Vorlesungsmanuskript zur

Funktionentheorie

Werner Balser

Institut für Angewandte Analysis

Sommersemester 2010

Bücher zur Vorlesung

[1] L. V. Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, dritte Au., 1978. An intro-duction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure andApplied Mathematics.

[2] H. Behnke und F. Sommer, Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränder-lichen., Zweite veränderte Auage. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 77,Springer-Verlag, Berlin, 1962.

[3] J. B. Conway, Functions of one complex variable, vol. 11 of Graduate Texts in Mathematics,Springer-Verlag, New York, zweite Au., 1978.

[4] , Functions of one complex variable. II, vol. 159 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1995.

[5] N. Dunford und J. T. Schwartz, Linear Operators. I. General Theory, With the assistance ofW. G. Bade and R. G. Bartle. Pure and Applied Mathematics, Vol. 7, Interscience Publishers, Inc.,New York, 1958. 24

[6] O. Forster, Riemannsche Flächen, Springer-Verlag, Berlin, 1977. Heidelberger Taschenbücher, Band184. 51

[7] , Lectures on Riemann surfaces, vol. 81 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag,New York, 1991.

[8] E. Freitag und R. Busam, Funktionentheorie, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[9] M. Haase, The functional calculus for sectorial operators, vol. 169 of Operator Theory: Advancesand Applications, Birkhäuser Verlag, Basel, 2006. 24

[10] A. Hurwitz, Vorlesungen über allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, Springer,Berlin, 1999.

[11] K. Knopp, Theory of Functions. I. Elements of the General Theory of Analytic Functions, DoverPublications, New York, 1945.

[12] , Theory of Functions. II. Applications and Continuation of the General Theory, Dover Publi-cations, New York, 1947.

[13] , Problem Book in the Theory of Functions. Volume 1. Problems in the Elementary Theory ofFunctions, Dover Publications Inc., New York, N. Y., 1948. Translated by Lipman Bers.

[14] , Elements of the theory of functions, Dover Publications Inc., New York, 1953. Translated byFrederick Bagemihl.

[15] , Problem book in the theory of functions. Vol. II. Problems in the advanced theory of functions,Dover Publications Inc., New York, N. Y., 1953. Translated by F. Bagemihl.

[16] , Funktionentheorie. I. Grundlagen der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen, Neun-te, neubearbeitete Auage. Sammlung Göschen Bd. 668, Walter de Gruyter and Co., Berlin, 1957.

2

[17] , Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. II. Aufgaben zur höheren Funktionentheorie, 5teAu. Sammlung Göschen Bd. 878, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1959.

[18] , Elemente der Funktionentheorie, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1971. Achte Auage,Sammlung Göschen, Band 1109.

[19] , Aufgabensammlung zur Funktionentheorie. I. Aufgaben zur elementaren Funktionentheorie. 8.Au., Sammlung Göschen. 2127. Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1977.

[20] , Funktionentheorie. II: Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie. 13. Au.,Sammlung Göschen, 2126. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 1981.

[21] I. Laine, Nevanlinna theory and complex dierential equations, vol. 15 of de Gruyter Studies inMathematics, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1993. 50

[22] R. Remmert, Funktionentheorie I, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

[23] , Funktionentheorie II, Springer-Verlag, Berlin, 1991. 47, 49

[24] W. Rudin, Reelle und komplexe Analysis, Oldenbourg, München, 1999.

[25] H.-J. Runckel, Höhere Analysis - Funktionentheorie und gewöhnliche Dierentialgleichungen, Ol-denbourg, München, 2000.

[26] D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton, N.Y., 1941. 64

3

Inhaltsverzeichnis

1 Zahlenkugel und Möbiustransformationen 7

1.1 Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Abbildungseigenschaften von Möbiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Doppelverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Spiegelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Holomorpie in Banachräumen 15

2.1 Das Kurvenintegral banachraumwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Schwache und starke Holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Wegekomplexe und Zyklen von Wegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Die allgemeine Form des Cauchyschen Integralsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Funktionen eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Unendliche Produkte 25

3.1 Denition und einfache Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Kompakte und normale Konvergenz von Produkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Die logarithmische Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Die Produktdarstellung der Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Die Produktdarstellung der Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Ganze Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen 31

4.1 Weierstraÿ-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Der Weierstraÿche Produktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Quotienten ganzer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Existenz von Wurzeln ganzer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4

4.5 Die Weierstraÿsche p-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Meromorphe Funktionen mit vorgegebenen Hauptteilen 37

5.1 Der Satz von MittagLeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Herleitung des Produktsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6 Der Riemannsche Abbildungssatz 40

6.1 Einfach zusammenhängende Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.2 Normale Familien und der Montelsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3 Einheiten und Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4 Holomorphe Injektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.5 Dehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.6 Der Injektionssatz von Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.7 Der Abbildungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7 Die Picardschen Sätze 47

7.1 Der Satz von Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2 Der kleine Satz von Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.3 Der groÿe Satz von Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 Asymptotische Entwicklungen 51

8.1 Sektorielle Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.2 Sektorielle Stetigkeit und Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8.3 Asymptotische Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.4 Der Satz von Ritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.5 Gevrey-Asymptotiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.6 Gevrey-Asymptotiken in schmalen Sektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.7 Gevrey-Asymptotiken in groÿen Sektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8.8 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8.9 Die Borel-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.10 Umkehrformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5

9 Summierbare Potenzreihen 65

9.1 Summierbarkeit in einer Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3 Summierbare Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10 Die Cauchy-Heine-Transformation 72

10.1 Denition und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

10.2 Normale Überdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.3 Zerlegungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

10.4 Funktionen mit Gevrey-Asymptotik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6

Kapitel 1

Zahlenkugel und

Möbiustransformationen

1.1 Die Riemannsche Zahlenkugel

In R3 betrachten wir die Kugel mit Radius 1/2 und Mittelpunkt (0, 0, 1/2)T , und wir identizierenz = x + i y ∈ C mit (x, y, 0)T ∈ R3. Den Punkt (0, 0, 1)T nennen wir den Nordpol der Kugel. Ist zeine beliebige komplexe Zahl, also hier eigentlich ein Punkt (x, y, 0)T , und legt man durch z und denNordpol eine Gerade g = g(z), so schneidet diese die Kugel in einem vom Nordpol verschiedenen Punkt(ξ, η, ζ)T . Durch diese Konstruktion wird die komplexe Ebene C bijektiv auf die Kugel ohne den Nordpolabgebildet. Aus naheliegenden Gründen nennen wir den Nordpol auch den unendlich fernen Punkt oderkürzer den Punkt ∞. Die oben beschriebene Kugel, zusammen mit dieser bijektiven Abbildung, heiÿt dieRiemannsche Zahlenkugel, die Abbildung heiÿt die stereographische Projektion.

Aufgabe 1.1.1 Beschreibe die Bilder von Geraden in C unter der stereographischen Projektion.

Aufgabe 1.1.2 Begründe die Aussage zwei Geraden in der Ebene schneiden sich im Unendlichen.Überlege weiter, warum es sinnvoll ist zu sagen, dass sich zwei Geraden sogar immer zweimal schneiden,wobei mindestens einer der Schnittpunkte der unendlich ferne Punkt ist.

Aufgabe 1.1.3 Berechne die Koordinaten ξ, η, ζ in Abhängigkeit von x, y.

Lösung: Parameterdarstellung der Geraden g(z) ist gleich (ξ(t), η(t), ζ(t))T = (t x, t y, 1− t); Gleichungder Kugel ist ξ2 + η2 + (ζ − 1/2)2 = 1/4. Einsetzen ergibt für den Schnittpunkt die Gleichungen

ξ =x

1 + x2 + y2, η =

y

1 + x2 + y2, ζ =

x2 + y2

1 + x2 + y2. (1.1.1)

2

Denition 1.1.4 Für z1, z2 ∈ C heiÿt der Abstand der Bildpunkte auf der Riemannschen Zahlenkugelder chordale Abstand von z1 und z2, bezeichnet mit d(z1, z2). Man rechnet nach, dass gilt

d(z1, z2) =|z1 − z2|√

(1 + |z1|2)(1 + |z2|2),

und wir setzen nochd(z,∞) = d(∞, z) = lim

z→∞d(z, z) =

1√1 + |z|2

.

7

Denition 1.1.5 Ein allgemeiner Kreis in C ist entweder ein Kreis oder eine Gerade in C. Eine Ab-bildung f : D → C, mit D ⊂ C oen, heiÿt kreisverwandt, wenn sie beliebige allgemeine Kreise in Dauf allgemeine Kreise abbildet. Ein solches f heiÿt winkeltreu, falls gilt: Für zwei beliebige glatte Kurvenin D mit glatten1 Parameterdarstellungen zj(t), a ≤ t ≤ b, 1 ≤ j ≤ 2, welche sich in einem Punktz0 ∈ D unter einem Winkel α schneiden, sind auch die Bildkurven f(zj(t)) glatt und schneiden sichunter dem gleichen Winkel. Winkeltreue und Kreisverwandschaft deniert man genauso für Abbildungenf : D → Y , mit D ⊂ X, wenn X, Y Vektorräume über R mit einem inneren Produkt sind, also z. B. fürX = Rn, Y = Rm, n,m ∈ N, wobei ein Kreis der Durchschnitt einer Kugel mit einem zweidimensionalenanen Unterraum ist.

Aufgabe 1.1.6 (Allgemeine Kreise) Zeige: Zu jedem Kreis bzw. jeder Geraden in C gibt es Konstan-ten A,C ∈ R, B ∈ C, mit AC < |B|2, derart dass die Lösungsmenge der Gleichung

Az z +B z +B z + C = 0, (1.1.2)

genau dieser Kreis bzw. diese Gerade ist. Zeige umgekehrt, dass die Lösungsmenge einer solchen Gleichungimmer ein allgemeiner Kreis ist und stelle fest, wann die Lösungsmenge ein Kreis bzw. eine Gerade ist.

Aufgabe 1.1.7 Zeige: Zu drei verschiedenen Punkten in C gibt es genau einen allgemeinen Kreis, wel-cher durch diese Punkte geht.

Satz 1.1.8 Die stereographische Projektion ist winkeltreu und kreisverwandt.

Beweis: Seien zj(t) = xj(t) + i yj(t) glatte Parameterdarstellungen von Kurven in C, und seien ~xj(t) =(ξj(t), ηj(t), ζj(t))

T die entsprechenden Bildkurven auf der Zahlenkugel. Mit Nj(t) = 1+x2j (t)+y2

j (t) giltdann

~xj′(t) =

1

Nj(t)2

x′j(t)Nj(t)− xj(t)N ′j(t)y′j(t)Nj(t)− yj(t)N ′j(t)

N ′j(t)

.

Wenn sich die Kurven schneiden, etwa für t = t0, können wir der Einfachheit halber x, y, ~x,N stattxj(t0), yj(t0), ~xj(t0), Nj(t0) schreiben und auch bei den Ableitungen die Abhängigkeit von t0 nicht notie-ren. In diesem Fall folgt für das innere Produkt

〈~x1′, ~x2

′〉 = N−4[(x′1 x

′2 + y′1 y

′2)N2 − x (x′1N

′2 + x′2N

′1)N

− y (y′1N′2 + y′2N

′1)N + N N ′1N

′2

].

Wegen N ′j = 2 (x′j x+ y′j y) vereinfacht sich dies zu

〈~x1′, ~x2

′〉 = (x′1 x′2 + y′1 y

′2)N−2.

Genauso folgt

‖~xj ′‖ = N−1√

(x′j)2 + (y′j)

2, 1 ≤ j ≤ 2.

Daraus folgt die Winkeltreue, denn per Denition ist der Winkel zwischen zwei Kurven gleich dem Winkelzwischen den beiden Tangenten, d. h., den Ableitungen. Zur Kreisverwandtschaft: Nach Aufgabe 1.1.6sind allgemeine Kreise genau die Lösungsmengen von Gleichungen der Form (1.1.2) mit A,C ∈ R, B ∈ C,und AC < |B|2. Aus (1.1.1) folgt x = ξ/(1 − ζ), y = η/(1 − ζ), x2 + y2 = ζ/(1 − ζ), und Einsetzenin (1.1.2) ergibt mit B = B1 + i B2 die Gleichung

Aζ + 2 (B1 ξ −B2 η) + C (1− ζ) = 0.

1Eine Parameterdarstellung heiÿt glatt, wenn sie auf dem ganzen Parameterintervall stetig dierenzierbar ist, und wenn

die Ableitung niemals verschwindet. Der Schnittwinkel zweier glatter Kurven in einem gemeinsamen Punkt z0 ist dann per

Denition der Winkel zwischen den beiden Ableitungen an dieser Stelle.

8

Dies ist die Gleichung einer Ebene in R3, und die Schnittmenge mit der Kugel ist ein Kreis. 2

Wir denieren noch folgende Rechenregeln für das Symbol ∞:

∀ z ∈ C : z +∞ =∞+ z = ∞ ,

∀ z ∈ C \ 0 : z∞ =∞ z = ∞ ,

1/∞ = 0 , 1/0 =∞ , ∞∞ =∞ .

Aufgabe 1.1.9 Leite aus obigen Rechenregeln für ∞ die folgenden weiteren Regeln ab:

∀ z ∈ C \ 0 : z/0 =∞, z/∞ = 0.

Aufgabe 1.1.10 Zeige: Die Bilder zweier zj ∈ C auf der Riemannschen Zahlenkugel liegen sich genaudann diametral gegenüber, wenn z1 z2 = −1 gilt.

1.2 Abbildungseigenschaften von Möbiustransformationen

Denition 1.2.1 Für komplexe Zahlen a, b, c, d mit a d− b c 6= 0 heiÿt die Abbildung

z 7−→ f(z) =a z + b

c z + d(1.2.1)

eine Möbiustransformation oder auch eine gebrochen lineare Abbildung. Für z = −d/c (= ∞ fallsc = 0 ist) gilt a z + b = −(a d − b c)/c 6= 0, also ist es richtig, f(−d/c) = ∞ zu setzen. Auÿerdem seif(∞) = limz→∞ f(z) = a/c. Es ist deshalb sinnvoll, f als Abbildung von C ∗ := C ∪ ∞ nach C∗ zubetrachten.

Bemerkung 1.2.2 Oenbar ist eine Möbiustransformation f in C \ −d/c stetig, und für z → −d/cgilt f(z) → ∞. Also gilt für alle z0 ∈ C∗, dass f(z) → f(z0) geht, wenn z → z0 strebt. Daher ist essinnvoll zu sagen, dass f in ganz C∗ stetig ist.

Aufgabe 1.2.3 Zeige: Jede Möbiustransformation f besitzt eine Darstellung wie in (1.2.1), aber mita d− b c = 1. Untersuche, inwieweit dann die Zahlen a, b, c, d durch f eindeutig bestimmt sind.

Spezialfälle:

• f(z) = z + b heiÿt eine Translation (Verschiebung) in C.

• f(z) = a z, mit a = r (cosφ+ i sinφ) 6= 0, heiÿt eine Drehstreckung in C mit Zentrum 0, Drehwinkelφ und Streckungsfaktor r. Für r = 1 sprechen wir auch schlicht von einer Drehung.

• f(z) = 1/z heiÿt Inversion. Diese Abbildung hängt auch eng mit der Spiegelung am Einheitskreiszusammen; siehe dazu den Abschnitt über Spiegelpunkte.

Satz 1.2.4 Jede Möbiustransformation (1.2.1) bildet C ∗ bijektiv auf sich ab; die Umkehrabbildung istgleich

f−1(z) =−d z + b

c z − a,

9

also ebenfalls eine Möbiustranformation. Die Menge aller Möbiustransformationen ist eine nichtkommu-tative Gruppe bzgl. der Hintereinanderausführung als Verknüpfung. Genauer gilt:

f(z) =a z + b

c z + d, f(z) =

a z + b

c z + d=⇒ (f f)(z) =

a z + b

c z + d,

mit [a b

c d

]=

[a b

c d

] [a bc d

].

Beweis: Deniere f−1 wie im Satz. Dann gilt: Falls z = a/c, also c z−a = 0 ist, dann ist (f f−1)(z) =f(∞) = z. Für alle anderen z ∈ C gilt

(f f−1)(z) =a (−d z + b) + b (c z − a)

c (−d z + b) + d (c z − a)= z,

und schlieÿlich gilt auch (f f−1)(∞) = f(−d/c) =∞. Genauso zeigt man, dass (f−1 f)(z) = z für allez ∈ C ∗ gilt. Also ist f bijektiv und f−1 die Umkehrabbildung. Der Rest der Behauptungen ist in dennächsten Übungsaufgaben enthalten. 2

Aufgabe 1.2.5 Zeige, dass zwei Quotienten der Form (a z + b)/(c z + d), mit a d− b c 6= 0, genau danndieselbe Möbiustransformation denieren, wenn der zweite aus dem ersten durch Erweitern mit einemFaktor 6= 0 entsteht.

Aufgabe 1.2.6 Beweise die Aussage von Satz 1.2.4 über die Hintereinanderausführung von Möbiustrans-formationen. Folgere hieraus: Die Abbildung[

a bc d

]7−→ a z + b

c z + d

ist im Sinne der Algebra eine relationstreue Abbildung der Gruppe der invertierbaren zweireihigen Matri-zen auf die Menge der Möbiustransformationen mit der Hintereinanderausführung.

Aufgabe 1.2.7 Zeige, dass die Möbiustransformationen eine nichtkommutative Gruppe bzgl. Hinterein-anderausführung bilden.

Satz 1.2.8 Möbiustransformationen sind kreisverwandt und winkeltreu.

Beweis: Sei f(z) = (a z + b)/(c z + d), a d − b c 6= 0. Falls c = 0 ist, ist f Hintereinanderausführungeiner Translation und einer Drehstreckung, und beide sind kreisverwandt, wie man z. B. durch Einsetzenin (1.1.2) nachrechnen kann. Die Winkeltreue ergibt sich in diesem Fall leicht durch die Anschauung. Imanderen Fall gilt

f(z) =a

c− a d− b c

c

1

c z + d,

also ist f Hintereinanderausführung von Translationen, Drehstreckungen sowie einer Inversion. Deshalbgenügt es zu zeigen, dass die Behauptung für die Inversion richtig ist. Sei deshalb jetzt f(z) = 1/z. Wennman z in (1.1.2) durch 1/z ersetzt und mit z z multipliziert, erhält man

A+B z +B z + C z z = 0,

was wieder die Gleichung eines allgemeinen Kreises ist. Zur Winkeltreue der Inversion: Die Abbildung z 7→1/z, in (1.1.1) eingesetzt, ergibt ξ 7→ ξ, η 7→ −η und ζ 7→ 1−ζ, was zwei Spiegelungen auf der Zahlenkugelentspricht. Dies und die Winkeltreue der stereographischen Projektion ergibt die Behauptung. 2

10

Aufgabe 1.2.9 Zeige: Eine Möbiustransformation f : C ∗ → C ∗ ist gleichmäÿig stetig bzgl. des chorda-len Abstandes, das heiÿt

∀ ε > 0 ∃ δ > 0∀ z1, z2 ∈ C ∗ : d(z1, z2) < δ =⇒ d(f(z1), f(z2)) < ε .

1.3 Doppelverhältnisse

Denition 1.3.1 Ein z ∈ C ∗ heiÿt Fixpunkt einer Abbildung f : C ∗ 7−→ C ∗, wenn f(z) = z gilt.

Lemma 1.3.2 Hat eine Möbiustransformation f drei verschiedene Fixpunkte, so ist f die Identität, d. h.,f(z) = z für alle z ∈ C ∗.

Beweis: Ist z0 ∈ C Fixpunkt von (1.2.1), so ist c z0 + d 6= 0 und

c z20 + (d− a) z0 − b = 0 .

Falls c 6= 0 ist, hat diese Gleichung höchstens zwei Lösungen in C, und ∞ ist wegen f(∞) = a/c sicherkein Fixpunkt. Falls c = 0 und d − a 6= 0 ist, sind nur ∞ und b/(d − a) Fixpunkte. Falls c = 0 undd = a (6= 0) ist, ist entweder nur ∞ Fixpunkt, oder b = 0, d. h., f(z) ≡ z. 2

Denition 1.3.3 Für vier verschiedene zj ∈ C heiÿt

D(z1, z2, z3, z4) =z4 − z1

z4 − z3:z2 − z1

z2 − z3

(=

z4 − z1

z4 − z3

z2 − z3

z2 − z1

)das Doppelverhältnis von z1, z2, z3, z4. Durch Grenzübergang eines zj nach ∞ erhält man noch

D(∞, z2, z3, z4) =z2 − z3

z4 − z3, D(z1,∞, z3, z4) =

z4 − z1

z4 − z3,

D(z1, z2,∞, z4) =z4 − z1

z2 − z1, D(z1, z2, z3,∞) =

z2 − z3

z2 − z1.

Satz 1.3.4 (Invarianz des Doppelverhältnisses)

(a) Für vier verschiedene zj ∈ C ∗ und jede Möbiustransformation f gilt stets

D(f(z1), f(z2), f(z3), f(z4)) = D(z1, z2, z3, z4) , (1.3.1)

d. h., das Doppelverhältnis ist invariant unter Möbiustransformationen.

(b) Zu verschiedenen z1, z2, z3 und verschiedenen w1, w2, w3 aus C ∗ gibt es genau eine Möbiustransfor-mation f mit

f(zj) = wj , 1 ≤ j ≤ 3 ,

und man kann f durch Auösen der Gleichung

D(w1, w2, w3, f(z)) = D(z1, z2, z3, z)

nach f(z) erhalten.

(c) Vier verschiedene zj ∈ C ∗ liegen genau dann auf einem allgemeinen Kreis, wenn ihr Doppelver-hältnis eine reelle Zahl ist.

11

Beweis: Zu (b): Durch g1(z) = D(z1, z2, z3, z) ist eine Möbiustransformation gegeben, für welche giltg1(z1) = 0, g1(z2) = 1, g1(z3) = ∞. Analog deniert g2(w) = D(w1, w2, w3, w) eine Möbiustranfor-mation mit g2(w1) = 0, g2(w2) = 1, g2(w3) = ∞. Das heiÿt, durch Auösen von D(w1, w2, w3, w) =D(z1, z2, z3, z) nach w ergibt sich die Möbiustransformation g−1

2 g1, welche z1, z2, z3 auf w1, w2, w3 ab-bildet. Somit existiert f , und mit dem obigen Lemma ergibt sich die Eindeutigkeit von f . Zu (a): Folgtaus (b). Zu (c): Die Möbiustransformation f(z) = D(z1, z2, z3, z) bildet den allgemeinen Kreis durch diePunkte z1, z2, z3 ab auf den allgemeinen Kreis durch die Punkte 0, 1,∞, und dieser ist oenbar die reelleAchse. 2

Aufgabe 1.3.5 Finde eine Möbiustransformation f mit f(0) = 1, f(i) = 2, f(−1) = 3.

Lösung: 1. Weg: D(1, 2, 3, f(z)) = D(0, i,−1, z) ⇐⇒ −(f(z) − 1) (z + 1) = z (f(z) − 3) (1 − i) ⇐⇒f(z) (z(2− i) + 1) = z (4− 3i) + 1 ⇐⇒ f(z) = (z(4− 3i) + 1)/(z(2− i) + 1).

2. Weg: Ansatz f(z) = (a z + b)/(c z + d) führt auf die Gleichungen

b = d, 2(ic+ d) = ia+ b, 3(d− c) = b− a.

Dies sind drei lineare Gleichungen in vier Unbekannten. Wählt man z. B. b = 1, so folgt d = 1, a = 4−3i,c = 2− i. 2

Aufgabe 1.3.6 Bestimme eine Möbiustransformation f , welche den Einheitskreis auf die imaginäre Ach-se abbildet. Untersuche, wohin das Innere/Äuÿere des Einheitskreises abgebildet wird.

Lösung: Die Bedingungen f(1) = 0, f(i) = i, f(−1) =∞ führen auf f(z) = (z − 1)/(z + 1). Wegen derKreisverwandtschaft ist klar, dass dieses f den Einheitskreis auf den allgemeinen Kreis durch die Punkte0, i,∞, also auf die imaginäre Achse abbilden muss. Wegen f(0) = −1 muss das Innere des EK in dielinke Halbebene gehen (Begründung?) 2

1.4 Spiegelpunkte

Denition 1.4.1 Punkte z, z∗ ∈ C ∗ heiÿen Spiegelpunkte bezüglich eines allgemeinen Kreises K odersymmetrisch bezüglich K, wenn für drei verschiedene Punkte zj auf K, welche auch von z, z∗ verschiedensind, gilt

D(z1, z2, z3, z∗) = D(z1, z2, z3, z).

Die Abbildung, welche ein z auf seinen Spiegelpunkt z∗ abbildet, heiÿt Spiegelung am allgemeinen KreisK.

Bemerkung 1.4.2 Für den Kreis K um z0 mit Radius R > 0 gilt für drei Punkte zj ∈ K, also(zj − z0) = R2/(zj − z0), dass

D(z1, z2, z3, z) = D(z1 − z0, z2 − z0, z3 − z0, z − z0)

= D(R2/(z1 − z0), R2/(z2 − z0), R2/(z3 − z0), z − z0)

= D(z1, z2, z3, z0 +R2/(z − z0)),

wobei die letzte Gleichung aus der Invarianz des Doppelverhältnisses gegenüber der Möbiustransformationf(z) = z0 +R2/z folgt. Daraus lesen wir für den Spiegelpunkt z∗ zu z ab:

z∗ = z0 +R2

z − z0, also |z∗ − z0| =

R2

|z − z0|, arg(z∗ − z0) = arg(z − z0).

12

Insbesondere hängt z∗ nicht von der Wahl der Punkte z1, z2, z3 ab. Speziell ist der Spiegelpunkt desKreismittelpunktes z0 der Punkt ∞, und umgekehrt. Daher folgt:

Sind zj drei verschiedene Punkte eines Kreises, so ist der Mittelpunkt z0 gegeben durch die Formel

D(z1, z2, z3, z0) = D(z1, z2, z3,∞) =

(z2 − z3

z2 − z1

).

Falls K eine Gerade ist, so stimmt die Denition eines Spiegelpunktes mit der geometrischen Anschauungüberein. Insbesondere ist auch hier der Spiegelpunkt z∗ zu z nicht von der Wahl der z1, z2, z3 ∈ K abhängig.Schlieÿlich ist die Spiegelpunktdenition reexiv, d. h., ist z∗ Spiegelpunkt zu z, so ist z wiederum derSpiegelpunkt zu z∗. Auÿerdem gilt

z∗ = z ⇐⇒ z ∈ K.

Satz 1.4.3 (Symmetrieprinzip) Seien K ein allgemeiner Kreis, f eine Möbiustransformation, undK = f(K). Ist dann z∗ Spiegelpunkt von z bzgl. K, so ist f(z∗) Spiegelpunkt von f(z) bzgl. K. Also:Möbiustransformationen überführen Spiegelpunkte in Spiegelpunkte.

Beweis: Für drei verschiedene zj ∈ K sind f(zj) ∈ K ebenfalls verschieden, und nach Satz 1.3.4 (a)folgt:

D(f(z1), f(z2), f(z3), f(z)) = D(z1, z2, z3, z) = D(z1, z2, z3, z∗)

= D(f(z1), f(z2), f(z3), f(z∗)).

Also gilt die Behauptung. 2

Aufgabe 1.4.4 Bestimme alle Möbiustransformationen f , welche die oene Einheitskreisscheibe E :=z : |z| < 1 auf sich abbilden.

Lösung: Jedes solche f muss den Einheitskreis auf sich abbilden. Also setzen wir an: f(1) = eiα fürein α ∈ R, f(z0) = 0 für ein |z0| < 1. Nach dem Symmetrieprinzip ist dann f(z∗0) = ∞, wobei z∗0 derSpiegelpunkt zu z0 bzgl. des Einheitskreis ist, also z∗0 = 1/z0. Dies führt auf

f(z) = eiφz − z0

1− z z0, eiφ = eiα

1− z0

1− z0.

Also sind die gesuchten f genau von der Form

f(z) = eiφz − z0

1− z z0, φ ∈ R, |z0| < 1.

2

Aufgabe 1.4.5 Bestimme alle Möbiustransformationen f , welche die obere Halbebene auf E abbilden.

Lösung: Ein z0 mit positivem Imaginärteil gehe nach 0, und 0 gehe nach eiα mit α ∈ R. Das Symme-trieprinzip impliziert dann f(z∗0) = ∞, und z∗0 = z0. Dies ergibt: Die gesuchten f sind genau von derForm

f(z) = eiφz − z0

z − z0, φ ∈ R, Im z0 > 0.

2

13

Aufgabe 1.4.6 Bestimme alle z ∈ C, für die folgende Ungleichungen gelten:

(a) Im

(z − az − b

)> 0 , (b) |z − 1| ≤ 2 |z − 2| .

Aufgabe 1.4.7 Bestimme eine Möbiustransformation, die 1 als Fixpunkt hat und 0 auf −i sowie ∞ aufi abbildet.

Aufgabe 1.4.8 Bestimme alle Möbiustransformationen, welche die reelle Gerade auf sich abbilden.

Aufgabe 1.4.9 Zeige, dass die Punkte 2, i, 1−i und −2i/3 auf einem Kreis liegen, und bestimme dessenMittelpunkt.

