UNIVERZA V MARIBORUFAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKOOddelek za matematiko in ra£unalni²tvo

Diplomsko deloPREDSTAVITVE DELNIHUREJENOSTI

Mentor: Kandidatka:dr. Drago Bokal, Tanja GolograncdocentMaribor, 2009

Rada bi se zahvalila svojemu mentorju dr. Dragu Bokalu za stro-kovno svetovanje, potrpeºljivost, naklonjenost in spodbudo prinastajanju diplomskega dela.Zahvaljujem se vsem profesorjem in asistentom na fakulteti, kiso mi pomagali pri spoznavanju sveta matematike.Hvala dragima mami in o£etu za vso podporo in �nan£no pomo£pri ²tudiju.Iskrena hvala tudi Simonu, sestri Janji in ²e enkrat obema star-²ema, da me sprejemate tako kot sem. Vedno ste verjeli vame,me optimisti£no vzpodbujali ter mi nesebi£no pomagali.Hvala tudi vsem ostalim, ki ste mi vsa ta leta stali ob strani.

UNIVERZA V MARIBORUFAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

IZJAVAPodpisana Tanja Gologranc, roj. 28.5.1985, ²tudentka Fakultete za naravo-slovje in matematiko Univerze v Mariboru, ²tudijskega programa Nepedago²kamatematika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom Predstavitve delnihurejenosti pri mentorju dr. Dragu Bokalu avtorsko delo. V diplomskem delu souporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti in druge oblike zapisovniso uporabljeni brez navedbe avtorjev.

Podpis ²tudentke:Maribor, 17. 3. 2009

GOLOGRANC, T.: Predstavitve delnih urejenosti. Diplomsko delo,Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Od-delek za matemetiko in ra£unalni²tvo, 2009.IZVLE�EKPrvi del diplomskega dela govori o predstavitvah delnih urejenosti z druºinamimnoºic, kot so druºina konveksnih poligonov, druºina pravilnih n-kotnikov,druºina krogov ipd. Lastnost, ki nam pomaga pri raziskovanju predstavi-tev delnih urejenosti, je prekriºno ²tevilo. Ker zlahka preverimo, da lahkopoljubno kon£no delno urejeno mnoºico predstavimo z druºino mnoºic in zdruºino konveksnih poligonov, je glavni cilj prvega dela preveriti, kak²no jeprekriºno ²tevilo dlenih urejenosti, ki jih lahko predstavimo z druºino krogovoziroma z druºino pravilnih n-kotnikov.V drugem delu diplomskega dela najprej de�niramo podatkovno hierarhijo indokaºemo, da vsaka podatkovna hierarhija predstavlja delno urejenost. Glavnirezultat drugega dela je dokaz, da lahko vsako delno urejeno mnoºico predsta-vimo kot podatkovno hierarhijo. Pri tem je najpomembnej²a ugotovitev, dalahko vsako delno urejeno mnoºico predstavimo z relacijo deljivosti na nekipodmnoºici naravnih ²tevil in da lahko relacijo deljivosti predstavimo kot po-datkovno hierarhijo. V zaklju£ku diplomskega dela pa so vpeljane posebnevrste podatkovnih hierarhij, ki odpirajo moºnosti za nadaljne raziskovanje.

Klju£ne besede: delna urejenost, predstavitvena mnoºica, funkcijskidiagram, prekriºno ²tevilo, permutacijski diagram, normalna predstavitev,ekvivalen£na relacija, relacija �nej²i, podatkovna hierarhija.

GOLOGRANC, T.: Representations of partial orders. Gradua-tion Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences andMathematics, Department of Computer Science and Mathemetics,2009.ABSTRACTThe �rst part of the thesis studies representations of partial orders using fa-mily of sets like convex polygons, regular n-gons, and circles. The feature thatwe use in this investigation is the crossing number. Because it is easy to checkthat every �nal poset has set representation and representation using convexpolygons, our main goal is to check the crossing number of posets that we canrepresent with a family of circles or with family of regular n-gons.In the second part of the thesis, we �rst de�ne data hierarchy, and prove thateach data hierarchy presents a partial order. The main result of the secondpart is that each �nite partial order can be represented as a data hierarchy.This is established using the fact that each �nite poset can be representedby a relation of divisibility on a certain subset of natural numbers and thatthe relation of divisibility can be represented as a data hierarchy. In the con-clusion, we present some special types of data hierarchies, which give severalpossibilities of further research.

Keywords: partial order, set representation, function diagram, crossingnumber, permutation diagram, normal representation, equivalence relation,re�nement relation, data hierarhy.Math. Subj. Class. (2000): 06A06 Partial order, general,06A07 Combinatorics of partially ordered sets.

PROGRAM DIPLOMSKEGA DELAPodatkovne analize temeljijo na poznavanju podatkovnih hierarhij domen po-sameznih atributov podatkov. Podatkovna hierarhija je de�nirana kot relacijavsebovanosti nad mnoºico ekvivalen£nih relacij. Koncept podatkovne hierar-hije je zato soroden konceptu vsebovanosti geometrijskih mnoºic. Rezultateo slednjih je pregledno predstavil J. Urrutia [3]. Namen diplomskega dela jepredstaviti te rezultate in preveriti, do katere mere je mogo£e sorodno teorijorazviti tudi o vsebovanosti ekvivalen£nih relacij.V diplomskem delu de�nirajte delno urejenost. De�nirajte predstavitevdelne urejenosti z druºino mnoºic. Pokaºite, da je mogo£e vsako delno ureje-nost predstaviti z druºino konveksnih poligonov v ravnini. Predstavite osnovnoorodje pri ²tudiju grafov vsebovanosti geometrijskih mnoºic � prekriºno ²te-vilo delne urejenosti. Nato predstavite relacije vsebovanosti diskov in pravilnihkonveksnih poligonov ter osnovne rezultate o njih. Za vsak predstavljen tippoligonov dokaºite enega od rezultatov.V drugem delu diplomskega dela de�nirajte podatkovno hierarhijo in po-kaºite, da vsaka podatkovna hierarhija predstavlja delno urejenost. Za nekajdruºin delnih urejenosti pokaºite, da obstajajo podatkovne hierarhije, ki jih tedelne urejenosti predstavljajo. Razmislite, ali je vsako delno urejenost mogo£epredstaviti kot podatkovno hierarhijo.Literatura[1] A. Brandstädt, V. B. Le, J. P. Spinrad, Graph classes: a survey, SIAMMonographs on Discrete Mathematics and Applications, SIAM, Philliadelphia,1999.[2] W. T. Trotter Jr., Combinatorics and partially ordered sets � dimensiontheory, Johns Hopkins University Press, Baltimore, London, 1992.[3] J. Urrutia, Partial orders and Euclidean geometry, Algorithms and Or-der, ed. I. Rival, Reidel Pub. (1989) 387�434. Mentor:doc. dr. Drago Bokal

KazaloI Delna urejenost 9Introduction 101 Relacije in njihove lastnosti 111.1 Osnovne de�nicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Ekvivalen£na relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Delna urejenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Predstavitev z druºino mnoºic 192.1 Osnovna de�nicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti . . . . . 202.2.1 Funkcijski diagrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.2 Prekriºno ²tevilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Kroºne urejenosti 283.1 Prekriºno ²tevilo kroºnih urejenosti . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Lastnosti kroºne urejenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Ve£kotni²ke urejenosti 344.1 Predstavitev s pravilnimi trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Posplo²itev na poljuben pravilni n-kotnik . . . . . . . . . . . . . 364.3 Lastnosti delno urejenih mnoºic dimenzije 3 . . . . . . . . . . . 394.4 Posplo²itev na konveksne poligone . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II Podatkovna hierarhija 435 De�nicija in primeri podatkovne hierarhije 446 Delna urejenost je podatkovna hierarhija 487

7 Posebne vrste hierarhij 517.1 Intervalna hierarhija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Druge podatkovne hierarhije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2.1 To£kovna hierarhija na Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2.2 Podatkovna hierarhija z izjemami . . . . . . . . . . . . . 557.2.3 Voronojeva hierarhija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Literatura 59

Del IDelna urejenost

9

UvodRelacije se ne pojavljajo le v matematiki, ampak so del vsakdanjega ºivljenja.Na primer, relacija imeti rojstni dan v i-tem mesecu je relacija, ki nam mno-ºico vseh ljudi razdeli v 12 razredov. Tako bi lahko opisali razli£ne dogodke izvsakdanjega ºivljenja.Seveda imajo relacije velik pomen tudi v matematiki. Mi bomo nanje gledalipredvsem iz geometrijskega vidika. Ukvarjali se bomo s problemom predsta-vitev delnih urejenosti z gra� vsebovanosti geometrijskih mnoºic. Pridobljenoznanje bomo uporabili pri vpeljavi podatkovne hierarhije, to je relacije vse-bovanosti nad mnoºico ekvivalen£nih relacij. Videli bomo, da so relacije po-membne tudi v ra£unalni²tvu oziroma pri podatkovnem rudarjenju, saj lahkovsako delno urejeno mnoºico z nekimi omejitvami predstavimo kot podatkovnohierarhijo.

10

Poglavje 1Relacije in njihove lastnostiV tem poglavju bomo vpeljali osnovne pojme, ki jih bomo v nadaljevanjupotrebovali. De�nirali bomo razli£ne relacije ter delno urejenost in njeno di-menzijo.1.1 Osnovne de�nicijeDe�nicija 1.1. Binarna relacija R na mnoºici A je podmnoºica kartezi£negaprodukta, R ⊆ A×A. Element x je v relaciji R z elementom y, £e (x, y) ∈ R.Pi²emo tudi xRy.De�nicija 1.2. Binarna relacija R, de�nirana med elementi mnoºice X jere�eksivna, £e velja: za vsak x ∈ X, xRx.De�nicija 1.3. Binarna relacija R, de�nirana med elementi mnoºice X, jesimetri£na, £e velja: za vse x, y ∈ X, xRy ⇒ yRx.De�nicija 1.4. Binarna relacija R, de�nirana med elementi mnoºice X, jeantisimetri£na, £e velja:za vse x, y ∈ X, xRy ∧ yRx ⇒ x = y.De�nicija 1.5. Binarna relacija R, de�nirana med elementi mnoºice X jetranzitivna, £e velja:za vse x, y, z ∈ X, xRy ∧ yRz ⇒ xRz.11

1.1 Osnovne de�nicije 12De�nicija 1.6. Binarna relacija R, de�nirana med elementi mnoºice X jesovisna, £e velja: za vse x, y ∈ X, xRy ∨ yRx.Primer 1.7. Relacija ≤ je de�nirana na mnoºici naravnih ²tevil. Poglejmo,katere lastnosti ima:• je re�eksivna, saj za vsako naravno ²tevilo n velja, n ≤ n;• ni simetri£na. Protiprimer: 3 ≤ 5 ; 5 ≤ 3;• je antisimetri£na. �e za naravni ²tevili m in n velja, m ≤ n in n ≤ m,potem sta ²tevili enaki;• je tranzitivna, saj za poljubna naravna ²tevila m, n in p velja, £e m ≤ nin n ≤ p, potem m ≤ p;• je sovisna, ker sta poljubni naravni ²tevili vedno primerljivi.Primer 1.8. Naj bo n poljubno naravno ²tevilo. Imejmo relacijo biti kon-gruenten po modulu n (oznaka: ≡n ) na mnoºici celih ²tevil. Po de�nicijivelja:

x ≡n y ⇔ n | (x − y).Preverimo, katere izmed zgornjih lastnosti ima ta relacija.• Za vsak x ∈ Z, n | (x − x). Torej ≡n je re�eksivna relacija.• Naj bosta x, y ∈ Z in x ≡n y. Torej n | (x − y), kar pomeni, da obstaja

k ∈ Z, tako da x− y = kn. Enakost pomnoºimo z −1 in dobimo y−x =−kn. Ker je −k celo ²tevilo, n | (y−x), kar pomeni, da je ≡n simetri£narelacija.

• Relacija ≡n ni antisimetri£na. Protiprimer: n ≡n 2n in 2n ≡n n, vendarn 6= 2n.

• Naj bodo x, y, z ∈ Z, naj bo x ≡n y in y ≡n z. Torejn | (x − y) in n | (y − z).To pomeni, da obstajata celi ²tevili k in l, da veljax − y = kn in y − z = ln.Zato

x − z = (x − y) + (y − z) = kn + ln = (k + l)n.Ker je (k + l) celo ²tevilo, n | (x − z). Relacija ≡n je torej tranzitivna.

