UNIVERZA V LJUBLJANIFAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Matematika � 1. stopnja

Andreja Zorko

Kriti£ni gra�

Delo diplomskega seminarja

Mentor: izred. prof. dr. Riste �krekovski

Ljubljana, 2011

Kazalo

1. Uvod 42. Osnovne de�nicije iz teorije grafov 42.1. Graf in podgraf 42.2. Stopnja vozli²£a 52.3. Posebni gra� 63. Barvanje grafov 84. Kriti£ni gra� 94.1. De�nicije in primeri 95. Konstrukcije 115.1. Konstrukcija Diraca 115.2. Konstrukcija Hajósa 145.3. Konstrukcija Mycielskega 17Literatura 22

Kriti£ni gra�

Povzetek

Graf je k-kriti£en, £e je njegovo kromati£no ²tevilo k, kromati£no ²tevilo vsakeganjegovega pravega podgrafa pa je kve£jemu k−1. V delu predstavimo glavne struk-turne lastnosti kriti£nih grafov in nekaj njihovih osnovih konstrukcij. Edini 1-kriti£nigraf je K1, edini 2-kriti£ni je K2, 3-kriti£ni gra� pa so natanko lihi cikli. Za k ≥ 4 niznana nobena enostavna karakterizacija k-kriti£nih grafov. Vsak k-kromati£en grafvsebuje k-kriti£ni podgraf in velja, da je v k-kriti£nem grafu minimalna stopnja vsajk−1. Za k-kriti£en graf na n(> k ≥ 4) to£kah in m povezavah je 2m ≥ (k−1)n+1.Neenakost sledi iz Brooksovega izreka, ki so jo Dirac, Gallai ter drugi ²e izbolj²ali.V zadnjem poglavju de�niramo tri konstrukcije, s katerimi iz manj²ih kriti£nih

grafov proizvedemo nove. Za konstrukcijo Diraca oziroma spoj grafov G1 in G2, G =G1∇G2 pokaºemo, da je χ(G) = k1+k2, £e je G1 k1-kromati£en in G2 k2-kromati£en.�e ve£, G je (k1 + k2)-kriti£en natanko tedaj, ko je G1 k1-kriti£en in G2 k2-kriti£en.S kontrukcijo Hajósa, ki se imenuje tudi Hajóseva vsota, iz dveh k-kriti£nih grafovG1 in G2 konstruiramo nov k-kriti£en graf. De�niramo tudi konstrukcijo Cq, ki jeposplo²itev Hajóseve vsote. Na koncu opredelimo konstrukcijo Mycielskega M(G),kjer za poljuben graf G velja χ(M(G)) = χ(G) + 1 in omenimo ²e nekaj lastnostinjene posplo²itve.

Critical graphs

Abstract

A graph is called k-critical if its chromatic number is k but the chromatic numberof any its proper subgraph is at most k − 1. In this thesis we present the mainstructural features of critical graphs and some of their basic constructions. Theonly 1-critical graph is K1, only 2-critical is K2 and 3-critical graphs are preciselyodd cycles. No simple characterization of k-colour-critical graphs is known for k ≥ 4.Each k-chromatic graph contains a k-critical subgraph, and each k-critical graph hasa minimum degree at least k − 1. For k-critical graph on n(> k ≥ 4) vertices andm edges the inequality 2m ≥ (k− 1)n+ 1 holds. This follows from Brooks theoremwhich was improved by Dirac, Gallai and others.In the last chapter we de�ne three constructions by which we construct new graphs

from smaller ones. For the Dirac construction or join G = G1∇G2 of graphs G1 andG2, we show that χ(G) = k1+k2 provided G1 is k1-chromatic and G2 is k2-chromatic.Moreover, G is (k1 + k2)-critical if and only if G1 is k1-critical and G2 is k2-critical.With Hajós construction, also called Hajós sum, we construct a new k-critical graphfrom two k-critical graphs G1 and G2. We also de�ne a construction Cq which isa generalization of Hajós sum. Finally we de�ne the Mycielski construction M(G)where for an arbitrary graph G χ(M(G)) = χ(G) + 1 holds and we mention someproperties of its generalization.

Math. Subj. Class. (2010): 05C15Klju£ne besede: barvanje grafov, kriti£ni gra�, konstrukcija MycielskegaKeywords: graph coloring, critical graphs, Mycielski construction

1. Uvod

Pomembno podro£je teorije grafov je teorija o barvanju grafov. Iskanje kroma-ti£nega ²tevila danega grafa v£asih lahko predstavlja teºak problem. Mo£no orodjepri ²tudiji le-tega so kriti£ni gra�, ki jih je leta 1955 prvi predstavil G. A. Dirac.k-kriti£ni gra� so minimalni k-kromati£ni gra�. To pomeni, da je χ(G) = k zanek graf G, za vsak njegov pravi podgraf H pa velja χ(H) < k. Kriti£ne grafe seda pogosto zelo lepo opisati, zato v tem diplomskem seminarju predstavimo nekajnjihovih strukturnih lastnosti in jih tudi dokaºemo. Obravnavamo ²e tri najboljosnovne konstrukcije kriti£nih grafov in dokaºemo temeljne ugotovitve.V prvem delu seminarja de�niramo nekaj osnovnih pojmov teorije grafov, ki jih v

nadaljevanju potrebujemo bodisi pri dokazovanju bodisi pri de�niranju novih poj-mov. Naslednje poglavje je o barvanju grafov. Tudi tu de�niramo osnovne pojmein temeljne rezultate s tega podro£ja. Med njimi je slavni Brooksov izrek o zgornjimeji kromati£nega ²tevila danega grafa iz katerega je kasneje izpeljan pomemben re-zultat za kriti£ne grafe. Kon£no predstavimo kriti£ne grafe; najprej nekaj njihovihstrukturnih lastnosti, nato pa se posvetimo trem konstrukcijam kriti£nih grafov. Toso konstrukcije Diraca, Hajósa in Mycielskega. Bistvo je torej, kako iz enega ali ve£kriti£nih grafov pridobimo novega. Vselej opazujemo, kaj se pri teh konstrukcijahdogaja s kromati£nim ²tevilom, dotaknemo pa se ²e njihovih posplo²itev.

