d S
t
, d
@ C
@ S
S
t
, d h
@ C
@ S
; S i
t
; t 2 0 ; T
T h e a d d i t i o n a l t w o t e r m s r e p r e s e n t t h e a d d i t i o n a l i n v e s t m e n t n e e d e d t o
m a i n t a i n t h e s t r a t e g y . T h e t h i r d t e r m i n v o l v e s t h e d i e r e n t i a l o f a p r o c e s s
o f u n b o u n d e d v a r i a t i o n , s o o n e c a n n o t a r g u e t h a t d H
t
i s r i s k l e s s .
T h e f a s t e s t x u p i s t o r e p l a c e t h e t o t a l d e r i v a t i v e o f H i n t h e s e c o n d
e q u a t i o n b y t h e g a i n o n t h e h e d g e p o r t f o i o :
g H
t
d C
t
,
@ C
@ S
d S
t
; t 2 0 ; T
I f d C
t
= d C S
t
; t , t h e n t h e a r g u m e n t t o t h e P D E i s t h e s a m e a s o n t h e
p r e v i o u s p a g e .
W h e n a p r o c e s s h a s t h e f o r m X
t
= N
t
S
t
, t h e n t h e g a i n s p r o c e s s i s G
t
R
t
0
N
t
d S
t
W e d i s t i n g u i s h g a i n s f r o m P & L , w h i c h a l s o t a k e s i n t o a c c o u n t t h e c o s t o f
n a n c i n g t h e p u r c h a s e :
d
t
d C
t
,
@ C
@ S
S
t
; t d S
t
, r C
t
,
@ C
@ S
S
t
; t S
t
d t ; t 2 0 ; T
I f d C
t
= d C S
t
; t , t h e n d
t
= 0 b y t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e .
1 6
8/14/2019 A Banker Reads a Book
18/35
P a r t I V
M a r t i n g a l e P r o b l e m a n d E q u i v a l e n t
M a r t i n g a l e M e a s u r e
1 7
8/14/2019 A Banker Reads a Book
19/35
P r o b a b i l i s t i c C o n c e p t
O n p a g e 2 8 1 , R Y d e n e f o r e a c h t i m e s , t h e s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l o p e r -
a t o r
L
s
=
1
2
d
X
i ; j = 1
a
i j
s ;
@
2
@ x
i
@ x
j
+
d
X
i = 1
b
i
s ;
@
@ x
i
;
w h e r e f o r e a c h s , a a n d b d e n o t e a m a t r i x e l d a n d a v e c t o r e l d o n
d
s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n s :
1 . t h e m a p s x ! a x a n d x ! b x a r e B o r e l m e a s u r a b l e a n d l o c a l l y
b o u n d e d ,
2 . f o r e a c h x , t h e m a t r i x a x i s s y m m e t r i c a n d n o n - n e g a t i v e i . e . f o r a n y
2
d
;
P
i ; j
a
i j
x
i
j
0
R Y p a g e 2 8 3 d e n e t h e M a r t i n g a l e p r o b l e m a s f o l l o w s :
A p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q
$
i s a s o l u t i o n t o t h e M a r t i n g a l e p r o b l e m
x ; a ; b i f :
1 Q
$
X
0
= x = 1
2 . f o r a n y f 2 C
1
K
, t h e p r o c e s s :
M
f
t
= f X
t
, f X
0
,
Z
t
0
L
s
f X
s
d s
i s a Q
$
- m a r t i n g a l e w . r . t . t h e l t r a t i o n X
s
; s t = F
0
t
W e w i l l b e p r i m a r i l y i n t e r e s t e d i n t h e s i n g l e d i m e n s i o n c a s e d = 1
1 8
8/14/2019 A Banker Reads a Book
20/35
D y n a m i c H e d g i n g
W e f o c u s a t t e n t i o n o n d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s w h i c h h a v e a s p e c i e d n a l
d o l l a r p a y o u t f S
T
p a i d a t a x e d t i m e T , a n d w h i c h a l s o h a v e a s p e c i e d
i n t e r m e d i a t e d o l l a r p a y o u t i S
t
; t p a i d a t e v e r y t 2 0 ; T
C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f d y n a m i c a l l y h e d g i n g t h e s a l e o f s u c h a c l a i m u n d e r
t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s :
1 . F r i c t i o n l e s s m a r k e t s
2 . N o a r b i t r a g e
3 . C o n s t a n t i n t e r e s t r a t e r
4 . U n d e r l y i n g p a y s a c o n s t a n t p r o p o r t i o n a l d i v i d e n d c o n t i n u o u s l y o v e r
t i m e :
$ a m o u n t o f d i v i d e n d o v e r t ; t + d t
d t
= S
t
;
w h e r e i s a n o n - n e g a t i v e c o n s t a n t .
