Valeurs de Dispersion 08 02 07

8/14/2019 Valeurs de Dispersion 08 02 07

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LES CARACTERISTIQUES DE DISPERSION

LES ECARTS

LETENDUE

LA VARIANCE

LECART TYPE

LES QUANTILES

EXERCICES


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LETENDUE

diffrence entre la plus grande et la plus petite des valeurs de la variable

paramtre peu fiable

dpend beaucoup des valeurs extrmes

traduit mal la dispersion des valeur dans cet intervalle

exemple

caractres xi 1 2 7 10 15 20 25 30 40

effectifs ni 4 8 9 12 11 9 8 6 2

tendue =40 1 = 39

classes [-2;0[ [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;15[

effectifs ni 4 8 9 12 11 9 8

tendue = 15 (-2) = 17


3/16

LES ECARTS ABSOLUS

cart absolu moyen la moyenne arithmtique

moyenne des carts entre les valeurs et la moyenne arithmtique

xxn

N

e ii

k

i

x=

=1

1xx

N

e i

N

i

x=

=1

1

donnes discrtes donnes pondres ou continues

cart absolu moyen la mdiane

xi

N

im mx

Ne

x=

=1

1xii

k

im mxn

Ne

x=

=1

1

moyenne des carts entre les valeurs et la mdiane


4/16

LA VARIANCE

moyenne arithmtique des carrs des carts la moyenne arithmtique

notation2s 2xs )var(x

2

dfinition

2

1

2 )(1

xxN

s i

N

ix =

=

2

1

2 )(1

xxnN

s ii

k

ix =

=

donnes discrtes donnes pondres ou continues

sous cette forme, ces formules ne sont pas facilement utilisables car elles

conduisent des squences de calcul complexes

2

1

2

)( xxfs ii

k

ix ==


5/16

formules pratiques dveloppes

22

1

2 )(1

xxN

s iN

ix =

=

22

1

2 )(1 xxnN

s ikk

ix =

=

22

1

2 )( xxfs ik

k

ix =

=

2

2

1

2

12

)(

N

xnxnN

skk

k

ikk

k

ix

==

=

Nnf kk =


6/16


7/16

LECART TYPE

racine carre de la variance

notation2

xx sss===


8/16

LES QUANTILES

les quantiles apparaissent comme une gnralisation de la notion de mdiane

les quantiles sont des paramtres de position

lcart entre quantiles devient un paramtre de dispersion

on cherche une valeur qui ne partage plus la srie en deux parties gales

comme la mdiane mais en un certain nombre de sous-ensembles gaux

quartile : partage en quatre sous-ensembles gaux

Il y a trois quartiles : Q1 Q2 Q3


9/16

0

N/2

NN/4 N/4N/4 N/4

1Q 2Q 3Q0,25 0,25 0,25 0,25

intervalle interquartilecorrespond 50% de leffectif

13 QQ

effectif

frquence

25.0)( 1 =QF

50.0)( 2 =QF

75.0)(3

=QF

4

)( 1N

QN =

4

2)( 2

NQN =

4

3)( 3

NQN =

effectifscumuls

croissants

frquences

cumules

croissantes

mdiane

QUARTILES

xm

0 1


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ATTENTION !!!!!!!!

RAPPEL FORMULES DE CALCUL DES DONNEES CUMULEES

i

k

i

k nncc =

=

1

i

k

i

k nNncd =

=

1

effectifs

i

k

ik ffcc

=

=

1

i

k

ik ffcd

=

=

1

1frquences

valeurs

croissantes

valeurs

dcroissantes


11/16

classes [-2;0[ [0;2[ [2;4[ [4;6[ [6;8[ [8;10[ [10;15[

effectifs ni 7 10 12 13 12 11 2 67

effectifs cumuls croissants 7 17 29 42 54 65 67

effectifs cumuls dcroissants 67 60 50 38 25 13 2

frquences simples 0,104 0,149 0,179 0,194 0,179 0,164 0,030 1,000

frquences cumules croissantes 0,104 0,253 0,432 0,626 0,805 0,969 0,999

frquences cumules dcroissantes 1,000 0,896 0,747 0,568 0,374 0,195 0,031

extrmit suprieure de la classe 0 2 4 6 8 10 15

frquences cumules croissantes 0,104 0,253 0,432 0,626 0,805 0,969 0,999

extrmit infrieure de la classe -2 0 2 4 6 8 10

frquences cumules dcroissantes 1,000 0,896 0,747 0,568 0,374 0,195 0,031

mdiane = 4,69

moyenne = 4,66

variance = 11,77

cart type = 3,43

quartiles

Q1 = 1,95

Q3 = 7,37

EXERCICES


12/16

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

effectifs cumuls

caractremdiane


13/16

0

0 , 2

0 , 4

0 , 6

0 , 8

1

1 , 2

-4 -2 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

frquences cumules

caractresmdiane


14/16

mode 10 effectif 12 Q1 7 [18]

mdiane 10,18 caractre 34,5 Q3 20 [52]

moyenne 14,61 Q3-Q1 13

tendue 39

cart mdian 8,01 variance 96,03

cart type 9,8

VALEURS A VERIFIER

caractre xi 1 2 7 10 15 20 25 30 40

effectifs ni 0 4 8 9 12 11 9 8 6 2 69

effectifs cumuls croissants 0 4 12 21 33 44 53 61 67 69

effectifs cumuls dcroissants 69 65 57 48 36 25 16 8 2 0


15/16

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

effectifs

cumuls

croissants

effectifs

cumuls

dcroissants

mdiane

effectifs cumuls

caractre


16/16

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

frquences cumules

caractresmdiane

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