Virasoro代数の表現論入門 - Kobe UniversityVirasoro代数の表現論入門 庵原...
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Virasoro代数の表現論入門
庵原 謙治(神戸大、理、数), 古閑 義之 (大阪大、理、数)
概 要
ここでは、Virasoro代数の表現論に関して [FeFu2]で得られている結果について解説する。その応用としてBernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) 分解及び,Bechi-Rouet-Stora-Tyutin(BRST) 分解を特に Belavin-Polyakov-Zamolodchikov (BPZ) 系列の場合に構成する。
目 次
1 定義 2
2 Jantzen Filtration 5
2.1 Shapovalov Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Jantzen Filtration I: Orginal Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Jantzen Filtration II: A Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Weightの分類 I 10
3.1 方針 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 結果(Class R±) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 埋め込みDiagram 15
4.1 Singular Vectorの存在と一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 埋め込みDiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Verma加群の構造 19
5.1 準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 BPZ系列のBGG分解 & 指標 23
7 Screening Operator 25
7.1 Screening Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2 Determinant Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1
8 Weightの分類 II 30
9 Fock加群の構造 31
9.1 Class V, I, R−の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.2 Class R+の場合:準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.3 Class R+の場合:構造定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 BPZ系列のBRST分解 41
11 コメント 43
Reference44
1 定義この節では、Virasoro代数及び、その特別な highest weight 表現であるVerma加群や既約 highest weight加群、更に Fock表現について、その定義を復習する。まず、主役の代数であるVirasoro代数の定義を思い起こそう:
定義 1.1 Virasoro代数Virとは、C-vector space
Vir :=⊕
n∈ZCLn ⊕ Cc
であって、以下の交換関係を満たす Lie代数である:
[Lm, Ln] = (m− n)Lm+n +1
12(m3 −m)δm+n,0c,
[Vir, c] = 0.
この Lie代数は三角分解
Vir = Vir+ ⊕ Vir0 ⊕ Vir−, Vir± :=⊕
±n∈Z>0
CLn, Vir0 := CL0 ⊕ Cc
を持つ。従って、Virasoro代数の highest weight moduleと呼ばれる表現を考え得るが、まずその中で最も、` universalなもの ’を定義しよう:
定義 1.2 (z, h) ∈ C2 (∼= (Vir0)∗)に対して、Vir≥ := Vir0 ⊕ Vir+-module Cz,h := C1z,h
を以下で定める。
c.1z,h = z1z,h, L0.1z,h = h1z,h, Vir+.1z,h := 0.
このとき、highest weightが (z, h)のVerma加群 M(z, h)とは誘導加群
M(z, h) := IndU(Vir)
U(Vir≥)Cz,h = U(Vir)⊗U(Vir≥) Cz,h
のことである。
2
このとき、以下は容易にわかる:
補題 1.1 (z, h) ∈ C2 (∼= (Vir0)∗)に対して、
1. M(z, h)は V ir0-diagonalizableである, i.e.,
M(z, h) =⊕
n∈Z≥0
M(z, h)h+n, M(z, h)h+n := u|L0.u = (h + n)u.
2. 正の整数 n ∈ Z>0にたいして、
dim M(z, h)h+n = p(n) (nの分割数) < ∞.
3. M(z, h)は唯1つの極大部分加群 J(z, h)を持つ,i.e.,
L(z, h) := M(z, h)/J(z, h)
は highest weightが (z, h)の既約 highest weight加群。
次に、Virasoro代数の Fock加群を導入する。Hを rank 1 のHeisenberg Lie代数とする。つまり、Hは vector spaceとして、
H :=⊕
n∈ZCan ⊕ CKH
であり、以下の交換関係を満たすものである。
[am, an] := δm+n,0mKH, [H, c] = 0.
H は三角分解H = H− ⊕H0 ⊕H+, H± :=
⊕
±n∈Z>0
Can, H0 := Ca0 ⊕ CKH
を有する。ここで、H≥ := H0 ⊕H+, H≤ := H− ⊕H0とする。η ∈ C に対し、H-加群 Fη を以下で定義する。まず、
Cη := C1η
以下で定義される 1次元の H≥-加群とする:
1. an.1η = ηδn,01η (n ∈ Z \ 0).2. KH.1η = 1η.
誘導加群Fη := IndHH≥Cη
Hの Fock加群という。次に、Fη上にVirasoro加群の構造を導入する。まず、
a(z) :=∑
n∈Zanz
−n−1
とおく。このとき、以下の補題が成立する。
3
補題 1.2 λ, κ ∈ Cに対して、Tλ,κ(z) :=
1
2a(z)2
+ (λ∂z + κz−1)a(z) +1
2κ(κ− 2λ)z−2,
とおく。但し、
akal
:=
akal (k ≤ l),
alak (k > l).,
である。作用素 Lλ,κn |n ∈ Z を
∑
n∈ZLλ,κ
n z−n−2 := Tλ,κ(z).
で定義すると、以下が成り立つ:
1. Vir は Fη に以下で作用する:
Ln 7→ Lλ,κn and c 7→ zλidFη ,
但し、zλ := 1− 12λ2である。
2. Lλ,κ0 .(1⊗ 1η) =
1
2(η + κ)(η + κ− 2λ)(1⊗ 1η).
補注 1.1 作用素 Tλ,κ(z) は energy momentum tensor と呼ばれることもある。
この作用で、 Fη をVirasoro-加群とみなしたとき、Fη の代わりに Fηλ,κ. と書くこと
にする。実は、これらを fullに考える必要は無い。それは以下の同型による:
補題 1.3 λ, η, κ ∈ C とする。このとき、Virasoro加群として以下は同型:
1. Fηλ,κ∼= Fη+κ
λ,0 .
2. Fηλ,κ∼= F−η
−λ,−κ.
3. (Fηλ,κ)
c ∼= Fη−λ,κ−2λ, 但し、(·)c は U(Vir) の anti-involution
σ : U(Vir) −→ U(Vir), Ln 7→ L−n (n ∈ Z), c 7→ c
の引き起こす contragredient dualである。
証明は 1, 2はそれぞれ、Hの同型an 7−→ an + κδn,0KH, KH 7−→ KH
及び、an 7−→ −an, KH 7−→ KH
について考えれば良い。3はHの anti-involution
an 7−→ a−n, KH 7−→ KH
の引き起こすH-加群としての同型
(Fη)c ∼= Fη
を考えれば良い。(詳細は、練習問題。) 従って、以下では、Fη
λ := Fηλ;0 とし、Virasoro加群 Fη
λ の構造を調べる。
4
2 Jantzen Filtration
この節では、Jantzen Filtrationについて、Jantzen [Ja]によるもの、及びその B. Feigin
& D. Fuchsらによる一般化 [FeFu2]について解説する。
2.1 Shapovalov Form
ここでは、Verma加群M(z, h)上の反変形式 (Shapovalov formとも呼ばれる)、及びKac-determinant について簡単に復習する。まず、
σ : U(Vir) −→ U(Vir), Ln 7→ L−n (n ∈ Z), c 7→ c
を anti-involutionとする。次に、直和分解
U(Vir) = U(Vir0)⊕ Vir−U(Vir) + U(Vir)Vir+
に関して第 1成分への射影を
π : U(Vir) −→ U(Vir0) ∼= C[(Vir0)∗]
とする。
定義 2.1 (z, h) ∈ (Vir0)∗ ∼= C2に対して、M(z, h)上の反変形式 (contravariant form)
〈·, ·〉z,h とは、
〈·, ·〉z,h : M(z, h)×M(z, h)−→U(Vir−)×U(Vir−)−→U(Vir0) −→C,
(x.vz,h, y.vz,h) 7−→ (x, y) 7−→π(σ(x)y)7−→π(σ(x)y)(z, h).
で定義されるものである。但し、x, y ∈ U(Vir−),vz,h := 1⊗ 1z,hとする。
このとき、以下の定理は良く知られており、その証明も簡単である。
定理 2.1 (z, h) ∈ (Vir0)∗とする。このとき、
1. (対称性 ) 〈u,w〉z,h = 〈w, u〉z,h (u,w ∈ M(z, h)).
2. (反変性 ) 〈x.u, w〉z,h = 〈u, σ(x).w〉z,h (x ∈ U(Vir), u, w ∈ M(z, h)).
3. Rad〈·, ·〉z,h = u ∈ M(z, h)|〈u,w〉z,h = 0 (∀w ∈ M(z, h)) はM(z, h)の極大部分加群.
上記の定理 2.1の 2で特に x = L0とおくことにより、以下の系を得る:
系 2.2 n, m ∈ Z>0に対して、m 6= nならば
〈·, ·〉z,h|M(z,h)h+m×M(z,h)h+n = 0.
5
そこで、n ∈ Z>0に対して、
〈·, ·〉z,h;n := 〈·, ·〉z,h|M(z,h)h+n×M(z,h)h+n
とおき、これが非退化かどうかを調べれば良い。つまり、定理 2.1及び系 2.2より、
系 2.3 以下は同値:
M(z, h) : 既約 ⇐⇒ Rad〈·, ·〉z,h;n := Rad〈·, ·〉z,h ∩M(z, h)h+n = 0 ∀n ∈ Z>0.
そこで、補題 1.1の 2より、n ∈ Z>0に対して、ui1≤i≤p(n)をM(z, h)h+nの基底とするとき、
det〈·, ·〉z,h;n := det((〈ui, uj〉z,h)1≤i,j≤p(n)
)
がわかれば良い。これについては、以下の公式が知られている(証明は、e.g., [TK]を見られよ):
定理 2.4 (Kac determinant) n ∈ Z>0とするとき、基底の選び方によるスカラー倍を除いて、以下が成立:
det〈·, ·〉z,h;n ∝∏
α,β∈Z>0α≥β
1≤αβ≤n
Φα,β(z, h)p(n−αβ),
但し、
Φα,β(z, h) :=
h + 1
24(α2 − 1)(z − 13) + 1
2(αβ − 1)
×h + 1
24(β2 − 1)(z − 13) + 1
2(αβ − 1)
+ 1
16(α2 − β2)2
α > β,
h + 124
(α2 − 1)(z − 13) + 12(α2 − 1) α = β,
とする。
2.2 Jantzen Filtration I: Orginal Version
ここでは、Janzten [Ja] に従って、元々の Jantzen filtrationについて復習する。まず、Rを体 K上の可換代数であって、かつ P.I.D.であるとする。Q(R) を R の商体とし、R-加群M に対し、MQ(R) := Q(R) ⊗R M とおく。以下、Rの素元 tを 1つとり、之を固定する。さて、νt : R −→ Z≥0 ∪ ∞を t進付値とし、剰余体R/tRをK,自然な射影を · : R ³ Kとおく。また、R-加群の圏からK-vector spaceの圏への函手 φをφ(M) := K ⊗R M で定義する。また、さぼって v ∈ M に対して、φ(v) := 1⊗ v ∈ φ(M)
と書いたりもする。次に、M を有限次元 ( r 次元としよう)Q(R)-vector spaceであって、非退化なQ(R)-
valuedな対称双一次形式 (·, ·)M をもつものとする。このとき、M のR-sublattice MR であって、以下を満たすものが存在すると仮定する:
(MR, MR)M ⊂ R, (MR)Q(R) = M.
