Univerzitet u Beogradu

Elektrotehnički fakultet

Katedra za energetske pretvarače i pogone

Zagrevanje i zaštita električnih mašina— Računske vežbe —

Školska godina 2018/2019.

1 Gubici i stepen iskori²¢enja ma²ina za naizme-

ni£nu struju

Zadatak 1.1: Izra£unati odnos gubitaka po jedinici teºine bakra i gvoºa pri gustinistruje 6 A/mm2, temperaturi 75C, jedini£nim gubicima u gvoºu 2.44 W/kg i indukciji1.5 T.

Re²enje:Gubici u bakru (namotajima) dati su dobro poznatim izrazom:

PCu = RI2

esto je pogodno gubitke u bakru izraziti u funkciji gustine struje i ukupne mase pro-vodnika:

PCu = ρlS∆2 =ρ∆2

γCu·mCu

gde je ∆ [A/mm]2 gustina struje, γCu [kg/m]3 speci£na teºina bakra i ρ [Ωmm2/m]speci£na otpornost rotora. Pri temperaturi od 20C ovaj izraz je pribliºno jednak 2 ·∆2 ·mCu. Kako bi se odredili gubici u bakru po jedinici teºine pri temperaturi od 75Cpotrebno je uvaºiti zavisnost speci£ne otpornosti bakra od temperature:

pCu(75C) =235 + 75

235 + 20· 2∆2 = 87.53 W/kg

Gubici u gvoºu mogu se izraziti kao suma gubitaka usled histerezisa i gubitaka usledvihornih struja:

PFe = PFe,H + PFe,V = KHfBnmmFe +KV f

2B2mmFe

gde su KH i KV koecijenti gubitaka usled histerezisa i vihornih struja, respektivno,f [Hz] je u£estanost napajanja i Bm [T] amplituda talasa magnetske indukcije. Sa n jeozna£en tajnmicov koecijent koji se u zavisnosti od vrste materijala kre¢e u opsegu 1.5 2.5. U ovom slu£aju ¢e biti usvojeno n = 2.Jedini£ni gubici u gvoºu dati su za indukciju od 1 T. Pri indukciji od 1.5 T speci£nigubici u gvoºu mogu se odrediti kao:

pFe(1.5 T) = pFe(1 T) · 1.52 = 5.49 W/kg

Odnos gubitaka u bakru i gvoºpo jedinici teºine jednak je:

pCupFe≈ 16

Zadatak 1.2: Izra£unati relativnu gre²ku pri odreivanju stepena iskori²¢enja ma²ine£ija je korisna snaga 900 kW ako je umesto ta£ne vrednosti snage gubitaka 100 kW izme-rena snaga gubitaka 110 kW.

1

Re²enje:Stepen iskori²¢enja ma²ine ra£una se prema formuli:

η =P

P + Pγ

gde je sa P ozna£ena korisna snaga ma²ine, a sa Pγ ukupna snaga gubitaka u ma²ini. Uslu£aju kada su gubici izmereni sa gre²kom ∆Pγ, izra£unata vrednost stepena iskori²¢enjaje:

η =P

P + Pγ=

P

P + Pγ + ∆Pγ

Sa η ozna£ena je vrednost stepena iskori²¢enja prora£unata sa neta£no izmerenim gu-bicima Pγ. Ozna£imo ta£nu vrednost stepena iskori²¢enja sa η. Relativna gre²ka priodreivanju stepena iskori²¢enja data je izrazom:

∆η(%) =

∣∣∣∣ η − ηη∣∣∣∣ · 100 =

∆PγP + Pγ + ∆Pγ

· 100

Za vrednosti date u zadatku navedeni izraz ima vrednost:

∆η(%) ≈ 1%

NAPOMENA: Uo£iti da gre²ka u merenju gubitaka od £ak 10% dovodi do relativne gre²keod svega 1% u prora£unu stepena iskori²¢enja. O£igledno je da merenje pojedina£nihgubitaka omogu¢ava odreivanje stepena iskori²¢enja sa velikom ta£no²¢u. Osim toga,ovu metodu karakteri²u niºa cena i lak²a realizacija u odnosu na neke druge metode (npr.metoda direktnog merenja korisne i utro²ene snage), zbog £ega je ova metoda u praksinajzastupljenija.

Zadatak 1.3: Gubici u gvoºu asinhronog motora snage 40 kW, napona 380 V, iznose3%, a gubici u namotajima 7% od nazivne snage ma²ine. Pri kom ¢e optere¢enju ovajmotor imati maksimalnu vrednost stepena iskori²¢enja i koja je maksimalna, a kolikanominalna vrednost stepena iskori²¢enja?

Re²enje:Gubici u gvoºu pri nominalnom optere¢enju iznose:

PFe,n = 0.03 · Pn = 1.2 kW

a gubici u bakru pri istom optere¢enju:

PCu,n = 0.07 · Pn = 2.8 kW

Na osnovu ovih podataka odmah se moºe odrediti nominalna vrednost stepena iskori²¢e-nja:

ηn =Pn

Pn + PFe,n + PCu,n· 100 = 90.91%

2

Ako se pad napona u statorskoj grani zanemari, moºe se smatrati da su gubici u govºunezavisni od optere¢enja i da zavise samo do kvadrata napona. Kako je napon napajanjakonstantan, moºe se smatrati da su gubici u gvoºu konstantni. Gubici u bakru susrazmerni kvadratu struje optere¢enja. Snaga optere¢enja ma²ine (korisna snaga) data jeizrazom:

P =√

3ηUnI cosφ,

a ulazna (elektri£na) snaga:Pin =

√3UnI cosφ.

Stepen iskori²¢enja pri proizvoljnom optere¢enju dat je izrazom:

η =P

P + PFe + PCu=Pin − PFe − PCu

Pin=

√3UnI cosφ− PFe,n − PCu,n ·

(IIn

)2

√3UnI cosφ

.

Optere¢enje pri kom se ima maksimalna vrednost stepena iskori²¢enja dobija se diferen-ciranjem prethodnog izraza po I i izjedna£avanjem izvoda sa nulom:

dη

dI=

(√3Un cosφ− PCu,n ·

2I

I2n

)·√

3UnI cosφ−

(√

3UnI cosφ− PFe,n − PCu,n ·(I

In

)2)·√

3Un cosφ = 0,

odakle se dobija uslov za maksimalan stepen iskori²¢enja:

P optCu = PFe,n.

Drugim re£ima, maksimalni stepen iskori²¢enja se ima kada se gubici koji zavise od op-tere¢enja (gubici u bakru) izjedna£e sa gubicima nezavisnim od optere¢enja (gubici ugvoºu). Optimalna vrednost ulazne snage sa aspekta stepena iskori²¢enja iznosi:

P optin =

Pnηn·

√(PFe,nPCu,n

)= 28.8 kW

a maksimalna vrednost stepena iskori²¢enja:

ηmax =P optin − 2PFe,n

P optin

= 91.67%

Zadatak 1.4: Cilindri£ni rotor na£injen od limova obr¢e se u magnetnom polju. Gubiciu gvoºu iznose 250 W pri 600 ob/min, a 312 W pri 720 ob/min. Odrediti gubitke ugvoºu pod pretpostavkom da je rotor na£injen od limova dva puta ve¢e debljine, priindukciji ve¢oj za 25% i pri brzini obrtanja od 800 ob/min.

Re²enje:Gubici u gvoºu dati su kao suma gubitaka usled histerezisa i gubitaka usled vihornihstruja:

PFe = PFe,H + PFe,V = KHfB2mmFe +KV f

2B2mmFe

3

Ozna£imo u£estanost koja odgovara brzini obrtanja od 600 ob/min sa f1. Tada vaºeslede¢e relacije:

PFe1 = 250 W = KHf1B2mmFe +KV f

21B

2mmFe

PFe2 = 312 W = KH · 1.2f1B2mmFe +KV · (1.2f1)2B2

mmFe

Iz prethodne dve relacije, prostim re²avanjem sistema dve linearne algebarske jedna£inesa dve nepoznate, mogu se odrediti zasebno gubici usled histerezisa i usled vihornih strujapri u£estanosti f1 i indukciji Bm:

PFe1,H = KHf1B2mmFe = 200 W

PFe1,V = KV f21B

2mmFe = 50 W

Koecijent gubitaka usled vihornih struja KV raste sa kvadratom debljine limova. Ova£injenica se ovde navodi bez dokaza. Gubici u gvoºu pri brzini obrtanja od 800 ob/min,indukciji 1.25Bm i dvostruko ve¢oj debljini limova dobijaju se iz izraza (primetiti daukupna masa limova ostaje nepromenjena, jer se broj limova smanjuje na ra£un pove¢anjadebljine):

P novoFe = KH ·

800

600f1(1.25Bm)2mFe + 4KV ·

(800

600f1

)2

(1.25Bm)2mFe

= 2.08 · PFe1,H + 11.11 · PFe1,V= 970 W

Zadatak 1.5: Gubici u gvoºu elektri£ne ma²ine pri u£estanosti 50 Hz iznose 100 W, apri u£estanosti 100 Hz i nepromenjenoj indukciji 250 W. Odrediti gubitke usled histere-zisa i usled vihornih struja pri u£estanosti 50 Hz.

Re²enje:Na isti na£in kao u prethodnom zadatku treba napisati relacije za gubitke u gvoºu priu£estanostima od 50 Hz i 100 Hz i re²iti dobijeni sistem jedna£ina. Dobijaju se slede¢irezultati za gubitke usled histerezisa i usled vihornih struja pri u£estanosti 50 Hz:

PFe,H = 75 WPFe,V = 25 W

2 Termi£ko modelovanje ma²ine i prora£un za-

grevanja

Zadatak 2.1: Odrediti porast temperature (u trajnom radu) statora £etvoropolnog asin-hronog motora snage 315 kW, napona 400 V, cosφ = 0.85, stepena iskori²¢enja 93%, £ijije otpor namotaja statora 0.013 Ω po fazi, ako ima gubitke u gvoºu 11 kW, povr²inuhlaenja statora 8 m2 i jedini£nu snagu odno²enja toplote α = 60 W/m2/C.

4

Re²enje:Potrebno je najpre odrediti nominalnu struju motora pri zadatom optere¢enju:

In = Pn/(√

3Un η cosφ) ≈ 575 A

Ukupni gubici u ma²ini jednaki su sumi promenljivih gubitaka (deo gubitaka koji zavisiod optere¢enja - gubici u namotajima) i konstantnih gubitaka (nezavisni od optere¢enja- gubici u gvoºu):

Pγ = PCu + PFe = 3RI2 + PFe ≈ 24 kW

Porast temperature u trajnom radu jednak je:

θend =PγαS

= 50 C

NAPOMENA: Usvajaju se slede¢e oznake za veli£ine koje su u vezi sa zagrevanjem ma-²ine:

• ϑ [C] srednja temperatura ma²ine ili temperatura nekog njenog dela;

• θ [C] porast srednje temperature ma²ine ili temperature nekog njenog dela uodnosu na temperaturu ambijenta (nadtemperatura): θ = ϑ− ϑa;

• ∆ϑ [C] razlika izmeu temperatura dve proizvoljne ta£ke: ∆ϑ = ϑ1 − ϑ2;

• ∆θ [C] razlika izmeu porasta temperatura dve proizvoljne ta£ke: ∆θ = θ1− θ2.

Primetiti da, pod uslovom da je temperatura ambijenta konstantna, vaºi ∆ϑ ≡ ∆θ.

NAPOMENA: Ma²ina se u ovom primeru posmatra kao homogeno telo, sa jednom vre-menskom konstantom zagrevanja i jednom termi£kom otporno²¢u. Takav model ma²inedobija se kada se modeluje samo statorski namotaj, pri £emu se smatra da jezgro statoraima beskona£an termi£ki kapacitet, kao i da nema prenosa toplote izmeu statora i ro-tora → beskona£an termi£ki otpor vazdu²nog zazora (vidi sliku 15 u Dodatku). Ovakavtermi£ki model je jako neprecizan i daje optimisti£ne rezultate (niºe vrednosti tempera-tura namotaja od onih koje ¢e se imati u stvarnoj ma²ini, naro£ito kod rotorski kriti£nihma²ina), ²to ga u ve¢ini prakti£nih situacija £ini neupotrebljivim.

Zadatak 2.2: Spoljna povr²ina motora snage 9 kW je ekvivalentna omota£u cilindrapre£nika 76 cm i duºine 91 cm. Ma²ina se moºe smatrati homogenim telom mase m= 400 kg i speci£ne toplote c = 510 J/kg/C. Uzev²i da je jedini£na snaga odno²enjatoplote sa povr²ine α = 12.4 W/m2/C odrediti krajnji porast temperature i vremen-sku konstantu zagrevanja kada ma²ina radi sa punim optere¢enjem pri kome je stepeniskori¢enja 90%. Ako bi ova ma²ina bila izvedena sa otvorenom konstrukcijom njena bijedini£na snaga odno²enja toplote bila uve¢ana na αnovo = 23.3 W/m2/C. Za taj slu£ajodrediti optere¢enje pri kojem se dostiºe isti porast temperature pod uslovom da je ste-pen iskori²¢enja ostao nepromenjen.

