TS. Nguy¹n V«n Lñi - sigmaths.comsigmaths.com/uploads/mxdoc/2019/03/28/4wtn8.pdf · V¼ M n¬m...
Transcript of TS. Nguy¹n V«n Lñi - sigmaths.comsigmaths.com/uploads/mxdoc/2019/03/28/4wtn8.pdf · V¼ M n¬m...
TS. Nguy¹n V«n Lñi
LOISCENTER
S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
�æi líi chia s´
Ch¿ 10− 20 n«m núa khi l n sâng cæng ngh» 4.0 s³ �ành h¼nh l¤i c§u tróc cuëc sèng v x¢ hëi.C¡i �âi ngh±o �¢ �÷ñc tr£ v· cho qu¡ khù, lóc �â lao �ëng khæng cán l �º tçn t¤i m chõ y¸unh¬m möc �½ch s¡ng t¤o v ti¸n bë.
C¡c cæng vi»c s³ tªp trung v o 4 nhâm:
− Ngh» thuªt
− Khoa håc kÿ thuªt
− Dàch vö
− Sùc khäe v Thº thao
Tòy thuëc kh£ n«ng, con ng÷íi câ thº lüa chån c¡c thº lo¤i cæng vi»c phò hñp. Nh÷ng b§t k¼cæng vi»c g¼ y¸u tè s¡ng t¤o v thi �ua s³ �÷ñc �÷a l¶n h ng �¦u.
Chóng tæi chån cæng vi»c chu©n bà h nh trang tri thùc khoa håc kÿ thuªt cho lîp cæng d¥n thíi�¤i 4.0 l m nhi»m vö ch½nh cõa m¼nh.
1 S�T: 096 568 5459
MÖC LÖC LOISCENTER
Möc löc
1 Ba b i to¡n cì sð 3
2 Giîi thi»u c¡c mæ h¼nh 6
2.1 Mæ h¼nh I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Mæ h¼nh II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Mæ h¼nh III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 C¡c k¸t qu£ trüc ti¸p 9
3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
1 Ba b i to¡n cì sð
�ành lþ Menelaus
Lemma 1. Cho tam gi¡c ABC v ba �iºmM, N, P l¦n l÷ñt thuëc c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB.Khi �â M, N, P th¯ng h ng khi v ch¿ khi:
MB
MC· NC
NA· PA
PB= 1
Chùng minh.
Ta câPA
PB=
AQ
BM,NC
NA=
MC
AQ. Suy ra
MB
MC· NC
NA· PA
PB=
MB
MC· MC
AQ· AQBM
= 1.
C¡c bi¸n �êi ho n to n t÷ìng �÷ìng. N¶n ph¦n �£o công �óng.
Lemma 2.M»nh �· thuªn: Hai �÷íng trán (O) v (U) ct nhau t¤i hai �iºm A v B. C¡t tuy¸n x quaA ct (O) t¤i P , ct (U) t¤i Q, c¡t tuy¸n y qua B ct (O) t¤i R, ct (U) t¤i S. khi �â PR//QS.M»nh �· �£o:Hai �÷íng trán (O) v (U) ct nhau t¤i hai �iºm A v B. C¡t tuy¸n x qua A ct (O) t¤i P ,ct (U) t¤i Q, qua P k´ PR (R thuëc (O)), qua Q k´ QS (S thuëc (U)) sao cho PR//QS khi�â R, B, S th¯ng h ng.
Chùng minh. Ph¦n thuªn:
Ta câ PRQ + PAB = 1800 v PAB = BSQ (t½nh ch§t nëi ti¸p cõa tù gi¡c). Do �â PRQ +
QSB = 1800, m hai gâc n y ð và tr½ c¡c gâc trong còng ph½a. Vªy PR//QS.Ph¦n �£o:�÷íng th¯ng qua S v B ct (O) t¤i R′. Theo m»nh �· ph¦n thuªn ta câ PR′//QS. Nh÷ngPR//QS do �â �÷íng th¯ng PR v PR′ tròng nhau. C£ R v R′ còng n¬m tr¶n �÷íng trán(O) n¶n R ≡ R′.
3 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
Mæ h¼nh:�÷íng trán t¥m O b¡n k½nh r. C¡t tuy¸n MAB �i qua O, ti¸p tuy¸n MK v ML, MCD l c¡t tuy¸n b§t k¼.
Lemma 3. Gåi giao �iºm cõa BD v AC l P . Gåi l l �÷íng cao h¤ tø P xuèng c¤nh ABcâ ch¥n l H, T l trüc t¥m cõa tam gi¡c ABP . Khi �â
a) O, H, C, D n¬m tr¶n �÷íng trán Euler cõa tam gi¡c ABP , kþ hi»u (OCD).
b) L, K, H, T, P th¯ng h ng. �iºm H cè �ành khi MCD quay quanh M .
c) Ti¸p tuy¸n t¤i C v D cõa (O), �÷íng trán Euler (OCD) v �÷íng th¯ng l �çng quy, kþhi»u �iºm n y l Q.
d) Qua M k´ c¡t tuy¸n ct �÷íng trán (O) t¤i U v V , khi �â c¡c �÷íng th¯ng qua DU v CV ct nhau tr¶n �÷íng th¯ng l.