Aufgabe 1.4.10 Gegeben seien drei verschiedene Punkte zj ∈ C ∗. Zeige, dass es genau einen allgemei-nen Kreis K durch z1 gibt, bezüglich dessen z2 und z3 Spiegelpunkte sind.

14

Kapitel 2

Holomorpie in Banachräumen

In den Anwendungen der Funktionentheorie auf Fragen der Funktionalanalysis benutzt man Funktioneneiner komplexen Variablen mit Werten in einem Banachraum. Solche Funktionen sollen deshalb jetzt kurzuntersucht werden, und bei dieser Gelegenheit wollen wir die wichtigsten Resultate aus den Elementen derFunktionentheorie wiederholen. Dabei werden X und Y immer fest gewählte, aber beliebige Banachräumeüber C bezeichnen. Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen von X nach Y soll immer mit L(X,Y)bezeichnet sein. Die Menge der stetigen linearen Funktionale auf X, d. h., die Menge L(X,C), sei mit X′bezeichnet. Weiter sei G stets ein festes Gebiet in C. Wir betrachten im Folgenden meist Funktionen,die auf irgendeiner Menge D ⊂ G deniert sind und Werte in X haben. Diese werden gelegentlich auchX-wertige Funktionen heiÿen, um sie von solchen mit Werten in C zu unterscheiden.

In der linearen Algebra ist es immer üblich, bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl diese linksvom Vektor zu schreiben. Hier wird es bequem sein (z. B. bei den unten eingeführten Riemann-Summen),von dieser Konvention abzuweichen und zu erlauben, dass die Zahl auch rechts stehen kann!

2.1 Das Kurvenintegral banachraumwertiger Funktionen

Denition 2.1.1 Gegeben sei eine Kurve γ mit Parameterdarstellung z(t), a ≤ t ≤ b, sowie eine Funk-tion f : γ∗ → X, wobei γ∗ := z : ∃ t ∈ [a, b] mit z(t) = z den Träger von γ bezeichnet. Dann sagenwir, dass das Kurvenintegral

I :=

∫γ

f(z) dz

von f über γ existiert, wenn es zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Zε von [a, b] gibt, so dass für jedeVerfeinerung Z = a = t0 < t1 < . . . < tN = b von Zε und jede Wahl von Zwischenpunkten τk ∈[tk−1, tk], 1 ≤ k ≤ N , gilt

‖I − S(Z, γ)‖ :=∥∥∥I − N∑

k=1

f(z(τk))(z(tk) − z(tk−1)

)∥∥∥ < ε .

Wie bei der Denition des Riemann-Integrals wollen wir die Summen S(Z, γ) wieder Riemann-Summennennen.

Bemerkung 2.1.2 Aus der Denition des Kurvenintegrals folgt die Existenz einer zulässigen Zerle-gungsfolge, für welche bei beliebiger Wahl der Zwischenpunkte die Riemann-Summen gegen das Integralkonvergieren. Ob dies für beliebige zulässige Zerlegungsfolgen gilt, ist nicht klar. Vergleiche hierzu auchden Beweis von Satz 2.1.7.

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Aufgabe 2.1.3 Zeige die Fundamentalabschätzung für Kurvenintegrale: Wenn das Kurvenintegral exis-tiert, gilt immer ∥∥∥∫

γ

f(z) dz∥∥∥ ≤ ` sup

z∈γ∗‖f(z)‖ , (2.1.1)

wobei ` die Länge der Kurve γ ist.

Aufgabe 2.1.4 (Integral und gleichmäÿige Konvergenz) Sei γ eine rektizierbare Kurve in C, undseien die Funktionen fn : γ∗ → X gleichmäÿig konvergent gegen f . Zeige: Falls alle Kurvenintegrale∫γfn(z) dz existieren, dann existiert auch

∫γf(z) dz, und es gilt∫

γ

f(z) dz = limn→∞

∫γ

fn(z) dz .

Aufgabe 2.1.5 Sei T ∈ L(X,Y), und seien f und γ wie oben. Zeige: Falls das Kurvenintegral von füber γ existiert, dann existiert auch das Kurvenintegral von T f über γ, und es gilt∫

γ

T (f(z)) dz = T(∫

γ

f(z)dz).

Diese Eigenschaft des Kurvenintegrals wird einsichtig, wenn wir uns erinnern dass im Fall X = Cn undY = Cm eine lineare Abbildung T der Multiplikation mit einer konstanten Matrix entspricht.

Bemerkung 2.1.6 Für a < b kann das reelle Intervall [a, b] in natürlicher Weise auch als Kurve γ in Cmit der Parameterdarstellung z(t) = t aufgefasst werden, und eine Funktion f : [a, b] → X ist dann alsoauf dem Träger dieser Kurve deniert. Falls das Kurvenintegral von f über diese Kurve γ existiert, soschreiben wir auch ∫

γ

f(z) dz =

∫ b

a

f(t) dt

und interpretieren die rechte Seite als (Riemann-)Integral über das reelle Intervall [a, b]. Man kann zeigen,dass diese Denition für X = R mit der aus Analysis I übereinstimmt. Für eine andere Denition desRiemann-Integrals von X-wertigen Funktionen vergleiche ein Manuskript von W. Arendt, welches überseine Internetseite zu nden ist.

Satz 2.1.7 (Existenz und Berechnung des Kurvenintegrals) Mit den oben eingeführten Bezeich-nungen und Denitionen gilt:

(a) Wenn die Kurve γ rektizierbar und die Funktion f : γ∗ → X auf dem Träger von γ stetig sind,dann existiert das Kurvenintegral von f über γ, und für jede zulässige Zerlegungsfolge und jede Wahlvon Zwischenpunkten konvergiert die Folge der Riemann-Summen gegen das Integral.

(b) Wenn das Kurvenintegral von f über γ existiert, dann hängt sein Wert nicht von der Wahl derParameterdarstellung von γ ab.

(c) Wenn die Kurve γ eine stetig dierenzierbare Parameterdarstellung z(t), a ≤ t ≤ b, besitzt und dieFunktion f : γ∗ → X auf dem Träger von γ stetig ist, dann gilt∫

γ

f(z) dz =

∫ b

a

f(z(t)) z′(t) dt . (2.1.2)

Beweis: Die Funktion f(z(t)) ist auf [a, b] stetig, also dort sogar gleichmäÿig stetig, und daher existiertzu jedem ε > 0 ein δ > 0 derart, dass ‖f(z(t)) − f(z(τ))‖ < ε gilt, falls nur |t − τ | < δ ist (für allet, τ ∈ [a, b]). Sei jetzt Zε = a = t0 < t1 < . . . < tN = b irgendeine Zerlegung von [a, b], derenFeinheit kleiner als δ ist, und τ1, . . . , τN seien irgendwelche Zwischenpunkte. Seien weiter eine beliebige

16

Verfeinerung Z = a = u0 < u1 < . . . < uM = b von Zε und zugehörige Zwischenpunkte η1, . . . , ηMgewählt. Für irgendein k seien tk−1 = uj−1 < uj < . . . < um = tk. Dann folgt∥∥∥f(z(τk))

(z(tk)− z(tk−1)

)−

m∑ν=j

f(z(ην))(z(uν)− z(uν−1)

)∥∥∥=∥∥∥ m∑ν=j

(f(z(τk))− f(z(ην))

) (z(uν)− z(uν−1)

)∥∥∥ ≤ m∑ν=j

∥∥f(z(τk))− f(z(ην))∥∥ |z(uν)− z(uν−1)|

< ε `k ,

wobei `k die Kurvenlänge der Teilkurve von γ zwischen den Punkten z(tk−1) und z(tk) ist. Mit Hilfe derDreiecksungleichung und der Additivität der Kurvenlänge ergibt sich hieraus

‖S(Zε, γ)− S(Z, γ)‖ =∥∥∥ N∑k=1

f(z(τk))(z(tk)− z(tk−1)

)−

M∑ν=1

f(z(ην))(z(uν)− z(uν−1)

)∥∥∥ < ε ` ,

mit ` = `1 + . . .+`M gleich der Länge von γ. Daraus folgt: Wenn wir eine zulässige Folge von Zerlegungenwählen, dann bilden die entsprechenden Riemann-Summen für irgendeine Zwischenpunktwahl immer eineCauchyfolge in X, denn wenn die Feinheiten von Zerlegungen Zn und Zm beide kleiner als δ sind, könnenwir Z gleich der gemeinsamen Verfeinerung der beiden setzen und erhalten aus der obigen Abschätzung

‖S(Zn, γ)− S(Zm, γ)‖ ≤ ‖S(Zn, γ)− S(Z, γ)‖ + ‖S(Z, γ)− S(Zm, γ)‖ < 2 ε ` .

Da X vollständig ist, hat diese Folge einen Grenzwert I, der nicht von der Wahl der Zerlegungsfolge bzw.der Zwischenpunkte abhängt, und aus der Denition folgt dass das Kurvenintegral von f über γ exis-tiert und gleich I ist. Also gilt Aussage (a). Die Unabhängigkeit von der Wahl der Parameterdarstellungergibt sich unmittelbar aus der Denition des Kurvenintegrals, da ein Parameterwechsel eine bijektiveAbbildung der Menge aller Riemann-Summen auf sich selber deniert, wobei Verfeinerungen in Verfeine-rungen übergehen. Um (c) zu beweisen, sei eine beliebige Zerlegung Z = a = t0 < t1 < . . . < tN = bmit Zwischenpunkten τ1, . . . , τN betrachtet, und S(Z, γ) bzw. S(Z) seien die Riemann-Summen für dasKurvenintegral bzw. das Riemann-Integral in (2.1.2). Dann folgt mit der Dreiecksungleichung und derBeschänktheit von f auf γ∗

∥∥S(Z, γ) − S(Z)∥∥∥ ≤

N∑k=1

∥∥f(z(τk)))‖∣∣z(tk)− z(tk−1)− z′(τk) (tk − tk−1)

∣∣≤ K

N∑k=1

∣∣z(tk)− z(tk−1)− z′(τk) (tk − tk−1)∣∣ .

Wir setzen z(t) = x(t) + i y(t) und wenden den ersten Mittelwertsatz auf die reellen Funktionen x(t) undy(t) an, und erhalten dadurch∣∣z(tk)− z(tk−1)− z′(τk) (tk − tk−1)

∣∣ = (tk − tk−1)

√(x′(τk)− x′(τk)

)2+(y′(τk)− y′(τk)

)2,

mit geeigneten Zwischenstellen τk, τk ∈ [tk−1, tk]. Da x′(t), y′(t) auf [a, b] gleichmäÿig stetig sind, folgt zujedem ε > 0 die Existenz eines δ > 0 so, dass für alle Zerlegungen Z, deren Feinheit kleiner als δ ist,dieser Term kleiner als (tk − tk−1) ε

√2 ist. Also ist die Dierenz der beiden Riemann-Summen kleiner

als ε√

2 (b− a), und daraus folgt (2.1.2). 2

Bemerkung 2.1.8 Nach dem letzten Satz gilt, dass bei stetigem Integranden und rektizierbarer Kurvedie Riemann-Summen für jede zulässige Zerlegungsfolge und jede Zwischenpunktwahl konvergieren. Da wirnur solche Kurvenintegrale betrachten werden, hätten wir dies auch zur Denition machen können. Es istaber wichtig zu wissen, dass bei allgemeinem f und einer beliebigen Kurve das Kurvenintegral existierenkann, ohne dass die Riemann-Summen für jede zulässige Zerlegungsfolge und jede Zwischenpunktwahlkonvergieren.

17

2.2 Schwache und starke Holomorphie

Denition 2.2.1 Eine Funktion f : G→ X heiÿt stark holomorph, oder auch einfach holomorph, in G,wenn für jedes z0 ∈ G der Grenzwert

f ′(z0) := limz→z0

(z − z0)−1(f(z)− f(z0)

)existiert, und in diesem Fall heiÿt f ′(z0) die (erste) Ableitung von f an der Stelle z0. Wir nennen fschwach holomorph in G, falls für jedes φ ∈ X′ die Hintereinanderausführung φ f : G→ C im üblichenSinn der Funktionentheorie holomorph in G ist. Wir sagen weiter, dass das Kurvenintegral von f in Gwegunabhängig ist, wenn

∫γf(z) dz = 0 ist für jeden geschlossenen Weg1 γ in G. Man kann zeigen, dass

dann auch das Kurvenintegral von f über jede geschlossene rektizierbare Kurve γ in G verschwindet.

Bemerkung 2.2.2 Wenn f in einem Punkt z0 ∈ G unstetig ist, kann der Dierenzenquotient dort nichtbeschränkt sein. Da aber eine schwache Cauchyfolge in einem Banachraum immer beschränkt ist, ergibtsich, dass aus der schwachen Holomorphie die Stetigkeit von f in G folgt. Dass f dann sogar starkholomorph ist, soll im Folgenden gezeigt werden.

Im Weiteren wird oft folgendermaÿen geschlossen: Falls für x1, x2 ∈ X gilt φ(x1) = φ(x2) für jedes φ ∈ X′,dann ist x1 = x2 dies ist eine Konsequenz des Satzes von Hahn-Banach.

Aufgabe 2.2.3 (Cauchy-Gebiet) Wir nennen G ein Cauchy-Gebiet, falls das Kurvenintegral über jedein G holomorphe C-wertige Funktion wegunabhängig ist. Zeige, dass dann auch die Wegunabhängigkeitfür X-wertige holomorphe Funktionen folgt.

Aufgabe 2.2.4 Sei f : G → X stark holomorph. Zeige: Dann ist f auch schwach holomorph in G, undfür jedes φ ∈ X′ gilt

d

dzφ(f(z)) = φ(f ′(z)) ∀ z ∈ G .

Genau wie beim Kurvenintegral wird diese Aussage verständlich, wenn man sich klarmacht, wie die ste-tigen linearen Funktionale in Cn aussehen.

Satz 2.2.5 Sei G ein Gebiet in C, und sei f : G→ X. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) Die Funktion f ist schwach holomorph in G.

(b) Für jede geschlossene Kurve γ in G mit Indγ(z) = 0 für alle z 6∈ G gilt∫γ

f(z) dz = 0.

(c) Für jede geschlossene Kurve γ in G mit Indγ(z) = 0 für alle z 6∈ G gilt

∀ z 6∈ γ∗ : f(z) Indγ(z) =1

2πi

∫γ

(w − z)−1 f(w) dw . (2.2.1)

(d) Die Funktion f ist holomorph in G.

Beweis: Sei φ ∈ X′, dann folgt aus (a) dass φ f in G holomorph ist, und somit gilt nach demCauchyschen Integralsatz aus der Vorlesung Elemente der Funktionentheorie, dass

∫γφ(f(z)) dz = 0

ist für jede Kurve γ, welche die Voraussetzung von (b) erfüllt. Mit Aufgabe 2.1.5 folgt also, dass dasKurvenintegral

∫γf(z) dz von jedem φ ∈ X′ annulliert wird. Daraus folgt aber (b). Umgekehrt folgt aus

(b) mit Hilfe der gleichen Aufgabe und dem Satz von Morera auch wieder (a). Weiter folgt aus (a) dass

1Ein Weg ist eine Kurve, die eine stückweise stetig dierenzierbare Parameterdarstellung besitzt.

18

für jedes φ ∈ X′ und jede Kurve γ, welche die Voraussetzung von (c) erfüllt, die Gleichung (2.2.1) gilt,wenn man auf beiden Seiten f durch φ f ersetzt. Da dies aber für beliebiges φ richtig ist, folgt dieGültigkeit von (2.2.1). Wenn (c) gilt, seien ein beliebiges aber festes z0 ∈ G und ein hinreichend kleinesr > 0 gewählt, so dass K(r, z0) zu G gehört. Dann können wir in (2.2.1) für γ den positiv orientiertenKreis um z0 mit Radius r benutzen und erhalten für alle z im Inneren dieses Kreises

(z − z0)−1 (f(z)− f(z0)) =1

2πi

∫γ

[(w − z) (w − z0)]−1 f(w) dw .

Weil es ein C > 0 gibt, so dass |(w − z)−1 − (w − z0)−1| ≤ C |z − z0| für alle w ∈ γ∗ und alle z mit|z − z0| ≤ r/2, erhalten wir∥∥∥ (z − z0)−1 (f(z)− f(z0)) − 1

2πi

∫γ

(w − z0)−2f(w) dw∥∥∥ ≤ C |z − z0| sup

|w−z0|=r‖f(w)‖ ,

und daraus folgt die Holomorphie von f im Punkt z0. Da (a) wieder aus (d) folgt, ist alles bewiesen. 2

Denition 2.2.6 (Stammfunktion) Eine in G holomorphe X-wertige Funktion F heiÿt Stammfunk-tion zu f : G→ X, falls F ′(z) = f(z) ist für alle z ∈ G.

Satz 2.2.7 (Berechnung von Kurvenintegralen mit Stammfunktion) Sei f : G → X stetig, undsei F Stammfunktion zu f . Dann gilt für jede rektizerbare Kurve γ in G mit Anfangspunkt z0 undEndpunkt z1 ∫

γ

f(z) dz = F (z1) − F (z0) .

Insbesondere ist das Kurvenintegral von f in G wegunabhängig.

Beweis: Aus Aufgabe 2.2.4 folgt, dass für jedes φ ∈ X′ die Funktion φ F Stammfunktion zu φ f ist,und deshalb gilt ∫

γ

φ(f(z)) dz = φ(F (z1)) − φ(F (z0))(

= φ(F (z1)− F (z0)

) ).

Da φ ein beliebiges stetiges lineares Funktional ist, folgt daraus die Behauptung mit Aufgabe 2.1.5. 2

Denition 2.2.8 Eine Reihe∑n xn, mit xn ∈ X, heiÿt absolut konvergent, falls

∑n ‖xn‖ konvergiert.

Aufgabe 2.2.9 Zeige dass jede absolut konvergente Reihe∑n xn mit Gliedern xn ∈ X konvergent ist.

Zeige weiter, dass für jedes T ∈ L(X) := L(X,X) die Reihe

eT :=

∞∑n=0

1

n!Tn

absolut konvergent ist.

Satz 2.2.10 (Potenzreihenentwicklung) Sei G ⊂ C ein Gebiet, und sei f schwach holomorph in G.Für z0 ∈ G und genügend kleines r > 0 seien

fn =1

2πi

∫|z−z0|=r

(z − z0)−n−1 f(z) dz ∀ n ∈ N0 .

Dann gilt für alle z aus der gröÿten oenen Kreisscheibe um z0, welche noch ganz in G liegt, dass

f(z) =

∞∑n=0

(z − z0)n fn ,

wobei die Reihe absolut und auf jedem Kompaktum innerhalb dieser Kreisscheibe auch gleichmäÿig kon-vergiert.

19

Beweis: Genau wie im Fall X = C geht man von der Formel (2.2.1) aus, wobei γ der positiv orientierteKreis um z0 mit Radius r ist, und entwickelt (w − z)−1 = w−1 (1 − z/w)−1 in die geometrische Reihe.Diese konvergiert auf γ∗ gleichmäÿig, und deshalb kann man Reihe und Integral vertauschen. Die absolutebzw. gleichmäÿige Konvergenz folgt genau wie für X = C. 2

Aufgabe 2.2.11 Seien fn ∈ X so, dass die Potenzreihe∑∞n=0(z − z0)n fn für alle z mit |z − z0| < r

konvergiert. Zeige die starke Holomorphie der Grenzfunktion.

2.3 Wegekomplexe und Zyklen von Wegen

Für das Folgende ist es bequem, statt nur eines Weges endlich viele Wege γ1, . . . , γn in einem Gebiet Gsimultan zu betrachten. Dabei soll auch erlaubt sein, dass ein Weg mehrmals aufteten kann, und deshalbist es formal nicht richtig, von einer Menge von Wegen zu sprechen. Statt dessen sprechen wir von einemWegekomplex K, bestehend aus den Wegen γ1, . . . , γn, und schreiben

K = < γ1, . . . , γn > .

Wir nennen K∗ = ∪nj=1γ∗j den Träger des Wegekomplexes. Falls die Kurvenitegrale von f : K∗ → X über

alle γj existieren, setzen wir ∫Kf(z) dz =

n∑j=1

∫γj

f(z) dz. (2.3.1)

Wir betrachten auch den leeren Wegekomplex und setzen∫∅ f(z) dz = 0 für beliebiges f . Zwei Wegekom-

plexe K1 und K2 heiÿen äquivalent oder einfacher gleich, wenn für jede auf K∗1 ∪ K∗2 stetige C-wertigeFunktion f gilt ∫

K1

f(z) dz =

∫K2

f(z) dz . (2.3.2)

Ist dies der Fall, dann gilt dasselbe sogar für alle X-wertigen stetigen Funktionen. Ist z. B. ein Weg γ =γ1 +γ2, so gilt (2.3.2) für K1 =< γ > und K2 =< γ1, γ2 >. Gilt γ1 = −γ2, so darf man diese beiden Wegezu einemWegekomplex hinzufügen, ohne diesen zu ändern, und insbesondere ist< γ1, γ2 > äquivalent zumleeren Wegekomplex. Auÿerdem sind Wegekomplexe äquivalent, wenn sie sich nur durch die Reihenfolgeder Wege unterscheiden. Ein Wegekomplex heiÿt ein Zyklus, wenn er gleich einem Wegekomplex auslauter geschlossenen Wegen ist. D. h., jeder Komplex aus lauter geschlossenen Wegen ist ein Zyklus, aberauch K =< γ1, γ2 >, wenn γ1 + γ2 geschlossen ist. Der Index eines Zyklus K bzgl. eines z 6∈ K∗ sei gleich

IndK(z) =1

2πi

∫K

dw

w − z.

Ist K =< γ1, . . . , γn >, so sei −K =< −γ1, . . . ,−γn >. Daher gilt∫−K

f(z) dz = −∫Kf(z) dz.

Schlieÿlich sei für Kj =< γ(j)1 , . . . , γ

(j)nj > noch

K1 +K2 =< γ(1)1 , . . . , γ(1)

n1, γ

(2)1 , . . . , γ(2)

n2>

gesetzt, und dann gilt ∫K1+K2

f(z) dz =

∫K1

f(z) dz +

∫K2

f(z) dz ,

wenn f auf K∗1 ∪ K∗2 stetig ist.

20

Aufgabe 2.3.1 Zeige dass ein Wegekomplex sich im Allgemeinen ändert, wenn man einen der Wege,aus denen er besteht, ein zweites Mal hinzunimmt.

Aufgabe 2.3.2 Wie sollte man sinnvollerweise K1 −K2 für Wegekomplexe Kj denieren?

Aufgabe 2.3.3 Bestimme die Indexfunktion für einen Wegekomplex aus zwei konzentrischen positiv ori-entierten Kreisen.

Aufgabe 2.3.4 Zeige für die Indexfunktion die Regeln

(a) Ind−K(z) = − IndK(z) ,

(b) IndK1±K2(z) = IndK1 ± IndK2(z) .

2.4 Die allgemeine Form des Cauchyschen Integralsatzes

Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung der Aussagen (b) und (c) von Satz 2.2.5. Beachte, dass ernicht direkt aus diesen folgt, da die einzelnen Wege eines Zyklus i. A. nicht die dort gemachte Vorausset-zung erfüllen werden!

Satz 2.4.1 (Integralsatz und -formel für Zyklen) Sei G ⊂ C ein Gebiet, und sei f : G → X holo-morph. Dann gilt:

(a) Für jeden Zyklus K in G mitIndK(z) = 0 ∀ z 6∈ G (2.4.1)

ist immer∫Kf(z) dz = 0, und es gilt die allgemeine Cauchy-Formel

f(z) IndK(z) =1

2πi

∫K

(w − z)−1 f(w) dw ∀ z ∈ G \ K∗.

(b) Für zwei Zyklen Kj in G mit

IndK1(z) = IndK2

(z) ∀ z 6∈ G (2.4.2)

ist immer∫K1

f(z) dz =

∫K2

f(z) dz .

Beweis: Wir betrachten zunächst den Fall X = C. Für z, w ∈ G sei

g(z, w) =f(w)− f(z)

w − zfür w 6= z , g(z, z) = f ′(z) . (2.4.3)

Dann ist g auf G×G stetig, und wir können h : G→ C durch

h(z) =1

2πi

∫Kg(z, w) dw ∀ z ∈ G

denieren. Dies ist eine stetige Funktion auf G. Für ein Dreieck ∆ ⊂ G kann man daher nach dem Satzvon Fubini schlieÿen, dass ∫

∂∆

h(z) dz =1

2πi

∫K

(∫∂∆

g(z, w) dz

)dw .

21

Da g für festes w in der Variablen z holomorph ist, verschwindet das innere Integral, und somit folgt ausdem Satz von Morera, dass h in G holomorph ist. Sei jetzt O = z : IndK(z) = 0. Wegen

h(z) =1

2πi

∫K

f(w)

w − zdw − f(z) IndK(z) ∀ z ∈ G \ K∗

folgt für

h1(z) =1

2πi

∫K

f(w)

w − zdw ,

dass h1(z) = h(z) auf G∩O gilt. Deniert man g(z) = h(z) auf G, bzw. = h1(z) auf O, so ist g holomorphauf G∪O. Nach Voraussetzung ist C \G ⊂ O, und daher ist G∪O = C, d. h., g ist eine ganze Funktion.Die unbeschränkte Komponente des Komplements von K∗ gehört zu O, und dort strebt g = h1 gegen 0für z →∞. Deshalb folgt aus dem Liouvilleschen Satz, dass g konstant, ja sogar gleich der Nullfunktionist. Daraus folgt die Integralformel. Setze jetzt F (z) = (z − z0) f(z) für ein z0 ∈ G \ K∗ und z ∈ G. Ausder Integralformel folgt dann wegen F (z0) = 0:

1

2πi

∫Kf(z) dz =

1

2πi

∫K

F (z)

z − z0dz = F (z0) IndK(z0) = 0 .

Seien jetzt K1,K2 wie im Satz. Setzt man K = K1+(−K2) so folgt aus der Denition des Index und (2.4.2),dass IndK(z) = IndK1

(z) − IndK2(z) = 0 im Komplement von G gilt, und daraus folgt der Rest der

Behauptung für X = C. Für allgemeines X gelten die gemachten Aussagen, wenn wir f durch φ f mitbeliebigem φ ∈ X′ ersetzen, und daraus folgt wie üblich die Richtigkeit des Satzes auch im allgemeinenFall. 2

Aufgabe 2.4.2 Sei f holomorph im Kreisring K(z0, r, R), und sei γρ der positiv orientierte Kreis umz0 mit Radius ρ, r < ρ < R. Benutze Satz 2.4.1 um zu zeigen, dass

∫γf(z) dz nicht von ρ abhängt.

2.5 Funktionen eines Operators

In LA II betrachtet man Funktionen einer Matrix; hier wollen wir kurz eine Formel ableiten, die fürholomorphe Funktionen gilt und sich auf Operatoren in einem Banachraum verallgemeinert. Dabei setzenwir folgende Ergebnisse der Funktionalanalysis voraus: Für beliebiges T ∈ L(X) := L(X,X) gilt immerdass

• das Spektrum σ(T ), also die Menge aller λ ∈ C, für welche λ − T nicht invertierbar ist, immerkompakt ist. Hierbei schreiben wir der Einfachheit halber λ anstatt λ I, wobei I die identischeAbbildung auf X bezeichnet.

• die Resolvente (λ−T )−1 eine holomorphe Funktion von λ auf der Resolventenmenge ist dies folgtdurch Verwendung der Neumannschen Reihe

(λ− T )−1 =

∞∑n=0

(λ0 − λ)n (λ0 − T )−n−1

für jedes λ0 aus der Resolventenmenge ρ(T ) = C\σ(T ) und alle λ aus der gröÿten Kreisscheibe umλ0, die noch ganz zu ρ(T ) gehört.

Beachte auch, dass L(X) mit der Operatornorm ‖T‖ = sup‖x‖=1 ‖T x‖ wieder ein Banachraum ist.

22

Denition 2.5.1 Seien G und T ∈ L(X) so, dass σ(T ) ⊂ G ist. Sei K ein Zyklus in G \ σ(T ) mitIndK(z) = 1 für alle z ∈ σ(T ), sowie IndK(z) = 0 für alle z 6∈ G. Dann denieren wir für eine beliebigeC-wertige in G holomorphe Funktion f

f(T ) =1

2πi

∫Kf(z) (z − T )−1 dz . (2.5.1)

Dass es immer einen Zyklus gibt, der die gemachten Voraussetzungen erfüllt, soll hier nicht gezeigt werden.

Aufgabe 2.5.2 Zeige dass die obige Denition von f(T ) nicht von der Wahl des Zyklus K abhängt.

Für ein Polynom p(z) =∑dn=0 pn z

n können wir immer p(T ) =∑dn=0 pn T

n setzen, wobei Tn die n-facheHintereinanderausführung von T und T 0 die Identität ist. Wir wollen jetzt zeigen, dass dies mit derobigen Denition von p(T ) übereinstimmt. Allgemeiner zeigen wir:

Satz 2.5.3 Sei f(z) =∑∞n=0 fn (z−z0)n konvergent für |z−z0| < r, und sei das Spektrum von T ∈ L(X)

in dieser Kreisscheibe enthalten. Dann ist

f(T ) =

∞∑n=0

fn (T − z0)n

wobei die Reihe absolut konvergiert.

