5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
1/83
Kuliah IMatematika Diskrit
Zaenab Muslimin
Fitriyanti Mayasari
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
2/83
PENGANTAR
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
3/83
Mata kuliah ini akan mengajarkan bagaimanabekerja dengan struktur diskrit, yang
merupakan bahasa dasar dan konseptual
untuk semua komputer teknik dan science;
Mata kuliah ini digunakan untuk memahami
komputer teknik, yaitu dengan :
Memahami algoritma program
Membuktikan suatu program bekerja atau tidak
Pemilihan struktur data
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
4/83
Apa Matematika Diskrit itu?
Matematika diskrit adalah: cabang matematika yangmengkaji objek-objek diskrit.
Apa yang dimaksud dengan kata diskrit(discrete)?
Benda disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda
elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).
Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)
Lawan kata diskrit: kontinyuatau menerus(continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
5/83
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
6/83
Struktur Diskrit terdiri dari elemen yang terpisah
atau tidak tersambung serta terdiri dari elemen
yang tertentu atau tidak tertentu.
Struktur Diskrit merupakan lawan dari StrukturKontinue.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
7/83
Apa Matematika Diskrit itu?
Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yangdisimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalambentuk diskrit.
Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalampendidikan informatika atau ilmu komputer.
Matematika diskrit memberikan landasan matematisuntuk kuliah-kuliah lain di informatika.
algoritma, struktur data, basis data, otomata danteori bahasa formal, jaringan komputer, keamanankomputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
8/83
I. L O G I K A
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
9/83
9
1.1 Proposisi
Logika penting untuk bernalar matematis
Logika: sistem yg didasarkan atas proposisi.
Proposisi: suatu kalimat yang dapat bernilai
benar atau salah, tetapi tidak sekaliguskeduanya.
Nilai kebenaran dari suatu proposisi adalah
benar (True) atau salah (False).
Berkorespondensi dengan 1dan 0dalam
dunia digital.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
10/83
10
Contoh Proposisi (1)
Gajah lebih besar daripada kucing.
Ini suatu pernyataan ? benar
Ini suatu proposisi ? benar
Apa nilai kebenaran dariproposisi ini ? Benar/true
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
11/83
11
Contoh Proposisi (2)
1089 < 101
Ini pernyataan ? Benar
Ini proposisi ? Benar
Apa nilai kebenaran dariproposisi ini ? Salah/false
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
12/83
12
Contoh proposisi (3)
y > 15Ini pernyataan ? benar
Ini proposisi ? salah
Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y,
nilai y tidak dispesifikasikan nilainya.Tipe pernyataan ini adalahkalimat terbuka.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
13/83
13
Contoh proposisi (4)
Bulan ini Februari dan 24 < 5.
Ini pernyataan ? benar
Ini proposisi ? benar
Nilai kebenaran dariproposisi tersebut ? salah
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
14/83
14
Contoh proposisi (5)
Serahkan uangmu sekarang!
Ini pernyataan ? salah
Ini proposisi ? salah
Hanya pernyataan yang dapat menjadi
proposisi.
(Kalimat perintah)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
15/83
15
Contoh proposisi (6)
Untuk sembarang bilangan bulat n 0,maka 2n adalah bilangan genap.
Ini pernyataan ? benar
Ini proposisi ? benar
Apa nilai kebenaranproposisi tersebut ? Benar
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
16/83
16
Contoh proposisi (7)
x < yjika dan hanya jika y > x.Ini pernyataan ? benar
Ini proposisi ? benar
Apa nilai kebenaran dari
proposisi tsb ? benar
sebab nilai kebenarannya
bergantung pada nilai x dan y.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
17/83
17
1.2 Mengkombinasikan proposisi
Proposisi baru dapat dibentuk dengan cara
mengkombinasikan satu atau lebih proposisi yang
dinamakan proposisi majemuk (compound proposition).
Proposisi majemuk ada 3 macam, yaitu: konjungsi
(and / ), disjungsi (or / ),dan ingkaran (not / / ).
