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Master Signal Image Parole TélécomsPHELMA Grenoble INP

2010-2011

Volumes par surfaces maillées :

Analyse et perception de la qualité lors du

mouvement

Fakhri TORKHANI

Encadrants : Annick MONTANVERT & Kai WANG

Tuteur de stage: Pierre-Yves COULON

GIPSA-LABGrenoble Images Parole Signal Automatique

961 rue de la Houille Blanche BP 46F - 38402 GRENOBLE Cedex

Master Signal Image Parole TélécomsPHELMA Grenoble INP

2010-2011

Perceptual Quality Assessmentof Dynamic Meshes

Fakhri TORKHANIAdvisors : Annick MONTANVERT & Kai WANG

University advisor : Pierre-Yves COULON

GIPSA-LABGrenoble Images Parole Signal Automatique

961 rue de la Houille Blanche BP 46F - 38402 GRENOBLE Cedex

Résumé

La qualité des maillages 3D est cruciale pour plusieurs applications. Bien qu'il existe des métriquesde mesure de la qualité perceptuelle des maillages 3D, elles ne permettent pas de distinguer la déformationnaturelle des maillages animés de la déformation due au bruit. Nous avons cherché à dé�nir durant ce stageune méthode qui puisse modéliser avec �délité le comportement du système visuel humain et qui distingueles déformations dues au bruit des déformations naturelles quasi-isométriques.

Nous avons utilisé les vecteurs et valeurs propres de l'opérateur Laplace-Beltrami comme outil dedécomposition spectrale des maillages. Ces bases spectrales sont invariantes par une déformation isométrique.Nous avons introduit par la suite une métrique qui se base sur la projection de la courbure gaussienne (quiest invariante aussi pour des déformations isométriques) sur ces bases spectrales. On a intégré à cette entitéla fonction de sensibilité au contraste pour assurer une �délité à la perception du système visuel humain.

Mots clés :maillages 3D, mouvement, qualité, perception visuelle, animation, déformation, analysespectrale.

Abstract

3D mesh quality is critical for many applications. Although there exist some metrics for assessingperceptual quality of 3D meshes, they do not distinguish the natural deformation of animated meshes fromdeformations due to noise. We propose in this report a method which integrate the characteristics of thehuman visual system and which is capable of distinguishing those two kinds of deformations.

We have used eigenvectors and eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator as a tool for spectralanalysis on mesh surfaces. Those spectral bases have been prooved invariant to respect to isometric deforma-tions. We have introduced then a metric which is based on the projection of the gaussian curvature (which isalso invariant to isometric deformations) on those spectral bases. The contrast sensitivity function has beenintegrated into the proposed metric with the objective to account the characteristics of the human visualsystem perception.

Key words: 3D mesh, motion, quality, visual perception, animation, deformation, spectral anal-ysis.

Remerciements

La présente étude n'aurait pas été possible sans le bienveillant soutien de certainespersonnes. Et je ne suis pas non plus capable de dire avec les mots qui conviennent, lerôle qu'elles ont pu jouer à mes côtés pour mener à terme ce travail.

Mes premiers remerciements vont à Annick MONTANVERT qui a accepté de m'en-cadrer pour faire mes premiers pas dans le monde de la recherche, elle m'a aiguillétout au long de mon stage et elle a toujours su me consacrer de son temps, je lui suisreconnaissant.

Ce travail doit énormément à mon encadrant Kai WANG qui m'a soutenu, encouragé etsupporté pendant ces cinq mois. Je le remercie d'avoir fait preuve d'autant de patienceet disponibilité qui n'ont jamais failli malgré mes nombreuses questions saugrenues.

Je remercie tout particulièrement Pierre-Yves COULON mon tuteur de stage qui aaccepté de m'accorder son encadrement pédagogique.

Je remercie vivement Gang FENG, le responsable du Master SIPT pour son accompa-gnement et ses conseils tout au long de ma formation en Master.

J'adresse également mes remerciements à Fatima, Manel, Mathilde, Nikola, Simon,Soukeina et tout le personnel de Gipsa-Lab.

En�n, je tiens à remercier l'équipe du projet ANR MADRAS pour les maillages dyna-miques.

1

Table des matières

1 Introduction 4

2 Volumes par surfaces maillées 6

2.1 Les maillages 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Les structures de données de maillages 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Les outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Analyse perceptuelle et qualité des maillages 9

3.1 La qualité des images 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 La perception visuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 La fonction de sensibilité au contraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 L'e�et de masquage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 La qualité des maillages 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Analyse spectrale des maillages 14

4.1 Représentation spectrale des signaux 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Analyse spectrale des objets 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.1 Cas continu : surfaces curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2.2 Cas discret : surfaces maillées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Motivations de l'analyse spectrale des maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Méthodes 22

5.1 Sensibilité fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Courbure gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.3 Mesure de la qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Résultats et discussion 29

6.1 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.1 Maillages étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.1.2 Résultats de l'analyse de qualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Conclusion 37

2

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

A Mesure objective de la qualité des images 41

B Maillages dynamiques bruités 43

3

1 Introduction

Les données tridimensionnelles (3D) constituent actuellement un contenu multimédia très émer-

geant. La représentation 3D des objets est utilisée dans de nombreuses applications : animations, cartogra-

phie, la conception assistée par ordinateur, etc...

L'analyse de la qualité des objets 3D est une problématique importante du fait de sa complexité et de la

multitude d'applications qui en sont dépendantes. Mon stage de Master recherche Signal, Image, Parole,

Télécoms se déroule au sein de Gipsa-lab, dans l'équipe Architecture, Géométrie, Perception, Images, Gestes.

Ce stage est co-encadré par Annick MONTANVERT et Kai WANG.

L'objectif de ce stage est de trouver une méthode pour l'évaluation et la mesure de la qualité per-

ceptuelle des maillages 3D en mouvement. La méthode doit distinguer les déformations dues aux mouvements

naturels des déformations par dégradation de la qualité des maillages. Un mouvement peut être accompagné

d'un bruit, notre méthode d'analyse doit aussi distinguer ce cas (voir Figure 1.1). Dans tous les travaux

menés jusqu'à ce jour, les analyses de qualité sur les maillages 3D se basent sur l'aspect géométrique et

topologique. Les métriques perceptuelles existantes ne permettent pas de dissocier la déformation naturelle

de la déformation due au bruit. Dans ce stage, on essaye d'explorer de nouveaux outils : les outils de décom-

position spectrale pour trouver de nouvelles métriques d'analyse de qualité qui prennent en charge l'aspect

mouvement et sa perception.

Dans le premier chapitre, nous allons présenter brièvement les surfaces maillés, leurs structures de

données et quelques outils qui permettent l'implémentation des algorithmes de traitement sur les maillages.

Dans le deuxième chapitre, nous allons introduire l'évaluation perceptuelle des images 2D et les métriques

existantes pour l'analyse de la qualité des maillages 3D. Le troisième chapitre présente l'outil qu'on va utiliser

pour l'analyse spectrale des surfaces maillées. Dans le quatrième chapitre, nous allons présenter en détails

notre approche pour analyser la qualité perceptuelle des maillages en mouvement. Finalement, nous allons

appliquer notre méthode sur des maillages dynamiques, puis présenter et discuter les résultats de notre

méthode.

4

CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Figure 1.1 � Analyse de la qualité sur le maillage Horse (8431 sommets). (a)- maillage M1 à l'instant T,(b)- maillage M2 (mouvement de M1) à l'instant T+1, (c)- M1 bruité, (d)- M2 bruité

5

2 Volumes par surfaces maillées

Mon stage se situe dans le domaine de l'analyse des maillages 3D. Aussi ce chapitre présente dans

la première section des notions théoriques sur la dé�nition des maillages 3D. La deuxième section présente

brièvement les structures de données de ces objets géométriques. Le troisième paragraphe présente les outils

existants dans le domaine de l'analyse et du traitement de maillages.

2.1 Les maillages 3D

Indenti�er et représenter des objets est un moyen de décrire les scènes du monde réel. Pour coder

cette observation dans un ordinateur, il faut alors modéliser des surfaces. La di�culté majeure est que ces

surfaces sont des objets continus alors qu'un ordinateur ne peut représenter que des objets discrets. Le premier

objet de la modélisation géométrique est donc celui de la représentation, ou de la discrétisation des surfaces.

Les maillages (réguliers1 ou irréguliers) qui nous intéressent dans notre étude sont des surfaces triangulées

qui approximent des surfaces continues d'une façon linéaire par morceaux (voir exemple de maillage Figure

2.1). Un maillage M est dé�ni par trois éléments :

� un ensemble de sommets S = {s1, ..., sn}.� un ensemble de facettes triangulaires F = {f1, ..., fm} , fi ∈ S × S × S.� un ensemble d'arêtes A = {a1, ..., al} , ai ∈ S × S.

