��I HÅC QUÈC GIA H� NËI

TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI�N

TR�N TR×ÍNG SINH

B�T PH×ÌNG TR�NHDIOPHANTE TUY�N T�NH

Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PH�P TO�N SÌ C�P

M¢ sè: 60.46.01.13

LU�N V�N TH�C Sß KHOA HÅC

NG×ÍI H×ÎNG D�N KHOA HÅC

GS.TSKH NGUY�N V�N M�U

H� NËI - 2015

Möc löc

Mð �¦u 2

1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4

1.1 ×îc sè chung lîn nh§t. Thuªt to¡n Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Li¶n ph¥n sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o gi£n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o thuªt to¡n Euclid . . . . . . . . . . . 6

1.4 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . . . 7

2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh 8

2.1 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh . . . 11

2.3.1 Mët sè v½ dö li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante d¤ng li¶n ph¥n sè . . . . . . . . . . 13

3 Mët sè b i to¡n li¶n quan 14

3.1 Nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh,

h» b§t ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh

l÷ñng gi¡c câ �i·u ki»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 X¡c �ành ph¥n thùc ch½nh quy thäa m¢n �i·u ki»n cho tr÷îc . . . . . . 16

K¸t luªn 19

T i li»u tham kh£o 20

1

Mð �¦u

Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n hay cán gåi l  ph÷ìng tr¼nh Diophante l 

mët trong nhúng d¤ng to¡n l¥u �íi nh§t cõa To¡n håc. Thæng qua vi»c gi£i

ph÷ìng tr¼nh Diophante, c¡c nh  to¡n håc �¢ t¼m ra �÷ñc nhúng t½nh ch§t

s¥u s­c cõa sè nguy¶n, sè húu t¿, sè �¤i sè. Gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante �¢

�÷a �¸n sü ra �íi cõa li¶n ph¥n sè, lþ thuy¸t �÷íng cong elliptic, lþ thuy¸t

x§p x¿ Diophant, th°ng d÷ b¼nh ph÷ìng, sè håc modular,. . .

B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh thüc ch§t l  ph÷ìng tr¼nh Dio-

phante tuy¸n t½nh câ chùa tham sè. Câ thº nâi �¥y l  mët d¤ng to¡n kh¡

mîi m´ v  ch÷a phê bi¸n trong c¡c ký thi håc sinh giäi bªc phê thæng.

Trong luªn v«n n y, t¡c gi£ khæng câ tham vång bao qu¡t h¸t c¡c v§n

�· v· b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh m  chõ y¸u �i s¥u nghi¶n cùu

b§t ph÷ìng tr¼nh d¤ng n y vîi hai bi¸n, ba bi¸n ho°c bèn bi¸n. Hi vång

�¥y s³ l  mët t i li»u bê ½ch cho c¡c th¦y cæ gi¡o v  c¡c em håc sinh trong

qu¡ tr¼nh æn luy»n thi håc sinh giäi.

Luªn v«n �÷ñc chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng 2. B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

Ch÷ìng 3. Mët sè b i to¡n li¶n quan.

Nh¥n �¥y, t¡c gi£ xin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi

GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu. Th¦y �¢ d nh nhi·u thíi gian h÷îng d¨n công

nh÷ gi£i �¡p c¡c th­c m­c cõa håc trá trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n

cùu v  gióp �ï t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y.

T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi Ban gi¡m hi»u,

Pháng � o t¤o Sau �¤i håc, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, c¡c th¦y cæ gi¡o �¢

t¤o �i·u ki»n thuªn lñi �º t¡c gi£ câ thº ho n th nh nhi»m vö cõa m¼nh.

2

T¡c gi£ xin c£m ìn gia �¼nh, b¤n b± �¢ luæn quan t¥m, �ëng vi¶n, cê

vô v  t¤o �i·u ki»n tèt nh§t cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian m  t¡c gi£ håc

tªp t¤i tr÷íng �¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - �¤i håc Quèc gia H  Nëi.

M°c dò �¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng do thíi gian v  tr¼nh �ë cán nhi·u

h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. V¼ vªy t¡c gi£ r§t

mong nhªn �÷ñc sü gâp þ cõa c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o công nh÷ c¡c b¤n �çng

nghi»p �º b£n luªn v«n �÷ñc ho n thi»n hìn.

