VI GEOGEBRA ITALIAN DAY - 2016 CONFERENZE PLENARIE

AitzolLasaDynamicsoftwareinthelearningofalgebraDuringaperiodofsixyears,from2009to2015,thegroupofMathematicsEducationatNUP/UPNAUniversitydevelopedadidacticalengineeringtoteachalgebraicproceduresinDBH4grade(collegestudents,age15-16),usingthedynamicgeometrysoftwareinstrumentGeoGebra.

Inparticular,studentswhererequestedtosolvesystemsofnon-linearequations(line-parabola)integratingtwomaterial supports: “dynamic geometry software” and “paper andpencil”. In this context,weuse theTheoryofInstrumentalGenesistodescribetheinstrumentGeoGebra,weovercometheclassicaltendencytoclassifydynamicmodelsaccordingtostudentcomputationalskills(computing-mastery)andweproposeanalternativeclassification,whichdependsonthetypeofmathematicalactivitywewanttopromotewiththedynamicmodel. Therefore,we elude associated didactical phenomena, such as “metacognitive shift” and“illusionoftransparency”.

Ourdidacticalframelocatestheinstrumentwithintwodidacticaltheorieswhichcanpredictsandinterpretpotentialandeffectiveteachingandlearningprocesses:theTheoryofdidacticalsituationsinmathematics,andtheOntosemioticapproachtomathematicalpracticeandinstruction.Weusequalitativeandquantitativemethods toanalyse the results:apriori andaposteriori comparisons (inherent todidactical engineering),descriptivestatistics,testhypothesisandimplicativestatisticalanalysis.

The results take intoaccount threedimensions: sociological and socio-linguistic, pedagogical anddidactic.Suchconclusionsdetermine:(1)howdynamicgeometrysoftwareallowstudentstoprogressinalgebraizationlevels,(2)theinfluenceofdynamicgeometrysoftwareinthedidacticalcontract,and(3)theoptimizationofastudyprocess,whichintegratesthematerialsupports“dynamicgeometrysoftware”and“paperandpencil”.Our findings provide concrete guidelines for teachers,who canuse them to design learning and teachingprocessesinthefuture.

Keywords:dynamicmodels,explorative,didacticalsituations,Ontosemioticapproach.

GiovanninaAlbano,UmbertoDelloIaconoGeoGebra, E-learning e Digital Storytelling: una possibile integrazione per l’apprendimento inmatematicaIl lavorochequipresentiamoè inserito inunaricercapiùampia(Dello Iacono2015;Albano,Dello Iacono,Mariotti2016;Albano,DelloIacono,Fiorentino2016)riguardanteildisegnoel’implementazionediunDigitalStorytellingInterattivoinMatematica(DIST-M),conloscopodidelineareunmodellodipiattaformaon-linecheorganizzitaskmatematicibasatisuunapprocciovygotskiano(Vygotskijetal.,1973).Quicifocalizziamosull’usodiapplicazioni,realizzateconGeoGebraeincorporateall’internodelDIST-M,einparticolareall’integrazionetraGeoGebraeilmoduloLessondiMoodle.Taliapplicazioni,progettateadiversilivellididifficoltàeconvariscopi,possonoessereraggruppateintretipologie:

1. Esercizi interattivi:permettonoallostudentediesercitarsieverificarel’acquisizionediunaabilitàbasesudefinizionieproceduredicalcolo.Sitrattaditutorialperattivitàsuccessive.

2. Domandegraficheinterattive:sonoorientateallecompetenzeepermettonoallostudentelamanipolazionevincolatadioggettigraficialloscopodiinvestigareecongetturare.

3. Domandesemi-aperteinterattive:miranoalpassaggiodaunregistrocolloquialeaunregistropiùevoluto(Ferrari,2004).Attraversolamanipolazionedioggettilinguistici(blocchiparole),lostudentedeveconvertireunasuapropriafraseliberainunafraseequivalentechesiapiùadeguata alla comunicazione scientifica. Questo tipo di applicazione si pone come via dimezzotraledomandearispostachiusaeledomandeaperte.

Tutteleapplicazionirestituisconouncodicenumericochecambiadinamicamenteasecondadellemanipolazioni fattedallo studente. Il codiceconsentealprogettista tenerecontodelle specificheinterazioni dello studente e di utilizzare tali informazioni per personalizzare il percorso diapprendimentoall’internodellaLessondiMoodle.Ciòpermettedirealizzareunastrutturadipaginead albero di decisione, dove lo studente viene indirizzato a una opportuna pagina successiva asecondadicomehainteragitonell’attività.RIFERIMENTIAlbano,G.,DelloIacono,U.,Fiorentino,G.(2016).AnonlineVygotskianlearningactivitymodelinmathematics.Toappear

inJe-LKS(Journalofe-LearningandKnowledgeSociety).Albano, G., Dello Iacono, U., Mariotti, M.A. (2016). Argumentation in mathematics: mediation by means of digital

interactivestorytelling.Form@re-OpenJournalperlaformazioneinrete,Vol.16,N.1,105-115.DelloIacono,U.(2015).UnmodellodiattivitàvygotskijanaintegrandoMoodleeGeoGebra.InM.Rui,L.Messina&T.

Minerva(eds.),Teachdifferent!Proc.MulticonferenzaEMEMITALIA2015.GenovaUniversityPress.Ferrari,P.L.(2004).Mathematicallanguageandadvancedmathematicslearning.InM.JohnsenHøines&F.Berit(eds.),

Proc.ofPME-28.CapeTown,SouthAfrica.Vygotskij,L.S.,Costa,A.M.,Veggetti,M.S.,Costa,A.F.,&Gatti,M.P.(1973).Pensieroelinguaggio.Giunti/Barbèra.

VI GEOGEBRA ITALIAN DAY - 2016 WORKSHOP

WS1F.Arzarello,S.Beltramino,N.Bruno,A.Delù,P.Gianino,D.Merlo,M.Mosca,A.Ruzittu,C.Sabena,C.Simondi,L.Atzori,B.Villa,E.Vio,M.C.Balcet,F.Broglio,G.Capecchi,L.Cordiali,P.Eandi,V.Ferrazza,F.Magonara,D.Martorano,M.Mattei,D.Merlo,A.Quintavalle,O.Robutti,G.Trinchero,A.Lasa.Cosasuccedeinclasseseandiamoallaricercadivariazioniinmatematica?LivelloScolare:TuttiAttivitàesituazionidiapprendimento,basatesull’usodelladidatticalaboratorialeesulmetododellaricercavariata,conilsupportodiGeoGebra.

L’attività didattica è stata oggetto di studio e sperimentazione da parte di due gruppi afferenti il Dipartimento diMatematicadell’UniversitàdiTorino:ilgruppodiricercadidatticacoordinatodalprofessorF.Arzarello(*)eilcorsodiLaureeScientifiche“TaskDesignconGeoGebra”coordinatodallaprof.ssaO.Robutti(**).

L’obiettivo di questo laboratorio è di illustrare la metodologia della cosiddetta ricerca variata e alcuni esempi diapplicazione nelle classi con il supporto di GeoGebra. L’idea è dimettere gli studenti in situazioni prevalentementematematichee stimolarli aeffettuareosservazioni, formulare ipotesi, coinvolgendoli così inunprocessodi ricercadiinvariantiedivariazionieavvicinandoliallacostruzionediproblemichepoidovrannorisolvere,iltuttoaccompagnatodallanecessitàdisviluppareillinguaggioelafaseargomentativa.Sifavoriràcosìilsuperamentodelloschematradizionale(situazionedata/risolvi/dimostra)pergenerareunacomprensionepiùprofondaeampia.

Siproponeunametodologiaattaacoinvolgeremaggiormenteglistudentieaiutarlineiprocessidiapprendimentodellamatematica.Siamoconvinticheilsuperamentodellecriticitànell’insegnamentoenell'apprendimentodellamatematicapossapassareancheattraverso il cambiamentodivisionedel ruolodellostudenteedell'insegnante:con lapropostapresentatainquestolaboratoriolostudentenondevesolorisolvereproblemimaèstimolatoadosservare,analizzare,costruirsi problemi, cercare invarianti e variazioni anche utilizzando i supporti tecnologici disponibili nell'aula(preferibilmente software liberi). Inoltre la metodologia presentata si propone di coinvolgere gli studenti ancheemotivamente, al fine di combattere l’idea purtroppo diffusa di unamatematica difficile, noiosa, poco interessante,costruitacon“regolette”:l’obiettivoèdiproporrepraticheinclassechepermettanoaglistudentidisvilupparequelloche A. Schoenfeld chiama il “senso della matematica”. Ai docenti verrannomostrati percorsi di apprendimento, insituazionediProblemsolvingeProblemposingconilsoftwarecoerenticonquestoobiettivo.

Grazieallatrasversalitàdelmetodo,essosiadattaadognilivelloscolareeatuttigliindirizzi.

Duranteillaboratorioipartecipantiverrannoinvitatiasperimentaredirettamentelametodologiapropostaponendoilgruppoinsituazione.

Apartiredaesempitrattidallesperimentazionicondotteindiverseclassi,dallascuolaprimariaallasecondariadisecondogrado,illaboratorioavràcomeobiettivol’analisieladiscussionedellericadutedidattichedeglistessi,nell’otticadiunosviluppoverticaledellecompetenzerelativealproblemsolvingeproblemposing,all’argomentazionematematica,alladiscussione e alle rappresentazioni matematiche mediante diversi registri (si vedano i documenti introduttivi allaMatematicaperilcittadino,UMI2001-2003).

(*)IlgruppoècompostodaF.Arzarello,S.Beltramino,N.Bruno,A.Delù,P.Gianino,D.Merlo,M.Mosca,A.Ruzittu,C.Sabena,C.Simondi,L.Atzori,B.Villa,E.Vio

(**) Il gruppoè compostodaF.Arzarello,M.C.Balcet, S.Beltramino, F.Broglio,G.Capecchi, L.Cordiali, P. Eandi,V.Ferrazza, F. Magonara, D. Martorano, M. Mattei, D. Merlo, A. Quintavalle, O. Robutti, G. Trinchero e con A. Lasadell'UniversidadPúblicadeNavarradurantelasuapermanenzaaTorino.

