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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 1FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 2FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
TEORIA ELECTROMAGNETICA II
CAPITULO 1 LAS ECUACIONES DE CAMPO 4
1-1 Campos vectorialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4 1-2 Ecuaciones de campo en forma integralhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-3 Ecuaciones de campo en forma diferencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-4 Ecuacioacuten de la continuidadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101-5 Teorema de la energiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 121-6 Potenciales escalar y vectorialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16
1-6-1 Ajuste de los potencialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip181-6-2 Las ecuaciones de potencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20
CAPITULO 2 LA ONDA PLANA 22
2-1 La ecuacioacuten de ondahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222-2 Solucioacuten de Drsquo ALEMBERThelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232-3 Transversalidad impedancia de onda 282-4 Onda armoacutenica con direccioacuten de propagacioacuten arbitraria 32
CAPITULO 3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA 373-1 Flujo de energiacutea en medios sin perdida37
CAPITULO 4 CONDICIONES DE BORDE 404-1 Condiciones de borde de
E 41
4-2 Condiciones de borde de
H 424-3 Condiciones de borde de D
43
4-4 Condiciones de borde de B 43
4-5 Condiciones de borde de J 44
46 Condiciones de borde de S
45
CAPITULO 5 POLARIZACION 47
CAPITULO 6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS 53
6-1 Onda estacionaria536-2 Grupo de ondas5463 Dispersioacuten5764 Velocidad de la sentildeal61
CAPITULO 7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS 64
7-1 Atenuacioacuten Y Corrimiento De Fase6472 Caracteriacutesticas De Dispersioacuten Del Conductor6973 Casos Limites De Los Conductores Metaacutelicos Y Aislantes7274 Efecto Pelicular O Piel De Un Conductor Ciliacutendrico7676 Flujo De Energiacutea En Medios Con Peacuterdidas81
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CAPITULO 8 REFLEXION Y REFRACCION 86
81 Ondas Parciales Y Condiciones De Frontera8682 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Paralela Al Plano Incidente8883 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Perpendicular Al Plano Incidente93
CAPITULO 9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA 95
91 Condiciones De Frontera 9792 Onda Tem9993 Onda Tm10194 Onda Te11095 Guiacutea De Onda Rectangular11296 Conductores De Ondas Dieleacutectricos113
CAPITULO 10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN 115
101 Ondas No Homogeacuteneas En Conductores 115102 La Primera Ecuacioacuten De La Liacutenea120103 La Segunda Ecuacioacuten De La Liacutenea123104 Ecuaciones De Una Liacutenea De Transmisioacuten Con Conductores Reales Y Sus Soluciones126
CAPITULO 11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS 131
111 Definicioacuten Y Ajuste De Potenciales131112 Ecuaciones De Los Potenciales Y Sus Soluciones134
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
1 LAS ECUACIONES DE CAMPO
Las ecuaciones de Maxwell describen el mundo de los campos vectoriales
electromagneacuteticos Se nos presenta aquiacute una doble dificultad Primero los campos
electromagneacuteticos no son directamente captados por nuestros sentidos con excepcioacuten de
la luz por eso por mucho tiempo se han buscado analogiacuteas mecaacutenicas para su
visualizacioacuten Y segundo un campo vectorial sobrepasa nuestras posibilidades
imaginativas por ello hemos recurrido a representaciones muy simplificadas como los
cuadros de liacuteneas de campo los cuales reproducen incompletamente los sucesos fiacutesicos
reales en el espacio
En este capiacutetulo nos ocuparemos de los oriacutegenes y propiedades de los campos vectoriales
de la estructura matemaacutetica y del contenido fiacutesico de las ecuaciones de campo de
Maxwell
11 CAMPOS VECTORIALES
Los oriacutegenes de un campo vectorial A tenemos que diferenciarlos entre fuentes (pozos o
caiacutedas) y torbellinos
Fuentes o pozos son puntos en el espacio con la propiedad de que en ellos inician o
terminan liacuteneas de campo (fig 1a) Cuando existen fuentes o pozos del campo vectorial
en un volumen V se tiene
A dS
S
0 (11)
El valor de esta integral es una medida del flujo del vector A
a traveacutes de la superficie o de
la intensidad de la fuente encerrada en ella Es la integral nula entonces el volumen no
contiene fuentes
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Los torbellinos tambieacuten denominadas orificios son liacuteneas de campo con la propiedad de
que estas se cierran alrededor de las liacuteneas del torbellino (fig 1b) Cuando los torbellinos
del campo vectorial A se distribuyen en una superficie S se tiene
A drC
0 (12)
Fig 1 Fuente y Torbellino
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El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A
a lo largo del
contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S
delimitada por C estaacute libre de torbellinos
A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en
Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )
Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )
Campos Mixtos
Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en
un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el
caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo
suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen
En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral
de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales
Campo Fuente Puro
Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 22FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 39FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 40FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 41FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 42FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 43FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 126FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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TEORIA ELECTROMAGNETICA II
CAPITULO 1 LAS ECUACIONES DE CAMPO 4
1-1 Campos vectorialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 4 1-2 Ecuaciones de campo en forma integralhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-3 Ecuaciones de campo en forma diferencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 81-4 Ecuacioacuten de la continuidadhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 101-5 Teorema de la energiacuteahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 121-6 Potenciales escalar y vectorialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 16
1-6-1 Ajuste de los potencialeshelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip181-6-2 Las ecuaciones de potencialhelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20
CAPITULO 2 LA ONDA PLANA 22
2-1 La ecuacioacuten de ondahelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 222-2 Solucioacuten de Drsquo ALEMBERThelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip 232-3 Transversalidad impedancia de onda 282-4 Onda armoacutenica con direccioacuten de propagacioacuten arbitraria 32
CAPITULO 3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA 373-1 Flujo de energiacutea en medios sin perdida37
CAPITULO 4 CONDICIONES DE BORDE 404-1 Condiciones de borde de
E 41
4-2 Condiciones de borde de
H 424-3 Condiciones de borde de D
43
4-4 Condiciones de borde de B 43
4-5 Condiciones de borde de J 44
46 Condiciones de borde de S
45
CAPITULO 5 POLARIZACION 47
CAPITULO 6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS 53
6-1 Onda estacionaria536-2 Grupo de ondas5463 Dispersioacuten5764 Velocidad de la sentildeal61
CAPITULO 7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS 64
7-1 Atenuacioacuten Y Corrimiento De Fase6472 Caracteriacutesticas De Dispersioacuten Del Conductor6973 Casos Limites De Los Conductores Metaacutelicos Y Aislantes7274 Efecto Pelicular O Piel De Un Conductor Ciliacutendrico7676 Flujo De Energiacutea En Medios Con Peacuterdidas81
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 3FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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CAPITULO 8 REFLEXION Y REFRACCION 86
81 Ondas Parciales Y Condiciones De Frontera8682 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Paralela Al Plano Incidente8883 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Perpendicular Al Plano Incidente93
CAPITULO 9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA 95
91 Condiciones De Frontera 9792 Onda Tem9993 Onda Tm10194 Onda Te11095 Guiacutea De Onda Rectangular11296 Conductores De Ondas Dieleacutectricos113
CAPITULO 10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN 115
101 Ondas No Homogeacuteneas En Conductores 115102 La Primera Ecuacioacuten De La Liacutenea120103 La Segunda Ecuacioacuten De La Liacutenea123104 Ecuaciones De Una Liacutenea De Transmisioacuten Con Conductores Reales Y Sus Soluciones126
CAPITULO 11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS 131
111 Definicioacuten Y Ajuste De Potenciales131112 Ecuaciones De Los Potenciales Y Sus Soluciones134
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 4FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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1 LAS ECUACIONES DE CAMPO
Las ecuaciones de Maxwell describen el mundo de los campos vectoriales
electromagneacuteticos Se nos presenta aquiacute una doble dificultad Primero los campos
electromagneacuteticos no son directamente captados por nuestros sentidos con excepcioacuten de
la luz por eso por mucho tiempo se han buscado analogiacuteas mecaacutenicas para su
visualizacioacuten Y segundo un campo vectorial sobrepasa nuestras posibilidades
imaginativas por ello hemos recurrido a representaciones muy simplificadas como los
cuadros de liacuteneas de campo los cuales reproducen incompletamente los sucesos fiacutesicos
reales en el espacio
En este capiacutetulo nos ocuparemos de los oriacutegenes y propiedades de los campos vectoriales
de la estructura matemaacutetica y del contenido fiacutesico de las ecuaciones de campo de
Maxwell
11 CAMPOS VECTORIALES
Los oriacutegenes de un campo vectorial A tenemos que diferenciarlos entre fuentes (pozos o
caiacutedas) y torbellinos
Fuentes o pozos son puntos en el espacio con la propiedad de que en ellos inician o
terminan liacuteneas de campo (fig 1a) Cuando existen fuentes o pozos del campo vectorial
en un volumen V se tiene
A dS
S
0 (11)
El valor de esta integral es una medida del flujo del vector A
a traveacutes de la superficie o de
la intensidad de la fuente encerrada en ella Es la integral nula entonces el volumen no
contiene fuentes
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Los torbellinos tambieacuten denominadas orificios son liacuteneas de campo con la propiedad de
que estas se cierran alrededor de las liacuteneas del torbellino (fig 1b) Cuando los torbellinos
del campo vectorial A se distribuyen en una superficie S se tiene
A drC
0 (12)
Fig 1 Fuente y Torbellino
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 6FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A
a lo largo del
contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S
delimitada por C estaacute libre de torbellinos
A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en
Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )
Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )
Campos Mixtos
Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en
un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el
caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo
suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen
En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral
de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales
Campo Fuente Puro
Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 91FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 92FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 93FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 95FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 96FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 97FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 98FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 100FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 101FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 111FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 115FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 119FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 122FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 126FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 134FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 135FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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CAPITULO 8 REFLEXION Y REFRACCION 86
81 Ondas Parciales Y Condiciones De Frontera8682 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Paralela Al Plano Incidente8883 Polarizacioacuten De La Onda Incidente Perpendicular Al Plano Incidente93
CAPITULO 9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA 95
91 Condiciones De Frontera 9792 Onda Tem9993 Onda Tm10194 Onda Te11095 Guiacutea De Onda Rectangular11296 Conductores De Ondas Dieleacutectricos113
CAPITULO 10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN 115
101 Ondas No Homogeacuteneas En Conductores 115102 La Primera Ecuacioacuten De La Liacutenea120103 La Segunda Ecuacioacuten De La Liacutenea123104 Ecuaciones De Una Liacutenea De Transmisioacuten Con Conductores Reales Y Sus Soluciones126
CAPITULO 11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS 131
111 Definicioacuten Y Ajuste De Potenciales131112 Ecuaciones De Los Potenciales Y Sus Soluciones134
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1 LAS ECUACIONES DE CAMPO
Las ecuaciones de Maxwell describen el mundo de los campos vectoriales
electromagneacuteticos Se nos presenta aquiacute una doble dificultad Primero los campos
electromagneacuteticos no son directamente captados por nuestros sentidos con excepcioacuten de
la luz por eso por mucho tiempo se han buscado analogiacuteas mecaacutenicas para su
visualizacioacuten Y segundo un campo vectorial sobrepasa nuestras posibilidades
imaginativas por ello hemos recurrido a representaciones muy simplificadas como los
cuadros de liacuteneas de campo los cuales reproducen incompletamente los sucesos fiacutesicos
reales en el espacio
En este capiacutetulo nos ocuparemos de los oriacutegenes y propiedades de los campos vectoriales
de la estructura matemaacutetica y del contenido fiacutesico de las ecuaciones de campo de
Maxwell
11 CAMPOS VECTORIALES
Los oriacutegenes de un campo vectorial A tenemos que diferenciarlos entre fuentes (pozos o
caiacutedas) y torbellinos
Fuentes o pozos son puntos en el espacio con la propiedad de que en ellos inician o
terminan liacuteneas de campo (fig 1a) Cuando existen fuentes o pozos del campo vectorial
en un volumen V se tiene
A dS
S
0 (11)
El valor de esta integral es una medida del flujo del vector A
a traveacutes de la superficie o de
la intensidad de la fuente encerrada en ella Es la integral nula entonces el volumen no
contiene fuentes
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Los torbellinos tambieacuten denominadas orificios son liacuteneas de campo con la propiedad de
que estas se cierran alrededor de las liacuteneas del torbellino (fig 1b) Cuando los torbellinos
del campo vectorial A se distribuyen en una superficie S se tiene
A drC
0 (12)
Fig 1 Fuente y Torbellino
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El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A
a lo largo del
contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S
delimitada por C estaacute libre de torbellinos
A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en
Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )
Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )
Campos Mixtos
Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en
un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el
caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo
suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen
En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral
de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales
Campo Fuente Puro
Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 18FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 19FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 22FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 39FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 40FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 41FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 42FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 43FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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1 LAS ECUACIONES DE CAMPO
Las ecuaciones de Maxwell describen el mundo de los campos vectoriales
electromagneacuteticos Se nos presenta aquiacute una doble dificultad Primero los campos
electromagneacuteticos no son directamente captados por nuestros sentidos con excepcioacuten de
la luz por eso por mucho tiempo se han buscado analogiacuteas mecaacutenicas para su
visualizacioacuten Y segundo un campo vectorial sobrepasa nuestras posibilidades
imaginativas por ello hemos recurrido a representaciones muy simplificadas como los
cuadros de liacuteneas de campo los cuales reproducen incompletamente los sucesos fiacutesicos
reales en el espacio
En este capiacutetulo nos ocuparemos de los oriacutegenes y propiedades de los campos vectoriales
de la estructura matemaacutetica y del contenido fiacutesico de las ecuaciones de campo de
Maxwell
11 CAMPOS VECTORIALES
Los oriacutegenes de un campo vectorial A tenemos que diferenciarlos entre fuentes (pozos o
caiacutedas) y torbellinos
Fuentes o pozos son puntos en el espacio con la propiedad de que en ellos inician o
terminan liacuteneas de campo (fig 1a) Cuando existen fuentes o pozos del campo vectorial
en un volumen V se tiene
A dS
S
0 (11)
El valor de esta integral es una medida del flujo del vector A
a traveacutes de la superficie o de
la intensidad de la fuente encerrada en ella Es la integral nula entonces el volumen no
contiene fuentes
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Los torbellinos tambieacuten denominadas orificios son liacuteneas de campo con la propiedad de
que estas se cierran alrededor de las liacuteneas del torbellino (fig 1b) Cuando los torbellinos
del campo vectorial A se distribuyen en una superficie S se tiene
A drC
0 (12)
Fig 1 Fuente y Torbellino
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El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A