Re²enje:

5

Povr²ina sa koje se odvodi toplota jednaka je povr²ini omota£a cilindra kojim se aprok-simira ma²ina sa aspekta hlaenja:

S = πDL = 2.173 m2

Potrebno je odrediti ukupne gubitke u ma²ini. Izraz za stepen iskori²¢enja dat je izrazom:

η =P

P + Pγ

odakle sledi izraz za snagu gubitaka:

Pγ =P

η− P = 1 kW

Diferencijalna jedna£ina za prora£un nadtemperature:

Pγ = mcdθ

dt+ αSθ

Porast temperature ma²ine u ustaljenom stanju dobija se kada se izvod nadtemperatureizjedna£i sa nulom:

θend = Pγ/(αS) = 37C

Vremenska konstanta zagrevanja ma²ine moºe se odrediti ako se diferencijalna jedna£inazagrevanja napi²e u ne²to druga£ijoj formi:

θend = τdθ

dt+ θ

odakle je, poreenjem sa po£etnim izrazom, lako uo£iti da je vremenska konstanta zagre-vanja ma²ine:

τ =mc

αS≈ 2.1 h

Kada je ma²ina izvedena sa otvorenom konstrukcijom, vrednost snage gubitaka pri kojojse ima porast temperature od 37C jednaka je:

P novoγ = θend · αnovoS = 1.842 kW

Pod uslovom da je stepen iskori²¢enja nepromenjen, vrednost optere¢enja ma²ine sa otvo-renom konstrukcijom pri kojem se ima zadati porast temperature iznosi:

P novo =η

1− η· P novo

γ = 16.6 kW

Zadatak 2.3: Pri radu elektri£ne ma²ine posmatrane kao homogeno telo, sa stalnimoptere¢enjem i odgovaraju¢im stalnim gubicima, dostiºe se posle 3 £asa rada 90% odustaljene temperature. Odrediti vremensku konstantu zagrevanja ma²ine. Ma²ina je preoptere¢ivanja bila u hladnom stanju (na temperaturi ambijenta).

6

Re²enje:Najbolje je po¢i od jedna£ine zagrevanja ma²ine u modikovanoj formi:

θend = τdθ

dt+ θ

Re²avanjem ove diferencijalne jedna£ine dobija se slede¢i izraz za nadtemperaturu ma²ine:

θ(t) = θ0 + (θend − θ0) (1− e−t/τ )

Navedeni izraz vaºi kada su gubici snage kojima se zagreva ma²ina konstantni. Vrednostθ0 predstavlja vrednost nadtemperature koja prethodi zagrevanju. U analiziranom slu-£aju, zagrevanju prethodi dugotrajno mirovanje ma²ine, te je po£etna nadtemperaturajednaka nuli. Stoga navedeni izraz dobija ne²to jednostavniju formu:

θ(t) = θend (1− e−t/τ )

Vrednost temperature posle 3 h rada jednaka je 90% od ustaljene vrednosti temperature:

θ(t = 3 h) = 0.9 θend = θend (1− e−3/τ )

odakle se dobija vrednost vremenske konstante zagrevanja kao:

τ = −3/ ln(0.1) = 1.3 h

Zadatak 2.4: Porast temperature jedne elektri£ne ma²ine iznosi 24C posle jednog £asarada, a 38C posle dva £asa rada. Izra£unati krajnji porast temperature i vremenskukonstantu zagrevanja pod pretpostavkom da se ma²ina u termi£kom pogledu pona²a kaohomogeno telo.

Re²enje:Izraz za vremensku promenu porasta temperature dat je u prethodnom zadatku. Porasttemperature ma²ine posle jedno£asovnog rada iznosi:

θ(t = 1 h) = 24C = θend (1− e−1/τ )

a posle dvo£asovnog rada:

θ(t = 2 h) = 38C = θend (1− e−2/τ )

Uvoenjem smene x = e−1/tau i deljenjem prvog izraza sa drugim i sreivanjem dobijenejednakosti, dobija se:

24x2 − 38x+ 14 = 0

odakle je x = 0.583, te je vrednost vremenske konstante τ = 1.853 h . Krajnji porasttemperature se sada relativno lako moºe izra£unati:

θend =θ(t = 1 h)

(1− e−1/τ )=

θ(t = 2 h)

(1− e−2/τ )

θend = 57.55C

7

Zadatak 2.5: Motor sa vremenskom konstantom zagrevanja od 45 min ima porast tem-perature 75C u trajnom radu.

(a) Koliki je porast temperature motora posle jedno£asovnog rada?

(b) Ako je motor preoptere¢en pa mu porast temperature posle jedno£asovnog radaiznosi 75C, koliki bi za tu vrednost preoptere¢enja bio krajnji porast temperature?

(c) Pri radu sa preoptere¢enjem iz (b), odrediti vreme za koje ¢e temperatura porastiod 60 do 75C.

Re²enje:

(a) Porast temperature motora u proizvoljnom trenutku dobija se iz ranije navedenogizraza:

θ(t) = θend (1− e−t/τ )

Porast temperature posle za t = 1 h:

θ(t = 1 h) = 55C

(b) Jedno£asovni porast temperature pri preoptere¢enju dat je izrazom:

θ(t = 1 h) = θend (1− e−t/τ )

Preoptere¢enje uti£e jedino na promenu krajnje vrednosti nadtemperature θend, dok vre-menska konstanta τ ostaje nepromenjena. Porast temperature u trajnom radu ma²inepri zadatom preoptere¢enju iznosi:

θend =θ(t = 1 h)

(1− e−1/τ )= 102C

(c) Treba po¢i od izraza za porast temperature za op²ti slu£aj, kada je po£etna nad-temperatura ma²ine razli£ita od nule:

θ(t) = θ0 + (θend − θ0) (1− e−t/τ )

Iz ovog izraza, vreme t potrebno da se temperatura pove¢a sa θ(0) na θ(t) dobija se kao:

t = −τ · ln(

1− θ(t)− θ0

θend − θ0

)U konkretnom slu£aju, za θ0 = 60C, θ(t) = 75C i θend = 102C:

t ≈ 20 min

8

Zadatak 2.6: Aktivna otpornost bakarnog namota elektri£ne ma²ine na 25C iznosi1.00 Ω. Posle trajnog rada ma²ine sa nominalnim optere¢enjem otpor namota se ustaliona vrednosti 1.25 Ω pri temperaturi ambijenta od 25C. Koliki je krajnji porast tempe-rature namota ma²ine i kojoj klasi izolacije odgovara?

Re²enje:Otpornost namota moºe se izraziti u funkciji srednje temperature namota kao:

R(ϑ1) = R1 = R0 (1 + αϑ1)

gde je R0 otpornost namota pri srednjoj temperaturi namota od 0C, a ϑ1 srednja tem-peratura namota u posmatranom reºimu. Otpornost namota uglavnom se meri pri nekojtemperaturi razli£itoj od nule, tako da je u upotrebi £e²¢e izraz koji daje odnos otpornostina dve razli£ite temperature:

R2

R1

=1 + αϑ2

1 + αϑ1

=235 + ϑ2

235 + ϑ1

U analiziranom primeru, poznata je temperatura namota ma²ine na temperaturi od 25Ci otpornost namota na nepoznatoj krajnjoj temperaturi. Nepoznata temperatura moºese odrediti na osnovu prethodnog izraza kao:

ϑ2 = ϑend =R2

R1

· (235 + ϑ1)− 235

ϑend = 90C

Odgovaraju¢i porast temperature dobija se oduzimanjem temperature ambijenta od kraj-nje temperature namota:

θend = ϑend − ϑa = 65C

Dobijeni porast temperature odgovara prvoj klasi izolacije koja ima ve¢i ili jednak maksi-malni dozvoljeni porast temperature. U ovom slu£aju je to klasa izolacije E (dozvoljeniporast temperature 65C).

NAPOMENA: Primetiti da je po£etna vrednost temperature namota jednaka tempera-turi ambijenta, ²to ukazuje na £injenicu da je zagrevanju prethodilo dugotrajno mirovanjema²ine.

Zadatak 2.7: Motor sa nazivnim podacima Pn = 19 kW i ηn = 91% ima maksimalniporast temperature u nominalnom reºimu θn = 72 C. Odnos gubitaka u nominalnomreºimu je PCu,n : PFe,n : Pfv,n = 2 : 1.2 : 0.5. Vremenska konstanta zagrevanja je 28 min,a temperatura okoline je 26 oC. Odrediti:

(a) Krajnji (maksimalni) porast temperature pri polovini nazivnog optere¢enja, kao itemperaturu motora pri nazivnom reºimu rada posle 10 i 50 minuta. Motor se pu²ta urad iz hladnog stanja.

(b) Motor radi sa nazivnim optere¢enjem duºe vreme (t > 5τ). Zatim se optere¢enjesmanji na polovinu nazivnog. Odrediti temperaturu u trenutku 12 min nakon smanjenjaoptere¢enja, kao i ustaljenu temperaturu u ovom reºimu.

9

(c) Motor se iz ovog stanja, posle dovoljno dugo vremena (t > 5τ), isklju£i sa mreºe.Odrediti temperaturu motora u trenucima 10, 50 i 100 minuta nakon isklju£enja, ako jevremenska konstanta hlaenja τh = 1.8 · τ .

Re²enje:

(a) Ukupni gubici u nominalnom reºimu iznose:

Pγ,n =

(1

η− 1

)· Pn = 1.88 kW

Iz date proporcije dobija se da su:

PCu,n = 1.02 kW; PFe,n = 0.61 kW;Pfv,n = 0.25 kW

Gubici u bakru pri polovini nazivnog optere¢enja mogu se odrediti na osnovu pribliºnerelacije:

PCu,0.5PCu,n

=I2

0.5

I2n

∼ U2/(Rr/s0.5)2

(Rr/sn)2 ∼ s20.5

s2n

∼ P 20.5

P 2n

∼ (0.5Mn)2

M2n

= 0.25

te su gubici u bakru pri polovini nazivnog optere¢enja jednaki PCu,0.5 = 0.25 · PCu,n =0.255 kW. Ukupni gubici pri polovini nazivnog optere¢enja su:

Pγ,0.5 = PCu,0.5 + PFe,n + Pfv,n = 1.115 kW

Maksimalni porast temperature pri polovini nazivnog optere¢enja iznosi:

θ∞0.5 =Pγ,0.5Pγ,n

· θn = 42.7C

Nadtemperature motora posle 10 min i 50 min rada u nominalnom reºimu su:

ϑ(10 min) = ϑa + θn ·(1− e−10/τ

)= 47.6 C

ϑ(150 min) = ϑa + θn ·(1− e−50/τ

)= 85.9 C

(b) Promena temperature motora u opisanom reºimu data je izrazom:

ϑ(t) = ϑa + θne−t/τ + θ∞0.5

(1− e−t/τ

)Temperatura motora 12 min nakon smanjenja optere¢enja jednaka je:

ϑ(12 min) = 87.8 C

Ustaljena vrednost temperature dobija se za t→∞:

ϑ∞ = ϑa + θ∞0.5 = 68.7 C

(c) Jedna£ina hlaenja motora glasi:

ϑ(t) = ϑa + θ∞0.5e−t/τh

Temperature motora 10, 50 i 100 min nakon isklju£enja iznose:

ϑ(10 min) = 61.0 Cϑ(50 min) = 41.8 Cϑ(100 min) = 31.9 C

10

Zadatak 2.8: Asinhroni motor nazivne snage 3.7 kW u termi£kom smislu posmatra sekao homogeno telo vremenske konstante zagrevanja τ = 2 min. Stepen iskori²énja motorapri nazivnom optere¢enju je η = 87.5%, pri £emu gubici u gvoºu £ine 4% nazivne snagema²ine i mogu se smatrati konstantnim i nezavisnim od optere¢enja. Motor ima sop-stveno hlaenje sa ventilatorom montiranim na vratilu rotora, te je vremenska konstantahlaenja pri zaustavljenom rotoru τh = 5 min. Motor je predvien za rad u eksplozivnougroºenoj sredini, pa porast temperature motora u ustaljenom stanju, u nominalnom re-ºimu rada, odgovara grani£nom porastu temperature za klasu izolacije F za Exe motore(90 C). Odrediti maksimalnu vrednost optere¢enja kada ma²ina radi u intermitentnomreºimu, i to:

(a) Sa ukupnim trajanjem ciklusa tc = 5 min, pri £emu je ma²ina optere¢ena u pr-vom delu ciklusa, u intervalu 0 . . . t1 = 2 min, a u intervalu t1 . . . tc je neoptere¢ena izaustavljena.

(b) Sa ukupnim trajanjem ciklusa tc = 15 s, pri £emu je ma²ina optere¢ena u prvomdelu ciklusa, u intervalu 0 . . . t1 = 5 s, a u intervalu t1 . . . tc je neoptere¢ena i zaustavljena.

(c) Sa ukupnim trajanjem ciklusa tc = 20 min, pri £emu je ma²ina optere¢ena u prvomdelu ciklusa, u intervalu 0 . . . t1 = 3 min, a u intervalu t1 . . . tc je neoptere¢ena i zausta-vljena.