Chùng minh.
a) BC v AD l �÷íng cao cõa tam gi¡c ABP . Do �â O, H, C, D n¬m tr¶n �÷íng trán Eulercõa tam gi¡c ABP .b) Ta ph£i chùng minh L, K, H, T, P th¯ng h ng.V¼ M n¬m tr¶n tröc �¯ng ph÷ìng cõa (O) v (OCD) do �â MH ·MO = MC ·MD = MK2.M°t kh¡c, k´ �÷íng vuæng gâc tø K xuèng AB ct AB t¤i H ′. V¼ MKO l gâc vuæng n¶nMH ′ ·MO = MK2 = MH ·MO. Suy ra MH = MH ′. Vªy H ≡ H ′. V¼ �÷íng th¯ng KH l �÷íng cao dâ �â L, H, T, K, P th¯ng h ng, MH ·MO = r2. V¼ OM cè �ành, r khæng �êin¶n OH khæng thay �êi. Do �â H cè �ành.
4 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
c) Gåi giao �iºm cõa �÷íng trán Euler (CDO) v HA l Q. Ta s³ chùng minh QC v QD l c¡c ti¸p tuy¸n cõa (O). Thªt vªy, v¼ gâc OHQ = 900 n¶n OQ l �÷íng k½nh. Do �â OC⊥CQv OD⊥DQ. Suy ra QD v QC l c¡c ti¸p tuy¸n cõa (O).
d) T÷ìng tü nh÷ ph¦n b) v c) ta chùng minh �÷ñc X n¬m tr¶n KL.(M»nh �· n y ch½nh l k¸t qu£ cõa �ành lþ Pascal).
Mët chùng minh �ëc lªp hay kh¡c cho ph¦n d) ch¿ sû döng t½nh to¡n gâc thu¦n tuþ.
M»nh �· 1.1. Cho MK, ML l c¡c ti¸p tuy¸n cõa �÷íng trán (O). AB v CD l c¡c c¡ttuy¸n cõa (O) �i qua M . Gåi P v Q l¦n l÷ñt l giao �iºm cõa AC, BD v AD, BC. Khi �âP, Q, K, L th¯ng h ng.
Chùng minh. Gåi H l giao cõa KL v MO. Ta s³ chùng minh gâc MHP l gâc vuæng. V¼KL⊥MO, do �â P n¬m tr¶n KL. Thªt vªy:
5 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
MK2 = MH ·MO = MA ·MB = MD ·MC = ML2, suy ra c¡c tù gi¡c AHOB v DHOCnëi ti¸p.
AHD = ABO + DCO = ABD + DBO + DCO (1)
= ABD + BDO + ODC = APD (2)
Do �â tù gi¡c AHPD nëi ti¸p.
MHP = AHP − AHM = AHD + DAP − ABO
=1
2
_DCB −DBO = 900.
Vªy P n¬m tr¶n KL (cè �ành) khi AB v CD thay �êi.
Ghi chó: trong ph¦n (1) v (2) vi»c thay vai trá c¡c gâc r§t tinh t¸.
2 Giîi thi»u c¡c mæ h¼nh
Ba b i to¡n tr¶n �¢ ch¿ ra l¾nh vüc chóng ta s³ quan t¥m l c¡c mæ h¼nh câ sü tham gia cõa 4th nh ph¦n l c¡c �÷íng trán, �÷íng th¯ng. Trong �â và tr½ t÷ìng hé cõa c¡c �÷íng tham giacông câ mët sè �i·u ki»n d ng buëc.
− Mæ h¼nh 4 �÷íng th¯ng (têng qu¡t).
− Mæ h¼nh 2 �÷íng th¯ng v 2 �÷íng trán (hai �÷íng trán giao nhau v 2 c¡t tuy¸n).
− Mæ h¼nh 3 �÷íng th¯ng v mët �÷íng trán (ti¸p tuy¸n, c¡t tuy¸n v �÷íng th¯ng quat¥m).
6 S�T: 096 568 5459
2.1 Mæ h¼nh I LOISCENTER
2.1 Mæ h¼nh I
�¥y l mæ h¼nh 4 �÷íng th¯ng �æi mët ct nhau. Tø �¥y chóng ta nhªn bi¸t �÷ñc ngay c§uh¼nh tù gi¡c to n ph¦n quen thuëc.
Trong mæ h¼nh I ( bèn �÷íng th¯ng ct nhau) câ chùa− 4 h¼nh tam gi¡c
− 3 h¼nh bèn c¤nh (lçi , lãm v tü ct)
2.2 Mæ h¼nh II
�¥y l h¼nh câ 2 �÷íng trán giao nhau v qua hai �iºm giao nhau méi �iºm câ mët c¡t tuy¸n�i qua.
