Variable Compleja

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lGabriel Vera Bot

Variable Complejaproblemas y complementos

Gabriel Vera Bot

ariable complejalemas y complementos

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Gabriel Vera Botha sido catedrticode anlisis matemticoen la Universidadde Murcia. En 1972se doctor en Ciencias(Seccin de Matemticas)por la UniversidadComplutense, donde

permaneci desde 1968 hasta 1976. Su labordocente se inici en este periodo del queproceden los tres volmenes de la obraProblemas de anlisis matemtico que publicen colaboracin con F. Bombal yL. Rodriguez.

En Septiembre de 1976 se incorpor a laUniversidad de Murcia y comenz a dirigirproyectos de investigacin financiados por elEstado Espaol. Sus principalesinvestigaciones se han centrado en laintegracin vectorial y su relacin con losespacios de Banach. En este campo hapublicado trabajos originales y dirigido variastesis doctorales. Durante su larga trayectoriadocente se ha ocupado, entre otras, de lasenseanzas de anlisis complejo y anlisismatemtico II.

En Open Course Ware,(ocw.um.es/ciencias/analisis-matematico-ii)ha publicado Lecciones de anlisis matemticoII y en su pgina personal (webs.um.es/gvb/)ha difundido diverso material docente sobreanlisis complejo y topologa.

Su direccin electrnica es [email protected] .

ltimos ttulos publicados en esta serie

1. B. Cascales, J.M. Mira, J. Orihuela,M. Raja

Anlisis funcional

2. V. Calvo, A. Peris, F. Rodenas

Diagonalizacin y clculo

multivariable con Mathematica

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Primera edicin

e-lectoibris

Comit editorial de la Real Sociedad Matemtica Espaola

Guillermo Curbera, Miguel ngel Revilla (directores),Manuel Abellanas, Sergio Amat, David Arcoya, Jos Bonet, Rafael Crespo,

Guadalupe Gmez, Clara Grima, Elvira Mayordomo, Vicente Muoz,Rafael Sendra y Elena Vzquez

Editor por Ediciones e-LectoLibris

Bernardo Cascales

A.M.S. Mathematics Subject Classification (2010): 30-01, 30Axx, 30Bxx, 30Cxx,30Dxx, 30Exx

Cdigo IBIC: PBKDCdigo CDU: 517, 515.1

Diseo de cubierta: Juan Pedro Cascales Sandoval, Ana Martnez Martnezy Ediciones Electolibris S.L.

Diseo y composicin: Ediciones Electolibris S.L.Compuesto con LATEX con tipos Computer Modern Fonts, Lucida Handwriting,

y Helvetica

c Gabriel Vera Botc Ediciones Electolibris, S. L. (2013)C.I.F. B-73749186Pablo Neruda, 730820 Murcia (Espaa)www.electolibris.es

c Real Sociedad Matemtica Espaola (R.S.M.E.)C.I.F. G-28833523

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e-ISBN: 978-84-940688-4-3Depsito legal: MU 965-2013

Los dos productos identificados por sus respectivos ISBN ms abajo, publicadospor Ediciones Electolibris S. L., tienen por ttulo

Variable compleja: problemas y complementos

y autor Gabriel Vera Bot.

ISBN: 978-84-940688-3-6 Versin en papel: libro de problemas, con introduc-ciones tericas y problemas resueltos.

eISBN: 978-84-940688-4-3 Versin en formato digital PDF con una pequeaparte de los problemas de 978-84-940688-3-6 resueltos y:

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tres captulos no incluidos en 978-84-940688-3-6, con sus respectivos resme-nes tericos y problemas resueltos a travs de aplicacin web (requiere accesoa internet).

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En un verso de ocho slabasqu no cabr,si en una y tan slo en ellacabe el mar?

Ocho slabas son muchaspara cantar.Me basta una que tengapor dentro el mar.

Rafael Alberti.

Dedicado a Marisa, Marcos y Mara,que tambin llevan dentro el mar.

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Prlogo 1

Cmo hacerlo 5

1. Los nmeros complejos 13

1.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Mdulo, argumento y conjugado, 14. Exponenciales, logaritmosy races, 15. Sumacin de familias numerables y series dobles, 16. Complementos sobre familias sumables, 18.

1.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Sobre mdulo, argumento y conjugado, 22. Ejercicios con poli-nomios complejos, 23. Sobre familias sumables, 24.

1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Topologa y geometra en el plano complejo 30

2.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Compacidad y conexin, 31. Transformaciones de Mbius, 34. Representaciones grficas, 36.

2.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Geometra analtica con coordenadas complejas conjugadas, 37. Transformaciones de Mbius y geometra, 42. Otras transfor-maciones. La transformacin de Joukowski, 45. Complementossobre la esfera de Riemann, 48. Complementos sobre compacidady conexin, 50.


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ndice general viii

3. Funciones de variable compleja 55

3.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Las funciones elementales, 56.Multifunciones y la determinacinde sus ramas, 58. Funciones holomorfas, 60. Transformacionesconformes, 64.

3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Sobre la determinacin de ramas, 68. Propiedades de las funcio-nes elementales, 73. Funciones holomorfas y transformacionesconformes, 76. Complementos, 80.


4. Series de potencias 83

4.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Convergencia uniforme, 84. Series de potencias, 85. Funcionesanalticas. Ceros y principio de identidad, 91.

4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Convergencia uniforme de sucesiones de funciones, 93. Conver-gencia uniforme de series de potencias, 94. Desarrollos de fun-ciones concretas, 98. Funciones definidas por series de poten-cias, 105. Ceros y principio de identidad, 107. Complementossobre funciones analticas, 108. Complementos sobre puntos sin-gulares, 111.


5. Versin elemental de los teoremas de Cauchy 115

5.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Integral de camino, 116. Los teoremas de Cauchy en versin ele-mental, 119. Las primeras consecuencias. Teoremas de Morera,Liouville y Weierstrass, 121.

5.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Ejercicios con la integral de camino, 124. Clculo de integra-les con desarrollos de Laurent, 125. Aplicaciones de los teore-mas de Cauchy, 128. Ejercicios que usan la frmula integral deCauchy, 132. Desigualdades de Cauchy y teorema de Liouvi-lle, 137. Complementos sobre funciones definidas por integra-les, 140.

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6. Singularidades aisladas 145

6.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Comportamiento local, 146. Singularidades aisladas, 147. Residuo en una singularidad aislada, 150. Funciones meromor-fas, 151.

6.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Sobre singularidades evitables y polos, 155. Sobre singularidadesesenciales, 157. Clculo de residuos de funciones concretas, 159. Complementos sobre funciones meromorfas, 162.


7. Teorema de los residuos 167

7.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168ndice de un ciclo respecto a un punto, 168. Versin general delos teoremas de Cauchy, 171. Teorema de los residuos y principiodel argumento, 173.

7.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176ndice de un camino cerrado, 176. Existencia de primitivas, lo-garitmos y races, 178. Sobre la versin general de los teore-mas de Cauchy, 181. Algunas aplicaciones del teorema de losresiduos, 183. Utilizacin del principio del argumento, 190. Ejercicios con el teorema de Rouch, 193. Complementos sobrehomotopa, 196.


8. Aplicaciones clsicas del teorema de los residuos 199

8.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Mtodos para el clculo de integrales, 200. Mtodos para lasumacin de series, 202.