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 09 n«m 2015

Håc vi¶n thüc hi»n

Tr¦n Tr÷íng Sinh

3

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

1.1 ×îc sè chung lîn nh§t. Thuªt to¡n Euclid

�ành ngh¾a 1.1 (xem [1]). Sè nguy¶n c �÷ñc gåi l  mët ÷îc sè chung cõa hai sè

nguy¶n a v  b (khæng �çng thíi b¬ng khæng) n¸u c chia h¸t a v  c chia h¸t b.

�ành ngh¾a 1.2 (xem [1]). Mët ÷îc sè chung d cõa hai sè nguy¶n a v  b (khæng �çng

thíi b¬ng khæng) �÷ñc gåi l  ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v  b n¸u måi ÷îc sè chung

c cõa a v  b �·u l  ÷îc cõa d.

Chó þ 1.1. N¸u d l  ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v  b th¼ −d công l  ÷îc sè chung lîn

nh§t cõa a v  b. Vªy ta quy ÷îc r¬ng ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v  b l  sè nguy¶n

d֓ng.

�ành ngh¾a 1.3 (xem [1]). Mët sè nguy¶n c �÷ñc gåi l  mët ÷îc sè chung cõa n sè

nguy¶n a1, a2, a3, . . . , an (khæng �çng thíi b¬ng khæng) n¸u c l  ÷îc cõa méi sè �â.

�ành ngh¾a 1.4 (xem [1]). Mët ÷îc sè chung d cõa n sè nguy¶n a1, a2, a3, . . . , an

(khæng �çng thíi b¬ng khæng) �÷ñc gåi l  ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a1, a2, a3, . . . , an

n¸u måi ÷îc sè chung c cõa a1, a2, a3, . . . , an �·u l  ÷îc cõa d.

�ành l½ 1.1. (v· sü tçn t¤i ÷îc sè chung lîn nh§t cõa nhi·u sè, xem [1]) Cho c¡c sè

nguy¶n a1, a2, a3, . . . , an khæng �çng thíi b¬ng khæng. Khi �â tçn t¤i ÷îc sè chung lîn

nh§t cõa a1, a2, a3, . . . , an.

T½nh ch§t 1.1 (xem [1]). Cho a, b, q, r l  c¡c sè nguy¶n (a2+ b2 6= 0). N¸u a = bq+ r

v  0 ≤ r < |b| th¼ (a,b) = (b,r).

Thuªt to¡n Euclid (thuªt to¡n t¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa hai sè nguy¶n d÷ìng).

4

1.2 Li¶n ph¥n sè

�ành ngh¾a 1.5. (Li¶n ph¥n sè húu h¤n, xem [3])

�ành ngh¾a 1.6. (Li¶n ph¥n sè væ h¤n, xem [3])

T½nh ch§t 1.2 (xem [3]). Méi sè húu t¿ l  mët li¶n ph¥n sè húu h¤n.

T½nh ch§t 1.3. (T½nh duy nh§t cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n, xem [3])

T½nh ch§t 1.4. (Cæng thùc t½nh gi£n ph¥n, xem [3])

T½nh ch§t 1.5 (xem [3]). Gi£ sû {Ck} l  d¢y gi£n ph¥n cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n

[a0; a1, a2, . . . , an]. Khi �â ta câ c¡c mèi li¶n h» sau

i) Ck − Ck−1 =(−1)k−1

qkqk−1, vîi 1 ≤ k ≤ n.

ii) Ck − Ck−2 =ak(−1)k

qkqk−2, vîi 2 ≤ k ≤ n.

T½nh ch§t 1.6 (xem [3]). Vîi c¡c gi£n ph¥n Ck cõa li¶n ph¥n sè húu h¤n [a0; a1, a2, . . . , an]

ta câ c¡c d¢y b§t �¯ng thùc sau

i) C1 > C3 > C5 > . . .

ii) C0 < C2 < C4 < . . .

iii) méi gi£n ph¥n l´ C2j−1 �·u lîn hìn méi gi£n ph¥n ch®n C2i.

T½nh ch§t 1.7 (xem [3]). Vîi måi k = 0, 1, . . . , n th¼ (pk, qk) = 1 (tùc l  pk, qk

nguy¶n tè còng nhau).

T½nh ch§t 1.8 (xem [3]). Cho a0, a1, a2, . . . l  d¢y væ h¤n c¡c sè nguy¶n, ai > 0 vîi

∀i ≥ 1. Vîi méi k, �°t Ck = [a0; a1, a2, . . . , ak]. Khi �â tçn t¤i giîi h¤n

limk→+∞

Ck.