Dans nos recherches, nous allons travailler sur des maillages de 2000 à 10000 sommets. La géométrie du

maillage est dé�nie par les coordonnées dans un repère cartésien des sommets, la connectivité est la relation

d'adjacence entre ces sommets.

La qualité du maillage est un facteur déterminant de l'e�cacité du traitement, la précision des

résultats et la qualité du rendu. La génération de maillages est une opération préliminaire cruciale. Les objets

3D proviennent principalement de deux sources :

� La réalité : la représentation d'un objet réel via une méthode d'acquisition : scanner 3D, vision

multiscopique, IRM, échographie, etc...

� La synthèse : la création d'un objet graphique à l'aide d'un outil de paramétrisation géométrique.

2.2 Les structures de données de maillages 3D

L'e�cacité de la modélisation géométrique des maillages 3D est en liaison directe avec la méthode

utilisée pour représenter les données qui décrivent ces objets. Une structure de données doit être e�cace pour

1. Régularité de maillages : un maillage est régulier lorsque chaque sommet (sauf les sommets de bords) dispose d'un

nombre de voisins constant.

6

Les outils

Figure 2.1 � Exemple de maillage triangulaire, Head-pose(15941 sommets).

les opérations de base des algorithmes :

� L'accès direct aux éléments (sommets, facettes, arêtes).

� Le parcours orienté de la surface de maillage.

� L'accès aux facettes qui sont attachées à une arête (ce qui facilite l'accès au voisinage de chaque

facette).

� L'accès aux facettes attachées à un sommet donné.

Des structures de données simples peuvent être utilisées pour la représentation des maillages comme celle qui

se base sur le stockage des triangles "individuels" [1] mais cette méthode n'est pas e�cace car l'information

de connectivité ne peut être extraite d'une façon explicite ; de plus, les sommets communs des triangles sont

répliqués. Il est possible de résoudre ces problèmes par un stockage séparé des sommets communs (ce qui

implique l'utilisation de plusieurs �chiers pour le stockage d'un maillage).

Des structures de données plus e�caces existent parmi lesquelles on cite la Half-Edge Data Structure qui

optimise les traitements sur la géométrie et la Directed Edges Data Structure qui optimise l'e�cacité de

stockage en mémoire [1].

2.3 Les outils

Comme expliqué dans la section 2.2, l'implémentation d'une modélisation e�cace en temps de calcul

et de gestion de la mémoire est une opération compliquée. Il existe donc plusieurs bibliothèques qui gèrent

cette tâche, et plusieurs outils logiciels qui implémentent les opérations de traitement de maillages. Il existe

plusieurs outils d'analyse de maillages 3D parmi lesquels nous citons :

� Graphite : plateforme open source d'analyse géométrique des maillages. C'est un logiciel qui a été

développé pour faciliter l'implémentation des algorithmes complexes d'analyse des maillages,

cet outil est utile dans notre recherche car un plugin nommé manifold harmonics est aussi

implémenté et traite la problématique de l'analyse spectrale des maillages 3D (https ://g-

forge.inria.fr/projects/graphite).

� Graph Matlab Toolbox : un ensemble de fonctions sous Matlab, développé par Gabriel Peyré pour

la manipulation et le traitement des maillages 3D (http ://www.ceremade.dauphine.fr/ peyre/-

7

Les outils

matlab/graph/content.html).

� MEPP : MEsh Processing Plateform est une plateforme basée sur la bibliothèque CGAL, elle

permet de charger des maillages dynamiques/statiques pour e�ectuer di�érents types de manipu-

lations (on l'utilise pour l'ajout de bruit, lissage, etc)(https ://gforge.liris.cnrs.fr/projects/mepp).

� MeshLab : basé sur la bibliothèque VGCLib, c'est un logiciel de traitement de maillages qui

intègre plusieurs fonctionnalités de base (conversion de types, remaillage, etc)(http ://source-

forge.net/projects/meshlab/).

Nous avons introduit brièvement dans ce premier chapitre les notions de base sur la présentation

des objets maillés, leurs structures de données et les di�érents outils existants pour leur manipulation. Avant

d'étudier la qualité des maillages 3D en mouvement, il est très important de donner en un premier lieu un

aperçu des études menées sur les images 2D et de généraliser en second lieu ces études sur les maillages 3D,

ce sujet fait l'objet du deuxième chapitre.

8

3 Analyse perceptuelle et qualité des

maillages

Nous avons présenté dans le premier chapitre les surfaces maillées, leurs structure de données et

quelques outils de traitement et d'analyse de ces maillages. Nous allons présenter dans ce chapitre les notions

de base sur l'analyse perceptuelle des maillages 3D. L'analyse perceptuelle de la qualité des maillages est un

sujet de recherche complexe et peu abordé, c'est pourquoi nous commençons par présenter dans la première

section les méthodes d'analyse de la qualité des images 2D. Dans la deuxième section, nous présenterons les

recherches menées sur l'analyse qualitative des maillages 3D.

3.1 La qualité des images 2D

Plusieurs recherches sont menées pour étudier la qualité des images 2D la perception du système

visuel humain. Les métriques existantes se classent en deux types : des métriques objectives et des métriques

subjectives. Les métriques objectives de l'analyse de la qualité de l'image permettent d'avoir un modèle de

prédiction de la perception des images, pour un traitement automatique et à faible coût, contrairement aux

méthodes subjectives basées sur les expériences. La di�érence des résultats de ces deux types de mesures est

due à la complexité des propriétés du système visuel humain (détaillées dans le paragraphe suivant).

Evaluer la qualité visuelle est compliqué, mais la distorsion peut être mesurée tout simplement par le rapport

signal sur bruit PSNR qui est dé�ni par le rapport entre la puissance maximale d'un signal et la puissance

du bruit qui a�ecte la �délité de sa représentation. Il est mesuré en échelle logarithmique des décibels par :

PSNR = 10 log10

d2

EQM(3.1)

EQM est l'erreur quadratique moyenne. Pour deux images I1 et I2 de taille m× n, elle est dé�nie comme :

EQM =1

mn

m∑i=1

n∑j=1

‖I1(i, j)− I2(i, j)‖2 (3.2)

Les mesures objectives de la qualité des images, basées sur le calcul de l'erreur quadratique moyenne et le

rapport signal sur bruit SNR ne tiennent pas compte des propriétés du système de vision humaine. De plus,

ces mesures ne tiennent pas compte des propriétés statistiques des images naturelles (voir exemple Annexe

A-Mesure objective de la qualité des images).

Les nouvelles méthodes de prédiction de la perception dé�nissent des métriques qui prennent en compte ces

deux éléments. Ces méthodes sont classi�ées selon les critères suivants :

9

La perception visuelle

� La disponibilité de l'image originale qui est considérée de qualité parfaite : on parle alors des

méthodes avec ou sans référence.

� Le domaine d'application, on trouve ainsi des métriques génériques, et des métriques adaptées à

des applications spéci�ques, telles que la compression, le �ltrage et le tatouage.

� La philosophie utilisée pour simuler le système de vision humaine (SVH) : des méthodes qui

simulent les fonctionnalités des di�érentes composantes du SVH (Bottom-up approaches), et

des méthodes qui traitent le SVH comme un système global, ou "une boîte noire" (Top-down

approaches).

Dans le paragraphe suivant nous allons présenter brièvement quelques propriétés du système visuel humain.

3.2 La perception visuelle

Pour modéliser la perception du système visuel humain, il faut tenir compte d'une multitude de

paramètres. Il est di�cile de trouver un modèle identique, mais on cherche à modéliser avec une très haute

�délité ce système. Dans ce qui suit, nous n'allons détailler que deux paramètres de ce système, mais nous

signalons l'existence de plusieurs autres paramètres qui a�ectent la perception (sensibilité aux couleurs,

adaptation à la lumière, sensibilité temporelle, etc).

3.2.1 La fonction de sensibilité au contraste

L'étude du système visuel humain a permis de relever quelques propriétés importantes parmi les-

quelles la fonction de sensibilité au contraste : les premières recherches de Campbell-Robson sur la fonction de

sensibilité montrent que le système visuel humain agit avec sélectivité sur les fréquences, la sensibilité atteint

sa valeur maximale autour de 4 cycles par degré d'angle visuel : Sur la �gure 3.1-(a) l'intensité des pixels est

Figure 3.1 � Les propriétés spectrales du SVH : (a)-graphe de Campbell-Robson de fonction de sensibilitéen contraste, (b)-sensibilité du SVH en fréquence spatiale.

modulée par une fonction sinusoïdale horizontalement, lorsque la fréquence spatiale de ces pixels augmente

d'une façon logarithmique (sur l'axe horizontal), le contraste augmente du haut vers le bas. On observe que

les barres semblent être plus hautes au milieu de l'image en suivant la forme de la fonction de sensibilité

sur la �gure 3.1-(b). Cet e�et ne provient pas de l'image, mais de la propriété de sélectivité fréquentielle du

système de vision humaine.