a lo largo del
contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S
delimitada por C estaacute libre de torbellinos
A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en
Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )
Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )
Campos Mixtos
Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en
un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el
caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo
suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen
En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral
de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales
Campo Fuente Puro
Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 78FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 79FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 80FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 97FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 98FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 100FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 101FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 134FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 135FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 5FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los torbellinos tambieacuten denominadas orificios son liacuteneas de campo con la propiedad de
que estas se cierran alrededor de las liacuteneas del torbellino (fig 1b) Cuando los torbellinos
del campo vectorial A se distribuyen en una superficie S se tiene
A drC
0 (12)
Fig 1 Fuente y Torbellino
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 6FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A
a lo largo del
contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S
delimitada por C estaacute libre de torbellinos
A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en
Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )
Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )
Campos Mixtos
Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en
un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el
caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo
suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen
En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral
de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales
Campo Fuente Puro
Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 48FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 49FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 69FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 71FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 91FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 92FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 93FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 94FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 95FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 96FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 97FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 98FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 100FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 111FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 126FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 134FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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El valor de esta integral es una medida de la circulacioacuten del vector A
a lo largo del
contorno C o de la intensidad del torbellino Si esta integral es nula la superficie S
delimitada por C estaacute libre de torbellinos
A los campo vectoriales podemos diferenciarlos seguacuten su origen en
Campos Fuente Puros ( Campos libres de torbellinos )
Campos Torbellinos Puros ( Campos libres de fuentes )
Campos Mixtos
Un campo libre de fuentes y torbellinos (Campo Homogeacuteneo) puede existir uacutenicamente en
un recinto finito en donde la causa u origen del campo estaacute fuera de este recinto en el
caso ideal en infinito Todo campo vectorial es aproximadamente homogeacuteneo si estaacute lo
suficientemente alejado de la fuente y torbellino que lo producen
En las figuras (2a) y (2b) se indica por medio de la integral de flujo (11) y de la integral
de circulacioacuten ( 12 ) cuaacuteles son los oriacutegenes de ciertos campos vectoriales
Campo Fuente Puro
Fig 2a Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 18FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 19FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 42FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 43FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 44FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 45FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 46FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 47FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 48FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 50FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 52FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 54FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 56FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 57FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 58FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 59FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 60FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 100FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 111FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 115FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 122FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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Campo Torbellino Puro
Campo Fuente-Torbellino
Campo Homogeacuteneo
Fig 2b Clasificacioacuten de los campos vectoriales
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 79FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 98FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 118FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 119FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 122FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 126FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 134FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 135FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 8FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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12 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA INTEGRAL
Las ecuaciones de campo no son otra cosa que las ecuaciones de Maxwell es decir
Forma Integral Forma Diferencial E dr B dS
SC
rotE B (13)
SdDJrdHC S
rotH J D
(14)
D dS dV
VS
divD (15)
B dS
S
0 divB 0 (16)
Ecuaciones para ED
la materia B1H
J E
(17)
(18)
(19)
Las dos primeras ecuaciones de la tabla (13 ndash 14) describen la circulacioacuten de una
variable de campo eleacutectrico y de una variable de campo magneacutetico o sea los torbellinos
de los dos campos Liacuteneas u orificios con 0B
son torbellinos de la intensidad de campo
eleacutectrico E y liacuteneas u orificios con 0 DJ
son torbellinos de la intensidad de campo
magneacutetico
H
El otro par de ecuaciones de campo (15 ndash 16) describe el flujo de unas variables de
campo eleacutectrico y magneacutetico es decir las fuentes de los dos campos
Las ecuaciones de campo describen entonces las fuentes y los torbellinos como el origen o
la causa de los campos eleacutectrico y magneacutetico Dado que un campo vectorial recieacuten a
traveacutes de la informacioacuten de sus fuentes y torbellinos es determinado de una manera uacutenica -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 9FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 91FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 92FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 93FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 94FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 95FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 96FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 97FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 98FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 100FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 101FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 111FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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hasta un campo homogeacuteneo aditivo o sea un campo espacial constante - el nuacutemero de
cuatro ecuaciones de campo no es un resultado de la experiencia sino que es
matemaacuteticamente necesario y suficiente
Se debe resaltar que en las ecuaciones de campo las fuentes y los torbellinos se describen
cada uno con diferentes variables de campo de tal manera que tenemos tambieacuten 4
variables de campo dos eleacutectricas y dos magneacuteticas Esto no es necesario pero si facilita
el poder separar las propiedades de los materiales de las propiedades de los campos
En resumen El campo eleacutectrico es un campo fuente - torbellino Las causas maacutes simples
son las cargas pero tambieacuten una induccioacuten que cambia con el tiempo produce campos
eleacutectricos
El campo magneacutetico es un campo torbellino libre de fuentes La causa maacutes simple de un
campo magneacutetico es una corriente circuital (malla) la cual corresponde a un dipolo
magneacutetico Cargas magneacuteticas hasta lo que se sepa no hay
13 ECUACIONES DE CAMPO EN FORMA DIFERENCIAL
Por medio de los teoremas de Integral de Stokes y Gauss podemos pasarnos a la forma
diferencial de las ecuaciones de campo partiendo de las ecuaciones en forma integral
Para un vector A continuo seguacuten los dos teoremas de integral se tiene
Stokes A dr rotA dS
SC
(110)
Gauss S V
dVAdivSdA
(111)
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El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 44FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 48FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 49FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 90FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 91FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 92FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 93FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 94FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 95FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 96FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 97FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 98FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 100FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 101FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 111FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 115FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 118FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 119FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 122FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 126FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 134FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 135FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 10FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
El vector rot A describe pues la circulacioacuten diferencial de
A alrededor de un elemento
de superficie Sd
y el escalar div A describe el flujo diferencial de
A a traveacutes de un
volumen diferencial dV
Apliquemos el teorema de Stokes al lado izquierdo de las ecuaciones de campo (13ndash 14)
y el teorema de Gauss de igual forma a (15 ndash 16) asiacute obtenemos la forma diferencial de
las ecuaciones de campo
Esta forma diferencial es en su formulismo matemaacutetico especialmente corta y clara
Aunque la solucioacuten de las ecuaciones de campo con frecuencia se presenta difiacutecil siempre
tenemos que ocuparnos de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales vectoriales no
homogeacuteneas y acopladas Se facilita solamente cuando se trata de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden La linealidad permite aplicar el principio de
superposicioacuten para obtener la solucioacuten se superponen fuentes y torbellinos se superponen
tambieacuten sus campos
Para la solucioacuten de las ecuaciones de campo se parte en general de la forma diferencial
La forma integral es fiacutesicamente hablando maacutes ldquovisualrdquo y para la solucioacuten ventajosa
cuando se presentan geometriacuteas sencillas Esto es especialmente del caso cuando un
campo vectorial posee solamente una uacutenica componente que no desaparece la cual en el
intervalo de integracioacuten es constante
14 ECUACION DE LA CONTINUIDAD
En este subcapiacutetulo y el siguiente trataremos como primera consecuencia de la ecuaciones
de Maxwell los teoremas de conservacioacuten de la carga eleacutectrica y de la energiacutea
electromagneacutetica
Obteniendo la divergencia en la ecuacioacuten de campo (14) en la forma diferencial se tiene
)DJ(div)Hrot(div
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 11FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 12FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 13FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 14FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 15FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 16FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 17FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 18FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 19FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 20FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 21FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 22FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 23FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 39FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 40FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 41FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 43FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 44FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 66FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 68FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 69FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 99FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 118FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 122FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 124FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 125FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 126FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 127FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 129FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 130FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 131FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 133FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 134FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 135FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 11FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
y considerando que para un campo vectorial A arbitrario continuo y diferenciable
permanentemente se satisface la siguiente identidad div rotA( ) 0
se obtiene que div J D( )
0 (112)
La ecuacioacuten (112) se conoce como la ecuacioacuten de la continuidad la cual se compone de
la densidad de corriente de conduccioacuten J y la densidad de corriente de desplazamiento
D
Introduzcamos en (112) la ecuacioacuten (15) se tiene
divJ divD 0
divJ 0 (113)
En esta formulacioacuten la ecuacioacuten de la continuidad es el teorema de la conservacioacuten de la
carga eleacutectrica Con el propoacutesito de obtener la forma integral de (113) se obtiene la
integral de volumen a los dos lados o sea
divJdv dvVV
0
Aplicando luego el teorema de Gauss se tiene
0 dvsdJS V
(114)
En un volumen V (contorno del campo) la carga puede cambiar temporalmente solamente
seguacuten la corriente de carga a traveacutes de la carcaza S
La forma integral de (112)
00 sd)DJ(dv)DJ(divSV
(115)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 12FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
se utilizaraacute maacutes adelante para determinar las condiciones de frontera de la densidad de
corriente
15 TEOREMA DE LA ENERGIA
En este capiacutetulo queremos tratar el equilibrio de potencia para un volumen finito en el
contorno del campo El contorno del campo considerado debe poseer tanto conductividad
o sea peacuterdidas (las cuales tienen que constar en el un lado de la ecuacioacuten de equilibrio)
como tambieacuten fuentes de energiacutea o sea fuentes de voltaje pues al resultado que se llega
con fuentes de corriente es el mismo siguiendo un camino anaacutelogo
La corriente tambieacuten puede tener naturaleza no eleacutectrica como por ejemplo origen
quiacutemico en elementos galvaacutenicos Tales oriacutegenes no eleacutectricos podemos describirlos a
traveacutes de un modelo eleacutectrico equivalente con una variable de campo equivalente
especiacuteficamente como una fuente de voltaje por medio de una intensidad de campo eqE
o como una fuente de corriente por medio de una densidad de corriente Jeq Si se
presentan tales fuentes en el entorno del campo considerado tenemos que antildeadir en la
ecuacioacuten de los materiales este efecto asiacute
J E Eeq ( ) (116)
oacute
EJJ eq
(117)
Ademaacutes tenemos que tomar en cuenta que el volumen del campo finito considerado puede
tener una interaccioacuten con su entorno esto es puede aceptar o entregar energiacutea a traveacutes de
su superficie
Desarrollaremos la ecuacioacuten de equilibrio en la forma diferencial y utilizaremos para ello
la densidad de potencia p como variable descriptiva
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La densidad de potencia generada por la fuente es
eqeq EJp
e introduciendo (116) se obtiene
EJJpEJJp eqeq
21
con la ecuacioacuten de campo
J rotH D
se tiene
p J rotH D Eeq 1 2
( )
p J E D E rotHeq 1 2
(118)
La uacuteltima relacioacuten puede transformarse por medio de la siguiente relacioacuten vectorial
HrotEErotH)HE(divE)H(H)E()HE(div)EH()HE()HE(div
(119)
(la flecha indica el teacutermino sobre el cual actuacutea el operador Nabla )
p J E D div E H H rotEeq 1 2
( )
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 14FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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y con la ecuacioacuten de campo rotE B se tiene
)HE(divBHDEJpeq
21
(120)
Integrando sobre el volumen de campo considerado obtendremos el equilibrio de potencia
SmeJeq sdHEPPPP
( (121)
es decir la potencia generada por la fuente es igual a la suma de la potencia debida al
efecto Joule
P J dvJV
1 2
(122)
maacutes la potencia eleacutectrica
P E DdveV
(123)
maacutes la potencia magneacutetica
dvBHPV
m (124)
y maacutes la potencia radiada a traveacutes de la superficie
Para un medio lineal D E
B H
dvE21
tdvEEP 2
VVe
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 15FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
22
21
21 EwE
tp ee
Densidad de energiacutea eleacutectrica
de igual forma para 2mm H