Beweis: In dieser Situation kann man in (2.5.1) über einen positiv orientierten Kreis |z − z0| = ρintegrieren, wobei r − ρ positiv und hinreichend klein ist. Auf dieser Kurve konvergiert die Potenzreihefür f gleichmäÿig und kann deshalb gliedweise integriert werden. Also folgt

f(T ) =

∞∑n=0

fn1

2πi

∫|z−z0|=ρ

(z − z0)n (z − T )−1 dz .

Um die verbleibenden Integrale zu berechnen, können wir über jeden Kreis um z0 mit einem beliebiggroÿen Radius ρ integrieren, und dann verwenden wir die Neumannsche Reihe in der Form

(z − T )−1 = −∞∑m=0

(z0 − z)−m−1 (z0 − T )m , ‖z0 − T‖ < |z0 − z| (= ρ) ,

und wenn wir erneut Summe und Integral vertauschen, folgt die Behauptung, da∫|z−z0|=ρ

(z − z0)n−m−1 dz = δnm .

2

Um zu zeigen, dass unsere Denition von f(T ) bei Matrizen mit der aus LA II übereinstimmt, zeigen wirnoch

Satz 2.5.4 Sei T ∈ L(X) ein Operator mit endlichem Spektrum σ(T ) = z1, . . . zµ ⊂ G. Seien weiter fund g zwei C-wertige holomorphe Funktionen in G, für welche (f(z) − g(z)) (z − T )−1 beschränkt bleibtwenn z → zν , für alle ν = 1, . . . , µ. Dann folgt f(T ) = g(T ).

Beweis: Für hinreichend kleines r > 0 sei K der Zyklus aus den positiv orientierten Kreisen um diePunkte des Spektrums mit dem Radius r. Dann folgt

f(T ) − g(T ) =1

2πi

∫K

(f(z)− g(z)

)(z − T )−1 dz .

23

Mit der Fundamentalabschätzung für Kurvenintegrale folgt dass die rechte Seite gegen 0 geht, wennr → 0, und daher gilt die Behauptung. 2

Für den Fall X = Cd, mit d ∈ N, ist jede lineare Abbildung stetig und durch eine quadratische d-reihigeMatrix gegeben. Eine solche hat immer endliches Spektrum, und mit Hilfe der Jordanschen Normal-form sieht man, dass die Voraussetzungen des letzten Satzes genau dann erfüllt sind, wenn f und g dieBedingungen

f (j)(zk) = g(j)(zk) ∀ j = 0, . . . , µk − 1 , ∀ k = 1, . . . , µ ,

erfüllen, wobei µk die Vielfachheit des Eigenwertes zk im Minimalpolynom von T ist. Daraus folgt, dassunsere Denition von f(T ) im Fall von Matrizen mit der aus der Vorlesung LA II übereinstimmt.

Wir haben hier nur wenig zu der Theorie der Funktionen von Operatoren gesehen die in den Anwen-dungen interessantesten Fälle befassen sich meist mit unbeschränkten Operatoren. Eine gute Einführungndet sich z. B. in dem Buch von Dunford und Schwartz [5, Abschnitt VII.3]. Eine Verallgemeinerungauf unbeschränkte Operatoren gibt die Monographie von M. Haase [9].

24

Kapitel 3

Unendliche Produkte

Die Theorie der unendlichen Produkte ist weitgehend analog zu der von Reihen - allerdings muss man dieDenition der Konvergenz richtig fassen, um auszuschlieÿen, dass ein Produkt bereits (gegen den Wert 0)konvergiert, wenn ein Faktor verschwindet, unabhängig von der Gröÿe der übrigen Faktoren. Auÿerdemmöchte man sicher stellen, dass der Wert eines Produktes gleich 0 ist genau dann, wenn wenigstens einerder Faktoren verschwindet. Im Prinzip kann man kurz sagen, dass ein unendliches Produkt genau dannkonvergiert, wenn die Reihe aus den Logarithmen der Faktoren konvergent ist, und der Wert der Reiheder Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Wertes des Produkts.

3.1 Denition und einfache Eigenschaften

Denition 3.1.1 (Unendliches Produkt) Für eine Folge (fν)∞ν=k heiÿt die Folge der Partialprodukte(Πm :=

∏mν=k fν)∞m=k ein unendliches Produkt mit den Faktoren fν , und wir schreiben auch

∞∏ν=k

fν , oder∏ν≥k

fν , oder∏

fν .

Das unendliche Produkt heiÿt konvergent, falls es ein m ≥ k gibt, für welches die Folge (Πmn :=∏nν=m fν)∞n=m für n → ∞ einen Grenzwert gm 6= 0 hat. In diesem Fall ist die Zahl g := gm Πm−1

nicht von m abhängig und heiÿt Grenzwert oder Wert des Produktes. Wir schreiben dann kurz

g =

∞∏ν=k

fν(

=∏ν≥k

fν =∏

fν).

Lemma 3.1.2 Gegeben sei ein unendliches Produkt∏∞ν=k fν .

(a) Falls das Produkt konvergiert, so konvergieren auch alle Produkte der Form∏∞ν=m fν mit m ≥ k,

und es gilt

limm→∞

∞∏ν=m

fν = 1 , limm→∞

fm = 1 . (3.1.1)

(b) Falls das Produkt gegen den Wert g konvergiert, so ist g = 0 genau dann, wenn mindestens einFaktor fν = 0 ist.

Beweis: Aus der Konvergenz folgt, dass höchstens endlich viele der Faktoren fν verschwinden können,und daraus folgt leicht die Konvergenz der Produkte

∏∞ν=m fν mit m ≥ k. Wenn gm deren Wert bezeich-

net, so ist gm 6= 0 für alle m ≥ m0, und es folgt dass limn→∞ gm / Πmn = 1 ist. Weil gm / Πmn =∏∞ν=n fν

25

und fn = gn/gn+1 ist, folgt (a). Teil (b) ergibt sich aus g = gm∏m−1ν=k fν und der Tatsache, dass gm 6= 0

ist für alle m ≥ m0. 2

Im Folgenden schreiben wir oft die Faktoren eines Produktes in der Form fν = 1 +aν , und dann sagt dasobige Lemma, dass die Bedingung aν → 0 notwendig für die Konvergenz eines unendlichen Produktes ist.

Beispiel 3.1.3 (a) Es gilt oenbar

n∏ν=2

(1− 1/ν2

)=

( n∏ν=2

(ν − 1

)) ( n∏ν=2

(ν + 1

))( n∏ν=2

ν)2

= (1 + 1/n)/2 → 1/2 (n→∞) ,

und deshalb ist das unendliche Produkt∏∞ν=2( 1 − 1/ν2 ) konvergent gegen 1/2. Auch das Produkt∏∞

ν=1( 1−1/ν2 ) ist konvergent, aber gegen 0. Das Produkt∏∞ν=1( 1− (−1)ν ) dagegen ist divergent.

(b) Es ist

n∏ν=2

(1− 1/ν

)=

n∏ν=2

(ν − 1

)n∏ν=2

ν

= 1/n → 0 (n→∞) ,

und deshalb ist das unendliche Produkt∏∞ν=2( 1− 1/ν ) nicht konvergent.

(c) In Verallgemeinerung von (b) zeigen wir: Wenn 1 − aν > 0 und∑∞ν=0 aν = ∞ ist, dann ist das

Produkt∏∞ν=2( 1− aν ) nicht konvergent.

Beweis: Aus der Ungleichung t ≤ et−1 folgt 0 <∏nν=2( 1 − aν ) ≤ exp[−

∑n0 aν ] → 0, und daher

gilt die Behauptung.

3.2 Kompakte und normale Konvergenz von Produkten

Im Folgenden sei G immer ein Gebiet in C, und die Funktionen fν(z) = 1 + aν(z) seien für ν ≥ 0 in Gholomorph.

Denition 3.2.1 Das unendliche Produkt∏∞ν=0 fν(z) heiÿt aufG kompakt konvergent, wenn es zu jedem

Kompaktum K ⊂ G ein m0 gibt, für welches die Folge (∏nν=m0

fν) auf K gleichmäÿig gegen eine auf Knullstellenfreie Funktion gm konvergiert. Insbesondere ist dann für alle z ∈ G das Produkt

∏∞ν=0 fν(z) im

oben denierten Sinn konvergent, was wir als punktweise Konvergenz bezeichnen wollen.

Lemma 3.2.2 Wenn ein Produkt∏∞ν=0 fν(z) holomorpher Funktionen auf G kompakt konvergiert, dann

ist der Wert des Produktes eine auf G holomorphe Funktion, und die Folge (fν(z)) der Faktoren sowiedie Folge der Funktionen gn(z) =

∏∞n fν(z) konvergieren auf G kompakt gegen die Funktion ≡ 1.

Beweis: Der erste Teil der Aussage ist klar nach einem Satz aus Elemente der Funktionentheorie, undder zweite Teil ergibt sich aus dem Beweis von Lemma 3.1.2. 2

Denition 3.2.3 Die Reihe∑∞ν=0 aν(z) heiÿt in G normal konvergent, falls für jedes Kompaktum K ⊂

G und ‖a‖K := supK |a(z)| gilt∑∞ν=0 ‖aν‖K < ∞. Im Sinn der Funktionalanalysis bedeutet dies die

absolute Konvergenz der Reihe im Sinn der Norm ‖ · ‖K . Ist dies der Fall, dann nennen wir auch das

26

Produkt∏∞ν=0(1+aν(z)) in G normal konvergent. Beachte dass jede Umordnung einer normal konergenten

Reihe, und damit auch des Produktes, wieder normal konvergiert. Es ist aber momentan noch nicht klar,ob ein normal konvergentes Produkt kompakt, oder auch nur punktweise konvergiert; dies wird aber gleichbewiesen.

Aufgabe 3.2.4 Zeige: Wenn die Reihe∑∞ν=0 log(1 + aν(z)) auf einem Kompaktum K ⊂ G gleichmäÿig

konvergiert, so tut dies auch das Produkt∏∞ν=0(1 + aν(z)), und es gilt

∞∏ν=0

(1 + aν(z)) = exp[ ∞∑ν=0

log(1 + aν(z))].

Satz 3.2.5 (Umordnungssatz) Für G und aν wie oben sei das Produkt∏∞ν=0(1 + aν(z)) in G normal

konvergent. Dann ist für jede Bijektion π : N0 → N0 das umgeordnete Produkt∏∞ν=0(1 + aπ(ν)(z)) in G

kompakt konvergent, und sein Wert ist von π unabhängig.

Beweis: Sei K ⊂ G kompakt, dann folgt aus der Denition der normalen Konvergenz die gleichmäÿigeKonvergenz der Folge (aν(z)) auf K gegen die Nullfunktion. Daher existiert ein ν0 so, dass |fν(z)| ≤ 1/2ist für alle z ∈ K und alle ν ≥ ν0. Also können wir den Hauptzweig von log(1 + aν(z)) mittels derPotenzreihe denieren und erhalten durch deren Abschätzung die Ungleichung

| log(1 + aν(z))| ≤ 2 |aν(z)| ∀ z ∈ K .

Es reicht aus, den Satz für alle Bijektionen, welche die ersten ν0 Indizes ungeändert lassen, zu beweisen,denn eine solche unterscheidet sich von einer allgemeinen nur durch eine Permutation von endlich vielenIndizes, und diese hat keinen Einuss auf die Konvergenz von Reihen bzw. Produkten. Sei also jetzt πeine solche Bijektion. Dann ist die Reihe

∑∞ν=ν0

log(1 + aπ(ν)(z)) nach dem Majorantenkriterium aufK absolut und gleichmäÿig konvergent, und nach Aufgabe 3.2.4 folgt die gleichmäÿige Konvergenz von∏∞ν=ν0

(1 + aπ(ν)(z)). Da der Wert der Reihe wegen ihrer absoluten Konvergenz nicht von π abhängt, giltdasselbe auch für das Produkt. 2

Satz 3.2.6 (Nullstellensatz) Unter den Voraussetzungen des Umordnungssatzes sei f(z) der Wert desProduktes. Dann ist die Nullstellenmenge von f die Vereinigung der Nullstellenmengen der Faktoren fν ,und es gilt weiter: Ist z0 Nullstelle von f der Ordnung n, so ist z0 Nullstelle der fν der Ordnungen nν ,wobei nur endlich viele der nν positiv sind, und n =

∑ν nν .

Beweis: Nach Denition der Konvergenz gibt es zu jedem z0 ∈ G ein ν0 so, dass fν(z0) 6= 0 für ν ≥ ν0

ist. Daraus folgt die Behauptung. 2

3.3 Die logarithmische Ableitung

Denition 3.3.1 Sei f nicht identisch Null und holomorph in einem Gebiet G. Dann ist f ′(z)/f(z)meromorph in G, d. h., jede Stelle in G ist entweder ein Holomorphiepunkt oder ein Pol der Funktion,und f ′(z)/f(z) heiÿt logarithmische Ableitung von f .

Satz 3.3.2 (Dierentiationssatz) Sei G ein Gebiet, seien fν holomorph in G, und sei das Produktf(z) =

∏∞ν=0 fν(z) in G normal konvergent. Dann ist

f ′(z)

f(z)=

∞∑ν=0

f ′ν(z)

fν(z), z ∈ G \N , N := z ∈ G : f(z) = 0 , (3.3.1)

wobei die Reihe in G \N normal konvergiert.

27

Beweis: Zu einem Kompaktum K ⊂ G sei m so, dass gn(z) =∏∞n fν(z) für n ≥ m auf K nullstellenfrei

ist, und dann konvergiert die Folge (gn(z)) nach Lemma 3.2.2 auf K gleichmäÿig gegen 1. Daraus folgtdurch Verwendung der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung die kompakte Konvergenz von (g′n(z)auf dem oenen Kern O von K gegen die Nullfunktion, und wegen

f ′(z)

f(z)=

n−1∑ν=0

f ′ν(z)

fν(z)+

g′n(z)

gn(z)

ist nur noch die normale Konvergenz der Reihe (3.3.1) zu zeigen. Daher sei jetzt K ein Kompaktumin G \ N . Dort konvergiert die Folge (fν(z)) gleichmäÿig gegen 1, und daher gibt es ein ν0 so, dass|fν(z)| ≥ 1/2 ist für alle ν ≥ ν0 und alle z ∈ K. Für fν(z) = 1 + aν(z) geht die Folge (aν(z)) auf Kgleichmäÿig gegen die Nullfunktion. Sei δ > 0 so klein, dass

L :=⋃z∈K

Uδ(z) ⊂ G \N .

Mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitung ergibt sich dann ‖a′ν‖K ≤M ‖aν‖L für ein genügendgroÿes M , welches nicht von ν abhängt. Daraus und der Tatsache, dass

∑∞0 ‖aν‖L < ∞ ist, folgt dann

die Behauptung. 2

3.4 Die Produktdarstellung der Sinusfunktion

Als ein erstes wichtiges Beispiel der sogenannten Produktdarstellung ganzer Funktionen zeigen wir:

Satz 3.4.1 Das unendliche Produkt∏∞

1 (1− z2/ν2) ist in C normal konvergent, und es gilt

sin(πz) = π z

∞∏ν=1

(1− z2/ν2) ∀ z ∈ C . (3.4.1)

Beweis: Die normale Konvergenz ist klar. Wir denieren f(z) := π z∏∞

1 (1− z2/ν2) und folgern ausdem Dierentiationssatz dass

c(z) :=f ′(z)

f(z)=

1

z+

∞∑ν=1

2 z

z2 − ν2∀ z ∈ C \ Z .

Die Funktion c(z) ist oenbar ungerade und meromorph (in C), mit Polen an den Stellen zm = m ∈ Zund zugehörigen Hauptteilen (z −m)−1. Aus

cn(z) :=1

z+

n∑ν=1

2 z

z2 − ν2=

n∑ν=−n

1

z + ν

folgt dass cn(z) + cn(z + 1/2)− 2 c2n(2z) = 2/(2 z + 2n+ 1), woraus für n→∞ folgt

c(z) + c(z + 1/2) = 2 c(2 z) ∀ z mit 2 z ∈ C \ Z .

Die Funktion π cot(π z) ist ebenfalls ungerade, hat dieselben Pole und Hauptteile, und erfüllt die gleicheFunktionalgleichung. Daher ist d(z) := c(z) − π cot(π z) eine ganze Funktion, ungerade, und erfülltgenauso die Gleichung d(z) + d(z + 1/2) = 2 d(2z). Falls d(z) 6≡ 0 wäre, könnte d(z) nicht konstant sein,und dann gäbe es nach dem Maximumprinzip ein z0 mit |z0| = 2, für welches |d(z)| < |d(z0)| sein müsstefür alle z mit |z| < 2. Mit der Dreiecksungleichung folgt hieraus |d(z0/2) + d((z0 + 1)/2)| < 2 |d(z0)|,

28

was der Funktionalgleichung widerspricht. Somit ist also f ′(z)/f(z) = π cot(πz), was die logarithmischeAbleitung von sin(πz) ist. Daraus folgt aber für ein c ∈ C die Gleichung f(z) = c sin(πz), und da gilt

limz→0

f(z)

πz= 1 = lim

z→0

sin(πz)

πz,

muss c = π sein. 2

Korollar zu Satz 3.4.1 (Wallis-Produkt) Für z = 1/2 folgt aus der Produktdarstellung der Sinus-funktion, dass

π

2=

∞∏ν=1

(2ν)2

(2ν − 1) (2ν + 1).

Aufgabe 3.4.2 (Produktdarstellung der Kosinusfunktion)Benutze die Identität sin(πz) cos(πz) = sin(2πz)/2 und die Produktdarstellung der Sinusfuktion, um zuzeigen dass

cos(πz) =

∞∏ν=1

(1− z2/(ν − 1/2)2

)∀ z ∈ C .

3.5 Die Produktdarstellung der Gammafunktion

Eine weitere wichtige Formel soll jetzt gezeigt werden. Dazu benötigen wir ein Produkt, dessen Konvergenzwir zuerst zeigen:

Proposition 3.5.1 Das Produkt∏∞

1 (1 + z/ν) e−z/ν ist in C normal konvergent. Die Funktion

H(z) = z

∞∏ν=1

(1 + z/ν) e−z/ν ∀ z ∈ C

ist also ganz und hat die Nullstellen zµ = −µ, mit µ ∈ N0, welche alle einfach sind. Weiter ist

−H(z)H(−z) =z

πsin(πz) , H(1) = e−γ , γ := lim

n→∞

( n∑ν=1

1/ν − log n).

Beweis: Aus der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion folgt für alle w im abgeschlossenenEinheitskreis die Ungleichung |1− (1− w) ew| ≤ |w|2. Daraus ergibt sich für n ∈ N und |z| ≤ n

∞∑ν=n

sup|z|≤n

∣∣∣1− (1 + z/ν) e−z/ν∣∣∣ ≤ |z|2

∞∑ν=n

ν−2 < ∞ .

Daher konvergiert das Produkt wie behauptet. Durch Multiplikation der Produktdarstellungen von H(z)und H(−z) und Vergleich mit der Darstellung der Sinusfunktion folgt die erste der Identitäten. Aus

H(1) = limn→∞

n∏ν=1

(1 + 1/ν) exp[−

n∑ν=1

1/ν]

= limn→∞

exp[

log(n+ 1)−n∑ν=1

1/ν]

und der Folgenstetigkeit von Exponentialfunktion und Logarithmus ergibt sich die Existenz von

γ = limn→∞

( n∑ν=1

1/ν − log n)

= − limn→∞

[log(n/(n+ 1)) + log(n+ 1)−

n∑ν=1

1/ν],

was noch zu zeigen war. 2

29

Denition 3.5.2 Die oben denierte Zahl γ heiÿt Eulersche Konstante. Ihr Wert ist γ = 0, 5772.... Wirdenieren weiter

∆(z) = eγz H(z) , Γ(z) =1

∆(z),

wobei aus der vorangegangenen Proposition folgt, dass ∆ ganz ist. Dagegen ist Γ meromorph in C, mitPolen erster Ordnung an den Stellen zµ = −µ, mit µ ∈ N0. Weitere Eigenschaften folgen, und insbeson-dere zeigen wir, dass die hier gegebene Denition der Gammafunktion mit der sonst üblichen durch dieIntegraldarstellung übereinstimmt.

Satz 3.5.3 Die oben denierte Funktion Γ(z) hat folgende Eigenschaften:

(a) Resz=−n Γ(z) =(−1)n

n!, ∀ n ∈ N0 .

(b) Γ(z) = limn→∞

n!nz

z (z + 1) · . . . · (z + n), ∀ − z ∈ C \ N0 .

(c) Γ(z) Γ(1− z) =π

sin(πz), ∀ z ∈ C \ Z .

(d) Γ(z) = Γ(z) , ∀ − z ∈ C \ N0 .

(e) Γ(x) > 0 , ∀ x > 0 .

(f) Γ(1 + z) = z Γ(z) , ∀ − z ∈ C \ N0 .

(g) Γ(z) =

∫ ∞0

tz−1 e−t dt , ∀ z ∈ C mit Re z > 0 .

Beweis: Aus

z

n∏ν=1

(1 + z/ν) e−z/ν =z (z + 1) · . . . · (z + n)

n!nzexp[z (log n−

n∑ν=1

1/ν)]

ergibt sich (b), und daraus folgt z Γ(z)/Γ(1 + z) = limn→∞(z+ n+ 1)/n = 1, also (f). Hieraus wiederumschlieÿt man für n ∈ N0

(z + n) Γ(z) =Γ(z + n+ 1)

z (z + 1) · . . . · (z + n− 1)→ Γ(1)

(−n) · . . . · (−1)für z → −n ,

und da Γ(1) = 1/∆(1) = 1, folgt (a). Die sogenannte Ergänzungsformel (c) folgt aus den Produktdar-stellungen der Kehrwerte der drei Terme, und (d), (e) ergeben sich aus (b) und der Tatsache, dass Γals Kehrwert einer ganzen Funktion keine Nullstellen haben kann. Schlieÿlich zeigt man durch Induktionüber n für n ≥ 1∫ n

0

tz−1 (1− t/n)n dt = nz∫ 1

0

uz−1 (1− u)n du =n!nz

z (z + 1) · . . . · (z + n).

Die Folge (1− t/n)n ist für n ≥ t monoton wachsend und strebt gegen e−t, und dann zeigt z. B. der Satzvon Beppo-Levi, für z = x > 0, dass man Grenzwert und Integral vertauschen darf. Der Identitätssatzfür holomorphe Funktionen zeigt dann die Gültigkeit von (g), da das Integral in der rechten Halbebeneabsolut und kompakt konvergent ist und also eine holomorphe Funktion darstellt. 2

30

Kapitel 4

Ganze Funktionen mit vorgegebenen

Nullstellen

In diesem Kapitel wollen wir die Existenz von ganzen Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen zeigen.Da sich diese Nullstellen nirgends in C häufen können (auÿer im trivialen Fall der Nullfunktion), sei imFolgenden immer eine feste Folge (zk)∞k=1 betrachtet, deren Glieder alle 6= 0 sein sollen (da wir häugihre Kehrwerte bilden wollen), und die gegen Unendlich gehen sollen. Dabei können wir noch o. B. d.A. annehmen, dass eventuell gleiche Folgenglieder hintereinander stehen mögen, und dass die Folge ihrerBeträge monoton wachsend sei. Dies wird aber meistens keine Rolle spielen.

4.1 Weierstraÿ-Faktoren

Denition 4.1.1 Für n ∈ N0 und z ∈ C heiÿt die Funktion

En(z) = (1− z) epn(z) , pn(z) =

n∑ν=1

zν/ν , (4.1.1)

Weierstraÿ-Faktor der Ordnung n. Wir nennen pn(z) auch n-tes Weierstraÿ-Polynom.

Bemerkung 4.1.2 Beachte dass pn(z) gerade das n-te Taylorpolynom von − log(1− z) ist, so dass für|z| < 1 die Konvergenz von En(z) gegen die Einsfunktion folgt. Vergleiche dazu auch die unten stehendenAbschätzungen.

Lemma 4.1.3 Für die oben denierten Weierstraÿ-Faktoren gilt für alle n ∈ N und alle z ∈ C:(a) E′n(z) = −zn epn(z) ,

(b) En(z) = 1 −∞∑

ν=n+1

aν zν , aν > 0 ∀ ν ≥ n+ 1 ,

∞∑ν=n+1

aν = 1 ,

(c) |En(z) − 1| ≤ |z|n+1 falls |z| ≤ 1 ist.

Beweis: Teil (a) folgt durch Nachrechnen, und da En(0) = 1 ist, folgt dass in der Potenzreihenentwick-lung von En(z) die Koezienten a1 = . . . = an = 0 sind. Weil alle Koezienten der Potenzreihe für ez

ν/ν

nicht-negativ sind, folgt mit Induktion über n aus der Faltungsformel dass die übrigen Koezienten aνalle positiv sind. Weil En(1) = 0 ist, folgt die letzte Beziehung in (b), und daraus folgt (c). 2

31

4.2 Der Weierstraÿche Produktsatz

Lemma 4.2.1 Wenn die Zahlen kν ∈ N0 so sind dass

∀ r > 0 :

∞∑ν=1

|r/zν |kν+1 < ∞ ,

dann konvergiert das Produkt

∞∏ν=1

Ekν (z/zν) =

∞∏ν=1

(1− z/zν) exp [

kν∑µ=1

(z/zν)µ ] (4.2.1)

normal in C, und sein Wert ist eine ganze Funktion, deren Nullstellen genau die Zahlen zν sind.

Beweis: Für r > 0 und |z| ≤ r, sowie ν0 so, dass |zν | ≥ r für ν ≥ ν0 gilt, folgt

|1 − Ekν (z/zν)| ≤(r/|zν |

)kν+1

∀ ν ≥ ν0 ,

woraus die Behauptung folgt. 2

Die Nullstellenmenge einer nicht trivialen ganzen Funktion f kann leer wie bei f(z) = ez, oder eineendliche Menge wie im Fall eines Polynoms, oder eine abzählbar unendliche Menge wie bei f(z) = sin zsein. Im letzten Fall ist ∞ der einzige Häufungspunkt der Nullstellenmenge, und wir sagen kurz so,dass die Nullstellenmenge einer ganzen Funktion f(z) 6≡ 0 immer eine diskrete Menge ist. Dass jedediskrete Menge als Nullstellenmenge auftreten kann, und dass jede dieser Nullstellen auch eine beliebigvorgegebene Vielfachheit haben kann, ist für eine unendliche Menge nicht trivial, soll aber jetzt gezeigtwerden. Dazu sei N ⊂ C diskret, also eine abzählbar unendliche Menge ohne endlichen Häufungspunkt,und v : C→ N0 so, dass genau dann v(z) = 0 ist wenn z 6∈ N liegt. Die Zahl 0 kann in N liegen oder auchnicht, und wir assoziieren mit N und v eine Folge (zν)ν≥1 so, dass alle zν ∈ N \ 0 sind, und dass jedesz ∈ N \ 0 genau v(z)-mal als Folgenglied auftritt. Wir können uns o. B. d. A. vorstellen, dass die Folge(|zν |)ν≥1 monoton wächst, und dass insbesondere gleiche Glieder zν unmittelbar hintereinanderkommen.

Satz 4.2.2 (Weierstraÿscher Produktsatz) Zu N und v wie oben beschrieben gibt es eine ganzeFunktion f , die genau die Zahlen z ∈ N als Nullstellen der Vielfachheit v(z) hat. Ist (zν) eine Folgewie oben beschrieben, dann hat z. B.

f(z) = zv(0)∞∏ν=1

Ekν (z/zν) = zv(0)∞∏ν=1

(1− z/zν) exp [

kν∑µ=1

(z/zν)µ ] (4.2.2)

die gewünschte Eigenschaft, wobei die Zahlen kν immer so gewählt werden können, dass das Produkt inC normal konvergiert.

Beweis: Sei zu r > 0 ein m ∈ N so gewählt, dass |zν | > 2 r gilt sofern nur ν ≥ m+ 1 ist. Dann folgt

∞∑ν=m+1

∣∣ r/zν ∣∣ν <

∞∑ν=m+1

(1/2)ν < ∞ ,

und deshalb ist Lemma 4.1.3 mit kν = ν − 1 anwendbar und liefert die Behauptung. 2

32

Bemerkung 4.2.3 Die im Beweis des letzten Satzes gewählte Folge von Zahlen kν ist nicht optimal, washier aber keine Rolle spielt. Auÿerdem ist klar, dass es nicht nur eine ganze Funktion f gibt, welche dieim Satz vorgegebenen Nullstellen besitzt, denn man kann natürlich f immer mit einer ganzen Funktion hohne Nullstellen multiplizieren. Wenn umgekehrt g eine weitere ganze Funktion mit denselben Nullstellenderselben Vielfachheiten wie f ist, dann hat die Funktion h(z) = g(z)/f(z) an den Nullstellen von fimmer hebbare Singulariäten und ist deshalb eine ganze Funktion ohne Nullstellen. Wie die allgemeinsteganze Funktion ohne Nullstellen aussieht, ist Inhalt des nächsten Lemmas.