2. Osnovne definicije iz teorije grafov

2.1. Graf in podgraf.

De�nicija 2.1. Graf G je struktura, predstavljena z mnoºicama V in E, kjer je Vmnoºica vozli²£ oz. to£k, E pa mnoºica povezav grafa. Pri tem so elementi mnoºiceE neurejeni pari elementov mnoºice V .

Vsako povezavo e ∈ E lahko zapi²emo kot e = (x, y) oz. poenostavljeno e = xy.Pri tem sta x, y ∈ V kraji²£i povezave e.

De�nicija 2.2. Vozli²£i x in y sta sosednji, £e je xy ∈ E. Povezavi e 6= f stasosednji, £e imata skupno vozli²£e.

Komplement grafa G je graf G, ki ga dobimo iz grafa G tako, da ohranimo to£ke,tj. V (G) = V (G), povezave E(G) pa so ravno tiste povezave med to£kami, ki jih niv grafu G. Povezavi, ki ima obe kraji²£i v istem vozli²£u, re£emo zanka. Enostavnigra� so gra� brez zank in ve£kratnih povezav med dvema vozli²£ema. V tem delubomo imeli vselej opravka z enostavnimi gra�.

Primer 2.3. Na sliki 1 je primer nekega grafa na desetih to£kah ter z osmimipovezavami.

Primer 2.4. Petersenov graf je v teoriji grafov pomemben graf z 10 to£kami in 15povezavami. Ozna£imo ga s P5,2. Prikazan je na sliki 2.

V£asih ne obravnavamo oz. nas ne zanima cel graf, ampak samo njegov del.

De�nicija 2.5. Graf H je podgraf grafa G, oznaka H ⊆ G, £e velja V (H) ⊆ V (G)in E(H) ⊆ E(G).

Podgraf H je vpet, £e velja V (H) = V (G). Podgraf H je induciran z mnoºicoto£k U ⊆ V (G), £e velja V (H) = U in E(H) = {xy ∈ E(G) | x, y ∈ V (H)}. Pi²emotudi H = G[U ]. Z G − U ozna£imo graf, induciran z mnoºico to£k V (G)\U (iz

4

Slika 1. Primer grafa

Slika 2. Petersenov graf P5,2

G odstranimo vse to£ke iz U in vse povezave, ki imajo vsaj eno kraji²£e v U). ZaF ⊆ E(G) bomo z G − F ozna£ili graf G z odstranjenimi povezavami iz mnoºiceF . Kadar odstranimo le eno to£ko oziroma povezavo, oklepaje izpu²£amo (pi²emoG− x namesto G− {x}).

De�nicija 2.6. Poln podgraf grafa G na p vozli²£ih imenujemo p-klika in jo ozna-£imo s Kp.

Na sliki 3 je prikazan primer grafa s 5-kliko.

Slika 3. Graf s 5-kliko

2.2. Stopnja vozli²£a. Pomembna lastnost v gra�h je tudi ²tevilo povezav, ki iz-hajajo iz posameznega vozli²£a.

5

De�nicija 2.7. Stopnja vozli²£a v je ²tevilo povezav, ki imajo v za kraji²£e. Ozna-£imo jo z d(v).

V primeru enostavnih grafov je stopnja vozli²£a enaka ²tevilu njegovih sosedov.Vozli²£e, ki ni kraji²£e nobene povezave, ima stopnjo 0. �tevilo δ(G) = min{d(x) |x ∈ V (G)} imenujemo minimalna stopnja grafa G. Maksimalna stopnja grafa Gpa je analogno de�nirana z ∆(G) = max{d(x) | x ∈ V (G)}. Graf G je regularen,£e velja δ(G) = ∆(G) in d-regularen, £e velja d = δ(G) = ∆(G). Grafom, ki so3-regularni, pravimo tudi kubi£ni gra�. Primer kubi£nega grafa je Petersenov graf(slika 2).

2.3. Posebni gra�.

De�nicija 2.8. Graf G je ravninski, £e ima vloºitev v ravnino. To pomeni, da galahko v ravnini nari²emo tako, da se nobeni dve povezavi ne sekata.

De�nicija 2.9. Graf je povezan, £e med poljubnima dvema to£kama x, y ∈ V (G)obstaja zaporedje to£k, kjer sta zaporedni to£ki povezani. Pri tem je x prva, y pazadnja to£ka zaporedja. Komponenta grafa G je maksimalen povezan podgraf grafaG. �tevilo komponent grafa G ozna£imo s c(G). Vozli²£e x ∈ V (G) je prerezno voz-li²£e, £e ima podgraf G− x ve£ komponent kot graf G. Maksimalnemu povezanemupodgrafu brez prereznih to£k pravimo blok grafa.

De�nicija 2.10. Graf G je dvodelen, £e lahko mnoºico vozli²£ razbijemo na dveparticiji A in B (A,B ⊂ V (G)) tako, da ima vsaka povezava e ∈ E(G) eno kraji²£ev A in drugo v B. Na sliki 4 je primer dvodelnega grafa.

Slika 4. Primer dvodelnega grafa

De�nicija 2.11. Graf, v katerem je vsak par to£k povezan, imenujemo polni graf.Polni graf na n to£kah ima n(n−1)

2povezav. Ozna£imo ga sKn. Na sliki 5 so prikazani

polni gra� za n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.

Slika 5. Polni gra� K1, K2, K3, K4, K5

6

De�nicija 2.12. Dvodelni polni graf je dvodelni graf, kjer je vsaka to£ka iz prveparticije povezana z vsako to£ko iz druge particije. �e ima prva particija m in drugan to£k, potem graf ozna£imo s Km,n in ima mn povezav. Na sliki 6 je prikzan primerpolnega dvodelnega grafa za m = 4 in n = 3.