21wP
Densidad de energiacutea magneacutetica
La densidad de flujo de potencia a traveacutes de la superficie
HES
(125)
se denomina el vector de Poynting El significado fiacutesico del vector de Poynting no estaacute
libre de dificultades Nosotros podemos superponer un campo electrostaacutetico en un campo
magnetostaacutetico de tal manera que sea S E H 0 Entonces significariacutea este producto
vectorial una densidad de flujo de potencia que no desaparece aunque esto no es del caso
en campos electrostaacuteticos En realidad se tiene como consecuencia de (119) y con las
ecuaciones en campos electrostaacuteticos libres de corriente que
div S H rotE E rotH 0
y con ello tambieacuten que 0S
SdS
para cualquier superficie S coincidiendo esto con la experiencia
La divergencia de S la cual aparece en el equilibrio de potencia es fiacutesicamente libre de
malentendidos El vector S por siacute mismo en cambio se debe usar con precaucioacuten pues
no estaacute definido de una manera uacutenica al conocer solamente sus fuentes a traveacutes de (121) y
no sus torbellinos
Apliquemos enseguida el equilibrio de densidades de potencia a un entorno de campo
(rango del campo) que no posee fuentes esto es que peq 0 y con un material libre de
peacuterdidas ( 0 y reales) con funciones locales uacutenicas D E y
H B Debido a la
unicidad de las ecuaciones del material las diferenciales totales son
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 16FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
DdEdwe
y BdHdwm
e integrando podemos definir una densidad de energiacutea
D
e DdEw0
B
m BdHw0
con lo que obtenemos
Sdivwwdtd
me
(126)
Que es el teorema de conservacioacuten de la energiacutea En cualquier punto del entorno la
variacioacuten temporal de la densidad de energiacutea es igual al flujo diferencial de la ldquodensidad
de flujo de potenciardquo
16 POTENCIALES ESCALAR Y VECTORIAL
La ecuacioacuten de campo divB 0 satisfagamos con la siguiente consideracioacuten
B rotA (127)
reemplacemos eacutesta en la ecuacioacuten de campo rotE B
0AErotArotErot
(128)
y asiacute mismo satisfagamos esta ecuacioacuten con la siguiente consideracioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 17FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
AgradVE (129)
Las ecuaciones (127) y (129) son las definiciones del potencial vectorial magneacutetico y del
potencial escalar eleacutectrico respectivamente
Formulando (127) en forma integral se tiene
B dS rotA dS
S S
y aplicando Stokes se llega a
Adr B dS
C S (130)
o sea que el vector A es un campo-torbellino Las liacuteneas de induccioacuten son liacuteneas tipo
torbellino de A O formulando de otra manera Las liacuteneas de campo de
A encierran a la
liacuteneas de campo de B (ver figura 3)
Fig 3 Liacuteneas de induccioacuten como liacuteneas de torbellino del potencial vectorial
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 18FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La circulacioacuten del potencial vectorial a lo largo de una curva cerrada ldquocrdquo es igual al flujo
magneacutetico a traveacutes de la superficie S encerrada por la curva c
161 AJUSTE DE LOS POTENCIALES
Los dos potenciales no son definidos en forma uacutenica por (127) y por (129) Para el
potencial vectorial A reconocemos enseguida que hasta aquiacute solamente se han definido
sus torbellinos pero no sus fuentes Dado que los campos continuos son uacutenicos y que los
potenciales son solamente variables auxiliares para calcular los campos los que deben
satisfacer las ecuaciones de campo debemos imponer condiciones adicionales a los
potenciales para hacerlos uacutenicos Se define este proceso como ajuste de los potenciales
Nosotros mostraremos a continuacioacuten de una manera expliacutecita la no unicidad de los
potenciales Para ello consideremos que conocemos un par de potenciales V A
con sus
respectivos campos
ArotB
AgradVE
Construyamos con una funcioacuten escalar F r t arbitraria que posea la segunda derivada
el par de potenciales nuevo de la siguiente manera
gradFAA
FVV
Esto conduce al mismo campo asiacute
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 19FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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B=Arot=Frotgrad+Arot=)Fgrad+A(rot=Arot=B
E=A-Vgrad-=Fgrad-A-Fgrad+Vgrad-=E
)Fgrad+A(-)F-V(grad-=A-Vgrad-=E
El potencial escalar es asiacute uacutenico (invariante) a la derivada con respecto al tiempo de un
campo escalar F arbitrario y el potencial vectorial es invariante al gradiente del mismo
campo escalar Nosotros podemos utilizar entonces el campo escalar F para ajuste de los
potenciales esto es introducir una condicioacuten maacutes la cual debe satisfacer las ecuaciones de
campo Al definir solamente las ecuaciones como hemos visto los torbellinos del
potencial vectorial A nosotros podemos elegir libremente las fuentes de
A La
consideracioacuten maacutes sencilla es
div A = 0 (131)
que es conocida como el ldquoajuste de Coulombrdquo
Debemos demostrar enseguida que por medio de este ajuste la funcioacuten de ajuste F(r t)
estaacute determinada Para ello supongamos que el par de potenciales V A
no satisfacen el
ajuste del Coulomb
div A
0
Entonces divA div A dF gra 0
0FAdiv 2
2 AdivF
En el caso que se conozcan los potenciales desajustados Vrsquo A lo cual significa tambieacuten
que se conoce la div A obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de la ecuacioacuten
diferencial de Poisson En todo caso debemos disponer de una constante por medio de
una normalizacioacuten apropiada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 20FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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LAS ECUACIONES DE POTENCIAL
Con
AVgradAgradVArotrot
AgradVEAxBH
EEDJHx
1
11
ademaacutes con
3212
2
2
2
2
2
VAdivgradEAA
VAdivgradgradVAAA
VVAdivgradAAA
VgradgradVAdivgradAAA
AVgradAgradVAAdivgrad
AAdivgrad
AgraddivAdivgradArotrot
Por otro lado
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 21FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
33122 AdivVAdivV
AgradVdivEdivDdiv
Introduciendo la condicioacuten de Lorentz divA u V (134)
se tiene
331
321
2
2
VV
JAA
Sea f(xyzt) una onda que se propaga con velocidad v entonces la ecuacioacuten diferencial
de esa onda es
)fzyx(gfv1f 2
2
comparando se tiene
1v (135)
Para el espacio libre 0
1
cv
velocidad de la luz en el espacio libre
Se define mFx
mFx
mH 129
07
0 1085481036
1104
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
2 LA ONDA PLANA
En este capiacutetulo queremos deducir las ecuaciones de onda para los vectores de intensidad
de campo E y
H a partir de las ecuaciones de Maxwell
21 LA ECUACION DE ONDA
Nos limitaremos a un medio ilimitado isotroacutepico homogeacuteneo y lineal Las variables del
material son escalares independientes de la posicioacuten en todo el entorno del campo
infinito
cte
Ademaacutes supondremos que en el finito no hay distribuciones de carga que puedan originar
un campo fuentes de voltaje o de corriente
000 eqJeqE
Con ello las ecuaciones de Maxwell resultan ser
DJHrot
BErot
)12(0
0
Bdiv
Ddiv
Como se vio en el capiacutetulo anterior podemos obtener un desacoplamiento de los campos
magneacutetico y eleacutectrico por medio de la realizacioacuten de un rotacional en las dos primeras
ecuaciones de campo
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BrotErotrot
EE
DJHrotHrot
BBErotErotDJrotHrotrot
HH
Ademaacutes con rot rotA d divA A gra 2 se tiene
000
)22(
2
2
eqeq JE
cte
HHH
EEE
Para medios aislantes 0 los campos de ondas son
0)32(
0
02
2
HH
EE
Si es una componente cartesiana arbitraria de los vectores de campo E o H se
tiene
22
10
1
vsiendo v
(24)
A la ecuacioacuten (24) se la conoce como ecuacioacuten de onda
22 SOLUCION DE DrsquoALEMBERT
Como una solucioacuten sencilla e inicial de la ecuacioacuten de onda (24) que muestra las
propiedades de una onda busquemos una solucioacuten en la que a maacutes del tiempo t dependa
Mas condiciones de (22)
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de una sola coordenada cartesiana z
012
2
22
2
tvz
)tz(
(25)
o sea
0
vtzvtz
con el cambio de variables
vt
z
z
z
zvtzvt
1
1(26)
obtenemos
zzz
vtvtvt
y con esto la ecuacioacuten de onda queda como
0
02
Su solucioacuten
zvtgzvtftz
gf
(27)
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se denomina la solucioacuten de DrsquoAlembert
Siendo f y g dos funciones arbitrarias y diferenciables dos veces en forma continua En la
solucioacuten general aparece una constante de integracioacuten la cual no consideramos pues eacutesta
describe un campo constante en posicioacuten y tiempo
Analizaremos enseguida una de las soluciones parciales
f vt z (28)
En la fig 4 se tienen dos eventos de esta solucioacuten para los tiempos t1 y t t t2 1 como
funcioacuten de la variable posicional z
1 1 f vt z
2 2 1 f vt z f v t vt z( ) ( )
al desplazarse tvzzzen 121 se superponen los dos sucesos pues le toma el
tiempo t es decir
f vt z f vt v t z v t f vt z( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2
Puntos correspondientes a los dos sucesos tienen tambieacuten la separacioacuten constante v t
Con otras palabras La funcioacuten de posicioacuten se ha movido z v t en la direccioacuten
positiva de z durante el tiempo t sin distorsioacuten
Definicioacuten de onda Si existe alguacuten evento en alguna regioacuten espacial a un cierto tiempo y
si dicho evento se presenta en alguna otra regioacuten espacial despueacutes de haber transcurrido
cierto tiempo y si la distancia entre los dos sitios de ocurrencia de dicho evento es
proporcional a la diferencia de tiempo (z t) se dice que dicho evento constituye una
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
onda La constante de proporcionalidad entre la separacioacuten y el tiempo constituye la
velocidad de propagacioacuten (fase)
Fig 4 Sucesos de la solucioacuten f(vt - z)
A esto es lo que se denomina una onda y al argumento (vt -z) de la funcioacuten posicioacuten -
tiempo se le llama fase de la onda Superficies de fase constante se denominan superficies
de fase En el presente caso son planos de fase
vt - z = constante (29)
Una onda con superficies de fase planas se denomina onda plana La velocidad con la que
las superficies de fase se mueven a traveacutes del espacio se denomina como velocidad de
fase la cual de (29) resulta ser
vdt -dz = 0 vdtdz
(210)
La velocidad de fase de la onda seguacuten la ecuacioacuten (24) depende de las variables del
material del medio de propagacioacuten En el vaciacuteo es la velocidad de fase de una onda
electromagneacutetica ideacutentica a la velocidad de la luz c o o 1
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La onda parcial f(vt-z) de la solucioacuten general (27) tiene asiacute un plano de fase z = cte que se
mueve en la direccioacuten positiva de z con velocidad v La onda parcial g(vt+z) tiene el
mismo plano de fase con la misma magnitud de la velocidad de fase la cual tambieacuten
como es obvio depende solamente del medio de propagacioacuten La uacutenica diferencia es que
para el plano de fase para esta onda parcial se tiene
v-=dtdz0=dz+dtv
es decir el plano de fase se mueve en la direccioacuten negativa de z
La solucioacuten total de DacuteAlambert (24) consiste de la superposicioacuten de las dos ondas
parciales las cuales se propagan a lo largo del eje z la una en el sentido positivo y la otra
en el sentido negativo Dado que la causa del campo de las ondas lo habiacuteamos colocado
en infinito y que nos habiacuteamos limitado uacutenicamente a la dependencia espacial de z en
efecto hay estas dos posibilidades que el transmisor se encuentre en z - y que la
onda se propague en el sentido positivo de z o que el transmisor se encuentre en z +
y que la onda se propague en el sentido negativo de z Debido a la linealidad de las
ecuaciones de Maxwell se superponen estas dos ondas parciales aditivamente Tal
superposicioacuten de ondas conduce a una multiplicidad de manifestaciones como Ondas
estacionarias dispersioacuten e interferencia de ondas de lo cual nos ocuparemos maacutes
adelante
La solucioacuten total (24) al poseer dos ondas parciales las cuales se diferencian uacutenicamente
por el sentido de propagacioacuten nos permite manejar una de las dos Nos limitaremos en lo
que viene a continuacioacuten a la propagacioacuten de las ondas en el sentido positivo de z
Entonces para los dos vectores de campo se tiene
-= zvtEE
(211)
-= zvtHH
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Dado que el campo en el plano de fase es constante o sea homogeacuteneo se denomina a la
onda como ldquoonda homogeacutenea planardquo Para ondas no homogeacuteneas a maacutes de la funcioacuten
de fase se tiene una dependencia espacial de la amplitud por ejemplo E = A(x y) f(vt - z)
(ejemplo dipolo de Herzt-onda esfeacuterica no homogeacutenea)
23 TRANSVERSALIDAD E IMPEDANCIA DE ONDA
Introduciendo ahora la solucioacuten de DacuteAlambert (211) en las ecuaciones de Maxwell
(21) especiacuteficamente en las dos divergencias se tiene
21200
x0=
00x
0=
zHz
zzvtHz
yzvtHyzvtHxHdiv
zEz
zzvtEz
yzvtEyzvtExEdiv
conz
Ezz
Ezvt
EzvtEz
se tiene que 21300 vtHz
vtEz
Las ecuaciones (212) y (213) expresan que en la direccioacuten de propagacioacuten solamente puede existir un
campo independiente de tiempo y de la posicioacuten es decir un campo estaacutetico homogeacuteneo Este tipo de
campo carece de intereacutes en el proceso de una onda y por ello lo separamos y podriacuteamos asumir que
Ez = 0 y Hz = 0
expresando en forma vectorial
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0=
2140=
HyHxH
EyExE
Los vectores de campo estaacuten perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten Por ello a
este tipo de onda se denomina onda transversal
De las ecuaciones de Maxwell del rotacional ( = 0) se tiene
215a-=
-=-
0+--
+-=
0
vtHyv
zEx
vtHxv
zEy
zytHyx
tHxErot
zy
Exx
Eyyz
Exxz
Ey
EyExzyx
zyx
Erot
aaa
aaa
aaa
215b-=
-=-
+-
0+--
vtEyv
zHx
vtExv
zHy
zy
Hxx
Hyyz
Hxxz
HyHrot
zytEyx
tExHrot
aaa
aaa
Dado que para cada componente cartesiana ( vt - z ) se tiene que
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216-=zvt
y que seguacuten (24) v =1 v se tiene que los dos pares de ecuaciones 215a y 215b son
ideacutenticas en cruz
Entonces de (215a) y de (216) obtenemos
0=HyExzz
yHv-=z
Ex
0Hx-Eyzz
xHv=z
Ey
Seguacuten (216) desaparece tambieacuten la derivada con respecto a vt en la expresioacuten entre
pareacutentesis Separando nuevamente aquiacute un campo estaacutetico homogeacuteneo del proceso de una
onda obtenemos
217-=+= HxEyHyEx
la variable 218=Z
tiene la dimensioacuten de una impedancia y se denomina impedancia de onda del medio de
propagacioacuten La impedancia de onda para el vaciacuteo es Zo 377
Es decir tenemos dos pares de constantes del vaciacuteo que son equivalentes uno respecto el
otro especiacuteficamente o y o y c Zo Resumiendo los resultados se tiene para la onda
transversal homogeacutenea plana
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0H
(219)0E
ZzvtEx
ZzvtEy
zvtEyzvtEx
Para una onda electromagneacutetica las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico no son
independientes una de la otra sino que estaacuten relacionadas por medio de la impedancia de
onda O sea que se tiene dos grados de libertad especiacuteficamente Ex y Ey o magnitud y
direccioacuten del vector de campo eleacutectrico Los dos dependen del transmisor a traveacutes de su
intensidad y polarizacioacuten
Con (217) y (219) podemos obtener la magnitud y la direccioacuten de la intensidad de campo
magneacutetico
2210Z
Ey-Ex=
22022
22
ZExEy
EyHyExHxayHyaxHxayEyaxExHE
ZE
ZExEyHyHxH
Los dos vectores no solo que son perpendiculares a la direccioacuten de propagacioacuten sino que
tambieacuten son perpendiculares entre siacute Los dos vectores conjuntamente con la direccioacuten de
propagacioacuten forman un eje de simetriacutea tridimensional ortogonal
El conocimiento que la onda electromagneacutetica es una onda transversal y que su velocidad
de fase en el vaciacuteo es igual a la velocidad de la luz condujo a Maxwell en 1864 a la
suposicioacuten que las ondas de luz son ondas electromagneacuteticas La comprobacioacuten
experimental la logroacute en 1888 Heinrich Hertz
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24 ONDA ARMOacuteNICA CON DIRECCIOacuteN DE PROPAGACIOacuteN ARBITRARIA
A continuacioacuten queremos considerar ondas perioacutedicas continuas con una funcioacuten de fase
armoacutenica Dado que el argumento (fase) tiene la dimensioacuten de longitud obtenemos con
una longitud de normalizacioacuten lo siguiente
z t A vt z cos 2
donde A es la amplitud de la onda y la longitud perioacutedica espacial o longitud de onda
(ver figura 5) El nuacutemero de longitudes de onda contenido en un camino de 2 unidades
de longitud se denomina como nuacutemero de onda y es
2222=k
La longitud perioacutedica temporal se denomina duracioacuten de la oscilacioacuten o periacuteodo
223v
T
y la cantidad de oscilaciones en 2 unidades temporales se denomina frecuencia angular
0 z
A
Fig 5 Periodicidad Espacial de Onda Armoacutenica
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2242T2= f
con estas tres relaciones (222 ndash 224) se tiene para la onda armoacutenica
225acos kztAtz
o en su representacioacuten compleja la cual para ondas armoacutenicas es apropiada
225beRetz zk -t wjA
Para la velocidad de fase de la onda armoacutenica obtenemos
226k
=cte
fasedt
dzv
Una onda armoacutenica tiene una frecuencia y un nuacutemero de onda fijo y con ello seguacuten
(226) una velocidad de fase fija Por ello tambieacuten se denomina a esta onda como onda
monocromaacutetica Una onda monocromaacutetica pura es una abstraccioacuten pues ella es ilimitada
espacial y temporalmente En la realidad se tiene que ver con la superposicioacuten de ondas
monocromaacuteticas La relacioacuten (226) entre las magnitudes de periodicidad y k se
denomina relacioacuten de dispersioacuten aunque las manifestaciones de dispersioacuten recieacuten
aparecen con la superposicioacuten de ondas de frecuencia diferente
Nosotros queremos tratar enseguida una onda plana homogeacutenea transversal y armoacutenica
para cualquier direccioacuten de propagacioacuten la cual no coincide con un eje cartesiano
Designemos con n al vector unitario en la direccioacuten de propagacioacuten el cual al mismo
tiempo es la normal al plano de fase y denominemos como vector nuacutemero de onda o
tambieacuten vector de onda a (ver fig 6)
227n2=n
kk
x
y
z
Pk
r
Fig6 Onda plana armoacutenica con una direccioacuten de
direccioacuten de propagacioacuten
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Planos de fase son los lugares geomeacutetricos de todos los puntos P para los cuales se tiene
cte=rk-t
con lo que obtendremos para los vectores de campo
rk-t H=H
228rk-t E=E
Al ser el producto escalar invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas
ortogonales se tiene tambieacuten aquiacute
0=HE0=Hk0=Ek
Asiacute podemos resumir estas relaciones de direccioacuten con la relacioacuten de magnitud (220)