Re²enje:

(a) Kako je t1 ∼ τ i tc−t1 ∼ τh, ovaj reºim odgovara intermitentnom reºimu sa kratkimpauzama i sporopromenljivim optere¢enjem (S3(a)), jer motor ni prilikom zagrevanja niprilikom hlaenja ne dostiºe ustaljeno stanje. U poglavlju Dodatak izveden je izraz kojidaje maksimalnu vrednost nadtemperature nakon jako velikog (teorijski beskona£nog)broja ponovljenih ciklusa u slu£aju kada su vremenska konstanta zagrevanja i hlaenjama²ine meusobno jednake. U ovom slu£aju te dve vremenske konstante se meusobnorazlikuju, usled promenljivih uslova hlaenja motora. Proces zagrevanja motora podoptere¢enjem opisan je izrazom:

θmax,S3 = θ0 + (Rth · Pγ,S3 − θ0)(1− e−t1/τ

)a proces hlaenja neoptere¢enog motora (Pγ = 0):

θ0 = θmax,S3 · e− tc−t1

τh

U navedenim izrazima, θmax i θ0 predstavljaju maksimalnu i minimalnu vrednost nad-temperature motora posle velikog broja ponovljenih ciklusa (pogledati sliku 9, zadatak12). Eliminacijom θ0 iz prethodna dva izraza i nakon malo sreivanja, dobija se slede¢iizraz za maksimalni porast temperature motora:

θmax,S3 =RthPγ,S3

(1− e−

t1τ

)1− e−

(tcτh

+t1τ ′

)

gde je τ ′ = ττhτh−τ

= 3.33 min = 200 s.Maksimalna vrednost optere¢enja treba da bude takva da ne izazove porast temperature

11

preko maksimalne dozvoljene vrednosti za klasu izolacije F. Grani£na vrednost nadtem-perature za klasu F dostiºe se u trajnom radu pri nominalnom optere¢enju i jednaka je(Dodatak, reºim S1):

θgr = RthPγ,S1 = 90 C

gde su sa Pγ,S1 ozna£eni ukupni gubici snage u ma²ini pri nominalnom optere¢enju. Izzahteva da maksimalni porast temperature u intermitentnom reºimu bude jednak onomu trajnom radu sa nominalnim optere¢enjem θmax,S3 = θgr sledi odnos dozvoljenihsnaga gubitaka u reºimu S3 i u reºimu S1:

Pγ,S3

Pγ,S1

=1− e−

(tcτh

+t1τ ′

)1− e−

t1τ

= 1.2626

Potrebno je sada iz odnosa snaga gubitaka odrediti odgovaraju¢u vrednost intermitentnogoptere¢enja, tj. korisnu snagu. Gubici se sastoje iz konstantne komponente PFe = consti komponente PCu koja je promenljiva i srazmerna kvadratu struje. Ukupni gubici moguse izraziti kao:

Pγ = PFe + PCu = PFe + 3 ·Rs · I2

Ukupni gubici u nominalnom reºimu jednaki su:

Pγ,n = Pγ,S1 =

(1

η− 1

)· Pn = 528.6 W

Gubici u gvoºu su, prema uslovu zadatka, PFe = 0.04 ·Pn = 148 W. Gubici u bakru prinominalnom optere¢enju su:

PCu,n = PCu,S1 = Pγ,n − PFe = 380.6 W

Maksimalni dozvoljeni gubici u intermitentnom reºimu jednaki su:

Pγ,S3 = 1.2626 · Pγ,S1 ≈ 667.4 W

Gubici u bakru u£estvuju u ukupnim gubicima sa:

PCu,S3 = Pγ,S3 − PFe = 519.4 W

Odnos gubitaka u bakru u reºimima S2 i S1 mogu¢e je izraziti pribliºno u funkciji odnosakorisnih snaga:

PCu,S3

PCu,S1

≈ P 2S3

P 2S1

odakle je vrednost optere¢enja pri kojem je porast temperature jednak grani£no dozvo-ljenom za klasu izolacije F u intermitentnom reºimu S3(a):

P(a)S3 = PS1 ·

√PCu,S3

PCu,S1

= 4322 W

(b) Trajanje ciklusa optere¢enja je znatno manje od termi£ke vremenske konstante mo-tora, te ovaj reºim odgovara intermitentnom reºimu sa brzopromenljivim optere¢enjem(S3(b)). U poglavlju Dodatak izveden je izraz koji daje maksimalnu vrednost nadtem-perature za reºim S3(b) posle velikog broja ponovljenih ciklusa. Kao i u prethodnom

12

primeru, ovaj izraz potrebno je prilagoditi promenljivim uslovima hlaenja. Kako suvremenski intervali u kojima se odvija zagrevanje, odnosno hlaenje, veoma kratki u od-nosu na odgovaraju¢e termi£ke vremenske konstante, to je mogu¢e linearizovati izrazeza nadtemperaturu. Izrazi za porast temperature prilikom zagrevanja i hlaenja (nakonteorijski beskona£nog broja ciklusa) dati su sa:

θmax,S3 = θ0e−t1/τ +RthPγ,S3 ·

(1− e−t1/τ

)≈ θ0

(1− t1

τ

)+RthPγ,S3

t1τ

θ0 = θmax,S3e− tc−t1

τh ≈ θmax,S3

(1− tc − t1

τh

)Eliminacijom θ0 iz prethodne dve jedna£ine dobija se izraz:

θmax,S3

tc − t1τh

+t1τ−

*≈ 0

t1(tc − t1)

ττh

≈ RthPγ,S3t1τ

te se maksimalna nadtemperatura moºe pribliºno izraziti kao:

θmax,S3 = RthPγ,S31

1 + ττh

tc−t1t1

Iz uslova da je maksimalni porast temperature u reºimu S3 jednak grani£no dozvoljenomza klasu izolacije F, sledi relacija:

Pγ,S3

Pγ,S1

= 1 +tc − t1t1

· ττh

= 1.8

odakle su gubici u bakru statora u intermitentnom reºimu:

PCu,S3 = 1.8Pγ,S1 − PFe = 803.5 W

Kona£no, maksimalna vrednost optere¢enja u reºimu S3(b) pri kojoj ne¢e biti prekora£engrani£ni porast temperature za izolaciju klase F jednaka je:

P(b)S3 = PS1 ·

√PCu,S3

PCu,S1

= 5376 W

(c) Rad pogona pod optere¢enjem je kratkotrajan (t1 ∼ τ), tako da ma²ina ne dostiºeustaljeno termi£ko stanje prilikom zagrevanja. Period hlaenja je, meutim, zna£ajnoduºi od odgovaraju¢e vremenske konstante (tc − t1 τh), tako da ¢e se ma²ina u ovomintervalu ohladiti na temperaturu ambijenta. Ovaj reºim rada odgovara intermitentnomreºimu sa dugim pauzama S2 (Dodatak). Na osnovu izraza za maksimalnu nadtempera-turu motora, dozvoljena vrednost gubitaka u reºimu S2 jednaka je:

Pγ,S2 =Pγ,S1

1− e−t1/τ= 680.4 W

a odgovaraju¢a vrednost gubitaka u bakru:

PCu,S2 = Pγ,S2 − PFe = 532.4 W

13

Na osnovu izraza datih pod (a) i (b), dozvoljena vrednost kratkotrajnog preoptere¢enjatako da se ne prekora£i dozvoljeni porast temperature je:

P(c)S2 = PS1 ·

√PCu,S2

PCu,S1

= 4376 W

Zadatak 2.9: Asinhrona ma²ina snage 550 kW, napona 6.6 kV, ima 60 otvorenih stator-skih ºlebova, pri £emu je visina ºleba hQ = 69 mm, ²irina ºleba wQ = 12.5 mm, debljinaizolacije d = 2.7 mm, duºina jezgra lFe = 380 mm. Namotaj je dvoslojni, pri £emu jevisina jednog provodnika pribliºno jednaka polovini visine ºleba hQ/2, ²irina jednog pro-vodnika jednaka je ²irini ºleba, a duºina bo£nih veza namotaja je lb = 307.4 mm. Brzinaprotoka vazduha u zoni bo£nih veza je v = 12 m/s. Odrediti

(a) termi£ki otpor izmeu dela provodnika u ºlebu i jezgra statora, kao i rezultantnitermi£ki otpor izmeu ºlebnog dela namotaja i jezgra. Smatrati da se prenos toploteizmeu provodnika i jezgra vr²i isklju£ivo kondukcijom kroz izolaciju provodnika.

(b) termi£ki otpor izmeu bo£nih veza ma²ine i ambijenta, za jedan provodnik i za ceonamotaj. Radi jednostavnosti, smatrati da se toplota prenosi isklju£ivo konvekcijom, i tosa cele povr²ine jednog provodnika, direktno u ambijent (pretpostavlja se da je ma²inaotvorene konstrukcije).

(c) termi£ki otpor izmeu ºlebnog dela namotaja i bo£nih veza (izmeu sredine ºlebnogdela namotaja i sredine bo£ne veze), za ceo namotaj.

Re²enje:

(a) Povr²ina ºleba, tj. dodirne povr²ine izmeu jezgra statora i izolacije namotaja,pribliºno je jednaka (slika):

Aslot = (2 · hQ + bQ) · lFe = (2 · 69 + 12.5) · 380 = 57190 mm2

Termi£ki otpor izolacije izmeu bakra i gvoºa za jedan provodnik jednaka je:

R(1)i,s =

d

λi,sAslot=

0.0027

0.2 · 0.05719= 0.236 K/W

Termi£ki otpor celog namotaja dobija se kada se u prethodni izraz uvrsti ukupna povr²inasvih provodnika:

Ri,s =d

λi,s (Aslot ·Nz)=

0.0027

0.2 · 0.05719 · 60= 0.0039 K/W

gde je sa Nz ozna£en broj ºlebova. O£igledno, termi£ki otpor namotaja predstavlja pa-ralelnu vezu termi£kih otpora pojedinih provodnika.

(b) Pretpostavlja se da se toplota odaje konvekcijom sa cele povr²ine jednog provod-nika. Povr²ina izolovanog statorskog provodnika koji formira bo£nu vezu, merodavna zaprora£un termi£kog otpora, jednaka je (slika):

Aend = 2 · (hQ/2 + bQ + 4 · d) · lb = (69 + 2 · 12.5 + 8 · 2.7) · 307.4 = 35535 mm2

Termi£ki otpor izmeu povr²ine izolacije i ambijenta dat je izrazom:

R(1)b,s =

1

αAend

14

ϑ

i

h

Q

w

Q

ϑ

z

R

(1)

i,s izolacija

Cu

Fe

(zubac

statora)

l

Fe

ϑ

i

R

(1)

b,s

ϑ

a

(ambijent)

d

h

Q

/2

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

Slika 1: Deo provodnika u ºlebu statora sa nazna£enim termi£kim otporom izolacije

Parametar α moºe se pribliºno izra£unati na osnovu izraza datog u tabeli 2 za forsiranohlaenje izolovanih namotaja vazduhom (Dodatak):

α = 8 v3/4 = 8 · 123/4 = 51.6 W/m2/K

Termi£ki otpor izmeu povr²ine izolacije i ambijenta jednak je:

R(1)b,s = 0.545 K/W.

Ukupni termi£ki otpor izmeu dela provodnika na boku i ambijenta dobija se kada se naprethodnu vrednost doda termi£ki otpor usled provoenja toplote kroz izolaciju:

R(1)b,sΣ = R

(1)b,s +R

(1)i,b = R

(1)b,s +

d

2(hQ/2 + wQ) · lb · λi,s= 1.012 K/W.

Rezultantni termi£ki otpor svih bo£nih veza prema ambijentu se dobija kada se uvaºiukupna povr²ina svih bo£nih veza. Broj bo£nih veza s jedne strane ma²ine jednak jebroju navojaka, tj. polovini broja provodnika. Dakle, ukupan broj bo£nih veza jednakje ukupnom broju provodnika, jer bo£ne veze postoje s obe strane ma²ine. Rezultantnitermi£ki otpor namotaja na bokovima je jednak:

Rb,s =R

(1)b,s

2Nz

= 0.00843 K/W

Ukupan broj provodnika jednak je dvostrukom broju ºlebova, jer je namotaj dvoslojni.

(c) Geometrija jedne polovine navojka statorskog namotaja prikazana je na slici 3.Pretpostavljeno je da su srednje temperature obe bo£ne veze meusobno jednake, ²toje generalno opravdana pretpostavka. Termi£ki otpor izmeu sredine dela provodnika uºlebu i sredine jedne bo£ne veze je jednak:

R(1)zb =

lFe/2 + lb/2

λCu · wQhQ/2= 2.097 K/W,

15

ϑ

b

R

(1)

i,b

ϑ

i

R

(1)

b,s

ϑ

a

(ambijent)

izolacija

Cu

w

Q

h

Q

/2

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

Slika 2: Bo£na veza namotaja statora sa nazna£enim termi£kim otporom izolacije i termi£kim

otporom izmeu povr²ine izolacije i ambijenta

gde je λCu koecijent termi£ke provodnosti bakra (Dodatak). S obzirom na to da su sred-nje temperature bo£ne veze meusobno jednake, moºe se odrediti ekvivalentan termi£kiotpor jednog polunavojka kao paralelna veza dva otpora R(1)

zb :

R(1)zb,eq =

R(1)zb

2= 1.049 K/W.

l

fe

l

b

/2

ϑ

z

ϑ

b

h

Q

/2

w

Q

ϑ

b

R

(1)

zb

R

(1)

zb

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

Slika 3: Upro²¢eni prikaz geometrije jedne polovine navojka statora

Dalje, kako su temperature svih provodnika u ºlebu i na bokovima meusobno jednake,moºe se odrediti rezultantni termi£ki otpor izmeu ºlebnog dela namotaja i bo£nih veza,kao paralelna veza termi£kih otpora 2Nz polunavojaka (namotaj je dvoslojni), tj. kada seu izraz za termi£ku otpornost uvrsti ukupna povr²ina popre£nog preseka svih provodnika:

Rzb =R

(1)zb,eq

2Nz

= 0.0087 K/W

Za vi²e detalja o mehanizmima prenosa toplote pogledati Dodatak.

16

Zadatak 2.10: Za motor iz prethodnog zadatka, odrediti:

(a) Termi£ki otpor provoenja za jaram statora, ako je unutra²nji polupre£nik jarma380 mm, a spolja²nji 440 mm. Zanemariti prisustvo unutra²njih izvora toplote (gubitaka)u jezgru.

(b) Termi£ki otpor odvoenja toplote sa povr²ine statora, ako je brzina strujanja ras-hladnog vazduha na povr²ini oklopa statora pribliºno 10 m/s. Smatrati da rashladnarebra pove¢avaju efektivnu povr²inu sa koje se odvodi toplota za 50%. Zanemariti pro-menu brzine strujanja duº oklopa statora.

Re²enje:

(a) Jaram statora se moºe, u termi£kom pogledu, predstaviti kao ²upalj cilindar (slika).Termi£ka otpornost cilindra (jarma) data je izrazom:

RFe =d

λFeSek,

gde je Sek ekvivalentna vrednost povr²ine normalne na pravac prostiranja toplote, a λFekoecijent termi£ke provodnosti gvoºa u smeru laminacije. Ekvivalentna povr²ina je zaslu£aj ²upljeg cilindra jednaka:

Sek =S2 − S1

ln(S2/S1).