Lemma 4.2.4 (Ganze Funktionen ohne Nullstellen) Zu jeder ganzen Funktion h ohne Nullstellengibt es eine andere ganze Funktion a so, dass h(z) = ea(z) für alle z ∈ C ist. Umgekehrt ist bei gegebenerganzer Funktion a die Funktion h(z) = ea(z), z ∈ C, ganz und hat keine Nullstellen.

Beweis: Es genügt, die eine Richtung zu zeigen. Sei also h gegeben. Dann ist auch die logarithmischeAbleitung h′/h ganz, und da das Kurvenintegral in C wegunabhängig ist, folgt für beliebiges a ∈ C dass

a(z) := a +

∫ z

0

h′(w)

h(w)dw ∀ z ∈ C

eine weitere ganze Funktion ist. Man rechnet nach, dass die Ableitung von h(z) e−a(z) die Nullfunktionist, so dass die Funktion selber konstant ist. Wenn man jetzt a = log(h(0)) wählt, wobei man einenbeliebigen Zweig der Logarithmusfunktion benutzen kann, dann folgt dass h(z) ≡ ea(z) ist, was zu zeigenwar. 2

4.3 Quotienten ganzer Funktionen

Ein Quotient ganzer Funktionen ist immer eine in C meromorphe Funktion. Der nächste Satz zeigt dieUmkehrung:

Satz 4.3.1 Zu jeder in C meromorphen Funktion h 6≡ 0 gibt es immer zwei ganze Funktionen f und gohne gemeinsame Nullstellen, so dass h(z) = f(z)/g(z) ist für alle z ∈ C, welche keine Nullstellen desNenners sind. Insbesondere ist z0 eine Nullstelle von f bzw. g der Vielfachheit v genau dann, wenn z0

Nullstelle bzw. Polstelle von h der Vielfachheit bzw. der Ordnung v ist.

Beweis: Die Nullstellen- und die Polstellenmenge von h sind zwei diskrete, abzälbare und disjunkteMengen in C, und daher gibt es ganze Funktionen f und g, für welche die zweite Aussage des Satzes richtigist (auch falls eine der beiden Mengen endlich ist, denn dann kann die entsprechende ganze Funktion alsein Polynom gewählt werden). Die Funktion h = f/g ist dann ebenfalls meromorph und hat die gleichenNullstellen und Pole mit denselben Vielfachheiten bzw. Ordnungen wie h. Also ist F := h/h eine ganzeFunktion ohne Nullstellen, und h = f F/g. Also gilt der Satz mit f F an Stelle von f . 2

Bemerkung 4.3.2 In der Sprache der Algebra ist die Menge der ganzen Funktionen ein Integritätsbe-reich, d. h., ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler. Satz 4.3.1 besagt genau dass diemeromorphen Funktionen der zugehörige Quotientenkörper sind.

4.4 Existenz von Wurzeln ganzer Funktionen

Wir wollen untersuchen, wann die n-te Wurzel einer ganzen Funktion wieder ganz ist; dass dies nichtimmer so ist, sieht man an dem trivialen Beispiel n

√z.

33

Satz 4.4.1 Für jede ganze Funktion und jedes n ∈ N sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) Es gibt eine ganze Funktion g mit f = gn.

(b) Jede Nullstelle von f hat eine Vielfachheit, welche durch n teilbar ist.

Beweis: Wenn (a) gilt, ist (b) oenbar erfüllt. Umgekehrt gibt es nach Satz 4.2.2 zu gegebenem f , fürwelches (b) richtig ist, eine ganze Funktion h, welche die gleichen Nullstellen wie f , aber mit Vielfachheitenv(z)/n hat. Dann ist f/hn eine ganze Funktion ohne Nullstellen, also von dern Form ea(z) mit einer ganzenFunktion a. Mit g(z) = h(z) ea(z)/n folgt die Behauptung. 2

4.5 Die Weierstraÿsche p-Funktion

Die Weierstraÿsche ℘-Funktion ist eine sogenannte doppeltperiodische Funktion. Sie hängt von zwei kom-plexen Parametern ω1, ω2 ab, und wenn wir diese Zahlen als Punkte in R2 auassen, ist klar, was wir mitlinearer Unabhängigkeit über R meinen. Wir zeigen jetzt:

Lemma 4.5.1 (Linear unabhängige Perioden) Genau dann sind ω1, ω2 ∈ C linear unabhängig überR, wenn beide nicht = 0 sind, und wenn ω1/ω2 6∈ R ist.

Beweis: Falls eine der Zahlen = 0 ist, liegt immer lineare Abhängigkeit vor. Im anderen Fall sind siegenau dann linear abhängig, wenn es eine reelle Zahl α 6= 0 gibt, so dass ω1 = αω2 ist, und daraus folgtdie Behauptung. 2

Zwei linear unabhängige Zahlen ω1, ω2 ∈ C denieren ein ganzzahliges Gitter

Ω := ω := n1 ω1 + n2 ω2 , n1, n2 ∈ Z . (4.5.1)

Da sich das Gitter nicht ändert, wenn wir z. B. ω1 durch −ω1 ersetzen, können wir immer annehmen, dassder Quotient ω1/ω2 in der oberen Halbebene H liegt. Die Menge der Paare (ω1, ω2) mit ω1/ω2 ∈ H istoen und soll mit O bezeichnet werden. Um die Konvergenz einiger wichtiger Reihen zeigen zu können,beweisen wir folgendes Hilfsresultat:

Lemma 4.5.2 Für jedes α > 2 und jede kompakte Menge K ⊂ O gibt es ein M = M(α,K) > 0 so, dass

∀ (ω1, ω2) ∈ K :∑

ω∈Ω\0

|ω|−α ≤M . (4.5.2)

Für α ≤ 2 dagegen ist die Reihe in (4.5.2) divergent.

Beweis: Die Funktion q(x, y, ω1, ω2) := |xω1 + y ω2|/√

(x2 + y2) ist für (x, y, ω1, ω2) ∈ (R2 \ 0)×C2

stetig und nimmt deshalb auf S1 × K, mit S1 = x2 + y2 = 1, ein Maximum T und ein Minimum tan. Da q keine Nullstelle haben kann, folgt t > 0, und weil q(r x, r y, ω1, ω2) = q(x, y, ω1, ω2) ist für aller > 0, folgt

t ≤ q(x, y, ω1, ω2) ≤ T ∀ (x, y, ω1, ω2) ∈ (R2 \ 0)×K .

Daraus ergibt sich unmittelbar

∀ ω = n1 ω1 + n2 ∈ Ω : t√

(n21 + n2

2) ≤ |ω| ≤ T√

(n21 + n2

2) .

34

Daher lässt sich die Reihe∑ω∈Ω\0 |ω|−α nach oben bzw. unten durch t−α bzw. T−α multipliziert mit

der Reihe ∑(n1,n2)∈Z2\0

1

(n21 + n2

2)α/2= 4

∞∑n=1

1

nα+ 4

∞∑n,m=1

1

(n2 +m2)α/2

abschätzen. Weil (n1 − n2)2 = n21 + n2

2 − 2n1 n2 ≥ 0 ist, folgt dass

∞∑n,m=1

1

(n2 +m2)α/2≤

∞∑n,m=1

1

(2nm)α/2= 2−α/2

( ∞∑n=1

1

nα/2

) ( ∞∑m=1

1

mα/2

),

und die rechte Seite ist endlich für α > 2. Für α = 2 dagegen ist

∞∑n,m=1

1

n2 +m2≥

∞∑n=1

n∑m=1

1

n2 +m2≥

∞∑n=1

n∑m=1

1

2n2=

∞∑n=1

n

2n2=∞ .

Also gilt die Behauptung des Lemmas. 2

Denition 4.5.3 Sei G ⊂ Cn, n ∈ N, ein Gebiet. Eine Funktion f : G→ C von n komplexen Variablenz1, . . . , zn heiÿt holomorph in G, falls sie für jedes j ∈ 1, . . . , n, bei festen, aber beliebigen Werten vonzk für alle k 6= j, und zj so dass (z1, . . . , zn)T ∈ G ist, eine holomorphe Funktion der Variablen zj ist.

Beachte, dass sich die Denition der normalen Konvergenz von Folgen und Reihen auf Funktionen meh-rerer Variabler verallgemeinern läÿt, und dass Satz 3.2.5 auch für diese Situation gilt. Deshalb könnenwir jetzt folgendes Ergebnis zeigen:

Satz 4.5.4 Das Produkt

σ(z) = σ(z;ω1, ω2) := z∏

ω∈Ω\0

(1− z/ω) exp[z/ω + (1/2) (z/ω)2]

konvergiert auf C × O normal, und daher ist σ dort eine holomorphe Funktion dreier Variabler. Insbe-sondere ist σ eine ganze Funktion in z, für jedes feste Paar (ω1, ω2) ∈ O.

Beweis: Wegen |1− E2(z)| ≤ |z|3 folgt die Behauptung aus Lemma 4.5.2. 2

Denition 4.5.5 Aus Lemma 4.5.2 folgt auch die Divergenz des Produktes∏ω∈Ω\0

(1− z/ω) exp[z/ω] ,

und daher ist σ in gewissem Sinn die einfachste ganze Funktion, welche die Gitterpunkte ω als Nullstellenhat. Sie heiÿt die Weierstraÿsche σ-Funktion. Ihre logarithmische Ableitung nach z

ζ(z) =σ(z)′

σ(z)=

1

z+

∑ω∈Ω\0

( 1

z − ω+

1

ω+

z

ω2

),

hat einfache Polen an den Gitterpunkten. Sie heiÿt Eisenstein-Weierstraÿsche ζ-Funktion. NochmaligesDierenzieren führt auf die Funktion

℘(z) = −ζ(z)′ =1

z2+

∑ω∈Ω\0

( 1

(z − ω)2− 1

ω2

)(4.5.3)

Sie heiÿt Weierstraÿsche ℘-Funktion.

35

Satz 4.5.6 Für alle z ∈ C \ Ω gilt

℘(z + ω1) = ℘(z + ω2) = ℘(z) . (4.5.4)

Beweis: Nochmaliges Dierenzieren ergibt

℘(z)′ =−2

z3+

∑ω∈Ω\0

−2

(z − ω)3= −2

∑ω∈Ω

1

(z − ω)3,

und aus dieser Darstellung ergibt sich dass ℘(z+ω1)′ = ℘(z)′ ist. Daher ist ℘(z+ω1)−℘(z) konstant, sagenwir: = c. Es folgt aber aus (4.5.3), dass ℘ eine gerade Funktion ist, dass also speziell ℘(ω1/2) = ℘(−ω1/2)ist, und daher folgt c = 0. Durch Vertauschen von ω2 und ω1 folgt dann, dass (4.5.4) gilt. 2

Wegen der Eigenschaft (4.5.4) heiÿt ℘ auch doppeltperiodische Funktion.

36

Kapitel 5

Meromorphe Funktionen mit

vorgegebenen Hauptteilen

Im Folgenden sei (zk)k≥0 eine gegebene Zahlenfolge ohne endlichen Häufungspunkt, wobei noch gelten soll,dass alle ihre Glieder paarweise verschieden sind und dass z0 = 0 ist. Weiter seien rationale Funktionender Form

hk(z) =

nk∑j=1

hkj(z − zk)j

, hkj ∈ C ,

gegeben, wobei noch angenommen sei, dass für k ≥ 1 die Zahlen hknk 6= 0 seien. Daher sind die hk(z) fürk ≥ 1 nicht trivial, während h0(z) ≡ 0 erlaubt sein soll. Gesucht ist dann eine meromorphe Funktion f(z),welche genau an den Zahlen zk Pole haben soll, und zwar so dass hk(z) der Hauptteil der Laurentreihevon f um den Punkt zk ist falls h0(z) ≡ 0 sein sollte, dann ist der Nullpunkt eine hebbare Singularitätvon f .

5.1 Der Satz von MittagLeer

Denition 5.1.1 Für k ≥ 1 ist der Hauptteil hk(z) im Nullpunkt holomorph, und wir bezeichnen mit

pkd(z) =

d−1∑j=0

h(j)(0)

j!zj (d ∈ N)

das Taylorpolynom von hk(z) vom Grad d− 1 und setzen noch pk0(z) ≡ 0. Weiter sei M = z1, z2 . . ..

Lemma 5.1.2 Falls die Zahlen dk ∈ N0 so sind, dass die Reihe∑k(hk(z) − pkdk(z)) in C \M normal

konvergiert, dann ist die Funktion

f(z) := h0(z) +

∞∑k=1

(hk(z)− pkdk(z)

)z 6= z0, z1 z2 . . . (5.1.1)

in C meromorph, mit Polen lediglich an den Stellen zk, k ∈ N0, und den Hauptteilen hk(z).

Beweis: Für ein n ≥ 2 sei fn(z) =∑k≥n(hk(z) − pkdk(z)). Diese Reihe ist ebenfalls in C \M normal

konvergent, und daher ist fn dort holomorph. Für r > 0 und n so groÿ, dass |zk| > r ist falls k ≥ n,folgt aus dem Maximumprinzip dass die Reihe auf der Kreisscheibe |z| ≤ r gleichmäÿig konvergiert, und

37

daher ist fn an den Stellen zj , die in dieser Kreisscheibe liegen, ebenfalls holommorph. Also ist f selberin |z| < r meromorph und hat dort die richtigen Pole und Hauptteile. Da aber r beliebig groÿ sein kann,folgt die Behauptung. 2

Es bleibt jetzt zu klären, ob es immer möglich ist, die Zahlen dk so zu wählen, dass (5.1.1) normalkonvergiert. Dies wird jetzt gezeigt:

Satz 5.1.3 (Mittag-Leer) Es ist immer möglich, die Zahlen dk so zu wählen, dass (5.1.1) normalkonvergiert, und deshalb gibt es immer eine in C meromorphe Funktion, die genau an den Stellen zk Polemit den Hauptteilen hk(z) hat.

Beweis: Für jedes k ≥ 1 ist die Folge (pkd(z)) der Taylorpolynome auf |z| < |zk| kompakt konvergentgegen hk(z), und deshalb existiert ein dk mit∣∣hk(z) − pkdk(z)

∣∣ ≤ 2−k für |z| ≤ |zk|/2 .

Für jedes Kompaktum K ⊂ C \M können wir n so wählen dass zk/2 6∈ K für k ≥ n gilt, und dannerhalten wir die Abschätzung∑

k≥n

supz∈K

∣∣hk(z)− pkdk(z)∣∣∣ ≤ ∑

k≥n

2−k < ∞ ,

woraus die Behauptung folgt. 2

5.2 Beispiele

Einige Beispiele von Reihen der Form (5.1.1) sind uns schon begegnet: Die Darstellungen für die ζ-Funktion und die ℘-Funktion sowie deren Ableitung sind solche Mittag-Leer-Reihen. Gleiches gilt fürdie im Beweis von Satz 3.4.1 gefundene Darstellung der Kotangensfunktion, wenn man sie folgendermaÿenumformt:

π cot(πz) =1

z+

∞∑ν=1

2z

z2 − ν2=

1

z+

∑k∈Z\0

( 1

z + k− 1

k

).

Allgemein ist die logarithmische Ableitung eines Produktes der Form (4.2.2) gleich der Mittag-Leer-Reihe

f(z)′

f(z)=

v(0)

z+

∞∑ν=1

( 1

z − zν+

kν−1∑µ=0

zµ

zµ+1ν

).

Schlieÿlich folgt durch logarithmisches Dierenzieren der Produktdarstellung der Gammafunktion

Γ(z)′

Γ(z)+ γ = − 1

z−

∞∑k=1

( 1

z + k− 1

k

)also eine weitere Mittag-Leer-Reihe. Wenn man die Darstellung der Kotangensfunktion ein bzw. zwei-mal dierenziert, ndet man

π2

(sin(πz))2=∑k∈Z

1

(z + k)2,

π3 cot(πz)

(sin(πz))2=∑k∈Z

1

(z + k)3.

Durch Einsetzen spezieller Werte für z erhält man Darstellungen der Zahl π, die allerdings nicht besondersschnell konvergieren!

38

5.3 Herleitung des Produktsatzes

Aus dem Mittag-Leerschen Satz kann man den Produktsatz herleiten wir deuten dies nur kurz an fürden Fall, dass alle Nullstellen einfach sind:

Die Funktion

a(z) :=1

z+

∞∑ν=1

( 1

z − zν+

kν−1∑µ=0

zµ

zµ+1ν

)hat die Stammfunktion

A(z) = log z +

∞∑ν=1

(log(1− z/zν) +

kν∑µ=1

(z/zν)µ

µ

),

wobei immer der Hauptwert des Logarithmus genommen werden muss, damit die Reihe konvergiert. Ausf(z)′ = a(z) f(z) folgt dann, bis auf eine multiplikative Konstante, dass

f(z) = z

∞∏ν=1

(1− z/zν) exp[ kν∑µ=1

(z/zν)µ

µ

],

wobei auch die Konvergenz des Produktes folgt.

39

Kapitel 6

Der Riemannsche Abbildungssatz

Gelegentlich ist es wichtig zu wissen, ob es für zwei Gebiete Gj eine in G1 biholomorphe, d. h., eineholomorphe und bijektive Abbildung nach G2 gibt. Während dies für allgemeine Gebiete unklar ist,werden wir zeigen, dass es bei einfach zusammenhängenden Gebieten immer ein solches f gibt, auÿerwenn genau eines der Gebiete die ganze Ebene ist. Dies ist eine Konsequenz aus dem RiemannschenAbbildungssatz, welcher aussagt, dass jedes einfach zusammenhängende Gebiet G, welches nicht dieganze Ebene ist, biholpmorph (d. h., durch eine auf g holomorphe und injektive Funktion) auf die oeneEinheitskreisscheibe E abgebildet werden kann. Dass dieser Ausnahmefall auftritt, liegt am LiouvilleschenSatz, denn eine holomorphe Abbildung von C in E ist ganz und beschränkt, also konstant, und kanndeshalb nicht bijektiv sein.

6.1 Einfach zusammenhängende Gebiete

Denition 6.1.1 Sei G ⊂ C ein Gebiet.

1. Zwei geschlossene Kurven γj in G heiÿen homotop, wenn eine stetige Funktion h : [0, 1]× [0, 1]→ Gmit folgenden Eigenschaften existiert:

(a) Für alle s ∈ [0, 1] gilt h(0, s) = h(1, s). Mit anderen Worten: Für jedes feste s ∈ [0, 1] ist h(·, s)Parameterdarstellung einer geschlossenen Kurve in G.

(b) Die Kurven γ1 bzw. γ2 haben h(·, 0) bzw. h(·, 1) als Parameterdarstellungen.

2. Wenn der Träger einer Kurve γ nur aus einem Punkt besteht (wenn also eine konstante FunktionParameterdarstellung ist), dann heiÿt γ Einpunktkurve.

3. Wenn γ eine geschlossene Kurve in G ist, welche zu einer Einpunktkurve homotop ist, dann heiÿtγ nullhomotop.

4. Das Gebiet G heiÿt einfach zusammenhängend, wenn jede geschlossene Kurve in G nullhomotopist.

Lemma 6.1.2 Seien zj : [0, 1]→ C Parameterdarstellungen zweier geschlossener Wege γj. Wenn für einz0 ∈ C gilt

|z1(t) − z2(t)| < |z0 − z1(t)| + |z0 − z2(t)| ∀ t ∈ [0, 1] ,

dann folgt z0 6∈ γ∗1 ∪ γ∗2 , und es gilt Indγ1(z0) = Indγ2(z0).

Beweis: Wäre z2(t) = z0 für irgendein t ∈ [0, 1], so wäre |z1(t) − z0| < |z0 − z1(t)|, was nicht seinkann. Also ist z0 6∈ γ∗1 , und genauso folgt z0 6∈ γ∗2 . Für den Beweis beschränken wir uns auf stückweise

40

stetig dierenzierbare Wege (allgemeine Wege können durch solche approximiert werden, ohne dass sichdie Integrale ändern!) Für solche folgt für die Funktion

z(t) =z2(t)− z0

z1(t)− z0, 0 ≤ t ≤ 1 ,

dassz′(t)

z(t)=

z′2(t)

z2(t)− z0− z′1(t)

z1(t)− z0

bis auf solche t, für die z′(t) undeniert ist. Daraus folgt aber

Indγ2(z0) − Indγ1(z0) =1

2πi

∫ 1

0

z′(t)

z(t)dt = Indγ(0)

für die Kurve γ mit Parameterdarstellung z(t). Es folgt aber aus der Voraussetzung, dass |z(t)− 1| < 1 +|z(t)| für alle t gilt. Das bedeutet, dass γ die negativ-reelle Achse nicht schneidet. Nach dem CauchyschenIntegralsatz ist deshalb Indγ(0) = 0. 2

Satz 6.1.3 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Dann gilt für zwei homotope geschlossene Wege γj in G

Indγ1(z) = Indγ2(z) ∀ z 6∈ G.

Beweis: Seien I2 = [0, 1] × [0, 1] und h wie in der Homotopiedenition. Da I2 kompakt ist, ist auchdas Bild h(I2) kompakt. Daher gibt es zu einem z 6∈ G ein ε > 0 derart, dass |z − h(t, s)| > 2ε für alle(t, s) ∈ I2. Weiter ist h gleichmäÿig stetig, und deshalb existiert ein n ∈ N mit

|h(t, s) − h(t, s)| < ε ∀ |s− s| + |t− t| ≤ 1/n .

Deniere zk(t), 0 ≤ k ≤ n, wie folgt:

zk(t) = (n t + 1− j)h(j/n, k/n) + (j − n t)h([j − 1]/n, k/n) ,

für (j − 1)/n ≤ t ≤ j/n und 1 ≤ j ≤ n. Dann ist jedes zk Parameterdarstellung eines Polygonzugs, alsoeines stückweise glatten Weges βk in G, und es gilt

|zk(t) − h(t, k/n)| < ε ∀ t ∈ [0, 1], 0 ≤ k ≤ n ,

und (für die gleichen t und k)

|z − zk(t)| > |z − h(t, k/n)| − |h(t, k/n) − zk(t)| > ε.

Schlieÿlich zeigt man noch, dass

|zk(t) − zk−1(t)| < ε , ∀ t ∈ [0, 1], 1 ≤ k ≤ n .

Daher sind die Voraussetzungen des Lemma 6.1.2 für je zwei aufeinander folgende Wege βk erfüllt, unddeshalb haben alle dieselbe Windungszahl bzgl. z. Genauso schlieÿt man, dass die Windungszahl von β1

bzw. βn gleich der von γ1 bzw. γ2 ist, und daraus folgt die Behauptung. 2

Satz 6.1.4 Jedes einfach zusammenhängende Gebiet ist ein Cauchy-Gebiet.

Beweis: Jeder geschlossene Weg in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G ist nach Denitionnullhomotop. Nach dem vorausgegangenen Satz ist also seine Windungszahl bzgl. eines z 6∈ G gleich dereiner Einpunktkurve, also eines Weges der Länge ` = 0, und diese Windungszahl verschwindet oenbar.Also folgt die Behauptung aus Satz 2.4.1. 2

41

Aufgabe 6.1.5 Zeige: Jedes sternförmige Gebiet ist einfach zusammenhängend.

Aufgabe 6.1.6 Zeige: Ein Kreisring ist nicht einfach zusammenhängend.

Aufgabe 6.1.7 Seien Gj Gebiete in C, und sei f : G1 −→ G2 bistetig, d. h., f ist bijektiv, und f undf−1 stetig auf G1 bzw. G2. Zeige: Genau dann ist G1 einfach zusammenhängend, wenn dies auch für G2

gilt.

6.2 Normale Familien und der Montelsche Satz

Denition 6.2.1 Sei G ⊂ C ein Gebiet. Eine Familie F von in G holomorphen Funktionen heiÿt dortlokal beschränkt, falls

∀ z0 ∈ G ∃ ε > 0 ∃ M ∈ R+ ∀ f ∈ F ∀ z ∈ Uε(z0) ∩G : |f(z)| ≤ M .

Weiter nennen wir F in G lokal gleichgradig stetig, wenn

∀ z0 ∈ G ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ f ∈ F ∀ z ∈ Uδ(z0) ∩G : |f(z)− f(z0)| ≤ ε .

Im Unterschied zur Denition der gleichmäÿigen Stetigkeit darf also hier das δ von z0, nicht aber von fabhängen.

Lemma 6.2.2 Sei G ⊂ C ein Gebiet, und sei F eine lokal beschränkte Familie von in G holomorphenFunktionen. Dann ist F auch lokal gleichgradig stetig.

Beweis: Seien z0 ∈ G und r > 0 so, dass U2r(z0) ⊂ G ist. Wenn wir r eventuell noch verkleinern, damitwir in der Denition der lokalen Beschränktheit ε = r setzen können, dann folgt für alle z mit |z−z0| ≤ r:

|f(z) − f(z0)| =∣∣∣ z − z0

2πi

∮|w−z0|=2r

f(w)

(w − z) (w − z0)dw∣∣∣ ≤ |z − z0|

M

r,

woraus die Behauptung folgt. 2

Satz 6.2.3 (Montel) Jede in einem Gebiet G ⊂ C lokal beschränkte Folge holomorpher Funktionenenthält eine kompakt konvergente Teilfolge.

Beweis: Sei A eine abzählbare dichte Teilmenge von G, und sei die Folge (fn) in G holomorph undlokal beschränkt. Wir nehmen o. B. d. A. an, dass die Folge auf A punktweise konvergiert falls diesnicht so ist, kann man mit dem Cantorschen Diagonalfolgenprinzip eine entsprechende Teilfolge wählen.Sei weiter (zn) eine Folge in G, welche gegen ein z∗ ∈ G konvergiert. Zu gegebenem ε > 0 gibt es dannwegen Lemma 6.2.2 ein δ > 0 derart, dass aus z, w ∈ Uδ(z∗) folgt |fn(z)− fn(w)| ≤ ε für alle n ≥ 1. Seia ∈ Uδ(z∗) ∩ A, und sei n0 so, dass für alle n ≥ n0 gilt zn ∈ Uδ(z∗). Auÿerdem gelte für n,m ≥ n0 dass|fn(a)− fm(a)| ≤ ε ist; dies kann erreicht werden, wenn wir n0 eventuell noch vergröÿern. Dann erhaltenwir

|fm(zm)− fn(zn)| ≤ |fm(zm)− fm(a)|+ |fm(a)− fn(a)|+ |fn(a)− fn(zn)| ≤ 3 ε ∀ n,m ≥ n0 .

Also ist die Folge (fn(zn)) konvergent, und durch Mischen von verschiedenen Folgen mit gleichem Grenz-wert z∗ zeigt man, dass der Grenzwert f(z∗) := lim fn(zn) nicht von der Wahl der Folge (zn) abhängenkann. Weil wir auch die konstante Folge (zn ≡ z∗) benutzen können, schlieÿen wir dass lim fn(z∗) = f(z∗)

42

gilt, d. h. dass die Folge (fn) auf G punktweise konvergiert. Wir zeigen jetzt die (Folgen-)Stetigkeit von f :Sei wieder lim zn = z∗. Für ε > 0 und k ≥ 1 folgt mit der punktweisen Konvergenz von (fn) die Existenzvon nk mit |fnk(zk)− f(zk)| < ε/2, und o. B. d. A. seien die nk streng monoton wachsend gewählt. Weillim fnk(zk) = f(z∗) ist, folgt dass |fnk(zk)− f(z∗)| ≤ ε/2 ist, sofern nur k hinreichend groÿ ist. Also gilt

|f(zk) − f(z∗)| ≤ |f(zk) − fnk(zk)| + |fnk(zk)− f(z∗)| < ε

falls k groÿ genug ist, und das ist die Folgenstetigkeit im Punkt z∗. Wenn wir annehmen, dass die Folge(fn) nicht kompakt gegen f konvergiert, dann gibt es ein Kompaktum K ⊂ G und ein ε > 0 derart, dasseine Teilfolge (fnk) sowie eine Punktfolge (zk) in K existieren, für welche |f(zk) − fnk(zk)| ≥ ε ist, füralle k ≥ 1. Da K kompakt und damit auch folgenkompakt ist, können wir o. B. d. A. davon ausgehen,dass die Folge (zk) gegen ein z∗ ∈ K konvergiert, und daraus folgt ein Widerspruch, denn da f stetig ist,konvergiert f(zk) gegen f(z∗), und auch fnk(zk) hat diesen Grenzwert. 2

Den Satz von Montel ndet man oft auch in einer anderen Formulierung, welche den folgenden Begriverwendet:

Denition 6.2.4 (Normale Familien) Eine Familie F von in einem Gebiet G holomorphen Funktio-nen heiÿt in G normal, falls jede Folge aus F eine kompakt konvergente Teilfolge enthält.

Mit Hilfe dieses Begries kann man den Satz von Montel auch so aussprechen:

Satz 6.2.5 Jede in einem Gebiet G lokal beschränkte Familie holomorpher Funktionen ist dort normal.

