Vektorgeometri för...
Transcript of Vektorgeometri för...
![Page 1: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/1.jpg)
Vektorgeometri for gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten for teknik
Linneuniversitetet
Rata linjens och planets ekvationer II
![Page 2: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/2.jpg)
Innehall
Rata linjens ekvation – repetition
Planets ekvation pa parameterform
Planets ekvation pa normalform
Normalformen i ortonormerade system
2(21)
![Page 3: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/3.jpg)
Rata linjens ekvation – repetitionI ett givet koordinatsystem (O, ex, ey, ez)for rummet galler att varje rat linje kanframstallas pa parameterform
x = x0 + tαy = y0 + tβz = z0 + tγ.
Detta ar ekvationen for den rata linje somgar genom punkten P0 = (x0, y0, z0) ochsom har vektorn v = (α, β, γ) som s.k. rikt-ningsvektor.
bP0
v
Analogt ges ekvationen pa parameterform for en linje i planet som
{
x = x0 + tαy = y0 + tβ.
3(21)
![Page 4: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/4.jpg)
Vi aterger resonemanget for hur man kan harleda ekvationen paparameterform for en rat linje i rummet:Lat ett koordinatsystem (O, ex, ey, ez) for punkterna i rummet varagivet.
For att entydigt kunna bestamma enlinje L i rummet, behover vi kanna till
• en punkt P0 = (x0, y0, z0) pa L
• en riktningsvektorv = (α, β, γ) 6= 0 for L.
En punkt P = (x, y, z) ligger pa L, om
och endast om−−→P0P = tv for nagot t.
L
bP0
v
bP
−−→
P0P
Ekvationen−−→P0P = tv blir (x − x0, y − y0, z − z0) = (tα, tβ, tγ) pa
koordinatform. Vi jamfor koordinat for koordinat och far rata linjensekvation pa parameterform:
x = x0 + tαy = y0 + tβz = z0 + tγ.
Nar vi harnast ska harleda ekvationen for ett plan i rummet, kommervi resonera pa ett liknande vis.
4(21)
![Page 5: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/5.jpg)
Planets ekvation pa parameterform
For att kunna lokalisera ett plan i rummet, behover vi kanna till• En punkt P0 som ligger i planet• Tva vektorer v1 och v2 som bada ar parallella med planet, meninte med varandra (vi sager att v1 och v2 spanner upp planet).
Lat P vara en godtycklig punkt i rummet. Da ligger P i planet, om
och endast om vektorn−−→P0P kan skrivas som en linjarkombination
av v1 och v2, d.v.s. det ska finnas reella tal t1 och t2 sadana att−−→P0P = t1v1 + t2v2.
bP0
v1
v2
b P
−−→P0P
5(21)
![Page 6: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/6.jpg)
Vi infor ett koordinatsystem (O, ex, ey, ez) for rummets punkter (intenodvandigtvis ortonormerat). Antag vi i detta koordinatsystem harP0 = (x0, y0, z0) och P = (x, y, z), samt att v1 = (α1, β1, γ1) och
v2 = (α2, β2, γ2). Ekvationen−−→P0P = t1v1 + t2v2 blir da pa
koordinatform
(x − x0, y − y0, z − z0) = t1(α1, β1, γ1) + t2(α2, β2, γ2)
= (t1α1 + t2α2, t1β1 + t2β2, t1γ1 + t2γ2).
Jamfor vi koordinat for koordinat sa far vi planets ekvation pa
parameterform:
x = x0 + α1t1 + α2t2
y = y0 + β1t1 + β2t2
z = z0 + γ1t1 + γ2t2.
Vi kallar t1 och t2 for parametrar. Nar t1 och t2 genomloper alla reellatal, kommer P = (x, y, z) att genomlopa alla punkter i planet, ochinga andra.
6(21)
![Page 7: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/7.jpg)
ExempelPlanet med ekvationen
x = −1 + 3t1 − 3t2
y = 3 − 2t1 + 2t2
z = 2 + t1 − 5t2
innehaller punkten P0 = (−1, 3, 2) och spanns upp av vektorernav1 = (3, −2, 1) och v2 = (−3, 2, −5) (som vi noterar inte ar parallella).Ligger nagon av punkterna P = (5, −1, 0) eller Q = (1, 2, 1) i dettaplan?
