UNIVERSITE DE MONTREAL TARIFICATION OPTIMALE POUR …

UNIVERSITE DE MONTREAL

TARIFICATION OPTIMALE POUR LE PLACEMENT MEDIA

NICOLAS CHAN

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET DE GENIE INDUSTRIEL

ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREAL

MEMOIRE PRESENTE EN VUE DE L'OBTENTION DU DIPLOME DE

MAITRISE ES SCIENCES APPLIQUEES

(MATHEMATIQUES APPLIQUEES)

AVRIL 2008

©Nicolas Chan, 2008.

1*1 Library and Archives Canada

Published Heritage Branch

395 Wellington Street Ottawa ON K1A0N4 Canada

Bibliotheque et Archives Canada

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395, rue Wellington Ottawa ON K1A0N4 Canada

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UNIVERSITE DE MONTREAL

ECOLE POLYTECHNIQUE DE MONTREAL

Ce memoire intitule :

TARIFICATION OPTIMALE POUR LE PLACEMENT MEDIA

presente par : CHAN Nicolas

en vue de l'obtention

du diplome de : Maitrise es sciences appliquees

a ete dument accepte par le jury d'examen constitue de :

M. DESAULNIERS Guy, Ph.D., president

M. SAVARD Gilles, Ph.D., directeur de recherche

M. MARCOTTE Patrice, Ph.D., codirecteur de recherche

M. AUDET Charles, Ph.D., membre

iv

A ma famille, ma femme et mon enfant.

V

REMERCIEMENTS

Je souhaite remercier en premier lieu mes directeurs de recherche, Gilles Savard

et Patrice Marcotte, pour leur soutien, leur patience et l'inspiration qu'ils ont donne

a mes travaux.

J'aimerais egalement remercier Guy Desaulniers et Charles Audet pour avoir

accepte d'examiner ces travaux et pour leurs commentaires qui ont permis de rendre

ce memoire plus clair.

Je remercie egalement Suzanne Guindon pour le temps accorde a la revision de ce

memoire et Francine Benoit pour son aide pour enfin reussir a imprimer ce memoire.

Enfin mes remerciements vont aux membres du GERAD et de l'Ecole Polytech-

nique Montreal sans qui ce memoire n'aurait pas pu voir le jour.

VI

R E S U M E

Nous nous interessons dans ce memoire au placement media et au probleme de

tarification qui y est rattache.

Chaque annee, apres avoir annonce sa grille de diffusion pour la saison a venir,

une compagnie televisuelle regoit des demandes de la part de differentes entreprises

ou agences de publicites desirant diffuser leurs publicites sur une certaine partie

de son espace publicitaire. L'achat et la vente des spots publicitaires durant la

periode qui suit l'annonce des programmes constitue l'up-market. A l'oppose, quand

ce commerce a lieu peu de temps avant la diffusion des programmes au cours desquels

vont etre diffuses les spots negocies, on parle de scatter market. La chaine televisuelle

doit ainsi etablir le prix de chaque spot, probleme de tarification, selectionner les

demandes qu'elle va satisfaire et decider de la repartition des ventes entre l'up-

market et le scatter market, probleme de placement.

Le prix d'un spot publicitaire pendant un programme sur une chaine peut varier

d'un client a un autre en raison de differents facteurs : la fidelite du client si c'est un

client de longue date, le nombre de spots qu'il achete, combien de temps a l'avance

l'achete-t-il, etc. Chaque spot publicitaire se distingue par son audience, interessant

differemment chaque client. De son cote, une chaine doit arbitrer entre les differentes

demandes de spots : pour une tranche donnee, celles-ci peuvent depasser le nombre

de spots disponibles, des entreprises vendant des produits concurrents peuvent etre

interessees par les memes spots publicitaires, etc. Enfin, les compagnies televisuelles

ont un inventaire limite de spots publicitaires.

Comment la chaine televisuelle doit-elle done fixer le prix de ses spots et allouer

son espace publicitaire de facon a maximiser son revenu ? Pour aborder ce probleme,

nous developpons un modele a l'aide de la programmation biniveau. Cette approche

Vll

permet de prendre en compte les interactions entre la chaine et ses clients via les

prix des spots et leur disponibilite. La notion d'ensemble minimal est introduite pour

comprendre les proprietes de l'ensemble realisable. A l'aide de celle-ci, nous conce-

vons un algorithme base sur la generation de coupes pour resoudre ce programme

biniveau. Les resultats numeriques sont satisfaisants pour de petites instances, mais

incitent a plus de developpements pour de plus grandes instances.

Mots-clefs : Publicite, chaine de television, gestion du revenu, programmation

biniveau, sac-a-dos, plans coupants.

Vlll

A B S T R A C T

We are interested in this thesis in media broadcasting and in the pricing issue

related to it.

Each year, after a television channel announces its show schedule for the upco

ming season, it faces requests from different companies or advertising agencies which

want to have a certain amount of their advertisements broadcast on the channel's ad

vertising time. Buying and selling advertising spots during the period which follows

the schedule announcement composes the up-market. On the other hand, when the

transaction occurs just before the broadcasting of the shows during which the nego

tiated spots are going to be broadcast, we refer to the scatter market. The television

network thus faces two issues. Pricing : how to price each spot. Media broadcasting :

how to select requests it will satisfy and how to partition sales between up-market

and scatter market.

For a given client, a spot price during a show on a network can be different

regarding to several factors : the client's fidelity, the amount of spots it wishes to

buy, how early it offers to buy them, etc. Each spot is differentiated by its audience

which differently interests each client. A channel has to arbitrate between different

spot requests : they can outnumber the amount of spots available on a given slot,

competing companies can be interested in the same spots, etc. At last, television

channels have a limited inventory of spots.

How should a television channel price its spots and allocate its advertising space

in order to maximise its income ? To tackle this problem, we develop a model based

on bilevel programming. This way, we consider the interactions between a television

channel and its customers through the price and the availability of the spots. We

introduce the notion of minimal set to understand the properties of the feasible set.

IX

We exploit this notion to design an algorithm based on cuts generation able to solve

this bilevel problem. Numerical results are satisfying with small size problems but

invite us to further developments in order to tackle larger ones.

Keywords : Advertising, revenue management, bilevel programming, knapsack,

branch-and-cut.

X

TABLE DES MATIERES

DEDICACE iv

REMERCIEMENTS v

RESUME vi

ABSTRACT viii

TABLE DES MATIERES x

LISTE DES TABLEAUX xiii

LISTE DES FIGURES xv

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 : REVUE DE LITTERATURE 4

1.1 : La gestion du revenu 4

1.2 : Le placement media 5

1.3 : La programmation biniveau 7

1.4 : Concepts de la programmation biniveau 8

CHAPITRE 2 : MODELE BINIVEAU POUR LE PLACEMENT

MEDIA 15

XI

2.1 : Presentation du modele 15

2.2 : Formulation mathematique 19

CHAPITRE 3 : PROPRIETES DU MODELE 26

3.1 : Reformulation du modele 26

3.2 : Ensemble minimal 28

3.3 : Etude d'un exemple 29

3.4 : Ensembles minimaux non domines 33

3.5 : Geometrie de la region induite 37

CHAPITRE 4 : ALGORITHME DE RESOLUTION 49

4.1 : Generation des ensembles minimaux non domines 49

4.2 : Algorithms exact de resolution 53

4.2.1 : Initialisation 54

4.2.2 : Probleme relaxe modifie et generation de l'ensemble minimal 57

4.2.3 : Generation des coupes 58

4.2.4 : Validite de l'algorithme 59

4.3 : Exemple d'application de l'algorithme 61

CHAPITRE 5 : AMELIORATIONS DE L'ALGORITHME ET HEU-

RISTIQUE 68

5.1 : Ajout initial de coupes 68

5.2 : Ajout progressif de coupes 70

Xll

5.3 : Heuristique : separation du probleme par client 72

CHAPITRE 6 : ANALYSE DES RESULTATS NUMERIQUES . 75

6.1 : Generation des instances 75

6.2 : Resultats numeriques 76

CONCLUSION 85

BIBLIOGRAPHIE 87

Xlll

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 3.1 : Gradient de la fonction objectif sur l'exemple 3.1 32

Tableau 4.1 : Peu de variance dans le jeu de donnees. 5 tranches publici-

taires pour le leader, 30 pour la concurrence, objectif d'au-

dience 500 52

Tableau 4.2 : Variance moyenne dans le jeu de donnees. 6 tranches publici-


dience 500 52

Tableau 4.3 : Grande variance dans le jeu de donnees. 6 tranches publici-


dience 500 52

Tableau 4.4 : Iterations de l'algorithme sur un exemple 63

Tableau 4.5 : Classement des ensembles minimaux non domines par masse

fixe 64

Tableau 6.1 : Categorie demographique : 1 - Longueurs de spots : 3 -

Clients : 5 82

Tableau 6.2 : Utilisation de la generation de coupes initiale ou dynamique

avec les instances du tableau 6.2d 82

Tableau 6.3 : Categorie demographique : 1 - Tranches du leader : 5 -

Tranches de la concurrence : 40 - Durees : 3 - Client : 1. . 83

Tableau 6.4 : Categorie demographique : 1 - Clients : 5 - Longueurs : 3 . 84

XIV

Tableau 6.5 : Categorie demographique : 1 - Clients : 1 - Longueurs : 3 . 84

XV

LISTE DES FIGURES

Figure 1.1 : Geometrie de la region induite d'un programme biniveau . . 11

Figure 3.1 : Ensemble des polyedres d'optimalite 32

Figure 3.2 : Non connexite de la region induite 41

Figure 4.1 : Polyedres d'optimalite 62

Figure 4.2 : Evolution du polyedre d'optimalite de {1, 2} pour le client 3 65

1

INTRODUCTION

Grace a la publicity televisuelle, une chaine de television peut generer d'impor-

tants revenus. Par exemple, en 2007, a l'occasion du Super Bowl, la chaine americaine

CBS qui diffusait l'evenement a vendu une soixantaine de spots publicitaires de 30

secondes pour des prix allant jusqu'a $2.6 millions de dollars le spot. L'evenement

a ete entierement suivi par plus de 93 millions de telespectateurs.

Dans le cadre de ce memoire, nous cherchons a determiner comment fixer les

prix de ces spots de fagon optimale, a savoir maximiser le revenu de la chaine. En

effet, les compagnies media, comme les chaines televisuelles ou les reseaux cables,

mais aussi les stations radios ont la capacite de fournir de larges audiences aux

publicitaires. La vente de son espace publicitaire constitue la principale source de

revenu pour une chaine televisuelle. En consequence, chacune de ces chaines, chaque

annee, negocie la vente de son espace publicitaire. Par exemple, aux Etats-Unis, une

chaine annonce autour du mois de mai la grille de ses programmes pour la saison

a venir qui commencera en septembre. Puis, peu apres, elle annonce ses prix pour

chaque spot publicitaire. Suite a cela, elle regoit des demandes de compagnies ou

d'agences de publicites souhaitant acheter des spots de publicites proposes par la

compagnie. Parfois, certaines de ses demandes peuvent etre regues simultanement.

Une partie de ces transactions se fait sur 1' up-market : les principales compa

gnies interessees negocient longtemps avant la diffusion des programmes concernes,

pour des contrats publicitaires sur de longues periodes. La chaine s'engage alors a

garantir une certaine audience au client. Par exemple, aux Etats-Unis, ces negotia

tions ont lieu avant septembre. L'autre partie se fait sur le scatter market : ce sont

des demandes ponctuelles durant l'annee, le prix des spots est alors plus eleve et la

2

chaine fournit peu ou pas de garantie quant a l'audience regue.

Dans les contrats negocies sur l'up-market, l'engagement de la chaine de realiser

une certaine audience au client peut se manifester ainsi : si Pobjectif d'audimat

n'est pas atteint une fois diffusees toutes les publicites negociees au prealable, alors

la chaine peut soit verser une contre-partie financiere a son client, soit lui fournir

sans frais de nouveaux spots publicitaires afin d'atteindre l'objectif voulu. C'est

l'incertitude relativement a la prevision d'audimat pour un spot donne qui engendre

ces risques pour la chaine. A contrario, pour les ventes sur le scatter-market, cette

derniere n'a pas a faire face a de tels risques comme elle ne garantit aucun chiffre

d'audience. Par contre, il se peut qu'elle ne vende pas tous ses spots sur le scatter-

market, ce qui engendre un manque a gagner.

Le probleme de l'allocation des creneaux publicitaires souleve en outre d'autres

considerations. Un spot publicitaire se caracterise par le programme auquel il est rat-

tache, les differentes categories demographiques de telespectateurs qui le regardent,

son audimat aupres de chacune de ces categories, sa duree et sa date de diffusion.

D'un autre cote, chaque client dispose d'un certain budget pour promouvoir un pro-

duit dans une industrie donnee aupres d'un objectif d'audience dans une categorie

demographique. En consequence, la chaine televisuelle peut faire face a une demande

pour certains spots publicitaires depassant l'offre possible ou bien avoir deux clients

desirant le meme spot publicitaire pour promouvoir des produits concurrents. Ajoute

a cela, la chaine doit fixer le prix des spots publicitaires pour les rendre attractifs,

ou non, de fagon a attirer les clients et non a les inciter a acheter des spots des

chaines concurrentes.

Dans ces conditions, la chaine televisuelle doit decider quels creneaux publici

taires allouer a quel client et quels prix fixer pour l'attribution de ces creneaux.

3

Pendant longtemps et encore a l'heure actuelle, le probleme d'allocation etait no-

tamment resolu a la main par des planiflcateurs. Desormais, chez certaines chaines,

on utilise deja des techniques d'optimisation pour resoudre le probleme de l'alloca-

tion des creneaux. Ici, nous allons etudier une nouvelle approche pour resoudre le

probleme nouveau d'optimisation concernant et l'allocation des creneaux et leur tari-

fication : la modelisation biniveau. C'est un cas particulier des modeles hierarchiques

qui prend en compte l'interaction entre les deux acteurs, ici la chaine televisuelle

et ses clients, en considerant les objectifs et contraintes de chacun, mais egalement

l'offre de la concurrence. En prenant en compte ces interactions, l'approche bini

veau permet d'ajuster les prix des creneaux horaires en fonction de son offre, de

celle de la concurrence et de la demande, mais egalement de resoudre le probleme

de l'allocation. Les variables de decision du modele seront done le prix des creneaux

publicitaires et le nombre de spots par tranche publicitaire vendus a chaque client.

Dans la suite de ce memoire, nous effectuons en premier lieu une revue de la l i te

rature sur les questions de gestion du revenu, de placement media et sur l'approche

biniveau en general, mais aussi sur celle qui implique des problemes de second niveau

de type sac-a-dos. Au cours du second chapitre, nous presentons les hypotheses sous-

jacentes et la formulation generate du modele biniveau representant le probleme de

la tarification optimale du placement media. Par la suite, dans la troisieme partie,

nous etudions les proprietes de notre modele, ce qui nous amene dans un quatrieme

point a developper un algorithme de resolution. La cinquieme partie propose des

ameliorations de l'algorithme qui consiste a generer plus de coupes pertinentes. Le

dernier chapitre propose les resultats de differentes simulations numeriques et ana

lyse les resultats observes.

4

CHAPITRE 1

REVUE DE LITTERATURE

Dans cette partie, nous detaillons d'abord les informations relatives a la ges-

tion du revenu et au placement media, recueillies a travers la lecture de differentes

references bibliographiques. Puis, nous presentons plusieurs references sur la pro-

grammation biniveau, avant de donner un apergu plus approfondi des concepts qui

y sont lies.

1.1 La gestion du revenu

Auparavant communement appele yield management, la gestion du revenu est

une pratique qui s'est developpee a partir des annees 80, initialement pour l'indus-

trie aerienne. Initialement, le yield management visait a determiner l'inventaire des

sieges, c'est-a-dire, la repartition dynamique des classes tarifaires en fonction de plu

sieurs parametres comme le trajet, la classe a bord, la date de l'achat par rapport a

la date du trajet ou aussi les prix de la concurrence.

Plus generalement, le but de la gestion du revenu est d'optimiser le revenu genere

par la vente d'une ou de plusieurs ressources, les billets d'avions dans le cadre de

l'industrie aerienne. C'est generalement la competition entre plusieurs acheteurs,

prets a acheter ces produits, disponibles en quantite limitee, a des prix differents qui

permet de generer des revenus variables. Ainsi, en jouant sur le prix des ressources,

mais egalement leur disponibilite, le vendeur (la compagnie aerienne, par exemple)

peut ameliorer ses revenus. Les techniques de la recherche operationnelle permettent

5

de modeliser puis de resoudre ces problemes. Cote, Marcotte et Savard [6] abordent

ainsi le probleme de la tarification des billets d'avion.

Depuis, ses champs d'application se sont developpes a d'autres problemes. Par

exemple, sur un reseau routier, quelles routes taxer et comment fixer le prix de

ces taxes, de fagon notamment a orienter le traffic routier? Labbe, Marcotte et

Savard dans [13] ainsi que Didi-Biha, Marcotte et Savard [8] etudient ce probleme.