WS2CorradoAgnes,AngeloMerlettiUsareGeoGebraper recuperare il gustoper la dimostrazionenell'insegnamentodimatematica efisicaLivelloScolare:SecondariadiIIGradoVanno-FISICA

InunprecedenteWorkshopDifima(2015)1abbiamofattovederecheèpossibilerappresentarel’invarianteEnergiaQuantitàdiMotoconuntriangolorettangolo,echedalleproprietàdiquestotriangolodiscendonoletrasformazionidiLorentzsiaperlequantitàdinamichecheperquellecinematiche.InunacomunicazioneplenariadelconcomitanteGeogebraday2abbiamofattovederecomeleprecedenticonclusionipossonoessereimplementateconGeogebra.

NelWorkshoppropostocioccuperemodelledimostrazionideirisultatiprecedenti,che,comeèbennotopertuttalateoriadellarelatività,nonrichiedonostrumentimatematicipiùcomplicatidellageometriaedalgebraelementari.Malaparticolaritàdidatticadellateoriadellarelativitàconsisteappuntonelfattochepadroneggiareleformulenonequivaleinalcunmodoallacomprensionedellemedesime,comedimostratodalfattocheletrasformazionidiLorentzfosserostatericavateprimachesichiarisseillorosignificatonellastrutturadellospazioedeltempo.

ÈnostraconvinzionechelostrumentoGeogebraconsentadifaresimulazioniconvincentisullavaliditàdeirisultati,fattochepurnonessendounadimostrazioneformale,puòalmenoesserel'iniziodiunaspiegazione.

WS3RobertoBalaudo,LauraBorello,AnnaDeAmbrosis,MassimilianoMalgieri,PasqualeOnorato,SimonaFalabinoFisicaquantisticaemotobrownianoconGeoGebraLivelloScolare:SecondariadiIIGradoVanno-FISICADaquandolafisicamodernaèdiventatapartefondamentaleneiprogrammidell’ultimoannodeiLiceiScientificiedellasecondaprovadell’esamedistatosifasemprepiùfortelarichiestadivalidistrumentipervisualizzarelateoria,datochegliesperimentidilaboratoriosonoscarsiedifficili.Le simulazioni con GeoGebra possono dare un valido supporto in questo campo, per le peculiari valenze di questostrumentoeperlasuarapidadiffusionefragliinsegnanti.NelworkshopsarannopresentateediscussetresimulazionirealizzateconGeoGebrasuargomentidi fisicamoderna:duesimulazioniriguardanol’approccioallafisicaquantisticabasatosulmetododei“camminidiFeynman”,laterzariguardailmodelloatomicodellamateriaeilmotobrowniano.Dopounabrevepresentazionedelletresimulazioni,siapriràundibattito,apertoancheaipartecipantialworkshop,sullevalenzeedifficoltàdell’usodiGeoGebraperleapplicazioniallafisicamoderna.1) Simulazioni GeoGebra per l’insegnamento della fisica quantistica con il metodo della somma sui cammini diFeynman.MassimilianoMalgieri,PasqualeOnorato,AnnaDeAmbrosis

NegliultimitreanniilgruppodiDidatticadellaFisicadell’UniversitàdiPaviahalavoratosulproblemadell’insegnamentodellafisicaquantistica,cuièstatodato,dallarecenteriformadeiprogrammiscolastici,unpesorilevantenellascansioneorariadelVannodeiLiceiscientifici.Seguendounatradizionediricercacheèpartita,inItalia,dall’UniversitàdiTorino,cisiamoconcentratiinparticolaresull’approcciobasatosuicamminidiFeynman,estendendoeinnovandoleproposteprecedentiedeffettuandosperimentazioni,sianellaformazioneinsegnante,siadirettamenteconglistudentidiscuolasuperiore.L’approcciodiFeynmanèbasatosuunmodellomatematicochepermetteunasempliceeintuitivavisualizzazione,eperquestomotivoingranpartedellepropostechesibasanosudiessolesimulazionihannounruolocentrale.Nelnostrocaso,lesimulazionisonostaterealizzateconGeoGebra,avendoinmenteinspecialmodoivantagginellaformazionedegliinsegnanti:moltidocentiinfatticonosconobeneilsoftware,cheutilizzanofrequentementeperladidatticadellamatematica.Lastrutturadellesimulazionirisultaquinditrasparente,egli insegnantipossonomodificarleocrearnedinuovesullabasediquellegiàesistenti,persimularediversi fenomenioesperimenti.Perquantoriguarda l’utilizzo in

1 L’identità di massa ed energia come seme per l’insegnamento della relatività. 2 Uso di Geogebra per introdurre la relatività speciale e le trasformazioni di Lorentz partendo dall'identità di massa ed energia

classe, inoltre, rendere le simulazionidisponibili conGeoGebraTubeconsenteagli studentidiutilizzarleanchesenzanecessariamentedoverscaricareilsoftware.In questo interventomostreremoe discuteremo alcune simulazioni da noi realizzate, a partire da quelle riguardantifenomenipiùsemplici(riflessione,rifrazione,diffrazioneeinterferenzadifotoni)pergiungereaquellechemodellizzanofenomeniedesperimentipiùavanzati(sistemirisonanti,interferometri,particellaconfinatainunabucadipotenziale)alloscopodi renderli comprensibiliagli studentidella scuolasecondariadi secondogrado.Saràmessa inevidenza larelazionetrastrutturadellasimulazione(ciòchevienevisualizzato)eilmodellodi“oggettoquantistico”chesiintendetrasmettere agli studenti, alla luce delle indicazioni della ricerca in didattica sul ruolo della visualizzazionenell’apprendimentodellafisicaquantistica.Sarannoinfinepresentatiprogettifuturiesimulazioniinviadirealizzazione.2)QuantizzazioneconicamminidiFeynman:un’ipotesidilavoroconGeoGebraperiliceiscientifici.RobertoBalaudo,LauraBorelloIl lavoronascecomesviluppodiunprogettoprecedentemente realizzato inExcel daLauraBorelloeGiannaRoveronell’ambitodelprogettoSECIF,ripresentatoduranteuncorsodiaggiornamentoorganizzatodall’A.I.F.sull’utilizzodiunaversione“semplificata”delmetododeicamminidiFeynmanperl’analisidialcuniproblemidimeccanicaquantisticacomeladiffrazionediparticelledafenditure.Ilproblemaprendeinconsiderazioneunaparticellaconunadiquantitàdimotopche,partendodauncertopuntoiniziale,dopoaverattraversatounafenditurasingola,odoppia,diunacertalarghezzadnontrascurabile,vadaadimpattaresudiunoschermo.L’ideafondamentalesucuisibasanosia ilprogettooriginale inExcelchequellorealizzatoconGeoGebra,èquelladipartiredall’ideadiquantizzazione“allaFeynman”.NellaquantizzazioneallaFeynman,laprobabilitàcheunaparticellacheadun istante tA sia inunpuntoAsi trovi inBnell’istante tB, sicalcolaconsiderandotutti ipossibili camminicheunisconoAaBe assegnandoaognunodi essi unaprobabilità che, sintetizzandomolto, vieneadessere formatadaun’ampiezzacostanteedauna“fase”cheèdata,sostanzialmente,dall’esponenzialecomplessodell’azioneclassicaScalcolatasuuncertocamminoγdaAaB:exp(i2πS/h)dovehèlacostantediPlanck.DaunpuntodivistamatematicolaquantizzazioneconicamminidiFeynmanèovviamenteimproponibileinuncontestoliceale,malostessoFeynmanneelaboròunaversione“divulgativa”introducendoalcuneipotesichepotesserorenderlacomprensibile,nellasuasostanza,ancheadunutentenonspecializzato.L’ideaè,inbuonasostanza,quelladiassociarea ogni cammino considerato un “fasore” ossia un vettore che ruota compiendo un giro completo ogni volta che laparticella compie, sul camminopreso inconsiderazione,unpercorsodi lunghezzaparialla lunghezzad’ondaλdiDeBrogliecheleèassociatadallarelazioneλ=h/pPoichéla lunghezzadeicamminiconsideratidalpuntoinizialeaquellofinaleèdiversa,nelpuntodiarrivocisarannodiversi“fasori”(unoperognicammino)ruotatiunorispettoall’altro.L’ampiezzadellasommavettorialediquesti“fasori”,daràlaprobabilitàdiaverelaparticellainquelpunto.L’ideadellarotazionenascedalfattochel’esponenzialecomplessodell’azione,cherappresentalafasedellaprobabilitàassociataalcamminoconsiderato,puòesserevistacomelarotazionediunvettorediampiezzacostanteequestoèunconcettocheunostudentediliceopossiedequandoarrivaalquintoanno.IlprogettorealizzatoconGeoGebraconstaditrefiles:unopiùdidatticocheillustral’ideadelmetododiFeynmanealtriduecheapplicanoilmetodoall’analisidelladiffrazionediparticellesufenditurasingolaedoppia.In ognuna delle analisi sono parametrizzabili la massa della particella considerata, la sua velocità, la distanza dellaparticelladallafendituraequelladellafendituradalloschermo,lalarghezzadellafendituraeilnumerodicamminidiFeynman,ossiadispezzate,daconsiderareComerisultatoilfiledàgraficamenteperognipuntodiarrivounalineadilunghezzapariall’ampiezzadellarisultantedeifasorichesihannoinquelpunto;inaltreparolelaprobabilitàditrovarelaparticellainquelpunto.Facendospostarel’analisitramiteuncursoresuognipunto,siarrivaadeterminareunadistribuzionediprobabilitàperladiffusionedellaparticella.IlprogettopuòessereutilizzatoinunaquintaliceoperillustrareilmetododeicamminidiFeynmaninmodograficoeverrà proposto in alcune quinte di licei scientifici per valutarne l’efficacia nel facilitare la comprensione di alcuniargomentidimeccanicaquantistica.