8.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Clculo de integrales con los mtodos habituales, 203. Clculode otras integrales, 206. Sumacin de series, 211.


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ndice general x

9. Transformaciones conformes 218

9.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Teorema del mdulo mximo, 219. Isomorfismos conformes, 220.

9.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Aplicaciones del teorema del mdulo mximo, 221. El lema deSchwarz y los isomorfismos conformes, 223.


10. Funciones armnicas 232

10.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Funciones armnicas. Funcin armnica conjugada, 233. Princi-pio del mximo, 234. El problema de Dirichlet. Frmula integralde Poisson, 235.

10.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Propiedades de las funciones armnicas, 237. Sobre las funcionesarmnicas en una corona, 239. Sobre el principio del mximo yel problema de Dirichlet, 240.


11. Representacin de funciones 244

11.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Productos infinitos, 245. La funcin de Euler, 248. Lafuncin de Riemann, 250.

11.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Factorizacin de funciones, 251. Sobre la funcin , 252. Sobre la funcin , 253.


12. Familias y sucesiones de funciones holomorfas 257

12.1. Preliminares tericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Topologa en C(), 258. Familias normales de funciones holo-morfas, 259. Sucesiones de funciones armnicas, 261.

12.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

Bibliografa 268

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3.1. Preliminares tericos

3.2. Ejercicios resueltos

3.3. Ejercicios propuestos

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3.1. Preliminares tericos 56

3.1. Preliminares tericos

3.1.1. Las funciones elementales

La funcin exponencial

La funcin exponencial exp(z) = ez es la denida en C mediante la serie

ez =

n=0

zn

n!

que converge absolutamente para todo z C. Usando el producto de con-volucin de series (corolario 1.1.4) se establece que para cada z, w C secumple la ecuacin funcional

ez+w = ezew. (3.1)

(Otra forma de obtenerla se puede ver en el ejercicio 4.43). En particular,cuando x, y R y z = x+ iy se verica

ez = exeiy = ex(cos y + i sen y)

luego|ez| = ex, eiy = (cos y + i sen y),

lo que justica la expresin mdulo argumental de un nmero complejo:z = rei, donde r = |z| y arg z.

La funcin exponencial es peridica de periodo 2pii, exp(C) = C \ {0}, esinyectiva sobre cada banda abierta de la forma

{x+ iy : < y < } con 0 < < 2piy establece una biyeccin entre la banda Bj y el abierto j (j = 1,1)

B1 = {x+ iy : |y| < pi}, 1 = C \ {x R : x 0},B1 = {x+ iy : 0 < y < 2pi}, 1 = C \ {x R : x 0}.

La inversa de la primera biyeccin viene dada por el logaritmo principal

Log : 1 B1; Log z = log |z|+ iArg z.En lo sucesivo, para tener garantizada la continuidad, cuando se considere lafuncin logaritmo principal, Log, siempre se supondr que su dominio es 1.

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Funciones trigonomtricas e hiperblicas

Se denen en trminos de la funcin exponencial

sen z =eiz eiz

2i= z z

3

3!+z5

5! z

7

7!+

cos z =eiz + eiz

2= 1 z

2

2!+z4

4! z

6

6!+

Las funciones sen z y cos z son peridicas con periodos {2mpi : m Z} ycon los mismos ceros que las correspondientes funciones reales.

Las relaciones trigonomtricas usuales

sen2 z + cos2 z = 1;

sen z = cos(pi/2 z);cos z = cos(z);

sen(z) = sen z;sen(z + w) = sen z cosw + cos z senw;

cos(z + w) = cos z cosw sen z senw,

se pueden obtener a partir de la ecuacin funcional (3.1) (en el ejercicio 4.43se muestra una va alternativa para obtenerlas).

Las funciones hiperblicas, que tambin se denen en trminos de la ex-ponencial:

sh z =ez ez

2, ch z =

ez + ez

2

estn directamente relacionadas con funciones trigonomtricas, ya que

ch(iz) = cos z, sh(iz) = i sen z,

cos(iz) = ch z, sen(iz) = i sh z.

Estas funciones siguen cumpliendo las relaciones usuales: ch2 z sh2 z = 1,teoremas de adicin, etc.

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3.1.2. Multifunciones y la determinacin de sus ramas

Al considerar argumentos, logaritmos, la exponenciacin compleja y, msen general, inversas de funciones elementales, como arc sen z, arc tg z, apare-cen funciones multiformes o multifunciones (es decir, funciones cuyos valoresson subconjuntos del plano complejo) para las que se adopta la siguienteterminologa:

Definicin 3.1.1.

Sea T un subconjunto del plano complejo y P(C) el conjunto de laspartes de C. Una multifuncin (o funcin multiforme) con dominio T yvalores en C es una aplicacin

G : T P(C)

Se dice que g es una rama o determinacin continua de G si g : T Ces continua y g(t) G(t) para cada t T .

Ejemplos notables de multifunciones son arg z, log z y nz. El argumento

principal y el logaritmo principal son funciones continuas sobre el abierto

1 = C \ {x R : x 0}luego son ramas de las multifunciones arg z y log z.

Dado un nmero complejo a 6= 0, si c log a, la funcin fc(z) = ecz escontinua y fc(z) az para todo z C, es decir, fc es una rama de la funcinmultiforme az. Segn el ejercicio 3.38 toda rama de az es de esta forma.Con c = Log a se obtiene la rama o determinacin principal de az. Para estarama (funcin valor principal de la exponencial de base a) se suele utilizar elmismo smbolo az y, as, en lo que sigue se adopta el convenio de notacin

az = eaLog z.

El nico problema que ocasiona este convenio es que cuando se desee consi-derar la funcin multiforme az habr que manifestarlo explcitamente.

Cuando a = 1/n, con n N, tambin reservaremos la notacin nz parala rama principal de la raz n-sima de z denida en 1 por

n

z = z

1

n = e1

nLog z.

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La mayor parte de las multifunciones de inters aparecen cuandoG(t) = f1(t) donde f : T est denida en un abierto C.Las ramas continuas de multifunciones de la forma log f(t), arg f(t) recibennombres especiales:

Definicin 3.1.2.

Sea f : T C \ {0} continua en un subconjunto T de R o C.Si g : T C es continua y g(t) log f(t) para todo t T , se dice

que g es un logaritmo continuo de fen T y tambin que es una rama dela funcin multiforme log f(t).

Si : T R es continua y (t) arg f(t) para todo t T , se diceque es un argumento continuo de f en T , y tambin que es una ramade la multifuncin arg f(t).

Definicin 3.1.3.

Sea f : T C una funcin continua y n N. Si h : T C esuna funcin continua tal que h(t)n = f(t) para todo t T , se dice queh es una raz n-sima continua de f en T .

El problema natural que concierne a las multifunciones es el de la determi-nacin y gestin de sus ramas y, en particular, el de determinar o caracterizarlos abiertos C donde existen ramas de una multifuncin dada. En losejercicios de esta captulo se exponen las tcnicas, basadas en argumentos deconexin, para determinar y manejar de manera precisa ramas de algunostipos de multifunciones. Tambin se consideran algunos casos particularessencillos, donde se determinan ramas mediante frmulas concretas.

Si g es un logaritmo continuo de f entonces = Im f es un argumentocontinuo de f y, recprocamente, si es un argumento continuo de f enton-ces g = log |f | + i es un logaritmo continuo de f . En el ejercicio 7.11 sedemostrar que una condicin necesaria y suciente para que en un abierto C exista un logaritmo continuo de la identidad z es que los dos puntos y 0 estn en la misma componente conexa de C \ .