ZkEx k=H
(229)
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Para una dependencia armoacutenica del tiempo podemos asumir que
HHEE
HjHEjE
eeHeHH
eeEeEEtjrkjrktj
tjrkjrktj
22
Las Ecuaciones de Maxwell quedariacutean como
0
Bdiv
DdivDjJHrotDjJHrotDJHrot
BjErotBjErotBErot
Para (22) se tiene
00022
22
eqeq JEcte
HjHH
EjEE
HjHHEjEE
22
22
Para (23) se obtiene
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0
0
)22(00
0
22
22
22
22
HH
EE
descondicioneHH
EE
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3 ENERGIA DE UNA ONDA PLANA
Toda onda estaacute relacionada con el transporte de energiacutea Para la onda electromagneacutetica se
describe este mediante el campo del vector de Poynting
31FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS SIN PERDIDAS
Para una onda plana transversal con una direccioacuten de propagacioacuten arbitraria k
se tiene la
relacioacuten (229) entre los vectores de campo Con esto obtenemos para el vector de
Poynting
Zk)Ex k(x E=Hx E=S
)BA(C-)CA(B=Cx Bx A
2Ek=)kE(E-)EE(k=Ex kx E
kkHZ
kk
ZE=S 2
2
(31)
El transporte de energiacutea se lleva a cabo en la direccioacuten de propagacioacuten como fiacutesicamente
se espera
La velocidad del transporte de energiacutea ligado con la onda denomineacutemosla velocidad de la
energiacutea VE Con el propoacutesito de obtener una expresioacuten para VE consideremos un elemento
de volumen (ver fig 41) de longitud dl en la direccioacuten de propagacioacuten de aacuterea transversal
A y cuyo contenido de energiacutea es
dW = w A dl
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La magnitud de la densidad de flujo de potencia S es la energiacutea por unidad de tiempo que
pasa por la unidad de superficie
Sabiendo que dl = VE dt
se obtiene para Ew V=dtA
dlw A =dtA
dW=S
Entonces wSVE (32)
En un medio lineal se tiene 2222 H=HZE
con lo que la densidad de energiacutea
2222 HEH2
E2
=w
Con (31) se tiene para la velocidad de la energiacutea
V1HHZ
wSV 2
2
E
(33)
dW
k
A
dl = VE dt
Fig41 Elemento de volumen para
obtener la velocidad de la energiacutea
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 39FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Finalmente queremos tratar la dependencia del tiempo y la densidad de flujo de energiacutea de
una onda armoacutenica
De (31) con E E cos (wt - k r)o
se tiene
S1Z
E cos (wt - k r) kko
2 2
kk)]rk2-(2wtcos+[1E
2Z1S 2
o
(34)
La densidad de flujo energeacutetico cambia con el doble de la frecuencia de la onda Debido a
la componente DC la magnitud de S nunca es negativa De especial intereacutes es el valor
promedio en el tiempo de la magnitud sobre un periacuteodo completo de la onda el cual se le
denomina como Intensidad de la onda
2o
2o H
2ZE
2Z1=S(t)=I (35)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 40FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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4 CONDICIONES DE BORDE
En este capiacutetulo queremos obtener para las variables de campo maacutes relevantes las
condiciones de borde a partir de las ecuaciones de Maxwell
Para ello consideremos una superficie que limite a dos medios 1 y 2 como una pared de
espesor finito h ( ver figura 41) Separemos al vector de campo A a los dos lados en
una componente normal An la cual describe el flujo de A a traveacutes de la pared y en una
componente tangencial At la cual describe la circulacioacuten de A alrededor de la pared
Para estudiar el comportamiento de An (At) en la separacioacuten debemos aplicar una ecuacioacuten
de integral de flujo (una ecuacioacuten de circulacioacuten para el vector A) a una parte diferencial
de la pared y el espesor de la pared dejarle que tienda a cero Con ello deben considerarse
solamente las propiedades de la pared de separacioacuten y no de los medios
An2
At1
An1
At2
h1 2
Fig 41 Graacutefico para demostrar las condiciones de Borde
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41 CONDICIONES DE BORDE DE E
Utilizando la ecuacioacuten de campo S
sdBrdE a un contorno infinitesimal (ver
fig 42) y considerando que la superficie de separacioacuten cuando h 0 no puede llevar
ninguacuten flujo magneacutetico
0)drEt-t(E
drtEdrtErdElim
Q
P21
P
Q2
Q
P10h
Dado que esto es independiente de los liacutemites de integracioacuten P y Q se tiene que la
componente tangencial de la intensidad de campo eleacutectrico es continua en la separacioacuten de
los medios pues
Et1 = Et2 (41)
Fig 42 Contorno y superficies infinitesimales
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42 CONDICIONES DE BORDE DE
H
En un conductor perfecto () la intensidad de campo es cero para cualquier densidad
de corriente finita La mayoriacutea de conductores poseen un valor finito para la
conductividad Sin embargo la conductividad puede ser muy grande y para muchas
aplicaciones praacutecticas es uacutetil asumir que ella es infinita Como demostraremos maacutes
adelante la profundidad de penetracioacuten en un conductor de un campo eleacutectrico alterno y la
corriente producida por el campo decrece con el incremento de la conductividad Asiacute en
un conductor bueno una corriente de alta frecuencia fluiraacute en una placa (pelicular) cerca
de la superficie La profundidad de esta placa se aproxima a cero conforme la
conductividad se aproxima a infinito Esto da lugar a un nuevo concepto uacutetil la placa de
corriente En una placa de corriente fluye una corriente finita por unidad de espesor JS
pero se requiere una densidad de corriente J infinitamente grande
En forma anaacuteloga partiendo de S
sd)D+J(rdH y considerando que la superficie
de separacioacuten para el caso esto es J puede fluir una densidad de corriente
superficial es decir
J s =
mA=]sJ[hJlim
J0h
rdHlim
0h
S
sdJlimJ
0h
drJs)drHt-t(HQ
P21
Ht1 - Ht2 = 0 para
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 43FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Js
Js es la componente de la densidad de corriente superficial perpendicular a Ht
43 CONDICIONES DE BORDE DE D
La ecuacioacuten de campo vS
dVsdD apliqueacutemosla a una superficie infinitesimal
(cascara o carcaza) y considerando que la superficie de separacioacuten puede llevar una
densidad de carga superficial
hlimhS
0
Vh
Sh
dVlimsdDlim
00
SS
SS
DnDndSds)DnDn( 2121
Dn1-Dn2 = S (43)
44 CONDICIONES DE BORDE DE B
Anaacutelogamente si aplicamos la ecuacioacuten de campo homogeacutenea sdB
0 a una superficie
infinitesimal obtenemos
Sh
ds)BnBn(sdBlim 0210
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Bn1- Bn2 = 0 (44)
45 CONDICIONES DE BORDE DE J
Asimismo si aplicamos la ecuacioacuten homogeacutenea de la continuidad a una superficie
infinitesimal obtenemos
00
S
hsd)DJ(lim
S
sd]n)DJ(n)DJ[( 021
021 n)DJ(n)DJ( (45)
Introduciendo (43) en (45) se tiene
02121 )nDnD()JnJn(
021 S)JnJn(
S)JnJn( 21 (46)
La componente normal de la densidad de corriente total es continua seguacuten (45) La
componente normal de la densidad de corriente de conduccioacuten al contrario cambia en la
superficie de separacioacuten con una densidad de carga superficial dependiente del tiempo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
46 CONDICIONES DE BORDE DE S
Aquiacute apliquemos la integral de equilibrio de potencia (121) a una superficie infinitesimal
y considerando que la superficie de separacioacuten no puede llevar campos eleacutectrico y
magneacutetico fuentes de potencia y que puede disipar potencia (Efecto Joule) solamente para
01 2
0
sv
sdSdVJlimh
00
sv
sdSdVJElimh
0 sdSsdJEss
021 SnSnJE st
paraJEfinitopara
SnSnst
021 (47)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Ejemplo Una resistencia se conecta por medios conductores ideales ( ) a una
fuente DC Dar la direccioacuten de los vectores de campo SyHEJ
en la resistencia en los
conductores y en el medio circundante si ( = 0)
J E
E = 0 J S = 0
E = 0 J S = 0
H
Hxxo
o
xxo
o
o oxx+
- E
S
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
5 POLARIZACION
Aunque la magnitud y la direccioacuten de la oscilacioacuten de las intensidades de campo
electromagneacutetico como lo habiacuteamos anotado ya son determinadas por el transmisor
podemos aquiacute discutir las posibles direcciones de oscilacioacuten
El tipo de onda maacutes simple que se presenta es cuando la direccioacuten de oscilacioacuten de la
intensidad de campo eleacutectrico E y con ella tambieacuten la intensidad de campo magneacutetico H
se conserva espacialmente para cualquier tiempo Tal tipo de onda se denomina onda con
polarizacioacuten lineal Escojamos un sistema de coordenadas cartesianas de tal manera que
la direccioacuten de propagacioacuten sea en el sentido de z y que la direccioacuten de oscilacioacuten de
E sea en el sentido de x asiacute seguacuten
kZEkH
la direccioacuten de oscilacioacuten de H
debe ser en
el sentido de y (ver fig 51)
00kztEE x
00 Z
kztEH x (51)
Fig 51 Onda plana con polarizacioacuten lineal
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En cambio para el caso maacutes general la intensidad de campo eleacutectrico de una onda plana
transversal que se propaga en la direccioacuten de z puede poseer las dos componentes Ex y Ey
con amplitudes diferentes A B y un aacutengulo de fase es decir
Ex = A cos (t - kz)
Ey = B cos (t - kz + ) (52)
Es suficiente que consideremos solamente el caso de E
pues el H
es correspondiente
Nosotros debemos agrupar las dos componentes para obtener el vector de intensidad de
campo resultante Queremos determinar la curva que describe la flecha de este vector en
un plano espacial fijo z = z0 mientras transcurre el tiempo la cual nos proporcionara un
graacutefico de la variacioacuten temporal de la direccioacuten de oscilacioacuten
En lugar del paraacutemetro del tiempo t introduzcamos un nuevo paraacutemetro para la curva de
la siguiente manera
t - k z0 = -2
con esto las dos ecuaciones (52) se vuelven simeacutetricas
EA
x cos ( - 2
) = cos 2
cos + sen 2
sen
EB
y cos ( + 2
) = cos 2
cos - sen 2
sen
De lo que obtenemos una representacioacuten parameacutetrica de la curva buscada
A
E x B
E y 2 cos 2
cos
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
EA
x EB
y 2 sen 2
sen
Que es la representacioacuten parameacutetrica de una elipse cuyo eje principal no estaacute en las
direcciones de los ejes de coordenadas ldquoXrdquo y ldquoYrdquo Efectivamente con la identidad
trigonomeacutetrica sen2 + cos2 = 1 obtenemos la ecuacioacuten de la elipse
1
22
22
22
senBE
AE
cosBE
AE yxyx
(53)
La flecha del vector E
de una onda plana armoacutenica en general describe una elipse (ver
fig 52) en un plano que es perpendicular a la direccioacuten de propagacioacuten Lo mismo es
vaacutelido para el vector de intensidad de campo magneacutetico H Por ello a este tipo de onda
se la denomina onda polarizada eliacutepticamente
Fig 52 Direccioacuten de oscilacioacuten de una onda con polarizacioacuten
Se habla de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro izquierdo cuando mirando en la direccioacuten de
propagacioacuten la flecha del vector E
gira hacia la izquierda o sea en contra de las
manecillas del reloj y de una polarizacioacuten eliacuteptica de giro derecho cuando sucede lo
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opuesto La frecuencia de giro naturalmente es ideacutentica a la frecuencia de la onda El
sentido de giro de la polarizacioacuten depende del aacutengulo de fase Esta dependencia la
discutiremos a continuacioacuten para los casos especiales de la polarizacioacuten eliacuteptica general a
los cuales pertenece tambieacuten la polarizacioacuten lineal
1) = 0 ()
con lo que la ecuacioacuten de la elipse (53) se reduce a
que corresponde a ecuaciones de una recta es decir obtenemos una onda con polarizacioacuten lineal (ver fig 53)
2)
La ecuacioacuten (53) quedariacutea como
Que es la ecuacioacuten de una elipse en la representacioacuten de ejes principales (ver fig 53) Los
dos casos = 2 y = 32 se diferencian uacutenicamente mediante el sentido de giro
contrario del vector
012
102
cossen
0BEy
AEx
23
2
21
2222 cossen
02
2
2
2
BEy
AEx
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Esta direccioacuten de giro se obtiene al suponer que la componente Ey se adelante a la
componente Ex en el aacutengulo de fase Con lo que se obtiene para el sentido de giro de la
polarizacioacuten visto en el sentido de la direccioacuten de propagacioacuten
0 lt lt polarizacioacuten con giro izquierdo
lt lt 2 polarizacioacuten con giro derecho
Fig53 Casos especiales de polarizacioacuten Eliacuteptica
Ademaacutes si B = A entonces la flecha del vector E
dibuja el ciacuterculo
Ex2 + Ey2 = A2
y la onda se denomina con polarizacioacuten circular
Finalmente se puede antildeadir que la onda polarizada eliacutepticamente (52) y tambieacuten el caso
especial de polarizacioacuten circular puede generarse por medio de la superposicioacuten de dos
ondas las que son linealmente polarizadas y perpendiculares una con respecto a la otra
Para la intensidad de campo eleacutectrico las dos ondas parciales seriacutean seguacuten (52)
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A la inversa podemos dividir tambieacuten la onda polarizada eliacutepticamente en dos ondas
parciales polarizadas linealmente y perpendiculares entre siacute Al incidir una onda plana
perpendicularmente en una reja la que estaacute construida de alambres paralelos la
componente de la onda cuya polarizacioacuten es paralela a los alambres de la reja se absorbe
mientras que la componente cuya polarizacioacuten es perpendicular a dichos alambres
atraviesa la reja (ver fig 54) A esto es lo que se denomina un filtro polarizado La
constante de la reja debe ser del orden de la longitud de onda Al incidir la onda en
general con polarizacioacuten eliacuteptica sobre un filtro polarizado en cruz o sobre una malla
aparece una completa absorcioacuten es decir un blindaje del campo electromagneacutetico
Fig 54 Accioacuten de un filtro polarizado
00
00
2
1
kztcosBE
kztcosAE
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6 SUPERPOSICION DE ONDAS PLANAS
En este capiacutetulo nos ocuparemos de las manifestaciones de aparecen con la superposicioacuten de ondas planas
Para lo cual en general no tiene importancia si las ondas parciales se originan en fuentes independientes o
por medio de un divisioacuten de un campo de onda de una sola fuente
A este tipo de manifestaciones o fenoacutemenos pertenecen junto a las ondas estacionarias en
especial ondas perioacutedicas y sentildeales las cuales las podemos juntar como grupos de onda o
conformar como un paquete de ondas constituidos de componentes armoacutenicas
(componentes de Fourier)
61 ONDA ESTACIONARIA
Un tipo especial de onda aparece con la superposicioacuten de dos ondas planas armoacutenicas y
linealmente polarizadas las cuales uacutenicamente difieren en que poseen una velocidad de
fase en magnitud igual pero de direccioacuten contraria y una diferencia de fase Hagamos
para las dos ondas parciales la consideracioacuten
kztAExkztAEx
coscos
2
1
cambiando de variable
2acute kzkz
obtenemos
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kztAEx
kztAEx
2cos
2cos
2
1
y la onda resultante seraacute
Ex = Ex1 + Ex2
2cos
2cos2
kztA (61)
Esto es un proceso ondulatorio con una amplitud dependiente del tiempo y con planos de
fase espacialmente fijos es decir estacionarios Asiacute
constantekz 2
A este tipo de onda se denomina onda estacionaria
La ecuacioacuten (61) representa en especial una onda estacionaria linealmente polarizada
Superponiendo dos ondas estacionarias cuyas polarizaciones lineales son perpendiculares
se puede obtener tambieacuten ondas estacionarias con polarizacioacuten circular o eliacuteptica
Ondas estacionarias se producen por ejemplo cuando una onda plana incide
perpendicularmente sobre una superficie ndash liacutemite plana reflectora
72 GRUPO DE ONDAS
Como ya hemos visto la onda plana armoacutenica y monocromaacutetica es una abstraccioacuten pues
ella es sin liacutemites temporal y espacial debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell
podemos obtener una solucioacuten o sea una onda no armoacutenica como una composicioacuten de
Fourier de ondas armoacutenicas con diferente frecuencia o nuacutemero de onda o tambieacuten
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separar en las componentes individuales de Fourier He aquiacute la importancia de las ondas
armoacutenicas
La superposicioacuten de ondas armoacutenicas de diferente frecuencia o nuacutemero de onda se
denomina como un grupo de ondas o tambieacuten como un paquete de ondas
Por simplicidad tratemos aquiacute solamente la superposicioacuten de ondas armoacutenicas con la
misma direccioacuten de propagacioacuten y la misma polarizacioacuten lineal pero con diferente
nuacutemero de onda y amplitud Entonces la intensidad de campo del grupo de ondas
resultante escrita en forma compleja se expresa como
maacutex
miacuten
Rek
k
kztj dkekAtzE (62)
Se hace caer en cuenta que en la relacioacuten (226) la frecuencia depende complicadamente
de la variable de integracioacuten de la siguiente forma
kvk (63)
Dado que la funciones () y () no pueden darse en teacuterminos generales debemos aquiacute
renunciar a la integracioacuten expliacutecita y nos limitamos a una discusioacuten cualitativa del paquete
de ondas
Considerando un grupo de ondas con una banda k
k miacuten lt k lt k maacutex
cuyo ancho es pequentildeo comparado con el nuacutemero de ondas ko en el medio de la banda
Con una transformacioacuten de variables se tiene
k = ko + k k ltlt ko (64)
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Entonces la ecuacioacuten (63) supuestamente conocidas las funciones () y () podemos
desarrollarla en una serie de Taylor y eacutesta interrumpirla despueacutes del teacutermino lineal es
decir
okk
o kkdkdkk
o
kdkdk
okko
(65)
Introduciendo (64) y (65) en (63) se tiene
kk o acute okkdk
d
acute
y para (62)
maacutex
miacuten
acuteRek
k
zkktkjo kdekkAtzE oo
o
o
oo
kk
kk
kztkjo
zktj kdekkAetzEmaacutex
miacuten
acuteRe (66)
Como resultado hemos obtenido una onda portadora con modulacioacuten de amplitud (ver
figura 61) La onda portadora es la onda cuya funcioacuten de fase es constante es decir la
onda con los valores centrales de la banda (o ko)
La modulacioacuten de amplitud estaacute dada por medio de la integral en la expresioacuten (66) Para
un observador que viaja en la envolvente del grupo de ondas la modulacioacuten de amplitud
es constante o sea
ctekztdkdk
okk
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De ahiacute se obtiene para su velocidad
okkcteMA dkd
dtdzVg
(67)
Esta velocidad de la envolvente del grupo de ondas se denomina velocidad de grupo
Fig 61 Grupo de onda
63 DISPERSION
En un grupo de ondas de la velocidad de fase v de cada componente de Fourier puede ser
independiente de la frecuencia es decir constante o dependiente de la frecuencia seguacuten el
medio en el cual se propaga el grupo de ondas
En el primer caso se denomina al medio sin dispersioacuten y en el segundo dispersivo Por lo
tanto
dispesivosmediospara0dispersioacutendelibresmediospara0
ddv (68)