5 . C o n t i n u o u s s p o t p r i c e p r o c e s s u n d e r P :
d S
t
S
t
=
t
d t +
t
d W
t
; t 2 0 ; T ;
w h e r e t h e m e a n g r o w t h r a t e p r o c e s s
t
i s a d a p t e d a n d t h e v o l a t i l i t y
p r o c e s s
t
i s a f u n c t i o n o f S
t
a n d t o n l y , i . e . , t h e r e i s a f u n c t i o n s u c h
t h a t :
t
= S
t
; t
W e a l s o a s s u m e t h a t m
t
a n d S ; t a r e c h o s e n s o a s t o p r e v e n t n e g a t i v e
p r i c e s a n d e x p l o s i o n s .
1 9
8/14/2019 A Banker Reads a Book
21/35
R e p r e s e n t i n g t h e P a y o s
I t o ' s l e m m a a p p l i e d t o t h e f u n c t i o n V S
t
; t e
r T , t
g i v e s :
V S
T
; T = V S
0
; 0 e
r T
+
Z
T
0
e
r T , t
@ V
@ S
S
t
; t d S
t
+
Z
T
0
e
r T , t
2
6
4
2
S
t
; t S
2
t
2
@
2
V
@ S
2
S
t
; t , r V S
t
; t +
@ V
@ t
S
t
; t
3
7
5
d t
T h e 2 n d t e r m a c c u m u l a t e s g a i n s o n
@ V
@ S
S
t
; t s h a r e s h e l d a t e a c h t 2 0 ; T
T o g e t P & L i n s t e a d , s u b t r a c t t h e c a r r y i n g c o s t f r o m t h e g a i n s a s f o l l o w s :
V S
T
; T = V S
0
; 0 e
r T , t
+
Z
T
0
e
r T , t
@ V
@ S
S
t
; t d S
t
, r , S
t
d t
+
Z
T
0
e
r T , t
2
6
4
2
S
t
; t S
2
t
2
@
2
V
@ S
2
S
t
; t + r , S
t
@ V
@ S
S
t
; t , r V S
t
; t
+
@ V
@ t
S
t
; t
3
5
d t
N o w , b y c h o o s i n g V S ; t t o s o l v e t h e f o l l o w i n g P D E :
2
S ; t S
2
2
@
2
V
@ S
2
S ; t + r , S
@ V
@ S
S ; t , r V S ; t +
@ V
@ t
S ; t = , i S
t
; t
w i t h :
V S ; T = f S ;
w e g e t :
f S
T
+
Z
T
0
e
r T , t
i S
t
; t d t
= V S
0
; 0 e
r T
+
Z
T
0
e
r T , t
@ V
@ S
S
t
; t d S
t
, r , S
t
d t
2 0
8/14/2019 A Banker Reads a Book
22/35
R e p r e s e n t i n g t h e P a y o s c o n ' d
R e c a l l t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n a l a n d i n t e r m e d i a t e p a y o s :
f S
T
+
Z
T
0
e
r T , t
i S
t
; t d t
= V S
0
; 0 e
r T
+
Z
T
0
e
r T , t
@ V
@ S
S
t
; t d S
t
, r , S
t
d t
T h u s t h e n a l a n d i n t e r m e d i a t e p a y o s a r e t h e s u m o f :
1 . t h e f u t u r e v a l u e o f t h e i n i t i a l i n v e s t m e n t V S
0
; 0 a n d
2 . t h e a c c u m u l a t e d P & L f r o m h o l d i n g
@ V
@ S
S
t
; t s h a r e s , w h e r e a l l p u r c h a s e s
a r e n a n c e d b y b o r r o w i n g a n d a l l s a l e s a r e i n v e s t e d i n t h e b a n k .