Si T es conexo y L1, L2 : T C (resp. A1, A2 : T R) son logaritmos(resp. argumentos) continuos de f , segn el ejercicio 3.1, existem Z tal queL1(t) = L2(t) + 2pimi; (resp. A1(t) = A2(t) + 2pim) para todo t T.

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En las condiciones anteriores, si en f(T ) hay denido un logaritmo continuoL de la identidad z, entonces g(t) = L(f(t)) es un logaritmo continuo de f enT , pero en general no es cierto que todo logaritmo continuo de f en T admitauna descomposicin de este tipo (la funcin it es un logaritmo continuo def(t) = eit, denido en T = [0, 2pi], pero, segn el ejercicio 3.4, en f(T ) no sepuede denir un logaritmo continuo de z). En el ejercicio 3.5 se puede ver que,en las condiciones habituales, existe una descomposicin local de este tipo.

Si 0 6 f(T ) y en T se puede denir un logaritmo continuo g de f entoncespara cada n N existe en T una raz n-sima continua dada por h(t) = e 1n g(t).Con los ejercicios 3.4 y 3.10 se pone de maniesto que, aunque no exista unlogaritmo continuo de f en T , puede ocurrir que para ciertos valores de n Nexistan races n-simas continuas de f en T .

En el ejercicio 3.2 se establece que si T0 = {t T : f(t) 6= 0} es conexo novaco y f posee en T una raz n-sima continua g, entonces posee exactamenten races n-simas continuas, que vienen dadas por

gk(t) = kg(t) donde k = e2piik/n, k = 0, 1, 2, . . . , n 1.

En este caso, para determinar una rama continua g de nf basta elegir un

punto a T con f(a) 6= 0, indicando cul de los n valores nf(a) es el quetoma g en a. Cada b na determina la rama gk que cumple gk(a) = b.

Se ver ms adelante que la hiptesis sobre la conexin del conjunto T0que interviene en el resultado anterior se cumple cuando T C es abiertoconexo y f una funcin holomorfa no constante (vase el ejercicio 2.39).

En la proposicin 5.1.5 y en el ejercicio 7.36 se vern criterios tiles, entrminos de integrales curvilneas, para discutir la existencia de ramas delogaritmos y de races n-simas de funciones complejas. Sin embargo, parael caso de las funciones polinmicas sencillas merece la pena ejercitarse en labsqueda de frmulas y de los dominios donde estas frmulas denen ramasconcretas de logaritmos y races del la funcin considerada.

3.1.3. Funciones holomorfas

Una funcin f : C, denida en un abierto C, se dice que esderivable (en sentido complejo) en a cuando existe el lmite

lmza

f(z) f(a)z a = f

(a).

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En este caso se dice que f (a) es la derivada de f en a. Para la derivacincompleja se verican los resultados usuales del clculo diferencial: la deri-vabilidad en un punto implica la continuidad en el punto; valen las reglasusuales para el clculo de derivadas de sumas y productos, as como la reglade la cadena para la derivada de la composicin de funciones derivables, f g,donde g es de variable real o compleja. Si es conexo y f (z) = 0 para cadaz entonces f es constante.

Si f : C es derivable en todo z se dice que f es holomorfaen . El conjunto de las funciones holomorfas en se denota H (). A lasfunciones denidas y holomorfas en todo el plano complejo C se les llamafunciones enteras.

Cada polinomio complejo p(z) = a0 + a1z + a2z2 + + anzn es unafuncin entera y vale la frmula usual para la derivada,

p(z) = a1 + 2a2z + + nanzn1.

La funcin exponencial ez, las funciones trigonomtricas sen z, cos z y lasfunciones hiperblicas de variable compleja son enteras y para todas ellassiguen valiendo las mismas reglas de derivacin que en el caso real.

Proposicin 3.1.4.

Sean , V C abiertos, H (V ) y g : V una funcin continuatal que

(g(z)

)= z para todo z . Si no se anula sobre g() entonces

g es holomorfa y g = 1/( g).En particular, el logaritmo principal Log z es holomorfo en su dominio,

con derivada 1/z. Ms an, si f H () con 0 6 f() y g es un logarit-mo continuo (resp. una raz m-sima continua) de f entonces g es holomorfocon derivada g = f /f (resp. mgf = gf ). Cuando f se anula en algnpunto de , si g es una raz m-sima continua de f en , tambin se cum-ple que g es holomorfa en . En este caso, si a es un cero aislado de f , laigualdad mgf = gf no proporciona el valor g(a), y se puede usar (vase elejercicio 5.24) la frmula

g(a) = lmza

f (z)g(z)

mf(z)

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Proposicin 3.1.5.

Una condicin necesaria y suficiente para que f H () posea logaritmoholomorfo en es que 0 6 f() y que la funcin f /f tenga primitiva en .En este caso, si es conexo y g es una primitiva de f /f , existe c C talque g c es un logaritmo holomorfo de f en .

Es fcil ver que en una corona circular = {z : r < |z| < R} no existeun logaritmo continuo de z (vase el ejercicio 3.4) luego, en virtud de losresultados anteriores, 1/z no tiene primitiva en .

Condiciones de Cauchy-Riemann

Cuando f : C viene dada mediante sus componentes

u(x, y) = Re f(x+ iy), v(x, y) = Im f(x+ iy),

el siguiente teorema sirve para reconocer, entre las aplicaciones diferenciablesf : R2, las que son holomorfas.Teorema 3.1.6.

Sea f : C definida en el abierto C. Dado un puntoz0 = x0 + iy0 , son equivalentes:a) f es derivable en z0.

b) f es diferenciable en z0 y sus componentes u = Re f , v = Im f ,cumplen en z0 = x0 + iy0 las condiciones de Cauchy-Riemann:

D1u(x0, y0) = D2v(x0, y0), D2u(x0, y0) = D1v(x0, y0).

En este caso: f (z0) = D1u(x0, y0) + iD1v(x0, y0).

El conjunto de las aplicaciones lineales L : R2 R2, denotado L (R2)en lo que sigue, se puede considerar como espacio vectorial de dimensin dossobre el cuerpo C, mediante la ley externa CL (R2) L (R2), dada por(L)(h) = L(h). Una base de este espacio vectorial es la formada por lasproyecciones

dx : z x = Re z; dy : z y = Im z.

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Respecto a esta base una aplicacin lineal L L (R2) de matriz ( ) seexpresa en la forma L = pdx+ qdy, donde p = + i, q = + i. Otra basede este espacio vectorial complejo la forman las aplicaciones lineales

dz : z z; dz : z z.

En trminos de esta base, L = rdz+sdz donde r = (piq)/2, s = (p+iq)/2,y la condicin de que L sea C-lineal equivale a que s = 0.