Nous pouvons aussi evoquer les problemes de tarification des chambres d'hotel, des

locations de voiture, du stockage et de la vente de ressources energetiques, etc. Un

apercu de la theorie, des avancees et des champs d'application de la gestion du

revenu a ete mis en page par Talluri et Van Ryzin [19].

Dans le cadre qui nous interesse, nous cherchons explicitement a optimiser le

revenu des chaines televisuelles engendre par la vente de son espace publicitaire a

differentes compagnies et agences publicitaires.

1.2 Le placement media

Le probleme du placement media pour les chaines televisuelles est un sujet qui

gagne de l'interet dans la litterature scientifique. Le chapitre 10.5 du livre de Talluri

et Van Ryzin [19] est une bonne introduction a ce sujet : il presente le contexte

general de ce probleme et offre un rapide apergu des differentes problematiques qu'il

souleve pour le revenue management. Nous pouvons distinguer ensuite trois types

de publications scientifiques sur ce sujet, chacun differant en fonction de l'approche

mathematique retenue pour etudier le probleme.

Le premier type correspond a une approche deterministe du probleme. Seule la

question de la vente de spots publicitaires sur l'up-market est consideree. Bollapra-

6

gada et al. [2] etudient le cas d'un seul client pour lequel ils cherchent a definir

l'ensemble optimal de spots publicitaires a vendre en prenant en compte sa requete

initiale. Les auteurs considerent celle-ci de fagon detaillee : ses objectifs d'audience

en fonction de plusieurs periodes de temps sur une saison, son budget selon ces

periodes, ses preferences de programmes, sa longueur de spot preferentielle. II intro-

duit une flexibilite dans les contrats negocies en cherchant a proposer au client un

melange entre programmes a forte et a faible audience. Le modele est un programme

lineaire mixte resolu a l'aide d'un algorithme de recherche tabou. Les autres textes

sur le sujet abordent uniquement la question de decider si oui ou non la chaine

doit accepter la demande des clients dont la liste des spots souhaites est connue et

fixee. Ainsi, les textes de Zhang [21] et de Kimms et Miiller-Bungart [12] prennent

en compte l'ensemble des clients a un moment donne. Les requetes des clients sont

respectees strictement dans ces modeles, a ceci pres que les clients peuvent proposer

plusieurs choix de spots. Les modeles dermis par Zhang et par Kimms et Miiller-

Bungart sont des programmes lineaires en nombres entiers qu'ils resolvent a l'aide

d'heuristiques. Zhang propose une heuristique centree sur une decomposition de

Dantzig-Wolfe, tandis que Kimms et Miiller-Bungart se basent sur des heuristiques

defmies a l'aide de solutions du probleme relaxe. Dans tous ces textes, les prix des

spots publicitaires sont consideres comme des donnees du probleme.

La seconde categorie etudie la question a partir d'une approche stochastique

en prenant en compte l'incertitude sur la demande de spots publicitaires (sur l'up-

market ou le scatter market) mais egalement sur les resultats d'audience, via l'audi-

mat. Araman et Popescu [1] ont developpe des modeles stochastiques qui permettent

de prendre en compte l'interaction entre l'up-market et le scatter market pour une

chaine televisuelle. Pour un objectif d'audience donne, ils cherchent l'allocation qui

minimise l'esperance de perte financiere pour la chaine, puis l'objectif d'audience

7

qui permet de maximiser le revenu espere. Le texte de Gallego et al. [10] permet

aussi de raffiner les tranches horaires mis en vente par une chaine en etudiant la

question des produits preemptables.

Enfin, la troisieme categorie, moins interessante dans le cadre d'une approche

biniveau, traite du probleme de l'agencement exact des publicites au cours d'un

programme. Dans les textes evoques jusqu'a present, les auteurs se preoccupent es-

sentiellement d'affecter les spots publicitaires d'un client a differents programmes. lis

mettent de cote la question de la planification de ces spots au cours d'un programme.

Cette question ne releve plus directement de problematiques propres a la gestion du

revenu. II s'agit de trouver une programmation qui assure un laps de temps suffi-

sant entre les diffusions d'une meme publicite et qui evite autant que possible les

conflits d'interet entre des publicites pour des produits concurrents. Cette question

est etudiee par Bollapragada et al. [4] et par Bollapragada et Garbiras [3].

Jusque la, les travaux sur le placement media ont considere les prix des spots

publicitaires sur un creneau comme des donnees du probleme. La nouveaute ici

va etre de les considerer desormais comme des variables de decision du probleme.

Le principe du revenue management etant de prendre en compte le comportement

des clients face aux prix proposes et a l'inventaire disponible, la programmation

mathematique a deux niveaux offre un paradigme de modelisation tout a fait adapte

pour prendre en compte cette interaction.

1.3 La programmation biniveau

Savard et Marcotte ont publie plusieurs articles sur la programmation biniveau,

etudiant le probleme sur des questions theoriques ou des problemes concrets. Colson,

Marcotte et Savard [5] presentent un apergu general de la theorie en introduisant les

8

concepts de base, les methodes de resolution existantes en fonction de la nature du

probleme biniveau et le lien avec les programmes mathematiques avec contraintes

d'equilibre. Marcotte et Savard [17] soulignent le lien entre les programmes biniveau

et des programmes combinatoires mieux connus ce qui permet de mieux comprendre

la complexity algorithmique des programmes biniveau.

Labbe, Marcotte et Savard [13] etudient plus particulierement le cas des pro

grammes biniveau bilineaires d'abord d'un point de vue theorique, puis d'un point

de vue pratique en modelisant le probleme de l'agencement des taxes sur un re-

seau routier a l'aide d'un tel programme biniveau. Celui-ci est notamment ramene

a un programme lineaire mixte a un niveau. Avec le meme type de modele, Cote,

Marcotte et Savard [6] etudient le probleme de la tarification des billets d'avions

pour une compagnie aerienne. Dans les deux cas, les problemes de second niveau

correspondent a des problemes de nots.

Vicente, Savard et Judice [20] etudient la geometrie de l'ensemble realisable et

l'existence de solution optimale pour les problemes biniveau lineaire a variables

discretes. Dempe et Richter [7] etudient un cas particulier de probleme biniveau

lineaire a variables discretes ou seules les variables de second niveau sont discretes

et le probleme de second niveau correspond a un probleme de sac-a-dos. Les variables

de premier niveau parametrent uniquement la contrainte. Les auteurs proposent des

algorithmes d'enumeration pour resoudre de fagon exacte ou approchee le probleme.

1.4 Concepts de la programmation biniveau

Un programme biniveau est un programme d'optimisation dont les variables

peuvent etre separees en deux ensembles tels que le second a pour contrainte d'etre

solution d'un probleme d'optimisation parametre par le premier ensemble.

9

De fagon general, un programme biniveau peut se formuler ainsi :

max F(x, y) xeX,y

s.a G(x,y) ^ 0

y € argmin{/(x, z) : g(x,z) ^ 0} z

Par la suite, pour faciliter la notation, nous utiliserons la forme suivante, appelee

forme verticale, pour ecrire un probleme biniveau :

max F(x, y) xeX,y

s.a G(x,y) < 0

min f(x,y) y

s.a g(x,y)^0

On distingue dans le probleme deux types de variables : les variables dites de

niveau superieur ou de premier niveau, ici x et les variables dites de niveau inferieur

ou de second niveau, ici y. De la meme fagon, on distingue Vobjectif de niveau supe

rieur, ici F, de Vobjectif de niveau inferieur, ici / . Enfin, G et g sont respectivement

les contraintes de niveau superieur et les contraintes de niveau inferieur.

Introduisons quelques concepts supplementaires. Le probleme relaxe correspond

au probleme ou l'objectif de niveau inferieur est ignore. II se formule ainsi :

max F(x, y) x£X,y

s.a G{x,y) ^ 0

9{x,y) ^ 0

La valeur du probleme relaxe determine clairement une borne superieure pour la

valeur du programme biniveau. L'ensemble realisable du probleme relaxe se note ft

10

et s'ecrit :

Sl = {(x,y):G(x,y)^0,g(x,y)^0}

Pour un vecteur donne x E X, l'ensemble realisable de niveau inferieur est :

Sl(x) = {y:g(x,y)^0}

et l'ensemble de reaction du niveau inferieur correspond a :

R(v) = {v-y€ argmm{/(z, | / ) : y' € Q(x)}}

Pour x donne, R(x) peut etre vide. On en deduit une expression de l'ensemble

realisable du programme biniveau egalement appele region induite et note I1Z :

ITZ = {{x, y):x£X, G(x, y)<0,yE R{x)}

Une solution optimale du programme biniveau est alors un point (x*, y*) tel que :

(x*,y*)£lK

V(x,y)€lK F(x\y*)^F{x,y)

La region induite d'un programe biniveau est generalement non convexe, ce qui ne

permet pas d'approche directe du probleme avec l'analyse convexe. Elle peut egale

ment etre non connexe, voire vide en presence de contraintes de niveau superieur.

Observons ceci sur un exemple simple :

min x + y

s.a x ^ 0

min y y

s.a y ^ 5 — x

y>0

11

1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 ^ 8

Figure 1.1: Geometrie de la region induite d'un programme biniveau

Sur le premier graphique de la figure 1.1, nous pouvons voir que la region induite

du programme biniveau, indiquee en traits gras sur la figure de gauche, n'est pas

convexe. Toutefois, elle est connexe. Nous rajoutons ensuite des contraintes de niveau

superieur. Dans un premier cas, nous ajoutons la contrainte correspondant a la

premiere droite, elle est du type y + 0.5x ^ k. La region induite n'est alors plus

connexe comme nous pouvons voir sur le deuxieme graphique de la figure 1.1. Dans

un second cas, nous rajoutons une contrainte du type y ^ k. Nous constatons alors

rapidement que la region induite peut alors devenir vide pour k suffisamment grand.

Un programme biniveau peut etre vu comme un probleme d'optimisation qui cor

respond a une modelisation hierarchique des decisions entre deux agents. Le premier,

l'agent meneur, afin de resoudre son probleme d'optimisation, effectue ses decisions,

ce qui correspond au choix des valeurs de x dans la formulation precedente, en pre-

nant en compte la reaction du second, l'agent meneur, a ses choix. L'agent suiveur

prend ses decisions, ce qui correspond au choix des valeurs de y, en resolvant un

probleme d'optimisation dont certains parametres correspondent a des variables de

decisions de l'agent meneur, que ce soit au niveau des contraintes ou bien au niveau

12

de l'objectif. Le modele indique par ailleurs que l'agent meneur connait a la fois la

fonction objectif et les contraintes de l'agent suiveur.

Du point de vue de la complexity algorithmique, meme dans le cadre du type

d'instance le plus simple pour un programme biniveau ou les fonctions objectif et les

contraintes sont lineaires, Hansen, Jaumard et Savard [11] montrent que ce type de

probleme est fortement NP-dimcile a l'aide d'une reduction polynomiale du probleme

KERNEL.

On distingue generalement trois families d'algorithmes pour resoudre un pro

bleme biniveau :

- les algorithmes pour des problemes en nombres entiers qui reposent sur une

reformulation du probleme biniveau en un probleme mixte en nombres entiers

a l'aide des conditions de Karush-Kuhn-Tucker.

- Les algorithmes de descente directement bases sur le programme biniveau. On

peut s'appuyer sur de telles methodes quand Ton est capable d'exprimer y

comme y{x) explicitement, ce qui rend possible une differentiation du pro

bleme.

- Les algorithmes de descente bases sur des penalisations exactes ou inexactes

de contraintes apres reformulation a un niveau du probleme.

Pour plus d'informations sur ces families d'algorithme, on peut lire Colson, Marcotte

et Savard [5].

Detaillons la reformulation du probleme biniveau a un niveau servant a la fois

pour la premiere et la troisieme famine d'algorithmes. Ainsi, dans le cas ou le pro

bleme de second niveau est convexe et regulier, nous pouvons le remplacer par ses

conditions de Karush-Kuhn-Tucker et ainsi obtenir un probleme mathematique a

13

un seul niveau :

max

s.a

F(x,y)

G(x,y)

9(x,y)

Xi

Xi9i(x,y)

VyC{x,y, A)

o O

>o,

= 0,

= 0

i = l,..

i = l,..

. ,m2

. ,m 2

ou C(x,y,X) est le lagrangien associe a la fonction de second niveau et m^ est la

dimension de l'espace d'arrivee de g.

Les contraintes de complementarity capturent la nature combinatoire du pro

bleme.

Dans le cadre de la premiere famille d'algorithme, on peut alors tacher de re-

soudre ce probleme a l'aide d'une methode de separation et devaluation. Le nceud

racine de Farbre correspond alors au probleme reformule sans les contraintes de

complementarite. A un nceud de l'arbre qui ne satisfait pas les contraintes de com-

plementarite, on peut separer le probleme ainsi : on construit deux noeuds fils,

l'un correspond a l'ajout de la contrainte Aj = 0, l'autre a l'ajout de la contrainte

gi(x,y) = 0. La resolution de ces problemes nous permet de determiner des bornes

superieures valides pour les sous-arbres correspondants.

Dans le cadre de la troisieme famille, on peut chercher a penaliser ces contraintes

de complementarite. On peut se referer au texte de Labbe, Marcotte et Savard [13]

pour un exemple.

Apres cet apercu des problematiques, a savoir la tarification optimale et le pla-

14

cement media, et des concepts mathematiques rattaches a notre sujet, a savoir la

programmation biniveau, nous pouvons a present developper notre modele.

15

CHAPITRE 2

MODELE BINIVEAU POUR LE PLACEMENT

MEDIA

En premier lieu, nous presentons les concepts et les hypotheses sous-jacentes

au modele. Ensuite, nous construisons notre modele biniveau pour la tarification

optimale relative au placement media.

2.1 Presentation du modele

Avant de commmencer, il faut definir clairement ce que nous entendons par cre-

neau ou tranche publicitaire. II s'agit d'une periode de temps dediee a la publicite

pendant un programme ou entre deux programmes. Nous appelons alors spot publi

citaire un espace de temps d'un creneau publicitaire alloue a un client.

Nous nous interessons ici a une vision globale de la tarification et du placement

optimal pour les publicites. Nous ne nous interessons done qu'a la repartition sur

les differents creneaux horaires. La question de l'ordre de programmation des publi

cites sur chaque creneau est un probleme plus detaille qui se place a l'echelle d'un

programme televisuel. Le lecteur interesse pourra se referer a Bollapragada et al. [3].

Cela reste toutefois une question d'importance, au moment de la prise en compte

des demandes de chaque client, arm d'eviter les conflits entre chaque client. Nous

devons done considerer cette question, de facon moins detaillee, a premiere vue.

Notre modelisation a pour but de fournir une politique generale d'allocation de

16

spots pour la chaine de television. Elle doit l'aider a prendre une decision rapide-

ment. Le modele doit lui permettre de savoir a quel prix elle peut vendre son espace

publicitaire et quelles demandes elle doit retenir. En pratique, les demandes des

clients se succedent et il faut leur repondre rapidement, ce qui fait qu'elles ne sont

pas toujours simultanees. Toutefois, parmi les clients sur Tup-market, il en est qui

sont des clients reguliers avec certaines habitudes. L'hypothese de considerer un en

semble de clients et non un client individuellement est done valable.

Nous supposons ici que le comportement des agents, a savoir la chaine de te

levision et l'ensemble des clients, est regi selon les regies d'un jeu de Stackelberg.

Dans un tel jeu, l'objectif de chaque agent est fonction des strategies des deux

agents. De plus, le suiveur, ici les clients, adopte la meilleure strategic en ayant pris

connaissance de la strategic du meneur, ici la chaine televisuelle. Le meneur, ayant

conscience de cela, cherche la meilleure strategie en anticipant done la strategic du

suiveur. Pour plus d'informations les jeux de Stackelberg, le lecteur peut lire le texte

de Stackelberg [18] ou bien la section 1 du chapitre 3 de [9].

Un programme biniveau correspond a la formulation mathematique de l'equi-

libre d'un jeu de Stackelberg. Le lecteur interesse pourra se referer a Loridan et

Morgan [15] pour plus d'explications sur les liens entre la programmation biniveau

et les jeux de Stackelberg. D'un point de vue theorique, l'approche biniveau permet

de prendre en compte l'ensemble des acteurs impliques dans le processus. C'est pour-

quoi nous considerons ici a la fois l'ensemble des clients de la chaine et l'ensemble

des concurrents.

Nous faisons de plus l'hypothese que la chaine de television qui doit repondre a

la demande de ses clients est leader sur le marche de l'audimat. Par consequent, elle

17

prend en compte les caracteristiques des chaines concurrentes comme des donnees

fixes de son probleme. En l'occurrence, il s'agit de leurs programmes de diffusion et

du prix de chacun de leurs creneaux publicitaires.

Quant a l'inventaire de la concurrence, dans la realite, il est difficile pour la

chaine leader d'en connaitre sa capacite. Mais, la concurrence reunissant plusieurs

chaines, nous supposerons dans la suite du probleme que sa capacite est suffisam-

ment grande au regard de la demande. En somme, nous ignorerons les contraintes

d'invent aire chez la concurrence.

