Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition

Publicat de Inspiration Books, 2009,

Kensglen, Nr Carsphairn, Castle Douglas, DG7 3TE, Scotland, U.K.

ISBN 978-1-902517-16-2

© K. R. Williams 2002

Prima publicație: 2002 de Inspiration Books.

Ediție revizuită 2009.

Traducere: Daniela Panait (2012)

PREFAȚĂ

Acest manual este primul dintr-o serie de trei manuale de sine stătătoare (de

nivel Elementar, Intermediar și Avansat) ce sunt destinate adulților cu o

pregătire de bază în domeniul matematicii și care doresc să învețe sau să predea

sistemul vedic. Profesorii ar putea folosi acest manual pentru a învăța

Matematica Vedică. Cu toate acestea, cele trei manuale nu sunt destinate

copiilor ce doresc să învețe acest sistem (pentru ei, ”Calculatorul Cosmic” este

recomandat). Mai poate fi folosit pentru a preda un curs de Matematică Vedică.

Acest manual este potrivit pentru profesorii de gimnaziu.

Cele șaisprezece lecții ale acestui curs sunt bazate pe un curs de o săptămână

ținut la Universitatea Oxford de către autor pentru matematicienii suedezi între

1990 și 1995. Acele cursuri intensive cuprindeau optsprezece lecții de o oră și

jumătate fiecare.

Toate tehnicile sunt pe deplin explicate și demonstrațiile furnizate acolo unde

este necesar, Sutrele relevante sunt indicate pe parcurs (acestea sunt listate la

sfârșitul manualului) și, pentru comoditate, răspunsurile sunt furnizate la

sfârșitul fiecărui exercițiu. Referințele sunt menționate pe parcurs cu referire la

anumite subiecte ce pot fi aprofundate ulterior.

Trebuie menționat faptul că în sistemul Vedic, calculul mintal este preferat, iar

studenții sunt încurajați să efectueze calculele mintal acolo unde acest lucru este

posibil. În ”Calculatorul Cosmic”, copiilor le este furnizat un scurt test mintal la

fiecare început de lecție, un început bun pentru recapitularea noțiunilor deja

învățate și de introducere a unor idei noi din lecția curentă. Cursul ”Calculatorul

Cosmic” conține multe jocuri ce ajută la stabilizarea și promovarea încrederii

folosirii sistemului Vedic.

Câteva noțiuni sunt absente din text: de exemplu, nu există secțiune specială

pentru arii, ci doar o simplă menționare. Aceasta se datorează faptului că

metodele actuale sunt aceleași cu cele învățate, diferențele notabile vor apărea

cu privire la Sutrele relevante.

PREFAȚĂ iii

LECȚIA 1 COMPLETÂND ÎNTREGUL

1 1.1 INTRODUCERE 1

1.2 CERCUL CELOR ZECE PUNCTE

3

1.3 MULTIPLII LUI ZECE 4

1.4 DIFERENȚA PÂNĂ LA ZECE

5

DEFICIENȚA ȘI COMPLETAREA

ÎMPREUNĂ 5

1.5 ADUNAREA MENTALĂ 6

COMPLETÂND ÎNTREGUL 7

COLOANE DE CIFRE 9

1.6 PRIN ADUNARE ȘI PRIN

SCĂDERE 11

SCĂDEREA NUMERELOR APROPIATE

DE O BAZĂ 12

LECȚIA 2 DUBLÂND ȘI

ÎNJUMĂTĂȚIND 14 2.1 DUBLÂND 14

ÎNMULȚIREA CU 4, 8 16

2.2 ÎNJUMĂTĂȚIND 17

SEPARAREA NUMERELOR 18

ÎMPĂRȚIREA LA 4, 8 18

2.3 EXTINDEREA TABLELOR 19

2.4 ÎNMULȚIREA CU 5, 50, 25 20

2.5 ÎMPĂRȚIREA LA 5, 50, 25 21

ÎMPĂRȚIREA LA 5 21

ÎMPĂRȚIREA LA 50, 25 22

LECȚIA 3 SUMA CIFRELOR 24 3.1 ADUNAREA CIFRELOR 24

3.2 CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE 26

3.3 ELIMINAREA LUI NOUĂ 26

3.4 PUZZLE-URI CU SUMA

CIFRELOR 29

MAI MULTE PUZZLE-URI 30

3.5 VERIFICAREA PRIN SUMA CIFRELOR

31

VERIFICAREA ÎNMULȚIRII 33

3.6 PĂTRATUL VEDIC 34

3.7 ȘABLOANE DIN PĂTRATUL

VEDIC 36

3.8 NUMĂRUL NOUĂ 37

LECȚIA 4 DE LA STÂNGA LA

DREAPTA 40 4.1 ADUNAREA: DE LA STÂNGA LA

DREAPTA 40

4.2 ÎNMULȚIREA: DE LA STÂNGA LA

DREAPTA 42

4.3 DUBLÂND ȘI ÎNJUMĂTĂȚIND 43

4.4 SCĂDEREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA

44

4.5 VERIFICAREA SCĂDERILOR 45

4.6 MAI MULTE SCĂDERI 46

LECȚIA 5 TOATE DIN 9 ȘI ULTIMUL DIN 10 5.1 APLICAREA FORMULEI 48

5.2 SCĂDEREA 49

ADĂUGAREA ZEROURILOR 50

CU UNUL MAI PUȚIN 51

CU UNUL MAI MULT 51

ÎNCĂ O DATĂ, CU UNUL MAI PUȚIN 52

5.3 BANII 53

LECȚIA 6 SEPARAREA NUMERELOR 54 6.1 ADUNAREA 54

6.2 SCĂDEREA 55

6.3 ÎNMULȚIREA 56

6.4 ÎMPĂRȚIREA 57

LECȚIA 7 ÎNMULȚIREA DE BAZĂ 59 7.1 TABLELE ÎNMULȚIRII 59

7.2 NUMERE IMEDIAR SUPERIOARE LUI 10 61

7.3 ȘABLOANELE TABLELOR ÎNMULȚIRII 62

PERIODICITATEA ZECIMALELOR 64

7.4 NUMERE APROPIATE DE 100 65

MINTAL 67

NUMERE PESTE 100 68

MATEMATICA MENTALĂ 69 ÎNMULȚIREA ȚĂRĂNEASCĂ

RUSEASCĂ 69

7.5 NUMERE MARI 70

NUMERE MAI MARI DECÂT

BAZA 71

7.6 PROPORȚIONAL 71

O ALTĂ APLICAȚIE A FORMULEI 73

7.7 ÎNMULȚIREA NUMERELOR CU BAZE

DIFERITE 74 7.8 RIDICAREA LA PĂTRAT A NUMERELOR

APROPIATE DE O

BAZĂ 75

7.9 UN REZUMAT 77

CUPRINS

LECȚIA 8 VERIFICAREA ȘI

DIVIZIBILITATEA 78 8.1 SUMA CIFRELOR ȘI ÎMPĂRȚIREA 78

8.2 PRIMUL CU PRIMUL ȘI ULTIMUL CU

ULTIMUL 79

PRIMUL CU PRIMUL 79

ULTIMUL CU ULTIMUL 81

8.3 DIVIZIBILITATEA CU 4 81

8.4 DIVIZIBILITATEA CU 11 82 RESTUL ÎMPĂRȚIRII LA 11 83

O ALTĂ VERIFICARE PRIN SUMA

CIFRELOR 84

LECȚIA 9 NUMERELE CU BARĂ 85 9.1 ELIMINAREA NUMERELOR CU BARĂ

85

TOATE DIN 9 ȘI ULTIMUL DIN 10 87

9.2 SCĂDEREA 88

9.3 CREAREA NUMERELOR CU

BARĂ 89

9.4 UTILIZAREA NUMERELOR CU BARĂ

91

LECȚIA 10 ÎNMULȚIREA

SPECIALĂ 92 10.1 ÎNMULȚIREA CU 11 92

SURPLUSURI 94

NUMERE MARI 94

10.2 CU UNUL MAI MULT DECÂT CEL

PRECEDENT 96

10.3 ÎNMULȚIREA CU MAI MULTE CIFRE

DE 9 97

10.4 PRIMUL CU PRIMUL ȘI ULTIMUL CU

ULTIMUL 98

10.5 FOLOSIND VALOAREA MEDIE 99

10.6 NUMERE SPECIALE 101

NUMERE CARE SE REPETĂ 101

PROPORȚIONAL 102

DISIMULĂRI 102

LECȚIA 11 ÎNMULȚIREA

GENERALĂ 105 11.1 RECAPITULARE 105

11.2 NUMERE DE DOUĂ CIFRE 106

SURPLUS 107

11.3 ÎNMULȚIREA MOBILĂ 109

11.4 EXTINDERE 111

11.5 ÎNMULȚIREA BINOAMELOR 112

11.6 ÎNMULȚIREA NUMERELOR DE TREI

CIFRE 114

11.7 CALCULE SCRISE 116

LECȚIA 12 RIDICAREA LA PĂTRAT 119 12.1 PĂTRATUL UNUI NUMĂR CE SE

TERMINĂ ÎN 5 119

12.2 PĂTRATUL UNUI NUMĂR APROPIAT DE

50 120

12.3 METODA GENERALĂ 121

DUPLEX 121

12.4 SEPARAREA NUMERELOR 123

12.5 PĂTRATUL EXPRESIILOR ALGEBRICE 124

12.6 SUMA CIFRELOR UNUI PĂTRAT 125

12.7 RĂDĂCINILE PĂTRATE LE NUMERELOR

PĂTRATE PERFECTE 126

12.8 NUMERE DE 3 SAU 4 CIFRE 128

LECȚIA 13 ECUAȚII 130 13.1 ECUAȚII ÎNTR-UN PAS 130

13.2 ECUAȚII ÎN DOI PAȘI 131

13.3 ECUAȚII ÎN TREI PAȘI 132

LECȚIA 14 FRACȚII 134 14.1 VERTICAL ȘI ÎN DIAGONALĂ 134

14.2 O SIMPLIFICARE 136

14.3 COMPARAREA FRACȚIILOR 137

14.4 UNIFICAREA OPERAȚIILOR 138

LECȚIA 15 ÎNMULȚIRI SPECIALE 139 15.1 ÎMPĂRȚIREA LA 9 139

NUMERE MARI 141

SURPLUS 142

O SCURTĂTURĂ 142

15.2 ÎMPĂRȚIREA LA 8 ETC. 143

15.3 ÎMPĂRȚIREA LA 99, 98 ETC. 145 15.4 DIVIZOR INFERIOR UNEI BAZE 146

CÂTURI DE DOUĂ CIFRE 148 15.5 DIVIZOR SUPERIOR UNEI BAZE 150

LECȚIA 16 GIUVAIERUL COROANEI 152 16.1 O SIGURĂ CIFRĂ LA INDICATOR

152

16.2 DIGRESIUNE ASUPRA UNEI ÎMPĂRȚIRI

RAPIDE 153

16.3 NUMERE MARI 155

16.4 INDICATOR NEGATIV 157 16.5 RESTUL ZECIMAL 159

SUTRE ȘI SUB-SUTE 160

CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE 162

REFERINȚE 163

INDEX SUTRE VEDICE 164

INDEX SUB-SUTRE 166

REZUMAT 1.1 Introducere – informaţii generale despre Matematica Vedică.

1.2 Cercul celor zece puncte – reprezentarea numerelor pe un cerc.

1.3 Multiplii lui zece

1.4 Diferența până la zece – legătura dintre numere și multiplii lui zece.

1.5 Adunarea mentală

1.6 Prin adunarea şi prin scăderea – numerelor apropriate de un multiplu al lui zece.

Matematica Vedică este un sistem matematic antic ce a fost redescoperit la începutul secolului

trecut de către Sri Bharati Krsna Tirthaji (mult mai cunoscut sub numele de Bharati Krsna).

Cuvântul sanscrit “Veda” înseamnă “cunoaştere”. Vedele sunt scrieri antice ale căror dată

precisă nu se cunoaște, dar se presupune că datează cu câteva secole înaintea lui Hristos.

Conform tradiției indiene, conținutul Vedelor a fost cunoscut cu mult înainte de inventarea

scrisului și a fost accesibil oricui. Transmiterea lor s-a facut pe cale orală, prin viu grai.

Scrierile numite Vede au constat într-un număr mare de documente (se spune că există în

India milioane de astfel de scrieri, multe dintre ele nefiind traduse încă) și, de curând, s-a

arătat că sunt bine structurate, atât în conținutul lor cât și în relația dintre ele (vedeți referința

2). Domeniile acoperite de Vede includ gramatica, astronomia, arhitectura, psihologia,

filosofia, tragerea cu arcul etc.

Acum o sută de ani, savanții sanscriți au tradus documentele Vedice și au fost surprinși de

profunzimea și actualitatea conținuturilor. Dar, câteva documente numite ”Ganita Sutras”, ce

înseamnă ”matematică”, nu au putut fi interpretate de ei în termeni matematici. De exemplu,

unul din versuri, spune ”în regatul regelui Kamse, foametea, molima și condițiile neigienice

predomină”. Au spus că aceasta nu este matematică, ci un lucru lipsit de sens.

Bharati Krsna s-a născut în 1884 și a murit în 1960. A fost un student extraordinar, obținând

mari onoruri în toate subiectele ce le-a studiat, cum ar fi sanscrita, filosofia, engleza,

matematica, istoria și științele. Când a auzit ce spuneau savanții europeni despre anumite

extrase din Vede ce prespuneau a conține noțiuni matematice, s-a decis să studieze aceste

documente pentru a le afla semnificația. Între 1911 și 1918, a reușit să reconstruiască sistemul

matematic antic ce este acum numit Matematica Vedică.

A scris șaisprezece cărți în care a explicat acest sistem, dar, din păcate, acestea au fost

pierdute, iar când pierderea a fost confirmată în 1958, Bharati Krsna a scris o singură carte

LECŢIA 1

COMPLETÂND ÎNTREGUL

1.1 INTRODUCERE

MANUAL DE MATEMATICĂ VEDICĂ 1 2

introductivă numită ”Matematica Vedică”. Această carte încă se mai găseste și este un best-

seller (vedeți referința 1).

Prezentul autor a găsit cartea ”Matematica Vedică” în 1971 și a dezvoltat conținutul acestei

cărți pentru aplicarea acestui sistem în domenii neacoperit până atunci de Bharati Krsna. Tot

ceea ce nu se găsește în cartea ”Matematica Vedică” a fost dezvoltat independent de către

autor.

Sunt multe aspecte și utilizări ale Matematicii Vedice ce sunt mai bine de discutat pe parcurs

decât acum pentru că că este bine să observăm un sistem în acțiune pentru a-l aprecia pe de-a

întregul. Dar, pentru moment, punctele principale sunt:

1) Sistemul redescoperit de Bharati Krsna se bazează pe șaisprezece formule (sau Sutre) și

câteva sub-formule (sub-Sutre). Aceste Sutre sunt date sub formă de fraze: de exemplu, Cu

unul mai mult decât cel dinainte sau Vertical și în diagonală. În acest text, ele sunt indicate

prin caractere italice. Sutrele pot fi legate de funcții mintale cum ar fi completând un întreg,

observând analogii, generalizări ș.a.m.d.

2) Acest sistem nu furnizează numai o multitudine de metode generale și speciale necunoscute

până acum, dar este, de departe, un sistem mult mai coerent și integrat.

3) Matematica Vedică este un sistem matematic mental (deși poate fi și scris).

Multe din metodele matematice sunt noi, simple și fascinante. De asemenea, sunt bine

corelate astfel încât împărțirea, de exemplu, poate fi văzută ca inversa metodei de înmulțire

(la fel și pentru ridicarea la putere și extragerea radicalului). Acest fapt apare în contrast cu

sistemul modern pentru că metodele vedice sunt atât de diferite de metodele convenționale, și

pentru a ne familiariza cu sistemul Vedic, este de preferat să practicăm tehnicile pe parcursul

lecțiilor.

“Sutrele (aforismele) se aplică și acoperă fiecare parte

a fiecărui capitol al tuturor ramurilor matematicii

(incluzând aritmetica, algebra, geometria – plană și în

spațiu, trigonometria – plană și sferică, conicele-

geometrice și analitice, astronomia, analiza

matematică – diferențială și integral, etc., etc. De fapt,

nu există parte a matematicii, pură sau aplicată, ce

este înafara juristricției lor”

Din “Matematica Vedică”, Pagina xvi.

1: COMPLETÂND ÎNTREGUL

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .

Numerele încep de la unu.

Apoi urmează numărul doi, apoi trei și așa mai departe.

Sutra Cu unul mai mult decât cel dinainte descrie generarea numerelor pornind de la unitate.

Aritmetica este studiul comportamentului numerelor și, așa cum fiecare persoana este diferită

și specială, așa sunt și numerele.

Fiecare număr este special și atunci când începem să le cunoștem, ele ne devin prietene.

[O descriere a numerelor poate fi introdusă aici.]

Câteodată, este foarte util ca cele zece numere să fie

aranjate în jurul unui cerc, așa cum sunt ilustrate aici:

Folosim nouă cifre și zero.

Pentru numerele mai mari de nouă vom folosi

două sau mai multe dintre acestea pentru a forma

numere precum 10, 11, 12 ș.a.m.d.

Continuând așa în jurul cercului punem 11

unde avem 1, dar mai depărtat pe ramura lui 1.

Iar numărul 12 va fi poziționat lângă 2 ș.a.m.d..

Acest cerc poate fi folosit pentru a adăuga numere, dar și pentru a le lua, exact cum folosim o

linie de numere. Trebuie observat faptul că numerele de pe o ramură se termină cu aceeași

cifră, iar multiplii lui 10 apar pe ramura din partea de sus.

1.2 CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4 5

6

7

8

9

10 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 21


De exemplu, adunarea 24 + 26 este ușor de efectuat pentru că, dacă adunăm 4 cu 6,

obținem 10.

Așadar, 24 + 26 = 50.

Este important de știut cele cinci perechi de numere ce adunate dau 10:

1 + 9 = 10, 2 + 8 = 10, 3 + 7 = 10, 4 + 6 = 10, 5 + 5 = 10.

Aceste perechi sunt ilustrate în figura de mai sus.

Sutra Prin completare sau necompletare descrie abilitatea fiecăruia de a vedea și utiliza

multiplii lui 10 pentru a forma un întreg.

Aplicația AEfectuați următoarele adunări:

a 6 + 4 b 4 + 16 c 5 + 25 d 13 + 7 e 22 + 8

f 38 + 2 g 54 + 6 h 47 + 3 i 61 + 9 j 85 + 5

a 10 b 20 c 30 d 20 e 30

f 40 g 60 h 50 i 70 j 90

Completarea zecilor poate fi făcută și printr-o altă metodă.

1.3 MULTIPLII LUI ZECE

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

“Băiețeii vin dansând cu bucurie, iar profesorii îi

întreabă, ’Ei bine, cum un răspuns poate fi obținut fără

vreu calcul intermediar?’”.

Din “Metafizica Vedică”, Pagina 168.


5

38 + 5 = ? Se știe că 38 este aproape de 40 și cu 2 mai mic decât acesta.

Astfel, luăm 2 din 5 pentru a forma 40 apoi adăugăm 3 (restul rămas)

pentru a obține rezultatul final, adică 43.

38 40 43

| | | | | | | |

Aplicația B Efectuați următoarele adunări:

a 37 + 23 b 42 + 28 c 54 + 16 d 49 + 21

e 45 + 35 f 72 + 18 g 38 + 22 h 35 + 35

a 60 b 70 c 70 d 70

e 80 f 90 g 60 h 70

Sutra Vedică Prin diferență se referă la capacitatea naturală de a observa cât îi lipsește unui

număr pentru a forma un întreg.

Aplicația C Completați numerele ce lipsesc.

a 37 este aproape de și cu mai mic decât acesta.

b 49 este aproape de și cu mai mic decât acesta.

c 68 este aproape de și cu mai mic decât acesta.

a 40, 3 b 50, 1 c 70, 2

DEFICIENȚA ȘI COMPLETAREA ÎMPREUNĂ

Adunarea devine mai ușoară prin completarea la întreg.

1.4 DIFERENȚA PÂNĂ LA 10

Putem observa că 39 este aproape de 40 și este cu 1 mai puțin decât acesta, iar 58

este aproape de 60 și cu 2 mai puțin decât acesta.

2

3


Ne putem imagina o axă gradată, sau ne putem desena una sau putem folosi cercul celor 10

puncte pentru a aduna numerele folosind această tehnică.

Aplicația D

a 49 + 5 b 58 + 3 c 37 + 6 d 28 + 6

e 79 + 6 f 38 + 7 g 57 + 7 h 69 + 4

a 54 b 61 c 43 d 34

e 85 f 45 g 64 h 73

Paote fi scris și pasul intermediar, dar este de preferat ca acestă să fie făcut în minte.

Aplicația E Efectuați:

a 37 + 47 b 55 + 28 c 47 + 25 d 29 + 36

e 56 + 25 f 38 + 26 g 29 + 44 h 35 + 49

a 84 b 83 c 72 d 65

e 81 f 64 g 73 h 84

1.5 DUNAREA MENTALĂ

Atunci când avem de a face cu o adunare cu trecere peste ordin, cum ar fi 56 + 26,

putem efectua această adunare în minte, astfel:

În 56 + 26 avem 7 zeci sau 70. 5 6

Apoi, la unități, 6 + 6 = 12. Și, 70 + 12 = 82. + 2 6

Așadar, 56 + 26 = 82. 8 2

1

De asemenea, această adunare, poate fi scrisă astfel: 56 + 26 = 712 = 82, scriind 12

ca 12 pentru a arăta că 1 din 12 trebuie adăugat la cifra din stânga.

În mod similar, 48 + 45 = 813 = 93.

4

5

“Sutrele sunt ușor de înțeles, ușor de aplicat și

ușor de reținut; iar toată munca poate fi rezumată

într-un cuvânt “mintal”.

Din “Matematica Vedică”, Pagina xvi.


7

COMPLETÂND ÎNTREGUL

În puzzle-ul de mai jos trebuie să găsiți trei numere care adunate ne dau 10.

Sunt opt răspunsuri pentru acest puzzle, iar unul dintre acesta este: 1 + 2 + 7 = 10.

Dar nu puteți avea 2 + 1 + 7 = 10 ca un al doilea răspuns: aceste numere trebuie să difere.

Nu puteți folosi zero, dar puteți folosi un număr de mai multe ori.

Aplicația F Vedeți câte puteți găsi.

1 + 2 + 7 = 10

+ + = 10

+ + = 10

+ + = 10

+ + = 10

+ + = 10

+ + = 10

+ + = 10

2+2+6

1+1+8 2+3+5

1+3+6 2+4+4

1+4+5 3+3+4

Atunci când trebuie să adunăm mai multe numere, este foarte util să căutăm multiplii lui 10

(i.e. 10, 20, 30 etc.).

Aplicația G Efectuați:

a 3 + 2 + 8 b 9 + 8 + 1 c 7 + 2 + 4 + 3

d 4 + 5 + 5 + 7 e 8 + 9 + 2 f 7 + 6 + 2 + 4

De exemplu, dacă trebuie să aflați rezultatul calculului 6 + 7 + 4 ar trebui să

observați că 6 și 4 fac 10. Apoi adăugați 7 la sfârșit pentru a obține 6 + 7 + 4 = 17.

De asemenea, în adunarea 3 + 6 + 2 + 5 puteți observa că 3, 2 și 5 ne dau 10, astfel,

le adunăm pe acestea, iar pe 6 la sfârșit pentru a obține 3 + 6 + 2 + 5 = 16.

6

7


g 8 + 8 + 3 + 2 h 7 + 6 + 3 + 4 i 4 + 7 + 4 + 2

j 6 + 9 + 2 + 2 k 7 + 5 + 1 + 2 l 3 + 5 + 4 + 3

a 13 b 18 c 16

d 21 e 19 f 19

g 21 h 20 i 17

j 19 k 15 l 15

Puteți completa multipli de zece și pentru numere mai mari.

You can link the numbers that make a multiple of ten as shown below:

Aplicația H Folosind metoda de completare a întregului, adunați următoarele numere.

a 29 + 7 +1 + 5 b 16 + 3 + 6 + 17 c 8 + 51 + 12 + 3

d 37 + 7 + 21 + 13 e 13 + 16 + 17 + 24 f 12 + 26 + 34 + 8

g 33 + 25 + 22 + 15 h 18 + 13 + 14 + 23 i 3 + 9 + 5 + 7 + 1

j 27 + 15 + 23 k 43 + 8 + 19 + 11 l 32 + 15 + 8 + 4

m 24 + 7 + 8 + 6 + 13 n 6 + 33 + 24 + 17 o 23 + 48 + 27

a 42 b 42 c 74

d 78 e 70 f 80

g 95 h 68 i 25

j 65 k 81 l 59

m 58 n 80 o 98

În exemplul, 19 + 8 + 1 puteți observa că 19 + 1 însumează 20, astfel le putem

aduna pe acestea mai întâi și apoi pe 8.

Deci, 19 + 8 + 1 = 28.

Presupunând că dorim să aflăm rezultatul calculului 33 + 28 + 4 + 32.

Observați că 28 și 32 formează un multiplu de zece ; însumându-le obținem 60,

apoi adaugând 33, obținem 93, apoi 4 obținând astfel rezultatul final 97.

Deci, 33 + 28 + 4 + 32 = 97.

9

8

33 + 28 + 4 + 32 = 97


9

COLOANE DE CIFRE

Metoda de completare a întregului poate fi folosită și atunci când adunăm numerele așezându-

le unele sub altele.

Aplicația I Efectuați:

a 4 4 b 3 5 c 4 8 d 6 3 2 7 e 5 4 9

2 2 7 6 3 8 5 8 4 1 8 2

6 5 4 5 + 6 2 7 4 3 + 3 1 7

8 6 + 7 1 + 2 4 1

7 2 6

3 2 1 +

a 217 b 156 c 219 d 7654 e 2336

De exemplu, dacă avem următorul calcul: 2 7

3 5

4 3

8 2 +

ne uităm pe coloana unităților și observăm un 7 și un 3, ce adunate ne dau 10. Apoi

adunăm restul numerelor, obținând astfel un total de 17 pe această coloană.

Scrieți 17 așa cum este ilustrat mai jos:

2 7

3 5

6 3

8 2 +

7

1

Adunați apoi cifrele de pe coloana zecilor căutând întregii.

Puteți observa că 2 + 8 = 10, astfel obținând un total de 19 la care adugăm surplusul

de la adunarea unităților :

2 7

3 5

6 3

8 2 +

2 0 7

1

10


Aplicația J Efectuați:

a 4 7 b 3 5 c 4 8 d 3 3 2 7 e 2 4 2

2 3 2 8 3 9 2 5 7 7 1 8 8

3 6 5 7 8 8 5 8 5 1 1 5

3 6 + 3 2 + 7 1 + 3 8 3 + 2 4 3

7 9 6

3 2 1 +

a 142 b 152 c 246 d 6872 e 1905

Presupunând că avem: 8 2 4

6 5 6

8 5

3 8 +

Se observă imediat un 10 (4+6) în prima coloană. Avem, de asemenea, un 13 (5+8).

Adunând 13 cu 10 obținem 23. Scriem 3 și ținem minte 2:

8 2 4

6 5 6

8 5

3 8 +

3

2

În următoarea coloană observăm încă un 10 (2+8) și un 8 (5+3).

Obținem 18, ce va deveni 20 prin adăugarea surplusului de la adunarea precedentă.

Scriem 0 și tinem minte 2:

8 2 4

6 5 6

8 5

3 8 +

1 6 0 3

2 2

Adunând coloana din stânga obținem 14, la care adăgăm surplusul, obținând în final

16.

11


11

Numere precum 9, 19, 18, 38, ce sunt aproape de multiplii lui zece pot fi adunate și scăzute

foarte ușor.

Aceasta ilustrează Sutra Prin adunare și prin scădere.

Aplicația K Încercați metoda mai sus ilustrată prin următoarele exerciții:

a 55 + 9 b 64 + 9 c 45 + 9 d 73 + 9

e 82 + 9 f 26 + 9 g 67 + 9 h 38 + 9

a 64 b 73 c 54 d 82

e 91 f 35 g 76 h 47

Aplicația L

a 44 + 19 b 55 + 29 c 36 + 49 d 73 + 19

e 47 + 39 f 26 + 59 g 17 + 69 h 28 + 29

a 63 b 84 c 85 d 92

e 86 f 85 g 86 h 57

În mod similar, putem aduna cu 18, adăugând 20 și luând 2. Sau putem aduna cu 38,

adăugând 40 și luând 2.

Sau, adunând cu 37 prin adăugarea lui 40 și scăderea lui 3.

1.6 PRIN ADUNARE ȘI PRIN SCĂDERE

Presupunând că trebuie să aflăm rezultatul adunării 33 + 9.

Cum 9 este cu 1 mai mic decât 10, putem adăuga 10 și scade 1: 33+10–1.

Adăgând 10 la 33, obținem 43, și scăzând 1 rămânem cu 42.

Astfel, 33 + 9 = 42.

În mod similar, se face adunarea cu 19, se adaugă 20 și se scade 1.

Astfel, 66 + 19 = 85.

Adăugând 20 la 66 se obține 86 din care luăm 1 pentru a obține rezultatul final, 85.

Pentru a obține 54 + 39, putem adăuga 40 la 54 apoi lua 1 pentru a obține rezultatul

final, 93.

Astfel, 54 + 39 = 93.

12

13

14


Aplicația M Efectuați:

a 44 + 18 b 44 + 27 c 55 + 28 d 35 + 37

e 62 + 29 f 36 + 37 g 19 + 19 h 28 + 29

a 62 b 71 c 83 d 72

e 91 f 73 g 38 h 57

Sumele de mai jos sunt ca cele de mai sus cu excepția faptului că numărul ce este mai mic

decât un multiplu al lui 10 este primul număr din calculul ce trebuie efectuat.

Aplicația N Efectuați:

a 39 + 44 b 33 + 38 c 48 + 35 d 27 + 34

e 33 + 28 f 9 + 73 g 18 + 19 h 26 + 27

a 83 b 71 c 83 d 61

e 61 f 82 g 37 h 53

SCĂDEREA NUMERELOR APROPIATE DE O BAZĂ

O metodă similară poate fi folosită la scăderea numerelor apropiate de o bază.

De exemplu, 33 + 48 = 81: adăugăm 50 la 33 pentru a obține 83 și scădem 2, pentru

că 48 este cu 2 mai mic decât 50.

De exemplu, putem avea 29 + 55.

Adăugăm 30 la 55 și luăm 1 pentru a obține 29 + 55 = 84.

Dat fiind următorul exemplu 55 – 19, putem observa că 19 este cu 1 mai mic decât

20. Scădem 20 din 55 (pentru a obține 35) și adăugăm 1.

Astfel, 55 – 19 = 36.

Iar, 61 – 38 = 23 pentru că luăm 40 din 61 (pentru a obține 21) și adăugăm 2

înapoi.

15

16

17

18


13

Aplicația O Efectuați:

a 44 – 19 b 66 – 29 c 88 – 49 d 55 – 9

e 52 – 28 f 72 – 48 g 66 – 38 h 81 – 58

i 83 – 36 j 90 – 66 k 55 – 27 l 60 – 57

a 25 b 37 c 39 d 46

e 24 f 24 g 28 h 23

i 47 j 24 k 28 l 3

“Și suntem plăcut surprinși și imens încântați să

descoperim faptul că cele mai grele probleme

matematice (pentru care, cei mai avansați

matematicieni occidentali ai epocii noatre au investit

mult timp, energie și bani și care și acum pot fi

rezolvate cu mare dificultate implicând un mare număr

de calcule intermediare) pot fi cu ușurință și

literalmente rezolvate cu ajutorul unor mult prea

ușoare Sutre Vedice (sau aforisme matematice)

conținute în Parishishta (Apendix) din

ATHARVAVEDA, în câțiva pași simpli și prin metode

ce pot fi calificate drept ”calcul mental”.

Din “Matematica Vedică”, Pagina xv.

REZUMAT 2.1 Dublând – înmulțind cu 2, 4, 8.

2.2 Înjumătățind – împărțind prin 2, 4, 8.

2.3 Extinderea tablelor – folosind dublarea şi înjumătăţirea.

2.4 Înmulțirea cu 5, 50, 25

2.6 Împărțirea la 5, 50, 25

Dublarea și înjumătățirea sunt operații foarte ușoare și pot fi folosite pentru calculul rapid.

Adunând două numere identice înseamnă a dubla.

Aceasta este o parte din Sutra Proporțional a Matematicii Vedice.

Aplicația A Dublați următoarele numere. Scrieți doar răspunsul.

a 24 b 41 c 14 d 45 e 15 f 25

g 36 h 27 i 18 j 29 k 34 l 48

a 48 b 82 c 28 d 90 e 30 f 50

g 72 h 54 i 36 j 58 k 68 l 96

LECŢIA 2

DUBLÂND ȘI ÎNJUMĂTĂȚIND

De exemplu, pentru a dubla numărul 34 ne putem gândi la 34 + 34, adică 68.

Este același lucru cu înmulțirea lui 34 cu 2.

34 + 34 = 2 × 34 sau 34 × 2.

Așadar, dublul lui 42 este 84.