I t f o l l o w s t h a t t h e n o a r b i t r a g e v a l u e o f t h e p a y o i s V S
0
; 0
2 1
8/14/2019 A Banker Reads a Book
23/35
T h e E q u i v a l e n t M a r t i n g a l e M e a s u r e
R e c a l l t h a t t h e c o s t o f c r e a t i n g
T
R
0
e
r T , t
@ V
@ S
S
t
; t d S
t
, r , S
t
d t p a i d
a t T w a s z e r o , g i v e n t h a t V s a t i s e d a c e r t a i n P D E .
V i e w e d a s a p r o c e s s i n T , t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e c l e a r l y r e q u i r e s t h a t t h i s
s t o c h a s t i c i n t e g r a l h a v e r e a l i z a t i o n s o n b o t h s i d e s o f z e r o f o r a l l T o r e l s e
b e z e r o .
C o n s e q u e n t l y , o n e c a n d e n e a m e a s u r e Q
$
s u c h t h a t t h e i n t e g r a l h a s z e r o
m e a n u n d e r Q
$
f o r a l l T
S i n c e t h e i n t e g r a l i s a Q
$
- m a r t i n g a l e b y t h e d e n i t i o n o f Q
$
, a n d Q
$
i s
e q u i v a l e n t t o P , Q
$
i s c a l l e d a n e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e
G i v e n o u r a s s u m p t i o n s a n d g i v e n t h e i n i t i a l p r i c e s o f t h e s t o c k a n d b o n d ,
t h i s m a r t i n g a l e m e a s u r e i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d .
U n d e r Q
$
, t h e i n t e g r a t o r d S
t
, r , S
t
d t h a s z e r o m e a n a n d h a s v a r i a n c e
2
S
t
; t S
2
t
d t . C o n s e q u e n t l y , t h e r e e x i s t s a u n i q u e Q
$
, B r o w n i a n m o t i o n
W
$
t
s u c h t h a t :
d S
t
S
t
= r , d t + S
t
; t d W
$
t
; t 2 0 ; T ; w h e r e S
0
= S
2 2
8/14/2019 A Banker Reads a Book
24/35
R i s k - N e u t r a l S t o c k P r i c e P r o c e s s
R e c a l l t h a t t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e h a s a l l o w e d u s t o d e n e a u n i q u e
m a r t i n g a l e m e a s u r e Q
$
a n d a u n i q u e s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n f W
$
t
; t 2
0 ; T g s u c h t h a t :
d S
t
S
t
= r , d t + S
t
; t d W
$
t
; t 2 0 ; T ; w h e r e S
0
= S
T h e d r i f t o f t h i s p r o c e s s i s s i m p l y t h e c o s t o f c a r r y i n g t h e u n d e r l y i n g a n d h a s
n o g r e a t e r s i g n i c a n c e . I t i s a l s o t h e d r i f t w h i c h w o u l d a r i s e i n e q u i l i b r i u m
i f a l l i n v e s t o r s w e r e r i s k - n e u t r a l , a n d f o r t h i s r e a s o n , t h e p r o c e s s i s a l s o
c a l l e d t h e r i s k - n e u t r a l " p r o c e s s . T h e m a r t i n g a l e m e a s u r e i s a l s o c a l l e d t h e
r i s k - n e u t r a l m e a s u r e . T h e s e a r e t e r r i b l y m i s - l e a d i n g t e r m s , s i n c e w e a r e
d e n i t e l y n o t a s s u m i n g t h a t i n v e s t o r s a r e r i s k - n e u t r a l .
T h e v o l a t i l i t y o f t h e r i s k - n e u t r a l p r o c e s s i s t h e s a m e a s t h e v o l a t i l i t y o f t h e
a s s u m e d p r o c e s s . G i r s a n o v ' s t h e o r e m c o v e r e d i n t h e n e x t p a r t s h o w s t h a t
t h i s p r e s e r v a t i o n o f v o l a t i l i t y a r i s e s w h e n e v e r o n e h a s c o n t i n u o u s s a m p l e
p a t h s , b u t i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y f o l l o w w h e n p r i c e s c a n j u m p .
