A Banker Reads a Book

8/14/2019 A Banker Reads a Book

1/35

F i n a n c i a l I n t e r p r e t a t i o n s

o f P r o b a b i l i s t i c C o n c e p t s

o r :

A B a n k e r R e a d s a B o o k

P r e s e n t a t i o n f o r M i d w e s t P r o b a b i l i t y C o n f e r e n c e

P e t e r C a r r

M o r g a n S t a n l e y

1 5 8 5 B r o a d w a y , 1 6 t h o o r

N e w Y o r k , N Y 1 0 0 3 6

2 1 2 7 6 1 - 7 3 4 0

c a r r p @ m s . c o m

I n i t i a l v e r s i o n : O c t o b e r 2 1 , 1 9 9 8

F i l e r e f e r e n c e : n p r o b . t e x


2/35

C o n t e n t s

I I n t r o d u c t i o n 2

I I E x p e c t e d V a l u e a n d N o A r b i t r a g e V a l u e 5

I I I I t ^ o ' s L e m m a a n d I n t e g r a t i o n b y P a r t s v s . G a i n s P r o c e s s 1 3

I V M a r t i n g a l e P r o b l e m a n d E q u i v a l e n t M a r t i n g a l e M e a s u r e 1 7

V G i r s a n o v ' s T h e o r e m a n d Q u a n t o i n g 2 5

1


3/35

P a r t I

I n t r o d u c t i o n

2


4/35

A D o u b l e P l a y : A c c o u n t i n g t o P r o b a b i l i t y t o F i n a n c e

I n L u c a P a c c i o l o ' s m a s t e r w o r k S u m m a d e a r i t h m e t i c , g e o m e t r i a e t p r o -

p o r t i o n a l i t a p u b l i s h e d i n 1 4 9 4 , t h e m o n k p o s e d t h e f o l l o w i n g p r o b l e m o f

t h e p o i n t s " :

A a n d B a r e p l a y i n g a f a i r g a m e o f b a l l a . T h e y a g r e e t o c o n t i n u e

u n t i l o n e h a s w o n s i x r o u n d s . T h e g a m e a c t u a l l y s t o p s w h e n A h a s

w o n v e a n d B t h r e e . H o w s h o u l d t h e s t a k e s b e d i v i d e d ?

I n 1 6 5 4 , t h e i n v e t e r a t e g a m b l e r C h e v a l i e r d e M e r e b r o u g h t t h e p r o b l e m o f

t h e p o i n t s t o t h e a t t e n t i o n o f P a s c a l , w h o i n i t i a t e d a c o r r e s p o n d e n c e w i t h

F e r m a t . P a s c a l s o l v e d t h i s p r o b l e m w i t h t h e a i d o f h i s f a m o u s t r i a n g l e ,

p u t t i n g p r o b a b i l i t y t h e o r y o n a t h e o r e t i c a l f o u n d a t i o n f o r t h e r s t t i m e .

I n 1 9 9 4 , d u r i n g t h e h e y d a y o f t h e d e r i v a t i v e s d e b a c l e , t h e c o v e r s t o r y o f

T i m e m a g a z i n e r e a d :

T h i s f a n t a s t i c s y s t e m o f s i d e b e t s i s n o t b a s e d o n o l d - f a s h i o n e d h u -

m a n h u n c h e s b u t o n c a l c u l a t i o n s d e s i g n e d a n d m o n i t o r e d b y c o m -

p u t e r w i z a r d s u s i n g a b s t r u s e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a s d e v e l o p e d

b y s o - c a l l e d q u a n t s , s h o r t f o r q u a n t i t a t i v e a n a l y s t s .

3


5/35

A B a n k e r R e a d s a B o o k

A l l o f t h e p r o b a b i l i s t i c c o n c e p t s c o m e f r o m

C o n t i n u o u s M a r t i n g a l e s a n d B r o w n i a n M o t i o n , S e c o n d E d i t i o n , b y D a n i e l

R e v u z a n d M a r c Y o r , S p r i n g e r V e r l a g 1 9 9 4 .

I w i l l r e f e r t o t h i s t e x t a s R Y .

T w o g o o d s o u r c e s f o r n a n c i a l c o n c e p t s a r e :

1 . I n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l F i n a n c e , b y S t a n l e y P l i s k a , B l a c k w e l l P u

l i s h e r s , 1 9 9 7

2 . D y n a m i c A s s e t P r i c i n g T h e o r y , S e c o n d E d i t i o n , b y D a r r e l l D u e , P r i n c

t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 6 .

T h e s e o v e r h e a d s c a n b e d o w n l o a d e d f r o m m y w e b s i t e :

w w w . m a t h . n y u . e d u r e s e a r c h c a r r p p a p e r s

4


6/35

P a r t I I

E x p e c t e d V a l u e a n d N o A r b i t r a g e V a l u e

5


7/35

D e n i t i o n s

R Y d o n ' t d e n e e x p e c t e d v a l u e f o r o b v i o u s r e a s o n s .

F o r t u n a t e l y , n a n c e p e o p l e d e n e e x p e c t e d v a l u e i n t h e s a m e w a y a s p r o b -

a b i l i s t s .

U n f o r t u n a t e l y , t h e w o r d v a l u e " i n e x p e c t e d v a l u e i s i n t e r p r e t e d b y s o m e

p r a c t i t i o n e r s a l i t t l e t o o l i t e r a l l y .

6


8/35

P r a c t i t i o n e r s a n d A c a d e m i c s

P r a c t i t i o n e r s f r e q u e n t l y e x h o r t t h a t t h e v a l u e o f a n a s s e t i s j u s t i t s e x -

p e c t e d d i s c o u n t e d v a l u e " . I n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s , t h e i n t e r e s t r a t e i s

1 0 p e r y e a r .

E x a m p l e 1 : S t o c k

S

*

1 2

$ 2 2 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 2

= S = $ 1 2 5

E x a m p l e 2 : C a l l S t r u c k a t $ 1 . 1 0

C

*

1 2

$ 1 1 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0

1 2

= C = $ 0 5 0

A c a d e m i c s f r e q u e n t l y r e t o r t t h a t t h e v a l u e o f a n a s s e t i s a c t u a l l y j u s t t h e

e x p e c t e d v a l u e o f t h e r a t i o o f t h e p a y o t o a m o n e y m a r k e t a c c o u n t , w h e r e

e x p e c t a t i o n s a r e c a l c u l a t e d u n d e r a n a p p r o p r i a t e e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e

m e a s u r e " .