1.2 Ekvivalen£na relacija 13• Relacija ≡n ni sovisna. Protiprimer: 2 - (3 − 4) in 2 - (4 − 3).Primer 1.9. Imejmo relacijo deljivosti (oznaka: |) na naravnih ²tevilih. Po-glejmo njene lastnosti:• je re�eksivna, saj ∀n ∈ N, n | n;

• ni simetri£na. Protiprimer: 2 | 4 ; 4 | 2;

• je antisimetri£na. Naj bosta m, n ∈ N za kateri velja, da n | m in m | n.To pomeni, da obstajata k, l ∈ N tako da m = kn in n = lm. Sledim = klm in zato k = l, torej n = m;

• je tranzitivna. Naj bodo a, b, c taka naravna ²tevila, da a | b in b | c.Torej obstajata taki naravi ²tevili k in l, da b = ka in c = lb. Sledic = lka. Ker je produkt naravnih ²tevil naravno ²tevilo, a | c;

• ni sovisna. Protiprimer: 2 - 3 in 3 - 2.1.2 Ekvivalen£na relacijaV tem poglavju bomo de�nirali ekvivalen£no relacijo in ekvivalen£ni razrednekega elementa. Povedali bomo tudi, kdaj je neka relacija �nej²a od druge.De�nicija 1.10. Relacija R je ekvivalen£na natano tedaj, ko je hkrati re�e-ksivna, simetri£na in tranzitivna.De�nicija 1.11. Naj bo R ekvivalen£na relacija na mnoºici X. Ekvivalen£nirazred elementa x ∈ X glede na ekvivalen£no relacijo R, (oznaka: [x], £e ºelimopoudariti, glede na katero ekvivalen£no relacijo delamo ekvivalen£ni razred, paje oznaka R[x]) je podmnoºica mnoºice X, ki vsebuje vse elemente y ∈ X, zakatere velja xRy. Torej,[x] = {y ∈ X : xRy}.Iz de�nicije sledi:

• [x] 6= ∅,

• x, y ∈ X, x¬Ry ⇒ [x] ∩ [y] = ∅, in• unija vseh ekvivalen£nih razredov na mnoºici X glede na ekvivalen£norelacijo R je cela mnoºica X.

1.3 Delna urejenost 14De�nicija 1.12. Naj bosta R1 in R2 ekvivalen£ni relaciji na mnoºici X. R1je �nej²a od R2 (oznaka: R1 � R2), £e za vsak ekvivalen£ni razred glede naR1 velja, da je vsebovan v nekem ekvivalen£nem razredu glede na R2, torej £evelja:

∀x ∈ X, ∃y ∈ X : R1[x] ⊆ R2[y].Lema 1.13. Naj bosta R1 in R2 ekvivalen£ni relaciji na mnoºici X. Potemvelja:R1 � R2 ⇔ ∀x ∈ X : R1[x] ⊆ R2[x].Dokaz. (⇒) Naj bo R1 � R2. To po de�niciji relacije �nej²i pomeni, daza vsak x ∈ X, obstaja y ∈ X tako, da R1[x] ⊆ R2[y]. Ker x ∈ R1[x] sledi,

x ∈ R2[y]. Ker so razli£ni ekvivalen£ni razredi disjunktni, velja R2[y] = R2[x].Torej, za vsak x ∈ X velja, R1[x] ⊆ R2[x].(⇐) Naj za vsak x ∈ X velja, da R1[x] ⊆ R2[x]. �e za y izberemo x velja, daza vsak x ∈ X, obstaja y ∈ X (y = x) tako, da R1[x] ⊆ R2[y], kar po de�nicijirelacije �nej²i pomeni da, R1 � R2.1.3 Delna urejenostV tem poglavju bomo de�nirali delno urejenost in pogledali nekaj primerov.De�nirali bomo tudi realizator in dimenzijo delno urejene mnoºice.De�nicija 1.14. Re�eksivna, antisimetri£na in tranzitivna relacija se imenujedelna urejenost. Par P=(X,R), kjer je X mnoºica in R relacija delne urejenosti,se imenuje delno urejena mnoºica.De�nicija 1.15. Relacija je linearno urejena, £e je delno urejena in sovisna.Primer 1.16. Relacija ≡n na mnoºici celih ²tevil ni delno urejena, je pa ek-vivalen£na relacija. Zato lahko mnoºico celih ²tevil razbijemo na ekvivalen£nerazrede:

[0] = {x ∈ Z : n | x} = {. . . ,−2n,−n, 0, n, 2n, . . .}[1] = {x ∈ Z : n | (1 − x)} = {. . . ,−2n + 1,−n + 1, 1, n + 1, 2n + 1, . . .}...

[n − 1] = {x ∈ Z : n | (n − 1 − x)} = {. . . ,−n − 1,−1, n − 1, 2n − 1, . . .}.Primer 1.17. Relacija ≤, de�nirana na mnoºici naravih ²tevil, je delno ure-jena, ni pa ekvivalen£na relacija. Ker za to relacijo velja sovisnost, je tudilinearno urejena.

1.3 Delna urejenost 15Primer 1.18. Relacija deljivosti na naravnih ²tevilih je delno urejena in nilinearno urejena.De�nicija 1.19. Naj bo P = (X, R) delno urejena mnoºica ter x in y ele-menta mnoºice X. Pravimo, da je x pokrit z y v P (ali y pokriva x), £evelja:• xRy,

• za vsak z ∈ X velja: £e xRz in zRy, potem z = x ali z = y.De�nicija 1.20. Naj bo P = (X, R) delno urejena mnoºica. Neskon£na pada-jo£a veriga delne urejenosti P je podmnoºica P, ki vsebuje elemente. . . , zk, zk−1, zk−2, . . . , z1 ∈ X,za katere velja:

. . . , zkRzk−1, zk−1Rzk−2, . . . , z2Rz1.De�nicija 1.21. Delno urejeno mnoºico P = (X, R), ki ne vsebuje neskon£nepadajo£e verige, imenujemo spodaj zaprta delna urejenost.De�nicija 1.22. Naj bo P = (X, R) delno urejena mnoºica. Element x ∈ Xje minimalni element delne urejenosti P , £e za vsak y ∈ X, y 6= x, velja:y¬Rx.Trditev 1.23. Vsaka spodaj zaprta delna urejenost ima vsaj en minimalnielement.Dokaz. Naj bo P = (X, R) spodaj zaprta delna urejenost in naj bo x ∈ X.Obstajata dve moºnosti:1. x je minimalni element za P . V tem primeru je trditev ºe dokazana.2. x ni minimalni element za P , torej obstaja x1 ∈ X, x1 6= x, za kateregavelja, da x1Rx. Spet se pojavita dve moºnosti:(a) x1 je minimalni element za P , torej smo trditev dokazali.(b) x1 ni minimalni element, kar pomeni, da obstaja x2 ∈ X, x2 6= x1za katerega velja, da x2Rx1....

1.3 Delna urejenost 16PSfrag replacements

1

2 3

4

5

6

Slika 1.1: Delno urejena mnoºica ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |).Postopek ponavljamo. Ker je P spodaj zaprta, se postopek po kon£no korakihustavi. Torej po kon£no korakih vedno najdemo minimalni element.Primer 1.24. Imejmo delno urejeno mnoºico P = ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |). (Glejsliko 1.1.) Minimalni element delne urejenosti P je 1, saj za vsak i ∈ {2, . . . , 6}velja, da i - 1. Element 1 je pokrit z 2, 3 in 5. Element 6 pokriva 2 in 3.De�nicija 1.25. (X, R̂) je poenostavljena delno urejena mnoºica, £e velja:1. ∀x, y, z ∈ X, xR̂y ∧ yR̂z ⇒ xR̂z, to je R̂ je tranzitivna in2. ∀x ∈ X, x¬R̂x.Izrek 1.26. Naj bosta R in R̂ relaciji na mnoºici X, za kateri velja:R = R̂ ∪ {(x, x) : x ∈ X} in (1.1)

R̂ = R \ {(x, x) : x ∈ X}. (1.2)Potem sta naslednji trditvi ekvivalentni:1. (X, R) je delno urejena mnoºica.2. (X, R̂) je poenostavljena delno urejena mnoºica in za vsak x ∈ X, xRx.

1.3 Delna urejenost 17Dokaz. (⇒) Iz predpostavke 1.2 sledi, da noben element mnoºice X ni vrelaciji R̂ sam s sabo. Torej moramo dokazati le ²e tranzitivnost relacije R̂.Naj bo xR̂y ∧ yR̂z.

xR̂y ⇒ xRy,

yR̂z ⇒ yRz.Iz tranzitivnosti relacije R sledi xRz. Ker veljata ena£bi 1.1 in 1.2, je ali x = zali xR̂z. Denimo, da x = z. Ker velja xRy in yRz = x, je x = y = z (antisi-metri£nost R). Po predpostavki je xR̂y, vemo pa, da y = x. Torej xR̂x, karpa nasprotuje ºe dokazani to£ki. Torej xR̂z.(⇐) Dokazati moramo re�eksivnost, ki trivialno velja, tranzitivnost in antisi-metri£nost relacije R.

• Naj bo xRy ∧ yRz. Lo£imo ²tiri primere:(a) xR̂y ∧ yR̂z ⇒ xR̂z ⇒ xRz, kjer prva implikacija sledi iz tranzi-tivnosti R̂, druga pa po de�niciji relacije R̂, torej iz ena£b 1.1 in1.2.(b) xR̂y ∧ y = z ⇒ xR̂z ⇒ xRz.(c) x = y ∧ yR̂z ⇒ xR̂z ⇒ xRz.(d) x = y ∧ y = z ⇒ x = z. Ker je R re�eksivna in x = z sledi, xRz.• Naj bo xRy ∧ yRx. Lo£imo ²tiri primere:(a) xR̂y ∧ yR̂x. Iz tranzitivnosti relacije R̂ sledi xR̂x, kar pa je v pro-tislovju s predpostavko, da je (X, R̂) poenostavljena delno urejenamnoºica, torej poljuben x ∈ X nikoli ni v relaciji R̂ s samim seboj.(b) xR̂y ∧ y = x ⇒ xR̂x. Protislovje.(c) x = y ∧ yR̂x ⇒ xR̂x. Protislovje.(d) x = y ∧ y = x ⇒ x = y.V nadaljevanju prvega dela bomo namesto delne urejenosti uporabljali poeno-stavljeno delno urejenost. Zaradi enostavnosti ji bomo rekli kar delna ureje-nost.Za ²tudij predstavitev delnih urejenosti z relacijo vsebovanosti v druºini mnoºicbomo potrebovali dimenzijo delno urejene mnoºice. Da lahko le-to de�niramo,moramo vpeljati ²e linearno raz²iritev in realizator delno urejene mnoºice.

1.3 Delna urejenost 18De�nicija 1.27. Linearno urejena mnoºica L = (X, R̂) je linearna raz²iritevdelno urejene mnoºice P = (X, R), £e velja:∀x, y ∈ X, xRy ⇒ xR̂y.De�nicija 1.28. Realizator delno urejene mnoºice P = (X, R) velikosti k +1je zbirka linearno urejenih mnoºic {L0 = (X, R0), L1 = (X, R1), . . ., Lk =

(X, Rk)}, za katere veljaL0 ∩ L1 ∩ . . . ∩ Lk = P.Presek je de�niran kot:

xRy ⇔ xRiy za vse i ∈ {0, . . . , k}.De�nicija 1.29. Dimenzija delno urejene mnoºice P je velikost najmanj²egamoºnega realizatorja za P.De�nicija 1.30. Delni urejenosti (X, R) in (Y, S) sta izomorfni, £e obstajataka bijektivna preslikava f : X → Y, da za vsak x1, x2 ∈ X velja:x1Rx2 ⇔ f(x1)Sf(x2).

