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13/07/2017 09:27 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

Estatística Aplicada I

Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

13/07/2017 09:27 ESTATÍSTICA APLICADA I - Amostragem

Capítulo IX

Universidade Federal do Pará

Instituto de Tecnologia

Amostragem

Campus de Belém

Curso de Engenharia Mecânica

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Amostragem - Sumário

Introdução

Dimensionamento da Amostra

Condicionamento estatístico de dados experimentais

Composição da Amostra



Introdução




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9.1 Introdução

Estudo por amostragem é o estudo de pequenos grupos

de elementos retirados de uma população que se pretende

conhecer, chamados de amostra.

Como a amostragem considera apenas parte da

população, diferentemente de um censo, o tempo para

análise e o custo são menores, além de ser mais fácil e

gerar resultados satisfatórios.


9.1 Introdução

Não se deve realizar um estudo por amostragem quando o

tamanho da amostra é grande em relação ao tamanho da

população, ou quando se exige o resultado exato, ou

quando já se dispõe dos dados da população.

Nesses casos é recomendado realizar um censo, que

considera todos os elementos da população.

Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve

ser representativa da população estudada.

Para isso, existem técnicas adequadas para cada tipo de

situação, denominadas técnicas de amostragem.

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9.1 Introdução

Geralmente, as pesquisas são realizadas por meio de

estudo dos elementos que compõem uma amostra

extraída da população que se pretende analisar.

O cálculo do tamanho da amostra deve fazer parte de

qualquer projeto de pesquisa.

O objetivo principal é estabelecer, objetivamente, qual o

número de indivíduos que necessitam ser estudados.

Saber qual o tamanho da amostra é uma preocupação

frequente de todos os pesquisadores em todos os tipos de

pesquisa científicas.


9.1 Introdução

O cálculo do tamanho da amostra está diretamente

associada a pergunta da pesquisa.

Para cada pesquisa deve-se emitir uma pergunta, a qual

por sua vez determinará o tipo de estudo adequado para a

sua resposta.

Para a implementação adequada do estudo escolhido,

devemos obter uma amostra que seja representativa da

população para a qual se pretende responder a essa

pergunta.

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9.1 Introdução

O estudo de todos os elementos da população possibilita

preciso conhecimento das variáveis da pesquisa;

entretanto, nem sempre é possível obter as informações de

todos os elementos da população.

Limitações de tempo, custo e as vantagens do uso das

técnicas estatísticas de inferências justificam o uso de

planos amostrais.

Então, é evidente, que a representatividade da amostra

dependerá do seu tamanho (quanto maior, melhor) e de

outras considerações de ordem metodológica.


9.1 Introdução

Como é dispendioso, ou mesmo inviável, analisar um

número elevado de respostas em pesquisas, utiliza-se o

recurso da estatística.

Dessa forma, limita-se as análises por meio de dados

amostrais, procurando assegurar-se de que o tamanho da

amostra seja representativo do universo dos usuários, de

forma a não distorcer o resultado.

Na teoria da amostragem, dois passos devem ser

considerados: a composição da amostra e o

dimensionamento da mesma.

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Introdução





9.2 Dimensionamento da Amostra

Existem muitos e diferentes métodos de cálculos de

tamanho da amostra que podem ser empregados de acordo

com o tipo de variáveis estudadas, que dependem do tipo

ou desenho do estudo, que por sua vez depende da(s)

pergunta(s) da pesquisa.

Ou seja, a pergunta da pesquisa é que vai determinar todos

estes itens.

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O tamanho da amostra depende dos seguintes fatores:

• Tipo de problema que se quer resolver: caracterizar uma variável,

comparar duas populações, verificar se duas variáveis estão

associadas, por exemplo.

• Tipo de variável: qualitativa, quantitativa e variabilidade.

• Magnitude do erro estatístico: quanto menor o erro admissível,

maior o tamanho da amostra.