7


9/35

P r o b a b i l i t i e s f r o m P r i c e s

R i g h t l y o r w r o n g l y , p r a c t i t i o n e r s o b t a i n t h e p r o b a b i l i t i e s n e e d e d f o r v a l u a -

t i o n b y b a c k i n g t h e m o u t o f m a r k e t p r i c e s :

$ 1 . 2 5

*

q

$ 2 2 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 - q

= q = 1 = 2

C

*

1 2

$ 1 1 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0

1 2

= C = $ 0 5 0

A s l o n g a s p r o b a b i l i t i e s a r e i m p l i e d f r o m p r i c e s , p r a c t i t i o n e r s g e t t h e r i g h t

a n s w e r . T h e s e i m p l i e d p r o b a b i l i t i e s a r e r e f e r r e d t o a s r i s k - n e u t r a l " p r o b -

a b i l i t i e s .

8


10/35

T y p e A E r r o r

T y p e A e r r o r A f o r a r b i t r a g e a r i s e s w h e n a c t u a l p r o b a b i l i t i e s p , 1 - p a r e

u s e d i n p l a c e o f r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s q , 1 - q . F o r e x a m p l e :

S = $ 1 . 0 0

*

p = 1 2

$ 2 2 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 - p = 1 2

R i s k a v e r s i o n f e a r c a u s e s t h e s t o c k t o b e p r i c e d b e l o w e x p e c t e d d i s c o u n t e d

v a l u e . S u p p o s e a c a l l s t r u c k a t $ 1 . 1 0 i s v a l u e d a s :

C

*

1 2

$ 1 1 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0

1 2

= C = $ 0 5 0

I f w e m a k e m a r k e t s i n t h e s t o c k f o r $ 1 a n d i n t h e c a l l f o r 5 0 c , t h e n g r e e d

w i l l i n d u c e h e d g e f u n d s t o s e l l 2 c a l l s t o u s a n d b u y a s h a r e f r o m u s :

2 C - S = $ 0

*

p = 1 2

$ 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

, $ 0 5 5

1 - p = 1 2

W e s o l d t h e h e d g e f u n d a f r e e a t - t h e - m o n e y p u t .

9


11/35

B o n d s a n d S t o c k s a n d C a l l s a n d P u t s

S u p p o s e b o n d s a n d s t o c k s a r e p r i c e d a s :

B = $ 1 . 0 0

:

$ 1 1 0

S = $ 1 . 0 0

*

p = 1 2

$ 2 2 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 - p = 1 2

F a c e d w i t h t h e s e p r i c e s , p r a c t i t i o n e r s a n d a c a d e m i c s a g r e e t h a t t h e r i s k -

n e u t r a l u p p r o b a b i l i t y i s 1 3 s i n c e :

1 = 3 $ 2 + 2 = 3 $ 0 5 = $ 1

T h u s , t h e n o a r b i t r a g e v a l u e o f a n a t - t h e - m o n e y c a l l a n d p u t a r e :

C = $ 0 . 3 3

*

q = 1 3

$ 1 1 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0

1 - q = 2 3

P = $ 0 . 3 3

*

q = 1 3

$ 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 - q = 2 3

1 0


12/35

T i m e a n d S t a t e V a l u e o f M o n e y

T h e w e l l k n o w n p r i n c i p l e c a l l e d T i m e V a l u e o f M o n e y " s a y s t h a t $ 1 p a i d

n o w i s w o r t h m o r e t h a n $ 1 p a i d i n a y e a r b e c a u s e b y d e p o s i t i n g $ 1 i n t h e

b a n k t o d a y , o n e g e t s m o r e t h a n a d o l l a r s a y $ 1 . 1 0 i n a y e a r .

S i m i l a r l y , t h e S t a t e V a l u e o f M o n e y " p r i n c i p l e s a y s a b a d s t a t e d o l l a r i s

w o r t h m o r e t h a n a g o o d s t a t e d o l l a r b e c a u s e b y t r a d i n g t o d a y , o n e g e t s

m o r e t h a n o n e g o o d s t a t e d o l l a r i n a y e a r . R e c a l l t h e a t - t h e - m o n e y c a l l

a n d p u t v a l u e s :

C = $ 0 . 3 3

*

q = 1 3

$ 1 1 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0

1 - q = 2 3

P = $ 0 . 3 3

*

q = 1 3

$ 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 - q = 2 3

T h e o w n e r o f a n a t - t h e - m o n e y p u t g e t s . 5 5 b a d s t a t e d o l l a r s . B y s e l l i n g t h e

p u t a n d b u y i n g t h e c a l l , a t r a d e r c a n i n s t e a d g e t 1 . 1 0 g o o d s t a t e d o l l a r s .

W h e t h e r t h i s i s a g o o d t r a d e o r n o t d e p e n d s o n t h e r i s k a v e r s i o n o f t h e

t r a d e r o r h i s r m .

1 1


13/35

T y p e B E r r o r

T y p e B e r r o r B f o r b a n k r u p t c y a r i s e s w h e n r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s q , 1 -

q a r e u s e d i n p l a c e o f a c t u a l p r o b a b i l i t i e s p , 1 - p . R e c a l l t h e s i n g l e p e r i o d

s t o c k p r i c e p r o c e s s :

S = $ 1 . 0 0

*

p = 1 2

$ 2 2 0

H

H

H

H

H

H

H

Hj

$ 0 5 5

1 - p = 1 2

S u p p o s e t h a t t h i s e v o l u t i o n r e p e a t s i n d e n i t e l y :

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

1

P

P

P

P

P

P

P

Pq

C o n s i d e r b e t t i n g e v e r y t h i n g y o u o w n o n t h e n u m b e r o f u p m o v e s i n o n e

t r i l l i o n t r i a l s . I n p a r t i c u l a r , w o u l d y o u b e t t h a t t h e p r o p o r t i o n o f u p m o v e s

i s c l o s e r t o o n e h a l f o r o n e t h i r d ?

1 2


14/35

P a r t I I I

I t o ' s L e m m a a n d I n t e g r a t i o n b y P a r t s v s .