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En medios no dispersivos tienen todas las componentes de Fourier la misma velocidad de
fase y con ella la envolvente del grupo de ondas la misma velocidad esto es la velocidad
de grupo y la velocidad de fase son ideacutenticas
Vg = v (69)
En cambio si el medio es dispersivo tienen las ondas individuales del grupo diferente
velocidad de fase la cual es dependiente de la frecuencia La velocidad de grupo debe
depender a maacutes de la velocidad de fase tambieacuten de la variacioacuten de la velocidad de fase
con respecto a la frecuencia
ddvvfVg
Con el propoacutesito de establecer esta relacioacuten entre las velocidades de grupo y de fase en un
medio dispersivo arbitrario introduzcamos la ecuacioacuten (226) para la velocidad de fase en
la relacioacuten (67) para la velocidad de grupo (todos los cocientes diferenciales se
consideran para o o ko)
dkd
ddvkv
dkvkd
dkdvg
gvddv
vv
Resolviendo con respecto a vg
ddv
v
vvg
1(610)
Se puede ver que la ecuacioacuten (69) para medios no dispersivos es un caso especial de la
relacioacuten (610) para medios dispersivos
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Si utilizamos la longitud de onda como se acostumbra en oacuteptica en lugar de la frecuencia
como variable independiente obtenemos
dkdvkv
dkvkdvg
2
k ddk 2
2
d
kdk
ddvvvg (611)
Para una funcioacuten de dispersioacuten v() dada permite (611) una determinacioacuten graacutefica
sencilla de la velocidad de grupo (ver fig 62) La tangente a la funcioacuten de dispersioacuten en
el punto de la onda portadora = o corta el eje de ordenadas en el valor de la velocidad
de grupo vg(o)
Fig 62 Relacioacuten entre las velocidad de fase y de grupo
En la figura 62 apreciamos muy bien que la aproximacioacuten lineal (65) la cual utilizamos
para introducir el concepto de velocidad de grupo es admisible solamente para grupos de
ondas con bandas de frecuencia o de longitud de onda estrechas
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Grupos de ondas con anchos de banda grande debemos dividirlos en muchos grupos
estrechos los cuales en general poseen velocidad de grupo diferentes La consecuencia de
esto es una dispersioacuten de los grupos de ondas Solamente en el caso que 0d
dv la
velocidad de grupo es independiente de la longitud de onda de tal manera que los grupos
de ondas de gran ancho de banda son estables es decir no dispersos
De (610) oacute de (611) obtenemos finalmente los tres casos que deben diferenciarse
anormaldispersioacuten00ddvpara
dispersioacutensin 00ddvpara
normaldispersioacuten00ddvpara
ddvv
ddvv
ddvv
vg
En la figura (63) podemos apreciar la dependencia de en funcioacuten de la frecuencia
pudiendo distinguirse los tres casos de dispersioacuten pues en general no depende de la
frecuencia y para el caso de materiales no ferromagneacuteticos = o Entonces para esta
consideracioacuten obtenemos para la velocidad de fase
o
v 1 (612)
y para el iacutendice de refraccioacuten oacuteptico de un medio resulta
ov
cn
(613)
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Fig 63 Dispersioacuten
Para la refraccioacuten en una superficie limite se divide el grupo de ondas en las componentes
de Fourier individuales o expresados con otras palabras se dispersa en el espectro de
colores Por ello se habla de dispersioacuten
Para materiales disipativos la dependencia de la frecuencia de la dielectricidad compleja
() = acute() - jacuteacute() no puede darse en teacuterminos generales como sucede tambieacuten con v y
n Dado que la parte imaginaria estaacute relacionada con la absorcioacuten esto establece la
relacioacuten entre absorcioacuten y dispersioacuten
64 VELOCIAD DE LA SENtildeAL
La propagacioacuten de ondas en el espacio libre que hemos manejado la podemos utilizar para
transmitir informacioacuten La velocidad con la que la informacioacuten se transmite desde un
transmisor hasta un receptor la denominaremos velocidad de se sentildeal vs Queremos
intentar relacionar esta velocidad de la sentildeal con las velocidad de propagacioacuten que hasta
aquiacute hemos aprendido es decir con la velocidad de fase y de grupo
Una onda monocromaacutetica no puede utilizarse para la transmisioacuten de informacioacuten esto es
debido a que por ser ilimitada temporal y espacialmente posee un contenido de energiacutea
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infinito el cual no puede suministras transmisor alguno Informacioacuten de energiacutea finita
debe ser limitada temporal y espacialmente Ademaacutes una onda armoacutenica no puede
transmitir informacioacuten con excepcioacuten de la uacutenica informacioacuten que es su amplitud
longitud de onda y frecuencia
Una onda monocromaacutetica puede usarse como ldquoportadorardquo de una informacioacuten por
ejemplo apagando y encendiendo intermitentemente el transmisor Este control del
transmisor representa la clave de la informacioacuten el cual produce una modulacioacuten de la
onda portadora La informacioacuten es pues empaquetada en un paquete de onda o grupo de
ondas
La velocidad de la sentildeal parece ser ideacutentica a la velocidad de grupo Esto es vaacutelido sin
embargo uacutenicamente para medios libres de dispersioacuten y con una muy buena aproximacioacuten
para medios con una dispersioacuten normal deacutebil Para dispersiones fuertes es especial
anormales la informacioacuten con un amplio ancho de banda no posee una uacutenica velocidad de
grupo Los grupos de onda se dispersan y arriban al receptor fuertemente distorsionados
(ver fig 74) La velocidad de la sentildeal depende substancialmente a maacutes del medio de
propagacioacuten tambieacuten de la misma sentildeal especialmente del ancho de banda y del receptor
especialmente de su sensibilidad
Fig 64 Dispersioacuten de paquetes de onda en medios de transmisioacuten dispersivos
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Resumiendo se puede decir que la velocidad de la sentildeal no puede expresarse en teacuterminos
generales Solamente en medio libres de dispersioacuten las velocidades de propagacioacuten son
ideacutenticas o sea
vs = vg = vE = v (614)
En medios dispersivos si no se posee un conocimiento preciso de la sentildeal y del receptor
lo uacutenico que se puede hacer es establecer liacutemites Asiacute
vE vs v
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7 ATENUACION DE ONDAS PLANAS
Hasta aquiacute hemos tratado la propagacioacuten de ondas planas en medios aislantes ilimitados
Enseguida trataremos las ondas planas en conductores es decir buscaremos para este caso
las soluciones a las ecuaciones de Maxwell Nos limitaremos a las ondas armoacutenicas pues
es de especial utilidad la representacioacuten compleja para el tratamiento de la propagacioacuten de
ondas en conductores
El procedimiento seraacute similar al de aislantes La diferencia substancial es que las dos
variables que describen el comportamiento de la fase y la amplitud especiacuteficamente el
nuacutemero de onda y la impedancia de onda en conductores son complejos El nuacutemero de
onda complejo produce una atenuacioacuten de la onda y la impedancia de onda compleja un
corrimiento de fase entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
71 ATENUACION Y CORRIMIENTO DE FASE
La ecuacioacuten de onda para un medio conductor arbitrario es
EEE
2 (71)
Con la suposicioacuten de que se trata de una onda armoacutenica tenemos
tje)r(ERe)tr(E (72)
)r(E es un vector cuyas componentes son funciones espaciales complejas Dado que
nosotros hemos separado uacutenicamente la dependencia del tiempo )r(E contiene tambieacuten
la parte espacial de la funcioacuten de fase compleja
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Continuaremos con el tratamiento complejo del campo de onda para luego al final regresar
al campo de onda fiacutesico obteniendo la parte real
Introduciendo (72) en (71) tenemos
2 2 0E r j E r( ) ( ) ( )
con la definicioacuten de
k j2 2 (73)
se llega a
022 rEkrE (74)
Para la intensidad de campo magneacutetico
H vale una ecuacioacuten correspondiente
Al coeficiente complejo de (73) k se denomina nuacutemero de onda complejo La parte real
de (73) coincide con el cuadrado del nuacutemero de onda en un medio aislante
2
22
v
Esta parte real del cuadrado del nuacutemero de onda complejo es producida por la corriente de
desplazamiento y la parte imaginaria por la corriente de conduccioacuten Para estas dos partes
de la densidad de corriente se tiene
EjDjJj
2
La magnitud del cuociente entre la parte de la corriente de conduccioacuten y la parte de la
corriente de desplazamiento se denomina como factor de peacuterdidas del medio (ver fig 71)
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rkRekgIm
DJb
1
2
2
(75)
siendo r el tiempo de relajacioacuten Para el caso de peacuterdidas eleacutectricas o magneacuteticas debe
tomarse en cuenta en la separacioacuten de k2 en su parte real e imaginaria que y son
complejos Estas peacuterdidas se antildeaden al numerador de b Aquiacute nos limitaremos a las
peacuterdidas por efecto Joule o consideraremos a como un paraacutemetro equivalente que
considera todas las peacuterdidas Una segunda medida para las peacuterdidas es el aacutengulo de
peacuterdidas
= arctan b (76)
Para un condensador que posee peacuterdidas con un aacutengulo de peacuterdidas pequentildeo obtengamos
la densidad de potencia debida a efecto Joule si consideramos JW como la densidad de
corriente total
bJEJEsenJEJEP WWWJ
Fig71 Diagrama Vectorial del nuacutemero de onda complejo
Como la solucioacuten maacutes sencilla de la ecuacioacuten diferencial (74) queremos tratar aquiacute
nuevamente una onda plana homogeacutenea que dependa uacutenicamente de la coordenada
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espacial en la direccioacuten de propagacioacuten escojamos nuevamente la coordenada z
Entonces tenemos
d Edt
k E2
22 0
(77)
que su solucioacuten es
E z E eOj k z
( ) (78)
siendo la amplitud EO en general un vector complejo Nos limitaremos en esta vez a una
onda transversal polarizada linealmente en el sentido positivo de z es decir
00eE)z(E zkjO
(79)
H z H eOj k z( ) 0 0
siendo Eo y H0 escalares complejos Las dos ecuaciones de la divergencia (21) se
satisfacen
Las dos ecuaciones del rotacional (21) proporcionan
xxy
yx
EEjz
H
Hjz
E
introduciendo la consideracioacuten de onda (79) obtenemos
- jk Eo = - j H0 (710)
jkH0 = (j + ) Eo
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Las dos ecuaciones permiten determinar la impedancia de onda del conductor como la
relacioacuten entre las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico Ellas son consistentes
pues producen el mismo resultado Asiacute si multiplicamos estas dos ecuaciones
correspondientemente se obtiene la relacioacuten (73) para k2 De (710) obtenemos la
impedancia de onda compleja
jkZ
2
22
(711)
o en funcioacuten del factor de peacuterdidas b de (75)
)127(1
1
1
1
1
2
2
22
2
22
jbZ
bj
Z
jjZ
rr
Con ello la solucioacuten (79) tomando la parte real queda
Ex (z t) = Re Eo e j ( t - k z) (713)
Hy (z t) = Re (EoZ) e j (t - k z)
La impedancia compleja Z = Z ej produce un corrimiento de fase entre las dos
intensidades de campo E adelanta a
H el aacutengulo de fase
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Ademaacutes para obtener la parte real de (713) se debe considerar que el argumento de la
funcioacuten exponencial tambieacuten posee el nuacutemero de onda complejo Considerando que
k = krsquo - j krsquorsquo (714)
se obtiene
Ex (z t) = Eo e - krsquorsquo z cos ( t - krsquoz) (715)
E y
H experimentan en el conductor una atenuacioacuten en la direccioacuten de propagacioacuten
Debido a la pasividad de la materia no es posible un incremento de la onda sino una
atenuacioacuten por lo tanto
krsquorsquo 0 (716)
es decir que la parte imaginaria del nuacutemero de onda complejo es negativa El reciacuteproco
de la magnitud de la parte imaginaria de k representa la distancia a lo largo de la direccioacuten
de propagacioacuten en la que la intensidad de campo eleacutectrico ha disminuido al valor 1 e
72 CARACTERISTICAS DE DISPERSION DEL CONDUCTOR
Enseguida queremos estudiar si un medio conductor es dispersivo Esto es seguacuten (78) el
caso cuando la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia
De la ecuacioacuten (715) obtenemos para la velocidad de fase
v dzdt
fase cte = k (717)
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Dado que v gt 0 (propagacioacuten de la onda en el sentido positivo de z) y gt 0 se tiene
siempre que
krsquo gt 0 (718)
La relacioacuten (717) es bastante parecida a la (226) para el aislante solamente que en el
conductor la velocidad de fase es inversamente proporcional a la parte real del mismo
nuacutemero de onda complejo
Seguacuten (717) la velocidad de fase es pues dependiente de la frecuencia esto es el medio es dispersivo cuando la parte real del nuacutemero de onda complejo posee una dependencia de la frecuencia de la forma
krsquo= f() (719)
siendo f() una funcioacuten arbitraria Para comprobar esto debemos separar la parte real y la
parte imaginaria del nuacutemero de onda compleja o sea determinar krsquo y krsquorsquo de (714)
De (714) y (73) y considerando tambieacuten que se excluiraacuten las peacuterdidas dieleacutectricas y
magneacuteticas (o incluidas en ) de tal manera que y micro sean reales se obtiene
es decir
krsquo2 -krsquorsquo2 = sup2 (720)
)217(2
12
2
kk
jkjkkkjkk 2222 2
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siendo la profundidad de penetracioacuten
Introduciendo (717) en (721) obtendremos para la parte imaginaria del nuacutemero de onda
complejo
Reemplazando (722) en (720) obtenemos una ecuacioacuten bicuadraacutetica para la parte real del
nuacutemero de onda complejo
01114
224224
222
22
`k`k
`k`k
`k`k
cuya solucioacuten es
22
4
22224
222
k
krsquo gt 0 se escoge el signo positivo de la raiacutez cuadrada externa
2
2
112
k
22
112
112
k
2112
bk
se escoge el signo positivo pues krsquo es real y tenemos
)227(0
1 22
vk
k
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2112
bk
(723)
La expresioacuten (723) tiene la forma supuesta en (719) pues el factor de peacuterdidas b es
funcioacuten de la frecuencia y en general la constante dieleacutectrica es tambieacuten funcioacuten de la
frecuencia
Es decir todo medio conductor es dispersivo En la figura (72) tenemos la representacioacuten
graacutefica de (717) en funcioacuten de la frecuencia para el caso que sean
independientes de la frecuencia Esta uacuteltima suposicioacuten en general no se cumple y da
lugar a la dispersioacuten anormal
Fig 72 Velocidad de fase en medios conductores
73 CASOS LIMITES DE LOS CONDUCTORES METALICOS Y AISLANTES
Obtenemos dos casos liacutemites cuando en la densidad de corriente total predomina ya sea
la densidad de corriente de desplazamiento o la densidad de corriente de conduccioacuten o en
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otros teacuterminos en el cuadrado del nuacutemero complejo predomina la parte real o la parte
imaginaria Seguacuten (75) el primer caso liacutemite es hablar de un pequentildeo y el segundo caso
liacutemite de un gran factor de peacuterdidas
1- Pequentildeas peacuterdidas (Aislador)
Este caso es descrito por medio de
1111
TrTr
b (724)
Desarrollando (723) en serie de potencias de b obtenemos
Con lo que de (720) obtenemos
212
212
212
21212
2
4
1
2
22
2111
2
112
112
bk
bk
bk
bk
bk
)257(8
12
bk
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22
222
81
bkk
184
118
122222
bbbk
2bk (726)
Para la impedancia de onda compleja a partir de (712) y procediendo de igual forma
obtenemos
b
bj
bjb
jbZ
22
211
21
11
11
21 bjZ (727)
Para peacuterdidas nulas esto es para aislador ideal obtenemos con b = 0
k
1
kv
krsquorsquo = 0 (728)
faseenHyEZ
Dispersioacuten apareceraacute para este caso ideal solamente si yo dependen de la frecuencia
2- Grandes Peacuterdidas (conductor metaacutelico)
Este caso se describe por medio de
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b=
gtgt1 Tr ltlt 1
Manipulando (723) (721) y (712) obtenemos
)307(
21j21
211
1
211
11
12
22
112
4
22
222
2
212
jejZ
jjbj
jbZ
jjjjkkk
kk
k
vk
bbk
j
La impedancia de onda compleja ocasiona el adelanto de 450 de
E con respecto a
H El
cuadrado del nuacutemero de onda compleja es un imaginario puro esto es no hay densidad de
corriente de desplazamiento La constante de atenuacioacuten es igual al reciacuteproco de la
profundidad de penetracioacuten y la velocidad de fase es proporcional a la profundidad de
penetracioacuten Para las intensidades de campo de una onda transversal polarizada
linealmente obtenemos
Ex (z t) =
zteE
z
cos0 (731)
Hy (z t) =
4cos
20
zteE z
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para un conductor ideal tenemos
b = 0 v = 0 y Z = 0
74 EFECTO PELICULAR O PIEL DE UN CONDUCTOR CILINDRICO
Queremos tratar aquiacute el efecto pelicular de un conductor ciliacutendrico para los dos casos
liacutemites de frecuencias altas (efecto pelicular fuerte) y de frecuencias bajas (efecto
pelicular deacutebil)
En los dos casos queremos determinar la impedancia compleja R + jLi de un conductor
ciliacutendrico de radio a y de longitud l en la direccioacuten z Como una medida de la intensidad
del efecto pelicular introduzcamos la siguiente relacioacuten
1- Efecto Pelicular fuerte
Este caso liacutemite se presenta para altas frecuencias o para 1 Esto es que la
profundidad de penetracioacuten es muy pequentildea comparada con el radio a
)327(82
2aa
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Fig 7 Efecto pelicular en conductores para ltlt a
Aproximaremos las superficies ciliacutendricas liacutemites del entorno del campo con planos
tangenciales (Onda plana transversal) La coordenada en la direccioacuten de propagacioacuten
ubicando el origen en la superficie del conductor es a -
Para el campo complejo y con los valores de un conductor metaacutelico para k y Z obtenemos
Con ello tenemos para el voltaje y la corriente en la periferia del conductor
v = l
dz)a(Ez0
= Eol
i =
2
0)( adaH =
ZEo 2 a
)337(
)1(
1
jEz
ZEzH
eEoeEoEza
jajk
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Para la impedancia del conductor obtenemos
al)j(
alZLijR
iv
21
2
comparando las partes real e imaginaria
alLiR
2 (734)
Esto es la impedancia oacutehmica de la zona de penetracioacuten es decir de la piel de espesor
que posee campo Refiriendo nosotros el resultado con respecto a la resistencia de DC
tenemos
Ro = 1 a2
RoLi
RoR (735)
Para un efecto pelicular fuerte las peacuterdidas debidas a corrientes torbellino son
proporcionales a la raiacutez cuadrada de la frecuencia
Nuestra solucioacuten aproximada para efecto pelicular fuerte coincide con el primer teacutermino
de un desarrollo en series en potencias de 1 de la solucioacuten exacta la cual la introducimos
sin demostracioacuten
RLi
RR
o
o
21283
643
643
41
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2- Efecto Pelicular Deacutebil
Este caso liacutemite se presenta en bajas frecuencias o para La profundidad de
penetracioacuten abarca todo el interior del conductor y debemos calcular el campo interno