6
MRは rankが rのR-自由加群である。MRのR-free basis e1, · · · , erを 1つ取り、
DR := det((ei, ej)M)1≤i,j≤r
とおく。このとき、DR は R の unit倍を除いて一意、従って νt(DR) はwell-defined。ここで、K-vector space M := φ(MR) 上の非退化対称双一次形式 (·, ·) を以下で定義する:
(φv1, φv2) := (v1, v2)R (v1, v2 ∈ MM).
定義 2.2 k ∈ Z≥0に対して、
MR(k) := v ∈ MR| (v, MR)M ⊂ tkR
とおき、ιk : MR(k) → MR を自然な埋め込みとする。ここで、
M(k) := φ ιk(MR(k))
とおくと、K-vector space M に filtration
M = M(0) ⊃ M(1) ⊃ M(2) ⊃ · · ·
を定める。この filtration M(k)k∈Z≥0を Jantzen filtrationという。
このとき、以下の定理が成立する:
定理 2.5 ([Ja]) 1. M(1) = Rad(·, ·)である。
2. k ∈ Z>0 に対して、商空間M(z, h)(k)/M(z, h)(k + 1)上に非退化な対称双一次形式が存在する。( v1, v2 ∈ MR(k) に対して、(φv1, φv2)k := t−k(v1, v2)M を考えよ。)
3. n ∈ Z>0に対して、以下の等式が成立する:
νt(DR) =∞∑
k=1
dimK M(k).
( R が P.I.D. であることを用いるのはここだけである。)
さて、Verma加群M(z, h)に対して、Jantzen filtrationをこれに従って、定義するには以下の事実に注意すれば良い。まず、Shapovalov form 〈·, ·〉z,h であるが、系 2.2より、これは n ∈ Z≥0ごとに、weight subspace M(z, h)h+n上に定義されていると思って良い。各weight subspaceは有限次元の vector spaceだから、上で述べた構成が applyでき、それらの直和をとることにより、Verma加群M(z, h)の Jantzen filtration M(z, h)(k)が定義される。このとき、以下の補題に注意しておく。
補題 2.6 k ∈ Z≥0に対して、M(z, h)(k) はVerma加群 M(z, h) の部分加群である。特に、M(z, h)(1)は M(z, h) の極大部分加群である。
7
2.3 Jantzen Filtration II: A Generalization
ここでは、Janzten filtration a la Feigin & Fuchs とでも言うべき、[FeFu2] で与えられている Janzten filtrationのある種の一般化について述べる。なお、以下に於いて、基礎体Kは固定する。
S を代数多様体とし、V,W を S 上の rank r の vector bundle とする。今、vector
bundleの morphsm f : V −→ W が与えられているとする。(つまり、以下の図式は可換。)
Vf//
666
6666
W
§§§§
§§§
S
V,Wの sectionのなす sheafをそれぞれ V ,Wをする。さて、P ∈ S 及び、点 P を regularな点として含む曲線 C ⊂ S を 1つとり、固定する。そして、V,W,V ,W , f の 曲線Cへの制限をそれぞれVC ,WC ,VC ,WC , fC とし、V,W の点 P での fibreをVP ,WP , VC ,WC の点 P での stalkを VC,P ,WC,P , fCの点 P 上の fibreへの制限を fC,P とする。ここで、以下の仮定をする:
[仮定] ImfC,P の rank は目一杯、i.e., r。
さて、ここで、fC,P と書いたら、fの induceするmorphism VC,P −→WC,P を表すとし、fibre上のmorphismは fP : VP −→ WP と略記することにする。OC を C の構造層とし、OC,P をその点 P に於ける stalkとする。このとき、定義よりOC,P は離散付値環ゆえ、unique maximal ideal mP = (t) が存在する。(t ∈ OC,P は一意化元、と呼ばれる。)
定義ー命題 2.1 n ∈ Z≥0に対して, VC,P の OC,P -部分加群 VC,P (n) 及び VP の K-vector
subspace VC,P (n) を以下で定義する:
VC,P (n) := u ∈ VC,P |fC,P (u) ∈ mnPWC,P,
VC,P (n) := u(P ) ∈ VP |u ∈ VC,P (n).
同様に、WC,P の OC,P -部分加群 IKC,P (n) 及び WP の K-vector subspace IKC,P (n) を以下で定義する:
IKC,P (n) := m−nP (mn
PWC,P ∩ ImfC,P ) ,
IKC,P (n) := u(P ) ∈WP |u ∈ IKC,P (n).
ここで、 IKC,P (0) := ImfC,P とし、WP の商空間 WC,P (n) を以下で定義する:
WC,P (n) := WP /IKC,P (n− 1).
πn を自然な射影 WP ³ WC,P (n)とし、 ‘f の n階微分’
f(n)C,P : VC,P (n) −→WC,P (n)
8
を以下で定義する:f
(n)C,P (u) := πn((t−nfC,P (u))(P )),
但し、u は VC,P (n) の元であって、u(P ) = u ∈ VC,P (n) を満たすものとする。このとき、以下が成立する。
1. Map f (n) は well-defined, i.e.,
((t−nfC,P )(u))(P ) ∈ IKC,P (n− 1) (∀u ∈ VC,P (n) ∩mPVC,P ).
2. 以下の filtrationが存在する:
VP =: VC,P (0) ⊃ VC,P (1) ⊃ VC,P (2) ⊃ · · · ,
∞⋂n=1
VC,P (n) = 0.
3. 以下の co-filtration が存在する:
WP =: WC,P (0) ³ WC,P (1) ³ WC,P (2) ³ · · · .
上の VP の filtration VC,P (n) を (VP ,WP ; f ; C) の Jantzen filtration といい、, WP
の co-filtration WC,P (n) を (VP ,WP ; f ; C) の Jantzen co-filtration という。
さて、簡単にわかることだが、まず以下の命題が成り立つ:
命題 2.7 n ∈ Z>0 とする。
1. VC,P (n) = Kerf(n−1)C,P ,
2. WC,P (n) = Cokerf(n−1)C,P ,
3. 従って、特に K-vector space として、VC,P (n) ∼= WC,P (n).
この命題の意味するところは、以下に説明するDualityにある。V∨,W∨をそれぞれV,Wの dual bundle とし、
tf : W∨ −→ V∨
をfの transposeとする。W∨C,P (n), V∨C,P (n)をそれぞれ、(W∨
P ,V∨C,P ; tf ; C)の Jantzen
(co-) filtration とする。このとき、以下の命題が成り立つ:
命題 2.8 n ∈ Z>0とする。
W∨C,P (n) ∼= WC,P (n)∗, V∨C,P (n) ∼= VC,P (n)∗,
但し、∗ は K-vector space の dual を表すものとする。
9
さて、次に、s ∈ C に対して、U ⊂ C をsの開近傍であって、VC ,WC を trivializeするものとする。mi1≤i≤r ⊂ Γ(U,VC), ni1≤i≤r ⊂ Γ(U,WC) をそれぞれ Γ(U,VC), Γ(U,WC)
の Γ(U,OC)-free basis とする。ここで、det fC,s ∈ OC,s を以下を満たすものとして定義する:
(det fC,s)n1 ∧ n2 ∧ · · · ∧ nr := fC,s(m1) ∧ fC,s(m2) ∧ · · · ∧ fC,s(mr) ∈ Γ(U,∧rWC).
det fC,s はOC,s の uint倍を除いて、well-definedである。νP : (OC,P ,mP ) −→ Z≥0 を付値とする。このとき、Character sum formula と呼ばれる、以下の等式が成り立つ:
補題 2.9
νP (det fC,P ) =∞∑
n=1
dimK VC,P (n).
3 Weightの分類 I
(z, h) ∈ C2に対して、
D(z, h) := (α, β) ∈ (Z>0)2|α ≥ β ∧ Φα,β(z, h) = 0
とおく。 weightの分類、とここで表題にあるのは、要するにD(z, h)のTypeによって(z, h) ∈ C2の分類をする、ということである。
3.1 方針
まず、天下りではあるが
z = 13− 6(P
Q+
Q
P), h =
m2 − (P −Q)2
4PQ
とする。このとき、簡単な計算により、
Φα,β(z, h) =1
(4PQ)2(m− Pα + Qβ)(m + Pα−Qβ)
×(m−Qα + Pβ)(m + Qα− Pβ)
を得る。
補注 3.1 (α, β) ∈ (Z>0)2に対して、
z(t) := 13− 6(t + t−1), hα,β(t) :=1
4(α2 − 1)t− 1
2(αβ − 1) +
1
4(β2 − 1)t−1
とおくと、Zα,β := (z(t), hα,β(t))|t ∈ C∗
となる。 ¤
10
また、このとき、定義より、
D(z, h) = (α, β) ∈ (Z>0)2|α ≥ β, (Pα−Qβ = ±m) ∨ (Qα− Pβ = ±m)
となっている。結局、(α, β)-平面で 4本の直線Pα−Qβ = ±m 及び Qα−Pβ = ±m の有理点を数え上げる問題に帰着される。そこで、大別すると、以下の様な状況に分かれるのは、明らかであろう:
Class V (Vacant): D(z, h) = ∅,
Class I (Irrational): D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q 6∈ Q,
Class R (Rational): D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q ∈ Q。
実は、有理点の分類の立場からは更に、Class Rを以下のClassに分けるのが自然である:
Class R+: D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q ∈ Q>0。
Class R−: D(z, h) 6= ∅ かつ P/Q ∈ Q<0。
定義から、直ちにわかることは、もし、(z, h)がClass Vに属していたら、Verma加群M(z, h)は既約である。また、もし、(z, h)がClass Iに属していたら、]D(z, h) = 1となることも明らかである。従って,weight (z, h)がClass Vまたは、Class Iに属する場合は、
]D(z, h) ≤ 1
となり、単純過ぎて面白く無い。という訳で、以下ではweight (z, h)はClass R に属すると仮定する。そこで、P, Q ∈ Zと仮定しても、一般性を失わない。更に、このとき、m 6∈ Zなら、D(z, h) = ∅となるので、以下では
P ∈ Z \ 0, Q ∈ Z>0, m ∈ Z
と仮定する。ここで、4本の直線のグラフを考えることにより、以下の 3つのTypeの存在が従う:
11
QP6= ±1 かつ m 6= 0 の場合:
P/Q > 0
6
-
β
α©©©©©©©©©©©©
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
©©©©©©©©©©©©
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
P/Q < 0
6
-
β
α
HHHHHHHHHHHH
AA
AA
AA
AA
AA
AA
HHHHHHHHHHHHA
AA
AA
AA
AA
AAA
図 1: Type I
P/Q = ±1 かつ m 6= 0 の場合:
P/Q = 1
6
-
β
α
P/Q = −1
6
-
β
α
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
図 2: Type II
P/Q > 0 かつ m = 0 の場合:
6
-
β
α
©©©©©©©©©
¢¢¢¢¢¢¢¢¢
図 3: Type III
12
補注 3.2 1. 所謂、Belavin-Polyakov-Zamolodchikov (BPZ) 系列、と呼ばれるもののhighest weight は以下の様に、paparemtrizeされる:
z = 13− 6(p
q+
q
p), h =
(rp− sq)2 − (p− q)24pq
.