6.3 Einheiten und Quadratwurzeln

Denition 6.3.1 Die Menge H(G) aller in einem Gebiet G holomorphen Funktionen ist, genau wie dieMenge der ganzen Funktionen, ein Integritätsbereich. Wir nennen deshalb, wie in der Algebra üblich,ein f ∈ H(G) eine Einheit, falls es ein g ∈ H(G) gibt, für welches f(z) g(z) = 1 ist für alle z ∈ G,und dies gilt genau dann, wenn f keine Nullstelle in G hat. Wir sagen weiter, dass ein f ∈ H(G) dieQuadratwurzeleigenschaft besitzt, wenn ein g ∈ H(G) existiert, für welches f = g2 ist.

Lemma 6.3.2 Ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann hat jede Einheit die Quadratwurze-leigenschaft.

Beweis: Sei f eine Einheit in H(G). Da G einfach zusammenhängend ist, ist das Kurvenintegral derlogarithmischen Ableitung von f wegunabhängig, und daher ist für festes z0 ∈ G durch

h(z) :=

∫ z

z0

f ′(w)

f(w)dw ∀ z ∈ G

eine in G holomorphe Funktion deniert, und wegen der Tatsache, dass die Ableitung von f(z) e−h(z) dieNullfunktion ist, folgt f(z) = f(z0) eh(z). Die Funktion g(z) := f(z0)1/2 eh(z)/2 ist dann ebenfalls in Gholomorph, und es folgt g2 = f . 2

Denition 6.3.3 (QGebiet) Wir wollen im Folgenden ein Gebiet G als QGebiet bezeichnen, wenn0 ∈ G ist, und wenn jede Einheit die Quadratwurzeleigenschaft hat. Jedes einfach zusammenhängendeGebiet, welches den Nullpunkt enthält, ist also ein QGebiet. Dass umgekehrt jedes QGebiet auch einfachzusammenhängend ist, wird sich später ergeben.

43

6.4 Holomorphe Injektionen

Bevor wir den Riemannschen Abbildungssatz beweisen können, zeigen wir zuerst folgendes wesentlichschwächere Resultat:

Lemma 6.4.1 Zu jedem QGebiet G, welches nicht die gesamte Ebene ist, gibt es eine injektive holo-morphe Funktion f : G→ E mit f(0) = 0.

Beweis: Für ein a 6∈ G ist h(z) := z− a eine Einheit in H(G), und hat deshalb die Quadratwurzeleigen-schaft. Somit gibt es ein v ∈ H(G) mit v2(z) = z− a für z ∈ G, und dieses v ist oenbar injektiv, da ja hinjektiv ist. Weiter ist v(G)∩ (−v(G)) = ∅, denn aus z1, z2 ∈ G und v(z1) = −v(z2) folgt z1−a = z2−a,also z1 = z2 und daher v(z1) = v(z2) = 0, was nicht sein kann. Nach dem Satz von der oenen Abbildungist −v(G) oen und nicht leer, enthält also eine abgeschlossene Kreisscheibe K(z0, r) mit r > 0. Alsofolgt v(G) ⊂ C \K(z0, r). Die Funktion

g(z) :=r

2

( 1

z − z0− 1

v(0)− z0

)ist dann auf C \K(z0, r) holomorph und injektiv, und erfüllt dort die Abschätzung

|g(z)| ≤ r

2

( 1

|z − z0|+

1

|v(0)− z0|

)< 1 .

Daher ist f := g v injektiv und holomorph in G, und |f(z)| < 1 für alle z ∈ G. Weiter ist f(0) = 0, wasnoch zu zeigen war. 2

6.5 Dehnungen

Denition 6.5.1 Sei G ein Gebiet mit 0 ∈ G ⊂ E. Eine holomorphe Abbildung κ : G→ E mit

κ(0) = 0 ; |κ(z)| > |z| ∀ z ∈ G \ 0

heiÿt (echte) Dehnung in G.

Lemma 6.5.2

(a) Für jedes c ∈ E wird durch gc(z) = (z − c) (c z − 1)−1 eine bijektive Abbildung von E auf sichdeniert, welche zu sich selber invers ist.

(b) Für jedes c ∈ E ist die Abbildungψc(z) = gc2

(gc(z)

2)

holomorph in E und erfüllt

ψc(0) = 0 , |ψc(z)| < |z| ∀ z ∈ E \ 0 .

(c) Sei G ⊂ E ein Q-Gebiet, und sei c ∈ E so, dass c2 6∈ G ist. Sei weiter v ∈ H(G) diejenigeQuadratwurzel der Restriktion von gc2 auf G, welche v(0) = c erfüllt. Dann ist durch κ(z) :=gc(v(z)) eine Dehnung in G gegeben, und es gilt ψc(κ(z)) = z für alle z ∈ G.

44

Beweis: Die Behauptung (a) folgt durch Nachrechnen oder aus Ergebnissen für sogenannteMöbiustrans-formationen, auch gebrochen-lineare Abbildungen genannt. Wegen (a) ist klar, dass |ψc(z)| ≤ 1 ist für allez ∈ E, sowie ψc(0) = 0, und deshalb folgt aus dem Schwarzschen Lemma dass (b) gilt, da ψc keineDrehung ist. Um (c) zu zeigen, beachten wir, dass gc2 eine Einheit in H(G) ist, und dass gc2(0) = c2 ist.Daher gibt es eine Quadratwurzel v mit der gewünschten Eigenschaft, und damit ist κ in G holomorphmit Werten in E. Auÿerdem ist κ(0) = 0. Nach Denition von v folgt dann ψc(κ(z)) = z auf G, und somitist κ injektiv. Mit (b) folgt dann |z| = |ψc(κ(z))| < |κ(z)| für z ∈ G \ 0. 2

6.6 Der Injektionssatz von Hurwitz

Lemma 6.6.1 (Hurwitz) Sei G ein Gebiet, und sei (fn) eine Folge aus H(G), welche in G kompaktgegen eine nicht konstante Grenzfunktion f konvergiert. Dann gibt es zu jedem z0 ∈ G ein n0 ∈ N sowieeine Folge (zn) in G, so dass

limn→∞

zn = z0 , fn(zn) = f(z0) ∀ n ≥ n0 .

Beweis: Sei z0 ∈ G gegeben, und o. B. d. A. sei f(z0) = 0 angenommen; dann ist f nach Voraussetzungnicht die Nullfunktion. Also existiert ein r > 0 derart, dass K := |z − z0| ≤ r ⊂ G, und f(z) 6= 0 fürz ∈ K \ z0. Wegen der gleichmäÿigen Konvergenz der Folge auf K gibt es ein n0 so, dass |fn(z0)| <min|fn(z)| : |z − z0| = r für alle n ≥ n0, denn andernfalls müsste eine Teilfolge (fnk) existieren, fürwelche es Randpunkte zk gäbe mit lim fnk(zk) = 0, und mit dem üblichen Kompaktheitsargument würdedie Existenz einer Nullstelle von f auf dem Rand von K folgen, was nicht sein kann. Also liegt für n ≥ n0

das Minimum von |fn| im Inneren von K, woraus mit dem Minimumprinzip die Existenz einer Nullstellezn von fn im Inneren folgt. Es muss dann lim zn = z0 sein, denn andernfalls gäbe es eine Teilfolge, welchegegen eine andere Nullstelle von f konvergieren würde, was nicht sein kann. 2

Satz 6.6.2 (Injektionssatz) Seien G1, G2 Gebiete, und sei (fn) eine Folge von in G1 holomorphenFunktionen mit Werten in G2, welche in G1 kompakt gegen ein f konvergiert. Falls f nicht konstant undalle fn injektiv sind, dann ist auch f injektiv und hat ebenfalls Werte in G2.

Beweis: Für ein z0 ∈ G1 folgt mit Lemma 6.6.1 dass alle bis auf endlich viele der fn den Wert f(z0)annehmen, und deshalb muss f(z0) ∈ G2 sein. Also liegen alle Werte von f in G2. Da alle fn injektivsein sollen, folgt dass die Funktionen fn(z) − fn(z0) in G1 \ z0 nullstellenfrei sind, und wie oben giltdasselbe dann für die Grenzfunktion, woraus die Injektivität von f folgt. 2

6.7 Der Abbildungssatz

Satz 6.7.1 (Riemannscher Abbildungssatz) Jedes einfach zusammenhängende Gebiet G 6= C lässtsich biholomorph auf den Einheitskreis E abbilden.

Beweis: O. B. d. A. sei 0 ∈ G, d. h., G ein Q-Gebiet. Sei p ∈ G \ 0, und sei F := f ∈ H(G) :f injektiv, f(0) = 0, f : G→ E : Wegen Lemma 6.4.1 ist F 6= ∅, und daher ist

µ := sup |f(p)| : f ∈ F > 0 .

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Sei (fn) eine Folge aus F mit lim |fn(p)| = µ. Nach dem Satz von Montel gibt es eine Teilfolge (hn), welchein G kompakt gegen ein h ∈ H(G) konvergiert, und dann folgt h(0) = 0, |h(p)| = µ, so dass h insbesonderenicht konstant ist. Nach dem Injektionssatz ist h injektiv mit Werten in E, d. h., h ∈ F . Man zeigt leicht,dass h(G) wieder ein Q-Gebiet ist, und wenn es nicht gleich E wäre, dann gäbe es nach Lemma 6.5.2 (c)eine Dehnung κ : h(G) → E, und g := κ h wäre in F , woraus wegen |g(p)| = |κ(h(p))| > |h(p)| einWiderspruch folgen würde. Also ist h(G) = E, und damit ist h die gesuchte Funktion. 2

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Kapitel 7

Die Picardschen Sätze

In diesem Kapitel halten wir uns sehr eng an das Buch von R. Remmert [23]. Unser Ziel sind dabei diebeiden Sätze von E. Picard, die wichtige Aussagen über die Werte ganzer Funktionen, oder allgemeinerFunktionen in der Nähe einer wesentlichen Singularität treen.

7.1 Der Satz von Bloch

Denition 7.1.1 Sei G ein Gebiet in C. Eine Abbildung f : G → C heiÿt oen, falls das Bild jederoenen Teilmenge von G wieder oen ist.

Lemma 7.1.2 Sei G ⊂ C ein beschränktes Gebiet, und sei f : G→ C stetig, sowie f|G oen. Sei weitera ∈ G so, dass

s := infz∈∂G

|f(z)− f(a)| > 0 .

Dann folgtK(f(a), s) := z : |z − f(a)| < s ⊂ f(G) .

Beweis: Da ∂f(G) kompakt ist, gibt es ein w∗ ∈ ∂G, so dass d(∂f(G), f(a)) := infw∈∂f(G) |w− f(a)| =|w∗ − f(a)| ist. Nach Denition des Inmums bzw. des Randes einer Menge gibt es eine Punktfolge (zν)in G derart, dass (f(zν)) gegen w∗ konvergiert. Weil G kompakt, also auch folgenkompakt ist, muss eineTeilfolge gegen ein z∗ ∈ G konvergieren, und wir nehmen o. B. d. A. an, dass dies für die gesamte Folgegilt. Also folgt wegen der Stetigkeit von f dass f(z∗) = w∗ ist. Da f oen ist, muss z∗ ein Randpunktvon G sein, und daraus folgt |w∗ − f(a)| ≥ s, also die Behauptung. 2

Denition 7.1.3 Für eine nichtleere Teilmenge D ⊂ C sei H(D) die Menge aller Funktionen, welcheauf irgendeiner oenen Obermenge von D holomorph sind.

Lemma 7.1.4 Für a ∈ C und r > 0 sei V := K(a, r), und sei f ∈ H(V ) nicht konstant, mit

‖f ′‖V := supz∈V|f ′(z)| ≤ 2 |f ′(a)| .

Dann folgt K(f(a), R) ⊂ f(V ) für R := (3− 2√

2) r |f ′(a)|.

47

Beweis: O. B. d. A. sei a = f(a) = 0 angenommen. Für g(z) = f(z) − f ′(0) z =∫ z

0(f ′(w) − f ′(0)) dw

folgt |g(z)| ≤ |z|∫ 1

0|f ′(tz)− f ′(0)| dt. Mit der Cauchyschen Integralformel nden wir

|f ′(w)− f ′(0)| =∣∣∣ w

2πi

∫|z|=r

f ′(z)

z(z − w)dz∣∣∣ ≤ |w|

r − |w|‖f ′‖V .

Damit folgt

|g(z)| ≤ |z|∫ 1

0

|tz|r − |tz|

‖f ′‖V dt ≤|z|2

r − |z|‖f ′‖V

∫ 1

0

t dt =|z|2/2r − |z|

‖f ′‖V ≤|z|2

r − |z||f ′(0)| .

Hieraus folgt für alle z mit |z| = ρ ∈ (0, r):

ρ |f ′(0)| − |f(z)| ≤ |g(z)| ≤ ρ2

r − ρ|f ′(0)| ,

oder anders geschrieben: |f(z)| ≥ h(ρ) |f ′(0)|, mit h(ρ) = ρ (r − 2ρ)/(r − ρ). Die Funktion h nimmt beiρ0 = (1 − 1/

√2) r das Maximum (3 − 2

√2) r an, und für die entsprechenden z gilt daher |f(z)| ≥ R.

Durch Anwendung von Lemma 7.1.2 auf G = K(0, ρ0) folgt die Behauptung. 2

Satz 7.1.5 (Satz von Bloch) Sei f ∈ H(E), und sei f ′(0) = 1. Dann enthält das Bild f(E) eineKreisscheibe mit einem Radius 3/2−

√2.

Beweis: Die in E stetige Funktion |f ′(z)| (1 − |z|) nimmt in einem Punkt a ∈ E ihr Maximum M an,und mit r = (1− |a|)/2 gelten

M = 2 r |f ′(a)| ≥ 1 , K(a, r) ⊂ E , 1− |z| ≥ r ∀ z ∈ K(a, r) .

Hiermit folgt r |f ′(z)| ≤ |f ′(z)| (1− |z|) ≤ 2 r |f ′(a)| für alle z ∈ K(a, r). Also folgt aus Lemma 7.1.4 dieBehauptung. 2

Korollar zu Satz 7.1.5 Wenn f in einem Gebiet G ⊂ C holomorph ist, und wenn c ∈ G so ist, dassf ′(c) 6= 0 ist, dann enthält f(G) eine Kreisscheibe vom Radius s |f ′(c)|/(12), für jedes s < d(c, ∂G). Fallsf sogar eine ganze Funktion ist, enthält f(G) Kreisscheiben von beliebig groÿem Radius.

Beweis: O. B. d. A. sei c = 0. Für jedes solche s istK(0, s) ⊂ G, und deshalb ist g(z) := f(sz)/(sf ′(0)) ∈H(E) und g′(0) = 1. Durch Anwendung des Blochschen Satzes auf g folgt die Behauptung. 2

7.2 Der kleine Satz von Picard

Wir wollen zeigen, dass eine nicht konstante ganze Funktion alle komplexen Zahlen bis auf höchstenseine Ausnahme als Werte annehmen muss. Dass eine Ausnahme vorkommen kann, zeigt die Exponential-funktion. Wir zeigen daher: Wenn eine ganze Funktion zwei verschiedene Zahlen a und b nicht als Werteannimmt, ist sie konstant. Da man bei a 6= b immer g(z) = (f(z) − a)/(b − a) setzen kann, ergibt sich,dass die Ausnahmewerte o. B. d. A. gleich 0 und 1 gewählt werden können. Deshalb zeigen wir zunächst:

Lemma 7.2.1 Sei G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, und sei f eine in G holomorphe Funktion,die die Zahlen 0 und 1 nicht als Werte annimmt. Dann gibt es ein in G holomorphes g so, dass gilt

f(z) = − exp[πi cosh(2g(z))] ∀ z ∈ G . (7.2.1)

Kein Punkt der Menge

A = ± log(√m +

√m− 1) + nπi/2 : m ∈ N , n ∈ Z

liegt im Bild g(G), und dieses Bild enthält keine Kreisscheibe vom Radius r = 1.

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Beweis: Da f keine Nullstellen in G hat, gibt es ein h ∈ H(G) mit f(z) = exp[2πih(z)] in G. Weil 1 nichtvon f als Wert angenommen wird, haben h und h − 1 keine Nullstellen in G. Also gibt es u, v ∈ H(G)mit u2(z) = h(z) und v2(z) = h(z)− 1 in G. Es folgt u2(z)− v2(z) ≡ 1 in G, und daher kann u− v keineNullstelle in G haben. Somit existiert ein g ∈ H(G) mit u(z)− v(z) = exp(−g(z)) in G. Daraus folgt

1 + 2 cosh(2g(z)) =(eg(z) + e−g(z)

)2/2 = 2u2(z) = 2h(z) .

Daraus folgt die Darstellung von f . Wenn g(z) = ± log(√m +

√m− 1) + nπi/2 ist, folgt exp[g(z)] =

in (√m+√m− 1)±1 = in (

√m±√m− 1). Da weiter 2 cosh(2g(z)) = (eg(z))2 + (e−g(z))2 ist, folgt durch

Rechnung dass cosh(2g(z)) eine ungerade ganze Zahl ist, was f(z) = 1 impliziert. Also kann kein Wertvon g in der Menge A liegen.Wenn man die horizontalen bzw. vertikalen Abstände der Punkte in Aausrechnet, so ndet man, dass in jeder beliebigen Kreisscheibe vom Radius r = 1 mindestens ein Punktvon A liegt. 2

Aus dem letzten Lemma und dem Korollar zum Satz von Bloch, angewandt auf die Funktion g, erhaltenwir jetzt sofort

Satz 7.2.2 (Kleiner Satz von Picard) Jede ganze Funktion, die zwei verschiedene komplexe Zahlennicht als Werte annimmt, ist konstant.

Beweis: Wie schon gesagt, kann man o. B. d. A. annehmen dass die ganze Funktion f nicht die Zahlen 0und 1 annimmt. Wenn man g wie in (7.2.1) wählt, ist auch g ganz. Falls g nicht konstant wäre, so müsstedas Bild g(C) nach dem Korollar zum Satz von Bloch beliebig groÿe Kreisscheiben enthalten, was demletzten Lemma widerspricht. Also muss g und damit auch f konstant sein. 2

Korollar zu Satz 7.2.2 Jede in C meromorphe Funktion, die drei verschiedene komplexe Zahlen nichtals Werte annimmt, ist konstant.

Beweis: Wenn h eine in C meromorphe Funktion ist, die drei verschiedene Zahlen a, b, c nicht als Werteannimmt, dann ist f(z) = (h(z)− a)−1 eine ganze Funktion, welche die Zahlen (b− a)−1 und (c− a)−1

nicht als Werte annimmt, und daher folgt die Behauptung. 2

Aufgabe 7.2.3 Finde eine ganze Funktion, die eine gegebene Zahl a ∈ C nicht als Wert annimmt. Findeweiter eine meromorphe Funktion, die zwei gegebene Zahlen a, b ∈ C mit a 6= b nicht als Werte annimmt.

7.3 Der groÿe Satz von Picard

Wir geben nun ohne Beweis den sogenannten groÿen Picardschen Satz an. Ein lesbarer Beweis diesesSatzes ndet sich z. B. im Buch von R. Remmert [23].

Satz 7.3.1 (Groÿer Satz von Picard) Habe f in einem Punkt z0 ∈ C eine wesentliche Singularität.Dann nimmt f jede Zahl a mit evtl. einer Ausnahme in jeder Umgebung von z0 unendlich oft als Wertan.

Aus diesem Satz folgt eine wesentliche Verschärfung des kleinen Picardschen Satzes: Wenn f eine ganzetranszendente Funktion ist (d. h., f ist kein Polynom), dann gilt für alle w ∈ C mit höchstens einerAusnahme, dass die Gleichung f(z) = w unendlich viele Lÿungen hat. Aus dem Nullstellensatz fürholomorphe Funktionen folgt dann dass die Lösungsmenge dieser Gleichung abzählbar ist und sich nur

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bei∞ häuft. Wie häug z. B. die Nullstellen einer ganzen Funktion sind, ist Gegenstand der sogenanntenWerteverteilungstheorie siehe hierzu z. B. das Buch von I. Laine [21]. Hier zählt man die Nullstelleneiner ganzen Funktion in einem Kreis um den Nullpunkt mit Radius r und untersucht das Anwachsendieser Zahl als Funktion von r.

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Kapitel 8

Asymptotische Entwicklungen

Die Theorie der asymptotischen Entwicklungen behandelt Funktionen f , die an einer festen Stelle z0, diewir o. B. d. A. als den Nullpunkt z0 = 0 annehmen können, eine Singularität haben, welche auch eine so-genannte Verzweigungsstelle sein kann. Dies bedeutet, dass f zwar entlang jedes genügend kleinen Kreisesum z0 = 0 analytisch fortgesetzt werden kann, dass aber der Wert von f nach (einmaliger) Fortsetzungentlang eines solchen Kreises (bei Rückkehr zum Ausgangspunkt) nicht der gleiche wie am Anfang ist.Als Beispiel für solche Funktionen nennen wir z1/2 und log z. Anders als bei diesen beiden Beispielen sollf jetzt aber, in einem noch zu denierenden Sinn, im Punkt z0 = 0 beliebig oft sektoriell dierenzierbarsein, und die asymptotische Entwicklung von f ist dann nichts anderes als die Taylorreihe von f mitEntwicklungspunkt z0 = 0. Zur Denition der sektoriellen Ableitungen benötigen wir insbesondere denBegri eines Sektors, und das ist eine Menge der Form

S := z : 0 < |z| < r , α < arg z < β .

Es liegt dann nahe, die Punkte z ∈ S in der Form z = ρ eiφ mit 0 < ρ < r und α < φ < β zu schrei-ben. Falls β − α ≤ 2π ist, kann man diesen Sektor S problemlos als (oene) Teilmenge der komplexenEbene C auassen, aber um verzweigte Funktionen betrachten zu können, wollen wir auch Sektoren Smit Önungswinkel β−α > 2π zulassen. Diese Sektoren muss man dann aber so verstehen, dass Punktez = ρ eiφ und z = ρ ei(φ+2π) in S als verschieden anzusehen sind, da eine verzweigte Funktion f andiesen Stellen auch unterschiedliche Werte haben kann. Aus diesem Grund betrachten wir im Folgendendie sogenannte Riemannsche Fläche des Logarithmus. Dies bedeutet anschaulich, dass wir anstelle derkomplexen Ebene eine unendlich lange Wendeltreppe betrachten, deren Achse der Nullpunkt ist, und aufder die Punkte z = ρ eiφ und z = ρ ei(φ+2π) in aufeinanderfolgenden Stockwerken liegen. Im nächsten Ab-schnitt geben wir eine formale Denition dieser sehr einfachen Riemannschen Fläche. Für eine allgemeineTheorie Riemannscher Flächen wird auf die Literatur, z. B. auf das Buch von O. Forster [6], verwiesen.

8.1 Sektorielle Gebiete

Denition 8.1.1 In diesem Kapitel bezeichnen wir mit L die Menge aller reellen Zahlenpaare (r, φ),wobei r > 0 sein soll, zusammen mit der Abbildung

π : (r, φ) 7−→ z = π(r, φ) := r eiφ (8.1.1)

von L nach C∗ := C \ 0. Lokal ist die Abbildung π umkehrbar, da oenbar r = |z| und φ = arg z ist;allerdings entsprechen die Paare (r, φ) und (r, φ+2π) dem gleichen Punkt in C∗. Die Menge L mit dieserAbbildung nennen wir die Riemannsche Fläche des Logarithmus, da auf ihr durch

log z = log |z|+ i arg z , |z| = r , arg z = φ

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der komplexe Logarithmus zu einer eindeutig denierten Funktion wird, während dies in der Menge C\0bekanntlich nicht der Fall ist.

Da die Menge L topologisch nichts anderes als die obere Halbebene in R2 ist, ist klar, was ein GebietG ⊂ L ist, und da die Abbildung π stetig und lokal umkehrbar ist, entspricht einem solchen Gebiet einBildgebiet π(G) in C \ 0. Umgekehrt kann ein Gebiet in C \ 0 aber nicht immer mit einem Gebiet inL identiziert werden, was aber nichts ausmachen wird.

Denition 8.1.2 Für d ∈ R, α > 0 und 0 < r ≤ ∞ heiÿt

S = S(d, α, r) :=

(ρ, φ) : 0 < ρ < r , |d− φ| < α/2⊂ L (8.1.2)

ein Sektor. Dabei soll α > 2π zugelassen sein, so dass man sich S in diesem Fall nicht als Teilmengevon C, sondern auf der Riemannschen Fläche des Logarithmus vorstellen muss. Wir nennen d die Mit-telrichtung, α den Önungswinkel und r den Radius von S. Beachte, dass r =∞ zugelassen ist, und wirschreiben auch kürzer S(d, α) anstelle von S(d, α,∞). Für r 6=∞ nennen wir

S = S(d, α, r) :=

(ρ, φ) : 0 < ρ ≤ r , |d− φ| ≤ α/2⊂ L (8.1.3)

auch einen abgeschlossenen Sektor beachte aber, dass der Nullpunkt nicht zu S gehört. Ein GebietG ⊂ L heiÿt sektoriell, falls es d ∈ R und α ∈ R+ gibt, für die folgendes gilt:

(a) G ⊂ S(d, α).

(b) ∀ β ∈ (0, α) ∃ r > 0 mit S(d, β, r) ⊂ G.

Einerseits ist es im Folgenden wichtig zu beachten, dass ein Zahlenpaar (r, φ) ∈ L zwar eine komplexeZahl z festlegt, dass aber umgekehrt dieselbe Zahl z zu unterschiedlichen Paaren (r, φ) ∈ L gehört.Andererseits wird es bequem sein, statt (r, φ) ∈ L einfacher und kürzer z = r eiφ zu schreiben, wobei aberimmer zu beachten ist, dass dann z = r eiφ und z e2πi = r ei(φ+2π) zwar dieselben komplexen Zahlen, aberunterschiedliche Punkte in L sind! Wir wollen dann eine Aussage der Form z → z0 so verstehen, dassz = r eiφ und z0 = r0 eiφ0 sein sollen, wobei r → r0 und φ→ φ0 gehen soll. Mit dieser Festlegung ist dannklar, was es bedeutet dass eine in einem Gebiet G ⊂ L denierte Funktion f holomorph oder analytischist. Auÿerdem können wir Kurven bzw. Kurvenintegrale in L denieren, wobei die Parameterdarstellungder Kurve durch zwei Parameterdarstellungen r(t) und φ(t) gegeben ist. Diese zusammen legen dann einz(t) = r(t) eφ(t) fest, und falls die Kurve dierenzierbar ist, ist nach der Kettenregel

z′(t) =(r′(t) + r(t)φ′(t)

)eφ(t) .

Aufgabe 8.1.3 Zeige dass die in der Denition eines sektoriellen Gebietes vorkommenden Parameter dund α durch G eindeutig bestimmt sind. Wie bei Sektoren nennen wir d Mittelrichtung und α Önungs-winkel von G.

8.2 Sektorielle Stetigkeit und Ableitungen

Wenn nichts anderes gesagt wird, sei im Folgenden G immer ein sektorielles Gebiet mit Mittelrichtungd ∈ R und Önungswinkel α > 0.

Denition 8.2.1 Die Menge aller in G holomorphen Funktionen wird wieder mit H(G) bezeichnet. Einf ∈ H(G) heiÿt

(a) im Nullpunkt beschränkt, falls zu jedem abgeschlossenen Teilsektor S ⊂ G ein C existiert, so dass

|f(z)| ≤ C ∀ z ∈ S .

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(b) im Nullpunkt stetig, falls ein f0 ∈ C existiert, so dass

∀ ε > 0 ∀ β ∈ (0, α) ∃ r > 0 ∀ z ∈ S(d, β, r) : |f(z)− f0| ≤ ε . (8.2.1)

Wenn dies so ist, schreiben wir auch f(0) := f0 = limG3z→0

f(z).

(c) im Nullpunkt beliebig oft dierenzierbar, falls alle Ableitungen von f im Nullpunkt stetig sind.

Aufgabe 8.2.2 Sei f im Nullpnkt stetig, und sei sein Grenzwert f0 6= 0. Zeige: Dann existiert einsektorielles Gebiet G1 ⊂ G mit dem gleichen Önungswinkel α und derselben Mittelrichtung d wie G, sodass f(z) 6= 0 in G1 ist.

Lemma 8.2.3 Für alle f ∈ H(G) sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) f ist im Nullpunkt beliebig oft dierenzierbar.

(b) Für alle k ∈ N0 gibt es fk ∈ C derart, dass für alle N ∈ N0 die Funktionen

rN (z; f) := z−N(f(z) −

N−1∑k=0

fk zk)

(8.2.2)

im Nullpunkt beschränkt sind.

Falls eine der Aussagen richtig ist, dann sind alle rN (z; f) sogar im Nullpunkt stetig, und es gilt

fk =f (k)(0)

k!= lim

G3z→0rk(z; f) ∀ k ∈ N0 . (8.2.3)

Insbesondere sind also alle Zahlen fk durch f eindeutig bestimmt.

Beweis: Sei (a) richtig. Durch partielle Integration zeigt man mit Induktion über N die Identität

f(z) =

∫ z

0

(z − w)N−1

(N − 1)!f (N)(w) dw +

N−1∑k=0

f (k)(0)

k!zk ∀ N ≥ 1 , z ∈ G .