C¡c d¤ng suy bi¸n khi hai c¡t tuy¸n ð nhúng và tr½ �°c bi»t.− C¡c �iºm P, Q, R, S n¬m còng mët ph½a cõa �÷íng th¯ng AB: RP//SQ.
− Khi hai �iºm P v R tròng nhau, th¼ ti¸p tuy¸n vîi �÷íng trán (O2) t¤i P song song vîi SQ.
7 S�T: 096 568 5459
2.3 Mæ h¼nh III LOISCENTER
Ph¦n �£o cõa tr÷íng hñp n y c¦n �÷ñc ph¡t biºu rã r ng hìn:C¡t tuy¸n qua A ct (O) t¤i P v ct (U) t¤i Q. Qua P k´ ti¸p tuy¸n Px cõa �÷íng trán (O).Qua Q k´ QS (S ∈ (U) ) song song vîi Px. Khi �â B, P, S th¯ng h ng.
Ta x²t tr÷íng hñp �°c bi»t khi A tròng vîi B tùc l hai �÷íng trán ti¸p xóc vîi nhau trongho°c ngo i. Trong c£ hai tr÷íng hñp PR//QS.
2.3 Mæ h¼nh III
Trong c§u h¼nh n y câ ba �÷íng th¯ng v mët �÷íng trán. Câ và tr½ t÷ìng hé.C§u h¼nh n y cán câ thº �ìn gi£n hâa hìn núa. Ch¿ c¦n x²t mët �÷íng trán t¥m O v mët�iºm M ngo i �÷íng trán. Nh÷ vªy hai ti¸p tuy¸n MA v MB vîi �÷íng trán x¡c �ành. �÷íngth¯ng l qua AB �÷ñc x¡c �ành. Vªy �iºm H công x¡c �ành.
Mët c¡ch ti¸p cªn kh¡c:�÷íng trán t¥m O. Hai gi¥y cung AB v CD. �÷íng trán (ABO) v �÷íng trán (CDO) ctnhau ð �iºm thù 2 (kh¡c O) ch½nh l �iºm H. Ba �÷íng th¯ng AB, CD v OH �çng quy. �¥ych½nh l M .
8 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
T÷ìng tü nh÷ vªy n¸u l§y H trong váng trán ta câ thº düng l¤i �iºm �èi cüc cõa H. Ho°c n¸ucâ �÷íng th¯ng l ct �÷íng trán t¤i A v B th¼ coi A v B l ti¸p �iºm ta düng c¡c ti¸p tuy¸nvîi (O), hai ti¸p tuy¸n s³ ct nhau t¤i M .
3 C¡c k¸t qu£ trüc ti¸p
Tr÷îc khi �i v o li»t k¶ nhúng k¸t qu£ cõa Lemma 1 ta c¦n ph£i nhc �¸n b i to¡n − khængthº t¡ch ri¶ng vîi �ành lþ Menelaus − �â l �ành lþ Ceva.
�ành lþ Ceva.
�ành lþ 1. Cho tam gi¡c ABC v ba �iºmM, N, P l¦n l÷ñt thuëc c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB.
Khi �â AM, BN, CP �çng quy khi v ch¿ khiMB
MC· NC
NA· PA
PB= −1.
�ành lþ n y câ thº chùng minh trüc ti¸p tø �ành lþ Menelaus.
3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I
�ành lþ Menelaus cho tù gi¡c.
�ành lþ 2. Cho tù gi¡c ABCD v bèn �iºm M, N, P, Q l¦n l÷ñt thuëc c¡c �÷íng th¯ng
AB, BC, CD, DA. Khi �â M, N, P, Q th¯ng h ng khi v ch¿ khiMA
MB· NB
NC· PC
PD· PD
PA= 1.
9 S�T: 096 568 5459
3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I LOISCENTER
H» qu£ 1. �iºm M n¬m trong h¼nh b¼nh h nh ABCD. Qua M k´ c¡c �÷íng th¯ng song songvîi c¡c c¤nh v ct chóng ð c¡c �iºm t÷ìng ùng P, R v Q, S (h¼nh v³). Khi �â AC, SR, PQ�çng quy.
Chùng minh.
Gåi giao �iºm cõa AC v PQ l K. Ta s³ chùng minh K, R, S th¯ng h ng.
Theo �ành lþ MenelausKC
KA· PA
PB· QB
QC= 1. (*). M°t kh¡c
PA
PB=
RD
RC,QB
QC=
SA
SD. Thay v o
(*) ta nhªn �÷ñcKC
KA· RD
RC· SASD
= 1.
�ành lþ Desargues.
�ành lþ 3. Cho tam gi¡c ABC v tam gi¡c A′B′C ′. Khi �â AA′, BB′, CC ′ �çng quy khi v ch¿ khi c¡c giao �iºm X, Y, Z l¦n l÷ñt cõa BC v B′C ′, CA v C ′A′ , AB v A′B′ th¯ng h ng.