Notasi proposisi diformalkan dengan menggunakan
alfabet sepertip, q, r, s dan kombinasi dengan operatorlogika
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
18/83
Contoh Proposisi majemuk (1)
Diketahui proposisi-proposisi:
p: Hari ini hujan
q: Murid-murid diliburkan dari sekolah
Makapq: Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari
sekolah
pq : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan
dari sekolah
p: Tidak benar hari ini hujan / Hari ini tidakhujan
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
19/83
19
Operator Logika
Negasi (NOT)
Konjungsi - Conjunction (AND)
Disjungsi - Disjunction (OR)
Eksklusif Or (XOR)
Implikasi (JIKAMAKA)
Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA)
Tabel kebenarandapat digunakan untukmenunjukkan bagaimana operator-operator tsbmenggabungkan proposisi-proposisi.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
20/83
1.3 Tabel Kebenaran
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
21/83
21
Negasi (NOT)
Operator Uner, Simbol: /
p p
True (T) False (F)
False (F) True (T)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
22/83
22
Conjunction (AND)
Operator Biner, Simbol:
p q pq
T T T
T F F
F T F
F F F
http://3.bp.blogspot.com/_Ltgx9_RY9LA/SqFBRrVlHZI/AAAAAAAAACg/7j6sry2-8Nk/s1600-h/Logika+2+konjungsi+05.JPG5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
23/83
23
Disjunction (OR)
Operator Biner, Simbol:
P q pqT T T
T F TF T T
F F F
http://3.bp.blogspot.com/_Ltgx9_RY9LA/SqFEXDcn9qI/AAAAAAAAAC4/mmxc7f2RSCU/s1600-h/Logika+2+konjungsi+08.JPG5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
24/83
24
Exclusive Or (XOR)
Operator Biner, Simbol: p q p qT T F
T F T
F T TF F F
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
25/83
25
Implikasi (JIKA - MAKA)
Implikasi pq adalah proposisi yang bernilai salahjika p benar dan q salah, dan bernilai benarjika
lainnya.
FFT
TTF
TFF
TTT
pqqp
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
26/83
Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah
Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda
dianggap mengundurkan diriContoh-contoh tersebut di atas adalah
berbentuk jika p, maka q, dimana p biasa
disebut hipotesis dan q adalah konklusi.Pernyataan semacam ini disebut proposisibersyarat atau kondisonal atau implikasi.Didalam bahasa alami (bahasa percakapan
manusia), terdapat hubungan sebab akibatantara hipotesis dan konklusi.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
27/83
Misalnya pada implikasi
Jika suhu mencapai 800C, maka alarm berbunyi
Implikasi seperti ini adalah normal dalam BahasaIndonesia. Tetapi dalam penalaran matematik
dipandang implikasi lebih umum daripada implikasi
dalam bahasa alami. Definisi mengenai implikasi adalah
pada nilai kebenarannya, bukan didasarkanpada
penggunaan bahasa. Misalnya :
Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1=2
Implikasi di atas tetap valid secara matematis meskipuntidak ada kaitan antara Paris sebagai ibukota Perancis
dengan 1+1=2.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
28/83
Implikasi tersebut bernilai benar karena
hipotesis benar (Paris ibukota Perancis adalah
benar) dan konklusi juga benar (1+1=2 adalah
benar). Implikasi
Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1=3
Bernilai salah karena hipotesis benar tetapi 1+1
= 3 salah.
Implikasi pq memainkan peranan penting
dalam penalaran
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
29/83
Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalampernyataan standar jika p, maka q tetapi juga dapat di
ekspresikan dalam berbagai cara, antara lain :(a) Jika p, maka q (if p, then q)
(b) Jika p, q (if p,q)
(c) p mengakibatkan q (p implies q)
(d) q jika p (q if p)
(e) p hanya jika q (p only if q)
(f) p syarat cukup agar q (p is sufficient for q)
(g) q syarat perlu bagi p (q is necessary for p)(h) q bilamana p (q whenever p)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
30/83
Contoh implikasi (1)a. Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur
b. Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencangc. Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan
air laut naik
d. Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan
e. Ahmad bisa mengambil matakuliah teori bahasaformal hanya jika ia sudah lulus matematika diskrit
f. Syarat cukup agar pom bensin meledak adalahpercikan api dan rokok
g. Syarat perlu bagi Imdonesia agar ikut Piala Duniaadalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan
h. Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebang
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
31/83
31
Contoh Implikasi (2)
Implikasi
Jika hari ini hari Jumat maka 2+3 > 7.
bernilai benaruntuk semua harikecuali hari Jumat, walaupun 2+3 > 7bernilai salah.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
32/83
32
Contoh Implikasi (2)
Kapan pernyataan berikut bernilai benar?
Jika hari tidak hujan maka saya akan pergike Lembang.