Poglavje 2Predstavitev z druºino mnoºic2.1 Osnovna de�nicijaV tem poglavju bomo vpeljali (poenostavljeno1) delno urejenost, ki bo predsta-vljena z neko druºino mnoºic. Videli bomo, da lahko na ta na£in predstavimopoljubno delno urejeno mnoºico. Zato bomo v nadaljevanju za£eli prou£evatiposebne druºine mnoºic, kot so druºine krogov, konveksnih poligonov ipd. Ta-koj se bo pojavilo novo vpra²anje. Ali lahko poljubno delno urejeno mnoºicopredstavimo na primer z druºino krogov? Hitro bomo ugotovili, da je odgovorne in zato nas bo zanimalo, kak²ne so lastnosti delno urejenih mnoºic, ki jihlahko, oziroma tistih, ki jih ne moremo predstaviti z druºino krogov.De�nicija 2.1. Delno urejeno mnoºico P = (X, <) na mnoºici X lahko pred-stavimo z druºino mnoºic F = {Sx : x ∈ X}, £e velja:

Sx ⊂ Sy ⇔ x < y.Z drugimi besedami, relacija (X, <) je izomorfna relaciji (F,⊂). Druºino Fimenujemo predstavitvena mnoºica za delno urejenost P.Izrek 2.2. Vsako delno urejeno mnoºico lahko predstavimo z druºino mnoºic.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica. Le-to lahko predstavimoz druºino mnoºic F = {Sx : x ∈ X}, kjer je Sx = {y ∈ X : y < x}. Zaraditranzitivnosti relacije < je Sx strogo vsebovana v Sy natanko tedaj, ko x < y.Torej je druºina F predstavitvena mnoºica za P.V nadaljevanju se omejimo na kon£ne delno urejene mnoºice.1V nadaljevanju prvega dela bodo vse delne urejenosti poenostavljene delne urejenosti(prim. de�nicija 1.25), zato bomo izraz "poenostavljene"izpu²£ali.19

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 20Izrek 2.3. Vsako kon£no delno urejeno mnoºico lahko predstavimo z druºinokonveksnih poligonov.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . , xn}. Najbo S konveksni n-gon z vozli²£i {v1, . . . , vn} in naj bo za vsak i ∈ {1, . . . , n},Si konveksno zaprtje {vj ∈ S : xj < xi} ∪ {vi}. O£itno lahko delno urejenomnoºico P predstavimo z druºino {S1, . . . , Sn}, saj velja, da je Si vsebovanav Sj natanko tedaj, ko xi < xj .2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delneurejenosti2.2.1 Funkcijski diagramiV tem poglavju bomo delno urejeno mnoºico predstavili z druºino funkcij.De�nicija 2.4. Naj bo ξ = {f1, . . . , fm} druºina zveznih funkcij iz [0, 1] v R.Druºino ξ imenujemo normalna, £e velja:(i) Za vsak par razli£nih elementov fi, fj ∈ ξ je mo£ mnoºice S(i, j) = {x ∈

[0, 1] : fi(x) = fj(x)} kon£na.(ii) Za vse i 6= j, fi(0) 6= fj(0) in fi(1) 6= fj(1).(iii) �e je fi(x0) = fj(x0), obstaja tak ε > 0, da za vsak x, y ∈ [0, 1], kizado²£atax0 − ε < x < x0 < y < x0 + ε,velja:

(fi(x) < fj(x)) ∧ (fi(y) > fj(y)) ali (fi(x) > fj(x)) ∧ (fi(y) < fj(y)).(�e se grafa dveh razli£nih funkcij iz ξ sekata v x0, potem se v x0 pre-kriºata.)De�nicija 2.5. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . , xm}.P imenujemo funkcijska urejenost, £e obstaja normalna druºina funkcij ξ ={f1, . . . , fm}, za katero velja:

fi(x) < fj(x) za vse x ∈ [0, 1] ⇔ xi < xj .Mnoºica funkcij ξ se imenuje funkcijski diagram (ali f -diagram) za P. Pravimotudi, da smo delno urejeno mnoºico P predstavili z druºino funkcij.

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 21PSfrag replacementsx1 x1

x1

x2

x2x2

x3

x3

x3

x4

x4

x4

x5x5x5

P L1 L2Slika 2.1: Graf delne urejenosti P = (X, <) in njenih linearnih raz²iritev.Izrek 2.6. Vsako kon£no delno urejeno mnoºico lahko predstavimo z druºinofunkcij.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delna urejenost z dimenzijo k na mnoºici X ={x1, . . . , xm} in naj bo Y = {1, 2, . . . , m}. Interval [0, 1] razdelimo na k enakihdelov. Ker je dimenzija P enaka k, obstajajo linearne raz²iritve L1, . . . , Lk,za katere velja, da L1 ∩ . . . ∩ Lk = P. Za vsak i ∈ {1, . . . , k} in za vse p, q ∈{1, . . .m} naj bosta yi,p in yi,q tak²na elamenta mnoºice Y, da zanju velja:

yi,p < yi,q na {1, . . . , m} ⇔ xp < xq na Li.�e i = 1, naj bo f(1)p (x) = y1,p na [0, 1

k], sicer pa naj bo f

(i)p (x) daljica od to£ke

( i−1k

, yi−1,p) do to£ke ( ik, yi,p). Naj bo

fp(x) =

f(1)p (x); x ∈ [0, 1

k],

f(2)p (x); x ∈ ( 1

k, 2

k],...

f(k)p (x); x ∈ (k−1

k, 1].Potem za vse i, j ∈ {1, . . . , m} velja, fi(x) < fj(x) za vsak x ∈ [0, 1] natankotedaj, ko xi < xj . Torej je ξ = {f1, . . . , fm} funkcijski diagram za P.Primer 2.7. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica s slike 2.1. O£itno je

dim P = 2, saj sta linearno urejeni mnoºici L1 in L2 s slike 2.1 ustrezni linearniraz²iritvi za P. Funkcijski diagram za P je na sliki 2.2.

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 22PSfrag replacementsf1

f2

f3

f4

f5

0 112Slika 2.2: Funkcijski diagram za P .Opomba 2.8. Naj bo ξ = {f1, . . . , fm} f -diagram delno urejene mnoºice P =

(X, <). De�nirajmo Si = {(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, fi(x)]}. Potem je F ={S1, . . . , Sm} predstavitev z mnoºicami za P. Predstavitve s funkcijami so torejle poseben primer predstavitev z mnoºicami.2.2.2 Prekriºno ²teviloVemo, da se dva razli£na kroga sekata v najve£ dveh to£kah, meji dveh razli£nihkonveksnih n-poligonov, ki nimata skupne £rte, pa se sekata v najve£ 2n to£kah.Iz tega bomo dobili f -diagram za kroge, kjer se poljubni funkciji sekata najve£dvakrat in f -diagram za n-gone, kjer se poljubni funkciji sekata najev£ 2n-krat.Kot bomo videli, je to ravno prekriºno ²tevilo f -diagrama.De�nicija 2.9. Prekriºno ²tevilo f -diagrama ξ = {f1, . . . , fm} de�niramo kot:

χ(ξ) = max{|S(i, j)| : fi, fj ∈ ξ, i 6= j},kjer je S(i, j) mnoºica prese£i²£ funkcij fi in fj .De�nicija 2.10. Prekriºno ²tevilo delno urejene mnoºice P = (X, <) de�ni-ramo kot:χ(P ) = min{χ(ξ) : ξ je f -diagram za P}.Primer 2.11. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . , xm}in naj bo χ(P ) = 0. To pomeni, da obstaja f -diagram delne urejenosti P , zakarega velja, da se nobeni dve funkciji ne sekata. Zato za poljubni funkciji

fi in fj in za vsak x ∈ [0, 1] velja fi(x) < fj(x) ali fj(x) < fi(x). Torej,za poljubna i, j ∈ {1, . . . , m} velja, xi < xj ali xj < xi. Vidimo, da sta

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 23PSfrag replacements 1111 2

2223 33

34444 55

55

Slika 2.3: Zdruºenje treh permutacijskih diagramov.poljubna elementa mnoºice X primerljiva, kar pomeni, da je delna urejenost(X, <) linearna. O£itno velja tudi obrat. Torej prekriºno ²tevilo delno urejenemnoºice P = (X, <) je 0 natanko tedaj, ko je P linearno urejena.Poseben primer f -diagrama je permutacijski diagram. To je zelo enostavenf -diagram, s katerim bomo na preprost na£in izra£unali prekriºna ²tevila ne-katerih delno urejenih mnoºic. Naj bosta L0 in L1 navpi£ni vzporedni £rti, nakaterih imamo zapisane permutacije ²tevil 1, 2, . . . , m. Permutacijski diagramje f -diagram, kjer je funkcija fi daljica, ki povezuje i na L0 z i na L1.Naj bo k ≥ 2. Potem dobimo zdruºenje k permutacijskih diagramov na nasle-dnji na£in. Naj bodo L0, . . . , Lk navpi£ne vzporedne £rte, ki vsebujejo permu-tacije ²tevil 1, . . . , m. Za vsak i ∈ {1, . . . , m} je krivulja fi sestavljena iz unijek linearnih funkcij, ki povezujejo i na Lj−1 z i na Lj , za j = 1, . . . , k. (Glejsliko 2.3.)Lema 2.12. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica z dimenzijo k + 1.Potem je prekriºno ²tevilo delne urejenosti P najve£ k.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . , xm}. Kerje dimenzija P enaka k + 1, obstaja realizator velikosti k + 1 {L0 = (X, <0),. . . , Lk = (X, <k)}. Za vsak i = 0, . . . , k, naj bo Li permutacija na X. Ker sepoljubni funkciji permutacijskega diagrama sekata najve£ enkrat, se poljubnifunkciji zdruºenja k permutacijskih diagramov sekata najve£ k krat. Torej jeprekriºno ²tevilo delne urejenosti P najve£ k.

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 24PSfrag replacementsv1 v2 v3

u1 u2 u3Slika 2.4: Graf delno urejene mnoºice Hn.V nadaljevanju bomo vpeljali dve delno urejeni mnoºici in si pogledali nekajnjunih lastnosti. Naj bo Hn = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {u1, . . . ,un, v1, . . . , vn}, kjer je za vsak i 6= j ∈ {1, 2, . . . , n}, ui < vj, vsi ostali parielementov pa so neprimerljivi. (Glej sliko 2.4.) To je standardni primer delnourejene mnoºice z dimenzijo n. Prekriºno ²tevilo delno urejene mnoºice Hn je2, za vse n ≥ 3, saj lahko na enostaven na£in poi²£emo funkcijski diagram zaHn, v katerem se poljubni funkciji sekata natanko dvakrat. (Glej sliko 2.5.)Izrek 2.13. Dimenzija Hn je n.Dokaz. Naj bo za vsak i ∈ {1, . . . , n}, Li linearna raz²iritev delne urejenostiHn z naslednjo obliko:u1 < . . . < ui−1 < ui+1 < . . . < un < vi < ui < v1 < . . . < vi−1 < vi+1 . . . < vn.(2.1)Za vsak i ∈ {1, . . . n} je Li linearna raz²iritev delne urejenosti Hn, saj iz ena£be2.1 sledi, da v vsakem Li velja uj < vk za vsak j 6= k. Dokaºimo najprej, daje < = {L1, . . . , Ln} realizator Hn. Dokazati moramo, da za vsak par nepri-merljivih elementov x, y v Hn, obstajata indeksa i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, da velja:x < y v Li in x > y v Lj . V Hn so lahko neprimerljivi naslednji pari ui, uj alivi, vj ali ui, vi. Poglejmo neprimerljiv par ui, uj. Iz ena£be 2.1 sledi, ui > uj vLi in ui < uj v Lj . Za neprimerljiv par vi, vj opazimo, vi < vj v Li in vi > vjv Lj. Za neprimerljiv par ui, vi pa velja, vi < ui v Li in ui < vi v Lk, za vsakk 6= i. Torej je < realizator za Hn velikosti n.Dokaºimo ²e, da Hn ne more imeti realizatorja z manj kot n linearnimi raz²i-ritvami. Denimo, da obstaja realizator < za Hn velikosti manj od n. Ker staelementa uk in vk neprimerljiva, za vsak k = 1, . . . , n obstaja linearna raz²iri-tev Lk ∈ <, za katero velja vk < uk. Vemo, da obstaja n tak²nih neprimerljivih

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 25...

.

.

.

PSfrag replacements v1

v2

vn

u1

u2

un

Slika 2.5: f -diagram za Hn s prekriºnim ²tevilom 2.parov, po predpostavki pa vemo, da obstaja kve£jemu n − 1 linearnih raz²iri-tev. Torej obstaja linearna raz²iritev Lm, za katero velja vi < ui in vj < uj,kjer i 6= j. Vse relacije, ki jih vsebuje Hn, vsebuje tudi Lm. Zato Lm vsebujetudi relaciji ui < vj in uj < vi. Torej ui < vj < uj < vi < ui, iz £esar slediui < ui, kar nas pripelje v protislovje. Najmanj²i realizator za Hn ima torejvelikost n, kar pomeni, da je dimenzija Hn enaka n.Naj bo za n ≥ 3, ξ = {f1, . . . , fn, g1, . . . , gn} funkcijski diagram delno urejenemnoºice Hn, s slike 2.5, kjer fi predstavlja ui, gi pa vi za vse i = 1, . . . , n.Ker se poljubni funkciji iz ξ sekata najve£ dvakrat, je prekriºno ²tevilo od Hnenako 2. Vidimo tudi, da vedno obstaja n to£k x1 6= x2 6= . . . 6= xn, za katerevelja

g1(x1) < f1(x1), g2(x2) < f2(x2), . . . , gn(xn) < fn(xn).Poglejmo, kako iz Hn dobimo novo delno urejeno mnoºico Ψn. Naj boS = {X ⊆ {1, . . . , n} : |X| ∈ {bn/2c, b(n + 1)/2c}}

= {S1, . . . , SN}.