como una funcioacuten de Nosotros queremos obtener una solucioacuten aproximada sin utilizar
las funciones de Bessel
La ecuacioacuten diferencial (74) del campo complejo en coordenadas ciliacutendricas con k 2
seguacuten (730) es
0212
EzjEz
(736)
Ensayemos la siguiente solucioacuten serial
)(EoEo)(Ez
2
2
122
1
(737)
la cual es permitida debido a
122
a
Reemplazando (737) en (736) se tiene
0212
EzjEz
02224 2222 jjj
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Esta ecuacioacuten se cumple al ser arbitrario uacutenicamente cuando los coeficientes de todas
las potencias de desaparecen o sea
y con ello la solucioacuten aproximada para la intensidad de campo complejo es
l
)j(EollajEodz)a(Ezv
Ademaacutes
jEo)(Ez
0
22
2
2
2
214
1
21
)j(Eoai
Eoajad)(Ezia
22
02
22
1
412
Para la impedancia del conductor obtenemos
oo RjRjjLijR 4
24
2
2
121
121
)()(1 62
241
A
RLiA
RR
oo
Para el efecto pelicular deacutebil crecen las peacuterdidas debidas a las corrientes torbellino con el
cuadrado de la frecuencia
220
j
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Esta solucioacuten aproximada para el efecto pelicular deacutebil coincide con el desarrollo en series
en potenciales de de la solucioacuten exacta
R
Li
RR
o
o
6
31
62
4
76 FLUJO DE ENERGIA EN MEDIOS CON PERDIDAS
A continuacioacuten analizaremos en un medio que posee peacuterdidas la intensidad de una onda
armoacutenica para ello utilizaremos la representacioacuten compleja
)407()(
21)(Re)(
)(21)(Re)(
eee
eeetjtjtj
tjtjtj
HHrHtrH
EErEtrE
con lo que
)(41)(
41)(
41)(
)()(41
)(
22 HEHEHEHEtS
HHEEHEtS
ee
eeee
tjtj
tjtjtjtj
SSS
HES
HES
HEHEHE
Re2
Re2
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entonces
22 Re21
41
41)( HEHEHEtS ee tjtj
Definiendo el vector de Poynting complejo de la siguiente manera
HES (741)
obtenemos el valor promedio en el tiempo de S
definido como la intensidad
)Re(21)( StS
(742)
Ademaacutes conZEH tenemos para la magnitud de S
HHZZ
EES
Obtengamos el valor promediado del cuadrado de una variable de campo armoacutenica
)437(21)()Re(
21)(
41)(
)(41
))((41
)(21
22
22222
2
HHtHHHHHHHtH
HHHHHHHentonces
HHHHH
HHH
ee
eeee
ee
tjtj
tjtjtjtj
tjtj
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Con (742) obtenemos para la intensidad
222
2
Re)(Re)()(
)(2Re21Re
21Re
21)(
ZZtEZtHtS
ZtHHHZStS
Para un conductor metaacutelico con (730) tenemos
)447()(2
)(1)(
1Re2
22
4
tHtHtS
ZZ e j
La intensidad de la onda es maacutes pequentildea mientras maacutes grande sea la conductividad del
medio de propagacioacuten
Para analizar las peacuterdidas consideremos finalmente el valor promediado en el tiempo de la
divergencia del vector Poynting
)457(Re21)(
Re21)()(
SdivtSdiv
SdivtSdivtSdiv
Un medio que posee peacuterdidas lo describimos a traveacutes de las variables del material
)467(
jj
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Con lo que
HrotEErotH)HE(divSdiv
21
21
21
21
)()(21
EEEEjHHj
EEEHH
EEHHjEEEEHHSdiv
EEEEjjHHjjSdiv
21
21
)()(21
21
La parte real es pues negativa es decir describe ldquocaiacutedasrdquo o sea peacuterdidas del flujo de
energiacutea
)t(H)t(E)()t(Sdiv
HHEE)()SdivRe(
22 2221
21
21
)457()()(
)()()(
22
22
2
tEZ
tSdiv
tEZ
tEtSdiv
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Las peacuterdidas dieleacutectricas y magneacuteticas son directamente proporcionales a la frecuencia
Dado que todas las peacuterdidas contribuyen a un calentamiento del medio podemos expresar
a la expresioacuten entre pareacutentesis de (745) como una conductividad especiacutefica equivalente
la que representa la suma de todas las peacuterdidas
La misma conductividad especiacutefica equivalente obtenemos cuando en el cuadrado del
nuacutemero de onda compleja consideramos que los paraacutemetros del material son complejos y
luego extraemos su parte imaginaria Asiacute
kIm
)(j
jjjjjk
2
222
222
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8 REFLEXION Y REFRACCION
Hasta aquiacute hemos estudiado la propagacioacuten de ondas en espacios ilimitados Enseguida
nos dedicaremos a campos de ondas limitados que son interesantes en la electrotecnia
Inicialmente nos ocuparemos en este capiacutetulo de la reflexioacuten y de la refraccioacuten de una
onda en la superficie de separacioacuten de dos medios Nos limitaremos aquiacute como
anteriormente a una onda plana y a una superficie de separacioacuten tambieacuten plana pudiendo
ser los medios completamente arbitrarios o sea poseer impedancias de ondas complejas
Junto a este caso de medios arbitrarios nos ocuparemos especialmente de dos casos
liacutemites el de medios dieleacutectricos (foacutermula de Fresnel) y el de un espejo ideal
81 ONDAS PARCIALES Y CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos el medio 1 y el 2 con impedancias de ondas complejas Z1 y Z2 y una
superficie de separacioacuten plana la cual coincide con el plano (x y) de un sistema de
coordenadas cartesianas (ver fig 81)
En el medio 1 se tiene una onda incidente con la direccioacuten de propagacioacuten 1ik
El plano
que forman eacutesta direccioacuten de propagacioacuten y la normal a la superficie de separacioacuten - para
nuestro caso el eje z - se denomina como plano de incidencia Hemos elegido como plano
de incidencia el plano (x - z)
El aacutengulo i entre la direccioacuten de propagacioacuten y la normal se denomina aacutengulo de
incidencia
En general la onda plana incidente seraacute polarizada eliacutepticamente Podemos separarla
entonces en dos ondas polarizadas linealmente perpendiculares entre siacute las cuales hay
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
que tratarlas separadamente pues ellas no tienen un comportamiento ideacutentico en lo que es
reflexioacuten y refraccioacuten De este modo consideramos dos situaciones
1 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es paralela al plano de incidencia (ver fig 81a)
2 La intensidad de campo eleacutectrico de la onda incidente tiene una polarizacioacuten lineal que
es perpendicular al plano de incidencia (ver fig 81b)
a) paralela al plano de incidencia b) perpendicular al plano de incidencia
Fig 81 Polarizacioacuten lineal
En oacuteptica es usual identificar la direccioacuten de oscilacioacuten de la luz con la direccioacuten de
polarizacioacuten del vector de intensidad de campo eleacutectrico E
Para diferenciar al primer caso
se utilizaraacute el subiacutendice ldquoprdquo (fig 81a) y para el segundo el subiacutendice ldquosrdquo (fig 81b)
En la superficie de separacioacuten la onda incidente experimentaraacute un disturbio
(perturbacioacuten) pues ella no continuaraacute inalterable en el medio 2 El coacutemo esta
perturbacioacuten aparece se determina por medio de las condiciones de frontera de las
variables del campo electromagneacutetico El campo total resultante en el medio 1 y en el
medio 2 debe cumplir con todas las condiciones de borde o frontera Nosotros suponemos
para ello una onda reflejada en el medio 1 (iacutendice r en la fig 81) con un factor de
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
reflexioacuten R y un aacutengulo de reflexioacuten r desconocidos y una onda transmitida en el medio
2 (iacutendice T en la fig 81) con un factor de transmisioacuten T y un aacutengulo de transmisioacuten T
tambieacuten desconocidos por el momento Estos cuatro paraacutemetros r T R y T los
determinaremos satisfaciendo las condiciones de frontera Nosotros veremos que esto
siempre es posible si aceptamos que tambieacuten las direcciones de propagacioacuten rk1
y Tk2
de
las ondas reflejada y transmitida estaacuten en el plano de incidencia (ver fig 81) Debido a
la unicidad de las ecuaciones de Maxwell esta consideracioacuten siempre se cumple
Ademaacutes tomemos en cuenta lo siguiente en el caso que las condiciones de frontera se las
considere sin una onda reflejada es decir cada medio con una onda parcial entregariacutea
nuestra consideracioacuten el resultado haciendo R = 0 Nosotros veremos que esto soacutelo se
presenta para el caso de que los dos medios sean ideacutenticos En la superficie de separacioacuten
entre dos medios diferentes (Z1 Z2) se origina para una onda polarizada eliacutepticamente a
maacutes de la onda transmitida la onda reflejada
82 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PARALELA AL PLANO
INCIDENTE
Consideraremos primero el caso representado en la fig 81a esto es que la intensidad del
campo eleacutectrico de la onda incidente es paralela al plano incidente
Para las intensidades de campo de las tres ondas parciales dadas en la fig 81a hacemos
las siguientes consideraciones
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e)ZTE(H
esenTEecosTEE
e)ZRE(H
esenREecosREE
e)ZE(a)ZE(H
esenEecosEaeEE
rkjpo
T
rkjTpo
rkjDpo
T
rkjpo
r
rkjrpo
rkjrpo
r
rkjoyo
i
rkjio
rkjioE
rkjo
i
T
TT
r
rr
i
iiir
00
0
00
0
00
0
2
22
1
11
1
111
2
1
11
Para ello hemos separado la funcioacuten del tiempo compleja ej t pues ella es la misma para
todas las ondas parciales al poseer la misma frecuencia que la onda incidente De otra
manera las condiciones de frontera no se podriacutean cumplir para cualquier tiempo
Escribiremos ahora la continuidad de las componentes tangenciales de E y H en la
superficie de separacioacuten z = 0 de tal manera que en el producto escalar rk solamente
aparezca la coordenada x
Tri
Tri
senxkjp
senxkjp
senxkj
senxkjTp
senxkjrp
senxkji
e)ZT(e)ZR(e)Z(
ecosTecosRecos
211
211
2111
Estas dos condiciones pueden ser satisfechas si x es arbitrario solamente si
k1 sen i = k1 sen r = k2 sen T
De aquiacute se obtiene la ley de reflexioacuten
r = I (81)
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y la ley de refraccioacuten
k2 sen T = k1 sen I (82)
Hay que aclarar que en general k1 y k2 y con ello el aacutengulo de refraccioacuten son complejos
Estas particularidades que se presentan en especial en la oacuteptica del metal no las vamos a
tratar Si los dos medios son no conductores los nuacutemeros de onda son reales e igual al
cuociente v Considerando la definicioacuten del iacutendice de refraccioacuten n = cv obtenemos la
ley de Snell
( v2) sen T = ( v1) sen i (n2 c) sen T = (n1 c) sen I
n2 sen T = n1 sen I (83)
y con (81) y (82) se tiene para las condiciones de frontera
)58(coscoscoscos
coscoscos
coscoscos22
coscos2)()(
)48(coscos
cos2coscos2)()(
)(1
coscos1
)(1
coscoscos
21
21
2
21
21
2
2
1
21
2
2
1
2
1
211
ti
tip
i
ti
ti
ip
i
tpp
ti
ip
i
tp
pp
tpp
pp
tprpi
ZZZZR
ZZZ
ZZZR
ZZTRab
ZZZT
ZZTba
bZZTR
iTR
aZT
ZR
Z
TR
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pT = Factor o coeficiente de transmisioacuten
pR = Factor o coeficiente de reflexioacuten
Consideraremos los siguientes casos especiales
1) Z1 = Z2
Los medios son ideacutenticos y se tiene de la ley de refraccioacuten que t = i y con ello
pR = 0 pT = 1 (86)
2) Z2 = 0
Si la impedancia de onda es cero esto significa que se trata de un conductor ideal con
y con ello se tiene
pR = 1 pT = 0 (87)
El conductor metaacutelico ideal actuacutea como un espejo ideal en el cual la onda incidente
completamente se refleja (Tomar en cuenta que en este caso la componente tangencial de
H no es continua como muestra tambieacuten la fig (81))
3)1
01
Z
2
02
Z
Los dos medios son tambieacuten dieleacutectricos puros Luego de algunas manipulaciones
algeacutebricas y considerando la ley de refraccioacuten tenemos
titi
itp
ti
tip
cossencossenT
tgtgR
2(88)
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que constituyen las foacutermulas de Fresnel las cuales fueron obtenidas primero por Fresnel de su teoriacutea
de la luz elaacutestica
Finalmente debe tomarse en cuenta que la continuidad de la componente B
en la
superficie de separacioacuten para el caso que estamos tratando no es necesario pues H
y
con ello B
solamente posee una componente tangencial La condicioacuten de frontera de
D
es ideacutentica con la condicioacuten de frontera para H
para medios dieleacutectricos como
consecuencia de la ley de refraccioacuten En superficies metaacutelicas hay que calcular
considerando una carga superficial
83 POLARIZACION DE LA ONDA INCIDENTE PERPENDICULAR AL PLANO INCIDENTE
El tratamiento del caso representado en la fig (81b) esto es la intensidad de campo
eleacutectrico de la onda incidente es polarizado perpendicularmente al plano de incidencia es
completamente anaacutelogo al caso dual ya tratado de tal manera que nosotros aquiacute lo
podemos resumir
La consideracioacuten de las ondas parciales es
ee
e
ee
e
ee
e
rkjt
srkjt
sts
rkjs
ts
rkjr
srkjr
srs
rkjs
rs
rkji
rkji
is
rkjis
tt
t
rr
r
ii
i
senZ
TEcosZ
TEH
TEE
senZREcos
ZREH
REE
senZEcos
ZEH
EE
22
2
11
1
11
1
2
0
2
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
00
0
00
0
00
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Las condiciones de frontera para E
y H
en z = 0 conducen aquiacute tambieacuten nuevamente a
la ley de reflexioacuten (81) y a la ley de refraccioacuten (82) y con ello ademaacutes
i
tss
ss
cosZcosZTR
TR
2
11
1
y de estas dos ecuaciones resulta para los coeficientes de reflexioacuten y de transmisioacuten lo
siguiente
Consideremos nuevamente los mismos casos especiales que para la situacioacuten dual de la
polarizacioacuten de la onda incidente
1) Z1= Z2
Aquiacute tambieacuten se tiene
Rs = 0 y Ts = 1 (811)
2) Z2 = 0
Se tiene Rs = -1 y Ts = 0 (812)
El signo negativo en Rs significa que la onda polarizada perpendicularmente con
respecto al plano de incidencia se refleja en un espejo ideal con un salto (cambio) de
fase de
Tii
TiiS ZZ
ZZR
coscoscoscos
12
12
Ti
iS ZZ
ZT
coscos
cos2
12
2
(89)
(810)
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3)1
01
Z
2
02
Z
Luego de transformaciones trigonomeacutetricas se obtienen las foacutermulas de Fresnel para una onda polarizada perpendicularmente al plano de incidencia
Hay que aclarar que para una onda incidente perpendicular con i = 0 resulta tambieacuten que
t = 0 Las expresiones de Fresnel (88) y (813) resultan ser impracticables pues se
obtiene una expresioacuten indeterminada Las ecuaciones (84) (85) oacute (89) y (810) seguacuten el
caso conducen a resultados correctos para este caso como era de esperarse
Los dos casos de polarizacioacuten conducen al mismo resultado con excepcioacuten del signo en R
)(cos2
Ti
iTS sen
senT
21
21
ZZZZRR SP
21
22ZZ
ZTT SP
)()(
Ti
TiS sen
senR
(813)
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9 ONDAS EN GUIAS DE ONDA
Previamente determinaremos E en el medio y para la figura (81a)
iZi
iXi kkkk cossen 1111
zxzxzxzx zKxKjzKxKji
zKxKjzKxKjiop eeeeEE 11111111 sen0cos
rjKiO
rjKiO
iP
ii
esenEeEE 11 0cos
rjKiPO
rjKiPO
rP
rr
esenREeREE 11 0cos
rP
iPP EEE
rjKrjKi
rjKrjKiOP
riri
eeseneeEE 1111 0cos
z0xr
rZ
rX
riZ
iX
i kkkkkk 111111 00
iZi
iXi kkkk cossen 1111
iZr
iXr kkkk cossen 1111
iiii
iiii
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
CoszKSenxKjCoszKSenxKji
OPeesen
eeEE
1111
1111 0cos
XXr
Xi kkk 111
ZZr
Zi kkk 111
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xzzxzz jxKjzKjzKi
jxKjzKjzKiop eeeeeeEE 111111 sen0cos
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen20sencos2
xx jxKzi
jxKziop ezkezkjEE 11
11 cossen0sencos2
Es una onda que se propaga en el sentido positivo de x y que tiene las componentes Ex y
Ez
Ep = EX 0 EZ
k1Z = k1 cos i k1X = k1 sen i
Definiendo como k1Z = kc ^ k1X = kg
k12 = kc2 + kg2
Por razones que se veraacuten maacutes adelante definiremos a kg como el nuacutemero de onda en la
guiacutea y kc como nuacutemero de onda de corte Para el caso que el medio 1 sea el espacio libre
k = 2
Entonces
es la longitud de onda en el espacio libre y g seraacute conocida como la longitud de onda en
la guiacutea y c como la longitud de onda de corte
En este capiacutetulo nos dedicaremos a la propagacioacuten de una onda en guiacuteas de onda Estas
son tubos metaacutelicos de aacuterea transversal arbitraria Ellas se utilizan para microondas en el
rango de los GHz como medios de transporte
1 1 12 2 2
g c
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Aquiacute no podemos ocuparnos sin embargo de los componentes modernos y de los
circuitos de la teacutecnica de microondas si no que nos limitaremos maacutes bien al caso maacutes
sencillo o sea a la guiacutea de onda rectangular y especialmente a la guiacutea de onda rectangular
con un lado ilimitado es decir a conductores paralelos con paredes conductoras ideales y
con un medio libre de peacuterdidas de separacioacuten entre las dos paredes En ellas podremos
estudiar lo maacutes importante de las ondas en guiacuteas de onda especiacuteficamente la aparicioacuten de
tipos de onda diferentes - las ondas TE TM y TEM - asiacute como tambieacuten la condicioacuten de
propagacioacuten y la frecuencia liacutemite de las ondas en guiacuteas de onda
91 CONDICIONES DE FRONTERA
Consideremos una guiacutea de onda que consiste de dos planos metaacutelicos paralelos separados
entre siacute una distancia d (ver figura 91) El medio en la guiacutea de onda es libre de peacuterdidas
( = 0) las paredes del metal son conductores ideales ()
De estas consideraciones se desprende enseguida que una onda que se alimenta a una guiacutea
de onda de ninguna manera experimenta una atenuacioacuten Pues al ser el medio libre de
perdidas es sin atenuacioacuten y las paredes conductoras ideales actuacutean como un espejo ideal
de tal manera que solamente una onda reflejada pueda a parecer mas no una onda
trasmitida en la pared de la guiacutea de onda (ver la ecuaciones 87 o 812 del ultimo capitulo)
En las paredes de la guiacutea de onda desaparecen pues el campo magneacutetico y el eleacutectrico
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Fig 91 Guiacutea de Onda con paredes ideales
Con ello las condiciones de frontera en la guiacutea de onda para el sistema de coordenadas
seleccionados en la fig (91) en x = 0 y x = d son
Ey = Ez = 0
Hx = 0 (91)
Dx = s
Hy = J sZ Hz = J sY
Las dos primeras condiciones las cuales se derivan de la continuidad de Et y Bn limitan
el grado de libertad de la propagacioacuten de una onda en una guiacutea de onda Aquellas ondas
que satisfacen estas dos condiciones de frontera son capaces de propagarse De aquiacute se
obtienen las condiciones de propagacioacuten para las ondas en guiacuteas de onda Las otras dos
condiciones expresan que en las paredes de la guiacutea de onda apareceraacuten en general una
densidad de carga superficial s y una densidad de corriente superficial Js las cuales
pueden determinarse de estas dos condiciones
En situaciones reales una pared de la guiacutea es realizable solamente con lt y Z gt 0
con excepcioacuten de los superconductores Con lo que el campo penetra en la pared de la
guiacutea una pequentildea cantidad y experimenta ahiacute una atenuacioacuten en la direccioacuten de la
propagacioacuten En tal superficie de separacioacuten son Et y Ht continuas En la pared de la guiacutea
aparece una placa de densidad de corriente espacial J de grosor
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A continuacioacuten estudiaremos solamente el caso ideal con Para el caso real puede
distribuirse en primera aproximacioacuten homogeacuteneamente la densidad de corriente