En trminos de estas bases la diferencial df(z0) se expresa as:

df(z0) = D1f(z0)dx+D2f(z0)dy = f(z0)dz + f(z0)dz

donde

f(z0) =D1f(z0) iD2f(z0)

2=

1

2

[D1u(z0)+D2v(z0)+iD1v(z0)iD2u(z0)

]

f(z0) =D1f(z0) + iD2f(z0)

2=

1

2

[D1u(z0)D2v(z0)+iD1v(z0)+iD2u(z0)

]

Segn el teorema 3.1.6, f es derivable en z0 si y slo si f(z0) = 0, y en estecaso f (z0) = f(z0). Tambin se suele emplear la notacin

f

z(z0) = f(z0);

f

z(z0) = f(z0);

con la que las condiciones de Cauchy-Riemann en z0 se resumen as:

f

z(z0) = 0

y la condicin para que una funcin diferenciable f : C sea holomorfase expresa en la forma (f/z) 0, que se suele interpretar diciendo que

f(z, z) = u

(z + z

2,z z2i

)+ iv

(z + z

2,z z2i

)

no depende de z. Las funciones diferenciables en que cumplen (f/z) 0slo dependen de z y se les llama antiholomorfas (vase el ejercicio 3.26).

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3.1.4. Transformaciones conformes

Dado un par ordenado de vectores no nulos (w1, w2) del espacio eucldeoR2 (que se supone identicado con C) se llama ngulo orientado del par

(w1, w2) al nmero real Arg(w2/w1) (pi, pi].Definicin 3.1.7.

Se dice que f : C, definida en un abierto C, conservangulos orientados en a cuando para cada w, con |w| = 1, existew > 0 tal que D(a, w) , f(a + tw) f(a) 6= 0 si 0 < t < w y ellmite

lmt0+

f(a+ tw) f(a)w|f(a+ tw) f(a)| = c

existe y no depende de w.

La interpretacin geomtrica de esta denicin es sencilla. El vector unitariocw seala la direccin lmite de las direcciones de las cuerdas f(a+tw)f(a),de modo que cw es un vector unitario tangente a la curva t f(a+ tw) enel punto f(a) (este vector tangente unitario puede existir cuando f (a) = 0,por lo que esta nocin de vector tangente es ms general que la usual).

Dadas dos semirrectas que surgen de a, de ecuaciones paramtricas

z1(t) = a+ tw1, z2(t) = a+ tw2, t 0

con |w1| = |w2| = 1, sus imgenes mediante f son dos curvas que surgen def(a) con la propiedad de que sus vectores unitarios tangentes forman un parordenado (cw1, cw2), cuyo ngulo orientado coincide con el del par (w1, w2).

b

z1(t)

z2(t)

w1

w2a

x

y

b

2(t)1(t)

cw1

cw2

f(a)

u

v

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Una aplicacin lineal L : R2 R2 conserva ngulos orientados en 0 siy slo si los conserva en todos los puntos y esto ocurre si y slo si es C-linealno nula (vase el ejercicio 2.9).

Si f es derivable en a y f (a) 6= 0 es fcil comprobar que f conservangulos orientados en a. Recprocamente, se tiene

Teorema 3.1.8.

Si f : C es diferenciable en a con df(a) 6= 0 y conservangulos orientados en a entonces f es derivable en a y f (a) 6= 0.

As pues, una funcin f H () conserva ngulos orientados en a siy slo si f (a) 6= 0. Cuando f es holomorfa el comportamiento del caminow(t) = f(z(t)) cuando el camino z(t) pasa por un punto (o cerca de unpunto) a con f (a) = 0, permite localizar los puntos con derivada nula (vaseel ejercicio 4.52).

Las funciones holomorfas con derivada no nula en todos los puntos de sudominio conservan ngulos orientados en todo punto y por ello reciben unnombre especial:

Definicin 3.1.9.

Una funcin f : C se dice que es conforme en el abierto Csi es derivable en cada z con f (z) 6= 0.

Un isomorfismo conforme del abierto 1 C sobre el abierto 2 Ces una aplicacin biyectiva f : 1 2 tal que f y f1 son conformes.

Obsrvese que, en virtud del teorema 3.1.8, toda funcin biyectiva y dife-renciable con inversa diferenciable f : 1 2 que sea conforme debe serholomorfa.

Si 1,2 C son abiertos, (1,2) designar el conjunto de los iso-morsmos conformes de 1 sobre 2. Cuando (1,2) 6= se dice quelos abiertos 1,2 son conformemente equivalentes. Por denicin, (1) =(1,1).

El problema central de la representacin conforme es el de determinarcundo dos abiertos dados 1, 2 son conformemente equivalentes y en sucaso describir el conjunto (1,2). Cuando se conoce uno de los dos gru-pos de transformaciones (1), (2) basta conocer un elemento particular

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f (1,2) para describir el conjunto(1,2) =

{f : (1)

}={ f : (2)

}.

Segn la proposicin 3.1.4, una biyeccin f : 1 2 es un isomorsmoconforme cuando es holomorfa con inversa continua. De esta armacin sepuede eliminar el requerimiento de que la inversa sea continua porque losrecursos ms avanzados de la teora (corolario 6.1.3) permiten armar quesi f H () es inyectiva entonces f (z) 6= 0 para todo z , la imagenV = f() es abierta y la inversa f1 : V es holomorfa. Es decir, todafuncin holomorfa e inyectiva es un isomorsmo conforme entre su dominioy su imagen, que necesariamente es abierta. En la prctica, como sucede enlos ejercicios de este captulo, se puede prescindir de este resultado ya que,en las transformaciones concretas que se consideran suele ser fcil comprobarque su imagen es abierta y que la inversa es derivable.

La transformacin z z2

La derivada de z2 slo se anula en z = 0 donde se aprecia claramente queno se conservan ngulos orientados. En este caso se duplican. Este fenmeno,que se analiza con detalle en el ejercicio 4.52, lo presenta en z = a cualquierfuncin holomorfa con f (a) = 0 y f (a) 6= 0.

Para cada w 6= 0 la ecuacin z2 = w tiene exactamente dos soluciones,una opuesta de la otra. Por lo tanto z2 es inyectiva y conforme sobre cadaabierto C \ {0} que verique z z 6 . Los abiertosA = {x+ iy : x > 0, y > 0}; P = {x+ iy : y > 0}; H = {x+ iy : x > 0}tienen esta propiedad, luego z2 establece isomorsmos conformes entre ca-da uno de ellos y su imagen. Las imgenes de estos abiertos se obtienenfcilmente usando coordenadas polares z = rei, y son, respectivamente,

P, C \ {x R;x 0}, C \ {x R : x 0}.Conviene observar que la inversa de f |H es la raz cuadrada principal

z, pero

la inversa de f |P es iz. El siguiente cuadro resume algunos isomorsmos

conformes que se establecen mediante la funcin z2 (vanse los ejercicios 2.22y 2.23). En cada caso la inversa es la restriccin, al abierto 2, de la razcuadrada principal

z.

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1z2 2

{x+ iy : x > 0, y > 0} {u+ iv : v > 0}{x+ iy : x > 0} C \ {u R : u 0}{x+ iy : x > t} {u+ iv : v2 > 4t2(t2 u)}{x+ iy : x2 y2 > t} {u+ iv : u > t}

La transformacin z ez

La derivada de la funcin exponencial no se anula nunca, luego la trans-formacin z ez es conforme e inyectiva sobre cualquier abierto que nocontenga parejas de puntos z1, z2 vericando z1 z2 2piiZ.