2 3
8/14/2019 A Banker Reads a Book
25/35
R i s k - N e u t r a l V a l u a t i o n
S i n c e f S
T
=
R
1
0
S
T
, K f K d K a n d f o r e a c h t , i S
t
; t =
R
1
0
S
t
,
K i K ; t d K , t h e k e y t o v a l u i n g d e r i v a t i v e s i n c l o s e d f o r m i s t o n d t h e
v a l u e o f a c l a i m w i t h p a y o S
T
, K a t T . W e c a l l t h e f o r w a r d p r i c e o f
t h i s b u t t e r y s p r e a d " t h e r i s k - n e u t r a l t r a n s i t i o n d e n s i t y q t ; S ; u ; K
Q
$
f S
u
2 d K j S
t
= S g
T h u s , t h e v a l u e o f a n y d e r i v a t i v e o f t h e t y p e w e a r e e x a m i n i n g c a n b e
w r i t t e n a s :
V S ; t =
Z
T
t
e
, r u , t
Z
1
0
i K ; u Q
$
f S
u
2 d K j S
t
= S g + e
, r T , t
Z
1
0
f K
N o t e t h a t t h e p a y o u t s i K ; u a n d f K a r e u n i t l e s s , w h i l e Q
$
i s m e a s u r e d
i n d o l l a r s .
I n g e n e r a l , t o v a l u e a d e r i v a t i v e g i v e n t h a t w e a r e a t t i m e t w i t h t h e s t o c k
p r i c e a t S , w e r s t d e t e r m i n e t h e f o r w a r d p r i c e o f e a c h p a t h f r o m t h e
m e a s u r e Q
$
d e n e d b y
d S
u
S
u
= r , d u + S
u
; u d W
$
u
; u 2 t ; T ; w h e r e S
t
= S
F o r t h e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s w e a r e e x a m i n i n g , a l l t h a t m a t t e r s a b o u t t h e s e
p a t h s i s t h a t t h e y s t a r t a t t ; S a n d e n d a t u ; K . W h e n v o l a t i l i t y i s
c o n s t a n t , t h e t o t a l m e a s u r e o f t h i s p a t h b u n d l e i s w e l l - k n o w n t o b e :
Q f S
u
2 d K j S
t
= S g =
d K
r
2
2
u , t K
e x p
8
:
,
1
2
2
6
4
l n K = S , u , t
p
u , t
3
7
5
2
W e t h e n d e t e r m i n e t h e p a y o u t a l o n g e a c h p a t h b u n d l e f r o m t h e f u n c t i o n s
i S ; u ; u 2 t ; T a n d f S . T h e v a l u e i s g i v e n b y m u l t i p l y i n g t h e p a y o u t
a l o n g e a c h p a t h b u n d l e b y i t s p r i c e a n d t h e n s u m m i n g i n t e g r a t i n g o v e r
p a t h b u n d l e s .
2 4
8/14/2019 A Banker Reads a Book
26/35
P a r t V
G i r s a n o v ' s T h e o r e m a n d Q u a n t o i n g
2 5
8/14/2019 A Banker Reads a Book
27/35
P r o b a b i l i s t i c C o n c e p t
O n p a g e 3 1 1 , R Y l e t F
0
t
; t 0 b e a r i g h t c o n t i n u o u s l t r a t i o n w i t h
t e r m i n a l - e l d F
0
1
a n d t h e y l e t Q
$
a n d Q
$
b e t w o p r o b a b i l i t y m e a s u r e s
o n F
0
1
. T h e y a s s u m e t h a t f o r e a c h t 0 , t h e r e s t r i c t i o n o f Q
$
t o F
0
t
i s
a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w . r . t . t h e r e s t r i c t i o n o f Q
$
t o F
0
t
, w h i c h t h e y d e n o t e
b y Q
$
Q
$
T h e y a l s o l e t D
t
b e t h e R a d o n N i k o d y m d e r i v a t i v e o f Q
$
w . r . t . Q
$
o n F
0
t
T h e y s h o w t h a t D
t
i s a n F
0
t
; Q
$
m a r t i n g a l e , w h i c h i s s t r i c t l y p o s i t i v e Q
$
a l m o s t s u r e l y . O n p a g e 3 1 4 , t h e y s t a t e t h a t i f Q
$
i s a c t u a l l y e q u i v a l e n t t o
Q
$
, t h e n D i s a l s o s t r i c t l y p o s i t i v e Q
$
a . s . a n d :
I f D i s a s t r i c t l y p o s i t i v e c o n t i n u o u s l o c a l m a r t i n g a l e , t h e r e e x i s t s
a u n i q u e c o n t i n u o u s l o c a l m a r t i n g a l e L s u c h t h a t :
D
t
= e x p f L
t
,
1
2
h L ; L i
t
g
O n p a g e 3 1 5 , t h e y p r o v e t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f G i r s a n o v ' s T h e o r e m :
I f Q
$
= e x p f L
T
,
1
2
h L ; L i
T
g Q
$
a n d M
$
i s a c o n t i n u o u s Q
$
- l o c a l
m a r t i n g a l e , t h e n
M
$
= M
$
, D
, 1
h M
$
; D i = M
$
, h M
$
; L i
i s a c o n t i n u o u s Q
$
l o c a l m a r t i n g a l e .