Chùng minh.
10 S�T: 096 568 5459
3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I LOISCENTER
Ph¦n thuªn. X²t tam gi¡c SAB v c¡t tuy¸n ZB′A′. Ta câZA
ZB· B
′B
B′S· A
′S
A′A= 1.
T÷ìng tü vîi c¡c tam gi¡c SBC v SAC ta câXB
XC· C
′C
C ′S· B
′S
B′B= 1 v
Y C
Y A· A
′A
A′S· C
′S
C ′C= 1.
Nh¥n ba �¯ng thùc vîi nhau ta �÷ñcZA
ZB· XB
XC· Y C
Y A= 1. Suy ra X, Y, Z th¯ng h ng.
Ph¦n �£o. Gi£ sû X, Y, Z th¯ng h ng ta ph£i chùng minh AA′, BB′, CC ′ �çng quy.X²t tam gi¡c XCC ′ v ZAA′ ta câ c¡c �÷íng th¯ng AC, XZ, A′C ′ �çng quy. Theo ph¦nthuªn cõa chùng minh n y B′, B, S th¯ng h ng. �i·u �â công câ ngh¾a l AA′, BB′, CC ′
�çng quy.
Sau �ành lþ v· chòm bèn �÷íng th¯ng �çng quy chóng ta s³ quay trð l¤i �ành lþ n y.
�ành lþ Pappus.
�ành lþ 4. Cho ba �iºm A, B, C n¬m tr¶n �÷íng th¯ng a, ba �iºm X, Y, Z n¬m tr¶n �÷íngth¯ng b. GåiM, N, P l¦n l÷ñt l giao �iºm cõa c°p �÷íng th¯ng (AY,BX), (AZ,CX), (CY,BZ).Khi �â M, N, P th¯ng h ng.
Chùng minh.
�ành lþ con b÷îm vîi c°p �÷íng th¯ng.
�ành lþ 5. Cho tam gi¡c ABC. L§y I l trung �iºm cõa BC. Qua I k´ c¡c �÷íng th¯ng ∆ ctAB, AC t¤i N , Q, �÷íng th¯ng ∆′ ct AB, AC t¤i P, M . Gåi MN, PQ ct BC t¤i F, E.Khi �â ta câ I l trung �iºm EF .
Chùng minh.
11 S�T: 096 568 5459
3.1 C¡c chùng minh ch¿ c¦n sû döng Mæ h¼nh I LOISCENTER
Chòm 4 �÷íng th¯ng �çng quy − Ph²p bi¸n h¼nh b£o to n t¿ sè k²p.
Mæ h¼nh bèn �÷íng th¯ng �çng quy t¤i mët �iºm l c§u h¼nh ch½nh cõa t¿ l» k²p, c§u th nhkhæng thº thi¸u cõa lþ thuy¸t h¼nh håc x¤ £nh.
Bèn �iºm A, B, C, D n¬m tr¶n mët �÷íng th¯ng. T¿ sè k²p cõa 4 �iºm n y �÷ñc k½ hi»u(ABCD) v �÷ñc �ành ngh¾a b¬ng (c¡c �o¤n th¯ng l câ h÷îng):
(ABCD) =CA
CB:DA
DB
�ành lþ 6. Cho a, b, c, d l chòm �÷íng th¯ng t¥m O. �÷íng th¯ng ∆ khæng �i qua O theothù tü ct a, b, c, d t¤i A, B, C, D. �÷íng th¯ng ∆′ khæng �i qua O theo thù tü ct a, b, c
t¤i A′, B′, C ′. Khi �â ∆′//d⇐⇒ (ABCD) =C ′A′
C ′B′ .
Chùng minh.
�i·u ki»n c¦n. Khæng m§t têng qu¡t ta câ thº gi£ sû C ≡ C ′. Khi �â (ABCD) =CA
CB:DA
DB=
CA
CB· DB
DA=
CA
DA· DB
CB=
A′C ′
OD· OD
C ′B′ =A′C ′
B′C ′ .
�i·u ki»n �õ. Qua C kº �÷íng th¯ng ∆′′ song song vîi d. Khi �â theo chùng minh cõa ph¦n
�i·u ki»n c¦n (ABCD) =A′′C ′′
B′′C ′′ . Tø �âB′C ′
B′′C ′′ (ð �¥y C = C ′ = C). �i·u n y ch¿ x£y ra khi
∆//∆′. V¼ C ′ ≡ C n¶n ∆ ≡ ∆′.
�ành lþ 7. Cho a, b, c, d l chòm �÷íng th¯ng t¥m O. �÷íng th¯ng ∆ khæng �i qua O theothù tü ct a, b, c, d t¤i A, B, C, D. �÷íng th¯ng ∆′ khæng �i qua O theo thù tü ct a, b, c, dt¤i A′, B′, C ′, D′. Khi �â (ABCD) = (A′B′C ′D′).
12 S�T: 096 568 5459
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER
Chùng minh.