但し、 p, q, r, s ∈ Z>0 は p, q > 1, (p, q) = 1, 1 ≤ r < q 及び 1 ≤ s < pを満たすものとする。従って、特にType I の weightになっている。
2. (z, h) が Class R+ (resp. R−)かつ Type IIに属する weightだとすると、z = 1
(resp. z = 25)となる。
そこで、最も ‘generic’な場合である、Type Iのweightを parametrizeすることを考える。key observationは以下の補題による:
補題 3.1 4本の直線のうち、1本を(適当に)選んで、それを `z,hとおく。
Class R+ このとき、集合(α, β) ∈ Z2 ∩ `z,h|αβ > 0
と、集合 D(z, h)の間に 1対 1対応がある。(以下の図が気持ちを伝えている。)
6
-
β
α
`z,h
`1
`2 `3
6
-
β
α
`z,h
r`′1
`′2
`′3
Class R− このとき、集合
(α, β) ∈ (Z>0)2 ∩ `z,h| αβ > 0
と集合 D(z, h)の間に、1対 1対応がある。(以下の図が気持ちを伝えている。)
6
-
β
α`2`1
`z,h 6
-
β
α
r`′1
`′2
`z,h
13
次にClass Rのweight (z, h) ∈ C2に対し、今、この補題で決めた直線 `z,h上の第 1及び第 3象限にある有理点 (αk, βk) (k ∈ Z>0)を
0 ≤ α1β1 ≤ α2β2 ≤ · · ·
を満たすように、並べ直す。そして、次に、weight (z, h + αkβk) ∈ C2に対して、同様の操作をくり返す。以上を注意深く行えば良い。
3.2 結果(Class R±)
前に述べたことを、ちゃんと実行すると以下の分類を得る。p, q ∈ Z>0を互いに素な正の整数とし、
z± := z
(±p
q
)= 13∓ 6
(p
q+
q
p
)
とおき、之を固定する。このとき、(anti-) ‘dominant weight’ を parametrizeする集合K±
p,qを以下で、定義する:
K±p,q :=
(r,±s) ∈ Z2
∣∣∣∣∣0 ≤ r < q
0 ≤ s < p, rp + sq ≤ pq
次に、各 (r, s) ∈ K±p,q及び i ∈ Zに対して、L0-Weight hiを以下で定義する:
hi :=
h−iq+r,s
(±p
q
)i ≡ 0 mod 2
h−(i+1)q+r,−s
(±p
q
)i ≡ 1 mod 2
.
補注 3.3 このとき、Class R±に属するweight (z±, h)に対して、必ずある (r, s) ∈ K±p,q
及び、i ∈ Zが存在して、h = hiと書けることが、面倒だが簡単な計算により従う。
ところで、このようにして得られた L0-weightは genericな (r, s) ∈ K±p,q に対しては、
i ∈ Z ごとに全て異なるweightを与えるのであるが、退化しているところがあり、それによって、Case 分け を行う。結果は以下の通り。
表 1: L0-weightの分類
Case 1± 0 < r < q ∧ 0 < ±s < p
Case 2± r = 0 ∧ 0 < ±s < p
Case 3± 0 < r < q ∧ s = 0
Case 4± r = 0 ∧ ± s = 0, p
14
補注 3.4 上の分類に於いて、 Case 1±に属するL0-weight hiは、i ∈ Zごとに全て異なる weightを与えるが、それ以外の場合、以下の退化が起こっている。
Case 2± h−(i+1) = hi (i ∈ Z≥0)
Case 3± h2i = h2i−1 (i ∈ Z)
Case 4± h−2i−1 = h−2i = h2i = h2i−1 (r, s) = (0, 0) (i ∈ Z≥0)
h−2i−2 = h−2i−1 = h2i = h2i+1 (r,±s) = (0, p) (i ∈ Z≥0)
という訳で、各Case ごとに、hiの iの動く範囲を以下の表の様に制限しても、差し支えない。
Case 1σ 2σ 3σ 4σ
σ = + Z Z≥0 (−1)i−1ii∈Z≥02Z≥0
σ = − Z \ 0 Z>0 (−1)i−1ii∈Z>0 2Z>0
4 埋め込みDiagram
Verma加群M(z, h)の Jantzen filtrationの構造を調べるためにVerma加群の埋め込みdiagramを構成する。
4.1 Singular Vectorの存在と一意性
まず、一般の (z, h) ∈ (Vir0)∗に対して、以下の命題が成立する。
命題 4.1 任意の n ∈ Z>0に対して、
dimM(z, h)h+nVir+ ≤ 1.
但し、M(z, h)h+nVir+ := u ∈ M(z, h)h+n|Vir+.u = 0
である。(M(z, h)h+nVir+ \ 0の元は、singular vectorと呼ばれる。)
証明の方針:「第1ステップ」n ∈ Z>0に対してまずPn := (1r12r2 · · ·nrn)|ri ∈ Z≥0,∑n
i=1 iri =
nを nの分割とし、I = (1r12r2 · · ·nrn) ∈ Pnに対し、eI := Lrn−n · · ·Lr2−2L
r1−1とおく。こ
のとき、eI.vz,h|I ∈ Pn (vz,h = 1⊗ 1z,h) はM(z, h)h+nの基底をなす。「第2ステップ」n ∈ Z>0に対して、Pn上の全順序>を以下で定義する: I = (1r12r2 · · ·nrn), J =
(1s12s2 · · ·nsn) ∈ Pn,
I > J ⇐⇒ ∃m ∈ Z>0 s.t. m ≤ n,
rk = sk k < m,
rk > sk k = m.
15
「第 3ステップ」n ∈ Z>0に対して、w ∈ M(z, h)h+nVir+ \ 0が存在するとせよ。このとき、
w =∑
I∈Pn
cwI eI.vz,h
とおく。J = (1s1jsj · · ·nsn) ∈ Pn (∃j ∈ Z>1 s.t. sj > 0)であって cwJ 6= 0を満たすものに対して、J′ := (1s1+1jsj−1 · · ·nsn) ∈ Pn−j+1とおく。また、
w′ := Lj−1.w =∑
I′∈Pn−j+1
cw′I′ eI′ .vz,h
と定義する。このとき、等式
cw′J′ = αw
J cwJ +
∑
I∈PnI>J
Qw;IJ cw
I
を満たす αwJ ∈ C∗及びQw;IJ ∈ Cが存在する。
「第 4ステップ」第 3ステップで得られた cwJ に関する等式の triangularityから、一意性が従う。 ¤さて、Kac determinantと singular vectorの存在との関係について,以下の補題が成立する。
補題 4.2 (z, h) ∈ (Vir0)∗に対して、Φα,β(z, h) = 0を満たす正の整数 α, β ∈ Z>0が存在するとする。このとき、
dimM(z, h)h+αβVir+ = 1.
この補題は以下のように証明される。まず、
Zα,β : = (z, h) ∈ (Vir0)∗|Φα,β(z, h) = 0= (z(t), hα,β(t))|t ∈ C∗
但し、
z(t) := 1− 6(t− 1)2
t, hα,β(t) :=
(αt− β)2 − (t− 1)2
4t
とおく。ここで、t ∈ C \ Qのとき、Φγ,δ(z(t), hα,β(t)) = 0を満たす (γ, δ) ∈ (Z>0)2は
(α, β) ∈ (Z>0)2に存在しないことが示され、このとき、
det〈·, ·〉z(t),hα,β(t);n 6= 0 ∀n < αβ
を満たすことがわかる。このことから、定理 2.1に注意すると、
∃w(t) =∑
I∈Pαβ
cw(t)I (t)eI.vz,h ∈ M(z(t), hα,β(t))hα,β(t)+αβVir+ \ 0
てあることが従う。特に、係数たち cwI (t)I∈Pαβは互いに素な tの多項式になっている
としてよい。後は、(z(t), hα,β(t)) = 補題の (z, h)となるような tを t = t0 ∈ C∗として、w(t0)を考えれば命題 4.1より、証明が完了する。
16
4.2 埋め込みDiagram
以上の準備の基で、BPZ系列に属するVerma加群の埋め込みDiagramを構成する。まず、記号の準備として、整数 i ∈ Zに対して、[hi] := M(z, hi)とし、Verma加群M(z, hi)
からVerma加群M(z, hj) (i, j ∈ Z) への単射を
[hi] // // [hj].