Concernant le comportement des clients, nous considererons que, pour une tranche

publicitaire donnee et une longueur de spot donnee, un client n'est interesse que par

un seul spot de cette longueur dans cette tranche. Toutefois, cela ne l'empeche pas

d'etre interesse par la diffusion d'un spot d'une autre longueur dans cette meme

tranche, en sus. Nous aurons par consequent des variables binaires dans notre pro

bleme de second niveau.

Le probleme de second niveau doit modeliser le comportement de l'agent suiveur,

les clients. Ceux-ci, une fois les prix fixes pour chaque spot publicitaire chez le leader

et chez la concurrence, decident en fonction de leurs preferences quelle allocation

leur est optimale, en fonction d'une contrainte d'audimat minimum. Ces differents

clients sont en concurrence pour faire programmer leurs publicites. Ni les questions

d'inventaire, ni les choix des autres clients ne sont de leur ressort. Les questions

d'inventaire interessent uniquement les chaines de television qui diffusent ces publi

cites. Par consequent, les contraintes d'inventaire de la chaine n'entrent pas dans

leur horizon. Celles-ci se trouveront ainsi au niveau superieur.

18

II y a principalement deux types de parametres qui expliquent le comportement

des agents.

La premiere categorie est composee des parametres qui quantifient les objectifs

de chaque agent. Pour la chaine, il s'agit du revenu, que ce soit sur l'up-market ou

le scatter market. Pour les clients, il s'agit a la fois du budget et de l'audience.

La seconde categorie a pour but de quantifier les preferences des differents clients

par rapport aux creneaux publicitaires proposes par la chaine ou par ses concurrents.

Ces parametres permettent de savoir quels spots publicitaires les clients preferent,

a la fois pour des raisons de categorie demographique ciblee, d'audience obtenue, de

prix et de calendrier. Ces parametres nous permettent de sortir du cadre rigide ou

l'on decide si oui ou non la chaine accepte entierement le contrat du client, comme

chez Kimms et Muller [12] ou Zhang [21]. Le modele peut ainsi offrir une proposition

d'ensemble de spots publicitaires qui differe de la demande initiale du client, tout

en realisant ses objectifs d'audience et de budget. Parmi ces preferences, chaque

client souhaite que ses publicites soient diffusees au cours d'une periode donnee

dans l'annee. Pour modeliser cela, nous pouvons nous contenter de donner une valeur

suffisamment grande au parametre de preference pour les creneaux publicitaires en

dehors de cette periode. Autrement, pour donner une structure plus claire au modele,

nous introduisons un parametre pour denombrer les semaines au cours de l'annee

de diffusion.

D'autres parametres rentrent en compte dans le modele, ce sont ceux qui per

mettent de quantifier les contraintes d'inventaire associees au probleme.

Enfin, par commodite de representation, nous supposerons que l'ensemble des

categories demographiques ciblees par les clients est une cr-algebre. Cela implique

19

qu'une seule categorie demographique interesse chaque client.

Les creneaux publicitaires sont dupliques dans le catalogue des produits que la

chaine offre. Une version correspond au produit sur l'up-market, l'autre a celui sur

le scatter market. La longueur du creneau publicitaire de chacun peut alors etre

differente.

2.2 Formulation mathematique

Nous presentons ici un premier modele biniveau pour le placement media.

Les indices superieurs 1 et 2 designent respectivement la chaine leader et la

concurrence qui est agregee en un unique acteur.

Les indices du modele sont les suivants :

s : indice des tranches publicitaires;

d : indice des categories demographiques;

c : indice des clients;

I : indice des durees possibles des spots publicitaires;

w : indice des semaines dans l'annee.

Nous presentons ensuite les differents ensembles du modele :

51 : ensemble des creneaux de la chaine leader sur le scatter market;

52 : ensemble des creneaux de la concurrence sur le scatter market;

U1 : ensemble des creneaux de la chaine leader sur l'up-market;

U2 : ensemble des creneaux de la concurrence sur l'up-market;

D : ensemble des categories demographiques;

20

C : ensemble des clients;

W : ensemble des semaines dans l'annee;

L : ensemble des durees de spot publicitaire;

D(s) : ensemble des categories demographiques qui constituent l'audience du cre-

neau s;

d(c) : categorie demographique qui interesse le client c;

W(s) : semaine ou se situe le creneau publicitaire s;

W{c) : ensemble des semaines qui interessent le client c.

Les ensembles de creneaux publicitaires sont consideres disjoints, nous dedou-

blons les creneaux s'ils se trouvent a la fois dans le scatter et l'up-market.

Dans l'ensemble des clients, nous distinguons ceux sur l'up-market et ceux sur

le front-market. Enfin, en general, les durees disponibles de spots correspondent a

des multiples de 15 secondes : 15, 30 ou 45 le plus frequemment.

Les caracteristiques des creneaux publicitaires sont les suivants :

tlsl prix d'un spot de / secondes dans le creneau publicitaire s vendu par le leader;

t2sl prix d'un spot de / secondes dans le creneau publicitaire s vendu par la concur

rence ;

f vecteur de prix pour l'agent i;

aSii4 niveau d'audimat dans la categorie demographique d du creneau publicitaire

s pour I secondes;

l(s) duree du creneau publicitaire s, elle ne peut pas correspondre exactement a

la longueur totale du creneau si celui-ci est en vente a la fois sur le scatter et

l'up-market;

21

Ilt nombre maximum de spots publicitaires de duree I qui peuvent etre vendus sur

le creneau s propose par la chaine leader.

I^t est un parametre qui est fixe pour assurer que la repartition sur les differents

creneaux puisse garantir a posteriori une planification permettant un espacement

certain entre une meme publicite ou bien des publicites pour un produit concurrent.

Les variables de decision au niveau inferieur sont

x\ cl : element de {0; 1} qui indique si oui ou non un spot publicitaire de duree I

est vendu au client c dans le creneau s par 1'agent i.

Les parametres du modele permettent de caracteriser les contraintes de revenu

de la chaine leader, mais aussi les objectifs d'audience et les possibilites de budget

des clients. Eventuellement, certaines bornes peuvent valoir 0 ou oo.

Ru '• borne superieure de revenu sur l'up-market;

Ru : borne inferieure de revenu sur l'up-market;

Rs : borne superieure de revenu sur le scatter-market;

Rs : borne inferieure de revenu sur le scatter-market;

Ac : borne superieure d'audimat pour le client c;

Af, : borne inferieure d'audimat pour le client c;

Bc : borne superieure de budget pour le client c;

B_c : borne inferieure de budget pour le client c.

MStiyC : borne pour la linearisation des termes bilineaires, utilisee dans le chapitre

5.

Enfin, le dernier parametre permet de prendre en compte les preferences de

chaque client pour des spots publicitaires particuliers. Ces preferences peuvent re-

pondre a plusieurs criteres comme la date de diffusion, le moment de la journee de la

22

diffusion, le public d'un tel spot, etc. vo\cl mesure la desappreciation financiere du

client c pour un spot publicitaire de duree / sur le creneau publicitaire s vendu par i.

Nous introduisons maintenant les fonctions du modeles.

Au niveau superieur, la chaine leader cherche a maximiser son profit sur la vente

de tous ses spots publicitaires pour chacun de ses clients. Cela nous donne :

^ E E( E *«Xd + E t'Acti) ' ' c€C l€L seu1 seS1

Au niveau inferieur, les clients cherchent a minimiser leurs depenses par rapport

a la chaine leader et a ses concurrents.

™nEE( E ( i i i+<i)4i+ E (^i+^Xci) x 'x etc leL seu^us1 seu2us2

Au niveau superieur, la chaine leader doit assurer ses objectifs de revenus.

Ru < E E E *JXd ^ ^ cec leL sec/1

& < E E E ^xic,i < Rs C<EC leL seS1

Elle doit aussi prendre en compte les contraintes de capacite sur son inventaire

pour chaque creneau publicitaire propose. Rappelons que nous avons fait l'hypo-

23

these que la concurrence a une capacite suffisante quelque soit la demande done ces

contraintes ne la concernent pas.

E xlc,i < Jli Vs G 51 U C/1 VZ e L cec

Au niveau inferieur, les clients doivent atteindre leur objectif d'audience et res-

ter dans les limites de leur budget. lis cherchent une allocation optimale parmi

les tranches publicitaires dont la semaine de diffusion fait partie des semaines qui

interessent le client.

^c<Y.( E a*Mxl*,c,i+ E "s,i,dxlci) <Ac VceC leL seu^s1 seu2us2

d(c)€D(s) d(c)eD(s) W(s)eW(c) W(s)£W(c)

^ E E ( E tls,i<c,i+ E </<c,/)<^ vcec cec leL seu^s1 seu2us2

d{c)eD(s) d(c)eD(s)

w(s)ew{c) w(s)ew{c)

Nous obtenons finalement le programme biniveau suivant :

24

tl^2 E E ( E W ^ + E ^ i ) cec leL sec/1 ses1

s.a ^ < E E E tlsA,c,i ^ ^ cec ;ei sec/1

£ s ^ E E E ^ V i c * < Rs cec leL ses1

xx,x

cec

E E l<c,i^Ks) VseS'uu1

leL cec

T3 E E ( E (*i* + ™w)<c,/ + E (*«.* + wlc,i)xld ) cec ;ei set/ius1 set/2us2

s.a Ac < E ^ E a°Mx\,c,i + E ^ • ' . ^S .C .J ) ^ A* WcGC

leL seu^s1 seu2us2

d(c)eD(s) d(c)eD(s) w(s)ew(c) w(s)ew(c)

^ < D E *ii<d + E fli<c,i) <BC\/C£C leL seW^us1 seu2us2

d(c)eD(s) d(c)eD(s) w(s)ew(c) w(s)ew(c)

4 , £ { 0 ; 1 } V i e {1,2} Vse&UU1 VleLVceC

tltl>o Vse&uir vi EL

L'objectif et certaines contraintes de niveau superieur du modele ainsi obtenus

sont de nature bilineaire. L'objectif de second niveau et les autres contraintes sont

lineaires. Par ailleurs, les variables de second niveau sont entieres. Nous consta-

tons egalement que le probleme de second niveau est separable par client, ce qui

correspond a l'intuition que Ton peut avoir du probleme.

25

II s'agit d'un type de probleme biniveau qui n'a pas ete etudie jusqu'a present.

Nous allons etudier plus en detail les proprietes de ce modele, en particulier des

points realisables, afin de mettre au point un algorithme de resolution.

26

CHAPITRE 3

PROPRIETES DU MODELE

En l'absence de travaux abordant veritablement ce type de probleme biniveau,

nous nous interessons d'abord a etudier ses proprietes.

Aussi, dans un premier temps, nous reformulons le modele de fagon raisonnee,

afin de mieux comprendre son fonctionnement. Nous introduisons ensuite la notion

d'ensemble minimal pour expliquer la forme des elements de la region induite. Nous

presentons alors un exemple de resolution du modele sur une petite instance pour

en tirer des enseignements. Ceci nous permet, dans la quatrieme section, d'affiner

la notion d'ensemble minimal en presentant les ensembles minimaux non domines.

Enfin, nous etudions plus en detail la geometrie de la region induite du probleme.

3.1 Reformulation du modele

Avant de commencer a etudier les proprietes du modele, nous allons le changer

sur quelques points.

Nous ignorerons ainsi par la suite les contraintes de revenu pour la chaine leader

et les contraintes de budget pour les clients. Comme l'objectif du probleme biniveau

est de maximiser le revenu global de la chaine leader, les contraintes sur le revenu

traduisent le meme comportement que l'objectif du leader. De meme, les contraintes

de budget et l'objectif du probleme de second niveau representent le meme compor

tement de la part des clients : ils cherchent a minimiser leurs depenses. Dans la

meme optique, nous pourrons faire abstraction par la suite de Ac puisque le client

27

est interesse par atteindre le plus d'audience possible.

Par ailleurs, sans nuire a la generalite, nous considererons desormais uniquement

l'up-market. Comme un client n'est interesse qu'exclusivement par l'un des deux

marches, l'up-market et le scatter market sont deux marches qui n'interagissent pas

dans le modele, done ils sont dissociables au sein de celui-ci. Le modele a resoudre re-

lativement a l'up-market presente les memes caracteristiques que celui relativement

au scatter market, a la valeur des parametres pres.

Enfin, dans un souci de clarte, nous ramenerons l'horizon de l'allocation a une

seule semaine. En effet, nous pouvons supposer que chaque client cherche a diffuser

de fagon sumsamment uniforme ses publicites sur une periode donnee. Par conse

quent, il apparait plus coherent de remplacer A^ par Ac(w) pour chaque semaine.

En procedant ainsi, on peut rapidement observer que le probleme est separable par

semaine. Done, par la suite, nous omettrons l'indice des semaines.

Ceci etant fait, nous constatons que le probleme de second niveau consiste main-

tenant en un probleme de sac-a-dos, separable par client. Probleme de sac-a-dos car

il s'agit de minimiser le poids en atteignant un objectif minimal d'utilite, separable

par client car les contraintes d'audience et l'objectif sont separables par client.

Voici la forme du probleme biniveau ainsi modine :

28

EEE44 (3-1) max cec zeL set/1

s.a YKi,c<Jh Vs,leU\L (3.2) c€C

EE'4^W Vsef/1 (3.3) /6L c e C

g*s Z) D( ]C (th+wliJxli,c + J2 ttli+wli,cKiJ (3-4) cec leL seu1 seu2

s.a Yl a*>Wxli,c + Z ^.'.^ij-c >^c VceC (3.5) sJeU1,], s,l<EU2,L

d(c)£D(s) d(c)£D(s)

< / , c € { 0 , l } Vi , s ,Ze { 1 , 2 } ^ , ! ; VceC (3.6)

^ > 0 V s,leU\L (3.7)

Apres avoir reformule le modele, nous allons etudier de plus pres ses proprietes.

3.2 Ensemble minimal

II s'agit maintenant d'etudier les proprietes des solutions du modele. Pour ce

faire, nous nous interessons tout d'abord aux proprietes des solutions du probleme

de second niveau. Ceci nous amene a introduire la notion d' ensemble minimal Pour

chaque client considere, nous designerons par commodite dans ce qui suit par d sa

categorie demographique.

Definition 1 Soit c G C. Soit E un sous-ensemble de (U1 x i ) U (U2 x L). Alors,

29

on dit que E est un ensemble minimal pour c si et seulement si :

(s,l)£Fn(UlxL) (s,l)eFD(U2xL)

E 0.1,14+ Z) alw - A-(s,l)eEn(UlxL) {s,l)eEn{U2xL)

Definition 2 Soit c G C. On note Em(c) Vensemble des ensembles minimaux pour

c.

Nous constatons que la composition d'un ensemble minimal ne depend pas de la

valeur des variables de premier niveau. Elle ne depend que des coefficients dans les

contraintes d'audience. Par contre, la propriete suivante qui est immediate, relie la

nature des solutions de second niveau avec les variables de premier niveau :

Propriete 1 Soit (xlpt, xlpt) une solution optimale du probleme de second niveau.

Soit ceC. Alors {(s, I) G (U1 U U2) x L / x\lc = 1} est un element de Em(c).

Definition 3 Soient t € (R+)n , c £ C, E E Em(c). Alors, on dit que E est optimal

pour c relativement at si et seulement si il existe une solution optimale (x^,t, x^,t)

du probleme de second niveau, defini par t, telle que E = {(s,l) G (U1 U U2) x

L I < I ) C = 1 } .