Ψn dobimo tako, da za vsak Sk ∈ S vstavimo v Hn element sk, za kateregavelja:∀j ∈ Sk : uj < sk in ∀i /∈ Sk : sk < vi.(Glej sliko 2.6.)

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 26PSfrag replacements v1 v2 v3 v4

u1 u2 u3 u4

sk

Slika 2.6: Graf delno urejene mnoºice Ψ4.De�nicija 2.14. Naj bosta P = (X, R) in P ′ = (Y, S) delno urejeni mnoºici.Delno urejenost P ′ dobimo iz delne urejenosti P z dodajanjem elementov, £eX ⊆ Y in S ∩ X × X = R.(Pri dodajanju elementov vsakemu novemu elementu dolo£imo, s katerimi ele-menti bo v relaciji, relacije na starih elementih pa ne spreminjamo.)Lema 2.15. �e P ′ = (Y, S) dobimo iz P = (X, R) z dodajanjem elementov,potem dim P ′ ≥ dim P.Dokaz. Naj bo dim P = n. Denimo, dim P ′ = m < n. Ker dim P = n,obstajajo linearne raz²iritve L1 = (X, R1), . . . , Ln = (X, Rn), za katere velja

L1 ∩ . . .∩Ln = P. Sledi, da za vsak i, j ∈ {1, . . . , n} obstajata x, y ∈ X, ki staneprimerljiva na P in zanju velja xRiy in x¬Rjy. Ker dim P ′ = m, obstajajolinearne raz²iritve L′

1, . . . , L′

m, za katere velja L′

1 ∩ . . . ∩ L′

m = P ′. Ker stax, y ∈ X neprimerljiva na P , sta neprimerljiva na P ′ in sta tudi elementamnoºice Y. Protislovje. (Imeti bi morali vsaj n linearnih raz²iritev na P ′.)Lema 2.16. Dimenzija Ψn je n.Dokaz. Naj ui predstavlja {i}, vi podmnoºice {1, 2, . . . , n} − {i} in najbo sk ∈ S. Torej je Ψn vsebovana v poten£ni mnoºici mnoºice {1, 2, . . . , n},katere dimenzija je n. Sledi dim Ψn ≤ n. Ker Ψn dobimo iz Hn z dodajanjemelementov in ker je dimenzija Hn enaka n, iz leme 2.15 sledi, da je dimenzijaΨn ≥ n.

2.2 Funkcijski diagrami in prekriºno ²tevilo delne urejenosti 27Izrek 2.17. Prekriºno ²tevilo delno urejene mnoºice Ψn je n − 1.Dokaz. Lema 2.12 pove, da je prekriºno ²tevilo delno urejene mnoºice zdimenzijo n najve£ n − 1. Ker dim(Ψn) = n, je χ(Ψn) ≤ n − 1. Zato zado²£adokazati, da χ(Ψn) ≥ n − 1.Naj bo ζ funkcijski diagram delno urejene mnoºice Ψn. Naj bosta za vsaki ∈ {1, . . . , n}, fi, gi ∈ ζ, kjer fi predstavlja ui, gi pa vi. Nadalje naj bo skpredstavljen s funkcijo hk. Ker Ψn dobimo iz Hn z dodajanjem elementov, ζvsebuje f -diagram ξ za Hn. Vemo, da obstajajo x1 6= x2 6= . . . 6= xn, takoda g1(x1) < f1(x1), . . . , gn(xn) < fn(xn). Brez izgube splo²nosti velja x1 <x2 < . . . < xn. Naj bo Sk = {1, 3, 5, . . .} in Sk̂ = {2, 4, 6, . . .}. Ker sk < viza vse i /∈ Sk, je sk < v2, v4, . . . . Sledi, hk(x) < gi(x) za i = 2, 4, . . . . Izsk > u1, u3, . . . sledi hk(x) > fi(x) za i = 1, 3, . . . . Podobno preverimo, dahk̂(x) < gi(x) za i = 1, 3, . . . in hk̂(x) > fi(x) za i = 2, 4, . . . . Za lihe i dobimo:hk̂(xi) < gi(xi) < fi(xi) < hk(xi). Torej hk̂(xi) < hk(xi) za i = 1, 3, . . . . Naenak na£in za sode i dobimo: hk(xi) < hk̂(xi). Ker x1 < . . . < xn, na vsakemintervalu (xi, xi+1), hk seka hk̂ vsaj enkrat in ker i te£e od 1 do n−1, se sekatavsaj n − 1 krat. Sledi χ(Ψn) ≥ n − 1.

Poglavje 3Kroºne urejenostiV tem poglavju bomo delno urejene mnoºice predstavlili z druºino krogov.Zlahka preverimo, da lahko vsako delno urejeno mnoºico dimenzije 2 predsta-vimo z druºino krogov. Zato se bomo v tem poglavju ukvarjali z vpra²anjem,ali lahko vsako delno urejeno mnoºico, ki ima dimenzijo 3, predstavimo z dru-ºino krogov. Zanimalo nas bo tudi, ali obstajajo kak²ne delno urejene mnoºicedimenzije 4, ki jih ne moremo predstaviti s krogi.De�nicija 3.1. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . ,xm}. P imenujemo kroºna urejenost, £e obstaja druºina krogov Φ = {P1, . . . ,Pm}, za katere velja:

xi < xj ⇔ Pi ⊂ Pj.3.1 Prekriºno ²tevilo kroºnih urejenostiDe�nicija 3.2. Naj bo Φ = {P1, . . . , Pm} predstavitev delno urejene mnoºiceP = (X, <) s krogi. Φ imenujemo normalna predstavitev, £e

int(P1)∩ int(P2)∩ . . . ∩ int(Pm) 6= ∅,kjer int(A) ozna£uje notranjost mnoºice A.Izrek 3.3. Prekriºno ²tevilo kroºne urejenosti je najve£ dva.Dokaz. Naj bo P = (X, <) kroºna urejenost. Dokaºimo najprej, da ima Pnormalno predstavitev. Naj bo Φ = {P1, . . . , Pm} predstavitev s krogi za P.Naj bo a = max{d(Si, Sj) : 1 ≤ i, j ≤ m}, kjer je d razdalja, Si pa sredi²£ekroga Pi. Naj bo ri polmer kroga Pi ∈ Φ in naj bo Ri = Pi(ri + 2a), krog spolmerom ri + 2a, ki je koncentri£en krogu Pi. Krog Pi je vsebovan v kroguPj natanko tedaj, ko je krog Ri vsebovan v krogu Rj , saj dobimo vsak nov28

3.1 Prekriºno ²tevilo kroºnih urejenosti 29PSfrag replacements 0 1p Slika 3.1: Operacija - iz krogov delamo funkcije.krog iz starega tako, da mu pove£amo polmer za 2a (vsakemu krogu pove£amopolmer za enako konstanto). Torej je Φ′ = {R1, . . . , Rm} predstavitev delneurejenosti s krogi, za katero velja, R1 ∩ . . . ∩ Rm 6= ∅. V preseku so gotovosredi²£a vseh krogov Pi ∈ Φ. Naj bo Q ∈ R1 ∩ . . .∩Rm in naj bo LQ poltrak zizhodi²£em v Q, ki ne poteka skozi nobeno prese£i²£e krogov iz Φ′. Razreºimoravnino vzdolº LQ in jo raztegnimo tako, da se ena stran dotika y-osi, druga papremice x = 1. Temu postopku pravimo operacija. (Glej sliko 3.1.) Dobili smofunkcijski diagram ξ za P . Vsako funkcijo fi ∈ ξ dobimo z operacijo iz kroga

Ri ∈ Φ′. Prekriºno ²tevilo urejenosti P je torej kve£jemu dva, saj se poljubnadva kroga iz Φ′ sekata v najve£ dveh to£kah in zato imata tudi poljubni dvefunkciji iz ξ najve£ dve prese£i²£i.Posledica 3.4. Ψ4 ni kroºna urejenost.Dokaz. Iz izreka 2.17 sledi, da je prekriºno ²tevilo Ψ4 enako tri. Izrek 3.3pa pove, da je prekriºno ²tevilo kroºne urejenosti najve£ dva. Sledi, Ψ4 nemoremo predstaviti z druºino krogov.Ker lahko za vsako naravno ²tevilo n, Hn predstavimo z druºino krogov, zavsak n ∈ N obstaja delno urejena mnoºica z dimenzijo n, ki je kroºna urejenost.Trditev 3.5. Vsaka kon£na linearno urejeno mnoºica je kroºna urejenost.Dokaz. Naj bo P = (X, <) linearno urejena mnoºica na X = {x1, . . . , xm}.Ker je P linearno urejena, lahko elemente mnoºice X uredimo po velikosti.Brez ²kode za splo²nost velja x1 < . . . < xm. Potem lahko P predstavimo z

3.1 Prekriºno ²tevilo kroºnih urejenosti 30PSfrag replacementsv1

v1

v2

v2

v3

v3

u1

u1

u2

u2

u3

u3Slika 3.2: Predstavitev H3 s krogi.

PSfrag replacementsP1

P2

P3

P4

1 2 3 4

Slika 3.3: Predstavitev delne urejenosti ({1, 2, 3, 4}, <) s krogi.

3.1 Prekriºno ²tevilo kroºnih urejenosti 31PSfrag replacements

P1

P2

P3

P4

1 2 3 4

Slika 3.4: Predstavitev delne urejenosti ({1, 2, 3, 4}, |) s krogi.druºino krogov Φ = {P1, . . . , Pm}, kjer je za vsak i ∈ {1, . . . , m}, Pi krog ssredi²£em v izhodi²£u in polmerom i. O£itno, xi < xj ⇔ Pi ⊂ Pj.Primer 3.6. Imejmo relacijo < na mnoºici X = {1, 2, 3, 4} ⊂ N. P = (X, <)je kot podmnoºica linearno urejene mnoºice, linearno urejena in zato tudi delnourejena. Iz linearne urejenosti sledi, da ima P prekriºno ²tevilo enako 0, terda obstaja predstavitev z druºino krogov. (Glej sliko 3.3.)Naj bo Φ = {P1, P2, P3, P4}, kjer je Pi krog s sredi²£em v izhodi²£u in radijemi, za vsak i ∈ {1, 2, 3, 4}. O£itno je Φ predstavitev s krogi za P, saj velja:

∀i, j ∈ {1, 2, 3, 4}, i < j ⇔ Pi ⊂ Pj.Ker je int(P1)∩ int(P2)∩ int(P3)∩ int(P4) = int(P1), je Φ normalna predsta-vitev delno urejene mnoºice P .Primer 3.7. Imejmo relacijo deljivosti na mnoºici X = {1, 2, 3, 4}. Preverimoobstoj predstavitve s krogi za delno urejeno mnoºico P = (X, |). Za vsaki ∈ {1, 2, 4} naj bo Pi krog s sredi²£em v izhodi²£u in polmerom i. P3 pa najbo krog s sredi²£em v (0,−1.5) in polmerom 3. Ker za vsak i 6= j ∈ {1, 2, 3, 4}velja:

i | j ⇔ Pi ⊂ Pj,je Φ = {P1, . . . , P4} predstavitev za P z druºino krogov. (Glej sliko 3.4.) Φ jenormalna predstavitev, saj je notranjost kroga P1 v preseku notranjosti vseh²tirih krogov.