La fonction de sensibilité au contraste est dé�nie en fonction de cycles par degré. si la distance entre l'÷il

et le support d'a�chage augmente, l'angle visuel s'élargit, et on devient plus sensible aux basses fréquences.

10

L'e�et de masquage La perception visuelle

Cette propriété est exploitée dans quelques recherches (Aude et al. [2]) pour réaliser des images hybrides qui

changent de sens en fonction de la distance d'observation. La fonction de sensibilité au contraste est très

Figure 3.2 � Image Hybride, de loin on observe l'image d'un homme en colère, si on s'approche de l'imageon observe le visage d'une femme [2].

importante dans la modélisation du système visuel humain. Nous présenterons en détails plus loin dans le

chapitre Méthodes notre approche pour la modélisation de cette propriété.

3.2.2 L'e�et de masquage

Le masquage est l'e�et de réduction de la visibilité d'une composante dans une image (signal

masqué) par la présence d'une autre composante (signal masquant). L'amplitude de cet e�et est mesurée

par la variation de la visibilité du signal masqué avec ou sans la présence du signal masquant. Le masquage

peut intervenir dans une même bande de fréquence (masquage intra-bande) et entre des bandes de fréquences

di�érentes (masquage inter-bandes). Sur la �gure 3.3, le bruit est moins visible sur les zones de textures (de

hautes fréquences) dans l'image bruitée.

Figure 3.3 � E�et de masquage [3].

11

La qualité des maillages 3D

3.3 La qualité des maillages 3D

L'évaluation de la qualité perceptuelle des objets 3D est une nouvelle thématique de recherche qui

tente de répondre aux demandes de plusieurs applications (compression, tatouage, etc). Les métriques de

l'analyse de la qualité des objets 3D peuvent être classi�ées en deux ensembles : métriques basées sur l'image

2D générée à partir des données 3D (image-based), et métriques basées directement sur la géométrie des

maillages 3D (model-based) [4]. Dans le cas des métriques basées sur l'image 2D, il est possible de dé�nir

des paramètres pour l'évaluation perceptuelle de la qualité des images en tenant compte :

� Des relations de sensibilité au contraste, dé�nies précédemment dans ce chapitre et qui dé�nissent

les contrastes pour lesquels les composantes selon les di�érentes fréquences seront visibles.

� De la décomposition en canaux : dé�nit la sélectivité en fréquence spatiale et l'orientation.

� De l'e�et de masquage : La réduction de la visibilité d'une composante de l'image (un signal)

en présence d'un autre signal, cet e�et est plus important lorsque les deux composantes ont les

mêmes propriétés spectrales, localisations spatiales et orientations.

A travers ces paramètres, il est possible de dé�nir une carte de sensibilité de perception visuelle pour une

scène bien déterminée en intégrant le mouvement, le comportement du SVH et la saillance des éléments de la

scène (les travaux de Yee et al. [5]). Cependant, cette étude est une approche basée sur l'image (image-based).

Il est plus e�cace de chercher une méthode basée sur la géométrie de l'objet 3D, pouvant répondre à une

gamme d'applications plus large, car elle sera indépendante de point de vue de la scène.

Pour mesurer la distance entre deux maillages, on peut utiliser les métriques de calcul de di�érence entre

chaque sommet du maillage original et du maillage à comparer. Cette métrique peut être réalisée par la

mesure du racine carrée de l'erreur quadratique moyenne (RMS : Root Mean Square Error) [4], pour deux

maillages A et B, de sommets sAi et sBi , i = 1..n, cette mesure est dé�nie par :

RMS(A,B) =

(n∑i=1

∥∥sAi − sBi ∥∥2)1/2

(3.3)

Cette mesure suppose que les deux maillages ont la même connectivité, de plus, elle ne s'appuie pas sur les

propriétés de perception du système visuel humain.

Il existe des métriques de qualité basées sur la perception, parmi lesquelles la métrique MSDM (Mesh

Structural Distortion Measure) introduite par Lavoué et al. [6]. Cette métrique quanti�e les distorsions dans

la structure du maillage par mesure de di�érence de courbures dans des fenêtres glissantes sur les surfaces.

La mesure locale LMSDM de la distance entre deux fenêtres a et b sur les surfaces maillées est calculée par :

LMSDM(a, b) = (0.4× L(a, b)3 + 0.4× C(a, b)3 + 0.2× S(a, b)3)1/3 (3.4)

L, C et S représentent respectivement la valeur moyenne de la courbure, son contraste et sa covariance. La

métrique globale MSDM est la somme de ces distances locales sur les fenêtres :

MSDM(a, b) = (1

nw

nw∑j=1

LMSDM(aj , bj)3)1/3 (3.5)

nw est le nombre de fenêtres locales, bj est la fenêtre locale de B qui correspond à aj de A. Cette distance

est égale à 0 pour des maillages identiques et 1 pour des maillages discordants.

Il existe aussi une métrique qui mesure la rugosité des maillages : 3DWPM (3D Watermarking Perception

Metric), elle mesure la di�érence des angles dièdres, ou la variation des normales des facettes.

12

La qualité des maillages 3D

Les outils développés que l'on vient de citer ne tiennent pas compte des déformations dues au

mouvement naturel des maillages animés. L'analyse des déformations de maillages en animation reste un

champ de recherche ouvert, ce qui motive nos travaux.

Les métriques existantes sont locales (MSDM, 3DWPM, etc.). Pour capturer et modéliser le mouvement, on

propose d'utiliser l'outil de l'analyse spectrale qui permet une analyse globale de l'objet.

Depuis le début des années 90, avec le progrès des capacités de traitement et de calcul, quelques travaux ont

introduit l'utilisation des outils de traitement de signal pour l'analyse des maillages. Dans le chapitre suivant,

nous allons détailler une méthode d'analyse spectrale sur les surfaces maillées.

13

4 Analyse spectrale des maillages

Dans le chapitre 2, nous avons introduit d'une façon générale les caractéristiques des maillages 3D

et leurs structures de données associées. Nous avons ensuite évoqué dans le chapitre 3 l'état de l'art des

principales méthodes utilisées pour dé�nir des métriques de qualité sur les images bidimensionnelles et les

maillages 3D.

Dans ce chapitre, nous allons présenter le principe de l'analyse spectrale appliquée sur les maillages. Nous

allons en premier lieu rappeler la théorie spectrale sur les signaux 1D, nous allons ensuite présenter la

généralisation de la transformation spectrale sur les signaux (ou maillages) 3D tout en expliquant l'intérêt

de cette transformation dans la caractérisation de la qualité des objets 3D en mouvement.

4.1 Représentation spectrale des signaux 1D

Pour utiliser les outils classiques de traitement du signal sur les maillages, il est nécessaire de faire

le lien entre l'analyse des signaux 1D, 2D et l'analyse des maillages 3D. Dans le cas d'un signal 1D ou 2D,

la transformée de Fourier classique est utilisée pour le représenter dans le domaine spectral. Par exemple,

tout signal 1D continu et périodique S(x) peut être décomposé en séries de Fourier (somme in�nie de sinus

et cosinus : Figure 4.1) :

S(x) =a02

+

∞∑i=1

[an cos(nx) + bn sin(nx)] (4.1)

Le signal périodique peut être ainsi approché par une combinaison linéaire d'un nombre �ni de

ces fonctions. On note que ces fonctions de base (sinus et cosinus) sont les fonctions propres de l'opérateur

Laplacien mono-dimensionnel continu dé�ni par les dérivées secondes :

d2 cos(nx)

d2x= −n2 cos(nx)

d2 sin(nx)

d2x= −n2 sin(nx)

(4.2)

Pour transformer un signal X = [x1, x2, ..., xn] discret de N échantillons dans le domaine spectral,

on utilise la transformée de Fourier discrète :

Xk =

N−1∑n=0

Xne−2πi

Nkn

(4.3)

14

Représentation spectrale des signaux 1D

Figure 4.1 � Décomposition en séries de Fourier d'un signal rectangulaire périodique [Wikipedia].

Les fonctions de base (ici e−2πiNkn

) sont les fonctions propres complexes d'un opérateur Laplacien

discret mono-dimensionnel [7]. Dans ce cas, ce Laplacien est dé�ni par une matrice creuse L de dimension

N ×N :

L =

1 − 12 0 . . . . . . 0 − 1

2

− 12 1 − 1

2 0 . . . . . . 0...

......

......

......

0 . . . . . . 0 − 12 1 − 1

2

− 12 0 . . . . . . 0 − 1

2 1

.

On note qu'en pratique, et pour des raisons de simpli�cation, on utilise souvent un ensemble de

vecteurs propres réels de L pour e�ectuer la transformation. La Figure 4.2 illustre quelques premiers vecteurs

propres réels de L pour un signal 1D [8].