3)IlmotobrownianonellaFisicadell’ultimoannodiliceoconGeoGebraSimonaFalabinoIlmotobrownianoderiva ilsuonomedalbotanicobritannicoRobertBrown.Nel1827,mentrestudiavaunproblemalegatoall'impollinazione,osservòalmicroscopioilmotoapparentementecasualedeigranellidipollineinsospensionenell'acqua.Soloparecchiannipiùtardi,nel1905,Einsteinnediedeunainterpretazioneteorica.Nel1908,infine,PaulLangevinformulòl'equazionechedescrivelatraiettoriadelleparticellebrowniane.Oggil'equazionediLangevinèilpuntodipartenzaperlostudiodiprocessistocasticichetrovanoapplicazioneinfisica,biologia,nanotecnologie,economiaefinanza.NellaFisicadelNovecentolacomprensionedelmotobrownianorappresentòunaevidenzasperimentaledecisivadell'esistenzadegliatomiedelmotodiagitazionetermicadelleparticellemicroscopiche.In questo intervento si propone l'utilizzo di un semplicemodello dimoto di particelle browniane in due dimensionirealizzatoconGeoGebra,dasperimentarenelcorsodiFisicadelquintoannodiliceoinunalezionelaboratorialediun'ora.Latrattazionedelmotobrownianopermettel'applicazionediconcettidiprobabilitàestatisticaerappresentaunanonconsuetaapplicazionedelladistribuzionegaussianainFisica.IlfilediGeoGebravisualizzalasimulazionedelmotobrownianoepermetteaglistudentidicalcolareiparametristatisticirelativialmotodelleparticelle,comelamediae lavarianzadellecomponentispazialidellaposizionedelleparticelle,verificandonedinamicamenteladipendenzadaltempo,dallatemperaturadelliquidoedallamassadelleparticelle.Durante questa esercitazione gli studenti possono quindi visualizzare concretamente un fenomeno come il motobrowniano, che difficilmente avrebbero la possibilità di osservare in un laboratorio scolastico, ed esplorare, anchequantitativamente,lecaratteristichedelprocessodidiffusionediparticelleinunfluido.WS4MariaCantoni,DonatellaMerlo,AdaSargentiGeoGebranonèunalavagnadinamica(EsperienzedaicorsideLaCasadegliInsegnanti–CTS) LivelloScolare:TuttiIprimicorsiufficialidapartedeLaCasadegliInsegnanti,cheèpartnernelGeoGebraInstitutediTorino,hannoavutoluogonell’annoscolastico2010-11.Piùche“corsi”noipreferiamochiamarli“percorsi”perchégliobiettivisonobenpiùarticolati rispettoalla semplice conoscenzadel software.Nellaprogettazionedelleproposte fattenegli anni entranoinfattiingiocomoltiaspettidiformazione.IllavoroconGeoGebracomportapernoiunariflessionesullemetodologiediinsegnamento della matematica che ci paiono doversi modificare in funzione dell’uso del software. Esso dovrebbeportare nella direzione di studenti attivi nella costruzione del loro sapere con docenti più attenti alle difficoltà cheemergononell’evolversidellavoro,inunprocessosemprecontrollato.Ciòchevogliamoquiesemplificareècomelostrumentosiaingradodidarevantaggio“economico”eprocedurale,masoprattuttodivengasuggeritorediprocessiintelligenti.Essiciportanoincampiinesploratieciconcedonodicostruirerealtànuove.Non dimentichiamo che lo strumento (che è poi frutto della creatività umana), storicamente ha sempre consentitoprogressoseutilizzatodaunuomoprotagonista.GeoGebraporta fortemente lamentea formulare ipotesi,a tenerepresenteciòchemanmanoemergedall’analisidellasituazioneepermetteilgiustorichiamoalleconoscenzechespessononsonoattivesenonsollecitate.Vedremoalloracomeunutilizzoprecocedelsoftware,findallascuolaprimaria,consentaagliallievidiraggiungereconpiù facilità leastrazionigeometricheconcuidovrannoconfrontarsineigradiscolastici successivi finoalbienniodellascuolasuperioreeoltre.Immaginiamoquindiunpercorsoaritrososervendocidialcuniproblemi-tipodicuistudieremolestrategierisolutiveconl’usodiGeoGebra.1. Unproblemadiscussonell'ambitodelcorsodellasecondariadiIIgradoèstatopresodaunlibroditestomoltousato.

Inessosichiededi trovare il luogodelbaricentrodiuntriangolodicuisonodate lecoordinatediduevertici,alvariaredelterzo.L'obiettivoèquellodiimpratichirsinellarisoluzionediesercizidellageometriaanalitica,cosaperaltro anche importante, ma che può diventare un meccanismo sterile senza senso per gli studenti. Alla finedell'esercizioiltestoproponeilfileGeoGebraincuiilgrafico"conferma"dinamicamentequantoottenutoperviaalgebrica! Lametodologiadidatticadaapplicareaquestoeserciziopuò inveceesseremoltopiù riccadi sensoeriflessioniperglistudenti.Intantosipuòpartiredauntriangoloqualsiasi,quindisipuòosservarechecosaaccadealbaricentro, sia nel triangolo scelto sia variando gli altri due vertici; scoprire se vi sono delle regolarità nel

comportamentoecercareunagiustificazionelogicadellestesse.Solodopocheilsensodeltuttoèstatoacquisito,sipuòpassarealleesercitazioniconicalcoli!

2. NeltrienniodellascuolasecondariadiprimogradoilTeoremadiPitagoraèevidenziatocomesnodofondamentaleeusatoinesercizichedivengonosostanzialmentecalcolidiradiciquadratecheforseportanolontanodalsuorealesignificato.Qui diamounesempiodi lavoro in cuiGeoGebra ci permettedi evidenziareunuso interessantedelteoremalegatoallacoronacircolare,allaproprietàdistributivanegliinsieminumerici(puntofocaledellinguaggioalgebricoedifficileperiragazzi),all’equivalenzadellearee,alvolumediconiecilindri.Nevedremounapotenzialitàcheglistrumenticonvenzionalinonpossonopermettere.

3. Iltriangoloèunafigurafondamentalepertuttalageometria.Giàdallascuolaprimariaibambiniimparanoacostruirlae a manipolarla in vari modi. Vedremo come attraverso alcuni problemi sia possibile esplorarne tutte lecaratteristicheearrivareaunadiversaconsapevolezzadellasuastrutturaedialcunerelazionifondamentalicomelarelazionetriangolareelasommadegliangoliinterni.Strumentofondamentale:ilcerchioeleisometrie.

WS5MariaGiovannaFrassia,AnnarosaSerpePNSDontheroadconGeoGebraLivelloScolare:SecondariadiIIGradoIBiennioL’inserimentodellamodellizzazionenei curriculadiMatematicaa scuola si riveladi fondamentale importanzaper losviluppodicompetenzeperilproblem-solvinginquantopromotoredellarelazionetralaMatematicastudiataascuolaelaMatematicadellavitadituttiigiorni.Ladisaminadellerelazionicheintercorronotrailmondorealeeilmondorelativoalmodellorappresenta ilpuntodipartenzadell’apprendimentopermezzodellamodellizzazionematematica,attivitàguidata dal bisogno di descrivere, prevedere o spiegare un qualche particolare fenomeno di interesse da studiare.L’incontrotralamodellizzazionematematicaelatecnologiafacilitalarisoluzionediproblemitrattidalmondoreale;nellospecifico, ilcomputerdivieneterrenofertileper l’apprendimento,stimola ladiscussione,accrescelamotivazioneealcontempopermettediriconoscerel’importanzadellaMatematicanellavita.Inriferimentoal”Extendedmodellingcycle-regarding technology” di Seller & Greefrath, viene proposto un laboratorio, rivolto alle prime classi della scuolasecondariadi IIgrado, sulleequazionidi Igradoapartiredasituazioniproblematichericonducibilialmondoreale. Illaboratorio,natonell’ambitodelleattivitàdiformazionedelPianoNazionaleScuolaDigitale(PNSD),siavvaledelsoftwaredigeometriadinamicaGeoGebraperlamodellizzazioneelarisoluzionedellesituazioniproposte.BibliografiaDoerr, H.M. (1996). STELLA ten years later: A review of the literature. International Journal of Computers for

MathematicalLearning,1,(pp.201-224).Galbraith,P.L.,Stillman,G.,Brown,P.,&Edward,I.(2007).Facilitingmiddleschoolmodellingcompetencies.InC.Haines,

P.Galbraith,W.Blum,&S.Khan(Eds.),Mathematicalmodelling(ICTMA12):Education,engineeringandeconomics(pp.130-140).Chichester:Horwood.

Goos,M.(1998).Technologyasatoolfortransformingmathematicaltasks.InP.Galbraith,W.Blum,G.Booker,&I.D.Huntley (Eds.), Mathematical modelling: Teaching and assessment in a technology-rich world (pp. 103-113).Chichester:Horwood.

Lester,F.,&Kehle,P.(2003).Fromproblemsolvingtomodelling:Theevolutionofthinkingaboutresearchoncomplexmathematicalactivity. InR.Lesh&H.M.Doerr(Eds.),Beyondconstructivism:Modelandmodelingperspectivesonmathematicsproblemsolving,learningandteaching(pp.501-518).Mahwath,NJ:Erlbaum.

Rivera, S., Londono,S.,&Lopez,C. (2015)Measurementofareaandvolume inanauthentic context:Analternativelearning experience through mathematical modelling. In G.A. Stillman, W. Blum, & M.S. Biembengut (Eds.)Mathematicalmodelling ineducationresearchandpractice:Cultural,socialandcognitive influences (pp.229-240).Cham:Springer.