• Tamanho da diferença considerada importante: quanto menor a

diferença maior a amostra.

• Poder desejado para o teste: probabilidade de que uma amostra

identifique uma diferença real.

• Tempo, verbas e pessoal disponíveis, dificuldade na obtenção dos

dados e complexidade do experimento.



Aqui será feito um resumo do estudo do tamanho da

amostra, por meio de procedimentos que levam em

consideração, principalmente, o tipo de variável estudado

e o tamanho da população (Fonseca & Martins, 1996).

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Procedimentos:

1) Analisar o questionário ou o roteiro da entrevista e

escolher uma ou mais variáveis que julgue mais

importantes para o estudo.

2) Verificar o nível de mensuração da variável: nominal,

ordinal ou intervalar.

3) Considerar o tamanho da população: infinita ou finita.

4) Se a variável escolhida for intervalar e a população

considerada infinita, o tamanho da amostra poderá ser

determinada pela fórmula:



Procedimentos:

onde:

2

d

Zn

Z abscissa da curva normal padrão, fixado um nível de

confiança.

Nível = 95,5%, Z = 2 (mais frequente);

Nível = 95%, Z = 1,96

Nível = 99%, Z = 2,57.

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Procedimentos:

σ desvio padrão da população, expresso na unidade da variável,

o qual pode ser determinado de várias maneiras:

- Especificações técnicas

- Resgate do valor de estudos semelhantes

- Conjecturas sobre os possíveis valores.

d erro amostral, expresso na unidade da variável - máxima

diferença que o pesquisador admite suportar ente a média

populacional (desconhecida) e a média amostral (a se

calculada a partir da amostra).

dx



Procedimentos:

222

22

Z)1N(d

NZn

5) Se a variável for intervalar e a população finita, tem-se:

onde N é o tamanho da população

6) Se a variável for nominal ou ordinal e a população considerada

infinita, tem-se:

2

2

d

q̂p̂Zn

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Procedimentos:

onde:

é a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis da

variável escolhida. Por exemplo, se a variável escolhida for

porte de empresa, poderá ser a estimativa da verdadeira

proporção de grandes empresas do setor que está sendo

estudado (expresso em decimais). Ex:

d o erro amostral, neste caso, será a máxima diferença que o

pesquisador admite suportar entre p e , ou

dp̂p

p

q

p

30,0p

p

p1



Procedimentos:

7) Se a variável for nominal ou ordinal e a população finita, tem-se:

onde

q̂p̂Z)1N(d

Nq̂p̂Zn

22

2

p̂1q̂

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Procedimentos:

• Essas fórmulas são básicas para qualquer tipo de

composição da amostra; contudo, existem fórmulas

específicas segundo o critério de composição da

amostragem.

• Caso o pesquisador escolha mais de uma variável, deve

optar pelo maior valor de tamanho amostral obtido.



Exemplos:

• Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o

peso de certa peça e que a população é infinita. Pelas

especificações do produto, o desvio padrão é de 10 kg.

Admitindo-se um nível de confiança de 95,5% e um erro

amostral de 1,5 kg, tem-se:

17877,1775,1

102

d

Zn

22

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Exemplos:

• Admitindo os mesmos dados do exemplo anterior e que a

população seja finita de 600 peças. Logo:

13831,137102)1600(5,1

600102

Z)1N(d

NZn

222

22

222

22



Exemplos:

• Suponha que a variável escolhida em um estudo seja a

proporção de eleitores favoráveis ao candidato X e que o

pesquisador tenha elementos para suspeitar que essa

porcentagem seja de 30%. Admitindo a população

infinita, que se deseja um nível de confiança de 99% e

um erro amostral de 2%, calcule n.