で表すことにする。このとき、命題 4.1及び 補題 4.2を用いると次の可換図式の存在が容易に構成される。
17
図 4: 埋め込みDiagram
1+ 2+ 3+ 4+
[h0] [h0] [h0] [h0]
[h1]<<
<<zzzzz[h−1]cc
ccGGGGG[h1]OO
OO
[h1]OO
OO
[h2]OO
OO
ddJJJJJ
[h2]OO
OO
99
99sssssssssssss[h−2]OO
OO
ee
KKKKKKK[h2]OO
OO
[h−2]OO
OO
[h4]OO
OO
ddJJJJJ
[h3]OO
OO
99
99sssssssssssss[h−3]OO
OO
ee
KKKKKKK[h3]OO
OO
[h3]OO
OO
[h6]OO
OO
ddJJJJJ
[h4]OO
OO
99
99sssssssssssss[h−4]OO
OO
ee
KKKKKKK[h4]OO
OO
[h−4]OO
OO
[h8]OO
OO
1− 2− 3− 4−
[h4] [h−4] [h4] [h−4] [h8]ddJJJJJ
[h3]OO
OO
99
99sssssssssssss[h−3]OO
OO
ee
KKKKKKK[h3]OO
OO
[h3]OO
OO
[h6]OO
OO
ddJJJJJ
[h2]OO
OO
99
99sssssssssssss[h−2]OO
OO
ee
KKKKKKK[h2]OO
OO
[h−2]OO
OO
[h4]OO
OO
ddJJJJJ
[h1]OO
OO
99
99sssssssssssss[h−1]OO
OO
ee
KKKKKKK[h1]OO
OO
[h1]OO
OO
[h2]OO
OO
[h0]bb
bbDDDDD ;;
;;wwwww[h0]OO
OO
[h0]OO
OO
[h0]OO
OO
18
5 Verma加群の構造この節では、前節で構成した Verma 加群の間の埋め込み Diagram(図 4) を用いて、
Verma加群M(z, hi)の Jantzen filtrationの構造を決定する。なお、記号の煩雑さを避けるため、図 4の埋め込みによる ImageとPre-Imageを記号の上で、区別しないことにする。
5.1 準備
ここでは、(z, h) が Class R に属する場合の Verma加群M(z, h) に対して、そのcharacter sum ∑
l>0
chM(z, h)(l)
を定理 2.5を用いて計算した結果のみを記す。それは以下の通りである。
補題 5.1 互いに素な正の整数 p, q ∈ Z>0を選び、之を固定する。
1. Class R+: z = z(pq),
(I) Case 1+: i ∈ Z,
∑
l>0
chM(z, hi)(l) =∑
k∈Z|k|>|i|
k−i≡1 mod 2
chM(z, hk),
(II) Case 2+: i ∈ Z≥0,
∑
l>0
chM(z, hi)(l) =∑
k>i
chM(z, hk),
(III) Case 3+: i ∈ Z≥0,
∑
l>0
chM(z, h(−1)i−1i)(l) =∑
k>i
chM(z, h(−1)k−1k),
(IV) Case 4+: i ∈ Z≥0,
i. (p, q) 6= (1, 1) ∧ (s = p ∨ i > 0),
∑
l>0
chM(z, h2i)(l) = 2∑
k>i
chM(z, h2k),
ii. (p, q) = (1, 1) ∨ (s = 0 ∧ i = 0),
∑
l>0
chM(z, h2i)(l) =∑
k>i
chM(z, h2k),
2. Class R−: z = z(−pq)
19
(I) Case 1−: i ∈ Z \ 0,∑
l>0
chM(z, hi)(l) =∑
k∈Z|k|<|i|
k−i≡1 mod 2
chM(z, hk),
(II) Case 2−: i ∈ Z>0,
∑
l>0
chM(z, hi)(l) =∑
0≤k<i
chM(z, hk),
(III) Case 3−: i ∈ Z>0,
∑
l>0
chM(z, h(−1)i−1i)(l) =∑
0≤k<i
chM(z, h(−1)k−1k),
(IV) Case 4−: i ∈ Z>0,
i. (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = 0,
∑
l>0
chM(z, h2i)(l) = 2∑
0<k<i
chM(z, h2k) + chM(z, h0),
ii. (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = −p,
∑
l>0
chM(z, h2i)(l) = 2∑
0≤k<i
chM(z, h2k),
iii. (p, q) = (1, 1),
∑
l>0
chM(z, h2i)(l) =∑
0≤k<i
chM(z, h2k).
5.2 結果
ここでは、Verma加群の Jantzen filtration の構造を述べ、そこから、得られる系を与えておく。
定理 5.2 各々の場合、M(z, h)(k) (k ∈ Z>0) は以下の様に、記述される:
1. Class V:
M(z, h)(k) = 0.
2. Class I: このとき、(z, h) = (z(t), hα,β(t)) となる t ∈ C \Q 及び α, β ∈ Z>0 が存在する。
M(z, h)(k) =
M(z, h + 1
2αβ) k = 1,
0 k > 1.
20
3. Class R±: p, q ∈ Z>0 を互いに素な整数の組とし、 z = z(± pq)とおく。
(I) Case 1±: i ∈ Z (\0 for Case 1−),
M(z, hi)(k) = M(z, h|i|+k) + M(z, h−|i|−k) (Case 1+),
M(z, hi)(k) =
∑l∈Z
|l|=|i|−kM(z, hl) k ≤ i
0 k > i(Case 1−).
(II) Case 2±: i ∈ Z≥0 (\0 for Case 2−),
M(z, hi)(k) = M(z, hi+k) (Case 2+),
M(z, hi)(k) =
M(z, hi−k) k ≤ i
0 k > i(Case 2−).
(III) Case 3±: i ∈ Z≥0 (\0 for Case 3−),
M(z, h(−1)i−1i)(k) = M(z, h(−1)i+k−1(i+k)) (Case 3+),
M(z, h(−1)i−1i)(k) =
M(z, h(−1)i−k−1(i−k)) k ≤ i
0 k > i(Case 3−).
(IV) Case 4+: i ∈ Z≥0,
i. The case (p, q) 6= (1, 1) ∧ (s = p ∨ i 6= 0),
M(z, h2i)(k) = M(z, h2i+2d k+12e),
ii. The case (p, q) = (1, 1) ∨ (s = 0 ∧ i = 0),
M(z, h2i)(k) = M(z, h2(i+k)).
(V) Case 4−: i ∈ Z>0,
i. The case (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = 0,
M(z, h2i)(k) =
M(z, h2i−2d k+12e) k < 2i,
0 k ≥ 2i.
ii. The case (p, q) 6= (1, 1) ∧ s = −p,
M(z, h2i)(k) =
M(z, h2i−2d k+12e) k ≤ 2i,
0 k > 2i.
iii. The case (p, q) = (1, 1),
M(z, h2i)(k) =
M(z, h2(i−k)) k ≤ i,
0 k > i.
21
埋め込みDiagram (図 4) は、singular vectorの存在について、最低限Kac-determinant
から読み取れる情報を基に、構成されているのであるが、実は、この定理から更に強く、以下の命題が従う:
命題 5.3 任意のVerma加群の部分加群は singular vectorで生成される。
5.3 証明
ここでは、定理 5.2の証明を、BPZ系列について行う。他の場合も、同様の ideaで証明できる。証明さて、簡単のため、i ∈ Z, k ∈ Z>0に対して、
N(z, hi)(k) := M(z, h|i|+k) + M(z, h−|i|−k) ⊂ M(z, hi)
とおく。 まず、M(z, hi)(k) ⊃ N(z, hi)(k) を示す。これは、定理 2.5及び埋め込みDiagram(図 4)より、kについての数学的帰納法で証明できる。
次に、M(z, hi)(k) = N(z, hi)(k) を示す。n ∈ Z>0とし、任意の 0 ≤ m < n なるm ∈ Z 及び任意の i ∈ Z, k ∈ Z>0に対して、
M(z, hi)(k)hi+m = N(z, hi)hi+m
が成立していると仮定する。(帰納法の最初のステップは trivial。) このとき、
M(z, hi)(k)hi+n = N(z, hi)hi+n
が成立することを以下で示す。まず、次の complexは L0-weight= hi + n のところでacyclicである:
· · · dj+1−→ M(z, h|i|+k+j)⊕M(z, h−|i|−k−j)dj−→ · · ·
· · · d2−→ M(z, h|i|+k+1)⊕M(z, h−|i|−k−1)d1−→ M(z, h|i|+k)⊕M(z, h−|i|−k)
d0−→ N(z, hi)(k) −→ 0,
但し、d0(x, y) := x + y, dj(x, y) := (x + y,−x− y) (j > 0)
とする。実際、これが complexになっていること, i.e., Kerdj ⊃ Imdj+1 (j ∈ Z≥0)は定義より明らか。よって、Kerdj ⊂ Imdj+1を示せば良い。ところで、定義より d0は全射である。また、j ∈ Z>0に対して定義より、
Kerdj = (x,−x)|x ∈ M(z, h|i|+k+j) ∩M(z, h−|i|−k−j),Imdj+1 = (x,−x)|x ∈ M(z, h|i|+k+j+1) + M(z, h−|i|−k−j−1).
22
ここで、M(z, h|i|+k+j)(1)はM(z, h|i|+k+j)の極大部分加群(cf. 定理 2.5の 1)だから,
M(z, h|i|+k+j) ∩M(z, h−|i|−k−j) ⊂ M(z, h|i|+k+j)(1)
となる。また、このとき、hi+n = h|i|+k+j +(hi−h|i|+k+j +n)であり、hi−h|i|+k+j +n n
ゆえ、帰納法の仮定から
(M(z, h|i|+k+j)(1))hi+n = (N(z, h|i|+k+j)(1))hi+n
となる。従って、N(z, h|i|+k+j)(1)の定義より、
(M(z, h|i|+k+j) ∩M(z, h−|i|−k−j)
)hi+n
⊂ (M(z, h|i|+k+j)(1))hi+n = (N(z, h|i|+k+j)(1))hi+n
=(M(z, h|i|+k+j+1) + M(z, h−|i|−k−j−1)
)hi+n
,
すなわち、Kerdj ⊂ Imdj+1が L0-weight= hi + nのところで成立する。次に、Euler-Poincare Principle により、
dim N(z, hi)(k)hi+n =∞∑
j=1
(−1)j−1dim M(z, h|i|+k+j−1)hi+n + dim M(z, h−|i|−k−j+1)hi+n
となり、
∞∑
k=1
dim N(z, hi)(k)hi+n =∞∑
k=1
dim M(z, h|i|+2k−1)hi+n + dim M(z, h−|i|−2k+1)hi+n
を得る。一方、補題 5.1より、
∞∑
k=1
dim M(z, hi)(k)hi+n =∞∑
k=1
dim N(z, hi)(k)hi+n
となり、既に示されている包含関係より、
M(z, hi)(k)hi+n = N(z, hi)(k)hi+n
が従う。 ¤
6 BPZ系列のBGG分解 & 指標前節で得られた結果の1つの系として、既約highest weight module L(z, hi)のBernsten-
Gel’fand-Gel’fand(BGG)型の resolutionが得られる:
系 6.1 (BGG分解) 任意の i ∈ Zに対して、次の完全列が存在する:
· · · −→ M(z, h|i|+j)⊕M(z, h−|i|−j) −→ · · ·· · · −→ M(z, h|i|+1)⊕M(z, h−|i|−1) −→ M(z, hi) −→ L(z, hi) −→ 0.
23
証明 まず、定理 2.5の 1及び定理 5.2より、以下の短完全列を得る:
0 −→ N(z, hi)(1) = M(z, hi)(1) −→ M(z, hi) −→ L(z, hi) −→ 0.
また、N(z, hi)(1)の定義より、次の列も完全:
0 −→ M(z, h|i|+1) ∩M(z, h−|i|−1) −→ M(z, h|i|+1)⊕M(z, h−|i|−1) −→ N(z, hi)(1) −→ 0
であるが、定理 5.2より、M(z, h|i|+1)∩M(z, h−|i|−1) ∼= N(z, h|i|+1)(1)ゆえ、以下の短完全列を得る:
0 −→ N(z, h|i|+1)(1) −→ M(z, h|i|+1)⊕M(z, h−|i|−1) −→ N(z, hi)(1) −→ 0.
以下同様に k ∈ Z>0に対して、短完全列
0 −→ N(z, h|i|+k+1)(1) −→ M(z, h|i|+k+1)⊕M(z, h−|i|−k−1) −→ N(z, h|i|+k)(1) −→ 0
を得る。後は、上で構成した短完全列のYoneda Product (cup 積)を取れば良い。 ¤最後に、系 6.1の応用として、L(z, h0)の指標を計算する。まず、q = e2π
√−1τ (Imτ > 0)とし、weight 12のmodular form Θn,m(τ)及び η(τ)を以
下で定義する。
定義 6.1 1. Dedekindの η函数: η(τ) = q124
∏∞n=1(1− qn).