G a i n s P r o c e s s

1 3


15/35

P r o b a b i l i s t i c C o n c e p t

R Y p a g e 1 3 9 p r o v e t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f I t ^ o ' s l e m m a :

I f X i s a c o n t i n u o u s s e m i m a r t i n g a l e a n d A i s a c o n t i n u o u s p r o c e s s

o f b o u n d e d v a r i a t i o n a n d i f

@

2

F

@ x

2

a n d

@ F

@ y

e x i s t a n d a r e c o n t i n u o u s ,

t h e n :

F X

t

; A

t

= F X

0

; A

0

+

Z

t

0

@ F

@ x

X

s

; A

s

d X

s

+

Z

t

0

@ F

@ y

X

s

; A

s

d A

s

+

1

2

Z

t

0

@

2

F

@ x

2

X

s

; A

s

d h X ; X i

s

O u r p r i m a r y i n t e r e s t w i l l b e i n t h e s p e c i a l c a s e w h e n A

t

= t . I n d i e r e n t i a l

f o r m , w e h a v e :

d F X

t

; t =

@ F

@ x

X

t

; t d X

t

+

@ F

@ t

X

t

; t d t +

1

2

@

2

F

@ x

2

X

t

; t d h X ; X i

t

R Y p a g e 1 3 8 p r o v e t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f t h e i n t e g r a t i o n b y p a r t s f o r m u l a :

I f X a n d Y a r e t w o c o n t i n u o u s s e m i m a r t i n g a l e s , t h e n :

X

t

Y

t

= X

0

Y

0

+

Z

t

0

X

s

d Y

s

+

Z

t

0

Y

s

d X

s

+ h X ; Y i

t

I n d i e r e n t i a l f o r m , w e h a v e :

d X

t

Y

t

= X

t

d Y

t

+ Y

t

d X

t

+ d h X ; Y i

t

O u r p r i m a r y i n t e r e s t w i l l b e w h e n X i s t h e s t o c k p r i c e a n d Y i s t h e n u m b e r

o f s h a r e s h e l d .

1 4


16/35

T e x t b o o k D e r i v a t i o n o f B l a c k S c h o l e s P D E

A s s u m e f r i c t i o n l e s s m a r k e t s , n o a r b i t r a g e , c o n s t a n t i n t e r e s t r a t e r , n o d i v -

i d e n d s , a n d t h a t t h e s t o c k p r i c e p r o c e s s f S

t

; t 2 0 ; T g i s a d i u s i o n w i t h

c o n s t a n t v o l a t i l i t y :

d S

t

S

t

=

t

d t + d W

t

; t 2 0 ; T

L e t t i n g f C

t

; t 2 0 ; T g d e n o t e t h e E u r o p e a n c a l l p r i c e p r o c e s s , f u r t h e r

a s s u m e C

t

= C S

t

; t ; t 2 0 ; T f o r s o m e C

2 ; 1

f u n c t i o n C S ; t m a p p i n g

+

0 ; T i n t o

+

. T h e n b y I t ^ o ' s l e m m a :

d C

t

=

2

6

4

@ C

@ t

S

t

; t +

2

S

2

t

2

@

2

C

@ S

2

S

t

; t

3

7

5

d t +

@ C

@ S

S

t

; t d S

t

; t 2 0 ; T

C o n s i d e r a h e d g e p o r t f o l i o c o n s i s t i n g o f l o n g o n e c a l l a n d s h o r t

@ C

@ S

S ; t

s h a r e s :

H

t

C

t

,

@ C

@ S

S

t

; t 2 0 ; T

T h e t e x t b o o k a r g u m e n t i s t h a t :

d H

t

= d C

t

,

@ C

@ S

d S

t

=

2

6

4

@ C

@ t

S

t

; t +

2

S

2

t

2

@

2

C

@ S

2

S

t

; t

3

7

5

d t

= r

2

4

C S

t

; t ,

@ C

@ S

S

t

; t S

t

3

5

d t ;

b y t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e . E q u a t i n g c o e c i e n t s o n d t y i e l d s t h e B l a c k

S c h o l e s P D E :

@ C

@ t

S ; t +

2

S

2

2

@

2

C

@ S

2

S ; t + r

@ C

@ S

S ; t S , r C S

t

; t = 0 ; t 2 0 ; T ; S 0

W h y d o t h e t e x t b o o k s i g n o r e i n t e g r a t i o n b y p a r t s ?

1 5


17/35

G a i n s P r o c e s s

R e c a l l t h e t e x t b o o k a r g u m e n t t h a t i f :

H

t

C

t

,

@ C

@ S

S

t

; t 2 0 ; T

t h e n :

d H

t

= d C

t

,

@ C

@ S

d S

t

; t 2 0 ; T

I n t e g r a t i o n b y p a r t s r e q u i r e s t h a t t h e s e c o n d e q u a t i o n s h o u l d i n s t e a d b e :

d H

t

= d C

t

,

@ C

@ S

d S

t

, d

@ C

@ S

S

t

, d h

@ C

@ S

; S i

t

; t 2 0 ; T

T h e a d d i t i o n a l t w o t e r m s r e p r e s e n t t h e a d d i t i o n a l i n v e s t m e n t n e e d e d t o

m a i n t a i n t h e s t r a t e g y . T h e t h i r d t e r m i n v o l v e s t h e d i e r e n t i a l o f a p r o c e s s

o f u n b o u n d e d v a r i a t i o n , s o o n e c a n n o t a r g u e t h a t d H

t

i s r i s k l e s s .

T h e f a s t e s t x u p i s t o r e p l a c e t h e t o t a l d e r i v a t i v e o f H i n t h e s e c o n d

e q u a t i o n b y t h e g a i n o n t h e h e d g e p o r t f o i o :

g H

t

d C

t

,

@ C

@ S

d S

t

; t 2 0 ; T

I f d C

t

= d C S

t

; t , t h e n t h e a r g u m e n t t o t h e P D E i s t h e s a m e a s o n t h e

p r e v i o u s p a g e .

W h e n a p r o c e s s h a s t h e f o r m X

t

= N

t

S

t

, t h e n t h e g a i n s p r o c e s s i s G

t

R

t

0

N

t

d S

t

W e d i s t i n g u i s h g a i n s f r o m P & L , w h i c h a l s o t a k e s i n t o a c c o u n t t h e c o s t o f

n a n c i n g t h e p u r c h a s e :

d

t

d C

t

,

@ C

@ S

S

t

; t d S

t

, r C

t

,

@ C

@ S

S

t

; t S

t

d t ; t 2 0 ; T

I f d C

t

= d C S

t

; t , t h e n d

t

= 0 b y t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e .