346857,3467)02,0(

)70,0()30,0()57,2(n

02,0%2d,70,030,01q̂,30,0%30p̂,57,2Z

2

2

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Exemplos:

• Admitindo-se os mesmos dados do exemplo anterior, e

que a população de eleitores seja finita de 20000

eleitores, então:

295633,2955)70,0()30,0()57,2()120000()02,0(

)20000()70,0()30,0()57,2(

q̂p̂Z)1N(d

Nq̂p̂Zn

22

2

22

2

Observação: Quando não se tiver condições de prever o valor de p

amostral, admita = 0,50, pois, desta forma, ter-se-á o maior tamanho

da amostra, admitindo-se constantes os demais elementos. N é o

tamanho da população.

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Ao se obter os valores de e s2 para uma dada amostra,

não se conhece qual a confiança com que esses valores

podem estimar respectivamente, a média e a variância da

população de onde a amostra foi retirada.

Tal desconhecimento deve-se ao erro causado pela

amostragem

Esse erro pode ser determinado quando se ensaia

diversas amostras de uma dada população obtendo-se as

médias amostrais, tal como visto no item referente às

distribuições amostrais.

x

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ns

xt 1n

Para pequenas amostras (menores que 20) DALLY

(1993) indica o uso da distribuição t de Student.

Como a distribuição t depende do tamanho da amostra

(n), o valor de t pode ser usado para estimar n de tal

forma que se obtenha uma estimativa da média da

amostra para uma dada confiança.

Da distribuição amostral das médias quando a

variância populacional é desconhecida, tem-se:

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2

1n

stn

Portanto, para o caso de pequenas amostras, se o

comprimento do intervalo de confiança for definido

como 2δ, usa-se a seguinte expressão para a

determinação do tamanho da amostra:

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Entretanto, para obtermos o valor de t é necessário o

número de graus de liberdade φ = n – 1, que depende do

tamanho da amostra n.

Então, o procedimento é adotar uma amostra piloto de

tamanho no, estimar o desvio padrão por so e a média ,

obter t com φ = no – 1 graus de liberdade e, fixado o erro

de estimativa (2δ), dimensionar o tamanho da amostra

por n’.

Se o tamanho da amostra obtido n’ foi maior que no deve-

se realizar mais n’ – no ensaios, num processo iterativo

até a convergência de n.

x

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Exemplo:

Para se estimar o diâmetro dos eixos produzidos por

um torno, tomou-se uma amostra de 20 eixos usinados,

que após terem seus diâmetros medidos apresentaram

uma média de 7,840 mm e um desvio-padrão S de

0,604 mm. Se a precisão desta estimativa de μ deve ser

de ± 3%, com uma confiança de 95%, determinar o

tamanho da amostra estatisticamente recomendável. Os

dados aparentam uma distribuição normal.

x

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• Se o comprimento do intervalo de confiança for definido

como 2δ e usar-se a expressão anterior, tem-se:

δ = 0,03.7,840 = 0,2352

Da tabela de distribuição t, para φ = 20 – 1 = 19 e α/2 =

100 – 95/2 = 2,5%, t = 2,093, logo:

n = [(2,093.0,604/0,2352)]² ≈ 29

Para o novo valor de n igual a 29 (maior que 20), deve-se

realizar mais 9 ensaios, recalcular a média e o desvio padrão,

levantar o valor de t (φ = 28), e determinar n. Repete-se este

procedimento até a convergência de n.

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Um dos objetivos do planejamento experimental é a

otimização do número de ensaios a ser realizado.

Como visto anteriormente, esse número deve ser

adequado de modo a minimizar os erros experimentais

(aleatórios), mas também deve contribuir para a

viabilidade econômica e prática da experimentação.

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Introdução




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9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais

O erro de amostragem pode ser caracterizado por uma

distribuição normal com variância s², e pode ser

minimizado pelo aumento do tamanho da amostra.

O erro experimental sistemático proveniente de falhas

na leitura ou do desempenho do instrumento, não é

uma variável aleatória e, desta forma, não pode ser

avaliado por técnicas estatísticas.