Do ove relacije se moºe jednostavno do¢i ako se poe od Furijeovog zakona provoenja,datog u Dodatku. Pri tome, treba razmatrati samo prenos toplote u radijalnom pravcu.Osnovna pretpostavka je da u jezgru nema generisanja toplote, pa je u tom slu£aju ukupnakoli£ina toplote koja ulazi u cilindar s njegove unutra²nje strane jednaka koli£ini toplotekoja napu²ta cilindar s njegove spoljne strane.

Povr²ine S1 i S2 su date izrazima:

S1 = 2πr1lFe = 0.9073 m2

S2 = 2πr2lFe = 1.0505 m2,

pa je ekvivalentna povr²ina za prora£un provoenja:

Sek = 0.977 m2.

Kona£no, termi£ki otpor koji opisuje provoenje kroz jaram statora jednaka je (usvojenoλFe = 40):

RFe = 0.00154 K/W.

(b) Odavanje toplote u ambijent se vr²i konvekcijom sa povr²ine:

Sa = 1.5 · S2 = 1.576 m2.

Odgovaraju¢i termi£ki otpor je dat izrazom:

Ra =1

αSa,

gde je α koecijent preno²enja toplote. Za odreivanje koecijenta preno²enja toplote,treba primeniti izraz dat u tabeli 2 u Dodatku, za forsirano odvoenje toplote sa glatkihmetalnih povr²ina:

α = 15 · v2/3 = 69.6 W/m2/C.

17

Q,q

1

Q,q

2

λ

r

1

r

2

S

1

, ϑ

1

S

2

, ϑ

2

d

S

ek

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

Slika 4: Provoenje toplote kroz jaram statora

Sada se za vrednost termi£kog otpora izmeu oklopa statora i ambijenta dobija:

Ra = 0.0091 K/W.

Zadatak 2.11: Za motor opisan u prethodna dva zadatka, konstruisati termi£ku zamen-sku ²emu. Pored termi£kih otpornosti, ²ema treba da sadrºi i toplotne izvore, tj. snagegubitaka, i to posebno u ºlebnom delu namotaja i u bo£nim vezama, kao i snagu gubitakau gvoºu. Dovoljno je modelovati samo stator, pri £emu se deo gubitaka u rotoru pripisujestatorskom namotaju, kako bi se dobile ta£ne vrednosti porasta temperature. Gubitkeu gvoºu treba predstaviti koncentrisanim izvorom, koji deluje na sredini odgovaraju¢egtermi£kog otpora. ema treba da sadrºi i termi£ke kapacitete pojedinih elemenata. Naosnovu konstruisane ²eme, odrediti poraste temperature (u ustaljenom stanju) u svimelementima ma²ine, ako je snaga gubitaka u bakru statora PCu,s = 6 kW, a snaga gubi-taka u gvoºu statora PFe,s = 4.4 kW. Pored toga, ºlebnom delu namotaja statora trebapripisati 60% gubitaka u bakru rotora, ²to iznosi 0.6PCu,r = 1.9 kW.

Re²enje:Ekvivalentna termi£ka ²ema motora je prikazana na slici 5. Izvori toplote (gubici) suekvivalentirani strujnim izvorima, potencijali £vorova ozna£avaju poraste temperaturaodgovaraju¢ih elemenata u odnosu na temperaturu ambijenta, a ambijent je zamenjenmasom (nultim potencijalom). Termi£ki otpori i kapaciteti su zamenjeni odgovaraju¢imelektri£nim otpornostima i kapacitivnostima.

Kako bi se izvr²io prora£un zagrevanja, potrebno je odrediti snage gubitaka u ºlebnomdelu namotaja i u bo£nim vezama. Moºe se smatrati da su gubici u statoru rasporeeni poºlebnom delu namotaja i po bo£nim vezama srazmerno duºinama ovih delova namotaja.Pored toga, na zagrevanje provodnika u ºlebovima uti£u i gubici u rotoru. Stoga, snage

18

/ 2FeR

/ 2FeRaR

zbR

/ 2FeR

,i sR

,Cu zP ,Cu bPzC bC

FeC

FeP

Fe

,Cu z ,Cu b ,b sR

Slika 5: Termi£ka ²ema motora

odgovaraju¢ih toplotnih izvora, ozna£enih kao na slici, iznose:

PCu,z =Lz

Lz + Lb· PCu,s + 0.6PCu,r = 4456.8 W

PCu,b =Lb

Lz + Lb· Pcu,s = 2682 W,

gde su ukupne duºine ºlebnog dela namotaja i bo£nih veza Lz = 2 ·Nz · lFe i Lb = 2 ·Nz · lb,respektivno.

Sada se mogu odrediti temperature pojedinih delova jednostavnim re²avanjem ekviva-lentnog kola. Kolo je najjednostavnije re²iti metodom konturnih struja. Termi£ka ²emamotora u pogodnijem obliku, sa nazna£enim konturama, prikazana je na slici 6, pri £emuje R′a = Ra +RFe/2.

zbR,2Fe

i s

RR

,Cu zP ,Cu bPFeP

,Cu z,Cu b

IP ,b sR

Fe

aR IIP IIIP IVP

Slika 6: Termi£ka ²ema motora sa ozna£enim konturnim strujama

S obzirom na to da konture I, III i IV sadrºe idealne strujne generatore, potrebno je

19

napisati samo jedna£inu za konturu II:

(RFe+Ra+Ri,s+Rzb+Rb,s)·PII+(RFe/2+Ri,s+Rzb+Rb,s)·PFe++(Rzb+Rb,s)·PCu,z+Rb,s·PCu,b,

odakle je: Sada se porast temperature jezgra moºe odrediti kao:

θFe = −(Ra +RFe/2) · PII = 60.73C.

Porast temperature dela namotaja u ºlebu moºe se izra£unati kao:

θCu,z = θFe − (PFe + PII) · (RFe/2 +Ri,s) = 68.92.

Porast temperature bo£nih veza je jednak:

θb,s = (PI + PII + PIII + PIV ) ·Rb,s = (PFe + PII + PCu,z + PCu,b) ·Rb,s = 45.4C.

O£igledno, kod ma²ine otvorene konstrukcije, hlaenje bo£nih veza je zna£ajno boljenego hlaenje ºlebnog dela namotaja. Kod ma²ine zatvorene konstrukcije (tzv. TEFC- Totally Enclosed Fan Cooled konstrukcija), situacija je suprotna, tj. hlaenje ºlebnogdela namotaja je bolje od hlaenja bo£nih veza. Kod otvorene, konstrukcije toplotasa bo£nih veza se odvodi konvekcijom direktno u ambijent. Kod zatvorene konstrukcije,toplota sa bo£nih veza se odvodi prema poklopcu ma²ine, koji je zagrejan na temperaturuvi²u od temperature ambijenta. Usled toga, bo£ne veze se slabije hlade od provodnika uºlebovima, koji odaju toplotu kondukcijom kroz izolaciju i jezgro.

Zadatak 2.12: Asinhroni motor nazivne snage Pn = 1.3 kW radi u intermintentnom re-ºimu, pri £emu je trajanje jednog ciklusa tc = 15 s. U okviru tog ciklusa, motor uintervalu t1 = 5 s radi sa nominalnim optere¢enjem, i tada su ukupni gubici jednakiPγ1 = PCu,s + PFe,s = 150 W. Ostalih 10 s motor je neoptere¢en ali se ne isklju£uje sanapajanja, te u tom intervalu radi sa ukupnim gubicima Pγ2 = PFe,s = 40 W. Motor semoºe opisati modelom sa dve vremenske konstante, τ1 = 15 s i τ2 = 15 min = 900 s, i £e-tiri termi£ke otpornosti, Rth1 = 1 C/W, Rth2 = 0.8 C/W,Rth3 ≈ 0 i Rth4 = 1.83 C/WOdrediti maksimalni porast temperature motora u ustaljenom stanju (posle jako velikogbroja ponovljenih ciklusa).

Re²enje:Pre nego ²to ¢e se pre¢i na re²avanje konkretnog zadatka, neophodno je napraviti odgo-varaju¢i teorijski uvod.Do sada je motor sa termi£kog aspekta posmatran kao homogeno telo. Sada ¢e biti uvedensloºeniji model, koji sadrºi dve celine: namotaj i ku¢i²te (jezgro) statora. Ove dve celinebi¢e smatrane homogenim. Ovakvim pristupom modeluje se samo stator, pri £emu segubici u rotoru pridruºuju gubicima u bakru statora. Diferencijalne jedna£ine zagrevanjanamotaja i jezgra date su izrazima:

CCu,sdθCu,sdt

= PCu,s −Gi,s(θCu,s − θFe,s)−GCu,sθCu,s

CFe,sdθFe,sdt

= PFe,s +Gi,s(θCu,s − θFe,s)−GFe,sθFe,s

gde su:

20

• CCu,s i CFe,s toplotni kapacitet namotaja i jezgra, respektivno;

• θCu,s i θFe,s porast temperature namotaja i jezgra, respektivno;

• Gi,s, GFe,s i GCu,s toplotna provodnost izmeu namotaja i jezgra, izmeu jezgrai ambijenta, i toplotna provodnost izmeu namotaj i ambijenta (usled forsiranoghlaenja, dominantno sa bo£nih veza), respektivno;

• PCu,s i PFe,s gubici u namotajima i u jezgru, respektivno.

Sistem jedna£ina zagrevanja motora moºe se ²ematski prikazati kao na slici 7. Primetiti dasu ukupni gubici u bakru (statora i rotora) pripisani statorskom namotaju. Na ovaj na£inse £ini odreena (ne mala) gre²ka jer se fakti£ki zanemaruje termi£ki otpor meugvoºa,²to opisani model £ini podesnijim za primenu kod transformatora. Korektan model zaasinhroni motor bi morao da sadrºi najmanje tri elementa: namotaj statora, namotajrotora i jezgro statora. Pristup koji se ovde koristi je, meutim, na strani sigurnosti, jersu dobijene vrednosti temperature ve¢e od onih koje bi se stvarno imale (zanemaren jepad temperature od rotora do statora pri preno²enju toplote kroz meugvoºe).Analizom diferencijalnih jedna£ina zagrevanja motora moºe se uo£iti da su one analogne

Slika 7: Blok dijagram termi£kog modela motora

naponskim jedna£inama elektri£nog RC kola sa strujnim izvorima. Na osnovu ove ana-logije moºe se konstruisati elektri£ni ekvivalent termi£kog modela, prikazan na slici 8.

Potrebno je odrediti temperaturu namotaja θCu,s jer je ona vi²a od temperature je-

,i sG

,Cu sP ,Fe sP ,Fe sC

,Cu s ,Fe s

,Fe sG,Cu sC,Cu sG

0a

Slika 8: Elektri£ni ekvivalent termi£kog modela motora

21

zgra, te je potrebno izvesti funkciju prenosa izmeu gubitaka PCu,s i PFe,s i temperatureθCu,s. Primenom Laplasove transformacije na jedna£ine zagrevanja dobija se:

sCCu,sθCu,s(s) = PCu,s(s)−Gi,s(θCu,s(s)− θFe,s(s))−GCu,sθCu,s(s)

sCFe,sθFe,s(s) = PFe,s(s) +Gi,sθCu,s(s)− (Gi,s +GFe,s)θFe,s(s)

Nakon obimnog izvoenja, dobija se izraz za porast temperature statorskog namotaja uslede¢oj formi:

θCu,s(s) = PCu,s(s) ·A (sτ3 + 1)

(sτ1 + 1) (sτ2 + 1)+ PFe,s(s) ·

A

(sτ1 + 1) (sτ2 + 1)

gde su:

A =Gi,s +GFe,s

Gi,sGCu,s +Gi,sGFe,s +GCu,sGFe,s

τ3 =CFe,s

Gi,s +GFe,s

Vremenske konstante τ1 i τ2 su koreni karakteristi£ne jedna£ine:

s2CFe,sCCu,s + s [CCu,s(Gi,s +GFe,s) + CFe,s(Gi,s +GCu,s)] +

Gi,sGCu,s +Gi,sGFe,s +GCu,sGFe,s = 0

Treba primetiti da vremenske konstante τ1 i τ2 zavise od termi£ke provodnosti GCu,s, tojest od intenziteta forsiranog hlaenja. Porast temperature u Laplasovom domenu moºese izraziti pomo¢u sume parcijalnih razlomaka kao:

θCu,s(s) = PCu,s(s) ·(

Rth1

sτ1 + 1+

Rth2

sτ2 + 1

)+ PFe,s(s) ·

(− Rth3

sτ1 + 1+

Rth4

sτ2 + 1

)Termi£ki otpori Rth1..Rth4 dati su izrazima:

Rth1 =A (τ3 − τ1)

τ2 − τ1

Rth2 =A (τ2 − τ3)

τ2 − τ1

Rth3 =Aτ1

τ2 − τ1

Rth4 =Aτ2

τ2 − τ1

Porast temperature namotaja moºe se predsatviti kao suma £etiri komponente:

θCu,s(s) = θ1(s) + θ2(s) + θ3(s) + θ4(s)

koje imaju vrednosti:

θ1(s) =Rth1

sτ1 + 1PCu,s(s)

θ2(s) =Rth2

sτ2 + 1PCu,s(s)

θ3(s) = − Rth3

sτ1 + 1PFe,s(s)

θ4(s) =Rth4

sτ2 + 1PFe,s(s)

22

Iz ovakvog izraza je relativno lako do¢i do izraza za porast temperature u vremenskomdomenu. Inverzna Laplasova transformacija svake od komponenata u izrazu za nadtem-peraturu namotaja je oblika:

θ(t) = θ0 + (RthPγ − θ0) ·(

1− e−tτ

)Sada ¢e se, na osnovu prethodno izloºene analize, pre¢i na re²avanje konkretnog primera.Brojne vrednosti termi£kih parametara motora su:

• Rth1 = 1 C/W

• Rth2 = 0.8 C/W

• Rth3 ≈ 0 C/W

• Rth4 = 1.83 C/W

• τ1 = 15 s

• τ2 = 15 min = 900 s

Motor radi intermitentno, jedan ciklus optere¢enja je impulsnog tipa i opisan je slede¢imvrednostima gubitaka u odgovaraju¢im vremenskim intervalima:

• Pmaxγ = PCu,s + PFe,s = 150 W u toku t1 = 5 s

• Pminγ = PFe,s = 40 W u toku tc − t1 = 10 s

Kao ²to je ranije pokazano, rezultantni porast temperature moºe se izra£unati superpo-zicijom komponenata θ1..4. U analiziranom slu£aju, gubici u gvoºu, koji deni²u tem-perature θ3 i θ4, su konstantni. Stoga, komponente θ3 i θ4 mogu¢e je izra£unati pomo¢uizraza koji vaºi za reºim sa konstantnim optere¢enjem (S1):

θ∞3 = −Rth3 · PFe,s ≈ 0

θ∞4 = Rth4 · PFe,s = 73.2 C

Komponente ukupnog porasta temperature θ1 i θ2 uzrokovane su gubicima u bakru. Gu-bici u bakru menjaju se cikli£no od 0 do 110 W. Nadtemperatura θ1 odgovara manjojvremenskoj konstanti τ1 = 15 s. Kako je tc ∼ τ1, prvu komponentu treba ra£unati premaizrazu za maksimalnu temperaturu pri sporopromenljivom optere¢enju u intermitentnomreºimu sa kratkim pauzama S3(a) (Dodatak):

θ∞1 =Rth1PCu,s

(1− e−t1/τ1

)1− e−tc/τ1

= 49.33 C

Nadtemperatura θ2 odgovara ve¢oj vremenskoj konstanti τ2 = 900 s. Kako je τ2 tc,komponentu θ2 treba ra£unati pomo¢u izraza za brzopromenljivo intermitentno optere-¢enje S3(b) (Dodatak):

θ∞2 = Rth2Pavg = Rth2 ·PCu,s · t1 + 0 · (tc − t1)

tc= 29.33 C

23

Slika 9: Temperatura namotaja i gubici u namotajima i u gvoºu nakon velikog broja

ponovljenih ciklusa

Maksimalni porast temperature u ustaljenom stanju dobija se kao suma komponenata:

θ∞max = θ∞1 + θ∞2 + θ∞3 + θ∞4 ≈ 152 C

Na slici 9 je prikazan dijagram promene temperature namotaja i odgovaraju¢e snage gu-bitaka u okviru dva ciklusa promene optere¢enja, a nakon dugotrajnog rada ma²ine u opi-sanom reºimu. Porast temperature od po£etka rada pa do dostizanja (kvazi)stacionarnogstanja prikazan je na slici 10. Rezultati dobiijeni simulacijom gotovo u potpunosti sepoklapaju sa rezultatima dobijenim na osnovu analiti£kog prora£una.

24

Slika 10: Porast temperature namotaja u dugom vremenskom intervalu (rezultat simulacije)

3 Merenje temperature i za²tita asinhronih ma-

²ina

Zadatak 3.1: Asinhroni motor iz zadatka 2.9 za²ti¢en je motorno za²titnim prekida£em.Prora£unskom metodom odrediti vreme tE ako motor pripada temperaturnoj klasi:

(a) T1

(b) T3

(c) T5

Odnos polazne i nominalne struje je IA/In = 6.8. Masa statorskog namotaja je m =5.4 kg. Pretpostaviti da se pri uko£enom rotoru statorski namotaj zagreva brºe od ka-veza rotora (stator-kriti£an motor).

Re²enje:Dozvoljeno zagrevanje motora pove¢ane bezbednosti ograni£eno je, s jedne strane:

• klasom izolacije namotaja statora, i s druge strane,

• grani£nom temperaturom pojedine temperaturne klase T1 T6, odnosno opasno²¢uod paljenja eksplozivne sme²e.Merodavna je niºa od ove dve temperature.

25

Vreme tE predstavlja vreme potrebno da polazna struja (IA) zagreje namotaj motora(u slu£aju da je kriti£na izolacija namotaja) ili bilo koji deo motora koji je u dodiru saokolinom (u slu£aju da je temperaturna klasa kriti£na), od temperature koju ima u radupri nominalnom optere¢enju (ϑn) pri najvi²oj o£ekivanoj temperaturi ambijenta (40 C)do grani£ne temperature za datu klasu izolacije ili temperaturnu klasu (ϑmax).

Zagrevanje motora pri uko£enom rotoru moºe se posmatrati kao adijabatski proces, tj.moºe se smatrati da je, usled velike snage gubitaka i relativno kratkog trajanja pojavekoja se posmatra, koli£ina toplote koja se odvodi sa statorskog namotaja prakti£no za-nemarljiva. Statorski namotaj, dakle, akumuli²e svu toplotnu energiju koja se u njemugeneri²e:

PCu,kdt = mcdθ

Brzina porasta temperature namotaja pri uko£enom rotoru je:

νθ =dθ

dt=

∆θ

∆t=PCu,kmc

Sa PCu,k ozna£eni su gubici u namotaju statora pri uko£enom rotoru. Ovi gubici se moguizra£unati na osnovu gubitaka u bakru u nominalnom reºimu koji su izra£unati u zadatku2.9 i poznatog odnosa polazne i nominalne struje:

PCu,k = PCu,n ·(IAIn

)2

= 17.6 kW

Sada se za brzinu porasta temperature pri uko£enom rotoru dobija:

νθ = 8.444 K/s

Postupak za prora£un vremena tE je slede¢i:

• Odrediti vrednost porasta temperature namotaja pri nominalnom optere¢enju zadatu θn (dozvoljeni porast temperature u trajnom radu u skladu sa klasom izola-cije i temperaturnom klasom; usvaja se manja vrednost) pri najvi²oj o£ekivanojtemperaturi ambijenta ϑa,max = 40 C;

• Odrediti grani£nu temperatura pri uko£enom rotoru za datu klasu izolacije/temperaturnuklasu ϑmax (usvaja se manja od ove dve vrednosti);

• Oduzimanjem temperature ambijenta (40 C) i nominalnog porasta temperaturedobija se maksimalno dozvoljeno pove¢anje temperature pri uko£enom rotoru (uodnosu na temperaturu pri nominalnom optere¢enju) ∆θk;

• Vreme tE odreuje se kao koli£nik vrednosti ∆θk i brzine porasta temperature priuko£enom rotoru νθ.

(a) Za klasu izolacije F i temperaturnu klasu T1, porast temperature namotaj u traj-nom radu ograni£en je klasom izolacije namotaja: θn = 90 C. Grani£na temperatura priuko£enom rotoru takoe je odreena klasom izolacije i iznosi ϑmax = 210 C. Na osnovuovih vrednosti dobija se maksimalno dozvoljeno pove¢anje temperature pri uko£enomrotoru:

∆θk = ϑmax − θn − ϑa,max = 210− 90− 40 = 80 C

26

Kona£no, vreme tE dobija se kao koli£nik dozvoljenog porasta i brzine porasta tempera-ture:

tT1E =

∆θkνθ

= 9.47 s

(b) Kod motora sa izolacijom klase F koji pripada temperaturnoj klasi T3, dozvoljeniporast temperature u trajnom radu denisana je klasom izolacije (manja vrednost) ijednaka je, kao i u prethodnom primeru, 90 C. Grani£na vrednost temperature pri uko-£enom rotoru je, meutim, odreena temperaturnom klasom i jednaka je ϑT3

max = 200 C.Ostatak postupka je identi£an kao u prethodnom primeru. Vreme tE ima vrednost:

tT3E = 8.29 s

(c) Kod motora sa izolacijom klase F koji pripada temperaturnoj klasi T5, obe vredno-sti temperature ograni£ene su temperaturnom klasom. Dozvoljeni porast temperature utrajnom radu jednak je θn = 60 C. Grani£na temperatura ima vrednost ϑT5

max = 100 C.Na osnovu ovih vrednosti, dobija se da je dozvoljeno pove¢anje temperature pri uko£enomrotoru ∆θk = 0 → tT5

E = 0 tj. motor ne moºe da izdrºi ni kratkotrajno preoptere¢enje(ta£nije, motor moºe da izdrºi preoptere¢enje, ali postoji opasnost od paljenja eksplozivnesme²e).

U svim razmatranim slu£ajevima usvojeno je da je nominalna snaga motora ona pri kojojmotor dostiºe maksimalnu dozvoljenu vrednost temperature. O£igledno je da je kodExe motora u pojedinim situacijama poºeljno, £ak i neophodno, raditi sa optere¢enjimamanjim od nominalnog na ra£un slabijeg iskori²¢enja motora (derating) kako bi se smanjiorizik od eksplozije.

Vi²e detalja o postupku odreivanja vremena tE, kao i tabele sa grani£nim vrednostimatemperatura za pojedine klase izolacije/temperaturne klase, potraºiti u monograji Asin-hroni motori u protiveksplozivnoj za²titi "pove¢ana bezbednost".

Zadatak 3.2: Trofazni asinhroni motor sa kaveznim rotorom ima slede¢e nominalne po-datke:

Pn = 55 kW, Un = 400 V, sprega Y, fn = 50 Hz, cosφn = 0.86, ηn = 0.9

Motor je priklju£en na mreºni napon 3x400 V, 50 Hz. Usled kvara na radnoj ma²ini,dolazi do zaustavljanja rotora. Poznati su slede¢i parametri zamenske ²eme motora:

Rs = 0.06 Ω, Xσs = 0.17 Ω, R′r = 0.17 Ω, X ′σr = 0.24 Ω

Odrediti:

(a) Kolika je vrednost struje pri uko£enom rotoru i koliko je puta ta vrednost ve¢aod nominalne vrednosti struje? Koliki su gubici u statorskom namotaju pri jedini£nomklizanju?

(b) Odrediti maksimalnu vrednost temperature koju dostiºe namotaj statora pri uko-£enom rotoru ako se zna da za²titni ureaj (bimetal) isklju£uje motor sa mreºe tr = 20 snakon nastanka kvara. Masa statorskog namotaja je 22.9 kg. Temperatura ambijenta(rashladnog sredstva) je ϑa = 25 C. Pretpostaviti adijabatsko zagrevanje statorskognamotaja. Da li je za²tita ekasno reagovala ako se zna da izolacija namotaja pripadaklasi F?

27

(c) Da li primenjena za²tita zadovoljava sa aspekta vremena tE? Vreme reagovanjaza²tite od 20 s odgovara reagovanju iz hladnog stanja.

NAPOMENA: Vrednosti rotorskih parametara date su za klizanje s = 1.

Re²enje:

(a) Struja pri uko£enom rotoru moºe se dobiti na osnovu zamenske ²eme asinhronogmotora za s = 1:

IA =Un/√

3√(Rs +R′r)

2 + (Xσs +X ′σr)2

= 489.3 A

Nominalna struja motora moºe se izra£unati pomo¢u podataka sa natpisne plo£ice mo-tora:

In =Pn√

3Unηn cosφn= 102.57 A

Odnos polazne i nominalne struje iznosi:

IAIn

= 4.77

Gubici u bakru statora pri uko£enom rotoru (s = 1) jednaki su:

PCu,k = 3 ·Rs · I2A = 43.1 kW

(b) Izraz za adijabatsko zagrevanje namotaja statora pri uko£enom rotoru dat je uprethodnom zadatku. Brzina porasta temperature iznosi:

νθ =PCu,kmc

= 4.88 K/s

Temperatura namotaja u trenutku reagovanja za²tite tr = 20 s ima vrednost:

ϑCu,s(t = tr) = ϑa + νθ · tr = 122.6 C

Za²tita je ekasna (ϑFmax = 210 C).

(c) Vreme tE se odreuje primenom postupka opisanog u prethodnom zadatku. ZaExe motor klase izolacije F, θn = 90 C, ϑmax = 210 C, ϑa = 40 C. Vreme tE se dobijaiz izraza:

tE =∆θkνθ

= 16.4 s

Kako je tr > tE, primenjena za²tita ne zadovoljava sa aspekta za²tite od uko£enogrotora. Nominalnu struju bimetala je potrebno podesiti na manju vrednost kako bi sevreme reagovanja smanjilo ispod vrednosti tE.

28

Zadatak 3.3: Posmatra se asinhroni motor iz prethodnog zadatka. Vremenska kon-stanta zagrevanja motora iznosi τ = 20 min, a vremenska konstanta hlaenja τh = 40 min.Ma²ina je ²ti¢ena ureajem £ija se trujno-vremenska karakteristika moºe aproksimiratina slede¢i na£in:

t =

7750

I − In, I > In

∞ , I ≤ In

Da li je motor adekvatno za²ti¢en u slede¢im radnim reºimima:

(a) Intermitentni reºim sa dugim pauzama (S2), pri £emu je trajanje ciklusa tc = 3 h. Uintervalu 0 . . . t1 = 30 min, motor je optere¢en tako da je maksimalni porast temperaturejednak grani£no dozvoljenom za klasu izolacije F.

(b) Sporopromenljiv intermitentni reºim sa kratkim pauzama (S3(a)), pri £emu je tra-janje ciklusa tc = 1 h. U intervalu 0 . . . t1 = 20 min motor je optere¢en, a u preostalomdelu ciklusa je isklju£en sa napajanja. Maksimalni porast temperature posle velikog brojaciklusa ve¢i je za 30% od grani£no dozvoljenog za klasu izolacije F.

NAPOMENA: U oba slu£aja smatrati da je vremenska za²titnog ureaja dovoljno mala,te da se on u toku pauze ohladi na temperaturu ambijenta.