2. theta函数: m ∈ Z>0 及び n ∈ Z/2mZに対して、
Θn,m(τ) :=∑
k∈Zqm(k+ n
2m)2 .
ここで、Vir-加群 V を highest weight が (z, h)の highest weight module とするとき、そのweigh分解を
V =∞⊕
n=0
Vh + n, Vh + n := u ∈ V |L0.u = (h + n)u (n ∈ Z≥0)
とする。このとき、
trV qL0− 124
c :=∞∑
n=0
(dim Vh+n)qh+n− 124
z
とおき、これを V の normalized characterと呼ぶ。この函数 tr·qL0− 124
cの加法性から、系 6.1を用いると、既約 highest weight module L(z, h0)の normalized characterは以下の様に計算される:
trL(z,h0)qL0− 1
24c =
∑
i∈Z(−1)itrM(z,hi)q
L0− 124
c
= η(τ)−1∑
i∈Z(−1)iqhi− 1
24(z−1)
= η(τ)−1 (Θrp−sq,pq(τ)−Θrp+sq,pq(τ)) .
従って、trL(z,h0)qL0− 1
24cはweight 0 のmodular formであることがわかる。
24
7 Screening Operator
この節では、Fock加群の間の Screening operatorと呼ばれるmorphismを導入し、それを用いて、Virasoro加群の射
Γλ,η : M(zλ, hηλ) −→ Fη
λ , Lλ,η : Fηλ −→ M(zλ, h
ηλ)
c
の L0-weight subspaceへの制限の determinantを計算する。但し、
zλ = 1− 12λ2, hηλ =
1
2η(η − 2λ)
である。
7.1 Screening Operator
ここでは、Screening operatorを定義し、その存在について議論する。詳細については、[TK] を参照されよ。まず、µ ∈ C 及び不定元 ζ に対して、作用素 eµq ∈ EndH<
(⊕η∈CFη
)及び , ζµa0 ∈
EndH(⊕
η∈CFη)を以下で定義する:
eµq.(1⊗ 1η) := 1⊗ 1η+µ,
ζµa0 .(1⊗ 1η) := ζµη(1⊗ 1η).
次に、作用素 Sµ;aa∈C ⊂ EndC(⊕
η∈CFη)の生成函数 Sµ(ζ)を以下で定義する:
Sµ(ζ) := exp
(µ
∑
k>0
a−k
kζk
)exp
(−µ
∑
k>0
ak
kζ−k
)eµqζµa0 .
簡単な計算から、Sµ(ζ)は以下の交換関係を満たすことが示される:
補題 7.1 n ∈ Z とする。
[Ln, Sµ(ζ)] = ζn
ζ
d
dζ+
1
2µ(µ− 2λ)(n + 1)
Sµ(ζ).
また、a ∈ Z>1に対して、作用素 Sµ(ζi) (1 ≤ i ≤ a) の合成は以下のように記述される:
Sµ(ζ1) · · ·Sµ(ζa)
=∏
1≤i<j≤a
(ζi − ζj)µ2
× exp
(µ
∑
k>0
a−k
k
a∑i=1
ζki
)exp
(−µ
∑
k>0
ak
k
a∑i=1
ζ−ki
)
× eaµq
(a∏
i=1
ζi
)µa0
.
25
正確には、左辺は領域 (ζ1, · · · , ζa)||ζ1| > |ζ2| > · · · > |ζa| > 0 で収束する作用素であり、右辺によって、その解析接続が与えられているとみなす。さて、ここで、作用素K(µ; ζ1, · · · , ζa) (a ∈ Z>0) を以下の式で定義する:
K(µ; ζ1, · · · , ζa) := Sµ(ζ1) · · ·Sµ(ζa)
(a∏
i=1
ζi
)−µa0− 12(a−1)µ2
.
このとき、補題 7.1より、K(µ; ζ1, · · · , ζa) は以下の交換関係を満たすことが、示される:
補題 7.2 n ∈ Z とする。
[Ln, K(µ; ζ1, · · · , ζa)]
=a∑
i=1
ζni
ζi
∂
∂ζi
+1
2µ(µ− 2λ)(n + 1) + µa0 − 1
2(a + 1)µ2
K(µ; ζ1, · · · , ζa).
さて、次に、作用素K(µ; ζ1, · · · , ζa)のFuorier係数を見てみる。 a ∈ Z>1に対して、
Ma := (ζ1, · · · , ζa) ∈ (C∗)a|ζi 6= ζj (1 ≤ i 6= j ≤ a)
とし、多価函数∏
1≤i<j≤a
(ζi − ζj)µ2
a∏i=1
ζ− 1
2(a−1)µ2
i
のMonodromy群に附随するC-係数の local systemを Sµ とし、その dualを S∨µ とする。各 twisted cycle Γ ∈ Ha(Ma,S∨µ ) 及び li ∈ Z (1 ≤ i ≤ a) に対して、
O(µ; Γ; l1, · · · , la) :=
∫
Γ
K(µ; ζ1, · · · , ζa)a∏
i=1
ζ−li−1i dζi
とおく。このとき、補題 7.2及び、部分積分より、以下の命題が従う:
命題 7.3 λ, η ∈ C 及び、li (1 ≤ i ≤ a) は、条件
λ =1
2µ− µ−1, η − λ = −1
2aµ− bµ−1, li = b (∀i) (∃ µ ∈ C∗, ∃ b ∈ Z)
を満たすとする。このとき、作用素
O(µ; Γ; l1, · · · , la)
はVirasoro加群の射である。
以下、この節では λ及び ηを命題を満たすものとし、之を固定する。
定義 7.1 作用素
S(µ; Γ; a, b) := Oµ; Γ; b, · · · , b︸ ︷︷ ︸
a
を (twisted-)cycle Γ ∈ Ha(Ma,S∨µ ) に附随する screening operatorという。
26
さて、次に作用素 S(µ; Γ; a, b) が non-trivialな射になるための、1つの十分条件を与える。a = 1の場合は明らかに non-trivialゆえ、a > 1 とする。実は、積分
∫
Γ
∏1≤i<j≤a
(ζi − ζj)µ2
a∏i=1
ζ− 1
2(a−1)µ2
i
a∏i=1
dζi
ζi
(1)
が non-trivialなら、作用素 S(µ; Γ; a, b) は non-trivialになることが、簡単にわかる。そこで、この積分の non-trivialityについて調べよう。もし、1
2µ2 ∈ Zなら、local system
S∨µ は trivial になるが、このとき、Γ として、原点 ζ1 = · · · = ζa = 0の周りのResidue
を拾う cycleをとれば、積分 (1) は non-trivialになる。そこで、以下では 12µ2 6∈ Zとす
る。ここで、
Ya−1 := (z1, · · · , za−1) ∈ (C∗)a−1|zi 6= zj (i 6= j), zi 6= 1
と置く。このとき、変数変換
ζ1 := ζ, ζi := ζzi−1 (1 < i ≤ a)
によって、積分 (1)の積分核は
∏1≤i<j<a
(zi − zj)µ2
∏i≤i<a
(1− zi)µ2
z− 1
2(a−1)µ2
i
∏1≤i<a
dzi
zi
× dζ
ζ
となる。このうち、zi変数に依存する項は Ya−1上の多価函数であり、そのMonodromy
群はC-係数の local system Sµ を定めるが, [TK] の Lemma 3.9 により、同型
Ha(Ma,S∨µ ) ∼= Ha−1(Ya−1, S∨µ )⊗H1(C∗,C)
が存在することが示されている。但し、S∨µ は Sµ の dual local systemである。つまり、或種の cycle Γ ∈ Ha(Ma,S∨µ ) に対しては、cycle Γ1 ∈ Ha−1(Ya−1, S∨µ ) 及び Γ2 ∈ H1(C∗,C)
が存在して、積分 (1) は以下の積分に等しくなる、というのである:∫
Γ1
∏1≤i<j<a
(zi − zj)µ2
∏i≤i<a
(1− zi)µ2
z− 1
2(a−1)µ2
i
∏1≤i<a
dzi
zi
×∫
Γ2
dζ
ζ.
従って、問題は上の積分の第 1項の non-trivialityに帰着された。そこで、
Ωa :=
µ ∈ C
∣∣∣∣1
2d(d + 1)µ2 6∈ Z,
1
2d(d− a)µ2 6∈ Z (1 ≤ d < a)
とおく。このとき、[TK]の命題 4.2 及び、[Sel] により、以下の定理が成立する:
定理 7.4 以下の性質を満たすΩa 上定義された cycle Γ(µ) ∈ Ha−1(Ya−1, S∨µ )が存在する:
1. 任意の Ya−1 上の正則函数 g(z1, · · · , za−1) に対して、以下の積分は Ωa 上正則:∫
Γ(µ)
∏1≤i<j<a
(zi − zj)µ2
∏1≤i<a
(1− zi)µ2
z− 1
2(a−1)µ2
i g(z1, · · · , za−1)∏
1≤i<a
dzi
zi
.
27
2. 以下の等式が成立する:∫
Γ(µ)
∏1≤i<j<a
(zi − zj)µ2
∏1≤i<a
(1− zi)µ2
z− 1
2(a−1)µ2
i
∏1≤i<a
dzi
zi
=(−π)a−1Γ
(12aµ2 + 1
)
(a− 1)!Γ(
12µ2 + 1
)a ∏1≤j<a sin 1
2jµ2π
.
そこで、a ∈ Z>0 及び b ∈ Z とし、更に µ ∈ Ωa とする。Γ1 = Γ(µ) ∈ Ha−1(Ya−1, S∨µ ) を上の定理にある cycle とし、Γ′ を H1(C∗,C) の生成元とする。また、Γ := Γ(µ)× Γ′ とおく。このとき、以下の定理が成り立つ:
定理 7.5 Screening operator
S(µ; Γ; a, b) : Fλ− 12aµ−bµ−1
λ −→ Fλ+ 12aµ−bµ−1
λ
は以下に述べる意味で non-trivialである。
1. b ≥ 0 のとき、1⊗1λ− 12aµ−bµ−1 の像はFλ+ 1
2aµ−bµ−1
λ の level が 12ab の non-trivialな
元 (singular vector) を定める。
2. b ≤ 0 のとき、像が 1⊗ 1λ+ 12aµ−bµ−1 になるような Fλ− 1
2aµ−bµ−1
λ の level が 12ab の
non-trivialな元 (co-singular vector) が存在する。
7.2 Determinant Formulae
ここでは、前で得た結果を基に、次の 2つの射について、そのdeterminantを計算する。
定義 7.2 λ, η ∈ C とする。このとき、
Γλ,η : M(zλ, hηλ) −→ Fη
λ , 1⊗ 1zλ,hηλ7→ 1⊗ 1η,
Lλ,η : Fηλ −→ M(zλ, h
ηλ)
c, 1⊗ 1η 7→ (1⊗ 1zλ,hηλ)∗,
とおく。但し、(1⊗1zλ,hηλ)∗ ∈ M(zλ, h
ηλ)
c は (1⊗1zλ,hηλ)∗(1⊗1zλ,hη
λ) = 1によってnormalize
されるものとする。
補注 7.1 射 Γλ,η 及び Lλ,η の関係は以下の通りである。
1. Γλ,η, Lλ,η の合成は、Shapovalov formによって定義される射 Szλ,hη
λ, i.e.,
Szλ,hηλ
: M(zλ, hηλ) −→ M(zλ, h
ηλ)
c, u 7→ 〈u, ·〉zλ,hηλ
に他ならない。
28
2. 補題 1.3 より、以下の関係が成立する。
Lλ,η = tΓλ,2λ−η.