Slika 6. Dvodelni polni graf K4,3

De�nicija 2.13. Naj bo G graf. �e je V (G) = {v1, v2, . . . , vn−1, vn} njegova mno-ºica vozli²£ in E(G) = {v1v2, v2v3, . . . , vn−1vn} mnoºica povezav, potem grafu Gpravimo pot na n to£kah. Pot na n to£kah ima n− 1 povezav in jo ozna£imo s Pn.Lahko jo zapi²emo tudi z zaporedjem vozli²£ v1v2 · · · vn. Na sliki 7 je primer poti.

v1

v2

v3

v4

vn−1

vn

Slika 7. Pot Pn

De�nicija 2.14. Cikel dobimo, £e v poti poveºemo prvo in zadnjo to£ko, torejje mnoºica povezav enaka E(G) = {v1v2, v2v3, . . . , vn−1vn, vnv1}, £e je V (G) ={v1, v2, . . . , vn−1, vn} mnoºica vozli²£. Cikel na n to£kah ima n povezav in ga ozna-£imo s Cn. Na sliki 8 je primer n-cikla.

vn v1

v2

v3

v4v5

v6

v7

Slika 8. Primer n-cikla

De�nicija 2.15. Graf z mnoºico to£k {v0, v1, v2, . . . , vn} in mnoºico povezav {v1v2,v2v3, . . . , vn−1vn, vnv1, v0v1, v0v2, . . . , v0vn} imenujemo n-kolo in ozna£imo zWn. Koloje torej n-cikel z dodanim sredi²£em v0, s katerim so povezane vse to£ke cikla. Iman+ 1 to£k in 2npovezav. Na sliki 9 je primer n-kolesa.

7

vn v1

v2

v3

v4v5

v6

v7

v0

Slika 9. Primer n-kolesa

3. Barvanje grafov

V teoriji grafov je barvanje grafov prirejanje oznak vozli²£em grafa, ki se tradici-onalno imenujejo barve. Pogoj je, da sta sosednji vozli²£i obarvani z razli£no barvo.Oznake, kot so rde£a in modra, se uporabljajo samo, kadar je ²tevilo barv majhno,zato so oznake obi£ajno iz mnoºice naravnih ²tevil {1, 2, 3, . . .}.

De�nicija 3.1. �e obstaja taka preslikava c : V (G) −→ {1, 2, . . . , k}, da je zapoljubni sosednji to£ki u in v grafa G c(u) 6= c(v), potem je graf k-obarvljiv. Takopreslikavo imenujemo barvanje to£k grafa G.

Opomba 3.2. Lahko bi de�nirali tudi barvanje povezav grafa, toda v tem delu bopojem barvanje grafa vselej pomenil barvanje to£k.

De�nicija 3.3. Najmanj²e ²tevilo k, za katero je graf G k-obarvljiv, imenujemokromati£no ²tevilo grafa G. Ozna£imo ga s χ(G). �e je χ(G) = n, potem pravimo,da je G n-kromati£en.

�e je H ⊆ G, potem je jasno χ(H) ≤ χ(G). Naj bo ω(G) velikost najve£je klikev grafu G. O£itno velja ω(G) ≤ χ(G). Naslednji Brooksov pa nam da zgornjo mejoza kromati£no ²tevilo grafa (dokaz izreka najdemo v [13]).

Izrek 3.4 (Brooks). Naj bo G graf z maksimalno stopnjo ∆. �e G ni lih cikelniti poln graf na ∆ + 1 to£kah (ta imata kromati£no ²tevilo enako ∆ + 1), potem jeχ(G) ≤ ∆.

V£asih si lahko pri dolo£anju kromati£nega ²tevila konktretnega grafa pomagamoz naslednjim znamenitim izrekom:

Izrek 3.5 (Izrek o ²tirih barvah). Za vsak ravninski graf G je χ(G) ≤ 4.

Dokaz zgornjega izreka potrebuje ra£unalni²ko obdelavo podatkov, zato je odposameznika odvisno ali priznava zgornjo izjavo kot izrek.

Primer 3.6. χ(Kn) = n, χ(Cn) = 2 za sode n in 3 za lihe n.

Primer 3.7. Petersenov graf P5,2 vsebuje cikel dolºine 5, zato je χ(P5,2) ≥ χ(C5) =3. Ker je P5,2 kubi£en graf, iz Brooksovega izreka dobimo χ(P5,2) ≤ 3. Torej jeχ(P5,2) = 3.

8

4. Kriti£ni grafi

Pojem kriti£nosti se lahko v splo²nem nana²a na karkoli, toda v teoriji grafovse brez kakih posebnih pogojev skoraj vedno nana²a na kromati£no ²tevilo grafa.Kriti£ni gra� so zelo zanimivi, saj so minimalni med gra� glede na dano kromati£no²tevilo. Pogosto se jih da lepo karakterizirati, zato so nam lahko v pomo£ pridolo£anju kromati£nega ²tevila nekega grafa.

4.1. De�nicije in primeri.

De�nicija 4.1. Graf G je k-to£kovno-kriti£en, £e je k-kromati£en in velja χ(G−v) <χ(G) za vsako njegovo vozli²£e v ∈ V (G). Prav tako je G k-povezavno-kriti£en, £eje k-kromati£en in je χ(G− e) < χ(G) za vsako njegovo povezavo e ∈ E(G).

Vsak povezavno-kriti£en graf je tudi to£kovno-kriti£en (ne velja pa obrat). Na sliki10 je primer 4-to£kovno-kriti£nega grafa, ki ni 4-povezavno-kriti£en. Ob odstranitvikaterekoli to£ke, se kromati£no ²tevilo grafa zmanj²a na 3, ob odstranitvi povezavee pa se kromati£no ²tevilo ne spremeni. To lahko pokaºemo s konstrukcijo Myci-elskega, de�nirano v zadnjem delu seminarja. Povezavna-kriti£nost je torej stroºjemerilo, zato bomo v nadaljevanju delali samo s kriti£nimi gra� tega tipa. Izraz”povezavno” bomo izpustili ter pisali samo ”k-kriti£en”.

e

Slika 10. 4-to£kovno-kriti£en graf, ki ni 4-povezavno-kriti£en

Primer 4.2. C5 je 3-kriti£en, ker je 3-kromati£en in je vsak njegov pravi podgraf2-obarvljiv.

Primer 4.3. Petersenov graf P5,2 ni kriti£en. Graf P5,2 − e ²e vedno vsebuje grafC5 kot podgraf (slika 11), zato velja χ(P5,2) = 3 = χ(C5) = χ(P5,2 − e).

