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Mathe 2 / Laplace-Trafo
Blankenbach / SS2013 / 28.04.2013 1
Laplace - Transformation
Kurzfassung zur Lösung von DGLs
Prof. Dr. Karlheinz Blankenbach
Hochschule Pforzheim
Tiefenbronner Str. 65
75175 Pforzheim
Überblick / Anwendungen:
- Laplace: (Alternatives) Lösen von DGLs, Übertragungsfunktion, Regelungstechnik
Empfohlene Literatur:
- Papula : Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 2, Vieweg
- Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner
- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
- Westermann : Mathematik für Ingenieure mit MAPLE, Band 2, Springer
- Burg et al. : Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III, Teubner
Die nachfolgenden Übersichten und Tabellen sind „Hilfsmittel“ der Klausur und werden als
Anhang zu den Aufgaben mitkopiert.
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Mathe 2 / Laplace-Trafo
Blankenbach / SS2013 / 28.04.2013 2
2.1 Laplace-Transformation und Rechenregeln
f(t) F(p)
Zeitbereich Bildbereich
Transformation
f(t) F(p)
j
j
pto
o
dpe)p(Fj2
1)t(f
(*)
0
pt dte)t(f)p(F
Linearität a1 f1(t) + a2 f2(t) a1 F1(p) + a2 F2(p)
Ähnlichkeitssatz f(at) mit a > 0 1/a F(p/a)
Verschiebungssatz f(t-) mit > 0 e-p F(p)
Dämpfungssatz f(t) LT dann p=p+d
e-dt f(t) F(p+d)
Sprungfunktion 1/p
Deltafunktion (t) 1
Periodische Funktion (T: Periodendauer)
f(t) = f(t + T)
T
0
tp
ätPeriodizit
Tpdte)t(f
e1
1)p(F
1. Differentiation f’(t) pF(p) - f(+0) (**)
2. Differentiation f’’(t) p²F(p) - pf(+0) - f’(+0) (**)
Integrationssatz
t
0
d)(f 1/p F(p)
Faltungssatz
t
0
21 d)t(f)(f F1(p) F2(p)
(*) : Rücktransformation statt mit Integral meist mit Korrespondenztabelle,
Partialbruchzerlegung bzw. Reihenentwicklung von F(p)
(**) : t +0
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Korrespondenz-Tabelle zur Laplace-Transformation (I)
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Korrespondenz-Tabellen zur Laplace-Transformation (II)
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2.4 Laplace-Rücktransformation
- Weg vom Bild- in den Zeitbereich
- „direkte“ Formel
j
j
pto
o
dpe)p(Fj2
1)t(f
wird selten angewandt
- Übliche Methode: Korrespondenztabelle
- Strategie:
- Nenner und ggf. Zähler so umwandeln, dass „Treffer“ in der Korrespondenztabelle
- Ggf. Partialbruchzerlegung (nicht diese Vorlesung)
- Rechenregeln (Linearität, Dämpfungssatz) anwenden
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2.2.5 Anwendung der Laplace-Transformation
Zweck: Leichteres Lösen komplizierter Gleichungen
Anwendungen in- E-Technik, Informationstechnik, Maschinenbau, Regelungstechnik, …:
- Übertragungsfunktion eines Systems (Signalverarbeitung, siehe zugehörige Vorlesung)
- Regelungstechnik (siehe zugehörige Vorlesung)
- Lösen von Differentialgleichungen (hier):
Vorgehensweise:
1. Die DGL yn’ (linear mit konstantem Koeffizienten) wird mit der Laplace-Transformation in eine
algebraische Gleichung übergeführt. ACHTUNG: Auch Störfunktion transformieren!
2. Als Lösung dieser Gleichung erhält man die Bildfunktion F(p) der gesuchten
Originalfunktion y(t)
3. Die gesuchte Lösung y(t) der DGL erhält man durch Rücktransformation der Bildfunktion
F(p). (Korrespondenztabellen, Partialbruchzerlegung, Reihenentwicklung, ...)
Vorteil: Rechenoperationen im Bildbereich meist leichter ausführbar!
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2.2.6 Übungsaufgaben Laplace - Transformation
1. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = t für t0, 0 sonst.
Lsg.: F(p) =1/p²
2. Berechnen Sie die Laplace-Transformierte von f(t) = sint für t0, 0 sonst.
Lsg.: F(p) =/(p²+²)
3. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mit Laplace-Trafo: y’ = e-t mit y(0) = 0
Lsg.: y = 1 - e-t
4. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = x
mit y(/2) = 0 und y’(/2) = 1.
Lsg.: y = x - (/2)sinx
5. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + 2y’ + y = 0 mit
y(0) = 0 ; y’(0) = 1.
Lsg.: y = x e-x
6. Lösen Sie mit DGL-Methoden und mittels Laplace-Transformation y’’ + y = cos2x erst
allgemein und dann mit y(0) = 1 und y’(0) = 0
Hinweis: Verwenden Sie erweiterte Korrespondenztabellen !
Lsg.: y = yh + yp = (1/3 + y(0))cosx + y’(0)sinx - 1/3 cos2x
= 4/3 cosx - 1/3 cos2x