Theo �ành lþ 1 ta câ (ABCD) = (ABC) v (ABC) = (A′B′C ′D′). Tø �â suy ra (ABCD) =(A′B′C ′D′).
�ành lþ 8 (Ph²p chi¸u xuy¶n t¥m b£o to n t¿ sè k²p). Cho hai �÷ìng th¯ng ∆ v ∆′ ctnhau t¤i O. C¡c �iºm A, B, C thuëc �÷íng th¯ng ∆ v c¡c �iºm A′, B′, C ′ thuëc �÷íngth¯ng ∆′. Khi �â AA′, BB′, CC ′ ho°c �çng quy, ho°c �æi mët song song khi v ch¿ khi(OABC) = (OA′B′C ′).
�p döng �ành lþ cì b£n T¿ sè k²p ta câ thº chùng minh d¹ d ng �ành lþ Desargues.
�ành lþ 9. Cho tam gi¡c ABC v tam gi¡c A′B′C ′. Khi �â AA′, BB′, CC ′ �çng quy khi v ch¿ khi c¡c giao �iºm X, Y, Z l¦n l÷ñt cõa BC v B′C ′, CA v C ′A′, AB v A′B′ th¯ng h ng.
Chùng minh.
Ta câ (ACNY ) = (A′C ′MY ) (do chòm S(ACNY )) = B(ACNY ) = (XZKY ). M°t kh¡c n¸uX ′ l giao �iºm cõa �÷íng th¯ng Y K vîi B′A′ th¼ (XZKY ) = (X ′ZKY ). �i·u nay ch¿ câ thºkhi X ≡ X ′.
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II
a) �÷íng trán v t¥m Euler (�÷íng trán 9 �iºm)
�ành lþ 10.
a) Trong mët tam gi¡c, trung �iºm c¡c c¤nh cõa tam gi¡c, ch¥n c¡c �÷íng cao v trung �iºmc¡c �o¤n th¯ng nèi c¡c �¿nh vîi trüc t¥m còng n¬m tr¶n mët �÷íng trán gåi l �÷íngtrán Euler cõa tam gi¡c §y.
13 S�T: 096 568 5459
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER
b) Trüc t¥m, trång t¥m, t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p cõa tam gi¡c th¯ng h ng. (�÷íng th¯ngn y câ t¶n l �÷íng th¯ng Euler).
Chùng minh.
X²t �÷íng trán qua 3 �iºm A1B1M . Ta s³ ch¿ ra N ∈ (A1B1M). V¼ ABA1B1 l tù gi¡c nëiti¸p câ giao �iºm vîi (A1B1M) t¤i A1, B1. C¡c c¡t tuy¸n BA1 v AB1 ct (A1B1M) t¤i c¡c�iºm M v N ′. Theo bê �· mæ h¼nh 4.2 ta câ AB//MN ′. Vªy N ′ n¬m tr¶n �÷íng trung b¼nhsong song vîi AB. Do �â N ′ ≡ N . T÷ìng tü ta chùng minh �÷ñc P,C1 ∈ (A1B1M).
Ghi chó: T¥m cõa �÷íng trán 9 �iºm n y ch½nh l t¥m cõa tam gi¡c t¤o bði c¡c trung �iºmc¡c c¤nh, ho°c nâi c¡ch kh¡c l tam gi¡c t¤o bði c¡c �÷íng trung b¼nh.
b) �÷íng th¯ng Simson.
�ành lþ 11. Cho tam gi¡c ABC nëi ti¸p trong �÷íng trán (O), �iºm M tr¶n (O). Gåi N, P, Ql¦n l÷ñt l ch¥n c¡c h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M tr¶n c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB. Khi �âN, P, Q th¯ng h ng.
Chùng minh.
Kþ hi»u D l giao �iºm thù 2 cõa �÷íng th¯ng MN vîi (O).Bèn �iºm MNPC l tù gi¡c nëi ti¸p. Giao cõa (MNPC) v (O) l MC. Sû döng Mæ h¼nh4.2 cho hai c¡t tuy¸n MD v CA ta câ AD//NP . T÷ìng tü vªy vîi 4 �iºm BNMQ v hai c¡ttuy¸n QA, MD suy ra NQ//AD. Do �â P, N, Q th¯ng h ng.
c) �ành lþ con b÷îm v �÷íng trán.
�ành lþ 12. Cho �÷íng trán (O) v d¥y cung AB. I l trung �iºm cõa AB. Qua I v³ hai d¥ycung tòy þ MN v PQ. MQ v NP l¦n l÷ñt ct AB t¤i E v F . Khi �â I l trung �iºm cõaEF .