Trditev 4.4. Za kriti£ne grafe veljajo naslednje lastnosti:(a) Vsak graf s kromati£nim ²tevilom k vsebuje k-kriti£ni podgraf.(b) Kk je k-kriti£ni graf z najmanj²im ²tevilom to£k.(c) δ(G) ≥ k − 1.(d) Kriti£en graf je povezan. �e ve£, netrivialni (6= K1) kriti£ni graf nima pre-

rezne to£ke.(e) k-kriti£en graf brez izoliranih vozli²£ je k-obarvljiv tako, da ima barvo k le

eno vozli²£e po na²i izbiri.

Dokaz. Pokazali bomo vsako lastnost posebej.

9

2 2

2

1

1

1

333

3

e

Slika 11. P5,2 − e

(a) Med podgra� H grafa G s χ(H) = χ(G) vzamemo tistega z najmanj pove-zavami in brez izoliranih vozli²£ (tu grafa G = Kn ne upo²tevamo).

(b) Denimo da obstaja k-kriti£ni graf na k − 1 to£kah. Za njegovo pravilnobarvanje potrebujemo najve£ k − 1 barv, torej ne more biti k-kriti£en.

(c) Dokaz s protislovjem. Predpostavki sta:� graf G je k-kriti£en,� δ(G) = k − 2.

Naj bo z vozli²£e stopnje k− 2, ki ga odstranimo. Ker je G k-kriti£en, sledi,da je G− z (k−1)-obarvljiv. Vozli²£a, ki so bila prej sosednja z, obarvamo sk−2 barvami, nato pa vozli²£e z vrnemo na prvotno mesto in ga pobarvamos preostalo barvo k− 1. Tako dobimo pravilno (k− 1)-barvanje grafa G, karpa je v nasprotju s prvo predpostavko, da je graf k-kromati£en.

(d) �e graf G ni povezan, potem lahko najdemo pravi podgraf grafa G z enakimkromati£nim ²tevilom, kot ga ima G (povezana komponenta, ki od vseh zapravilno barvanje potrebuje najve£ barv). �e pa ima graf G prerezno to£ko,lahko najdemo blok, ki ima enako kromati£no ²tevilo kot G.

(e) To sledi iz dejstva, da izbris kateregakoli vozli²£a zmanj²a kromati£no ²tevilo.�

V razredu 1-kriti£nih grafov je en sam graf in sicer K1. Podobno je K2 edini2-kriti£ni graf. Razred lihih ciklov je natanko razred 3-kriti£nih grafov. V tem deluse bomo ukvarjali predvsem s k-kriti£nimi gra� za k ≥ 4. Teh je veliko in se ne dajotako lepo opisati. Za k ≥ 4 velja, da je Kk edini k-kriti£ni graf na k to£kah ter neobstaja k-kriti£en graf na k + 1 to£kah (dokaz lahko najdemo v [14]). �e Col(k)ozna£uje vse k-obarvljive, Chr(k) vse k-kromati£ne in Cri(k) vse k-kriti£ne grafe,potem za vsak k > 1 velja: Cri(k) ⊂ Chr(k) ⊂ Col(k). Iz Brooksovega izreka 3.4sledi, da za k-kriti£en graf na n(> k ≥ 4) to£kah in z m povezavami velja zveza

2m ≥ (k − 1)n+ 1.

Dokaz. Ker je graf G k-kriti£en, velja δ(G) ≥ k−1, iz tega pa sledi, da je 2m ≥ (k−1)n. Dalje, ker je n > k, graf G ne vsebuje grafa Kk kot podgraf (ker je χ(Kk) = k).Iz Brooksovega izreka sledi, da je ∆ ≥ k = χ(G) (obstaja to£ka stopnje vsaj k),zato velja 2m ≥ (k − 1)(n− 1) + k, kar pa je ekvivalentno 2m ≥ (k − 1)n+ 1. �

Dirac [1] je to neenakost precej izbolj²al.

Izrek 4.5 (Dirac). Naj bo G k-kriti£en graf na n(> k ≥ 4) to£kah in zm povezavami.Tedaj je

(1) 2m ≥ (k − 1)n+ k − 3.

10

Gallai [2] je podal podobno neenakost (2). �e bi ti dve neenakosti primerjali,bi lahko rekli naslednje: Dircova neenakost (1) se izkaºe kot bolj pririo£na pri k-kriti£nih gra�h z majhnim ²tevilom to£k. Kadar pa imamo opravka s k-kriti£nimigra� z velikim n, nam pride veliko bolj prav Gallaieva neenakost (2).

Izrek 4.6 (Gallai). Naj bo G k-kriti£en graf na n(> k ≥ 4) to£kah in z m poveza-vami. Tedaj je

(2) 2m ≥ (k − 1)n+k − 3

k2 − 3n.

Nedolgo tega pa sta Kostochka in Stiebitz [3] posplo²ila Diracovo in Gallaievoneenakost.

Izrek 4.7 (Kostochka in Stiebitz). Naj bo G k-kriti£en graf na n to£kah in z mpovezavami. Predpostavimo, da je n > k ≥ 4 ter n 6= 2k − 1. Potem je

2m ≥ (k − 1)n+k − 3

k2 − 3n+ k − 4.

Pokazali smo ºe, da je v k-kriti£nem grafu minimalna stopnja vsaj k−1. NaslednjiGallaiev izrek [2] pove, da to£ke stopnje k − 1 grafa G tvorijo lepo strukturo.

Izrek 4.8. Naj bo G 6= Kk k-kriti£en graf s k ≥ 4 in naj bo M mnoºica to£k v Gstopnje k − 1. Potem to£ke iz M inducirajo podgraf v G, katerega bloki so le polnigra� reda najve£ k − 1 ter lihi cikli.

5. Konstrukcije

V tem poglavju bomo obravnavali tri razli£ne konstrukcije kriti£nih grafov, opre-delili bomo torej postopke, kako iz enega ali ve£ kriti£nih grafov dobimo novega.Dokazali bomo, kaj se pri tem dogaja s kromati£nim ²tevilom in si pogledali naj-zna£ilnej²e primere.

