Transformada_de_Lapace (1)

8/15/2019 Transformada_de_Lapace (1)

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TRANSFORMADA DE LAPLACE

Toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace, matemático francés,(1749-1!7"

#s una $enerali%aci&n de la Transformada de 'ourier

Su principal enta)a radica en *ue las operaciones de la inte$raci&n +deriaci&n se conierten en operaciones de multiplicaci&n + diisi&n defunciones racionales

Su principal aplicaci&n está en la soluci&n de ecuaciones diferencialeslineales

1. INTRODUCCION


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2. DEFINICIÓN: La Transformada de Lapa!e" TdL" de una funci&n f #t $,definida para todos los nmeros reales, t . es la funci&n F #s$, se define

como/

La anterior definici&n corresponde a la TdL unilateral La condici&n necesaria + suficiente para *ue la TdL e0ista es la laconer$encia de la inte$ral impropia

#l parámetro s, permanece constante durante la inte$raci&n

La TdL es lineal, esto si$nifica *ue/

Siempre *ue f(t" + $(t" e0istan para t .


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%. CALCULO DE LA TdL DE FUNCIONES ELEMENTALES

Procede mediante la aplicaci&n de la definici&n

2alcule la TdL de f#&$ ' 1

NOTA/ P33 L3 56T#32586 S# T5L5:3 #L ;= ?POR PARTES”

2alcule la TdL de f#&$ ' &


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#l resultado anterior se puede $enerali%ar para f(t) = t n como/

para/ +

2alcule la TdL de f(t) = ekt

para

2alcule la TdL de f(t) = Senkt


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2alcule la TdL de f(t) = Coskt

>e donde podemos concluir *ue/

Por lo *ue la transformada de Senkt *ueda


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2alcule la TdL de y’(t) = df(t)@dt

Si es continua por tramos en el interalo #ntonces/

>e manera similar se puede comprobar *ue/

A $enerali%ando para la deriada n-ésima/


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(. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Teorema de )aor In*!*a

Si + e0iste + es i$ual a , entonces/

Teorema de )aor F*naSi + el e0isteB #ntonces/

Pr*mer Teorema de Trasa!*+n

Se,-ndo Teorema de Trasa!*+n


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. TRANSFORMADA IN)ERSA DE LAPLACE

Aa hemos dicho *ue una de las principales enta)as de la TdL es su propiedad deconertir una #>= en una ecuaci&n racionalB #sta ltima se puede resoler para laariable de interés + ?retornarC al espacio temporal para obtener la soluci&n en eltiempoB

#sta ltima etapa re*uiere de una operaci&n inersa a la TdL mediante la llamadaTransformada In/ersa de Lapa!e

DEFINICION

Si es la Transformada de Laplace de una funci&n continua , tal *ue

, entonces, la Transformada 5nersa de Laplace de

denotada como , es , es decir,


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E0EMPLO 1: 2alcule

Aa *ue entonces/

M&odos para o&ener a &ransformada *n/ersa de Lapa!e/

1B sando la inte$ral de inersi&n comple)a

∫ ∞+

∞−

− == jc

jc

st dse s F j

s F Lt f )(2

1)}({)( 1

π

!B Por tablas de transformadasB

DB Por e0pansi&n en fracciones parciales

Los métodos ! + D pueden aplicarse, debido a la unicidad de la TdL


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3. E4pans*+n en fra!!*ones par!*aes

2onsidere *ue F(s) está en la forma/

mn p s p s p s

z s z s z sk

sd

sn s F

n

m >+++

+++== ,

)())((

)())((

)(

)()(

21

21

),,,( 21 m z z z s −−−= >onde las raEces de n(s): son los ceros de F(s)

;ientras *ue las raEces de d(s): ),,,( 21 n p p p s −−−= son los polos de F(s)

Si F(s) se descompone en sus componentes/ F 1(s)+F 2 (s)+……F n(s) + si

las transformadas inersas de Laplace de F 1(s), F 2 (s) , . . . , F n(s) son obtenidasfácilmente, entonces/

L-1[F(s)] = L-1[F 1(s)] + L-1[F 2 (s)] +. . . + L

-1[F n(s)]

F f 1(t) + f 2 (t) + . . . + f n(t)


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La enta)a del procedimiento de e0pansi&n en fracciones parciales es *uelos términos indiiduales de F(s), resultantes de la e0pansi&n en forma defracciones parciales, son funciones mu+ simples de s.