1 6


18/35

P a r t I V

M a r t i n g a l e P r o b l e m a n d E q u i v a l e n t

M a r t i n g a l e M e a s u r e

1 7


19/35


O n p a g e 2 8 1 , R Y d e n e f o r e a c h t i m e s , t h e s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l o p e r -

a t o r

L

s

=

1

2

d

X

i ; j = 1

a

i j

s ;

@

2

@ x

i

@ x

j

+

d

X

i = 1

b

i

s ;

@

@ x

i

;

w h e r e f o r e a c h s , a a n d b d e n o t e a m a t r i x e l d a n d a v e c t o r e l d o n

d

s u b j e c t t o t h e c o n d i t i o n s :

1 . t h e m a p s x ! a x a n d x ! b x a r e B o r e l m e a s u r a b l e a n d l o c a l l y

b o u n d e d ,

2 . f o r e a c h x , t h e m a t r i x a x i s s y m m e t r i c a n d n o n - n e g a t i v e i . e . f o r a n y

2

d

;

P

i ; j

a

i j

x

i

j

0

R Y p a g e 2 8 3 d e n e t h e M a r t i n g a l e p r o b l e m a s f o l l o w s :

A p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q

$

i s a s o l u t i o n t o t h e M a r t i n g a l e p r o b l e m

x ; a ; b i f :

1 Q

$

X

0

= x = 1

2 . f o r a n y f 2 C

1

K

, t h e p r o c e s s :

M

f

t

= f X

t

, f X

0

,

Z

t

0

L

s

f X

s

d s

i s a Q

$

- m a r t i n g a l e w . r . t . t h e l t r a t i o n X

s

; s t = F

0

t

W e w i l l b e p r i m a r i l y i n t e r e s t e d i n t h e s i n g l e d i m e n s i o n c a s e d = 1

1 8


20/35

D y n a m i c H e d g i n g

W e f o c u s a t t e n t i o n o n d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s w h i c h h a v e a s p e c i e d n a l

d o l l a r p a y o u t f S

T

p a i d a t a x e d t i m e T , a n d w h i c h a l s o h a v e a s p e c i e d

i n t e r m e d i a t e d o l l a r p a y o u t i S

t

; t p a i d a t e v e r y t 2 0 ; T

C o n s i d e r t h e p r o b l e m o f d y n a m i c a l l y h e d g i n g t h e s a l e o f s u c h a c l a i m u n d e r

t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s :

1 . F r i c t i o n l e s s m a r k e t s

2 . N o a r b i t r a g e

3 . C o n s t a n t i n t e r e s t r a t e r

4 . U n d e r l y i n g p a y s a c o n s t a n t p r o p o r t i o n a l d i v i d e n d c o n t i n u o u s l y o v e r

t i m e :

$ a m o u n t o f d i v i d e n d o v e r t ; t + d t

d t

= S

t

;

w h e r e i s a n o n - n e g a t i v e c o n s t a n t .

5 . C o n t i n u o u s s p o t p r i c e p r o c e s s u n d e r P :

d S

t

S

t

=

t

d t +

t

d W

t

; t 2 0 ; T ;

w h e r e t h e m e a n g r o w t h r a t e p r o c e s s

t

i s a d a p t e d a n d t h e v o l a t i l i t y

p r o c e s s

t

i s a f u n c t i o n o f S

t

a n d t o n l y , i . e . , t h e r e i s a f u n c t i o n s u c h

t h a t :

t

= S

t

; t

W e a l s o a s s u m e t h a t m

t

a n d S ; t a r e c h o s e n s o a s t o p r e v e n t n e g a t i v e

p r i c e s a n d e x p l o s i o n s .

1 9


21/35

R e p r e s e n t i n g t h e P a y o s

I t o ' s l e m m a a p p l i e d t o t h e f u n c t i o n V S

t

; t e

r T , t

g i v e s :

V S

T

; T = V S

0

; 0 e

r T

+

Z

T

0

e

r T , t

@ V

@ S

S

t

; t d S

t

+

Z

T

0

e

r T , t

2

6

4

2

S

t

; t S

2

t

2

@

2

V

@ S

2

S

t

; t , r V S

t

; t +

@ V

@ t

S

t

; t

3

7

5

d t

T h e 2 n d t e r m a c c u m u l a t e s g a i n s o n

@ V

@ S

S

t

; t s h a r e s h e l d a t e a c h t 2 0 ; T

T o g e t P & L i n s t e a d , s u b t r a c t t h e c a r r y i n g c o s t f r o m t h e g a i n s a s f o l l o w s :

V S

T

; T = V S

0

; 0 e

r T , t

+

Z

T

0

e

r T , t

@ V

@ S

S

t

; t d S

t

, r , S

t

d t

+

Z

T

0

e

r T , t

2

6

4

2

S

t

; t S

2

t

2

@

2

V

@ S

2

S

t

; t + r , S

t

@ V

@ S

S

t

; t , r V S

t

; t

+

@ V

@ t

S

t

; t

3

5

d t

N o w , b y c h o o s i n g V S ; t t o s o l v e t h e f o l l o w i n g P D E :

2

S ; t S

2

2

@

2

V

@ S

2

S ; t + r , S

@ V

@ S

S ; t , r V S ; t +

@ V

@ t

S ; t = , i S

t

; t

w i t h :

V S ; T = f S ;

w e g e t :

f S

T

+

Z

T

0

e

r T , t

i S

t

; t d t

= V S

0

; 0 e

r T

+

Z

T

0

e

r T , t

@ V

@ S

S

t

; t d S

t

, r , S

t

d t

2 0


22/35

R e p r e s e n t i n g t h e P a y o s c o n ' d

R e c a l l t h e r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n a l a n d i n t e r m e d i a t e p a y o s :

f S

T

+

Z

T

0

e

r T , t

i S

t

; t d t

= V S

0

; 0 e

r T

+

Z

T

0

e

r T , t

@ V

@ S

S

t

; t d S

t

, r , S

t

d t

T h u s t h e n a l a n d i n t e r m e d i a t e p a y o s a r e t h e s u m o f :

1 . t h e f u t u r e v a l u e o f t h e i n i t i a l i n v e s t m e n t V S

0

; 0 a n d

2 . t h e a c c u m u l a t e d P & L f r o m h o l d i n g

@ V

@ S

S

t

; t s h a r e s , w h e r e a l l p u r c h a s e s

a r e n a n c e d b y b o r r o w i n g a n d a l l s a l e s a r e i n v e s t e d i n t h e b a n k .