3.2 Lastnosti kroºne urejenosti 32Vse delno urejene mnoºice, ki niso kroºne urejenosti in smo jih ºe spoznali, sovsaj tako velike kot Ψ4. Zato domnevamo, da je Ψ4 najmanj²a delno urejenamnoºica, ki ni kroºna urejenost. Scheinerman in Wierman sta v [3] dokazala,da obstajajo neskon£ne delno urejene mnoºice dimenzije 3, ki jih ne moremopredstaviti z druºino krogov. O kon£nih delno urejenih mnoºicah z dimenzijonajve£ 3 pa bomo izvedeli nekaj ve£ v poglavju 4.3.2 Lastnosti kroºne urejenostiV tem poglavju bomo iz dveh delno urejenih mnoºic sestavili novo delno ure-jeno mnoºico. Zdruºili bomo dve kroºni urejenosti in dobili novo delno urejenomnoºico, ki jo lahko predstavimo z druºino krogov. Vpeljali bomo ²e dual delnourejene mnoºice in dokazali, da je dual kroºne urejenosti tudi kroºna urejenost.De�nicija 3.8. Naj bosta Q = (X, <′) in R = (Y, <′′) delno urejeni mnoºici.Zdruºitev delno urejenih mnoºic P = (X × Y, <) de�niramo kot:(x1, y1) < (x2, y2) ⇔ x1 <′ x2 ∧ y1 <′′ y2.De�nicija 3.9. Naj bo Φ = {P1, . . . , Pm} predstavitev delno urejene mnoºice

P = (X, <) s krogi. Φ imenujemo (r, ε)-predstavitev s krogi za P , £e so vsikrogi iz Φ vsebovani v kolobarju dveh kroºnic, ki imata skupno sredi²£e inpolmera r oziroma r + ε.Da se dokazati, da ima vsaka kroºna urejenost (r, ε)-predstavitev, kar potrebu-jemo, da dokaºemo, da je zdruºitev dveh kroºnih urejenosti kroºna urejenost.Ker pa tega v nadaljevanju ne potrebujemo, se s tem ne bomo podrobnejeukvarjali. V nasprotju s tem se zelo pogosto uporablja dual delne urejenosti.De�nicija 3.10. P ∗ = (X, >) je dual delno urejene mnoºice P = (X, <), £eza vsak x, y ∈ X velja:x < y v P ⇔ x > y v P ∗.Elementi, ki so neprimerljivi v P, so neprimerljivi tudi v P ∗.Dual je zelo pomemben, saj je dual delne urejenosti zopet delna urejenost.Zato nam zelo koristi pri dokazovanju razli£nih izrekov, saj lahko izbiramo alibomo izrek dokazovali za P ali za P ∗.Izrek 3.11. Naj bo P kon£na delno urejena mnoºica. Potem je dual P ∗ kroºneurejenosti P tudi kroºna urejenost.

3.2 Lastnosti kroºne urejenosti 33Dokaz. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica, ki jo lahko predstavimoz druºino krogov Φ = {P1, . . . , Pm} in naj bo b tako realno ²tevilo, da za vsaki ∈ {1, . . . , m} velja:

2b − ri > 0,kjer je ri polmer kroga Pi. Naj bo Pi(2b − ri) krog s polmerom 2b − ri, ki jekoncentri£en s krogom Pi. Ozna£imo, P ∗

i = Pi(2b−ri) in r∗i = 2b−ri. Dokaºimo,da je Φ′ = {P ∗

1 , . . . , P ∗

m} predstavitev s krogi za P ∗. Dokazati moramo, da zavse i, j ∈ {1, . . . , m} velja:Pi ⊂ Pj ⇔ P ∗

j ⊂ P ∗

i .Naj bo Pi ⊂ Pj. Potemri < rj in d(Sj, Si) + ri < rj . (3.1)Iz ri < rj sledi, da velja ri − 2b < rj − 2b. Ker sta obe strani neenakostinegativni, velja 2b− rj < 2b− ri. Torej r∗j < r∗i . Dokazati moramo ²e, da velja

d(Si, Sj) + r∗j < r∗i . Iz neena£be 3.1 za (1) dobimo:d(Si, Sj) + r∗j = d(Si, Sj) + 2b − rj =

= 2b + d(Si, Sj) − rj <(1) 2b − ri = r∗i .Implikacijo v drugo smer dokaºemo analogno.

Poglavje 4Ve£kotni²ke urejenostiV tem poglavju bomo najprej vpeljali predstavitev delno urejene mnoºice zdruºino konveksnih poligonov. Vemo ºe, da lahko tako predstavimo vsakodelno urejeno mnoºico. Zato bomo v nadaljevanju pogledali lastnosti delnourejenih mnoºic, ki jih lahko predstavimo s pravilnimi n-kotniki, katerih osno-vnica je vzporedna z x-osjo. Zanimale nas bodo predstavitve z enakostrani-£nimi trikotniki, kvadrati, pravilnimi petkotniki, itd. Dokazali bomo, da se,podobno kot s krogi, Ψ4 ne da predstaviti niti s pravilnimi n-kotniki.De�nicija 4.1. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . ,xm}. P imenujemo poligonska delna urejenost, £e obstaja druºina poligonovΦ = {S1, . . . , Sm}, za katere velja:

Si ⊂ Sj ⇔ xi < xj v P.Pravimo, da je Φ poligonska predstavitev delno urejene mnoºice P.V nadaljevanju tega poglavja privzemimo, da se stranici poljubnih razli£nihpoligonov v poligonski predstavitvi Φ sekata najve£ enkrat in da je poljubnato£ka vrh le enega poligona iz Φ. Naj v nadaljevanju velja ²e, da imajo vsipoligoni iz Φ enako orientacijo.De�nicija 4.2. Predstavitev delno urejene mnoºice P = (X, <) z druºinopoligonov Φ = {S1, . . . , Sm} je normalna, £eS1 ∩ . . . ∩ Sm 6= ∅.De�nicija 4.3. �e lahko delno urejeno mnoºico predstavimo s pravilnimi n-kotniki, ki imajo paroma vzporedne stranice in so vsi enako orientirani, potemtej delno urejeni mnoºici pravimo pravilna n-kotni²ka urejenost.34

4.1 Predstavitev s pravilnimi trikotniki 35

PSfrag replacements 1 1 111 1 2 22

2223 3 3

333Slika 4.1: Predstavitev delne urejenosti dimenzije 3 s trikotniki.4.1 Predstavitev s pravilnimi trikotnikiZaenkrat ²e ne vemo, ali so delne urejenosti dimenzije tri kroºne urejenosti.Zato je predstavitev delno urejene mnoºice z enakostrani£nimi trikotniki po-membna predvsem zaradi naslednjega rezultata:Izrek 4.4. Vsaka delno urejena mnoºica z dimenzijo 3 je pravilna 3-kotni²kaurejenost.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delna urejenost na X = {x1, . . . , xm} z dimenzijo3. Sledi, da obstajajo linearno urejene mnoºice L1, L2, L3, za katere velja

L1 ∩L2 ∩L3 = P. Naj bodo R1, R2, R3 trije poltraki s skupnim izhodi²£em, kimed seboj oklepajo kot 120◦. Za vsak i ∈ {1, 2, 3} na poltraku Ri ozna£imo mto£k. To naj bodo elementi mnoºice X, ki so urejeni tako, kot to dolo£a Li. Zavsako to£ko xj , kjer j = 1, . . . , m in za vsak poltrak Ri, kjer i = 1, 2, 3, naj boLi,j pravokotnica na Ri skozi xj . Naj bo Si,j polravnina, ki jo dolo£ata premicaLi,j in izhodi²£e poltrakov. Nadalje naj bo za vsak xi ∈ X, Ti trikotnik,ki ga dobimo kot presek treh polravnin S1,i, S2,i in S3,i. Potem lahko delnourejeno mnoºico P predstavimo z druºino trikotnikov Φ = {T1, . . . , Tm}, sajje trikotnik Ti vsebovan v trikotniku Tj natanko tedaj, ko xi < xj v P. (Veljanamre£: xi < xj v P ⇔ xi < xj v L1, L2 in L3 ⇔ Ti ⊂ Tj . Glej sliko 4.1.)

4.2 Posplo²itev na poljuben pravilni n-kotnik 36

= = = ={ {{{} } } }

PSfrag replacementsL1

L1

L2

L2

L3

L3

L4

L4

1 1 11

11

222222

3333 33 4444

44

, ,,, ,,,,, , , ,,,, Slika 4.2: m = 4.4.2 Posplo²itev na poljuben pravilni n-kotnikTrditev 4.5. Vsaka pravilna n-kotni²ka urejenost ima normalno predstavitev.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {x1, . . . xm},ki jo lahko predstavimo z druºino pravilnih n-kotnikov Φ = {P1, . . . , Pm}.Predpostavimo, da so vsi n-kotniki iz Φ vsebovani v krogu s polmerom 1. Zavsak Pi ∈ Φ naj bo P ′

i pravilen n-kotnik, ki ga dobimo iz Pi na naslednji na£in:• za vsako stranico ej, n-kotnika Pi, naj bo Sj polravnina glede na premico

Lj , ki vsebuje Pi. Pri tem je Lj premica vzporedna z ej, ki je od ejoddaljena za 1 (£e nosilka stranice ej razdeli ravnino na dve polravnini,je Lj v polravnini, ki ne vsebuje n-kotnika Pi).• P ′

i = S1 ∩ . . . ∩ Sn.

P ′

1 ∩ P ′

2 ∩ . . . ∩ P ′

m 6= ∅, saj je v preseku vsaj sredi²£e zgoraj izbranega kroga.Zato je Φ′ = {P ′

1, . . . , P′

m} normalna predstavitev za P. (Glej sliko 4.2.)Izrek 4.6. Dimenzija poljubne pravilne n-kotni²ke urejenosti je najve£ n. Ob-stajajo pravilne n-kotni²ke urejenosti z dimenzijo n.Dokaz. Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica, ki jo lahko predstavimo zdruºino pravilnih n-kotnikov Φ = {S1, . . . , Sm}. Naj bo Φ normalna predsta-vitev. Potem je presek vseh n-kotnikov iz Φ neprazen. Za vsako stranico ei

4.2 Posplo²itev na poljuben pravilni n-kotnik 37PSfrag replacements

p1

p2p3

T1

T2

T3Slika 4.3: H3 predstavljen z {T1, T2, T3, p1, p2, p3}.

n-kotnika S1 naj bo Ri poltrak, ki je pravokoten na ei in ima izhodi²£e v ºeopisanem preseku. Na vsakem poltraku Ri dobimo linearno raz²iritev Li delneurejenosti P . Urejenost Li je dolo£ena z vrstnim redom presekov elementoviz Φ z Ri. Pri tem i te£e po vseh stranicah n-kotnika. Dobimo torej n linear-nih raz²iritev. Dokaºimo, da je < = {L1, . . . , Ln} realizator za P . Dokazatimoramo, da za xi, xj ∈ X velja, da je xi < xj v P natanko tedaj, ko xi < xjv Li za vsak i ∈ {1, . . . , n}. Ker je Φ predstavitev za P je xi < xj v P na-tanko tedaj, ko je Si ⊂ Sj. To pa je natanko tedaj, ko vsak poltrak Rk, kjerk = 1, . . . , n, seka najprej n-kotnik Si in nato n-kotnik Sj, to pa je natankotedaj, ko je xi < xj v Lk za vsak k ∈ {1, . . . , n}. Sledi, da je < realizator za Pvelikosti n. (Glej sliko 4.2.)Dokaºimo ²e drugi del izreka. Ker je dimenzija Hn enaka n, zado²£a dokazati,da lahko delno urejeno mnoºicoHn predstavimo z druºino pravilnih n-kotnikov.Slednje dokaºimo za n = 3.Naj bo T enakostrani£ni trikotnik. Za vsak i ∈ {1, 2, 3} dobimo trikotnik Titakole:

• na obeh straneh stranico ei, trikotnika T, podalj²amo za konstanto εi.Dobljena daljica je e′i;

• Ti je enakostrani£en trikotnik, ki vsebuje trikotnik T ;

• ena izmed stranic trikotnika Ti je stranica e′i.Za vsak i ∈ {1, 2, 3} obstaja to£ka pi za katero velja:

4.2 Posplo²itev na poljuben pravilni n-kotnik 38PSfrag replacements Lp

Slika 4.4: Razrez pravilnih n-kotnikov.• pi ne leºi znotraj trikotnika Ti in• pi leºi na simetrali stranice ei trikotnika T .Potem je H3 natanko delno urejena mnoºica, ki jo predstavljajo {T1, T2, T3, p1,

p2, p3}. (Glej sliko 4.3.)S posplo²itvijo tega dokaza rezultat sledi tudi za n > 3.Po izreku 4.6 za poljubno veliko naravno ²tevilo n obstajajo delno urejenemnoºice dimenzije n, ki so pravilne n-kotni²ke urejenosti. Zopet opazimo po-dobnost s predstavitvijo s krogi, saj smo tudi tam dokazali, da za poljubnonaravno ²tevilo n, obstajajo delno urejene mnoºice s to dimenzijo, ki so kroºneurejenosti.Povezava med predstavitvami s krogi in predstavitvami s pravilnimi n-kotnikije tudi v prekriºnem ²tevilu.Lema 4.7. Prekriºno ²tevilo pravilne n-kotni²ke urejenosti, kjer n ≥ 3, jenajve£ 2.Dokaz. Naj bo Φ = {S1, . . . , Sn} normalna predstavitev delno urejene mno-ºice P = (X, <) s pravilnimi n-kotniki. Naj bo p ∈ S1 ∩ . . . ∩ Sn in najbo Lp poltrak z izhodi²£em v p, ki ne poteka skozi nobeno prese£i²£e dvehn-kotnikov iz Φ. Kot v izreku 3.3, uporabimo operacijo. (Glej sliko 4.4.) Pre-reºemo ravnino vzdolº Lp in jo raztegnemo tako, da se ena stran dotika y-osi,druga pa premice x = 1. Pri tem se meja vsakega pravilnega n-kotnika Si izΦ preoblikuje v zvezno funkcijo fi : [0, 1] → R. Dobimo funkcijski diagramξ = {f1, . . . , fn} za P . Lema sledi, saj se poljubni funkciji fi, fj ∈ ξ sekatanajve£ dvakrat.

