Formulario general"variable compleja"

8/20/2019 Formulario general"variable compleja"

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InstitutoPolitécnicoNacional

Escuela superior de ingeniería

mecánica y eléctrica

Unidad Culhuacán

ESIME

Asignatura: variable complea

Semestre !ercero

"ro#esor: $amíre% &rti% María 'er(nica

)ormulario de variable complea

*rupo: +E,-.

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 0


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I2/ICE

• )U2CI&2ES C&M"0E1AS

/E 'A$IA30E

C&M"0E1A4444444444444445.6• $E"$ESE2!ACI&2 *E&ME!$ICA /E0

/&MI2&7 C&2!$A/&MI2I& 8 $A2*& /E

0A )U2CI&244444444444444499956

• !I"&S /E )U2CI&2ES C&M"0E1AS /E

'A$IA30E C&M"0E1A444444449444444995;6

• )U2CI&2ES !$I*&2&ME!$ICAS C&2A$*UME2!&S C&M"0E1&S4444499

444444445


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FUNCIONES

COMPLEJAS

DE

VARIABLE

COMPLEJA


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$egla de correspondencia:

z =w=u x + v x

/onde:

/om z = ⊂ Contrad z =

$e z = w =u x ∈

Im z = w =v x ∈

'ariables compleas de una #unci(n complea9



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o 'ariable

independiente

=o 'ariable dependiente

=

$epresentaci(n grá#ica9

C

A

#


W=

Z


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"ara hallar el domino de la #unci(n

complea9

Encontrar el domino de una #unci(n

complea de variable complea7 es

encontrar el conunto donde la

variable independiente = +toma valores compleos de tal manera >ue % si tiene

imagen


REPRESEN

ACION

!EOMERICA DEL

DOMINO"

CONRAD

OMINIO #

RAN!O DELA

FUNCION


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Sea:

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco $


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→

8 la regla de correspondencia:

z =w=u x + v x 7

d(nde: geométricamente el

/om#5%6? es el plano llamado plano compleo %

5en símbolos "0@6 y en este plano se encuentran las

pareas ordenadas %5$e5%67 Im5%66= es decir:

"0@ 8 ee imaginario

@?57y6?5$e5%67 Im5%66

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco %


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, ee real

*eométricamente el Contrad#5%6?C7

es el plano llamado: plano compleo B 5en símbolos: "06

y en el se encuentran las imágenes= son la parea de

ordenadas B?5u7v6?5$e5B67 Im5B667 es decir:

' ee imaginario

B?5u7v6?5$e5B67 Im5B6

u ee real

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco &


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)ormulas geométricas en su

#orma can(nica

$ecta x+ y=1

Circun#erencia: =

Elipse: x

2+ y

2



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Dipérbola x

2+ y

2

"arábola

− = −


IPOS

DEFUNCI

ONES

COMPLEJAS

DEVARIA


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)unci(n "olinomial9

Es una #unci(n de la #orma:



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z =a z +a − z − +a − z

− +…+a z +a z +a

donde: a a a … a

% es la variable del polinomio= ¿



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/onde: a ≠ y

a a − a − … a conz= x+

z es un polinomio de grado n si a ≠

Eemplos de #unci(n polinomial

z = z+ "olinomio de grado <



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z =

"olinomio de grado -

Coe#icientes >ue pertene%can a

los reales

Eponentes enteros positivos

)unci(n $acional9

Es un coe#iciente de dos #unciones poliomiales9

f ( z )=g z

h z =

an z +an−1 z − +…+a0 z

b zm+b zn−1+…+b z0

≠



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/onde: a y

≠

8 los coe#icientes pertenecen a los

reales

a a a … a

…

/onde: a a … a y … son

coe#icientes



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+¿ y bm z +bm−1 z − +…+b0 z ≠0

¿

= +

El dominio de f ( z )=g z

es:

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 1$


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/om

z = z∈ ∨ z ≠

)unci(n eponencial9

= = +

/onde: = =

w = v =

Se llama #unci(n eponencial complea

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 1%


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0as partes de la #unci(n

= = son:

• /om

= = + =

Contradominio de ?C

$egla de correspondencia: = ?