On remarque que les vecteurs propres forment des bases orthogonales de fréquence croissante en

fonction des valeurs propres. Le signal X peut être exprimé par la somme linéaire des vecteurs propres :

X =

n∑i=1

eixi =

E11

E21

...

En1

x1 + . . .+

E1n

E2n

...

Enn

xn =

E11 . . . E1n

E21 . . . E2n

......

...

En1 . . . Enn

x1

x2...

xn

= EX. (4.4)

L'équation (4.4) présente une transformation du signal X en signal X dans une base orthogonale

donnée par les vecteurs propres de l'opérateur Laplacien L. Les coe�cients de X sont calculés par la projection

de X sur les bases orthogonales des vecteurs propres :

X = E TX (4.5)

15

Analyse spectrale des objets 3D

Figure 4.2 � Les 8 premiers vecteurs propres et valeurs propres λ de L pour un signal discret avec N = 401échantillons [8].

Dans le cadre de l'analyse des signaux 1D, l'opérateur Laplacien joue un rôle très important dans la

transformation spectrale. Les fonctions de base de la transformation spectrale sont soit les fonctions propres,

soit les vecteurs propres de cet opérateur (continu ou discret). Dans le paragraphe suivant, nous allons voir

comment cette approche s'étend aux maillages 3D.

4.2 Analyse spectrale des objets 3D

4.2.1 Cas continu : surfaces curvilignes

Dans cette partie, on se place dans le cadre d'une surface curviligne paramétrique à 2-variété1.

A partir des résultats et observations sur l'analyse spectrale des signaux mono-dimensionnels, on note que

pour appliquer une transformation spectrale, il su�t d'étendre la dé�nition de l'opérateur Laplacien dans

le cas des surfaces curvilignes et de calculer ses fonctions propres. Le résultat doit nous conduire aux bases

orthogonales d'analyse spectrale de cette surface.

Comme on l'a indiqué précédemment, on cherche à trouver un opérateur Laplacien généralisé sur les variétés.

Dans le cas continu des surfaces curvilignes cet opérateur est l'opérateur de Laplace-Beltrami.

En e�et, la formulation classique du Laplacien dans l'espace euclidien est décrite par ∆ = div grad =∑i∂2

∂x2i. La généralisation de cette formulation sur les surfaces curvilignes nécessite des calculs complexes.

Des outils mathématiques ont permis de simpli�er cette généralisation par la formulation de l'opérateur

Laplace-Beltrami :

∆LB = div grad =∑i,j

1√|g|

∂

∂ξi(√|g|gi,j ∂

∂ξj) (4.6)

Avec :

� g est le tenseur de la surface S

�√|g| peut être considéré comme un facteur d'échelle local, avec l'élément local dA de S donné

1. m-variété (ou m-manifold) : un espace topologique localement euclidien de dimension m (homéomorphisme local).

Une surface est une (n− 1) -variété plongée dans l'espace euclidien de dimension n (<n). Dans l'espace 3D (n = 3), une surface

est une 2-variété.

16

Cas discret : surfaces maillées Analyse spectrale des objets 3D

par dA =√|g|∂ξi∂ξj

Les paires de fonctions propres et de valeurs propres (Hk, λk) de l'opérateur ∆LB de S véri�ent :

−∆LBHk = λkH

k (4.7)

On utilise des valeurs négatives de ∆LB pour que les valeurs propres soient positives. On note que chaque

valeur propre λk est le carré d'un nombre d'onde propre (de chaque mode propre) : wk =√λk.

Sur une courbe fermée, les fonctions propres du Laplacien présentent les fonctions de base de la transformée

de Fourier (cosinus, sinus). Les fonctions de base de la Transformée en Cosinus Discret sont les fonctions

propres du Laplacien au carré. Les fonctions propres de l'opérateur Laplace-Beltrami appliqué sur une sphère

présentent les fonctions de base des harmoniques sphériques. Ainsi, les fonctions propres peuvent s'appliquer

sur n'importe quelle géométrie (ou variété) pour former une base propre d'analyse.

On remarque que l'orthogonalité des fonctions propres est toujours véri�ée, car l'opérateur Laplacien est

symétrique 〈∆f, g〉 = 〈f,∆g〉1, ce qui permet de projeter les fonctions à analyser dans cet espace de re-

présentation (par analogie avec la transformée de Fourier d'une fonction). Les solutions Hk du problème

des valeurs propres sont des ondulations stationnaires : Hk sont donc fonction d'une longueur d'onde (ou

fréquence spatiale) quasi-constante.

Dans le cas général, il est impossible de trouver une solution analytique pour le problème des

fonctions propres (équation (4.7)). Il est alors nécessaire de passer à un modèle discret. Ce passage nécessite

une formulation discrète pour l'opérateur Laplace-Beltrami et en même temps la discrétisation de la surface

curviligne en une combinaison de plusieurs éléments simples (maillage triangulaire dans notre cas).

4.2.2 Cas discret : surfaces maillées

La publication de Lévy et Zhang [8] présentée à SIGGRAPH Asia 2009 traite en détails les

méthodes de décomposition spectrale des maillages 3D. A�n d'implémenter une formulation discrète du pro-

blème, il est possible d'utiliser le Laplacien combinatoire dé�ni complètement par la connectivité du maillage

(en utilisant les relations d'adjacence entre les sommets). La première limitation de cette discrétisation est

qu'elle est basée sur l'hypothèse de l'uniformité d'échantillonnage de la surface du maillage. La deuxième

limitation est que cette discrétisation n'est pas sensible à la géométrie du maillage (deux maillages qui ont

la même connectivité sur une forme géométrique di�érente auront les mêmes fonctions propres).

L'opérateur Laplacien à appliquer doit être sensible à la géométrie et/ou la connectivité de la surface (à

2-variétés), c'est la di�érence cruciale par rapport à l'analyse classique par transformée de Fourier discrète.

Nous utilisons un outil de discrétisation qui intègre la géométrie du maillage : la décomposition en éléments

�nis (FEM : Finite Element Modeling), nous signalons aussi l'existence d'une autre approche (non utilisée

ici) qui consiste à imiter la fonction continue par une fonction discrète (DEC : Discrete Exterior Calculus)

[9].

Le principe de la formulation en éléments �nis linéaire consiste à approximer le problème des fonctions propres

du Laplacien (∆f = −λf) par une combinaison de fonctions linéaires par morceaux f : T → < avec une

triangulation T et des sommets S = {pi, i = 1, .., n}. La fonction f sur T sera dé�nie par une interpolation

1. Présence de l'un des conditions précises :

� Surface fermée.

� Surface ouverte avec conditions de Dirichlet sur les bornes.

17


barycentrique linéaire des valeurs f(pi) de f sur les sommets de T .

Concrètement, la formulation FEM dé�nit d'une part un ensemble de fonctions de bases (qui expriment les

solutions) et d'autre part un ensemble de fonctions de test sur lesquelles le problème des fonctions propres

(équation 4.7) sera projeté. En pratique, on choisit souvent les mêmes entités pour les fonctions de bases

et les fonctions de test : on note ces fonctions Φi, i = 1, .., n. Ces fonctions sont généralement des fonctions

"chapeaux", linéaires par morceaux sur les triangles : Φi(i) = 1 et Φi(j) = 0 pour i 6= j (Figure 4.3). Du point

de vue géométrique, ces fonctions représentent le barycentre de chaque triangle. La solution de l'équation 4.7

consiste à trouver des fonctions de la forme : Hk =∑ni=1H

ki Φi en satisfaisant cette équation sur la projection

des Φj :

∀j,⟨−∆Hk,Φj

⟩= λ

⟨Hk,Φj

⟩(4.8)

Cela nous ramène à la formulation en matrices [8] :

−Qhk = λkDhk (4.9)

Avec :

� hk = vecteur :[Hk

1 , Hk2 , H

k3 , ...,H

kn

]T, k est le mode.

� D la matrice diagonale de masse concentrée (obtenue par diagonalisation de B dé�nie ci-dessous),

de taille n× n : Di,i =(∑

t∈Nt(i)|t|)/3.

� B la matrice de masse : Bi,j =⟨Φi,Φj

⟩� Q la matrice de rigidité (sti�ness matrix Qi,j =

⟨∆LBΦi,Φj

⟩), de taille n× n :{

Qi,j = (cotan(βi,j) + cotan(β′i,j))/2

Qi,i = −∑j Qi,j

� Nt(i) : l'ensemble des triangles incidents au sommet vi.

� |t| : l'aire du triangle t.

� βi,j et β′i,j les deux angles opposés au segment qui relie les deux sommets vi et vj .

Figure 4.3 � Les éléments nécessaires pour le calcul de la matrice de rigidité et de la matrice de masse.