Dublul lui 35 este 70.

Și dublul lui 26 este 52, pentru că 26 + 26 = 52.

1

2

2.1 DUBLÂND

2: DUBLÂND ŞI ÎNJUMĂTĂŢIND

15

În următorul exercițiu scrieți doar răspunsul la operația cerută.

Aplicația BDublați următoarele numere:

a 58 b 61 c 73 d 65 e 66

f 88 g 76 h 91 i 380

a 116 b 122 c 146 d 130 e 132

f 176 g 152 h 182 i 760

Aplicația C Dublați aceste numere:

a 362 b 453 c 612 d 319 e 707

f 610 g 472 h 626 i 1234 j 663

a 724 b 906 c 1224 d 638 e 1414

f 1220 g 944 h 1252 i 2468 j 1326

Pentru a dubla numărul 68 ne gândim la dublul lui 60 și dublul lui 8, adunându-le

apoi.

Dublul lui 60 este 120,

Dublul lui 8 este 16.

Adunând 120 la 16, obținem 136.

Pentru a dubla numărul 680, îl dublăm pe 68 apoi adăugăm ‘0’ la sfârșit: 1360.

Pentru a dubla numărul 273, dublăm 270 și 3.

Obținem, astfel: 540 + 6 = 546.

Pentru a dubla numărul 636, putem dubla 600 și 36 pentru a obține 1200, respectiv

72.

Răspunsul este 1272.

3

4

5

6


Astfel, pentru 35 × 4 se dublează 35 și se obține 70,

apoi se mai dublează încă o data pentru a obține 140.

Așadar, 35 × 4 = 140.

Pentru 26 × 8 se dublează de trei ori.

Dublând 26 obținem 52, dublând 52 obținem 104, dublând 104 obținem 208.

Așadar, 26 × 8 = 208.

Pentru 7½ × 8, se dublează 7½ de trei ori.

Se obține: 15, 30, 60, astfel 7½ × 8 = 60.

Pentru 2¾ × 8, se dublează 2¾ de trei ori.

Se obține : 5½, 11, 22, astfel 2¾ × 8 = 22.

ÎNMULȚIREA CU 4, 8

Putem înmulți cu 4 prin dublarea numărului de două ori.

Și pentru a înmulți cu 8, se dublează numărul de trei ori.

Aplicația D Efectuați:

a 53 × 4 b 28 × 4 c 33 × 4 d 61 × 4

e 18 × 4 f 81 × 4 g 16 × 4 h 16 × 8

i 22 × 8 j 45 × 8

a 212 b 112 c 132 d 244

e 72 f 324 g 64 h 128

i 176 j 360

Dublând jumătăți și sferturi poate fi la fel de ușor.


a 8½ × 4 b 11½ × 8 c 19½ × 4 d 2¼ × 4

e 5½ × 8 f 9½ × 4 g 30½ × 4 h 3¼ × 4

a 34 b 92 c 78 d 9

e 44 f 38 g 122 h 13

7

8

9

10


17

Înjumătățirea este operația opusă dublării.

Aplicația F Găsiți jumătățile acestor numere:

a 10 b 6 c 40 d 14 e 50 f 90

a 5 b 3 c 20 d 7 e 25 f 45

Aplicația GExersați, înjumătățind aceste numere:

a 36 b 28 c 52 d 18 e 34

f 86 g 56 h 32 i 62 j 98

a 18 b 14 c 26 d 9 e 17

f 43 g 28 h 16 i 31 j 49

Jumătatea lui 8 este 4.

Jumătatea lui 60 este 30.

Jumătatea lui 30 este 15, pentru că doi de ”15” fac 30 (sau prin înjumătățirea lui 20 și

a lui 10).

Jumătatea lui 46 este 23 pentru că înjumătățind numerele 4 și 6 se obține 2, respectiv

3.

Jumătatea lui 54 este 27 pentru că 54 este format din 50 și 4; înjumătățind 50, 4

obținem 25 și 2, iar rezultatul este 27.

Similar, jumătatea lui 78 = jumătate din 70 + jumătate din 8 = 35 + 4 = 39.

2.2 ÎNJUMĂTĂȚIND

11

12

14

13


Pentru a înjumătăți 178 se înjumătățește 100, 70 și 8, iar apoi se adună rezultatele.

Jumătatea lui100 este 50,

jumătatea lui 70 este 35

și jumătatea lui 8 este 4.

Așadar, jumătatea lui 178 este 50 + 35 + 4 = 89.

Împărțirea lui 72 la 4:

Se înjumătățește 72 de două ori: jumătatea lui 72 este 36, jumătatea lui 36 este 18.

Astfel, 72 ÷ 4 = 18.

Împărțirea lui 104 la 8:

În acest caz se injumătățește de trei ori:

jumătatea lui 104 este 52, jumătatea lui 52 este 26, iar jumătatea lui 26 este 13.

Astfel, 104 ÷ 8 = 13.

SEPARAREA NUMERELOR

Se pot înjumătăți numere mari despărțindu-le în numere mai mici.

Aplicația H Înjumătățiți următoarele numere. Încercați să le faceți în minte.

a 164 b 820 c 216 d 152 e 94 f 326

g 234 h 416 i 380 j 256 k 456 l 57

a 82 b 410 c 108 d 76 e 47 f 163

g 117 h 208 i 190 j 128 k 228 l 28½

Împărțirea la 4, 8

16

15

17

Înjumătățirea numerelor este un lucru ce poate fi repetat.

Astfel, de exemplu, dacă se mai înjumătățește încă o dată

jumătatea unui număr înseamnă că acel număr a fost împărțit

la 4.


19

Se presupune că se dorește aflarea rezultatului calculului 18 × 3.

Putem pleca de la 9 × 3 = 27, apoi ne putem gândi că 18 × 3 trebuie să fie dublul

acestuia, adică 54.

În mod similar 8 × 7 se poate obține prin dublarea lui 4 × 7 = 28,

Astfel 8 × 7 = 56.

Pentru a găsi 6 × 14.

Pornim de la 6 × 7 = 42, apoi 6 × 14 = 84.

Aplicația I Folosiți înjumătățirea pentru a efectua următoarele împărțiri.

Împărțiți cu 4: a 56 b 68 c 84 d 180 e 244

Împărțiți cu 8: f 120 g 440 h 248 i 216 j 44

a 14 b 17 c 21 d 45 e 61

f 15 g 55 h 31 i 27 j 5½

Următoarele întrebări presupun cunoașterea tablelor înmulțirii până la 10 × 10, dar, chiar și

dacă nu se cunosc tot putem afla răspunsul.

Aplicația JEfectuați:

a 16 × 7 b 18 × 6 c 14 × 7 d 12 × 9

e 4 × 14 f 6 × 16 g 7 × 18 h 9 × 14

a 112 b 108 c 98 d 108

e 56 f 96 g 126 h 126

2.3 EXTINDEREA TABLELOR

18

19

20


Pentru a afla 44 × 5.

Găsim jumătatea lui 440, adică 220. Așadar, 44 × 5 = 220.

Pentru 87 × 5.

Jumătatea lui 870 este 435. Deci, 87 × 5 = 435.

Similar, 4.6 × 5 = jumătatea lui 46 = 23.

Găsiți 14 × 18.

Înjumătățind 14 și 18 obținem 7 și 9, iar 7 × 9 = 63, apoi dublam acest rezultat de

două ori pentru a obține rezultatul final.

Asta însemnă că se dublează o data și încă o dată.

Se obține 126 și 252, astfel 14 × 18 = 252.

Aplicația K Efectuați:

a 16 × 18 b 14 × 16 c 12 × 18 d 16 × 12

a 288 b 224 c 216 d 192

Numerele 2 și 5 sunt foarte apropiate pentru că 2 × 5 = 10, iar 10 este un număr de bază.

Aplicația L Efectuați:

a 68 × 5 b 42 × 5 c 36 × 5 d 426 × 5

e 8.6 × 5 f 5.4 × 5 g 4.68 × 5 h 0.66 × 5

Putem înmulți un număr cu 5 înmulțindu-l cu 10 și apoi, înjumătățindu-l.

21

2.4 ÎNMULȚIREA CU 5, 50, 25

23

24

22


21

85 ÷ 5 = 17.

Astfel, dublul lui 85 este170, apoi împărţind la 10 obţinem 17.

Pentru aflarea 27 × 50:

îl înmulțim pe 27 cu 100, iar apoi înjumătățim rezultatul. Jumătatea lui 2700 este

1350.

Așadar, 27 × 50 = 1350.

Similar 5.2 × 50 = jumătatea lui 520 = 260.

Pentru a afla 82 × 25.

25 este jumătatea jumătății lui 100, deci, pentru înmulțirea unui număr cu 25

procedam astfel: înmulțim numărul cu 100, iar rezultatul îl injumătățim de două ori.

Așadar, jumătatea jumătății lui 8200 este 2050, adică 82 × 25 = 2050.

Similar, 6.8 × 25 = jumătatea jumătății lui 680 = 170.

a 340 b 210 c 180 d 2130

e 43 f 27 g 23.4 h 3.3


a 46 × 50 b 864 × 50 c 72 × 25 d 85 × 25

e 86.8 × 50 f 4.2 × 50 g 34.56 × 50 h 2.8 × 25

a 2300 b 43200 c 1800 d 2125

e 4340 f 210 g 1728 h 70

ÎMPĂRŢIREA LA 5

Pentru împărţirea la 5 putem dubla numărul, iar apoi împărţi la 10.

25

26

27

28

2.5 ÎMPĂRŢIREA LA 5, 50, 25

29


Găsiţi 750 ÷ 50.

Dublând 750 obţinem 1500, apoi împărţind la 100 obţinem 15.

Aşadar, 750 ÷ 50 = 15.

Încă o data, Sutra Ultimul şi de două ori penultimul ne spune să-l dublăm pe 7, apoi

să adăugăm 1 de la 50, obţinând astfel 15.

54.32 ÷ 50 = 1.0864 Dublând 54.32 obţinem 108.64, apoi împărţind la 100 obţinem 1.0864.

665 ÷ 5 = 133 pentru că dublul lui 665 este 1330.

73 ÷ 5 = 14.6

Similar, dublul lui 73 este 146, şi prin impărţirea la 10 obţinem 14.6.

O metodă alternativă, bazată pe o altă Sutră (Ultimul şi de două ori penultimul), poate fi

folosită în acest caz. De vreme ce avem doi de „5” într-un zece, pentru a calcula 85 ÷ 5

putem observa că sunt 16 de „5” în 80, drept urmare 17 de „5” în 85. Cu alte cuvinte, se

dublează 8 şi se adaugă 1 la sfârşit.

Aplicaţia N Împarţiţi la 5:

a 65 b 135 c 375 d 470 e 505

f 4005 g 1235 h 7070 i 885 j 49

k 52 l 22.2

a 13 b 27 c 75 d 94 e 101

f 801 g 247 h 1414 i 177 j 9.8

k 10.4 l 4.44

ÎMPĂRŢIREA LA 50, 25

De când 50 este jumătatea lui 100, împărţirea la 50 implică dublarea numărului şi

împărţirea acestuia la 100.

31

30

33

32


23

Găsiţi 425 ÷ 25.

Dublându-l pe 425, obţinem 850, iar apoi dublându-l încă o data, obţinem 1700.

Iar, împărţindu-l la 100, obţinem 17. Prin urmare, 425 ÷ 25 = 17.

Aplicaţia O Împărţiţi la 50:

a 650 b 1250 c 3300 d 8.8 e 44 f 77

Împărţiţi la 25:

g 225 h 550 i 44 j 137 k 6

a 13 b 25 c 66 d 0.176 e 0.88 f 1.54

g 9 h 22 i 1.76 j 5.48 k 0.24

O altă aplicaţie a dublării şi înjumătăţirii va fi explicată în Secţiunea 4.3

25 este un sfert din 100, prin urmare pentru a împărţi la 25 trebuie să dublăm

numărul de două ori, iar apoi să-l împărţim la 100.

34

“Sutrele sunt foarte scurte, dar, o data ce le

înțelegem împreună cu al lor modus operandi

pentru aplicațiile practice, totul devine un fel

de joc de copii și încetează a mai fi o

problemă.”

Din “Matematica Vedică”, Pagina 13.

REZUMAT

3.1 Adunarea cifrelor – obţinerea sumei cifrelor unui număr.

3.2 Cercul celor nouă puncte – reprezentarea cifrelor în jurul unui cerc.

3.3 Eliminarea lui nouă – pentru simplificarea sumelor.

3.4 Puzzle-uri cu suma cifrelor

3.5 Verificare prin suma cifrelor – folosirea sumei cifrelor pentru

verificarea operaţiilor de adunare şi scădere.

3.6 Pătratul Vedic – caracteristicile celor nouă cifre de bază.

3.7 Modele în pătratul Vedic – folosirea pătratului Vedic pentru proiectarea unor modele.

3.8 Numărul nouă

Prin termenul cifră se înţelege fiecare din caracterele grafice ce servesc la reprezentarea în

scris a numerelor: acestea sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şi 0.

Prin sumă înţelegem adunare.

Astfel, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 sunt numere formate dintr-o singură cifră.

Iar numerele, de la 10, 11, 12 . . . . până la 99, sunt numere formate din două cifre.

Suma cifrelor poate fi foarte utilă în: verificarea calculelor (vedeți Secţiunea 3.5, 8.1), testarea

divizibilităţii, aflarea rădăcinilor pătrate; şi există şi o formă algebrică a acestora (Secţiunea

11.5).

LECȚIA 3

SUMA CIFRELOR

De exemplu, pentru aflarea sumei cifrelor numărului 17, se adună 1 cu 7.

1 + 7 = 8, astfel suma cifrelor numărului 17 este 8.

Iar suma cifrelor numărului 123 este 6 pentru că 1+2+3=6.

3.1 ADUNAREA CIFRELOR

1

2

Suma cifrelor unui număr se obţine prin adunarea tuturor cifrelor sale.

3: SUMA CIFRELOR

25

Aplicaţia A Aflaţi suma cifrelor următoarelor numere:

NUMĂR SUMA CIFRELOR

13 4

241 7

171 9

242 8

303 6

1213 7

900 9

Uneori, sunt necesari doi paşi pentru aflarea sumei cifrelor unui număr.

Aplicaţia B Aflaţi suma cifrelor următoarelor numere:


83 2

614 2

345 3

5555 2

78 6

2379 3

521832 3

999 9

Asta înseamnă că orice număr, de orice mărime, poate fi redus la o singură cifră, doar prin

adunarea cifrelor sale şi dacă obţinem un număr de două cifre, vom aduna şi cifrele acestuia

până la obţinerea unui număr format dintr-o singură cifră.

Astfel, pentru aflarea sumei cifrelor numărului 19, efectuăm adunarea 1 + 9 = 10.

Dar 10 este un număr format din două cifre, în acest caz mai adunam, încă o

data, cifrele: 1+0 = 1.

Pentru suma cifrelor numărului 19, putem scrie:

19 10 1

Similar, pentru 39 obţinem: 39 12 3.

Aşadar, suma cifrelor numărului 39 este 3.

3

4

Suma cifrelor unui număr se obţine prin adunarea cifrelor acelui număr, şi

adunarea cifrelor noului rezultat, dacă acesta este format din două cifre.


Şirul tuturor numerelor începe cu 1 şi creşte cu o unitate de fiecare dată:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 . . . . .

În sistemul nostru suntem obişnuiţi cu cicluri de zeci: 10, 20, 30 etc. şi am vazut acest lucru

ilustrat pe cercul celor zece puncte.

Dar, dacă luăm suma cifrelor fiecărui număr obţinem următorul șir:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 . . . . .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3 . . . . .

Şi observăm un alt ciclu conţinut în ciclul celor zece: un ciclu de nouă.

Deci, avem nevoie de un cerc cu nouă puncte, şi vom vedea că acest cerc are foarte multe

întrebuinţări.

Cercul celor 10 puncte Cercul celor 9 puncte

Cercul celor 9 puncte este un cerc ce poate fi împărţit în 9 părţi egale şi, aşa cum am văzut la

cercul celor 10 puncte, numerotarea poate continua ca în exemplul de mai jos.

3.2 CERCUL CELOR NOUĂ PUNCTE

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3.3 ELIMINAREA LUI NOUĂ

3: SUMA CIFRELOR

27

De remarcat, faptul că pe fiecare ramură suma cifrelor numerelor este aceeaşi. De exemplu, pe

ramura lui 1 avem 1, 10, 19, 28 etc. Şi toate numerele au suma cifrelor egală cu 1.

Aceast lucru arată că: adăugând 9 oricărui număr, nu îi este afectată suma cifrelor sale.

În consecinţă, prin adunarea sau prin scăderea lui 9 oricărui număr, suma cifrelor acelui

număr va rămâne neschimbată.

Pentru aflarea sumei cifrelor numărului 3949 se elimină 9 şi se adună doar 3 şi 4.

Astfel, suma cifrelor este 7.

Sau, folosind prima metoda, obţinem : 3+9+4+9 25 7 din nou.

5

3949

Adăugarea lui 9 la număr nu modifică suma cifrelor sale:

De exemplu, numerele 4, 40, 49, 94, 949 au suma cifrelor 4.


Aplicaţia C Aflaţi suma cifrelor următoarelor numere eliminând cifrele de 9.


39 3

93 3

993 3

9993 3

9329 5

941992 7

79896 3

Există o altă metodă de elimare a lui 9 dintr-un număr atunci când se doreşte aflarea sumei

cifrelor sale:

Aplicaţia D Folosiţi elimarea lui 9 pentru aflarea următoarelor sume.

Eliminarea lui 9 sau a grupurilor de numere ce insumează 9 rezultă din Sutra Când

Samuccaya este la fel atunci este zero. Astfel, în 465, cum 4 şi 5 însumează nouă, le putem

elimina, iar suma cifrelor este 6: când totalul este acelaşi (adică 9) atunci el este zero (adică

poate fi eliminat). Simplificare factorului comun într-o fracţie poate fi considerat ca un alt

exemplu al acestei sutre.


2346 6

16271 8

9653 5

36247 4

215841 3

7152 6

9821736 9 or 0


465 6

274 4

3335 5

6193 1

2532 3

819 9 or 0

723 3

Pentru aflarea sumei cifrelor numărului 24701 se observă că numerele 2 şi 7 adunate

dau 9, aşadar, pot fi eliminate.

Deci, ne rămân doar 4 şi 1, ce adunate ne dau 5.

Suma cifrelor numărului 24701 este 5.

În mod similar, uitându-ne la numărul 21035 putem observa că adunând 1, 3 şi 5

obţinem 9, deci, le putem elimina.

Ne rămâne doar 2, iar acesta este răspunsul.

Suma cifrelor numărului 21035 este 2.

6

7

Orice grup de cifre ce adunate dau 9 poate fi eliminat.

3: SUMA CIFRELOR

29

Fie câteva probleme simple legate de suma cifrelor.

Aplicaţia E În următoarele puzzle-uri rezultatul este un număr de două cifre.

La unele întrebări vom avea mai mult de un răspuns.

Este dată suma cifrelor, precum şi alte indicaţii.

SUMA

CIFRELOR INDICAŢIE

NUMĂRUL DE

RĂSPUNSURI RĂSPUNS

5 Diferenţa dintre cele două cifre este 3 2 14 or 41

6 Cifrele sunt identice 1 33

6 Prima cifră este dublul celeilalte 1 42

7 Diferenţa dintre cele două cifre este 3 2 25, 52

7 O cifră este 4 2 34, 43

6 Ambele cifre sunt impare 3 15, 51, 33

5 Cifrele sunt consecutive* 2 23, 32

9 Cifrele sunt consecutive* 2 45, 54

3 Una din cifre este dublul celeilalte 2 12, 21

8 Rezultatul este mai mic decât 20 1 17

1 Numărul este mai mic decât 40 5 10, 19, 28, 37

1 Prima cifră este 2 1 28

* Consecutiv însemană unul după celălalt. De exemplu, 6 şi 7 sunt consecutive (sau 7 şi 6).

Suma cifrelor unui număr de două cifre identice este 8. Care este acest număr?

Evident, numărul este 44.

Suma cifrelor unui număr de două cifre este 9, iar prima cifră este dublul celeilalte.

Care este acest număr?

Numărul este 63.

Daţi exemplu de trei numere formate din două cifre ce au suma cifrelor egală cu 3.

12, 21, 30 . . .

10

9

8

3.4 PUZZLE-URI CU SUMA CIFRELOR


MAI MULTE PUZZLE-URI LEGATE DE SUMA CIFRELOR UNUI NUMĂR

Iată câteva probleme mai dificile legate de această temă.

Mai jos avem cercul celor 9 puncte cu numere până la 44.

De notat, faptul că pe fiecare ramură numerele au aceeaşi sumă a cifrelor. De exemplu, pe

ramura lui 3, toate numerele au suma cifrelor egală cu 3.

Aplicaţia F În puzzle-urile de mai jos trebuie să alegeţi ramura corectă pentru a găsi

răspunsul.

Toate răspunsurile sunt numere formate din două cifre.

SUMA

CIFRELOR INDICAŢIE RĂSPUNS

5 Numărul este cuprins între 20 şi 30 23

8 Numărul se termină în cifra 5

35

7 Prima cifră este 2 25

2 Cifrele diferă între ele prin 7 29, 92

Un număr de două cifre are suma cifrelor egală cu 5, iar cifrele sale sunt identice.

Care este numărul?

5 este un număr impar, dar uitându-ne la cercul celor 9 puncte, îl observăm pe 14, ce

poate fi împărţit în 7+7. Aşadar, numărul căutat este 77.

11

3: SUMA CIFRELOR

31

1 Răspunsul se găseşte în tabla lui 7 × 28

3 Prima cifră este de 3 ori mai mare decât cea de a

doua 93

4 Numărul se găseşte în tabla lui 5 × 40

6 Cifrele sunt identice 33

8 Ultima cifră este de 3 ori mai mare decât prima 26

5 Numărul se găseşte în tabla lui 8 × 32

9 Se termină în 7 27

3 Ambele cifre sunt impare 57, 75, 39, 93

Ne putem verifica răspunsurile prin suma cifrelor.

Iată cei patru paşi: 1. Se efectuează adunarea

2. Se scrie suma cifrelor fiecărui număr

3. Se adună aceste sume

4. Se verifică dacă cele două rezultate legate de suma cifrelor

sunt identice

Găsiţi suma 32 + 12, apoi verificaţi prin suma cifrelor.

32 5

12 + 3 +

44 8

Obţinem 44.

Suma cifrelor numărului 32 este 5 (3+2=5), iar suma cifrelor numărului 12 este 3.

Totalul sumelor cifrelor este 5+3=8. Dacă adunarea a fost efectuată corect, suma

cifrelor a rezultatului final trebuie să fie tot 8.

448; conform acestei verificări, răspunsul este probabil corect.

Adunaţi 365 cu 208, şi verificaţi răspunsul.

365 5 1. Obţinem 573.

208 + 1 + 2. Sumele cifrelor numerelor 365, 208 sunt 5, respectiv 1.

573 6 3. Adunând 5 cu 1 obţinem 6. 1

4. 573=6 suma cifrelor, ceea ce ne confirmă răspunsul.

12

3.5 VERIFICAREA PRIN SUMA CIFRELOR

13


Aplicaţia G Efectuaţi următoarele adunări şi verificaţi răspunsul prin suma cifrelor:

a 66 b 57 c 94 d 304 e 787

77 + 29 + 58 + 271 + 176 +

__ __ __ ___ ___

f 389 g 5131 h 456 i 5555

55 + 676 + 209 + 7777 +

___ ____ ___ ____

a 143 b 86 c 152 d 575 e 963

3+5=8 3+2=5 4+4=8 7+1=8 4+5=9

f 444 g 5807 h 665 i 13332

2+1=3 1+1=2 6+2=8 2+1=3

Iată încă un exemplu de verificare prin suma cifrelor.

Aplicaţia H Efectuaţi următoarele adunări şi verificaţi răspunsul prin suma cifrelor:

a 35 b 56 c 35 d 52 e 456 f 188

47 + 27 + 59 + 24 + 333 + 277 +

__ __ __ __ ___ ___

g 78 h 66 i 555 j 823 k 3760

87 + 48 + 77 + 37 + 481 +

____

a 82 b 83 c 94 d 76 e 789 f 465

8+2=1 2+9=2 8+5=4 7+6=4 6+9=6 8+7=6

g 165 h 114 i 632 j 860 k 4241

6+6=3 3+3=6 6+5=2 4+1=5 7+4=2

Formula Vedică Produsul sumei este suma produsului se aplică oricăror verificări prin suma

cifrelor. Pentru adunare, aceasta ar fi Totalul sumei cifrelor este suma cifrelor totalului.

Formula are şi alte aplicaţii (vedeți Referinţa 3), de exemplu, în aflarea ariei a două suprafeţe

(Aria unui întreg este suma ariilor).

Adunaţi 77 cu 124, şi verificaţi.

77 5 Aici, când efectuăm adunarea 5+7 obţinem 12,

124 + 7 + dar 12 = 3.

201 3 Ceea ce ne confirmă răspunsul.

14

3: SUMA CIFRELOR

33

Suma: 3 8 Verificare: 2

3 × 3 ×

1 1 4 6

2

6 2 Verificare: 8

4 × 4 ×

2 4 8 5 (deoarece 8×4=32 şi 3+2=5)

Aici, verificarea confirmă răspunsul, deoarece suma cifrelor numărului 248 este

aceeaşi cu a produsului 8×4.

3 8 3 9 Verificare: 5

6 × 6 ×

2 3 0 3 4 3 5 2 5

Pentru verificare: suma cifrelor numărului 3839 este 5 şi se observă că 5 × 6 3.

Suma cifrelor numărului 23034 este 3, aşadar răspunsul se confirmă.

ATENŢIE!

Verificaţi următoarele sume: 279 Verificarea: 9

121 + 4 +

490 4

Ceea ce ne confirmă răspunsul.

Dar, dacă verificaţi adunarea iniţială, veţi observa că este incorectă!

Acest lucru ne arată că suma cifrelor nu ne indică întotdeauna eroarea. De obicei

funcţionează, dar nu întotdeauna.

Mai departe, vom întâlni şi alte metode de verificare.

VERIFICAREA ÎNMULŢIRII

Înmulţirea numerelor, de exemplu 38 × 3, este un proces direct. Se aşează sumele ca în

exemplul de mai jos, iar apoi înmulţim fiecare cifră a numărului 38 cu 3, începând din

dreapta:

Verificarea prin suma cifrelor a fost, de asemenea, ilustrată mai sunt. Suma cifrelor reyultată

în urma înmulţirii numerelor 2 şi 3, este 6. Deoarece suma cifrelor rezultatului, 114, este tot 6

deducem că este probabil corect.

15

16

17


Aplicaţia I Efectuaţi următoarele înmulţiri şi verificaţi-le prin suma cifrelor:

a 88 × 8 b 32 × 3 c 73 × 4 d 717 × 6

e 234 × 5 f 533 × 2 g 3115 × 3 h 142857×7 a 704 (2) b 96 (6) c 292 (4) d 4302 (9)

e 1170 (9) f 1066 (4) g 9345 (3) h 999999 (9)

Tabla înmulţirii de mai jos posedă nişte proprietăţi interesante.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 10 12 14 16 18

3 6 9 12 15 18 21 24 27

4 8 12 16 20 24 28 32 36

5 10 15 20 25 30 35 40 45

6 12 18 24 30 36 42 48 54

7 14 21 28 35 42 49 56 63

8 16 24 32 40 48 56 64 72

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Refacem Pătratul Vedic prin înlocuirea fiecărui număr cu suma cifrelor sale:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

3.6 PĂTRATUL VEDIC

3: SUMA CIFRELOR

35

De exemplu, pentru a desena şablonul numărului Unu, colorăm fiecare pătrat ce

conţine cifra “1”.

Altfel, putem pune un punct in mijlocul fiecărui pătrat ce conţine cifra “1” şi să unim

aceste puncte.

Fiecare din numerele de la 1 la 9 are un model propriu în Pătratul Vedic.

Aplicația J Desenaţi şabloanele fiecărui număr folosind pătratele de mai jos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 4 6 8 1 3 5 7 9

3 6 9 3 6 9 3 6 9

4 8 3 7 2 6 1 5 9

5 1 6 2 7 3 8 4 9

6 3 9 6 3 9 6 3 9

7 5 3 1 8 6 4 2 9

8 7 6 5 4 3 2 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9

18


Presupunând că alegem linia D (4 8 3 7 2 6 1 5 9) şi începem cu prima

cifră.

Ne alegem, de asemenea, un unghi de rotaţie de 90° şi rotim în sensul invers acelor

de ceasornic.

Se ia o hârtie milimetrică şi se marchează un punct de plecare in colţul stâng al foii

(vom avea nevoie de 2 cm la stânga acestuia).

Vom începe prin mişcare la dreapta, iar numerele din şir ne indică câţi centimetri

trebuie să trasăm. (Este indicat să folosim un creion pentru început.)

Acum putem începe şablonul: mai întâi trasăm o linie de 4 cm la dreapta,

Ne rotim 90° în sensul invers acelor de ceasornic (la stânga) şi trasăm o linie de

8 cm în sus.

Ne rotim 90° în sensul invers acelor de ceasornic şi trasăm o linie de 3 cm,

Ne rotim 90° în sensul invers acelor de ceasornic şi trasăm o linie de 7 cm,

Ş.a.m.d.

Atunci când se ajunge la sfârşitul şirului de numere, se reia acest şir pornind de la

primul număr. În final, se va ajunge la punctul de pornire, iar atunci şablonul este

complet.

When you come to the end of the row of numbers you start again at the beginning of

that row. Eventually you will return to your starting point and the design is complete.

Pătratul Vedic este foarte util în proiectarea unor şabloane. Mai jos, avem ilustrat Pătratul

format din nouă linii etichetate cu litere de la A la I.

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B 2 4 6 8 1 3 5 7 9

C 3 6 9 3 6 9 3 6 9

D 4 8 3 7 2 6 1 5 9

E 5 1 6 2 7 3 8 4 9

F 6 3 9 6 3 9 6 3 9

G 7 5 3 1 8 6 4 2 9

H 8 7 6 5 4 3 2 1 9

I 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Pentru a proiecta un şablon trebuie să alegem o linie a Pătratului, un punct de pornire şi un

unghi de rotaţie.

Aplicaţia K

a Desenaţi şablonul descris mai sus.

b Încercaţi alt şablon folosind linia D din nou (pornind de la prima cifră) dar folosind un

unghi de rotaţie de 60° şi o hârtie milimetrică având triunghiuri în loc de pătrăţele:

3.7 ŞABLOANE DIN PĂTRATUL VEDIC

19

3: SUMA CIFRELOR

37

(Pe partea lungă a hârtiei, se ia un punct în apropierea mijlocului liniei de jos.

Începem prin a deplasa la dreapta cu 4 cm.

Apoi, ne întoarcem 60° la stânga şi trasăm o linie de 8 cm.

Apoi, ne întoarcem 60° la stânga şi trasăm o linie de 3 cm.

Ş.a.m.d, la fel ca şi exemplul precedent, dar numai că acum ne rotim cu 60°, nu cu 90°.) c Pe o altă hârtie triangulară se ia un punct în mijloc la două rânduri mai jos de capătul de

sus al foii. De data aceasta, alegem linia E (pornind de la prima cifră) cu o rotaţie 120° în

sensul invers acelor de ceasornic.

Desenaţi acest şablon.

(Se pot folosi atât coloanele, cât şi diagonalele, nu numai liniile din Pătratul Vedic)

Diagrama ce apare la începutul fiecărui capitol al acestei cărţi este realizată cu ajutorul

Pătratului Vedic.

În sistemul nostru de numeraţie, nouă este cea mai mare cifră.

De asemenea, numărul nouă posedă nişte proprietăţi remarcabile care-l fac extrem de util.

Am observat deja utilitatea lui în aflarea sumelor cifrelor, iar suma cifrelor unui număr

rămâne neschimbată dacă adăugăm 9 sau dacă scădem 9 din acel număr.

Iată tabla înmulţirii cu 9: 9 × 1 = 9

9 × 2 = 1 8

9 × 3 = 2 7

9 × 4 = 3 6

9 × 5 = 4 5

9 × 6 = 5 4

9 × 7 = 6 3

9 × 8 = 7 2

9 × 9 = 8 1

9 × 10 = 9 0

9 × 11 = 9 9

9 × 12 =10 8

Puteţi remarca că suma cifrelor produselor este tot 9.

De remarcat faptul că dacă citiţi cele două coloane, pe cea din stânga numerele apar în ordine

crescătoare (1, 2, 3, . . .), iar pe cea din dreapta în ordine descrescătoare (9, 8, 7, . . .).

Fapt ce ne uşurează memorarea tablei înmulţirii cu 9.

3.8 NUMĂRUL NOUĂ


Este posibil să ne folosim şi degetele pentru a înmulţi cu 9.

Presupunând că degetele de la mâinile dumneavoastră sunt numerotate ca mai jos:

Pentru a înmulţi 4 cu 9, îndoiţi cel de al patrulea deget.

Veţi găsi 3 în dreapta celui îndoit şi 6 degete la dreapta.

Aşadar, 4 × 9 = 36.

Ş.a.m.d.