実は、この observationが以下の計算の鍵になる。
さて、補注 7.1 より、射 Γλ,η 及び Lλ,η のうち、いづれか一方の determinantが計算出来れば十分である。更に、Shapovalov form の誘導する射 Sz,h の determinant は 定理 2.4
により、与えられることに注意すると後は、以下の、簡単な計算及び、定理 7.5 を用いると直ちに得られる。さて、(z, h) = (zλ, h
ηλ) のとき、Kac-determinant がどのようにな
るかを見てみよう。まず、λ ∈ C に対して、λ± := λ±
√λ2 + 2
とおく。(これは、µ の 2次方程式 λ = 12µ − µ−1 の解である。)このとき、以下の等式
が成り立つ:
Φα,β(zλ, hηλ)
=1
4
η − λ− 1
2(αλ+ + βλ−)
η − λ− 1
2(βλ+ + αλ−)
×
η − λ +1
2(αλ+ + βλ−)
η − λ +
1
2(βλ+ + αλ−)
α 6= β,
=1
2η − λ− αλ η − λ + αλ α = β.
結果は、以下の通り。まず、n ∈ Z>0 に対して、
M(z, h)n := u ∈ M(z, h)|L0.u = (h + n)u,M(z, h)c
n := u ∈ M(z, h)c|L0.u = (h + n)u,(Fη
λ)n := u ∈ Fηλ |L0.u = (hη
λ + n)uとし、
Γλ,η;n := Γλ,η|M(zλ,hηλ)n
: M(zλ, hηλ)n −→ (Fη
λ)n,
Lλ,η;n := Lλ,η|(Fηλ)n
: (Fηλ)n −→ M(zλ, h
ηλ)
cn
とおく。また、Map Γλ,η;n, Lλ,η;nの適当な基底に関するdeterminantをそれぞれ、det Γλ,η;n, det Lλ,η;n
とおくと、以下の定理が成り立つ:
定理 7.6 ([TK]) λ, η ∈ C とし、n ∈ Z>0 とする。
det Γλ,η;n ∝∏
r,s∈Z>01≤rs≤n
(η − λ) +
1
2(rλ+ + sλ−)
p(n−rs)
,
det Lλ,η;n ∝∏
r,s∈Z>01≤rs≤n
(η − λ)− 1
2(rλ+ + sλ−)
p(n−rs)
.
29
8 Weightの分類 II
この節では、Fock加群 Fηλ を parametrizeする ‘weight’ (λ, η)を分類する。なお、ここ
での分類は § 3 での分類より、ある意味では細かいものを与えることになる。それは、λ
を固定したとき、L0-weight hηλ を与える η が genericには 2つあり、しかもFock module
として、その 2つは同型では無い(contragredient dualになっている)ことに起因する。
まず、T ∈ C∗ 及び、(α, β) ∈ (Z>0)2 に対して、
λ(T ) :=1√2(T − T−1), ηα,β(T ) :=
1√2(αT − βT−1)
とおく。このとき、
zλ(T ) = z(T 2), hλ(T )±ηα,β(T )
λ(T ) = hα,β(T 2)
となっていることに、注意しておく。そこで、(λ, η) ∈ C2 に対して、(zλ, hηλ) がClass ∗
に属すとき、‘weight’ はClass ∗ に属する、ということにする。(λ, η) が Class V に属するとき、何もしようがない。 (λ, η) が Class I に属するとき、ある正の整数の組 (α, β) ∈ (Z>0)
2 及び T ∈ C∗ が存在して、
T 2 6∈ Q, λ = λ(T ), η ∈ λ(T )± ηα,β(T )となる。(λ, η) が Class R± に属するとしよう。このとき、
λ = λ
(ω±
√p
q
), ω+ = 1, ω− = (−1)
12
となる互いに素な整数 p, q ∈ Z>0が存在する。さて、(λ, η) がClass R− に属するとしよう。このとき、定理 7.6 より、射 Γλ,η 及び Lλ,η が共に、退化するとことは無い。つまり、このとき、Fock加群 Fη
λ は Verma加群M(zλ, hηλ) か contragredient Verma加群
M(zλ, hηλ)
c のいづれかに同型である。従って、この場合、Fock加群の構造を新たに調べ直す必要は無い。よって、以下では、(λ, η) が Class R+ に属する場合を考える。天下りではあるが、‘dominant weight’ を parametrize する集合として、
Kp,q :=
(r, s) ∈ Z2
∣∣∣∣∣0 ≤ r ≤ q
0 ≤ s ≤ p
を考える。次に各 (r, s) ∈ Kp,q に対して、
η(r, s; i) := λ
(√p
q
)+
η−iq+r,s
(√pq
)i ≡ 0 mod 2,
η−(i+1)q+r,−s
(√pq
)i ≡ 1 mod 2,
とおく。この η(r, s; i) の退化の度合いによって、集合 Kp,q を以下の 3つの Group に分ける:
30
表 2: Kp,qのGroup分け
Group [ 0 < r < q ∧ 0 < s < p
Group \ (r ≡ 0 (q) ∧ s 6≡ 0 (p)) ∨ (r 6≡ 0 (q) ∧ s ≡ 0 (p))
Group ] r ≡ 0 (q) ∧ s ≡ 0 (p)
補注 8.1 η(r, s; i) の退化の度合いは以下の表の通り:
Group \ r ≡ 0 (q) η(0, s; i) = η(q, p− s; i + 1)
s ≡ 0 (p)η(r, p; i) = η(r, p; i + 1) i ≡ 0 (2)
η(r, 0; i) = η(r, 0; i + 1) i ≡ 1 (2)
Group ] ∀ s η(0, s; i) = η(q, p− s; i + 1)
∀ rη(r, p; i) = η(r, p; i + 1) i ≡ 0 (2)
η(r, 0; i) = η(r, 0; i + 1) i ≡ 1 (2)
という訳で、各 (r, s) ∈ Kp,q に対して、η(r, s; i) の i の動く範囲を、下記の表の様に制限しても一般性を失わない。
Group [ \ ]
i の範囲 Z 2Z 2Z
補注 8.2 集合 Kp,q の自己同型
(r, s) 7−→ (q − r, p− s)
は以下の意味を持つ。簡単な計算から
η(q − r, p− s; i)− λ
(√p
q
)= −(η(r, s;−i)− λ
(√p
q
)),
であるが、これはh
η(q−r,p−s;i)λ = h
η(r,s;−i)λ
であることを意味している。特に i = 0 の場合、これは、Kac table の対称性に他ならない。しかし、Fock加群 の level では、補題 1.3 より、以下の同型に対応している:
Fη(q−r,p−s;i)λ
∼= (Fη(r,s;−i)λ )c.
これが、この節の始めに述べたことの意味である。
9 Fock加群の構造この節では、Fock加群の構造を調べる。特に、non-trivialなのは (λ, η) ∈ C2 がClass
R+ に属する場合なので、この場合に詳細に調べる。
31
9.1 Class V, I, R−の場合
ここでは、単純な場合を全て、片付けておく。まず、(λ, η) が Class V に属する場合、Fock加群 Fη
λ は既約、従って、この場合は以下の様になる:
補題 9.1 (Class V) 以下の同型が存在する。
Fηλ∼= M(zλ, h
ηλ)∼= M(zλ, h
ηλ)
c.
次に、(λ, η)がClass I叉はClass R−に属する場合、ある正の整数の組 (α, β) ∈ (Z>0)2
及び T ∈ C∗ が存在して、
λ = λ(T ), η ∈ λ(T )± ηα,β(T )
となる。定理 7.6 より、この場合、以下の様になる:
補題 9.2 (Class I, R−) 以下の同型が存在する:
1. η = λ(T ) + ηα,β(T ) の場合、Fη
λ∼= M(zλ, h
ηλ).
2. η = λ(T )− ηα,β(T ) の場合、
Fηλ∼= M(zλ, h
ηλ)
c.
という訳で、これらの場合は、何も新しいことが無く面白く無いのである。因に、[FeFu2]
では、(λ, η) が Class R− に属する場合の構造は Class R+ に属する場合の dualっぽく書いてあり、これは`大嘘 ’である。おそらく、真面目に考えずに答えを書いたのであろう。
9.2 Class R+の場合:準備
ここでは、まず、Jantzen filtration a la Feigin & Fuchs 用いるための setting を行う。次に、Character sumの計算をし、次節に向けての準備を行う。まず、M,F,Mc を D = C2 上の trvial vector bundle であり、その点 (λ, η) ∈ D 上の fibre がそれぞれ、M(zλ, h
ηλ),Fη
λ ,M(zλ, hηλ)
c であるものとする。次に、Γ, L を vector
bundleの射であって、M Γ //
##GGGGGGGGG F L //
Mc
wwww
wwww
ww
D
点 (λ, η) ∈ D の fibre上でそれぞれ Γλ,η, Lλ,η となるものとする。また、vector bundle の
射 S : M −→Mc をS := L Γ 定める。以上の状況に § 2.3 で導入した Jantzen filtration
32
の一般化を apply 出来ることは、既に説明済みである。各点P = (λ0, η0) ∈ D に対して、CP ⊂ D を以下で定義される直線とする:
(λ− η)− (λ0 − η0) = 0.