Les solutions du problème de vecteurs propres (équation (4.9)) sont les bases orthogonales sous

produit scalaire de norme D des harmoniques variétés :

⟨hk, hl

⟩D

=

n∑i=1

Hki Di,iH

li = 0, pour k 6= l (4.10)

18


Les coe�cients spectraux des harmoniques variétés sont donnés par le produit scalaire de norme D, noté

(< , >D) entre les paramètres géométriques du maillage x (idem pour y ou z) et les bases orthogonales :

xk =⟨x, hk

⟩D

=

n∑i=1

xiDi,iHki (4.11)

L'amplitude du coe�cient spectral k est donnée par :

ck =√

(xk)2 + (yk)2 + (zk)2 (4.12)

La Figure 4.4 présente un exemple de calcul de l'amplitude spectrale ck des k = 100 premières

bases harmoniques. L'exemple montre la di�érence entre l'amplitude spectrale d'une sphère idéale et d'une

sphère avec surface déformée, avec la sphère déformée il existe plus de composantes de hautes fréquences. La

Figure 4.4 � Amplitude spectrale des k = 100 premières bases harmoniques : (a)- une sphère idéale, (b)-une sphère déformée.

reconstruction de l'objet à partir des coe�cients spectraux des harmoniques variétés (Figure 4.5) est réalisée

par l'opération inverse :

xi =

n∑k=1

xkHki (4.13)

Sur la Figure 4.5, on remarque qu'à partir des premiers vecteurs propres, on est capable de reconstruire des

versions lissées du maillage. Les détails s'ajoutent lorsqu'on augmente le nombre de bases utilisées pour la

reconstruction.

Par analogie avec la transformée en cosinus discret, une représentation signi�cative des harmoniques

variétés peut se baser sur le tracé des points géométriques sur lesquels les fonctions propres s'annulent : les

Nodal Sets. La Figure 4.6 montre que les fonctions propres présentent des informations sur la géométrie et la

topologie globale des maillages : les contours suivent les formes de l'objet d'une manière naturelle et intègrent

les symétries de l'objet.

Il sera alors cohérent d'utiliser les fonctions propres pour analyser la géométrie et l'évolution des maillages.

19

Motivations de l'analyse spectrale des maillages

Figure 4.5 � Reconstruction de l'objet original (a) "dragon" à 5999 sommets à partir des bases harmoniques :(b=30 bases) ; (c=100 bases) ; (d=300 bases) ; (e=800 bases).

Figure 4.6 � Contours des premières fonctions propres (Lévy et al. [8]).

4.3 Motivations de l'analyse spectrale des maillages

L'analyse spectrale des surfaces maillées est un outil puissant pour réaliser plusieurs types de

traitements, parmi lesquels nous citons :

� La compression de maillages 3D [8] : pour certaines applications, on tolère la perte de quelques

détails sur le maillage. Par la décomposition spectrale, il est possible de reconstruire un maillage

similaire à partir de la projection sur les vecteurs propres de basses fréquences (Figure 4.5). On

a alors moins de coe�cients spectraux à coder (même principe de compression des images 2D :

JPEG, etc...).

� Le tatouage [10] : il s'agit d'ajouter de l'information par la modi�cation des coe�cients spectraux

en optimisant la répartition des modi�cations sur la géométrie de l'objet.

� Le remaillage [8] : la décomposition spectrale du maillage (plus précisément les premiers vecteurs

propres) est utilisée, pour trouver un remaillage des variétés qui préserve la qualité.

L'opérateur de Laplace-Beltrami est un opérateur intrinsèque de la surface S ; cela signi�e qu'il est inva-

riant aux déformations isométriques. Par conséquent, l'ensemble des valeurs et vecteurs propres sont quasi-

invariants par rapport à une déformation quasi-isométrique [11]. Ces déformations quasi-isométriques cor-

respondent en grande partie aux déformations naturelles pour un maillage dynamique en animation. Cette

20

Motivations de l'analyse spectrale des maillages

propriété montre donc l'intérêt de cet outil dans l'analyse de la qualité des maillages en mouvement.

Par ailleurs, l'intégration de la sensibilité du système visuel humain est un élément crucial pour la mesure

de la qualité perceptuelle des maillages dynamiques. Dans le chapitre suivant, nous allons expliquer notre

approche pour l'intégration de la sensibilité du système de vision humaine aux fréquences, puis l'intégration

d'une mesure géométrique robuste aux déformations naturelles.

21

5 Méthodes

Dans le chapitre précédent, nous avons présenté la transformation spectrale des maillages 3D.

La décomposition spectrale fournit une entité robuste aux déformations naturelles, ce qui nous permet de

l'utiliser pour la mesure de la qualité des maillages en mouvement. La construction d'un algorithme qui prenne

en considération la sensibilité du système de vision humaine aux fréquences est cruciale pour introduire la

perception dans la métrique mesurée. Dans ce cadre, nous allons expliquer dans le premier paragraphe de

ce chapitre notre approche pour introduire le critère de perception. Nous allons présenter ensuite une entité

géométrique que l'on intègre dans notre algorithme. Finalement, nous allons expliquer la méthode de mesure

de la qualité perceptuelle.

5.1 Sensibilité fréquentielle

Dans la section 3.1 du chapitre Analyse perceptuelle et qualité des maillages, nous avons introduit les

concepts de base de l'analyse de la qualité perceptuelle des images 2D. La fonction de sensibilité au contraste

dé�nie en cycles par degré d'observation nous informe sur le comportement de la perception humaine sur les

di�érentes bandes de fréquences.

Le modèle de Mannos et Sakirson introduit en 1974 [12] décrit la sensibilité du système visuel humain aux

fréquences spatiales par la fonction suivante :

csf(f) = b(a+f

fp).e−(

f

fp)c

(5.1)

avec :

� fp : la fréquence du pic de sensibilité fréquentielle.

� b : une constante de gain total.

� a et c des paramètres de gain de bandes (respectivement pour les basses et hautes fréquences).

La fonction de sensibilité au contraste est donnée en cycles/degré. La sensibilité du système visuel

humain est caractérisée par un pic à la fréquence de 8 cycles par degré (Figure 5.1). On remarque aussi

que la sensibilité est quasi-nulle au-delà de 60 cycles par degré, ceci est dû au nombre et à l'espacement des

photo-récepteurs de la rétine humaine.

A�n d'appliquer cette fonction sur une image 2D, on doit transformer cette métrique en cycles par

pixel. Nous cherchons une relation entre l'angle d'ouverture (en degrés) et le nombre de pixels dans cette

ouverture. Le nombre de pixels par degré d'ouverture (α = 1◦) est donné par :

r =l

W.R (5.2)

22

Sensibilité fréquentielle

Figure 5.1 � La fonction de sensibilité au contraste.

avec :

� l : l'ouverture visuelle (en cm)

� W : la largeur de support d'a�chage (en cm)

� R : la résolution (nombre de pixels par W )

L'ouverture visuelle est une fonction de la distance et l'angle d'ouverture (voir Figure 5.2) donnée par :

l = 2.D. tan(α

2) (5.3)

r devient :

r =2D tan(α2 )

W.R (5.4)

Si on considère des valeurs typiques :

� W= 34 cm

� R=1280 pixels

� D= 50 cm

On trouve que pour α = 1 degré d'ouverture, on a r = 32, 85409 pixels. Ceci nous permet de transformer la

fonction de sensibilité du cycle/degré en cycle/pixels (Figure 5.3).

Figure 5.2 � Paramètres de la fonction de sensibilité au contraste (voir texte).

23

Sensibilité fréquentielle

Figure 5.3 � Sensibilité au contraste en cycles par pixel.

Dans le contexte des maillages 3D, on place dans l'hypothèse où le maillage occupe la quasi-totalité

du support d'a�chage (Figure 5.4). Nous déduisons la relation entre la sensibilité en cycles par degré et la

sensibilité en cycles par unité de distance entre les sommets du maillage (cm). La Figure 5.5 présente la

fonction de sensibilité au contraste CSF appliquée sur le maillage de Horse.

Figure 5.4 � Adaptation de la fonction de sensibilité au contraste au maillage Horse (8431 sommets).

On rappelle qu'avec l'analyse spectrale par décomposition en fonctions propres, les valeurs propres

sont les carrés des nombres d'ondes propres : wk =√λk. Après l'opération de mise à l'échelle du maillage à

la taille de l'écran, on calcule ses fréquences intrinsèques (ou ses nombres d'ondes intrinsèques) wk en cm−1.

Dans le contexte de l'analyse de la qualité des maillages statiques (soumis au déformations rigides : translations

et rotations), la sensibilité fréquentielle du système visuel humain nous permettra d'e�ectuer une di�érence

pondérée des amplitudes spectrales des maillages 3D.