Siller,H.S.,&Greefrath,G.(2010).Mathematicalmodellinginclassregardingtotechnology.InProceedingsofthesixthcongressoftheEuropeanSocietyforResearchinMathematicsEducation(pp.2136-2145).

Legge107/2015,comma56url:http://www.gazzettaufficiale.it/eli/id/2015/07/15/15G00122/sg

WS6MonicaMattei,SilviaBeltramino,CarlottaIdrofano,DanielaPavarino,AnnarosaRongoni,CinziaSolderaAttivitàperunamatematicaaccessibileeinclusivaLivelloScolare:TuttiIl laboratorio sibasa sui lavori sviluppatinelprogettodi ricerca “Metodologie, tecnologie,materiali eattivitàperunapprendimentodellamatematicaaccessibileeinclusivo”finanziatodaFondazioneCRTerealizzatodalDipartimentodiMatematicadell’UniversitàdegliStudidiTorinoconilcoordinamentodellaProf.ssaOrnellaRobutti.Ilgruppodilavoro*,basandosi sui più attuali risultati di ricerca in tale ambito, ha progettato alcune attività per gli studenti della scuolasecondariadiprimoesecondogrado, inparte rivedendoledalprogettoM@t.abel, inparteexnovo,con l’intentodipuntaresuun’otticafortementeinclusiva,alfinedicoinvolgeregliallievicondifficoltànel lavorodiclasse.Leattivitàsonopoistatesperimentatenelleclassiesisonoanalizzatiiprocessideglistudenti.

Il laboratorio si proponedi coinvolgere i partecipanti nella sperimentazione inprimapersonadi alcunedelle attivitàinclusiveprogettate.Sianalizzerannoquindiqualisonolecaratteristichechepossonofavorirel’inclusivitàdiunaattività,apartiredallafasediprogettazioneperarrivareallafasedisperimentazioneinclasse,senzatrascurareilcoinvolgimentoemotivodeglistudenti.Unaparticolareattenzioneverràdedicataalruolodellatecnologia,einparticolarediGeoGebra,ealsuocontributonelprocessodiinclusionedituttiglistudenti.

PerlascuolasecondariadiIgradosiproporrà,inparticolare,un’attivitànelnucleoGeometriarelativaall’introduzionedeiconcettidiperpendicolareedidistanzadiunpuntodaunaretta,perarrivarealconcettodialtezza.Unnaturalesviluppodi tale lavoroporteràal concettodi altezzanello spazio.Per il bienniodella scuola secondariadi II gradoèprevistaun’attivitàdiesplorazionechepermettedistimolarelariflessioneelaproduzionedicongetturedapartedeglistudenti, con l’obiettivo di ricerca di regolarità, fino ad arrivare alla loro formalizzazione attraverso una relazionematematica,conlerelativeargomentazioni.L’esplorazioneelaconseguenteproduzionedicongetturesonoaffidateallamanipolazioneconGeoGebraesiprevede,comeobiettivofinale,lagiustificazionedellecongetture.L’attivitàhaancheloscopodiintrecciareillinguaggioalgebricoconquellonaturaleeconquellinumericoegrafico.

*Gliinsegnantichehannopartecipatoalgruppodiricercasono:S.Abbati,B.Baldi,S.Beltramino,A.Berra,E.Calemma,A.Cena,P.Curletti,M.Dalè,A.Drivet,S.Fratti, L.Genoni,A.Ghersi,P.Gulino,C. Idrofano,D.Pavarino,F.Raina,A.Rongoni,D.Sasso,C.Soldera,G.Trinchero.

WS7LilianaPaparoIpoligonistellati:unesempiodicodingconGeoGebraLivelloScolare:SecondariadiIIGradoIBiennioIlworkshopdescrivel’esperienzadirealizzazionedelGeoGebraBookPoligoniStellatirealizzatodaglistudentidiunaclasseprimaITI(indirizzoInformaticaeTelecomunicazioni,IISA.Badoni,Lecco)nell’ambitodelprogettointerdisciplinarepiùampio“Matematica…Stellare”chehacoinvoltomatematica,informaticaedisegno.

Larealizzazionedeifileinseritinelbook,suddivisoin6attività,hapermessoaglistudentidipartiredall’acquisizionedinozioniessenzialidimatematicadiscreta,geometriaedusodellostrumentoGeoGebra,finoaraggiungeregradualmente,inuncrescendodicuriositàescoperte,unbuonlivellodiapprofondimentoneitreambiti.

L’aspettodelcodingèquellochelihacoinvoltimaggiormente.

Gli studenti, sollecitati ad esplorare le proprietà geometriche ematematiche dei poligoni stellati, sono partiti dallarealizzazionedellarelativacostruzionegeometrica.

Sisonobenprestoresicontodellalunghezza,laboriositàeripetitivitàdell’attivitàconl’aumentaredelnumerondeilatidelpoligonodipartenza.

Perpoterneesplorareleproprietàecaratteristicheintempirapidi,hannocompresochedovevanorendereautomaticalacostruzionediunostellatoassegnatiilnumerondeilatidelpoligonodibaseequellokdelsaltogestitiattraversoduerispettivislider.

HannostudiatoesperimentatocomandiavanzatidiGeoGebraedhannoimparatoalavorareinmodoconsapevolecon:icicliiterativi(comandoSUCCESSIONE,LISTAINDICI),leistruzionicondizionali(comandoSE),lascritturadiuntestodinamico,l’usodeiparametri(SLIDER),l’usodeglioperatorilogici(visualizzazionecondizionata,casellediinserimento).

LeattivitàpropostenelbooksonocostitutedaunoopiùfileGeoGebrainterattiviprecedutidaunadomandastimolorivoltaall’utenteeseguitidallapropostadiun’ulterioreattivitàounariflessione.

QuidiseguitolasintesidellevarieattivitàchecompongonoilbookPoligoniStellati:

0) Presupponendo nota la definizione di poligono stellato, l’utente è invitato ad osservare un primo filecontenenteglistellatichesipossonocostruireapartiredaunpoligonodi16lati,èinvitatoarifletteresuquantol’attivitàsialaboriosaedosservarecome,inunsecondofileilproblemasiastatorisoltoconl’usodellespezzate.

1) Lo studente è guidato, attraverso un testo dinamico, a scoprire la distinzione tra stellato semplice ecomposto, è invitato ad esprimere una congettura inmerito alla relazione tra il numero n dei lati delpoligonoconvessodipartenzaedilvaloredel“salto“kinmododaottenereunostellatosemplice.

2) Lostudenteèinvitatoaverificarelasuacongetturanelcasodiunettagono,poidiunottagonoedinfinediunpoligonodicuisipuòstabilireasceltailnumerodeilati.VieneintrodottalafunzioneTOTIENTE.

3) Allostudenteèrichiestodirifletteresesiottengonopoligonidiversiperognisaltoassegnato.L’obiettivoèquellodiscoprireche! ", $ = ! ", " − $

4) Vienepropostal’analisideglistellaticompostiottenutirispettivamentedapoligonidi12o16lati.Attraversol’uso della doppia finestra grafica è possibile visualizzare il poligono regolare la cui rotazione genera lostellatocomposto.

5) Avendocompresoche! ", $ = ! ", " − $ eche,seilsaltoè1on-1,otteniamoilcasoparticolaredelpoligonodipartenza,lostudenteèinvitatoacontareglistellatisemplicinelcason=7,n=12ednqualsiasi(finoa50).

6) Allostudenteèpropostodiindividuareeclassificareilpoligonostellatosucuisibasaun’immaginetrattadacontestiartisticioarchitettonici.

https://www.geogebra.org/m/x7hK9Rt4# http://56adcaf39442456adcaf39cd30.edu.glogster.com/matematica-stellare/

WS8MariaSpreafico,DanieleTavella,LeonardoVesprini,MartinaVitaAnalisimatematicadiarchitettureeopered’arteLivelloScolare:Università,SecondariadiIIGradoIIBiennioeVannoInquestoworkshopvorremmopresentaredueelaboratirealizzatidaglistudentidiArchitetturadelPolitecnicodiTorino(CorsodiIstituzionidiMatematiche,a.a.2015/16),eunorealizzatodaunastudentessadiliceoscientifico.Neitrecasisitratta di una lettura matematica di immagini legate all’arte e all’architettura (un panorama cittadino con elementiarchitettonicicostruiti,lapiantadellazonacomprendenteilparlamentodiCanberraeunquadro:“Urlo”diMunch).Perlanaturadeglistrumentiutilizzatiquestapropostaèadattaancheaitriennidimoltescuolasuperioridisecondogrado.Ipassidellaprovaeranoiseguenti:

1) Sceltadell’immaginedelsoggettodaanalizzare.2) Individuazionedialcunelineeocurvesignificativenell’immagineselezionata.3) Inserimento dell’immagine nella schermata di GeoGebra e ricerca delle equazionimatematiche chemeglio

approssimanolelineeocurvescelteinprecedenza.4) Discussionecriticadeglielementitrovati.

Lovolgimentodelpunto3)hapermessoaglistudentidiutilizzareglistrumentimatematiciintrodottidurantelelezioni.Inparticolare,partendodaigraficidellefunzionielementari,glistudentihannolavoratosulletrasformazionidifunzioniegrafici(traslazioni,dilatazioni,ribaltamenti)perapprossimarelelineeindividuatein2).

