Variable+Aleatoria+Bidimensional+Continua
-
Upload
gabriel-jelenc -
Category
Documents
-
view
635 -
download
0
Transcript of Variable+Aleatoria+Bidimensional+Continua
Variables aleatorias multidimensionales
X: variable aleatoria discreta
P(X=x) = p(x); xRX
X, Y variables aleatorias discretas asociadas con el mismo experimento
PXY(x, y)=P(X=x,Y=y); (x,y)RXY Distribución de probabilidad conjunta
X: variable aleatoria continua X, Y variables aleatorias continuas asociadas con el mismo experimento
f(x); xR Función densidad de probabilidad
P(aXb) = a f(x)dx b
fXY(x,y); (x,y)R2 Función densidad de probabilidad conjunta
Probabilidad del evento A RA RXY P (A)=PXY(x, y) (x,y)RA
Probabilidad del evento A RA R2 P (A)= fXY(x, y) dx
dy (x,y)RA
• PXY(x, y) 0; (x,y)RXY
• PXY(x, y) = 1 (x,y)RXY
• fXY(x,y) 0; (x,y)R2
• fXY(x,y) = 1 (x,y)R2
(X, Y ) Vector Aleatorio
1
Variables aleatorias multidimensionales
X: v.a.d.
P(X=x)=p(x); xRX
X, Y v.a.d. bidimensional PXY(x, y)=P(X=x,Y=y); (x,y)RXY
PX(x)=PXY(x,Y=y); xRX
yRY
PY(y)=PXY(X=x, y); yRY
xRX
Funciones de probabilidad marginal
X: v.a.c. (X, Y) vector aleatorio bidimensional
f(x); xR
fXY(x,y); (x,y)R2
PXY(x, y) = PX(x)PY/X(y/x) = PY(y)PX/Y(x/y) ; (x,y)RXY
Si PXY(x, y)=PX(x)PY(y); (x,y)RXY X,Y son independientes
Funciones de probabilidad condicional
fX (x) = fXY(x, y) dy yR
Funciones de densidad de probabilidad marginal
fY (y) = fXY(x, y) dx xR
Funciones de densidad de probabilidad condicional
fXY(x, y) = fX (x) fY/X(y/x) = fY(y) fX/Y(x/y); (x,y)R2
Si fXY(x, y) = fX (x) fY(y); (x,y)R2 X,Y son independientes2
Variables aleatorias multidimensionales
X: v.a.d
P(X=x) = p(x); xRX
E(h(X,Y)) = h(x, y)PXY(x,y) (x,y)RXY
X: v.a.c
f(x); xR
E(h(X)) =
h(x)f(x)dx
E (h(X,Y) = h(x,y)fXY(x, y)dx dy (x,y)R2
E(h(X)) = h(x)p(x) xRX
X, Y v.a.d. bidimensional PXY(x, y)=P(X=x,Y=y); (x,y)RXY
Valores esperados
E(X) = X = xPXY(x,y) (x,y)RXY
E(Y) = Y = yPXY(x,y) (x,y)RXY
E(X2) = x2PXY(x,y) (x,y)RXY
E(Y2) = y2PXY(x,y) (x,y)RXY
E[(XX)2] =V(X)
E[(YY)2] =V(Y)
COV(X,Y) = E[(XX)(YY)] = E(XY) E(X)E(Y)
X, Y v.a.c. bidimensional
Valores esperados
E (X) = X = xfXY(x, y)dx dy (x,y)R2
E (Y) = Y = yfXY(x, y)dx dy (x,y)R2
COV(X,Y) = E[(XX)(YY)] = E(XY) E(X)E(Y)
COV(X,Y) = (xx)(y-y)fXY(x, y)dx dy (x,y)R2
3
fXY(x,y); (x,y)R2
La cantidad de combustible, en miles de litros, en un tanque al principio del día es una magnitud aleatoria Y, de la cual una cantidad aleatoria X se vende durante el día. El tanque no se rellena durante el día, de forma tal que es X<Y. La función de densidad de probabilidad conjunta de estas variables es
caso otroen 0
10,02),(
yyxyxf XY
a) Calcular las funciones de densidad de probabilidad marginales fX(x) y fY(y).