ここで、M(zλ0 , hη0
λ0)(n)n∈Z≥0
, M(zλ0 , hη0
λ0)(n]n∈Z≥0
, Fη0
λ0[n)n∈Z≥0
及びM(zλ0 , h
η0
λ0)c(n)n∈Z≥0
, Fη0
λ0(n]n∈Z≥0
, M(zλ0 , hη0
λ0)c[n)n∈Z≥0
, をそれぞれ 4つ組MP ,Mc
P ; S; CP, MP ,FP ; Γ; CP, FP ,McP ; L; CP に附随する Janzten (co-)filtration
とする。次に、各 (λ, η) ∈ D 及び n ∈ Z≥0 に対して、
Pr(n) : M(zλ, hηλ)
c ³ M(zλ, hηλ)
c(n),
Pr(n] : Fηλ ³ Fη
λ(n],
Pr[n) : M(zλ, hηλ)
c ³ M(zλ, hηλ)
c[n)
を自然な射影とする。OCP ,P の一意化元 tを固定し、Szλ,hηλ, Γλ,η, L
λ,ηの n階微分 S(n)
zλ,hηλ, Γ
(n]λ,η, L
λ,η[n)
を定義する。このとき、以下の補題は簡単に証明出来る:
補題 9.3 ([FeFu2]) k, l ∈ Z≥0 とする。ここで、
w ∈ M(z, h)(k + l) \M(z, h)(k + l + 1) ∩ M(z, h)(k] \M(z, h)(k + 1]
なる元wが存在すると仮定する。但し、(z, h) = (zλ, hηλ) とする。このとき、以下の性質
を満たす vector wf ∈ Fηλ [l) \ Fη
λ [l + 1) 及び wc ∈ M(z, h)c \ 0 が存在する。
1. Pr(k](wf ) = Γ(k]λ,η(w),
2. Pr(k+l)(wc) = S(k+l)z,h (w) かつ Pr[l)(wc) = Lλ,η
[l) (wf )。
さて、では実際に、個々の場合に Fηλ の構造をみていこう。まず、p, q ∈ Z>0 を互いに
素な正の整数とし、
λ := λ
(√p
q
), z := zλ
とおき、之を固定する。次に、(r, s) ∈ Kp,q に対して、
h(r, s; i) := hη(r,s;i)λ
とおく。このとき、命題 2.8 及び 補注 8.2 より、基本的にはCharcater sum
∑
k>0
chM(z, h(r, s; i))(k]
を用いて、解析するだけである。そこで、この場合にも補題 2.9 を用いて計算した結果のみを以下に記す。
補題 9.4 互いに素な正の整数 p, qを選び、これを固定する。
33
1. Group [: (i ∈ Z), ∑
k>0
chM(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)),
2. Group \: (i ∈ 2Z),
(i) r ≡ 0 (q): ∑
k>0
chM(z, h(r, s;−∣∣∣∣i−
r
q
∣∣∣∣−(
2k − r
q
))),
(ii) s ≡ 0 (p): ∑
k>0
chM(z, h(r, s;
∣∣∣∣i +s
p
∣∣∣∣ +
(2k − s
p
))),
3. Group ]: (i ∈ 2Z),
(i) i 6= 0: ∑
k>0
chM(z, h(r, s; i + 2(sgni)k)),
(ii) i = 0 ∧ rp− sq 6= 0:∑
k>0
chM(z, h(r, s;−2(sgn(rp− sq))k)),
(iii) i = 0 ∧ rp− sq = 0: ∑
k>0
chM(z, h(r, s;∓2k)).
補注 9.1 L0-weight h(r, s; i) とVerma加群のところに出てきたweight hi の関係は.以下の通りである。まず、
σ : Kp,q −→ K+p,q, (r, s) 7−→ (r, s), (q − r, p− s) ∩K+
p,q
とおく。このとき、(r, s) ∈ Kp,q 対して定義されるweight h(r, s; i) と σ(r, s) ∈ K+p,q に
対して定義される weight hi の関係は以下の表で与えられる。Group (r, s) ∈ Kp,q h(r, s; i) σ(r, s)
[ rp + sq < pq hi (r, s)
rp + sq > pq h−i (q − r, p− s)
\ r ≡ 0 (q)hi− r
qi ≥ r
q
h−i−(1− rq) i < r
q
(0, s) r = 0
(0, p− s) r = q
s ≡ 0 (p)hsgn(rp−sq)(i−(1− s
p)) i > − s
p
hsgn(rp−sq)(i+ sp) i ≤ − s
p
(r, 0) s = 0
(q − r, 0) s = p
] rp− sq 6= 0hi−2 r
qi ≥ r
q
h−i−2 sp
i ≤ − sp
(0, p)
rp− sq = 0hi i ≥ 0
h−i i ≤ 0(0, 0)
34
実は、より強く以下の補題が成り立つ。
補題 9.5 p, q を互いに素な正の整数とし、
z := 13− 6
(p
q+
q
p
)
を固定する。このとき、各 k ∈ Z>0 に対して、以下の同型が存在する。
1. Group [: (i ∈ Z),
M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)),
2. Group \: (i ∈ 2Z),
(i) r ≡ 0 (q):
M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s;−∣∣∣∣i−
r
q
∣∣∣∣−(
2k − r
q
))),
(ii) s ≡ 0 (p):
M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s;
∣∣∣∣i +s
p
∣∣∣∣ +
(2k − s
p
))),
3. Group ]: (i ∈ 2Z),
(i) i > 0 ∨ i = 0 ∧ rp− sq ≥ 0:
M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s; i− 2k)),
(ii) i < 0 ∨ i = 0 ∧ rp− sq ≤ 0:
M(z, h(r, s; i))(k] ∼= M(z, h(r, s; i + 2k)).
証明はどの 3 つの場合も同様ゆえ、Group [ の場合のみ、示すことにする。 証明 まず、Character sum formula (補題 9.4) より、以下が成立する:
(A)M(z, h(r, s; i))(1]h(r,s;|i|+1)−h(r,s;i)
Vir+ 6= 0.
(B)M(z, h(r, s; i))(1]h(r,s;−(|i|+1))−h(r,s;i)
Vir+
= 0.
実際、主張 (A) は補題 9.4 より、以下の事実が成り立つことから従う:
dimM(z, h(r, s; i))(1]h−h(r,s;i)
Vir+
=
0 h < h(r, s; |i|+ 1),
1 h = h(r, s; |i|+ 1).
35
また、主張 (B) は補題 9.4 より、multiplicity に関して等式
[M(z, h(r, s; i))(1] : L(z, h(r, s;−(|i|+ 1)))] = 0
が成り立つことから従う。さて、Verma加群 M(z, h(r, s; i)) の部分加群で主張 (A), (B)
を共に満たすものは M(z, h(r, s; |i|+1)) と同型ゆえ、k = 1 の場合は証明終わり。さて、k に関する帰納法で k − 1まで、証明できたとすると、補題 9.4 と帰納法の仮定から
∑
l≥k
chM(z, h(r, s; i))(l] =∑
l≥k
chM(z, h(r, s; |i|+ 2l − 1))
となり、同様の証明で k の場合も証明できる。 ¤
9.3 Class R+の場合:構造定理
ここでは前節の結果を用いて、(λ, η) が属する 3つのGroup の場合にそれぞれ、Fock
加群Fηλ の構造を調べていく。
まず (λ, η) が Group [ に属す場合の Fock加群 Fη(r,s;i)λ (i ∈ Z) の構造を調べる。
wk ∈ M(z, hη(r,s;i)λ ) (k 6= 0)を L0-weightが h(r, s;−(sgnk)(|i|+ |k|))の 0でない singular
vector とする。更にこのとき、補題 9.3 によって存在が保証されている wk に対応するFη(r,s;i)
λ の元をwfk とする。また、wf
0 := 1⊗ 1η(r,s;i)λ とおく。このとき、以下の定理が成
り立つ:
定理 9.6 ([FeFu2]: Group [) Fock加群 Fη(r,s;i)λ に関して、以下が成立する:
1. k ∈ Z>0 とするとき、以下の同型が存在する。
U(Vir).wf2k−1
∼= L(z, h(r, s;−(|i|+ 2k − 1))).
そこで、Gη(r,s;i)λ := Fη(r,s;i)
λ /⊕k∈Z>0 U(Vir).wf2k−1 とおき、
π : Fη(r,s;i)λ ³ Gη(r,s;i)
λ
を canonical projectionとする。
2. l ∈ Z とするとき、以下の同型が存在する。
U(Vir).π(wf2l)∼=
L(z, h(r, s; i)) l = 0,
L(z, h(r, s;−(sgnl)(|i|+ 2|l|))). l 6= 0
そこで、Gη(r,s;i)
λ := Gη(r,s;i)λ /⊕l∈Z U(Vir).π(wf
2l) とおき、
π : Gη(r,s;i)λ ³ Gη(r,s;i)
λ
を canonical projectionとする。
36
3. このとき、以下の同型が存在する:
Gη(r,s;i)
λ∼=
⊕
k∈Z>0
U(Vir).π π(wf−2k+1),
U(Vir).π π(wf−2k+1)
∼= L(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)) (k ∈ Z>0).
この定理の証明の準備とし、次の補題を示す。
補題 9.7 m, n ∈ Z は m− n ∈ 2Z を満たすとする。このとき、以下が成立する:
Ext1(Vir,Vir0)(L(z, h(r, s; m)), L(z, h(r, s; n))) ∼= 0.
証明 まず、k ∈ Z に対して、
Ext1(Vir,Vir0)(M(z, h(r, s; k)), L(z, h(r, s; n))) ∼= Ext1
(Vir≥,Vir0)(Cz,h(r,s;k), L(z, h(r, s; n)))
∼= HomVir0(Cz,h(r,s;k), H1(Vir+, L(z, h(r, s; n))))
に注意する。後は、系 6.1 を用いて、H1(Vir+, L(z, h(r, s; n))) を計算し、定理 5.2 を用いて、短完全列
0 −→ M(z, h(r, s; m))(1) −→ M(z, h(r, s; m)) −→ L(z, h(r, s; m)) −→ 0
に附随する、Extの長完全列を考えれば良い。 ¤定理 9.6の証明 1 について。k ∈ Z>0 とするとき、補題 9.3 より、
wf2k−1 ∈ Fη(r,s;i)
λ [k) ∩KerPr(k−1], i.e., U(Vir).wf2k−1 ⊂ Fη(r,s;i)
λ [k) ∩KerPr(k−1]
であることが示される。一方、 [U(Vir).wf2k−1 : L(z, h(r, s;−(|i| + 2k − 1)))] 6= 0 かつ、
j ∈ Z \ 0 に対して、
[U(Vir).wf2k−1 : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))] ≤ [Fη(r,s;i)
λ [k) : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))],[U(Vir).wf
2k−1 : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))] ≤ [KerPr(k−1] : L(z, h(r, s;−(sgnj)(|i|+ |j|))]
ゆえ、補題 9.5 及び、命題 2.7 より、1が示される。2について。 k ∈ Z>0 及び l ∈ Z に対して、補題 9.3 より、次の事実が成り立つことに注目する。
wfl ∈ Fη(r,s;i)
λ [k) ∩KerPr(k+1] ⇐⇒ l ∈ 2k ± 1,±2k (:= Ik とおく。).
そこで、1 の場合と同様に,muliplicityに関する計算から、
chFη(r,s;i)λ [k) ∩KerPr(k+1] =
∑
l∈Ik
chL(z, h(r, s;−(sgnl)(|i|+ |l|)))
となることが示される。よって、1 より、
chπFη(r,s;i)λ [k) ∩KerPr(k+1] =
∑
l∈±2kchL(z, h(r, s;−(sgnl)(|i|+ |l|)))
37
となる。k = 0 の場合も同様。これと、補題 9.7 より、2 は示される。3について。k, l ∈ Z>0 に対して、補題 9.3 より、
wf−(2l−1) ∈ Fη(r,s;i)
λ [k − 1) ∩KerPr(k+1] ⇐⇒ l = k.,
となるので、1 の場合と同様に
π πFη(r,s;i)λ [k − 1) ∩KerPr(k+1] = U(Vir)π π(wf
−(2k−1))
∼= L(z, h(r, s; |i|+ 2k − 1)).