Re²enje:

(a) Kako je maksimalni porast temperature jednak dozvoljenom, za²tita ne bi trebaloda odreaguje jer bi to dovelo do nedovoljnog iskori²¢enja motora. Maksimalna tempera-tura motora u reºimu S2 data je izrazom:

θmax = 90 C = RthP(a)γ

(1− e−t1/τ

)Vrednost termi£kog otpora Rth nije poznata, ali se vrednost gubitaka P

(a)γ moºe odrediti

ako se usvoji razumna pretpostavka da je porast temperature ma²ine u trajnom radu prinominalnom optere¢enu jednak maksimalno dozvoljenom. Tada se moºe postaviti slede¢arelacija:

RthP(a)γ

(1− e−t1/τ

)=RthPCu,n =Rth · 3RsI

2n

Uz zanemarenje svih gubitaka osim onih u bakru statora, ima se da je P (a)γ = 3 · RsI

2(a),

pa je efektivna vrednost struje intermitentnog optere¢enja pri kojoj se ima maksimalnodozvoljeni porast temperature:

I(a) =In√

1− e−t1/τ= 116.38A

Vreme reagovanja za²tite pri ovoj vrednosti struje je:

t(a)r =

7750

I(a) − In= 561 s ≈ 9.35 min

Kako je t(a)r < t1, primenjena za²tita nije adekvatna jer ne omogu¢uje maksimalno

iskori²¢enje motora u ovom reºimu.

29

(b) Maksimalni porast temperature je ve¢i od dozvoljenog, tako da bi za²tita u ovomslu£aju morala da odreaguje i isklju£i motor pre prema²ivanja grani£ne temperature.Izraz za maksimalni porast temperature motora pri sporopromenljivom intermitentnomoptere¢enju (S3(a)) izveden je u zadatku 2.9:

θ(b)max =

RthP(b)γ

(1− e−

t1τ

)1− e−

(tcτh

+t1τ ′

)

gde je τ ′ = ττhτh−τ

= 40 min.Sli£nim postupkom kao pod (a), dolazi se do efektivne vrednosti struje motora pri kojojse ima zadati porast temperature:

I(b) = In ·

√√√√√1.3

(1− e−

(tcτh

+t1τ ′

))1− e−

t1τ

= 136.78 A

Pri ovoj vrednosti struje, za²tita reaguje za t(b)r = 226.5 s ≈ 3.78 min .Za²tita ¢e svakako reagovati za bilo koju struju ve¢u od nominalne, meutim, postavljase pitanje da li je reagovanje za²tite dovoljno brzo da spre£i pregrevanje namotaja. Kakobi se odgovorilo na ovo pitanje, neophodno je utvrditi u kom trenutku u toku intervalat1 namotaj dostiºe grani£nu temperaturu. Treba po¢i od jedna£ine zagrevanja:

θ(t) = θ0 +(RthP

(b)γ − θ0

) (1− e−t/τ

)i prona¢i trenutak tgr u kojem je θ(t) = 90 C. Da bi se to moglo odrediti, neophodno jeizra£unati temperaturu θ0, koja se moºe odrediti iz jedna£ine hlaenja:

θ0 = θ(b)maxe

−(tc−t1)/τh ≈ 43 C

Iz jedna£ine zagrevanja i uslova θ(tgr) = θgr = 90 C sledi:

tgr = −τ · ln

(1− θgr − θ0

RthP(b)γ − θ0

)

Potrebno je izra£unati vrednost RthP(b)γ :

RthP(b)γ =

I2(b)

I2n

·RthPCu,n︸ ︷︷ ︸θgr=90 C

= 160 C

Vremenski trenutak u kom namotaj dostiºe grani£nu temperaturu klase izolacije F:

tgr = 616 s ≈ 10.3 min

Kako je t(b)r < tgr, izabrani relej jeste adekvatan kao za²tita od preoptere¢enja u ana-liziranom reºimu. Meutim, s obzirom na to da je vreme reagovanja releja znatno kra¢eod grani£nog vremena, postavlja se pitanje da li bi za²titni ureaj neselektivno reago-vao u sli£nim reºimima sa manjim optere¢enjem, kada nema opasnosti od pregrevanjanamotaja.

30

Zadatak 3.4: Asinhroni motor je izveden sa stepenom za²tite IP 44 (zatvorena kon-strukcija) i ²titi se direktnom termi£kom za²titom, pomo¢u termodava£a ugraenog unamotaj. Nominalna temperatura aktiviranja termodava£a je TNF = 160 C.

(a) Ako se zna da je tolerancija temperature aktiviranja dava£a ±5 C u odnosu naTNF, odrediti dozvoljeni opseg razlike izmeu temperature na mestu dava£a i srednjetemperature namotaja u kom je za²tita od preoptere¢enja pouzdana i selektivna.

(b) Usled postojanja termi£kog otpora izmeu dava£a i namotaja, temperatura dava£apri brzim preoptere¢enjima (uko£en rotor) kasni za temperaturom namotaja na mestuugradnje dava£a za ∆t = 8 s. Da li ¢e termodava£ uspe²no za²tititi namotaj u reºimuuko£enog rotora ako je brzina porasta temperature na mestu ugradnje dava£a νϑ = 5 K/s,pri gustini polazne struje J = 30 A/mm2?

(c) Kako glasi odgovor na pitanje (b) ako je gustina polazne struje J = 50 A/mm2?

Re²enje:

(a) Temperatura reagovanja dava£a treba da bude tako izabrana da on ne reagujeu nominalnom radnom reºimu, kao ni pri nepovoljnim, ali dozvoljenim, radnim uslo-vima. Iz ovog uslova proisti£e donja granica temperature reagovanja ϑn,min. S drugestrane, temperaturna za²tita se mora aktivirati ako namotaj dostigne temperaturu £ijeje dugotrajno dejstvo opasno po vek trajanja izolacije (ili prema²uje grani£nu vrednosttemperature temperaturne klase). Iz tog uslova proizilazi gornja granica temperaturereagovanja ϑn,maxZa donju granicu temperature reagovanja u ve¢ini slu£ajeva se moºe usvojiti maksimalnadozvoljena vrednost srednje temperature namotaja u trajnom radu. Za klasu izolacije Fta temperatura je θmax = 140 C. Usvaja se, dakle, ϑn,min = 140 C. Za gornju granicutemperature reagovanja usvaja se grani£na srednja temperatura namotaja pri sporompreoptere¢enju, θn,min = θ′max = 170 C.Termodava£ obi£no nije postavljen tako da meri srednju temperaturu namotaja, tako dapostoji odreeno odstupanje izmeu srednje i merene temperature. Osim toga, vrednostTNF varira u opsegu ±5 C oko nominalne vrednosti. U slu£aju da je odstupanje ta-kvo da je stvarna vrednost temperature reagovanja za²tite TNF− 5 C, postoji opasnostda dava£ reaguje kada je temperatura namotaja manja od ϑn,min. Sli£no tome, ako jestvarna vrednost temperature reagovanja TNF+5 C, moºe se desiti da za²tita ne odrea-guje £ak i pri temperaturama ve¢im od ϑn,max. Matemati£ki se ovo formuli²e kroz slede¢enejednakosti:

TNF− 5 C ≥ ϑn,min + (ϑ′t − θ′)TNF + 5 C ≤ ϑn,max + (ϑ′t − θ′)

Prethodne dve nejednakosti mogu se sumirati u jednu:

ϑn,min + (ϑ′t − θ′) + 5 C ≤ TNF ≤ ϑn,min + (ϑ′t − θ′)− 5 C

Dobijena nejednakost daje opseg vrednosti TNF koje se mogu izabrati kako bi se uspe²no²titio namotaj odreene klase izolacije, pod uslovom da je poznata razlika temperaturedava£a i srednje temperature namotaja.Gornje dve nejednakosti se mogu grupisati i na drugi na£in:

TNF + 5 C− ϑn,max ≥ ϑ′t − θ′ ≥ TNF− 5 C− ϑn,min

31

Pomo¢u ove nejednakosti moºe se odrediti dozvoljeni opseg odstupanja temperature da-va£a od srednje temperature namotaja, tako da se obezbedi pouzdano i selektivno reago-vanje za²tite. U konkretnom slu£aju:

−5 C ≤ ϑ′t − θ′ ≤ 15 C

(b) Kao posledica termi£ke inercije dava£a i termi£kog otpora izmeu dava£a i namo-taja, temperatura dava£a je pri brzim preoptere¢enjima za ∆ϑ manja od temperaturenamotaja na mestu ugradnje. Ta razlika se izraºava u funkciji vremena ka²njenja i brzineporasta temperature na mestu dava£a:

∆ϑ = νϑ ·∆θ

Vreme ka²njenja je u principu konstantan parametar koji zavisi od kvaliteta termi£kogkontakta izmeu dava£a i namotaja i od termi£kog kapaciteta dava£a. Brzina porastatemperature je srazmerna kvadratu polazne struje (struje pri uko£enom rotoru).Zbog ka²njenja dava£a, temperatura namotaja na mestu ugradnje dava£a prema²i¢e po-de²enu temperaturu reagovanja za ∆ϑ. Kako temperatura reagovanja moºe da varira uodnosu na nominalnu vrednost, usvaja se da je temperatura reagovanja za²tite (dava£a)TNF+5. To je najkriti£niji slu£aj, jer tada namotaj dostiºe temperaturu:

ϑmax = TNF + 5 C + ∆ϑ

Za konkretan slu£aj koji se ovde razmatra, ima se da je ∆ϑ = 40K, pa je maksimalnatemperatura namotaja:

ϑ30max = 205 C

Ova vrednost je manja od maksimalno dozvoljene vrednosti temperature namotaja saizolacijom klase F pri brzom zagrevanju (225 C), tako da termi£ka za²tita zadovoljavau pogledu za²tite od uko£enog rotora.

(c) Kako je pokazano ranije, brzina porasta temperature pri adijabatskom zagrevanjusrazmerna je gubicima. Pri jedini£nom klizanju dominantni su gubici u bakru, tako dase gotovo bez gre²ke moºe napisati νϑ ∼ I2 ∼ J2. Odatle sledi da je brzina porastatemperature pri J = 50 A/mm2:

ν50ϑ = ν30

ϑ ·502

302= 13.89 K/s

Pod takvim okolnostima, na isti na£in kao i u prethodnom primeru, dobija se maksimalnatemperatura namotaja:

ϑ50max = 276.2 C

Kako je sada temperatura koju dostiºe namotaj ve¢a od 225 C, za²tita u ovom slu£ajune zadovoljava sa aspekta za²tite od uko£enog rotora.

NAPOMENA: U prethodnom zadatku je, mimo ranije usvojene notacije, sa θ ozna£a-vana srednja vrednost temperature. Ovakva notacija odnosi se samo na ovaj zadatak, iusvojena je radi jednostavnijeg zapisa.

32

Dodatak

Mehanizmi za prenos toplote

Prenos toplote javlja se uvek kada postoji temperaturna razlika unutar sistema. Tempe-rature u razli£itim delovima sistema se prirodno izjedna£avaju prenosom toplote od vi²eka niºoj temperaturi u skladu sa drugim zakonom termodinamike. Postoje tri mehanizmaza prenos toplote:

1. kondukcija,

2. konvekcija,

3. zra£enje.

Generisanje toplote u elektri£nim ma²inama nastaje kao posledica gubitaka u razli£itimdelovima ma²ine. U narednim poglavljima, bi¢e opisana sva tri navedena oblika prenosatoplote.

1) KondukcijaKondukcija predstavlja proces provoenja toplote kroz materijale, pri £emu se ne javljaprenos same materije. Proces prenosa toplote je direktna posledica uzajamnog dejstva£estica materije pri njihovim termi£kim kretanjima. Na slici 5a je ilustrovan mehanizamprovoenja toplote po jednoj osi.

Prema zakonu o provodenju toplote, poznatom kao Fourier -ov zakon, brzina prenosatoplote, po jedinici povrsine, proporcionalna je:

• negativnoj vrednosti gradijenta temperature, i

• koecijentu λ, koji se naziva koecijent termi£ke provodnosti, i zavisi od temperaturei vrste materijala.

Matemati£ka formulacija ovog zakona data je relacijom:

~q(x, y, z) = −λ∇ϑ(x, y, z) = −λ(∂ϑ

∂x~ix +

∂ϑ

∂y~iy +

∂ϑ

∂z~iz

)= qx~ix + qy~iy + qz~iz,

gde je ~q [W/m2] vektor gustine toplotnog uksa, ϑ [C] temperatura. Znakom u pret-hodnom izrazu formalizovana je intuitivno jasna zi£ka £injenica da se toplotna energijaprenosi iz ta£ke sa vi²om temperaturom prema ta£ki sa niºom temperaturom.

Fourier -ov zakon se moºe pojednostaviti za slu£aj kada se prenos toplote vr²i samo pojednoj dimenziji, i kada je presek materijala kroz koji se vr²i provoenje konstantan, kaona slici 5a. Kondukcija od ta£ke 1 do ta£ke 2 opisana je izrazom:

q =PthA

=λ · (ϑ2 − ϑ1)

l

gde su Pth termogeni gubici, koji predstavljaju izvore toplote, tj. ukupan toplotni ukskroz datu povr², A je povr²ina popre£nog preseka materijala kroz koji se provodi toplota,l je rastojanje izmeu ta£aka 1 i 2 i λ je speci£na termi£ka provodnost materijala. U

28

(a) (b)

Slika 5: Prenos toplote: (a) kondukcijom; (b) konvekcijom

termi£kim prora£unima £esto se koristi parametar Rth, koji se naziva termi£ka otpornosti dat je izrazom:

Rth =l

λA

Dati izraz vaºi za planaran problem, ali se moºe generalizovati i na sloºenije geometrije.Ve¢ina komponenata kod obrtnih ma²ina ima cilindri£nu geometriju, tako da je potrebnoprimeniti adekvatnu formu Fourier-ovog zakona. Fourier-ov zakon za cilindri£nu geome-triju, pod pretpostavkom da prenos toplote postoji samo u radijalnom pravcu, glasi:

qr =Pth2πrl

= −λdϑdr

=⇒ Pth = −2πlλ

(rdϑ

dr

),

gde je qr gustina radijalnog toplotnog uksa. Primer radijalnog provoenja toplote jeprenos toplote kroz izolaciju namotaja, pri £emu je Pth snaga gubitaka u provodniku.