Studiați şi Înmulţirea ţărănească rusească de la pagina 69.

1

2 3 4 5

9

7 8 9 6

9 10

Fie data următoarea sumă: 2 3

4 5 +

Nu întâmpinăm nicio dificultate în aflarea rezultatului.

Adunând coloanele de la stânga la dreapta obţinem 6 şi 8.

Rezultatul final este 68.

Dar în suma: 4 5

3 8 +

Sumele pe fiecare coloană sunt 7, respectiv 13, dar 13 este un număr de două cifre.

Rezltatul nu este 713: prima cifră a numărului 13, adică 1, trebuie adăugată la 7.

Adică, răspunsul correct este 83.

REZUMAT 4.1 Adunarea: de la stânga la dreapta

4.2 Înmulţirea: de la stânga la dreapta

4.3 Dublarea şi Înjumătăţirea – simplificarea produselor complexe.

4.4 Scăderea: de la stânga la dreapta

4.5 Verificarea scăderilor – folosind suma cifrelor.

4.6 Mai multe scăderi – scăderea numerelor mari, de la stânga la dreapta.

În mod normal efectuăm operaţiile de la dreapta la stânga.

Totuşi, nu este întotdeauna cea mai bună metodă.

Calculând de la stânga la dreapta este deseori mai uşor, mai rapid şi mai util.

Un motiv poate fi acela că scriem şi spunem numerele de la stânga la dreapta.

De multe ori, în calcule dorim doar prima cifra sau doar primele cifre, nu pe toate, dar

începând din dreapta suntem obligaţi să efectuăm toate calculele.

În plus, efectuarea calculelor de la stânga la dreapta ne permite o mai mare flexibilitate în

calcul, acesta fiind și scopul matematicii vedice.

În această lecţie toate calculele vor fi efectuate mental: vom scrie doar rezultazul final.

Este suficient să facem calculele mintal, adumăm prima coloană şi o incrementăm cu 1 în

cazul în care avem un surplus de la a doua coloană. Apoi scriem următoarea cifră din a doua

coloană.

LECȚIA 4

DE LA STÂNGA LA DREAPTA

4.1 ADUNAREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA

1

2


6 6 5 5 8 4 5 6

2 8 + 3 5 + 5 8 + 9 6 +

9 4 9 0 1 4 2 1 5 2

8, 14 = 94 8, 10 = 90 13, 12 = 142 1 4, 12 = 152

187 + 446 = 633. 1 8 7

4 4 6 +

Aici, totalurile pe cele trei coloane sunt 5, 12, respectiv 13; deci, avem două

surplusuri ce vor fi adăugate coloanelor precedente.

Cifra 1 din numărul 12 va fi adăugată la 5 pentru a obţine 6.

Astfel, combinând 5 cu 12, obţinem 62.

Cifra 1 din numărul 13 devine surplus şi este adăgată cifrei 2 din 62, obţinând 63.

Aşadar, combinând 62 cu 13 obţinem rezultatul, 633.

Este important să ne obişnuim să efectuăm calculele mintal de la stânga la

dreapta:

Întâi ne gândim la 5, adică primul total.

Apoi, avem 5, 12, ce combinate ne dau 62.

Ţinem minte 62, apoi combinând acest rezultat cu 6 2, 13 obţinem 633.

Folosim liniuţa curbată sub cifre pentru a indica care dintre acestea trebuiesc adunate.

Aplicaţia A Efectuaţi mintal, de la stânga la dreapta, următoarele adunări:

a 5 6 b 8 8 c 4 5 d 5 4

6 7 + 3 3 + 6 7 + 6 4 +

____

e 3 9 f 2 7 g 7 7 h 6 3

4 9 + 5 6 + 8 8 + 7 4 +

____

a 123 b 121 c 112 d 118

e 88 f 83 g 165 h 137

3

4

În fiecare caz, zecile din totalul coloanei din dreapta trebuie

adăugate totalului din coloana din stânga.

4: DE LA STÂNGA LA DREAPTA

41

7 7 7

4 5 6 +

______

Din primele două coloane obţinem 1 1,1 2, adică 122.

Apoi, cu cea de a treia coloană, obținem 12 1,2 3, adică 1233.

5 5 5 5

3 1 3

6 2 4 +

________

Începând din stânga, avem: 1,5 4 = 64.

Apoi 64,8 = 648 (nu avem niciun surplus pentru ca 8 este un număr format dintr-o

cifră).

În final, avem: 64 1,8 2 = 6492.

Aplicaţia B Efectuaţi mintal, de la stânga la dreapta, următoarele adunări:

a 3 6 3 b 8 1 9 c 7 7 7 d 7 3 7

4 5 6 + 9 1 8 + 4 4 4 + 1 3 9 +

______

e 3 4 5 f 1 3 6 9 g 9 6 3 1 h 4 4 4 4

9 3 7 + 3 8 8 3 + 8 7 0 9 + 4 8 3 8

5 5 5 +

a 819 b 1737 c 1221 d 876

e 1282 f 5252 g 18340 h 9837

Pentru toate aceste sume, numerele sunt reţinute (Semnalizator1), iar rezultatul complet este

construit cifră cu cifră.

Evident, matematica mentală se bazează pe memorie, faţă de cea convenţională în care fiecare

pas este scris. Copii au o memorie foarte bună, iar matematica mentală îi ajută şi mai mult să-

şi dezvolte această latură. (Aceasta înseamnă că Matematica Vedică este utilă şi adulţilor, a

căror memorie nu mai este atât de bună.) Acest lucru oferă încredere în sine şi autonomie,

arătând că nu avem nevoie de creion şi hârtie sau calculator pentru fiecare adunare sau de

vreun alt ajutor extern.

1 Expresia originală a sub-Sutrei este „On the Flag”

5

6


Presupunând că avem: 2 3 7

2 ×

______

Înmulţind, începând din stânga, cu 2 fiecare din cifrele numărului 237, vom obţine 4,

6, 14.

Cum 14 este un număr de două cifre, surplusul, adică cifra 1 trebuie adăugată la 6.

Aşadar, 4, 1,6 4 = 474.

Încă o data, ne construim mintal răspunsul de la stânga la dreapta: întâi 4, apoi

4,6=46, iar, în final, 4, 1,6 4 = 474.

236 × 7 = 1652. 2 3 6

7 ×

Pentru 73 × 7, avem 4 2,9 1 = 511. (pentru că 49+2 = 51)

Aplicaţia C Efectuaţi, de la stânga la dreapta, următoarele înmulţiri:

a

3

72

×

b

6

67

×

c

6

62

×

d

7

27

×

e

9

87

×

f

3

38

×

g

4

246

×

h

3

652

×

i

3

147

×

j

9

322

×

k

7

9501

×

l

4

1368

×

m

8

2345

×

n

7

7904

×

a 81 b 456 c 156 d 504 e 702 f 249

g 2568 h 768 i 2223 j 2007

k 7413 l 34524 m 43456 n 28679

Înmulţirea de la stânga la dreapta se continuă în Lecţia 11.

4.2 ÎNMULŢIREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA

7

8

9

Avem 14,

apoi 1 2,4 1 = 161,

şi, în final, 16 4,1 2 = 1652.


43

Găsiţi 35 × 22.

Putem folosi dublarea sau înjumătăţirea pentru a obţine mai uşor rezultatul înmulţirii

date.

Îl dublăm pe 35 şi îl injumătăţim pe 22, obţinând astfel 70 × 11 ce ne va da acelaşi

rezultat cu 35 × 22.

Aşadar, 35 × 22 = 70 × 11 = 770.

Găsiţi 35 × 64.

Dublând şi înjumătăţind obţinem 70 × 32.

Astfel, putem dolosi Semnalizatorul pentru a obţine 32 × 7 plasând şi un 0 la sfârşit.

Deci, 35 × 64 = 70 × 32 = 2240.

Câteodată, putem folosi dublul şi jumătatea unui număr împreună.

Aplicaţia D Efectuaţi următoarele înmulţiri:

a 15 × 18 b 15 × 24 c 46 × 15

d 82 × 35 e 66 × 15 f 124 × 45

g 15 × 54 h 55 × 16 i 75 × 18

j 446 × 15 k 132 × 35 l 85 × 18

m 16 × 4 12

n 24 × 3 12

o £4.50 × 32

a 270 b 360 c 690

d 2870 e 990 f 5580

g 810 h 880 i 1350

j 6690 k 4620 l 1530

m 72 n 84 o £144

4.3 DUBLÂND ŞI ÎNJUMĂTĂŢIND

10

11

“Oamenii care au cunoștințe practice ale aplicabilității

Sutrelor nu au nevoie să se axeze pe teorie. Munca

efectivă poate fi făcută. O grămadă de timp poate fi

salvat. Nu este doar o economisire de timp, energie și

bani, dar, mai presus de toate, cred că salvează un copil

de plânsul ce deseori acompaniază studiul matematicii.”.

Din “Metafizica Vedică”, Pagina 170.


În acestă secţiune, vom folosi o metodă facilă de calcul, probabil, nemaiîntâlnită până acum.

Folosind această metodă, plecăm din partea stângă, scădem, şi scriem rezultatul numai dacă

scăderea din următoarea coloană poate fi efectuată.

În caz contrar, vom scrie cu 1 mai puţin şi reţinem, iar apoi scădem a doua coloană.

Aplicaţia E Efectuaţi:

a 6 2 b 7 5 c 5 1 d 6 7

– 4 7 – 2 8 – 1 5 – 3 8

e 4 6 f 6 5 g 9 0 h 8 2

– 2 5 – 3 7 – 6 2 – 3 8

a 15 b 47 c 36 d 29

e 21 f 28 g 28 h 44

Găsiţi 63 – 37.

Ne uităm la coloana din sânga şi scădem. 6 3

Obţinem 3. Dar, înainte de a scrie, – 3 7

Ne uităm la următoarea coloană.

Observând cu nu putem scade 7 din 3 6 1

3

punem 2 în loc de 3 în coloana din stânga – 3 7

şi scriem aşa cum este indicat mai departe: 2

Pasul final constă în efectuarea scăderii 13 – 7 = 6: 6 1

3

– 3 7

2 6

Aşadar, 63 – 37 = 26.

4.4 SCĂDEREA: DE LA STÂNGA LA DREAPTA

12


45

Să ne amintim de cercul celor 9 puncte şi de faptul că îl putem elimina pe 9 atunci când dorim

să aflam suma cifrelor unui număr.

Asta înseamnă că în suma cifrelor 9 şi 0 au acelaşi rol.

Le vom vedea împreună reprezentate pe cercul de mai jos.

Probabil că vă amintiţi şi de utilitatea numerelor de pe cel de-al doilea inel, adică cele mai mai

cu 9 decât cele de pe inelul interior.

Altfel, putem număra în sens invers cercului: . . 3, 2, 1, 0.

Găsiţi 69 – 23 şi verificaţi răspunsul.

6 9 6 Răspunsul este 46.

– 2 3 – 5 Suma cifrelor numerelor 69 şi 23 sunt 6, respectiv 5.

4 6 1 Apoi 6 – 5 = 1, suma cifrelor numărului

46, astfel se confirmă răspunsul.

De observat faptul că suma cifrelor se scade, în acest caz, pentru că avem de a face

cu o scădere.

7 4 2

– 5 8 – 4

1 6 7

Aici, avem 2 – 4 în verificarea sumei cifrelor, astfel, doar adăugăm 9 cifrei de mai

sus (adică lui 2) şi continuăm: 11 – 4 = 7, adică suma cifrelor numărului 16, ceea ce

ne confirmă răspunsul.

9,0

15

18

17

16

14

13

4.5 VERIFICAREA SCĂDERILOR


Găsiţi 35567 – 11828.

Se aşează numerele unele sub altele: 3 5 5 6 7

Începem de la stânga, scădem fiecare coloană. – 1 1 8 2 8

3 – 1 = 2, dar, înainte de a scrie 2 verificăm dacă pe 2

următoarea coloană numărul este mai mare.

În acest caz, 5 este mai mare decât 1, deci, scriem 2.

În următoarea coloană avem 5 – 1 = 4, dar uitându-ne în a treia

coloană observăm că primul număr nu este mai mare decât cel de jos 3 515 6 7

(5 este mai mic decât 8) astfel, în loc de 4 scriem 3, iar celalalt – 1 1 8 2 8

1 devine Semnalizator, astfel 5 devine 15. 2 3

Astfel, avem acum 15 – 8 = 7. Verificând următoarea coloană

îl putem scrie pentru că 6 este mai mare decât 2. 3 515 6

17

În cea de a patra coloană avem 6 – 2 = 4, dar, uitându-ne – 1 1 8 2 8

la următoarea coloană (7 este mai mic decât 8), deci scriem doar 2 3 7 3_

3 şi îl putem pe următorul ca Semnalizator pentru 7, așa cum este indicat.

În final, 17 – 8 = 9: 3 515 6

17

– 1 1 8 2 8

2 3 7 3 9

Aplicaţia F Verificaţi răspunsurile Aplicaţiei D prin suma cifrelor.

a 8-2=6 b 3-1=2 c 6-6=9 d 4-2=2

e 1-7=3 f 2-1=1 g 9-8=1 h 1-2=8

Metoda de scădere poate fi extinsă şi la numere mari.

5 6 2

– 2 9 – 2

2 7 0

În acest exemplu, suma cifrelor numerelor 56 şi 29 este 2, iar 2 – 2 = 0.

Suma cifrelor numărului 27 este 9, dar ştim deja că 9 şi 0 sunt egale ca valori în suma

cifrelor, confirmând astfel răspunsul.

4.6 MAI MULTE SCĂDERI

16

15


47

Aplicaţia G Efectuaţi, de la stânga la dreapta, următoarele scăderi (verificaţi

răspunsul):

a 4 4 4 b 6 3 c 8 1 3 d 6 9 5

– 1 8 3 – 2 8 – 3 4 5 – 3 6 8

e 5 1 f 3 4 5 6 g 7 1 1 7 h 8 0 0 8

– 3 8 – 2 8 1 – 1 7 7 1 – 3 8 3 9

i 6 3 6 3 j 5 1 0 1 5 k 1 4 2 8 5 l 9 6 3 0 3 6 9

– 3 3 8 8 – 2 7 9 8 6 – 7 1 4 8 – 3 6 9 0 9 6 3

a 261 b 35 c 468 d 327

e 13 f 3175 g 5346 h 4169

i 2975 j 23029 k 7137 l 5939406

AVANTAJELE CALCULELOR REALIZATE DE LA STÂNGA LA DREAPTA

Avem multe avantaje în calcului de la stânga la dreapta pentru că pronunţăm şi scriem

numerele de la stânga la dreapta. Uneori, avem nevoie doar de primele două sau trei cifre

significante din calcul şi este o pierdere de timp şi efort de calcul în găsirea tuturor cifrelor

unui calcul lung dacă începem de la dreapta. Împărţirea este făcută întotdeauna pornind de la

stânga, astfel, toate calculele pot fi făcute de la stânga la dreapta, ceea ce însemnă că putem

combina operaţii. De exemplu, pentru găsirea rădăcinii pătrate a unei sume de două numere

este suficientă o linie de calcul (vedeți Manualul 2). Pentru aflarea rădăcinilor pătrate, a

funcţiilor trigionometrice ş.a.m.d. nu avem cifră în dreapta cu care putem începe, deci, singura

opţiune este să începem din stânga (vedeți Manualul 3).

Se scade fiecare coloană pornind din stânga, dar, înainte de a scrie

răspunsul ne uităm la coloana următoare.

Dacă primul număr este mai mare decât cel de desubt, atunci scriem

rezultatul.

În caz contrar, reducem cu o unitate şi îi plasăm 1 celui mai mic.

Dacă numerele sunt identice, ne uităm la următoarea coloană pentru

a decide dacă este nevoie să reducem sau nu.

Dacă aplicăm formula Toate din 9 şi ultimul din 10 numărului 876

8 7 6

1 2 4

vom obţine 124,

pentru că luam 8 şi 7 din 9, iar 6 din 10.

Similar: 3883, 64, 98, 6, 10905,

devin: 6117, 36, 02, 4, 89095.

REZUMAT 5.1 Aplicarea formulei

5.2 Scăderea – a unor numere dintr-o bază.

5.3 Banii – o aplicaţie de scădere a numerelor dintr-o bază.

Formula Toate din 9 şi ultimul din 10 este foarte utilă, după cum vom vedea.

Aplicaţia A Aplicaţi formula Toate din 9 şi ultimul din 10 următoarelor numere:

a 444 b 675 c 2468 d 18276

e 8998 f 9888 g 1020304 h 7

a 556 b 325 c 7532 d 81724

e 1002 f 112 g 8979696 h 3

LECŢIA 5

TOATE DIN 9 ŞI ULTIMUL DIN 10

5.1 APLICAREA FORMULEI

1

2

5: TOATE DIN 9 ŞI ULTIMUL DIN 10

49

1000 – 864 = 136 Aplicaţi doar formula Toate din 9 şi ultimul din 10 numărului

864.

8 din 9 este 1, 6 din 9 este 3, 4 din 10 este 6.

1000 – 307 = 693,

10000 – 6523 = 3477,

100 – 76 = 24,

1000 – 580 = 420. Atenţie: în acest caz, formula se aplică doar numărului 58.

Aplicarea formulei numărului 470 sau oricărui alt număr ce se termină în 0 necesită

atenţie sporită.

Îl ignorăm pe 0 şi îl luăm pe 7 ca fiind ultima cifră: aplicăm formula numărului 47

şi îl adăugăm pe 0 la final. Astfel, obţinem 530.

În mod similar, pentru 28160 obţinem 71840 (doar aplicând formula lui 2816),

pentru 4073100 obţinem 5926900 (doar aplicând formula lui 40731).

Aplicaţia B Aplicaţi formula acestor numere:

a 3570 b 920 c 1234560 d 3300

a 6430 b 80 c 8765440 d 6700

Dacă vă uitaţi cu atenţie la numerele din Examplul 2 puteţi observa că, în fiecare caz, totalul

celor două numere este un număr de bază: 10, 100, 1000 etc.

Ceea ce ne oferă o cale uşoară de scădere din numere de bază, precum 10, 100, 1000 . . .

În fiecare caz, numărul este scăzut din baza lui imdeiat superioară.

3

4

5.2 SCĂDEREA

5

Cu ajutorul formulei, Toate din 9 şi ultimul din 10, scădem

numere din baza lor imediat superioară.

MANUAL MATEMATICĂ VEDICĂ 1 50

Presupunând că avem de efectuat 1000 – 43.

Primul număr conţine trei zerouri, dar 43 este un număr doar de două cifre.

Putem rezolva acestă problemă prin modificarea calcului iniţial, astfel:

1000 – 043 = 957.

Se adaugă un 0 în faţa numărului 43,iar apoi aplicăm formula 043.

10000 – 58.

În acest caz, adăugăm două zerouri: 10000 – 0058 = 9942.

Practice C Efectuaţi următoarele scăderi:

a 1000 – 481 b 1000 – 309 c 1000 – 892 d 1000 – 976

e 100 – 78 f 100 – 33 g 10000 – 8877 h 10000 – 9876

i 1000 – 808 j 1000 – 710 k 10000 – 6300

a 519 b 691 c 108 d 24

e 22 f 67 g 1123 h 124

i 192 j 290 k 3700

ADĂUGAREA ZEROURILOR

În toate exemplele de mai sus observaţi că numărul de zerouri al primului număr este egal cu

numărul de cifre al numărului ce trebuie scăzut.

De exemplu, în 1000–481 primul număr are trei zerouri, iar 481 este format din trei cifre.

Pentru următorul exerciţiu aveţi nevoie de introducerea de zerouri, dar o puteţi face mintal.

Aplicaţia D Efectuaţi următoarele scăderi:

a 1000 – 86 b 1000 – 93 c 1000 – 35 d 10000 – 678

e 10000 – 353 f 10000 – 177 g 10000 – 62 h 10000 – 85

i 1000 – 8 j 10000 – 3

6

7


51

Găsiţi 8000 – 4222.

Considerând miile, cifra 8 va fi redusă prin 5 (cu o unitate mai mare decât 4)

Pentru că luăm mai mult de 4000.

Toate din 9. . . este apoi aplicată numărului 222 obţinându-se 778.

Deci, 8000 – 4222 = 3778.

Acum, să ne uităm la 600 – 77.

Avem 600 în loc de 100.

De fapt, 77 va lua o sută din cele 600, astfel, vom rămâne cu 500.

Aşadar, 600 – 77 = 523

6 va fi redus cu o unitate şi va deveni 5, iar formula Toate din 9 . . . este aplicată

numărului 77 obţinând, astfel, 23.

5000 – 123 = 4877. Cifra 5 este redusă cu o unitate la 4,

Iar, formula, conveteşte numărul 123 la 877.

a 914 b 907 c 965 d 9322

e 9647 f 9823 g 9938 h 9915

i 992 j 9997

CU UNUL MAI PUŢIN

Aplicaţia E Efectuaţi:

a 600 – 88 b 400 – 83 c 900 – 73 d 6000 – 762

e 2000 – 979 f 50000 – 4334 g 70000 – 8012

a 512 b 317 c 827 d 5238

e 1021 f 45666 g 61988

CU UNUL MAI MULT

Acum, să ne uităm la o altă variaţie.

8

9

10

MANUAL MATEMATICĂ VEDICĂ 1 52

Find 6000 – 32.

Observăm că avem de scăzut un număr de două cifre din 6000 ce are în componență

trei zerouri.

Putem rescrie: 6000 – 032.

Apoi, 6000 – 032 = 5968.

Cifra 6 se reduce la 5, iar formula îl converteşte pe 032 la 968.

30000 – 63 = 30000 – 0063 = 29937.

Cifra 3 devine 2, iar 0063 devine 9937.

Când aveţi o scădere de tipul 8000 – 4222 unde ambele numere au acelaşi număr de cifre:

Aplicaţia F Efectuaţi:

a 8000 – 3504 b 5000 – 1234 c 300 – 132

d 2000 – 1444 e 700 – 232 f 60,000 – 23,331

a 4496 b 3766 c 168

d 556 e 468 f 36,669

ÎNCĂ O DATĂ, CU UNU MAI PUŢIN

Aplicţia G Efectuaţi următoarele scăderi:

a 5000 – 74 b 8000 – 58 c 6000 – 94 d 4000 – 19

e 80000 – 345 f 30000 – 276 g 50000 – 44 h 700 – 8

i 30000 – 54 j 20000 – 222 k 30000 – 670 l 70000 – 99

a 4926 b 7942 c 5906 d 3981

e 79655 f 29724 g 49956 h 692

i 29946 j 19778 k 29330 l 69901

11

12

Se reduce prima cifră a primului număr cu o unitate mai mult decât prima cifră a

următorului număr pentru a obţine prima cifră a rezultatului.

Apoi, se aplică formula de calcul cifrelor rămase.


53

Presupunând că doriţi să cumpăraţi un calculator de buzunar în valoare de 7.53 lei

şi plătiţi cu o bancnotă de 10 lei.

Ce rest aşteptaţi să primiţi?

Aplicaţi formula Toate din 9 şi ultimul din 10 numărului 753 şi obţineţi 2.47 lei.

La ce rest vă aşteptaţi de la 20 lei atunci când plătiţi 3.46 lei?

Restul aşteptat este 16.54 lei pentru că dacă luăm 3.46 lei din 10 lei obţinem 6.54 lei

şi mai adăugăm încă 10 lei acestui rezultat.

Acest tip de scădere ne este foarte util atunci când dorim să verificăm restul de bani.

Aplcaţia H Folosiţi această metodă pentru a efectua următoarele scăderi.

a 10 lei – 2.34 lei b 10 lei – 6.51 lei c 10 lei – 5.82 lei d 10 lei – 9.07 lei

e 20 lei – 7.44 lei f 20 lei – 12.78 lei g 20 lei – 3.18 lei h 20 lei – 8.40 lei

a 7.66 lei b 3.49 lei c 4.18 lei d 0.93 lei

e 12.56 lei f 7.22 lei g 16.82 lei h 11.60 lei

Această metodă ne conduce la o metodă mai generală (vedeți Lecţia 9).

Acest exerciţiu final este o combinaţie a tuturor tipurilor de calcule întâlnite:

Aplicaţia I Efectuaţi:

a 100 – 34 b 1000 – 474 c 5000 – 542 d 800 – 72

e 1000 – 33 f 5000 – 84 g 700 – 58 h 9000 – 186

i 10000 – 4321 j 200 – 94 k 10000 – 358 l 400 – 81

m 7000 – 88 n 900 – 17 o 30000 – 63 p 90000 – 899

a 66 b 526 c 4458 d 728

e 967 f 4916 g 642 h 8814

i 5679 j 106 k 9642 l 319

m 6912 n 883 o 29937 p 89101

5.3 BANII

13

14

Presupunând că avem următorul calcul: 2 3 4 5

6 7 3 8 +

Pentru un număr de patru cifre pare destul de dificil, dar putem împărţi operaţia în

două părţi ce pot fi efectuate mult mai uşor şi mintal:

(vedeți Secţiunile 1.5, 1.6, 4.1):

În dreapta avem 45 + 38 ce (mintal) ne dă 83.

Aşa ca, scriem acest rezultat.

În partea stângă avem: 23 + 67 ce ne dă 90. Astfel, 2345 + 6738 = 9083.

REZUMAT 6.1 Adunarea

6.2 Scăderea

6.3 Înmulţirea

6.4 Împărţirea

Un mecanism foarte uşor de efectuare a calculelor constă în împărţirea unui operaţii dificile în

operaţii mai simple. Acest mecanism este ilustrat de formula Prin eliminare şi prin reţinere.

Pentru calculul mintal, separarea numerelor poate reduce considerabil efortul ce-l implică

calculele.

Aplicația A Efectuați următoarele adunări (încercați câteva mintal):

a 3 4 5 6 b 1 8 1 9 c 6 4 4 6 d 8 3 2 1

4 7 1 7 1 7 1 6 2 8 3 8 1 8 2 3

_______

a 81/73 b 35/35 c 92/84 d 101/44

LECŢIA 6

SEPARAREA NUMERELOR

2 3 4 5

6 7 3 8 +

9 0 8 3

6.1 ADUNAREA

1

– despărţirea calculelor lungi

în unele mai scurte şi

efectuarea lor de la stânga la

dreapta.

.

}

6: SEPARAREA NUMERELOR

55

Considerăm următoarea scădere: 5 4 5 4

– 1 7 2 6

_______

Putem despărți în două 5 4 5 4

operații mai ușoare: – 1 7 2 6

3 7 2 8

Prima data efectuăm 54 – 26, obținând 28,

Apoi, 54 – 17, obținând 37.

Găsiți 481 + 363.

Acest exemplu este facut în două moduri.

Care mod este mai simplu?

4 8 13 6 38 4 4

+

1

4 8 13 6 38 4 4

+

Aplicația A continuare Efectuați următoarele adunări (încercați câteva mintal):

e 7 6 7 f 3 8 3 g 4 4 4 h 8 8 8

6 1 6 3 8 4 2 4 6 7 0 7

i 5 5 1 j 4 5 5 4 k 1 2 3 4 l 5 2 3 4

6 6 2 3 6 3 6 4 9 4 4 9 3 9 3

e 13/83 f 76/7 g 6/90 h 15/95

i 121/3 j 81/90 k 61/78 l 14/62/7

De asemenea, putem despărți numerele și pentru operația de scădere.

6.2 SCĂDEREA

2

3

De cele mai multe ori ne întrebăm unde punem linia. În general, este

cel mai bine să despărțim numerele acolo unde observăm că nu avem

niciun surplus.


352 × 2

Puteam separa numerele astfel: 35 | 2 × 2 = 704. (35 și 2 pot fi ușor dublate)

Similar 827 × 2 devine 8 | 27 × 2 = 1654,

604 × 7 devine 6 | 04 × 7 = 4228,

121745 × 2 devine 12 | 17 | 45 × 2 = 243490,

3131 × 5 devine 3 | 13 | 1 × 5 = 15655.

Aplicația B Efectuați următoarele scăderi. Împărțiți fiecare operație în două mai

ușoare.

a 3 2 4 3 b 4 4 4 4 c 7 0 7 0 d 3 7 2 1

1 3 1 9 1 8 2 8 1 5 2 6 1 9 0 9

_______

e 6 8 8 9 f 8 5 2 g 7 7 7 h 6 6 6 6

1 9 3 6 1 3 9 5 8 5 2 9 3 8

_______ a 19/24 b 26/16 c 55/44 d 18/12

e 49/53 f 7/13 g 19/2 h 37/28

Aceeași tehnică de separare a numerelor poate fi aplicată atât înmulțirii cât și operației de

împărțire.

Putem separa numerele oricum dori, dar cel mai bine este să:

Aplicația C Efectuați următoarele înmulțiri:

a 432 × 3 b 453 × 2 c 626 × 2 d 433 × 3 e 308 × 6

f 814 × 4 g 515 × 5 h 919 × 3 i 1416 × 4 j 2728 × 2

k 3193 × 3 l 131415 × 3

6.3 ÎNMULȚIREA

4

5

despărțim numerele în părți ce pot fi înmulțite foarte ușor fără a obține vreun

surplus.

6: SEPARAREA NUMERELOR

57

Împărțirea 2)4 3 2 poate fi despărțită astfel: 2)4 | 32 = 2|16 = 216.

Pentru că numerele 4 și 32 pot fi ușor înjumătățite.

Similar 2)3 4 5 6 devine 2)34 | 56 = 17|28 = 1728.

În 3)1266 observăm că 12 și 66 pot fi împărțite separate la 3, astfel:

3)12|66 = 4|22 = 422

6)6 1 2 devine 6)6 | 12 = 1|02 = 102.

(Cifra 0 apare datorită faptului că numărul 12 este un număr de două cifre)

7)2 8 4 9 devine 7)28 | 49 = 4|07 = 407.

a 12|96 b 90|6 c 12|52 d 12|99 e 18|48

f 32|56 g 25|75 h 27|57 i 56|64 j 54|56

k 9|57|9 l 39|42|45

Operația de împărțire2 poate fi simplificată prin această metodă.

Aplicația D Efectuați:

a 2)6 5 6 b 2)7 2 6 c 3)1 8 9 9 d 6)1 2 6 6

e 4)2 0 4 8 f 4)2 8 4 4 g 3)2 1 3 9 h 2)2 6 3 6

a 3|28 b 36|3 c 6|33 d 2|11

e 5|12 f 7|11 g 7|13 h 13|18

Câteodată, este necesar să fim prudenți și să inserăm ”0” în calcul.

2 Pentru împărțire autorul folosește notația anglo-saxonă, i.e. în loc de 56 ÷ 2, folosește scrierea 2)56.

6.4 ÎMPĂRȚIREA

6

7

8

9

10


3) 2 4 4 5 3 devine 3)24 / 45 / 3 = 8/15/1 = 8151.

Aplicația D continuare

i 4)2 8 1 6 j 4)8 1 2 k 6)4 8 1 8 l 3)1 2 6 6

m 5)2 0 4 5 n 2)3 8 1 4 o 7)21014

i 704 j 203 k 803 l 422

m 409 n 1907 o 3002

Uneori, trebuie să despărțim calculul în trei părți.


p 3)9 1 8 2 7 q 2)3 8 7 2 5 2 r 8)4 0 1 6 8 s 5)1 0 3 5 4 5

t 3)1 5 0 1 5 u 13)3 9 1 3 5 2

p 30609 q 193626 r 5021 s 20709

t 5005 u 30104

11

“Conform sistemului vedic, tablele

înmulțirii mai mari de 5×5, nu sunt

necesare.”


REZUMAT 7.1 Tablele înmulțirii – evitarea tablelor de înmulțire mai mari de 5 × 5.

7.2 Numere imediat superioare lui zece – înmulțirea numerelor imediat după și sub zece.

7.3 Șabloanele tablelor înmulțirii – șabloanele tablelor pe cercul celor 9 puncte.

7.4 Numere apropiate de 100 – înmulțirea numerelor apropiate 100.

7.5 Numere mari – înmulțirea numerelor mari.

7.6 Proporțional – o extindere a metodei.

7.7 Înmulțirea numerelor apropiate de baze diferite

7.8 Ridicarea la pătrat a numerelor apropiate de o bază

7.9 Un rezumat – al tuturor mecanismelor de înmulțire

Este util de știut tablele înmulțirii pe de rost. Dacă este prea dificil, iată o metodă clară și

ușoară:

LECȚIA 7

ÎNMULȚIREA DE BAZĂ

7.1 TABLELE ÎNMULȚIRII

Dacă dorim să aflăm: 7 × 8 știm că 7 este cu 3 mai mic decât 10,

iar 8 este cu 2 mai mic decât 10.

Astfel, lângă 7 scriem –3 și 7 – 3

lângă 8 scriem –2, ca aici: × 8 – 2

Apoi trebuie să efectuăm o scădere pe diagonal pentru a obține prima cifră a

rezultatul calcului: 7 – 2 = 5:

7 – 3

× 8 – 2

5

Sau, dacă preferați, puteți efectua scăderea 7 – 3

pe cealaltă diagonală:

× 8 – 2

5 8 – 3 = 5.

Apoi, se efectuează înmulțirea pe verticlă, i.e. 3 × 2 obținând 6 pentru cea de a

doua parte a răspunsului.