3.3 Etude d'un exemple

Nous allons maintenant illustrer le modele et cette notion d'ensemble minimal

par un exemple. Nous considerons ainsi un probleme avec deux clients, une seule

categorie demographique, deux longueurs de tranches publicitaires, une tranche pour

la chaine leader et une tranche pour la chaine concurrente. Le modele se reecrit ainsi:

30

1 1 1 1 1 1 1 1 m a x ^1,1^1,1,1 + ^1,2^1,2,1 + ^l , l a ; l , l ,2 + ^1,2X1,2,2

tL,xi,xz

s.a rr11;1 + x1>1)2 < 1

X l ,2, l + ^1,2,2 ^ 2

15(4i,i + ^1,1,2) + 30(ari>2>1 + x\^2) < 75

min (t\A + b)x\ilA + (t{2 + 15)arJj2>1 + ( ^ + 15)41 > 2+

\P\,2 + 5)*ri,2,2 + l^ i . i , ! + 42x12,i + 23a;1)1)2 + 27x1 2 2

s.a 2 0 ^ } ^ + 30xj)2ii + 15xltiti + 40a£2)1 ^ 50

20xlili2 + 30xJ)2;2 + 15a;?il)2 + 40z?)2>2 ^ 55

^1,1,1) ^1,2,1) Xl, 1,2) ^1,2,2! ^1,1,1) ^1,2,1) -^1,1,2' ^1,2,2 ^ { 0 ) 1 /

^1,1) ^1,2 — 0

Pour resoudre ce probleme, nous determinons dans un premier temps l'ensemble

des ensembles minimaux pour le client 1, Em(l), et l'ensemble des ensembles mini-

maux pour le client 2, Em{2). Nous les calculons a la main. Nous notons ici {i, s, I)

un spot de longueur I, dans la tranche publicitaire s, chez l'agent i. Nous obtenons

alors :

Em{\) = {{(i,i,i);(i,i,2)}; {(i,i,i);(2,i,2)}; {(i,i,2);(2,i,2)}; {(2,1,1)1(2,1,2)}}

Em(2) = {{(1,1,2);(2,1,2)}; {(1,1,1);(1,1,2);(2,1,1)}; {(1,1,1);(2,1,2)}; {(2,1,1);(2,1,2)}}

A chaque ensemble minimal, un prix est associe dans le probleme de second ni

veau, fonction de t\x et t\2-

31

Clien t 1

{(1,1,1);(1,1,2)}

{(1,1,1);(2,1,2)}

{(1,1,2);(2,1,2)}

{(2,1,1);(2,1,2)}

*i,i + *i,2 + 20

*i,i + 47

*i,2 + 57

59

Cl ien t 2

{(1,1,1)5(2,1,2)}

{(1,1,1);(1,1,2) ;(2,1,1)}

{(1,1,2);(2,1,2)}

{(2,1,1);(2,1,2)}

*M + 42

*i,i + *i,2 + 43

i j 2 + 32

50

Pour chaque client, l'ensemble optimal de spots attribues est un ensemble mi

nimal pour celui-ci. Afin qu'un ensemble minimal pour le client c soit optimal, son

cout doit etre plus petit que celui de tous les autres ensembles minimaux pour c.

Ainsi, par exemple, pour l'ensemble minimal pour le client 1 suivant {(1,1,1); (1,1,2)},

nous devons avoir :

*l,i + £l,2 + 20<*i,i + 4 7 t{2<27

t\,i + *i,2 + 20 < t\fi + 57 i.e. t\tl < 37

*i,i + £!,2 + 20 < 59 t\A +1\>2 < 39

Nous obtenons ainsi un systeme de contraintes lineaires sur t\tl et sur t\2 pour

assurer l'optimalite de cet ensemble minimal pour le client 1. En repetant le meme

raisonnement avec chaque ensemble minimal pour le client 1, nous en deduisons

pour chacun d'entre eux un systeme de contraintes lineaires. Par consequent, cela

definit un polyedre de R2 propre a chaque ensemble minimal pour le client 1.

Nous faisons de meme pour le client 2. Au passage, nous nous apercevons que

l'ensemble minimal {(1,1,1); (1,1, 2); (2,1,1)} ne peut pas etre optimal.

Nous obtenons ainsi un ensemble de polyedres dans E2 que l'on peut observer

sur la figure 3.1. Les traits noirs delimitent les contraintes par rapport au client 1,

les traits en pointilles rouges ceux par rapport au client 2. Nous avons egalement

32

Tableau 3.1: Gradient de la fonction

Polyedre

Gradient

1

(2,0)

2

(1,0)

3

(0,0)

4

(2,1)

object

5

(1,1)

if sur 1'

6

(1,2)

exempl

7

(0,1)

e3.1

8

(0,2)

represente sur la figure par des fleches rouges, dans chaque polyedre, le gradient de

la fonction objectif du programme biniveau en fonction des valeurs de £1,1 et de tit

hes valeurs du gradient selon le polyedre sont resumees dans le tableau 3.1.

,1 _ ~2 _ 1 L.1 1 0 — A i o ,9 — J.

' '1 .1 .1

•-1,1,2 c l , 2 , 2

-^ .

1,1,2 '

C l , l , l

1,1,2

' '1 ,1,1

C l , 2 , 2 :

„1

= «•%.

= 1

= 1

= 1

= 1

= 1

= 1

= 1

= 1

= 1

= 1

-,-,- = l

X l , 2 , 2 = x l , 2 , 2 = 1

X l , l . l = X l , 2 , l = 1

™1 _ Jl _ 1 ' l l , 2 , 2 — x l , 2 , 2 — 1

•-1,2,2

• x l , 2 , 2

' ' l ^ . l

1,2,1

10 20 30 40

Figure 3.1: Ensemble des polyedres d'optimalite

Nous verifions maintenant les contraintes du niveau superieur sur chaque poly

edre ainsi defini. Elles sont verifiees sur les polyedres 2,4,5,6,7,8. Nous devons main-

tenant resoudre un programme lineaire sur chacun de ces polyedres. Par exemple,

33

sur le polyedre 6, on a :

t\,2 < 1 8

t\<2 < 27

t\x < 37

* i , i+* i ,2 < 3 9

t\,2 < *l,i + 10

^1,1) n,2 — 0

On obtient une solution optimale sur chaque polyedre, on en deduit alors la so

lution optimale qui vaut 57 et est atteinte au point O pour t\1 = 21 et t\2 = 18.

3.4 Ensembles minimaux non domines

A partir de cet exemple, on peut tirer des enseignements sur la nature de la

region induite.

Pour ce faire, nous revenons d'abord sur les ensembles Em(c) pour chaque client

c. On a vu dans l'exemple ci-dessus que pour un ensemble minimal donne, il n'existe

pas toujours une valeur des variables de premier niveau telle que cet ensemble soit

optimal pour le client associe. Introduisons la notion de masse fixe pour expliquer

cela.

Definition 4 Solent c 6 C, E € Em(c) oun ~ [U1] * \L\. On appelle masse fixe de

max i , i ' h , 2

s.a

34

E pour le client c, note mc(E), la valeur suivante :

mc(E)= J2 (tli + wli,c)+ E W*U (s,l)eECi(U2xL) (s,0eSn(!71xL)

De cette definition, on en deduit une condition necessaire et suffisante afin qu'un

ensemble minimal pour un client puisse etre optimal pour celui-ci. L'idee du resultat

qui suit traduit l'incitation d'un client a acheter un spot supplement aire a la chaine

leader. Un client ne le fera que si cela diminue la valeur de la masse fixe de l'ensemble

de spots qu'il achete alors.

Propriete 2 Soit c & C, soit E G Em(c), soit n = \Ul\ x \L\. Alors il existe

t1 G (K+)n tel que E soit un ensemble minimal optimal pour c si et seulement si :

mc(E) = mm{mc(F)/F G Em{c), F n (U1 x L) C E n (U1 x L)} (3.8)

Tout ensemble minimal verifiant cette propriete pour c sera dit non domine pour c.

Demonstration :

Montrons d'abord que c'est une condition necessaire. Soit F G Em(c) tel que

F fl (U1 x L) C E n (Ul x L). Comme E est un ensemble minimal optimal pour c

avec le vecteur de variables de premier niveau t1, on a J2<s i)eEn(ulxL) *S,/ + ™>C{E) <

S(si)eFn(c/1xL)^ + mc(-F1)- Or Fn(f / 1 x Li) est inclus dans £Tl(6 r l x L), done par

positivite des variables de premier niveau, on obtient mc(E) < mc(F).

On s'interesse maintenant a la reciproque. Soit F G Em(c), alors on a deux cas.

Premierement, supposons que FD (U1 x L) <£. ED (U1 x L). On cherche done tl tel

que :

E tltl- J2 tltl<mc(F)-mc(E). (s,i)eEn(ulxL) (s^eFni^xL)

35

Les deux sommes de variables ont des termes disjoints. Par positivite des variables

de premier niveau, on en deduit que pour t] t, (s, /) G F fl {Ul x L)\E C\ (U1 x L),

sumsemment grand, l'inegalite est verifiee.

Supposons maintenant que F D (Ul x L) C E n (U1 x L). On cherche t1 tel que :

(s,/)e£;n([/1 xL)\Fn(ul xt)

Or, par propriety mc(£7) = min{mc(F)/F G £m(c), F n (C/1 x L) C £? n (f/1 x L)},

done mc(F) - mc(E) > 0. Ainsi, pour tlsh (s, /) e E n (t/1 x L ) \ F n (t/1 x L) suf-

fisamment petit, l'inegalite est verifiee. Comme il y a un nombre fini d'inegalites a

verifier et que les variables qui jouent un role dans chaque cas sont independantes,

on deduit rapidement de ceci la reciproque.D

Pour chaque c G C, cette propriete peut fournir une regie pour eliminer des

ensemble de Em(c). Ainsi, pour chaque sous-ensemble El de U1 x L, on associe

uniquement les sous-ensembles de E2 de U2 x L tels que El U E2 soit element de

Em(c) et verifie (3.8).

Intuitivement, on pourrait traduire ce resultat ainsi: un client n'est interesse par

l'achat de spots supplement aires de la chaine leader si et seulement si la masse fixe

de l'ensemble resultant diminue.

Par la suite, on considere uniquement les ensembles minimaux non domines E

qui verifient (3.8) et tels que :

VF G Em*(c) F n (U1 x L) C E n (U1 x L) => mc(F) > mc(E) (3.9)

Cette decision se justifie pour deux raisons. Tout d'abord, si on a E G Em(c)

verifiant (3.8), mais ne verifiant pas (3.9), alors on sait qu'il existe F G Em(c) tel

quem c(£) = m c ( F ) e t F n ( [ / 1 x L ) C Ef\(Ul xL). Aussi, V(s,J) G Ef){Ul xL)\Ff]

36

(U1 x L), t\ l = 0. Done les deux ensembles minimaux couteront autant pour le client

c mais il n'y aura pas d'avantage en terme de revenu pour la chaine leader a vendre

E plutot que F au client. De plus, si la chaine leader decide de vendre E plutot

que F, il reduit plus son inventaire disponible restant pour les autres clients, done

limite ses choix. II sera done toujours plus interessant pour la chaine de vendre F

plutot que E au client c dans le cadre de ce modele. C'est pourquoi nous considerons

desormais les elements de Em(c) qui verifient (3.8) et (3.9).

On peut determiner pratiquement si un ensemble minimal E G Em(c) est non

domine a l'aide de la propriete (3.8). En effet, il suffit de resoudre le probleme de se

cond niveau pour le client c avec le vecteur de prix nul et en remplagant l'inventaire

du leader par EC\(Ul x L). Si la valeur de l'objectif est egale a mc(E) et l'allocation

resultante contient E 0 (U1 x L), alors E est non domine, sinon il ne l'est pas.

Par commodite de notation, pour tout ensemble E, nous noterons par la suite

E1 pour designer E fl (U1 x L) et E2 pour designer E n (U2 x L).

Definition 5 Soit c G C. On note Em*(c) Vensemble {E e Em(c)/E verifie (3.8)

et (3.9)}.

Pour E1 donne, la determination d'E2 tel que (E1UE2) soit un ensemble minimal

verifiant (3.8) consiste a resoudre un probleme de sac-a-dos que nous detaillerons

plus bas. Les contraintes d'inventaire chez la concurrence etant ignorees, il n'est pas

important de savoir s'il existe plusieurs E2 tels que (E1 UE2) verifie cette propriete.

Nous pouvons done associer un seul sous-ensemble E2 pour E1 donne. On en deduit

rapidement qu'il y a au plus 2card^u )*mrd(L) ensembles minimaux qui verifient (3.8).

37

3.5 Geometrie de la region induite

Interessons nous maintenant aux proprietes sur les variables de premier niveau.

On distingue tout d'abord l'ensemble des valeurs de premier niveau qui optimisent

un ensemble minimal pour un client c donne.

Definition 6 Soit c E C, soit E E Em(c). On appelle polyedre d'optimalite pour

E relativement a c, l'ensemble des valeurs des variables de premier niveau de W1

sur lequel E est un ensemble minimal optimal pour c, ou n — {If1] * \L\. On le note

rc(E).

Justifions la terminologie "polyedre". Soit c E C donne, considerons E E Em(c).

Soit t E VC(E). Alors, E est optimal pour c si et seulement si pour tout F E Em(c),

on a £ W ) e B * s , i < £M6F*».«> s o i t £ W ) e e i * i i ~ ^2(s,i)eF^h ^ mc(F) ~ mc(E).

Ceci definit une contrainte lineaire en les coordonnees de t. A chaque F est done

associee une contrainte lineaire. Par consequent, t est un point realisable d'un en

semble defini par des contraintes lineaires. Em(c) possede un nombre fini d'element.

Done, VC(E) est bien un polyedre.

De ceci, nous en deduisons immediatement le resultat suivant.

Propriete 3 La projection sur Rn, n = jt/1) * \L\, de la region induite du probleme

biniveau est une reunion finie de polyedres.

Demonstration :

Soit E1,..., EM E Em(l),..., Em(\C\), tel que [\PiiE*) ^ 0. Supposons qu'il i=i

existe t dans cette intersection tel que (t, E1,... ,E^) soit element de la region

38

induite. Alors (E1,..., E^) est une solution optimale du probleme de second niveau \c\

defini par t et satisfait les contraintes superieures. Pour tout t' E C\Vi(El), t' ^ t, i = l

(E1,..., E^°\) verifie les memes proprietes et done cette intersection est incluse dans

la region induite.

Reciproquement, soit (t, E1,..., E^) element de la region induite. Alors, t ap-\c\

partient a P | ^ (£?'). Done, la region induite est incluse dans une reunion finie de

polyedres. Plus exactement, elle est egale a :

\c\

u nw) E1 ,...,E\c^eEm(l),...,Em(\C\) » = 1

telle que (E1,..., E^) verifie les contraintes superieures.•

Comme les variables de second niveau sont discretes, on ne peut discuter de la

topologie de la region induite directement. On peut par contre etudier celle de la

projection de la region induite sur l'espace des variables de premier niveau.

Nous pouvons faire quelques remarques preliminaires sur la geometrie de cet

ensemble.

Remarque 1 :

Soient ceC,E = E1UE2<E Em*(c). Soit t € VC{E). Alors, nous pouvons verifier

rapidement que tout t' tel que :

VfoOefl1 *.,, = *.,,

V(s,l)£El t's^tStl

est element de VC(E). Nous pouvons deduire immediatement de ceci que la projec

tion de la region induite sur l'espace des prix est non bornee.

39

Remarque 2 :

Soient ceC, E = E^E2 e Em*{c). Soit t G VC{E). Mors, tout point U verifiant :

VMiE1 *;,, = *,,,

est element de VC(E).

Nous pouvons maintenant montrer un premier resultat sur la dimension des

polyedres.

Propr ie te 4 Soit c G C, soit E G Em*{c). Alors VC[E) est un polyedre de dimen

sion n oil n — \U1\ x \L\.

Demonstration :

Pour prouver ce resultat, il suffit de prouver que VC(E) contient un ouvert non

vide de Rn. Soit F G Em*(c). Distinguons deux cas.

Si F1 CE1, alors pour t G VC{E), on a :

£ *i» < mc(F) - mc(E) (3.10) (s,/)eB1\F1

Comme mc(F) — mc(E) > 0 d'apres la propriete (3.9), on en deduit que l'ensemble

des t verifiant cette contrainte forme un ouvert non vide de Mn.

Si maintenant F^E1 ^ 0, alors pour t G VC(E), on a :

£ tl,i- £ tlsj < mc(F) - mc(E) (3.11)

MeE^F1 (s,0ei?1\-E1

40

Aussi pour mc(F) - mc(E) + ^(s.oeF^E1 *s,z n o n n u l ' s o i t Z^s.OeF1^1 *s,/ s u r n s a m -

ment grand, on en deduit que l'ensemble des t verifiant cette contrainte est non non

vide, puis, par continuity de la fonction, que c'est un ouvert de Rn.

Nous en deduisons rapidement que l'intersection de ces ouverts est non vide en

observant des t tels que ts,i soit suffisamment grand pour (s, I) ^ E1 (par exemple,

tsj ^ 2max{mc(F) — mc(E)/F G Em*(c),F •£ E}) et ts,i soit suffisamment petit

mais non nuls pour (s, /) G E1 (par exemple, taj < carldtE\ mm{mc(F) — mc(E)/F G

Em*(c), F1 C E1}). Par consequent l'intersection de ces ouverts est un ouvert non

vide de E". Aussi VC{E) est un polyedre de dimension n. D

Nous aimerions montrer que cette projection est connexe. Ceci pourrait s'expli-

quer en partie par le fait que nous supposons que la concurrence est toujours en

mesure de repondre a la demande des clients.

Par contre, si nous ne faisons pas cette hypothese, alors nous pouvons voir ra

pidement que la projection de la region induite n'est plus necessairement connexe.

Ceci est du aux contraintes de niveau superieur, car ce sont les seules qui influent

sur les variables de premier niveau.

Pour le voir, modifions l'exemple initial en remplagant l'objectif d'audience du

premier client par 60 et celle du second client par 70. La concurrence ne peut plus

alors satisfaire a elle seule la demande du client 1 ou du client 2.

Sur la figure 3.2, on constate comment le changement d'une contrainte superieure

rend l'ensemble considere non connexe.