b) Determinar si X y Y son independientes. c) ¿Cuál la cantidad esperada de combustible que se vende en un día?d) ¿Cuál es la cantidad esperada de combustible que se vende en un día en el que se comienza con la mitad del tanque lleno?e) ¿Cuál es la cantidad esperada de combustible al comenzar el día?f) Hallar la cantidad promedio de combustible que queda en el tanque al final del día.g) Si se sabe que al iniciar el día el tanque está lleno hasta la mitad, ¿cuál es la probabilidad de que se venda entre 1/4 y 1/2 tanque?h) ¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda menos de un cuarto de tanque?i) ¿Cuál es la probabilidad de que si al comienzo del día el tanque está llena más de la mitad, se venda menos de un cuarto de tanque?j) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de X y Y.
Variables aleatorias multidimensionales. TPNº 5. Ejercicio 10Combustible y venta
4
X: Combustible, en miles de litros, que se vende durante el día
Y: Combustible, en miles de litros, en el tanque al principio del día
No se rellena
X < Y
x
y
1
1 y = x
y
x
fXY(x,y)
1
1
2
caso otroen 0
10,02),(
yyxyxf XY
Función densidad de probabilidad conjunta
Visión del dominio donde fXY(x,y) es no nula
2R ),(0),( yxyxf XY
1112
12),(
dxdyyxf XY
5
Combustible y venta
x
y
1
1
y = x
y = 1
y
x
fXY(x,y)
1
1
2
fX (x) = fXY(x, y) dy yR
Función de densidad de probabilidad marginal de X
6
x <0 0 x 1
x >1
00),()(
dydyyxfxf XYX
00),()(
dydyyxfxf XYX
)1(2020020),()(1
1
1xydydydydyyxfxf
y
xyy
y
xy
xy
XYX
10
10)1(2
00
)(
x
xx
x
xf X
Si x < 0,
Si x > 1,
Si 0 x 1, .
)1()()1(2)( xuxuxxf X
Combustible y venta
x
y
1
1
y = x
y = 1
y
x
fXY(x,y)
1
1
2
fY (y) = fXY(x, y) dx xR
Función de densidad de probabilidad marginal de Y
7
y<0
0 y 1
y >1
00),()(
dxdxyxfyf XYY
00),()(
dxdxyxfyf XYY
Si y < 0,
Si y > 1,
Si 0 y 1,
.
)1()(2)( yuyuyyfY
yxdxdxdxdxyxfyfyx
xyx
yx
x
x
XYY 2020020),()(00
0
10
102
00
)(
y
yy
y
yfY
Combustible y venta
y
x
fXY(x,y)
1
1
2
¿Son independientes X, Y?
8
.
10
102
00
)(
y
yy
y
yfY
Para serlo fXY(x, y) = fX (x) fY(y); (x,y)R2
4.01)8.0()5.0(2)8.0,5.0( yfxfyxf YXXY
Pero, por ejemplo,
10
10)1(2
00
)(
x
xx
x
xf X
No son independientes
3
1
6
12
3
1
2
12
3220)1(20)()(
1
0
32
1
1
0
0
x
xx
x
x
x
X
xxdxxdxxxdxxdxxxfXE
.
¿Qué representa? Cantidad esperada, en miles de litros, de combustible que se vende en un día
3
2
3
12
32020)()(
1
0
3
1
1
0
0
y
yy
y
y
y
Y
ydyyydyydyydyyyfYE
¿Qué representa? Cantidad esperada, en miles de litros, de combustible al comenzar el día
Combustible y venta
9
.