La possibilità di veloci modifiche alle equazioni e visualizzazione dei relativi grafici con GeoGebra ha permesso aglistudentidiverificareimmediatamentel’esitodelleloroscelteditrasformazioneediapportareeventualimiglioramenti.Dalpuntodivistadidattico,sièribaltatalatradizionaleideadistudiodifunzione:questavolta,datoil“grafico”possibilegli studenti sono dovuti risalire alle equazioni delle funzioni approssimanti. L’esperienza è stata senza dubbiomoltopositiva:glistudentihannovistolamatematicapiùvicinaallorocorsodistudiehannoavutolospuntodiimpararealeggerelarealtàchelicircondaancheconunosguardomatematico.

a) b) c)a) Funzionievalutazionedelleareedellezoneacoloredominante;b) Funzioniapprossimantitrascendenti;c) ConicheaCanberra.WS9LucianoZazzetti,GiovannaValoriAllascopertadellafunzioneintegrale:potenzialitàdiunapprocciodinamico.LivelloScolare:SecondariadiIIGradoVannoAnchealla lucedellesollecitazioniche letraccedellasecondaprovadimatematicapongono,si ritieneopportunounapproccioalteoremafondamentaledelcalcolointegralechevadaaldilàdel“semplice”enunciatoinformaanalitica.Perunapprendimentopiùsignificativosivuolemostrare l’intimolegametra derivatadiunafunzioneinunpuntoefunzioneintegrale.Mentre di norma gli studenti non hanno difficoltà ad apprendere l’enunciato del teorema od anche a tracciare unandamentoqualitativodelladerivataprimadalgraficodiuna funzione, l’esperienzamostra che ilpassaggio inversorisultamenointuitivo.Lacombinazionedellecapacitàdinamicheesemplicitàd’usofannodiGeogebraunostrumentoidealealloscopo.Nonostantelasemplicitàd’usoriconosciuta,lacostruzionedellafunzioneintegralenonrisultacosìimmediataecosìpuòessereopportunoguidareglistudenti.Lostrumentopiùadattoalloscopopuòessereunsoftwarecheregistraquellocheavviene sullo schermo insiemead eventuali commenti del docenteodi chi comunque sta registrando le operazioni.

Unavoltaappresocomesiapossibiletracciareilgraficodi glistudentipossonoessereguidatiallascoperta delle relazioni fra le caratteristiche delle funzioni F(x) e g(x) utilizzando diversi registri rappresentativi. SipropongonoattivitàformativeapiùlivellidiapprofondimentoeschededilavoroanchesuquesitiassegnatiagliEsamidiStato.L’obiettivoèquellodicolmareilgapfracapacitàdicalcoloecomprensioneconcettuale.

VI GEOGEBRA ITALIAN DAY - 2016 COMUNICAZIONI

CO1VirginiaAlberti,SaraLabasin,FerdinandoArzarello,EugeniaTaranto,AriannaCoviello,SaraGaidoMOOCdiGeometria:presupposti,obiettivierisultatiLivelloScolare:TuttiNell’ottobre2015hapresoformaevitailprogettoMathMOOCUniTo:sitrattadiMOOC(MassiveOpenOnlineCourse)natidalMasterdisecondolivello“FormatoriinDidatticadellaMatematica”,promossidalDipartimentodiMatematica “G. Peano” dell'Università di Torino e destinati alla formazione di docenti in servizio di scuolasecondariasuiNucleidelleIndicazioniMinisteriali(Numeri,Geometria,DatiePrevisioni,RelazionieFunzioni).SonoquindiMOOCcreatidainsegnantiperinsegnanti.Gliinsegnanti-autorilavoranoallaprogettazione,produzioneederogazionedeiMOOCincollaborazioneconalcunidocentiericercatoriuniversitari.

Lafinalitàchesipersegueèquelladitracciarelastradaperunanuovamodalitàdiformazione,chetengacontodelle esigenze della nuova società in termini di ICT (Information Communication Technology), creatività econdivisione,edimonitorarneipassaggialfinedivalutarnel'impattoelaricadutanellepratichedidattiche,affinchél'utilizzodellatecnologiageneriunapprendimentoconsapevole.

L’intentodelcontributoèproprioquellodiraccontarequantoèemersodallaprimissimaesperienzadiformazionedocentiinteramenteadistanza:dal26ottobre2015,peruntotaledi8settimanediattività,sièerogatoilprimoMOOC,meglionotocome“MOOCGeometria”,lecuiattivitàeranosuddivisein6moduliconcadenzasettimanaleo bi-settimanale. In ogni settimana, per i docenti corsisti c’erano a disposizione video di pochi minuti in cuiintervenivaundocenteuniversitariocheintroducevailnodoconcettualesucuivertevalasettimana;bachechedicomunicazione(comeforum,padletotricider)incuiicorsistieranoinvitatialasciarecommentisulmaterialefruitoe/oacondividereesperienzeinerenti ilproprio insegnamento, lepropriepratichedidattiche, ilpropriosviluppoprofessionale.

Tutteleattivitàeranopresentatemediantel’appdigitaleversatileSway,checonsentediintegrarealsuointernodiversi contenuti, non solodi testo,maanche interattivi: si passada testo e immagini, a video,mappe, graficiinterattiviefileGeogebracheicorsistipotevanoscaricareoutilizzaredirettamentesullapiattaforma.

Ilcorsosièsvoltointeramenteadistanza,con3webinartenutidaesperti(Prof.riO.Robutti,F.ArzarelloeDott.ssaA.Coviello),ovveroseminariinterattivi,dicircaun’oraemezzaciascuno,tenutisullapiattaforma,grazieallarisorsaBigBlueBottom(http://bigbluebutton.org/).

Alla fine di ogni modulo, un semplice test era volto a verificare che tutti avessero conseguito gli obiettivi diapprendimentoprefissatie,dunque,arilasciareunbadgechetestimoniassetalirisultati.

LaconclusionedelMOOCprevedeva larealizzazionedellaprogettazionediun’attivitàdidatticadapartediognidocentecorsista,medianteunospecificosoftwareweb-based,e la revisione trapari cheognidocenteavrebbedovutorealizzarerevisionandolaprogettazionediuncollega.

A tutticolorochehannoottenuto ibadgedi tutti imoduliedespletato lesopradescritteattività finali,èstatorilasciatouncertificatodipartecipazione.

Inumerisonomoltorappresentativi:sicontano424iscritti,conalmenounrappresentanteperogniregioneitaliana,ediquestiil36%haconclusoilMOOCnellatotalitàdelleattivitàpreviste.

Unaspettomoltointeressanteriguardalacomunitàdipraticaediriflessionechesièvenutaacreareall’internodiquestoambienteonline.Atalproposito,coinvolgeremoalcunicorsistiperpossanoraccontarelaloroesperienzaefarvedereilorolavori.

CO2F.Arzarello,S.Beltramino,N.Bruno,A.Delù,P.Gianino,D.Merlo,M.Mosca,A.Ruzittu,C.Sabena,C.Simondi,L.Atzori,B.Villa,E.Vio,M.C.Balcet,F.Broglio,G.Capecchi,L.Cordiali,P.Eandi,V.Ferrazza,F.Magonara,D.Martorano,M.Mattei,D.Merlo,A.Quintavalle,O.Robutti,G.Trinchero,A.Lasa.Cosasuccedeinclasseseandiamoallaricercadivariazioniinmatematica?LivelloScolare:TuttiAttivitàesituazionidiapprendimento,basatesull’usodelladidatticalaboratorialeesulmetododellaricercavariata,conilsupportodiGeoGebra.

L’attività didattica è stata oggetto di studio e sperimentazione da parte di due gruppi afferenti il Dipartimento diMatematicadell’UniversitàdiTorino:ilgruppodiricercadidatticacoordinatodalprofessorF.Arzarello(*)eilcorsodiLaureeScientifiche“TaskDesignconGeoGebra”coordinatodallaprof.ssaO.Robutti(**).

L’obiettivo di questo laboratorio è di illustrare la metodologia della cosiddetta ricerca variata e alcuni esempi diapplicazione nelle classi con il supporto di GeoGebra. L’idea è dimettere gli studenti in situazioni prevalentementematematichee stimolarli aeffettuareosservazioni, formulare ipotesi, coinvolgendoli così inunprocessodi ricercadiinvariantiedivariazionieavvicinandoliallacostruzionediproblemichepoidovrannorisolvere,iltuttoaccompagnatodallanecessitàdisviluppareillinguaggioelafaseargomentativa.Sifavoriràcosìilsuperamentodelloschematradizionale(situazionedata/risolvi/dimostra)pergenerareunacomprensionepiùprofondaeampia.

Siproponeunametodologiaattaacoinvolgeremaggiormenteglistudentieaiutarlineiprocessidiapprendimentodellamatematica.Siamoconvinticheilsuperamentodellecriticitànell’insegnamentoenell'apprendimentodellamatematicapossapassareancheattraverso il cambiamentodivisionedel ruolodellostudenteedell'insegnante:con lapropostapresentatainquestolaboratoriolostudentenondevesolorisolvereproblemimaèstimolatoadosservare,analizzare,costruirsi problemi, cercare invarianti e variazioni anche utilizzando i supporti tecnologici disponibili nell'aula(preferibilmente software liberi). Inoltre la metodologia presentata si propone di coinvolgere gli studenti ancheemotivamente, al fine di combattere l’idea purtroppo diffusa di unamatematica difficile, noiosa, poco interessante,costruitacon“regolette”:l’obiettivoèdiproporrepraticheinclassechepermettanoaglistudentidisvilupparequelloche A. Schoenfeld chiama il “senso della matematica”. Ai docenti verrannomostrati percorsi di apprendimento, insituazionediProblemsolvingeProblemposingconilsoftwarecoerenticonquestoobiettivo.

Grazieallatrasversalitàdelmetodo,essosiadattaadognilivelloscolareeatuttigliindirizzi.

Duranteillaboratorioipartecipantiverrannoinvitatiasperimentaredirettamentelametodologiapropostaponendoilgruppoinsituazione.

Apartiredaesempitrattidallesperimentazionicondotteindiverseclassi,dallascuolaprimariaallasecondariadisecondogrado,illaboratorioavràcomeobiettivol’analisieladiscussionedellericadutedidattichedeglistessi,nell’otticadiunosviluppoverticaledellecompetenzerelativealproblemsolvingeproblemposing,all’argomentazionematematica,alladiscussione e alle rappresentazioni matematiche mediante diversi registri (si vedano i documenti introduttivi allaMatematicaperilcittadino,UMI2001-2003).

