VARIABLE ALEATORIA UNIFORME - fi.mdp.edu.ar · b T tiempo hasta que ocurre la prox emision Y n...
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Se dice que una variable X tiene una distribución
uniforme en el intervalo [a;b] si la fdp de X es:
DEFINICIÓN
Demostrar que la FDA está dada por
0 si x < a
F(x)= si a x b
1 si x > b
x a
b a
1si a b
f(x)= b-a
0 en otro caso
x
Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada
media hora entre la medianoche y las seis de la
mañana. ¿ Cuál es la probabilidad de que un hombre
que entra a la estación a una hora al azar, durante ese
período tenga que esperar por lo menos 20 minutos?
EJEMPLO
La variable aleatoria T: tiempo, en minutos, hasta el
siguiente tren, está distribuida uniformemente en el
intervalo [0;30]
30 30
20 20
1 1 1( 20) ( ) 30 20
30 30 3P T f t dt dt
La probabilidad sólo depende de la longitud del intervalo y no
de la ubicación del mismo.
Demostrar que si X tiene distribución
uniforme en [a;b], entonces:
ESPERANZA Y VARIANZA
2
b-aa+bE(x)= V(x)=
2 12
DISTRIBUCIÓN
EXPONENCIAL
• Esta distribución: suele ser el modelo de fenómenos
aleatorios que miden el tiempo que transcurre entre la
ocurrencia de dos sucesos. Ejemplos:
• La variable aleatoria X representa el tiempo que
transcurre hasta la primera ocurrencia en el proceso de
Poisson (λ)
• El tiempo que tarda una partícula radiactiva en o el tiempo
que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la
llegada de un paciente.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Se dice que X, que toma todos los valores no negativos, tiene
una distribución exponencial, con parámetro 0
Si su fdp está dada por: - si x 0
f(x)0 si x < 0
xe
La FDA está dada por:
VERIFICAR QUE ES UNA
LEGÍTIMA FDP:
0 0 0
( )u
bx
b
ef x dx e dx lím du
1 1b
b
lím e
1 si x 0F(x)
0 si x<0
xe
F(x)
1
x
Demostrar las características numéricas de la función
exponencial: 2
1 1( ) V(x)=E x
La distribución de vida durante la cual cierta marca de
computadora funciona eficazmente, es decir, el
tiempo en horas, de duración hasta la primera falla,
es exponencial con una vida media de 360 hs.
¿ Cuál es la probabilidad de que una computadora
funcione eficazmente:
a) Menos de 180 hs? b) Más de 720 hs?
APLICACIONES
1 si t 0( )
0 si t < 0
teF t
1 1( ) 360 360
360E T
SOLUCIÓN
1.180
360a) P(T<180)= F(180)=1-e 0.3935
1 720.720
360 360b) P(T>720)=1-P(T 720)=1-F(720)=1- 1 0,1353e e
Sea X el número de partículas emitidas por una fuente
radioactiva. Si se sabe que el número esperado de
demisiones en una hora es de 30 partículas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean emitidas al
menos 2 partículas en un lapso de 1 minuto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo entre
emisiones sucesivas sea al menos de 3 minutos?
RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y
EXPONENCIAL
0 1.5
) : (min) ,
30.3: 3min, 1.5
60
(1.5) .( 3) ( 0) 0.22
0!
o
b T tiempo hasta que ocurre la prox emision
Y n partìculas emitidas en
eP T P Y
RELACIÓN ENTRE LA DISTRIBUCIONES DE POISSON Y
EXPONENCIAL
. 30.1) : º 1min ( ) , 0.5
! 60
( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1
1 0,91 0,09
k ea X n de partìculas en P X k
k
P X P X P X P X
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA
FUNCIÓN EXPONENCIAL
El número de llegadas de micros a una terminal es una variable
de Poisson con parámetro 5 por hora.
Una persona está esperando el micro hace más de 60 minutos.
¿Cuál es la probabilidad de que el micro llegue antes de los
70 minutos de espera?
5 5 5 5
60 10 60 10 105 5 560 60 60 60
5 5 5
. ( 1)e e e e e e e
e e e
510
601 e
P( t < 70 / t > 60) =
(10) ( 10)F P t
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA
FUNCIÓN EXPONENCIAL
La probabilidad de que el elemento falle en una hora (o en
un día, o en segundo) no depende del tiempo que lleve
funcionando .
)(1
)()(
)(
)()/(
sF
sFtsF
sxP
tsxsPsxtsxP
s
ts
s
stas
s
sts
e
ee
e
eee
e
ee
)1(
)1(1
11 )(
)()(1 txPtFe t
La distribución exponencial no tiene memoria :
P( x< s + t / x> s ) = P( x< t )
Sin duda la distribución continua de
probabilidad más importante, por la
frecuencia con que se encuentra y por
sus aplicaciones teóricas, es la
distribución normal, gaussiana o de
Laplace- Gauss. Fue descubierta y
publicada por primera vez en 1733 por
De Moivre. Llegaron, de forma
independiente, Laplace (1812) y Gauss
(1809), en relación con la teoría de los
errores de observación astronómica y
física .
Pierre Simon de Laplace
(1749-1827)
Karl F. Gauss
(1777-1855)
Distribución normal
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un
fármaco.
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de
una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen, ...
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de
muchos factores
Como la binomial o la de Poisson se aproximan a la normal. Distribuciones
binomiales con n >10 y (np > 5) y (n(1-p) > 5).
Razones principales para su estudio
1) Numerosos fenómenos pueden aproximarse mediante
esta distribución:
2) Se usa para aproximar distribuciones de variables discretas:
3) Proporciona la base de la inferencia estadística por su
relación con el tlc
Se dice que x que toma todos los valores reales, tiene
una distribución normal, si su fdp está dada por:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
21
21f(x) con - < x <
2
0
x
e
y
NOTACIÓN
2, su fdp está dada por x N 2
1
21f(x) con - < x <
2
0
x
e
y
Ejercicio: verificar que es una fdp legítima.
2
21 1
2 21 1
2 2
xt
e dx e dt
21
2
nosepuedeobtenerde forma finita Integral de Poisson
1 12 1
2 2
t
e dt
Principales características de la
distribución Normal
• Es una curva uniforme con ordenadas siempre positivas,
definida para todo real x. Tiene forma de campana, es decir,
es monótona creciente hacia ambos lados del máximo, y es
asintótica al eje de las abscisas
•Es simétrica con respecto de la recta x= donde coinciden
la mediana (Me) y la moda (Mo ).
Para x tendiendo a , el límite f(x) =0.
•La función tiene un máximo en x = . Los puntos de inflexión
tienen como abscisas los valores . Verificar esta
propiedad.
Distribución normal con para distintos valores de σ
0
0.4
0.8
1.2
-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50 x
p(x)
La desviación
típica es un
factor de escala.
OTRAS PROPIEDADES
En toda distribución Normal se
comprueba que:
P( μ-2 σ ≤X ≤μ+ 2 σ ) = 0,955
P( μ-3 σ ≤X ≤μ+ 3 σ ) = 0,9973
que son intervalos más precisos
que la acotación deTchebychev
(0,75 y 0, 88, respectivamente).
Si Y = a X + b, siendo
X ~ N (μ, σ²), entonces
Y ~ N (a μ+ b, a²σ²)