T½nh ch§t 1.9 (xem [3]). Måi sè væ t¿ α �·u biºu di¹n �÷ñc mët c¡ch duy nh§t d÷îi

d¤ng mët li¶n ph¥n sè væ h¤n.

5

1.3 Ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

�ành ngh¾a 1.7 (xem [3]). Ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh câ d¤ng

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = c

trong �â c¡c h» sè ai, c ∈ Z,n∑i=1

a2i 6= 0, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n.

�ành l½ 1.2 (xem [3]). X²t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

Ax+By = C. (1)

i) (1) câ nghi»m khi v  ch¿ khi d = (A,B) |C .

ii) N¸u (x0, y0) l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) th¼ måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

(1) �÷ñc cho bði cæng thùc x = x0 +

B

dt

y = y0 −A

dt

, t ∈ Z.

Nhªn x²t 1.1. Vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh (1) quy v· vi»c t¼m

i) d = (A,B).

ii) Mët nghi»m ri¶ng (x0, y0) cõa ph÷ìng tr¼nh (1) .

1.3.1 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o gi£n ph¥n

1.3.2 T¼m nghi»m ri¶ng düa v o thuªt to¡n Euclid

�ành l½ 1.3 (xem [3]). X²t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = c. (5)

i) Ph÷ìng tr¼nh (5) câ nghi»m khi v  ch¿ khi d = (a1, a2, . . . , an) |c .

ii) N¸u ph÷ìng tr¼nh (5) câ nghi»m th¼ nâ s³ câ væ sè nghi»m.

V½ dö 1.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

6x+ 15y + 10z = 3. (7)

6

1.4 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Dio-phante tuy¸n t½nh

X²t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = c (5)

vîi c¡c h» sè ai, c ∈ Z+, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z+, ∀i = 1, 2, . . . , n. Khi �â ph÷ìng tr¼nh

(5) luæn câ húu h¤n nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1, x2, . . . , xn). Tø �· b i, ta câ thº

h¤n ch¸ �i·u ki»n cõa c¡c bi¸n sè bði

1 ≤ xi ≤[(c+ ai)− (a1 + a2 + . . .+ an)

ai

], ∀i = 1, 2, . . . , n.

Khi �â, c¡ch �ìn gi£n nh§t �º t¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1, x2, . . . , xn) cõa

ph÷ìng tr¼nh (5) l  ta cho mët bi¸n sè xi n o �â l¦n l÷ñt ch¤y qua c¡c gi¡ trà câ thº

câ cõa nâ v  t¼m c¡c bi¸n sè cán l¤i tø ph÷ìng tr¼nh �¢ cho.

V½ dö 1.2. T¼m c¡c nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

6x+ 15y + 10z = 200. (8)

�¡p sè: Ph÷ìng tr¼nh (8) câ c£ th£y 15 nghi»m nguy¶n d÷ìng (x, y, z) bao gçm(5, 2, 14) , (5, 4, 11) , (5, 6, 8) , (5, 8, 5) , (5, 10, 2) , (10, 2, 11) , (10, 4, 8) , (10, 6, 5) , (10, 8, 2) ,(15, 2, 8) , (15, 4, 5) , (15, 6, 2) , (20, 2, 5) , (20, 4, 2) , (25, 2, 2) .

7

Ch֓ng 2

B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸nt½nh

Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ nghi¶n cùu c¡ch gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante

tuy¸n t½nh v  c¡c th½ dö minh håa.

2.1 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

�ành ngh¾a 2.1. B§t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh câ d¤ng

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn < c (9)

(ho°c f(x) ≤ c, f(x) > c, f(x) ≥ c, vîi f(x) = a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn)

trong �â c¡c h» sè ai, c ∈ Z, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n,n∑i=1

a2i 6= 0.

C¡ch gi£i. Ta câ b§t ph÷ìng tr¼nh (9) t÷ìng �÷ìng vîi

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = m (10)

trong �â m l  tham sè, m ∈ Z, m < c.

Nh÷ vªy vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh �÷ñc �÷a v· gi£i ph÷ìng

tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh (chùa tham sè) m  chóng ta �¢ bi¸t c¡ch gi£i.

V½ dö 2.1. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

342x− 123y ≥ 13. (11)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (11) l {x = 9k + 41ty = 25k + 114t

, ∀t, k ∈ Z, k ≥ 5.