Le premier graphe correspond a la projection sur (M+)2 de la region induite dans

le cadre de l'exemple modifie. La ligne en traits gras, indique par des pointilles,

delimite les polyedres d'optimalite pour le second client. Sur le second graphe, nous

41

0 10 20 30 40 0 10 20 30 40

Figure 3.2: Non connexite de la region induite.

avons modifies la contrainte superieure sur la duree de la tranche 1 en limitant celle-ci

a 60 secondes maximum.

Propriete 5 Supposons que la concurrence peut toujours repondre a la demande

des clients. Alors, pour le programme biniveau defini par (3.1)-(3.7), la projection

de la region induite sur W1 est non vide et connexe, oil n = card(Ul) x card(L).

Avant de demontrer la propriete 5, nous allons montrer un resultat intermediaire.

Propriete 6 Nous supposons toujours que la concurrence peut repondre a la de

mande des clients. Soit c € C, soit E G Em*(c) tel que E ^ 0. Considerons

(s', I') eE et £,,,,/ Vensemble {G € Em*{c)/Gl C E\ (s', V) $ G1}.

42

Alors, pour tout F G Ssiy qui verifie le minimum de {mc(G)/G G £s',i'}, FC(E) n

VC{F) est non vide et forme un polyedre de dimension au moins n — card(El) +

card(Fl).

Demonstration :

Nous considerons c, E et (s', /') tels que presenter dans l'enonce de la propriete.

Pour demontrer ce resultat, nous partons d'un vecteur t de VC{E) que nous modifions

jusqu'a atteindre la frontiere de ce polyedre.

Avant cela, nous pouvons rapidement remarquer que le minimum de {mc(G)/G G

Em*(c), G1 C El, (s', V) <£ G1} est egal au minimum de {mc(G)/G G Em*{c), G1 C

E1, (s', I') $. Gl, Gl maximal pour l'inclusion dans E1}. Ce resultat est du a (3.8) et

(3.9).

Soit done t G VC{E). Considerons F € £st# qui verifie le minimum de {mc(G)/G G

£s',i'}- Cet ensemble est bien defini et non vide car le polyedre d'optimalite associe

a l'allocation optimale chez la concurrence en est element. Nous modifions alors t :

V(s, I) G F1 ta>i = e

V(s, I) i E1 tsJ ~ +oo

D'apres les remarques 1 et 2, t est toujours element du polyedre d'optimalite de

E. On peut supposer que e est suffisemment petit et non nul en prouvant que les

polyedres d'optimalite sont de dimension n. De la meme fagon, en s'appuyant sur le

meme argument, on peut supposer que V(s,Z) G E^F1 tsj > 0. Nous affinerons

par la suite de la demonstration la valeur que peut prendre e. Nous notons alors

t*s, v la valeur limite de tsiy telle que si ts'^ ^ t*s, v alors t est element de VC(E) et si

ts',i' > t*, v alors t n'appartient plus a VC{E). Notons t* le vecteur de prix associe.

43

Notons alors M l'ensemble minimal non domine tel que t*+ soit element de

VC{M), mais pas de VC(E). II s'agit maintenant de montrer que M1 — F1.

Nous pouvons deja voir que (s', /') ^ M1. En effet, l'expression de la minimalite

de M doit nous donner en augmentant la valeur de t^^que

E S / - E K/^ mc(E) - mc(M)

Pour que ce terme intervienne dans cette inegalite, il faut necessairement que (V, /') ^

M1 vu qu'il est element de E1 par hypothese.

Montrons maintenant que Ml C E1. Nous avons par hypothese sur t*+

E *h+ - E K/^ mc(E) - mc(M)

E < / < mc(E)-mc(M)+ E fh+

E *«V < +°° (s,/)GM1\£'1

Or, etant donne comment a ete modifies le point initial t, on en deduit necessairement

que l'ensemble M1\£^1 est vide. Autrement, la somme vaudrait +00, ce qui serait

absurde.

Montrons maintenant que M1 est egal a F1. Soit F € £s',i' Qui verifie le minimum

de {mc(H)/H E £s',i'}- La encore, comme t*+ est element de VC{M), nous avons :

E fh+ - E K,+^ me(F) - mc(M) (s^SM^F1 (s,l)<EF1\M1

En ayant alors choisit e tel que

—^^{tj/^o^V1}

44

on en deduit que si M 1 \ F 1 ^ 0 alors on aura :

°< E fh+- E e ^°

D'ou par l'absurde, on en deduit que MX\FX = 0 pour un tel choix de e. Done

M1 C F 1 .

Par la suite, nous avons par hypothese en reecrivant l'optimalite de M par rap

port a F :

0 ^ mc(M) - mc(F) ^ E e ^ card{El) * e (s,/)eF1\M1

II suffit alors ici d'avoir :

0 ^ e < * * min{mc(#) - mc(F)/H e £a;V, mc(H) ^ mc(F)}

Si ce minimum n'existe pas car l'ensemble en question est vide, alors on en deduit que

mc(M) = mc(F) comme M € Ss',i'- Sinon, notons e** le minimum de ce majorant et

du majorant defini pour montrer que M1 C F1. Comme il n'y a qu'un nombre fini

d'elements dans l'ensemble en question, ce majorant est strictement positif. Alors,

pour e < e**, M verifie le minimum. Ainsi dans tous les cas, pour e suffisemment

petit mais non nul, on sait que M1 C F1 et que M verifie le minimum voulu. Done

d'apres (3.9), M1 = F 1 pour de telles valeurs de e.

Comme e est non nul, nous deduisons des remarques 1 et 2 que le polyedre

d'intersection contient une boule ouverte pour la topologie induite sur M.k ou k =

n — car^E^+car^F1). En consequence, le polyedre d'intersection est de dimension

au moins k. •

Cette propriete nous permet de comprendre un peu mieux la disposition des

polyedres d'optimalite dans la projection de la region induite. Pour un polyedre

45

d'optimalite donne, nous pouvons determiner certains de ses voisins. Comme les

limites d'un polyedre d'optimalite ne dependent que des polyedres limitrophes, ceci

nous permet d'avoir une approximation de la forme du polyedre en question.

Remarque 3 :

En observant la figure 3.1, nous constatons que pour un ensemble E E Em*(c),

les polyedres d'optimalite limitrophes avec VC(E) ne sont pas necessairement des

ensembles F tels que Fl C E1. Par exemple, si on considere le client 2, on peut voir

que les polyedres d'optimalite associes a { ( l , l , l ) } e t { ( l , l , 2 ) } sont limitrophes.

A l'aide de la propriete 6, nous pouvons prouver la propriete 5 dans le cas d'un

seul client.

Demonstra t ion :

Pour demontrer le result at, etant donne la nature polyedrale des ensembles consi-

deres, il suffit de montrer que pour tout polyedre d'optimalite associe a un ensemble

minimal non domine qui verifie les contraintes de niveau superieur, il existe un che-

min continu entre tout point de ce polyedre et tout point du polyedre d'optimalite

correspondant a l'ensemble de spots proposes uniquement par la concurrence.

Soit E E Em*(c) tel que E verifie les contraintes de niveau superieur du modele.

Soit (s',l') E El, alors d'apres la propriete 6, nous considerons F E Em*(c) tel

que F 1 C E1, {s',l') <£ F1 et VC(E) n VC(F) est non vide. Alors la reunion de ces

deux polyedres est connexe. Par ailleurs, comme E verifie les contraintes de niveau

superieur, F les verifie egalement. En procedant ainsi, on peut construire une suite

46

finie de polyedres (Fj) tel que :

V? F1 , C Fl

Vi Fl verifie les contraintes de niveau superieur

Vz I ) Vc(Fi) est connexe 0<fc<i

Comme le nombre d'elements dans E1 est fini, on finit par avoir i^1 = 0 a partir

d'un certain rang. On a ainsi prouve notre resultat.D

II resterait a prouver la propriete 5 pour le cas ou card(C) > 1.

Nous cherchons maintenant a connaitre des proprietes sur les points extremes

des polyedres d'optimalite. Pour ce faire, nous definissons les matrices d'optimalite.

Definition 7 Solent c EC, soit E E Em(c). On appelle matrice d'optimalite de E

la matrice notee ME qui definit les contraintes sur t1 associees a VC(E).

Nous avons vu plus haut que, pour c £ C, card(Em*(c)) < 2n, ou n = It/1! * |L|.

On considerera done qu'une matrice d'optimalite d'un ensemble minimal est une

matrice 2n x n.

Propriete 7 Soit c E C. Soit M une matrice 2n x n. Alors il existe E E Em*{c)

tel que M = ME si et seulement si :

- I e { - l ; 0 ; l } f x " ;

- les colonnes sont a valeurs uniquement dans {0; 1} ou uniquement dans { —1; 0} ;

- chaque colonne a exactement 2n~1 termes non nuls;

- toutes les lignes sont differentes deux a deux.

47

Demonstration :

Supposons d'abord qu'il existe E G Em*{c) tel que M = ME- Alors, pour

F G Em*(c), on doit avoir :

De ceci, on deduit que pour la ligne associee a F dans M, les coefficients sont a

valeurs dans {0; 1; —1}. Done plus generalement, les coefficients de M sont a valeurs

dans {0; 1; —1}.

Soit maintenant (s, I) G E1. Dans l'expression de la contrainte ci-dessus, le coef

ficient devant tlal vaut 1 si (s, I) ^ F1 et 0 sinon. Done les coefficients de la colonne

associee a (s, I) sont a valeurs dans {0;1}. A contrario, soit (s,l) fi E1. Cette fois,

dans la contrainte ci-dessus, le coefficient devant t] l vaut 0 si (s, I) ^ F1 et -1 sinon.

Ainsi, les coefficients de la colonne associee a (s, I) sont a valeurs dans { — 1; 0}.

Soit maintenant (s, /) G (U1 x L). Supposons que (s, I) soit element de E. II y a

exactement 2 n _ 1 sous-ensembles de U1 x L dont (s, /) est element. Pour chacune des

lignes correspondantes aux ensembles minimaux engendres par ces sous-ensembles,

le coefficient correspondant a (s, /) vaudra 0. De la meme facon, si (s, I) ^ E, on sait

qu'il y a exactement 2 n _ 1 sous-ensembles de U1 x L dont (s, /) n'est pas element.

Done pour chacune des lignes correspondantes aux ensembles minimaux engendres

par ces sous-ensembles, le coefficient correspondant a (s, /) vaut 0.

Soit une ligne donnee de ME et soit (s, I) G U1 x L. Alors, d'apres ce qui precede,

soit la colonne pour (s, I) est a valeurs dans {0; 1} soit dans {—1; 0}. Dans le pre

mier cas, si le coefficient en (s, I) vaut 1, alors (s, I) n'est pas element de l'ensemble

correspondant a cette ligne et y appartient s'il vaut 0. Dans le second cas, (s, I) est

element de l'ensemble en question si le coefficient vaut -1 et ne l'est pas sinon. Par

consequent, une ligne definit de facon unique un sous-ensemble de U1 x L. Or les

48

sous-ensembles de U1 x L sont deux a deux distincts. Par consequent, les lignes de

ME sont deux a deux distinctes.

La reciproque est immediate.•

Dans le cadre de l'exemple precedent, on peut voir que les points extremes de

chaque polyedre d'optimalite pour un ensemble minimal associe a un client ont leurs

points extremes entiers.

Nous avons essaye par la suite de montrer que ces matrices pouvaient etre totale-

ment unimodulaires a l'aide de la caracterisation qui precede et d'une recurrence sur

le cardinal de Ul x L. C'est la que nous nous sommes rendu compte avec l'exemple

qui suit que ce n'est pas toujours le cas.

Considerons le cas ou card{Ul) = 1 et card(L) = 3. Supposons que E ={(1; 1; 1);

(1; 1; 2); (1; 1; 3)}, {(1; 1; 1)}, {(1; 1; 2)} et {(1; 1; 3)} defmissent des ensembles minimaux

pour un client donne qui veriflent (3.8), ceci ne depend que des masses des ensembles.

Alors, la matrice d'optimalite de E contient la matrice 3 x 3 suivante, a permu

tation pres des lignes :

(°x M 1 1 0

V1 ° i / Cette matrice a pour determinant —2, done la matrice d'optimalite consideree n'est

pas totalement unimodulaire. En consequence, rien ne garantit l'integrite des points

extremes des polyedres d'optimalite.

49

CHAPITRE 4

ALGORITHME DE RESOLUTION

La notion d'ensemble minimal non domine rappelle celle de chemin dans le cadre

d'un probleme biniveau dont le probleme de second niveau est un probleme de flots.

Nous pouvons par exemple nous referer a [8] pour plus de details sur ces chemins

et sur les algorithmes de resolution qui en decoulent. Parmi ceux-ci, il s'agit de

determiner tous les chemins du reseau pertinents puis d'exprimer le modele biniveau

non plus en fonction des arcs mais uniquement en fonction de ces chemins. Nous

pourrions etre tentes d'en faire de meme en utilisant les ensembles minimaux non

domines, si le nombre de ceux-ci n'est pas trop grand.

Premierement, nous tactions d'obtenir un ordre de grandeur du nombre d' en

sembles minimaux non domines relativement a un client. Ensuite, en fonction des

resultats obtenus, nous elaborons un algorithme de resolution du probleme.

4.1 Generation des ensembles minimaux non domi

nes

Nous savons desormais que l'ensemble des points realisables pour le probleme de

second niveau est constitue d'ensembles minimaux non domines pour chaque client.

On peut eventuellement envisager de resoudre directement notre probleme biniveau

en considerant uniquement cet ensemble de variables.

Pour ce faire, nous devons d'abord connaitre des ordres de grandeur du nombre

50

d'ensembles minimaux, pour un client, non domines, existant dans une instance.

Comme il n'y a pas de contraintes d'inventaire chez la concurrence dans notre

modele, nous savons d'apres (3.8) qu'il y a au plus 2card{~u )*card(L) ensembles mini

maux non domines pour un client c G C donne. Pour un sous-ensemble E1 donne

de U1 x L, il faut determiner un sous-ensemble E2 de U2 x L tel que E1 U E2 soit

minimal et de masse fixe minimale. La resolution de ce probleme revient a resoudre

le probleme en variables binaires suivant :

min J2 (%,i + wli,c)xh,c (s,i)eu2xL

s.a Y as,i,d^s,i,c ^ Ac~ Y as,i,d (s,l)&U2xL (s,l)eEl

d(c)eD(s) D(c)eD(s)

Y as,i4xli,c <Ac~ Y as>l>d + mmR,w/(s> 0 e E1, D(c) e D(s)} (s,l)£U2xL (s,/)e£1

D(c)£C(s) D(c)€D(s)

<,,c e {o, 1}

Ce programme est rapidement resoluble par CPLEX a l'aide d'un simple branch-

and-bound. II faut toutefois noter que CPLEX ne resout pas les problemes avec des

inegalites strictes. Nous pouvons ici contourner cette difficulte en observant que tous

les termes de cette inegalite sont des entiers naturels. Par consequent, si on ajoute

1 au terme de gauche, on obtient alors une inegalite qui n'est plus stricte et qui est

equivalente avec la formulation precedente.

L'objectif assure que la masse fixe de l'ensemble obtenu sera minimale. La pre

miere contrainte assure que l'audience totale sera plus grande que A^ mais aussi

que :

Y a lw+ Y ali,d-ah',d< Ac V(s',l')eE2

(stfeE1 (s,i)eE2

51

Ceci ne nous permet pas de conclure que l'ensemble ElUE2 est minimal. II faut aussi

que cette inegalite fonctionne pour tout (s1,1') G E1, c'est pourquoi Ton rajoute la

deuxieme contrainte qui assure que :

Yl ali4+ Y, ali,d-al',i',d< Ac VisWeE1

(stfeE1 (s,l)€E2

Nous avons par la suite effectue differentes simulations en modifiant les para-

metres afin d'obtenir une idee de leur influence sur le nombre d'ensembles minimaux

non domines resultants. Les parametres que nous avons modifies sont : le nombre

de tranches publicitaires, l'intervalle d'audience et l'intervalle de desutilite chez la

chaine leader ou chez la concurrence, l'intervalle de prix chez la concurrence et enfin

l'objectif d'audimat pour le client. Nous avons systematiquement verifie pour chaque

instance que la concurrence etait capable seule de satisfaire la demande du client.

Nous pouvons lire sur les tableaux 4.1, 4.2 et 4.3 les resultats obtenus pour la

generation des ensembles minimaux non domines.

Ici, nous nous sommes arretes a l'etude de petites instances pour la generation

d'ensembles minimaux non domines. En effet, au vu du temps de resolution ne-

cessaire dans ce cadre, nous n'avons pas cherche a observer les resultats pour des

instances de plus grande taille. En effet, dans le premier cas, il a fallu en moyenne

au moins 6 minutes pour chaque instance pour generer tous ces ensembles. Dans le

second cas, il a fallu au moins 2 heures en moyenne pour chaque instance. Enfin,

dans le dernier cas, il a fallu en moyenne 4 minutes.

Comme indique sur les tableaux, nous avons constate que plus la variance aug-

mente lors de la generation des instances, notamment pour la desutilite et les prix,

moins il y a d'ensembles minimaux non domines.