10
102
00
)(
y
yy
y
yfY
¿Y si la pregunta es la cantidad esperada (en miles de litros) de combustible que se vende en un día en el que se comienza con la mitad del tanque lleno?
dxyxxfE YXYX )/(// )(
),()/(/ yf
yxfyxf
Y
XYYX
Esta pregunta corresponde a un valor esperado de la variable aleatoria X, condicionada por el conocimiento del valor de Y=1/2.
donde
x
y
1
1
y = x
y=0.5
caso otroen 0
10,02),(
yyxyxf XY
caso otroen 1
0
5.001
2
)5.0(
),()5.0/(5.0/
x
yf
yxfyxf
Y
XYYX
4
1
2
1
22020)5.0/(
25.0
0
2
5.0
5.0
0
0
5.0/5.0/
x
xx
x
x
x
YXYX
xdxxdxxdxxdxyxxfE
Combustible y venta
Si se sabe que al iniciar el día el tanque está lleno hasta las 1/2 partes, ¿cuál es la probabilidad de que se venda entre 1/4 y 1/2 tanque?
caso otroen 0
5.002
)5.0(
),()5.0/(5.0/
x
yf
yxfyxf
Y
XYYX
x
y
1
1
y = x
y=1/2
x=1/4 x=1/2
5.0
25.0
50.0
25.05.0/5.0/ 22)5.0/5.025.0()2/1/2/14/1( xdxdxyxfYXPx
xYXYX
5.0)2/1/2/14/1(5.0/ YXP YX
10
Combustible y venta
¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda menos de un cuarto de tanque?
2/1,4/1,10/),( yxyxyxRA2R
y=1/2
x
y
1
1
y = x
x=1/4
RA .
Evento A : el tanque esté lleno más de la mitad al comenzar el día (Y>1/2) y se vende menos de un cuarto de tanque (X<1/4) – Ambas condiciones en simultáneo
ARyx
XY dxdyyxfYXPAP),(
),()2/14/1()(
4
1
2
1
2
122)(
1
2/1
1
2/1
1
2/1
4/1
0
1
2/1
4/1
0
y
y
y
y
y
y
x
x
y
y
x
xydydyxdydxAP
11
Observación: en este problema se puede calcular muy fácilmente por el volumen del paralelepípedo 4
12
4
1
2
1
Superficie de la base x altura
Combustible y venta
¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda más de tres cuartos de tanque?
.
Evento B : el tanque esté lleno más de la mitad al comenzar el día (Y>1/2) y se vende menos de un cuarto de tanque (X>3/4) – Ambas condiciones en simultáneo
12
2/1,4/3,10/),( yxyxyxRB2R
y=1/2
x
y
1
1
y = x
x=3/4
RB
16
1
8
9
16
9
2
31
2
3
4
3222)(
1
4/3
21
4/3
1
4/3 4/3
1
4/3 4/3
y
y
y
y
y
y
yx
x
y
y
yx
xyydyydyxdydxBP
Observación: en este problema se puede calcular muy fácilmente por el volumen del paralelepípedo 16
12
4
1
4
1
2
1
Superficie de la base x altura
BRyx
XY dxdyyxfYXPBP),(
),()2/14/3()(
Combustible y venta
Pregunta anterior: ¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda menos de un cuarto de tanque?
.
13
¿Cuál es la probabilidad de se venda menos de un cuarto de tanque si sabe que al comienzo del día el tanque está lleno más de la mitad?
¿En qué se diferencian?