8

V½ dö 2.2. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

6x+ 9y + 18z < 5. (12)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (12) l {x = −k + 3u+ 3ty = −k + 4u+ 2tz = k − 3u− 2t

trong �â k, u, t ∈ Z, k ≤ 1.

V½ dö 2.3. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

6x+ 15y + 10z > 3. (13)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (13) l {x = −4m+ 25u+ 15ty = − m+ 6u+ 4tz = 4m− 24u− 15t

trong �â m, u, t ∈ Z, m ≥ 4.

V½ dö 2.4. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

2x+ 4y + 6z − 10t ≥ 1. (14)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (14) l x = k − 2u− 3v + 5wy = uz = vt = w

trong �â k, u, v,w ∈ Z, k ≥ 1.

2.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n"

�ành ngh¾a 2.2. B§t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh "bà ch°n" câ d¤ng

b ≤ a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn ≤ c (15)

trong �â c¡c h» sè ai, b, c ∈ Z, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n,n∑i=1

a2i 6= 0.

C¡ch gi£i. Ta câ b§t ph÷ìng tr¼nh (15) t÷ìng �÷ìng vîi

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = m (16)

9

trong �â m l  tham sè, m ∈ Z, b ≤ m ≤ c.

Nh÷ vªy vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh �÷ñc �÷a v· gi£i ph÷ìng

tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh (chùa tham sè) m  chóng ta �¢ bi¸t c¡ch gi£i.

V½ dö 2.5. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n"

1 < 12x+ 15y ≤ 10. (17)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (17) l {x = −k + 5ty = k − 4t

trong �â k ∈ {1; 2; 3} , t ∈ Z.

V½ dö 2.6. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n"

12 < 6x− 18y + 54z ≤ 17. (18)

�¡p sè: B§t ph÷ìng tr¼nh (18) væ nghi»m.

V½ dö 2.7. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n"

−1 < 4x+ 10y − 20z < 20. (19)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (19) l {x = 3k − 1 5u+ 5ty = k − 4u+ 2tz = k − 5u+ 2t

trong �â k, u, t ∈ Z, 0 ≤ k ≤ 9.

V½ dö 2.8. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n"

−2 ≤ 6x+ 8y + 2z + 4t ≤ 28. (20)

�¡p sè: Nghi»m têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (20) l x = uy = vz = k − 3u− 4v − 2wt = w

trong �â k, u, v,w ∈ Z, −1 ≤ k ≤ 14.

10

2.3 Nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nhDiophante tuy¸n t½nh

X²t b§t ph÷ìng tr¼nh Dipophante tuy¸n t½nh

a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn ≤ c (5)

vîi c¡c h» sè ai, c ∈ Z+, c¡c bi¸n sè xi ∈ Z+, ∀i = 1, 2, . . . , n. Khi �â b§t ph÷ìng

tr¼nh (5) luæn câ húu h¤n nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1, x2, . . . , xn). Tø �· b i, ta câ

thº h¤n ch¸ �i·u ki»n cõa c¡c bi¸n sè bði

1 ≤ xi ≤[(c+ ai)− (a1 + a2 + . . .+ an)

ai

], ∀i = 1, 2, . . . , n.

Khi �â, c¡ch �ìn gi£n nh§t �º t¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng x = (x1, x2, . . . , xn) cõa b§t

ph÷ìng tr¼nh (5) l  ta cho mët bi¸n sè xi n o �â l¦n l÷ñt ch¤y qua c¡c gi¡ trà câ thº

câ cõa nâ v  t¼m c¡c bi¸n sè cán l¤i tø b§t ph÷ìng tr¼nh �¢ cho.

V½ dö 2.9. T¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

3x+ 4y + z + 2t ≤ 14. (21)

�¡p sè: B§t ph÷ìng tr¼nh (21) câ c£ th£y 12 nghi»m nguy¶n d÷ìng (x, y, z, t) bao gçm

(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 2) , (1, 1, 1, 3) , (1, 1, 2, 1) , (1, 1, 2, 2) , (1, 1, 3, 1) ,(1, 1, 3, 2) , (1, 1, 4, 1) , (1, 1, 5, 1) , (1, 2, 1, 1) , (2, 1, 1, 1) , (2, 1, 2, 1) .

2.3.1 Mët sè v½ dö li¶n quan

Ti¸p theo ta x²t mët sè v½ dö li¶n quan.