Dans le cadre de plus grande instances, nous aurions au moins a considerer une

52

Tableau 4.1: Peu de variance dans le jeu de donnees. 5 tranches publicitaires pour le leader, 30 pour la concurrence, objectif d'audience 500.

Parametres L. C.

Audience minimale Ecart d'audience Desutilite minimale Ecart de desutilite Prix minimal Ecart de prix

40 40 10 10 --

10 20 20 40 20 40

Instances

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ensembles minimaux

27679 23362 24944 24316 27002 26831 27192 26946 24449 22757

Ensembles minimaux non domines

27679 23272 24941 24293 27002 26785 27190 26946 24449 22578

Ecart (%) 0

0,3 0,0 0,0 0

0,2 0,0 0,0 0,0 1,8

Tableau 4.2: Variance moyenne dans le jeu de donnees. 6 tranches publicitaires pour le leader, 6 pour la concurrence, objectif d'audience 500.

Parametres L. C.


30 40 10 10 --

30 50 20 40 20 40

Instances

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ensembles minimaux

172445 163116 232801 210347 196235 224227 167777 224743 169788 221995


92220 56466 138336 126946 92088 150184 94987 114521 84873 135137

Ecart (%) 46,5 65,4 40,6 39,6 53,1 33,0 43,4 49,0 50,0 39,1

Tableau 4.3: Grande variance dans le jeu de donnees. 6 tranches publicitaires pour le leader, 40 pour la concurrence, objectif d'audience 500.

Parametres C.


10 100 20 100

--

20 150 30 110 30 110

Instances

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ensembles minimaux

26703 21698 24517 18364 20194 28352 25667 23553 22266 27570


6 14 18 6

23 17 96 12 18 16

Ecart (%) 99,9 99,9 99,9 99,9 99,9 99,9 99,6 99,9 99,9 99,9

53

dizaine de clients ce qui augmenterait sensiblement le temps de generation de ces

ensembles minimaux non domines.

4.2 Algorithme exact de resolution

Comme le nombre d'ensembles minimaux non domines est finalement trop im

portant, en general, nous adaptons notre approche pour resoudre le probleme.

A l'instar de la generation de colonnes, nous allons considerer progressivement

des ensembles minimaux non domines pertinents au lieu de les prendre tous en

compte dans le modele. Ceux-ci vont etre generes au fur et a mesure mais dans le

cadre d'une generation de coupes.

L'idee part de l'observation que les solutions du probleme de second niveau sont

des ensembles minimaux non domines pour chaque client. De plus, pour un vecteur

de cout donne, la resolution du probleme de second niveau consiste a resoudre un

probleme de sac-a-dos pour chaque client, facilement resoluble.

Par la suite, dans le cadre de l'algorithme nous allons nous interesser au pro

bleme biniveau relaxe, tel que presente dans la partie 2.4. II va s'agir de resoudre le

probleme biniveau relaxe, auquel sera progressivement ajoute des coupes.

L'algorithme fonctionne de la fagon suivante. Au lieu de considerer le probleme

biniveau, nous considerons le probleme biniveau relaxe.

A l'etape 0, nous linearisons les termes bilineaires dans le modele puis nous

ajoutons les coupes qui indiquent que le cout total pour chaque client ne peut

depasser le cout du meilleur ensemble de spots proposes par la concurrence. Nous

resolvons le probleme ainsi obtenu.

54

Nous verifions ensuite que notre solution est element de la region induite en

calculant la valeur du probleme de second niveau defini par le vecteur de prix obtenu

en resolvant le probleme biniveau relaxe. Si c'est le cas, nous avons trouve une

solution optimale du probleme biniveau.

Sinon, la disposition obtenue en resolvant le probleme de second niveau permet

de definir une coupe pour chaque client que Ton ajoute au probleme biniveau relaxe.

Cette coupe signifie que pour chaque client, la disposition optimale dans le probleme

biniveau relaxe lors de la prochain iteration doit avoir un cout inferieur au cout de

la disposition obtenue apres resolution du probleme de second niveau associe au

vecteur de prix obtenu a cette iteration.

Nous resolvons alors a nouveau le probleme biniveau relaxe, puis repetons les

etapes qui consistent a verifier que notre solution est element de la region induite

puis si ce n'est pas le cas a ajouter des coupes au probleme.

Detaillons chaque etape.

4.2.1 Initialisation

Pour chaque client c G C donne, on resout le simple probleme de sac-a-dos sui-

vant. La valeur de l'objectif que Ton notera Rc determine alors une borne superieure

sur le cout total pour chaque client.

mm Yl (*«,* + wliJxli,c

S.a Yl as,l,dxh,c ^ 4: {s,l)eli2xL D(c)GD(s)

< / ) C e { 0 ; l } Vs,leU\L

55

Rappelons que nous avons fait l'hypothese que la concurrence est en mesure de satis-

faire la demande de chaque client, ce qui signifie que ce probleme admet une solution

optimale. Nous ajoutons ensuite au probleme relaxe la contrainte ^(s,nec/1xL(^,/ +

ws,l,c)xs,l,c + /Li(s,l)£U2xL\ts,l + ws,l,c)xs,l,c ^ ^c -

Le probleme relaxe ainsi obtenu presente des termes bilineaires. A l'aide de tech

niques utilisees dans [13], nous linearisons le probleme. Voici le probleme initial

considere par la suite :

56

Probleme relaxe initial

max tl,xl,x2,Tl

/ j / J 1s,l,c ceC sJ&J1,!,

s.a J2<i,c<Jli VstleU\L ceC

l€L ceC

E a»,i4xls,i,c + E a',Wxh,c > &c VceC s,ieul,L s,ieu2,L

D(c)GD(s) D(c)£D(s)

s,ieul,L s,ieu2,L

- MaU(l - x\u) ^ TxsU - tl < MsU(l - x\u) Vc, s,leC,U\L

- Ms,,iCa£i,c < T ^ c < MS)/iCxi,>c Vc, s,leC,U\L

</ ) C e{0 , i } Vi ) S ) l ) ce{i ) 2} ) [ / 1 ,L I c

T ^ O Vc,8,lzC,U\L

t\tl ^ 0 Vs,leU\L

Pour fixer la valeur de MS;;;C, on sait deja que le prix d'un spot publicitaire ne peut

pas etre plus eleve que maxi?c, pour c e C. On peut par la suite affiner la valeur de

Msj:C a l'aide de la contrainte sur le cout total pour le client c. En effet, comme on

a :

E Tll,c + Wh,cXl,l,c+ E (t2s,l + Wll,c)Xll,c^m^Rc *•—' *•—' ceo s,leUl,L s,l€U2,L

on sait que TsU ^ maxc6C-Rc - J2s,ieu^Lwl,i,cxl,i,c ~ 12 s,ieu2,1(^,1 + wh,c)xli,c-

Ainsi TS)/jC < maxcec Rc — w\ic — ®s,i,c * Ps,i,c ou aStitC est le nombre minimal de

spots supplement aires necessaire pour que le client c atteigne son objectif d'audi-

mat et /?s / c est le minimum de la desutilite pour un spot. Par la suite, on a utilise

57

une majoration de as^c. On note d la categorie demographique du client en question.

as,i,c > (Ac- wlu)/(m&x{as,j/)d/(s', I') ^ (s, /)})

Ps,l,c = m i n { W s ' , * ' , c / ( S ' > I') ^(S,l),i= 1 , 2 }

4.2.2 Probleme relaxe modifie et generation de l'ensemble

minimal

On resout le probleme relaxe modifie et le probleme de second niveau en utilisant

le solveur commercial CPLEX, les parametres du solveur sont fixes par defaut. Le

probleme relaxe modifie est un probleme mixte en nombres entiers. Le probleme

de second niveau a resoudre correspond a un probleme de sac-a-dos separable par

client.

Notons t1'*, x1'*, x2'* la solution optimale du probleme relaxe modifie, obtenue

apres resolution par CPLEX. Nous verifions alors que, pour tout client c, (t1'* +

wl).xl'* + (t2'* + w2).xl'* est egal a la valeur optimale de l'objectif du probleme de

second niveau defini par t1'* pour le client c.

Comme xl'*,x2'* est solution du probleme relaxe modifie, ils verifient bien les

contraintes de niveau superieur. Par consequent, si la condition de test est verifiee

pour tout client c, alors cela signifie que t1'*, x1'*, x2'* est element de la region induite

du probleme biniveau. Or, ils realisent le maximum de l'objectif du probleme sur

un ensemble qui contient la region induite. Par consequent, ils forment une solution

optimale du probleme bi-niveau.

58

4.2.3 Generation des coupes

A l'inverse, si la condition de test n'est pas verifiee pour un des clients (notons

c° un de ces clients), cela signifie que x1'*^2'* n'est pas une solution optimale du

probleme de second niveau defini par t1'* et par consequent que t1'*, x1'*, x2'* ne

ferment pas un element de la region induite. Ceci signifie qu'il existe des clients c

tels que t1'* n'est pas element du polyedre d'optimalite de xl'*,x^*. On peut done

chercher a couper t1'*, x1'*, x2'* sans couper des elements de la region induite. Pour

ce faire, on utilise x\£*{i) et x2£Ji), une solution optimale du probleme de second

niveau associe a t1'* a l'iteration i. Pour tout client c, t1'* est element du polyedre

d'optimalite de l'ensemble minimal non domine pour c defini par x i9^(i)c et x^Ji)^

On en deduit alors une coupe pour chaque client c € C.

/ j (ts,l + Ws,l,c)Xs,l,c + 2-^ ^s<1 ~^~ Ws,l,c)Xs,l,c ^

s.iet/1,!, sjeu2,L

s,l€Ux,L s,leU2,L

Une fois celle-ci linearisee, on obtient :

/ j ^s,l,c + Ws,l,cXs,l,c + 2-J ^s'1 ~*~ Ws,l,c)Xa,l,c ^ s,leUl,L s,l&U2,L

s,leU\L a,leU2,L

Cette coupe signifie que le cout total pergu par tous les clients dans la disposition

choisie doit etre plus petit que le cout total pergu pour la disposition xinf(^)^xinf(^)-

On verifie immediatement qu'elle coupe bien i1'*, x1'*, x2"*. Elle est bien verifiee par

tout element de la region induite. En effet, a premiere vue, nous aurions pu seulement

generer la coupe qui correspond a la somme pour tous les clients de ces inegalites.

Toutefois, si pour un client donne la coupe n'est pas verifiee, nous constatons rapi-

dement que nous pouvons engendrer un ensemble de valeur strictement plus petite

59

pour le probleme de niveau inferieur.

Precisons un dernier point sur ces coupes. Certes, x^J^^x^Ji) peut ne pas

verifier les contraintes de niveau superieur. Cela ne pose pas de problemes. La prise

en consideration de ce vecteur d'allocation a pour but de couper les valeurs possibles

du vecteur de prix pour une allocation donnee. t1'*, x1'*, x2'* verifie toujours les

contraintes de niveau superieur. II faut ensuite s'assurer que x1'*^2'* est solution

du probleme de second niveau defini par t1'*. C'est le role de ces coupes qui sont

ajoutees a chaque iteration.

4.2.4 Validite de l'algorithme

Theoreme 1 Sous les hypotheses du modele, l'algorithme resout le probleme en un

temps fini.

Demonstration :

A chaque iteration de l'algorithme, nous ajoutons au moins une coupe liee a une

combinaison d'ensembles minimaux non domines au probleme biniveau relaxe, si

une solution optimale n'est pas trouvee. Au pire des cas, nous ajouterons une coupe

pour chaque combinaison d'ensembles minimaux non domines possible. II y en a un

nombre fini car il y a un nombre fini de spots publicitaires.

De plus, chaque combinaison ne peut etre visitee qu'une seule fois. Dans le cas ou

une combinaison est visitee deux fois, on deduit rapidement que la solution optimale

du probleme relaxe est alors solution optimale du probleme biniveau. Ainsi, une fois

toutes ces coupes ajoutees, la resolution du programme biniveau relaxe fournira une

solution optimale.

II y a ainsi un nombre fini de problemes a resoudre pour atteindre une solution

60

optimale. Chaque probleme est resoluble en temps fini. L'algorithme resout done le

probleme en un temps fini.D

Nous resumons les differentes etapes de l'algorithme :

Algorithme de generation de coupes associees a des ensembles minimaux

Etape 0 : Initialisation

On determine pour chaque client la combinaison optimale de spots publicitaires

en ne considerant que l'inventaire chez la concurrence.

On ajoute au probleme relaxe la contrainte de prix pour chaque client associe

a la concurrence et on linearise le probleme obtenu.

i = 0.

Etape 1 : On resout le probleme relaxe modifie. On obtient t1'* ,x1'* et x2'*.

Etape 2 : Generation de l'ensemble minimal1

On resout le probleme de second niveau avec t1'* pour chaque client c. On

obtient x]£f{i)c et x*£f{i)c.

Si pour chaque client c, (i1 '*+wc1)-^'*+(t2+^)-x^* = (t1'*+w1

c)-x1in*f(i)c+(t2+

w2c) • XfoAijc, alors t1'*^1'* et x2'* forment une solution optimale du probleme

bi-niveau. On arrete l'algorithme.

Sinon, on passe a l'etape 3.

Etape 3 : Generation des coupes

Pour chaque client c qui ne verifie pas l'egalite enoncee a l'etape 2, on engendre

la coupe relativement a xi9^(i)c et xi9^(i)c. On la linearise puis on l'ajoute au

1Excepte pour a ; ^ ( i ) c et x^AVjc, pour tout vecteur v, le vecteur vc designe ici le sous-vecteur

de v compose uniquement des coordonnees relatives au client c.

61

probleme relaxe modifie. On retourne ensuite a l'etape 1.

i *- i + 1.

4.3 Exemple d'application de l'algorithme

Afin de comprendre le fonctionnement de l'algorithme, nous allons l'appliquer

sur un petit exemple. Pour ce faire, nous reprenons celui etudie a la section 3.3

auquel nous rajoutons un client et modifions les contraintes au niveau superieur.

JafX2 *1,12'1,1,1 + ^1,2X1,2,1 + ^1,1^1,1,2 + ^1,2^1,2,2

s.a xxll +xlx2 < 2

1 i X l ,2, l + Xl,2,2 ^ ^

15(xl)ltl + x\X2) + 30(4 2 j l + x[>2t2) ^ 75

min (t\A + 5)x{hl + (t{2 + 15)x\A1 + 1 7 4 u + 42xfi2>1+

(*i,i + 15)x11)2 + (£12 + 5)xli2)2 + 23xljlj2 + 27:r1)2)2+

(*i,i + 10)^i,i,3 + (t\,2 + W)*\,2,3 + 40x?>li3 + 50x?)2)3

s.a 20a;|)lil + 30x|i2il + l5xlAA + 40xi)2il ^ 50

20a;i,i,2 + 30a;i,2,2 + 15aail>2 + 4 0 ^ 2 2 > 55

20I} I 1 | 3 + 30a;}i2i3 + 15x?)1)3 + 40a£2i3 > 45

xli,c^h,c£ {0,1} W e {1,2} Vc £{1,2,3}

^1,1' ^1,2 — 0

Les ensembles minimaux non domines pour les clients 1 et 2 restent les memes

que precedemment. Pour le client 3, ces ensembles minimaux sont :

62

Client 3

Ensemble minimal

{(1,1,1), (2,1,2)}

{(1,1,2), (2,1,1)}

{(1,1,1), (1,1,2)}

{(2,1,1), (2,1,2)}

Prix

<i,i + 60

ti,2 + 50

ti,i + ti )2 + 20

90

A partir de ceci, nous pouvons representer sur la figure 4.1 Fensemble des poly-

edres d'optimalite pour chaque client.

— Client 1

— Client 2

— Client 3

h

1,2

2

2

<*

0

2

2

2

2

2

ssssssssssssiisss. 10 12 40

i 50

Figure 4.1: Polyedres d'optimalite

Sur cette figure, pour chaque polyedre delimite, nous avons indique la combi-

naison de spots publicitaires fournie par la chaine leader pour chaque client. Ainsi,

pour chaque polyedre, la premiere ligne correspond au premier client, la deuxieme

au second et ainsi de suite. Un 1 indique un spot publicitaire de la tranche 1, de

63

longueur 15 secondes. Un 2 indique un spot publicitaire de cette meme tranche mais

de longueur 30 secondes. Un 0 indique aucun spot fourni par la chaine leader. Par

exemple, pour le polyedre en haut a gauche du graphe, chaque client est pourvu

d'un spot publicitaire de 15 secondes dans la tranche 1 par la chaine leader.

Pour les valeurs des prix se trouvant dans la zone grisee, la combinaison des

ensembles minimaux optimaux pour ces prix, associes a chaque client, ne verifie

pas les contraintes de niveau superieur du probleme biniveau. Nous pouvons ainsi

remarquer que la projection de la region induite sur l'espace des prix n'est pas

convexe.