I t f o l l o w s t h a t t h e n o a r b i t r a g e v a l u e o f t h e p a y o i s V S

0

; 0

2 1


23/35

T h e E q u i v a l e n t M a r t i n g a l e M e a s u r e

R e c a l l t h a t t h e c o s t o f c r e a t i n g

T

R

0

e

r T , t

@ V

@ S

S

t

; t d S

t

, r , S

t

d t p a i d

a t T w a s z e r o , g i v e n t h a t V s a t i s e d a c e r t a i n P D E .

V i e w e d a s a p r o c e s s i n T , t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e c l e a r l y r e q u i r e s t h a t t h i s

s t o c h a s t i c i n t e g r a l h a v e r e a l i z a t i o n s o n b o t h s i d e s o f z e r o f o r a l l T o r e l s e

b e z e r o .

C o n s e q u e n t l y , o n e c a n d e n e a m e a s u r e Q

$

s u c h t h a t t h e i n t e g r a l h a s z e r o

m e a n u n d e r Q

$

f o r a l l T

S i n c e t h e i n t e g r a l i s a Q

$

- m a r t i n g a l e b y t h e d e n i t i o n o f Q

$

, a n d Q

$

i s

e q u i v a l e n t t o P , Q

$

i s c a l l e d a n e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e

G i v e n o u r a s s u m p t i o n s a n d g i v e n t h e i n i t i a l p r i c e s o f t h e s t o c k a n d b o n d ,

t h i s m a r t i n g a l e m e a s u r e i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d .

U n d e r Q

$

, t h e i n t e g r a t o r d S

t

, r , S

t

d t h a s z e r o m e a n a n d h a s v a r i a n c e

2

S

t

; t S

2

t

d t . C o n s e q u e n t l y , t h e r e e x i s t s a u n i q u e Q

$

, B r o w n i a n m o t i o n

W

$

t

s u c h t h a t :

d S

t

S

t

= r , d t + S

t

; t d W

$

t

; t 2 0 ; T ; w h e r e S

0

= S

2 2


24/35

R i s k - N e u t r a l S t o c k P r i c e P r o c e s s

R e c a l l t h a t t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e h a s a l l o w e d u s t o d e n e a u n i q u e

m a r t i n g a l e m e a s u r e Q

$

a n d a u n i q u e s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n f W

$

t

; t 2

0 ; T g s u c h t h a t :

d S

t

S

t

= r , d t + S

t

; t d W

$

t

; t 2 0 ; T ; w h e r e S

0

= S

T h e d r i f t o f t h i s p r o c e s s i s s i m p l y t h e c o s t o f c a r r y i n g t h e u n d e r l y i n g a n d h a s

n o g r e a t e r s i g n i c a n c e . I t i s a l s o t h e d r i f t w h i c h w o u l d a r i s e i n e q u i l i b r i u m

i f a l l i n v e s t o r s w e r e r i s k - n e u t r a l , a n d f o r t h i s r e a s o n , t h e p r o c e s s i s a l s o

c a l l e d t h e r i s k - n e u t r a l " p r o c e s s . T h e m a r t i n g a l e m e a s u r e i s a l s o c a l l e d t h e

r i s k - n e u t r a l m e a s u r e . T h e s e a r e t e r r i b l y m i s - l e a d i n g t e r m s , s i n c e w e a r e

d e n i t e l y n o t a s s u m i n g t h a t i n v e s t o r s a r e r i s k - n e u t r a l .

T h e v o l a t i l i t y o f t h e r i s k - n e u t r a l p r o c e s s i s t h e s a m e a s t h e v o l a t i l i t y o f t h e

a s s u m e d p r o c e s s . G i r s a n o v ' s t h e o r e m c o v e r e d i n t h e n e x t p a r t s h o w s t h a t

t h i s p r e s e r v a t i o n o f v o l a t i l i t y a r i s e s w h e n e v e r o n e h a s c o n t i n u o u s s a m p l e

p a t h s , b u t i t d o e s n o t n e c e s s a r i l y f o l l o w w h e n p r i c e s c a n j u m p .

2 3


25/35

R i s k - N e u t r a l V a l u a t i o n

S i n c e f S

T

=

R

1

0

S

T

, K f K d K a n d f o r e a c h t , i S

t

; t =

R

1

0

S

t

,

K i K ; t d K , t h e k e y t o v a l u i n g d e r i v a t i v e s i n c l o s e d f o r m i s t o n d t h e

v a l u e o f a c l a i m w i t h p a y o S

T

, K a t T . W e c a l l t h e f o r w a r d p r i c e o f

t h i s b u t t e r y s p r e a d " t h e r i s k - n e u t r a l t r a n s i t i o n d e n s i t y q t ; S ; u ; K

Q

$

f S

u

2 d K j S

t

= S g

T h u s , t h e v a l u e o f a n y d e r i v a t i v e o f t h e t y p e w e a r e e x a m i n i n g c a n b e

w r i t t e n a s :

V S ; t =

Z

T

t

e

, r u , t

Z

1

0

i K ; u Q

$

f S

u

2 d K j S

t

= S g + e

, r T , t

Z

1

0

f K

N o t e t h a t t h e p a y o u t s i K ; u a n d f K a r e u n i t l e s s , w h i l e Q

$

i s m e a s u r e d

i n d o l l a r s .

I n g e n e r a l , t o v a l u e a d e r i v a t i v e g i v e n t h a t w e a r e a t t i m e t w i t h t h e s t o c k

p r i c e a t S , w e r s t d e t e r m i n e t h e f o r w a r d p r i c e o f e a c h p a t h f r o m t h e

m e a s u r e Q

$

d e n e d b y

d S

u

S

u

= r , d u + S

u

; u d W

$

u

; u 2 t ; T ; w h e r e S

t

= S

F o r t h e d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s w e a r e e x a m i n i n g , a l l t h a t m a t t e r s a b o u t t h e s e

p a t h s i s t h a t t h e y s t a r t a t t ; S a n d e n d a t u ; K . W h e n v o l a t i l i t y i s

c o n s t a n t , t h e t o t a l m e a s u r e o f t h i s p a t h b u n d l e i s w e l l - k n o w n t o b e :

Q f S

u

2 d K j S

t

= S g =

d K

r

2

2

u , t K

e x p

8

:

,

1

2

2

6

4

l n K = S , u , t

p

u , t

3

7

5

2

W e t h e n d e t e r m i n e t h e p a y o u t a l o n g e a c h p a t h b u n d l e f r o m t h e f u n c t i o n s

i S ; u ; u 2 t ; T a n d f S . T h e v a l u e i s g i v e n b y m u l t i p l y i n g t h e p a y o u t

a l o n g e a c h p a t h b u n d l e b y i t s p r i c e a n d t h e n s u m m i n g i n t e g r a t i n g o v e r

p a t h b u n d l e s .