Bernilai benar :
jika hari tidak hujan dan pergi ke Lembang,
hari hujan dan tetap pergi ke Lembang,
hari hujan dan tidak pergi ke lembang
Bernilai salah apabila
hari tidak hujan dan tidak pergi ke Lembang.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
33/83
33
Bikondisional
(JIKA DAN HANYA JIKA)
Operator Biner, Simbol: p q pqT T T
T F F
F T FF F T
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
34/83
Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan
bikondisional (bi-implikasi) pq dalam kata-katayaitu :
(a). p jika dan hanya jika q (p if and only q)
(b). p adalah syarat perlu dan cukup untuk q
(p is necessary and sufficient for q)
(c). Jika p maka q, dan sebaliknya
(if p then q, and conversely)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
35/83
Contoh Bikondisional (Bi-implikasi)
a. 1+1=2 jika dan hanya jika 2+2=4
b. Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan
adalah kelembaban udara tinggi
c. Jika anda orang kaya maka anda mempunyai
banyak uang, dan sebaliknya
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
36/83
36
Pernyataan dan Operasi
Pernyataan-pernyataan dapat digabungkan dengan operasi untuk
membentuk pernyataan baru.
p q pq (pq) (p)(q)
T T T F F
T F F T T
F T F T TF F F T T
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
37/83
37
Pernyataan yang Ekivalen
p q (pq) (p)(q) (pq)(p)(q)T T F F T
T F T T T
F T T T T
F F T T T
Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalensecara logika, karena
(PQ)(P)(Q) selalu benar.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
38/83
38
Tautologi dan Kontradiksi
Tautologiadalah pernyataan yang selalu benar.
Contoh:
R(R)
(PQ)(P)(Q)Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.Jika ST suatu tautologi, kita tulis ST.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
39/83
39
Tautologi dan Kontradiksi (2)
Kontradiksi adalah pernyataan yang selalubernilai salah.
Contoh:
R(R)
((PQ)(P)(Q))Negasi dari suatu tautologi adalah suatukontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatutautologi.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
40/83
1.4 Hukum-hukum Logika Proposisi
1. Hukum identitas
(i) p Fp(ii) p Tp
6. Hukum penyerapan (absorpsi)
(i) p (p q)p(ii) p (p q)p
2. Hukum Null / dominasi
(i) p FF(ii) p TT
7. Hukum Komutatif
(i) p qq p(ii) p qq p
3. Hukum negasi
(i) p pT(ii) p pF
8. Hukum asosiatif
(i) p (q r)(p q) r(ii) p (q r)(p q) r
4. Hukum idempoten(i) p pp(ii) p pp
9. Hukum distributif(i) p (q r)(p q) (p r)(ii) p (q r)(p q) (p r)
5. Hukum involusi (negasi ganda)
(p)p10. Hukum De Morgan
(i) (p q) p q(ii) (p q) p q
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
41/83
Contoh penggunaan hukum-hukum logika (1)
Tunjukkan bahwa p(pq) dan pq keduanya
ekuivalen secara logika
Penyelesaian:
p(pq) p(pq) (Hukum De Morgan)
(pp)(pq) (Hukum distributif)
T
(p
q) (Hukum negasi)p q (Hukum identitas)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
42/83
Contoh penggunaan hukum-hukum logika (2)
Buktikan hukum penyerapan: p (pq) p
Penyelesaian:
p (pq) (pF)(pq) (Hukum identitas)
p(F q) (Hukum distributif)
p F (Hukum Null)
p (Hukum identitas)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
43/83
Latihan Soal
1. Diketahui proposisi-proposisi :
p : hari ini hujan
q: hari ini dingin
terjemahkan ekspresi logika (notasi simbolik) berikut :
a. qp b. p q c. (p)
2. Diketahui proposisi-proposisi berikut
p : pemuda itu tinggi
q : pemuda itu tampan
Nyatakan proposisi berikut dalam ekspresi logika (notasisimbolik)
a. Pemuda itu tinggi dan tampanb. Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
c. Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
d. Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
44/83
3.Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan
p: Pelayanan baik
q: Tarif kamarnya murah dan
r : Hotelnya berbintang tiga.
Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi
simbolik :a. Tarif kamarnya murah, tetapi pelayanannya buruk
b. Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik,
namun tidak keduanya.
c. Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif
kamarnya murah & pelayanannya buruk.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
45/83
4.Nyatakan pernyataan berikut anda
tidak dapat terdaftar sebagai pemilihdalam pemilu jika anda berusia di bawah17 tahun kecuali kalau anda sudahmenikah,misalkan :
p: anda berusia di bawah 17 tahunq: anda sudah menikah
r: anda dapat terdaftar sebagai
pemilih dalam pemilu
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
46/83
5. Buatlah Tabel Kebenaran pqp
6. Tunjukkan bahwa [p (p q)]q adalahtautologi
7. Tunjukkan bahwa p qr ekivalen secara
logika (pr )(qr)8. Gunakan hukum logika proposisi, untuk
membuktikan bahwa :
(pq) (p q) = p
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
47/83
1.5 Inferensi
Inferensi adalah proses penarikan kesimpulandari beberapa proposisi.