Usando coordenadas polares para w = ex+iy = ex(cos y + i sen y) seobserva que la funcin exponencial establece isomorsmos conformes entrelas siguientes parejas de abiertos 1, 2 (donde t s < 2pi):

1exp 2

{x+ iy : s < y < t} {rei : r > 0, s < < t}{x+ iy : x < 0, s < y < t} {rei : 0 < r < 1, s < < t}

En particular, cuando t s = pi, la funcin exponencial proporciona un iso-morsmo conforme entre una banda y un semiplano y entre una semibanda yun disco. Para ts = pi/2 se consigue un isomorsmo conforme de una bandasobre un cuadrante y de una semibanda sobre un cuadrante de un disco.

Transformaciones conformes en C

Una funcin f : C denida en un abierto C se dice que esderivable en cuando la funcin F (z) = f(1/z), denida en un entornode 0, es derivable en z = 0 (se usa el convenio usual 1/0 =, 1/ = 0). Enese caso se dene f () = F (0).

La nocin de derivada en el punto permite introducir la nocin defuncin f : C holomorfa en un abierto C: si f : C esderivable en todos los puntos de C se dice que f es holomorfa en yse escribe f H ().

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3.2. Ejercicios resueltos 68

Con una una idea parecida se extiende la nocin de derivada al caso defunciones con valores en C.

Definicin 3.1.10.

Sea f : C, definida en un abierto C, y a .Si f(a) 6= , se dice que f es derivable en a cuando existe

r > 0 tal que f(D(a, r)

) C y f |D(a,r) es derivable en a.Si f(a) =, se dice que f es derivable en a cuando existe r > 0 tal

que (1/f)(D(a, r)

) C y (1/f)|D(a,r) es derivable en a. En este caso seadopta el valor f (a) = (1/f)(a).

Obsrvese que en la denicin anterior est considerada la posibilidad de quesea a = . En este caso la denicin remite a la denicin de derivadaen dada anteriormente. En particular, cuando f() =, la derivabilidadde f en signica que h(z) = 1/f(1/z) es derivable en 0, con f () = h(0).

Si f es derivable en a entonces es continua en a, pero en el casoa = la derivada f puede ser discontinua en (obsrvese que cuandof(z) = 1/z, se tiene f () 6= lmz f (z)). A pesar de este hecho, ladenicin de derivada f (a) cuando a = o f(a) = tiene inters porquecon ella, en todos los casos, la condicin f (a) 6= 0 tiene una interpretacingeomtrica interesante sobre la esfera de Riemann (vase el ejercicio 3.42).

Ahora, las nociones de transformacin conforme e isomorsmo conforme,formuladas en la denicin 3.1.9, se pueden extender al caso de abiertos1, 2 en C. Es fcil comprobar que las transformaciones de Mbius sonautomorsmos conformes de C por lo que las transformaciones inducidas enla esfera de Riemann tienen la propiedad de conservar ngulos orientadosen todos los puntos.

3.2. Ejercicios resueltos

3.2.1. Sobre la determinacin de ramas

Los requisitos tericos para abordar los primeros ejercicios de estebloque son los bsicos referentes a conexin y continuidad en el mbitodel plano complejo con la distancia usual. En ellos se establecen los re-

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sultados bsicos que se suelen usar para determinar ramas continuas dealgunas funciones multiformes (races y logaritmos de funciones). Estosresultados se usan sistemticamente en los siguientes ejercicios referentesa la determinacin de ramas de logaritmos y races de algunos polino-mios. A su vez estos ejercicios intervienen ms adelante a la hora dedenir ramas concretas de la inversa de la transformacin de Joukowskiy de la multifuncin arc cos z (vanse los ejercicios 3.9, 3.21, 2.27, 2.28y 2.29).

Ejercicio 3.1.

Sea f : X C \ {0} una funcin continua definida en un conjuntoconexo X C.

a) Si L1, L2 : X C son logaritmos continuos de f en X (funcionescontinuas que verifican eL1(x) = eL2(x) = f(x) para todo x X) de-muestre que existe m Z tal que L1(x) = L2(x) + 2pimi para todox X.

b) Si A1, A2 : X R son argumentos continuos de f en X (funcio-nes continuas que verifican eiA1(x) = eiA2(x) = f(x)/|f(x)| para todox X) demuestre que existe m Z tal que A1(x) = A2(x)+2pim paratodo x X.

Ejercicio 3.2.

Sea f : X C una funcin continua definida en X C y g : X Cuna raz n-sima continua de f en X (una funcin continua que verificaf(x) = g(x)n para todo x X). Si X0 = {x X : f(x) 6= 0} es conexo novaco demuestre que f tiene en X exactamente n races n-simas continuas,dadas por

gk(x) = kg(x) donde k = e2piik/n, k = 0, 1, 2, . . . , n 1.

Muestre con un ejemplo que el resultado es falso cuando X0 no es conexo.

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Ejercicio 3.3.

Dado b C \ {0}, obtenga frmulas con las que queden definidos unlogaritmo continuo y un argumento continuo de z en el abierto

b = C \ {tb : t R, t 0}.

Ejercicio 3.4.

Si {z : |z| = r} V C y 1 < m N, demuestre que una condicinnecesaria y suficiente para que exista en V una raz m-sima continua de zn,(n N), es que n sea un mltiplo de m. Obtenga como consecuencia que,para cualquier n N, no existe un logaritmo continuo de zn en V .

Ejercicio 3.5.

Sea f : X C \ {0} una funcin continua que posee un logaritmocontinuo g (resp. una raz m-sima continua h) en X C.a) Muestre que, en general, no se puede asegurar la existencia de un loga-

ritmo continuo de z, definido en f(X), tal que

g(x) = L(f(x)

)(resp. h(x) = e

1

mL(f(x))) para todo x X.

b) Si X es localmente conexo (cada punto posee una base de entornosconexos) demuestre que cada a X posee un entorno Va tal que enf(Va) hay definido un logaritmo continuo L de z verificando

g(x) = L(f(x)

)(resp. h(x) = e

1

mL(f(x))) para todo x Va.

Ejercicio 3.6.

Obtenga los abiertos en los que las siguientes frmulas definen racescuadradas continuas de z2 1 e indique las relaciones entre las mismas.a) f1(z) =

z2 1

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b) f2(z) = z

1 1

z2

c) f3(z) = i1 z2

Aqu

designa la raz cuadrada principal, definida en el complemento deleje real negativo.

Ejercicio 3.7.

Compruebe que las frmulas

(z) = i(z + 1)

1 z1 + z

(z) = (z + 1)

z 1z + 1

definen, respectivamente, races cuadradas continuas de z21 en los abiertosU = C \ {x R : |x| 1} V = C \ {x R : |x| 1}.

Obtenga su relacin con las obtenidas en el ejercicio 3.6.

solucin.

El dominio de es C\E donde E es el conjunto de los nmeros complejosz tales que el cociente T (z) = (1 z)/(1 + z) es real 0. El cociente es realnegativo si y slo si los vectores z 1 y z + 1 tienen la misma direccin,lo que ocurre si y slo si z {x R : |x| > 1}. Adems T (1) = 0 yT (1) = , luego E = {x R : |x| 1} (tambin se puede calcularE = T1({} {x R : x 0}) usando la teora de transformacionesde Mbius). Se obtiene as que el dominio de es U . Con un razonamientosimilar se obtiene que el dominio de es V .

La funcin f3 considerada en el ejercicio 3.6 tambin tiene como dominioel abierto U . Puesto que y f3 son races cuadradas continuas de z2 1en el abierto conexo U , y ambas toman el mismo valor en z = 0, en virtuddel ejercicio 3.2, se concluye que = f3. Con un razonamiento similar,considerando el punto z = 2 del abierto conexo V , se obtiene que = f2.