Losning.Om P ligger i planet, maste det finnas varden pa t1 och t2 sa att
5 = −1 + 3t1 − 3t2
−1 = 3 − 2t1 + 2t2
0 = 2 + t1 − 5t2
⇐⇒
3t1 − 3t2 = 6−2t1 + 2t2 = −4
t1 − 5t2 = −2⇐⇒
{
t1 = 3t2 = 1.
Punkten P ligger alltsa i planet. Avgor pa egen hand ifall samma sakgaller for Q.
7(21)
![Page 8: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/8.jpg)
ExempelBestam en ekvation pa parameterform for det plan som innehaller detre punkterna P = (1, 0, 3), Q = (−1, 2, 3) och R = (6, −2, 1).
Losning.Vi behover tva icke-parallella vektorer som spanner upp planet, samten punkt som ligger i planet.Som vektorer kan vi valja
−−→PQ = (−2, 2, 0) och
−→PR = (5, −2, −2).
Om vi som punkt i planet valjer P , sa far vi ekvationen
x = 1 − 2t1 + 5t2
y = 2t1 − 2t2
z = 3 − 2t2.
Precis som nar vi plockar fram en rat linjes ekvation paparameterform, kan vi fa olika ekvationer beroende pa hur vi valjerpunkter och vektorer.
8(21)
![Page 9: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/9.jpg)
Planets ekvation pa normalform
Pa forra forelasningen konstaterade vi att rata linjer i planet kanframstallas pa normalform (forutom parameterform). Vi har da enekvation av typen
ax + by + c = 0,
dar minst ett av talen a och b ar skilt fran noll.Om det koordinatsystem (O, ex, ey) vi anvan-der oss av ar ortonormerat, d.v.s. om (ex, ey)ar en ON-bas, sa ar n = (a, b) en normalvek-
tor till en linje med ekvationen ax+by+c = 0.Linjens riktningsvektor ar alltsa da ortogonalmot n.
ax + by + c = 0
n = (a, b)Vi ska nu se att aven ett plan i rummet kan skrivas pa s.k.normalform, och att en motsvarande geometrisk tolkning som ovankan goras, sa fort vi anvander ett ortonormerat system.
9(21)
![Page 10: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/10.jpg)
Betrakta det plan som innehaller punkten P0 = (x0, y0, z0) och spannsupp av vektorerna v1 = (α1, β1, γ1) och v2 = (α2, β2, γ2). LatP = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i rummet. Da spanner de tre
vektorerna v1, v2 och−−→P0P = (x − x0, y − y0, z − z0) upp en
parallellepiped i rummet, vars volym (sanar som pa tecknet) ar likamed determinanten av den matris, vars kolonnvektorer utgors
av v1, v2 och−−→P0P .
bP0
v1
v2
bP
−−→
P0P
v2
Speciellt intressant blir det om denna determinant ar noll. Detta skerom och endast om punkten P ligger i planet.
10(21)
![Page 11: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/11.jpg)
Detta betyder alltsa P = (x, y, z) ligger i planet, om och endast om
∣
∣
∣
∣
∣
∣
α1 α2 x − x0
β1 β2 y − y0
γ1 γ2 z − z0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0.
Genom att berakna determinanten med hjalp av Sarrus’ regel, sa farvi efter litet rakningar att ekvationen ovan kan skrivas som
Ax + By + Cz + D = 0, (1)
dar A, B, C och D ar konstanter som beror av koordinaternafor v1 = (α1, β1, γ1), v2 = (α2, β2, γ2) och P0 = (x0, y0, z0).
Notera att om A = B = C = 0, sa maste ocksa D = 0 for att (1) skavara sant. Men i sa fall blir (1) inget annat an ekvationen 0 = 0, somju inte staller nagra som helst krav pa x, y och z. Alltsa maste minstett av talen A, B och C vara skilt fran noll.