V½ dö 2.10. T¼m nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh

"bà ch°n"

−1 < 4x+ 10y − 20z < 20. (22)

�¡p sè: Nghi»m nguy¶n d÷ìng têng qu¡t cõa b§t ph÷ìng tr¼nh (22) l {x = 3k − 5ly = k + 2az = k − l + a

trong �â l, a ∈ Z, l < 3k

5, a > −k

2, l − a < k, k = 0, 1, . . . , 9.

11

B i to¡n 2.1. Mët tr÷íng håc câ 20 b¤n håc sinh giäi, trong �â sè håc sinh giäi méi

mæn To¡n, Lþ, Hâa, V«n t÷ìng ùng l  6, 8, 2, 4 b¤n. Häi câ bao nhi¶u c¡ch chia 28

qu£ cam cho 20 b¤n �â sao cho �çng thíi ta câ:

i) Méi b¤n nhªn �÷ñc ½t nh§t 1 qu£ cam v  sè cam nhªn �÷ñc l  sè nguy¶n.

ii) C¡c b¤n håc sinh giäi còng mæn håc th¼ nhªn �÷ñc sè cam nh÷ nhau.

H¢y x¡c �ành t§t c£ c¡c c¡ch chia cam sao cho têng sè cam m  20 b¤n nhªn �÷ñc l 

nhi·u nh§t.

�¡p sè: B i to¡n câ 12 c¡ch chia cam, t÷ìng ùng vîi c¡c nghi»m nguy¶n d÷ìng

(x; y; z; t) cõa h» tr¶n, cö thº l :

(1; 1; 1; 1), (1; 1; 2; 1), (1; 1; 3; 1), (1; 1; 4; 1), (1; 1; 5; 1), (1; 1; 1; 2), (1; 1; 2; 2), (1; 1; 3; 2),

(2; 1; 1; 1), (2; 1; 2; 1), (1; 2; 1; 1), (1; 1; 1; 3).

�°t

S = S(x, y, z, t) = 6x+ 8y + 2z + 4t.

MaxS = 28 v  t÷ìng ùng l  5 c¡ch chia cam thäa m¢n

(x; y; z; t) ∈ {(1; 1; 5; 1), (1; 1; 3; 2), (2; 1; 2; 1), (1; 2; 1; 1), (1; 1; 1; 3)} .

B i to¡n 2.2. Clara c¦n mua c£ hai lo¤i thüc ph©m l  Pizza v  Cola. Bi¸t gi¡ méi

b¡nh Pizza l  57 USD v  méi chai Cola câ gi¡ 22 USD. Häi Clara câ bao nhi¶u ph÷ìng

¡n chån mua hai lo¤i thüc ph©m tr¶n sao cho sè ti·n bä ra khæng v÷ñt qu¡ 399 USD.

Tø �â x¡c �ành ph÷ìng ¡n mua m  sè ti·n Clara bä ra l  nhi·u nh§t.

�¡p sè: Clara câ c£ th£y 41 ph÷ìng ¡n �º mua h ng.

Mua 5 b¡nh Pizza v  5 chai Cola th¼ Clara s³ bä ra sè ti·n nhi·u nh§t l  395 USD.

B i to¡n 2.3. An c¦n mua c£ ba lo¤i vªt nuæi l  Thä, M±o v  Châ. Bi¸t gi¡ méi con

thä l  16 �çng, méi con M±o l  19 �çng v  méi con Châ l  25 �çng. Häi An câ bao

nhi¶u ph÷ìng ¡n chån mua c£ ba lo¤i vªt nuæi tr¶n sao cho sè ti·n bä ra khæng v÷ñt

qu¡ 150 �çng. Tø �â x¡c �ành ph÷ìng ¡n mua m  sè ti·n An bä ra l  nhi·u nh§t.

�¡p sè: An câ c£ th£y 37 ph÷ìng ¡n �º mua c£ ba lo¤i vªt nuæi tr¶n.

Mua 3 Thä � 4 M±o � 1 Châ ho°c 5 Thä � 1 M±o � 2 Châ th¼ sè ti·n An bä ra nhi·u

nh§t l  149 �çng.

12

2.3.2 B§t ph÷ìng tr¼nh Diophante d¤ng li¶n ph¥n sè

Vîi m ∈ Z cho tr÷îc ta câ

i) [a0; a1, a2, . . . , ak] > m⇔ a0 ≥ m, ai nguy¶n d÷ìng, tòy þ, ∀i = 1, 2, 3, . . .

ii) [a0; a1, a2, . . . , ak] < m⇔ a0 ≤ m− 1, ai nguy¶n d÷ìng, tòy þ, ∀i = 1, 2, 3, . . .