5.1. Konstrukcija Diraca.

De�nicija 5.1. Konstrukcija Diraca (slika 12) oziroma spoj disjunktnih grafov G1

in G2 je graf G = G1∇G2, de�niran z:• V (G) = V (G1) ∪ V (G2) in• E(G) = E(G1) ∪ E(G2) ∪ {vse povezave med vozli²£i iz G1 in iz G2}.

G1 G2

Slika 12. Konstrukcija Diraca

11

Primer 5.2. Km∇Kn = Km+n. Na sliki 13 je primer konstrukcije za G1 = K2 inG2 = K3.

K2

K3

K5

Slika 13. Konstrukcija K2∇K3 = K5

Primer 5.3. K1∇Cn = Wn (tj. kolo na n + 1 to£kah). Na sliki 14 je primerkonstrukcije za G1 = K1 in G2 = C5.

C5

K1

W5

Slika 14. Konstrukcija K1∇C5 = W5

Dokaz naslednjega izreka je dokaj enostaven. Za grafa G1 in G2, ki sta oba lihacikla na n vozli²£ih, je Dirac leta 1952 dobil 6-kriti£ne grafe na 2n vozli²£ih in n2+2npovezavah.

Izrek 5.4. Naj bosta G1 in G2 disjunktna, k1- in k2-kromati£na grafa in naj boG = G1∇G2. Velja:

(1) G je (k1 + k2)-kromati£en,(2) G je (k1 + k2)-kriti£en ⇐⇒ G1 je k1-kriti£en in G2 je k2-kriti£en.

Dokaz. Naj bo H1 podgraf grafa G, ki ga inducirajo to£ke iz G1, H2 podgraf grafaG, ki ga inducirajo to£ke iz G2, graf H3 pa naj ozna£uje podgraf grafa G, ki vsebujevse povezave med to£kami iz H1 in H2.

(1) O£itno je G (k1 + k2)-obarvljiv; H1 obarvamo s prvimi k1 barvami, H2 pa znaslednjimi k2. Pokazati moramo samo ²e, da G ni k-obarvljiv za k < k1+k2.�e obstaja tako barvanje c grafa G, ki uporabi ≤ k1 + k2 − 1 barv, potemobstaja barva, ki se pojavi v obeh gra�h, H1 in H2 (ker je prvi k1- in drugik2-kromati£en). Z drugimi besedami, obstajata vsaj dve to£ki x ∈ V (H1) iny ∈ V (H2), ki sta obarvani enako, to je c(x) = c(y) = 1. Protislovje, saj stato£ki x in y povezani (slika 15).

12

G

1 1

yx

Slika 15. G je (k1 + k2)-kromati£en

(2) (⇐) Pokazati moramo, da je G− e (k1 + k2− 1)-obarvljiv za vsako povezavoe grafa G.Primer 1: e ∈ E(H3), e = xy, x ∈ V (H1), y ∈ V (H2). Ker je H1 kriti£en,ga lahko s k1 barvami obarvamo tako, da je x edino vozli²£e, ki ima barvo1. Prav tako lahko H2 obarvamo z naslednjimi k2 barvami tako, da je yedino vozli²£e, ki ima barvo k1 + k2. Po odstranitvi povezave e, lahko barvovozli²£a y nastavimo na 1 (ker te barve nima nobena njegova soseda, niti izH1 in niti iz H2) in tako dobimo pravilno (k1 + k2 − 1)-barvanje grafa G− e(slika 16).

G

H3H1 H2

1 1

����k1 + k2yx

e

Slika 16. Primer 1

Primer 2: e ∈ E(H1) ali e ∈ E(H2), brez ²kode za splo²nost predpostavimoe ∈ E(H1), e = x1x2. H1 obarvamo tako, da je x1 edino vozli²£e z barvo 2,x2 pa ima barvo 1. Po odstranitvi povezave e vozli²£e x1 obarvamo z barvo1 in tako dobimo pravilno (k1 + k2 − 1)-barvanje grafa G− e (slika 17).

G

H3H1 H2

1

1

x2

x1

e

Slika 17. Primer 2

(⇒) Pokazati moramo, da je H1 − e (k1 − 1)-obarvljiv za vsak e ∈ E(H1).Naj bo e ∈ E(H1), e = x1x2. Ker je G kriti£en, ga lahko obarvamo tako, daje x1 edino vozli²£e z barvo 2. Po odstranitvi povezave e nastavimo barvovozli²£a x1 na barvo vozli²£a x2 in tako dobimo pravilno (k1 − 1)-barvanje

13

grafa H1 − e. To pomeni, da je G1 k1-kriti£en. Pokazati moramo ²e, da jeH2 − f (k2 − 1)-obarvljiv za vsak f ∈ E(H2). Naj bo f ∈ E(H2), f = w1w2.Ker je G kriti£en, ga lahko obarvamo tako, da je w1 edino vozli²£e z barvo2. Po odstranitvi povezave f nastavimo barvo vozli²£a w1 na barvo vozli²£aw2 in tako dobimo pravilno (k2 − 1)-barvanje grafa H2 − f . To pomeni, daje G2 k2-kriti£en.

�

Posplo²itev spoja na n grafov (n > 2), ki jo je prvi predstavil sam Dirac, potrebujede�nicijo posebne vrste podgrafov.

De�nicija 5.5. Induciran podgraf H ⊆ G je konstituent grafa G natanko tedaj, koje H komponenta v G. Graf, ki vsebuje samo en konstituent, je enostaven, druga£epa je kompoziten. �tevilo konstituentov grafa G ozna£imo s c(G).

Velja, da je c(G) = c(G) in G =⋃c(G)

i=1 Gi, kjer so G1, . . . , Gc(G) konstituenti grafaG [14]. Naslednji enostaven izrek pove (dokaz najdemo v [14]), da je kompozitenkriti£en graf spoj svojih konstituentov.

Izrek 5.6. Za graf s konstituenti G1, . . . , Gc(G) velja

χ(G) =

c(G)∑i=1

χ(Gi).

�e ve£, G je kriti£en natanko tedaj, ko je vsak konstituent Gi kriti£en.