11(21)
![Page 12: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/12.jpg)
Vi har darmed atminstone delvis bevisat foljande sats:
SatsOberoende av vilket koordinatsystem for rummet som anvands, sa kan
varje plan beskrivas med hjalp av en ekvation pa formen
Ax + By + Cz + D = 0, (2)
dar minst ett av de tre talen A, B och C ar skilt fran noll. Omvant
beskriver varje sadan ekvation ett plan i rummet.
Vad vi inte har bevisat ar en ekvation pa formen (2) kan tolkas somett plan: Vi vet att minst ett av talen A, B och C ar skilt fran noll;lat oss anta att C 6= 0. Om vi da satter x = t1 och y = t2, sa blir
Cz = D − Ax − By = D − At1 − Bt2 ⇐⇒ z =D
C−
A
Ct1 −
B
Ct2,
d.v.s. vi far
x = t1
y = t2
z = DC
− AC
t1 − BC
t2,
vilken ar ekvationen for ett plan pa parameterform, narmare bestamtdet plan som gar genom punkten (0, 0, D/C) och spanns upp avvektorerna (1, 0, −A/C) och (0, 1, −B/C). Nu ar satsen helt bevisad!
12(21)
![Page 13: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/13.jpg)
Definition (Normalform)Ekvationen for ett plan pa formen
Ax + By + Cz + D = 0,
dar minst ett av de tre talen A, B och C ar nollskilt, kallas for planetsekvation pa normalform.
I stallet for normalform sager man ibland affin form.
13(21)
![Page 14: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/14.jpg)
Exempel
Skriv en ekvation pa normalform for planet
x = t1 − 2t2
y = 2 − 2t1 + 3t2
z = −1 + t1 + 5t2,d.v.s. det plan som innehaller punkten P0 = (0, 2, −1) och spanns uppav vektorerna v1 = (1, −2, 1) och v2 = (−2, 3, 5).
Lat P = (x, y, z) vara en godtycklig punkt i rummet. Da
spanner v1, v2 och−−→P0P = (x, y − 2, z + 1) upp en parallellepiped, vars
volym (sanar som pa tecken) ges av determinanten
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −2 x−2 3 y − 2
1 5 z + 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
14(21)
![Page 15: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/15.jpg)
Volymen (determinanten) blir noll, om och endast om P ligger iplanet. Vi far
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 −2 x−2 3 y − 2
1 5 z + 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= 0 ⇐⇒ −13x − 7y − z + 13 = 0,
dar determinanten kan beraknas med hjalp av Sarrus’ regel. Planetsekvation pa normalform blir alltsa
−13x − 7y − z + 13 = 0
(eller om man sa vill 13x + 7y + z − 13 = 0).
15(21)
![Page 16: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/16.jpg)
Alternativ losning.
Vi utgar fran planets ekvation pa parameterform och forsoker losa detsom ett ekvationssystem med avseende pa t1 och t2:
x = t1 − 2t2
y = 2 − 2t1 + 3t2
z = −1 + t1 + 5t2
⇐⇒
t1 − 2t2 = x−2t1 + 3t2 = y − 2
t1 + 5t2 = z + 12
−
⇐⇒
t1 − 2t2 = x−t2 = 2x + y − 27t2 = −x + z + 1.
I de tva sista ekvationerna kan vi nu losa ut t2 och satta dessa tvauttryck for t2 lika med varandra:
2 − 2x − y =−x + z + 1
7⇐⇒ 7(2 − 2x − y) = −x + z + 1
⇐⇒ 13x + 7y + z − 13 = 0.
Vi far samma ekvation 13x + 7y + z − 13 = 0 for planet som vi fickmed ”determinantmetoden”.
16(21)
![Page 17: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/17.jpg)
ExempelSkriv en ekvation pa parameterform for planet 4x − 3y + z + 1 = 0.
Losning.Analogt med motsvarande problem for rata linjer i planet, doper viom tva av variablerna x, y och z till parametrar t1 och t2, och losersedan ut den tredje variabeln. Satter vi t.ex. x = t1 och y = t2 sa blirz = −1 − 4x + 3y = −1 − 4t1 + 3t2, vilket ger
x = t1
y = t2
z = −1 − 4t1 + 3t2.