(*)IlgruppoècompostodaF.Arzarello,S.Beltramino,N.Bruno,A.Delù,P.Gianino,D.Merlo,M.Mosca,A.Ruzittu,C.Sabena,C.Simondi,L.Atzori,B.Villa,E.Vio

(**) Il gruppoè compostodaF.Arzarello,M.C.Balcet, S.Beltramino, F.Broglio,G.Capecchi, L.Cordiali, P. Eandi,V.Ferrazza, F. Magonara, D. Martorano, M. Mattei, D. Merlo, A. Quintavalle, O. Robutti, G. Trinchero e con A. Lasadell'UniversidadPúblicadeNavarradurantelasuapermanenzaaTorino.

CO3FabioCesareBellon,FrancescaTarabionoUsodiGeoGebra3DperrappresentareemodellizzarecampielettriciemagneticiLivelloscolare:SecondariadiIIGradoIIBiennioeVanno–FISICAViene proposta una attività, supportata con l’ausilio di un file costruito con Geogebra 3D, in grado di rappresentare semplici campi elettrici generati da alcune cariche nello spazio e/o campi magnetici. La dimensione tridimensionale consente pure di riprendere in classe la geometria solida da utilizzare come prerequisito per lo studio dei campi elettromagnetici. Con la variazione interattiva dei parametri fisici e una visualizzazione in tre dimensioni della situazione fisica da esaminare dovrebbero risultare facilmente comprensibile gli argomenti relativi alla Legge di Faraday e alle equazioni di MaxwellCO4BarbaraBrignone,ElenaFurlan,FrancescaMarzolla,AnnaVicidominiL’esperienzadellaQualityClassLivelloScolare:SecondariadiIGradoeSecondariadiIIGradoIBiennioIlprogettoQualityClass,organizzatoogniannodalProf.LambrechtSpijkerboerconl’aiutodellaDott.ssaMonicaMattei,coinvolgeunaquindicinadistudentiuniversitariestudentiTFAoPAScreandounambientediscambiointernazionalesul tema della didattica dellamatematica. In una prima fase ciascun paese partecipante presenta il proprio sistemascolastico e propone un workshop di circa tre ore. Il programma prevede quindi la partecipazione a un convegnointernazionaledididatticadellamatematicaperfavorireilconfrontoconricercatoriuniversitarieinsegnantipiùesperti.Inparticolare,quest’annoilgruppoQualityClasshapartecipatoalconvegnoCME(ChildrenMathematicalEducation)aWroclaw(Polonia).

DurantelaQualityClassilnostrogruppoitalianohapresentatounworkshopsullaprobabilitàpensatoperl’ultimoannodella scuola secondaria di primo grado e il primo biennio della scuola secondaria di secondo grado che può essereriadattatoancheperaltrilivellid’istruzione.

Ilfiloconduttoredelleattivitàproposteèstatoilconcettodiprobabilitàattraversolesuediversesfaccettature:classica,frequentistaesoggettiva.

Sièvolutoevidenziarecheilconcettoclassicodiprobabilitàpresentadeilimitienonèquindisufficienteadescriveretutte le situazioni; inoltre si è sottolineato il legame tra probabilità e realtà per sviluppare nei ragazzi la capacità diprenderedecisionivalutandoinmodocritico.

Leattivitàsonostatepensateperfavorireicollegamentitraivarinucleidellamatematica(funzionierelazioni,spazioefigure,datieprevisioni,aritmeticaealgebra)utilizzandodiversemetodologiedidattiche(lavoroagruppi,discussionieinterventodell’insegnante)eintegrandodiversitipidistrumenti(materialipoveri,softwareecartaepenna).

InquestasedeverrannopresentateleattivitàcheilgruppohapropostodurantelaQualityClassechevertonosualcuniesempiclassiciconpallinedaestrarre,dadiepuntinedalanciareesualcuniesempilegatiallarealtà.

CO5EmanueleCiancio,AnnalisaBaderna,PatriziaLaioloTerreniinfidi:rigorisbagliatiebiciclettechesbandanoLivelloScolare:SecondariadiIIGradoC’èsempresolounasoluzioneaunproblema?IlgruppodilavoroMathenJeanslavorasuproblemiapertiediversepistedi ricerca coinvolgendo ricercatoriuniversitari, insegnanti e studentidi alcuni licei italianie francesi. Inparticolare sipresentano due lavori emersi dal progetto: la bicicletta off-road e il calcio di rigore. I lavori prevedono unamodellizzazionedelproblema,conl’individuazionedellevariabilisignificativeelacostruzionediunmodelloingradodicollegarleattraversounapprocciogeometricoefunzionale.

Comesipuòprogettareunabiciclettaingradodimuoversisuunterrenomoltoaccidentatosenzacheilconducenteneavverta i sobbalzi?Grazieaunamodellizzazionedelproblemaapartiredalprofilodel terreno,primacon l’utilizzodimaterialiconcreti,poiconGeoGebraèpossibile“costruire” leruotedellabicilettaapartiredaunnuovoconcettodi

raggio. La costruzione conGeoGebra può essere anche d’aiuto per realizzarematerialmente in classe le ruote dellabicicletta, con la stessa modellizzazione matematica del problema che introduce in maniera diretta il formalismofunzionale.

Uncalciodirigorestampatosulpalopuòessereunagrandedelusione,manonèdetto…Inqualicondizioniilpalloneentreràcomunqueinporta?InsiemeaglistudentiabbiamomodellizzatolasituazioneconGeoGebraperstudiarequalesonoledirezioniditirochepermettonoalpallonedientrareinportadopoavercolpitoilpalo.Altrevariabilipossonoentrareingiocoearricchireilmodello.

CO6WalterDambrosio,AlbertoBoscagginAnalisiMatematicaoggi:unpercorsoperl’UniversitàLivelloScolare:UniversitàIn questa comunicazione presentiamo il percorso didattico sperimentato negli ultimi due anni nell’insegnamento diAnalisiMatematicapressoilcorsodiLaureainInformaticadell’UniversitàdiTorino.

Ilpercorsosviluppa i concettidibasedell’Analisi (inparticolare laderivatae l’integraledefinito)utilizzando inmodointegrato i registri grafico, numerico e simbolico ai diversi livelli (lezioni teoriche, esercitazioni, esame). Particolareattenzioneèrivoltaallacostruzionedeisignificatideiconcettimatematicieallalorocomprensioneinterminiapplicativienonsoloteorici,conpossibiliapertureversoaltrediscipline.L’usodisoftwaredinamicicomeGeoGebraèintrodottoperfavorirelavisualizzazione,lamodellizzazioneelacongetturanell’affrontareproblemieattività.

Durantel’interventoillustreremolaprogrammazionedidatticadelcorso,alcunieserciziassegnati, lemetodologieeletecnologiedidatticheutilizzate(flipped-classroom,appletdiGeoGebra,softwarediCalcolosimbolico,…)ed i risultatidell’apprendimento.

Il corso muove le basi dai materiali UMI-CIIM sull’insegnamento della matematica nei tempi attuali, si fonda supresupposti teorici sviluppati nella ricerca in didattica dell’analisi (Tall, DavidA. Cox ed il “Five college Project”) e sipresenta comeunanaturale estensione a livello universitariodel percorsodella scuola secondaria di secondogradosecondoleIndicazioniNazionali2010.

CO7BarbaraKimeswengerIdentifyingHigh-QualityGeoGebraMaterialsforTeachingMathematicsLivelloScolare:TuttiThepurposeofthispaper istodiscusscriteriacontributingtothequalityofdynamicmaterialscreated inGeoGebra.Nowadaysthereisahugenumberofeducationalresourcesformathematicsteachingavailableonline.Theirqualityisoften inconsistent,becausetheyareprovidedbyusersandnotsupportedbyaneditorialteam.Therefore, it isoftendifficultforteacherstofindsuitablematerialsquicklyfortheirownmathematicslessons.Sincethisproblemisknown,differentmaterialsharingplatformshaveimplementedvariouswaystoassesssuchresources.Materialscanbeevaluatedautomaticallyormanually,forinstance,byansweringaquestionnaire,clickingonalikebuttonorwritingcomments.Itwouldbeadvantageoustocreateanenvironmentallowingteacherstoeasilyandquicklyfindhigh-qualitymaterialsfortheirclasses.

Oneexampleofaplatformwithuser-generatedresourcesformathematicsteachingistheGeoGebraMaterialswebsiteofferingclosetohalfamillionpublicdynamicmaterials(asofJuly2016).Thisrepositoryshowsawidevarietyintermsofquality of dynamic materials for mathematics teaching. The purpose of this study is to identify important factorscontributingtothequalityofeducationalresourcescreatedbyusersontheGeoGebraplatform.Theprojectinvestigateswhatqualitycriteriafordynamicmaterialsexistaccordingtoexpertsandhowtheydescribetheeducationalvalueofthem.Resultsofthisstudycouldoffernewinputsforthedesignofmanualand/orautomaticrankingandsuggestionsystemstomakeiteasiertofindhigh-qualitymaterialsonplatformssuchasGeoGebra.

CO8SaraLabasin,VirginiaAlberti,FerdinandoArzarello,OrnellaRobutti,EugeniaTaranto,etalIlnuovoMOOCNumeri:obiettivieaspettativeLivelloScolare:TuttiIlprogettoMathMOOCUniToconsistenell’erogazionediMOOC(MassiveOpenOnlineCourse)creatidainsegnantiperinsegnanti,al finedipromuovere la formazionedidocenti inserviziodiscuolasecondariasuiNucleidelle IndicazioniMinisteriali (Numeri, Geometria, Dati e Previsioni, Relazioni e Funzioni). Gli insegnanti-autori, sono stati corsisti delMaster di secondo livello “Formatori in Didattica dellaMatematica”, promosso dal Dipartimento diMatematica “G.Peano”dell'UniversitàdiTorinoelavoranoallaprogettazione,produzioneederogazionedeiMOOCincollaborazioneconalcunidocentiericercatoriuniversitaridelmedesimoDipartimento.