/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 1&


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/onde:

= y v

=

"ropiedades algebraicas de

=/e 0os Santos Chavarría 1osé #rancisco 20


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1 2= 1 2

1

z2

= z1−" z 2

(¿¿ z1)n=nz , n=0 ,#1 ,#2 ,..



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$elaci(n de las #unciones

trigonométricas y eponenciales9

sin z= −−

z=¿ −−

2

tan z= j −−

jz − jz



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FUNCIONES

TRIGONOM

ETRICAS

CON

ARGUMENT

OS


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)unciones trigonométricas con

argumentos %

sin( z )= −−

sin(− z)=− −−

sen5%6? sen5%6



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cos( z)= +−

cos(− z )= −−

cos5%6?cos5%6

tan

( z)=

s n z

tan (− z )=s n − z

−



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tan5%6?tan5%6

$elaci(n entre las #unciones trigonométricas con

argumento 5y69

z =s n

sin ( jy )= −−



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sin ( jy )= −−

j

s n = ! n

z =cos

( jy )=¿ +−

2

cos ( jy )= +−



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cos =cos

)unciones hiperb(licas en términos

de #unciones eponenciales

sinh( z )¿ −−

cosh ( z)¿ +−



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tanh ( z)¿ −−

z − z

)unciones hiperbolicas con argumentos %

sinh( z )= −−

sinh(− z)=− −−



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senh5%6?

senh5%6

cosh ( z)= +−

cosh (− z)= −−

cosh5%6?cosh5%6

tanh ( z)=s n z



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tanh (− z )=−s n − z

−

tanh5%6?tanh5%6$elaci(n entre las #unciones hiperb(licas con argumento

5y69

z =s n

sinh ( jy )= −−



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sinh ( jy )= −−

s n = ! n

z =cos

( jy )=¿ +−

2

cos =cos



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Identidades de las #unciones

trigonométricas9


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)unciones trigonométricas

epresadas en #ormaestándar o rectangular con %?Gy9


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F9

cot z= sin x cos x

2 + 2 + j

sin y cos y2 + 2

9

!c z= cos xcos x

2 + 2 + j

s n x s n y2 + 2



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H9

c!c z= sin xcos y

2 + 2 + j

cos x sin y2 + 2

)unciones hiperbolicas epresadas en #orma estándar orectangular con %?Gy9


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+9

tanh z= sin x cos x

2 + 2 + j

sin y cos y2 + 2

F9

coth z= s n x cos x

2 + 2 + j

s n y cos y2 + 2



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9

!chz= cos x cos y

2 + 2 + j

sin x sin y2 + 2

H9

c!chz= s n x cos y

2 + 2 + j

cos x s n y2 + 2



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f ( z )= tan( z)!n z

f ( z )=c!c ( z)

f ( z )=!c ( z )

f ( z )=cot ( z) cos z



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Sea z =!n z =

con %?Gy45a6

Senh%? −−

499<

Senh%?-449.

Sust . en <

− − = 499+

Sust a en +

−

−

=



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−

− −

=

Euler

+ − − −

− − −

)actori%a



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(¿¿ x+− x) !ny=0+0 j(¿¿ x−− x)co!y+¿

"or igualdad de compleos

(¿¿ x−− x )=0…%4



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(¿¿ x+− x)=0………5

(¿¿ x−− x )=0 si y=(2n+1)& ∀ n∈ z

4499H

¿¿

6?- si ?-449



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(¿¿ x+− x)=0 !$!ny=0o x+− x=0

Seny? - si = 499J

/onde

−



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x=0 y y=(2n+1 )& n∈ z

no satis#ace la ecs

z=o+ j(2n+1)&

no anulan senh%

,?- y = satis#acen el sist de ecs9

,?- y =

@?-G anulan a senh%



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Senh%?- si ?- y y?n

Senh5%6? senh5%6

Cosh5%6? cosh5%6

!anh5%6? tanh5%6

Coth5%6? coth5%6

Sech5%6? sech5%6

Csc5%6? csch5%6



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Senh5y6?

sen5y6

Cosh5y6? cos5y6

!anh5y6? tan5y6

Coth5y6? cot5y6

Sech5y6? sec5y6

Csch5y6? csc5y6


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