7 – 3

× 8 – 2

5 6 Așadar, 7 × 8 = 56.

1


Pentru a rezuma: 1) scrieți diferența fiecărui număr față de 10: 3 și 2 în exemplul de mai sus,

2) efectuați scăderea pe diagonală: 7–2 = 5 sau 8–3 = 5 și scrieți rezultatul,

3) înmulțiți pe verticală: 3×2 = 6 și scrieți rezultatul.

Această tehnică ilustrează sutra Vertical și pe diagonală.

Câteodată, putem avea și un surplus. Iată un exemplu:

Aplicația A Această metodă este foarte ușoară. Efectuați calculele de mai jos:

a 7 b 8 c 9 d 7 e 8

× 9 × 8 × 6 × 7 × 9

f 8 g 9 h 6 i 7 j 6

× 6 × 9 × 6 × 5 × 5

a 63 b 64 c 54 d 49 e 72

f 48 g 81 h 36 i 35 j 30

În sistemul vedic tablele de înmulțire de la 9×9 în sus nu sunt esențiale.

A se observa nota asupra înmulțirii țărănești rusești de la pagina 69.

Pentru a obține 6 × 7 observăm că 6 este cu 4 mai mic decât 10, iar 7 este cu 3 mai

mic decât 10.

Astfel, vom avea: 6 – 4

× 7 – 3

Prin scăderea pe diagonal obținem: 6 – 3 = 3, rezultat ce îl scriem astfel:

6 – 4

× 7 – 3

3

Apoi, prin înmulțirea 4 × 3 obținem 12 pentru partea a doua a răspunsului.

Dar aici, cum 12 este un număr format din două cifre, cifra 1 devine surplus și o

adăugăm la 3 astfel:

6 – 4

× 7 – 3

3 2 = 42 Așadar, 6 × 7 = 42.

1

2

7: ÎNMULȚIREA DE BAZĂ

61

Pentru 12 × 13 observăm că numerele se află în imediata apropiere a lui 10 și 12 este

cu 2 mai mare decât 10, iar 13 este cu 3 mai mare decât 10.

Așadar, asezăm numerele exact ca în metoda precedent, numai că numerele fiind

mai mari decât 10, în loc de minus vom avea plus:

12 + 2

× 13 + 3

Apoi, adunăm pe diagonală 12 + 2

pentru a obține prima parte a răspunsului: × 13 + 3

12 + 3 = 15 (or 13 + 2 = 15). 15

Și, ca mai înainte, înmulțim pe verticală 12 + 2

pentru a obține ultima cifră: 2 × 3 = 6 × 13 + 3

15 6 Astfel, 12 × 13 = 156.

Metoda folosită în secțiunea trecută poate fi folosită nu numai pentru numere sub 10, dar și

pentru numere imediat superioare lui 10.

Presupunând că avem de înmulțit numerele 12 și 13; numere apropiate de 10.

Aplicația B Efectuați următoarele înmulțiri. De remarcat faptul că, pe a doua linie, în

calcul va apărea surplusul.

a 13 b 12 c 11 d 13 e 11

× 11 × 12 × 15 × 13 × 11

f 13 g 12 h 14 i 16 j 13

× 14 × 16 × 14 × 16 × 18

a 143 b 144 c 165 d 169 e 121

f 182 g 192 h 196 i 256 j 234

7.2 NUMERE IMEDIAT SUPERIOARE LUI 10

3


În tabla înmulțirii cu 3 răspunsurile sunt 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 . . .

Dacă se calculează suma cifrelor fiecărui număr, se obține șirul: 3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9 . . .

Numerele 3, 6, 9 se repetă de fiecare dată.

Putem ilustra acest șablon pe cercul celor 9 puncte astfel:

TABLA LUI 3 TABLA LUI 6

Astfel, acesta este șablonul tablei înmulțirii cu 3 și este ilustrat în figura de mai sus.

Aplicația C

a Desenați tiparul tablei înmulțirii cu 6 pe cercul din partea dreaptă de mai sus.

b Desenați tiparele tablelor înmulțirii numerelor 4 și 5, 1 și 8, 2 și 7 și tabla lui 9 pe cercurile

de mai jos.

7.3 ȘABLOANELE TABLELOR ÎNMULȚIRII

Începem de la 3 , și trasăm o linie la următorul număr, adică 6

(utilizați o culoare).

Apoi, de la 6 trasăm o linie la următorul număr, adică 9.

Apoi, de la 9 trasăm o linie la următorul număr, adică 3.

Acest tipar se tot repetă pentru că numerele 3, 6, 9, 3, 6, 9 . . . se tot repetă.

4


63





TABLA LUI 9

PERIDIOCITATEA ZECIMALELOR

Cercul celor 9 puncte are multe utilizări, printre care și ilustrarea peridiocității zecimalelor

unui număr (vedeți Manualul 2 sau Calculatorul Cosmic, cărțile 2, 3).

De exemplu: 1

7= 0.142857

. .

Cele două puncte (plasate deasupra lui 1 și a lui 7) ne indică faptul că cifrele 142857 se repetă

la infinit.

Începem acest șablon de la 1 și trasăm o linie la 4 ș.a.m.d până când tiparul începe să se

repete. Astfel, șablonul aritmetic se transformă într-unul geometric.

De fapt, orice secvență de numere poate fi reprezentată pe acest cerc: pătratele numerelor,

numere triangulare, numere prime, șirul lui Fibonacci etc.


65

Metoda simplă utilizată în secțiunea 7.1 poate fi ușor extinsă la numere mari.

De obicei, o înmulțire precum: 88 × 98 este considerată dificilă pentru avem de a face cu cifre

mari, i.e. 8 și 9.

Dar, de când numerele 88 și 98 sunt apropiate de baza 100, există o metodă foarte simplă de

efectuare a acestui produs.

88 × 98 = 8624.

Așezam termenii înmulțirii ca mai jos:

88 este cu 12 mai mic decât 100, deci, scriem –12 imediat după acesta,

98 este 2 mai mic decât 100, deci, scriem –2 imediat după acesta.

Răspunsul, 8624 este alcătuit din două părți: 86 și 24.

88 – 12

98 – 2

86 / 24

Scădere pe diagonală înmulțire pe vericală: 12 × 2 = 24

adică, 88 – 2 = 86 sau 98 – 12 = 86

(oricare dintre cele două doriți),

Numim 12 și 2 deficiențe pentru că numerelor 88 și 98 le lipsesc 12, respectiv 2

pentru a deveni 100.

Pentru 93 × 96 ne lipsesc numerele 7 și 4, așadar: 93 - 07

96 - 04

89 / 28

93 – 4 = 89 or 96 – 7 = 89,

Iar, 7 × 4 = 28.

Pentru 98 × 97: 98 – 02

97 – 3

95 / 06

A se remarca ”0” inserat aici: pentru numerele apropiate de 100, sunt necesare două

cifre pentru partea dreaptă, ca în celelate exemple.

7.4 NUMERE APROPIATE DE 100

5

6

7


Pentru 89 × 89: 89 – 11

89 – 11

178 / 21 = 7921

Aici, fiecare număr este cu 11 mai mic decât 100, iar 11 × 11 = 121 este un număr de

trei cifre. Deci, cifra sutelor devine surplus.

Aplicația D Efectuați următoarele înmulțiri:

a 94 × 94 b 97 × 89 c 87 × 99 d 87 × 98 e 87 × 95

f 95 × 95 g 79 × 96 h 98 × 96 i 92 × 99 j 99 × 99

a 88/36 b 86/33 c 86/13 d 85/26 e 82/65

f 90/25 g 75/84 h 94/08 i 91/08 j 9801

Se poate întâmpla să avem un surplus.


k 88 × 88 l 97 × 56 m 44× 98 n 97 × 63

k 7744 l 5432 m 4312 n 6111

Explicație (bazată pe Examplul 5 de mai sus).

(1) 88 × 98 = 88 × 100 – 88 × 2

= 8800 – (100 × 2 – 12 × 2)

= 8800 – 200 + 12 × 2

= 8600 + 24 = 8624

(2) În caz contrat, fie următoarea explicație geometrică:

88×98 este aria unui dreptunghi de dimensiuni 88, respectiv 98 unități; așadar, putem începe

cu un pătrat cu latura de 100 unități:

8

De fapt, o data ce am obținut numerele lipsă, aplicăm metoda Vertical și pe diagonală:

Efectuăm scăderea pe diagonală pentru a obține partea stângă a răspunsului, iar pentru

partea dreaptă înmulțim pe verticală.


67

98 2A B

CD

88

12

100

100

Puteți observa aria cerută colorată în desenul de mai sus.

De asemenea, puteți observa și numerele lipsă până la 100: adică 12, respectiv 2.

Atunci, aria dreptunghiului ABCD este 8800 pentru că baza este 100, iar înălțimea sa este 88.

8800 200

Din această scădem aria micului dreptunghi din partea dreaptă, adică 200:

Adică: 8800 – 200 = 8600.

Obținem aria dorită, numai că am scăzut și aria dreptunghiului colorat ce se formează în

partea dreaptă jos. Deci, această trebuie adăugată rezultatului, adică trebuie să adăugăm

12×2=24 la 8600 pentru a obține 8624.

Puteți observa că aceast procedeu funcționează pentru orice număr imediat inferior lui 100.

(3) Explicația algebrică este următoarea: (x – a)(x – b) = x(x – a – b) + ab,

unde x este baza (în acest exemplu, 100), iar a și b sunt numerele ce lipsesc pentru a forma

100 (în acest caz: 12, respectiv 2).

Numerele ce trebuie înmulțite sunt: (x – a) și (x – b); (x – a – b) primul număr din care

scădem deficiența celui de al doilea; iar efectul produs de x din dreapta parantezei constă în

mutarea cantității (x – a – b) la stânga de atâtea ori câte zerouri are baza.

MINTAL

Uitați-vă din nou la primul exemplu din această secțiune:

88 – 12 98 – 2 86 / 24

Calea cea mai eficientă de a efectua acest calcul este de a lua un număr și de a extrage

deficiența celuilat număr din el: 88–2=86, sau 98–12=86.

Apoi înmulțirea deficiențelor între ele: 12×2=24.

Iar, mintal, să ajustăm răspunsul dacă acesta conține și un surplus.

În această manieră, aritmetica mintală devine și facilă.


103 × 104 = 10712. 103 + 03

104 + 4

107 / 12

Metoda este similară celei dinainte.

103 este cu 3 mai mare decât 100, deci, vom scrie +3 imediat după acesta.

Și 104 este cu 4 mai mare decât 100, deci, vom scrie +4 imediat după acesta.

Apoi, 103 + 4 = 107 sau 104 + 3 = 107,

Și, 4 × 3 = 12.

Acum efectuăm adunarea pe diagonal și înmulțim pe verticală.

Aplicația E Efectuați aceste înmulțiri mintal; scrieți doar rezultatul final:

a 87 b 79 c 98 d 94

97 98 93 95

e 96 f 88 g 89 h 93

96 96 98 96

i 93 j 97 k 96 l 95

99 97 67 75

m 8 9

? ?

8 2 7 7 aflați numerele lipsă

a 84/39 b 77/42 c 91/14 d 89/30

e 92/16 f 84/48 g 87/22 h 89/28

i 92/07 j 94/09 k 64/32 l 71/25

m 93

NUMERE PESTE 100

Înmulțirea numerelor ce trec de 100 este chiar mai ușoară decât a celor sub 100.

Presupunând că dorim să aflăm rezultatul calculului 103 × 104:

9


69

Aplicația F Efectuați mintal următoarele înmulțiri:

a 107 × 104 b 107 × 108 c 133 × 103 d 102 × 104

e 123 × 102 f 171 × 101 g 103 × 111 h 125 × 105

i 103 × 103 j 111 × 111 k 162 × 102 l 113 × 105

m 1 0 3

? ? ?

1 0 8 1 5 găsiți numărul lipsă.

a 11128 b 11556 c 13699 d 10608

e 12546 f 17271 g 11433 h 13125

i 10609 j 12321 k 16524 l 11865

m 105

MATEMATICA MENTALĂ

Tehnicile vedice sunt atât de ușoare încât sistemul Matematicii Vedice este, într-adevăr, un

sistem mintal. Acesta prezintă avantaje suplimentare, după cum se poate observa, copii fac

progrese rapide, iar matematica devine mult mai plăcută atunci când le este permis să

efectueze calculele în minte. La urma urmei, obiectivele matematicii sunt unele mintale, iar

scrierea rezultatlor constă într-o combinație de acțiuni mintale și fizice; astfel, atenția

copilului alternează între sferele mintalului și materialului. Această alternanță este o abilitate

ce trebuie dezvoltată, dar lucrând cu obiectele numai mintal obținem și multe alte avantaje.

Matematica mentală ne conduce la un plus de creativitate, iar copii înțeleg obiectele

matematice și relaționarea dintre acestea mult mai bine. Încep prin a experimenta (în special

dacă sunt încurajați să facă asta) și devin mult mai flexibili. Atât memoria cât și încrederea se

îmbunătățesc prin matematica mentală.

ÎNMULȚIREA ȚĂRĂNEASCĂ RUSEASCĂ

Aceasta constă în înmulțirea numerelor cuprinse între 5 și 9 cu numere cuprinse între 5 și 9 și

este similară metodei vedice prezentată aici.

Degetele sunt numerotare ca în figura de mai sus, degetul mare fiind numerotat cu 5 ș.a.m.d

până la degetele mici ce sunt numerotate cu 9. Pentru a înmulți, să spunem, 8 cu 7, așezăm

împreună ”degetul 8” de la mâna stângă cu ”degetul 7” de la mâna dreaptă. Apoi numărând

degetele de desupra celor ce trebuie înmulține obținem 5, apoi înmulțim numărul degetelor

rămase de la mâna stângă cu numărul degetelor rămase de la mâna dreaptă: 2 × 3 = 6.

Așadar, 8 × 7 = 56.

5

6 7 8 9

9

8 7 6 9

9 5


Găsiți 568 × 998.

În acestă operație, numerele sunt aproape 1000, iar deficiențele lor sunt 432,

respectiv 2. Deficiența lui 568 este găsită aplicând formula: Toate din 9, iar ultimul

din 10.

568 – 432

998 – 2 Metoda este acceași, numai că trebuie să avem 3 cifre

566 / 864 în partea dreaptă pentru că baza este acum 1000.

Cum deficiențele sunt: 432, respectiv 2.

Diferența pe diagonal este: 568 – 2 = 566,

Iar pe vertical avem: 432 × 2 = 864.

De unde: 568 × 998 = 566864.

Aflați 68777 × 99997.

Chiar și numere mari precum acestea pot fi ușor înmulțite în gând prin aceeași

metodă.

68777 – 31223

99997 – 3

68774 / 93669

Acum, ce spuneți de numere apropiate de baze precum 1000 10,000 etc?

Aplicația G

Efectuați următoarele înmulțiri în gând:

a 667 × 998 b 768 × 997 c 989 × 998 d 885 × 997

e 883 × 998 f 467 × 998 g 891 × 989 h 8888 × 9996

i 6999 × 9997 j 90909 × 99994 k 78989 × 99997 l 9876 × 9998

a 665/666 b 765/696 c 987/022 d 882/345

e 881/234 f 466/066 g 881/199 h 8884/4448

i 6996/9003 j 90903/54546 k 78986/63033 l 9874/0248

Numărul de cifre necesar în partea dreaptă este egal cu numărul de zerouri din baza

numărului.

7.5 NUMERE MARI

10

11


71

1234 × 1003 = 1237702. (1234+3=1237, 234×3=702)

10021 × 10002 = 100230042. (10021+2=10023, 0021×2=0042)

Cu o bază egală cu 10 000 avem nevoie de 4 cifre în partea dreaptă a rezultatului.

Găsiți 309 × 104.

Putem observa că 309 este 3 × 103.

Asta înseamnă că: putem efectua întâi 103 × 104 (pentru care avem o metodă simplă

de calcul), iar apoi putem înmulți rezultatul cu 3.

103 × 104 = 10712.

Și: 10712 × 3 = 32136.

Putem utiliza metoda de separare a numerelor pentru a afla 10712 × 3, astfel: 1|07|12

× 3 = 3|21|36.

NUMERE MAI MARI DECÂT BAZA

Presupunem că avem numere mai mari decât baza.

Aplicația H

a 1222 × 1003 b 1051 × 1007 c 1123 × 1002

d 1007 × 1006 e 15111 × 10003

a 1225/666 b 1058/357 c 1125/246

d 1013/042 e 15115/5333

Proporțional înseamnă că obținem rezultatul final prin dublarea (sau triplarea etc.)

rezultatului intermediar.

Am tot făcut acest lucru.

7.6 PROPORȚIONAL

12

13

14


Găsiți 47 × 98.

Aici putem dubla numărul 47 pentru că dublul său, adică 94, cât și celalat număr sunt

apropiate de 100.

Astfel, calculăm 94 × 98 și împărțim la 2 rezultatul.

94 × 98 = 9212

Iar jumătatea lui 9212 este 4606.

Încă o data, putem folosi metoda de separare a numerelor pentru jumătatea

numărului 9212 (gândiți-vă la 92|12).

Găsiți 192 × 44.

Aici: putem înjumătăți numărul 192 și dubla numărul 44.

Astfel, obținem 96 × 88 și nu mai este nevoie să dublăm sau să înjumătățim pentru a

afla rezultatul final pentru că s-au anulat una pe cealaltă.

Deci: 192 × 44 = 96 × 88 = 8448.

Găsiți 192 × 92.

Aici, putem observa că: înjumătățind numărul 192, obținem 96.

Așadar: este sufficient să aflăm 96 × 92, iar apoi să dublăm rezultatul.

96 × 92 = 8832, prin metoda Vertical și pe diagonală,

Astfel, obținem: 192 × 92 = 17664, (prin dublarea lui 8832).

Aplicația I

a 212 × 103 b 106 × 208 c 182 × 98 d 93 × 186

a 21836 b 22048 c 17836 d 17298

Aplicația I continuare

e 93 × 46 f 56 × 104 g 306 × 118 h 51 × 104

i 206 × 54 j 44 × 99 k 48 × 184 l 228 × 212

e 4278 f 5824 g 36108 h 5304

i 11124 j 4356 k 8832 l 48336

15

16

17


73

213 × 203 = 43239. 213 + 13

203 + 3

2 × 216 / 39 = 43239

Observăm că numerele nu se află în apropierea vreunei baze utilizate până acum:

10, 100, 1000 etc, dar sunt aproape de 200, cu deficiențele 13, respective 3 așa cum

sunt ilustrate mai sus.

Aplicând procedura obișnuită obținem: 216/39 (213+3=216, 13×3=39).

Dar, baza noastră fiind 200 adică 100×2 multiplicăm cu 2 doar partea stângă a

răspunsului obținând astfel 43239.

29 × 28 = 812.

Baza este 30 (3×10), 29 – 1

iar deficiențele sunt –1, respectiv –2. 28 – 2

Prin scăderea pe diagonal obținem 27, 3 × 27 / 2 = 812

apoi înmulțind pe vericală partea dreaptă obținem 2,

În final, avem 3×27 = 81.

Așadar, aceste înmulțiri se efectuează la fel ca și celelalte numai că avem o

înmulțire în plus (doar pentru partea stângă) la sfârșit.

Găsiți 33 × 34.

În acest exemplu avem un surplus: 33 + 3

34 + 4

13 37 / 2 = 111 /12 = 1122

De notat faptul că de vreme ce partea dreaptă nu este înmulțită cu 3, vom înmulți

doar partea stângă cu trei înainte de a adăuga surplusul părții din stânga.

ANOTHER APPLICATION OF PROPORTIONATELY

O altă manieră de folosire a formulei Proporțional permite extinderea aplicabilității acestei

metode de înmulțire.

Aplicația J Efectuați următoarele înmulțiri în gând:

a 41 × 42 b 204 × 207 c 321 × 303 d 203 × 208

e 902 × 909 f 48 × 47 g 188 × 196 h 199 × 198

i 189 × 194 j 207 × 211 k 312 × 307 l 5003 × 5108

m 63 × 61 n 23 × 24 o 79 × 77

18

20

19


9998 × 94 = 9398/12

Aici, numerele sunt apropiate de baze diferite: 10,000 și 100,

iar deficiențele sunt –2, respectiv –6.

Scriem, sau ne imaginăm, operația ilustrată astfel: 9998 –02

94 – 6

9398 / 12

Este important să așezăm numerele exact ca mai sus pentru că 6 nu este scăzut din 8,

ca de obicei, ci din 9 (din 9998) așezat deasupra lui 4 din 94, adică a doua coloană

din stânga:

Astfel 9998 devine 9398.

Apoi înmulțim deficiențele între ele: 2×6 = 12.

Remarcați faptul că numărul cifrelor din partea dreaptă a răspunsului corespunde bazei

numărului mai mic (94 este apropiat de 100, drept urmare trebuie să avem două cifre în

partea dreaptă).

a 172/2 b 422/28 c 972/63 d 422/24

e 8199/18 f 225/6 g 368/48 h 394/02

i 366/66 j 436/77 k 957/84 l 25555/324

m 3843 n 552 o 6083

Uneori avem de înmulțit numere ce sunt apropiate de baze diferite.

În exemplul de mai jos unul din numere este apropiat de 10 000, iar celălalt de 100.

Putem observa că această metodă funcționează uitându-ne la 9998 × 9400, ce este de 100 de

ori mai mare decât operația de dinainte:

9998 – 0002

9400 – 600

9398 / 1200

Acum, putem observa că: 9998 × 9400 = 93981200,

deci 9998 × 94 = 939812.

Acest lucru ne arată și de ce 6 este scăzut din a doua coloană din stânga.

7.7 ÎNMULȚIREA NUMERELOR CU BAZE DIFERITE

21


75

962 = 92/16.

96 este cu 4 mai mic decât 100, așadar, îl reducem pe 96 cu 4, obținând astfel prima

parte a răspunsului, adică 92.

Ultima parte se obține prin ridicarea la pătrat a numărului 4: 42 =16, așa cum spune

formula.

10007 × 1003 = 10037021.

Aliniind numerele astfel: 10007 + 007

1003 + 3

10037 / 021

observăm că avem nevoie de trei cifre în partea dreaptă și că surplusul, adică 3,

trebuie adăugat coloanei a 4a, obținând astfel 10037.

Aplicația K Găsiți:

a 97 × 993 b 92 × 989 c 9988 × 98 d 9996 × 988

a 963/21 b 909/88 c 9788/24 d 9876/048

În următorul exemplu, numerele sunt apropiate de baze diferite, dar sunt mai mari decât

acestea.

Aplicația L Găsiți:

a 103 × 1015 b 106 × 1012 c 10034 × 102 d 1122 × 104

a 1045/45 b 1072/72 c 10234/68 d 1166/88

Cu ajutorul acestei metode, găsirea pătratului unui număr apropiat de o bază este foarte

ușoară.

Să ne amintim faptul că ridicarea la pătrat însemnă înmulțirea unui număr cu el însuși (ca 96

× 96).

Această metodă este cuprinsă în sub-sutra Reducere (sau Augmentare) prin deficiența și

folosind pătratul numărului.

7.8 RIDICAREA LA PĂTRAT A NUMERELOR APROPIATE

DE O BAZĂ

22

23


3042 = 3×308/16 = 92416.

Se efectuează în mod similar numai că, baza fiind 300, partea din stânga va fi

înmulțită cu 3.

10062 = 1012/036.

Aici, 1006 este mărit cu 6 la 1012, iar 62 = 36: dar pentru baza 1000 avem nevoie de

3 cifre în partea dreaptă, deci, vom scrie 036.

Aplicația M Ridicați la pătrat următoarele numere:

a 94 b 103 c 108 d 1012

e 98 f 88 g 91 h 10006

i 988 j 997 k 9999 l 9989

m 111 n 13 o 987

a 8836 b 10609 c 11664 d 1024144

e 9604 f 7744 g 8281 h 100120036

i 976144 j 994009 k 99980001 l 99780121

m 12321 n 169 o 974169

Aplicația N Ridicați la pătrat următoarele numere:

a 206 b 212 c 302 d 601

e 21 f 72 g 4012 h 511

a 424/36 b 449/44 c 912/04 d 3612/01

e 44/1 f 518/4 g 16096/144 h 2611/21

Sunt o multitudine de metode speciale de înmulțire în sistemul vedic: vedeți Lecția 10. Iar

metoda generală (Lecția 11) este întotdeauna actuală dacă nu ne vine în minte nicio altă

metodă specială.

24

25


77

Aici putem rezuma multitudinea de metode de înmulțire și ridicare la pătrat întâlnite până

acum.

1. Înmulțirea cu 4, 8 etc. se obține dublând de două sau de trei ori etc. De exemplu, 37×4.

2. Putem folosi dublarea pentru a extinde tablele de înmulțire. De exemplu, 14×8.

3. Putem înmulți de la stânga la dreapta folosind Semnalizatorul. De exemplu, 456×3.

4. Putem folosi Toate din 9 și ultimul din 10 pentru a înmulți numerele apropiate de o bază.

De exemplu, 98×88, 103×104, 203×204.

5. Și putem înmulți numere apropiate de baze diferite. De exemplu, 998×97.

6. Aceeași sutră poate fi folosită și pentru ridicarea la putere a numerelor apropiate de o bază.

De exemplu, 97², 1006², 203².

Aplicația O Exercițiul următor grupează la un loc toate metodele învățate până acum:

a 654 × 3 b 86 × 98 c 97 × 92

d 73 × 4 e 7 × 22 f 16 × 24

g 798 × 997 h 8899 × 9993 i 106²

j 996² k 103 × 109 l 123 × 104

m 203 × 209 n 188 × 197 o 87 × 97

p 32 × 33 q 2004 × 2017 r 9997 × 98

s 1023 × 102

a 1962 b 8428 c 8924

d 292 e 154 f 384

g 795606 h 88927707 i 11236

j 992016 k 11227 l 12792

m 42427 n 37036 o 8439

p 1056 q 4042068 r 979706

s 104346

7.9 UN REZUMAT

“tot ceea ce trebuie să facă un student este să caute anumite

caracteristici, să le detecteze, să identifice tipul particular și

să aplice formula convenabilă.”


Găsiți 3456 ÷ 7.

7346526

4 9 3 rest 5

Operația de împărțire se efectuează așa 34÷7 = 4 rest 6, așezat ca mai sus,

cum ne-am obișnuit: 65÷7 = 9 rest 2, așezat ca mai sus,

26÷7 = 3 rest 5, ca mai sus.

Așadar, 3456 ÷ 7 = 493 rest 5.

REZUMAT

8.1 Verificarea operației de împărțire prin suma cifrelor.

8.2 Primul cu primul și ultimul cu ultimul.

8.3 Divizibilitatea cu 4

8.4 Divizibilitatea cu 11

Dacă împărțirea de mai sus este efectuată corect atunci: 493×7 + 5 = 3456.

(Rezultatul calculului 7 ÷ 3 = 2 rest 1 este corect pentru că 2 × 3 + 1 = 7.)

Putem verifica dacă operația 493×7 + 5 = 3456 este corectă prin înlocuirea fiecărui număr cu

suma cifrelor sale, astfel:

Numărul 493 are suma cifrelor egală cu 7, iar numărul 3456 are suma cifrelor egală cu 9.

Astfel: 493 × 7 + 5 = 3456

Devine: 7 × 7 + 5 9

constantăm că rezultatul este corect pentru că: 7×7=494, și 4+5 9.

LECȚIA 8

VERIFICAREA ȘI DIVIZIBILITATEA

8.1 SUMA CIFRELOR ȘI ÎMPĂRȚIREA

1

8: VERIFICAREA ȘI DIVIZIBILITATEA 79

Găsiți 70809 ÷ 6.

6710480009

1 1 8 0 1 rest 3 acesta este răspunsul, iar pentru

verificare puteți verifica dacă 11801× 6 + 3 = 70809 este corectă folosind suma

cifrelor.

Acesta devine: 2×6 + 3 6 utilizând suma cifrelor, și este correctă pentru că 2×6 =

3 în suma cifrelor, iar 3 + 3 = 6.

32 × 41 este aproximativ 1000.

Prim înmulțirea primelor cifre ale fiecărui număr obținem că 32 × 41 este

aproximativ 30 × 40, adică 1200.

Ne așteptăm ca rezultatul să fie apropiat de 1000, prin rotunjirea la cea mai apropiată

mie.

(O alternativă a liniei de mai sus ar putea fi următoarea: 7×7 + 5 = 54, 549.)

Aplicația A Efectuați următoarele împărțiri și verificați-le folosind suma cifrelor:

a 3)4 6 8 1 b 4)9 1 3 c 5)7 0 3 2

d 6)3 2 1 e 7)2 2 2 f 8)9 0 8 0

g 9)1 0 0 1 h 2)3 4 5 6 7

a 1560 r1 (3×3+11) b 228 r1 (3×4+14) c 1406 r2 (2×5+23)

d 53 r3 (8×6+36) e 31 r5 (4×7+56) f 1135 r0 (1×8+08)

g 111 r2 (3×9+22) h 17283 r1 (3×2+17)

PRIMUL CU PRIMUL

Sutra Primul cu primul și ultimul cu ultimul este utilă în obținerea unui răspuns aproximativ al

unei operații. Câteodată avem nevoie doar de prima cifră și de numărul de zerouri ale unui

rezultat. Astfel, putem folosi această metodă.

8.2 PRIMUL CU PRIMUL ȘI ULTIMUL CU ULTIMUL

2

3

MANUAL DE MATEMATICĂ VEDICĂ 1

80

Găsiți valoarea aproximativă a operației 641 × 82.

Se dorește aflarea primei cifre a rezultatului și a numărului de zerouri ce îi urmează.

Cum 600 × 80 = 48 000, și știind că rezultatul este mai mare decât acesta putem

afirma că rezultatul final este aproximativ 50 000 (rotunjit la cele mai apropiate zeci

de mii).

Găsiți valoarea aproximativă a: 39 × 63.

39 este aproape de 40, astfel prin Primul cu primul obținem 40 × 60 = 2400.

Deci, putem spune: 2000.

Găsiți valoarea aproximativă a: 383 × 88.

400 × 90 = 36 000, iar rezultatul trebuie să fie mai mic pentru că atât 400, cât și 90

sunt mai mari decât valorile originale; astfel, putem afirma că: 383 × 88 30,000.

Simbolul înlocuiește expresia aproximativ egal cu.

Observăm că Sutra Primul cu primul ne furnizează prima cifră a rezultatului final; iar numărul

de cifre ale numărului este, de asemenea, evident.

Nu putem fi întodeauna siguri de prima cifră (ca în exemplul de mai sus), dar, niciodată, nu

putem greși decât cu o unitate.

Aplicația B Aproximați următoarele:

a 723 × 81 b 67 × 82 c 4133 × 572

d 38 × 49 e 6109 × 377 f 3333 × 4444

g 1812 × 1066

a 60,000 b 5000 or 6000 c 2,000,000

d 2000 e 2,000,000 f 10,000,000

g 2,000,000

Sutra (este de fapt o sub-Sutră) Primul cu primul și ultimul cu ultimul este folosită și în multe

alte moduri. De exemplu, în măsurarea sau trasarea unei linii cu ajutorul unei rigle (sau a unui

unghi cu un raportor), marcând primul și ultimul punct al liniei utilizând primul punct de pe

rigla și ultimul punct de pe aceasta.

A se vedea și Secțiunea 10.4. Această Sutra este foarte utilă și în peridiocitatea zecimalelor,

divizibilitate și factorizarea unei expresii de gradul doi, trei etc. (a se vedea Referința 3).

4

5

6


72 × 83 se termină în 6.

Prin înmulțirea ultimilor cifre ale numerelor se obține ultima cifră a calculului:

2 × 3 = 6.

383 × 887 se termină în 1.

cum 3 × 7 = 21, ce se termină în 1.

23 × 48 × 63 se termină în 2.

Pentru că 3×8 se termină în 4 și 4×3=12 se termină în 2.

ULTIMUL CU ULTIMUL

Ultima cifră a unui calcul poate fi identificată prin observarea ultimilor cifre ale calculului.

Aplicația C Care este ultima cifră a următoarelor calcule?

a 456 × 567 b 76543 × 97 c 67 × 78 × 89

d 789 + 987 e 346 × 564 f 5328 + 9845

a 2 b 7 c 4

d 6 e 4 f 3

Formula Ultimul și de două ori penultimul poate fi folosită pentru a testa dacă un număr este

divizibil cu 4 sau nu.

Ultimul înseamnă ultima cifră,

și penultimul este cifra precedentă ultimei cifre.

8.3 DIVIZIBILITATEA CU 4

7

8

9


82

Astfel, pentru numărul 12376 formula spune să-l adunăm pe 6 la dublul numărului 7.

Obținem 20, și cum 4 îl divide pe 20, atunci numărul 12376 este divizibil cu 4.

Pentru numărul 5554 formula ne dă 4 plus dublul lui 5, adică 14.

Dar 4 nu îl împarte exact pe 14, astfel 5554 nu este divizibil cu 4.

Este numărul 7282231 divizibil cu 11?

Adunăm toate cifrele de pe pozițiile impare și toate cifrele de pe pozițiile pare și

scădem rezultatul mai mic din cel mai mare.

Dacă obținem 0 sau 11 sau un multiplu al lui 11 atunci numărul este divizibil cu 11.