4.3 Lastnosti delno urejenih mnoºic dimenzije 3 39Izrek 4.8. Naj bo n > 3. Obstajajo delno urejene mnoºice z dimenzijo n, kiniso pravilne n-kotni²ke urejenosti.Dokaz. Iz poglavja 2.2 vemo, da za poljubno naravno ²tevilo n obstajajodelno urejene mnoºice z dimenzijo n in prekriºnim ²tevilom n − 1. (Primer:Ψn.) Za n > 3, je prekriºno ²tevilo take delno urejene mnoºice n − 1 ≥ 3.Iz zgornje leme sledi, da taka delno urejena mnoºica ni pravilna n-kotni²kaurejenost.Posledica 4.9. Za vsak n ≥ 3, Ψ4 ni pravilna n-kotni²ka urejenost.Domneva 4.10. Ψ4 je najmanj²a delno urejena mnoºica, ki ni pravilna n-kotni²ka urejenost.4.3 Lastnosti delno urejenih mnoºic dimenzije 3Dokazali smo, da je prekriºno ²tevilo kroºne urejenosti najve£ dva, iz £esarsledi, da obstajajo delno urejene mnoºice dimenzije ²tiri, ki niso kroºne ure-jenosti. O£itno so vse delno urejene mnoºice dimenzije dva kroºne urejenosti.Z vidika dimenzije nas zanima le ²e, £e so delne urejenosti dimenzije tri tudikroºne urejenosti.Izrek 4.11. Za vsak n ≥ 3, je kon£na delno urejena mnoºica dimenzije tripravilna n-kotni²ka urejenost.Dokaz. Najprej izrek dokaºimo za n = 4.Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica na X = {1, . . . , m} z dimenzijo tri.Torej obstajajo linearno urejene mnoºice L1 = (X, <1), L2 = (X, <2), L3 =(X, <3), katerih presek je P. Brez izgube splo²nosti lahko predpostavimo, daje v linearni raz²iritvi L1, i <1 j natanko tedaj, ko za ²tevili i in j velja, dai < j. Za i = 2, 3 je Li permutacija πi mnoºice {1, . . . , m}. Z uporabo π2 na x-osi ozna£imo to£ke (km2, 0) z elementi π−1

2 (k), kjer k = 1, . . . , m. Na podobenna£in, z elementi −π−13 (k) na x-osi ozna£imo ²e to£ke (−km2, 0).Vpeljimo kvadrate, ki bodo predstavitev za P. Za vsak i ∈ {1, . . . , m} naj bo

λ(i) daljica na premici y = i, ki jo dolo£ata pravokotnici na x-os skozi to£kiozna£eni z i. Kvadrat S(i) je z λ(i) enoli£no dolo£en. Pri tem je λ(i) njegovaosnovnica. �e i < j v P , potem je:1. osnovnica λ(j) kvadrata S(j) dalj²a od λ(i) vsaj 2m2 enot;2. projekcija λ(i) na x-os vsebovana v projekciji λ(j);

4.3 Lastnosti delno urejenih mnoºic dimenzije 3 40

PSfrag replacements 1

2

3

Slika 4.5: n = 4, L1 = {1, 2, 3}, L2 = {1, 3, 2}, L3 = {2, 1, 3}.3. λ(j) najve£ m − 1 enot nad λ(i).(Glej sliko 4.5.) Torej, iz i < j sledi S(i) ⊂ S(j). Na enostaven na£in dokaºemo²e obratno implikacijo in zato je Φ = {S(1), . . . , S(m)} predstavitev delnourejene mnoºice P z druºino kvadratov. (i < j v P ⇔ i < j v L1, L2 inL3 ⇔ leva stranica kvadrata S(i) je bolj desno od leve stranice kvadrata S(j),desna stranica kvadrata S(i) pa je bolj levo od desne stranice kvadrata S(j)in zgornja stranica S(i) je pod zgornjo stranico S(j), spodnja stranica S(i) paje nad spodnjo stranico S(j) ⇔ S(i) ⊂ S(j).)Za n > 4 dokaz poteka na podoben na£in, le da namesto pravokotnic na x-osskozi dve to£ki, ki sta ozna£eni z i, potegnemo naslednji premici:

• premico skozi i, ki oklepa s pozitivnim delom x-osi kot 2πnin

• premico skozi −i, ki oklepa z negativnim delom x-osi kot (n−2)πn

.Dobimo m pravilnih n-kotnikov, ki so predstavitev za P.Ker izrek velja za poljuben n, predvidevamo, da lahko delno urejene mno-ºice dimenzije tri predstavimo tudi z druºino krogov, saj ko n po²ljemo protineskon£no, pravilen n-kotnik konvergira h krogu. Ampak ta argument ne za-do²£a, saj so Felsner, Fishburn in Trotter v [5] dokazali, da obstajajo kon£nedelne urejenosti dimenzije 3, ki niso kroºne urejenosti.

4.4 Posplo²itev na konveksne poligone 414.4 Posplo²itev na konveksne poligoneV vseh podpoglavjih poglavja 4 smo poizku²ali delno urejene mnoºice pred-staviti z druºino pravilnih ve£kotnikov. Sedaj bomo pravilne ve£kotnike nado-mestili s konveksnimi poligoni in pogledali, kak²ne so lastnosti delno urejenihmnoºici, ki jih lahko predstavimo na ta na£in.De�nicija 4.12. Delno urejeno mnoºico P = (X, <) na X = {x1, . . . , xm}imenujemo n-kotni²ka urejenost, £e obstaja druºina Φ = {P1, . . . , Pm} konve-ksnih poligonov z n ogli²£i, za katere velja:Pi ⊂ Pj ⇔ xi < xj .V nadaljevanju naj za poljubna konveksna poligona iz druºine Φ velja:

• vsaki£ ko se sekata, se prekriºata (presek ni nikoli le ena to£ka) in• daljica ni nikoli presek mej teh dveh poligonov.Izrek 4.13. Prekriºno ²tevilo n-kotni²ke urejenosti je najve£ 2n.Dokaz. Dokaºimo izrek za n = 3.Naj bo P = (X, <) delno urejena mnoºica, ki jo lahko predstavimo s konveksni-mi poligoni (v na²em primeru trikotniki). �e obstaja normalna predstavitev za

P , potem rezultat sledi iz ugotovitve, da se meji poljubnih trikotnikov sekatav najve£ ²estih to£kah, in z uporabo operacije, ki je opisana v izreku 3.3.Naj bo sedaj Φ = {P1, . . . , Pm} predstavitev s trikotniki delne urejenosti P , kini normalna predstavitev. Za vsak trikotnik Pi ∈ Φ, naj boPi(α) = {(x, y) ∈ R2 : d((x, y), Pi) ≤ α}.Potem za poljubna trikotnika Pi, Pj ∈ Φ, obstaja tako ²tevilo β, da velja:

• Pi(β) ∩ Pj(β) 6= ∅ in• v preseku mej Pi(β) in Pj(β) je najve£ ²est to£k.Seveda velja, da £e je Pi vsebovan v Pj , potem je Pi(β) vsebovan v Pj(β). Najbo C krog s polmerom α, ki vsebuje vse trikotnike druºine Φ. Potem velja:• P1(α)∩P2(α)∩ . . .∩Pm(α) 6= ∅, saj je sredi²£e kroga C gotovo v preseku;• meje P1(α), P2(α), . . . , Pm(α) so krivulje in• poljubni dve tako dobljeni krivulji se sekata v najve£ ²estih to£kah.

4.4 Posplo²itev na konveksne poligone 42Sedaj uporabimo operacijo, kot v dokazu izreka 3.3. Dobimo f -diagram ξ zaP, s prekriºnim ²tevilom najve£ ²est.Dokaz za poljuben n na enostaven na£ino dobimo s posplo²itvijo tega izreka.Posledica 4.14. Obstajajo delno urejene mnoºice z dimenzijo 2n + 2, ki nison-kotni²ke urejenosti.Dokaz. Dimenzija delno urejene mnoºice Ψ2n+2 je 2n + 2, prekriºno ²tevilopa 2n + 1. Iz predhodnega izreka sledi, da Ψ2n+2 ni n-kotni²ka urejenost.

Del IIPodatkovna hierarhija

43

Poglavje 5De�nicija in primeri podatkovnehierarhijeV tem poglavju bomo de�nirali podatkovno hierarhijo in dokazali, da vsakapodatkovna hierarhija predstavlja delno urejenost. Pogledali bomo nekaj pri-merov delnih urejenosti, za katere bodo obstajale podatkovne hierarhije, ki jihte delne urejenosti predstavljajo. Glavni cilj tega dela je dokazati, da lahkovsako delno urejenost predstavimo kot podatkovno hierarhijo. Za ta rezultatpa moramo najprej relacijo deljivosti, ki je seveda delno urejena, predstavitikot podatkovno hierarhijo. To bo glavni cilj pri£ujo£ega poglavja.De�nicija 5.1. Naj bo P mnoºica podatkov in V mnoºica ekvivalen£nih re-lacij na P . Potem par (P, V ) predstavlja podatkovno hierarhijo.De�nicija 5.2. Graf podatkovne hierarhije (P, V ) je graf, v katerem so vozli-²£a ekvivalen£ne relacije iz V . Relaciji R1, R2 ∈ V sta povezani natanko tedaj,ko R1 � R2 ali R2 � R1.Trditev 5.3. Naj bo (P, V ) podatkovna hierarhija. Potem relacija � delnoureja mnoºico V.Dokaz. Dokazati moramo, da je relacija � re�eksivna, antisimetri£na intranzitivna na V.

• Re�eksivnost: naj bo R poljubna ekvivalen£na relacija iz V . Dokaºimo,da R � R, torej da za vsak p ∈ P, obstaja q ∈ P, tako da R[p] ⊆ R[q].�eljeno sledi, £e za q izberemo p.

• Antisimetri£nost: naj bosta R1 in R2 poljubni ekvivalen£ni relaciji izmnoºice V. Z uporabo leme 1.13 dokaºimo, da velja:R1 � R2 in R2 � R1 ⇒ R1 = R2.44

451. R1 � R2 ⇔ ∀p ∈ P : R1[p] ⊆ R2[p].2. R2 � R1 ⇔ ∀p ∈ P : R2[p] ⊆ R1[p].Iz 1. in 2. sledi,∀p ∈ P : R1[p] = R2[p].Torej, R1 = R2.