14 S�T: 096 568 5459
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER
Chùng minh. C¡ch 1:
∆QMI v ∆NPI suy ra ∆HMI v ∆KPI. Suy ra IOF = IKF = IHE = EOI vªy tam gi¡cEOF c¥n. Do �â IE = IF .C¡ch 2. (Dòng mæ h¼nh 4.2)
Gåi P ′Q′ v M ′N ′ l¦n l÷ñt l £nh �èi xùng cõa PQ v MN qua tröc IO. Gåi giao cõa MQ v N ′P ′ l F ′. Ta s³ chùng minh F ≡ F ′.Thªt vªy, v¼ AA′//MM ′//PP ′. M ′N ′P ′ = MNP (�èi xùng) = MQP (còng chn mët cung),do �â tù gi¡c IN ′QF ′ nëi ti¸p. X²t �÷íng trán (IN ′QF ′) v (O), hai c¡t tuy¸n M ′N ′ v MQtheo Bê �· 1 IF ′//MM ′. Tø �â suy ra F ′ n¬m tr¶n AB do �â F ≡ F ′.
d) �ành lþ MIQUEL.
�ành lþ 13. Cho tam gi¡c ABC v ba �iºm M, N, P l¦n l÷ñt n¬m tr¶n BC, CA, AB. Khi�â c¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c APN, BPM v CMN �çng quy.
Chùng minh.
15 S�T: 096 568 5459
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER
Gåi S giao �iºm thù 2 cõa hai �÷íng trán (PAN) v (MCN). �÷íng trán (PSM) ct AB t¤iB′ v ct BC t¤i B′′. Ta s³ chùng minh B′ ≡ B′′ ≡ B. Gåi giao �iºm cõa MS vîi (ANP ) l
D. �p döng Bê �· 1 suy ra MC//AB. T÷ìng tü nh÷ vªy ta chùng minh �÷ñc B′M//AD. Suyra B′ thuëc �÷íng th¯ng BC. Chùng minh ho n t§t.
e) �ành lþ Pascal.
�ành lþ 14. Cho 6 �iºm A, B, C, D, E, F khæng kº �¸n thù tü còng thuëc mët �÷íng trán.X²t �÷íng g§p khóc kh²p k½n AB, BC, CD, DE, EF, FA. Gåi H, I, K l¦n l÷ñt l giao �iºmcõa c¡c c°p �÷íng th¯ng AB v ED, BC v EF , CD v FA. Khi �â H, I, K th¯ng h ng.
Chùng minh.
X²t �÷íng trán (BEI) v (O) còng c°p c¡t tuy¸nED, BA theo Bê �· 1 nhªn �÷ñcAD//JG.T÷ìngtü nh÷ th¸ vîi c°p c¡t tuy¸n BC v ED ta nhªn �÷ñc CD//IG. Vîi c°p c¡t tuy¸n EF v BA ta �÷ñc IJ//AF . Suy ra ∆KDA v ∆IGJ vîi c¡c c°p c¤nh �æi mët song song. Tø �âIK, AJ, GD �çng quy t¤i H. Do �â K, H, I th¯ng h ng.
�ành lþ Pascal cho löc gi¡c suy bi¸n.
f) �÷íng th¯ng Steiner.
�ành lþ 15. Cho tam gi¡c ABC nëi ti¸p trong �÷íng trán (O), �iºm D tr¶n �÷íng trán (O).Gåi A2, B2, C2 l¦n l÷ñt l �iºm �èi xùng vîi D qua c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB th¼ chóngth¯ng h ng, �÷íng th¯ng chùa c¡c �iºm n y �i qua trüc t¥m cõa tam gi¡c ABC.
�÷íng th¯ng tr¶n �÷ñc gåi l �÷íng th¯ng Steiner ùng vîi �iºm D. �iºm D �÷ñc gåi l �iºmanti Steiner.
16 S�T: 096 568 5459
3.2 C¡c chùng minh sû döng Mæ h¼nh II LOISCENTER
Chùng minh.
Ta s³ chùng minh BB′//CC ′//B1C1. �i·u n y nhªn �÷ñc vîi c°p �÷íng trán (DA1B1C), (O)còng hai c¡t tuy¸n DB′ v CB. Do �â A1B1//BB′. T÷ìng tü nh÷ th¸ A1B1//CC ′.B¥y gií ta chùng minh HB2//BB′. V¼ �÷íng trán (DHH2B2) v �÷íng trán (O) giao nhauð D, H2. Hai c¡t tuy¸n chung DB′ v H2B, do �â Mæ h¼nh 4,2 c¡c �÷íng th¯ng HB′//HB2.T÷ìng tü ta chùng minh �÷ñc r¬ng HC2//CC ′. Tø �â C2, H,B2, A2 th¯ng h ng.
g) �iºm Anti Steiner (�ành lþ Colling)
�ành lþ 16. Cho tam gi¡c ABC trüc t¥m H. �÷íng th¯ng d �i qua H. Gåi da, db, dc l¦n l÷ñtl c¡c �÷íng th¯ng �èi xùng cõa d qua BC, CA, AB. Khi �â c¡c �÷íng th¯ng n y �çng quyt¤i mët �iºm tr¶n �÷íng trán ngo¤i ti¸p ABC.
