ZIENKIEWICZ O. C. the Finite Element Method (5th Ed.) Vol 3 - Fluid Dynamics
347
The Finite Element Method Fifth edition Volume 3: Fluid Dynamics
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Preface to Volume 3.......................................................Acknowledgements....................................................................
1 Introduction and the equations of fluid dynamics...1.1 General remarks and classification of fluid mechanicsproblems discussed in the book.................................................1.2 The governing equations of fluid dynamics..........................1.3 Incompressible (or nearly incompressible) flows..................1.4 Concluding remarks.............................................................
2 Convection dominated problems - finite elementappriximations to the convection-diffusionequation...........................................................................
2.1 Introduction...........................................................................2.2 the steady-state problem in one dimension..........................2.3 The steady-state problem in two (or three) dimensions.......2.4 Steady state - concluding remarks.......................................2.5 Transients - introductory remarks.........................................2.6 Characteristic-based methods..............................................2.7 Taylor-Galerkin procedures for scalar variables...................2.8 Steady-state condition..........................................................2.9 Non-linear waves and shocks..............................................2.10 Vector-valued variables......................................................2.11 Summary and concluding...................................................
3 A general algorithm for compressible andincompressible flows - the characteristic-basedsplit (CBS) algorithm......................................................
3.1 Introduction...........................................................................3.2 Characteristic-based split (CBS) algorithm..........................3.3 Explicit, semi-implicit and nearly implicit forms....................3.4 ’Circumventing’ the Babuska-Brezzi (BB) restrictions..........3.5 A single-step version............................................................3.6 Boundary conditions.............................................................
3.7 The performance of two- and single-step algorithms onan inviscid problems...................................................................3.8 Concluding remarks.............................................................
4 Incompressible laminar flow - newtonian andnon-newtonian fluids......................................................
4.1 Introduction and the basic equations....................................4.2 Inviscid, incompressible flow (potential flow)........................4.3 Use of the CBS algorithm for incompressible or nearlyincompressible flows..................................................................4.4 Boundary-exit conditions......................................................4.5 Adaptive mesh refinement....................................................4.6 Adaptive mesh generation for transient problems................4.7 Importance of stabilizing convective terms...........................4.8 Slow flows - mixed and penalty formulations.......................4.9 Non-newtonian flows - metal and polymer forming..............4.10 Direct displacement approach to transient metalforming.......................................................................................4.11 Concluding remarks...........................................................
5 Free surfaces, buoyancy and turbulentincompressible flows.....................................................
5.1 Introduction...........................................................................5.2 Free surface flows................................................................5.3 Buoyancy driven flows..........................................................5.4 Turbulent flows.....................................................................
6 Compressible high-speed gas flow...........................6.1 Introduction...........................................................................6.2 The governing equations......................................................6.3 Boundary conditions - subsonic and supersonic flow...........6.4 Numerical approximations and the CBS algorithm...............6.5 Shock capture......................................................................6.6 Some preliminary examples for the Euler equation..............6.7 Adaptive refinement and shock capture in Eulerproblems.....................................................................................
6.8 Three-dimensional inviscid examples in steady state..........6.9 Transient two and three-dimensional problems...................6.10 Viscous problems in two dimensions.................................6.11 Three-dimensional viscous problems.................................6.12 Boundary layer-inviscid Euler solution coupling.................6.13 Concluding remarks...........................................................
7 Shallow-water problems.............................................7.1 Introduction...........................................................................7.2 The basis of the shallow-water equations............................7.3 Numerical approximation......................................................7.4 Examples of application.......................................................7.5 Drying areas.........................................................................7.6 Shallow-water transport........................................................
8 Waves...........................................................................8.1 Introduction and equations...................................................8.2 Waves in closed domains - finite element models...............8.3 Difficulties in modelling surface waves.................................8.4 Bed friction and other effects................................................8.5 The short-wave problem.......................................................8.6 Waves in unbounded domains (exterior surface waveproblems)...................................................................................8.7 Unbounded problems...........................................................8.8 Boundary dampers...............................................................8.9 Linking to exterior solutions..................................................8.10 Infinite elements.................................................................8.11 Mapped periodic infinite elements......................................8.12 Ellipsoidal type infinite elements of Burnnet and Holford...8.13 Wave envelope infinite elements........................................8.14 Accuracy of infinite elements..............................................8.15 Transient problems8.16 Three-dimensional effects in surface waves......................