V½ dö 2.11. Gi£i c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante sau

[a0; a1, a2, a3] > 2(a0 ∈ Z, a1, a2, a3 ∈ Z+

). (25)

[b0; b1, b2] < 3(b0 ∈ Z, b1, b2 ∈ Z+

). (26)

2 < [c0; c1, c2, c3] < 3(c0 ∈ Z, c1, c2, c3 ∈ Z+

). (27)

−2 ≤ [d0; d1, d2, d3, d4] ≤ 5(d0 ∈ Z, d1, d2, d3, d4 ∈ Z+

). (28)

�¡p sè:

a) Nghi»m cõa (25) l  (a0; a1; a2; a3), trong �â

a0 ∈ Z, a0 ≥ 2, ai ∈ Z+, ∀i = 1, 2, 3.

b) Nghi»m cõa (26) l  (b0; b1; b2), trong �â

b0 ∈ Z, b0 ≤ 2, bi ∈ Z+, ∀i = 1, 2.

c) Nghi»m cõa (27) l  (c0; c1; c2; c3), trong �â

c0 = 2, ci ∈ Z+, ∀i = 1, 2, 3.

d) Nghi»m cõa (28) l  (d0; d1; d2; d3; d4), trong �â

d0 ∈ Z, −2 ≤ d0 ≤ 4, di ∈ Z+, ∀i = 1, 2, 3, 4.

13

Ch֓ng 3

Mët sè b i to¡n li¶n quan

Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ x²t mët sè b i to¡n li¶n quan �¸n vi»c gi£i b§t

ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh.

3.1 Nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìngtr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nhl÷ñng gi¡c

V½ dö 3.1. �¸m sè nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh

cos(π

2x)= 0

trong kho£ng (−2015; 2015).

�¡p sè: Ph÷ìng tr¼nh �¢ cho câ 2016 nghi»m nguy¶n x trong kho£ng (−2015; 2015).

V½ dö 3.2. T¼m c¡c nghi»m nguy¶n (x, y) cõa h» ph÷ìng tr¼nhsin

π(2x+ y)

6=

1

2

cosπ(x+ y)

3=

1

2

Bi¸t x, y thuëc kho£ng (−6; 10).

�¡p sè: H» ph÷ìng tr¼nh �¢ cho câ 14 nghi»m nguy¶n (x, y) bao gçm

(0, 5) , (6, 5) , (−2,−3) , (4,−3) , (−2, 9) , (4, 9) , (−4,−3) ,(2,−3) , (−4, 9) , (8,−3) , (2, 9) , (8, 9) , (0, 1) , (6, 1)

vîi x, y thuëc kho£ng (−6; 10).

14

3.2 Ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìngtr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh l÷ñng gi¡c câ �i·uki»n

C¡ch gi£i.

B÷îc 1: T¼m nghi»m têng qu¡t (x1, x2, . . . , xn) cõa ph÷ìng tr¼nh (h» ph÷ìng tr¼nh,

b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t ph÷ìng tr¼nh) l÷ñng gi¡c.

B÷îc 2: Tø �i·u ki»n cõa ph÷ìng tr¼nh (h» ph÷ìng tr¼nh, b§t ph÷ìng tr¼nh, h» b§t

ph÷ìng tr¼nh) l÷ñng gi¡c ta h¤n ch¸ �i·u ki»n cõa c¡c tham sè trong nghi»m têng qu¡t

(x1, x2, . . . , xn).

V½ dö 3.3. Gi£i h» b§t ph÷ìng tr¼nh

sin 2015x >

1

2

cos 445x ≤ 1

2.

V½ dö 3.4. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

sin(2x+ y) =

1

2

cos(x+ y) =1

2vîi �i·u ki»n x− y ≥ 10π.

�¡p sè: Câ 4 hå nghi»m (x; y) thäa m¢n �· b i, bao gçmx = −π

6+ (a+ t)2π

y =π

2+ t2π

,

x =

π

2+ (b+ t)2π

y = − 5π

6+ t2π

,

x =

π

2+ (c+ t)2π

y = − π6+ t2π

,

x =

7π

6+ (d+ t)2π

y = − 3π

2+ t2π

trong �â a, b, c, d, t ∈ Z, a ≥ 6, b ≥ 5, c ≥ 5, d ≥ 4.