5.2. Konstrukcija Hajósa.

De�nicija 5.7. Naj bosta G1 in G2 disjunktna grafa, xiyi pa povezava v grafu Gi.Naj G ozna£uje graf, ki ga dobimo iz grafov G1 in G2 na naslednji na£in (slika 18):

(1) identi�ciramo vozli²£i x1 in x2 v vozli²£e x,(2) odstranimo povezavi x1y1 in x2y2 in(3) poveºemo vozli²£i y1 in y2.

Dobljeni graf ozna£imo s H(G1, G2).

G1 G2

x

y1 y2

Gx1

y1

x2

y2

Slika 18. Konstrukcija Hajósa

Primer 5.8. H(C3, C3) = C5 (slika 19). Tudi v splo²nem velja H(Cn, Cn) = C2n−1.

Primer 5.9. H(K4, K4) (slika 20). Graf, ki ga dobimo s to konstrukcijo, je znantudi kot Moserjev graf (vreteno), ki je ravninski in ima kromati£no ²tevilo enako 4.

Izrek 5.10. �e sta G1 in G2 k-kriti£na, potem je tudi G = H(G1, G2) k-kriti£en.

14

x1 ≡ x2

y1 y2

x1

y1

x2

y2

Slika 19. Konstrukcija grafa H(C3, C3)

x1 ≡ x2x2

y2

x1

y1y2y1

Slika 20. Konstrukcija grafa H(K4, K4)

Dokaz. Naj bo e∗ = y1y2, e1 = x1y1, e2 = x2y2 in naj bosta H1 in H2 grafa, kiizpolnjujeta naslednje pogoje: G − e∗ = H1 ∪ H2, H1 = G[V (G1)] − e1 in H2 =G[V (G2)]− e2. Potem je V (H1) ∩ V (H2) = {x} (slika 21).

x

e∗

H1 H2

G

y2y1

Slika 21. G je k-kriti£en

Naj bo Gi ∈ Cri(k), (i = 1, 2) in predpostavimo, da ima G (k − 1)-barvanjec; potem je njegova zoºitev ci, (i = 1, 2) na V (Hi) (k − 1)-barvanje grafa Hi =G[V (Gi)] − ei, ki zado²£a ci(x) = ci(yi) (x in yi morata biti enake barve, ker jeHi k-kriti£en ter bi v nasprotnem primeru vrnitev povezave xyi na prvotno mestoimplicirala pravilno (k − 1)-barvanje grafa Hi); to pa implicira c(y1) = c1(y1) =c1(x) = c2(x) = c2(y2) = c(y2), kar pa je v nasprotju z y1y2 = e∗ ∈ E(G). Zato jeχ(G) ≥ k. Da dokaºemo izrek, je dovolj pokazati, da je G− e ∈ Col(k− 1) za vsakopovezavo e grafa G. Naj bo e ∈ E(G). Lo£imo naslednja primera:Primer 1: e = e∗. O£itno obstajata (k − 1)-barvanji c1 in c2 grafov H1 in H2, ki

se ujemata na x. Potem je c1 ∪ c2 (k − 1)-barvanje grafa G− e∗.Primer 2: e 6= e∗. Brez ²kode za splo²nost lahko vzamemo e ∈ E(H1). Naj

bo e′ povezava v H1 = G[V (G1)] − e1, ki ustreza povezavi e. Potem ima G1 − e′(k − 1)-barvanje c′1, kjer c

′1(y1) 6= c′1(x), zato ima graf H1 − e = G[V (G1)]− {e1, e′}

(k − 1)-barvanje c1, kjer c1(y1) 6= c1(x). Izberemo neko (k − 1)-barvanje c2 grafa

15

H2 = G[V (G2)]− e2, ki se ujema s c1 na x: potem je c2(y2) = c2(x) = c1(x) 6= c1(y1)in tako je c1 ∪ c2 (k − 1)-barvanje grafa G− e.S tem smo zaklju£ili dokaz izreka. �

Za konstrukcijo vseh k-kromati£nih grafov obstaja enostaven, £eprav ne vednokratek postopek. Za vsak k ∈ N je graf k-konstruktibilen, £e izpolnjuje enega odnaslednjih pogojev:

• G ∼= Kk,• G dobimo iz k-konstruktibilnih grafov G1 in G2 s konstrukcijo Hajósa,• G dobimo tako, da v nekem k-konstruktibilnem grafu identi�ciramo dvenesosednji to£ki.

Enostavno je preveriti [18], da so vsi k-konstruktibilni gra� vsaj k-kromati£ni. Izje-mno pa je, kot je pokazal Hajós [11], da velja tudi obrat.

Izrek 5.11. Naj bo G graf. Potem je χ(G) ≥ k natanko tedaj, ko G vsebuje k-konstruktibilen graf kot podgraf.

Leta 1955 je Dirac izna²el konstrukcijo, ki je posplo²itev konstrukcije Hajósa. Pritej konstrukciji ne identi�ciramo samo enega vozli²£a grafov, ampak kliko dolo£enevelikosti. Sledi formalna de�nicija.

De�nicija 5.12. Naj bo q ∈ N in naj bosta G1 in G2 dva disjunktna grafa. Zai = 1, 2 naj bo x1i , x

2i , . . . , x

qi , yi q + 1 vozli²£ grafa Gi, ki zado²£ajo

(a) Qi := {x1i , x2i , . . . , xqi} je klika v Gi,

(b) ei := x1i yi ∈ E(Gi) in(c) q ∈ {1, 2} ali [q ≥ 3 in za j = 2, 3, . . . , q je ali xj1y1 ∈ E(G1) ali x

j2y2 ∈ E(G2)].

Naj bo G graf, ki ga dobimo iz G1 ∪G2 z uporabo naslednjih operacij:(1) odstranimo povezavi e1 in e2,(2) za j = 1, 2, . . . , q zaporedoma identi�ciramo vozli²£i xj1 in xj2 v xj (kjer je

xj1 6= xj2 , £e je j1 6= j2) in(3) poveºemo y1 in y2 z dodatno povzavo e∗.