• Tranzitivnost: naj bodo R1, R2, R3 ∈ V. DokaºimoR1 � R2 in R2 � R3 ⇒ R1 � R3.1. R1 � R2 ⇔ ∀p ∈ P : R1[p] ⊆ R2[p].2. R2 � R3 ⇔ ∀p ∈ P : R2[p] ⊆ R3[p].Iz 1. in 2. sledi, R1[p] ⊆ R3[p]. Torej

∀p ∈ P : R1[p] ⊆ R3[p],kar pomeni,R1 � R3.Vsaka podatkovna hierarhija torej predstavlja delno urejenost. V nadaljevanjunas bo zanimal obraten problem: kdaj lahko dano delno urejenost predstavimoz neko podatkovno hierarhijo. Poi²£imo primere delno urejenih mnoºic, ki jihlahko predstavimo kot podatkovno hierarhijo.Primer 5.4. Imejmo linearno urejeno mnoºico ({1, 2, 3, 4},≤). Poi²£imo po-datkovno hierarhijo (P, V ), ki bo predstavljala podano linearno urejenost. Najbo P = {1, 2, 3, 4} in V = {∼d: d ∈ P}. �e za vsak d ∈ P, de�niramo ∼d kot:

∀x, y ∈ P : x ∼d y ⇔ (x ≤ d ∧ y ≤ d) ∨ (x = y),potem je par (P, V ) podatkovna hierarhija, ki predstavlja dano linearno ure-jenost. Vozli²£e ∼1 grafa podatkovne hierarhije (P, V ) je povezano z vsemiostalimi vozli²£i, saj je ∼1 �nej²a od vseh preostalih relacij ∼2,∼3,∼4 .Primer 5.5. Naj bo X = {1, 2, 3, 4}. Predstavimo delno urejeno mnoºico(P(X),⊆) (glej sliko 5.1), kot podatkovno hierarhijo.Naj bo P = {1, 2, 3, 4}. Za vsak A ∈ P(X) de�nirajmo ekvivalen£no relacijo∼A na naslednji na£in:

∀x, y ∈ P : x ∼A y ⇔ x = y ∨ x, y ∈ A.

46PSfrag replacements

∅

{1} {2} {3} {4}

{1, 2} {1, 3} {1, 4} {2, 3} {2, 4} {3, 4}

{1, 2, 3}{1, 2, 4} {1, 3, 4}{2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4}

Slika 5.1: Graf delne urejenosti ({1, 2, 3, 4},⊆).O£itno je ∼A ekvivalen£na relacija za vsak A ∈ P(X). Ker je V = {∼A:A ∈ P(X)} mnoºica ekvivalen£nih relacij nad P , je par (P, V ) podatkovnahierarhija. �e dokaºemo, da velja:

A ⊆ B ⇔∼A � ∼B,bo (P, V ) podatkovna hierarhija, ki predstavlja delno urejenost (P(X),⊆).Naj bo A ⊆ B in x ∈ P poljuben.∼A [x] = {y ∈ P : x ∼A y} = {y ∈ P : y = x ∨ x, y ∈ A} ⊆

⊆ {y ∈ P : y = x ∨ x, y ∈ B} = {y ∈ P : x ∼B y} =∼B [x].Iz A ⊆ B torej sledi, da je relacija ∼A �nej²a od relacije ∼B . Implikacijo vdrugo smer dokaºemo na podoben na£in.Izrek 5.6. Naj bo (X, |) relacija deljivosti na neki podmnoºici naravnih ²tevilX ⊆ N. Potem je (X, |) izomorfna relaciji� neke podatkovne hierarhije (P, V ).Dokaz. Naj bo X ⊆ N in naj bo P = N. Ker je relacija ≡d ekvivalen£naza vsak d ∈ X, je za V = {≡d: d ∈ X} par (P, V ) podatkovna hierarhija naP. Dokaºimo, da ta podatkovna hierarhija predstavlja delno urejenost (X, |)torej, da obstaja izomor�zem med (X, |) in (V,�).Naj bo f : X → V de�nirana na naslednji na£in:

f(d) = ≡d za vsak d ∈ X.

47O£itno je f bijekcija. Dokaºimo ²e, da za vsak x, y ∈ X velja x | y ⇔≡x �≡y .(⇒) Naj x | y, torej x in y sta oblike x = d, y = kd, za neko naravno ²tevilok. Dokaºimo, da je ≡kd �nej²a od ≡d . Izberimo p ∈ P in poglejmo

≡kd [p] = {p′ ∈ P : p ≡kd p′}

= {p, p + kd, p + 2kd, . . .}

⊆ {p, p + d, p + 2d, . . .}

= {p′ ∈ P : p ≡d p′} = ≡d [p].

⇒ ≡y � ≡x .(⇐) Naj bo ≡x � ≡y . Torej,

∀p ∈ P : ≡y [p] ⊆ ≡x [p]

⇒ ∀p ∈ P : {p′ ∈ P : p′ ≡y p} ⊆ {p′ ∈ P : p′ ≡x p}

⇒ ∀p ∈ P : {p, p + y, p + 2y, . . .} ⊆ {p, p + x, p + 2x, . . .}

⇒ ∀i ∈ Z : p + iy ∈ P, ∃j ∈ Z : p + iy = p + jx.Ker sklep velja za vsak i, velja tudi za i = 1. Torej, ∃j ∈ Z : p + y = p + jx.Sledi, y = jx. Torej velja:≡x � ≡y ⇒ x | y.Ker veljata implikaciji v obe smeri, lahko delno urejenost (X, |) predstavimo spodatkovno hierarhijo (N, V ).

Poglavje 6Delna urejenost je podatkovnahierarhijaIz prej²njega poglavja vemo, da vsaka podatkovna hierarhija predstavlja nekodelno urejenost, in da lahko relacijo deljivosti na podmnoºici naravnih ²tevilpredstavimo kot podatkovno hierarhijo. V tem poglavju pa bo na² glavni ciljpokazati, da so kon£ne in celo ²tevne spodaj zaprte delne urejenosti izomorfnerelaciji deljivosti na neki mnoºici naravnih ²tevil.Lema 6.1. Naj bo f : A → B poljubna injektivna funkcija. Potem za vsakA1, A2 ⊆ A velja:

f(A1) ⊆ f(A2) ⇔ A1 ⊆ A2.Dokaz. (⇒) Naj bo f(A1) ⊆ f(A2). Izberimo a ∈ A1 in dokaºimo, da a ∈ A2.a ∈ A1 ⇒ b = f(a) ∈ f(A1) ⇒ b ∈ f(A2)

⇒ ∃a′ ∈ A2 : b = f(a′).Torej,f(a′) = f(a).Iz injektivnosti funkcije f sledi,

a′ = a ⇒ a ∈ A2.

(⇐) Naj bo A1 ⊆ A2. Izberimo b ∈ f(A1) in dokaºimo, da b ∈ f(A2).

b ∈ f(A1) ⇒ ∃a ∈ A1 : b = f(a).Ker A1 ⊆ A2, sledi a ∈ A2 in zatob = f(a) ∈ f(A2).48

49Lema 6.2. Naj bo (X, R) delno urejena mnoºica in naj bo R[x] = {y ∈X : yRx}. Potem za vsak x, x′ ∈ X velja:

xRx′ ⇔ R[x] ⊆ R[x′].Dokaz. (⇒) Naj bosta x, x′ ∈ X poljubna in naj bo xRx′. Izberimo y ∈ R[x]in dokaºimo, da y ∈ R[x′].y ∈ R[x] ⇒ yRx. Po predpostavki je xRx′, zato iz tranzitivnosti relacije Rsledi, yRx′. Torej y ∈ R[x′].(⇐) Naj bo R[x] ⊆ R[x′]. Dokaºimo, da xRx′.Ker je R re�eksivna,

xRx ⇒ x ∈ R[x] ⇒ x ∈ R[x′] ⇒ xRx′.

Izrek 6.3. Naj bo P = (Y, R) spodaj zaprta delna urejenost na ²tevni mnoºiciY . Potem je P izomorfna relaciji deljivosti na neki mnoºici naravnih ²tevil(Z, |).Dokaz. Naj bo X mnoºica vseh pra²tevil. Ker je pra²tevil neskon£no mnogo,za vsako naravno ²tevilo i obstaja i-to zaporedno pra²tevilo, ki ga ozna£imo zxi. Torej x1 = 2, x2 = 3, x3 = 5, x4 = 7, . . .Naj bo L = (Y, R′) poljubna linearna raz²iritev delne urejenosti P = (Y, R).Ozna£imo elemente mnoºice Y z y1, y2, y3, . . . , kjer je vrstni red dolo£en zureditvijo na L.Dokaºimo najprej, da obstaja taka mnoºica naravnih ²tevil Z, da za vsakzi, zj ∈ Z velja:

zi|zj ⇔ yiRyj.Naj bo R[y] = {x ∈ Y : xRy} in naj bo f : Y → X poljubna injektivnafunkcija. Naj bo ²e g : Y → N de�nirana s predpisom:g(yi) =

∏

y∈R[yi]

f(y).Ozna£imo zi = g(yi). Potem velja:zi|zj ⇔

∏

y∈R[yi]

f(y)|∏

y∈R[yj]

f(y)

⇔ {f(y) : y ∈ R[yi]} ⊆ {f(y) : y ∈ R[yj ]} ⇔(1) R[yi] ⊆ R[yj]

50PSfrag replacements

z1 = 2 z2 = 3

z3 = 2 · 5 z4 = 2 · 7 z5 = 3 · 11

z6 = z1 · z2 · z4 · z5 · 13

z7 = z1 · z2 · z3 · z4 · z5 · z6 · 17

Slika 6.1: Delna urejenost s 7 elementi predstavljena z deljivostjo.⇔(2) yiRyj,pri £emer ekvivalenca (1) sledi iz leme 6.1, ekvivalenca (2) pa iz leme 6.2.Naj bo Z = {g(y) : y ∈ Y }. Potem je relacija (Y, R) izomorfna relaciji (Z, |),saj je funkcija f : Y → Z de�nirana s predpisomf(yi) = zio£itno bijekcija in velja:

yiRyj ⇔ zi|zi ⇔ f(yi)|f(yj).

Posledica 6.4. Naj bo (Y, R) spodaj zaprta delno urejena mnoºica na ²tevnimnoºici Y. Potem je (Y, R) izomorfna relaciji � neke podatkovne hierarhije.Dokaz. Naj bo P = (Y, R) spodaj zaprta delno urejena mnoºica. Izrek6.3 pove, da je P izomorfna relaciji deljivosti na neki podmnoºici naravnih²tevil. Iz izreka 5.6 pa sledi, da je ta relacija deljivosti izomorfna relaciji �neke podatkovne hierarhije.

Poglavje 7Posebne vrste hierarhijV tem poglavju bomo vpeljali posebne primere podatkovnih hierarhij. Spo-znali bomo intervalno podatkovno hierarhijo in za laºjo predstavo de�nirali ²eto£kovno, Voronojevo podatkovno hierarhijo in podatkovno hierarhijo z izje-mami. Videli bomo, da za nekatere izmed teh primerov hierarhij velja, da zdodajanjem oziroma jemanjem elementov dobimo podrejeno hierarhijo. Pravtako bomo za nekatere izmed teh hierarhij poiskali izomor�zem med relacijo�nej²i te hierarhije in neko spodaj zaprto delno urejenostjo.7.1 Intervalna hierarhijaPodobno kot pri vsaki podatkovni hierarhiji so tudi pri intervalni podatkovnihierarhiji vozli²£a ekvivalen£ne relacije, relaciji pa sta primerljivi, £e je enarazdrobitev druge.De�nicija 7.1. Naj bo X = {x0, x1, x2, . . . , xn} ⊆ [a, b) in b = xn+1, tako davelja:a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn < xn+1 = b.Potem elementom mnoºice X ∪ {xn+1} pravimo delilne to£ke intervala [a, b),

[a, x1), [x1, x2), . . . , [xn−1, xn), [xn, b) pa imenujemo particija intervala [a, b)glede na X. Dobili smo intervalno ekvivalen£no relacijo, ki nam je celotno mno-ºico razbila na ekvivalen£ne razrede [a, x1), [x1, x2), . . . , [xn, b).De�nicija 7.2. Naj bo (P, V ) podatkovna hierarhija. �e je vsaka ekviva-len£na relacija R ∈ V intervalna ekvivalen£na relacija, potem par (P, V ) ime-nujemo intervalna podatkovna hierarhija. Mnoºico delilnih to£k glede na rela-cijo R ozna£ujemo z D(R).V intervalni podatkovni hierarhiji so torej ekvivalen£ni razredi intervali, kra-ji²£a intervalov pa so delilne to£ke. 51

7.1 Intervalna hierarhija 52Lema 7.3. Za intervalni ekvivalen£ni relaciji R in R′ na [a, b) velja:R � R′ ⇔ D(R′) ⊆ D(R).Dokaz. Naj bo X = {x0, x1 . . . , xn+1} = D(R) in X ′ = {x′

0, x′

1, . . . , x′

k+1} =D(R′).(⇒) R � R′ ⇒ ∀p ∈ [a, b) : R[p] ⊆ R′[p]. Ker so ekvivalen£ni razredi intervali,je to ekvivalentno trditvi:

∀p ∈ [xi, xi+1), ∃j ∈ {0, . . . , k} : [xi, xi+1) ⊆ [x′

j , x′

j+1).Dokazati moramo, da X ′ ⊆ X, torej da velja:x′

j ∈ X ′ ⇒ x′

j ∈ X.Denimo, da obstaja x′

j ∈ X ′ : x′

j /∈ X. Potem obstaja i ∈ {0, . . . , n} tako, daxi < x′

j < xi+1. Naj bo p ∈ [x′

j , x′

j+1) ∩ [xi, xi+1). Ker xi /∈ [x′

j , x′

j+1), sta xiin p elementa intervala [xi, xi+1), ki je ekvivalen£ni razred glede na relacijo R,vendar sta elementa razli£nih ekvivalen£nih razredov glede na R′. Na²li smotorej ekvivalen£ni razred glede na R, ki ni vsebovan v ekvivalen£nem razreduglede na R′, kar nas pripelje v protislovje, saj je po predpostavki R � R′.(⇐) X ′ ⊆ X. Inervali, ki jih dobimo z razbitjem glede na X ′ so ekvivalen£nirazredi glede na R′. Intervale, ki so ekvivalen£ni razredi glede na R pa dobimotako, da ekvivalen£ne razrede glede na R′ razbijemo naprej. (Dodamo delilneto£ke iz X \ X ′.) O£itno je vsak interval, ki ga dobimo z razbitjem glede naR, vsebovan v kakem intervalu, ki ga dobimo z razbitjem glede na R′. SlediR � R′.Izrek 7.4. Vsaka delno urejena mnoºica je izomorfna relaciji� neke intervalnepodatkovne hierarhije.Dokaz. Naj bo (X, R) delno urejena mnoºica. Poi²£imo mnoºico interval-nih ekvivalen£nih relacij V , za katero bo veljalo, da obstaja izomor�zem med(X, R) in (V,�).Naj bo R[x] = {x′ ∈ X : x′Rx} in naj bo

f : X → (a, b)poljubna injektivna funkcija. Za vsak x ∈ X naj bo ∼x intervalna ekvivalen£narelacija, za katero velja:D(∼x) = f(R[x]) ∪ {a, b}.

7.2 Druge podatkovne hierarhije 53PSfrag replacements

R

R′

R′′

R′′′

. . .

. . .. . .. . .

. . .. . .. . . . . .. . .

Slika 7.1: Intervalna hierarhija: R′′′ � R′′ � R′ � R.Dokaºimo, da je (X, R) izomorfna z ({∼x: x ∈ X},�).Naj bo g : X → {∼x: x ∈ X} de�nirana s predpisom:g(x) =∼x ∀x ∈ X.O£itno je g bijekcija. Dokaºimo ²e, da za poljubna x, x′ ∈ X velja:xRx′ ⇔ ∼x�∼x′ .Velja:

xRx′ ⇔lema 6.2 R[x] ⊆ R[x′]

⇔lema 6.1 f(R[x]) ⊆ f(R[x′]) ⇔ ∼x′�∼x,kjer zadnja ekvivalenca sledi iz leme 7.3, saj sta f(R[x]) in f(R[x′]) mnoºicidelilnih to£k glede na ∼x oz. ∼x′ .7.2 Druge podatkovne hierarhijeV tem poglavju bomo vpeljali ²e druge podatkovne hierarhije, ki odpirajomoºnosti za nadaljnje raziskovanje. To so to£kovna hierarhija, ki je posplo²itevintervalne, podatkovna hierarhija z izjemami in Voronojeva podatkovna hierar-hija, ki sta primera nekoliko druga£nih podatkovnih hierarhij.7.2.1 To£kovna hierarhija na RnTo£kovna hierarhija je posplo²itev intervalne hierarhije. Zopet je vsako vo-zli²£e v hierarhiji ekvivalen£na relacija, relaciji pa sta primerljivi, £e je ena

7.2 Druge podatkovne hierarhije 54PSfrag replacements

R R′

pp

Slika 7.2: Primer to£kovne hierarhije v R2, kjer R � R′.razdrobitev druge.Naj bodo [a1, b1), . . . , [an, bn) intervali in naj bo za vsak i ∈ {1, . . . , n}, Xi ={xi,0, . . . , xi,m} ⊆ [ai, bi) in bi = xi,m+1. Elementi mnoºiceX = (X1∪{x1,m+1})×. . .×(Xn∪{xn,m+1}) so delilne to£ke v Rn. Kartezi£ni produkti particij interva-lov [a1, b1), . . . , [an, bn) so n-particije. Dobili smo to£kovno ekvivalen£no rela-cijo, ki nam celotno mnoºico razbije na naslednje ekvivalen£ne razrede:

[a1, x1,1) × [a2, x2,1)×, . . . ,×[an, xn,1),...[x1,k1

, x1,k1+1) × [x2,k2, x2,k2+1)×, . . . ,×[xn,kn

, xn,kn+1),...[x1,m, b1) × [x2,m, b2)×, . . . ,×[xn,m, bn),kjer so k1, . . . , kn ∈ {0, . . . , m}.De�nicija 7.5. Naj bo (P, V ) podatkovna hierarhija. �e je vsaka ekviva-len£na relacija R ∈ V to£kovna ekvivalen£na relacija, potem par (P, V ) ime-nujemo to£kovna podatkovna hierarhija.To£kovno podatkovno hierarhijo (P, V ) v Rn smo de�nirali kot kartezi£ni pro-dukt n intervalnih hierarhij (P1, V1), . . . , (Pn, Vn). Intervalna hierarhija je to-£kovna hierarhija na R.Naj bo (P, V ) to£kovna hierarhija v Rn, ki je kartezi£ni produkt intervalnihhierarhij (P1, V1), . . . , (Pn, Vn) in naj bo R ∈ V ter T = (t1, . . . , tn) ∈ P. PotemjeR[T ] = R1[t1] × R2[t2] × . . . × Rn[tn].

7.2 Druge podatkovne hierarhije 55Ekvivalen£ni razredi to£kovne hierarhije v Rn so o£itno n-kvadri.Naj bo R = R1× . . .×Rn ekvivalen£na relacija to£kovne podatkovne hierarhijev Rn, kjer je za vsak i ∈ {1, . . . , n}, Ri ekvivalen£na relacija ustrezne intervalnehierarhije. Naj bo za vsak i ∈ {1, . . . , n}, Xi mnoºica delilnih to£k intervalnehierarhije glede na Ri. Potem je X = X1 × . . . × Xn mnoºica delilnih to£kto£kovne hierarhije. Ozna£ujemo jo z D(R).Podobno kot pri intervalni hierarhiji, tudi za poljubni to£kovni ekvivalen£nirelaciji R in R′ velja:R � R′ ⇔ D(R′) ⊆ D(R).Zopet velja, da z jemanjem elementov dobimo bolj grobo relacijo (glej sliko7.2.) Zanimivo bi bilo preveriti, ali posplo²itev dokaza izreka 7.4 zado²£a zadokaz, da je vsaka delna urejenost izomorfna relaciji � neke to£kovne poda-tkovne hierarhije.7.2.2 Podatkovna hierarhija z izjemamiV tem podpoglavju bomo de�nirali podatkovno hierarhijo z izjemami. Tahierarhija se nekoliko razlikuje od ºe de�niranih hierarhij, saj zanjo velja, da£e je relacija R �nej²a od relacije R′, potem obstaja ekvivalen£ni razred gledena R, ki ni vsebovan v ekvivalen£nem razredu glede na R′.De�nicija 7.6. Naj bo P mnoºica podatkov in R = {E1, . . . , En} ⊆ P(P )particija na P, ki P razbije na paroma disjunktne mnoºice E1, . . . , En, ka-terih unija ni nujno cel P . Ozna£imo O = {P \ R}. Potem je relacija Rekvivalen£na relacija z izjemami porojena z R, £e so njeni ekvivalen£ni razredinatanko

E1, E2, . . . , En in O.De�nicija 7.7. Podatkovno hierarhijo, v kateri so vse relacije ekvivalen£nerelacije z izjemami, imenujemo podatkovna hierarhija z izjemami.V podatkovni hierarhiji z izjemami imamo torej en poseben ekvivalen£ni ra-zred, ki vsebuje izjeme, torej elemente, ki niso v R.De�nicija 7.8. Naj bosta R in R′ ekvivalen£ni relaciji z izjemami. Potemvelja:R � R′ ⇔ ∀E ∈ R, ∃E ′ ∈ R′ : E ⊆ E ′.

7.2 Druge podatkovne hierarhije 56

PSfrag replacementsR

R′

Slika 7.3: Podatkovna hierarhija z izjemami, kjer R′ � R.De�nicija pove: £e je R ekvivalen£na relacija, ki razbije mnoºico podatkov Pna ekvivalen£ne razrede E1, E2, . . . , En, O in R′ ekvivalen£na relacija, ki razbijemnoºico podatkov P na ekvivalen£ne razrede E ′

1, E′

2, . . . , E′

k, O′ potem velja:

R � R′ ⇔ ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∃j ∈ {1, . . . , k} : Ei ⊆ E ′

j.Iz de�nicije takoj sledi, da velja tudiO′ ⊆ O.(Glej sliko 7.3.)To je zelo zanimiva podatkovna hierarhija, saj £e so vsi podatki v enem ekvi-valen£nem razredu glede na relacijo R, je R bodisi naj�nej²a, bodisi najboljgroba ekvivalen£na relacija. �e je P = O, torej £e so vsi podatki v ekviva-len£nem razredu izjem, je to naj�nej²a relacija, saj je vsak E ∈ R praznamnoºica in je zato vsebovana v vsakem ekvivalen£nem razredu E ′ ∈ R′ zapoljuben R′. �e pa je P = E ∈ R, je relacija R, ki je porojena iz R, najboljgroba ekvivalen£na relacija, saj za poljuben E ′ ∈ R′ velja, da je vsebovan v P.7.2.3 Voronojeva hierarhijaV tem podpoglavju bomo de�nirali Voronojevo podatkovno hierarhijo. Namenvpeljave le-te je, da vidimo, da obstajajo podatkovne hierarhije, ki z jemanjemelementov ne dajo podrejene podatkovne hierarhije, kar je bila zna£ilnost vsehºe vpeljanih podatkovnih hierarhij.

7.2 Druge podatkovne hierarhije 57

Slika 7.4: Voronojev diagram s ²tirimi za£etnimi to£kami.

Slika 7.5: Jemanje elementov ne da podrejene hierarhije.De�nicija 7.9. Naj bo S mnoºica izbranih to£k v ravnini, ki jih imenujemoVoronojeve to£ke. Voronojeva celica V (s) to£ke s ∈ S je mnoºica to£k v ra-vnini, ki so izmed vseh Voronojevih to£k najbliºje to£ki s. (Glej sliko 7.4.)De�nicija 7.10. Razbitje ravnine na Voronojeve celice imenujemo Voronojevdiagram. (Glej sliko 7.4.)Poglejmo, kako konstruiramo Voronojevo celico neke Voronojeve to£ke s. Zavsako Voronojevo to£ko s′ ∈ S, s′ 6= s, konstruiramo simetralo na daljico, kipovezuje to£ki s in s′. Vsaka simetrala razdeli ravnino na dva dela. V enemod teh delov je to£ka s, v drugem pa to£ka s′. Za vsak s′ 6= s dobimo nekopolravnino, ki vsebuje to£ko s. Presek vseh teh polravnin je ravno Voronojevacelica V (s).

7.2 Druge podatkovne hierarhije 58De�nicija 7.11. Naj bo (P, V ) podatkovna hierarhija. �e je ekvivalen£nirazred vsakega elementa iz P glede na poljubno ekvivalen£no relacijo iz VVoronojeva celica, potem par (P, V ) imenujemo Voronojeva hierarhija.To je poseben primer hierarhije, saj z jemanjem elementov ne dobimo podre-jene hierarhije, kot smo bili vajeni iz vseh predhodnih primerov. (Glej sliko7.5.)

Literatura[1] J. Urrutia, Partial orders and Euclidean geometry, Algorithms and Order,ed. I.Rival, Reidel Pub. (1989) 387-434.[2] W.T. Trotter, Combinatorics and Partially Ordered Sets: Dimension The-ory, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, London, 1992.[3] E. R. Scheinerman, J. C. Wierman, On circle containment orders, Order4(1988), 315�318.[4] A. Brandstädt, V. B. Le, J. P. Spinrad, Graph classes: a survey, SIAMMonographs on Discrete Mathematics and Applications, SIAM, Phillia-delphia, 1999.[5] S. Felsner, P. C. Fishburn, W.T. Trotter, Finite three dimensional partialorders which are not sphere orders, Discrete Mathematic 201 (1999), 101�132.[6] Wikipedia, http://www.wikipedia.org

59