superficial Js sobre la profundidad de penetracioacuten es decir estimar las peacuterdidas con una
resistencia superficial R = 1 esto es la resistencia de un pedazo de pared de iguales
dimensiones en y y en z
92 ONDA TEM
Inicialmente consideraremos una onda plana transversal polarizada linealmente la cual se
alimenta a la guiacutea de la fig (91) en la direccioacuten positiva de z
000kztjeEE
(92)
00 01 kztjZ eEH
siendo Z la impedancia de onda del medio Esta onda satisface las dos primeras
condiciones (91) es decir es capaz de propagarse (ver fig 92) Dado que en ella tanto el
campo eleacutectrico como el magneacutetico son transversales a la direccioacuten de propagacioacuten se
denomina a esta onda como Onda TEM
Las otras dos condiciones de frontera de (91) producen densidades de carga superficial y
de corriente superficial que fluctuacutean espacial y temporalmente (ver fig 92)
kztjxxs eEED 0
kztjsz eEHyJ
0 (93)
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La densidad de corriente de conduccioacuten continuacutea en el medio con una corriente libre de
divergencia (div = 0) a traveacutes de una densidad de corriente de desplazamiento
000kztjeEjD
La densidad de corriente de desplazamiento estaacute corrida en fase 2 con respecto a la intensidad de campo eleacutectrico (ver fig 92) Finalmente obtenemos de (92) el vector de Poynting el cual siempre tiene una componente positiva
HxEtS
kztjz eEtzS
22
0Re
)(2cos 20 kztEtzSz
(95)
Fig 92 Onda TEM entre dos planos paralelos
El flujo de energiacutea sucede pues siempre en la direccioacuten de propagacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 101FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La figura (92) indica la relacioacuten entre todas estas variables para un tiempo especiacutefico
93 ONDA TM
Consideremos una onda plana transversal polarizada linealmente que se alimenta en la
guiacutea de onda de la fig (91) con un aacutengulo con respecto al eje z Para ello la
polarizacioacuten de la intensidad de campo eleacutectrico se considera paralela al plano de
incidencia (ver fig 93)
1) Solucioacuten Visual
Enseguida queremos establecer las condiciones de propagacioacuten por medio de una
discusioacuten visual y despueacutes obtener una solucioacuten analiacutetica
Fig 93 Onda TM en una guiacutea de onda idealizada
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 102FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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La onda incidente cumple las condiciones de borde Ey = 0 y Hx = 0 pero no Ez = 0 Ella
se refleja en cada punto de las paredes ideales de la guiacutea con igual amplitud e igual fase
La superposicioacuten de la onda incidente con la onda reflejada en la pared superior produce
una onda resultante la cual satisface la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos
P1 de la pared superior (ver fig 93) Solamente cuando la reflexioacuten se da en un espejo el
campo total satisface todas las condiciones de frontera independientemente del aacutengulo
de la onda incidente
Tenemos que satisfacer todaviacutea la condicioacuten de frontera Ez = 0 en la segunda pared de la
guiacutea Debemos considerar para ello las relaciones de fase de las ondas incidente y
reflejada no solamente en puntos arbitrarios P1 de la pared superior sino tambieacuten en todos
los puntos opuestos P2 de la pared inferior En el punto P2 la fase de la onda incidente con
respecto a P1 es kdsen adelantada eacutesta a su vez adelanta a la onda reflejada kdsen
Para una fase de 2 oacute 3 2 en P1 conduce nuevamente este corrimiento de fase
simeacutetrico en P2 a una intensidad de campo eleacutectrico resultante normal a la pared
Esto no sirve para fases arbitrarias en P1 ni para cualquier punto P2 de la pared inferior
Para satisfacer la condicioacuten de frontera Ez = 0 en todos los puntos de la pared inferior
debe cumplirse la condicioacuten de propagacioacuten
2kdsen = 2 n n = 0 1 2 (96)
Para una frecuencia o longitud de onda preestablecida son posibles solamente
determinadas direcciones de incidencia y para una direccioacuten preestablecida de la onda
incidente son capaces de propagarse solamente determinadas frecuencias o longitudes de
onda
nsenv
f
22
nfdsen
vnf 2
n
dsennf
v 121 (97)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 103FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Debido a que 1sen existe una frecuencia miacutenima o una longitud de onda maacutexima
(onda fundamental)
dvf
2min (98)
dmaacutex 2
Fuera de estos valores liacutemites las ondas no son capaces de propagarse Estos liacutemites se
obtienen para una onda incidente perpendicular ( =900) Las ondas incidente y reflejada
se superponen y el resultado es una onda estacionaria entre las dos paredes la cual tiene
nodos de onda en las dos paredes
En todos los casos 0 lt lt se superponen la onda incidente y reflejada para conformar
una onda en la guiacutea de onda que avanza en la direccioacuten z Para la longitud de onda en la
guiacutea obtenemos de la fig (93) con la condicioacuten de propagacioacuten (97) lo siguiente
2cos
gdsen
cos2dseng
kdsen
dsen2
2
dsen
cosg
22
211cos
dfnvsen
2
21
cos
dfnv
g (99)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 104FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Para la velocidad de fase de la onda en la guiacutea tenemos
v
dfnv
vvfv gg
2
21
cos (910)
La velocidad de fase de la onda en la guiacutea asoma como dependiente de la frecuencia esto
es la guiacutea de onda se comporta como un medio dispersivo Con lo que la velocidad de
grupo no es ideacutentica con la velocidad de fase sino que nosotros obtenemos
g
gG dk
dvkgvgv
1
coscos
ddkg
ddvgkv coskkg
con
2coscosvsenv
dd
ddvg
cos
22
cos2
cosdsen
ndd
ddk
dd
ddkg
2
1send
nctgdn
dd
se obtiene
22
cos
coscos
senn
dvsenkvvG
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 105FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
cos
22
cos1 3sen
nd
dsennvvG
21cos
senvvG gG vvv cos (911)
En la fig (94) se indica la relacioacuten entre las diferentes velocidades Para una onda
incidente perpendicular con = 2 Vg tiende a infinito y VG = 0
Fig 94 Velocidad de fase y de grupo de una onda TM
A traveacutes de la condicioacuten de propagacioacuten (96) hemos satisfecho la condicioacuten Ez = 0 en
todos los puntos de las paredes En el interior de la guiacutea de onda es valedero en general
que
Ez 0 (912)
Esto es la onda en la guiacutea que avanza en la direccioacuten de z no es una onda transversal pura
Ella posee una componente longitudinal de la intensidad del campo eleacutectrico Tal onda
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 106FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
para la cual solamente el campo magneacutetico es perpendicular a la direccioacuten de
programacioacuten se denomina onda TM
2) Solucioacuten Analiacutetica
Despueacutes de esta solucioacuten visual podemos ocuparnos de la solucioacuten analiacutetica Junto al
sistema de coordenadas x y z utilicemos por facilidad para describir la onda incidente y
la onda reflejada sistemas de coordenadas cartesianos xrsquo yrsquo zrsquo y xrdquo yrdquo zrdquo
respectivamente (ver fig 95) con un eje ldquoyrdquo comuacuten
z rsquo= z cos + x sen (913)
z rsquorsquo= z cos - x sen
Fig 95 Sistema de Coordenadas xrsquo yrsquo zrsquo de la onda incidente y xrdquo yrdquo zrdquo de la onda reflejada
Con lo que obtenemos (sin la funcioacuten del tiempo compleja ejwt )
00
0kzji eEE
00
0 kzji eZEH
00
0kzjr eEE
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 107FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
00
0 kzjr eZEH
Superponiendo las dos ondas parciales se obtiene la onda en la guiacutea de onda
jkzcos-o
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
ecoskxsencos2E=
cose+eeE=
cosE+cosE=Ex II1
Ey = 0
jkzcos-
jkxsen-jkzsen-jkzcos-o
rx
ix
esenkxsen2j sen=sene-eeE=
senE+sSenE-=Ez II1
0=Hz
ekxsencosZEo2=
H+H=Hy
0=Hx
jkzcos-
ry
iy IIr
Las condiciones de frontera Ey = 0 y Hx = 0 se satisfacen tambieacuten la condicioacuten de
frontera Ez = 0 en la pared x = 0 Para x = d obtenemos de Ez = 0 la condicioacuten de
propagacioacuten (96)
Ez = 0 = 2jEo sen (kdsen ) Sen e-jkzcos
sen (kdsen ) = 0 kdsen = n
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 108FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
De la funcioacuten se fase de la componente de campo que no desaparece obtenemos como
nuacutemero de onda de la onda en la guiacutea de onda lo siguiente
Esto coincide con la ecuacioacuten (99) para la longitud de onda en la guiacutea Ademaacutes se tiene
que
Para el caso que el radical del nuacutemero de onda en la guiacutea sea menor que cero el nuacutemero
de onda en la guiacutea seraacute un nuacutemero imaginario puro y todos los componentes del campo
que no desaparecen ya no representan teacuterminos de onda sino oscilaciones amortiguadas
Por debajo de esta frecuencia liacutemite que depende del paraacutemetro n no es posible una
propagacioacuten de una onda en la guiacutea
Resumiendo obtenemos nosotros para la onda TMn
2
22
21
2
1sen1cos
dfvnkk
vf
vk
kdnkkkk
g
g
dfnv
dfnv
dfnv
21
210
21
22
miacutenfndvnf
2
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 109FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
La onda TMn es una onda no homogeacutenea en contraposicioacuten con la onda TEM Para la
relacioacuten de los componentes transversales de las intensidades de campo eleacutectrico y
magneacutetico no obtenemos aquiacute la impedancia de onda del espacio libre sino
915w
kg=HyEx
wkg=u
u1
wkg=z
wvkg=
HyEx
El paraacutemetro n en la condicioacuten de programacioacuten en (96) y en la solucioacuten (914) se
denomina ldquomodo de la ondardquo y va como subiacutendice La onda TMo es ideacutentica con la onda
TEM homogeacutenea pues para n = 0 se tiene de la condicioacuten de propagacioacuten (96) que = 0
y con ello kg = k Ez = 0 y Hy = ExZ Visualmente el modo de la onda TMn informa
sobre el nuacutemero de las uniones de onda - o de medias ondas - en el interior de un corte
transversal en la direccioacuten de x (ver Fig 96)
)149(
0)(
coscos2)(
0)(
2cossen
2)(
0)(
coscos2)(
tzHz
zktd
nZEtzHy
tzHx
zktd
ndvnEtzEz
tzEy
zktd
nvkEtzEx
go
go
gg
o
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 110FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 93 Liacuteneas de campo de las ondas TM1 y TM2
El vector de Poynting posee componentes en la direccioacuten de x y en la direccioacuten de z pero
en valor promedio solamente en la direccioacuten de propagacioacuten
(916)cos22
x
dn
wkg v
ZEo= Ex Hy= tS z
Para la onda incidente perpendicular = 2 es kg = 0 y con ello Sz = 0
94 ONDA TE
Consideremos ahora el caso de una onda plana transversal que incide con el aacutengulo y
cuya intensidad de campo magneacutetico estaacute polarizada paralela al plano de incidencia
00
00
eZHE
eHH
jkzo
i
jkzo
i
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 111FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Esta onda incidente no satisface ni la condicioacuten de frontera Hx = 0 como tampoco Ex = 0
sino uacutenicamente Ez = 0 Para satisfacer todas las condiciones de frontera consideremos en
la onda reflejada un paraacutemetro arbitrario propiamente el salto de fase desconocido por
el momento
00
00
jjkzo
r
jjkzo
r
eZHE
eHH
Superponiendo estas dos ondas obtenemos la onda resultante en la guiacutea de onda
cos)(
coscossensencos
jxjkzxjkxjkzox
rx
ixx
eeeeHH
HHH
Para x = 0 Hx = 0 entonces
01 cos)e(eH jcosjkzo
por lo que = y con ello tenemos
cosjkzo
jkxsenjkxsencosjkzox ecos)kxsen(senjHcos)ee(eHH 2
De la condicioacuten de frontera Hx = 0 para x = d nuevamente se obtiene la condicioacuten de
propagacioacuten (96) con la que se satisface tambieacuten la condicioacuten de frontera Ex = 0 para x =
d
La onda TEn que obtenemos con una componente longitudinal de las intensidades de
campo magneacutetico es
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 112FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
zktcosxd
ncosdvnH)tz(Hz
)tz(Hy
zktcosxd
nsenvk
H)tz(Hx
go
gg
o
2
02
2
02
2
0
)tz(Ez
zktcosxd
nZsenH)tz(Ey
)tz(Ex
go
95 GUIA DE ONDA RECTANGULAR
En una guiacutea de seccioacuten transversal rectangular cuyas medidas son b y d (ver fig 94) las ondas capaces de
propagarse son en todo caso ondas TE y TM
Fig 94 Guiacutea de onda rectangular y modo TE10
Ellas poseen una dependencia obvia de las dos coordenadas x e y en el aacuterea transversal
pues las condiciones de frontera Et = 0 y Hn = 0 deben satisfacerse en todas las cuatro -
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 113FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
paredes Por ello aparecen dos condiciones de propagacioacuten de la forma (96) con los
paraacutemetros m y n
kbsen1 = m
(918)
kbsen2 = n
Para todo par entero (m n) hay soluciones con el campo eleacutectrico o magneacutetico transversal
los cuales se denominan para b gt d como ondas TEmn o TMmn El subiacutendice del lado maacutes
grande es nombrado primero El par (0 0) se debe excluir pues todas las componentes
desaparecen Significando esto que en una guiacutea de onda rectangular una onda TEM no
es capaz de propagarse Para una TMmm ninguno de los subiacutendices puede ser cero Para
la frecuencia liacutemite de la onda de modo (m n) se tiene en analogiacutea con (97) y (98)
22
2
dn
bmvf nm (919)
La onda capaz de propagarse con la frecuencia maacutes baja se llama onda fundamental Esto
es debido a que b gt d la onda TE10 (ver fig 94) (Para las ondas TM el modo maacutes bajo
es m = n = 1)
96 CONDUCTORES DE ONDAS DIELECTRICOS
En la teacutecnica de comunicaciones oacutepticas se utiliza como conductores de ondas para las sentildeales de luz films dieleacutectricos (conductores en forma de tiras) y alambres (cables) dieleacutectricos (fibras oacutepticas)
A los dos corresponde ampliamente lo que se ha dicho de guiacuteas de onda pues tambieacuten
aquiacute la onda de luz acoplada es conducida por medio de una reflexioacuten total en las
superficies de separacioacuten
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 114FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Los conductores en forma de tiras (ver fig 95a) consisten de un film delgado transparente
con un iacutendice de refraccioacuten oacuteptica nF colocado sobre un substrato con un iacutendice de
refraccioacuten maacutes pequentildeo nS lt nF y rodeado de aire (no = 1) o de una cubierta transparente
(nM lt nF) Ello corresponde a una guiacutea de onda rectangular con las paredes que reflejan
totalmente en todos los lados Aparecen correspondientemente las condiciones de
propagacioacuten y los modos de onda capaces de propagarse Tales conductores en forma de
tiras constituyen los elementos base de los circuitos para el procesamiento de la
informacioacuten oacuteptica
La transmisioacuten de informacioacuten oacuteptica a traveacutes de grandes distancias se consigue con
cables de fibra oacuteptica La fibra oacuteptica (ver fig 95b) consiste de un nuacutecleo de vidrio con
un aacuterea transversal circular y con el iacutendice de refraccioacuten nk rodeado de una cubierta oacuteptica
delgada (nM lt nk ) Ella corresponde a una guiacutea de onda ciliacutendrica El anaacutelisis
matemaacutetico riguroso conduce a funciones ciliacutendricas Tambieacuten aquiacute se presentan modos
TE y TM con doble subiacutendice en donde el primer subiacutendice cuenta los nodos de onda
asimutales y el segundo los radiales en el interior del aacuterea transversal
Fig 95 Conductores de onda dieleacutectrica
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 115FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
10 ECUACIONES DE LINEAS DE TRANSMISIOacuteN
Las guiacuteas de onda son apropiadas solamente para guiar o conducir campos de onda con una frecuencia
mayor a la frecuencia liacutemite criacutetica f (de corte) = v 2d Mientras maacutes pequentildea la frecuencia de la onda maacutes
grande deben ser las dimensiones d del aacuterea transversal de la guiacutea de onda En el rango de los MHz y maacutes
abajo tales guiacuteas de onda no son realizables Aquiacute se utiliza para la guiacutea o conduccioacuten de ondas liacuteneas de
transmisioacuten de dos conductores muacuteltiples su rango de transmisioacuten respecto a la frecuencia teoacutericamente es
ilimitada En la praacutectica existe una frecuencia liacutemite superior debido al incremento de las peacuterdidas con el
incremento de la frecuencia
En este capiacutetulo queremos ocuparnos de tales sistemas de liacuteneas de transmisioacuten Por medio de un ejemplo
de liacuteneas de transmisioacuten de conductores paralelos queremos obtener las ecuaciones de las liacuteneas de
transmisioacuten y por medio de un circuito equivalente visualizarlas Importante aquiacute es que las liacuteneas de
transmisioacuten poseen inductancias capacidades y resistencias uniformemente distribuidas Con el aumento de
la frecuencia esto es con la disminucioacuten de la longitud de la onda los segmentos de una liacutenea de
transmisioacuten que pueden describirse suficientemente bien por medio de dispositivos o elementos
concentrados se tornan mas pequentildeos Las liacuteneas de transmisioacuten largas deben describirse como conductores
en cascada o en cadena
101 ONDAS NO HOMOGENEAS EN CONDUCTORES
Consideramos una liacutenea de transmisioacuten de dos conductores largos rectos y paralelos de
aacuterea transversal arbitraria (ver fig 101) A continuacioacuten supondremos un conductor ideal
( ) y un medio sin peacuterdidas (M = 0) Para ello podemos pensar en la liacutenea de
transmisioacuten de conductores paralelos como una guiacutea de onda con dos paredes metaacutelicas
ideales y paralelas Ondas que son guiadas a lo largo de este tipo de liacuteneas se las conoce
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 116FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
como ondas en conductores Queremos analizar si tambieacuten para esta situacioacuten la onda
TEM cumple con las condiciones de frontera
Et = 0 Hn = 0 (101)
las cuales deben satisfacerse en toda la superficie externa del conductor Las
componentes en las direcciones x y y de los vectores de campo deben depender a maacutes de
la direccioacuten de propagacioacuten z tambieacuten de las coordenadas x y y Las condiciones de
frontera son satisfechas uacutenicamente por ondas no homogeacuteneas
Fig 101 Liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos sin peacuterdidas
Hagamos por ello la siguiente consideracioacuten
)yx(Hy)yx(HxH
)yx(Ey)yx(ExE
)kzwt(j)kzwt(j
)kzwt(j)kzwt(j
ee
ee
0
0
(102)
siendo k el nuacutemero de onda en conductores el cual todaviacutea es desconocido
De las ecuaciones de Maxwell y con Ez = 0 y Hz = 0 se tiene
0
0
Hrot
Erot
z
z
(103)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 117FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
En los planos z = cte E y
H son campos libres de torbellinos y alliacute pueden determinarse
a partir de potenciales escalares eleacutectrico v(x y) y magneacutetico Vm(x y) Hagamos para el