Dopo ilsuccessoriscossodalprimoMOOCerogato, il“MOOCGeometria”,unnuovoteam(piùampio,all’internodelquale si distinguono differenti ruoli: coordinamento, regia, ricerca, predisposizione materiali, digitalizzazione, betatesting)sistadedicandoaconcluderelarealizzazionedelsecondoMOOC,ovvero“Numeri”,lacuierogazioneèprevistaapartiredaottobre2016,perunaduratadi6settimane.

Come Geometria, anche Numeri sarà un corso aperto e gratuito, disponibile online sulla piattaforma Moodle, chepropone la fruizionedimateriali (in cui vengono impiegati softwarematematici comeGeogebra, Excel,…) creati daicorsistidelMasterFormatoriinDidatticadellaMatematicadell'UniversitàdiTorinomediantestrumentitecnologicichefavorisconolacomunicazioneelacondivisione.Attraversol'utilizzodirettoditalirisorseildocentesperimenteràmodalitàpersocializzarelapropriaesperienzaeverràsollecitatoapensarecomequestepossanoessereriutilizzatenellapropriapraticadidattica,attraversoformatiinnovativipermigliorarel'apprendimentodeglistudentiestimolareillorointeresse.

Ilprogettomonitoreràlapartecipazioneeilcoinvolgimentodeidocentiinquestanuovamodalitàdiformazione,nonchéla ricaduta delle proposte nella prassi della didattica dellamatematica, per verificare lo sviluppo professionale e lacreazionedicomunitàdipraticafraidocenti.

Icorsisisvolgerannointeramenteadistanzaerispondonoinmanieraimmediataallarichiestadiunaformazionechesiadattiaogniesigenzadiluogo,orarioetempidiapprendimento.

Ilcompletamentodelleattivitàrichiesteperognimodulovieneattestatoconl'assegnazionediunbadge,ottenutodopoavercompilatounbrevetestfinale.Alterminedelpercorso,siottieneunultimobadge,cherappresentalacertificazionedelconseguimentodellecompetenzeprevisteperilpercorsoformativo.

PerlaprogettazionedelMOOCsicollaboreràancheconl’équipedirettadalprof.LucTrouche(ENSdiLione),coordinatoredell’equipepedagogicadieFANMathschehaerogato,damarzoamaggio2016,unMOOCperlaformazionedocentiinFrancia.

Lafinalitàchesipersegueèditracciarelastradaperunanuovamodalitàdiformazioneedimonitorarneipassaggialfinedivalutarnel'impattoelaricadutanellepratichedidattiche,affinchél'utilizzodellatecnologiageneriunapprendimentoconsapevole.

CO9EnricoMartoglioInserirebellefigureneipropridocumentiossia:comeusareGeoGebraconLATEXLivelloScolare:Tutti

CO10MonicaMattei,SilviaBeltramino,CarlottaIdrofano,DanielaPavarino,AnnarosaRongoni,CinziaSolderaAttivitàperunamatematicaaccessibileeinclusivaLivelloScolare:TuttiIl laboratorio sibasa sui lavori sviluppatinelprogettodi ricerca “Metodologie, tecnologie,materiali eattivitàperunapprendimentodellamatematicaaccessibileeinclusivo”finanziatodaFondazioneCRTerealizzatodalDipartimentodiMatematicadell’UniversitàdegliStudidiTorinoconilcoordinamentodellaProf.ssaOrnellaRobutti.Ilgruppodilavoro*,basandosi sui più attuali risultati di ricerca in tale ambito, ha progettato alcune attività per gli studenti della scuolasecondariadiprimoesecondogrado, inparte rivedendoledalprogettoM@t.abel, inparteexnovo,con l’intentodipuntaresuun’otticafortementeinclusiva,alfinedicoinvolgeregliallievicondifficoltànel lavorodiclasse.Leattivitàsonopoistatesperimentatenelleclassiesisonoanalizzatiiprocessideglistudenti.

Il laboratorio si proponedi coinvolgere i partecipanti nella sperimentazione inprimapersonadi alcunedelle attivitàinclusiveprogettate.Sianalizzerannoquindiqualisonolecaratteristichechepossonofavorirel’inclusivitàdiunaattività,apartiredallafasediprogettazioneperarrivareallafasedisperimentazioneinclasse,senzatrascurareilcoinvolgimentoemotivodeglistudenti.Unaparticolareattenzioneverràdedicataalruolodellatecnologia,einparticolarediGeoGebra,ealsuocontributonelprocessodiinclusionedituttiglistudenti.

PerlascuolasecondariadiIgradosiproporrà,inparticolare,un’attivitànelnucleoGeometriarelativaall’introduzionedeiconcettidiperpendicolareedidistanzadiunpuntodaunaretta,perarrivarealconcettodialtezza.Unnaturalesviluppodi tale lavoroporteràal concettodi altezzanello spazio.Per il bienniodella scuola secondariadi II gradoèprevistaun’attivitàdiesplorazionechepermettedistimolarelariflessioneelaproduzionedicongetturedapartedeglistudenti, con l’obiettivo di ricerca di regolarità, fino ad arrivare alla loro formalizzazione attraverso una relazionematematica,conlerelativeargomentazioni.L’esplorazioneelaconseguenteproduzionedicongetturesonoaffidateallamanipolazioneconGeoGebraesiprevede,comeobiettivofinale,lagiustificazionedellecongetture.L’attivitàhaancheloscopodiintrecciareillinguaggioalgebricoconquellonaturaleeconquellinumericoegrafico.

*Gliinsegnantichehannopartecipatoalgruppodiricercasono:S.Abbati,B.Baldi,S.Beltramino,A.Berra,E.Calemma,A.Cena,P.Curletti,M.Dalè,A.Drivet,S.Fratti, L.Genoni,A.Ghersi,P.Gulino,C. Idrofano,D.Pavarino,F.Raina,A.Rongoni,D.Sasso,C.Soldera,G.Trinchero.

CO11MargheritaMotteranLavorareconleconicheperconoscerlemeglioLivelloScolare:SecondariadiIIGradoIIbiennioPremessaInalcuni corsidi formazioneper insegnanti, è statoosservato chemolti studentipensanoche l’ellisse, laparabolael’iperbolesianooggettimatematicisenzaconnessionitraloro,ancheperchéliincontranocomeluoghigeometricidistintienericordanosololeequazionicanonichepresentineimanuali.Leproprietàfocalidelleconichetrovanoutiliapplicazioninellarealtàma,ancheperladifficoltàdeglisviluppimatematici,sonopococonosciutenellascuolasecondariadisecondogrado.Geogebra,conpercorsiabbastanzasemplici,accompagnaascoprirel’equazionegeneraledelleconicheeleloroproprietàfocali.

Percorso1:Allascopertadell’equazionegeneraledelleconiche.SiapreGeogebra(VistaAlgebra),siinseriscel’equazionecanonicadiun’ellisse,siosservailgraficoottenuto,siapplicanoa taleconica trasformazionigeometrichediverse:una traslazione,una rotazionediunangolodiversodaunmultiplointerodiunangoloretto,lacomposizionedellarotazioneedellatraslazionegiàapplicate.Siragionaconglistudentisulleequazionichecompaionoviaviasulloschermo.Siripeteilprocedimentoapplicandoloaunaparabolaeaun’iperbole.Siscrivonosullalavagnaleequazionidelleconicheottenuteconognicostruzione:sonotutteequazionidisecondogradoinduevariabili.Siverificafacilmentecheciascunadiessesipuòotteneredaun’equazionegenerale,l’equazionegeneraledelle coniche,attribuendoparticolari valoriai coefficientinumerici. Se la classeha sufficienteautonomia, sipossonolasciare gli studenti liberi di scegliere arbitrariamente le traslazioni e le rotazioni da applicare, al finedi ottenereunmaggiornumerodiequazionidaconfrontare.

Questaattivitàoffreun’occasioneperrifletteresullediversescrittureesulsignificatodeiterminidell’equazionediunaconica,perapplicareletrasformazionigeometrichepianeeleloroformule,peravereunavisioneunitariadeitretipidicurveefarealmenoqualchecenno,anchestorico,allesezionifraunpianoeunconoindefinitoaduefalde.

Percorso2:Allascopertadelleproprietàfocalidelleconiche.ConGeogebra, tracciandoconiche, rette tangenti aunaconica, rettemutuamenteperpendicolari, rette simmetricherispettoaunasse,sipossonoevidenziareleproprietàfocaliditalicurve,lacuiscoperta,conriferimentoalleleggifisichesullariflessione,offrespuntiperproporrealcuniesempidioggettiostrumenticostruitiutilizzandoleproprietàfocalidelleconiche,chesononoteeapplicatedasecoli.

AppuntimetodologiciI docenti che hanno realizzato almeno in parte i percorsi proposti in questo lavoro hanno rilevato cheGeogebra haconsentitodiottenereabbastanzarapidamenterisultaticonvincenti.Aloroavvisoèutileche,durantequesteattività,gliinsegnanti sollecitino la partecipazione attiva degli studenti ponendo loro domandemirate, alcune delle quali sonopresentateinquestolavoro.