Re£emo, da smo G dobili iz G1 in G2 s konstrukcijo Cq. Podgraf, induciran zmnoºico vozli²£ Q := {x1, x2, . . . , xq}, je klika v G.Grafa G(i) s slike 22 smo dobili iz kopij W5 in K4 s konstrukcijo Ci, i = 1, 2.

Opazimo, da je C1 v bistvu konstrukcija Hajósa.

x1

y1 y2e∗

G(1)

x1

x2

y1 y2e∗

G(2)

Slika 22. Konstrukciji C1 in C2

16

5.3. Konstrukcija Mycielskega. V teoriji grafov M(G) ozna£uje Mycielski graf,pridobljen iz grafa G s konstrukcijo Jana Mycielskega (1955), ki jo je uborabil, daje pokazal obstoj grafov brez trikotnikov s poljubno visokim kromati£nim ²tevilom.

z

x1

x2

Gy1

y2

yixi

Slika 23. Konstrukcija Mycielskega

De�nicija 5.13. Naj bo G graf in V (G) = {x1, x2, . . . , xn}. Nato skonstruiramograf M(G) tako (slika 23):

• V (M(G)) = V (G) ∪ {yi; i = 1, 2, . . . , n} ∪ {z} in• E(M(G)) = E(G) ∪ {yixj;xixj ∈ E(G)} ∪ {yiz; i = 1, 2, . . . , n}.

�e postopek te konstrukcije ponovimo, dobimo graf M2(G) = M(M(G)). Nasplo²no je Mn(G) graf, ki ga dobimo z n-kratno zaporedno konstrukcijo na grafu G.�e ima graf G n to£k in m povezav, potem ima graf Mk(G) n2k + 2k − 1 to£k inm3k + n(3k − 2k) + 3k−2k+1+1

2povezav (dokaz z indukcijo po k [9]).

Primer 5.14. M(K2) = C5.

∼=

C5

Slika 24. Konstrukcija M(K2) = C5

Primer 5.15. Najbolj tipi£en primer te konstrukcije pa je M(C5), znan tudi kotGrötzchev graf (slika 25). Ima 11 vozli²£, 20 povezav in je, kot je leta 1974 pokazalChvátal [16], najmanj²i 4-kromati£ni graf brez trikotnikov.

Naslednji temeljni izrek za to konstrukcijo je Schäuble [10] pokazal leta 1968.

Izrek 5.16 (Schäuble). Veljata naslednji trditvi:(1) χ(M(G)) = χ(G) + 1.

17

Slika 25. Konstrukcija Grötzchevega grafa

(2) �e je G k-kriti£en, potem je M(G) (k + 1)-kriti£en.

Dokaz. (1) �e je k : V (G) −→ {1, 2, . . . , n} pravilno barvanje grafa G, potemde�niramo barvanje h : V (M(G)) −→ {1, 2, . . . , n, n + 1} grafa M(G) tako,da je h(xi) = h(yi) = k(xi) za vsak i in h(z) = n + 1. O£itno je to pravilnobarvanje grafaM(G), ki uporabi le eno barvo ve£ kot barvanje grafa G. Zatoje χ(M(G)) ≤ χ(G)+1. Po drugi strani, £e je h neko pravilno barvanje grafaM(G), de�niramo barvanje k grafa G s

k(xi) =

{h(xi), £e h(xi) 6= h(z),h(yi), £e h(xi) = h(z).

To je pravilno barvanje grafa G, ki ne uporabi barve h(z). Tako lahko Gpobarvamo z manj barvami, kot jih potrebujemo za barvanje grafa M(G).Zato velja tudi χ(M(G)) ≥ χ(G) + 1.

(2) Pokazali bomo, da je M(G) − e k-obarvljiv za vsako povezavo e ∈ E(G).Lo£imo tri primere in sicer glede na to, kje se nahaja povezava e. Naj bo cbarvanje grafa M(G).Primer 1: e = yiz za nek i.• G k-obarvamo tako, da je xi edina to£ka z barvo 1,• za vsak j yj pobarvamo z barvo originala xj ter• nastavimo barvo vozli²£a z na 1.

z

x1

x2

G

1 11

y1

y2

yixi

e

Slika 26. Primer 1

Primer 2: e ∈ E(G), brez ²kode za splo²nost predpostavimo e = x1x2.• G (k − 1)-obarvamo tako, da imata x1 in x2 enako barvo, tj. c(x1) =c(x2) = 1,

18

• za vsak i yi pobarvamo z barvo originala xi in nadomestimo barvo 1 zbarvo k ter• nastavimo barvo vozli²£a z na 1.

z

x1

x2

G

1

1k

k1

y1

y2

yixi

e

Slika 27. Primer 2

Primer 3: e = xiyj, brez ²kode za splo²nost predpostavimo e = x1y2.• G (k − 1)-obarvamo tako, da imata x1 in x2 barvo 1,• za vsak i yi pobarvamo z barvo originala xi in nadomestimo barvo 1 zbarvo k ter• postavimo c(z) = 1 in c(x1) = k.

z

x1

x2

G

1

k

1

k

k

y1

y2

yixi

e

Slika 28. Primer 3

S tem smo kon£ali dokaz izreka. �

V nadaljevanju bomo obravnavali posplo²itev konstrukcije Mycielskega, ki se ime-nuje tudi stoºec nad grafom. Prvi jo je leta 1985 predstavil Stiebitz [5], kasneje paso jo ²tudirali ²e Tardif (2001 [6]), Lin (2006 [7]) in drugi. Konstrukcija uporabitenzorski produkt grafov, zato si bomo najprej pogledali de�nicijo le-tega.

De�nicija 5.17. Tenzorski produkt G×H grafov G in H je graf, de�niran z:• mnoºica vozli²£ V (G×H) je kartezi£ni produkt V (G) in V (H) in• vsaki dve vozli²£i (u, u′) in (v, v′) sta v G×H sosednji natanko tedaj, ko jeu sosednja z v (v G) in je u′ sosednja z v′ (v H).

19

Tenzorski produkt se imenuje tudi direktni, kategori£ni, kardinalni, relacijski, Kro-neckerjev produkt. Notacija G ×H se v£asih uporablja tudi za kartezi£ni produktgrafov, toda pogosteje se nana²a na tenzorski produkt. Na sliki 29 je prikazan primertenzorskega produkta grafov G in H.