Qstat =

kmax∑k=2

Cb(Sorig − Sdef )p (5.5)

Avec :

� k : l'indice spectral

� Cb : le coe�cient de pondération relatif à la sensibilité du système visuel humain

24

Courbure gaussienne

Figure 5.5 � L'adaptation de la fonction de sensibilité au contraste sur le maillage "Horse" à 8431 sommets.

� p : l'ordre de la di�érence

� Sorig : l'amplitude spectrale du maillage avant déformation (voir l'équation (4.12) pour le calcul

de cette entité)

� Sdef : l'amplitude spectrale du maillage après déformation

Le résultat de la di�érence des spectres nous fournit une métrique qui mesure la di�érence entre deux maillages

avant et après un traitement, pour déduire la qualité par rapport à une version originale de l'objet 3D. Cette

méthode utilise les coordonnées des sommets. Ces coordonnées euclidiennes ne sont pas une quantité invariante

à la déformation isométrique, c'est pourquoi on utilise la courbure gaussienne,au lieu de ces coordonnées, pour

mesurer la qualité sur des maillages 3D en mouvement.

5.2 Courbure gaussienne

La courbure gaussienne est une quantité géométrique di�érentielle de deuxième ordre. Cette cour-

bure fournit une mesure intrinsèque à la géométrie du maillage (voir la Figure 5.6 qui représente la courbure

gaussienne appliquée sur le modèle de sphère déformée). D'après le fameux Theorema Egregium ("théorème

remarquable" en latin), la courbure gaussienne est invariante pour une déformation isométrique d'un maillage

3D.

Dans le cas d'une surface continue, la courbure gaussienne est calculée par le produit des courbures principales

(courbure maximale et courbure minimale) k1 et k2 :

CG = k1k2 (5.6)

Dans le cas discret des maillages 3D, la courbure gaussienne est calculée pour chaque sommet s par la formule

suivante [13] :

CGs = 2π −F∑i=1

αi (5.7)

Avec :

� F qui dé�nit le nombre de facettes incidentes au sommet s

� αi qui est l'angle au sommet s sur la facette i (Figure 5.7)

25

Mesure de la qualité

Figure 5.6 � Courbure gaussienne sur le maillage d'une sphère déformée.

Figure 5.7 � Les éléments de calcul de la courbure gaussienne.

L'intégration de la courbure gaussienne à la décomposition spectrale des maillages nous permet d'avoir une

entité dans le domaine spectral qui sera invariante aux mouvements isométriques. Ainsi, nous allons projeter

la courbure gaussienne CGs sur ses bases spectrales du maillage.

Les coe�cients spectraux sont dans ce cas calculés par le produit scalaire entre la courbure gaussienne (qui

représente la géométrie du maillage) et les bases orthogonales Hk (les vecteurs propres de l'opérateur Laplace-

Beltrami). Le produit est normé par la matrice de masse diagonalisée Di,i. la kime amplitude spectrale CGCk

avec intégration de la courbure gaussienne, est calculée par l'équation :

CGCk =∥∥⟨CGs, Hk

⟩D

∥∥ (5.8)

Cette formulation combine les études précédentes pour mesurer une entité invariante pour des déformations

quasi-isométriques sur les surfaces maillées.

5.3 Mesure de la qualité

Dans le paragraphe précédent, nous avons introduit la dé�nition de la courbure gaussienne et la

projection sur les bases orthogonales de la décomposition spectrale des maillages. Nous avons donné ainsi

l'expression d'une entité invariante pour une déformation quasi-isométrique due à un mouvement naturel.

L'étape suivante consiste à dé�nir la méthode de comparaison de ces entités qu'on mesure sur :

26


� Un maillage original comparé à un maillage bruité.

� Un maillage original comparé à un maillage déformé par un mouvement quasi-isométrique.

La courbure gaussienne (quantité di�érentielle d'ordre 2 des coordonnées des sommets) mesure la di�érence

entre un sommet et ses voisins sur une surface maillée. C'est la première raison pour laquelle on a considéré

cette entité pour la mesure du contraste. De plus, il existe un lien fort entre cette mesure di�érentielle et les

normales de chaque sommet. Ces normales sont utilisées pour la plupart des méthodes de rendu 3D, d'où

l'importance visuelle de la courbure gaussienne.

La système de vision humaine peut être simulé par plusieurs �ltres passe-bande de longueur d'une octave.

La sensibilité au contraste est alors une fonction linéaire pour une mise à l'échelle de log2 du domaine

fréquentiel [14]. Pour e�ectuer la comparaison de deux entitées spectrales, nous allons donc découper les

fréquences par bandes d'une octave (f0, 2f0, 4f0...). La di�érence sera par la suite pondérée par un coe�cient

de perception de la fonction de sensibilité au contraste.

A�n de cadrer la dynamique des mesures de la métrique de qualité, il est indispensable d'utiliser la fonction

psychométrique (Figure 5.8) [15] [16]. Cette fonction, appliquée sur la di�érence des contrastes des maillages,

nous permettra de dé�nir la probabilité de perception du bruit correspondant à chaque bande de fréquences :

Pb = 1− e−|diffb.CSFb.α|β

(5.9)

Avec :

� diffb : la di�érence du contraste entre les deux maillages (sur la bande b)

� CSFb : la fonction de sensibilité au contraste sur la bande b

� β : la pente de la fonction psychométrique

� α : le seuil de décision

Figure 5.8 � Allure de la fonction psychométrique (avec α = 2 et β = 3).

Pb représente la probabilité de perception d'une di�érence dans une bande b. Pour trouver une

métrique globale de qualité, on calcule la somme des probabilités de perception de bruit sur tout le spectre :

Q = 1−∏b

(1− Pb) (5.10)

Le diagramme présenté dans la Figure 5.9 illustre d'une manière générale l'approche que l'on ap-

plique pour déterminer la qualité perceptuelle d'un maillage en déformation.

Dans ce chapitre, nous avons présenté notre méthode pour déterminer une métrique qui utilise la

décomposition spectrale des maillages 3D comme outil d'analyse de la qualité. Notre approche intègre la

27


Figure 5.9 � Diagramme fonctionnel de la méthode de calcul de la qualité perceptuelle des maillages 3D.

sensibilité de système visuel humain dans le domaine spectral, nous avons construit une méthode qui permet

d'appliquer la fonction de sensibilité au contraste sur les maillages 3D. Le chapitre 6 présente les résultats de

cette méthode appliquée sur des maillages dynamiques.

28

6 Résultats et discussion

L'objectif de notre étude est de trouver une métrique d'évaluation qualitative perceptuelle des

maillages 3D. Les maillages étudiés sont des maillages dynamiques : c'est un ensemble de maillages qui subit

une déformation quasi-isométrique naturelle au cours du temps. Dans ce chapitre, nous allons présenter dans

une première section les résultats préliminaires de notre approche. Nous allons dans la deuxième section

analyser et discuter les résultats et les performances de notre solution.

6.1 Résultats

6.1.1 Maillages étudiés

A�n de bien étudier les résultats de notre algorithme d'analyse de la qualité, nous allons utiliser

deux types de maillages :

� Maillages simples de surfaces paramétriques : ces maillages nous permettent de bien analyser

les résultats de l'approche sur des cas d'école. Certaines applications (comme la CAO, etc...)

utilisent le même type de maillages. Les exemples que l'on construit sont une sphère qui se

déforme pour former un ellipsoïde (voir Figure 6.1) ; cette déformation n'est pas brusque, elle est

bien évidemment non isométrique (modi�e les distances géodésiques), mais on peut la quali�er de

quasi-isométrique car les déformations ne sont pas très importantes : l'état du maillage à l'instant

T est très proche de celui à l'instant T + 1. Le deuxième modèle est un cylindre (Figure 6.2) qui

se plie selon l'axe Z. Cette déformation est aussi quasi-isométrique.

� Maillages naturels : les exemples pris en considération pour la validation de notre approche sont

le maillage dynamique Horse de 8431 sommets (Figure 6.3) et le maillage animé Chinchilla de

4307 sommets (Figure 6.4). La déformation de ces maillages est localement quasi-isométrique.

Pour valider notre approche, on utilise des versions qui seront bruitées de ces maillages par un bruit uniforme

d'amplitude faible/moyenne/élevée. Nous signalons qu'on utilise une amplitude de bruit plus élevée pour le

modèle Chinchilla car on remarque que l'e�et du bruit est moins visible sur ce maillage (voir annexe B-

Maillages dynamiques bruités).

On compare dans un premier temps les versions bruitées de chaque maillage avec des versions de déformation

naturelle et des versions de déformation naturelle accompagnée de bruit.

29

Maillages étudiés Résultats

Figure 6.1 � Les maillages utilisés : Ellipsoide (2562 sommets). (a)- maillage original e1, qui est unesphère. (b)-(c)-(d)- maillages e1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne,élevée. (e)- maillage avec déformation naturelle de mouvement e2. (f)-(g)-(h)- maillages e2 qui a e�ectué unmouvement + un bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée.

