Transformarea Laplace - Department of …math.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Laplace

Determinarea originalului

Transformarea Laplace





1 Definitie, exemple.

2 Proprietati ale transformarii Laplace

3 Determinarea originalului




Definitie, exemple.




Definitia 1.1

Functia f : R→ C, f (t) = f1(t) + jf2(t), t ∈ R, se numesteoriginal Laplace daca satisface urmatoarele conditii:(i) f (t) = 0 pentru orice t < 0,(ii) pe orice subinterval finit al semiaxei reale pozitive, f are celmult un numar finit de discontinuitati de speta ıntai,(iii) f are o crestere exponentiala, adica exista numerele realeM ≥ 0 si α ∈ R astfel ıncat

|f (t)| ≤ M eαt , (1.1)

pentru orice t ≥ 0.




Daca un original Laplace satisface (1.1) pentru o anumevaloare a lui α, cu atat mai mult va satisface inegalitatea pentruorice valoare α′ > α. Cea mai buna caracterizare a cresteriimodulului functiei f o va da marginea inferioara a multimiituturor numerelor reale α pentru care are loc (1.1). Aceastamargine inferioara se numeste indice de crestere (sauexponent de crestere) si, ın cele ce urmeaza va fi notat cu α0

α0 = inf{α; α ∈ R, |f (t)| ≤ M eαt , t ≥ 0}.

Produsul cu o constanta a unei functii original, suma si produsula doua functii original sunt de asemenea functii original.




Definitia 1.2

Fie f : R→ C original Laplace. Functia complexa de variabilacomplexa

F : D ⊆ C→ C, D = {s ∈ C; Re s > α0},

F (s) =

+∞∫0

e−st f (t)dt , Re s > α0, (1.2)

se numeste transformata Laplace sau imagine Laplace afunctiei f .




Cresterea exponentiala a functiei f asigura convergentaabsoluta si uniforma a integralei (1.2) ın orice punct s cuRe s > α0. Intr-adevar daca s = x + jy si x > α0, putem scrie:

|f (t)e−st | ≤ M eα0te−xt

pentru orice t ≥ 0. Deoarece x > α0 integrala

+∞∫0

e(α0−x)t dt =1

α0 − xe(α0−x)t

∣∣∣∣+∞0

=1

x − α0,

este convergenta. Folosind criteriul de comparatie pentruintegrale improprii, deducem convergenta absoluta si uniformaa integralei (1.2) care defineste pe F (s).




Notatii:

F = L[f (t)], F (s) = L[f (t)](s), Re s > α0,

evidentiind astfel si variabila t a originalului si variabila s atransformatei.sau

f (t)↔ F (s), Re s > α0.




Exemplul 1.1

Functia unitate (Heaviside)

σ(t) ={

1, t ≥ 00, t < 0

(1.3)

este original Laplace cu indicele de crestere α0 = 0 iartransformata sa Laplace este

L[σ(t)](s) =

+∞∫0

e−st dt = −1s

e−st∣∣∣∣+∞

0=

1s.

Vom scrieσ(t)↔ 1

s, Re s > 0. (1.4)




domeniul de convergenta a integralei Laplace din Definitia 1.2

6=

domeniul de definitie al functiei F = F (s)In Exemplul 1.1 integrala care calculeaza transformata Laplacea functiei unitate este convergenta doar pentru Re s > 0(multime pe care definim transformata sa Laplace), ın timp ce

domeniul de definitie al functiei1s

este C \ {0}.




Exemplul 1.2

Functia f (t) = eλtσ(t), t ∈ R, λ ∈ C este original Laplace,deoarece satisface evident conditiile (i) si (ii) din Definitia 1.1,iar pentru conditia (iii) putem alege M = 1 si α0 = Reλ.Imaginea sa prin transformarea Laplace este

F (s) = L[eλtσ(t)](s) =

+∞∫0

e(λ−s)t dt =1

λ− se(λ−s)t

∣∣∣∣+∞0

=1

s − λ,

pentru Re s > Reλ.