1
2/1
/
)(
),(
)2/1(
)2/1,4/1()2/1/4/1(
y
y Y
R
XY
XYYX
dyyf
dxdyyxf
YP
YXPYXP A
y=1/2
x
y
1
1
y = x
x=1/4
4
32)2/1(
1
2/1
22/1
1
y
y
y
yyydyYP
3
1
4/3
4/1)2/1/4/1(/ YXP YX
ARyx
XY dxdyyxfYXPAP),(
),()2/14/1()(
Combustible y venta
Una persona tiene dos bombillas para una lámpara en particular. Sea X la variable aleatoria que corresponde a la duración de la primera bombilla y Y la correspondiente a la duración de la segunda bombilla, ambas en miles de horas (Por ejemplo, X=1, significa que la primer bombilla funciona 1000 horas). Suponiendo que X y Y son independientes y que cada una de ellas tiene una distribución exponencial de parámetro =1, responder las siguientes cuestiones.
a) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad conjunta de X y Y, fX,Y(x,y)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que cada bombilla (por separado) dure a lo sumo 1000 horas, esto es P(X1) y P(Y1)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total de funcionamiento de la lámpara sea a lo sumo 2000 horas, supuesto que cuando se quema la primera se reemplaza por la segunda? Sugerencia: tener presente que el evento detallado está vinculado con los pares de valores del conjunto
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total de funcionamiento de la lámpara esté entre 1000 y 2000 horas?
b) Sea la variable aleatoria suma T=X+Y. Hallar la función de densidad y la función de distribución de probabilidad de T.
Variables aleatorias multidimensionales. TPNº 5. Ejercicio 16Lámpara con bombilla de repuesto
2,0,0/),( yxyxyx
14
15
X: Vida útil, en miles de horas, de la primera bombilla; X ~ Exp()
Y: Vida útil, en miles de horas, de la segunda bombilla; Y ~ Exp()
X, YIndependientes
0
0.5
1
1.5
2
2.50
0.51
1.52
2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
y
x
f(x,y)
f(x,y)=exp(-x-y) x>0, y>0
)()(),( )(2, yuxueyxf yxYX
Representación de la función de densidad conjunta para = 1
fXY(x, y) = fX (x) fY(y)
Lámpara con bombilla de repuesto
16
Por las características del problema, sería conveniente trabajar con la variable aleatoria suma
T = X + Y : Vida útil, en miles de horas, del sistema ¿Qué distribución tiene T ?
)()( tTPtFT
0)()( tTPtFT
tx
x
xty
y
XYT dxdyyxftYXPtTPtF0 0
),()()()(
x
y
x + y = t
t
t
t > 0
Si t < 0,
Si t 0,
Los límites de integración se deducen de la figura del dominio
dxdyeedxdyeetYXPtTPtFtx
x
xty
y
yxtx
x
xty
y
yxT
0 00 0
2)()()(
tx
x
txtx
x
xtxtx
x
xty
y
yxT dxeedxeedxeetF
00
)(
00
1)(
tttttx
x
txT teeteexeetF
101)(0
.
01
00)(
ttee
ttF ttT
0
00)( 2 tte
ttf tT
tttT
eteet
t
dt
tdF
)()(0
00)(
t < 0
Lámpara con bombilla de repuesto
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x,t
f(x)=exp(-x)
f(t)=t exp(-t)
f
Función densidad de probabilidad de la vida útil de una bombilla; fX(x) con =1
Función densidad de probabilidad de la suma de la vida útil de dos bombillas independientes e idénticasT = X + Y; fT(t)
17
Lámpara con bombilla de repuesto
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x,t
F
f(x)=1-exp(-x)
f(t)=1-exp(-x)-t exp(-t)
Función de probabilidad acumulada de la vida útil de una bombilla; FX(x) = P(X x) con =1
Función de probabilidad acumulada de la suma de la vida útil de dos bombillas independientes e idénticasT = X + Y; FT(t) = P(T t)
18
Lámpara con bombilla de repuesto
En general la suma de variables aleatorias, aún cuando las mismas sean idénticas e independientes, no mantiene la distribución de las variables sumadas
No obstante
La combinación lineal de un número finito de variables aleatorias normales independientes, aún cuando las mismas no sean idénticas, da por resultado una
variable aleatoria normal
Propiedad reproductiva de la variable aleatoria normal
19
¿Cómo se suman? ¡Artesanalmente!