Nota. Disponemos de dos frmulas distintas para la funcin = f2 (resp. = f3) y segn los propsitos convendr elegir la ms apropiada. Veremosms adelante, en el ejercicio 4.22, que, para escribir el desarrollo de Laurentde en |z| > 1, la ms adecuada es la frmula (z) = f2(z) =

1 1/z2.

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Ejercicio 3.8.

Utilice la teora de las transformaciones de Mbius para obtener una razcuadrada continua de z2 1, definida en el complemento de un arco de cir-cunferencia de extremos +1,1.

Ejercicio 3.9.

Demuestre que en cada uno de los abiertos

U = C \ {x R : |x| 1}, V = C \ [1, 1]se pueden definir exactamente dos ramas continuas de la inversa de la trans-formacin de Joukowski J(z) = (z+1/z)/2. Para cada una de ellas obtengauna frmula explcita y la imagen.

Ejercicio 3.10.

Demuestre que z21 tiene logaritmo continuo en U= C\{x R : |x| 1},no tiene logaritmo continuo en V = C \ {x R : |x| 1}, pero posee razcuadrada continua en V .

Ejercicio 3.11.

Se considera el polinomio p(z) = z22z+2, con ceros a = 1+i, a = 1i.Compruebe que las siguientes frmulas definen ramas continuas de la raz

cuadrada del polinomio p(z).

a) f1(z) = (z 1)

1 +1

(z 1)2 b) f2(z) = (z a)z az a

c) f3(z) =2

1 z/a1 z/a d) f4(z) = z1 a/z1 a/zDetermine el dominio de cada una y estudie la relacin entre cada dos ramasen la interseccin de sus dominios.

Ejercicio 3.12.

Sea 0 = {z : Im z > 0} \ J donde J = {1 + it : 0 < t 1}. Compruebeque con la frmula g(z) = i

p(z) queda definida en 0 una raz cuadradacontinua del polinomio p(z) = z22z+2. Demuestre que g es inyectiva sobre0, Calcule la imagen G = g(0) y una frmula explcita para la inversag1 : G 0.

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Ejercicio 3.13.

Justifique que en U = C \ {x R : 1 |x|} y V = C \ [1, 1] exis-ten races cuadradas continuas f : U C, g : V C de la fun-cin (z) = z2/(1 z2) y obtenga frmulas para las determinadas porf(i) = g(i) = i/

2. Compruebe que f y g coinciden y son inyectivas en

el semiplano P = {z : Im z > 0}, calcule la imagen A = f(P ) = g(P ) y unafrmula para la inversa de f |P .

3.2.2. Propiedades de las funciones elementales

En los siguientes ejercicios se consideran propiedades sencillas y b-sicas de las funciones elementales que son consecuencia directa de sudenicin (ceros, inyectividad, clculo de imgenes).

Ejercicio 3.14.

Obtenga los ceros de las funciones cos z, sen z, ch z y sh z.

Ejercicio 3.15.

Determine los periodos de la funcin cos z.

Ejercicio 3.16.

Dado 0 < < 1 sea A el complementario en C de la unin de los discosD(npi, ), n Z. Demuestre que existe C > 0 tal que

|sen z| C, |tg z| C para todo z A.

Ejercicio 3.17.

Compruebe que la funcin tg z es inyectiva sobre = {x+iy : |x| < pi/4}y obtenga la imagen tg().

Ejercicio 3.18.

Compruebe que en = C \ {iy : y R, |y| 1} se pueden definir ramascontinuas de arc tg z. Si f es la rama determinada por f(0) = 0, obtengaf() y f

(D(0, 1)

).

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solucin.

tgw =senw

cosw=

1

i

eiw eiweiw + eiw

= T (e2iw) donde T (z) = i1 z1 + z

luego tgw = z si y slo si e2iw = S(z), donde

S(z) = T1(z) =1 + iz

1 iz =i zi+ z

Entonces, para denir en una rama continua de arc tg z, basta denir unlogaritmo continuo de S(z) y dividirlo luego por 2i.

Utilizando la teora de las transformaciones de Mbius, se obtiene queS() = 1, donde 1 = C \ {x R : x 0} es el dominio del logaritmoprincipal. Por lo tanto, en el abierto est denida la funcin

f(z) =1

2iLogS(z)

que verica tg f(z) = z para todo z . Teniendo en cuenta que f(0) = 0podemos armar que 2if(z) es el nico logaritmo continuo de S(z), denidoen , que se anula en z = 0. Como S() = 1 y Log(1) = {x+iy : |y| < pi},resulta

f() = {x+ iy : |x| < pi/2}.Anlogamente, S

(D(0, 1)

)= {x + iy : x > 0} cuya imagen mediante el

logaritmo principal es {x+ iy : |y| < pi/2}, luegof(D(0, 1)

)= {x+ iy : |x| < pi/4}.

Nota. Obsrvese que, de acuerdo con lo obtenido en el ejercicio 3.17, larama f es la inversa de tg |D(0, 1). Por otra parte, si E es un arco de circunfe-rencia de extremos i, i, en el ejercicio 3.19 se muestra que en C\E tambinse puede denir un logaritmo continuo de S(z), y por lo tanto una ramacontinua de arc tg z. Un resultado ms general se ver en el ejercicio 7.15.

Ejercicio 3.19.

Utilice la teora de las transformaciones de Mbius para obtener una fr-mula explcita para una rama continua de arc tg z definida en el complementode un arco de circunferencia de extremos +i, i.

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Ejercicio 3.20.

Compruebe que cos(C) = C. Estudie la clase de los abiertos sobre los quela funcin cos z es inyectiva y obtenga que es inyectiva sobre los abiertos

A = {z : 0 < Re z < pi} y B = {z : 0 < Re z < 2pi, Im z > 0}.

Ejercicio 3.21.

Obtenga las imgenes, mediante la funcin cos z, de los abiertos

A = {z : 0 < Re z < pi}; B = {z : 0 < Re z < 2pi, Im z > 0};A+ = {z A : Im z > 0}; A = {z A : Im z < 0}.

solucin.

Utilizando que cos z = J(eiz), con J(z) = (z + 1/z)/2, las imgenesse pueden obtener usando los resultados obtenidos en el ejercicio 2.27. Lafuncin eiz transforma A en P = {z : Im z > 0}, luego

cos(A) = J(P ) = C \ {x R : |x| 1}.Las imgenes de A+ y A, mediante eiz, son {z P : |z| < 1} y

{z P : |z| > 1}, respectivamente, que se transforman mediante J encos(A+) = {z : Im z < 0}; cos(A) = {z : Im z > 0}.

Por otra parte, eiz transforma B en G = D(0, 1) \ [0, 1), luegocos(B) = J(G) = C \ {x R : x 1}.

Ejercicio 3.22.

Obtenga frmulas explcitas para las inversas de cos z|A y cos |B dondeA = {z : 0 < Re z < pi} y B = {z : 0 < Re z < 2pi, , Im z > 0}.

Muestre que en los abiertos

U = C \ {x R : |x| 1},G1 = C \ {x R : x 1}, G2 = C \ {x R : x 1}

se pueden definir ramas continuas de arc cos z (vase el ejercicio 3.21, dondese obtuvieron las imgenes cos(A), cos(B)).