Observons maintenant le comportement de l'algorithme sur cet exemple. L'al-

gorithme s'interrompt apres 3 iterations, nous resumons les resultats de chaque

iteration dans le tableau 4.4.

Tableau 4.4: Iterations de l'algorithme sur un exemple

Iteration

1

2

3

Disposition dans le PMR

0

2

1,2

1

0

1,2

0

0

1,2

Objectif du PMR

88

82

70

Vecteur de prix

*i,i = 52

*1,2 = 18

*i,2 = 58

*i,i = 30

h,2 = 40

On a represents sur la figure 4.1 les differentes valeurs des prix a chaque iteration.

64

Tableau 4.5: Classement des ensembles minimaux non domines par masse fixe

Clients

Client 1

Client 2

Client 3


mc(0)

59

50

90

mc({l,2})

20

20

me({l})

47

42

60

mc({2})

57

32

50

A la vue de ces resultats, nous pouvons donner une premiere interpretation

economique en considerant les ensembles minimaux non domines pour chaque client

qui presentent la plus petite masse fixe.

Pour un client donne c, pour E G Em*(c), le revenu maximum que peut gene-

rer la chaine leader en vendant au client c les spots publicitaires associes a E est

mc(0) — mc(E). mc(0) represente le meilleur cout pour le client c s'il ne considere

que l'inventaire de la concurrence pour satisfaire son objectif d'audience.

Ainsi parmi ces ensembles minimaux non domines, en considerant individuelle-

ment les clients, ceux qui ont la plus petite masse fixe offrent le plus grand benefice

potentiel pour la chaine leader.

Dans le cadre de notre exemple, regardons quels sont ces ensembles et quels

benefices ils offrent pour la chaine. Comme notre exemple est de petite taille, nous

avons consigne tous les ensembles minimaux dans le tableau 4.5.

Nous constatons qu'a la premiere iteration, la resolution du probleme maitre

relaxe renvoie la combinaison d'ensembles minimaux non domines qui respecte les

contraintes de niveau superieur du probleme biniveau et dont le benefice potentiel

pour la chaine leader est maximal. En l'occurrence, il s'agit de l'ensemble minimal

non domine {1, 2} pour le client 3 et de l'ensemble {2} pour le client 2.

65

Iteration 3

0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70

Figure 4.2: Evolution du polyedre d'optimalite de {1,2} pour le client 3

Toutefois, les valeurs des prix obtenues ne permettent pas d'obtenir la meme

valeur d'objectif au second niveau. Cela s'explique par une myopie a l'echelle du

probleme biniveau relaxe relativement aux prix de tous les ensembles minimaux

non domines interessant chaque client. Tout se passe au depart comme si, aux yeux

de la chaine leader, pour un ensemble minimal non domine choisi, propose a un

client, le seul "produit" concurrent etait l'offre de la concurrence. Cette myopie est

progressivement corrigee par l'ajout de coupes a chaque iteration, qui correspondent

a la mise en lumiere de "produits concurrents", egalement offerts par la chaine leader.

Ainsi, par exemple, pour l'ensemble minimal non domine {1,2} propre au client

3, retracons sur la figure 4.2 les contraintes sur les prix au fur et a mesure des

iterations. Nous notons ^({1,2}) l'ensemble des valeurs des prix possibles pour

l'ensemble minimal non domine {1,2} dans le probleme biniveau relaxe.

Le premier graphique sur la figure 4.2 correspond a la seule contrainte de prix

inferieure a l'offre de la concurrence. Le second graphique considere en plus la

contrainte de prix relative a l'ensemble minimal non domine {2} qui est ajoutee

au probleme maitre relaxe a Tissue de l'iteration 1. Enfin, le troisieme graphique

66

considere une contrainte supplementaire correspondant au prix de l'ensemble mini

mal non domine {1}, ajoutee apres l'iteration 2. Nous avons indique pour chaque

iteration les valeurs des prix a l'optimalite pour la resolution du programme maitre

relaxe.

A la lecture de la figure 4.1, nous constatons que la myopie relative a un client

donne, pour un ensemble minimal non domine dont le polyedre d'optimalite est

inclus dans l'ensemble des prix correspondant a des solutions non realisables au

premier niveau, ne prete pas a consequence. Ceci justifie le developpement d'un al-

gorithme de resolution qui ne tend pas a generer tous les ensembles minimaux non

domines possibles pour chaque client.

Nous pouvons remarquer egalement qu'a chaque iteration de l'algorithme, la dis

position pour chaque client correspond a un ensemble minimal non domine.

Par ailleurs, la solution optimale suggere une heuristique pour resoudre le pro

bleme biniveau. A savoir : classer les clients par ordre decroissant en fonction du

revenu maximal qu'ils peuvent generer pour la chaine. Ensuite, considerer le pro-

bleme biniveau uniquement pour le premier client, le resoudre avec l'algorithme

developpe. Fixer les valeurs non nulles obtenues. Resoudre apres le probleme bini

veau pour le second client, fixer les valeurs non nulles obtenues, et ainsi de suite

jusqu'au dernier client.

Si Ton applique cette heuristique a l'exemple, nous resolvons d'abord le probleme

pour le client 3. Nous obtenons apres 3 iterations £1,1,3 = £1,2,3 = 1 et £1,1 = 30 et

£12 = 40. Nous resolvons ensuite pour le client 1, ce qui donne £1,1,1 = £1,2,1 = 0,

67

puis pour le client 2, ce qui donne £1,1,2 = £1,2,2 = 0. Ceci correspond a la solution

optimale obtenue au prealable.

68

CHAPITRE 5

AMELIORATIONS DE L'ALGORITHME ET

HEURISTIQUE

La premiere limitation de notre algorithme est qu'il ne genere qu'une seule coupe

a chaque iteration par client. En etant capable de generer plus de coupes, nous

pouvons esperer que l'algorithme necessite moins d'iterations avant d'atteindre la

valeur optimale et fonctionne ainsi plus rapidement.

5.1 Ajout initial de coupes

La premiere idee consiste a aj outer des coupes au probleme avant le debut de

la resolution. Cette idee provient du constat sur nos premiers tests que, pour les

premieres iterations, la valeur du cout total pour chaque client, calculee a partir de

la disposition et des prix issus de la resolution du probleme relaxe, est egale a la

valeur de la meilleure disposition chez la concurrence mais que cette egalite n'est

plus verifiee pour tous les clients quand on atteint la valeur optimale du probleme

biniveau.

Dans les premieres iterations, c'est l'absence de coupes correspondantes aux en

sembles minimaux non domines dont le polyedre d'optimalite est "limitrophe" avec

le polyedre d'optimalite associe a la disposition chez la concurrence uniquement, qui

permet au vecteur de prix de prendre des valeurs trop grandes, en dehors du po

lyedre d'optimalite de l'allocation generee par la resolution probleme maitre. Nous

nous basons alors sur l'intuition que nous avons de la geometrie de la projection de

69

la region induite sur l'espace des prix, suggeree par la proposition 5. Celle-ci indique

premierement que les polyedres d'optimalite des ensembles minimaux non domines

minimaux pour l'inclusion1 dans Ul x L sont limitrophes avec le polyedre d'optima

lite associe a la disposition optimale dans la concurrence uniquement. C'est pourquoi

en generant les coupes associees aux ensembles minimaux de petite taille nous pou-

vons obtenir une premiejre approximation des polyedres d'optimalite limitrophe avec

le polyedre d'optimalite pour l'allocation optimale chez la concurrence.

Ainsi, pour appliquer cette idee, nous generons des coupes avant de lancer l'algo-

rithme. Nous definissons d'abord une taille maximale k d'ensemble minimal. Puis,

pour chaque client, nous generons tous les ensembles minimaux non domines de

taille au plus k et nous ajoutons la coupe associee pour chaque ensemble au pro-

bleme maitre.

Pour l'instant, la determination de k n'obeit pas a une regie en particulier. Nous

cherchons uniquement a eviter de generer un nombre trop important de coupes et a

utiliser trop de temps pour generer toutes ces coupes.

xPar ensemble minimal non domine minimal pour l'inclusion dans U1 x L, nous entendons un

ensemble E G Em*{c) tel que VF G Em*(c), si F1 C E1 alors F1 = 0.

70

5.2 Ajout progressif de coupes

L'idee precedente d'ajout de coupes permet d'ajouter un nombre significatif de

coupes au probleme maitre avant de commencer a le resoudre. Toutefois, le derou-

lement de l'algorithme est inchange : il n'y a qu'au plus une coupe qui est ajoutee

au probleme maitre par client.

De plus, l'analyse de l'exemple d'application de l'algorithme souligne deux points.

Premierement, pour chaque ensemble de spots publicitaires genere par la resolution

du probleme maitre, il y a une "myopie" relativement aux couts des autres ensembles

de spots. Deuxiemement, pour pallier a cette "myopie", il peut falloir plusieurs

iterations de 1'algorithme.

Enfin, pour chaque ensemble de spots Ec attribue par client a la resolution du

probleme relaxe, l'intuition de la geometrie de la projection de la region induite

nous suggere d'engendrer les ensembles minimaux non domines dont les spots pu

blicitaires attribues par le leader font partie de Ec.

Ainsi pour parer a cette "myopie", a chaque iteration, nous pouvons ajouter au

probleme relaxe, pour chaque client, les coupes associees aux ensembles minimaux

non domines generes par les sous-ensembles de l'ensemble des spots publicitaires

attribue au client par la chaine leader. En vertu de la propriete 5, nous savons que les

polyedres d'optimalite associes a ces ensembles defmissent une partie des frontieres

du polyedre d'optimalite de l'ensemble genere par la resolution du probleme si celui-

ci est un ensemble minimal non domine.

Nous avons par ailleurs observe sur nos simulations numeriques que les solutions

du probleme maitre relaxe definissaient generalement des ensembles minimaux non

domines. Ce resultat semble intuitif meme si nous n'avons pas su le demontrer. En

71

effet, plus la masse fixe pour un ensemble de spots relativement a un client est faible,

plus le revenu que peut potentiellement generer cet ensemble est grand.

La encore pour un client, le resultat se demontre plus simplement. Ceci peut

donner une intuition du phenomene dans le cas de plusieurs clients.

Propriete 8 Dans le cas d'un seul client, les valeurs des variables d'allocation de

la solution optimale du probleme biniveau relaxe definissent un ensemble minimal

non domine pour ce client.

Demonstration :

Nous considerons done un tel probleme biniveau relaxe. Supposons que nous

sommes a l'iteration k de l'algorithme, avec k ^ 0. Notons t*, x* la solution optimale

obtenue apres resolution. Nous pouvons supposer que t* • x* est strictement positif.

Notons E l'ensemble de spots associes a x*. Supposons par l'absurde que E n'est

pas un ensemble minimal non domine. On considere alors E' un ensemble minimal

non domine tel que mi(E') = min{mi(F)/F G Em*(l), Fl C E1}. E' existe bien et

son sous-ensemble de spots alloues par la chaine leader est non vide. En effet, on sait

que (t* + w) • x* ^ R1 ou R1 est la masse fixe associee a la disposition optimale chez

la concurrence uniquement. Par consequent, mc(E) < R1 puisque Ton a suppose

que t* • x* > 0. Aussi, puisque Ton suppose que E <£ Em*(l), cela signifie alors

que ce minimum est bien defini et n'est pas atteint pour la disposition optimale

chez la concurrence. On note alors x' le vecteur d'allocation associe a E'. On definit

P = (t* + w) • x* - (t* + w) • x', soit p = t*-(x*- x') + mi(E) - mi(E').

Soit alors (s, I) G El . D'apres ce qui precede, El est non vide done (s, /) existe

bien. Nous modifions t*sl par t* l + /?, notons t** ce nouveau vecteur de prix. Alors,

t**,x' est bien une solution realisable du probleme relaxe. En effet, x' verifie les

72

contraintes d'audience comme il est rattache a un ensemble minimal non domine,

mais aussi les contraintes d'inventaires car x* les verifie et E' C E. Par ailleurs,

comme (t** + w) • x' = t* • x' + rrii(E') + (3 = t* • x* + m\(E) = (t* + w) • x* et

que les valeurs du terme majorant des contraintes augmentent2, t**,x' verifient les

contraintes sur le cout pergu egalement. La valeur de l'objectif du probleme biniveau

relaxe vaut alors t* -x* +mi(E) — mi(E') ce qui est strictement plus grand que t* -x*

par hypothese sur E. Or t* • x* est la valeur optimale, c'est done absurde. Ainsi, E

est un ensemble minimal non domine.•

5.3 Heuristique : separation du probleme par client

Nous avons constate que pour un client, la resolution du probleme etait beaucoup

plus rapide. A partir de la, nous pouvons proposer une heuristique de type glouton.

Pour chaque client, nous determinons le prix de Pallocation optimale chez la

concurrence uniquement, puis le prix de l'allocation optimale quand tous les prix

des spots publicitaires de la chaine leader sont fixes a 0. La difference de ces deux

valeurs nous fournit le revenu potentiel maximal que peut generer la vente de spots

publicitaires a chaque client. Le calcul du prix de l'allocation optimale quand les

prix de l'inventaire de la chaine leader sont nuls consiste a resoudre le probleme de

second niveau associe au vecteur de prix nul.

Nous classons les clients par ordre decroissant de revenu potentiel maximal.

L'heuristique consiste alors a resoudre sequentiellement le probleme par client

tout en adaptant les contraintes sur les prix de fagon a conserver les allocations

2On considere ici les contraintes telles qu'elles ont ete ecrites dans 4.2.3

73

obtenues pour chaque client a chaque iteration de l'heuristique.

Pour le premier client, nous resolvons le probleme biniveau relaxe comme indique

dans la description de l'algoritlime exact. Ensuite, supposons que nous avons resolu

jusqu'au client i. Notons x(l),..., x(i) les vecteurs d'allocation et t(i) le vecteur de

prix obtenu. Nous considerons alors le probleme biniveau relaxe defini uniquement

pour le client i + 1 auquel nous rajoutons les contraintes suivantes :

t],i < t(i)lt si x{j)\t = 1 pour l ^ j ^ i

tl,i ^ t(i)l,i si x{j)lsl = 0 pour l ^ j ^ i

*«,i = Wli s inon

Alors d'apres les remarques 1 et 2 de la partie 3.5, nous en deduisons que nous

conservons les memes allocations pour les clients j , avec j allant de 1 a i, a la

resolution. Toutefois, ceci ne nous garantit pas l'existence d'un point realisable pour

le probleme biniveau relaxe pour l'iteration % + 1 de l'heuristique.

Conservons les notations precedentes. Une heuristique gloutonne plus precise

consisterait a resoudre l'iteration i de la fagon suivante :

Etape 0 : On effectue le meme classement des clients qu'enonce au debut de cette

section.

Etape 1 : Nous resolvons le probleme biniveau relaxe associe au client i + 1 uni

quement. Nous obtenons t* et x(i + 1).

Etape 2 : Pour chaque client j , 1 ^ j ^ i, nous resolvons le probleme de second

niveau associe a t*. Notons x'(j) une solution optimale. Si pour chacun de ces

clients, (t*+w)-x'(j) = (t* + w)-x(j), alors, nous passons a l'iteration suivante

de l'heuristique. Sinon, nous passons a l'etape 3.

Etape 3 : Pour chaque client j , si (t* + w) • x'(j) < (t* + w) • x(j), alors nous

74

rajoutons au probleme biniveau relaxe associe au client i + 1 la contrainte

suivante : (t + w) • x(j) ^ (t + w) • x'(j). Nous retournons ensuite a l'etape 1.

Dans le cadre de ce memoire, nous n'avons pas implements cette seconde idee

d'heuristique. La encore, rien ne garantit l'existence d'une solution realisable au

probleme biniveau relaxe ainsi modifie a chaque iteration de l'heuristique.

II faut remarquer que, pour chaque client j , les coupes ainsi ajoutees pourraient

se limiter aux coupes associees aux ensembles minimaux non domines dont les poly-

edres d'optimalite sont limitrophes avec le polyedre d'optimalite associe a x(j). Nous

sommes egalement dans une situation differente de la resolution de l'algorithme exact

ou la valeur de x(j) n'est pas identique a chaque iteration de l'algorithme.

Si l'on peut facilement envisager que les valeurs obtenues a la sortie de l'heuris

tique ne sont pas tres proches de la valeur optimale du probleme biniveau, de par la

nature gloutonne de l'heuristique, cette heuristique peut toutefois nous permettre

d'obtenir un point de la region induite et par consequent fournir une approximation

du gap pour l'algorithme exact. En effet, 1'inconvenient de notre algorithme est que

tant que l'on n'a pas atteint l'optimalite, nous ne connaissons pas de point de la

region induite et nous ne sommes done pas en mesure de calculer une approximation

du gap.

75

CHAPITRE 6

ANALYSE DES RESULTATS NUMERIQUES

Maintenant que nous avons congu un algorithme exact de resolution et des me-

thodes pour accelerer ses performances, la partie qui suit s'interesse naturellement

a les mettre en pratique. Nous expliquons d'abord comment nous avons genere les

instances, avant de discuter des resultats numeriques observes.