Kaidah-kaidah inferensi:
1. Modus ponen (Law of detachment)
2. Modus Tollen
3. Silogisme Hipotesis
4. Silogisme Disjungtif
5. Simplifikasi6. Penjumlahan
7. Konjungsi
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
48/83
1.5.1 Modus ponen (Law of detachment)
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
(p(pq)) q, yang dalam hal ini p dan pq
adalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi
(kesimpulan). Kaidah modus ponen dapat ditulisdengan cara:
pq
p
q
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
49/83
1.5.1 Modus ponen (Law of detachment) (2)
Contoh 1
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka
bilangan tersebut habis dibagi 10,
Digit terakhir bilangan 1470 adalah 0
bilangan 1470 habis dibagi 10
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
50/83
1.5.1 Modus ponen (Law of detachment) (3)
Contoh 2:
Misalkan implikasi Jika 20 habis dibagi 2, maka
20 adalah bilangan genap dan hipotesis 20
habis dibagi 2 keduanya benar. Maka menurut
modus ponen, inferensi berikut:
Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap
20 habis dibagi 2
20 adalah bilangan genap
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
51/83
1.5.2 Modus Tollen
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
[q(pq)]p
kaidah modus tollen dapat ditulis dengan cara:
pq
q
p
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
52/83
1.5.2 Modus Tollen (2)
Contoh 1
Jika Zeus seorang manusia, maka ia dapat mati
Zeus tidak dapat mati
Zeus bukan seorang manusia
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
53/83
1.5.2 Modus Tollen (3)
Contoh 2:
Misalkan implikasi Jika n bilangan ganjil, maka
n2 bernilai ganjil dan hipotesis n2 bernilai
genap keduanya benar. Maka menurut modus
tollen, inferensi berikut:
Jika nbilangan ganjil, maka n2bernilai ganjil
n2bernilai genap
nbukan bilangan ganjil
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
54/83
1.5.3 Silogisme Hipotesis
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
[(pq)(qr)](p r)
kaidah silogisme dapat ditulis dengan cara:
pq
qr
pr
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
55/83
1.5.3 Silogisme Hipotesis(2)
Contoh 1 :
Jika 18486 habis dibagi 18, maka 18486 habis dibagi 9
Jika 18486 habis dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya habis
dibagi 9
Jika 18486 habis dibagi 18, maka jumlah digit-digitnya
habis dibagi 9
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
56/83
1.5.3 Silogisme Hipotesis (3)
Contoh 2:
Misalkan implikasi Jika saya belajar dengan giat,
maka saya lulus ujiandan implikasi Jika saya lulus
ujian, maka saya cepat menikah adalah benar.Maka menurut kaidah silogisme, inferensi berikut:
Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian
Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah
Jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah
il i i j if
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
57/83
1.5.4 Silogisme Disjungtif
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
[(pq)p]qkaidah silogisme dapat ditulis dengan cara:
a) p q b) p q
p qq p
Prinsip dasar silogisme disjungtif adalah kenyataanbahwa apabila kita dihadapkan pada 2 pilihan yangditawarkan dimana kita harus memilih salahsatunya A atau B.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
58/83
1.5.4 Silogisme Disjungtif (2)
Contoh 1 :
Kunci kamarku ada di sakuku atau tertinggal di
rumah
Kunci kamarku tidak ada di sakuku
Kunci kamarku tertinggal di rumah
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
59/83
1.5.4 Silogisme Disjungtif (3)
Contoh 2:Inferensi berikut:
Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahundepan. Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu,saya menikah tahun depanmenggunakan kaidah silogisme disjungtif, ataudapat ditulis dengan cara:
Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan
Saya tidak belajar dengan giat
saya menikah tahun depan
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
60/83
1.5.5 Simplifikasi (Penyederhanaan)
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
(pq)p
Dimana p dan q adalah hipotesis, sedangkan p
adalah konklusi. Kaidah silogisme dapat ditulis
dengan cara:
a) p q b) p q
q p
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
61/83
1.5.5 Simplifikasi (Penyederhanaan) (2)
Contoh 1 :Lina menguasai bahasa Basic atau Pascal
Lina menguasai bahasa Basic
Penghubung dandalamhipotesis di atas
berarti bahwa Lina menguasai bahasa Basic,
sekaligus bahasa Pascal sehingga secara khususdapat dikatakan bahwa Lina menguasai Basic.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
62/83
1.5.5 Simplifikasi (Penyederhanaan)(3)
Contoh 2:Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:
Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar. Karenaitu, Hamid adalah mahasiswa ITB.