後は、Characterの計算から従う。 ¤次に、Group \ の場合で、以下の定理の証明は、Group [ の場合と同様に出来るので、結果のみを述べる。
定理 9.8 ([FeFu2]: Group \) Fock加群 Fη(r,s;i)λ に関して、以下が成立する:
1. s 6≡ 0 (p) ∧ [i < 0 ∨ [i = 0 ∧ r = q]] ∨ r 6≡ 0 (q) ∧ [i > 0 ∨ [i = 0 ∧ s = p]]:
(i) k ∈ Z>0 とするとき、KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k) は既約である。そこで、
Gη(r,s;i)λ := Fη(r,s;i)
λ /⊕k∈Z>0 KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k) とおき、
π : Fη(r,s;i)λ ³ Gη(r,s;i)
λ
を canonical projectionとする。
(ii) k ∈ Z>0 とするとき、πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k) は既約であり、以下が成立
する:Gη(r,s;i)
λ =⊕
k∈Z>0
πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k).
2. s 6≡ 0 (p) ∧ [i > 0 ∨ [i = 0 ∧ r = 0]] ∨ r 6≡ 0 (q) ∧ [i < 0 ∨ [i = 0 ∧ s = 0]]:
(i) k ∈ Z>0 とするとき、KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) は既約である。そこで、
Gη(r,s;i)λ := Fη(r,s;i)
λ /⊕k∈Z>0 KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) とおき、
π : Fη(r,s;i)λ ³ Gη(r,s;i)
λ
を canonical projectionとする。
(ii) k ∈ Z>0 とするとき、πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) は既約であり、以下が
成立する:
Gη(r,s;i)λ =
⊕
k∈Z>0
πKerPr(k+1] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1).
また、Group ] についても、同様に以下が成立する:
38
定理 9.9 ([FeFu2]: Group ]) k ∈ Z>0 とするとき、KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1) は既約
であり、従ってFη(r,s;i)λ は完全可約である:
Fη(r,s;i)λ =
⊕
k∈Z>0
KerPr(k] ∩ Fη(r,s;i)λ [k − 1).
補注 9.2 Fock加群Fη(r,s;i)λ の構造、それぞれ以下の図で、表される。なお、以下の図に
おいて、 wは singular vector を表し、× は quotient をとって、0 になった vector を表す。また、
v // w
は適当な、quotientの中で、w ∈ U(Vir).v となっていることを示す。
39
図 5: Group [
Fηλ Gη
λ Gη
λ
c w ×w||
xxx cbbFFF
× cbbEEE
× weeJJJJ
c
OO
yy
ttttttttt cJJJJ
w zzttttttttt w × ×eeJJJJ
w yyttttttttt c
OO
JJJJ// // × c
OOddJJJJJJJJJ// // × w
eeJJJJ
c
OO
yy
ttttttttt cJJJJ
w zzttttttttt w × ×eeJJJJ
w yyttttttttt c
OO
JJJJ× c
OOddJJJJJJJJJ× w
図 6: Group \ ]
\ : 1 \ : 2 |
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ
]
Fηλ Gη
λ Fηλ Gη
λ Fηλ
c w w × w
w × c
OO
w w
c
OO
// // w w // // × w
w × c
OO
w w
c
OO
w w × | w
40
10 BPZ系列のBRST分解この節では、BPZ 系列に属する既約 highest weight加群 L(z, h0) の BRST分解を
行う。互いに素な正の整数 p, q ∈ Z>0 を 1つとり、これを固定する。次に、(α, β) ∈ Z2 に対
して、
Fα,β := Fλ(√
pq)+ηα,β(
√pq)
λ(√
pq)
とおく。このとき、この節の目的は以下の定理の証明を行うことである:
定理 10.1 ([Fel]) (r, s) ∈ Kp,q (0 < r < q, 0 < s < p) とし、これを固定する。
1. 以下の complexが存在する:
C : · · · d−3−→−2
F2q+r,sd−2−→
−1
Fq+r,p−sd−1−→
0
Fr,sd0−→
1
F−q+r,p−sd1−→
2
F−2q+r,sd2−→ · · · .
但し、co-boundary dk は以下で与えられる:
dk :=
S(−√
2qp; Γ; s, r − (k + 1)q) k ≡ 1 mod 2,
S(−√
2qp; Γ; p− s, r − (k + 1)q) k ≡ 0 mod 2.
2. 以下の complexが存在する:
C : · · · d−3−→−2
Fr,2p+sd−2−→
−1
Fq−r,p+sd−1−→
0
Fr,sd0−→
1
Fq−r,−p+sd1−→
2
Fr,−2p+sd2−→ · · · .
但し、co-boundary dk は以下で与えられる:
dk :=
S(√
2pq; Γ; r, s− (k + 1)p) k ≡ 1 mod 2,
S(√
2pq; Γ; q − r, s− (k + 1)p) k ≡ 0 mod 2.
3. 1, 2 いずれの場合も、C の cohomology は以下で与えられる:
Hi(C) ∼=
L(zλ, h(r, s; 0)) i = 0,
0 i 6= 0.
証明をする前に以下の事実に注意しておく。
補注 10.1 M, N, Lを Vir0-diagonalizable Vir-module with finite dimensional weight sub-
spaces とする.。このとき、以下が成り立つ:
1. M が indecomposable, Lが既約かつ、N が non-trivial extension
0 −→ M −→ N −→ L −→ 0, ∨ 0 −→ L −→ N −→ M −→ 0,
であり、EndVir(M) ∼= C とする。このとき、EndVir(N) ∼= C である。
41
2. M が composition series を持ちかつ indecomposable ならば、EndVir(M) ∼= C.
証明の方針d∗ は必ず、|i| − |j| ∈ ±1 を満たすある整数 i, j ∈ Z が存在して、
d∗ : Fη(r,s;i)λ −→ Fη(r,s;j)
λ
の形になっているので、特に i < 0 かつ j = i + 1 の場合に詳細に調べる。(その他の場合も同様に調べれる。)このとき、d∗ は以下の図のように factorする。
cc w // w||
zzz cbbDDD
ddIII
w©©©©©© c
[[666666
× c
[[666666// c
OO
zz
uuuuuuuuu cIIII
ddIIIddIII
c
OO
zz
uuuuuuuuu cIIII
w zzuuuuuuuuu w // w zz
uuuuuuuuu c
OO
IIII
ddIIIddIII
w zzuuuuuuuuu c
OO
IIII// // × c
OOddIIIIIIIII// c
OO
zz
uuuuuuuuu cIIII
ddIIIddIII
c
OO
zz
uuuuuuuuu cIIII
w zzuuuuuuuuu w // w zz
uuuuuuuuu c
OO
IIII
ddIIIddIII
w zzuuuuuuuuu c
OO
IIII× c
OOddIIIIIIIII// c
OO
zz
uuuuuuuuu cIIII
この図で、→の部分が同型になっていることを示せば、補注 10.1より十分である。まず、
π : Fη(r,s;i)λ ³ Fη(r,s;i)
λ /∑
k>0
U(Vir)wf(−1)k−1k
を canonical projectionとし、l ∈ Z>0 に対して、
Gl :=2l∑
k=0
U(Vir)π(wf(−1)kk
)
とおく。このとき、次の 2 つの短完全列
0 −→ Gl−1 −→ Gl/L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))) −→ L(z, h(r, s; |i|+ 2l − 1)) −→ 0,
0 −→ L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))) −→ Gl −→ Gl/L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))) −→ 0
は non-splitting であり、かつ
Ext1(Vir,Vir0)(L(z, h(r, s; |i|+ 2l − 1)),Gl−1) ∼= C,
Ext1(Vir,Vir0)(Gl/L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l))), L(z, h(r, s;−(|i|+ 2l)))) ∼= C,
であることが、示される。このことから、→ の部分が同型になっていることが従う。 ¤
42
11 コメントここでは、文献等について、少し補足しておく。まず、Virasoro代数の Verma加群の構造であるが、これは、B. Feigin と D. Fuchs
[FeFu1] により、あのたった 2 ページの短い論文の中で、全ての要点が書かれてある。[FeFu2] は本人達によると、[FeFu1]の詳細版及び、Semi-infinite wedge を使って作られるVirasoro代数の表現についての詳細版なのだそうだが、B. Feigin 氏に質問をすると、[I do not remember the detail, but more or less, this is all!] と言って数行程で、`気持ち’を説明してくれるのであるが、悲しいかなそれがほとんど理解出来なかった。しかし、Verma加群については、その Virasoro代数の ‘Rank 2 らしさ’から、Jantzen filtration
を道具として、Rank2のKac-Moody Lie環のVerma加群の構造を完全に調べ切っている論文 [Mal]で展開されている手法がそのまま適用される。ここでの手法は、それに倣っている。次に、Fock加群の構造であるが、これはVerma加群の構造が頭に入っていて、Janzten
Filtrationの一般化がきっちりと定式化出来れば、後はほとんど単純な議論のみであるが、この定式化をする際に、[FeFu2]を解読するのに苦労していた我々がB. Feigin 氏に質問した結果が、前に述べた通りで、この部分が一番苦労した部分である。以上を含め、その他に、Coset constructionを affine Lie 環 sl2 の admissible表現を用
いて構成すると、全てのBPZ系列が得られることや、Unitary highest weight表現の分類について、[IK] にまとめているので(予定である)、興味があれば、見ていただきたい。
参考文献[BPZ] Belavin A. A., Polyakov A. M. and Zamolodchikov A. B., Infinite conformal
symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B 241, (1984),
333–380.
[FeFu1] Feigin B.L. and Fuchs D.B., Verma Modules over the Virasoro Algebra, Funkts.
Anal. Prilozhen., 17, (1983), 91–92.
[FeFu2] Feigin B.L. and Fuchs D.B., Representations of the Virasoro algebra, Adv.
Stud. Contemp. Math. 7, 465–554, Gordon and Breach Science Publ. New
York, 1990.
[Fel] Felder G., BRST approach to minimal models, Nucl. Phys. B 317, (1989),
215-236, Erratum B 324, (1989), 548.
[IK] Iohara, K. and Koga, Y., 図書、準備中.
[Ja] Jantzen J.C., Moduln mit einem hochsten Gewicht, Lect. Notes in Math. 750
Springer-Verlag, 1979.
43
[Mal] Malikov F.G., Verma modules over Kac-Moody algebras of rank 2, Leningrad
Math. J., 2, No. 2, (1991), 269–286.
[Sel] A. Selberg, Bemerkninger om et multiplet integral, Norsk. Math. Tids. B 26,
(1944), 71–78.
[TK] Tsuchiya A. and Kanie Y., Fock Space Representations of the Virasoro Algebra
– Intertwining Operators –, Publ. RIMS Kyoto Univ. 22, (1986), 259–327.
44