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3.2.3. Funciones holomorfas y transformaciones conformes

En las soluciones de los ejercicios de este tramo, donde interviene lanocin de derivada compleja y las condiciones de Cauchy-Riemann, seutilizan pocos recursos tericos; no requieren los potentes recursos de lateora de funciones holomorfas y la derivacin compleja an no desem-pea un papel espectacular. Los ltimos ejercicios, sobre representacinconforme, se resuelven componiendo transformaciones denidas median-te funciones elementales.

Ejercicio 3.23.

Si p es un polinomio complejo, demuestre que los ceros de su derivadap pertenecen a la envoltura convexa de los ceros de p. Si cada cero se dotade un peso igual a su multiplicidad, compruebe que los ceros de p tienen elmismo baricentro que los de p (teorema de Gauss-Lucas).

Ejercicio 3.24.

Obtenga todas las funciones holomorfas f : C C que verifican[E ] : f(z +w) = f(z)f(w) para cada z, w C.

Obtenga una funcin continua f : C C que verifique [E ] y no sea holo-morfa.

Ejercicio 3.25.

Se supone que f = u+ iv es una funcin holomorfa en un abierto conexo y , R con 2 + 2 6= 0. Demuestre que cada una de las siguientescondiciones implica que f es constante:

a) u+ v es constante, b) u es constante, c) v es constante,

d) f es holomorfa, e) |f | es holomorfa, f ) |f | es constante.

Ejercicio 3.26.

Si f H () no es constante en el abierto conexo , compruebe queg(z) = f(z) no es holomorfa en pero G(z) = f(z) s es holomorfa en = {z : z }.

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Ejercicio 3.27.

Sea f = u+iv H (), z0 y f(z0) = +i. Si f (z0) 6= 0 compruebeque las curvas de nivel u(x, y) = , v(x, y) = se cortan ortogonalmenteen z0.

Ejercicio 3.28.

A una funcin holomorfa f = u + iv H () se le asocia el campo devectores

A(x, y) =(A1(x, y), A2(x, y)

)=(u(x, y),v(x, y)).

Si F = U + iV es una primitiva de f compruebe que las curvas de nivelU(x, y) = c son ortogonales al campo A (e.d. son lneas equipotenciales delcampo) y las curvas de nivel V (x, y) = c son tangentes al campo (e.d. sonlneas de corriente del campo).

Ejercicio 3.29.

Sea f H () con f (z) 6= 0 para cada z . Si M es compactomedible Jordan demuestre que f(M) es medible Jordan y

rea(f(M)

)=

M|f (x+ iy)|2 dx dy

Ejercicio 3.30.

Se supone que f : C es diferenciable, en sentido real, en el abierto C, y que a es un punto donde existe el lmite

L(a) = lmza

f(z) f(a)z a

Demuestre que una de las dos funciones f , f , es derivable en a y deduzca deello el siguiente resultado: sea f una funcin de clase C1() con diferencialno nula en el abierto conexo , si existe el lmite L(a) en cada a entoncesuna de las dos funciones f , f es holomorfa.

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Ejercicio 3.31.

Obtenga un isomorfismo conforme entre cada uno de los abiertos

1 ={z : |z| < 1, Re z > 0}, 2 = {z : |z| < 1, Re z > 0, Im z > 0}

y el disco D(0, 1).

Ejercicio 3.32.

Obtenga isomorfismos conformes entre cada uno de los abiertos

1 ={z : |z| < 1, |2z1| > 1}, 2 = {z : |z1| > 1, |z2| < 2, Im z > 0}

y el disco D(0, 1).

Ejercicio 3.33.

En cada caso obtenga un isomorfismo de sobre G:

a) = {z : | Im z| < pi/2}, G = D(0, 1).b) = {z : | Im z| < pi/4}, G = {z : |z| < 1, Im z > 0}.

Ejercicio 3.34.

Sea G = {z : Re z > 0, Im z > 0, |z 5| > 3}. Obtenga un isomorfismoconforme que transforme G en un rectngulo abierto.

Ejercicio 3.35.

Sea = {z : |z 1| < 2, |z + 1| < 2}. Obtenga un isomorfismoconforme g : D(0, 1) tal que g(x) R si x R.solucin.

Las circunferencias C1 = {z : |z 1| =2}, C2 = {z : |z + 1| =

2}

se cortan ortogonalmente en los puntos +i, i (pues el tringulo de vrtices1, i, 1 es rectngulo). Con una transformacin de Mbius adecuada elabierto se puede llevar a uno de los cuadrantes determinados por dosrectas perpendiculares. Esto se consigue con la transformacin de MbiusT (z) = (z i)/(z + i), ya que T (i) = 0 y T (i) = . La imagen T (C1) es

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una recta (porque i C1 y T (i) = ) respecto a la que son simtricosT (1) = i y T () = 1, es decir, es la recta R1 = {z = x + iy : y = x};adems, como T (1) = i, la imagen del disco D1 = {z : |z 1| 0} que, a su vez, se transforma en D(0, 1) medianteS(z) = (z 1)/(z + 1) (obsrvese que 1, 1 son simtricos respecto al ejeimaginario y S(1) = 0, S(1) = , por lo que la imagen de este eje es unacircunferencia centrada en 0, que pasa por S(0) = 1). Componiendo lastransformaciones consideradas se obtiene que

w = S(T (z)2

)= 2iz

z2 1establece un isomorsmo conforme de sobre D(0, 1) que lleva el segmentodel eje real (12, 1 +2) al segmento del eje imaginario {iy : |y| 1}.Entonces, para conseguir un isomorsmo conforme g : D(0, 1) que lleveel segmento (12, 1+2) al segmento (1, 1) = D(0, 1)R, basta tomar

g(z) =2z

z2 1

Ejercicio 3.36.

Sea = C \ E donde E = {z : |z| = 1, Im z 0}. Obtenga un isomor-fismo conforme de sobre {z : |z| > 1}.

Ejercicio 3.37.

El perfil de Joukowsky es la imagen, mediante la transformacin de Jou-kowski J(z) = 12(z+1/z), de una circunferencia que pasa por uno de los dospuntos +1,1 y rodea al otro. Indique un procedimiento para conseguir unisomorfismo conforme entre C \ [1, 1] y el exterior del perfil de Joukowsky.

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3.2.4. Complementos

En los ejercicios de carcter complementario reunidos en este bloquese ofrecen algunos resultados, naturales y poco sorprendentes, cuyassoluciones usan tcnicas avanzadas de topologa o geometra.

Ejercicio 3.38.

Si a C \ {0}, determine las ramas continuas de la multifuncinaz =

{ecz : c log a}

(funciones continuas f : C C que verifican f(z) az para cada z C).

Ejercicio 3.39.

Dado C determine, en = C\{x R : x 1}, las ramas continuasde la multifuncin

(1 + z) ={ec : c log(1 + z)}.

Ejercicio 3.40.

a) Determine todas las funciones continuas f : C C que cumplen[E ] : f(z +w) = f(z)f(w) para cada z, w C.

b) Determine todas las funciones continuas : R {z : |z| = 1} queverifican

(s + t) = (s)(t) para cada s, t R.

Ejercicio 3.41.

Sea f = P/Q una funcin racional. Definiendo f(a) = lmza f(z) cuan-do Q(a) = 0 o a = se obtiene una funcin f : C C. Compruebe quef es derivable en todo a C.