menggunakan kaidah simplifikasi, atau dapat ditulis dengancara:
Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar
Hamid adalah mahasiswa ITB
Simplifikasi berikut juga benar:Hamid adalah mahasiswa ITB dan mahasiswa Unpar. Karenaitu, Hamid adalah mahasiswa Unpar.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
63/83
1.5.6 Penjumlahan (Penambahan)
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
p(p q)Kaidah penjumlahan dapat ditulis dengan cara:
a) p b) q
p q p q
Inferensi penjumlahan didasarkan atas fakta bahwa suatukalimat dapat digeneralisasikan dengan penghubung .Alasannya adalah karena penghubung bernilai benar
jika salah satu komponennya bernilai benar. Sebagai contoh,perhatikan kalimat yang diucapkan Monde, Saya sukajeruk(bernilai benar).
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
64/83
1.5.6 Penjumlahan (Penambahan) (2)
Kalimat tersebut tetap bernilai benar jika
ditambahkan kalimat lain dengan penghubung
. Jadi kalimat Saya suka jeruk atau durian
yang diucapkan Monde juga tetap bernilai benar
dan tidak tergantung pada suka/tidaknya Mondeakan durian.
Contoh 1:
Simon adalah siswa SMA (Sekolah Menengah Atas)
Simon adalah siswa sekolah menengah(SMA
atau SMP)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
65/83
1.5.6 Penjumlahan (Penambahan) (3)
Contoh 2:Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:
Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit.Karena itu, Taslim mengambil kuliah MatematikaDiskrit atau mengulang kuliah Algoritma.menggunakan kaidah penjumlahan, atau dapatditulis dengan cara:
Taslim mengambil kuliah Matematika DiskritTaslim mengambil kuliah Matematika Diskrit
atau mengulang kuliah Algoritma
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
66/83
1.5.7 Konjungsi
Kaidah ini didasarkan pada tautologi
((p)(q)) (p q)
Kaidah konjungsi dapat ditulis dengan cara:
p
q
p q
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
67/83
1.5.7 Konjungsi (2)
Contoh:Penarikan kesimpulan seperti berikut ini:
Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit. Taslimmengulang kuliah Algoritma. Karena itu, Taslim mengambilkuliah Matematika Diskrit dan mengulang kuliah Algoritma.
menggunakan kaidahpenjumlahan, atau dapat ditulis dengancara:
Taslim mengambil kuliah Matematika Diskrit
Taslim mengulang kuliah Algoritma
Taslim mengambil kuliah Matematika Diskritdan mengulang kuliah Algoritma
ATURAN BENTUK ARGUMEN
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
68/83
ATURAN BENTUK ARGUMEN
Modus Ponen pq
p
q
Modus Tollen pqq
p
Silogisme Hipotesis pq
qr
prSilogisme Disjungtif p q
p
q
p q
q
p
Simplifikasi
(Penyederhanaan)
p q
p
p q
q
Penjumlahan
(Penambahan)
p
p q
q
p q
Konjungsi p
q
p q
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
69/83
1.6 Argumen
Argumen adalah suatu deret proposisi yangdituliskan sebagai
(p1p2 pn)q
Argumen ada yang sahih (valid) dan palsu(invalid).
Sebuah argumen dikatakan sahih/valid jika semuahipotesisnya benar, kesimpulan (konklusi) juga
benar. Sebaliknya meskipun semua hipotesisbenar, tetapi ada kesimpulan yang salah makaargumen tersebut dikatakan palsu (invalid)
1 6 Argumen (2)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
70/83
1.6 Argumen (2)
Untuk mengecek apakah suatu argumen
merupakan kalimat yang valid, dapat dilakukanlangkah-langkah sebagai berikut :
1. Tentukan hipotesis dan kesimpulan kalimat
2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran
untuk semua hipotesis dan kesimpulan3. Carilah baris kritis, yaitu baris dimana semua
hipotesis bernilai benar
4. Dalam baris kritis tersebut, jika semua nilaikesimpulan benar, maka argumen itu valid. Jikadi antara baris kritis tersebut ada baris dengannilai kesimpulan yang salah, maka argumentersebut adalah invalid
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
71/83
1.6 Argumen (3)
Contoh 1:Perlihatkan bahwa argumen adalah sahih:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.