N o t e t h a t u n d e r Q
$
, M
$
i s n o l o n g e r a l o c a l m a r t i n g a l e .
2 6
8/14/2019 A Banker Reads a Book
28/35
D y n a m i c H e d g i n g o f Q u a n t o D e r i v a t i v e s
W e n o w c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e p a y o c u r r e n c y o f t h e d e r i v a t i v e i s
d i e r e n t f r o m t h e c u r r e n c y d e s c r i b i n g t h e p r i c e S
t
o f t h e u n d e r l y i n g s t o c k .
F o r e x a m p l e , w e w i l l c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e p a y o c u r r e n c y o f t h e
d e r i v a t i v e i s i n p o u n d s , w h i l e t h e u n d e r l y i n g s t o c k i s d e n o m i n a t e d i n d o l l a r s .
A s s u m p t i o n s
1 . F r i c t i o n l e s s m a r k e t s
2 . N o a r b i t r a g e
3 . C o n s t a n t i n t e r e s t r a t e s r
$
a n d r
$
4 . U n d e r l y i n g s t o c k h a s a c o n s t a n t d i v i d e n d y i e l d
5 . C o n t i n u o u s u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e p r o c e s s S
t
a n d s p o t e x c h a n g e r a t e
p r o c e s s R
t
i n d o l l a r s p e r p o u n d :
d S
t
S
t
= m
s
t
d t +
s
S
t
; t d W
1 t
d R
t
R
t
= m
r
t
d t +
r
t S
t
; t d W
1 t
+
r
1 ,
2
S
t
; t d W
2 t
;
w h e r e W
1
a n d W
2
a r e i n d e p e n d e n t s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n s .
2 7
8/14/2019 A Banker Reads a Book
29/35
R e p r e s e n t i n g t h e P a y o
A p p l y I t ^ o ' s l e m m a t o V S
t
; t e
r
$
T , t
t o g e t :
V S
T
; T = V S
0
; 0 e
r
$
T
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
@ V
@ S
S
t
; t d S
t
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
2
6
4
2
s
S
t
; t S
2
t
2
@
2
V
@ S
2
S
t
; t , r
$
V S
t
; t +
@ V
@ t
S
t
; t
3
7
5
d t
S i n c e t h e s t o c k t r a d e s o n l y i n d o l l a r s , t h e g a i n i n p o u n d s f r o m h o l d i n g o n e
s h a r e o f t h e s t o c k o v e r t ; t + d t i s :
d S
t
R
t + d t
=
d S
t
R
t
+ d R
t
=
1
R
t
1
1 +
d R
t
R
t
d S
t
1
R
t
0
@
1 ,
d R
t
R
t
1
A
d S
t
=
1
R
t
d S
t
,
1
R
t
r s
S
t
; t S
t
d t ;
w h e r e
r s
S
t
; t i s t h e c o v a r i a n c e o f d R = R a n d d S = S
S u b s t i t u t i n g d S
t
= R
t
d S
t
R
t + d t
+
r s
S
t
; t S
t
d t i n t h e t o p e q u a t i o n , w e g e t :
V S
T
; T = V S
0
; 0 e
r
$
T
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
@ V
@ S
S
t
; t R
t
d S
t
R
t + d t
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
8
:
2
s
S
t
; t S
2
t
2
@
2
V
@ S
2
S
t
; t +
r s
S
t
; t S
t
@ V
@ S
S
t
; t
, r
$
V S
t
; t +
@ V
@ t
S
t
; t
9
=
;
d t
2 8
8/14/2019 A Banker Reads a Book
30/35
R e c a l l :
V S
T
; T = V S
0
; 0 e
r
$
T
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
@ V
@ S
S
t
; t R
t
d S
t
R
t + d t
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
8
:
2
s
S
t
; t S
2
t
2
@
2
V
@ S
2
S
t
; t +
r s
S
t
; t S
t
@ V
@ S
S
t
; t
, r
$
V S
t
; t +
@ V
@ t
S
t
; t
9
=
;
d t
M a k e a f u r t h e r a d j u s t m e n t s o t h a t t h e s e c o n d t e r m r e p r e s e n t s t h e P & L
f r o m a z e r o - c o s t s e l f - n a n c i n g s t r a t e g y :
V S
T
; T = V S
0
; 0 e
r
$
T