iX Normales Independientes ni ,,2,1
n
iii XaY
1
Normal
)()()()()( 332211 nn XEaXEaXEaXEaYE
)()()()( 22
221
21 nn XVaXVaXVaYV
Propiedad reproductiva
22 7;170 XXNX
22 5;50 YYNY
22 40;300 WWNW
Hay unas zapatillas económicas que se expiden en cajas de cartón corrugado de 6 pares, cada par contenido en su caja individual. Frecuentemente los clientes reciben cajas con unidades faltantes, es decir que se encuentran 11 (o menos) zapatillas y reclaman furiosamente al vendedor. Para solucionar el problema, se ha decidido efectuar un control al final de la línea de empaques, pero como obviamente sería ilógico abrir cada caja para verificarla, se aplicará el siguiente procedimiento: se colocará una balanza al final de la línea y se pesarán todas las cajas, abriendo luego aquellas cuyo peso sea sospechoso. Ahora, para implementar este control debe fijarse un peso crítico C, tal que si una caja pesa menos, se la abrirá. A efectos de calcular el valor de C, se establece la condición de detectar al menos el 99% de las cajas con 11 zapatillas, y se sabe que los pesos de las zapatillas y las cajas son variables normales con los siguientes parámetros:
peso de las cajas de cartón corrugado en gramos,
Calcular: i. el valor de C; ii. el porcentaje de las cajas completas que se revisa inútilmente.
Variables aleatorias multidimensionales. TPNº 5. Ejercicio 17.dZapatillas económicas
peso individual de las zapatillas en gramos,
peso de las cajas individuales en gramos,
20
Zapatillas económicas
22 7;170 XXNX
22 5;50 YYNY
22 40;300 WWNW
WYYYXXXT kk 62121
kjX j ,,1,
6,,1, iYi
T: peso total de un empaque con k zapatillas, para k=1, 2, , 12
peso individual de cada una de las zapatillas
Suponemos que el error está en el embalaje de los pares de zapatillas pero no hay error en
el número de cajas individuales dentro del empaque de cartón
Todos los pesos están en gramospeso de cada caja individual
W peso del empaque de cartónV.A. Normales independientes
WYXkkTk kWEYEYEYEXEXEXETE 6)()()()()()()()( 62121
600170300506170 kkTk
22262121
2 6)()()()()()()()( WYXkkTk kWVYVYVYVXVXVXVTV
175049160025649 kkTk
)175049;600170( 2 kkNT TkTkk
Propiedad reproductiva: T tiene distribución normal
21
Representación de las funciones de densidad de probabilidad de Tk para valores k=12, 11, 10(El valor medio T y la dispersión T van disminuyendo da acuerdo a las leyes halladas)
Zapatillas económicas
)175049;600170( 2 kkNT TkTkk
T: peso total de un empaque con k zapatillas, para k=1, 2, , 12
2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
T12E(T12)=2640V(T12)=48.35
T10E(T10)=2300V(T10)=47.33
T11E(T11)=2470V(T11)=47.84
C
¿C?
Control: toda caja de peso inferior a C va a revisión
Criterio para hallar C: asegurar que el 99% de los embalajes con 11 zapatillas vaya a revisión
22
0.99
¿?
Vinculado al porcentaje de embalajes en buenascondiciones que van innecesariamente a revisión
Cálculos
)2289;2470( 21111 TkNT
99.0)( 11 CTP 99.084,47
2470
84,47
2470
11
1111
C
ZPCT
PT
T
33.284.47
2470
Cgramos)(en 5.2581C
)2338;2600( 2121212 TNT
1131.021.135,48
26405.2581)(
12
121212
ZPT
PCTPT
T
1131.0)( 12 CTP
Con este valor de C, para se verifica:
.
El 11.31% de los embalajes en buenas condiciones va a revisión
Zapatillas económicas
23