Figure 6.2 � Les maillages utilisés : Cylinder (2000 sommets). (a)- maillage original c1. (b)-(c)-(d)- maillagesc1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. (e)- maillage avecdéformation naturelle de mouvement c2. (f)-(g)-(h)- maillages c2 qui a e�ectué un mouvement + un bruituniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée.

30

Maillages étudiés Résultats

Figure 6.3 � Les maillages utilisés : Horse (8431 sommets). (a)- maillage original h1. (b)-(c)-(d)- maillagesh1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. (e)- maillage avecdéformation naturelle de mouvement h2. (f)-(g)-(h)- maillages h2 qui a e�ectué un mouvement + un bruituniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée.

Figure 6.4 � Les maillages utilisés : Chinchilla (4307 sommets). (a)- maillage original ch1. (b)-(c)-(d)-maillages ch1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. (e)- maillageavec déformation naturelle de mouvement ch2. (f)-(g)-(h)- maillages ch2 qui a e�ectué un mouvement + unbruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée.

31

Résultats de l'analyse de qualité Résultats

type de déformation∑i diffi.CSFi Q MSDM Hd

e2-e2N001 bruit faible 0,0459 0,5117 0,28443 0,001581e2-e2N003 bruit moyen 0,1509 0,6406 0,4538 0,004574e2-e2N005 bruit élevé 0,2728 0,7082 0,50203 0,008083

e2-e3 mouvement 0,0017 0,3271 0,01457 0,05e2-e3N001 mouvement + bruit faible 0,0455 0,5395 0,28059 0,050811e2-e3N003 mouvement + bruit moyen 0,1511 0,6572 0,45258 0,05242e2-e3N005 mouvement + bruit élevé 0,3028 0,7259 0,50816 0,055166





Tableau 6.1 � Résultats sur le maillage Ellipsoïde

6.1.2 Résultats de l'analyse de qualité

Les tableaux 6.1, 6.2, 6.3 et 6.4 présentent les valeurs de la di�érence pondérée (∑i diffi.CSFi ),

notre métrique Q de qualité calculée par la somme des probabilités de perception de bruit dans chaque bande

spectrale (explication chapitre 5), la métrique MSDM qui est dé�nie dans la section 3.3 du chapitre 3, et la

distance de Hausdor�. La distance de Hausdor� qui mesure la distance euclidienne entre chaque sommet p

du maillage original et la surface S du maillage déformé :

e(p, S) = minvSi ∈S

d(p, vSi ) (6.1)

La distance du maillage S1 au maillage S2 est dé�nie par :

E(S1, S2) = maxp∈S1

e(p, S2) (6.2)

Cette dé�nition de distance n'est pas symétrique, en général on a : E(S1, S2) 6= E(S2, S1) [17], une implé-

mentation de Cignoni et al. calcule la distance symétrique :

Hd(S1, S2) = max dE(S1, S2), E(S2, S1)c (6.3)

32



c2-c2N001 bruit faible 4,8983 0,494 0,43217 0,002653c2-c2N003 bruit moyen 8,6078 0,6712 0,56837 0,007361c2-c2N005 bruit élevé 9,3762 0,7037 0,64631 0,014119

c2-c3 mouvement 0,909 0,1949 0,01226 0,016541c2-c3N001 mouvement + bruit faible 4,9165 0,4964 0,42704 0,018479c2-c3N003 mouvement + bruit moyen 8,2065 0,6525 0,56364 0,02148c2-c3N005 mouvement + bruit élevé 9,8878 0,7157 0,64855 0,026196





Tableau 6.2 � Résultats sur le maillage Cylinder


h1-h1N001 bruit faible 1,908 0,1036 0,2229 0,0006h1-h1N003 bruit moyen 3,6322 0,5291 0,4372 0,0019h1-h1N005 bruit élevé 6,8425 0,997 0,5534 0,0033

h1-h2 mouvement 1,8195 0,0891 0,438 0,153h1-h2N001 mouvement + bruit faible 2,0758 0,1267 0,4998 0,1527h1-h2N003 mouvement + bruit moyen 3,5824 0,5132 0,5772 0,1521h1-h2N005 mouvement + bruit élevé 6,665 0,9954 0,6327 0,1514





Tableau 6.3 � Résultats sur le maillage Horse

33



ch1-ch1N001 bruit faible 2,5909 0,3116 0,1919 0,0004ch1-ch1N005 bruit moyen 3,7763 0,7212 0,4199 0,0019ch1-ch1N01 bruit élevé 5,6355 0,9974 0,5574 0,004ch1-ch2 mouvement 2,5663 0,2939 0,3898 0,0557

ch1-ch2N001 mouvement + bruit faible 2,7276 0,3319 0,4983 0,0557ch1-ch2N005 mouvement + bruit moyen 0,3319 2,7276 0,5995 0,0564ch1-ch2N01 mouvement + bruit élevé 5,5236 0,9959 0,6536 0,057





Tableau 6.4 � Résultats sur le maillage Chinchilla

34

Discussion

6.2 Discussion

La métrique de distance géométrique donne de très mauvais résultats. En e�et, le maillage attaqué

par un bruit qui s'applique sur chaque sommet reste dans la plupart des cas avec une distance de Hausdor�

inférieure à une déformation due à un mouvement de maillage. La métrique de distance de Hausdor� estime

qu'un bruit (même s'il est d'amplitude élevée) est de meilleure qualité que le maillage en mouvement.

La métrique MSDM donne de bonnes résultats sur les exemples simples des cas d'école. Malgré qu'elle

intègre un modèle de perception, la métrique MSDM donne des résultats qui sont erronés pour des bruits

d'amplitude faible ou moyenne (particulièrement pour les maillages naturels). Même pour des bruits très

faibles, les mesures e�ectuées de notre métrique Q montrent qu'elle permet de distinguer le maillage bruité

du maillage en mouvement (exemple, Q(h1− h2) = 0, 0891 < Q(h1− h1N001) = 0, 1036).

Dans l'application de notre méthode, la fonction psychométrique nous a permis de cadrer la dy-

namique des mesures entre 0 pour un maillage parfait, identique au maillage original et 1 pour un maillage

bruité par un bruit d'amplitude très élevée (exemple : Q(h3 − h3N005) = 0, 99). Un maillage qui a subi

une déformation naturelle est toujours de Q très faible (proche de 0). On remarque aussi que la valeur de

la métrique Q est stable au cours de la séquence d'animation pour la même amplitude de bruit (exemple :

Q(ch2− ch2N005) = 0, 729 proche de Q(ch3− ch3N005) = 0, 7101) ce qui rend possible la classi�cation des

maillages bruités selon l'amplitude du bruit.

On remarque, à partir des cas d'école générés, que plus la déformation est isométrique, plus notre métrique

est e�cace pour détecter le bruit et le distinguer du mouvement.

Nous avons développé dans notre approche une entité invariante pour une déformation quasi-

isométrique, cela permet d'avoir une métrique qui distingue les maillages avec déformation naturelle des

maillages bruités. Il est important d'améliorer par la suite cette métrique pour détecter le seuil de perception

de bruit, c'est à dire à partir de quelle amplitude le bruit peut être observé par le système de vision hu-

maine. La métrique nous donnera alors une information sur la di�érence minimale qu'on peut observer (Just

Noticeable Di�erence) et décider si la distorsion est acceptable ou bien très importante.

Vu que le système de vision humaine est très complexe, et a�n de modéliser avec plus de �délité

son comportement, nous pouvons intégrer d'autres éléments dans notre méthode pour la détermination de la

métrique de qualité :

� Intégrer l'e�et de masquage inter et intra-bandes que l'on a expliqué dans le chapitre 3.

� Intégrer l'e�et de sensibilité du système visuel humain aux di�érentes orientations.

� Améliorer la dé�nition du contraste.

� Ajouter l'information de la perception temporelle reliée à la vitesse d'a�chage des maillages

en mouvement [18] : on devient plus sensible aux basses fréquences lors du mouvement d'un

maillage, d'où la possibilité d'incorporer directement cet e�et dans notre modélisation de fonction

de sensibilité au contraste.

Une autre piste de recherche est l'étude de l'accélération de l'algorithme. En e�et, nos mesures sont e�ectuées

pour le moment sur des maillages de taille inférieure à 10000 sommets. La décomposition spectrale des

maillages 3D selon la méthode expliquée dans le chapitre 4 est très exigeante en termes de ressources de

calcul et de stockage. Une idée à développer se base sur l'échantillonnage spectral, c'est à dire e�ectuer les

mesures sur des bandes étroites réparties sur le spectre du maillage.

35

Discussion

Nous avons présenté dans ce chapitre les résultats préliminaires de notre métrique de qualité.