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
@ V
@ S
S
t
; t R
t
2
4
d S
t
R
t + d t
, r
$
,
S
t
R
t
d t
3
5
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
8
:
2
s
S
t
; t S
2
t
2
@
2
V
@ S
2
S
t
; t + r
$
, +
r s
S
t
; t S
t
@ V
@ S
S
t
; t
, r
$
V S
t
; t +
@ V
@ t
S
t
; t
9
=
;
d t
C h o o s e V S ; t t o s o l v e t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z e d f u n d a m e n t a l P D E :
2
s
S ; t S
2
2
@
2
V
@ S
2
S ; t + r
$
, +
r s
S ; t S
@ V
@ S
S ; t , r
$
V
+
@ V
@ t
S ; t = , i S
t
; t ; w i t h V S ; T = f S
T h e n w e g e t f S
T
+
R
T
0
e
r
$
T , t
i S
t
; t d t
= V S
0
; 0 e
r
$
T
+
Z
T
0
e
r
$
T , t
@ V
@ S
S
t
; t R
t
2
4
d S
t
R
t + d t
, r
$
,
S
t
R
t
d t
3
5
I n t h i s c a s e , t h e d y n a m i c s t r a t e g y i s t o h o l d
@ V
@ S
S
t
; t R
t
s h a r e s o f t h e
u n d e r l y i n g s t o c k a t e a c h t 2 0 ; T , n a n c e d b y b o r r o w i n g i n d o l l a r s a n d
w i t h g a i n s c o n v e r t e d i n t o p o u n d s .
2 9
8/14/2019 A Banker Reads a Book
31/35
E x a m p l e : B u t t e r y S p r e a d
W e a s s u m e t h a t t h e v o l a t i l i t i e s a n d t h e c o v a r i a n c e a r e c o n s t a n t .
C o n s i d e r n o i n t e r m e d i a t e p a y o s a n d t h e D i r a c n a l p a y o , w h e r e t h e
u n d e r l y i n g s t o c k i s d e n o m i n a t e d i n d o l l a r s a n d t h e p a y o i s q u a n t o e d i n t o
p o u n d s :
f S = S , K
C o m p a r e t h e P D E w i t h n o q u a n t o i n g :
2
s
S
2
2
@
2
V
@ S
2
S ; t + r
$
, S
@ V
@ S
S ; t , r
$
V S ; t +
@ V
@ t
S ; t = 0 ;
t o t h e P D E w i t h q u a n t o i n g :
2
s
S
2
2
@
2
V
@ S
2
S ; t + r
$
, +
r s
S
@ V
@ S
S ; t , r
$
V S ; t +
@ V
@ t
S ; t = 0
I f w e u s e d r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n " , w e w o u l d h a v e a n a d d i t i o n a l t e r m
r s
i n t h e d r i f t a n d w e w o u l d h a v e a n e w d i s c o u n t r a t e r
$
R e c a l l t h e s o l u t i o n f o r t h e n o n - q u a n t o e d b u t t e r y s p r e a d :
B S S ; t =
e
, r
$
T , t
r
2
2
s
T , t K
e x p
8
:
,
1
2
2
6
4
l n K = S , T , t
s
p
T , t
3
7
5
2
9
=
;
;
w h e r e r
$
, ,
2
s
2
T h u s , t h e q u a n t o e d b u t t e r y s p r e a d v a l u e i s :
Q B S S ; t =
e
, r
$
T , t
r
2
2
s
T , t K
e x p
8
:
, 1
2
2
6
4
l n K = S , +
r s
T , t
s
p
T , t
3
7
5
2
9
=
;
3 0
8/14/2019 A Banker Reads a Book
32/35
R i s k - N e u t r a l V a l u a t i o n o f Q u a n t o e d D e r i v a t i v e s
R e c a l l t h e r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n f o r m u l a f o r a p a t h - i n d e p e n d e n t d e r i v a t i v e ,
w h e n t h e p a y o a n d u n d e r l y i n g a r e b o t h d e n o m i n a t e d i n d o l l a r s :
V S ; t = e
, r
$
T , t
E
Q
$
f S
T
j S
t
= S e
, r
$
T , t
E
Q
$
S ; t
f S
T
;
w h e r e u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q
$
, t h e r i s k - n e u t r a l s t o c k p r i c e p r o -
c e s s i s :
d S
u
S
u
= r
$
, d u + S
u
; u d W
$
u
; u 2 t ; T ; w h e r e S
t
= S
A l s o r e c a l l t h a t f i s u n i t l e s s , w h i l e Q
$
i s m e a s u r e d i n t i m e T d o l l a r s .