Vaºno je napomenuti da sve prethodno date formule vaºe za slu£aj kada ne postoji ge-nerisanje toplote unutar samog materijala u kom se odvija provoenje toplote. Detaljnaanaliza problema u kojima postoji generisanje toplote unutar materijala prevazilazi obimovog kursa, pa ¢e u analizi takvih problema biti primenjena odgovaraju¢a upro²¢enja.

U tabeli 1 date su vrednosti speci£ne termi£ke provodnosti λ za razli£ite materijale.

Tabela 1: Vrednosti speci£ne toplotne provodnosti materijala koji se koriste u izradi

elektri£nih ma²ina

Materijal λ [W/(mK)]Vazduh na 20 oC/50 oC/100 oC, 1 bar 0.024/0.028/0.031Bakar 380Gvoºe 80

Feromagnetsko jezgroU smeru laminacije 20 . . . 60Normalno na laminaciju 0.5 . . . 1.2

PVC izolacioni materijal 0.2Epoksidne smole 1

2) KonvekcijaKonvekcija predstavlja prenos toplote sa zagrejane povr²ine rashladnom uidu koji jena niºoj temperaturi u odnosu na tu povr²inu. Preno²enje toplote se vr²i posredstvomkretanja £estica uida, pri £emu topliji delovi uida bivaju potisnuti prema hladnijimslojevima. Konvekcija zapravo predstavlja kombinovan efekat kondukcije kroz uid i

29

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

PR

OD

UC

ED

B

Y A

N A

UT

OD

ES

K E

DU

CA

TIO

NA

L P

RO

DU

CT

PRODUCED BY AN AUTODESK EDUCATIONAL PRODUCT

Slika 6: Gradijent temperature u okolini zagrejane povr²i pri prenosu toplote konvekcijom

strujanja uida. Gradijent temperature u okolini zagrejane povr²i S prikazan je na slici6. U neposrednoj blizini povr²ine S £estice uida su nepokretne, te se prenos toplote vr²iskoro isklju£ivo kondukcijom. Brzina strujanja uida raste sa udaljavanjem od povr²i, tekonvekcija po£inje da dominira. S obzirom na to da u neposrednoj blizini povr²i postojisamo kondukcija, gustina toplotnog uksa koji se prenosi sa povr²ine tela moºe da seizrazi preko Fourier -ovog zakona kao:

qs(x) = −λ ∂ϑ(x, y)

∂y

∣∣∣∣y→0

U inºenjerskim prora£unima je prakti£nije denisati koecijent prenosa toplote α(x),preko jedna£ine:

qs(x) = α(x) · (ϑs − ϑa),

gde je sa ϑa ozna£ena temperatura ambijenta. Dakle, koecijent prenosa toplote moºe seizraziti kao:

α(x) = −λ∂ϑ(x,y)∂y

∣∣∣y→0

ϑs − ϑaKoecijent prenosa toplote ima dimenziju [W/m2/K]. Ukupni toplotni uks koji se pre-nosi sa povr²ine S (tj. ukupna snaga kojom se odvodi toplota) moºe se izraziti kao:

Qs = αavS(ϑs − ϑa),

gde je αav srednja vrednost koecijenta preno²enja toplote, data izrazom:

αav =

∫ L

0

α(x)dx.

Treba imati u vidu da koecijent preno²enja predstavlja nelinearnu funkciju prirode ibrzine strujanja uida, stanja kontaktne povr²ine itd, zbog £ega je vrlo te²ko izraziti gaanaliti£ki. Za odreivanje koecijenta prenosa toplote koriste se empirijske formule kojene¢e biti obraivane ovde.

U slu£aju elektri£nih ma²ina, toplotni uks predstavlja snagu gubitaka u odreenom deluma²ine. Ekasnost hlaenja, tj. vrednost koecijenta prenosa toplote, zavisi od vrsterashladnog uida (voda, vazduh, ulje, vodonik...), brzine strujanja rashladnog uida,

30

temperature tela i uida, pritiska (ukoliko je rashladni uid gas), vrste materijala sa kogse odvodi toplota itd. Konvekcija sa povr²i A koja je zagrejana na temperaturu ϑ2 urashladni medijum koji je na temperaturi ϑ1 < ϑ2 (slika 5b) opisana je jedna£inom:

PthA

= α · (ϑ2 − ϑ1) = α ·∆ϑ,

pri £emu je sa α ozna£ena srednja vrednost koecijenta prenosa toplote (indeks av ¢eubudu¢e biti izostavljen, ali podrazumevan). Sve veli£ine u jedna£ini su ranije denisane.Kao i u slu£aju kondukcije, prenos toplote sa pojedinih delova ma²ine moºe se okarak-terisati pomo¢u ekvivalentne termi£ke otpornosti. Termi£ka otpornost za prenos toplotekonvekcijom ra£una se pomo¢u izraza:

Rth =1

αA

Konvekcija se moºe podeliti na prirodnu i prinudnu. Kod prirodne konvekcije, strujanjeuida (vazduha) se indukuje usled temperaturnog gradijenta, tj. razlike izmeu tempe-rature zagrejanog tela i rashladnog uida. Kod prinudne konvekcije, dodatno strujanjerashladnog uida se generi²e pomo¢u ventilatora ili pumpi, usled £ega se pobolj²avajuuslovi hlaenja, tj. pove¢ava koecijent prenosa toplote.

Tabela 2: Vrednosti koecijenta prenosa toplote α za hlaenje vazduhom

Na£in hlaenja, rashladna povr²ina α [W/(m2K)]Prirodno hlaenje (v = 0 . . . 0.5 m/s), nezavisno od rashladne povr²ine 8Forsirano hlaenje (v > 0.5 m/s), glatka metalna povr²ina 15 · v2/3Forsirano hlaenje (v > 0.5 m/s), izolovani namotaji 8 · v3/4

U tabeli 2 date su karakteristi£ne vrednosti koecijenta α za vazduh, za razli£ite tipovehlaenja. Sa v [m/s] je ozna£ena brzina strujanja rashladnog vazduha.

NAPOMENA 1: Pod temperaturom rashladnog sredstva ϑ1 podrazumeva se tempera-tura u ta£kama koje su dovoljno udaljene od povr²i A, tako da se u njima ne ose¢a uticajkonvekcije. U blizini zagrejane povr²i, temperatura rashladnog sredstva je vi²a od ϑ1.

NAPOMENA 2: Primetiti da u slu£aju kada je temperatura ϑ1 jednaka temperaturiambijenta (²to uglavnom jeste slu£aj), temperaturna razlika ∆ϑ odgovara nadtempera-turi (porastu temperature) θ.

3) Zra£enjeZra£enje predstavlja prenos toplote putem infracrvenih elektromagnetskih talasa, te neiziskuje postojanje medijuma za svoje odvijanje. Prenos toplote zra£enjem od zagrejane(T2) ka hladnoj (T1) povr²i opisan je Stefan-Boltzmann-ovim zakonom radijacije:

PthA

= εσ(T 42 − T 4

1

)uz napomenu da su temperature T1 i T2 date u Kelvinima (K). Parametar σ = 5.67 ·10−8 W/m2/K4 je Stefan-Boltzman-ova konstanta, a parametar ε je emisivnost materi-jala, £ija se vrednost za povr²inu elektri£nih ma²ina tipi£no kre¢e izmeu 0.7 i 0.9. Toplota

31

se kod elektri£nih ma²ina domintantno razmenjuje kondukcijom i konvekcijom. Prenostoplote zra£enjem je zna£ajan kada postoje jako velike temperaturne razlike izmeu po-vr²ine sa koje se odvodi toplota i ambijenta. Za tipi£ne vrednosti nadtemperature kodelektri£nih ma²ina (80..100 K) i temperaturu ambijenta T1 = 300 K (27 oC) i za ε = 0.9 ,zra£enje je ekvivalentno konvekciji pri α = 7 W/m2/K, ²to pribliºno odgovara vrednostikoja se ima za prirodnu konvekciju. U praksi se zra£enje £esto pridruºuje konvekciji, tako²to se izra£unava ekvivalentni koecijent prenosa toplote radijacijom:

αr[W/(m2K)

]= εσ(T1 + T2) · (T 2

1 + T 22 ),

pa je koli£ina toplote koja se odaje zra£enjem sa jedini£ne povr²ine:

PthA

= αr · (T2 − T1) ≡ αr · (ϑ2 − ϑ1).

Ukupna koli£ina toplote koja se sa jedini£ne povr²ine odaje konvekcijom i zra£enjem moºese izraziti kao:

P totth

A= (α + αr) · (ϑ2 − ϑ1) = αtot · (ϑ2 − ϑ1),

gde je αtot rezultantni koecijent prenosa toplote. Pri tome, treba imati u vidu da ko-ecijent prenosa toplote zra£enjem αr zavisi od temperature povr²ine (T2), kao i odtemperature ambijenta (T1).

Zra£enje zavisi od stanja povr²ine i od vrste materijala. Radi pospe²ivanja radijacije,ku¢i²te elektri£nih ma²ina se £esto boji u crno ili sivo.

Akumulacija toplote i diferencijalna jedna£ina zagrevanja

Prilikom zagrevanja tela mase m, jedan deo generisane toplote se odvodi sa tela kon-dukcijom, konvekcijom i/ili zra£enjem, a jedan deo se akumulira unutar tela. Proceszagrevanja moºe se opisati slede¢om jedna£inom:

Pγ dt︸ ︷︷ ︸Generisana toplota

= mcd(ϑ2 − ϑ1)︸ ︷︷ ︸Akumulisana toplota

+Gth(ϑ2 − ϑ1) dt︸ ︷︷ ︸Odata toplota

gde je sa Gth ozna£ena termi£ka provodnost. Primetiti da je data jedna£ina zapravoposledica zakona o odrºanju energije. Iz ovog izraza sledi dobro poznata diferencijalnajedna£ina zagrevanja homogenog tela:

Pγ Rth = mcRth d∆ϑ+ ∆ϑ = τ d∆ϑ+ ∆ϑ

Sa τ [s] = mcRth ozna£ena je termi£ka vremenska konstanta tela, koja ukazuje na di-namiku promene temperature sistema. Veli£ina mc je toplotni kapacitet tela mase m,pri £emu je sa c [Ws/(kg · K)] ozna£en speci£ni toplotni kapacitet, koji zavisi od vrstematerijala. U tabeli 3 date su karakteristi£ne vrednosti speci£nog toplotnog kapacitetaza materijale koji se koriste kod elektri£nih ma²ina.

NAPOMENA 1: Kod elektri£nih ma²ina ϑ2 odgovara temperaturi nekog dela ma²ine(npr. namotaja), dok ϑ1 predstavlja temperaturu ambijenta. U tom slu£aju razlikatemperatura ∆ϑ ozna£ava se sa θ i naziva porast temperature ili nadtemperatura ma²ineili nekog njenog dela (u odnosu na temperaturu ambijenta).

32

Tabela 3: Speci£ni toplotni kapacitet za materijale prisutne kod elektri£nih ma²ina

MaterijalSpeci£ni toplotni kapacitet Speci£na teºina

c [Ws/(kgK)] γ [kg/m3]Vazduh (konst. pritisak) 1009 1.226 (pri 25 oC)Bakar 388.5 8900Gvoºe 502 7850Epoksidne smole 1320 . . . 1450 1500

NAPOMENA 2: Primetiti da se termi£ka vremenska konstanta smanjuje sa smanjenjemtermi£ke otpornosti, ²to zna£i da se ma²ine sa boljim hlaenjem (ve¢e α, manje Rth) brºezagrevaju od ma²ina sa slabijim hlaenjem. U prvi mah moºe delovati da su termi£kiuslovi rada ma²ine nepovoljniji pri intenzivnijem hlaenju. Meutim, treba imati u viduda je krajnji porast temperature pri konstantnoj vrednosti gubitaka θmax = Pγ Rth ma-nji kada je termi£ka otpornost manja, tako da je rezultantni efekat forsiranja hlaenjapovoljan sa termi£kog aspekta.

Termi£ko modelovanje obrtnih elektri£nih ma²ina

U ve¢ini slu£ajeva, asinhroni motor se, jednostavnosti radi, posmatra kao homogeno telo(analizira se samo namotaj ma²ine, pri £emu se gvozdeno jezgro posmatra kao bekona£noprovodno u termi£kom smislu). Jasno je, meutim, da u realnoj ma²ini postoje padovitemperature u svim delovima ma²ine, kao i da su izvori toplote (gubici) locirani narazli£itim mestima u ma²ini. Zbog toga je za detaljnije analize neophodno primenitisloºeniji model, koji ¢e uvaºiti navedene efekte.

Termi£ki model je samo jedna reprezentacija veza koja postoje izmeu snage gubitaka upojedinim delovima ma²ine i temperatura (promenljivih stanja sistema) u tim delovima,vode¢i racuna o geometriji ma²ine i uslovima prenosa toplote. Modelovanje termi£kihprocesa se izvodi u dve faze:

1. Kvalitativna etapa, u kojoj se odreuje op²ta forma modela u zavisnosti od na£inaprenosa toplote, ciji su op²ti principi izloºeni u drugom poglavlju. U ovoj etapi seformuli²u hipoteze na bazi kojih se mogu pojednostaviti jedna£ine prenosa toplote,deni²e na£in podele na elementarne blokove i speciciraju uslovi kontinuiteta nanjihovim granicama;

2. Kvantitativna etapa, u kojoj se odreuju vrednosti koecijenata u jedna£inama prenosatoplote i grani£nim uslovima na razdvojnim povr²inama. Kada su termi£ki parame-tri dati u tehni£koj dokumentaciji, direktno se mogu koristiti odgovaraju¢e relacijeza prenos toplote. U suprotnom, mora se vr²iti identikacija parametara na osnovudodatnih ogleda.