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3.3. Ejercicios propuestos 81

Ejercicio 3.42.

Se supone que C es abierto y que f : C es derivable ena con f (a) 6= 0. Demuestre que la transformacin inducida por f en laesfera de Riemann conserva ngulos orientados en p = (a). (Esto significaque dos curvas diferenciables sobre la esfera, que surgen de p con vectorestangentes u, v son transformadas en dos curvas, que surgen de q = (f(a)),cuyas tangentes forman el mismo ngulo orientado. En el ejercicio 2.37 sepuede ver la nocin de ngulo orientado de un par de vectores tangentes ala esfera).

3.3. Ejercicios propuestos

3.1 Determine todos los periodos de las funciones complejas ez, tg z, sh z,ch z y th z. Compruebe que

sh(z + pii) = sh z y que ch(z + pii) = ch z.

3.2 Si z = x+ iy, compruebe las desigualdades

|sen z| |senx|; |cos z| |cos x|; chx |ch z| |shx|.

3.3 Estudie la derivabilidad en sentido complejo de la funcin

f(x+ iy) =x3 y3x2 + y2

+ ix3 + y3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0), f(0, 0) = 0.

3.4 Compruebe que la funcin f(x+iy) = y2, aunque es derivable en todoslos puntos del eje real, no es holomorfa en ningn punto.

3.5 Sea C un abierto conexo, no vaco y simtrico respecto al eje realy g H (). Demuestre que R 6= y que si M es una componenteconexa de R, son equivalentesa) g(z) = g(z) para todo z ;b) g(x) R para todo x M .

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3.3. Ejercicios propuestos 82

Demuestre que cada f H () se puede representar de modo nicoen la forma f = g + ih, donde g, h son funciones holomorfas tales queg(x) R, h(x) R para cada x R.

3.6 Si es conexo y f H () verica Im(f) = Re(f)2, demuestre que fes constante.

3.7 Obtenga la imagen del abierto = {z : |Im z| < pi/2} mediante latransformacin

f(z) =ez 1ez + 1

y compruebe que f establece un isomorsmo conforme entre y suimagen.

3.8 Obtenga un isomorsmo conforme entre los abiertos

{z : |z| > 1, Im z > 0}, {z : Im z > 0}.

3.9 Obtenga isomorsmos conformes entre los abiertos

{x+iy : 0 < x < pi/4, 0 < y

},{z : |z| < 2, |z+1| > 1}, {z : |z| < 1}.

3.10 Obtenga isomorsmos conformes entre los abiertos

{x+iy : |x| < pi/4}, {reit : 0 < r < 1, |t| < pi}, {x+iy : x > 0, y > 0}.

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[1] Lars V. Ahlfors, Complex analysis, Third ed., McGraw-Hill Book Co.,New York, 1978. MR 510197 (80c:30001) 3

[2] Tom M. Apostol, Anlisis matemtico, Segunda ed., Editorial RevertS.A., 1976. MR 0344384 (49 #9123) 18, 19, 85

[3] Henri Cartan, Thorie lmentaire des fonctions analytiques dune ouplusieurs variables complexes, Avec le concours de Reiji Takahashi,Enseignement des Sciences, Hermann, Paris, 1961. MR 0147623 (26#5138) 3

[4] John B. Conway, Functions of one complex variable, Second ed., Gra-duate Texts in Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1978.MR 503901 (80c:30003) 3

[5] Philip J. Davis, The Schwarz function and its applications, The Mathe-matical Association of America, Bualo, N. Y., 1974, The Carus Mat-hematical Monographs, No. 17. MR 0407252 (53 #11031) 3

[6] Denis Feyel y Arnaud de la Pradelle, Ejercicios sobre las funciones ana-lticas, Paraninfo, Madrid, 1980. MR 636507 (82m:30001) 1

[7] Maurice Heins, Complex function theory, Pure and Applied Mathema-tics, Vol. 28, Academic Press, New York, 1968. MR 0239054 (39 #413)3, 29

[8] Einar Hille, Analytic function theory. Vol. I, Introduction to HigherMathematics, Ginn and Company, Boston, 1959. MR 0107692 (21#6415) 3

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Bibliografa 269

[9] , Analytic function theory. Vol. II, Introductions to Higher Mat-hematics, Ginn and Co., Boston, Mass.-New York-Toronto, Ont., 1962.MR 0201608 (34 #1490) 3

[10] Jan G. Krzy, Problems in complex variable theory, American ElsevierPublishing Co., Inc., New York, 1971, Translation of the 1962 Polishoriginal. MR 0447533 (56 #5844) 1

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[12] Rolf Nevanlinna and V. Paatero, Introduction to complex analysis,Translated from the German by T. Kvari and G. S. Goodman, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., 1969.MR 0239056 (39 #415) 3

[13] Walter Rudin, Anlisis real y complejo, Tercera ed., McGraw-Hill / In-teramericana de Espaa, Madrid, 1988. MR 924157 (88k:00002) 3

[14] Stanisaw Saks and Antoni Zygmund, Analytic functions, Second ed.,Pastwowe Wydawnietwo Naukowe, Warsaw, 1965, Translated by E. J.Scott. MR 0180658 (31 #4889) 3

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[16] Gabriel Vera, Lecciones de anlisis complejo,http://webs.um.es/ gvb/AC, 2011. 17, 84

[17] L. Volkovysky, G. Lunts y I. Aramonovich, Problemas sobre la teorade funciones de variable compleja, Second ed., Mir Publishers, Moscow,1977. MR 0444913 (56 #3259) 1

lEste libro electrnico va dirigido a profesores y alumnos involucrados

en la enseanza y aprendizaje del anlisis complejo. Contieneejercicios resueltos (en su mayor parte el acceso a la solucin requiere

conexin a Internet) referentes a los temas habituales que culminan

en el teorema de los residuos. La novedad que ofrece un libro comoste se aprecia en el enfoque y la organizacin de los temas

considerados, entre los que se pueden sealar: el uso de la variablecompleja para hacer geometra en el plano, la atencin a los aspectos

geomtricos de las funciones de variable compleja consideradas como

transformaciones del plano o de la esfera, las tcnicas para lamanipulacin y el clculo de desarrollos (en serie de potencias o de

Laurent) de funciones concretas, la atencin especial al problema

general de la existencia de ramas de funciones multivaluadas, a lagestin rigurosa de las mismas, y a los procedimientos para encontrar

frmulas adecuadas para trabajar con ramas concretas.

Cada captulo comienza con una exposicin de los conceptos y

resultados tericos que se utilizan en las soluciones de los ejerciciosque contiene. La organizacin de los ejercicios, en bloques, se

complementa con una gua general, denominada Cmo hacerlo,

donde, de modo transversal, se sealan ejercicios que ilustran cmoabordar tareas tpicas de la materia.

En cada captulo se ofrece material complementario con el que seprofundiza en algunos aspectos muy concretos de los temas

considerados en el mismo.

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Laurent) de funciones concretas

general de la existencia de ramasgestin rigurosa de las mismas

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Cada captulo comienza con una

resultados tericos que se utilizanque contiene. La organizacin

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donde, de modo transversal, seabordar tareas tpicas de la mater

En cada captulo se ofrece materprofundiza en algunos aspectos

considerados en el mismo.

9 788494 068843

ISBN 978-84-940688-4-3

Funciones de variable complejaPreliminares tericosEjercicios resueltosEjercicios propuestos

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