Ghi chó. �iºm tr¶n (kþ hi»u G) gåi l �iºm Anti Steiner v �÷íng th¯ng d gåi l �÷íng th¯ngSteiner cõa �iºm G.
h) Ph¦n �£o cõa �ành lþ Colling
�ành lþ 17. Cho p l mët �iºm thuëc �÷íng th¯ng d. Pa, Pb, Pc l¦n l÷ñt l c¡c �iºm �èi xùngcõa P qua c¡c c¤nh BC, CA, AC. Khi �â (A,Pc, Pb) (B,Pc, Pa) v (C,Pa, Pb) còng �i quamët �iºm G.
17 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
C£ hai �ành lþ l m»nh �· �£o v h» qu£ cõa �ành lþ Steiner.
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III
a) �ành Lþ Brianchon.
�ành lþ 18. Cho löc gi¡c ABCDEF ngo¤i ti¸p �÷íng trán (O). Khi �â ba �÷íng ch²o lînAD, BE, CF �çng quy.
Chùng minh.
K½ hi»u c¡c ti¸p �iºm nh÷ tr¶n h¼nh v³. Gåi XY ∩ V Z = {P}, XZ ∩ Y V = {Q}. �p döng�ành lþ Pascal cho 6 �iºm X, X, Y, Z, V, V suy ra P, A, Q th¯ng h ng. T÷ìng tü suy raP, Q, A, C th¯ng h ng. B¬ng ph÷ìng ph¡p t÷ìng tü ta thu �÷ñc XT, ZV, AD �çng quy t¤iA′; XT, Y U, BE �çng quy t¤i B′; Y U, ZV �çng quy t¤i C ′. X²t hai tam gi¡c ABC v tamgi¡c A′B′C ′ câ AB ∩A′B′ = {X}, AC ∩A′C ′ = {P}, BC ∩B′C ′ = {Y } th¯ng h ng n¶n theo�ành lþ Desargues, AA′, BB′, CC ′ �çng quy hay AD, BE, CF �çng quy.
b) �ành lþ Brokard
�ành lþ 19. Cho tù gi¡c lçi ABCD nëi ti¸p �÷íng trán t¥m O. AD giao BC t¤i M , AB giaoCD t¤i N , AC giao BD t¤i I. Khi �â I l trüc t¥m cõa tam gi¡c MON .
18 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
Chùng minh.
Mæ h¼nh 4.1 �÷ñc ¡p döng rã n²t nh§t trong �ành lþ n y. Ta nhªn �÷ñc ngay �÷íng th¯ng MHl �÷íng �èi cõa cüc N v �÷íng MH l �÷íng �èi cüc cõa N . Do �â MH⊥NO v NI⊥MO.Suy ra OI vuæng gâc vîi MN .
J. Steiner - I. F. Sharygin: The Complete QuadrilateralSau �¥y l 11 �ành lþ �÷ñc �¡nh gi¡ l c¡c k¸t qu£ t¤o ti·n �· cho h¼nh håc x¤ £nh.
H¼nh bèn c¤nh to n ph¦n.
�ành lþ 1 (�÷íng th¯ng Newton − Gauss). C¡c �iºm giúa cõa c¡c �÷íng ch²o cõa tù gi¡cto n ph¦n n¬m tr¶n mët �÷íng th¯ng.
H» qu£ 2. Cho tam gi¡c ABC. �iºm E v F l¦n l÷ñt tr¶n AC v AB. BE v CF ct nhaut¤i H. M, K, L l¦n l÷ñt l trung �iºm cõa AM, EF, BC. Chùng minh r¬ng M, K, L th¯ngh ng.
Chùng minh.
19 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
ABHC l tù gi¡c to n ph¦n. K¸t qu£ �÷ñc chùng minh trüc ti¸p b¬ng ¡p döng �ành lþ �÷íngth¯ng Gauss − Newton.
�ành lþ 2 (�ành lþ Newton). N¸u �÷íng trán (O) ti¸p xóc vîi c¡c �÷íng th¯ng tù gi¡c to nph¦n th¼ t¥m O cõa �÷íng trán n y n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Newton − Gauss.
Chùng minh.
M, N, I câ t¼nh ch§t di»n t½ch c¡c tam gi¡c �÷ñc t¤o bði �iºm �¢ cho v 2 �o¤n th¯ng cè �ànhcho tr÷îc câ têng khæng �êi. Th¼ quÿ t½ch cõa chóng l mët �o¤n th¯ng.�p döng k¸t qu£ n y �ành lþ �÷ñc suy ra.
�ành lþ 3 (�iºm Miquel). C¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p bèn tam gi¡c nâi tr¶n �i qua mët �iºmchung.
Chùng minh.
20 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
Gåi M l giao �iºm kh¡c E cõa (AEF ) v (CDE). �p döng �ành lþ Miquel cõa tam gi¡c DBFv 3 �iºm C, E, A ta câ (ABC) �i qua M . Vªy M n¬m tr¶n �÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡cABC. T÷ìng tü th¸ ta suy ra �pcm.