2 4


26/35

P a r t V

G i r s a n o v ' s T h e o r e m a n d Q u a n t o i n g

2 5


27/35


O n p a g e 3 1 1 , R Y l e t F

0

t

; t 0 b e a r i g h t c o n t i n u o u s l t r a t i o n w i t h

t e r m i n a l - e l d F

0

1

a n d t h e y l e t Q

$

a n d Q

$

b e t w o p r o b a b i l i t y m e a s u r e s

o n F

0

1

. T h e y a s s u m e t h a t f o r e a c h t 0 , t h e r e s t r i c t i o n o f Q

$

t o F

0

t

i s

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w . r . t . t h e r e s t r i c t i o n o f Q

$

t o F

0

t

, w h i c h t h e y d e n o t e

b y Q

$

Q

$

T h e y a l s o l e t D

t

b e t h e R a d o n N i k o d y m d e r i v a t i v e o f Q

$

w . r . t . Q

$

o n F

0

t

T h e y s h o w t h a t D

t

i s a n F

0

t

; Q

$

m a r t i n g a l e , w h i c h i s s t r i c t l y p o s i t i v e Q

$

a l m o s t s u r e l y . O n p a g e 3 1 4 , t h e y s t a t e t h a t i f Q

$

i s a c t u a l l y e q u i v a l e n t t o

Q

$

, t h e n D i s a l s o s t r i c t l y p o s i t i v e Q

$

a . s . a n d :

I f D i s a s t r i c t l y p o s i t i v e c o n t i n u o u s l o c a l m a r t i n g a l e , t h e r e e x i s t s

a u n i q u e c o n t i n u o u s l o c a l m a r t i n g a l e L s u c h t h a t :

D

t

= e x p f L

t

,

1

2

h L ; L i

t

g

O n p a g e 3 1 5 , t h e y p r o v e t h e f o l l o w i n g v e r s i o n o f G i r s a n o v ' s T h e o r e m :

I f Q

$

= e x p f L

T

,

1

2

h L ; L i

T

g Q

$

a n d M

$

i s a c o n t i n u o u s Q

$

- l o c a l

m a r t i n g a l e , t h e n

M

$

= M

$

, D

, 1

h M

$

; D i = M

$

, h M

$

; L i

i s a c o n t i n u o u s Q

$

l o c a l m a r t i n g a l e .

N o t e t h a t u n d e r Q

$

, M

$

i s n o l o n g e r a l o c a l m a r t i n g a l e .

2 6


28/35

D y n a m i c H e d g i n g o f Q u a n t o D e r i v a t i v e s

W e n o w c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e p a y o c u r r e n c y o f t h e d e r i v a t i v e i s

d i e r e n t f r o m t h e c u r r e n c y d e s c r i b i n g t h e p r i c e S

t

o f t h e u n d e r l y i n g s t o c k .

F o r e x a m p l e , w e w i l l c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e t h e p a y o c u r r e n c y o f t h e

d e r i v a t i v e i s i n p o u n d s , w h i l e t h e u n d e r l y i n g s t o c k i s d e n o m i n a t e d i n d o l l a r s .

A s s u m p t i o n s

1 . F r i c t i o n l e s s m a r k e t s

2 . N o a r b i t r a g e

3 . C o n s t a n t i n t e r e s t r a t e s r

$

a n d r

$

4 . U n d e r l y i n g s t o c k h a s a c o n s t a n t d i v i d e n d y i e l d

5 . C o n t i n u o u s u n d e r l y i n g s t o c k p r i c e p r o c e s s S

t

a n d s p o t e x c h a n g e r a t e

p r o c e s s R

t

i n d o l l a r s p e r p o u n d :

d S

t

S

t

= m

s

t

d t +

s

S

t

; t d W

1 t

d R

t

R

t

= m

r

t

d t +

r

t S

t

; t d W

1 t

+

r

1 ,

2

S

t

; t d W

2 t

;

w h e r e W

1

a n d W

2

a r e i n d e p e n d e n t s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n s .

2 7


29/35

R e p r e s e n t i n g t h e P a y o

A p p l y I t ^ o ' s l e m m a t o V S

t

; t e

r

$

T , t

t o g e t :

V S

T

; T = V S

0

; 0 e

r

$

T

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

@ V

@ S

S

t

; t d S

t

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

2

6

4

2

s

S

t

; t S

2

t

2

@

2

V

@ S

2

S

t

; t , r

$

V S

t

; t +

@ V

@ t

S

t

; t

3

7

5

d t

S i n c e t h e s t o c k t r a d e s o n l y i n d o l l a r s , t h e g a i n i n p o u n d s f r o m h o l d i n g o n e

s h a r e o f t h e s t o c k o v e r t ; t + d t i s :

d S

t

R

t + d t

=

d S

t

R

t

+ d R

t

=

1

R

t

1

1 +

d R

t

R

t

d S

t

1

R

t

0

@

1 ,

d R

t

R

t

1

A

d S

t

=

1

R

t

d S

t

,

1

R

t

r s

S

t

; t S

t

d t ;

w h e r e

r s

S

t

; t i s t h e c o v a r i a n c e o f d R = R a n d d S = S

S u b s t i t u t i n g d S

t

= R

t

d S

t

R

t + d t

+

r s

S

t

; t S

t

d t i n t h e t o p e q u a t i o n , w e g e t :

V S

T

; T = V S

0

; 0 e

r

$

T

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

@ V

@ S

S

t

; t R

t

d S

t

R

t + d t

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

8

:

2

s

S

t

; t S

2

t

2

@

2

V

@ S

2

S

t

; t +

r s

S

t

; t S

t

@ V

@ S

S

t

; t

, r

$

V S

t

; t +

@ V

@ t

S

t

; t

9

=

;

d t

2 8


30/35

R e c a l l :

V S

T

; T = V S

0

; 0 e

r

$

T

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

@ V

@ S

S

t

; t R

t

d S

t

R

t + d t

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

8

:

2

s

S

t

; t S

2

t

2

@

2

V

@ S

2

S

t

; t +

r s

S

t

; t S

t

@ V

@ S

S

t

; t

, r

$

V S

t

; t +

@ V

@ t

S

t

; t

9

=

;

d t

M a k e a f u r t h e r a d j u s t m e n t s o t h a t t h e s e c o n d t e r m r e p r e s e n t s t h e P & L

f r o m a z e r o - c o s t s e l f - n a n c i n g s t r a t e g y :

V S

T

; T = V S

0

; 0 e

r

$

T

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

@ V

@ S

S

t

; t R

t

2

4

d S

t

R

t + d t

, r

$

,

S

t

R

t

d t

3

5

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

8

:

2

s

S

t

; t S

2

t

2

@

2

V

@ S

2

S

t

; t + r

$

, +

r s

S

t

; t S

t

@ V

@ S

S

t

; t

, r

$

V S

t

; t +

@ V

@ t

S

t

; t

9

=

;

d t

C h o o s e V S ; t t o s o l v e t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z e d f u n d a m e n t a l P D E :

2

s

S ; t S

2

2

@

2

V

@ S

2

S ; t + r

$

, +

r s

S ; t S

@ V

@ S

S ; t , r

$

V

+

@ V

@ t

S ; t = , i S

t

; t ; w i t h V S ; T = f S

T h e n w e g e t f S

T

+

R

T

0

e

r

$

T , t

i S

t

; t d t

= V S

0

; 0 e

r

$

T

+

Z

T

0

e

r

$

T , t

@ V

@ S

S

t

; t R

t

2

4

d S

t

R

t + d t

, r

$

,

S

t

R

t

d t

3

5

I n t h i s c a s e , t h e d y n a m i c s t r a t e g y i s t o h o l d

@ V

@ S

S

t

; t R

t

s h a r e s o f t h e

u n d e r l y i n g s t o c k a t e a c h t 2 0 ; T , n a n c e d b y b o r r o w i n g i n d o l l a r s a n d

w i t h g a i n s c o n v e r t e d i n t o p o u n d s .

2 9


31/35

E x a m p l e : B u t t e r y S p r e a d

W e a s s u m e t h a t t h e v o l a t i l i t i e s a n d t h e c o v a r i a n c e a r e c o n s t a n t .

C o n s i d e r n o i n t e r m e d i a t e p a y o s a n d t h e D i r a c n a l p a y o , w h e r e t h e

u n d e r l y i n g s t o c k i s d e n o m i n a t e d i n d o l l a r s a n d t h e p a y o i s q u a n t o e d i n t o

p o u n d s :

f S = S , K

C o m p a r e t h e P D E w i t h n o q u a n t o i n g :

2

s

S

2

2

@

2

V

@ S

2

S ; t + r

$

, S

@ V

@ S

S ; t , r

$

V S ; t +

@ V

@ t

S ; t = 0 ;

t o t h e P D E w i t h q u a n t o i n g :

2

s

S

2

2

@

2

V

@ S

2

S ; t + r

$

, +

r s

S

@ V

@ S

S ; t , r

$

V S ; t +

@ V

@ t

S ; t = 0

I f w e u s e d r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n " , w e w o u l d h a v e a n a d d i t i o n a l t e r m

r s

i n t h e d r i f t a n d w e w o u l d h a v e a n e w d i s c o u n t r a t e r

$

R e c a l l t h e s o l u t i o n f o r t h e n o n - q u a n t o e d b u t t e r y s p r e a d :

B S S ; t =

e

, r

$

T , t

r

2

2

s

T , t K

e x p

8

:

,

1

2

2

6

4

l n K = S , T , t

s

p

T , t

3

7

5

2

9

=

;

;

w h e r e r

$

, ,

2

s

2

T h u s , t h e q u a n t o e d b u t t e r y s p r e a d v a l u e i s :

Q B S S ; t =

e

, r

$

T , t

r

2

2

s

T , t K

e x p

8

:

, 1

2

2

6

4

l n K = S , +

r s

T , t

s

p

T , t

3

7

5

2

9

=

;

3 0


32/35

R i s k - N e u t r a l V a l u a t i o n o f Q u a n t o e d D e r i v a t i v e s

R e c a l l t h e r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n f o r m u l a f o r a p a t h - i n d e p e n d e n t d e r i v a t i v e ,

w h e n t h e p a y o a n d u n d e r l y i n g a r e b o t h d e n o m i n a t e d i n d o l l a r s :

V S ; t = e

, r

$

T , t

E

Q

$

f S

T

j S

t

= S e

, r

$

T , t

E

Q

$

S ; t

f S

T

;

w h e r e u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q

$

, t h e r i s k - n e u t r a l s t o c k p r i c e p r o -

c e s s i s :

d S

u

S

u

= r

$

, d u + S

u

; u d W

$

u

; u 2 t ; T ; w h e r e S

t

= S

A l s o r e c a l l t h a t f i s u n i t l e s s , w h i l e Q

$

i s m e a s u r e d i n t i m e T d o l l a r s .

I f t h e p a y o f i s q u a n t o e d i n t o p o u n d s , t h e d o l l a r v a l u e o f t h e d e r i v a t i v e

c h a n g e s . I f w e w i s h t o c o n t i n u e u s i n g A m e r i c a n f o r w a r d p r i c e s o f p a t h s i . e .

Q

$

, t h e n t h e c h a n g e i n d o l l a r v a l u e a r i s e s f r o m a c h a n g e i n t h e m a g n i t u d e

o f t h e p a y o :

Q V S ; t R

0

= e

, r

$

T , t

E

Q

$

S ; t

R

T

f S

T

H e r e , Q V i s i n p o u n d s , R

T

f S

T

i s u n i t l e s s , w h i l e Q

$

c o n t i n u e s t o b e

m e a s u r e d i n t i m e T d o l l a r s .