Quando numa amostra, avalia-se que os resultados de

uma ou mais réplicas são questionáveis, pode-se

utilizar o procedimento de Chauvenet para rejeitar ou

manter esses resultados na análise da amostra.

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O procedimento de Chauvenet especifica que um dado deve

ser rejeitado caso a probabilidade de se obter o desvio-

padrão relativo a esse dado seja menor que α = 1/2n.

Por exemplo, se n = 10, tem-se que:

α = 1/2n = 1/20 = 0,05, e α/2 = 0,025, ou 1 – α/2 = 0,9750,

obtendo-se da a tabela de distribuição normal padrão um

valor de z = 1,96.

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O critério consiste no cálculo da razão de desvio-padrão

DR para cada componente xi da amostra, onde

s

xxDR i

Comparando-se esse valor com uma razão padrão DRo,

obtida da tabela de distribuição normal padrão de acordo

com o tamanho da amostra n, conforme exemplificado

anteriormente.

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n DRo n DRo

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,15 1,38 1,54 1,65 1,73 1,80 1,86 1,91 1,96

15 20 25 30 35 40 45 50 100

2,13 2,24 2,33 2,40 2,45 2,50 2,54 2,58 2,81

O componente xi será rejeitado se |Dri| > DRo e mantido

caso |Dri| ≤ Dro.

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Caso um componente xi seja rejeitado, ele será removido

da sequência e os valores de e s² recalculados.

Esse procedimento deve ser aplicado apenas uma vez para

remover resultados questionáveis.

Se muitos componentes são rejeitados, é provável que a

instrumentação seja inadequada ou que o processo

estudado seja extremamente variável.

x

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Exemplo: Utilize o critério de Chauvenet para condicionar

estatisticamente os dados da sequência 6, 8, 7, 8, 15.

Como n = 5, tem-se que:

α = 1/2n = 1/10 = 0,1, e α/2 = 0,05, ou 1,0 – α/2 =

0,950, obtendo-se da a tabela de distribuição normal

padrão um valor de z = 1,65.

Para xmin = 6, DR = (6 – 8,8)/3,6 = - 0,778

Para xmáx = 15, DR = (15 – 8,8)/3,6 = 1,72

Rejeita-se xi se DR > 1,65 ou DR < -1,65, logo rejeita-se

apenas xmáx = 15.

6,3s,8,8x

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Exemplo: Utilize o critério de Chauvenet para condicionar

estatisticamente os resultados de medidas de pressão

atmosférica (mmHg), obtidos com um barômetro de

mercúrio. Após o condicionamento determine a média e o

desvio padrão.

764,3 764,6 764,4 765,2 764,5

764,5 765,7 765,4 764,8 765,3

765,2 764,9 764,6 765,1 764,6

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Como n = 15, tem-se que:

α = 1/2n = 1/30 = 0,033, e α/2 = 0,017, ou 1 – α/2 =

0,9830, obtendo-se da a tabela de distribuição normal

padrão um valor de z = 2,13.

Para xmin = 764,3 DR = (764,3 – 764,9)/0,42 = - 1,43

Para xmáx = 765,7 DR = (765,7 – 764,9)/0,42 = 1,90

Rejeita-se xi se DR > 2,13 ou DR < -2,13, logo nenhum

resultado será rejeitado.

42,0s,9,764x


Introdução





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9.3 Composição da Amostra

Principais métodos para a composição da amostra

(técnicas de amostragem): probabilísticos e não-

probabilísticos.

a) Métodos Probabilísticos (aleatórios):

• As técnicas de amostragem probabilísticas garantem a

possibilidade de realizar afirmações sobre a população com base

nas amostras.

• Normalmente, todos os elementos da população possuem a mesma

probabilidade de serem selecionados; assim, considerando N

como o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento

ser selecionado será 1/N.

• Estas técnicas garantem o acaso na escolha.



a.1) Amostragem aleatória simples

• É o processo mais elementar e freqüentemente

utilizado.