�ành lþ 4. �iºm Miguel v t¥m cõa c¡c �÷íng trán ngo¤i ti¸p bèn tam gi¡c thuëc tù gi¡c to nph¦n nâi tr¶n n¬m tr¶n mët �÷íng trán.
Chùng minh.
Cho tù gi¡c to n ph¦n ABCDEF , ta câ �iºm Miquel M v t¥m ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡cAEF, CDE, ABC, BDF còng n¬m tr¶n mët �÷íng trán cõa tù gi¡c to n ph¦n.
Gåi O1, O2, O3, O4 l t¥m ngo¤i ti¸p c¡c tam gi¡c AEF, CDE, ABC, BDF . Gåi X, Y, Zl trung �iºm c¡c �o¤n th¯ng MD, MC, MB. Ta câ MD l giao cõa (O4) v (O2) n¶nO4O2⊥MD. T÷ìng tü, ta câ MY⊥O3O2, MZ⊥O3O4. M°t kh¡c X, Y, Z th¯ng h ng (theoThales). Do �â theo �ành lþ �£o v· �÷íng th¯ng S½mon ta câ M, O2, O3, O4 �çng vi¶n. T÷ìngtü, ta suy ra �pcm.
�ành lþ 5. N¸u 4 �¿nh n o �â cõa h¼nh tù gi¡c to n ph¦n n¬m tr¶n mët �÷íng trán th¼ �iºmMiquel n¬m tr¶n �÷íng nèi 2 �iºm cán l¤i.
Chùng minh.
21 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
�ành lþ 6 (�÷íng th¯ng Van Oebel � �÷ìng th¯ng Steiner cõa tù gi¡c to n ph¦n). C¡c �÷íngth¯ng cõa tù gi¡c to n ph¦n, cù ba �÷íng t¤o th nh mët tam gi¡c, (câ têng cëng 4 tam gi¡cnh÷ vªy). CMR trüc t¥m cõa 4 tam gi¡c n y n¬m tr¶n mët �÷íng th¯ng vuæng gâc vîi �÷íngth¯ng Newton − Gauss (�÷íng th¯ng �i qua �iºm giúa c¡c �÷íng ch²o).
Chùng minh.
Tù gi¡c to n ph¦n ABCDEF . Khi �â trüc t¥m cõa c¡c tam gi¡c AEF, DCE, ABC, BDFcòng n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Steiner cõa tù gi¡c to n ph¦n.
22 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
Gåi H1, H2, H3, H4 l¦n l÷ñt l trüc t¥m c¡c tam gi¡c AEF, DCE, ABC, BDF . Gåi X, Y l trung �iºm c¡c �÷íng ch²o BE, AD. Ta câ PH2/(X,XB) = H2P ·H2E = H2Q·H2D = PH2/(Z,ZD).Do �â H2 n¬m tr¶n tröc �¯ng ph÷ìng cõa hai �÷íng trán (X,XB) v (Z,ZD). T÷ìng tü vîi3 �iºm cán l¤i ta câ �pcm.
�ành lþ 7. Gi£ sû 4 �¿nh n o �â cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n lªp th nh tù gi¡c nëi ti¸p. X²ttam gi¡c �÷ñc t¤o bði 2 �¿nh cán l¤i v t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p tù gi¡c, trüc t¥m cõa tamgi¡c n y s³ tròng vîi �giao �iºm� cõa hai �÷íng ch²o cõa tù gi¡c nëi ti¸p.
Chùng minh.
�¥y ch½nh l �ành lþ Brokad �¢ �÷ñc chùng minh trong möc tr÷îc.
�ành lþ 8. V³ c¡c �÷íng trán câ �÷íng k½nh l c¡c �÷íng ch²o cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n.C¡c �÷íng trán n y câ 2 �iºm chung v 2 �iºm chung n y n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Van Oebel.
�ành lþ 9. C¡c �÷íng ch²o cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n lªp th nh mët tam gi¡c. Khi �â t¥mcõa �÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c n y n¬m tr¶n �÷íng th¯ng Van Oebel.
23 S�T: 096 568 5459
3.3 Sû döng Mæ h¼nh III LOISCENTER
�ành lþ 10. N¸u mët �÷íng th¯ng n o �â cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n song song vîi �÷íngth¯ng Euler cõa tam gi¡c t¤o bði 3 �÷íng kia, th¼ c¡c �÷íng kh¡c công câ t½nh ch§t n y.
�ành lþ 11 (�iºm Harvey). C¡c �÷íng th¯ng cõa h¼nh bèn c¤nh to n ph¦n t¤o th nh 4 tamgi¡c. Méi tam gi¡c ta nèi trüc t¥m vîi t¥m �÷íng trán ngo¤i ti¸p, �÷ñc 4 �o¤n th¯ng. C¡c�÷íng trung trüc cõa c¡c �o¤n th¯ng n y g°p nhau t¤i mët �iºm.
24 S�T: 096 568 5459