A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n u s e B r i t i s h f o r w a r d p r i c e s o f t h e d o l l a r d e n o m i n a t e d

s t o c k p r i c e p a t h s . D e n o t i n g t h e s e f o r w a r d p r i c e s b y Q

$

$

, q u a n t o e d v a l u e s

a r e o b t a i n e d b y :

Q V S ; t = e

, r

$

T , t

E

Q

$

$

S ; t

f S

T

;

w h e r e u n d e r o u r n e w r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q

$

$

, t h e r i s k - n e u t r a l s t o c k p r i c e

p r o c e s s i s :

d S

u

S

u

= r

$

, +

r s

d u + S

u

; u d W

$

$ ; u

; u 2 t ; T ; w h e r e S

t

= S

3 1


33/35

R i s k - N e u t r a l V a l u a t i o n o f Q u a n t o e d D e r i v a t i v e s c o n ' d

R e c a l l t h e t w o a p p r o a c h e s f o r v a l u i n g a q u a n t o e d d e r i v a t i v e :

Q V S ; t = e

, r

$

T , t

E

Q

$

S ; t

R

T

R

t

f S

T

;

Q V S ; t = e

, r

$

T , t

E

Q

$

$

S ; t

f S

T

T h u s , t h e c h a n g e i n t h e m a g n i t u d e o f t h e p a y o o f t h e d e r i v a t i v e f r o m

f S

T

t o

R

T

R

0

f S

T

i s h a n d l e d b y k e e p i n g t h e p a y o x e d a t f S

T

a n d

s i m p l y c h a n g i n g t h e g r o w t h r a t e o f t h e u n d e r l y i n g , a n d c h a n g i n g t h e c u r -

r e n c y i n w h i c h t h e p r e m i u m i s n a n c e d .

I n t h i s p r o b l e m , t h e R a d o n N i k o d y m d e r i v a t i v e i s D

t

=

d Q

$

d Q

$

= e

r

$

, r

$

T , t

R

R

T h e q u a n t o i n g o f t h e p a y o i s h a n d l e d b y a c h a n g e o f m e a s u r e w h i c h r e s u l t s

i n a c h a n g e o f r i s k - n e u t r a l d r i f t i n a c c o r d a n c e w i t h G i r s a n o v ' s t h e o r e m .

T h e i n t u i t i o n f o r t h e q u a n t o c o r r e c t i o n a n d G i r s a n o v ' s t h e o r e m a r i s e s f r o m

t h e p r o p e r t y o f a n y c o n t i n u o u s m o d e l t h a t a t a n y t i m e t 2 0 ; T , t h e d o l l a r

v a l u e o f a s t a n d a r d d e r i v a t i v e a t t + d t i s k n o w n t o b e l i n e a r i n t h e t i m e

t + d t d o l l a r p r i c e s o f t h e b o n d a n d s t o c k . T h u s , q u a n t o i n g t h e p a y o i s

e q u i v a l e n t t o q u a n t o i n g t h e b o n d a n d t h e s t o c k a n d t h e e e c t o f t h e l a t t e r

q u a n t o i n g i s t o c h a n g e t h e r i s k - n e u t r a l d r i f t .

3 2


34/35

I n t e r p r e t i n g t h e S t a n d a r d E u r o p e a n C a l l B l a c k S c h o l e s F o r -

m u l a

F i r s t , w e r e - w r i t e t h e n a l p a y o o f t h e s t a n d a r d E u r o p e a n c a l l a s :

C

T

= S

T

, K

+

= S

T

1 S

T

K , K 1 S

T

K

I n t h e l a s t e x p r e s s i o n , t h e s e c o n d t e r m i s K b i n a r y c a l l s a n d i t s v a l u e a t

t i m e 0 i s K e

, r

$

T

N d

2

d o l l a r s , w h e r e :

d

2

l n S

0

= K + r , ,

2

s

= 2 T

s

p

T

T o i n t e r p r e t t h e r s t t e r m , w e q u a n t o t h e p a y o i n t o s h a r e s a n d a d j u s t t h e

m a g n i t u d e o f t h e p a y o t o p r e s e r v e v a l u e .

I f t h e n e w p a y o c u r r e n c y i s t o b e s h a r e s , t h e n t h e o l d m a g n i t u d e o f

S

T

1 S

T

K r e l e v a n t f o r d o l l a r s m u s t b e c h a n g e d t o 1 S

T

K ,

s i n c e a p a y o o f S

T

1 S

T

K d o l l a r s i s c l e a r l y e q u i v a l e n t t o a p a y o

o f 1 S

T

K s h a r e s .

S i n c e w e a r e n o w u s i n g s h a r e s i n s t e a d o f p o u n d s a s t h e c u r r e n c y " w e a r e

q u a n t o i n g i n t o , R

t

S

t

a n d r

$

. T h i s m a k e s t w o c h a n g e s t o t h e

s t a n d a r d b i n a r y c a l l v a l u a t i o n :

1 . N e w d r i f t : s i n c e

r s

=

2

s

i n t h i s c a s e , w e a d d

2

s

t o r

$

, ,

2

s

2

2 . N e w d i s c o u n t r a t e : u s e i n s t e a d o f r

$

t o d i s c o u n t .

M a k i n g t h e s e c h a n g e s , t h e v a l u e o f t h e b i n a r y c a l l q u a n t o e d i n t o s h a r e s

b e c o m e s e

, T

N d

2

+

p

T s h a r e s . T h e r e f o r e , i t s v a l u e i n d o l l a r s i s

S

0

e

, T

N d

2

+

p

T , w h i c h i s t h e s a m e a s t h e r s t t e r m i n t h e B l a c k -

S c h o l e s f o r m u l a .

3 3


35/35

S u m m a r y a n d M o r e R e l a t i o n s h i p s

W e h a v e e x p l o r e d t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n t h e f o l l o w i n g p r o b a b i l i s t i c a n d

n a n c i a l c o n c e p t s :

1 . e x p e c t e d v a l u e a n d n o a r b i t r a g e v a l u e

2 . i n t e g r a t i o n b y p a r t s a n d g a i n s p r o c e s s

3 . m a r t i n g a l e p r o b l e m a n d A r r o w D e b r e u p a t h s e c u r i t i e s

4 . t r a n s i t i o n d e n s i t y a n d b u t t e r y s p r e a d

5 . G i r s a n o v ' s t h e o r e m a n d q u a n t o i n g

M a n y o t h e r r e l a t i o n s h i p s e x i s t s u c h a s :

1 . r e e c t i o n p r i n c i p l e a n d s t a t i c h e d g i n g

2 . q u a d r a t i c v a r i a t i o n a n d v o l a t i l i t y c o n t r a c t s

3 . l o c a l t i m e a n d l o c a l v o l a t i l i t y

P l e a s e s e e m e d u r i n g t h e c o n f e r e n c e i f y o u a r e i n t e r s t e d i n e x p l o r i n g t h e s e

r e l a t i o n s h i p s f u r t h e r .

A Banker Reads a Book

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