I f t h e p a y o f i s q u a n t o e d i n t o p o u n d s , t h e d o l l a r v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e
c h a n g e s . I f w e w i s h t o c o n t i n u e u s i n g A m e r i c a n f o r w a r d p r i c e s o f p a t h s i . e .
Q
$
, t h e n t h e c h a n g e i n d o l l a r v a l u e a r i s e s f r o m a c h a n g e i n t h e m a g n i t u d e
o f t h e p a y o :
Q V S ; t R
0
= e
, r
$
T , t
E
Q
$
S ; t
R
T
f S
T
H e r e , Q V i s i n p o u n d s , R
T
f S
T
i s u n i t l e s s , w h i l e Q
$
c o n t i n u e s t o b e
m e a s u r e d i n t i m e T d o l l a r s .
A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n u s e B r i t i s h f o r w a r d p r i c e s o f t h e d o l l a r d e n o m i n a t e d
s t o c k p r i c e p a t h s . D e n o t i n g t h e s e f o r w a r d p r i c e s b y Q
$
$
, q u a n t o e d v a l u e s
a r e o b t a i n e d b y :
Q V S ; t = e
, r
$
T , t
E
Q
$
$
S ; t
f S
T
;
w h e r e u n d e r o u r n e w r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q
$
$
, t h e r i s k - n e u t r a l s t o c k p r i c e
p r o c e s s i s :
d S
u
S
u
= r
$
, +
r s
d u + S
u
; u d W
$
$ ; u
; u 2 t ; T ; w h e r e S
t
= S
3 1
8/14/2019 A Banker Reads a Book
33/35
R i s k - N e u t r a l V a l u a t i o n o f Q u a n t o e d D e r i v a t i v e s c o n ' d
R e c a l l t h e t w o a p p r o a c h e s f o r v a l u i n g a q u a n t o e d d e r i v a t i v e :
Q V S ; t = e
, r
$
T , t
E
Q
$
S ; t
R
T
R
t
f S
T
;
Q V S ; t = e
, r
$
T , t
E
Q
$
$
S ; t
f S
T
T h u s , t h e c h a n g e i n t h e m a g n i t u d e o f t h e p a y o o f t h e d e r i v a t i v e f r o m
f S
T
t o
R
T
R
0
f S
T
i s h a n d l e d b y k e e p i n g t h e p a y o x e d a t f S
T
a n d
s i m p l y c h a n g i n g t h e g r o w t h r a t e o f t h e u n d e r l y i n g , a n d c h a n g i n g t h e c u r -
r e n c y i n w h i c h t h e p r e m i u m i s n a n c e d .
I n t h i s p r o b l e m , t h e R a d o n N i k o d y m d e r i v a t i v e i s D
t
=
d Q
$
d Q
$
= e
r
$
, r
$
T , t
R
R
T h e q u a n t o i n g o f t h e p a y o i s h a n d l e d b y a c h a n g e o f m e a s u r e w h i c h r e s u l t s
i n a c h a n g e o f r i s k - n e u t r a l d r i f t i n a c c o r d a n c e w i t h G i r s a n o v ' s t h e o r e m .
T h e i n t u i t i o n f o r t h e q u a n t o c o r r e c t i o n a n d G i r s a n o v ' s t h e o r e m a r i s e s f r o m
t h e p r o p e r t y o f a n y c o n t i n u o u s m o d e l t h a t a t a n y t i m e t 2 0 ; T , t h e d o l l a r
v a l u e o f a s t a n d a r d d e r i v a t i v e a t t + d t i s k n o w n t o b e l i n e a r i n t h e t i m e
t + d t d o l l a r p r i c e s o f t h e b o n d a n d s t o c k . T h u s , q u a n t o i n g t h e p a y o i s
e q u i v a l e n t t o q u a n t o i n g t h e b o n d a n d t h e s t o c k a n d t h e e e c t o f t h e l a t t e r
q u a n t o i n g i s t o c h a n g e t h e r i s k - n e u t r a l d r i f t .