CO12MonicaPaneroUsodiGeoGebranellaformazioneadistanza:ilcasodelMOOCfranceseeFANMathsLivelloScolare:TuttiQuestacomunicazionehaloscopodicondividereediscutereun’esperienzadiformazioneadistanzasvoltasiinFrancia,piùprecisamenteall’ÉcoleNormaleSupérieurediLione.Nelcorsodiunpost-dottoratoinsenoall’équipeEducTice,hoavutolapossibilitàdiparteciparealdesigneall’erogazionediunMOOC(MassiveOpenOnlineCourse)intitolatoeFANMaths (Enseigner et Former avec le Numérique enMathématiques). Il MOOC, destinato principalmente a docenti,formatori,studentiuniversitariefuturi insegnantifrancofoni,hacontatocirca2500iscritti intutto ilmondo.Pensatocomeaccompagnamentoall’entrata invigoredeinuoviprogrammiper la scuoladell’obbligo (previstaper settembre2016),sonostatiprivilegiaticontenutidimatematicaedididatticadellamatematicaintrodottidalnuovocurricoloediparticolareimportanzaperlascuolasecondariadiprimogrado(informatica,interdisciplinarità,...).IlMOOCsiècompostodicinquesettimanedicorsi,quiz,attivitàindividualieprogettazionicollettive.L’obiettivogeneraleeraaccompagnaregliiscrittinellaprogettazioneindividualeocollettivadiun’attivitàdi insegnamentoodiformazionecheprevedessel’usodellatecnologia.Perconseguirequestomacro-obiettivo,ognisettimanasièsviluppataattornoadunmicro-obiettivopreciso:familiarizzazioneconicontenutidelMOOCeindividuazionedellatematicadelproprioprogetto(settimana0);selezioneragionatadelletecnologienecessarieallosviluppodelproprioprogetto(settimana1);analisidellasituazionematematicaprogettatadalpuntodivistadell’attivitàdellostudente(settimana2);analisidellasituazionedalpuntodivistadelruolodelprofessore(settimana3);valutazionedellaqualitàdeiprogetti,attraversounapeerreview(settimana4).Ognisettimanasonostatiresidisponibilitrevideo,ciascunoseguitodaunquizrelativoaicontenutidelvideo:concetti,esempiequadriprovenientidalladidatticadellamatematicautiliperconseguireilmicro-obiettivodellasettimana.Inparticolare, nei corsi si discutono, tra gli altri, alcuni esempi di attività realizzate con GeoGebra per l’insegnamentodell’analisi,dellageometriaedeglialgoritmi.Inquestacomunicazione,presenteròdueesempi.- Ilprimoèstatopropostoinunquizdellasettimana1comesupportoperl’analisidiun’attivitàdimodellizzazionedi

unfioccodineveattraversounalgoritmo,finalizzataasvilupparelacreativitàdeglistudenti3;l’algoritmoperilfioccodivonKochèguidatopassoapassoinGeoGebraesenerichiedonovariantioaltriesempi.

- Ilsecondoèstatopropostoinunodeivideodellasettimana2perfavorirelariflessionesulconcettodivariabilenellostudio di un grafico tempo-distanza4; la situazionematematica, ricostruita inGeoGebra, è analizzata a priori interminididifficoltàdeglistudentiperpoterleprevedereegestirenell’otticadiunavalutazioneformativainclasse.

Inentrambiicasi,miconcentreròsullesceltedelteamdiformatoriinerentiall’utilizzodiGeoGebraneicorsiadistanza.Concluderòconunadiscussioneditalescelte,tenendocontoanchedell’avvisodeicorsisti,manifestatotramiteiforum,levalutazionieiquestionari.

3 Attività adattata dal progetto europeo MC Squared (Mathematical Creativity Squared). 4 Attività adattata dal progetto europeo FaSMEd (Formative Assessment in Science and Maths Education).

CO13CarlottaSoldano,DanieleManzoneL’apprendimento attraverso la ‘logica della ricerca’: un’analisi di attività-gioco di geometriaelementareall’internodiambientidigeometriadinamicaLivelloScolare:SecondariadiIGradoLosviluppodicompetenzelogico-argomentativeèfondamentaleperlaformazioneelosviluppocognitivodeglistudenti.Grazieadesseèpossibile,nonsolosostenereleproprietesievalutarecriticamenteletesialtrui,maanchecomprendereilpensieroscientificoematematico.

Numerosericercheindidatticadellamatematicasisonooccupatedelledifficoltàriscontratedaglistudentinell’approccioalladimostrazioneehannoevidenziatocomeilsensodelladimostrazionesiaunadelleprincipalidifficoltàriscontratedaglistudentiinambitomatematico.Lerilevazioninazionalieinternazionali(INVALSI,TIMSS),mostranocheglistudentiitalianisonomoltodebolinellaformulazionedirisposteaperte,ossiadiquellerispostechenecessitanolacapacitàdiprodurre argomentazioni. Riflettere su come ragioniamo o come dovremmo ragionare, può aiutare gli studentinell’approccioalpensieromatematico teorico.Gli studi sviluppatida J.Deweyeda J.Hinitkkahannomostrato che lelogichechecaratterizzanoalcunesituazionidellavitaquotidiana,lemosseinterrogativeestrategichepropriedellateoriadeigiochieleimplicazionichecostituisconoipassaggidiunadimostrazionehannoradicicognitivecomuni.

Apartiredaquestistudi,abbiamoprogettatosuDGSattività-giocofinalizzateallascopertadialcuniteoremidigeometriaelementare:relazionitraleposizionireciprochediduecirconferenzeelasomma/differenzadeilororaggi,relazionitralamisuradegliangolialcentroeallacirconferenza.Glistudentisonostatiguidatiallosvolgimentodelleattività-gioco,agendocomedetectiveallaricercadellastrategiavincentee,parallelamente,dell’enunciatodelteorema:porsidomande,osservarefattierelazioni,formulareipotesieverificarnelacorrettezza.Attraversoimeccanismidiindaginemessiinattoduranteilgioco,glistudentihannoacquisitofamiliaritàconleregolelogiche-strategichedelragionamentomatematicoe hanno scoperto, grazie alla riflessione condotta attraverso schede guidate e discussionimatematiche, i teoremi digeometriasucuisonostaticostruitiigiochi.

Lapresentazionesifocalizzeràsutaliattivitàesull’analisideiprocessicognitivimessiinattodaglistudentidellascuolasecondariadiprimogradocoinvoltinellesperimentazioni,inoltreanalizzeremoefficienzaedefficaciadelpercorsosvoltoe valuteremo buone pratiche (approccio laboratoriale, utilizzo ICT, problem solving, costruzione di radici cognitivedurature) e criticità (competenze tecnologiche, inserimento nella programmazione), in ottica di una possibileimplementazioneoriproposizioneinaltricontesti.

Bibiografiaessenziale

Balacheff,N.(1988).Aspectsofproofinpupils’practiceofschoolmathematics.(InD.Pimm(Ed.),Mathematics,teachersandchildren.London:HodderandStoughton).216–235.Dewey,J.,&Visalberghi,A.(1974).Logica,teoriadell'indagine.1-2.Einaudi.Dewey,J.(1925).Logic:Thetheoryofinquiry(1938).Thelaterworks,1953,1–549.Dvora,T.(2012).UnjustifiedassumptionsingeometrymadebyhighschoolstudentsinIsrael,PhDDissertation,TelAvivUniversity-TheJaimeandJoanConstantinerSchoolofEducationFischbein,E.(1982).Intuitionandproof.FortheLearningofmathematics,3((2),8–24.Healy,L.,&Hoyles,C.(2000).Astudyofproofconceptionsinalgebra.JournalforResearchinMathematicsEducation,31(4),396–428.Hintikka,J.(1998).Theprinciplesofmathematicsrevisited.Cambridge:CambridgeUniversityPress.Hintikka,J.(1999).Inquiryasinquiry:alogicofscientificdiscovery.SpringerScience+BusinessMediaDordrechtMarton,F.,Tsui,A.B.,Chik,P.P.,Ko,P.Y.,&Lo,M.L.(2004).Classroomdiscourseandthespaceoflearning.Routledge.Reiss,K.,Klieme,E.,&Heinze,A.(2001).Prerequisitesfortheunderstandingofproofsinthegeometryclassroom.InM.vandenHeuvel-Panhuizen(Ed.),Proceedingsofthe25thConferenceoftheInternationalGroupforthePsychologyofMathematicsEducation(Vol.4,pp.97–104).Utrecht:PME.

CO14MariaSpreafico,MartinoPavignano,UrsulaZichGeoGebra,matematicaedisegnoarchitettonicoLivelloScolare:UniversitàInquestointerventovorremmoproporrel’utilizzodiGeoGebracomestrumentoperindagareildisegnoarchitettonicodalpuntodivistamatematico.L’applicazionepresentataèstatarealizzatadaungruppodiricercatoriedottorandidelPolitecnicodi Torino.Questo approcciopotrebbeessere interessante anchenelle scuole superiori per il suo aspettointerdisciplinare.

Ilnostrogruppohasperimentatoquestaanalisisualcunetavoledel trattatodiVignola,Regoladellicinqueordinid’architetturadiM.IacomoBarozziodaVignola(Roma,1562),dovel’autoredescrivegraficamenteipiùimportantiordiniarchitettonici.

Nelle29tavoledescrittivenonèsemprefacilel’interpretazionerigorosadelpassaggiodallarappresentazione2Dallarealizzazione3Ddell’elemento.InfattiilVignolanonmetteinevidenza,senonperviagrafica,lacorrispondenzatraunprofilo,ilrelativosolidoel’insiemedielementidell’ordinedescritto,omettendoindicazioniesplicitesullasuagenerazione3D.

AbbiamoutilizzatoilsoftwareGeoGebraconiseguentitrescopi:

1) Descrivereoverificarelecostruzionigeometricheallabasedialcunielementideidisegni(Figura1)

Figura1 Figura2

2) Ricostruireleequazionideiprofili2Dperottenerepoiladescrizionedeisolididirotazioneetraslazionepresentinell’architettura(Figura2)

3) Indagareedescriverelespiralichedisegnanolevolutedelcapitelloionico,convarimetodigeometrici(Figure3,4),ancheconfrontandoleconlespirali“naturali”:ovveroquellelogaritmiche.

Figura3 Figura4