Wir wählen β und r so, dass S(d, β, r) ⊂ G ist, so dass wir für z ∈ S(d, β, r) geradlinig integrieren können.Wenn man jetzt fk = f (k)(0)/k! setzt und in dem obigen Integral w = x z, 0 ≤ x ≤ 1 substituiert, soerhält man für solche z und alle N ≥ 1 die Darstellung

rN (z; f) − fN =

∫ 1

0

(1− x)N−1

(N − 1)!

(f (N)(xz)− f (N)(0)

)dx . (8.2.4)

Hieraus folgt dass der Rest rN (z; f) in G gegen fN konvergiert wenn z → 0 geht, und daraus wiederumergibt sich (b) beachte, dass für N = 0 nichts zu zeigen ist! Wenn umgekehrt (b) erfüllt ist, dann ergibtsich mit der Cauchyschen Integralformel für Ableitungen für N ≥ 0 und z ∈ G

f (N)(z) − N ! fN =dN

dzNzN+1 rN+1(z; f) =

N !

2π i

∮γ(z)

wN+1 rN+1(w; f)

(w − z)N+1dw , (8.2.5)

wobei entlang eines kleinen Kreises um z mit Radius δz > 0 integriert wird. Für β, r und β > β, r > r

so, dass S(d, β, r) ⊂ S(d, β, r) ⊂ G ist, sieht man, dass man δz = |z| δ wählen kann, wobei z ∈ S(d, β, r)

und δ > 0 unabhängig von z und so klein ist, dass der Träger von γ in S(d, β, r) ist. Durch Abschätzendieses Integrals folgt dann, dass f (N)(z) − N ! fN → 0 geht für z → 0 in S(d, β, r), woraus (a) folgt. 2

53

8.3 Asymptotische Entwicklungen

Denition 8.3.1 Sei f ∈ H(G), und sei f(z) =∑∞

0 fk zk eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt

z0 = 0. Wir nennen f(z) asymptotische Entwicklung oder Asymptotik für f(z), für z → 0 in G, falls diein (8.2.2) denierten Reste rN (z; f) für alle N ∈ N0 im Nullpunkt beschränkt sind. Wir schreiben dannauch

f(z) ∼= f(z) in G .

Beispiel 8.3.2 Für k > 0 sei f(z) = exp(−z−k), 2k | arg z| < π. Dann ist f(z) ∼= 0(z), wobei 0(z) diePotenzreihe bezeichnet, deren Koezienten alle verschwinden. Dies ist richtig, da ew in jedem Sektor derForm S(0, π − ε), mit ε > 0, schneller als jede Potenz von w anwächst, wenn w →∞ geht.

Bemerkung 8.3.3 Nach Lemma 8.2.3 ist f(z) genau dann asymptotische Entwicklung für f(z), wennalle Ableitungen von f im Nullpunkt stetig sind, und wenn (8.2.3) gilt. Daher hat f(z) höchstens eineasymptotische Entwicklung, und diese ist gleich der Taylorreihe von f(z). Das angegebene Beispiel zeigtaber, dass zu einer Reihe f(z) immer unendlich viele Funktionen existieren, die diese Asymptotik haben;dass es auch immer ein f(z) gibt, folgt aus dem Satz von Ritt, der im übernächsten Abschnitt bewiesenwird.

Denition 8.3.4 Wir schreiben A(G) für die Menge aller f ∈ H(G), welche für z → 0 eine asymptoti-sche Entwicklung f(z) haben. Die Menge der Funktionen f ∈ A(G), für die f(z) die Nullreihe ist, soll mitA0(G) bezeichnet werden. Da jede Funktion f nur eine asymptotische Entwicklung haben kann, erhaltenwir eine Abbildung

J : f 7→ f(z)

mit Denitionsbereich A(G) und Bildbereich C[[z]] dies ist die übliche Bezeichnung für die Menge allerformalen Potenzreihen in der Variablen z mit Koezienten in C.

Satz 8.3.5 (Rechenregeln) Für f, g ∈ A(G) sind auch f + g, fg, f ′ ∈ A(G). Genauer gilt: Ausf(z) ∼= f(z) in G und g(z) ∼= g(z) in G folgt f(z) + g(z) ∼= f(z) + g(z) in G, f(z)g(z) ∼= f(z)g(z) in G,sowie f ′(z) ∼= f ′(z) in G.

Beweis: Die Leibnizregel für höhere Ableitungen eines Produktes besagt, dass

dk

dtkf(z) g(z) =

k∑j=0

(k

j

)f (k−j)(z) g(j)(z) ,

also insbesondere1

k!

dk

dtkf(z) g(z)|z=0

=

k∑j=0

f (k−j)(0)

(k − j)!g(j)(0)

j!.

Hieraus folgt die Regel für das Produkt fg. Die übrigen Regeln sind oensichtlich. 2

In der Sprache der Algebra kann man die Resultate des letzten Satzes folgendermaÿen ausdrücken: DieMenge A(G) ist eine dierentielle Algebra über C, und die Abbildung J ist relationstreu. Insbesondere istJ linear, und der Kern von J ist gleich A0(G).

Denition 8.3.6 Sei der Önungswinkel von G gröÿer als 2π, so dass also Punkte in G existieren,deren Argumente sich um 2π unterscheiden. Dann nennen wir ein f ∈ H(G) unverzweigt, falls

∀ z mit z, z e2πi ∈ G : f(z) = f(ze2πi) .

54

Wenn eine Funktion f in einer punktierten Kreisscheibe K ′(0, r) in der Ebene holomorph ist, dann istsie auch in jedem Gebiet auf der Riemannschen Fläche, in welchem nur Punkte z mit |z| < r liegen,holomorph und unverzweigt, und wir sagen dass sich solche f auf die Riemannsche Fläche liften lassen.

Satz 8.3.7 Ist f ∈ H(K ′(0, r)) für ein r > 0, und ist f im Nullpunkt beschränkt, also auch im Nullpunktholomorph, so ist die Potenzreihenentwicklung von f um 0 auch asymptotische Entwicklung der Liftungvon f in jedem sektoriellen Gebiet, in welchem nur Punkte z mit |z| < r liegen. Ist umgekehrt derÖnungswinkel von G gröÿer als 2π, und ist f ∈ A(G) unverzweigt, so ist f im Nullpunkt der komplexenEbene holomorph.

Beweis: Aus f(z) =∑∞

0 fk zk, für |z| < r, folgt rN (z; f) =

∑∞N fk z

k−N , und deshalb sind alle Resteim Nullpunkt beschränkt. Also ist die Liftung zur Potenzreihe von f asymptotisch. Die Umkehrung istklar, da alle f ∈ A(G) im Nullpunkt beschränkt sind. 2

8.4 Der Satz von Ritt

Bei einer konvergenten Potenzreihe können die Koezienten nicht beliebig schnell wachsen; dies ist beiasymptotischen Reihen völlig anders:

Satz 8.4.1 (Ritt) Zu jedem sektoriellen Gebiet G und jeder Potenzreihe f(z) gibt es eine Funktionf ∈ H(G) mit f(z) ∼= f(z) in G.

Beweis: O. B. d. A. sei G = S(d, α). Mit β = π/α und ck = (|fk| k!)−1 falls fk 6= 0, bzw. ck = 0 imanderen Fall, setzen wir

wk(z) = 1 − exp[− ck z−β eidβ

]∀ k ∈ N0 .

Da in der linken Halbebene |1− ez| < |z| ist, und da | arg(ze−id)β | < π/2 ist, folgt die Abschätzung

|fk| |zk| |wk(z)| ≤ |z|k−β

k!∀ z ∈ G , k ≥ 0 .

Also konvergiert die Reihe

f(z) =

∞∑k=0

fk zk wk(z)

in G kompakt, und somit ist f ∈ H(G). Weiter gilt für M ≥ β

zM rN (z; f) =

∞∑k=N

fk zk+M−N wk(z) −

N−1∑k=0

fk zk+M−N exp(−ck(ze−id)−β) .

Während die erste Reihe auf jedem abgeschlossenen Teilsektor von G beschränkt ist, konvergieren dieGlieder der zweiten Summe alle gegen 0 für z → 0 in G. Daraus folgt die Beschränktheit von zM rN (z; f),und mit Aufgabe 8.4.2 folgt die Behauptung des Satzes. 2

Aufgabe 8.4.2 Seien f ∈ H(G) und f(z) ∈ C[[z]] so, dass für ein festes M ∈ N die FunktionenzM rN (z; f), N ∈ N0, alle im Nullpunkt beschränkt bleiben. Zeige dass dann f(z) ∼= f(z) in G folgt.

Einerseits existiert nach dem Satz von Ritt zu jeder Potenzreihe eine Funktion, die diese Reihe auf einemgegebenen Gebiet als asymptotische Entwicklung hat, andererseits ist diese Funktion nicht eindeutigbestimmt. Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass die Abbildung J von A(G) auf die Menge C[[z]] allerformalen Potenzreihen surjektiv, aber nicht injektiv ist!

55

8.5 Gevrey-Asymptotiken

In der Denition einer asymptotischen Entwicklung wird nur verlangt, dass alle Reste rN (z; f) im Null-punkt beschränkt sind, aber es wird nichts ausgesagt, wie diese Schranke von N abhängt. Dies ist andersin der folgenden Denition:

Denition 8.5.1 Für f ∈ H(G), eine Potenzreihe f(z) =∑∞

0 fk zk und eine Zahl s ≥ 0 heiÿt f(z)

asymptotische Entwicklung von f der (Gevrey-)Ordnung s, falls zu jedem abgeschlossenen TeilsektorS ⊂ G zwei Konstanten C,K existieren, so dass

|rN (z; f)| ≤ C KN Γ(1 + sN) ∀ z ∈ S , N ≥ 0 . (8.5.1)

Wir schreiben dann f(z) ∼=s f(z) in G, und sagen auch dass f die Gevrey-Asymptotik f(z) der Ordnung sbesitzt. Die Menge aller f ∈ H(G), die eine solche Gevrey-Ordnung besitzen, soll im Folgenden mit As(G)bezeichnet werden, und wir schreiben As,0(G) für diejenigen f ∈ As(G), die zur Nullreihe asymptotischsind, für die also J(f) = 0 ist.

Bemerkung 8.5.2 Im Fall s = 0 folgt aus f(z) ∼=0 f(z) in G, dass die Potenzreihe für z ∈ G mit|z|K < 1 gegen f konvergiert. Daraus folgt dass f insbesondere unverzweigt sein muss.

Aufgabe 8.5.3 Seien f ∈ H(G) und s > 0 sowie k = 1/s. Zeige dass folgende beiden Aussagen äquiva-lent sind:

(a) Es gilt f(z) ∼=s 0(z) in G, wobei 0(z) die Nullreihe, also die Potenzreihe, deren Koezienten alleverschwinden, bezeichnet.

(b) Zu jedem abgeschlossenen Teilsektor S ⊂ G gibt es Zahlen C,K > 0 so, dass

|f(z)| ≤ C exp[−|z|−k/K] ∀ z ∈ S . (8.5.2)

Anleitung: Zeige zunächst dass aus (a) für jedes S ⊂ G die Existenz von C,K > 0 folgt, für welche|f(z)| ≤ C (|z|K)x Γ(1 + s x) für alle x ≥ 1 und alle z ∈ S gilt. Wähle dann für kleine Werte von |z| dieZahl x in Abhängigkeit von z so, dass die rechte Seite minimal wird.

Aufgabe 8.5.4 Gegeben seien ein f ∈ H(G), eine Potenzreihe f(z) =∑∞

0 fk zk und eine Zahl s ≥ 0.

Sei weiter eine beliebig kleine Zahl δ > 0 gewählt. Zeige: Wenn für jeden abgeschlossenen Teilsektor S ⊂ Gmit Radius r ≤ δ Zahlen C,K > 0 existieren, für welche (8.5.1) gilt, dann folgt bereits f(z) ∼=s f(z). Esreicht also, die Abschätzung (8.5.1) in der Nähe des Nullpunktes zu zeigen.

Lemma 8.5.5 Für f ∈ H(G) und s ≥ 0 sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) f ist im Nullpunkt beliebig oft dierenzierbar, und zu jedem abgeschlossenen Teilsektor S ⊂ G gibtes Konstanten C,K > 0 so, dass

|f (k)(z)| ≤ C Kk k! Γ(1 + sk) ∀ k ≥ 0 , z ∈ S . (8.5.3)

(b) Es gibt ein f(z) =∑∞

0 fk zk so, dass f(z) ∼=s f(z) in G ist.

Falls dies so ist, dann folgt (8.2.3), und hieraus folgt

|fk| ≤ C Kk Γ(1 + s k) ∀ k ≥ 0 . (8.5.4)

Beweis: Geht ganz analog zum Beweis von Lemma 8.2.3. 2

56

Aufgabe 8.5.6 Für ein f(z) =∑∞

0 fj zj sei∫ z

0

f(w) dw =

∞∑1

fj−1

jzj .

Zeige: Aus f(z) ∼=s f(z) in G folgt∫ z

0

f(w) dw ∼=s

∫ z

0

f(w) dw.

Denition 8.5.7 Wir sagen, dass eine Potenzreihe f(z) =∑∞

0 fk zk die Gevrey-Ordnung s ≥ 0 hat,

wenn es Konstanten C,K gibt, für welche (8.5.4) gilt. Dies ist oensichtlich gleichbedeutend damit, dassdie Reihe g(z) =

∑∞0 fk z

k/Γ(1+sk) einen positiven Konvergenzradius hat, also eine in einer Kreisscheibeum den Ursprung holomorphe Funktion g deniert. Diese Funktion, bzw. ihre Potenzreihe, heiÿt auchformale Boreltransformation von f(z) der Ordnung s vergleiche hierzu auch Abschnitt 8.9. Die Mengealler formalen Potenzreihen der Gevrey-Ordnung s sei mit C[[z]]s bezeichnet.

Beispiel 8.5.8 Für |d| < π/2 denieren wir

f(z) =

∫ ∞(d)

0

e−w

1 + wzdw , |d+ arg z| < π , (8.5.5)

wobei die Integration entlang des Strahles argw = d ausgeführt wird. Das Integral ist in dem angegebenSektor absolut und kompakt konvergent und stellt deshalb dort eine holomorphe Funktion dar. Mit demCauchyschen Integralsatz zeigt man, dass sich der Wert f(z) nicht ändert, wenn man d variiert, und des-halb kann f in den Sektor S(0, 3π) fortgesetzt werden. Durch Vertauschen von Integration und Ableitungzeigt man für k ≥ 0

f (k)(z) = (−1)k k!

∫ ∞(d)

0

wk e−w

(1 + wz)k+1dw , |d+ arg z| < π , (8.5.6)

und durch Abschätzen dieses Integrales erhält man, dass |f (k)(z)| ≤ C Kk (k!)2 für z in einem beliebigenabgeschlossenen Teilsektor von S(0, 3π), wobei C und K von dem Teilsektor abhängen, aber von k un-abhängig sind. Dies zeigt dass f in S(0, 3π) eine Gevrey-Asymptotik der Ordnung s = 1 hat, und durchEinsetzen von z = 0 in (8.5.6) ndet man f(z) ∼=1

∑∞0 k! zk.

Beispiel 8.5.9 Sei s > 0. Die Funktion f(z) = exp[−z−s] ist in S(0, π/s) asymptotisch zur Nullreihe,und dies ist eine Entwicklung der Gevrey-Ordnung s.

Aufgabe 8.5.10 (Beta-Integral) Für komplexe Zahlen α, β in der rechten Halbebene gilt die Gleichung

Γ(α) Γ(β)

Γ(α+ β)=

∫ 1

0

(1− x)α−1 xβ−1 dx .

Zeige dass hieraus folgt Γ(1 + s)Γ(1 + σ) ≤ Γ(1 + s+ σ) für s, σ ≥ 0.

Für Gevrey-Asymptotiken gelten analoge Rechenregeln wie für die normalen Asymptotiken die Pro-duktregel ist allerdings schwerer zu beweisen!

Satz 8.5.11 (Rechenregeln für Gevrey-Asymptotiken) Für f, g ∈ As(G) sind auch f + g, fg,f ′ ∈ As(G). Genauer gilt: Aus f(z) ∼=s f(z) in G und g(z)s ∼= g(z) in G folgt f(z) + g(z) ∼=s f(z) + g(z)

in G, f(z)g(z) ∼=s f(z)g(z) in G, sowie f ′(z) ∼=s f′(z) in G.

57

Beweis: Wenn man die Leibnizregel benutzt und die Ableitungen von f und g wie in Lemma 8.5.5abschätzt, erhält man mit geeigneten Konstanten

∣∣∣ dkdtk

f(z) g(z)∣∣∣ ≤ Cf Cg k!

k∑j=0

Kk−jf Kj

g Γ(1 + s(k − j)) Γ(1 + sj) ∀ k ∈ N0 .

Mit Aufgabe 8.5.10 kann man weiter abschätzen

Γ(1 + s(k − j)) Γ(1 + sj) ≤ Γ(1 + sk) ,

und hieraus folgt mit hinreichend groÿen Konstanten C,K die Ungleichung∣∣∣ dkdtk

f(z) g(z)∣∣∣ ≤ C Kk k!Γ(1 + sk) ∀ k ∈ N0 .

Der Rest der Aussagen ist leicht einzusehen. 2

8.6 Gevrey-Asymptotiken in schmalen Sektoren

Der folgende Satz, zusammen mit Beispiel 8.5.9, zeigt dass bei sektoriellen Gebieten Gmit Önungswinkel≤ s π die Abbildung J : As(G)→ C[[z]]s wieder surjektiv, aber nicht injektiv ist. Wie wir im nächstenAbschnitt sehen werden, sind die Verhältnisse bei groÿem Önungswinkel vollkommen anders!

Satz 8.6.1 (Satz von Gevrey-Ritt) Für jedes s > 0, jedes sektorielle Gebiet G mit Önungswinkelhöchstens gleich s π, und jede formale Potenzreihe f(z) von Gevrey-Ordnung s gibt es ein f ∈ H(G) mitf(z) ∼=s f(z) in G.

Beweis: Nach Denition der Gevrey-Ordnung einer Potenzreihe ist die formale Boreltransformationg(z) =

∑∞0 fk z

k/Γ(1 + sk) der Ordnung s für hinreichend kleines r > 0 im Kreis |z| < r holomorph.Wir wählen ein ρ mit 0 < ρ < r und schlieÿen aus der Cauchyschen Integralformel auf die Existenz vonC,K > 0 mit

|g(j)(z)| ≤ C Kj j! ∀ j ∈ N0 , |z| ≤ ρ .

Wir setzen die Funktion g auÿerhalb des Kreises um den Ursprung mit Radius ρ gleich der Nullfunktionund erhalten so eine in allen Punkten z auÿer den Randpunkten des Kreises holomorphe Funktion, unddie obige Abschätzung ihrer Ableitungen gilt dann trivialerweise in der ganzen komplexen Ebene. Jetztwählen wir ein d ∈ R und denieren

f(z) = z−κ∫ ∞(d)

0

g(u) exp[−(u/z)κ] duκ =

∫ ∞(dz)

0

g(z ws) e−w dw ,

wobei κ = 1/s, dz = κ (d−arg z) und duκ = κuκ−1 du ist. Diese Funktion ist auf der ganzen RiemannschenFläche des Logarithmus holomorph und heiÿt die endliche Laplacetransformation von f der Ordnung k.Ihre Ableitungen erhält man, indem man den Integranden im zweiten Integral nach z dierenziert, wobeian einer Stelle nur die einseitigen Ableitungen existieren. Daraus ergibt sich

f (j)(z) =

∫ ∞(dz)

0

g(j)(z ws) wsj e−w dw ∀ j ∈ N0 (8.6.1)

Weiter sei jetzt z so, dass |dz| < π/2. Dann folgt aus der Denition der Gammafunktion mit Hilfe desCauchyschen Integralsatzes

Γ(1 + sk) =

∫ ∞(dz)

0

wsk e−w dw .

58

Daraus ergibt sich, unter Benutzung der obigen Abschätzung der Ableitungen von g, dass

|f (j)(z)| ≤ C Kj Γ(1 + sk) j! ∀ j ∈ N0 , |d− arg z| ≤ s π/2 .

Weiter folgt aus (8.6.1) dass alle Ableitungen im Nullpunkt stetig sind, und dass f (j)(0) = g(j)(0) Γ(1+sj)ist. Da d beliebig ist, ergibt sich hieraus die Behauptung. 2

8.7 Gevrey-Asymptotiken in groÿen Sektoren

Der folgende Satz ist eine Variante des Maximum-Prinzips und wird im Folgenden benötigt. Beachte,dass die Aussage des Satzes trivial richtig ist, wenn die rechte Seite der zweiten Ungleichung unendlichist.

Satz 8.7.1 (Phragmén-Lindelöf) Seien s > 0 und S = z : |z| > ρ0 , α < arg z < β ein Sektor,mit ρ0 > 0 und 0 < β − α < sπ. Sei f in S holomorph und auf dem Rand von S stetig. Falls dannKonstanten C,K > 0 existieren, für welche

|f(z)| ≤ C exp[K |z|k] ∀ z ∈ S ,

wobei k = 1/s ist, dann folgt|f(z)| ≤ sup

u∈∂S|f(u)| ∀ z ∈ S ,

wobei ∂S den Rand von S bezeichnet.

Beweis: Eine Substitution z 7→ a z mit |a| = 1 kann dazu benutzt werden, den Sektor S zu drehen. Dasich dabei sonst nichts verändert, können wir o. B. d. A. annehmen dass β = −α ist. Für π/(2β) > κ > kund ε > 0 ist exp[−εzκ] in S fallend. Somit gilt g(z) := f(z) exp[−εzκ] → 0 in S. Für alle z ∈ ∂S folgtdass |g(z)| ≤ m ist, mit m := supu∈∂S |f(u)|, unabhängig von ε. Aus dem Maximumprinzip, angewandtauf die Funktion g(1/w), folgt dieselbe Abschätzung dann auch für z ∈ S, und für ε → 0 folgt dieBehauptung. 2

Die Bedeutung des obigen Satzes liegt für uns darin, dass man mit ihm das folgende Resultat beweisenkann:

Satz 8.7.2 (Watson's Lemma) Sei s > 0, und sei G ein sektorielles Gebiet mit Önungswinkel > sπ.Wenn f holomorph in G ist, und wenn f in G die Nullreihe als Gevrey-Asymptotik der Ordnung s hat,dann ist f die Nullfunktion.

Beweis: Sei S ein abgeschlossener Teilsektor von G mit Önungswinkel α > sπ und Mittelrichtungd. Es gilt dann (8.5.2) für geeignete C,K > 0, und insbesondere ist f auf S betragsmäÿig durch Cbeschränkt. Mit κ = π/α < k und a = r eidκ, r > 0, folgt dass a zκ genau dann in der abgeschlossenenrechten Halbebene liegt, wenn 1/z ∈ S ist. Die Funktion gr(z) := f(1/z) eaz

κ

ist daher (wegen κ < k und(8.5.2)) auf S1 := z : 1/z ∈ S beschränkt, und auf dem Rand des Sektors ist |gr(z)| = |f(1/z)| ≤ C(unabhängig von r). Aus dem Satz von Phragmén-Lindelöf folgt die gleiche Abschätzung auch im Innerenvon S1, und daher folgt für r →∞ dass f(z) = 0 sein muss. 2

Watson's Lemma besagt genau, dass die Abbildung J : As(G)→ C[[z]]s injektiv ist, wenn der Önungs-winkel von G gröÿer als s π ist. Dass J dann nicht surjektiv ist, wird sich später herausstellen. Dazubrauchen wir die Borel-Transformation, die wir im übernächsten Abschnitt denieren werden.

59

8.8 Die Laplace-Transformation

Im Folgenden sei S = S(d, α) ein fester Sektor mit unendlichem Radius, und k sei eine, gleichfalls feste,positive reelle Zahl.

Denition 8.8.1 Mit A(k)(S) bezeichnen wir die Menge der in S holomorphen und im Nullpunkt stetigenFunktionen f(z), welche die folgende Wachstumsbedingung der Ordnung k erfüllen: Für jedes β < α gibtes Zahlen C, c > 0 so, dass

|f(z)| ≤ C ec|z|k

∀ z ∈ S(d, β) .

Für f ∈ A(k)(S) und τ mit |d−τ | < α/2 konvergiert das Integral∫∞(τ)

0f(u) exp[−(u/z)k] duk, mit duk :=

k uk−1 du, bei Integration entlang des Strahls arg u = τ , absolut und kompakt für alle z mit cos(k[τ −arg z]) > c|z|k, wenn wir c in Abhängigkeit von f und τ groÿ genug wählen. Auf der Riemannschen Flächedes Logarithmus hat diese (oene) Menge evtl. abzählbar viele Zusammenhangskomponenten, von denenwir diejenige mit |τ−arg z| < π/(2k) auswählen und mit G(τ) bezeichnen. Dies ist ein sektorielles Gebietmit Önungswinkel π/k und Mittelrichtung τ . In diesem Gebiet G(τ) ist die Funktion

g(z) := z−k∫ ∞(τ)

0

f(u) exp[−(u/z)k] duk (8.8.1)

holomorph. Da wir nach Denition der Wachstumsbedingung die Konstante c unabhängig von τ wählenkönnen, solange wir τ auf ein beliebiges abgeschlossenes Teilintervall von (d−α/2, d+α/2) beschränken,bedeutet ein Wechsel der Integrationsrichtung τ nur eine analytische Fortsetzung der Funktion g(z). Daherist g(z) holomorph in der Vereinigung aller dieser Gebiete G(τ), also in einem sektoriellen Gebiet G mitMittelrichtung d und Önungswinkel β := α + π/k. Wir schreiben g := Lkf und nennen die AbbildungLk die Laplace-Transformation der Ordnung k. Wir nennen auch g = Lkf die Laplace-Transformierteder Ordnung k von f .

Es folgt sofort durch Variablensubstitution, dass g(z) genau dann die Laplace-Transformierte der Ordnungk von f(u) ist, wenn (in entsprechend angepassten Variablenbereichen) die Funktion g(z1/k) die Laplace-Transformierte der Ordnung 1 von f(u1/k) ist. Man ndet in den meisten Büchern eine geringfügigandere Denition der Laplace-Transformation, aber die hier gegebene ist für unsere Zwecke praktischer!Der Grund hierfür liegt im Wesentlichen in der nächsten Aufgabe.

Aufgabe 8.8.2 Zeige dass die Laplace-Transformierte der Ordnung k von f(u) = uλ, mit Re λ > 0gleich Γ(1 + λ/k) zλ ist. Die Transformierte einer Potenz ist also, bis auf einen konstanten Faktor,dieselbe Potenz!

Denition 8.8.3 Wegen Aufgabe 8.8.2 ergibt die gliedweise Anwendung von Lk auf eine formale Po-tenzreihe f(u) =

∑∞0 fn u

n die neue Reihe Lkf :=∑∞

0 fn Γ(1 +n/k) zn, welche wir als formale Laplace-Transformierte von f(z) bezeichnen wollen. Entsprechend nennen wir Lk auch die formale Laplace-Transformation der Ordnung k.

Aufgabe 8.8.4 Zeige dass die formale Laplace-Transformation Lk, für jedes feste σ ≥ 0 und s = 1/k,die Menge Cσ[[z]] bijektiv auf Cσ+s[[z]] abbildet. Anleitung: Zeige zunächst, z. B. mit der StirlingschenFormel, die Existenz von positiven reellen Zahlen K1, K2, für welche K

j1 ≤ Γ(1 + sj) Γ(1 + σj)/Γ(1 +

(s+ σ)j) ≤ Kj2 für alle j ∈ N0 gilt.

Der folgende Satz zeigt, dass die Laplace-Transformation im Zusammenhang mit Gevrey-Asymptotikensehr natürliche Eigenschaften hat:

60

Satz 8.8.5 Für f ∈ A(k)(S) sei g = Lkf in G = G(d, α + π/k), und für ein s1 ≥ 0 gelte f(z) ∼=s1 f(z)

in S. Dann gilt mit s2 := 1/k + s1 und g = Lkf die Asymptotik

g(z) ∼=s2 g(z) in G.

Beweis: Wenn man in (8.8.1) u = z w1/k substituiert, erhält man mit s = 1/k die Darstellung

g(z) =

∫ ∞(τz)

0

f(z ws) e−w dw .

Dies impliziert für alle n ∈ N0 die Darstellung der n-ten Ableitung von g durch

g(n)(z) =

∫ ∞(τz)

0

f (n)(z ws)wn/k e−w dw , (8.8.2)

mit τz = argw = k (τ − arg z) im Intervall (−π/2, π/2). Nach Voraussetzung gilt (8.5.3) in jedem abge-schlossenen Teilsektor von S mit Radius r ≤ 1. Aus der Wachstumsbedingung für f und der CauchyschenIntegralformel für Ableitungen kann man schlieÿen dass es zu jedem β < α Konstanten C,K, c gibt, fürwelche gilt

|f (n)(z)| ≤ C Kn n! ec|z|k

∀ |z| ≥ 1 , |d− arg z| < β/2 .

Wenn man die Konstanten gegebenenfalls noch vergröÿert, folgt daraus

|f (n)(z)| ≤ C Kn n! Γ(1 + s1n) ec|z|k

∀ |z| > 0 , |d− arg z| < β/2 .