Air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.
Penyelesaian:
Misalkan P adalah proposisi Airlaut surut setelah gempa di lautdanq adalah proposisi tsunami datang. Maka, argumen di dalam soaldapat ditulis sebagai:
pqp
q
Ada 2 (dua) cara yang dapat digunakan untuk membuktikan kesahihanargumen ini.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
72/83
1.6 Argumen (4)
Cara 1:Bentuklah tabel kebenaran untuk p, q, dan pq
(baris 1)
(baris 2)
(baris 3)(baris 4)
p q pqT T T
T F F
F T T
F F T
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
73/83
1.6 Argumen (5)
Cara 2:
Perlihatkan dengan tabel kebenaran apakah
[p(pq)]q merupakan tautologi.p q pq p(pq) [p(pq)]qT T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
74/83
1.6 Argumen (6)
Contoh 2:Perlihatkan bahwa penalaran argumen berikut adalah palsu:
Jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunamidatang.
Tsunami datang. Jadi, air laut surut setelah gempa di laut.
Penyelesaian:Argumen di atas berbentuk [q(pq)]p bukan tautologi
p q pq q(pq) [q(pq)]p
T T T T TT F F F T
F T T T F
F F T F T
1 6 Argumen (7)
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
75/83
1.6 Argumen (7)
Argumen di atas berbentuk
pqp
q
Dari tabel pada contoh 1 tampak bahwahipotesis q dan pq benar pada baris ke-3tetapi pada baris 3 ini konklusi p salah. Jadiargumen tersebut tidak sahih atau palsu,sehingga penalaran menjadi tidak benar. Identikdengan yang ditunjukkan oleh tabel pada contoh2 dimana kolom terakhir bukan tautologi.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
76/83
1.7 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary
Aksiomaadalah proposisi yang diasumsikanbenar. Aksioma tidak memerlukan pembuktiankebenaran lagi.
Contoh-contoh aksioma:
(a) Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku
x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan)
(b) Jika diberikan dua buah titik berbeda, maka
hanya ada satu garis lurus yang melalui dua
buah titik tersebut.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
77/83
1.7 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary (2)
Teoremaadalah proposisi yang sudah terbuktibenar. Bentuk khusus dari teorema adalahlemmadan corollary.
Lemmaadalah teorema sederhana yangdigunakan dalam pembuktian teorema lain.
Corollaryadalah teorema yang dapatdibentuk langsung dari teorema yang telahdibuktikan, atau dapat dikatakan sebagaiteorema yang mengikuti dari teorema lain.
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
78/83
1.7 Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary (3)
Contoh-contoh teorema:(a) Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka
sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar.(b) Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x y dan
y
z, maka x
z (hukum transitif) Contoh Corollary:
Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitigatersebut sama sudut.
Corollaryini mengikuti teorema (a) di atas.
Contoh Lemma :Jika nadalah bilangan bulat positif, maka n1 bilanganpositif atau n1 = 0
Latihan Soal
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
79/83
Latihan Soal
Periksalah valid/tidak valid argumen berikut :
1. Jika 5 lebih kecil dari 4, maka 5 bukan bilangan prima5 tidak lebih kecil dari 4
5 adalah bilangan prima
2. Jika 17 adalah bilangan prima, maka 3 tidak habis membagi 17
3 habis membagi 17
17 bukan bilangan prima
3. Jika saya menyukai informatika , maka saya belajar
sungguh-sungguhSaya belajar sungguh-sungguh atau saya gagal
Jika saya gagal, maka saya tidak menyukai informatika
APLIKASI PADA RANGKAIAN LOGIKA
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
80/83
APLIKASI PADA RANGKAIAN LOGIKA
DIGITAL
Ada tiga gerbang rangkaian logika yang
dikenal.
Simbol masingmasing diperlihatkan pada
gambar dibawah ini :
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
81/83
Contoh
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
82/83
Contoh1. Tentukanlah output dari setiap kombinasi rangkaian.
2. Buatlah rangkaian kombinasi dari inverter, gerbang
OR atau gerbang AND dengan input p, q, r danoutputnya :
5/27/2018 1. Logika Znb Maya Rev
83/83
Terima Kasih
Top Related