Retinem

eλt · σ(t)↔ 1s − λ

, Re s > Reλ. (1.5)




Proprietati ale transformarii Laplace




Teorema 2.1

(liniaritate) Daca f1, f2 : R→ C sunt doua functii original avandindicii de crestere αi , i = 1,2, iar

f1(t)↔ F1(s), Re s > α1,f2(t)↔ F2(s), Re s > α2,

atunci pentru orice c1, c2 ∈ C functia c1f1 + c2f2 este originalLaplace si

c1f1(t) + c2f2(t)↔ c1F1(s) + c2F2(s), Re s > max{α1, α2},(2.1)




Teorema 2.2

(asemanare) Daca f : R→ C este functie original si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci pentru orice a ∈ R, a > 0 are loc relatia:

f (at)↔ 1a

F(s

a

), Re s > aα0. (2.2)




Teorema 2.3

(ıntarzierea argumentului) Daca f : R→ C este functieoriginal si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci pentru orice t0 ∈ R, t0 > 0 are loc relatia:

f (t − t0) · σ(t − t0)↔ e−t0sF (s), Re s > α0. (2.3)




Daca t0 > 0, functia

σ(t − t0) ={

1, t ≥ t00, t < t0,

are transformata Laplace:

σ(t − t0) ↔e−t0s

s, Re s > 0.

Analog, gasim

sin(t − t0) · σ(t − t0)↔ e−t0s 1s2 + 1

, Re s > 0

sicos(t − t0) · σ(t − t0)↔ e−t0s s

s2 + 1, Re s > 0.




Teorema 2.4

(deplasare) Daca f : R→ C este functie original si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci pentru orice λ ∈ C are loc relatia:

eλt f (t)↔ F (s − λ), Re s > α0 − Reλ. (2.4)




Teorema 2.5

(imaginea unei functii periodice) Daca o functie originalLaplace f : R→ C este periodica cu perioada principala T ,atunci

f (t)↔ 11− e−sT

T∫0

e−st f (t)dt , Re s > 0. (2.5)




Teorema 2.6

(derivarea originalului) Fie f : R→ C o functie continuapentru t > 0 si care este original Laplace cu indicele decrestere α0. Admitem ca exista derivata f ′(t) si aceasta esteoriginal cu indicele de crestere α1. Daca

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci

f ′(t)↔ sF (s)− f (0+), Re s > max{α0, α1}, (2.6)

unde f (0+) este limita la dreapta ın punctul t = 0 a functiei f ,

f (0+) = limt↓0

f (t).




Teorema 2.7

Daca functia f : R→ C ımpreuna cu derivatele sale pana laordinul n sunt originale Laplace,

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

iar f ımpreuna cu derivatele sale pana la ordinul n − 1 suntfunctii continue pentru t > 0, atunci

f (n)(t)↔ snF (s)− sn−1f (0+)− sn−2f ′(0+)− . . .−sf (n−2)(0+)− f (n−1)(0+),

(2.7)

undef (k)(0+) = lim

t↓0f (k)(t), k = 0,n − 1.




Teorema 2.8

(integrarea originalului) Daca f : R→ C este functie original si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci are loc relatia:

t∫0

f (τ)dτ ↔ 1s

F (s), Re s > max{α0,0}. (2.8)




Definitia 2.1

Fie f1, f2 : R→ C doua originale Laplace. Functia f1 ∗ f2 : R→ Cdefinita prin

(f1 ∗ f2)(t) =

+∞∫−∞

f1(τ) f2(t − τ)dτ, t ∈ R

se numeste produs ın convolutie a functiilor f1, f2.




Teorema 2.9

(imaginea produsului ın convolutie) Daca f1, f2 : R→ C suntdoua functii original si

f1(t)↔ F1(s), Re s > α1f2(t)↔ F2(s), Re s > α2,

atunci f1 ∗ f2 este functie original si

(f1 ∗ f2)(t)↔ F1(s) · F2(s), Re s > max{α1, α2}. (2.9)




Teorema 2.10

Daca f : R→ C este functie original si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atuncilim

Re s→+∞F (s) = 0. (2.10)

Daca punctul s =∞ este singularitate aparenta pentru functiaF (s), atunci conditia (2.10) se ınlocuieste cu

lims→∞

F (s) = 0.

Un exemplu ın acest sens este functia F (s) =1s

carereprezinta transformata functiei unitate σ.




Teorema 2.11

(derivarea imaginii) Daca f : R→ C este functie original cuexponentul de crestere α0 si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci F este olomorfa ın semiplanul Re s > α0 si are locrelatia:

t f (t)↔ −F ′(s), Re s > α0. (2.11)

Mai general

tn f (t)↔ (−1)nF (n)(s), Re s > α0. (2.12)




Teorema 2.12

(integrarea imaginii) Daca f : R→ C este functie original cuexponentul de crestere α0 si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atuncif (t)

teste de asemenea original si are loc relatia:

f (t)t↔

∞∫s

F (q)dq, Re s > α0. (2.13)




Definitia 3.1

Daca pe un interval [a,b ] exista un numar finit de discontinuitatide speta ıntai pentru functiile f si f ′, atunci spunem ca functia feste neteda pe portiuni ın intervalul [a,b ].