Wenn man diese Abschätzung in (8.8.2) einsetzt, erhält man

|g(n)(z)| ≤ C Kn n! Γ(1 + s1n)

∫ ∞0

xns e(c|z|k−ε)x dx ,

mit einem kleinen ε > 0, welches nur von τz abhängt. Nach Aufgabe 8.5.4 dürfen wir uns für die folgendeAbschätzung darauf beschränken, dass z in einem abgeschlossenen Teilsektor S1 ⊂ G liegt, dessen Radiushöchstens gleich (ε/(2c))s ist, und dann ist das Integral auf der rechten Seite gleich Γ(1 + sn) (2/ε)ns+1.Mit Hilfe von Aufgabe 8.8.4 folgt dann |g(n)(z)| ≤ C1K

n1 n! Γ(1 + s2n) in S1, mit hinreichend groÿen

Konstanten C1,K1, und das war zu zeigen. 2

Aufgabe 8.8.6 Mit den Voraussetzungen und Bezeichnungen des Beweises von Satz 8.8.5 sei für irgend-ein a ∈ S

ga(z) := z−k∫ ∞(d)

a

f(u) exp[−(u/z)k] duk , |d− arg z| < π/(2k) .

Zeige ga(z) ∼=s 0 in einem sektoriellen Gebiet G mit Mittelrichtung d und Önungswinkel gleich π/k.

8.9 Die Borel-Transformation

In diesem Abschnitt sei G = G(d, α) ein sektorielles Gebiet mit Önungswinkel α > π/k, mit festemk > 0.

Denition 8.9.1 Für eine beliebige in G holomorphe und im Nullpunkt stetige Funktion f sei

(Bkf)(u) := g(u) =k

2πi

∫γk(τ)

z−1 f(z) exp[(u/z)k] dz , (8.9.1)

61

wobei der Integrationsweg γk(τ) der positiv orientierte Rand eines abgeschlossenen Teilsektors S(τ, β, r) ⊂G mit einem Önungswinkel β > π/k ist. Für 2 |τ−arg u| < β−π/k ist das Integral absolut und kompaktkonvergent und stellt deshalb eine holomorphe Funktion dar. Wie bei der Laplace-Transformation ergibtsich durch eine Änderung des Integrationsweges lediglich eine analytische Fortsetzung dieser Funktion.Daher erhalten wir, dass g(u) im Sektor S(d, ε), mit ε := α − π/k, holomorph ist. Wir nennen g dieBorel-Transformierte von f , und bezeichen Bk als Borel-Transformation der Ordnung k.

Aufgabe 8.9.2 Zeige dass die Borel-Transformierte der Ordnung k von zλ, mit Re λ > 0, gleichuλ/Γ(1 + λ/k) ist. Für Potenzen sind also Laplace- und Borel-Transformation zueinander invers. Wirwerden sehen, dass dies auch allgemeiner richtig ist.

Denition 8.9.3 Motiviert durch Aufgabe 8.9.2 denieren wir die formale Borel-Transformierte einerformalen Potenzreihe f(z) =

∑∞0 fn z

n durch

(Bkf)(z) =∞∑0

fn zn/Γ(1 + n/k) ,

und nennen Bk die formale Borel-Transformation der Ordnung k. Wir sehen, dass die formale Borel-Transformation für jedes σ ≥ 0 genau die inverse Abbildung zu Lk : Cσ[[z]]→ Cσ+s[[z]] ist.

Aufgabe 8.9.4 Für ein f ∈ A(G) wie oben sei g = Bk f . Zeige dass die Dierentiation von (8.9.1)unter dem Integralzeichen gerechtfertigt ist und folgere daraus durch Induktion über n

un g(n)(u) =k

2πi

∫γk(τ)

zn−1 f (n)(z) exp[(u/z)k] dz ∀ n ∈ N0 . (8.9.2)

Genau wie die Laplace-Transformation hat auch die Borel-Transformation gute Eigenschaften bezüglichGevrey-Asymptotiken:

Satz 8.9.5 Sei f holomorph in G, und gelte f(z) ∼=s1 f(z) in G, für ein s1 ≥ 0. Deniere s2 alss2 = s1 − k−1 für 1/s1 < k, resp. s2 = 0 im anderen Fall. Dann folgt für S = S(d, ε), mit ε := α− π/k:

(Bkf)(u) ∼=s2 (Bkf)(u) in S .

Beweis: Mit Aufgabe 8.9.2 folgt, dass für alle N ∈ N die Funktion uNrN (u; g) die Borel-Transformationvon zNrN (z; f) ist. Wenn man den Integrationsweg γk(τ) in drei Teile zerlegt, nämlich die beiden radialenGeradenstücke und den Kreisbogen, und diese Teile abschätzt, ndet man

|uNrN (u; g)| ≤ cKN (2π)−1 Γ(1 + s1N) (I1 + I2 + I3),

mit

I1, I3 ≤ k

r∫0

xN−1 exp[−c (|u|/x)k] dx, I2 ≤ c rN exp[(|u|/r)k],

mit hinreichend groÿen Konstanten c, c > 0, die nicht von u, N und r abhängen. Es reicht, sich aufgroÿe Werte von N zu beschränken, und für solche kann man r = |u| (k/N)1/k wählen, woraus I2 ≤c |u|N (k/N)N/k eN/k und, nach Substitution y = c (|u|/x)k,

I1, I3 ≤ |u|N cN/k∫ ∞cN/k

y−1−N/k e−y dy ≤ |u|N c−1 (k/N)1+N/k

folgt. Mit der Stirlingschen Formel ergibt sich dann für genügend groÿe C, K > 0, unabhängig von u andN , die Ungleichung

|rN (u; g)| ≤ C KN Γ(1 +Ns1)/Γ(1 +N/k).

62

Eine nochmalige Anwendung der Stirlingschen Formel ergibt dann die Behauptung. 2

Für 1/s1 ≥ k impliziert Satz 8.9.5 dass Bkf im Nullpunkt holomorph ist, und dass Bkf die Potenzrei-henentwicklung ist. Wenn sogar 1/s1 > k ist, kann man sehen, dass Bkf eine ganze Funktion ist. DieseTatsache können wir benutzen, um zu zeigen, dass die Abbildung J : As(G) → C[[z]]s nicht surjektivist, wenn der Önungswinkel von G groÿ ist:

Satz 8.9.6 Es gibt formale Reihen f(x) von Gevrey-Ordnung s = 1/k, derart dass für kein sektoriellesGebiet G mit Önungswinkel α > sπ ein f ∈ As(G) existiert mit f(z) ∼=s f(z).

Beweis: Wenn ein f ∈ As(G) mit f(z) ∼=s f(z) existiert, dann ist g = Bs f im Nullpunkt holomorph, undg = Bs f ist die Potenzreihenentwicklung von g. Auÿerdem ist g immer in einen Sektor mit unendlichemRadius holomorph. Es gibt aber Funktionen g, welche in einem Kreis holomorph und nicht über dessenRand hinaus fortsetzbar sind vergleiche dazu die nächste Aufgabe. 2

Aufgabe 8.9.7 Zeige dass die Potenzreihe∑∞

0 zj! den Konvergenzradius R = 1 hat, und dass die durchdie Reihe gegebene Funktion nicht über den Rand des Einheitskreises fortgesetzt werden kann. Anleitung:Zeige, dass die Werte der durch die Reihe gegebenen Funktion gegen ∞ konvergieren, wenn z radial gegeneinen Randpunkt ei2πφ mit φ ∈ Q konvergiert.

8.10 Umkehrformeln

Grob gesprochen besagen die folgenden beiden Sätze, dass Laplace- und Borel-Transformation zueinan-der invers sind, wenn man von der genauen Gröÿe der Bereiche, in denen die entsprechenden Integralekonvergieren, absieht.

Satz 8.10.1 Für G(d, α) und k wie im letzten Abschnitt sei f in G holomorph und im Nullpunkt be-schränkt. Dann erfüllt g(u) = (Bkf)(u) in S = S(d, α − π/k) eine Wachstumsbedingung der Ordnung k,so dass (Lkg)(z) in einem sektoriellen Gebiet G = G(d, α), mit π/k < α, deniert und holomorph ist,und es gilt

f(z) = (Lkg)(z), z ∈ G ∩G .

Beweis: Wenn man γk(τ) wie im Beweis von Satz 8.9.5 in drei Teile zerlegt, gehen die Integrale über dieradialen Geradenstücke gegen 0 für u → ∞ in S(τ, ε/(2k)). Im Integral über den Kreisbogen kann manexp[(u/z)k] in die Exponentialreihe entwickeln und diese gliedweise integrieren. Damit erhält man dassdieses Integral eine ganze Funktion ist, welche in der ganzen Ebene die verlangte Wachstumsbedingungerfüllt. Auf diese Art zeigt man die behauptete Wachstumsbedingung für g(u). Um f = Lkg zu zeigen,reicht es aus, Werte von z mit arg z = d und |z| klein zu betrachten. Für solche z kann man aber dasIntegral für Bkf in das für Lkg einsetzen und die Integrationsreihenfolge vertauschen. Daraus folgt aber

(Lk Bkf)(z) =k

2πi

∫γk(d)

wk−1f(w)

wk − zkdw .

Die Funktion Fz(w) = wk−1f(w)(wk − zk)−1 hat im Inneren von γk(d) genau eine Singularität, nämlichfür w = z, und dies ist ein Pol erster Ordnung mit Residuum f(z)/k. Aus dem Residuensatz folgt danndie Behauptung. 2

63

Satz 8.10.2 For S = S(d, α) und k > 0 seien f ∈ A(k)(S) und g(z) = (Lkf)(z), z ∈ G = G(d, α+π/k).Dann gilt

f(u) = (Bkg)(u), u ∈ S.

Beweis: Der Beweis kann ähnlich wie der des letzten Satzes geführt werden die Einzelheiten sollenhier ausgelassen werden. Auch für wesentlich allgemeinere Funktionen f , welche auf der positiven reellenAchse deniert sind, gibt es eine komplexe Umkehrformel für die Laplace-Transformation, die zu der hierbenutzten Borel-Transformation äquivalent ist, wenn f in einem kleinen Sektor S(0, ε) holomorph ist.Vergleiche hierzu Literatur über die Laplace-Transformation, wie etwa das Buch von D. V. Widder [26].

2

64

Kapitel 9

Summierbare Potenzreihen

In diesem Kapitel wollen wir uns mit summierbaren Potenzreihen beschäftigen. Vereinfacht ausgedrücktheiÿt das, dass wir sogenannte Summierungsverfahren kennenlernen wollen, welche auch divergentenPotenzreihen eine Funktion zuordnen. Abstrakt gesprochen ist ein Summationsverfahren eine (meistenslineare) Abbildung S eines komplexen Vektorraums von Folgen oder Reihen nach C. Hier betrachtenwir einen Vektorraum X formaler Potenzreihen, also von Reihen in einer Variablen z, und daher sind dieWerte S (f(z)) Funktionen f(z), deren Denitionsbereich ein sektorielles Gebiet G ⊂ C sein wird. Für dieAnwendungen, z. B. auf formale Lösungen von Dierentialgleichungen, ist es wichtig, dass die AbbildungS die folgenden Eigenschaften besitzt:

• Der Denitionsbereich X ist nicht nur ein Vektorraum, sondern zusätzlich abgeschlossen bezüglichder Multiplikation und gliedweisen Dierentiation der formalen Potenzreihen man nennt dann Xauch dierentielle Algebra.

• Die Abbildung S ist ein Homomorphismus, d. h., sie ist linear und bildet Produkte auf Produkteund Ableitungen auf Ableitungen ab.

• Für ein f(z) ∈ X ist das Bild S (f) eine in einem sektoriellen Gebiet G holomorphe Funktion f(z),und f(z) ∼= f(z) für z → 0 in G. Dabei soll allerdings zugelassen sein, dass das Gebiet G von f(z)abhängt.

• Alle Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius sollen zu X gehören und durch die AbbildungS auf ihre natürliche Summe abgebildet werden.

Wie wir sehen werden, hat die sogenannte k-Summierbarkeit alle diese wünschenswerten Eigenschaften.Allerdings gibt es formale Potenzreihen, welche nicht durch dieses Verfahren summiert werden können,obwohl sie formale Lösungen von relativ einfachen Dierentialgleichungen sind.

9.1 Summierbarkeit in einer Richtung

Im Folgenden seien immer k > 0 und d ∈ R fest gegeben.

Denition 9.1.1 Wir nennen eine formale Potenzreihe f(z) k-summierbar in der Richtung d, wenn esein sektorielles Gebiet G mit Mittelrichtung d und Önungswinkel α > π/k sowie eine in G holomorpheFunktion f gibt mit der Eigenschaft dass f(z) ∼=1/k f(z) für z → 0 in G. Nach dem Lemma von Watson(Satz 8.7.2) ist die Funktion f eindeutig bestimmt, und wir nennen sie die Summe der Potenzreihe f undschreiben auch f = Sk,d f .

65

Die Denition der k-Summierbarkeit sichert nur die Existenz einer Summe. Der folgende Satz besagt,dass diese Summe grundsätzlich mit Hilfe der formalen Borel- und der Laplace-Transformation berechnetwerden kann:

Satz 9.1.2 Für jedes f(z) ∈ C[[z]] sind folgende Aussagen äquivalent:

(a) Die Reihe f(z) ist k-summierbar in der Richtung d.

(b) Die Reihe g(z) := Bk f(z) hat einen positiven Konvergenzradius, und die durch g gegeben Funktiong ist analytisch fortsetzbar in einen Sektor S mit Mittelrichtung d und unendlichem Radius underfüllt dort eine Wachstumsbedingung der Ordnung k.

Wenn eine dieser Aussagen gilt, dann folgt f(z) ∈ C1/k[[z]], und die Summe f = Sk,d f ist gleich derLaplace-Transformierten der Ordnung k von g.

Beweis: Sei (a) erfüllt. Die Summe f = Sk,d f ist per Denition in A1/k(G) für ein sektorielles Gebiet Gmit Önungswinkel α > π/k. Also kann Bk angewendet werden, und aus Satz 8.9.5 folgt dass g := Bk fdie Reihe g(z) := Bk f(z) als Gevrey-Asymptotik der Ordnung s2 = 0 besitzt, was zur Konvergenz derReihe gegen die Funktion g äquivalent ist. Aus Satz 8.10.1 folgt schlieÿlich die Fortsetzbarkeit von gund die Wachstumsbedingung, so dass insgesamt (b) erfüllt ist. Umgekehrt folgt aus (b) und Satz 8.8.5f = Lk ∈ A1/k(G), für ein sektorielles Gebiet G mit Önungswinkel α > π/k, und daher gilt (a). 2

Bemerkung 9.1.3 Nach dem letzten Satz können nur Reihen f ∈ C[[z]]1/k k-summierbar in einer Rich-tung d sein, und aus Satz 8.9.6 folgt, dass nicht alle diese Reihen so summierbar sind. Wenn eine konkreteReihe auf ihre Summierbarkeit untersucht werden und ihre Summe berechnet werden soll, ist grundsätzlichfolgendes zu tun:

(a) Die Funktion g(z), welche lokal durch die konvergente Reihe Bkfgegeben ist, muss in einen Sektorder Form S(d, ε), mit einem kleinen ε > 0,fortgesetzt werden.

(b) In diesem Sektor muss eine Wachstumsbedingun der Ordnung k für g gezeigt werden.

(c) Das Integral Lkg muss berechnet werden.

In praktischen Beispielen sind die ersten beiden Punkt oft kein allzu groÿes Problem. Die explizite Berech-nung des Integrals dagegen ist meist nicht möglich, da die hierdurch gegebene Funktion oft eine sogenanntehöher-transzendente Funktion ist, was ungefähr heiÿt, dass sie nicht durch andere bekannte Funktionenausgedrückt werden kann.

Aufgabe 9.1.4 Zeige dass die Reihe f(z) =∑∞

0 Γ(1 + j/k) zj in jeder Richtung d 6= 2nπ, n ∈ Z, k-summierbar ist. Zeige weiter mit den Bezeichnungen wie in der letzten Bemerkung: Ist g(z) eine rationaleFunktion, dann ist f(z) in allen Richtungen d, in denen keine Polstellen von g liegen, k-summierbar.

Wir wollen nun einige erste Eigenschaften der k-Summierbarkeit zusammenstellen. Dabei sind Aussagender Form (Sk,d f)(z) = (Sk,d f)(z) immer so zu verstehen, dass der Durchschnitt der Denitionsbereiche

beider Funktionen nicht leer ist (was bei dieser Aussage oensichtlich ist, wenn |d − d| klein genug ist),und dass die beiden Funktionen in diesem Durchschnitt übereinstimmen. Nach dem Identitätssatz fürholomorphe Funktionen sind dann auch ihre analytischen Fortsetzungen in jedes einfach zusammenhän-gende Gebiet die gleichen genauer gilt sogar: Wenn eine der beiden Funktionen fortsetzbar ist, dann istes auch die andere, und sie stimmen überein. Aus diesem Grund kann in den folgenden Resultaten aufeine Angabe eines Gebietes, in denen z. B. (Sk,d f)(z) = (Sk,d f)(z) ist, verzichtet werden.

66

Lemma 9.1.5 Für jedes k > 0 gilt:

(a) Eine konvergente Reihe f ist k-summierbar in jeder Richtung d ∈ R, und (Sk,d f)(z) ist gleich derdurch die Potenzreihe gegebenen Funktion.

(b) Sei f k-summierbar in einer Richtung d, und sei ε > 0 genügend klein. Dann ist f auch k-summierbar in jeder Richtung d mit |d− d| < ε, und (Sk,d f)(z) = (Sk,d f)(z). Anders ausgedrücktheiÿt das, dass die Menge aller Richtungen, in denen eine formale Potenzreihe k-summierbar ist,eine oene Teilmenge O ⊂ R ist, und die Summe ist nicht von der Wahl der Richtung d abhängig,solange d in.einer Zusammenhangskomponente von O variiert.

(c) Sei f k-summierbar in einer Richtung d, und sei ε > 0 genügend klein. Dann ist f auch k-summierbar in derselben Richtung d, für alle k mit k − ε < k ≤ k, und (Sk,d f)(z) = (Sk,d f)(z).

Beweis: Eine konvergente Reihe ist gleichzeitig auch asymptotische Entwicklung, und zwar von jederGevrey-Ordnung und in jedem Sektor von hinreichend kleinem Radius. Daraus folgt (a). Zum Nachweisvon (b) ist nur zu beachten, dass ein sektorielles Gebiet mit Mittelrichtung d und Önungswinkel α > π/kimmer ein sektorielles Gebiet mit Mittelrichtung d und Önungswinkel α − ε enthält, und wir könnenalso ε < α− π/k setzen. Auf Grund der Denition von Gevrey-Asymptotiken ist klar, dass f(z) ∼=s f(z)

in G und s > s immer f(z) ∼=s f(z) in G impliziert. Wenn also ε > 0 so klein ist, dass der Önungswinkelvon G gröÿer als π/(k − ε) ist, folgt (c). 2

Lemma 9.1.6 Sei f k1-summierbar in einer Richtung d, sei k > k1, und sei k2 so, dass 1/k2 = 1/k1 −1/k. Dann ist g = Bkf k2-summierbar in derselben Richtung d, und Sk2,d g = Bk(Sk1,d f).

Beweis: Folgt unmittelbar aus Satz 8.9.5 und der Denition der k1- bzw.. k2-Summierbarkeit in einerRichtung d. 2

Wenn k < 1/2 ist, ist die Summe einer k-summierbare Reihe in einem sektoriellen Gebiet G mit einemÖnungswinkel > 2π holomorph, und dieses müssen wir auf der Riemannschen Fläche des Logarithmusbetrachten. Andererseits zeigt das nächste Lemma, dass die k-Summierbarkeit nicht zwischen Richtungend1 und d2 unterscheidet, wenn deren Dierenz ein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist.

Lemma 9.1.7

(a) Sei f k-summierbar in einer Richtung d, und sei f(z) ∈ C1/k1 [[z]] mit k1 > k. Dann ist fk1-summierbar in allen Richtungen d mit 2 |d − d| ≤ π (1/k − 1/k1), und es gilt (Sk1,d f)(z) =

(Sk,d f)(z).

(b) Für d = d+2π ist die k-Summierbarkeit von f in einer Richtung d äquivalent zur k-Summierbarkeitvon f in der Richtung d, und (Sk,d f)(z) = (Sk,d f)(ze−2πi).

Beweis: Nach Voraussetzung gibt es ein f mit f(z) ∼=1/k f(z) in einem sektoriellen Gebiet G(d, α)mit α > π/k. Die Funktion g := Bk1f ist nach den Sätzen über die Borel-Transformation holomorph inS(d, α − π/k1) mit der entsprechenden Wachstumsbedingung, und die Voraussetzung f(z) ∈ C1/k1 [[z]]impliziert die Holomorphie von g im Nullpunkt. Also gilt (a). Die Behauptung (b) folgt sofort aus derDenition der k-Summierbarkeit. 2

Aufgabe 9.1.8 Zeige dass f(z) =∑∞

0 Γ(1 + n/k) zn/Γ(1 + n) k-summierbar ist in allen Richtungend mit (2j + 1/2)π < d < (2j + 3/2)π, j ∈ Z. Untersuche auch die k-Summierbarkeit in den anderenRichtungen.

67

Aufgabe 9.1.9 Zeige dass f(z) =∑∞

0 Γ(1 + 2n) zn/Γ(1 + n)

1. 1-summierbar ist in jeder Richtung d ∈ [−π, π) mit einer Ausnahme.

2. 1/2-summierbar ist in jeder Richtung d mit (2j + 1/2)π < d < (2j + 3/2)π, j ∈ Z.

9.2 Rechenregeln

Denition 9.2.1 Für k > 0 und d ∈ R schreiben wir Czk,d für die Menge aller formalen Potenzreihen,welche k-summierbar in Richtung d sind.

Satz 9.2.2 Für k > 0 and d ∈ R seien f , f1, f2 ∈ Czk,d. Dann gilt:

f1 + f2 ∈ Czk,d , Sk,d (f1 + f2) = Sk,d f1 + Sk,d f2 ,

f1 f2 ∈ Czk,d , Sk,d (f1 f2) = (Sk,d f1) (Sk,d f2) ,

f ′ ∈ Czk,d , Sk,d (f ′) =d

dz(Sk,d f),∫ z

0

f(w)dw ∈ Czk,d , Sk,d(∫ z

0

f(w)dw

)=

∫ z

0

(Sk,d f)(w) dw.

Weiter gilt für p ∈ N immer

f(zp) ∈ Czpk,d/p, Spk,d/p (f(zp)) = (Sk,d f)(zp).

Beweis: Als Übungsaufgabe! 2

Aufgabe 9.2.3 Sei f(z) eine beliebige formale Potenzreihe, deren konstantes Glied nicht verschwindet.Zeige, dass es genau eine formale Potenzreihe g(z) gibt mit f(z) g(z) = 1(z), wobei 1(z) die Potenzreihemit dem konstanten Glied 1 ist, deren übrige Koezienten alle verschwinden. Wir schreiben dann auchg(z) = f−1(z).

Satz 9.2.4 Für k > 0 and d ∈ R sei f ∈ Czk,d. Dann gilt: Wenn das konstante Glied von f nichtverschwindet, dann ist

f−1 ∈ Czk,d, Sk,d (f−1) = (Sk,d f)−1 .

Beweis: Sei f ∈ A1/k(G) die Summe von f . Mit Aufgabe 8.2.2 folgt die Existenz eines sektoriellenGebietes mit demselben Önungswinkel wie dem von G (also gröÿer als π/k), in welchem f(z) 6= 0ist, und wir können deshalb o. B. d. A. annehmen, dass dies bereits in G selber der Fall ist. Also istg(z) := 1/f(z) in G holomorph. Aus f(z) g(z) ≡ 1 folgt für die Ableitungen die Rekursionsformel

g(n)(z) = −g(z)

n−1∑j=0

(n

j

)f (n−j)(z) g(j)(z) ∀ n ∈ N .

Durch Induktion über n ergibt sich, dass alle Ableitungen von g im Nullpunkt stetig sind, und dassdieselbe Rekursionsformel auch für z = 0 gilt. Daraus folgt dass g(z) ∼= f−1(z) ist, wenn z → 0 geht.Noch zu zeigen ist allerdings, dass dies eine Gevrey-Asymptotik der Ordnung s = 1/k ist. Sei dazu Sein abgeschlossener Teilsektor von G. Nach Voraussetzung gibt es Konstanten Cf ,Kf > 0 derart, dass

68

|f (n−j)(z)| ≤ Cf Kn−jf (n − j)! Γ(1 + (n − j)s) in S gilt. Alle Ableitungen von g sind in S beschränkt,

und wenn wir gn = [n! Γ(1 + sn)]−1 sup |g(n)(z)| setzen, dann folgt unter Benutzung von Aufgabe 8.5.10

gn ≤ g0 Cf

n−1∑j=0

Kn−jf

Γ(1 + s(n− j)) Γ(1 + sj)

Γ(1 + sn)gj ≤ g0 Cf

n−1∑j=0

Kn−jf gj ∀ n ∈ N .

Mit h0 = g0 und hn = g0 Cf∑n−1j=0 K

n−jf hj folgt induktiv dass hn ≥ gn ist, für alle n ∈ N0. Setzt man

h(x) =∑∞

0 hn xn, so folgt aus der Denitionsgleichung der hn dass

h(x) = g0 + g0 Cf h(x)xKf

1− xKf(0 ≤ x < 1/Kf ) .

Auÿer der Potenzreihe (deren Konvergenzradius evtl. auch gleich 0 sein könnte) hat diese Gleichung auchdie für |x|Kf < 1 holomorphe Funktion

h(x) = g0

(1 − x g0 Cf Kf

1− xKf

)−1

als Lösung. Durch Koezientenvergleich folgt, dass die Koezienten der Potenzreihe um den Nullpunktgenau die Zahlen hn sind, und daher hat die Reihe einen positiven Konvergenzradius. Daraus folgt aberdie Existenz eines K > 0, für welches die hn, und damit erst recht die gn, nicht göÿer als Kn sind. Dasergibt die Behauptung. 2

Aufgabe 9.2.5 Für k > 0 and d ∈ R sei f ∈ Czk,d. Zeige: Wenn das konstante Glied von f ver-schwindet, dann ist

z−1 f(z) ∈ Czk,d , Sk,d (z−1 f(z)) = z−1 (Sk,d f)(z) .

9.3 Summierbare Potenzreihen

Auch hier sei weiterhin k eine feste positive reelle Zahl.

Denition 9.3.1 Wegen Lemma 9.1.7 (c) ist es naheliegend, Richtungen d, welche sich um ganzzahligeVielfache von 2π unterscheiden, als äquivalent anzusehen. Eine Richtung d, in welcher eine gegebeneformale Potenzreihe f(z) nicht k-summierbar ist, soll singuläre Richtung für f(z) heiÿen. Wenn wirsolche singulären Richtungen zählen, dann wollen wir aus dem genannten Grund eigentlich nur die Äqui-valenzklassen abzählen. Wenn f(z) in diesem Sinne nur endlich viele singuläre Richtungen hat, wollenwir kurz sagen, dass diese Reihe k-summierbar ist. Für die Menge aller k-summierbaren Reihen wollenwir Czk schreiben. Es ist aber wichtig zu beachten, dass für verschiedene f(z) ∈ Czk Anzahl undLage der singulären Richtungen unterschiedlich sein kann. Wir wollen auch die Bezeichnung Cz fürdie Menge aller Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius benutzen.

Es ist unmittelbar klar, dass die Sätze 9.2.29.2.4 richtig bleiben, wenn man Czk,d durch Czk ersetzt,und die Aussagen für die entsprechenden Summen der Reihen gelten dann für alle Richtungen d bis aufhöchstens endlich viele (modulo 2π).

Aus Lemma 9.1.7 (a) folgt dass Sk,d f , abgesehen von dem Bereich, in dem diese Funktion durch dieLaplace-Transformation dargestellt wird, von der Richtung d unabhängig ist, solange d in einem Intervallvariiert, welches keine singuläre Richtung enthält. Aus der folgenden Proposition ergibt sich, dass dies ansingulären Richtungen anders ist:

69

Proposition 9.3.2 Seien d1, d2 ∈ R, und sei f(z) in beiden Richtungen k-summierbar. Die Funktionfj(z) := (Sk,dj f)(z) in der Richtung dj ist dann holomorph in einem sektoriellen Gebiet Gj mit Mittel-richtung dj und Önungswinkel > π/k, und wenn 0 < d2 − d1 < π/(2k) ist, dann ist G1 ∩G2 6= ∅. Fallsdann

(Sk,d1 f)(z) = (Sk,d2 f)(z) ∀ z ∈ G1 ∩G2 ,

dann ist f k-summierbar in allen Richtungen d mit d1 < d < d2.

Beweis: Unter den gemachten Voraussetzungen ist die Funktion f(z) = f1(z) holomorph inG := G1∪G2,und hat dort die Reihe f(z) als Gevrey-Asymptotik der Ordnung 1/k. Da G für jedes d ∈ (d1, d2) einsektorielles Gebiet mit Mittelrichtung d und Önungswinkel > π/k enthält, folgt die Behauptung. 2

Die letzte Proposition besagt, anders ausgedrückt, dass unter den gemachten Annahmen über d1 und d2

die beiden Summen verschieden sein müssen, falls zwischen d1 und d2 eine singuläre Richtung liegt. Dienächste Proposition zeigt, dass eine divergente formale Potenzreihe notwendigerweise singuläre Richtun-gen haben muss.