9 Computer implementation of the CBS algorithm.....
9.1 Introduction...........................................................................9.2 The data input module..........................................................9.3 Solution module....................................................................9.4 Output module......................................................................9.5 Possible extensions to CBSflow...........................................
Appendix A Non-conservative form ofNavier-Stokes equations................................................
Appendix B Discontinuous Galerkin methods inthe solution of the convection-diffusion equation......
Appendix C Edge-based finite element forumlation...
Appendix D Multigrid methods......................................
Appendix E Boundary layer-inviscid flow coupling....
Author index....................................................................
Subject index..................................................................
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Lumped
C = 0.1, 1/T
C = 0.5, 2/T C = 0.1, 2/T
Consistent
C = 0.5, 3/T
Consistent
C = 0.1, 3/T(a) Courant number = 0.5 (b) Courant number = 0.1
Lumped/consistent M Courant number = 0.5 Courant number = 0.1
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(c) Re = 1000
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(b) Streamlines
(a) Final adapted mesh, Nodes: 1746, Elements: 3293
(b) Streamlines
(c) Pressure contours
II Gradient based refinement
I Curvature based refinement
(c) Pressure contours
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+ O (h) (Q4/1D)*
+ O (h2) (Q9/4D)*
+ O (h2) (Q9/3D)
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(b) Discontinuous p interpolationVelocity nodePressure nodeDenotes elements failingBabuska–Brezzi test butstill performing reasonably
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µ
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σ
ε•
µ
(b) Non-newtonian polymers
σ
ε
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ε•
σ
ε•
µ
(c) Viscoplastic-plastic metals
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ε•
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Rolling
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Cutting
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(b) Transient
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0.1
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(c) Load versus time
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0.20.2 0.8 0.8
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WR = 0.2 WR = 0.3 WR = 0.4
(b)
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ψmax = 16.16, ψmin = –20.12,vmax = 248.29
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(a)
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50
(b) Da = 10–4, Ra = 106, ε = 0.8
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(c) Da = 10–2, Ra = 104, ε = 0.8
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(a) Velocity profiles downward of the step
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(b) Streamline pattern
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u
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ρ
(b) Supersonic inflow and outflow
2.0
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1.5
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ρ
(c) Supersonic inflow–subbsonic outflow with shock
2.0
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ExactCL = 2.0CL = 1.0
0.75 0.50.0 5.0
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(a) Structured uniform mesh
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1.0
Inflow
2016 elements1089 nodes
y
x
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t = 2.5
t = 4.0
(b) Solution – contours of pressure at various times
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(a) Triangle subdivision
(b) Restoration of connectivity
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20°CL
After 101 steps Density after 200 steps
20°CL
After 201 steps Density after 250 steps
Exactsolution
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(c) The corresponding pressure contours
(b) The corresponding density
(a) Sequence of meshes employed
Analysisdomain
22° Flowvelocity
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X
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X
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(b)
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CFDresults
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Computerresults
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d
d
Unstructured, adaptively refinedtriangles
10–15 ‘body’ layers of quadrilateralelements with length l, correspondingadaptive layer thickness d and number of layers decided by user
(a) A two-dimensional sublayer of structured quadrilaterals
‘Body’ layer subdivision in three dimensions joining a tetrahedral mesh
(b) A three-dimensional sublayer of prismatic elements
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(a)
(b)
(c)
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X/L
P/P
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0.40
0.20
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Y/L
MUSCLCBSCarter
MUSCLCBSCarter
(a)
(b)
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First mesh
Third mesh
Experiment
Surface pressure
X/Xshk
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Second mesh
Experiment
Skin friction
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0.20
0.10
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–0.10
–0.20
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X/Xshk
CF
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(d) Surface pressure and skin friction
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(a)
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(a)
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Mach number
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(b)
1162 points, 2258 elements(c)
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(c) (d)
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A
A
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Free surfacep = pa
(atmosphere)
Mean waterlevel
(datum)
(a) Coordinates
(b) Velocity distribution
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80 elements
160 elements
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ComputedMeasured
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Wav
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Eigenfunction method
Present method (two-dimensional model)
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Infiniteelements Special three-
dimensionalfinite elements Three-dimensional
finite elementsBed
8 m
Freesurface
20m
3m
10 mFloatingbreakwater
Unit: m
Floatingbreakwater
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0.40.6 0.8
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0.00.5
0.5
–1.0
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0.0
0.01.5
1.0
1.52.0 2.0
2.0
1.0
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1.01.0
–1.5
–1.5
–0.5
–0.5
–1.0
0.5
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