La métrique permet de distinguer les déformations naturelles des déformations dues au bruit ou même

un mouvement accompagné de bruit. Nous avons cité brièvement quelques améliorations que l'on pourra

appliquer à notre modélisation pour qu'elle s'aligne avec plus de �délité sur le modèle de vision humaine.

36

7 Conclusion

L'objectif de ce travail était de proposer un modèle pour l'analyse de la qualité perceptuelle des

maillages 3D, et de distinguer la déformation quasi-isométrique due au mouvement naturel de la déformation

due à un bruit.

Nous avons présenté dans le premier chapitre une brève description des surfaces maillées, leurs struc-

tures de données et quelques outils que l'on a utilisés pour la manipulation des maillages et l'implémentation

des algorithmes de traitement.

Pour analyser la qualité perceptuelle des maillages 3D, nous nous sommes basés sur les recherches qui

sont développées sur les images 2D. Le deuxième chapitre présente alors un aperçu sur les mesures objectives

et perceptuelles de la qualité des images 2D et quelques propriétés importantes pour la modélisation du

système visuel humain. Dans la dernière section de ce chapitre, nous avons présenté les métriques existantes

pour la mesure de la qualité des maillages 3D.

Le troisième chapitre de ce rapport détaille l'outil des harmoniques variétés (oumanifold harmonics)

qui permet d'analyser le spectre des surfaces maillées 3D. Cet outil calcule les valeurs et vecteurs propres de

l'opérateur Laplace-Beltrami, ces vecteurs propres sont invariants par une déformation isométrique, ce qui

correspond à nos attentes.

Nous utilisons les bases spectrales comme une entité invariante pour une déformation isométrique.

Dans le chapitre Méthodes, nous avons expliqué notre approche pour la mesure de la qualité perceptuelle

des maillages dynamiques. En e�et, on a utilisé la fonction de sensibilité au contraste pour simuler le com-

portement du système de vision humaine sur les di�érentes bandes spectrales. En suite, nous avons expliqué

dans la deuxième section de ce chapitre l'utilisation de la courbure gaussienne ; cette courbure est une mesure

intrinsèque de la géométrie du maillage et elle est invariante par déformation isométrique. Cette courbure

est utilisée pour dé�nir le contraste. Ce chapitre décrit aussi la méthode utilisée pour intégrer la fonction

psychométrique pour avoir une quanti�cation sur la perception et la décision sur la qualité du maillage.

Le dernier chapitre donne quelques résultats préliminaires, ces résultats montrent qu'on arrive avec

notre métrique à distinguer les déformations dues au mouvement de celles dues au bruit. Elle permet en plus

de détecter un mouvement accompagné d'un bruit. La métrique reste ouverte aux améliorations pour assurer

plus de �délité au modèle de vision humaine. Il sera dans ce cadre possible d'intégrer l'e�et de masquage

et l'e�et de la perception temporelle du système visuel humain. La métrique peut aussi être améliorée pour

détecter le seuil minimal de perception de di�érences entre le maillage original et le maillage bruité et pour

décider si un bruit est très gênant ou bien s'il est acceptable.

37

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38

Table des �gures

1.1 Analyse de la qualité sur le maillage Horse (8431 sommets). (a)- maillage M1 à l'instant T,(b)- maillage M2 (mouvement de M1) à l'instant T+1, (c)- M1 bruité, (d)- M2 bruité . . . . 5

2.1 Exemple de maillage triangulaire, Head-pose(15941 sommets). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Les propriétés spectrales du SVH : (a)-graphe de Campbell-Robson de fonction de sensibilitéen contraste, (b)-sensibilité du SVH en fréquence spatiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Image Hybride, de loin on observe l'image d'un homme en colère, si on s'approche de l'imageon observe le visage d'une femme [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 E�et de masquage [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Décomposition en séries de Fourier d'un signal rectangulaire périodique [Wikipedia]. . . . . . 15

4.2 Les 8 premiers vecteurs propres et valeurs propres λ de L pour un signal discret avec N = 401échantillons [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Les éléments nécessaires pour le calcul de la matrice de rigidité et de la matrice de masse. . . 18

4.4 Amplitude spectrale des k = 100 premières bases harmoniques : (a)- une sphère idéale, (b)-une sphère déformée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5 Reconstruction de l'objet original (a) "dragon" à 5999 sommets à partir des bases harmoniques :(b=30 bases) ; (c=100 bases) ; (d=300 bases) ; (e=800 bases). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6 Contours des premières fonctions propres (Lévy et al. [8]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.1 La fonction de sensibilité au contraste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Paramètres de la fonction de sensibilité au contraste (voir texte). . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3 Sensibilité au contraste en cycles par pixel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4 Adaptation de la fonction de sensibilité au contraste au maillage Horse (8431 sommets). . . . 24

5.5 L'adaptation de la fonction de sensibilité au contraste sur le maillage "Horse" à 8431 sommets. 25

5.6 Courbure gaussienne sur le maillage d'une sphère déformée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.7 Les éléments de calcul de la courbure gaussienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.8 Allure de la fonction psychométrique (avec α = 2 et β = 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.9 Diagramme fonctionnel de la méthode de calcul de la qualité perceptuelle des maillages 3D. . 28

6.1 Les maillages utilisés : Ellipsoide (2562 sommets). (a)- maillage original e1, qui est unesphère. (b)-(c)-(d)- maillages e1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude :faible, moyenne, élevée. (e)- maillage avec déformation naturelle de mouvement e2. (f)-(g)-(h)-maillages e2 qui a e�ectué un mouvement + un bruit uniforme respectivement d'amplitude :faible, moyenne, élevée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

39

TABLE DES FIGURES TABLE DES FIGURES

6.2 Les maillages utilisés : Cylinder (2000 sommets). (a)- maillage original c1. (b)-(c)-(d)- maillagesc1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. (e)-maillage avec déformation naturelle de mouvement c2. (f)-(g)-(h)- maillages c2 qui a e�ectuéun mouvement + un bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. . . 30

6.3 Les maillages utilisés : Horse (8431 sommets). (a)- maillage original h1. (b)-(c)-(d)- maillagesh1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. (e)-maillage avec déformation naturelle de mouvement h2. (f)-(g)-(h)- maillages h2 qui a e�ectuéun mouvement + un bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, élevée. . . 31

6.4 Les maillages utilisés : Chinchilla (4307 sommets). (a)- maillage original ch1. (b)-(c)-(d)-maillages ch1 attaqués avec bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne, éle-vée. (e)- maillage avec déformation naturelle de mouvement ch2. (f)-(g)-(h)- maillages ch2 quia e�ectué un mouvement + un bruit uniforme respectivement d'amplitude : faible, moyenne,élevée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.1 Mesures de l'erreur quadratique moyenne pour di�érents types de traitements [3]. . . . . . . . 42

B.1 E�et du bruit sur les maillages Horse et Chinchilla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

40

A Mesure objective de la qualité des

images

La �gure A.1 est extraite du livre de Wang et Bovik [3]. Elle présente des mesures de l'erreurquadratique moyenne sur l'image Einstein. L'image a été bruitée par di�érents types de traitements :

� (a) : image originale� (b) : décalage moyen de la luminance� (c) : étalement de contraste� (d) : ajout de bruit impulsif� (e) : ajout de bruit gaussien� (f) : e�et de �ou� (g) : compression JPEG� (h) : décalage spatial (vers la gauche)� (i) : agrandissement spatial (zoom out)� (j) : rotation.

On remarque bien que les images (b) et (g) ont le même MSE, mais il est clair qu'ils n'ont pas la mêmequalité visuelle.

41

ANNEXE A. MESURE OBJECTIVE DE LA QUALITÉ DES IMAGES

Figure A.1 � Mesures de l'erreur quadratique moyenne pour di�érents types de traitements [3].

42

B Maillages dynamiques bruités

La �gure B.1 présente l'e�et du bruit uniforme appliqué sur les maillages de Horse et Chinchilla.Le bruit a été appliqué à l'aide du logiciel MEPP. On remarque que pour les mêmes amplitudes de bruits,on n'observe pas les mêmes niveaux de distorsions.Dans cette �gure, on utilise la notation M.X.N.B, M est le maillage attaqué, X présente le numéro demaillage dans la séquence, B présente l'amplitude du bruit :

� h1 : premier maillage Horse dans la séquence des maillages dynamiques.� h1N001 : premier maillage Horse attaqué par un bruit uniforme d'amplitude 0.001.

�...

� ch1 : premier maillage Chinchilla dans la séquence des maillages dynamiques.� ch1N001 : premier maillage Chinchilla attaqué par un bruit uniforme d'amplitude 0.001.

�...

43

ANNEXE B. MAILLAGES DYNAMIQUES BRUITÉS

Figure B.1 � E�et du bruit sur les maillages Horse et Chinchilla.44

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