3 2
8/14/2019 A Banker Reads a Book
34/35
I n t e r p r e t i n g t h e S t a n d a r d E u r o p e a n C a l l B l a c k S c h o l e s F o r -
m u l a
F i r s t , w e r e - w r i t e t h e n a l p a y o o f t h e s t a n d a r d E u r o p e a n c a l l a s :
C
T
= S
T
, K
+
= S
T
1 S
T
K , K 1 S
T
K
I n t h e l a s t e x p r e s s i o n , t h e s e c o n d t e r m i s K b i n a r y c a l l s a n d i t s v a l u e a t
t i m e 0 i s K e
, r
$
T
N d
2
d o l l a r s , w h e r e :
d
2
l n S
0
= K + r , ,
2
s
= 2 T
s
p
T
T o i n t e r p r e t t h e r s t t e r m , w e q u a n t o t h e p a y o i n t o s h a r e s a n d a d j u s t t h e
m a g n i t u d e o f t h e p a y o t o p r e s e r v e v a l u e .
I f t h e n e w p a y o c u r r e n c y i s t o b e s h a r e s , t h e n t h e o l d m a g n i t u d e o f
S
T
1 S
T
K r e l e v a n t f o r d o l l a r s m u s t b e c h a n g e d t o 1 S
T
K ,
s i n c e a p a y o o f S
T
1 S
T
K d o l l a r s i s c l e a r l y e q u i v a l e n t t o a p a y o
o f 1 S
T
K s h a r e s .
S i n c e w e a r e n o w u s i n g s h a r e s i n s t e a d o f p o u n d s a s t h e c u r r e n c y " w e a r e
q u a n t o i n g i n t o , R
t
S
t
a n d r
$
. T h i s m a k e s t w o c h a n g e s t o t h e
s t a n d a r d b i n a r y c a l l v a l u a t i o n :
1 . N e w d r i f t : s i n c e
r s
=
2
s
i n t h i s c a s e , w e a d d
2
s
t o r
$
, ,
2
s
2
2 . N e w d i s c o u n t r a t e : u s e i n s t e a d o f r
$
t o d i s c o u n t .
M a k i n g t h e s e c h a n g e s , t h e v a l u e o f t h e b i n a r y c a l l q u a n t o e d i n t o s h a r e s
b e c o m e s e
, T
N d
2
+
p
T s h a r e s . T h e r e f o r e , i t s v a l u e i n d o l l a r s i s
S
0
e
, T
N d
2
+
p
T , w h i c h i s t h e s a m e a s t h e r s t t e r m i n t h e B l a c k -
S c h o l e s f o r m u l a .
3 3
8/14/2019 A Banker Reads a Book
35/35
S u m m a r y a n d M o r e R e l a t i o n s h i p s
W e h a v e e x p l o r e d t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e f o l l o w i n g p r o b a b i l i s t i c a n d
n a n c i a l c o n c e p t s :
1 . e x p e c t e d v a l u e a n d n o a r b i t r a g e v a l u e
2 . i n t e g r a t i o n b y p a r t s a n d g a i n s p r o c e s s
3 . m a r t i n g a l e p r o b l e m a n d A r r o w D e b r e u p a t h s e c u r i t i e s
4 . t r a n s i t i o n d e n s i t y a n d b u t t e r y s p r e a d
5 . G i r s a n o v ' s t h e o r e m a n d q u a n t o i n g
M a n y o t h e r r e l a t i o n s h i p s e x i s t s u c h a s :
1 . r e e c t i o n p r i n c i p l e a n d s t a t i c h e d g i n g
2 . q u a d r a t i c v a r i a t i o n a n d v o l a t i l i t y c o n t r a c t s
3 . l o c a l t i m e a n d l o c a l v o l a t i l i t y
P l e a s e s e e m e d u r i n g t h e c o n f e r e n c e i f y o u a r e i n t e r s t e d i n e x p l o r i n g t h e s e
r e l a t i o n s h i p s f u r t h e r .
Top Related