2oniene seGalar, sin embar$o, *ue al aplicar la técnica de e0pansi&n enfracciones parciales en bs*ueda de la transformada inersa de Laplacede F(s) = n(s)/ds) deben conocerse preiamente las raEces del polinomiodenominador d(s). #s decir, este método no se aplica hasta *ue se hafactori%ado el polinomio denominadorB

CASOS DE E5PANSION

1. CASO UNO: F(s) tene s!"! #!"!s dstnt!s

n

n

p s

a

p s

a

p s

a

sd

sn s F

+

++

+

+

+

==

2

2

1

1

)(

)()(


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>onde el coeficiente constante $% es conocido como el res*d-o en el polo s = - #% +se obtiene mediante/

k p sk k s F p sa −=+= )]()[(

t p

k

k

k k ea p s

a L

−− =

+1

Aa *ue/ entonces f(t) estará dada por/

t p

n

t pt p n

eaeaea s F Lt f −−−−

+++== 21

21

1

)}({)(

E0EMPLO DOS/ Hallar la transformada inersa de Laplace de

La e0pansi&n de F(s) en fracciones parciales es/


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>onde a1 + a! se calculan mediante/

#ntonces/ f(t) = L-1[F(s)] = 2e –t – e –2 t

E0EMPLO %: Hallar la transformada inersa de Laplace de

6&tese *ue el polinomio denominador puede factori%arse como/

s2 + 2s + & = (s + 1 + '2)(s + 1 '2)

2omo la funci&n F(s) inclu+e un par de polos comple)os con)u$ados, esconeniente no e0pandir en las fracciones parciales habituales, sino en una suma

de una funci&n seno + una funci&n coseno amorti$uadas


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Aa *ue/ s2 + 2s + & = (s + 1)2 + 2 2

+ *ue las TdL de e t sen *t + e t !s *t , son/

Aa *ue/ f(t) = L-1[F(s)]

F &e t sen 2t + 2e t !s 2t (t )


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2. CASO DOS: F(s) tene #!"!s e#etd!s

2onsidere *ue F(s) tiene un polo mltiple en s = -#1 de multiplicidad B #ntonces

la e0pansi&n en fracciones parciales es de la forma/

n

n

r

r

r

r

r

r

p s

a

p s

a

p s

b

p s

b

p s

b s F

++

++

+++

++

+=

+

+−

− 1

1

1

1

1

1

1

1 )()()(

>onde los coeficientes , -1, ……….1 se calculan como/

1

1

1

1

]))(([

)!1(

1

]))(([!

1

]))(([

]))(([

11

1

1

1

11

1

p s

r

r

r

p s

r

j

j

jr

p s

r

r

p sr

r

p s s F

ds

d

r

b

p s s F ds

d

jb

p s s F ds

d b

p s s F b

−=

−

−

−=

−

−=−

−=

+

−

=

+=

+=

+=


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E0EMPLO (: Hallar la transformada inersa de Laplace de

+ los alores de los se obtienen como/

La e0pansi&n en fracciones parciales es/

NOTA: b1 = 1


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Aa *ue/ f(t) = L-1[F(s)]

F t 2 e t + + e t F (t 2 +1) e t (t "

3. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

La aplicaci&n de la TdL en la soluci&n de ecuaciones diferenciales linealescon coeficientes constantes es de $ran importancia en los problemas sobresistemas de controlB

>ado *ue las condiciones iniciales están incluidas en la transformada deLaplace de la ecuaci&n diferencial, este método nos proporciona la soluci&ncompleta (soluci&n complementaria I soluci&n particular" de la ecuaci&ndiferencialB


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#l método para la soluci&n de e0$!nes dfeen$"es !dn$$s !n!efentes !nst$ntes con la TdL comprende/

1B Tomar la TdL de ambos lados de la ecuaci&n, en este punto se incorporan las

condiciones iniciales en las transformadas de las deriadasB

!B esoler al$ebraicamente la ecuaci&n resultante para la TdL de la funci&ndesconocidaB

DB =btener la transformada inersa de Laplace con el fin de encontrar la funci&nde t cu+a TdL es la obtenida en el paso !B esta funci&n satisface la ecuaci&ndiferencial + las condiciones iniciales + es la soluci&n deseada

E0EMPLO : esoler la si$uiente ecuaci&n diferencial

I 3 F.

(."F !

1B s4(s) 2 + 34(s) F .

esoliendo de acuerdo a las etapas indicadas/


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FIN DEL CAPITULO

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