V½ dö 3.5. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh

sin(2x+ y) =

1

2

cos(x+ y) =1

2tr¶n �o¤n [−6π; 6π] v  thäa m¢n x− y ≥ 10π.

�¡p sè: B i to¡n �¢ cho câ hai nghi»m (x; y) bao gçm(35π

6;−11π

2

),(31π

6;−11π

2

).

15

3.3 X¡c �ành ph¥n thùc ch½nh quy thäa m¢n �i·uki»n cho tr÷îc

�ành ngh¾a 3.1. (Ph¥n thùc ch½nh quy mët bi¸n, xem[5]) Cho ai > 0, αi ∈ R vîi

∀i = 1, 2, . . . , n. Khi �â f (x) =n∑i=1

aixαi vîi x > 0 �÷ñc gåi l  ph¥n thùc ch½nh quy

(mët bi¸n x) n¸un∑i=1

aiαi = 0.

Chó þ 3.1. Ph¥n thùc ch½nh quy f (x) �¤t gi¡ trà nhä nh§t t¤i x = 1.

�ành ngh¾a 3.2. (Ph¥n thùc ch½nh quy hai bi¸n, xem [5]) Cho ai > 0, αi, βi ∈ R vîi

∀i = 1, 2, . . . , n. Khi �â f (x, y) =n∑i=1

aixαiyβi vîi x > 0, y > 0 �÷ñc gåi l  ph¥n thùc

ch½nh quy (hai bi¸n x, y) n¸un∑i=1

aiαi =n∑i=1

aiβi = 0.

Chó þ 3.2. Ph¥n thùc ch½nh quy f (x, y) �¤t gi¡ trà nhä nh§t t¤i x = y = 1.

Trong c¡c v½ dö sau ta x²t αi, βi ∈ Z.

V½ dö 3.6. X²t ph¥n thùc ch½nh quy

f (x) = xα1 + 2xα2 + 3xα3 + 5xα4 + 7xα5 .

T¼m (α1;α2;α3;α4;α5) sao cho

α1 + α2 + 2α3 + α4 − α5 > 4. (29)

�¡p sè: α1 = −2m− a+ 3b+ 9cα2 = m− a− 4b− 8cα3 = aα4 = bα5 = c

trong �â m, a, b, c ∈ Z, m < −4.

Ch¯ng h¤n vîi m = −5, a = 1, b = 2, c = −4 ta câ b i to¡n sau

B i to¡n 3.1. Cho x l  sè thüc d÷ìng tòy þ. Chùng minh r¬ng

2x18 + 5x2 + 3x+7

x4+

1

x21≥ 18.

16

V½ dö 3.7. X²t ph¥n thùc ch½nh quy

f (x, y) = xα1yβ1 + 2xα2yβ2 + 3xα3yβ3 .

T¼m (α1;α2;α3) v  (β1; β2; β3) sao cho thäa m¢n �çng thíi c¡c h» thùc sau

α1 + 4α2 − 3α3 > 0, (30)

β1 − 3β2 + β3 ≤ 3. (31)

�¡p sè:

(α1;α2;α3) = (−9m− 7a; 3m+ 2a;m+ a) ,

(β1; β2; β3) = (4n+ 11b;n+ 2b;−2n− 5b)

trong �â m, n, a, b ∈ Z, m ≥ 1, n ≥ −3.

Ch¯ng h¤n vîi m = 1, n = −3, a = 1, b = 2 ta câ ph¥n thùc ch½nh quy

f (x, y) =y10

x16+ 2x5y +

3x2

y4

câ gi¡ trà nhä nh§t

min f (x, y) = f (1, 1) = 6.

N¸u thay x =a

2, y =

b

2th¼ ta câ b i to¡n sau

B i to¡n 3.2. Cho a, b l  c¡c sè thüc d÷ìng tòy þ. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc

M =64b10

a16+a5b

32+

12a2

b4.

V½ dö 3.8. Cho h m ph¥n thùc ch½nh quy

f (x) = ax2 + bx4 +c

x2

vîi a, b, c l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng. T¼m bë sè (a, b, c) sao cho gi¡ trà nhä nh§t cõa f (x)

khæng v÷ñt qu¡ 11.

�¡p sè: Câ 7 bë sè (a, b, c) thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n, gçm

(1, 1, 3) , (2, 1, 4) , (1, 2, 5) , (3, 1, 5) , (2, 2, 6) , (1, 3, 7) , (4, 1, 6) .