• Pode ser realizado numerando-se os elementos da

população de 1 a N e sorteando-se, por meio de um

dispositivo aleatório qualquer, X números dessa

sequência, que corresponderão aos elementos

pertencentes à amostra.

• Nesta técnica de amostragem, todos os elementos da

população têm a mesma probabilidade de serem

selecionados, 1/N.

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• Exemplo: Obter uma amostra representativa, de 10%, de

uma população de 1000 alunos de uma escola.

• Solução 1:

1- Numerar os alunos de 1 a 1000;

2- Escrever os números de 1 a 1000 em pedaços de papel e

colocá-los em uma urna ou qualquer outro recipiente;

3- Misturar bem para garantir a aleatoriedade do processo

4- Retirar 100 pedaços de papel, um a um, da urna,

formando a amostra da população.



a.1) Amostragem aleatória simples • Exemplo: Obter uma amostra representativa, de 5%, de uma população

de 1000 alunos de uma escola.

Solução 2:

1- Numerar os alunos de 000 a 999;

2- Escolher uma posição de qualquer linha ou coluna de uma tabela de

números aleatórios (próximo slide) ou pular entre elas;

3- Retirar conjuntos de 3 algarismos para se escolher os elementos que

irão compor a amostra.

4- O número sorteado será abandonado se ele superar o maior número

dos elementos rotulados ou se for repetido.

Se for escolhida a 5ª linha, ter-se-ia a seguinte amostra: 809, 116,

946, 758, 608, 206, 669, 047, 461, 846, ....

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Tabela de

números

aleatórios ou

randômica



a.2) Amostragem sistemática

• É uma variação da amostragem aleatória simples,

conveniente quando a população está ordenada segundo

algum critério, como fichas em um fichário, listas

telefônicas, casas em uma rua etc., em que não há a

necessidade de construir um sistema de referência.

• Calcula-se o intervalo de amostragem N/n aproximando-

o para o inteiro mais próximo a; utilizando-se um

dispositivo aleatório qualquer, sorteia-se um número x

entre 1 e a, formando-se a amostra dos elementos

correspondentes aos números x, x+a, x+2a, ...

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a.2) Amostragem sistemática

• Exemplo: Selecionar uma amostra de 70 casas de uma rua

que contém 1800 casas.

Solução: Nesta técnica de amostragem, podemos realizar o

seguinte procedimento:

1- Como a = 1800/70 =25,7 ≈ 26, escolhemos, por um

método aleatório qualquer, um número entre 1 e 26, que

indica o primeiro elemento selecionado para a amostra.

2- Consideramos os demais elementos, periodicamente, de

26 em 26. Se o número sorteado entre 1 e 26 for o

número 9, a amostra será formada pelas casas: 9ª, 35ª,

61ª, 87ª, 113ª, 139ª, 135ª etc.



a.3) Amostragem estratificada

• Esta técnica é possível de ser utilizada no caso de população

heterogênea em que se podem distinguir subconjuntos

(subpopulações) mais ou menos homogêneas denominadas estratos.

• Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio

dos elementos leve em consideração tais divisões, para que os

elementos da amostra sejam proporcionais ao número de elementos

desses subconjuntos.

• Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra

aleatória de cada subpopulação (estrato).

• Se as diversas subamostras tiverem tamanhos proporcionais aos

respectivos números de elementos dos estratos, e guardarem

proporcionalidade com respeito à variabilidade de cada estrato,

obtém-se uma estratificação ótima.

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• Exemplo: Em uma população de 200 alunos, há 120 homens e 80

mulheres. Extraia uma amostra representativa de 10%, dessa

população.

Solução: Neste exemplo, há uma característica que permite

identificar 2 subconjuntos, a característica “sexo”. Considerando essa

divisão, vamos extrair a amostra da população.