Detta ar planet genom punkten P = (0, 0, −1) som spanns upp avvektorerna v1 = (1, 0, −4) och v2 = (0, 1, 3).
17(21)
![Page 18: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/18.jpg)
Normalformen i ortonormerade system
Vi paminner an en gang om att vi i ett ortonormerat koordinatsystemi planet kan tolka vektorn n = (a, b) som en normalvektor till den ratalinjen som pa normalform har ekvationen ax + by + c = 0.
Nagot liknande galler aven for ett plans ekvation pa normalform:
SatsI ett ortonormerad koordinatsystem galler att ett plan, som pa
normalform har ekvationen
Ax + By + Cz + D = 0,
har vektorn n = (A, B, C) som normalvektor, d.v.s. for varje vektor v
som ar parallell med planet galler att n · v = 0.
Ax + By + Cz + D = 0
n = (A, B, C)
18(21)
![Page 19: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/19.jpg)
Bevis.Lat v vara en godtycklig vektor som ar parallell med planet, och satt
n = (A, B, C).
Vi vill visa att n · v = 0.
I och med att v ar parallell med planet kan vi hitta punkterP0 = (x0, y0, z0) och P1 = (x1, y1, z1), som bada ligger i planet, ochsom ar sadana att
v =−−−→P0P1 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0).
Da bade P0 och P1 ligger i planet, galler savalAx0 + By0 + Cz0 + D = 0 som Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0. Darmed blir
0 = (Ax1 + By1 + Cz1 + D) − (Ax0 + By0 + Cz0 + D)
= A(x1 − x0) + B(y1 − y0) + C(z1 − z0).
Hogerledet ovan kan vi tolka som skalarprodukten n · v, eftersomkoordinatsystemet ar ortonormerat. Alltsa ar n · v = 0, vilket skullebevisas.
19(21)
![Page 20: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/20.jpg)
Vi kan nu redogora for en tredje metod att omvandla ett plansekvation fran parameterform till normalform.
Exempel
Vi tittar pa samma ekvation pa parameterform
x = t1 − 2t2
y = 2 − 2t1 + 3t2
z = −1 + t1 + 5t2
som tidigare, men med tillagget att koordinatsystemet nu arortonormerat. Vi soker en ekvation pa normalform
Ax + By + Cz + D = 0.
Eftersom koordinatsystemet ar ortonormerat, kan vektornn = (A, B, C) tolkas som en normalvektor till planet. Da planetspanns upp av v1 = (1, −2, 1) och v2 = (−2, 3, 5), ska n varaortogonal mot saval v1 som v2. Vi kan darfor som n valjavektorprodukten v1 × v2 av v1 och v2 (se definitionen avvektorprodukt i kapitel 5).
20(21)
![Page 21: Vektorgeometri för gymnasisterhomepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/Underlag/1MA403-Lines_and_Planes_II.pdfNotera att om A = B = C = 0, s˚a m˚aste ocks˚a D = 0 f¨or att](https://reader030.fdocuments.in/reader030/viewer/2022040223/5e526abb2242284fbc2094c3/html5/thumbnails/21.jpg)
Formeln for berakning av vektorprodukt ger
v1 × v2 = (1, −2, 1) × (−2, 3, 5) =
(∣
∣
∣
∣
−2 13 5
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
1 15 −2
∣
∣
∣
∣
,
∣
∣
∣
∣
1 −2−2 3
∣
∣
∣
∣
)
= (−13, −7, −1)
Alltsa ar n = (A, B, C) = (−13, −7, −1) vilket sa har langt gerekvationen
−13x − 7y − z + D = 0
for planet. Det aterstar att bestamma D. Men eftersom punktenP = (0, 2, −1) ligger i planet, sa maste koordinaterna for denna punktuppfylla planets ekvation, vilket ger
−13 · 0 − 7 · 2 − (−1) + D = 0 ⇐⇒ −13 + D = 0 ⇐⇒ D = 13,
och vi far pa nytt ekvationen −13x − 7y − z + 13 = 0 (eller13x + 7y + z − 13 = 0, om man sa vill).
21(21)