Pentru orice functie f neteda pe portiuni ın intervalul [a,b ]exista limite laterale finite ın orice punct atat pentru f cat sipentru f ′.




Teorema 3.1

(Mellin-Fourier) Daca f : R→ C este functie original neteda peportiuni, cu exponentul de crestere α0 si

f (t)↔ F (s), Re s > α0,

atunci are loc formula de inversare Mellin-Fourier:

f (t + 0) + f (t − 0)2

=1

2πj

a+j∞∫a−j∞

estF (s)ds, (3.1)

pentru orice t > 0, unde a > α0 este arbitrar ales.




Teorema 3.2

Fie F : C→ C astfel ıncat(i) f este olomorfa ın semiplanul Re s > α0;(ii) lim

|s|→∞F (s) = 0, uniform ın raport cu argumentul lui s;

(iii) fiecare a > α0 exista M = M(a) > 0 astfel ıncata+j∞∫

a−j∞

|F (s)|ds ≤ M.

Atunci, ın domeniul Re s > α0, functia F = F (s) este imagineaLaplace a functiei f : R→ C definita prin

f (t) =1

2πj

a+j∞∫a−j∞

estF (s)ds, a > α0. (3.2)




Fie G : C→ C. Spunem ca s0 ∈ C este pol de ordin k pentruG daca

lims→s0

G(s) =∞ si lims→s0

(s − s0)kG(s) ∈ C.

Reziduul functiei G ın polul s0 este numarul complex

Rez (G(s); s0) =1

(k − 1)!lim

s→s0

((s − s0)

k ·G(s))(k−1)

. (3.3)

Daca G : C→ C, G(s) =g(s)h(s)

are ın s0 pol de ordin 1 sau

pol simplu atunci

Rez (G(s); s0) = lims→s0

(s − s0) ·G(s) = lims→s0

g(s)h ′(s)

. (3.4)




Teorema 3.3

Fie F : C→ C o functie rationala

F (s) =P(s)Q(s)

, grad P ≤ 1 + grad Q.

Atunci ın domeniul Re s > 0, functia F = F (s) este imagineaLaplace a originalului f : R→ C definit prin

f (t) =n∑

i=1

Rez(estF (s); si

), t ≥ 0, (3.5)

unde suma este extinsa la toti polii si ∈ C ai functiei rationale F .




Daca F : C→ C o functie rationala

F (s) =P(s)Q(s)

, grad P ≤ 1 + grad Q,

ce admite numai poli simpli {sk , k = 1,n}, atunci originalul este

f (t) =n∑

i=1

P(si)

Q ′(si)esi t , t ≥ 0. (3.6)




Teorema 3.4

Fie F : C→ C o functie olomorfa ın exteriorul unui disc centratın origine, inclusiv punctul de la infinit, si fie

F (s) =∞∑

n=0

an

sn+1 , |s| > r , (3.7)

dezvoltarea Taylor a functiei F ın vecinatatea punctului de lainfinit. Atunci F este imaginea Laplace a originalului

f (t) =∞∑

n=0

an

n!tn, t ≥ 0. (3.8)




Teorema 3.5

(convolutia transformatelor) Daca f1, f2 : R→ C sunt douafunctii original avand indicii de crestere αi , i = 1,2, iar

f1(t)↔ F1(s), Re s > α1,f2(t)↔ F2(s), Re s > α2,

atunci produsul uzual al originalelor f = f1f2 este original siimaginea sa Laplace este produsul ın convolutie aimaginilor:

f (t) = f1(t)f2(t)↔ F (s) =1

2πj

a+j∞∫a−j∞

F1(p)F2(s − p)dp, (3.9)

unde integrarea se face pe orice dreapta paralela cu axa 0y,dusa prin abscisa constanta, a cu α1 < a < Re s − α2.




In ipotezele de mai sus, are loc si relatia

f (t) = f1(t)f2(t)↔ F (s) =1

2πj

b+j∞∫b−j∞

F1(s − p)F2(p)dp, (3.10)

unde F = F (s) este olomorfa ın semiplanul Re s > α1 + α2, iarintegrarea se face pe orice dreapta paralela cu axa 0y , dusaprin abscisa constanta, b, α2 < b < Re s − α1.


Transformarea Laplace - Department of …math.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

Documents

Transcript of Transformarea Laplace - Department of …math.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...