plano z = zo la siguiente consideracioacuten (lo mismo sirve para Vm no se toma en cuenta la
funcioacuten temporal jwte )
00
jkze)yx(v)zyx(V (104)
y con ello
)yx(vgradVgrad)zyx(E jkze 00
En un medio lineal homogeacuteneo y sin carga espacial debido a que la divergencia de E es nula se tiene la
ecuacioacuten de potencial de Laplace
02 )yx(v (105)
En la superficie exterior de un conductor debido a que Et = 0 se tiene que v = cte Con
ello la determinacioacuten del campo eleacutectrico en los planos z = zo pasa a ser una
determinacioacuten de un potencial eleacutectrico v
Las relaciones entre las densidades del campo eleacutectrico y magneacutetico y el nuacutemero de onda todaviacutea
desconocido determineacutemoslas de las componentes x y y todaviacutea no utilizadas de las ecuaciones
rotacionales
Hxjz
Ey
HxjkEy (106a)
Hyjz
Ex
HykEx (106b)
Exjz
Hy
ExkHy (106c)
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Eyjz
Hx
EykHx (106d)
Estas ecuaciones se satisfacen mutuamente para
vk
(107)
y entregan
HyEx
HxEy
(108)
Como era de esperarse obtenemos pues una onda TEM no homogeacutenea con el nuacutemero de
onda igual al del espacio libre Las intensidades de campo eleacutectrico y magneacutetico
permanecen nuevamente perpendiculares entre siacute y estaacuten acopladas por medio de la
impedancia de onda del medio
En la fig (102) se indican las liacuteneas de campo en un plano transversal z=cte para una
liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos ciliacutendricos Como en el caso anaacutelogo de la
guiacutea de onda idealizada (ver fig 92) existe tambieacuten aquiacute una densidad de corriente
superficial esto se debe al salto de la componente tangencial de H en la superficie de
separacioacuten Esta densidad tiene direccioacuten contraria en los trozos de liacutenea opuestos y su
fase es una funcioacuten del tiempo y de la posicioacuten especiacuteficamente de la coordenada z En la
liacutenea fluye pues una corriente AC con una fase dependiente de la posicioacuten En el medio
se tiene una densidad de corriente de desplazamiento transversal a los conductores
(comparar con la fig 92)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 119FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Fig 102 Onda TEM en una liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos
En una liacutenea de transmisioacuten real que posee peacuterdidas con una conductividad especiacutefica c
aparece en lugar de la densidad de corriente superficial Js una densidad de
corriente espacial J con una profundidad de penetracioacuten dependiente de la frecuencia y
de la conductividad Una corriente AC estaacute relacionada siempre con una onda que estaacute
acoplada a lo largo con la liacutenea de transmisioacuten de conductores paralelos y viceversa es
decir una onda electromagneacutetica que viaja a lo largo de la liacutenea estaacute relacionada con una
corriente AC de alta frecuencia que se alimenta a la liacutenea
Debido a las peacuterdidas en la liacutenea la onda no es nunca maacutes del tipo TEM sino que tiene
una componente longitudinal de la intensidad de campo eleacutectrico pues en la superficie de
separacioacuten Et debe ser continua
Finalmente si tambieacuten el medio posee peacuterdidas esto es M 0 la corriente transversal
entre los conductores a maacutes de la corriente de desplazamiento posee tambieacuten una corriente
de conduccioacuten Resumiendo comprobamos lo siguiente
En los planos z = cte se presentan campos cuasiestacionarios Un campo de onda existe
uacutenicamente en dependencia de la coordenada z Para
z 2 k oacute z 1 (109)
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 120FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
los cambios de fase de los campos de onda son despreciables
En trozos de liacutenea cuya longitud es pequentildea en comparacioacuten con la longitud de onda debe ser posible
pues considerar al campo total como cuasi-estacionario y precisamente en el medio como capacitivo y en el
conductor como inductivo
Entonces podriacuteamos ahiacute por medio de variables integrales de corriente i y de voltaje v
obtener las ecuaciones necesarias Las ecuaciones que relacionan estas variables
integrales se denominan ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten Ellas pueden
representarse por medio de circuitos equivalentes los cuales consisten de una capacidad
una inductancia y de resistencias para las peacuterdidas oacutehmicas de la liacutenea y del medio
102 LA PRIMERA ECUACION DE LA LINEA
Consideremos un pedazo (trozo) de una liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt y
supongamos aquiacute tambieacuten conductores ideales ( c ) para un medio que posee
peacuterdidas ( M gt 0)
Para obtener la primera ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
ss
SdDJldH
)(
)(
(1010)
en el entorno cerrado (s) a lo largo de una liacutenea de campo magneacutetico en un plano z = zo
(ver fig 103) En el conductor es JD
y en el medio se tienen las liacuteneas de campo de
la densidad de corriente de desplazamiento en el plano y ahiacute estaacuten como la intensidad de
campo eleacutectrico perpendiculares a la intensidad de campo magneacutetico
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 121FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig 103 Obtencioacuten de la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten
Considerando la integral de liacutenea en el entorno (s) para la superficie s(zo) del plano z = zo tenemos
o)S(
zildH
(1011)
En el mismo entorno podriacuteamos considerar tambieacuten una cubierta ciliacutendrica de longitud z que se cierra por
medio de la superficie s(zo + z) del plano z = zo + z Entonces se tiene
)s( cubierta cubierta
)zzo(isdJsdDldH
(1012)
= )zz(iiq oM
siendo q la carga en el pedazo de conductor e iM la corriente transversal a traveacutes del medio Las ecuaciones
(1011) y (1012) son iguales
)zz(iiq)z(i oMo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Desarrollando i(zo + z) en series de Taylor tenemos
z)z(iz)z(iiq)z(i o
oMo
zilim
zqlim
z)z(ilim
zi
zq
z)z(i M
zz
o
z
Mo
000
Es decir - `i`qzi
M
(1013)
Con
zqlim`q
z
0 (1014)
Que es la corriente de carga por unidad de longitud de la liacutenea debido a las variaciones de carga en la liacutenea
y
zilimi M
zM 0 (1015)
que es la corriente de peacuterdidas por unidad de longitud de la liacutenea debida a la conductividad del medio La
peacuterdida diferencial de corriente en la liacutenea es igual a la suma de las corrientes de carga y de peacuterdidas que
fluye en el dieleacutectrico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el medio se tiene que en el plano z = cte una integral de
liacutenea arbitraria de la intensidad de campo eleacutectrico entre los dos conductores es
ldEv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 123FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Y con ello en el caso estacionario (pasando al dominio de la frecuencia)
Mi`qzi
(1016)
q` = C`v y iM = G`v y dependencia armoacutenica
vGvCj`i`qjzi
M
v`)G`Cj(zi
Esta es la primera ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten en donde C` y G` son la capacidad y la
conductancia por unidad de longitud
1013 LA SEGUNDA ECUACION DE LA LINEA
Para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea apliquemos la ecuacioacuten integral de Maxwell
)s(
SsdBldE
(1017)
a un camino cerrado el cual estaacute conformado por los caminos z en la superficie de los conductores a lo
largo de los hilos de corriente (ver fig 104) y por los caminos a lo largo de las liacuteneas de la intensidad de
campo eleacutectrico en los planos z = zo y z = zo + z
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
Fig104 Obtencioacuten de la segunda ecuacioacuten de la liacutenea
En el lado derecho de esta ecuacioacuten de Maxwell estaacute la variacioacuten temporal del flujo total el cual estaacute
relacionado con el hilo de corriente de la liacutenea de transmisioacuten el cual se utiliza como camino de integracioacuten
Nosotros queremos demostrar a continuacioacuten que este flujo total es igual al flujo concatenado
dii
1 (1018)
el cual se define como el valor promedio del flujo de todos los hilos de corriente del
conductor Dado que suponemos que los conductores son ideales (c ) la corriente
se distribuye uacutenicamente en la superficie exterior del conductor de tal forma que la
integracioacuten en (1018) se ejecuta en hilos de corriente que estaacuten en la superficie externa
Para un corrimiento del camino z en la superficie exterior del conductor desde un hilo de
corriente al proacuteximo debido a la condicioacuten de frontera Hn = 0 no se cortan hilos del
campo magneacutetico Los otros dos caminos al moverse en los planos z = cte igualmente no
cortan hilos de campo magneacutetico pues ellos son los mismos en estos planos El flujo es
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para todas los hilos de corriente el mismo y con ello el flujo concatenado es igual al flujo
total
tldE
)s(
(1019)
A la integral de contorno del lado izquierdo solamente contribuyen los caminos en los
planos z = zo y z = zo + z pues en un conductor ideal E = 0 Entonces
)()()()()(
oo
ooos
zvzdz
vzzvzvzzvldE
ozzvz
Es decir z
limtz
vlim
tzzzv
zzo
00
1
Siendo
zlim
z
0 (1021)
el flujo magneacutetico por unidad de longitud de la liacutenea de transmisioacuten La peacuterdida de voltaje
diferencial (caiacuteda de voltaje) de la liacutenea es igual al incremento temporal del flujo
magneacutetico
Debido al caraacutecter cuasi-estacionario del campo en el trozo de la liacutenea considerado se
tiene
iL a
)2010(tz
v
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y con ello en el caso estacionario (dominio de la frecuencia)
iLjzv
a
(1022)
que es la segunda ecuacioacuten de una liacutenea de transmisioacuten con conductores ideales La es la
inductancia externa por unidad de longitud de la liacutenea
104 ECUACIONES DE UNA LINEA DE TRANSMISION CON CONDUCTORES REALES Y SUS SOLUCIONES
En una liacutenea de transmisioacuten real (c ) con la impedancia compleja Z = R + jLi (Li= inductancia
interna) tenemos que considerar todaviacutea la contribucioacuten de voltaje Z i del camino z izquierdo de la
ecuacioacuten (1019) para obtener la segunda ecuacioacuten de la liacutenea Con la inductancia total por unidad de
longitud L = La +Li obtenemos
i)LajLijR(zv
)2310()(
)(
vCjGzi
iLjRzv
Estas son las ecuaciones de una liacutenea de transmisioacuten con conductores reales Para el pedazo de liacutenea de
longitud z obtenemos el circuito equivalente de la fig (105)
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Fig 105 Circuito equivalente de un pedazo de liacutenea de transmisioacuten de longitud z ltlt
Para simular una liacutenea de transmisioacuten larga debemos utilizar en cascada pedazos cortos de liacutenea o el circuito
equivalente de la fig (105) Convenientemente la mayoriacutea de circuitos equivalentes son cuadripolos
simeacutetricos Estos son el circuito T en el cual los componentes longitudinales aparecen la mitad en la
entrada y la otra mitad en la salida y el circuito en el cual los componentes transversales aparecen la
mitad en la entrada y la otra mitad en la salida
Derivando una vez maacutes con respecto a z la primera ecuacioacuten de la liacutenea e introduciendo la segunda
obtenemos la ecuacioacuten de onda de la liacutenea
zi)LjR(
zvi)LjR(
zv
2
2
)2410())((2
2
vCjGLjRz
v
022
2
v
zv
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 128FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Para la corriente se tiene la misma ecuacioacuten de onda
La variable compleja en (1024)
))(( CjGLjR (1025)
= + j
se denomina constante de propagacioacuten su parte real y su parte imaginaria se
denominan constante de atenuacioacuten y constante de fase respectivamente La constante de
propagacioacuten juega el mismo rol en las variables integrales v e i que el nuacutemero de onda
complejo k para las variables de campo E y H pero las partes real e imaginaria estaacuten
intercambiadas En la posicioacuten de -2 en la ecuacioacuten de onda (1024) aparece
especiacuteficamente +k2 en la ecuacioacuten de onda correspondiente (74)
Como soluciones a la ecuacioacuten de onda (1024) obtenemos ondas de voltaje las que se
propagan en la liacutenea en el sentido positivo o negativo de z Nuevamente nos limitaremos a
una propagacioacuten en el sentido positivo de z Entonces se tiene
)zt(jzo eevv (1026)
Como velocidad de fase obtenemos
fv (1027)
La relacioacuten entre voltaje y corriente es dada por medio de la impedancia de la liacutenea de transmisioacuten Para lo
cual partiendo de las ecuaciones de la liacutenea (1023) se tiene
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)ztj(o evv
i)LjR(z
evi)LjR(zv )zt(j
o
i)LjR(v
)CjG()LjR()LjR()LjR(
iv
CjGLjRZ
iv
o
(1028)
Para una liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas es Rrsquo= 0 y Grsquo= 0 y se tiene que
CLjw
CLv f
1
CLZo (1029)
La liacutenea de transmisioacuten sin peacuterdidas no presenta praacutecticamente dispersioacuten pues Lrsquo y Crsquo
son casi independientes de la frecuencia En la liacutenea de transmisioacuten que posee peacuterdidas en
cambio la velocidad de fase es dependiente de la frecuencia Entonces obtenemos para la
velocidad de grupo
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Teoriacutea Electromagneacutetica II Ing Edwin Nieto Riacuteos
ddvG (1030)
Cuando la velocidad de grupo es dependiente de la frecuencia lo que casi siempre se
encuentra las sentildeales de un gran ancho de banda experimentan retardos de tiempo de
propagacioacuten en la liacutenea
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11 POTENCIALES ELECTRODINAMICOS
Hasta aquiacute nos hemos ocupado uacutenicamente de la propagacioacuten de ondas electromagneacuteticas
En este capiacutetulo y en el proacuteximo nos ocuparemos de su generacioacuten
La solucioacuten general de las ecuaciones de Maxwell en presencia de distribuciones
arbitrarias de carga en alta frecuencia o de corriente como causa de ondas
electromagneacuteticas se logra por medio de la introduccioacuten de Potenciales electromagneacuteticos
De ellos nos ocuparemos en este capiacutetulo
111 DEFINICION Y AJUSTE DE POTENCIALES
Partimos de las ecuaciones de Maxwell totales
La densidad de carga y la densidad de corriente J las trataremos como alimentacioacuten
externa es decir como fuentes dadas del campo Nos limitaremos a un medio no
conductor ilimitado externo a la fuente de corriente de tal manera que la densidad de
corriente proporcionada es
J = -
Jeq
En un medio conductor con 0 se antildeade aditivamente el teacuterminoE (ver ec117)
Como se hace con campos inductivos podemos tambieacuten aquiacute satisfacer en forma ideacutentica la uacuteltima y la
primera ecuacioacuten de Maxwell por medio de
)111(
0BdivDdiv
DJHrot B-Erot
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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL 132FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA
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Las definiciones del potencial escalar eleacutectrico V y del potencial vectorial magneacutetico A coinciden pues
con las de los campos de variacioacuten lenta
Tambieacuten aquiacute se tiene que las definiciones de los potenciales (112) todaviacutea no son uacutenicas pues las variables
de campo son invariantes respecto a las transformaciones
Siendo F nuevamente una funcioacuten de ajuste arbitraria derivable dos veces Escogeremos F
de tal manera que desaparezca una posible combinacioacuten lineal de V y A Entonces
podemos de esta condicioacuten adicional de acoplamiento entre los dos potenciales regresar
del un potencial al otro y con ello alcanzar un desacoplamiento de las ecuaciones de
potencial
Respetando el caraacutecter de la transformacioacuten (caraacutecter escalar o vectorial) y las
dimensiones de V y A podemos construir las cuatro combinaciones lineales siguientes
Las dos primeras son sin embargo excluyentes pues en general no son compatibles con las ecuaciones de
Maxwell Con el signo positivo en (114) especiacuteficamente se tiene
(112)A-Vgrad-EArot B
)311(FgradAA
F-VacuteV
(114)0VgradA
(115)0VAdiv
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0 )AVgrad(E
Y con el signo negativo se tiene
0 VgradrotArotErot
Las ecuaciones (115) en cambio son compatibles siempre con las ecuaciones de campo
pues ahiacute se ha hecho uacutenicamente una consideracioacuten sobre los torbellinos del potencial
vectorial y sobre las fuentes de A puede disponerse libremente Para indicar
expliacutecitamente la compatibilidad de las ecuaciones (115) con las ecuaciones de Maxwell
(111) supongamos que el par de potenciales Vrsquo A rsquo no satisfacen la condicioacuten (115) o
sea
0 VAdiv
Entonces de (113) y de (115) se tiene
)FgradA(divV)FgradA(divAdiv
022 VFAdivFAdivV
div A F V F ( ) 2 0
div A F V F
2 0
2F F div A V ( ) (116)
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Para potenciales desajustados Vrsquo A rsquo obtenemos la funcioacuten de ajuste como solucioacuten de
una ecuacioacuten de onda no homogeacutenea Es usual utilizar la ecuacioacuten de ajuste con el signo
positivo
0 VAdiv
(117)
y se la denomina Ajuste de Lorentz Ella contiene el ajuste de Coulomb que se utiliza
para campos inductivos de variacioacuten lenta como un campo especial para V = 0
112 ECUACIONES DE LOS POTENCIALES Y SUS SOLUCIONES
Para obtener las ecuaciones de los potenciales partamos de las ecuaciones de campo (111)
que todaviacutea no las utilizamos y sus resultados son las ecuaciones (132) y (133)
VV 2 (118)
2 A A J
Las ecuaciones de los potenciales son ecuaciones de onda con las variables fuentes y J como no homogeneidades Del mismo tipo es la ecuacioacuten diferencial (116) para la
funcioacuten de ajuste F
Las soluciones de las ecuaciones de los potenciales (118) son (renunciaremos aquiacute a su
comprobacioacuten a traveacutes del teorema de Green)
dvR
)vRtr(
)tr(v
41 (119)
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dvR
)vRtr(J
)tr(A
4
en donde R r r es la separacioacuten entre el punto donde se halla la fuente y el punto en
consideracioacuten y
1
v (1111)
es la velocidad de fase en el medio en consideracioacuten
A estos potenciales se los denomina como electrodinaacutemicos o retardados pues su efecto
en el punto en consideracioacuten no aparece al mismo tiempo con su causa en el punto fuente
sino que aparece retrasado el tiempo
t tRv
(1112)
que es el tiempo que necesitaban las variaciones de campo que transcurra entre el punto fuente y el punto
de consideracioacuten
Cuando v los potenciales electrodinaacutemicos pasan a ser los potenciales estaacuteticos o
estacionarios Como una buena aproximacioacuten esto se cumple cuando la relacioacuten R v es
muy pequentildea comparada con la duracioacuten del periacuteodo de un campo armoacutenico pudiendo
tratarse a los potenciales y a los campos como cuasiestaacuteticos o cuasiestacionarios Para
campos variantes de alta frecuencia en cambio deben considerarse los potenciales
electrodinaacutemicos
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