Proposition 9.3.3 Wenn f ∈ Czk in jeder Richtung d k-summierbar ist, dann hat die Reihe einenpositiven Konvergenzradius.

Beweis: Aus Lemma 9.1.7 (a), (c) folgt, dass die Funktion f = Sk,d (f) von d unabhängig und un-verzweigt ist, und daher ist nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz der Nullpunkt keine Singularität.Daher gilt die Behauptung. 2

Sei f ∈ Czk, und sei d0 eine singuläre Richtung für f . Wenn g(z) die durch die konvergente Reihe Bk fgegebene Funktion ist, gibt es zwei mögliche Gründe dafür, dass d0 singulär ist: Entweder kommt manbeim Fortsetzen von g(z) entlang des Strahls arg z = d0 an eine Stelle z0, welche eine Singularität ist, sodass man darüber hinaus nicht fortsetzen kann, oder (da ja auf Grund der endlichen Anzahl der singulärenRichtungen die unmittelbar neben d0 liegenden Richtungen nicht singulär sein können) man kann g(z)in einen kleinen Sektor mit Mittelrichtung d0 und unendlichem Radius fortsetzen, aber in keinem Sektordieser Art gilt die Wachstumsbedingung. In diesem zweiten Fall (welcher in der Tat eintreten kann) mussg(z) entlang arg z = d0 schneller als jede Funktion der Form exp(|z|κ) mit beliebigem κ > 0 anwachsen dies ergibt sich aus der nächsten Proposition:

Proposition 9.3.4 Für α < d0 < β sei f k-summierbar in jeder Richtung d 6= d0, d ∈ (α, β). Diedurch die konvergente Reihe Bkf(z) gegebene Funktion sei fortsetzbar in einen Sektor S = S(d0, ε), miteinem ε > 0 und erfülle dort eine Wachstumsbedingung der Ordnung κ, mit beliebigem κ > 0. Dann istf k-summierbar in der Richtung d0.

Beweis: Nach Voraussetzung ist g erfüllt g(z) in der linken und der rechten Hälfte von S sogar eineWachstumsbedingung der Ordnung k. Wenn wir a = ρ eid0 setzen und ρ hinreichend groÿ ist, dann isth(z) := g(z) e−az

k

(wenn wir o. B. d. A. ε < π/k annehmen) am Rande von S beschränkt, und dannfolgt aus dem Satz von Phragmén-Lindelöf (Satz 8.7.1) (wenn wir noch annehmen, dass ε < π/κ ist) dieBeschränktheit im Inneren. Daraus folgt aber die Behauptung. 2

In einer festen Richtung d kann eine Reihe durchaus gleichzeitig k1- und k2-summierbar sein, mit k1 6= k2.Dies ändert sich, wenn wir Summierbarkeit in allen bis auf endlich viele Richtungen verlangen:

Satz 9.3.5 Für k1 > k2 > 0 gilt

Czk2 ∩ Czk1 = Czk2 ∩ C[[z]]1/k1 = Cz .

70

Beweis: Trivialerweise gilt Cz ⊂ Czk2 ∩Czk1 ⊂ Czk2 ∩C[[z]]1/k1 . Wenn f ∈ Czk2 ∩C[[z]]1/k1ist, dann ist g = Bk2(f) eine ganze Funktion, welche in jedem Sektor eine Wachstumsbedingung derOrdnung k mit 1/k = 1/k2 − 1/k1 erfüllt. Daher folgt aus 9.3.4 dass f , bezüglich k2-Summierbarkeit,keine singulären Richtungen haben kann, und daher folgt aus Proposition 9.3.3 die Behauptung. 2

Aufgabe 9.3.6 Sei Re λ > 0. Zeige dass f(z;λ) =∑∞

0 Γ(λ + n) zn 1-summierbar ist, und dass dieSumme gleich

f(z;λ) = z−λ∫ ∞(d)

0

wλ−1

1− we−w/z dw ,

ist, für alle d 6= 2kπ, k ∈ Z. Es gibt also in diesem Fall nur eine singuläre Richtung modulo 2π, nämlichd0 = 0.

Aufgabe 9.3.7 Zeige dass f(z;λ) =∑∞

0 Γ(λ + n) zn immer 1-summierbar ist, solange λ kein Pol derGamma-Funktion ist.

71

Kapitel 10

Die Cauchy-Heine-Transformation

Wenn ψ(w) auf einem Geradenstück von 0 bis zu einem (komplexen) Punkt a 6= 0 stetig ist, ist dieFunktion

f(z) :=1

2πi

∫ a

0

ψ(w)

w − zdw

oenbar holomorph für z in der komplexen Ebene mit einem Schlitz von 0 bis nach a. Wenn ψ auch nochauf diesem Schlitz, mit evtl. Ausnahme der beiden Endpunkte, holomorph ist, dann folgt dass auch f(z)auf beide Ufer des Schlitzes analytisch fortgesetzt werden kann, wobei aber die Grenzwerte auf den Uferndes Schlitzes im Allgemeinen unterschiedlich ausfallen. An den Stellen 0 und a wird f(z) im Allgemeinenallerdings singulär sein. Wenn ψ(w) für w → 0 schneller als jede Potenz von w gegen 0 strebt, werdenwir sehen, dass f(z) eine asymptotische Entwicklung im Nullpunkt besitzt.

10.1 Denition und elementare Eigenschaften

Im Folgenden sei immer s > 0, und G = G(d, α) sei ein festes Gebiet mit Mittelrichtung d und einemÖnungswinkel α ≤ s π, so dass die Menge As(G) nicht nur die Nullfunktion enthält.

Denition 10.1.1 Für ψ ∈ As,0(G) und a = r eiφ ∈ G nennen wir die Funktion

f(z) = (CHa ψ)(z) :=1

2πi

∫ a

0

ψ(w)

w − zdw , arg a < arg z < 2π + arg a (10.1.1)

Cauchy-Heine-Transformierte von ψ. Wir setzen noch

Ga(β) = z : 0 < |z| < r , z e−iβ ∈ G , Ga =⋃

0≤β≤2π

Ga(β) .

Lemma 10.1.2 Die oben denierte Funktion f(z) lässt sich unter den gemachten Voraussetzungen indas sektorielle Gebiet Ga fortsetzen, und es gilt

f(z) − f(ze2πi) = ψ(z) ∀ z ∈ Ga(0) . (10.1.2)

Beweis: Sei z = ρeiγ , mit arg a < γ < arg a+ 2π. Dann ist f(z) durch (10.1.1) deniert, und nach demCauchyschen Integralsatz können wir den Integrationsweg innerhalb von G stetig deformieren, solange

72

wir dabei den Punkt z nicht überqueren. Daraus folgt unmittelbar die behauptete Fortsetzbarkeit inGa. Insbesondere können wir sehen dass f(z)− f(ze2πi) durch ein Integral dargestellt wird, in welchemwir z. B. über einen kleinen positiv orientierten Kreis um z integrieren können. Mit der CauchyschenIntegralformel erhält man dann (10.1.2). 2

Proposition 10.1.3 Für G, ψ und f wie in der obigen Denition gilt f(z) ∼=s f(z) in Ga, mit f(z) =∑∞0 fn z

n gegeben durch

fn =1

2πi

∫ a

0

ψ(w)

wn+1dw, n ≥ 0. (10.1.3)

Beweis: Es gilt (w − z)−1 = zNw−N (w − z)−1 +∑N−1n=0 z

nw−n−1 für alle N ≥ 0. Also folgt für fn wiein (10.1.3) die Gleichung

rf (z,N) =1

2πi

∫ a

0

ψ(w)

wN (w − z)dw, z ∈ G,

wenn wir den Integrationsweg (in Abhängigkeit von z) so legen, dass dort w − z 6= 0 ist. Sei S einabgeschlossener Teilsektor von Ga mit einem Önungswinkel kleiner als 2π. Dann können wir für allez ∈ S einen festen Integrationsweg γ wählen, der auÿerhalb von S verläuft, aber noch innerhalb einesabgeschlossenen Teilsektors von G bleibt, und für welchen es ein c = c(S) > 0 gibt, so dass |w− z| ≥ c|w|ist für alle w ∈ γ∗ und alle z ∈ S. Da ψ ∈ As,0(G) ist, gibt es c, K > 0 so, dass für alle w ∈ γ∗

und alle N ∈ N0 die Abschätzung ‖w−Nψ(w)‖ ≤ c KNΓ(1 + sN) gilt. Wenn L gleich der Länge desIntegrationsweges γ ist, folgt hieraus

‖rf (z,N)‖ ≤ c−1 c L (2π)−1KN+1 Γ(1 + (N + 1)s

).

Da man Sektoren mit einem Önungswinkel gröÿer als 2π in endlich viele Teilsektoren mit kleinemWinkel zerlegen kann, folgt die gleiche Abschätzung (mit evtl. gröÿeren Konstanten c,K) in beliebigenabgeschlossenen Teilsektoren von Ga. Das war zu zeigen. 2

Bemerkung 10.1.4 Aus Proposition 10.1.3 folgt direkt mit der Denition für k = 1/s, dass die Reihef(z) in jeder Richtung d mit 2 |d− d−π| < α+π(2− s) k-summierbar ist. Die Menge dieser Richtungenkann für k < 1/2 allerdings auch leer sein. Es sei noch festgehalten, dass für a, b ∈ G die Funktion(CHa ψ)(z)− (CHb ψ)(z) im Nullpunkt holomorph ist.

Denition 10.1.5 Die in Proposition 10.1.3 denierte Potenzreihe f(z) bezeichnen wir auch als dieformale Cauchy-Heine-Transformierte CHa ψ von ψ.

10.2 Normale Überdeckungen

Obwohl wir normale Überdeckungen eigentlich auf der Riemannschen Fläche des Logarithmus betrachtenwollen, sollte man sie sich am besten in der komplexen Eben veranschaulichen:

Denition 10.2.1 Gegeben seien Richtungen d0 < d1 < . . . < dm−1 < dm := d0 + 2π sowie Önungs-winkel αj > 0, für j = 0, . . . ,m, wobei αm = α0 sei. Wenn dann dj−αj/2 < dj−1 +αj−1/2 für 1 ≤ j ≤ mgilt, sagen wir, dass die Sektoren Sj = S(dj , αj , ρ), 0 ≤ j ≤ m, für beliebiges ρ > 0 eine normale Über-deckung bilden. Beachte, dass auf der Riemannschen Fläche des Logarithmus der Sektor Sm direkt überdem Sektor S0 liegt in dem Sinn, dass z ∈ Sm zu e−2πi z ∈ S0 äquivalent ist.

73

Satz 10.2.2 Gegeben sei eine normale Überdeckung Sj = S(dj , αj , ρ), 0 ≤ j ≤ m. Für k > 0, s = 1/kund 1 ≤ j ≤ m seien ψj ∈ As,0(Sj−1 ∩ Sj). Wir wählen aj ∈ Sj−1 ∩ Sj sowie ein ρ mit 0 < ρ ≤ |aj | für1 ≤ j ≤ m, und setzen Sj = S(dj , αj , ρ), 0 ≤ j ≤ m. Dann haben die Funktionen

fj(z) =

j∑µ=1

(CHaµ ψµ)(z) +

m∑µ=j+1

(CHaµ ψµ)(ze2πi) , z ∈ Sj , 0 ≤ j ≤ m,

in Sj eine Gevrey-Asymptotik f(z) der Ordnung s, welche von j unabhängig ist und gegeben ist durch

f(z) =

m∑µ=1

CHaµ ψµ .

Weiter gilt noch

fj(z) − fj−1(z) = ψj(z) ∀ z ∈ Sj , 1 ≤ j ≤ m, fm(ze2πi) = f0(z) ∀ z ∈ Sm .

Beweis: Für jedes µ ist CHaµ ψµ holomorph für dµ−αµ/2 < arg z < 2π+dµ−1 +αµ−1/2, |z| < ρ. Darausfolgt für 1 ≤ µ ≤ j, bzw. j + 1 ≤ µ ≤ m, die Holomorphie von (CHaµ ψµ)(z), bzw. (CHaµ ψµ)(ze2πi), imSektor Sj , 0 ≤ j ≤ m. Aus Proposition 10.1.3 folgt dann die Behauptung. 2

Aufgabe 10.2.3 Überprüfe dass der letzte Satz für m = 1 mit Proposition 10.1.3 übereinstimmt.

Aufgabe 10.2.4 Deniere selber den Begri der Verfeinerung einer normalen Überdeckung und zeigedann, dass zwei normale Überdeckungen immer eine gröbste gemeinsame Verfeinerung haben.

10.3 Zerlegungssätze

Für jedes ψ ∈ As,0(G), haben die Koezienten von f = CHa ψ, für jedes beliebige a ∈ G, die Form einerMomentenfolge, so dass f zunächst sehr speziell zu sein scheint. Der nächste Satz zeigt aber, dass diesnicht der Fall ist, wenn man formale Potenzreihen modulo konvergenter Reihen betrachtet.

Satz 10.3.1 Gegeben seien s > 0 und f ∈ C[[z]]s. Dann gibt es zu jeder normalen Überdeckung Sj =S(dj , αj , ρ) mit 0 < αj ≤ sπ, 0 ≤ j ≤ m, Funktionen ψj ∈ As,0(Sj−1 ∩ Sj), 1 ≤ j ≤ m, so dass beibeliebiger Wahl von aj ∈ Sj−1 ∩ Sj gilt

f = f0 +

m∑j=1

CHaj ψj , mit f0 ∈ Cz . (10.3.1)

Umgekehrt ist für jede normale Überdeckung und jede Wahl von ψj ∈ As,0(Sj−1 ∩ Sj) sowie f0 ∈ Czdie durch (10.3.1) gegebene Reihe in C[[z]]s.

Beweis: Seien f ∈ C[[z]]s und Sj wie angegeben. Dann gibt es wegen Satz 8.6.1 Funktionen fj ∈ As(Sj)mit J(fj) = f , für j = 0, . . . ,m − 1. Mit fm(z) = f0(ze−2πi), z ∈ Sm, gilt dasselbe auch für j = m.Seien ψj(z) = fj(z)− fj−1(z), z ∈ Sj−1 ∩ Sj ; dann folgt ψj ∈ As,0(Sj−1 ∩ Sj), 1 ≤ j ≤ m. Mit fj wie inSatz 10.2.2 erhalten wir dass f(z) = fj(z) − fj(z) in einer punktierten Kreisscheibe um den Nullpunktunabhängig von j und unverzweigt ist. Weiter folgt dass f dort eine asymptotische Entwicklung hatund deshalb sogar im Nullpunkt holomorph ist. Wenn wir die Abbildung J auf fj(z) = f(z) + fj(z)

anwenden, folgt (10.3.1) mit der konvergenten Reihe f0 = J(f). Die umgekehrte Richtung folgt direktaus Proposition 10.1.3. 2

74

Bemerkung 10.3.2 Der obige Satz und sein Beweis bleiben richtig, wenn wir normale Überdeckungenmit Sektoren mit gröÿeren Önungswinkeln betrachten, solange es Funktionen fj ∈ As(Sj) mit J(fj) = f ,0 ≤ j ≤ m−1 gibt. Dies ist z. B. bei summierbaren Reihen f richtig, wenn die Mittelrichtung der Sektorennicht singulär und die Önungswinkel nicht zu groÿ sind.

Korollar zu Satz 10.3.1 Gegeben seien s > 0, d ∈ R und f ∈ C[[z]]. Dann gilt:

(a) Für k = 1/s ≥ 1/2 ist die k-Summierbarkeit von f in der Richtung d äquivalent zur Existenz einerZerlegung von f wie in Satz 10.3.1, mit

|d+ π − arg aj | ≤ π(1− s/2), 1 ≤ j ≤ m.

(b) Für k = 1/s ≥ 1/2 ist die k-Summierbarkeit von f in der Richtung d äquivalent zur Existenz einerZerlegung von f wie in Satz 10.3.1, mit m = 1 und

S0 ∩ S1 = S(d+ π, α, ρ), α > (s− 2)π.

Beweis: Sei f ∈ Czk,d, und sei k ≥ 1/2. Wähle eine normale Überdeckung Sj , j = 0, . . . ,m wiefolgt: Der Sektor S0 hat Mittelrichtung d und einen Önungswinkel > sπ und ist so, dass f0 = Sk,d fin S0 holomorph ist. Die übrigen Sektoren haben dagegen Önungswinkel ≤ sπ. Da wir die Punkteaj ∈ Sj−1 ∩ Sj beliebig wählen können, sehen wir leicht dass (a) gilt, und darum folgt die Existenzeiner Zerlegung wie in Satz 10.3.1. Für 0 < k ≤ 1/2 folgt aus f ∈ Czk,d dass f = Sk,d f ∈ As(S0)ist, mit S0 = S(d, α, ρ), α > sπ. Setzt man S1 = S(d + 2π, α, ρ), dann bilden S0 und S1 bereits einenormale Überdeckung, und S0 ∩ S1 ist ein Sektor mit Önungswinkel > π(s − 2) und Mittelrichtungd + π. Damit ist die eine Richtung des Beweises für beide Fälle erfolgt. Die umgekehrte Richtung folgtaber aus Bemerkung 10.1.4. 2

Wir zeigen nun, dass k-summierbare Reihen immer in eine Summe von endlich vielen anderen k-summier-baren Reihen zerlegt haben, welche jeweils nur eine singuläre Richtung haben:

Satz 10.3.3 Gegeben seien k > 0 und f ∈ Czk, und f habe m ≥ 2 singuläre Richtungen. Dann gilt

f = f1 + . . .+ fm,

wobei alle fj ∈ Czk sind und genau eine singuläre Richtung haben.

Beweis: Seien die singulären Richtungen von f so, dass 0 < d1 < . . . < dm ≤ 2π ist, und sei nochd0 = dm − 2π gesetzt. Für 1 ≤ j ≤ m sei fj = Sk,d f , mit dj−1 < d < dj . Dann ist fj holomorphin einem sektoriellen Gebiet Gj mit Mittelrichtung (dj−1 + dj)/2 und Önungswinkel dj − dj−1 + π/k.Weiter folgt fj(z) ∼=1/k f(z) in Gj . Mit G0 = Gme−2πi und f0(z) = fm(ze2πi) in G0 denieren wirψj(z) = fj(z)−fj−1(z) inGj−1∩Gj , 1 ≤ j ≤ m. Mit beliebigen aj ∈ Gj−1∩Gj folgt aus Bemerkung 10.1.4dass CHaj ψj in allen Richtungen bis auf dj−1 modulo 2π k-summierbar ist. Wie im Beweis von Satz 10.3.1

zeigt man dass f −∑mj=1 CHaj ψj = f0 konvergiert und daher in jeder Richtung k-summierbar ist. Wenn

man fj = CHaj ψj , 1 ≤ j ≤ m− 1, und fm = f0 + CHam ψm setzt, folgt die Behauptung. 2

Aufgabe 10.3.4 Zeige: Wenn f ∈ Czk genau eine singuläre Richtung d0 hat, dann ist f(z2) in Cz2kund hat genau die beiden singulären Richtungen d0/2 und π + d0/2.

75

Aufgabe 10.3.5 Sei f(z) =∑∞

0 Γ(1 + n/k) z2n, mit k > 0. Zeige f ∈ Cz2k, nde die singulärenRichtungen von f , und zerlege f in eine Summe von Reihen mit genau einer singulären Richtung.

Aufgabe 10.3.6 Sei f ∈ C[[z]]s so dass g = S (B1/sf) eine rationale Funktion ist. Zeige dass dann diePartialbruchzerlegung von g eine Zerlegung von f in Reihen mit genau einer singulären Richtung erzeugt.

10.4 Funktionen mit Gevrey-Asymptotik

Die nächste Proposition ist eine Verallgemeinerung des Riemannschen Hebbarkeitssatzes und kann be-nutzt werden um festzustellen, ob gegebene Funktionen eine Gevrey-Asymptotik besitzen, ohne dieseexplizit zu berechnen.

Proposition 10.4.1 Gegeben seien s > 0, ein Sektor S und eine Funktion f ∈ H(S). Genau dannist f ∈ As(S), wenn eine normale Überdeckung S0, . . . , Sm mit S0 = S sowie Funktionen fj ∈ H(Sj),0 ≤ j ≤ m, existieren mit folgenden Eigenschaften:

Es ist f0 = f und fm(z) = f0(ze−2πi) für z ∈ Sm, alle fj sind im Nullpunkt beschränkt, und es gilt

fk−1(z) − fk(z) ∈ As,0(Sk−1 ∩ Sk), 1 ≤ k ≤ m,

Beweis: Sei f ∈ As(S), und sei f = J(f). Wir wählen irgendeine normale Überdeckung S0, . . . , Smmit S0 = S, und so dass die Önungswinkel der übrigen Sektoren S1, . . . , Sm−1 höchstens gleich sπ sind.gibt es fj ∈ As(Sj) mit J(fj) = f , 1 ≤ j ≤ m − 1, und mit fm(z) = f0(ze−2πi) folgt fk−1(z) − fk(z) ∈As,0(Sk−1 ∩ Sk), 1 ≤ k ≤ m. Dies ist die eine Richtung der Behauptung, da alle fj im Nullpunktbeschränkt sind. Umgekehrt, seien Sj und fj wie angegeben. Wir denieren ψj = fj − fj−1, 1 ≤ j ≤ m,und (mit aµ ∈ Sµ−1 ∩ Sµ und Sj wie in Satz 10.2.2)

gj(z) =

j∑µ=1

(CHaµ ψµ)(z) +

m∑µ=j+1

(CHaµ ψµ)(ze2πi)

für z ∈ Sj und 0 ≤ j ≤ m. Dann folgt aus Satz 10.2.2 dass alle gj ∈ As(Sj) sind, und J(gj) = g istvon j unabhängig. Weiter folgt dass auch h(z) = fj(z) − gj(z) nicht von j abhängt und unverzweigtund im Nullpunkt beschränkt ist. Also ist der Nullpunkt eine hebbare Singularität von h, und daher giltfj = h+ gj ∈ As(Sj), ja sogar in As(Sj). 2

Aufgabe 10.4.2 Im Folgenden sei λ eine komplexe Zahl und p(z) ein Polynom vom Grad r ≥ 1 mithöchstem Koezienten 1. Weiter sei g(u) holomorph und unverzweigt für 0 ≤ |u| < ρ.

(a) Für j = 0, . . . , r sei

fj(1/z) = zλep(z)∫ z

∞(2jπ/r)

u−λe−p(u)g(1/u) dur, 0 < |z| < ρ,

wobei von ∞ entlang des Strahls arg u = 2jπ/r bis zu einem beliebig gewälten Punkt z0,j mit|z0,j |−1 < ρ und dann weiter bis zintegriert wird. Zeige dass alle fj für 0 < |z| < ρ holomorph sind,und dass fj(1/z) − fj−1(1/z) = cjz

λep(z) ist, für j = 1, . . . , r und cj =∫γju−λe−p(u)g(1/u) du,

wobei γj ein Weg von ∞ entlang arg u = 2jπ/r bis z0,j, dann nach z0,j−1, und zurück nach ∞entlang arg u = 2(j − 1)π/r ist.

(b) Zeige dass die fj(z) in den Sektoren Sj = S(2jπ/r, 3π/r, ρ) im Nullpunkt beschränkt sind, fürj = 0, . . . , r.

76

(c) Zeige für s = 1/r

fj−1(z) − fj(z) ∈ As,0(Sj−1 ∩ Sj) , 1 ≤ j ≤ r,

fr(z) = f0(ze−2πi), z ∈ Sr .

(d) Zeige fj ∈ As(S0) für 0 ≤ j ≤ r.

77

Index

A(G),A0(G), 50Abbildung

gebrochen lineare, 5oene, 43winkeltreue, kreisverwandte, 4

Ableitunglogarithmische, 23

absolute Konvergenz, 15Abstand

chordaler, 3Algebra

dierentielle, 61allgemeiner Kreis, 4asymptotische Entwicklung, Asymptotik, 50

beschränktlokal, 38

Beta-Integral, 53biholomorph, 36bistetig, 38Borel-Transformation, 58

formal, 58

Czk,d, 64C[[z]], 50C[[z]]s, 53C ∗, 5Czk,Cz, 65Cauchy

-Gebiet, 14-Heine-Transformation, 68formale, 69

-sche Integralformel für Zyklen, 17-scher Integralsatz für Zyklen, 17

chordaler Abstand, 3

Dehnung, 40Dierentiationssatz, 23dierentielle Algebra, 61dierenzierbar, 49d(z1, z2), 3doppeltperiodisch, 32Doppelverhältnis, 7

Invarianz bei Möbiustr., 7Drehstreckung, 5

E, 9

Einfacher Zusammenhang, 36Einheit, 39Einheitskreisscheibe, 9Einpunktkurve, 36Eisenstein-Weierstraÿsche ζ-Funktion, 31Ergänzungsformel, 26Eulersche Konstante, 26

Faktoren, 21Fixpunkt, 7formale

Borel-Transformation, 58Laplace-Transformation, 56

Ganze Funktionenohne Nullstellen, 29Quotienten, 29Wurzeln, 30

Gebieteinfach zusammenhängend, 36sektorielles, 48

gebrochen linear, 5Gevrey-Asymptotik, 52gleichgradig stetig, 38Grenzwert, 21

H(G), 39H(D), 43holomorph

stark/schwach, 14Holomorphe Injektionen, 40Homotopie, 36

im Nullpunktbeliebig oft dierenzierbar, 49beschränkt, 48stetig, 49

Indexeines Zyklus, 16

Injektionssatz von Hurwitz, 41Inversion, 5

kleiner Satz von Picard, 45kompakte Konvergenz, 22Konvergenz

kompakte, 22normale, 22

Konvergenzbedingung, 27

78

Kreisallgemeiner, 4

kreisverwandt, 4k-Summierbarkeit

in einer Richtung, 61Kurven

Homotopie von, 36Kurvenintegral

Berechnung, 12, 15Denition, 11Fundamentalabschätzung, 12

L(X,Y), 11Laplace

-Transformation, 56formale, 56

Lemmavon Hurwitz, 41von Watson, 55

liften, 51logarithmische Ableitung, 23lokal beschränkt, 38

meromorph, 23Mittelrichtung, 48Möbiustransformation, 5

Hintereinanderausführung, 6Invarianz des Doppelverh., 7Kreisverwandtschaft, 6Symmetrieprinzip, 9Umkehrabbildung einer, 5Winkeltreue, 6

Momentenfolge, 70

Nordpol, 3normale Überdeckung, 69

Verfeinerung, 70Normale Familie, 39normale Konvergenz, 22nullhomotop, 36Nullstellensatz, 23

Önungswinkel, 48oene Abbildung, 43Ordnung, 52

einer Potenzreihe, 53

Partialprodukt, 21Phragmén-Lindelöf, 55Produkt

-darstellungder Gammafunktion, 25der Kosinusfunktion, 25der Sinusfunktion, 24

-satzvon Weierstraÿ, 28

Partial-, 21

unendliches, 21Projektion

stereographische, 3

Q-Gebiet, 39Quadratwurzeleigenschaft, 39Quotienten ganzer Funktionen, 29

Radius, 48Rechenregeln

für ∞, 5für Möbiustr., 5

Rest, 49Richtung, 61

Mittel-, 48singuläre, 65

Riemann-Integral, 12Riemann-Summen, 11Riemannsche Fläche des Logarithmus, 47Riemannsche Zahlenkugel, 3Riemannscher Abbildungssatz, 41

SatzDierentiations-, 23Nullstellen-, 23Riemannscher Abbildungs-, 41Umordnungs-, 23von Bloch, 44von Gevrey-Ritt, 54von Hurwitz, 41von Mittag-Leer, 34von Montel, 38von Phragmén-Lindelöf, 55von Picard, 45von Ritt, 51von Weierstraÿ, 28

Sektor, 48abgeschlossener, 48

singuläre Richtung, 65Spiegelpunkte, 8Spiegelung, 8

am Einheitskreis, 5an einem Kreis, 8an einer Geraden, 9

Stammfunktion, 15stereographische Projektion, 3stetig

gleichgradig, 38Summationsverfahren, 61

Träger, 11Transformation

Borel-, 58formal, 58

Cauchy-Heine-, 68formale, 69

79

Laplace-, 56formale, 56

Translation, 5

Überdeckungnormale, 69Verfeinerung, 70

Umordnungssatz, 23∞, 3unendlich ferner Punkt, 3unendliches Produkt, 21unverzweigt, 50

Verzweigungsstelle, 47

Wallis-Produkt, 25Watson's Lemma, 55Weg, 14Wege

-komplex, 16wegunabhängig, 14Weierstraÿ

-Faktor, 27-Polynom, 27

Weierstraÿsche ℘-Funktion, 31Weierstraÿscher Produktsatz, 28Wert, 21winkeltreu, 4Wurzeln ganzer Funktionen, 30

X-wertig, 11X′, 11X,Y, 11ξ, η, ζ, 3

Y, 11

Zahlenkugel, 3Zusammenhang

einfacher, 36Zyklus, 16

80