6.1 Generation des instances

Pour evaluer les performances de notre algorithme, nous avons genere aleatoi-

rement, de fagon uniforme, des instances numeriques en jouant sur plusieurs para-

metres. Les tests numeriques ont ete realises sur un ordinateur equipe de LINUX.

Nous avons utilise le solveur commercial CPLEX 10.1 pour resoudre nos problemes

mixtes en nombres entiers.

Parmi les parametres en question, dans le cadre general, nous avons fixe le nombre

de categories demographiques en jeu et le nombre de clients. Ensuite, du cote des

fournisseurs de spots publicitaires, a savoir la chaine leader et la concurrence, nous

avons fait varier le nombre de longueurs de spots publicitaires possibles et le nombre

de tranches publicitaires proposees par la chaine leader ou par la concurrence, en

fonction du jeu de donnees considerees. Par exemple, pour les instances du tableau

6.3, nous avons fixe a 3 le nombre de longueurs de spots et respectivement a 5 et

a 40 le nombre de tranches publicitaires proposees par la chaine leader et par la

concurrence.

76

Ensuite, pour le catalogue de spots publicitaires offert respectivement par la

chaine leader et par sa concurrence, pour chacun des parametres nous avons fixe une

valeur minimale puis un ecart maximum par rapport a cette valeur. A l'aide d'une

loi aleatoire sur [0; 1], nous avons alors pour chaque instance determiner une valeur

du parametre entre cette valeur minimale et sa somme avec l'ecart maximum. Nous

avons ainsi fait varier la valeur minimale de son audience et son ecart maximum.

De meme pour la desutilite. Egalement, nous avons modifies le prix minimal d'un

spot publicitaire et l'ecart maximum sur le prix, pour le catalogue de la concurrence

uniquement. Par ailleurs, pour les contraintes d'inventaire relatives au catalogue de

la chaine leader, le nombre de spots publicitaires d'une longueur donnee pour une

tranche donnee sont parametrises de la meme fagon, ainsi que la longueur de chaque

tranche.

Enfin, au niveau des clients, les parametres que nous avons modifies sont l'ob-

jectif d'audience minimal et l'ecart d'objectif sur l'audience maximal, la desutilite

minimale pour un spot publicitaire et la desutilite maximale.

Dans les tableaux qui suivent, "L." designe la chaine leader, "C." la concurrence,

11 Nb. de spots par lg minimum" le nombre de spots par longueur minimum, "OAM"

l'objectif d'audience minimum par client et "EOA" l'ecart sur l'objectif d'audience.

La valeur du gap est definie par rapport a la valeur optimale du probleme biniveau

dans les cas ou celle-ci a pu etre determinee.

6.2 Result at s numeriques

Tout d'abord, a chaque iteration de l'algorithme, nous avons pris soin d'indiquer

a la methode de separation et devaluation resolvant le probleme MIP que si une

solution realisable du probleme biniveau relaxes etait obtenue avec une valeur de

77

l'objectif egale a celle de la solution optimale a l'iteration precedente, alors la me-

thode de separation et devaluation pouvait s'arreter car une solution optimale etait

trouvee pour le probleme a cette iteration, etant donne que l'on reduit l'ensemble

realisable a chaque iteration.

Dans un premier temps, il faut noter que le nombre de spots publicitaires ne-

cessaires a un client pour atteindre son objectif d'audimat joue un role sur la per

formance de l'algorithme. Ainsi, plus ce nombre est eleve, plus la resolution va etre

longue.

Les tableaux 6.2b, 6.2c et 6.2d soulignent cette difference dans des instances

pour 5 clients1. Chacun de ces tableaux montrent les resultats obtenus pour 10

instances generees aleatoirement dans chaque cas. Les seuls parametres que nous

avons modifies entre ces deux series d'exemple est l'objectif d'audience minimale et

l'ecart maximal sur l'objectif d'audience pour les clients. Pour le tableau 6.2b, les

clients ont de 0 a 2 spots publicitaires attribues par la chaine leader. Dans le cas du

tableau 6.2c, les clients en ont de 0 a 4; dans le dernier cas, ils ont jusqu'a 7.

A partir de ces premiers tests, nous avons fait plusieurs constats.

Premierement, il arrive que pour des iterations successives de Falgorithme, la

resolution du probleme relaxe fournit la meme valeur pour l'objectif. C'est pourquoi,

afin de gagner du temps dans la resolution, nous avons precise dans la methode de

separation et devaluation que si la valeur de l'objectif etait egale a celle de l'iteration

precedente, alors une solution optimale avait ete trouvee, comme indique au debut de

cette section. Au depart, quand on ne precisait pas ceci, la methode de separation et

devaluation perdait du temps a essayer de prouver l'optimalite d'une telle solution

en parcourant l'arbre de branchement jusqu'a atteindre un gap nul. xSur chacun des tableaux qui suit, OAM designe l'objectif d'audience minimal parmi les clients

et EOA designe l'ecart sur l'objectif d'audience.

78

Deuxiemement, le nombre total de coupes generees pendant la resolution pour

chaque client n'est pas le meme. Par exemple, pour l'instance n°2 du tableau 6.2c,

un client a 80 coupes engendrees, alors qu'un autre n'en a que 3. De meme pour

l'instance n°9 de ce meme tableau, un client a 87 coupes engendrees, tandis que deux

autres en ont moins de 10 generees. Ainsi, il n'est pas necessaire de generer tous les

ensembles minimaux non domines selon le client pour pouvoir resoudre le probleme

a l'optimalite. Ceci s'explique par la combinatoire entre les clients.

Troisiemement, pour les premieres iterations de l'algorithme, pour chaque client,

le cout de la disposition generee par la resolution du probleme maitre etait egal

au cout de la disposition optimale en considerant uniquement l'inventaire de la

concurrence. Toutefois, cette propriete n'est plus necessairement le cas a la fin de

l'algorithme.

Dernierement, nous constatons que revolution des allocations et du vecteur de

prix au cours de l'algorithme procede comme suit. L'algorithme obtient d'abord

pour les clients dont le revenu potentiel est le moins eleve un vecteur d'allocation et

de prix tels que la valeur du probleme de second niveau associe a ce vecteur de prix

pour ces clients soit egale au cout pergu associe a ces vecteurs. Ensuite, cette egalite

reste verifiee puis l'algorithme cherche a en faire de meme pour les autres clients, en

les considerant par ordre croissant relativement au revenu potentiel qu'ils peuvent

generes.

Pour les instances du tableau 6.2d, nous avons utilise par la suite les strategies

d'ajout de coupes pour observer les changements de performance. Ces resultats sont

consignee dans le tableau 6.2.

Pour la generation initiale de coupes, nous avons engendre les coupes associees

79

aux ensembles minimaux non domines ayant au plus deux spots publicitaires chez

la chaine leader.

Nous constatons que moins de temps est necessaire pour obtenir la solution opti-

male, mais egalement que moins d'iterations sont requises pour resoudre le probleme

biniveau, ce qui semble coherent. La generation dynamique fournit ici pour toutes

les instances de meilleurs resultats que la generation initiale de coupes.

On s'apergoit egalement que le temps de resolution d'une iteration est generale-

ment plus long que lorsque qu'on ne genere pas de coupes supplement aires.

Toutefois, nous constatons qu'au bout d'un certain temps, en utilisant la gene

ration dynamique de coupes, les valeurs des variables d'allocation pour les clients

n'evoluent que rarement et done l'effet de la generation dynamique s'estompe. Seule

la resolution du probleme de second niveau fournit alors des coupes supplement aires,

ce qui nous ramene a la situation initiale de l'algorithme. Ceci peut s'expliquer ainsi:

pour chaque client, la generation dynamique de coupes ne considere que l'allocation

propre a ce client resultant de la resolution du probleme biniveau relaxe. En conse

quence, les coupes qui sont rajoutees ne prennent pas en compte les allocations aux

autres clients.

Arrive a un certain point de l'algorithme, ce sont les differences d'allocations

entre les clients qui doivent etre generatrices de coupes. Ainsi, en observant les

coupes ajoutees par la resolution du probleme de second niveau, une fois que la

generation dynamique n'apporte plus de nouvelles coupes, nous constatons que les

allocations associees a ces coupes correspondent a une combinaison de spots publi

citaires entre les differentes allocations de chaque client.

Nous avons ensuite fait des tests pour un seul client pour observer si le probleme

80

etait rapidement resolu. Sans surprise, nous constatons que c'est le cas. Les resultats

sont consignee dans les tableaux de 6.3. Dans le premier cas, le client a jusqu'a 7

spots publicitaires attribues par la chaine leader, dans le second cas, il en a jusqu'a

5, dans le troisieme cas, il en a jusqu'a 5 egalement.

Nous pouvons faire deux remarques sur ces instances.

Premierement, dans l'optique de comprendre la disposition de la region induite

du probleme, nous avons constate pour certaines des instances que la valeur du cout

pergu a l'optimalite n'est pas toujours egale a la valeur de Rc tel que deflni en 4.2.1.

Ceci signifie que Fintersection du polyedre d'optimalite de l'allocation optimale avec

le polyedre d'optimalite correspondant a l'allocation optimale chez la concurrence

uniquement est vide.

Deuxiemement, pour chacune de ces instances, on constate que pour plus de

la moitie des iterations de l'algorithme, le probleme maitre a la meme valeur qu'a

l'iteration precedente. On ne constate pas un phenomene si marque avec 5 clients.

Par la suite, nous avons augmente le nombre de tranches offertes par le leader

pour evaluer l'effet sur la performance de l'algorithme.

Dans le cas de 5 clients, l'algorithme devient rapidement inefficace comme le

montre le tableau 6.4. Des qu'il faut au moins 5 spots pour satisfaire la demande,

le temps de resolution des instances peut exploser. Certaines n'etaient pas resolues

apres plusieurs jours. Le tableau 6.4c presente uniquement les meilleurs resultats ob-

tenus en utilisant les differentes methodes de generation supplement aire de coupes.

C'est generalement la generation initiale de coupes qui donnaient les meilleurs re

sultats.

Pour 1 client, on obtient toujours des resultats satisfaisants comme on peut lire

81

sur le tableau 6.5. La resolution de ces instances nous fait observer les memes points

que l'observation des tableaux 6.3.

82

Tableau 6.1: Categorie demographique : 1 - Longueurs de spots : 3 - Clients : 5

Parametres L. C.

Audience minimale Ecart d'audience Desutilite minimale Ecart de desutilite Prix minimal Ecart de prix Nb. de spots par lg minimum Ecart de nb de spots Duree minimale d'une Ecart de duree Tranches

tranche

600 700 500 2500

--1 3

200 120 5

600 800 500 3000 200 1000

----

40

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

5 81 19 25 31 15 10 9 88 13

Temps

(s) 3.5

6276.1 57.9

886.5 44

10.1 8.3 5.3

1230.3 10.1

Gap

(%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

21 7 11 16 9 13 9 32 17 33

Temps

63.4 5.8 9.1 9.6 7.6 8.1 5.4 22.4 11.6 27.0

Gap (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(b) OAM : 1500 - EOA : 500

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

37 11 38 *

70 41 14 15 54 29

Temps

(s) 15053.7

15.1 14431.3

* 3093.1 15865.5

66.5 30.1 159.9 469.7

Gap

(%) 1.24 0.00 1.71

* 0.00 10.11 0.00 0.00 0.00 0.00

(c) OAM : 3000 - EOA : 1000 (d) OAM : 5000 - EOA : 3000

Tableau 6.2: Utilisation de la generation de coupes initiale ou dynamique avec les instances du tableau 6.2d

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Generation initiale Nombre

d'iterations 14 6 19 *

39 28 5 13 8 13

Temps

00 5777.8

39.4 2633.6

* 674.2 6283.3

51.5 60.4 50.4 162.9

Gap

(%) 0.00 0.00 0.00

* 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Generation dynamique Nombre

d'iterations 6 6 5 *

20 11 3 3 4 8

Temps

(s) 3900.5

8.8 1133.9

* 387.9 3554.2

10.6 7.3 14.8 123.0

Gap (%) 0.00 0.00 0.00

* 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

83

Tableau 6.3: Categorie demographique : 1 concurrence : 40 - Durees : 3 - Client : 1.

Tranches du leader : 5 - Tranches de la

Parametres C.

Audience minimale Ecart d'audience Desutilite minimale Ecart de desutilite Prix minimal Ecart de prix Nb. de spots par lg minimum Ecart de nb de spots Duree minimale d'une Ecart de duree

tranche

(a) Parametres

600 700 500 2500

--1 3

200 120

600 800 500 3000 200 1000

----

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

100 19 35 14 6 7 3 31 89 14

Temps

(8)

30.9 7.4 10.8 2.7 1.8 1.3 0.4 8.4

24.5 3.8

Gap

(%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(b) OAM : 5000 - EOA 3000

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

11 26 21 28 28 1

473 3 7

21

Temps

(s) 20.0 38.7 36.7 16.7 17 1.7

572.3 1.1 3.9 12.2

Gap

(%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

6 55 1 1 1 15 15 12 19 18

Temps (s) 3.7

31.0 0.6 0.6 0.5 10.3 9.9 9.1 9.4 9.0

Gap (%) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

(c) OAM : 4000 - EOA : 1500 (d) OAM : 3000 - EOA :1000

84

Tableau 6.4: Categorie demographique : 1 - Clients : 5 - Longueurs : 3

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre Temps Gap d'iterations (s) (%)

49 49.3 0.00 109 1213.5 0.00 60 318 0.00

278.8 0.00 23 19.0 0.00 53 55.9 0.00 30 41.2 0.00 33 50.4 0.00 69 1176.4 0.00 45 47.8 0.00

(b) OAM : 1500 - EOA : 500

Audience minimale Ecart d'audience Desutilite minimale Ecart de desutilite Prix minimal Ecart de prix Nb. de spots par lg minimum Ecart de nb de spots Duree minimale d'une tranche Ecart de duree Tranches

L. 600 700 500

2500 --1 3

200 120 10

C. 600 800 500

3000 200 1000

----

40

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre d'iterations

49 48 4

27 42 100 41 14 40 65

Temps (s)

120.1 16314.3

35.3 15820.4 1460.1 8096.0 16497.5 18542.7 426.9

15639.0

Gap (%) 0.00

?

0.00 ?

0.00 0.00 1.24 1.48 0.00

?

(c) OAM : 3000 - EOA : 1000

Tableau 6.5: Categorie demographique : 1 - Clients : 1 - Longueurs : 3

Parametres

Audience minimale Ecart d'audience Desutilite minimale Ecart de desutilite Prix minimal Ecart de prix Nb. de spots par lg minimum Ecart de nb de spots Duree minimale d'une tranche Ecart de duree Tranches

L. 600 700 500 2500

--1 3

200 120 20

C. 600 800 500 3000 200 1000

----

40

Instance

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nombre Temps Gap d'iterations (s) (%)

91 36.6 0.00 179 102.7 0.00 217 197.0 0.00 56 20.0 0.00 30 7.6 0.00 129 44.8 0.00 476 1130.0 0.00 1602 14475.4 2.02 784 3099.5 0.00 14 3.3 0.00

(b) OAM : 5000 - EOA : 3000

85

CONCLUSION

Ce memoire represente un point de depart pour l'etude du probleme de la tarifi-

cation optimale pour le placement media a l'aide de la programmation biniveau. Le

modele propose ici, une fois resolu plus efficacement, pourra etre enrichi, notamment

le modele de second niveau, pour prendre en compte des demandes plus detaillees

ou specifiques de la part des clients.

De fagon plus large, ce memoire constitue une premiere approche des programmes

biniveaux ayant pour modele de second niveau un probleme de sac-a-dos dont l'ob-

jectif est parametre par les variables de niveau superieur. C'est sa contribution

majeure.

II nous propose une premiere intuition de la geometrie du modele mais egalement

un algorithme sur lequel travaille pour resoudre de tels programmes biniveaux. L'al-

gorithme donne des resultats satisfaisants sur de petites instances, mais devient

rapidement depasse pour des instances un peu plus grandes.

Nous pouvons d'ailleurs denoter deux axes de recherches relativement a cet al

gorithme. Le premier, travailler plus specifiquement sur la methode de separation et

devaluation appliquee a chaque iteration. Le second, relaxer la contrainte sur le gap

dans la methode de separation et d'evaluation. Ceci signifie qu'au lieu de resoudre

a chaque iteration notre branch-and-bound jusqu'a ce que le gap vaille 0.00%, nous

pourrions imposer une plus haute limite inferieure de gap pour accelerer la resolu

tion de la methode de separation et d'evaluation, puis baisser progressivement cette

limite au cours de Falgorithme.

II serait egalement interessant de travailler avec de veritables donnees pour tester

86

la pertinence de notre modele, notamment le choix d'utiliser des termes de penalite

financiere, mais egalement pour developper de nouveaux algorithmes au regard de

la structure de ces donnees. Nous serions a l'occasion amenes a calibrer le modele, a

savoir determiner le vecteur w, nous penchant ainsi sur l'optimisation inverse dans

le cadre d'un sac-a-dos.

87

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