7 2 8 2 2 3 1 pe pozițiile impare: 7 + 8 + 2 + 1 = 18

pe pozițiile pare: 2 + 2 + 3 = 7

Cum 18 – 7 = 11, numărul 7282231 este divizibil cu 11.

Aplicația D Pentru fiecare din numerele de mai jos, scrieți suma pe care o furnizează

formula, iar apoi specificați dacă numărul este divizibil sau nu cu 4.

a 246 b 656 c 92

d 5573 e 7624 f 345678

a 14, nu b 16, da c 20, da

d 17, nu e 8, da f 22, nu

Testarea divizibilității cu 11 este foarte ușoară și este dată de formula Prin adunare și prin

scădere.

Astfel, când folosim Ultimul și de două ori penultimul,

adunăm ultima cifră dublului celei din fața ei,

și dacă 4 divide rezultatul atunci numărul este divizibil cu 4.

În caz contrar, numărul nu este divizibil cu 4.

8.4 DIVIZIBILITATEA CU 11

10

11

12


Pentru a obține restul numărului 38042 avem (3+0+2) – (8+4) = –7.

Putem adăuga 11 acestui –7 și obținem 4, adică cel mai mic rest (atât –7, cât și 4

sunt corecte în acest caz).

Aplicația E Verificați dacă următoarele numere sunt divizibile cu 11:

a 5192 b 3476 c 1358016

d 85547 e 570317 f 1030607

a Da b Da c Da

d Da e Da f Nu

RESTUL ÎMPĂRȚIRII LA 11

Doar ce am văzult în ultimul exercițiu, cum putem afla dacă un număr este sau nu divizibil cu

11.

De exemplu, pentru 727 obținem 14–2=12.

Cum 12 nu este un multiplu al lui 11, numărul nu este divizibil cu 11.

Dar 12 este restul împărțirii acestui număr la 11.

Cum 12 este cu 1 mai mare decât 11 putem spune că cel mai mic rest este 1.

De observat faptul că efectuăm scăderea între numerele de pe pozițiile impare și numerele de

pe pozițiile pare.

Aplicația F Aflați restul prin împărțirea la 11 a acestor numere:

a 71263 b 45678 c 203527 d 67

e 349 f 3817 g 1827 h 8351

i 481 j 34143 k 523281 l 909192

a 5 b 6 c 5 d 1

e 8 f 0 g 1 h –9 sau 2

i –3 sau 8 j –1 sau 10 k 0 l –2 sau 9

13


84

Presupunând că avem de verificat o altă înmulțire: 2434 × 32 = 77888.

Aflăm resturile celor trei numere ca în exercițiul de mai sus.

Înlocuind numrele cu resturile lor obținem: 3 × 10 8 ceea ce este correct în acest

calcul aritmetic pentru că, evident, restul numărului 30 este 8 după împărțirea la 11.

O ALTĂ VERIFICARE PRIN SUMA CIFRELOR

Deja v-ați familiarizat cu verificările operațiilor folosind suma cifrelor numerelor.

De exemplu, rezultatul 2434 × 32 = 77888 este confirmat de suma cifrelor pentru că

adunând cifrele obținem 4 × 5 2, ceea ce este corect.

Acestă metodă funcționează pentru că adunând cifrele unui număr obținem restul numărului

după împărțirea la 9.

O metodă similară este cea a împărțirii la 11 în locul celei la 9.

Aplicația G Care dintre următoarele calcule sunt corecte folosind metoda alternativă

de verificare?

a 213312 × 45 = 9599040 b 234 × 234 = 54756 c 3741 × 45 = 186345

d 86 × 68 = 5848 e 876 × 333 = 290808 f 1011 × 1101 = 1113111

a 0×1=0: corect b 3×3=9: corect c 1×1=5: incorect

d –2×2=7: corect e 7×3=1: incorect f –1×1= –1: corect

14

7 2 = 68,

861 = 859, pentru că 61 = 59 (cifra 8 rămâne neschimbată),

127 2 = 1268, pentru că 7 2 = 68,

6 3 0 = 570, pentru că avem 600 – 30 (sau, pentru că 63 = 57).

REZUMAT

9.1 Înlocuirea numerelor cu bară – convertirea numerelor ce conțin o cifră negativă la o

formă pozitivă.

9.2 Scăderea – o metodă generală de scădere.

9.3 Crearea numerelor cu bară – eliminarea cifrelor mai mari decât 5 .

9.4 Utilizarea numerelor cu bară – câteva aplicații ale numerelor cu bară.

Numărul 19 este apropiat de 20.

Deci, poate fi scris într-un mod convenabil sub o altă formă, astfel: 21

21 înseamnă 20 – 1, semnul minus este plasat deasupra cifrei 1.

Similar, 31 înseamnă 30 – 1 sau 29.

Iar 4 2 este 38.

E ca și cum ați spune că mai sunt ”zece minute până la șapte” decât 6:50.

Citim 4 2 , "patru, bară doi" pentru că 2 are o bară deasupra.

Aplicația A Convertiți următoarele numere:

a 61 b 8 2 c 3 3 d 5 7 e 46 2

f 9991 g 1 2 h 111 i 12 3 j 3 4 0

a 59 b 78 c 27 d 43 e 458

f 9989 g 8 h 109 i 117 j 260

1 Bar Numbers (în limba engleză)

LECȚIA 9

NUMERELE CU BARĂ1

9.1 ELIMAREA NUMERELOR CU BARĂ

1


86

7 3 1 = 7 3 /1 = 671,

52 4 2 = 52 4 /2 = 5162,

3 2 15 = 3 2 /15 = 2815 pentru că: 3 2 = 28,

5 51/32132 = 4928 pentru că: 51 = 49 și 3 2 = 28,

3 31/32/3313233 = 292827.

Cum ați elimina bara din numărul 51 3?

Cea mai bună metodă este de a împărți numărul în două părți, adică: 51 /3.

Cum 51 = 49, răspunsul va fi 493.

Orice cifră a unui număr poate avea o bră deasupra.

Aplicația B Eliminați cifrele cu bară:

a 61 4 b 4 2 3 c 5 2 5 d 31 7

e 45 2 3 f 333 2 3 g 51 32 h 6 372

i 21 1 j 41 3 1 k 1 1153 l 1 3 1

a 594 b 383 c 485 d 297

e 4483 f 33283 g 4932 h 5867

i 191 j 4071 k 7149 l 71

Acum vom vedea ce se întâmplă cu numerele care conțin mai multe cifre cu bară.

Dacă un număr conține o cifră cu bară, separarea se face imediat

după acea cifră cu bară.

2

3

9: NUMERELE CU BARĂ 87

Eliminați cifrele cu bară din numărul 5 33 .

5 reprezintă 500, iar 33 este numărul 33 ce trebuie scăzut.

Deci, 5 33 înseamnă 500 – 33, și am întâlnit astfel de operații în Lecția 5.

500 – 33 = 467 pentru că 33 se scade din sute, așadar 5 este redus la 4.

Aplicând Toate din 9 și ultimul din 10 numărului 33 obținem 67.

Similar: 714 = 686 7 este redus la 6, iar Sutra îl convertește pe 14 la 86,

26 21 = 2579 26 este redus la 25,

7 02 = 698 Sutra îl convertește 02 la 98,

50 3 = 497 50 este redus la 49 (altfel, îl scriem pe 50 3 ca 5 03 : a se vedea

exemplul precedent),

4 20 = 4 2 0 = 380.

4 23 1 = 3771.

Aici, putem despărți numărul după bară: 4 23 /1.

4 23 se transformă în 377, și adăugăm 1 la sfârșit: 4 231 = 3771.

Similar: 512 4 = 512 /4 = 4884,

311 33 = 311 /33 = 28933,

5123 = 4877,

3 31/ 4311431 = 29369.

TOATE DIN 9 ȘI ULTIMUL DIN 10

Până acum am avut numere ce aveau câte o singură cifră sub bară, dar putem avea două sau

mai multe cifre sub bară.

Aplicația C Scrieți numerele sub forma lor fără bară:

a 612 b 7 33 c 511 d 9 04 e 72 41 f 333 22

g 6 214 h 5 3122 i 33 22 44 j 7 333 k 5104 l 44112

4

5

6

7


88

4 4 4

2 8 6 –

Scăzând fiecare coloană obținem: 4–2 = 2, 4–8 = –4, 4–6 = –2.

Cum aceste numere negative pot fi scrise cu bară deasupra, putem scrie:

4 4 4

2 8 6 –

2 4 2 iar 2 42 poate fi ușor convertit în 158.

Similar: 6 7 6 7

1 9 0 8 –

5 2 6 1 = 4859

m 74 031 n 71031 o 6 3322 p 31102 q 3 1411 r 3 2122

a 588 b 667 c 489 d 896 e 7159 f 33278

g 5794 h 46922 i 327844 j 6667 k 4896 l 43888

m 73969 n 68971 o 56678 p 29098 q 28939 r 28078

AVANTAJELE NUMERELOR CU BARĂ

Numerele cu bară sunt un mecanism ingenios ce-l vom folosi mai târziu. Principalele avantaje

sunt:

1. Ne dau flexibilitate: folosim vinculum2 ori de câte ori avem nevoie.

2. Numerele mari, precum 6, 7, 8, 9 pot fi evitate.

3. Cifrele tind să se anuleze unele pe celelalte, sau pot fi făcute să anuleze.

4. Cifrele 0 și 1 apar de două ori mai frecvent decât în mod obișnuit.

Aceste numere cu bară ne oferă o alternativă cu privire la scăderea numerelor.

Uneori, elevii scad, coloana după coloană, fără a ține cont că dacă scăderea este posibilă sau

nu. Această metodă ne poate furniza răspunsul corect.

2 Vinculum – este termenul folosit pentru linia orizontală folosită în notația matematică.

9.2 SCĂDEREA

8

9


79 = 81 pentru că 79 este cu 1 mai mic decât 80,

239 = 241 pentru că 39 = 41 ,

7689 = 7691 pentru că 89 = 91 .

508 = 51 2 08 devine 1 2

Aplicația D Efectuați următoarele scăderi folosind numerele cu bară:

a 5 4 3 b 5 6 7 c 8 0 4 d 7 3 7 e 6 4 1 3

1 6 8 – 2 7 9 – 3 8 8 – 5 5 8 – 1 8 7 8 –

f 8 0 2 4 g 6 5 4 3 h 7 1 0 3 i 4 5 4 5 j 3 2 0 4

5 3 3 9 – 2 8 8 1 – 3 9 9 1 – 1 7 9 1 – 2 0 8 1 –

______

a 375 b 288 c 416 d 179 e 4535

f 2685 g 3662 h 3112 i 2754 j 1123

Va fi nevoie să transformăm numerele naturale în numere cu bară.

Aplicația E Scrieți următoarele numere ca numere cu bară:

a 49 b 58 c 77 d 88

e 69 f 36 g 17 h 359

i 848 j 7719 k 328 l 33339

m 609 n 708

a 51 b 62 c 83 d 92

e 71 f 44 g 23 h 361

i 852 j 7721 k 332 l 33341

m 611 n 712

9.3 CREAREA NUMERELOR CU BARĂ

10


90

Eliminați cifrele mari din numărul 287.

Aici, cifrele 8 și 7 sunt considerate a fi ”mari” (spunem că 6, 7, 8, 9 sunt cifre mari).

Deci, scriem 287 ca 313 , cifra 2, de la început, este mărită la 3, iar Sutra Toate din 9

și Ultimul din 10 îi este aplicată numărului 87 pentru a obține 13.

Suntem de acord că 287 este cu 13 mai mic decât 300, adică 313 .

Similar: 479 = 521 ,

3888 = 4112 ,

292 = 31 2,

4884 = 512 4,

77 = 123 (ne putem gândi la 77 ca la 077),

ș.a.m.d.

Unul din avantajele numrelor cu bară este acela că putem elimina numerele mari dintr-un

număr. De exemplu, 19 scris ca 21 înseamnă că nu vom mai avea de a face cu cifra 9.

Aplicația F Eliminați cifrele mari:

a 38 b 388 c 298 d 378

e 3991 f 3822 g 4944 h 390

i 299 j 98 k 87 l 888

m 996 n 2939 o 1849 p 7

a 42 b 412 c 302 d 422

e 4011 f 4222 g 5144 h 410

i 301 or 301 j 102 k 113 l 1112

m 1004 n 3141 o 2251 or 2151 p 13

11

12

“Și, în cazuri atât de importante și fascinante, operațiile ce necesită numere

precum 30, 50, 100 sau rezolvarea lor cuprinde etape mai multe și mai greoaie ( în

conformitate cu metodele vestice), pot fi rezolvate într-un singur și simplu pas cu

ajutorul metodelor Vedice! Iar copii mici (de numai 10-12 ani) doar privesc

operațiile scrise pe tablă și, imediat, dau răspunsul corect asistenței (sau publicului

larg ce a venit să asiste la demonstrație). Și acest lucru se întâmplă deoarece

fiecare cifră furnizează predecesorul și succesorul ei! Iar copii doar desfășoară

(sau înfășoară) cifrele unele după altele (înainte și înapoi) grație calculului mintal

(fără a avea nevoie de stilou sau creion, hârtie sau tăbliță !”

Din “Matematica Vedică”, Pagina xvii.


29 + 48 = 77.

Scriindu-l 29 ca 31 , sau pe 48 ca 52 : 29 31

52 + 48 +

77 77

623 – 188 = 435. 623

212 –

435

5032 + 7489 – 2883 = 10438 = 9638. Doar adunam primele cifre ale primului și

celui de al doilea număr și scădem prima cifră

a celui de al treilea număr. În mod similar,

procedăm și cu celelalte cifre.

29 × 3 = 31 × 3 = 93 = 87.

87 ÷ 3 = 93 ÷ 3 = 31 = 29.

41 ÷ 7 = 6 rest 1 .

În final, vom vedea câteva exemple de utilizare a numerelor cu bară.

Vom vedea calcule mult mai complexe folosind numerele cu bară în Manualele 2 și 3.

9.4 UTILIZAREA NUMERELOR CU BARĂ

13

14

15

16

17

18

Găsiți 52 × 11.

Pentru a înmulți un număr de două cifre precum 52 cu 11, se scriu cifrele numărului

ce trebuie înmulțit, iar între ele se scrie suma celor două cifre, adică: 572.

Deci: 52 × 11 = 572, între 5 și 2 scriem 7, adică 5+2.

REZUMAT

10.1 Înmulțirea cu 11

10.2 Cu inul mai mult decât cel precedent – un tip special de înmulțire.

10.3 Înmulțirea cu mai multe cifre de nouă

10.4 Primul cu primul și ultimul cu ultimul – un tip special de înmulțire.

10.5 Folosirea valorii medii – a unor numere pentru a afla produsul lor.

10.6 Numere speciale – punerea în evidență a unor numere speciale în operațiile de

înmulțire.

Atunci când avem o metodă mult mai ușoară de efectuare a unei operații, diferită de metoda

generală, o numim metodă specială. De exemplu, atunci când trebuie să înmulțim un număr

cu 10 nu folosim ”metoda lungă”. Sistemul Vedic prevede mai multe metode speciale ce aduc

mai multă placere în efectuarea de calcule: metoda generală exista, dar este mai bine să

folosim o metodă mai rapidă.

Metodele speciale încurajează matematica mentală. Tuturor le plac ”scurtăturile”, fie că este o

cale mai scurtă de a ajunge dintr-un loc în altul, fie că trebuie să efectuam un calcul particular.

Viața este plină de metode speciale: a înfrunta situații similare cu aceleași metode nu este o

cale abordată de toata lumea. Fiecare calcul matematic folosește o metodă unică de a găsi

soluția și trebuie să încurajăm copii în a căuta proprietăți speciale în fiecare problemă pentru a

o înțelege mai bine și pentru a decide ce trebuie făcut în continuare. Aceasta este calea cea

mai inteligentă de a face matematică.

Tabla înmulțirii cu 11 poate fi ușor reținută, la fel de ușor putem înmulți și numere mai mari

cu 11.

Dacă dorim să aflăm rezultatul calculului: 52×11 înseamnă că dorim 11 de 52 ori.

Înseamnă că dorim 10 de 52 și încă unul, cu alte cuvinte 520 + 52:

5 2 0

5 2 +

5 7 2 de notat cum cifrele 2 și 5

sunt adunate pe coloana din mijloc.

LECȚIA 10

ÎNMULȚIREA SPECIALĂ

10.1 ÎNMULȚIREA CU 11

1

10: ÎNMULȚIREA SPECIALĂ

93

Este 473 divizibil cu 11?

Putem observa că cifra din mijloc este suma celorlalte două:

4 + 3 = 7.

Așadar, numărul este divizibil cu 11.

Aplicația A Înmulțiți următoarele numere cu 11:

a 23 × 11 b 61 × 11 c 44 × 11 d 50 × 11

a 253 b 671 c 484 d 550

În aceeași manieră putem spune dacă un număr este sau nu divizibil cu 11.

Din exemplul de mai sus putem afla și de câte ori 11 se cuprinde în 473.

Trebuie să fie 43 pentru că 43 × 11 = 473.

Este suficient să ne uitam la cifrele 4 și 3.

Aplicația B Completați tabelul de mai jos.

Număr Bifați dacă este divizibil De câte ori se cuprinde

242

594

187

791

693

Răspunsuri: 22, 54, 17, -, 63

2

“Comparând timpul necesar pe care studenții îl petrec

învățând întregul curs de Matematică Vedică aplicat în

toate ramurile matematicii, putem spune că sunt

necesare 8 luni (sau 12 luni) de studiu, cu o medie de 2-

3 ore pe zi de practică, pentru a termina acest curs, pe

când 15 sau 20 de ani sunt necesari pentru a studia

sistemul deja existent în India sau în universitățile

străine .”



94

Găsiți 58 × 11.

Adunând 5 cu 8 obținem 13, deci, 1 devine surplus și trebuie adăugat cifrei din

stânga:

58 × 11 = 5138 = 638.

Găsiți 47 × 11.

Adunând 4 cu 7 obținem 11, din nou, 1 trebuie adăugat cifrei din stânga:

47 × 11 = 4117 = 517.

Găsiți 234 × 11.

Pentru a înmulți un număr de trei cifre cu 11 scriem prima și ultima cifră a

numărului 234 ca fiind prima, respectiv ultima cifră a răspunsului:

2 3 4

2 ? ? 4

SURPLUS

Revenind la înmulțirea cu 11, câteodată avem de a face cu un surplus, ca în exemplul de mai

jos.

Aplicația C Efectuați:

a 68 × 11 b 79 × 11 c 47 × 11

d 86 × 11 e 55 × 11 f 93 × 11

a 748 b 869 c 517

d 946 e 605 f 1023

NUMERE MARI

Această metodă poate fi extinsă și la numere mai mari.

3

4

5


95

Pentru cea de a doua cifră a răspunsului adunam primele două cifre ale numărului

234, și pentru cea de a treia cifră adunam ultimile două cifre ale numărului 234:

2 3 4

2 5 7 4

Deci, 234 × 11 = 2574.

Găsiți 777 × 11.

Folosind metoda de mai sus obținem: 714147 = 8547. Pur și simplu adăgăm surplusul

cifrei dinainte.

Aplicația D Înmulțiți următoarele numere cu 11:

a 423 × 11 b 636 × 11 c 534 × 11

d 516 × 11 e 706 × 11 f 260 × 11

g 444 × 11 h 135 × 11 i 531 × 11

a 4653 b 6996 c 5874

d 5676 e 7766 f 2860

g 4884 h 1485 i 5841

Atunci când adunam primele două cifre sau ultimile două putem avea de a face cu un surplus.

Practice E Înmulțiți următoarele numere cu 11:

a 384 × 11 b 629 × 11 c 888 × 11

d 555 × 11 e 393 × 11 f 939 × 11

a 4224 b 6919 c 9768

d 6105 e 4323 f 10329

Această metodă poate fi extinsă pentru numere de orice mărime, iar înmulțirea poate fi

efectuată și cu numere precum 111, 1111 etc.

Această metodă este utilă în problemele legate de procente: dacă trebuie să mărim un număr

cu 10%, îl înmulțim cu 1.1, similar putem face și cu celelalte procente (vedeți Manualul 2 sau

Calculatorul Cosmic, Cartea 2).

6


96

Presupunând că dorim să aflăm rezultatul calculului 43 × 47 în care prima cifră a

celor două numere este 4 și adunând ultimile cifre ale acestora (3 și 7) obținem 10.

Îl înmulțim pe 4 cu un număr Cu unul mai mult: 4 × 5 = 20.

Apoi, înmulțim ultimile două cife: 3 × 7 = 21.

Așadar: 43 × 47 = 2021 pentru că 20 = 4×5, 21 = 3×7.

Similar: 62 × 68 = 4216 pentru că 42 = 6×7, 16 = 2×8.

Găsiți 204 × 206.

Aici, ambele numere încep cu 20, iar 4 + 6 = 10; deci, metoda poate fi aplicată.

204 × 206 = 42024 (420 = 20×21, 24 = 4×6).

93 × 39 pare că nu se încadrează în nicio metodă de înmulțire,

Dar, amintindu-ne formula Proporțional observăm că: 93 = 3×31,

iar 31 × 39 corespunde metodei exemplificate aici:

31 × 39 = 1209 (scriem 09 pentru că, în acest caz, trebuie să dublăm cifrele)

Deci, 93 × 39 = 3627 (înmulțim 1209 cu 3)

Acest tip special de înmulțire se aplică acelor numere ale căror primă cifră este identica și

adunând ultimile cifre obținem 10, 100 etc.

De exemplu, 52 × 58, ambele numere încep cu cifra 5, iar 2 + 8 = 10.

Aplicația F Efectuați:

a 73 × 77 b 58 × 52 c 81 × 89 d 104 × 106

e 42 × 48 f 34 × 36 g 93 × 97 h 27 × 23

i 297 × 293 j 303 × 307

a 5621 b 3016 c 7209 d 11024

e 2016 f 1224 g 9021 h 621

i 87021 j 93021

10.2 CU UNUL MAI MULT DECÂT CEL PRECEDENT

7

8

9

10


97

Într-un final, considerăm: 397 × 303.

Numai cifra 3 de la începutul fiecărui număr este identică, dar, restul cifrelor (97 și

03) adunate ne dau 100.

Încă o data metoda poate fi aplicată, numai că, de data aceasta, trebuie să ne

așteptăm la patru cifre în partea dreaptă:

397 × 303 = 120291, unde 12 = 3×4, 0291 = 97×3.

763 × 999 = 762/237.

Un numărul înmulțit cu un alt număr ce conține mai multe cifre de 9 este redus cu 1,

în cazul nostru: 763–1 = 762. Rezultatul este prima parte a răspunsului.

Apoi, formula Toate din 9 și ultimul din 10 este aplicată numărului 763 pentru a

obține 237, adică, cea de a doua parte a răspunsului.

1867 × 99999 = 1866/98133.

Aici, cum numărul 1867 este format din 4 cifre, iar 99999 conține 5 cifre,

presupunem că 1867 este 01867.

Acesta este redus cu 1 și obținem 1866 pentru prima parte a răspunsului.

Aplicăm Toate din 9. . . numărului 01867 și obținem 98133 pentru cea de a doua

parte a răspunsului.

Faptul ce trebuie remarcat la acest exemplu este că numărul 39 are nevoie de 31 pentru a

putea aplica metoda în acest caz: remarcam că 93 este 3×31.


a 64 × 38 b 88 × 46 c 33 × 74 d 66 × 28

e 36 × 78 f 46 × 54 g 298 × 202 h 391 × 309

i 795 × 705 j 401 × 499

a 2432 b 4048 c 2442 d 1848

e 2808 f 2484 g 60196 h 120819

i 560475 j 200099

Formula Vedică Cu unul mai puțin decât cel precedent, adică inversa formulei Cu unul mai

mult decât cel precedent, vine aici în combinație cu formula Toate din 9 și ultimul din 10.

10.3 ÎNMULȚIREA CU MAI MULTE CIFRE DE NOUĂ

11

12

13


98

27 × 87 = 23/49.

Condițiile sunt satisfăcute pentru că: 2 + 8 = 10

și ambele numere se termină în 7.

Deci, înmulțim primele cifre între ele, la care adăugăm ultima cifră: 2 × 8 = 16,

16 + 7 = 23, obținând astfel prima parte a răspunsului.

Înmulțim ultimile cifre între ele: 7×7 = 49 pentru a obține cea de a doua parte a

răspunsului.

69 × 49 = 3381.

Unde, 33 = 6×4 + 9, și 81 = 9×9.

Aplicația H Efectuați:

a 89 × 99 b 82 × 99 c 19 × 99 d 45 × 99

e 778 × 999 f 7654 × 9999 g 79 × 999 h 124 × 9999

i 8989 × 99999 j 47 × 99999

a 8811 b 8118 c 1881 d 4455

e 777222 f 76532346 g 78921 h 1239876

i 898891011 j 4699953

Produse precum 43 × 47 sunt ușor de efectuat pentru că primele cifre sunt identice, iar

ultimile adunate ne dau 10.

Similar, produse precum 27 × 87 sunt ușor de efectuat pentru că ultimile cifre sunt identice

și adunând primele cifre obținem 10.

Toate aceste provin din formula Vedică Primul cu primul și ultimul cu ultimul.

Aplicația I Efectuați folosind metoda de mai sus:

a 38 × 78 b 26 × 86 c 91 × 11 d 59 × 59

10.4 PRIMUL CU PRIMUL ȘI ULTIMUL CU ULTIMUL

14

15


99

Așadar, 26 × 34 = 302 – 4

2 = 900 – 16 = 884.

Și 58 × 62 = 602 – 2

2 = 3600 – 4 = 3596.

Similar: 94 × 106 = 1002 – 6

2 = 10,000 – 36 = 9964.

Iar, 37 × 33 = 352 – 2

2 = 1225 – 4 = 1221. Vedeți Secțiunea 12.1 pentru ridicarea la

pătrat a numerelor ce se termină în cifra 5.

Presupunând că dorim să aflăm: 29 × 31.

Pentru că media aritmetică a numerelor 29 și 31 este 30, ne putem gândi la 29 × 31

ca fiind 30 × 30, sau ceva apropiat de acesta.

De fapt, 29 × 31 = 899

Iar acest rezultat este cu 1 mai mic decât 900.

Acum considerăm: 28 × 32. Din nou, 30 este valoarea medie. 28 × 32 = 896, iar

acest rezultat este cu 4 mai mic decât 900.

Pentru 27 × 33 a căror medie aritmetică este 30: 27 × 33 = 891, cu 9 sub 900.

e 63 × 43 f 24 × 84 g 88 × 28 h 29 × 89

i 97 × 17 j 64 × 44

Următoarele înmulțiri pot fi efectuate folosind și formul Proportional:

k 31 × 42 l 46 × 83 m 93 × 71 n 88 × 32

a 2964 b 2236 c 1001 d 3481

e 2709 f 2016 g 2464 h 2581

i 1649 j 2816

k 1302 l 3818 m 6603 n 2816

Aici, vom învăța o metodă de înmulțire a două numere folosind media lor.

În acest caz, folosim formula Specific și General.

De fapt, această regulă este:

Se ridică la pătrat media aritmetică din care se scade pătratul diferenței

fiecărui număr din media aritmetică.

10.5 FOLOSIREA VALORII MEDII

17

16

19

18


100

Această metodă se aplică oricărui produs de două numere. Chiar dacă media aritmetică nu

este un număr atractiv, această metodă este mult mai bună pentru înmulțirea numerelor. De

exemplu, pentru 67 × 69, este mai ușor să aflăm 682 – 1 decât să înmulțim 67 cu 69.

Aplicația J Efectuați:

a 49 × 51 b 27 × 33 c 57 × 63 d 64 × 66

e 85 × 65 f 55 × 95 g 33 × 47 h 91 × 99

i 44 × 48 j 43 × 47 k 74 × 86 l 98 × 102

m 62 × 38 n 48 × 72 o 73 × 93 p 196 × 204

a 2499 b 891 c 3591 d 4224

e 5525 f 5225 g 1551 h 9009

i 2112 j 2021 k 6364 l 9996

m 2356 n 3456 o 6789 p 39984

DEMONSTRAȚIE

O explicație geometrică pentru 27 × 33 este ilustrată mai jos.

Dreptunghiul hașurat este de 27 pe 33, iar aria sa este: 27 ×33.

Pătratul suprapus este de 30 pe 30.

De aici, deducem că 302 este mai mare decât dreptunghiul cerut cu 3

2 unități, pentru că

dreptunghiul de deasupra este de 30 × 3, iar dreptunghiul din dreapta este de 27 × 3, la o

diferență de 3 ×3.

Iata o explicație algebrică:

(a + b)(a – b) = a2 – b

2, unde a este media și b este diferența fiecărui număr din medie.

Așadar, (a + b) este un număr mai mare și (a – b) este numărul mai mic.

30 3

27

3


101

23 × 101 = 2323.

Pentru a înmulți 23 cu 101 avem nevoie de 23 sute și 23 unități, adică 2323.

Similar: 69 × 101 = 6969.

Și 473 × 1001 = 473473.

Aici, avem un număr format din trei cifre înmulțit cu 1001 ceea ce face ca numărul

de trei cifre să se repete.

47 × 1001 = 47047.

Aici, pentru că dorim să înmulțim cu 1001, ne gândim la 47 ca fiind 047.

Deic, vom obține 047047, sau doar 47047.

123 × 101 = 123123 = 12423.

Aici, avem: 12300 + 123, astfel, cifra 1 trebuie adăugata cifrei din stânga ei.

28 × 10101 = 282828.

NUMERE CARE SE REPETĂ

Câteva înmulțiri sunt, de-a dreptul, simple:

Aplicația K Efectuați:

a 46 × 101 b 246 × 1001 c 321 × 1001

d 439 × 1001 e 3456 × 10001 f 53 × 10101

Efectul pe care îl produce înmulțirea oricărui număr de două cifre cu 101 este

repetarea acestui număr.

10.6 NUMERE SPECIALE

20

24

23

22

21


102

43 × 201 = 8643.

Aici, ne vom folosi de formula Proporțional: pentru că dorim să înmulțim cu 201

atunci scriem dublul lui 43 (adică 86) apoi 43.

31 × 10203 = 316293 avem: 31×1, 31×2, 31×3.

g 74 × 1001 h 73 × 101 i 29 × 1010101

j 277 × 101 k 521 × 101 l 616 × 101

a 4646 b 246246 c 321321

d 439439 e 34563456 f 535353

g 74074 h 7373 i 29292929

j 27977 k 52621 l 62216

Acest tip de înmulțire este dat de formula Prin simpla observare.

Înmulțirile cu 101 etc. sunt utile în aflarea procentelor atunci când trebuie să înmulțim cu 1.01

pentru a crește cu 1% (a se vedea Manualul 2 sau Calculatorul Cosmic, Cartea 2)

PROPORȚIONAL


a 54 × 201 b 32 × 102 c 333 × 1003 d 41 × 10201 e 33 × 30201

f 17 × 20102 g 13 × 105 h 234 × 2001 i 234 × 1003 j 43 × 203 a 10854 b 3264 c 333999 d 418241 e 996633

f 341734 g 1365 h 468234 i 234702 j 8729

DISIMULĂRI

Este posibil ca un calcul să se încadreze în tipul de mai sus, dar acest lucru să nu fie evident.

Dacă cunoaștem factorii acestor numere speciale (precum 1001, 203 etc.), putem efectua

anumite operații foarte ușor.

Presupunând că știm că: 3 × 67 = 201.

25

26


103

93 × 67 = 6231.

Cum 3 × 67 = 201,

deci 93 × 67 = 31 × (3 × 67)

= 31 × 201

= 6231.

24 × 37 = 888.

Știm că: 3 × 37 = 111, un număr ușor de înmulțit.

Deci, 24 × 37 = 8 × (3 × 37)

= 8 × 111

= 888.

38 × 63 = 2394.

Cum: 38 × 63 = 2 × 19 × 3 × 21 = 6 × (19 × 21) = 6 × 401 = 2406 = 2394.

Cu alte cuvinte, recunoaștem că unul dintre acele numere speciale (201, în acest caz) este

conținut în acest calcul (ca 3 × 67).

Acum, presupunând că știm că: 3 × 37 = 111.

De asemenea, 19×21 = 399 = 401 .

Dacă cunoaștem câțiva facori ai acestor numere speciale, ne putem folosi de ei ori de câte ori

apar într-un calcul, iar ei apar deseori.

Mai jos, avem o listă cu câteva dintre aceste numere, împreună cu factorii lor:

67 × 3 = 201 17 × 6 = 102 11 × 9 = 101

43 × 7 = 301 13 × 8 = 104 19 × 21 = 401

7 × 11 × 13 = 1001 29 × 7 = 203 23 × 13 = 301

3 × 37 = 111 31 × 13 = 403 27 × 37 = 1001

27

28

29


104

62 × 39 = 2418.

Observăm că: 31 × 13 este conținut în acest calcul: 62 × 39 = 2×31 × 3×13

= 2×3 × 31×13

= 6 × 403

= 2418.