(u, u′)

(v, v′)

G

H

G×H

v′u′

v

u

Slika 29. Tenzorski produkt grafov

De�nicija 5.18. Stoºec Mr(G) nad danim grafom G dobimo s tenzorskim pro-duktom grafa G s potjo P o

r+1, ki ima zanko na prvem koncu ter z identi�kacijovseh tistih vozli²£, katerih druga koordinata je zadnji konec poti P o

r+1. Pri temi-to kopijo vozli²£ grafa G ozna£imo z Xi. Konstrukcijo lahko torej zapi²emo kotMr(G) = (G × P o

r+1)/Xr+1. (Pri tem je za S ⊆ V (G) G/S graf, ki ga dobimo zidenti�kacijo vseh vozli²£ iz S in odstranitvijo vseh nastalih zank ter vzporednihpovezav.)

r = 4

G

P or+1

X1 X2 Xr Xr+1

Slika 30. G× P or+1

Primer 5.19. Na sliki 31 je primer posplo²itve konstrukcije Mycielskega nad grafomC7 za r = 3.

20

Slika 31. M3(C7)

...

G

Slika 32. M1(G)

Nekateri primeri te konstrukcije so nam ºe znani. Stoºec M1(G) dobimo iz grafaG z dodatnim univerzalnim vozli²£em, torej M1(G) = G∇K1, tj. spoj grafov G inK1 (slika 32).StoºecM2(G) je konstrukcija Mycielskega (slika 23). Jasno, χ(M1(G)) = χ(G)+1

in ²e ve£, kot smo zgoraj pokazali, χ(M2(G)) = χ(G)+1. Ta rezultat je zelo zanimivin zato so se mnogi spra²evali, ali to velja za vse stoºce nad grafom G. Ali imajovsi stoºci nad grafom G kromati£no ²tevilo ve£je, kot ga ima G? Izkaºe se, da to vsplo²nem ni nujno, velja pa

χ(G) ≤ χ(Mr(G)) ≤ χ(G) + 1

za vsak graf G (leva neenakost sledi iz dejstva, da je G ⊂ Mr(G), desna neenakostpa je enostavna posledica izreka 5.16). Za k ≥ 4 naj bo Fk spoj grafov Kk−4 inkomplementa C7 (ta je 4-kromati£en) cikla C7. Tako je po izreku 5.4 χ(Fk) = k.Po drugi strani je M3(Fk) tudi k-kromati£en (to je pokazal Tardif v [6]) in zatoje χ(M3(Fk)) = χ(Fk) = k. Vendar pa, £e zaporedoma apliciramo posplo²enokonstrukcijo Mycielskega nad lihim ciklom, se v vsakem koraku kromati£no ²tevilopove£a za ena. Naj M(k) ozna£uje razred grafov, ki so de�nirani rekurzivno, kotsledi:

(1) M(3) vsebuje vse lihe cikle in

21

(2) za k ≥ 3 je M(k + 1) = {Mr(G) | G ∈M(k) in r ≥ 1}.Leta 1985 je Stiebitz v svoji disertaciji [5] dokazal naslednji izrek.

Izrek 5.20. Vsak graf G ∈M(k) s k ≥ 3 je k-kromati£en.

Ta izrek je uporabil, da je za vsak k ≥ 4 pridobil neskon£no zaporedje k-kriti£nihgrafov brez kratkih lihih ciklov.

Literatura

[1] G. A. Dirac, A theorem of R. L. Brooks and a conjecture of H. Hadwiger, Proc. London Math.Soc. 7 (1957) 161�195.

[2] T. Gallai, Kritische Graphen I., Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci. 8 (1963) 165�192.[3] A. V. Kostochka in M. Stiebitz, Colour-critical graphs with few edges, Discrete Math. 191

(1998) 125�137.[4] H. Sachs, M. Stiebitz, On constructive methods in the theory of colour-critical graphs, Discrete

Math. 74 (1989) 201�226.[5] M. Stiebitz, Beiträge zur Theorie der färbungskritschen Graphen, Abilitation Thesis, Technical

University Ilmenau, 1985.[6] C. Tardif, Fractional chromatic numbers of cones over graphs, Journal of Graph Theory 38

(2001), 87�94.[7] W. Lin, J. Wu, P. C. B. Lam, G. Gu, Several parameters of generalized Mycielskians, Discrete

Applied Mathematics 154 (2006), 1173�1182[8] V. Rödl, Zs. Tuza, On color critical graphs, J. Combin. Theory Ser. B 38 (1985) 204�213.[9] M. Mencinger, Konstrukcija Mycielskega, Obzornik. mat. �z. 43 (1996) 39�46.[10] M. Schäuble, Bemerkungen zur Konstruktion dreikresifreier k-chromatischer Graphen, Wiss.

Zeitschrift TH Ilmenau 15 (1969), 59�63.[11] G. Hajós, Über eine Konstruction nicht n-färbbarer Graphen, Wiss. Z. Martin Luther Univ.

Halle-Wittenberg, Math. Natur. Reihe 10 (1967) 156�165.[12] M. Juvan, P. Poto£nik, Teorija grafov in kombinatorika, DMFA - zaloºni²tvo, Ljubljana,

2000.[13] R. �krekovski, Teorija barvanj grafov, verzija 15. 9. 2010, [ogled 17. 5. 2011], dostopno na

http://www.fmf.uni-lj.si/~skreko/Gradiva/Barvanja_grafov.pdf.[14] M. Stehlík, Critical graphs, [ogled 12. 5. 2011], dostopno na http://kam.mff.cuni.cz/

~stehlik/papers/thesis.pdf.[15] Critical graph, [ogled 20. 10. 2009], dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/Critical_

graph.[16] Mycielskian, [ogled 1. 11. 2009], dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/Mycielskian.[17] Tensor product of graphs, [ogled 2. 11. 2009], dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/

Tensor_product_of_graphs.[18] Hajós construction, [ogled 24. 08. 2011], dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/

Hajos_construction.[19] Grötzsch graph, [ogled 30. 08. 2011], dostopno na http://en.wikipedia.org/wiki/

Grotzsch_graph.

22