Vîi (a,b,c) = (1,1,3) ta câ ph¥n thùc ch½nh quy

f (x) = x2 + x4 +3

x2.

Thay x bði x√3 ta �÷ñc b i to¡n sau

17

B i to¡n 3.3. Cho x l  sè thüc d÷ìng thay �êi. T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa biºu thùc

f (x) =5

x2− 1

x4− 9x2.

V½ dö 3.9. Cho h m ph¥n thùc ch½nh quy

f (x, y) = ax2y + by3

x+ c

x5

y4+ d

y

x3

vîi a, b, c, d l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng. T¼m bë sè (a, b, c, d) sao cho 2a+ b+3c+2d < 40.

�¡p sè: Câ 2 bë sè (a, b, c, d) thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n, gçm

(1, 2, 3, 5) , (4, 1, 4, 9) .

Ch¯ng h¤n vîi (a, b, c, d) = (1, 2, 3, 5) ta câ ph¥n thùc ch½nh quy

f (x, y) = x2y +2y3

x+

3x5

y4+

5y

x3

câ gi¡ trà nhä nh§t

min f (x, y) = f (1, 1) = 11.

N¸u thay x = a, y =b

2th¼ ta thu �÷ñc b i to¡n sau

B i to¡n 3.4. Cho a, b l  c¡c sè thüc d÷ìng. Chùng minh r¬ng

2a2b+b3

a+

192a5

b4+

10b

a3≥ 44.

18

K¸t luªn

Sau mët thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng �¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - �¤i håc Quèc

gia H  Nëi, �÷ñc c¡c th¦y cæ tªn t¼nh gi£ng d¤y v  d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH

Nguy¹n V«n Mªu, t¡c gi£ �¢ ho n th nh luªn v«n vîi �· t i "B§t ph÷ìng tr¼nh Dio-

phante tuy¸n t½nh". Luªn v«n �¢ �¤t �÷ñc mët sè k¸t qu£ sau:

1. Tr¼nh b y �÷ñc mët c¡ch câ h» thèng nhúng ki¸n thùc cì b£n l m cì sð cho vi»c

gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh (m  thüc ch§t l  ph÷ìng tr¼nh Diophante

tuy¸n t½nh câ chùa tham sè).

2. �÷a ra �÷ñc hai c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh. L§y �â l m cì sð

�º �÷a ra c¡ch gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh công nh÷ b§t ph÷ìng tr¼nh

Diophante tuy¸n t½nh "bà ch°n".

3. T¼m tái, �÷a ra mët sè d¤ng to¡n li¶n quan �¸n vi»c gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh

Diophante tuy¸n t½nh, câ thº dòng cho vi»c æn thi håc sinh giäi r§t húu ½ch.

M°c dò trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, t¡c gi£ �¢ r§t cè g­ng song ch­c ch­n luªn

v«n v¨n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. T¡c gi£ r§t mong nhªn �÷ñc nhúng þ ki¸n

gâp þ cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± �º luªn v«n �÷ñc ho n thi»n hìn.

Xin ch¥n th nh c£m ìn!

19

T i li»u tham kh£o

[1] Vô Tu§n Anh (2014), H» ph÷ìng tr¼nh Diophante tuy¸n t½nh, luªn v«n th¤c s¾ khoa

håc, �¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - �¤i håc Quèc gia H  Nëi.

[2] Phan Huy Kh£i (2004), C¡c b i to¡n cì b£n cõa sè håc, NXB Gi¡o döc.

[3] Phan Huy Kh£i (2009), C¡c chuy¶n �· sè håc bçi d÷ïng håc sinh giäi to¡n trung

håc, chuy¶n �· 5 - Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n, NXB Gi¡o döc, tr.7 - 68.

[4] H  Huy Kho¡i (2008), Sè håc, NXB Gi¡o döc.

[5] Nguy¹n V«n Mªu (2006), B§t �¯ng thùc. �ành l½ v  ¡p döng, NXB Gi¡o döc.

[6] Nguy¹n V«n Mªu, Tr¦n Nam Dông, �°ng Hòng Th­ng, �°ng Huy Ruªn (2008),

Mët sè v§n �· sè håc chån låc, NXB Gi¡o döc.

[7] �°ng Hòng Th­ng, Nguy¹n V«n Ngåc, Vô Kim Thõy (2010) B i gi£ng sè håc,

NXB Gi¡o döc.

20