Aplicația M Folosiți numerele speciale pentru a găsi:

a 29 × 28 b 35 × 43 c 67 × 93 d 86 × 63

e 77 × 43 f 26 × 77 g 34 × 72 h 57 × 21

i 58 × 63 j 26 × 23 k 134 × 36 l 56 × 29

m 93 × 65 n 54 × 74 o 39 × 64 p 51 × 42

a 812 b 1505 c 6231 d 5418

e 3311 f 2002 g 2448 h 1197

i 3654 j 598 k 4824 l 1624

m 6045 n 3996 o 2496 p 2142

30

“Acestea, precum și multe alte caracteristici interesante

ce se găsesc în sistemul zecimal Vedic, transformă

matematica pentru copii, văzută de cele mai multe ori

extrem de dificilă, într-una amuzantă și plăcută așa cum

ar trebui să fie întotdeauna.”


Găsiți 74 × 8.

Înmulțim fiecare cifră a numărului 74 cu 8, începând din partea stângă:

7 × 8 = 56 și 4 × 8 = 32.

Surplusul 3 din 32 îl adăugăm cifrei 6 din 56: 23,65 = 592.

Deci: 74 × 8 = 592.

Găsiți 827 × 3.

Cele trei produse sunt: 24, 6, 21.

Cele două produse se unesc astfel: 24,6 = 246, așadar nu avem niciun surplus pentru

că 6 este format dintr-o singură cifră, apoi combinând 246 cu 21obținem:

12,624 = 2481. Deci, 827 × 3 = 2481.

REZUMAT

11.1 Recapitulare

11.2 Numere de două cifre – înmulțirea a două numere de două cifre într-o singură linie, de

la stânga la dreapta.

11.3 Înmulțirea Mobilă – înmulțirea numerelor mari cu un număr de două cifre.

11.4 Extindere – înmulțirea numerelor de trei cifre.

11.5 Înmulțirea binoamelor – folosind aceeași metodă.

11.6 Înmulțirea numerelor de 3 cifre – extinderea metodei precedente.

11.7 Calcule scrise – de la stânga la dreapta.

Am văzut diverse metode de înmulțire, dar toate acestea au fost pentru cazuri speciale, atunci

când anumite condiții erau satisfăcute, de exemplu, ambele numere să fie aproape de 100.

Acum vom enunța o metodă generală prin care oricare două numere de două cifre pot fi

înmulține între ele într-o singură line, prin simplul calcul mintal.

Pentru început, să ne reamintim înmulțirea cu un număr format dintr-o singură cifră (vezi

Secțiunea 4.2).

Pentru începutul acestei lecții veți fi nevoiți să începeți mai degrabă cu calcule scrise decât

mintale: în acest caz mergeți la Secțuinea 11.7, dar veți avea nevoie de metodele descrise în

Secțiunile 11.2, 11.3, 11.6.

LECȚIA 11

ÎNMULȚIREA GENERALĂ

11.1 RECAPITULARE

1

2


106

Găsiți 21 × 23.

Gândiți-vă la cele două numere ca fiind așezate unul sub celălalt: 2 1

2 3 ×

4 8 3

Avem 3 pași de parcurs, după cum urmează: 2 1

A. Înmulțim pe vericală cifrele de pe prima

coloană: 2 × 2 = 4, 2 3 ×

așadar, 4 este prima cifră a răspunsului. 4

B. Înmulțim pe diagonal și adunăm: 2 1

2 × 3 = 6, ×

1 × 2 = 2, 6 + 2 = 8, 2 3 ×

astfel, 8 este cifra din mijloc a răspunsului. 4 8

C. Înmulțim pe vertical cifrele din dreapta: 2 1

1 × 3 = 3,

3 este ultima cifră a răspunsului. 2 3 ×

4 8 3

Găsiți 77 × 4.

Produsele sunt: 28, 28.

Iar, 82,82 = 308 (28 este marit cu 2 la 30). Deci, 77 × 4 = 308.

Aplicația A Efectuați, în gând, următoarele înmulțiri:

a 73 × 3 b 63 × 7 c 424 × 4 d 777 × 3

e 654 × 3 f 717 × 8 g 876 × 7

a 219 b 441 c 1 696 d 2 331

e 1 962 f 5 736 g 6 132

Formula Vertical și în diagonală ne oferă o cale de înmulțire a numerelor.

Pentru numerele de două cifre această formulă se aplică după cum urmează:

3

11.2 NUMERE DE DOUĂ CIFRE

4

11: ÎNMULȚIREA GENERALĂ

107

Găsiți 23 × 41.

2 3

4 1 ×

9 4 3

Cei 3 pași ne dau: 2 × 4 = 8,

2 × 1 + 3 × 4 = 14,

3 × 1 = 3.

Numărul 14 este format din două cifre; construind răspunsul în minte, va fi nevoie să

avem grijă de acest surplus în maniera deja știută:

Acum, pașii sunt: 8

41,8 = 94 (1 este un surplus ce trebuie adăugat în stânga)

94,3 = 943

Deci, 23 × 41 = 943.

Găsiți 14 × 21.

1 4

2 1 ×

2 9 4

A: vertical în partea stângă: 1 × 2 = 2,

B: pe diagonală: 1 × 1 = 1, 4 × 2 = 8 și 1 + 8 = 9,

C: vertical în partea dreaptă: 4 × 1 = 4.

Această metodă este ușoară, directă și rezultatul poate fi generat doar simpla aritmetică

mintală. Acum trebuie să exersăm metoda Vertical și în diagonală:

Aplicația B Efectuați, în gând:

a 2 2 b 2 1 c 2 1 d 2 2 e 6 1 f 3 2 g 3 1 h 1 3

3 1× 3 1 × 2 2 × 1 3 × 3 1 × 2 1 × 3 1 × 1 3 ×

a 682 b 651 c 462 d 286

e 1 891 f 672 g 961 h 169

SURPLUS

În exemplul precedent nu am avut parte de surplusuri. Să vedem ce se întâmplă atunci când

avem surplusuri.

5

6


108

Găsiți 23 × 34.

2 3

3 4 ×

7 8 2 Pașii sunt: 6

71,6 = 77

21,77 = 782

Găsiți 33 × 44.

3 3

4 4 ×

1 4 5 2 Pașii sunt: 12

42,21 = 144

21,414 = 1452

Acum, putem înmulți oricare două numere de două cifre într-o singură linie.

Aplicația C Efectuați următoarele înmulțiri, în gând:

a 2 1 b 2 3 c 2 4 d 2 2 e 2 2 f 3 1

4 7 4 3 2 9 2 8 5 3 3 6

g 2 2 h 3 1 i 4 4 j 3 3 k 3 3 l 3 4

5 6 7 2 5 3 8 4 6 9 4 2

m 3 3 n 2 2 o 3 4 p 5 1 q 3 5 r 5 5

3 4 5 2 6 6 5 4 6 7 5 9

s 5 4 t 5 5 u 4 4 v 4 5 w 4 8 x 3 4

6 4 6 3 8 1 8 1 7 2 1 9

a 987 b 989 c 696 d 616 e 1 166 f 1 116

g 1 232 h 2 232 i 2 332 j 2 772 k 2 277 l 1 428

m 1 122 n 1 144 o 2 244 p 2 754 q 2 345 r 3 245

s 3 456 t 3 465 u 3 564 v 3 645 w 3 456 x 646

E posibil, ca în acest exercițiu, să vi se fi părut mai ușor să începeți cu înmulțirea pe

diagonală, iar apoi, să completați partea din stânga și partea din dreapta.

8

7


109

EXPLICAȚIE

Maniera de funcționare a acestei metode este ușor de înțeles.

Produsul pe verticală din partea dreaptă a unităților ne oferă

cifra unităților din răspunsul final. Operația pe diagonală ne

oferă cifra zecilor. Iar produsul pe verticală din partea stângă

ne oferă cifra sutelor.

Acestă metodă, mai generală, este foarte ușor de înțeles. Poate fi aplicată atât de la stânga la

dreapta, cât și de la dreapta la stânga (vedeți Secțiunea 11.7) și poate fi aplicată și expresiilor

algebrice (vedeți Secțiunea 11.5), și mai poate fi și inversată pentru a ne oferi o metodă

simplă de împărțire (a se vedea Secțiunea 16.4).

EXPLICAȚIA UNEI METODE SPECIALE PRECEDENTE

Acum putem explica metoda specială de înmulțire ce se datorează formulei Cu unul mai mult

decât cel precedent din Secțiunea 10.2, pentru înmulțirea numerelor precum 72, × 78 în care

primele cifre sunt identice, iar celelalte adunate ne dau 10.

Folosind Sutra pentru 72 × 78, obținem:

Observăm că pentru produsul pe diagonală avem 8 cifre de 7 și încă două cifre de 7, adică 10

cifre de 7, sau 70. Zeroul de aici, ne asigură că numărul de două cifre obținut din produsul 2 ×

8 = 16 este plasat pe ultimile două poziții ale răspunsului, iar acest lucru se va întâmpla

întotdeauna atâta timp cât condițiile sunt îndeplinite. Cifra 7 din 70 înseamnă că avem încă un

7 în produsul din partea stângă: deci, avem 8 cifre de 7 în total.

Cum metoda de ridicare la pătrat a numerelor ce au ultima cifră 5 este un caz particular al

acestei metode și aceasta poate fi explicată în mod similar (a se vedea Secțiunea 12.1).

Atunci când înmulțim un număr mare cu un alt număr format dintr-o singură cifră, ca de

exemplu 4321 × 2; înmulțim fiecare cifră a numărului mare cu numărul de o singură cifră. Ne

putem gândi că 2 se mută, în linie, înmulțind pe verticală fiecare cifră a numărul ce trebuie

înmulțit.

sute zeci unități

11.3 ÎNMULȚIREA MOBILĂ

7 2

7 8

7 15 6 1 6


110

Găsiți 4321 × 32.

4 3 2 1 Similar, îl plasăm pe 32 în extrema stângă.

3 2 Apoi, vertical la stânga: 4 × 3 = 12.

Apoi, pe diagonală: 4×2 +3×3 = 17.

4 3 2 1 Îl mutăm pe 32 și înmulțim pe diagonală:

3 2 3×2 + 2×3 = 12.

4 3 2 1 Îl mutăm pe 32 încă o dată:

3 2 înmulțim pe diagonală, 2×2 + 1×3 = 7.

În final, produsul pe verticală, în partea dreaptă, este: 1×2 = 2.

Aceste 5 răspunsuri (îngroșate), 12,17,12,7,2 sunt combinate, în gând, imediat ce

sunt obținute, în maniera deja obișnuită:

71,21 = 137

21,713 = 1382

1382,7,2 = 138272

Găsiți 31013 × 21.

Aici, 21 își va schimba poziția:

3 1 0 1 3 3 1 0 1 3 3 1 0 1 3 3 1 0 1 3

2 1 2 1 2 1 2 1

Cei 6 pași sunt: 6, 5, 1, 2, 7, 3

Așadar, răspunsul final este: 651273.

Deci, înmulțim pe diagonală în fiecare poziție, iar vertical numai la începutul și sfârșitul

rândului.

Aplicația D Efectuați următoarele înmulțiri folosind metoda de înmulțire mobilă:

a 3 2 1 b 3 2 1 c 4 2 1 d 3 2 1

2 1 2 3 2 2 4 1

e 1 2 1 2 f 1 3 3 1 g 1 3 1 3 h 1 1 2 2 1

2 1 2 2 3 1 2 2

_______

a 6 741 b 7 383 c 9 262 d 13 161

e 25 452 f 29 282 g 40 703 h 246 862

9

10


111

Găsiți 123 × 132.

1 2 3 Formula Vertical și în diagonală poate fi

1 3 2 × extinsă pentru acest caz, dar, de fapt

1 6 2 3 6 tehnica vertical/diagonal/vertical precedentă

poate fi folosită și aici.

Putem despărți numerele astfel: 12/3 și 13/2, tratând numerele 12 și 13 ca și cum ar

fi numere formate dintr-o singură cifră:

12 3 Vertical 12 × 13 = 156,

13 2 pe diagonală 12 × 2 + 3 × 13 = 63,

162 3 6 vertical 3 × 2 = 6.

Combinându-le în minte, obținem: 156

36,615 = 1623

1623,6 = 16236.

304 × 412 = 125248.

În acest caz, putem despărți numerele după prima cifră: 3/04 × 4/12.

3 04 Când despărțim în această manieră

4 12 în răspuns vom obține câte două cifre deodata.

12 52 48

Cei 3 pași ai metodei sunt: 3×4 = 12,

3×12 + 4×4 = 52,

4×12 = 48.

Aceste sunt cele trei perechi de numere ce apar în răspunsul final.

Aplicația E Efectuați după modelul precedent:

a 1 1 2 b 1 2 3 c 1 2 3

2 0 3 1 3 1 1 2 2

d 1 1 2 e 4 2 1

1 2 3 2 2

a 22 736 b 16 113 c 15 006

d 13 776 e 9 262

11.4 EXTINDERE

12

11


112

Înmulțiți: (x + 3)(x + 4).

Trebuie să înmulțim x+3 cu x+4.

Asta înseamnă că x și 3 din x+3 trebuie înmulțite cu x și 4 din x+4.

Cea mai bună cale de a efectua acest calcul este de a aplica formula Vertical și în

diagonală.

Se așează binoamele unele sub altele: x + 3

Înmulțim vertical la stângă: x×x = x2. x + 4

Pe diagonală și adunăm: 4×x + 3×x = 7x. x2 + 7x + 12

Și vertical în partea dreaptă: 3×4 = 12.

Aplicația F Efectuați folosind perechi de numere:

a 2 1 1 b 3 0 7 c 2 0 3 d 2 1 1

3 0 4 4 0 7 4 3 2 3 1 1

____

e 5 0 4 f 5 0 1 g 7 1 2 h 7 0 3

5 0 4 5 0 1 1 1 2 2 1 1

____

a 64 144 b 124 949 c 87 696 d 65 621

e 254 016 f 251 001 g 79 744 h 148 333

În sistemul Vedic nu avem o metodă pentru înmulțirea numerelor și alta pentru înmulțirea

expresiilor algebrice. Metoda Vertical și în diagonală este folosită în ambele cazuri.

Procedeul este același ca și în cazul înmulțirii a două numere formate din două cifre.

Înmulțirea poate fi efectuată atât de la stanga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.


a (x + 5)(x + 6) b (x + 2)(x + 9) c (x + 10)(x + 1) d (x + 20)(x + 20)

e (x + 1)(x + 1) f (x + 22)(x + 28) g (y + 52)(y + 4) h (x + 4)2

a x²+11x+30 b x²+11x+18 c x²+11x+10 d x²+40x+400

e x²+2x+1 f x²+50x+616 g y²+56y+208 h x²+8x+16

11.5 ÎNMULȚIREA BINOAMELOR

13


113

Efectuați (2x + 5)(3x + 2).

2x + 5 Vertical la stânga: 2x×3x = 6x2.

3x + 2 În diagonală: 4x+15x = 19x.

6x2 + 19x + 10 Vertical la dreapta: 5×2 = 10.

Efectuați (x + 3y)(5x + 7y).

x + 3y La stânga: x×5x = 5x2.

5x + 7y Diagonal: 7xy + 15xy = 22xy.

5x2 + 22xy + 21y

2 La dreapta: 3y×7y = 21y

2.

Efectuați (2x – 3)(3x + 4).

Similar: 2x – 3

2x × 3x = 6x2. 3x + 4

Diagonal: 8x – 9x = –1x sau –x. 6x2 – x – 12

Și: –3×4 = –12.

Calculați (x – 3)(x – 6).

Vertical: x × x = x². x – 3

Diagonal: –6x –3x = –9x. x – 6

Vertical: –3 × –6 = +18. x² – 9x + 18


a (2x + 5)(x + 4) b (x + 8)(3x + 11) c (2x + 1)(2x + 20) d (2x + 3)(3x + 7)

e (4x + 3)(x + 6) f (3x + 17)(3x + 4) g (6x + 1)(5x + 1) h (2x + 5)(4x + 5)

i (3x + 3)(4x + 5) j (2x + 3y)(2x + 5y) k (5x + 2y)(2x + 5y) l (4x + 3y)(7x + y)

a 2x²+13x+20 b 3x²+35x+88 c 4x²+42x+20 d 6x²+23x+21

e 4x²+27x+18 f 9x²+63x+68 g 30x²+11x+1 h 8x²+30x+25

i 12x²+27x+15 j 4x²+16xy+15y² k 10x²+29xy+10y² l 28x²+25xy+3y²

Spre deosebire de sistemul actual, folosim aceeași metodă atât pentru înmulțirea aritmetică cât

și pentru cea algebrică .

În continuare, vom folosi această metodă pentru binoame ce conțin și numere negative.

14

15

16

17


114

Găsiți 504 × 321.

5 0 4

3 2 1

1 6 1 7 8 4

Metoda extinsă pentru înmulțirea numerelor de trei cifre este următoarea:

5 0 4

|

A Vertical la stânga: 5×3 = 15. 3 2 1

1 5

B Pe diagonal la stânga, 5 0 4

5×2 + 0×3 = 10. ×

Combinăm numerele 15 și 10 ca mai înainte: 3 2 1

01,51 = 160. 1 6 0

C apoi luăm cele trei produse și le adunăm,

5×1 + 0×2 + 4×3 = 17. Și 71,016 = 1617. 5 0 4

(de fapt, formăm sutele prin înmulțirea sutelor 3 2 1

cu unitățile, zecile cu zecile și unitățile cu sutele) 1 6 1 7

Aplicația I Efectuați:

a (x + 3)(x – 5) b (x + 7)(x – 2) c (x – 4)(x + 5) d (x – 5)(x – 4)

e (x – 3)(x – 3) f (2x – 3)(x + 4) g (2x – 3)(3x + 6) h (3x – 1)(x + 7)

a x²–2x–15 b x²+5x–14 c x²+x–20 d x²–9x+20

e x²–6x+9 f 2x²+5x–12 g 6x²+3x–18 h 3x²+20x–7

VERIFICAREA FOLOSIND SUMA CIFRELOR

Verificarea prin suma cifrelor există și în forma algebrică.

Dacă, de exemplu, dorim să verificăm Examplul 14 de mai sus: (2x + 5)(3x + 2) = 6x2 + 19x

+ 10, verificăm dacă suma coeficienților binoamelor din partea stângă este egală cu suma

coeficienților polinomului din partea dreapta.

Adică: (2 + 5)(3 + 2) = 6 + 19 + 10.

Cum, în ambele părți obținem 35 atunci răspunsul se confirmă.

11.6 ÎNMULȚIREA NUMERELOR DE TREI CIFRE

18


115

Găsiți 321 × 321.

3 2 1

3 2 1 × Cele 5 rezultate sunt: 9,12,10,4,1.

103041 Pașii mintali sunt: 9

21,9 = 102

01,210 = 1030

1030,4,1 = 103041

Găsiți 123 × 45.

Această înmulțire poate fi efectuată aplicând metoda de înmulțire mobilă sau

aplicând metoda Vertical și în diagonlă, tratând numărul 12 din 123 ca fiind un

număr format dintr-o singură cifră.

Altfel, scriem 045 în loc de 45 și folosim metoda Vertical și în diagonlă extinsă:

1 2 3

0 4 5 Pentru cei 5 pași, avem: 0,4,13,22,15.

5535 Mintal: 4; 53; 552; 5535.

D Apoi, pe diagonală la dreapta: 5 0 4

×

0×1 + 4×2 = 8: 1617,8 = 16178. 3 2 1

1 6 1 7 8

E În final, vertical la dreapta, 5 0 4

4×1 = 4: 16178, 4 = 161784. |

3 2 1

1 6 1 7 8 4

Remarcați simetria în cei 5 pași:

Întâi avem 1 un produs, apoi 2, apoi 3, apoi 2, apoi 1.

Putem rezuma aceste etape astfel:

A B C D E

Câteodată, avem de ales atunci când dorim să efectuăm o înmulțire.

19

20

“Urmărim un process de urcare și coborâre (pornind cu cifrele de pe prima linie

și coborând la cifrele de pe linia de jos)”



116

Găsiți 42 × 31.

Operația este așezată ca de obicei:

A. Înmulțim vertical la dreapta: 2×1 = 2,

și scriem acest răspuns în partea dreaptă. 4 2

3 1

B. Apoi, adunăm produsele pe diagonală: 4+6 = 10. 1 3 0 2

îl scriem pe 0 și-l ținem minte pe 1. 1

C. În final, înmulțim pe vericală la stânga: 4×3 = 12,

12 + surplusul 1 este egal cu 13, și scriem.

Aplicația J Efectuați (nu avem surplusuri în produsele de pe prima linie):

a 1 2 1 b 1 3 1 c 1 2 1 d 3 1 3

1 3 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1

e 2 1 2 f 1 2 3 g 2 1 2 h 2 2 2

3 1 3 3 2 1 4 1 4 3 3 3

i 2 4 6 j 1 0 5 k 1 0 6 l 5 1 5

3 3 3 5 0 7 2 2 2 5 5 5

m 4 4 4 n 3 2 1 o 1 2 3 p 1 2 4

7 7 7 3 2 1 2 7 1 3 5 6

a 15 851 b 27 772 c 26 862 d 37 873

e 66 356 f 39 483 g 87 768 h 73 926

i 81 918 j 53 235 k 23 532 l 285 825

m 344 988 n 103 041 o 33 333 p 44 144

Ne poate fi foarte util să ne putem scrie înmulțirile.

În sistemul vedic putem face acest lucru fie de la stânga la dreapta, fie de la dreapta la stânga.

Aici folosim metoda de la dreapta la stânga, dar formula rămâne aceeași: Vertical și în

diagonlă.

11.7 CALCULE SCRISE

21


117

Găsiți 86 × 23.

A. Aceeași metodă ca mai sus: vertical la dreapta, 6×3 = 18,

scriem 8, cu 1 surplus.

B. Diagonal, 24 + 12 = 36, 36 + surplusul 1 = 37, 8 6

scriem7, păstrăm 3. 2 3

C. Vertical la stânga, 8×2 = 16, 16 + surplusul 3 = 19, 1 9 7 8

scriem 19. 3

1

Găsiți 4321 × 24.

Aici putem folosi metoda înmulțirii mobile.

A. Mai întâi, vertical la dreapta, 1×4 = 4, și scriem.

B. Diagonal, 8+2 = 10, scriem 0, păstrăm 1.

C. Apoi înmulțim în diagonală 32 cu 24, 4 3 2 1

obținem 12+4 = 16, 16 + surplusul 1 obținem 17, 2 4

scriem 7 și păstrăm 1. 1 0 3 7 0 4

D. Înmulțim pe diagonală 43 cu 24, 2 1 1

rezultând 16+6 = 22, 22 + surplusul 1 este egal cu 23,

scriem 3 și păstrăm 2.

E. Vertical la stânga, 4×2 = 8, 8 + surplusul 2 obținem 10,

scriem 10.

Găsiți 234 × 234.

2 3 4

2 3 4

5 4 7 5 6

1 2 2 1

Efectuăm toate operațiile ca în Secțiunea 11.6, dar începem din partea stângă:

4×4 = 16, scriem 6 și păstrăm 1 pentru partea stângă.

3×4 + 4×3 = 24, 24 + surplusul 1 = 25, scriem 5 și păstrăm 2.

Ș.a.m.d.

Aplicația K Efectuați următoarele înmulțiri de la dreapta la stânga:

a 31 × 41 b 23 × 22 c 61 × 42

d 52 × 53 e 54 × 45 f 78 × 33

g 17 × 71 h 88 × 88 i 231 × 32

j 416 × 41 k 182 × 23 l 473 × 37

m 5432 × 32 n 6014 × 24 o 3333 × 22

p 444 × 333 q 543 × 345 r 707 × 333

22

23

24


118

a 1 271 b 506 c 2 562

d 2756 e 2 430 f 2 574

g 1 207 h 7 744 i 7 392

j 17 056 k 4 186 l 17 501

m 173 824 n 144 336 o 73 326

p 147852 q 187335 r 235431

DEFINIREA ÎNMULȚIRILOR

În Exemplul 24, fiecare din cei 5 pași are un centru de simetrie.

Cele cinci puncte din figura alăturată ne indică cei cinci centri de

deplasare de la stânga la dreapta sau de la dreapta la stânga prin

operație.

În calculul prezentat aici, fiecare cifră a rezultatului este așezată sub punctul corespunzător

acelui pas.

Alte poziționări ale operațiilor sau ale rezultatelor sunt posibile și poate că acestea sunt mai la

îndemână decât cea ilustrată aici.

2 3 4

2 3 4 ×

5 4 7 5 6

. . . . .

“Văzând cum o astfel de treabă este realizată de

copii mici, doctori, profesori și alte ”somități” ale

matematicii suntem luați prin surprindere și

exclamăm : ”Este matematică sau

magie?”Invariabil, răspundem: ”Este amândouă.

Este magie până când o înțelegi și este

matematică după”; iar apoi demonstram

corectitudinea afirmației noastre !”


În cazul lui 752: îl înmulțim pe 7 (numărul dinaintea lui 5) cu următorul număr, adică

8. Obșimen 56 pentru prima parte a răspunsului, iar pentru cea de a doua parte îl

ridicăm pe 5 la pătrat, adică vom avea 25 (52).

Deci, 752 = 56/25, unde 56=7×8, 25=5

2.

Similar 652 = 4225 42=6×7, 25=5

2.

Și, 252 = 625, unde 6=2×3.

Cum 4½= 4.5, aceeași metodă se aplică și numerelor terminate în ½.

Deci, 4½2 = 20¼, unde 20 = 4×5 și ¼ = ½

2.

Această metodă poate fi aplicată numerelor de orice marime:

3052 = 93025, unde 930 = 30×31.

REZUMAT 12.1 Pătratul unui număr ce se termină în 5

12.2 Pătratul unui număr apropiat de 50

12.3 Metoda generală de ridicare la pătrat – de la stânga la dreapta.

12.4 Despărțirea numerelor – pentru simplificarea ridicării unui număr

la pătrat.

12.5 Pătrate algebrice

12.6 Suma cifrelor unui pătrat – properties of square numbers.

12.7 Rădăcinile pătrate ale numerelor pătrate perfecte – unde răspundul este un număr de

2 cifre.

12.8 Numere de 3-4 cifre – ridicarea la pătrat a numerelor mari.

Ridicarea la pătrat este înmulțirea unui număr cu el însuși:

Deci, 75 × 75 este numit "75 la pătrat" și este scris 752.

Formula Cu unul mai mult decât cel precedent ne oferă o cale simplă de a ridica la pătrat a

numerelor ce se termină în cifra 5.

LECȚIA 12

RIDICAREA LA PĂTRAT

12.1 PĂTRATUL UNUI NUMĂR CE SE TERMINĂ ÎN 5

5

1

2

4

3

5


120

53² = 2809.

Răspunsul este obținut în două părți: 28 and 09.

28 este rezultatul adunării dintre ultima cifră, 3, și 25.

Iar 09 este 32.

Similar: 52² = 2704 (2 = 2 + 25, 04 = 22).

Chiar și pentru numere mari precum 635, este mai ușor să îl înmulțim pe 63 cu 64 și să scriem

25 la sfârșit decât să-l înmulțim pe 635 cu 635.

Demonstrația algebrică: (ax + 5)2 = a(a + 1)x

2 + 25, unde x = 10. A se vedea și Secțiunea

11.2.

Aplicația A Ridicați la pătrat următoarele numere:

a 55 b 15 c 8½ d 95

e 105 f 195 g 155 h 245

i 35 j 20½ k 8005 l 350

Ce număr, ridicat la pătrat, ne dă:

m 2025 n 30¼ o 902500

a 3025 b 225 c 72¼ d 9025

e 11025 f 38025 g 24025 h 60025

i 1225 j 420¼ k 64080025 l 122500

m 45 n 5½ o 950

Iată o metodă specială de ridicare la pătrat.

Demonstrația algebrică: (50 + a)2 = 100(25 + a) + a

2.

6

12.2 PĂTRATUL UNUI NUMĂR APROPIAT DE 50

7

12: RIDICAREA LA PĂTRAT

121

47² = 2209.

Similar, pentru numere mai mici decât 50, considerăm diferența dintre 50 și 47 (aici,

3), calculam 25 – 3 = 22 ce este prima parte a răspunsului, și adăugăm pătratul

deficienței, adică 9, cea de a doua parte a răspunsului.

Aplicația B Efectuați:

a 54² b 56² c 57² d 58² e 61²

f 62² g 51²

a 2916 b 3136 c 3249 d 3364 e 3721

f 3844 g 2601

În demonstrația de mai sus, ‘a’ este negativ atunci când numărul ce trebuie ridicat la pătrat

este inferior și apropiat de 50.

Aplicația C Ridicați la pătrat, prin această metodă, următoarele numere:

a 46 b 44 c 42 d 39 e 43

f 49 g 41 h 37

a 2116 b 1936 c 1764 d 1521 e 1849

f 2401 g 1681 h 1369

Formula Vertical și în diagonlă ne simplifică foarte mult munca atunci când numerele sunt

identice și ne oferă o metodă ușoară de ridicare la pătrat a numerelor.

DUPLEX-ul

Vom folosi termenul Duplex, D, după cum urmează:

Pentru o cifră, D este pătratul ei; Exemplu: D(4) = 42

= 16;

Pentru două cifre, D este dublul produsului lor; Exemplu: D(43) = 2×4×3 = 24.

12.3 METODA GENERALĂ

8


122

432 = 1849.

Lucrând de la stânga la dreapta, pentru numărul 43 avem trei Duplex-e: D(4), D(43)

și D(3).

D(4) = 16, D(43) = 24, D(3) = 9,

Combinând aceste rezultate în mod obișnuit, vom avea: 16

16,24 = 184

184,9 = 1849.

642 = 4096.

D(6) = 36, D(64) = 48, D(4) = 16,

Mintal obținem: 36

84,63 = 408

61,840 = 4096.

Aplicația D Găsiți Duplex-ul următoarelor numere:

a 5 b 23 c 55 d 2

e 14 f 77 g 26 h 90

a 25 b 12 c 50 d 4

e 8 f 98 g 24 h 0

Demonstrația algebrică: (10a + b)2 = 100(a

2) + 10(2ab) + b

2. Această metodă poate fi

explicată prin înmulțirea unui număr cu el însuși prin metoda generală.

Aplicația E Ridicați la pătrat numerele:

a 31 b 14 c 41 d 26

e 23 f 32 g 21 h 66

i 81 j 91 k 56 l 63

m 77 n 33

Pătratul oricărui număr este totalul Duplex-elor lui,

combinate în așa fel încât înmulțirea să o efectuăm în minte.

9

10


123

1232 = 15129.

Ne putem gândi la 123 ca la 12/3, ca și cum ar fi un număr de două cifre:

D(12) = 122 = 144,

D(12/3) = 2 × 12 × 3 = 72,

D(3) = 32 = 9.

Combinându-le, obținem: 27,414 = 1512, și 1512,9 = 15129.

3122 = 97344.

Aici, putem despărți numărul astfel: 3/12, dar va trebui să lucrăm cu perechi de

numere:

D(3) = 9, D(3/12) = 72, D(12) = 144.

Combinându-le, obținem:

9,72 = 972, putem scrie ambele cifre ale numărului 72 după 9,

441,297 = 97344.

a 961 b 196 c 1681 d 676

e 529 f 1024 g 441 h 4356

i 6561 j 8281 k 3136 l 3969

m 5929 n 1089

Duplex-ele și pătratele numerelor mari sunt discutate în Secțiunea 12.8

Probabil că vă amintiți cum separam un număr în două părți pentru a înmulți numere de câte

două cifre (revedeți Secțiunea 11.4). Această metodă se aplică și ridicării la pătrat.

Aplicația F Ridicați la pătrat următoarele numere, grupând numerele:

a 121 b 104 c 203 d 113

e 116 f 108 g 111

a 14 641 b 10 816 c 41 209 d 12 769 e 13 456 f 11 664 g 12321

În acest caz, putem folosi și cealaltă metodă de despărțire a numerelor (revedeți Secțiunea

11.4).

12.4 SEPARAREA NUMERELOR

11

12


124

Găsiți (x + 5)2.

La fel ca la pătratele numerelor: aflăm Duplex-ele pentru x, x+5 și 5.

D(x) = x2, D(x+5) = 2×x×5 = 10x, D(5) = 5

2 = 25.

Deci, (x + 5)2 = x

2 + 10x + 25.

Găsiți (2x + 3)2.

Iată cele trei Duplexe: D(2x) = 4x2, D(2x+3) = 2×2x×3 = 12x, D(3) = 9.

Așadar, (2x + 3)2 = 4x

2 + 12x + 9.

Găsiți (x – 3y)2.

Similar: D(x) = x2, D(x–3y) = 2×x×–3y = –6xy, D(–3y) = 9y

2.

Astfel, (x – 3y)2 = x

2 – 6xy + 9y

2.

Aplicația G Ridicați la pătrat, grupând ultimile două cifre:

a 211 b 412 c 304 d 902

e 407 f 222 g 711

a 44 521 b 169 744 c 92 416 d 813 604

e 165 649 f 49 284 g 505 521

Exact aceeași metodă folosită pentru pătratele numerelor o vom folosi și pentru pătratele

expresiilor algebrice.