SEXO POPULAÇÃO AMOSTRA (10%)

Masculino 120 12

Feminino 80 8

Total 200 20




Solução: Para selecionar os elementos da população para formar a

amostra, podemos executar os seguintes passos:

1- Numerar os alunos de 1 a 200, sendo os homens numerados de 1 a

120 e as mulheres de 121 a 200;

2- Escrever os números de 1 a 120 em pedaços de papel e colocá-los

em uma urna A; escrever os números de 121 a 200 em pedaços de

papel e colocá-los em uma urna B;

3- Retirar 12 pedaços de papel, um a um, da urna A, e 8 da urna B,

formando a amostra da população.

São exemplos desta técnica de amostragem as pesquisas eleitorais

por região, cidades pequenas e grandes, área urbana e área rural,

sexo, faixa etária, faixa de renda etc.

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a.4) Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos)

• Esta técnica é usada quando a identificação dos elementos da

população é extremamente difícil, porém pode ser relativamente fácil

dividir a população em conglomerados (subgrupos) heterogêneos

representativos da população global.

• O procedimento de execução desta técnica é mostrado a seguir:

1- Selecionar uma amostra aleatória simples dos conglomerados

existentes;

2- Realizar o estudo sobre todos os elementos do conglomerado

selecionado.

• São exemplos de conglomerados: quarteirões, famílias, organizações,

agências, edifícios etc.



a.4) Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos)

• Exemplo: Estudar a população de uma cidade, dispondo apenas dos

mapas dos seus quarteirões.

Solução: Neste caso, não se tem a relação dos moradores da cidade,

restando o uso dos subgrupos heterogêneos (conglomerados). Para

realizar o estudo estatístico sobre a cidade, adotar-se-á os seguintes

procedimentos:

1- Numerar os quarteirões de 1 a n;

2- Escrever os números de 1 a n em pedaços de papel e colocá-los

em uma urna;

3- Retirar um pedaço de papel da urna e realizar o estudo sobre os

elementos do conglomerado selecionado.

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b) Métodos Não-Probabilísticos (não-aleatórios)

• São técnicas em que há uma escolha deliberada dos

elementos da amostra.

• Não é possível generalizar os resultados das pesquisas

para a população, pois amostras não-probabilísticas

não garantem a representatividade desta.



b.1) Amostragem acidental

• Trata-se da formação de amostras por aqueles elementos

que vão aparecendo. Este método é utilizado, geralmente,

em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são

acidentalmente escolhidos.

• Exemplo: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas

movimentadas de grandes cidades etc.

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b.2) Amostragem intencional

• De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente

um grupo de elementos que comporão a amostra. O pesquisador se

dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber

a opinião.

• Exemplo: Em uma pesquisa sobre preferência por determinado

cosmético, o pesquisador entrevista os frequentadores de um grande

salão de beleza.



b.3) Amostragem por quotas

• Uma das técnicas de amostragem mais comumente usadas em

levantamentos de mercado e em prévias eleitorais.

• Abrange três fases:

1- Classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou

se presume, serem relevantes para a característica a ser estudada;

2- Determinação da proporção da população para cada característica,

com base na constituição conhecida, presumida ou estimada, da

população;

3- Fixação de quotas para cada observador ou pesquisador a que caberá a

responsabilidade de selecionar interlocutores ou entrevistados, de modo

que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção de

cada classe tal como determinada em (2).

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b.3) Amostragem por quotas

• Exemplo: Admite-se que se deseja pesquisar o “trabalho das

mulheres”. Provavelmente se terá interesse em considerar: a divisão

cidade/campo, a habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a

renda média, as faixas etárias etc.

− A primeira tarefa é descobrir as proporções dessas características na

população. Supondo-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres

na população, uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27

mulheres;

− O pesquisador, então, receberá uma quota para entrevistar 27

mulheres;

− A consideração de várias categorias exigirá uma composição

amostral que atenda aos n determinados e às proporções

populacionais estipuladas.


Amostragem

FIM

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