Op²ta forma termi£kog modela je prikazana na slici 7. Proces identikacije nepozna-tih parametara termi£kog modela je problem speci£an za datu konstrukciju motora.Vrednosti parametara se biraju tako da se dobiju najbolja mogu¢a slaganja izmeu ek-sperimentalnih i teorijskih rezultata za karakteristi£ne radne uslove.

Prenos toplote u unutra²njosti obrtnih elektri£nih ma²ina se prvenstveno odvija putemprovoenja. Ukoliko bi postojali i rashladni kanali, zna£ajan deo razvijene toplote bi

33

se odvodio konvekcijom. Samim tim, i re²avanje jedna£ina koje opisuju ova dva nacinapreno²enja toplote je od osnovnog zna£aja za termi£ko modelovanje. Razmena toplotezra£enjem i konvekcijom se pojavljuje kao uslov kontinuiteta toplotnog uksa na grani£-nim povr²inama £vrstog tela i rashladnog uida.

Konvencionalan pristup modelovanju obrtne elektri£ne ma²ine podrazumeva formira-nje ekvivalentnog termi£kog kola. Volumen ma²ine se deli na elemente (blokove) kojise mogu smatrati homogenim u termi£kom smislu. To zna£i da elementi imaju pribliºnouniformne uslove generisanja toplote i pribliºno uniformne uslove hlaenja na spolja²njimpovr²inama, kao i da je temperatura unutar elementa uniformna, te da se element moºepredstaviti svojom srednjom temperaturom. Elementi su meusobno povezani termi£kimotporima, preko kojih je ostvaren prenos toplote izmeu njih i prema rashladnom me-dijumu. Pored toga, svaki element je okarakterisan i koli£inom toplote koja se u njemugeneri²e, i termi£kim kapacitetom koji odgovara materijalu od kog je element izraen imasi elementa. Upro²¢eni presek asinhrone ma²ine prikazan je na slici 8. Na ovoj slici sunazna£eni blokovi koji ¢e biti modelovani u termi£koj ²emi jezgro statora, jezgro rotora,ºlebni namotaj statora i rotora, i bo£ne veze namotaja statora i rotora.

Na slici 8 nazna£eni su i gubici u pojedinim delovima motora:

• Gubici u bakru statora i rotora, PCu,s i PCu,r

• Gubici u gvoºu statora i rotora, PFe,s i PFe,r

• Gubici u bo£nim vezama statorskog i rotorskog namotaja, Pb,s i Pb,r, jednako ras-podeljeni na obe strane namotaja

Na slici 9 predstavljen je termi£ki model motora sa slike 8 u vidu ekvivalentnog elektri£-nog kola. Pri tome, gubici su predstavljeni distribuiranim strujnim izvorima, a toplotneprovodnosti (otpornosti) predstavljene su elektri£nim otporima. Temperature su ekvi-valent naponima u elektri£nom kolu, a snage gubitaka i toplotni protok su ekvivalentnistrujama. Termi£ki model sadrºi slede¢e termi£ke otpornosti:

• Toplotna otpornost statorskog i rotorskog namotaja izmeu provodnika u ºlebovimai bo£nih veza Rc,s i Rc,r (kondukcija)

• Toplotna otpornost izolacije izmeu provodnika i jezgra statora i rotora Ri,s i Ri,r

(kondukcija)

Slika 7: Op²ta forma termi£kog modela

34

Slika 8: Popre£ni presek motora sa nazna£enim gubicima

Slika 9: Termi£ka ekvivalentna ²ema asinhronog motora sa nazna£enim gubicima i

temperaturama pojedinih segmenata

• Toplotna otpornost izolacije izmeu provodnika i jezgra statora i rotora Ri,s i Ri,r

(kondukcija)

35

• Toplotna otpornost izmeu jezgra statora i rotora Rδ (kondukcija)

• Toplotna otpornost izmeu bo£nih veza i ambijenta Rb (konvekcija)

• Toplotna otpornost izmeu gvoºa statora i rotora i ambijenta RFe,s i RFe,r (kon-vekcija)

Svaki od elemenata ²eme (namotaj i jezgro statora i rotora, bo£ne veze) tretira se, utermi£kom smislu, kao homogeno telo. Za potrebe dinami£ke analize termi£kih procesa,ovim elementima treba pridruºiti i odgovaraju¢e termi£ke kapacitivnosti, koje su u za-menskoj ²emi predstavljene kao ekvivalentne elektri£ne kapacitivnosti (indeksirane na istina£in kao gubici).

Na slici 9, masa (nulti potencijal) predstavlja ambijent (θa = 0). Stoga, sve temperatureu ²emi predstavljaju poraste temperatura u odnosu na temperaturu ambijenta. Prikazana²ema moºe se koristiti za prora£un vremenske promene temperatura delova ma²ine. Uslu£aju da se vr²i prora£un stacionarnih termi£kih stanja, treba eliminisati kapacitivnostiiz ²eme. Za potrebe adijabatskog zagrevanja, tj. kada se ma²ina ili neki njen deo jakobrzo zagreva pa se moºe zanemariti prenos toplote u posmatranom intervalu (npr. kratakspoj asinhronog motora), termi£ke otpornosti treba zameniti otvorenim vezama (Rth →∞). Termi£ki model se moºe uprostiti uvoenjem odreenih pretpostavki, koje mogubiti manje ili vi²e opravdane: zanemarivanje gubitaka u gvoºu rotora, zanemarivanjekonvekcije toplote na bo£nim vezama, zanemarivanje kondukcije kroz vazdu²ni zazor itd.

Karakteristi£ni reºimi rada asinhronog motora

U zavisnosti od proizvodnog procesa u kom se koristi, od motora se moºe zahtevati dugo-trajan rad sa konstantnim optere¢enjem (kontinualan reºim) ili rad sa periodi£nim opte-re¢ivanjem i rastere¢ivanjem (intermitentni reºim). Intermitentni reºim se, u zavisnostiod dinamike promene optere¢enja, moºe tretirati kao brzopromenljiv ili sporopromenljivreºim. U kontinualnom reºimu, nakon dovoljno dugog vremena (t > 5 · τ), ma²ina ulaziu ustaljeno stanje (temperature u svim U ve¢ini prakti£nih situacija, cilj je odreivanjemaksimalne temperature u ustaljenom stanju, pri £emu varijacije temperature koje pret-hode tom stanju nisu od interesa. Zbog toga se dati izraz moºe prilagoditi razli£itimradnim reºimima motora, kako bi se na jednostavan na£in, u jednom koraku, odredilamaksimalna temperatura namotaja u ustaljenom stanju. U osnovi, razmatraju se trislu£aja denisana standardom IEC 60034-1 (postoje i drugi tipovi radnih ciklusa, ali oniovde ne¢e biti razmatrani):

1) Reºim sa konstantnim optere¢enjem (S1)Moºe se smatrati da ma²ina radi sa konstantnom snagom gubitaka Pγ ako je snaga gubi-taka konstantna u intervalu t ≥ 5τ . Po isteku ovog intervala, a u skladu sa ranije datimizrazom za porast temperature, temperatura dostiºe ustaljenu vrednost jednaku:

θmax = RthPγ

Ovaj izraz vaºi za slu£aj kada ma²ina radi sa promenljivim optere¢enjem, pri £emu jetrajanje optere¢enja zna£ajno duºe od termi£ke vremenske konstante. Porast temperature

36

za slu£aj konstantnog optere¢enja prikazan je na slici 10.

Slika 10: Porast temperature motora pri konstantnom optere¢enju (S1)

2) Intermitentni reºim sa dugim pauzama (S2) U ovom reºimu motor se naizme-ni£no optere¢uje i rastere¢uje, pri £emu trajanje reºima sa optere¢enjem (t1) nije dovoljnodugo da motor ue u ustaljeno termi£ko stanje. Trajanje pauze tc− t1 (gde je tc trajanjejednog radnog ciklusa) je dovoljno dugo da temperatura opadne na vrednost tempera-ture ambijenta, tj. da nadtemperatura ma²ine opadne na nulu (ili neku veoma malovrednost). Ovo zna£i da trajanje pauze mora biti oko 4 . . . 5 · τh. Sa τh ozna£ena jevremenska konstanta hlaenja, koja u op²tem slu£aju ne mora biti jednaka vremenskojkonstanti zagrevanja τ . Porast temperature motora u reºimu S2 prikazan je na slici 11.Maksimalni porast temperature u reºimu S2 dobija se sasvim jednostavno iz poznatogizraza:

θ(t) = θ0e−t/τh +RthP

S2γ

(1− e−t/τ

)kada se uvrsti t = t1 i θ0 = 0:

θmax = RthPS2γ

(1− e−t1/τ

)3) Intermitentni reºim sa kratkim pauzama (S3)U ovom reºimu motor se naizmeni£no optere¢uje i rastere¢uje, pri £emu je trajanje pauzanedovoljno dugo da temperatura motora opadne na vrednost temperature ambijenta.Razlikuju se, u osnovi, dva slu£aja sporopromenljivo i brzopromenljivo optere¢enje.Ovi reºimi se su²tinski ne razlikuju, ali se u zavisnosti od toga koji je slu£aj u pitanjurazlikuje pristup za odreivanje maksimalne temperature.

37

Slika 11: Porast temperature motora pri intermitentnom optere¢enju sa dugim pauzama (S2)

(a) Sporopromenljivo optere¢enjeDijagram snage gubitaka i temperature u reºimu sa sporopromenljivim optere¢enjem i sakratkim pauzama prikazani su na slici 12. Za radni ciklus prikazan na slici 12, maksimalniporast temperature u ustaljenom stanju moºe se odrediti ako se poe od izraza za porasttemperature motora u intervalu t1 (pri vrednosti gubitaka Pmax

γ ):

θmax = θmin +(RthP

maxγ − θmin

)·(1− e−t1/τ

)i izraza za opadanje temperature u intervalu tc − t1 (pri vrednosti gubitaka Pmin

γ ):

θmin = θmax +(RthP

minγ − θmax

)·(1− e−(tc−t1)/τ

)Eliminacijom θmin iz prethodnih izraza, nakon nekoliko jednostavnih matemati£kih mani-pulacija, dolazi se do slede¢eg izraza za maksimalni porast temperature u intermitentnomreºimu rada u slu£aju kada je tc ∼ τ :

θmax = Rth ·

[Pminγ +

(Pmaxγ − Pmin

γ

) (1− e−t1/τ

)1− e−tc/τ

]= Rth ·

(Pminγ + ∆Pγ ·

1− e−t1/τ

1− e−tc/τ

)Ovakav izraz omogu¢ava jednokora£no izra£unavanje maksimalnog porasta temperatureza intermitentni reºim sa dva radna stanja. Ovaj izraz se, uz odreene modikacije, moºeprilagoditi i nekim sloºenijim ciklusima. Zanimljivo je primetiti da se u slu£aju kada jePminγ = 0, tj. kada se motor potpuno isklju£uje sa napajanja u intervalu tc−t1, prethodni

izraz svodi na:

θmax =RthP

maxγ

(1− e−t1/τ

)1− e−tc/τ

38

Slika 12: Porast temperature motora u intermitentnom reºimu S3, pri sporopromenljivom

optere¢enju

(b) Brzopromenljivo optere¢enjeU slu£aju kada su varijacije optere¢enja znatno brºe od termi£ke vremenske konstante,tj. kada je trajanje ciklusa promene optere¢enja kra¢e od τ/5, moºe se smatrati da su tevarijacije ltrirane velikom termi£kom vremenskom konstantom. U takvom slu£aju, mo-gu¢e je linearizovati promenu temperature u pojedinim on/o intervalima. Maksimalniporast temperature u ustaljenom stanju tada se ra£una pomo¢u srednje snage gubitakau jednom ciklusu:

θmax = RthPavgγ = Rth ·

Pγ1t1 + Pγ2t2 + · · ·+ Pγntnt1 + t2 + · · ·+ tn

= Rth ·∑n

k=0 Pγktktc

gde je sa tc ozna£eno trajanje jednog ciklusa promene optere¢enja. Dijagrami snagegubitaka i temperature u ovakvom reºimu rada prikazani su na slici 13.

NAPOMENA: Treba imati u vidu da su oba izraza izvedena uz pretpostavku da suvremenska konstanta zagrevanja i hlaenja meusobno jednake. Ovo nije slu£aj u situ-acijama kada motor ima ventilator montiran na vratilu i u intervalu t1 . . . tc je isklju£ensa napajanja i zaustavljen.

Na slikama 13 i 12, vrednost temperature ozna£ena kao egzaktna prora£unata je sastvarnim (promenljivim) gubicima, dok je pribliºna vrednost prora£unata sa srednjomvredno²¢u gubitaka. Uo£iti na slici 12 kolika se gre²ka (∼ 20%) kada se temperaturaestimira sa srednjom vredno²¢u snage gubitaka. Pri brzopromenljivom optere¢enju tagre²ka je svega par procenata, ²to je prihvatljivo sa prakti£nog aspekta.

39

Slika 13: Porast temperature motora u intermitentnom reºimu S3 pri brzopromenljivom

optere¢enju

Literatura

[1] Milo² Petrovi¢, Ma²ine 1 (skripta), Elektrotehni£ki fakultet u Beogradu, Beograd,1972.

[2] Lidija V. Pavlovi¢, Zoran M. Lazarevi¢, Asinhroni motori u protiveksplozivnoj za²titipove¢ana bezbednost, ISBN: 978-86-7466-309-7, Akademska misao, Beograd, 2008.

[3] Frank P. Incropera, David P. DeWitt, Theodore L. Bergman, Adrienne S. Lavine,Fundamentals of Heat and Mass Transfer, ISBN: 978-0-471-45728-2, John Wiley &Sons, USA, 2007.

[4] Commission IE, Rotating electrical machines - Part 1: Rating and performance. De-termination of Winding Temperature, 2004.

40