Aplicația H Ridicați la pătrat expresiile:

a (3x + 4) b (5y + 2) c (2x – 1) d (x + 7)

e (x – 5) f (x + 2y) g (3x + 5y) h (2a + b)

i (2x – 3y) j (x + y) k (x – y) l (x – 8y)

12.5 PĂTRATELE EXPRESIILOR ALGEBRICE

13

14

15


125

a 9x²+24x+16 b 25y²+20y+4 c 4x²–4x+1 d x²+14x+49

e x²–10x+25 f x²+4xy+4y² g 9x²+30xy+25y² h 4a²+4ab+b²

i 4x²–12xy+9y² j x²+2xy+y² k x²–2xy+y² l x²–16xy+64y²

Investigarea pătratelor numerelor ne poate conduce la rezultate mai interesante și mai

folositoare, precum următoarele.

Asta înseamnă că pătratele numerelor nu pot avea orice suma a cifrelor și nu se pot termina în

orice cifră.

În exercițiul următor, câteva numere nu sunt numere pătrate potrivit afirmației de mai sus.

Aplicația I Ce numere nu sunt pătrate (conform afirmației de mai sus)?

a 4539 b 5776 c 6889 d 5271

e 104976 f 65436 g 27478 h 75379

a, d, f, g

Chiar dacă un număr se încadrează în cerințele de mai sus, nu înseamnă că el este și pătrat

perfect. Ultimul număr al exercițiului, 75379, nu este un număr pătrat chiar dacă suma cifrelor

sale este 4 și ultima cifră este 9.

Pătratele numerelor pot avea suma cifrelor doar 1, 4, 7, 9

și se pot termina doar în 1, 4, 5, 6, 9, 0.

12.6 SUMA CIFRELOR UNUI PĂTRAT

Găsiți 6889 .

Remarcați cele două grupuri de cifre, 68’89, deci, ne aștepăm la un număr de două

cifre.

În continuare, vom folosi: Primul cu primul și ultimul cu ultimul. Uitându-ne la

numărul 68, observăm că 68 este mai mare decât 64 (8²) și mai mic decât 81 (9²),

așadar, prima cifră a răspunsului este 8.

Sau, uitându-ne altfel: 6889 este între 6400 și 8100

6400 = 802

6889 = 8?2

8100 = 902

Astfel, 6889 trebuie să fie între 80 și 90. I.e. trebuie să fie 80 și ceva.

Acum, să ne uităm la ultima cifră a numărului 6889, adică 9.

Orice număr terminat în 3 se va termina în 9 atunci când este ridicat la pătrat, așadar

numărul de care avem nevoie este 83.

Dar orice număr terminat în 7 se va termina și în 9 atunci când este ridicat la pătrat,

așadar, numărul căutat poate fi 87.

Răspunsul este 83 sau 87?

Avem două căi ușoare ce ne ajută să ne decidem. Una este să folosim suma

numerelor.

Dacă: 872 = 6889, atunci suma cifrelor numărului 87 este 6, iar 6

2 = 39 9. Deci, 87

nu este numărul căutat pentru că suma cifrelor numărului 6889 este 4.

Dar, 832 = 6889 devine 2

2 4, așadar, răspunsul correct este 83.

Cealaltă metodă ne spune că: cum 852 = 7225 și 6889 este sub 6889 deci, trebuie

să fie sub 85, adică 83.

Pentru a găsi rădăcina pătrată a unui număr de 4 cifre, mai

întâi, trebuie să găsim prima cifră uitându-ne la primele

două cifre ale acestui număr și, apoi, pentru cea de a doua

cifră vom găsi două răspunsuri posibile.

Ne vom decide apoi, care din cele două răspunsuri este cel

corect, fie luând în considerare suma cifrelor, fir

considerând pătratul mediei celor două numere.

12.7 RĂDĂCINILE PĂTRATE ALE NUMERELOR

PĂTRATE PERFECTE

16


127

Găsiți 5776 .

Numărul 57, de la început, este între 49 și 64, deci, prima cifră trebuie să fie 7.

Cifra 6, de la sfârșit, ne spune că rădăcina pătrată se termină în 4 sau 6.

Așadar, răspunsul poate fi 74 sau 76.

742 = 5776 devine 2

2 7 în suma cifrelor, iar 74 nu este răspunsul căutat.

762 = 5776 devine 4

2 7, adevărat, iar 76 este răspunsul.

Altfel, alegem numărul de mijloc dintre 74 și 76; observăm că 752 = 5625, iar 5776

este mai mare decât acesta, deci, numărul căutat trebuie să fie mai mare decât 75.

Răspunsul este 76.

Exercițiul următor trebuie efectuat în minte, scrieți doar răspunsurile.

Aplicația J Găsiți rădăcinile pătrate:

a 2116 b 5329 c 1444 d 6724

e 3481 f 4489 g 8836 h 361

i 784 j 3721 k 2209 l 4225

m 9604 n 5929

a 46 b 73 c 38 d 82

e 59 f 67 g 94 h 19

i 28 j 61 k 47 l 65

m 98 n 77

După cum ați observat, rădăcinile pătrate ale numerelor ce se termină în 5 sunt tot 5, așadar,

avem o singură posibilitate pentru ultima cifră a răspunsului.

17


128

3412 = 116281.

Aici, avem un număr de 3 cifre:

D(3) = 9, D(34) = 24, D(341) = 22, D(41) = 8, D(1) = 1.

Mintal: 9,24

= 114

114,22

= 1162

1162,8,1 = 116281.

Aceasta este continuarea Secțiunii 12.3.

După cum am arătat mai devreme, duplex-ul unui număr de o cifră este pătratul acestuia:

pentru 4, D(4) = 42 = 16.

Iar duplex-ul unui număr de două cifre este dublul produsului numerelor: pentru 35, D(35) =

2×3×5 = 30.

De asemenea, putem găsi duplex-ul unui număr de 3 sau mai multe cifre.

Pentru 3 cifre, D este de două ori produsul cifrelor plasate la extremități + pătratul cifrei

din mijloc: pentru 137, D(137) = 2×1×7 + 32 = 23;

Pentru 4 cifre, D este de două ori produsul cifrelor din extremități + de două ori produsul

numerelor din mijloc: pentru 1034, D(1034) = 2×1×4 + 2×0×3 = 8;

D(10345) = 2×1×5 + 2×0×4 + 32 = 19;

ș.a.m.d.

Aplicația K Găsiți duplex-ul fiecărui număr:

a 3 b 34 c 47 d 1 e 88

f 234 g 282 h 111 i 304 j 270

k 1234 l 3032 m 7130 n 20121 o 32104

a 9 b 24 c 56 d 1 e 128

f 25 g 72 h 3 i 24 j 49

k 20 l 12 m 6 n 5 o 25

La fel ca la numerele de două cifre, pătratul oricărui număr este format totalul duplex-elor lui

12.8 NUMERE DE 3 SAU 4 CIFRE

18


129

43322 = 18766224.

D(4) = 16, D(43) = 24, D(433) = 33, D(4332) = 34,

D(332) = 21, D(32) = 12, D(2) = 4.

Mintal: 16,24

= 184

184,33

= 1873

1873,34

= 18764

18764,21

= 187661

187661,12

= 1876622

1876622,4 = 18766224.

Aplicația L Ridicați la pătrat următoarele numere:

a 212 b 131 c 204 d 513

e 263 f 264 g 313 h 217

i 3103 j 2132 k 1414 l 4144

a 44 944 b 17 161 c 41 616 d 263 169

e 69 169 f 69 696 g 97 969 h 47 089

i 9 628 609 j 4 545 424 k 1 999 396 l 17 172 736

19

“tot ceea ce este în concordanță cu un raționament valid

trebuie acceptat, fie că vine de la un băiețel sau chiar de

la un papagal; și tot ceea ce este inconsistent ar trebui

respins, deși provine de la un om în vârstă sau chiar de

la marela saga Shree Shuka în persoană”.

Citat din “Matematica Vedică”, Pagina 1d.

REZUMAT

13.1 Ecuații într-un pas

13.2 Ecuații în doi pași – soluții mintale, de un singur rând.

13.3 Ecuații în trei pași

Ecuații precum: x + 39 = 70, x – 7 = 8, 3x = 15 și x

73 se rezolvă foarte ușor folosind

formula: Transpune și aplică.

Transpune înseamnă "inversează" și, în rezolvarea de ecuații, Transpune și aplică înseamnă:

Aplicația A Rezolvați următoarele ecuații și verificați-vă răspunsurile:

a x + 3 = 10 b x – 3 = 10 c 20 + x = 100 d x – 19 = 44

e x + 88 = 100 f x – 3½ = 4½ g x + 123 = 1000 h x + 1.3 = 5

i 5x = 35 j 2x = 26 k 3x = 960 l 2x = 76

m 40x = 120 n 2½x = 10 o x

7 = 7 p

x

4 = 5

a 7 b 13 c 80 d 63

e 12 f 8 g 877 h 3.7

i 7 j 13 k 320 l 38

m 3 n 4 o 49 p 20

Aceasta este o chestiune de calcul mintal și poate fi învățată ca atare.

LECȚIA 13

ECUAȚII

Când un număr este adunat termenului x: scade-l, în partea cealaltă

când un număr este scăzut: adună-l,

când termenul x este înmulțit: împarte,

când termenul x este împărțit: înmulțește.

13.1 ECUAȚII ÎNTR-UN PAS

}

13: ECUAȚII

131

Rezolvați 2x + 3 = 13.

Luăm 3 din ambele părți ale ecuației și obținem: 2x = 10.

Apoi, vedem că x = 5 este răspunsul.

Verificare: 2×5 + 3 = 13.

În acest caz, am aplicat formula Transpune și aplică de două ori:

Prima data: +3 indică faptul că trebuie să scădem 3 din 13 (pentru a obține 10),

apoi 2x indică faptul că trebuie să-l împărțim pe 10 la 2.

Rezolvați 5x – 4 = 36.

Folosind Sutra trebuie să îl adunăm pe 4 la 36 pentru a obține 40,

apoi 40÷5 = 8, deci x = 8.

Verificare: 5×8 – 4 = 36.

Rezolvați x

7 + 3 = 5.

Aici, luăm 3 din 5 și obținem 2,

apoi îl înmulțim pe 2 cu 7 și x = 14.

Rezolvați 2x

3= 4.

Îl înmulțim pe 3 cu 4 și obținem 12,

apoi 12÷2=6, deci x = 6.

Câteodată, formula Transpune și aplică trebuie aplicată de mai multe ori, ca în exemplele de

mai jos.

Putem scrie pașii de rezolvare după cum urmează: 5x – 4 = 36

5x = 40

x = 8 dar elevii ar trebuie să poată scrie direct soluția.

13.2 ECUAȚII ÎN DOI PAȘI

1

2

3

4


132

Rezolvați 3x

5+ 4 = 10.

Mai întâi: 10 – 4 = 6, apoi 6×5 = 30, apoi 30÷3 = 10; astfel: x = 10.

Rezolvați 3x + 2

4= 8.

Mai întâi: 8×4 = 32, apoi 32–2 = 30, apoi 30÷3 = 10; astfel: x = 10.

Rezolvați x 3

4= 5.

Pentru că toată partea stângă este împărțită la 4, începem prin a-l înmulți pe 5 cu 4,

apoi îl adunăm pe 3 rezultatului, obținând astfel: x = 23.

Aplicația B Rezolvați, în minte, următoarele ecuații. Verificați-vă răspunsurile.

a 3x + 7 = 19 b 2x + 11 = 21 c 4x – 5 = 7 d 3x – 8 = 10

e x

3 + 4 = 6 f

x

2 – 8 = 2 g

2x

3 = 8 h

x 4

7

= 5

i x 21

10

= 1 j 2x + 1 = 3.8

a 4 b 5 c 3 d 6

e 6 f 20 g 12 h 31

i 31 j 1.4

Uneori avem nevoie de trei pași pentru a rezolva o ecuație. Este doar o chestiune de aritmetică

mentală.

5

13.3 ECUAȚII ÎN TREI PAȘI

6

7

13: ECUAȚII

133

Rezolvați 2(3x + 4) = 38.

Prin paranteza de aici înțelegem că expresia 3x + 4 este înmulțită cu numărul din

exteriorul ei, adică 2.

Așadar, începem prin a-l împărți pe 38 la 2.

În primul rând, 38 ÷ 2 = 19, apoi 19 – 4 = 15, apoi 15 ÷ 3 = 5, iar x = 5.

Altfel, în acest caz, putem înmulți expresia din paranteza cu 2:

Dacă 2(3x + 4) = 38 atunci 6x + 8 = 38

Astfel, 38 – 8 = 30 și 30 ÷ 6 = 5.

Aplicația C Rezolvați, în gând, următoarele ecuații:

a 2x

3+ 4 = 8 b

3x

5– 4 = 5 c

7x

2– 10 = 11 d

3x

8+17 = 20

e 2x 1

3

= 4 f

2x 3

5

= 3 g

5x 2

3

= 9 h

6x 1

7

= 5

i 3(5x – 2) = 54 j 8(x + 3) = 64 k 3(7x – 3) = 33 l 2( 4x + 3) = 102

a 6 b 15 c 6 d 8

e 5.5 f 9 g 5 h 6

i 4 j 5 k 2 l 12

8

“Principiul ce se ascunde în spatele acestora este Paravartya

Yojayet adică: ‘Transpune și ajustează’. Cu toate acestea,

aplicațiile sunt numeroase și foarte utile.”


Calculați 2

3+

1

7

Adunăm produsele în diagonală pentru a obține numărătorul:

2×7 + 1×3 = 17,

apoi, înmulțim numitorii pentru a obține numitorul adunării :

3×7 = 21.

Așadar, 2

3+

1

7=

17

21

Calculați 74

5+ 2

1

3.

74

5+ 2

1

3= 9

17

15= 10

2

15. Aici, adunăm parțile întregi și fracțiile separat: pentru întregi

avem 7+2 = 9 și pentru fracții: numărătorul este 4×3 + 1×5 = 17, iar numitorul 5×3 =

15.

REZUMAT

14.1 Vertical și în diagonală – adunarea și scăderea fracțiilor.

14.2 O simplificare

14.3 Compararea fracțiilor

14.4 Unificarea operațiilor: +, –, ×, ÷ sunt simplu legate de fracții.

Operațiile de adunare și scădere a fracțiilor sunt, de obicei, dificile pentru că metoda de calcul

este complicată și foarte greu de reținut. Dar, formula Vertical și în diagonală ne oferă un

răspuns imediat.

Aceasta funcționează pentru că, pentru a aduna două fracții, trebuie să le aducem la același

numitor și pentru aceasta trebuie să înmulțim partea de sus și partea de jos a fracției 2

3 cu 7

(pentru a obține numitorul 21) și partea de sus și partea de jos a fracției 1

7 cu 3 (pentru a

obține același numitor, adică 21). Fiecare numărator este înmulțit cu numitorul celeilalte

fracții și asta am și făcut.

LECȚIA 14

FRACȚII

2 1

3 7

2 1

3 7

1

14.1 VERTICAL ȘI ÎN DIAGONALĂ

2

14: FRACȚII

135

Calculați a 6

7–

1

4 b 5

4

5– 1

3

4 c 4

1

3– 1

2

5.

a Pentru scădere folosim aceeași metodă, numai că în loc să adunăm termenii, îi

vom scadea.

Se începe din stânga sus.

6

7–

1

4=

6 4 - 1 7

7 4

=

17

28

b 54

5– 1

3

4= 4

4 4 - 3 5

5 4

= 4

1

20 Similar, dar mai întâi, ne ocupăm de întregi.

c 41

3– 1

2

5= 3

1 5 - 2 3

3 5

= 3

1

15= 2

14

15 aici avem un numărător negativ, dar putem

lua 1

15 dintr-un întreg pentru a obține rezultatul final.

Altfel, pentru a evita valoarea negativă, putem introduce întregii în fracție și,

apoi, efectua scăderea. Asta înseamnă să lucrăm cu numere mari.

Pentru scădere folosim aceeași metodă.

Aplicația A Efectuați următoarele operații, fie sub forma unei fracții unice, fie sub

formă de parte întreagă și parte fracționară:

a 2

5+

1

4 b

3

8+

2

5 c

1

2+

2

5 d 1

1

3+ 2

1

4

e 33

4+2

1

3 f

3

5–

2

7 g

8

9–

1

2 h

3

4–

1

20

i 53

5– 2

1

2 j 10

2

3– 1

4

5 k

5

12+

7

18

a 13

20 b 31

40 c 9

10 d 3 7

12

e 6 112

f 1135

g 718

h 710

i 3 110

j 8 1315

k 2936

Demonstrația algebrică: a

b+

c

d =

ad + cb

bd.

Acceași metodă poate fi aplicată atât fracțiilor algebrice cât și celor numerice.

3


136

Numărătorii fracțiilor 5

12+

7

18 nu sunt numere prime: 6 este factorul lor comun.

Împărțim numitorii celor două fracții la acest număr și scriem rezultatul jos, astfel:

(2)

5

12 + (3)

7

18 = 5 3 7 2

12 3

=

29

36

Deci, scriem 2 și 3 sub 12, respectiv 18.

Atunci când înmulțim în diagonală: în loc de 12 și 18, vom folosi 2, respectiv 3.

Pentru numitor înmulțim în diagonal fie 12×3, fie 18×2, pentru că ambele ne dau 36.

# De notat că, deseori, fracțiile sunt scrise sub formă orizontală: de exemplu, fracția 23

este

scrisă 2/3. Notația mai clară este (2:3). Dacă fracțiile sunt scrise sub această formă atunci

pe diagonală și orizontal devine pe diagonală și vertical (Exemplul 1).

Așadar, pentru: 2 13 7 :

2 / 3

1 / 7 +

17 / 21

Pentru ultimul subpunct al exercițiului de mai sus (și pentru subpunctul h), numerele erau

destul de mari și a fost nevoie de câteva simplificări la final . Dacă cei doi numitori nu sunt

chiar numere prime atunci munca noastră poate fi simplificată așa cum vom arăta în exercițiul

următor.

Scăderea fracțiilor ce nu au numitorii numere prime se efectuează în același mod, numai că, în

loc de adunare vom efectua scăderea ca mai sus.

Aplicația B Utilizați simplificarea pentru adunarea sau scăderea următoarelor fracții:

a 1

3+

4

9 b

3

8+

1

6 c

3

5+

3

10 d

5

6–

3

4

e 5

6+

3

4 f

5

18–

1

27 g 3

3

4– 1

1

8 h

7

36–

11

60

14.2 O SIMPLIFICARE

4

14: FRACȚII

137

Să se scrie următoarele fracții: 4

5,

2

3,

5

6, în ordine crescătoare.

Luăm primele două fracții și le înmulțim în diagonală, apoi le scădem ca și acum am

avea operația de scădere între ele.

Dacă rezultatul nu este un număr negativ atunci prima fracție este mai mare decât

cea de a doua: cum 4×3 este mai mare decât 2×5, atunci 4

5 este mai mare decât

2

3.

Procedând la fel și cu2

3 și

5

6, găsim că 2×6 este mai mic decât 5×3, deci

5

6 este mai

mare decât2

3.

Dacă înmulțim în diagonală 4

5 cu

5

6, obținem că

5

6 este mai mare.

În ordine crescătoare, fracțiile sunt:2

3,

4

5,

5

6.

a 7

9 b 13

24 c 9

10 d 1

12

e 1 712

f 1354

g 2 58

h 190

Câteodată trebuie să vedem dacă o fracție este mai mare sau mai mică decât alta, sau trebuie

să le așezăm într-o ordine cerută.

Aplicația C Scrieți următoarele fracții în ordine crescătoare:

a 1

3,

2

5 b

3

4,

8

11 c

2

3,

7

12,

3

4 d

5

6,

5

8,

6

7

a 1 2

3 5, b 8 3

11 4, c 37 2

12 3 4, , d 5 5 6

8 6 7, ,

14.3 COMPARAREA FRACȚIILOR

5


138

Găsiți a 1

2×

3

4 b

3

4÷

2

5

a 1

2×

3

4=

1 3

2 4

=

3

8 Înmulțim numărătorii și numitorii între ei pentru a obține

rezultatul final.

b 3

4÷

2

5=

3 5

2 4

=

15

8= 1

7

8 Înmulțim în diagonală și scriem răspunsurile unul sub

celălalt.

Operațiile de înmulțire și împărțire a fracțiilor sunt foarte ușoare.

Cele patru operații: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea par acum a avea mai mult de

o relație de unificare.

Le putem rezuma astfel:

Adunare Scădere Înmulțire Împărțire

4

5

1

3

4

5

1

3

4

5

1

3

4

5

1

3

14.4 UNIFICAREA OPERAȚIILOR

6

Găsiți 23 ÷ 9.

9) 2 3

2 rest 5

Prima cifră a numărului 23 este răspunsul: 2.

Adunând cifrele numărului 23 obținem restul: 2 + 3 = 5.

Așadar, 23 ÷ 9 = 2 rest 5.

REZUMAT 15.1 Împărțirea la 9

15.2 Împărțirea la 8 etc.

15.3 Împărțirea la 99, 98 etc.

15.4 Divizor inferior unei baze

15.5 Divizor superior unei baze

După cum am vazut mai devereme, numărul nouă este un număr special, astfel există și o cale

foarte ușoară de a împărți la 9.

Se observă ușor că un 10 este format dintr-un 9 și un 1.

Deci, două zecimi conțin 2 de nouă și 2 unități ne rămân.

Răspunsul este același cu restul, adică 2.

Pentru aceasta trebuie să-l adunăm pe 2 cu 3 pentru a obține restul final.

Aplicația A Împărțiți la 9:

a 9)5 1 b 9)3 4 c 9)17 d 9)4 4

e 9)6 0 f 9)7 1 g 9)2 6 h 9)4 6

a 5 r6 b 3 r7 c 1 r8 d 4 r8

e 6 r6 f 7 r8 g 2 r8 h 4 r10 = 5 r1

LECȚIA 15

ÎMPĂRȚIRI SPECIALE

15.1 ÎMPĂRȚIREA LA 9

1


140

Găsiți 66 ÷ 9.

9)6 6

6 r 12 = 7 r 3

Obținem 6 rest 12, iar restul mai conține încă un 9.

Îl adăugăm pe acel 9, din rest, lui 6 și vom obține 7.

Iar restul este redus la 3 (luăm 9 din 12).

Calculați 58 ÷ 9. 9)5 8

5 rest13 = 6 rest 4

Este posibil ca restul să mai conțină încă un 9, așa cum s-a întâmplat la ultimul subpunct al

exercițiului de mai sus.

Gândiți-vă că trebuie să aflați numărul de cifre de 9 din 66 și, prima dată, obțineți 6 de 9 și

restul 12. Așadar, avem 6 de 9 și încă 12 unități rest. În concluzie, cum mai există încă un 9 în

12, vom avea 7 de 9 și 3 unități rest.

Putem obține restul 3 prin adunarea cifrelor numărului 12.

Aplicația B Împărțiți la 9:

a 9)57 b 9)77 c 9)58 d 9)49

e 9)64 f 9)88 g 9)96

a 6 r3 b 8 r5 c 6 r4 d 5 r4

e 7 r1 f 9 r7 g 10 r6

Unica proprietate a numărului 9 constă în faptul că acea unitate până la zece conduce la multe

ale metode Vedice ușoare discutate în Secțiunile 15.2, 15.3, 15.4, ce vor urma. Puteți vedea

metode de transformare a fracțiilor ordinare în fracții zecimale în Manulalul 2 (sau Referințele

1 și 3), precum și aplicațiile algebrice corespondente.

2

3

15: ÎMPĂRȚIRI SPECIALE

141

2301 ÷ 9 = 255 rest 6.

Termenii pot fi așezați astfel: 9) 2 3 0 1

Prima cifră a numărului 2301, adică 2, este coborâtă 9) 2 3 0 1

la cât:

2

Acest 2 este adunat cu 3 din 2301, și scriem 5 la cât: 9) 2 3 0 1

2 5

Acest 5 este adunat cu 0 din 2301, și scriem 5 la cât: 9) 2 3 0 1

2 5 5

Acest 5 este adunat cu 1 și obținem restul 6: 9) 2 3 0 1

2 5 5 r6

NUMERE MARI

Această metodă poate fi extinsă și la numere mari.

Aplicația C Efectuați următoarele împărțiri:

a 9)2 1 2 3 b 9)3 1 2 c 9)1 1 2 0 2

d 9)4 3 1 e 9)5 0 3 0 f 9)7 0 7

g 9)2 0 3 0 1 0 h 9)1 6 4 i 9)3 1 0 3 2

a 235 r8 b 34 r6 c 1244 r6

d 47 r8 e 558 r8 f 78 r5

g 22556 r6 h 18 r2 i 3448 r0

Prima cifră a numărului ce trebuie împărțit este prima cifră a câtului, și fiecare

cifră a câtului este adunată cu următoarea cifră a deîmpărțitului pentru a obține

următoarele cifre ale câtului.

Ultimul număr pe care îl scriem este chiar restul.

4


142

Calculați 3172 ÷ 9.

9) 3 1 7 2

13 4 1 r 13 = 352 rest 4

În acest caz, obținem 11 și 13:

primul 1 din 11 trebuie adunat la 4, obținând astfel: 351,

și mai avem încă un 1 la rest ce trebuie adăugat câtului pentru a obține rezultatul

final, adică: 352 rest 4.


Putem evita apariția numerelor precum 11, respectiv 13.

În ultimul exemplu putem observa că, înainte de a scrie cifra 4, următorul pas ne va

furniza un număr de două cifre, așadar vom scrie 5 în loc de 4:

9) 3 1 7 2

3 5 2 r 4

Adunând 5 cu 7, obținem 12; dar cum 1 a fost deja adăugat cifrei precedente, vom

scrie doar 2. În final, 2+2 = 4.

SURPLUS

Se poate întâmpla ca, folosind această metodă de împărțire la 9, în urma adunării să obținem

numere formate din două cifre.

Aplicația D Efectuați următoarele împărțiri:

a 9)6 1 5 3 b 9)3 2 8 2 c 9)5 5 5

d 9)8 2 5 2 e 9)6 6 1 f 9)4 7 4 1

g 9)1 2 3 4 5 h 9)4 7 4 7 i 9)2 0 0 8 2

a 683 r6 b 364 r6 c 61 r6

d 916 8 e 73 r4 f 526 r7

g 1371 r6 h 527 r4 i 2231 r3

O SCURTĂTURĂ

Putem evita numerele de două cifre ce apar în anumite sume.

Să reluam Exemplul 5:

5

6


143


9) 7 7 7

8 6 r 3

Dacă scriem 7 ca primă cifră vom obține 14 la următorul pas, prin urmare cel mai

bine este să scriem 8.

8+7 = 15, iar 1 a fost deja contabilizat.

Acum, trebuie să scriem 5, dar observăm că urmează un număr de două cifre, așadar,

în loc de 5 vom scrie 6.

6+7 = 13, cum 1 a fost deja contabilizat, ne rămâne să-l scriem doar pe 3

Presupunând că trebuie să-l împărțim pe 31 la 8:

8) 3 1

3 r 7

Îl scriem pe 3 la cât.

În loc să-l adunăm pe 1 așa cum procedăm la împărțirea cu 9,

Îl dublăm pe 3 și-l adunăm pe 1 pentru a obține restul 7.

Îl dublăm pe 3 pentru că 8 este cu 2 mai mic decât 10.

Aplicația E Efectuați următoarele împărțiri la 9:

a 6153 b 3272 c 555 d 8252

e 661 f 4741 g 5747 h 2938

i 12345 j 75057 k 443322 l 1918161

a 683 rest 6 b 363 rest 5 c 61 rest 6 d 916 rest 8

e 73 rest 4 f 526 rest 7 g 638 rest 5 h 326 rest 4

i 1371 rest 6 j 8339 rest 6 k 49258 l 213129

Putem extinde principiul împărțirii cu 9 și la împărțirea cu 8, 7 etc.

15.2 ÎMPĂRȚIREA LA 8 ETC.

7

8


144

Similar, pentru 211 împărțit la 8:

8) 2 1 1

2 5 r 11 = 26 r3

Îl scriem pe 2 la cât,

adunăm dublul acestuia la 1 și îl scriem pe 5 la cât,

îl dublăm pe 5 și îl adunăm la 1 și îl scriem 11 ca rest.

Cum restul conține un 8, răspunsul final este 26 rest 3.

Acum, pentru a împărți cu 7, cum acesta este cu 3 mai mic decât 10, trebuie să

triplăm ultima cifră a fiecărui pas de calcul :

7) 1 1 și 7) 1 2 3

1 r 4 1 5 r18 = 17 r4

Aplicația F Efectuați:

a 8) 2 2 b 8) 1 5 c 8) 2 5 d 8) 5 1

a 2 r6 b 1 r7 c 3 r1 d 6 r3


a 8) 1 1 1 b 8) 1 5 1 c 8) 1 0 0 d 8) 2 1 4 e 8) 1 1 2 1

a 13 r7 b 18 r7 c 12 r4 d 26 r6 e 140 r1


a 7) 1 3 b 7) 3 1 c 7) 2 3 d 7) 4 0

e 7) 1 0 3 f 7) 1 1 1 g 7) 1 0 0

a 1 r6 b 4 r3 c 3 r2 d 5 r5

e 14 r5 f 15 r6 g 14 r2

9

10


145

Presupunând că trebuie să împărțim numărul 121314 la 99.

Procedeul este similar cu cel al împărțirii cu 9, pentru că 99 conține doi de 9 și vom

obține răspunsul utilizând două cifre în același timp.

Gândiți-vă la deîmpărțit despărțit astfel: 12/13/14, unde ultima pereche face parte din

rest.

Îl scriem pe 12 la cât: 99) 12 / 13 / 14

12

Îl adunăm pe 12 la 13 și scriem 25 la cât: 99) 12 / 13 / 14

12 / 25 În final, îl adunăm pe 25 ultimei perechi și îl scriem 39 ca rest:

99 ) 12 / 13 / 14

12 / 25 / 39

Răspunsul este 1225 rest 39.

121314 ÷ 98 = 1237 rest 88.

Procedăm ca mai sus numai că 98 fiind cu 2 mai mic decât 100, trebuie să dublăm

ultima parte a răspunsului înainte de a o aduna la următorul termen al sumei.

Începem prin a-l scrie pe 12 jos la cât: 98 ) 12 / 13 / 14

12

Îl dublăm pe 12, apoi îl adunăm pe 13 pentru a obține 37: 98 ) 12 / 13 / 14

12 / 37

În final, îl dublăm pe 37 și îl adunăm pe 14: 98 ) 12 / 13 / 14

12 / 37 / 88 = 1237 rest 88

Aplicația I Efectuați următoare împărțiri la 99:

a 121416 b 213141 c 332211 d 282828 e 363432

f 11221122 (acesta conține 4 perechi, dar metoda este aceeași)

g 3456 (acesta conține 2 perechi)

a 1226 r42 b 2152 r93 c 3355 r66 d 2856 r84 e (3670 r102) 3671 r3

f 113344 r66 g 34 r90

Împărțirea la 98 se face în mod similar.

15.3 ÎMPĂRȚIREA LA 99, 98 ETC.

12

11


146

Presupunând că dorim să-l împărțim pe 235 la 88 (ce este aproape de 100).

Trebuie să știm de câte ori 88 poate fi luat din 235 și care este restul.

Cum 100 must conține un 88, în mod evident, vom avea doi de 88 în 235.

Iar restul va fi cei doi 12 (pentru că 88 este cu 12 mai mic decât 100) plus 35 din

235.

Așadar, răspunsul este: 2 rest 59 (24+35=59).

O manieră mai clară de efectuare a împărțirii poate fi:

8 8 ) 2 3 5

Separăm cele două cifre din dreapta pentru că 100 conține două zerouri.

Cum 88 este cu 12 mai mic decât 100, îl scriem pe 12 sub 88, ca mai jos:

8 8 ) 2 3 5 1 2 2 4

2 5 9

Îl scriem pe 2 la cât.

Acest 2 este înmulțit cu 12, iar 24 este scris sub 35, așa cum este indicat mai sus.

După aceea, adunăm cele două coloane pentru a obține restul.

Aplicația J Efectuați împărțirile la 98:

a 112203 b 102010 c 131313 d 200202 e 2131

a 1144 r91 b 1040 r90 c 1339 r91 d 2042 r86 e 21 r 73

În mod similar putem împărți la numere precum 97 sau 999.

După cum ați văzut, împărțirea cu 9, este destul de ușoară.

În mod similar, putem efectua împărțiri la numere inferioare unor baze precum: 100, 1000 etc.

15.4 DIVIZOR INFERIOR UNEI BAZE

13


147

Calculați 31313 ÷ 7887.

Scriem împărțirea astfel: 7 8 8 7 ) 3 1 3 1 3

7 8 8 7 ) 3 1 3 1 3 2 1 1 3 6 3 3 9

3 7 6 5 2

Aplicând formula Toate din 9 și ultimul din 10 numărului 7887, obținem 2113.

Îl scriem pe 3 (prima cifră a numărului 31313) la cât.

Îl înmulțim cu 2113 și scriem rezultatul, adică 6339, pe linia din mijloc.

Apoi, adunăm cele patru coloane pentru a obține restul, 7652.

De notat faptul că, deficiența lui 88 din100 este dată de formula Toate din 9 și ultimul din 10.

De notat, de asemenea, că poziția liniei verticale este întotdeauna indicată de numărul de

zerouri ale bazei: dacă baza are 4 zerouri, atunci linia verticală este plasată după patru poziții

începând de la dreapta spre stânga, ș.a.m.d.

Este ușor de înțeles, pentru că scriindu-l pe 2 la cât, ne așteptăm să avem doi de 88 în 235. Și

cum avem doar un 88 într-o sută și 12 rămâne ca rest, în 200 vom avea doi de 88 și doi de 12

ca rest ce trebuie adăugat la 59 pentru a obține restul final.

Aplicația K Efectuați aceste împărțiri (mintal, dacă puteți):

a 88)1 2 1 b 76)2 1 1 c 83)1 3 2

d 98)3 3 3 e 887)1 2 2 3 f 867)1 5 1 3

g 779)2 2 2 2 h 765)3 0 0 1 i 8907)1 3 1 0 3

j 7999)1 2 3 2 1 k 7789)2 1 0 1 2 l 8888)4 4 3 4 4

a 1/33 b 2/59 c 1/49

d 3/39 e 1/336 f 1/646

g 2/664 h 3/706 i 1/4196

j 1/4322 k 2/5434 l 4/8792

14


148

1108 ÷ 79 = 13 rest 81 = 14 rest 2.

Așezăm împărțirea separând ultimile două cifre, pentru că baza împărțitorului este

100, iar câtul va fi format din tot din două cifre

7 9 ) 1 1 0 8

7 9 ) 1 1 0 8 2 1 2 1

6 3

1 3 8 1

Îl coborâm pe 1 la cât.

Îl înmulțim pe 21 cu 1 și scriem (2 1) pe cel de al doilea rând, ca mai sus.

Adunând cea de a doua coloană, obținem 3, pe care îl scriem la cât, apoi îl înmulțim

pe 21 cu acest 3 și obținem 63 (îl scriem pe cel de al treilea rând, ca mai sus).

Adunăm ultimele două coloane, dar cum restul, 81, este mai mare decât împărțitorul,

79, vom avea 14 de 81, rest 2.

Calculați 1121123 ÷ 8989.

8 9 8 9 ) 1 1 2 1 1 2 3 1 0 1 1 1 0 1 1

2 0 2 2 4 0 4 4 1 2 4 6 4 8 7

Cifra initial, 1, se scrie la cât și, apoi, se înmulțește cu 1011.

Scriem rezultatul ca mai sus.

Adunăm cea de a doua coloană și scriem rezultatul, 2, la cât și apoi îl înmulțim cu

1011. Scriem 2022 pe cel de al treilea rând.

Pe cea de a treia coloană obținem 4, pe care îl vom înmulți cu 1011.

Scriem 4044 pe cel de-al patrulea rând, apoi efectuăm adunarea pe ultimele patru

coloane pentru a obține restul.

CÂTURI DE DOUĂ CIFRE

Iată un exemplu în care câtul este format din mai mult de o cifră.

15

16


149


a 8 9)1 0 2 1 b 8 8) 1 1 2 2 c 7 9)1 0 0 1

d 8 8)2 1 1 1 e 9 7) 1 1 1 1 f 8 8 8) 1 0 0 1 1

g 8 8 7)1 1 2 4 3 h 8 9 9)2 1 2 1 2 i 9 8 8)3 0 1 2 5

j 8 8 9 9)2 0 1 0 2 0

a 11/42 b 12/66 c 12/53

d 23/87 e 11/44 f 11/243

g 12/599 h 23/535 i 30/485

j 22/5242

O SIMPLIFICARE

În aceste exemple (și câteva din secțiunea următoare), rândurile de lucru pot fi distribuite

folosind formula Vertical și în diagonală. Putem folosi produsele pe vericală și în diagonală

între deficiența împărțitorului și cifrele din cât.

În exemplul 15, îl avem pe 21 ca deficiență și 1 ca primă cifră a câtului: 2 1

1 -

Produsul pe vericală, la stânga: 2×1=2 ce adăugat celei de a doua coloană a numărului 1108

ne dă cifra 3 ca a doua cifră a câtului: 2 1

1 3

Acum, vom lua produsul în diagonală: 2×3 + 1×1 = 7 și-l vom adăuga la 0 din 1108 pentru a

obține 7 ca primă cifră a restului.

În final, produsul pe verticală la dreapta este: 2 1

1 3

Rezultatul: 1×3=3 trebuie adăugat ultimei cifre a numărului 1108, obținând astfel 11, adică

ultimul rest 711 = 81.

Similar, numere mari ca în Exemplul 16 pot fi împărțite în același mod.

O data ce linia verticală a fost trasată se poate observa numărul de rânduri

necesare cu care vom lucra: acesta este numărul de cifre aflate la stânga acestei

linii (3 cifre, deci 3 rânduri de lucru, ca în Exemplul 16 de mai sus).


150

1489 ÷ 123 = 12 rest 13.

Observăm că 123 este aproape de baza 100, deci separăm 2 cifre la dreapta.

De fapt, metoda este aceeași, numai că surplusul îl scriem ca pe un număr cu bară:

1 2 3 ) 1 4 8 9

2 3 2 3

4 6

1 2 1 3 Îl scriem pe 1 inițial la cât.

Îl înmulțim pe 1 cu 2 3 și scriem 2 , 3 pe cel de-

al doilea rând.

Efectuăm adunarea pe cea de a doua coloană și

scriem 2 la cât.

Îl înmulțim pe acesta cu 2 3 și scriem 4 , 6 pe

cel de-al treilea rând.

Apoi, efectuăm adunarea pe ultimele două

coloane.

O metodă similară, dar folosind formula Transpune și aplică putem împărți numere ce sunt

aproape de o bază dar imediat superioare acesteia.

Sutra folosită este Transpune și aplică, așa cum am afirmat și mai sus, pentru că scădem

cifrele 4, 8 și 9.


a 1 2 3)1 3 7 7 b 1 3 1)1 4 8 1 c 1 2 1)2 5 6

d 1 3 2)1 3 6 6 e 1 2 1 2)1 3 5 4 5 f 1 6 1)1 7 8 1

g 1 0 0 3)3 2 1 9 8 7 h 1 1 1)7 9 9 9 9

a 11/24 b 11/40 c 2/14

d 10/46 e 11/213 f 11/10

g 321/24 h 720/79

Cele două variante, în care apar numere negative la cât sau rest, sunt exemplificate în

continuare.

15.5 DIVIZOR SUPERIOR UNEI BAZE

17


151

10121 ÷ 113 = 89 rest 64.

1 1 3 ) 1 0 1 2 1

1 3 1 3

1 3

1 3 1 1 1 6 4

Atunci când efectuăm calculele pe cea de a doua coloană, observăm că rezultatul

este 1 ; înmulțindu-l cu 1 3 înseamnă că trebuie scris numărul 13 pe cel de-al treilea

rând (doi ”minus” fac ”plus”).

Câtul la care am ajuns, 11 1 , transformat într-un număr pozitiv este 89 (pentru că

100 – 11).


1 1 2 ) 2 2 1 1

1 2 2 4

0 0

2 0 3 1 = 20 rest 29 or 19 r 83

20 rest –29 înseamnă că numărul 2211 este cu 29 mai mic decât 20 de 112.

Aceasta înseamnă că sunt 19 de 112 în 2211, deci trebuie să-l adăugăm pe 112 la –

29 pentru a obține19 rest 83.

Aplicația N Efectuați:

a 1 1 2)1 2 3 4 b 1 2 1)3 9 9 3 c 1 0 3)4 3 2

d 1 0 1 2)2 1 3 1 2 e 1 2 2)3 3 3 3 f 1 2 3)2 5 8 4

g 1 1 3)1 3 6 9 6 h 1 2 1 2)1 3 7 9 8 7 i 1 1 1)7 9 9 9 9

j 1 2 1)2 6 5 2 k 1 2 3 1)3 3 0 3 3

a 11/02 b 33/00 c 4/20

d 21/060 e 27/39 f 21/01

g 121/23 h 113/1031 i 720/79

j 21/111 k 26/1027

18

19

“Ne îndreptăm, în sfârșit, către un mult promis procedun DIRECT (LA VEDERE) DE

ÎMPĂRȚIRE ce este o simplă și ușoară aplicație a Sutrei URDHVA-TIRYA, ce poate fi aplicat

imediat în toate cazurile și care a fost descris în mod repetat ca ‘GIUVAIERUL COROANEI’

doar pentru simplul fapt că, înainte și dincolo de universalitate aplicabilității lui, este

manifestarea Vedică ideală supremă și superlativă a unei metode mintale de calcul într-o

singură linie.”


Presupunând că dorim să-l împărțim pe 209 la 52.

Trebuie să aflăm câte numere de 52 sunt în 209.

Uitându-ne la primele cifre observăm cum 5 se cuprinde în 20 de patru ori, ne

așteptăm să avem patru de 52 în 209.

Acum luăm patru de 52 din 209 pentru a vedea ce ne rămâne.

Luând patru de 50 din 209 rămânem cu 9 și mai trebuie să luăm patru de 2 din rest,

rămânând astfel cu restul 1

Așezăm operația astfel:

2 2 0 9

5 0

4 1

Împărțitorul, 52, este scris cu cifra 2 mai ridicată, în partea dreaptă, ca Indicator.

Linia verticală este trasată astfel încât să separăm câtul 4 de restul 1.

Etapele sunt:

A. 5 în 20 intră de 4 ori, rest 0, cum este indicat la stânga lui 9.

B. Cifra câtului, 4, este înmulțită cu cifra indicatoare adică 2 și obținem 8. Îl scădem

pe acest 8 din 09 și rămânem cu restul 1, cum este indicat.

REZUMAT

16.1 O singură cifră la indicator – împărțirea într-o linie cu numere de 2 cifre.

16.2 Digresiune asupra unei împărțiri rapide – alegerea restului dorit.

16.3 Numere mari – împărțirea numerelor de orice mărime.

16.4 Îndicator negativ – utilizarea numerelor cu bară pentru

simplificatrea lucrului.

16.5 Evaluarea restului și redarea lui sub formă zecimală

Metoda generală de împărțire, numită și împărțire directă, ne permite să împărțim numere de

orice mărime la numere de orice mărime, într-o singură linie. Sri Bharati Krsna Tirthaji, omul

care a descoperit sistemul Vedic, a numit-o ”giuvaierul coroanei Matematicii Vedice”.

Ea rezultă din Sutra Vertical și în diagonală.

3 Ultima cifră a împărțitorului

LECȚIA 16

GIUVAIERUL COROANEI

16.1 O SINGURĂ CIFRĂ LA INDICATOR3

1

16: GIUVAIERUL COROANEI

153


Asezăm termenii ca mai sus:

3 3 2 1

6 2

5 6 = 5 rest 6

Apoi, 6 în 32 de 5 ori, rest 2, iar răspunsul, 5, este înmulțit cu 3 (cifra ”indicatoare”),

obținând astfel 15 pe care îl scadem din 21, de unde restul 6.

Ce facem aici? Nici mai mult nici mai puțin, înlăturăm cinci de 60 din 321 și rămânem cu 21,

apoi scădem cinci de 3 din 21. Aceasta înseamnă că am sustras cinci de 63 și am rămas cu 6

unități.

În următorul exercițiu, așezați termenii ca mai sus.

Aplicația A Efectuați:

a 103 ÷ 43 b 234 ÷ 54 c 74 ÷ 23 d 504 ÷ 72

e 444 ÷ 63 f 543 ÷ 82 g 567 ÷ 93

a 2r17 b 4r18 c 3r5 d 7r0

e 7r3 f 6r51 g 6r9

Presupunând că vrem să-l împărțim pe 10 la 3.

În mod cert, câtul este 3, iar restul 1 1: 3) 1 0

3 r 1

Alte răspunsuri posibile: 3) 1 0 sau 3) 1 0 sau chiar 3) 1 0

2 r 4 1 r 7 4 rem 2

Cum toate aceste răspunsuri sunt corecte, putem alege răspunsul ce se potrivește cel mai bine

aplicației noastre.

16.2 DIGRESIUNE ASUPRA UNEI ÎMPĂRȚIRI RAPIDE

2


154


Procedăm ca mai înainte:

2 5 0 3

7 1

7

Trebuie săl scădem pe 14 din 13 și vom avea răspunsul 7 rest 1 .

Dacă un număr negativ nu este acceptat, putem spune că împărțindu-l pe 50 la 7, în

operația de mai sus, nu este 7 rest 1, ci 6 rest 8:

2 5 0 3

7 8

6 71

În final, ne rămânem să-l luăm pe 12 din 83 pentru a obține un rest pozitiv, adică 71.

Aplicația B Copiați următoarele împărțiri și înlocuiți semnul de întrebare cu răspunsul

corect:

a 5) 2 1 b 7) 5 1 c 4) 3 0 d 3) 2 2

3 r ? 6 r ? 6 r ? ? r 4

e 5) 4 2 f 6) 3 9 g 5) 2 4 h 7) 2 6

6 r ? 4 r ? 5 r ? 4 r ?

a 6 b 9 c 6 d 6

e 12 f 15 g 1 h 2

Reducerea câtului cu 1 sau 2, este câteodată necesară dacă numerele negative trebuie evitate.

Este important de notat faptul că, atunci când câtul este redus cu o unitat, restul crește cu

prima cifră a divizorului. Deci, răspunsul de mai sus, 7 rest 1 este înlocuit cu 6 rest 8: restul

este mărit cu 7, prima cifră a numărului 72.

Continuând exemplul de mai sus, folosind această metodă, obținem:

2 5 0 3

7 1

7 1 = 6 rest 71.

3


155

17496 ÷ 72 = 243 rest 0.

Procedura este aceeși cu cea de mai sus și se reproduce în cicluri.

Așezăm termenii după metoda obișnuită: 2 1 7 4 9 6

7

Îl împărțim pe 17 la 7 și scriem 2 rest 3, așa cum este indicat:

2 1 7 4 9 6

7 3

2

Remarcați diagonala: 2, 3, 4.

Apoi, îl înmulțim pe 2 de la cât cu cifra 2 1 7 4 9 6

2 de la împărțitor: 2×2=4, scadem acest 7 3 2

rezultat din 34 și obținem 30, apoi împărțim 2 4

prin 7, pentru a obține câtul 4 și restul 2, așa cum este indicat.

Apoi repetăm: 2 1 7 4 9 6

Cifra 4 de la cât o înmulțim cu 2 și 7 3 2 0

obținem 8, pe care îl scădem din 29 și 2 4 3 0

obținem 21, aopi 21 împărțit la 7 ne dă 3 rest 0, așa cum este indicat.

În final, îl înmulțim pe 3 cu 2, de la împărțitor, iar rezultatul, 6, îl scădem din 6

pentru a obține restul final, 0.

Numărul 7 ce îl obținem la cât reprezintă șapte de 72, deci, luăm unul din aceștia (lăsând 6) și

îl adăugăm restului negativ pentru a obține noul rest, adică 72 + 1 = 71.

Aplicația C Efectuați:

a 97 ÷ 28 b 184 ÷ 47 c 210 ÷ 53 d 373 ÷ 63 e 353 ÷ 52

f 333 ÷ 44 g 267 ÷ 37 h 357 ÷ 59 i 353 ÷ 59

a 3r13 b 3r43 c 3r51 d 5r58 e 6r41

f 7r25 g 7r8 h 6r3 i 5r58

16.3 NUMERE MARI

4


156

50607 ÷ 123 = 411 rest 54.

Deși împărțitorul este format din trei cifre, împărțirea la 12 nu devine o problemă;

așadar, putem folosi aceeași procedură:

Este importat de notat faptul că lucrăm în cicluri așa cum am arătat în diagrama de mai sus.

Fiecare ciclu este complet atunci când diagonala a fost utilizată.

Rezumând: (împărțire), înmulțire, scădere, împărțire;

înmulțire, scădere, împărțire; . . .

Aplicația D Efectuați următoarele împărțiri (pentru primele patru împărțiri, restul

este 0, deci vă puteți verifica calculele):

a 19902 ÷ 62 b 44749 ÷ 73 c 1936 ÷ 88 d 4032 ÷ 72

e 4154 ÷ 92 f 23824 ÷ 51 g 92054 ÷ 63 h 142857 ÷ 61

i 12233 ÷ 53 j 9018 ÷ 71 k 8910 ÷ 72 l 23658 ÷ 112

m 40000000 ÷ 61 n 14018 ÷ 64 o 4712 ÷ 45 p 22222 ÷ 76

q 651258 ÷ 82 r 301291 ÷ 56 s 511717 ÷ 73 t 360293 ÷ 46

Fiecare ciclu constă în :

A. înmulțirea ultimei cifre a câtului cu cifra ”indicatoare” (ultima cifră a

împărțitorului),

B. se scade produsul precedent din cele două cifre de sus ale diagonalei,

C. rezultatul se împarte la prima cifră a împărțitorului, apoi scriem o nouă cifră la

cât și la rest

answer and remainder.

3 5 0 6 0 7

12 2 2 5

4 1 1 54

5

×

÷ –


157

97 ÷ 28 = 3 rest 13.

Procedăm ca de obicei: 8 9 7

2 3

3 13

Trebuie să reducem câtul de la 4 la 3 pentru a efectua operația următoare.

Aceste reduceri au loc atunci când indicatorul este un număr mare (aici, 8).

Acest lucru poate fi evitat scriindu-l pe 28 ca 3 2 :

2 9 7

3 0

3 13

3 în 9 - 3 rest 0.

Îl înmulțim pe 2 cu 3 și obținem 6 , iar acesta este scăzut din 7.

Dar scăzând un număr negativ, înseamnă de fapt a-l aduna, așadar 7– 6 =13 la rest.

a 321 b 613 c 22 d 56

e 45r14 f 467r7 g 1461r11 h 2341r56

i 230r43 j 127r1 k 123r54 l 211r26

m 655737r43 n 219r2 o 104r32 p 292r30

q 7942r14 r 5380r11 s 7009r60 t 7832r21

Atunci când numărul indicator este ”mare”, este de preferat să îl reducem. Este posibil să

evităm aceste reduceri folosind un indicator negativ.

Acest lucru este mult mai ușor și înseamnă că:

16.4 INDICATOR NEGATIV

6

Ori de câte ori folosim un număr cu bară ca indicator, folosim operația de

adunare a produsului în loc de cea de scădere pentru fiecare pas.


158


a 373 ÷ 58 b 357 ÷ 48 c 300 ÷ 59 d 321 ÷ 47

e 505 ÷ 78 f 543 ÷ 68

a 6r25 b 7r21 c 5r5 d 6r39

e 6r37 f 7r67

ÎNMULȚIRE INVERSATĂ

Înmulțirea directă poate fi demonstrată prin inversa metodei de bază ce se bazează pe formula

vedică Vertical și în diagonală.

Fie exemplul: 4032÷72 p q

7 2

4 0 3 2

Avem nevoie de valorile p și q astfel încât înmulțind numărul pq cu 72 să obținem 4032.

Observăm că p trebuie să fie 5 pentru că p înmulțit cu 7 obținem un număr apropiat de 40 din

4032.

Cum 5×7=35, restul este 5.

Acum avem: 5 q

7 2

54 0 3 2

În continuare, trebuie să ținem cont de 532 pentru înmulțirea pe diagonală și verticală în

partea dreaptă. Considerând produsul în diagonală, 5×2=10; rezultat ce trebuie scăzut din 53

pentru a rămâne cu 43, iar acest rezultat trebuie adunat cu cealalt termen al adunării, adică

7×q. Acest lucru ne spune că q trebuie să fie 6 și vom rămâne cu restul 1 din 53:

5 6

7 2

5 14 0 3 2

Acum, 12 este rezultatul produsul pe verticală la dreapta, așadar nu vom mai rămâne cu niciun

rest.

Toate împărțirile pot fi efectuate în această manieră, ca operații inverse procesului de

înmulțire, iar metoda folosită în acest capitol este derivată din formula Semnalizator4 .

4 În aceste capitol, am folosit termenul Indicator.


159

Calculați 40342 ÷ 73 cu 5 zecimale.

care trebuie să rotunjim. Așadar, scriem virgula și cele 6 zerouri după 40342.

Virgula este plasată acolo und ear fi trebuit să avem linia vertical ce ne indica restul,

adică o cifră la stânga de la ultima cifră a împărțitorului.

Procedăm ca de obicei: înmulțim cu indicatorul, scădem, împărțim cu 7 pentru

fiecare ciclu.

Calculați 23,1 ÷ 83 cu 3 zecimale.

În mod cert, răspunsul este un număr mai mic decât 1 pentru că 23 este mai mic

decât 83.

Ca mai sus, virgula este plasată la dreapta după cât, adică 0,278.

Putem continua procesul de împărțire o dată ce am obținut restul și putem furniza răspunsul

sub forma unei fracții zecimale cu atâtea zecimale cât ne sunt cerute.

Pentru a obține un răspuns cu 5 zecimale avem nevoie de 6 cifre după virgulă, în cazul

Răspunsul este 552,63014, cu 5 zecimale după virgulă.

Aplicația F Efectuați următoarele împărțiri cu 2 zecimale:

a 108 ÷ 31 b 4050 ÷ 73 c 9876 ÷ 94 d 25,52 ÷ 38

e 78 ÷ 49 f 6,7 ÷ 88 g 19 ÷ 62 h 62 ÷ 19

a 3,48 b 55,48 c 105,06 d 0,67

e 1,59 f 0,08 g 0,31 h 3,26

Această metodă de împărțire directă este dezvoltată în Manualul 2 (sau vedeți Referințele 1,

3, 5)

16.5 RESTUL ZECIMAL

7

3 4 0 3 4 2 ,0 0 0 0 0 0

7 5 3 5 4 1 1 3 6 2

5 5 2, 6 3 0 1 3 7

3 2 3, 1 0 0 0

8 7 9 5 2

0 , 2 7 8 3

8


160

SUTRELE MATEMATICII VEDICE

Cu unul mai mult decât cel precedent

Toate din 9 și ultimul din 10

Vertical și în diagonală

Transpune și aplică

Dacă Samuccaya este aceeași, atunci este

zero

Dacă unu este într-un raport, atunci

celălalt este zero

Prin adunare și prin scădere

Prin completare sau necompletare

Puranapuranabhyam

Analiza diferențială

Prin deficiență

Specific și general

Restul prin ultima Cifră

Ultimul și de două ori penultimul

Cu unul mai puțin decât precedentul

: Produsul sumei

: Toți înmulțitorii

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2

3

Sunyam Samyasamuccaya

Nikhilam Navatascaramam Dasatah

Ekadhikena Purvena

(Anurupya) Sunyamanyat

Urdhva Tiryagbhyam

Paravartya Yojayet

Sankalana Vyavakalanabhyam

Calana Kalanabhyam

Yavadunam

Vyastisamastih

Sesanyankena Caramena

Sopantyadvayamantyam

Ekanunena Purvena

Gunitsamuccayah

Gunakasamuccayah

SUTRELE ȘI SUB-SUTRELE

161

SUB-SUTRE

Proporțional

Restul rămâne constant

Primul cu primul și ultimul cu ultimul

:Pentru 7, deînmulțitul este 143

Prin osculație

Diminuat prin deficiență

Indiferent cât este deficiență, se diminuează cu acea

valoare și se utilizează pătratul deficienței

S Ultimul totalizează 10

Doar ultimul termen

Suma produselor

Prin eliminare și prin reținere

Prin simpla observare

Produsul sumei este suma produsului

Semnalizator

1

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2

3

Sisyate Sesamjnah

Anurupyena

Vestanam

Adyamadyenantyamantyena

Kevalaih Saptakam Gunyat

Samuccayagunitah

Antyayoreva

Antyayordasake'pi

Yavadunam Tavadunam

Yavadunam Tavadunikrtya Varganca Yojayet

Lopanasthapanabhyam

Vilokanam

Dhvajanka

Gunitsamuccayah Samuccayagunitah


162

1

9,0

2

3 6

8

7

5 4

1

9,0

2

3 6

8

7

5 4

1

9,0

2

3 6

8

7

5 4

1

9,0

2

3 6

8

7

5 4

1

9,0

2

3 6

8

7

5 4

1

9,0

2

3 6

8

7

5 4

C ERCUL CELOR 9 PUNCTE

REFERINȚE

163

REFERINTE

1. Sri Bharati Krsna Tirthaji, “Vedic Mathematics”, published by Motilal Banarsidass, 1965.

ISBN 81-208-0163-6.

2. “Celebrating Perfection in Education”, Maharishi University Press 1997.

ISBN 81-7523-013-4.

3. Williams K. R. “Discover Vedic Mathematics”. Vedic Mathematics Research Group,

1984. ISBN 1-869932-01-3.

4. Williams K. R. and M. Gaskell “The Cosmic Calculator”. Motilal Banarsidass, 2002.

ISBN 81-208-1871-7.

5. Nicholas A. P., K. Williams, J. Pickles. Vertically and Crosswise. Inspiration Books, 1984.

ISBN 1-902517-03-2.

6. Sri Bharati Krsna Tirthaji, “Vedic Metaphysics”, published by Motilal Banarsidass, 1978.

ISBN 0-89581-472-2.


164

INDEX SUTRE VEDICE

Cu unul mai mult decât precedentul 3, 97, 109, 118

Toate din 9 și ultimul din 10 48-, 70, 77, 87, 90, 97, 147, 149

Vertical și în diagonală 60, 66, 72, 106-, 121, 135-, 152-

Transpune și aplică 130-, 150

Când Samuccaya este aceeași, atunci este zero 28

Dacă unu este în raport, atunci celălalt este zero

Prin adunare și prin scădere 11, 82

Prin completare sau necompletare 4

Analiză diferențială

Prin deficiență 5, 75

Specific și genaral 99

Restul prin ultima cifră

Ultimul și de două ori penultimul 22, 81, 82

Cu unu mai puțin decât precedentul 51, 52, 97

Produsul sumei 32

Toți înmulțitorii

INDEX SUTRE

165

INDEX SUB-SUTRE

Proporțional 14, 71, 73, 96, 99, 102

Restul rămâne constant Primul cu primul și ultimul cu ultimul 79-, 98, 126 Pentru 7 deînmulțitul este

Prin osculație

Dimunuat prin deficiență

Indiferent cât este Deficiență, se Diminuează cu acea Valoare și se Utilizează

Pătratul Deficienței 75

Ultimul totalizând zece 98

Doar ultimii termeni

Suma produselor

Prin eliminare și prin reținere 54

Prin simpla observare 102

Produsul sumei este suma produselor 32

Semnalizator 41, 46, 77


166

INDEXAdunare 4-, 54

cifrelor 24

de la stânga la dreapta 40

Adunarea mentală 6

Aritmetica mentală 41, 69

Banii 53

Calcule de la stânga la dreapta

adunarea 40

avantaje 47

înmulțirea 42

scăderea 44

Cercul celor nouă puncte 26

Cercul celor zece puncte 3

Cercul celor zece puncte 3

Cifra 24

Completare 4-

Deficiența 5, 65

Divizibilitatea 81-

Dublând și înjumătățind 14-, 43

Duplex 121, 128

Ecuații 130-

Eliminarea lui nouă 26

Extinderea tablelor 19

Fracții 134-

compararea 137

Giuvaierul coroanei 152

Înjumătățirea 17

Înmulțirea

binoamelor 112

cu 11 92

cu 4 etc. 16

cu 5 etc. 20

cu diferite baze 74

cu mai multe cifre de noă 94

cu unul mai mult.. 96

de la dreapta la stânga 116


generală 105-

inversă 158

în apropierea unei baze 59-

în apropierea unei baze temporare 71-

înmulțirea mobilă 109

prin toate din 9... 59

prin folosirea mediei 99

prin observație101

prin primul cu primul… 98

ridicarea la pătrat 119-

separarea numerelor 56

table 19, 59-

verificare 33

vertical și în diagonală 59-, 105-

Înmulțirea de bază 59-

Înmulțirea mobilă 109

Înmulțitorul mobil 109

Înmulțirea țărănească rusească 69

Împărțirea

generală 152-

la 5 etc. 21

la 8 etc. 143

la 9 139

la 99 etc. 145

la numere imediat inferioare unei baze 146

la numere imediat suprioare unei baze 150

separarea numerelor 57

verificare 78

Împărțirea directă 105

Înmulțirea specială 92-

Împărțirea specială 139-

Multiplii 4

Numere cu bară 85-

avantaje 88

Numere bază 49

Numere speciale 101

Separarea numerelor

adunare 54

înmulțire56

ridicare la pătrat 123

scădere 55

împărțire 18, 57

Pătrate algebrice 124

Pătratul Vedic 34-

Periodicitatea zecimalelor 64

Procente 102

Produse algebrice 112

Rădăcina pătrată a numerelor pătrate perfecte 126

Repetarea numerelor 101

Ridicarea la pătrat 119-

algebric 124

metoda generală 121

numere apropiate bazei 50 120

numere apropiate unei baze 75

numere ce se termină în 5 119

Scăderea 12, 55


dintr-o bază 49

toate din 9... 49-, 88

verificare 45

Suma cifrelor 24-

pătratelor 125

puzzle 29-

verificare 31, 78, 84, 114

Verificarea calculalor 79-

ALTE CĂRȚI DE MATEMATICĂ VEDICĂ

Manualul Profesorului – Nivel Intermediar Similar cu Nivelul Intermediar, numai că are o acoperire mai largă (destinat profesorilor de gimnaziu și liceu),

cuprinde divizibilitatea, rădăcinile pătrate, aplicații ale tripletelor pitagorice, alte ecuații, operații combinate etc.

ISBN 978-1-902517-17-9

Manualul Profesorului – Nivel Avansat Această carte cuprinde: analiza matematică, serii, funcții logaritmice și exponențiale, trigonometrie (rezolvare de

ecuații trigonometrice și identități), rezolvarea ecuațiilor (tipuri speciale, pătratice, cubice, transcendente),

numere complexe, geometrie analitică, transformări geometrice, mișcare armonică simplă, proiecti, forțe,

momente de forțe, etc. ISBN 978-1-902517-18-6

Calculatorul cosmic – Ediție scurtă Aceasta este o ediție scurtă a cursului descris mai jos. Conține unele dintre cele mai fascinante metode vedice.

Este frumos ilustrată și cu copertă color. O bună introducere în Matematica Vedică. Autori: Kenneth Williams și

Mark Gaskell. 216 pagini. Mărime A4. 1997. ISBN 978-0-9531782-0-9

Cursul calculatorul cosmic Acoperă ciclul de învățământ 3 al curricumului național englez (vârsta 11-14 ani) și gimnaziu pentru Romania.

Cuprinde trei cărți, un ghid al profesorului și o carte de răspunsuri. Cursul poate fi parcurs și de copii de

gimnaziu pentru că este scris într-o așa manieră încât pornind de la Cartea 1 ce cuprinde teorema lui Pitagora se

ajunge la Cartea 3 unde se studiază ecuația de gradul doi. Ghidul profesorului cuprinde rezumate ale fiecărei

cărți, o diagramă (arătând fiecare subiect al matematicii și legaturile dintre ele), sute de teste mintale (pentru

recapitularea noțiunilor deja învățate, introducere de noi idei fiind cu grijă corelate cu restul cursului), foi

detașabile cu exerciții suplimentare (în jur de 16 pentru fiecare carte) pentru copii rapizi sau pentru lucrul

suplimentar, teste recapitulative, jocuri, fișe de lucru etc.

Descoperă matematica vedică Această carte conține 16 capitole ce prezintă fiecare Sutra și sub-Sutra cu aplicații ei. Intra în detalii, arătând

variații, explicații și demonstrații. Conține soluții ale examenelor GCSE și întrebări de nivel 'A' . Autor: K.

Williams, 216 pagini. 1984.

Triplete pitagorice Această carte cuprinde aplicații ale tripletelor pitagorice (precum 3,4,5). Un sistem simplu și elegant de

combinare a tripletelor ce ne furnizează metode generale neașteptate și valoroase de rezolvare a problemelor,

prin mai puțin efort comparativ cu cel convențional. Textul ușor ne ajută să înțelegem această metodă ce are

aplicabilitate în trigonometrie (formulele complicate nu sunt necesare), sisteme de coordonate geometrice (cu 2

și 3 dimensiuni), transfomări (cu 2 și 3 dimensiuni), miscare armonică simplă, astronomie etc. Autor: K.

Williams, 176 pagini.

Vertical și în diagonală O carte ce cuprinde 16 capitole despre o singură sutră pornind de la înmulțirea elementară și ajungând la ecuații

diferențiale cu soluții neliniare. Cuprinde (i) calcule legate de funcțiile comune și de dezvoltarea lor în serie, (ii)

soluții ale ecuațiilor, începând cu sisteme de ecuații și ajungând la ecuații transcendente și diferențiale. Autori:

A. P. Nicholas, K. Williams, J. Pickles, 200 pagini, 1999.

Calculatorul natural Această carte se axează pe matematica mentală și cuprinde informații detaliate și meritele acesteia. Cuprinde 9

capitole, în mare parte legate de înmulțire, dar care includ și operațiile de adunare, scădere, împărțire. Autor: K.

Williams, 100 pagini, ISBN 978-1-902517-15-5

Pentru mai multe detalii și alte cărți, vizitați: http://www.vedicmaths.org

http://www.vedicmaths.org/

Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition

Education

Transcript of Vedic Math - Teachers manual 1 romanian edition